elektrİk potansİyel -...
TRANSCRIPT
Eş Potansiyel Yüzeyler
Noktasal bir Yükün Elektrik Potansiyeli
Sürekli Bir Yük Dağılımının Elektrik Potansiyeli
Elektrik Potansiyel Enerjisi
ELEKTRİK POTANSİYEL
Bölüm 25
Elektrik Potansiyeli
http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/
Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı
1/36:
Bir grup yükün elektrik potansiyel enerjisini hesaplamak,
Elektrik potansiyelin önemini kavramak,
Bir grup yükün elektrik potansiyelini hesaplamak,
Sürekli yük dağılımına sahip simetrik cisimler için elektrik potansiyeli hesaplamak,
Elektrik potansiyeli kullanarak elektrik alanı hesaplamak
Eş potansiyel yüzeyleri kullanarak elektrik potansiyeli anlamak
Amaçlar
2/36:
İş-enerji teoreminden, yapılan iş ile potansiyel enerji arasındaki ilişki:
Bir E elektrik alanı içerisinde (ör. Yükler topluluğunun oluşturduğu bileşke elektrik alan) A noktasından B noktasına hareket eden bir sınama qo yüküne etki eden elektriksel kuvvetin yaptığı iş
Korunumlu bir kuvvet tarafından yapılan iş
Enerji Korunumu
Elektrik Alanda İş
𝑊𝐴→𝐵 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 𝐵
𝐴
= 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 cos 𝜃𝐵
𝐴
= −∆𝑈 = 𝑈𝐴 − 𝑈𝐵
𝑊𝐴→𝐵 = ∆𝐾 = −∆𝑈
𝑊𝐴→𝐵 = 𝐾𝐵 − 𝐾𝐴 = − 𝑈𝐵 − 𝑈𝐴
𝑈𝐴 + 𝐾𝐴 = 𝑈𝐵 +𝐾𝐵
3/36:
Düzgün bir elektrik alanı, kütle çekim alanına benzetilebilir. Her iki alanda yapılan işler ve potansiyel enerji değişimleri aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.
Her iki alanda hareket eden kütle ve yükün, farklı yollardaki yapılan işleri aynıdır. Çünkü bu işleri yapan her iki kuvvette korunumlu kuvvettir. Yaptıkları işler yoldan bağımsızdır. Alan
tarafından yapılan iş pozitif ise sistemin potansiyel enerjisi azalır, alan tarafından yapılan iş negatif ise sistemin potansiyel enerjisi artar.
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐺 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
= 𝑚𝑔ℎ = −∆𝑈 𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
= 𝑞𝐸𝑑 = −∆𝑈
Elektrik Potansiyel Enerjisi
4/36:
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
= 𝒒𝒐𝑬𝒅 = −∆𝑼
alan yük üzerinde pozitif iş yapar
𝐸 alan yönünde hareket eden pozitif yük
U (potansiyel) enerji azalır.
𝐸 alana zıt hareket eden pozitif yük
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
= −𝒒𝒐𝑬𝒅 = −∆𝑼
alan yük üzerinde negatif iş yapar
U (potansiyel) enerji artar.
𝑑 = 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎
Elektrik Alanın Yaptığı İş
5/36:
∆𝑼 = −𝒒𝒐𝑬𝒅 < 𝟎 ∆𝑼 = 𝒒𝒐𝑬𝒅 > 𝟎
alan yük üzerinde pozitif iş yapar
𝐸 alan yönünde hareket eden negatif yük
U (potansiyel) enerji azalır.
𝐸 alana zıt hareket eden negatif yük
alan yük üzerinde negatif iş yapar
U (potansiyel) enerji artar.
Elektrik Alanın Yaptığı İş
6/36:
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
= − 𝒒𝒐 𝑬𝒅 = −∆𝑼 𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
= 𝒒𝒐 𝑬𝒅 = −∆𝑼
∆𝑼 = 𝒒𝒐 𝑬𝒅 > 𝟎 ∆𝑼 = − 𝒒𝒐 𝑬𝒅 < 𝟎
𝒒𝒐 yükü a noktasından b noktasına şekildeki yolu izleyerek gittiğinde, elektrik kuvvetinin yaptığı iş
= 𝐹 𝑟 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟𝑏
𝑟𝑎
= 𝑘𝑞𝑞𝑜 1
𝑟2 𝑟 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟𝑏
𝑟𝑎
𝐹 𝑟 = 𝑞𝑜𝐸𝑟 = 𝑘𝑞𝑞𝑜
𝑟2𝑟
𝒒 yükünün r kadar uzaktaki bir 𝒒𝒐 yüküne uyguladığı elektrik kuvvet:
Kaynak q yükünün yarattığı elektrik alanı içerisinde bir qo sınama yükü radyal yönde a noktasından b noktasına hareket ettiğinde elektriksel kuvvetin yaptığı iş,
potansiyel enerji değişiminin negatif işaretine eşittir.
İki Noktasal Yükün Elektrik Potansiyel Enerjisi
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝑏
𝑟𝑎
= 𝑘𝑞𝑞𝑜
1
𝑟𝑎−
1
𝑟𝑏= 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = −∆𝑈
7/36:
𝑟 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑑𝑙 cos𝜃 = 𝑑𝑟
𝑈𝑎 = 𝑘𝑞𝑞𝑜
𝑟𝑎 𝑈𝑏 = 𝑘
𝑞𝑞𝑜
𝑟𝑏 ve 𝒂 ve 𝒃 noktasındaki potansiyel enerji olarak tanımlanırsa,
𝑈 = 𝑘𝑞𝑞𝑜
𝑟 𝒒 ve 𝒒𝒐 nokta yüklerinin elektrik potansiyel enerjisi
İki Noktasal Yükün Elektrik Potansiyel Enerjisi
𝑊𝑎→𝑏 = 𝐹 𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝑏
𝑟𝑎
= 𝑘𝑞𝑞𝑜 1
𝑟2 𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝑏
𝑟𝑎
= 𝑘𝑞𝑞𝑜
1
𝑟𝑎−
1
𝑟𝑏= 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏 = −∆𝑈
8/36:
𝑟 → ∞ ⇒ 𝑈 ⟶ 0
𝑈 > 0
𝑟 → 0 ⇒ 𝑈 ⟶ ∞
𝑟 → ∞ ⇒ 𝑈 ⟶ 0
𝑈 < 0
𝑟 → 0 ⇒ 𝑈 ⟶ −∞
İtici Potansiyel Enerjisi
Çekici Potansiyel Enerjisi 𝑈 = 𝑘𝑒
𝑞𝑞𝑜
𝑟
İki Noktasal Yükün Potansiyel Enerji Grafikleri
9/36:
Bir pozitron alfa parçacığından 1.00 × 10−10𝑚 uzaklığındaki hızı 3.00 × 106𝑚/𝑠 dir.
Örnek 25.1 Elektriksel Kuvvetlerle Enerjinin Korunumu
𝑞𝑝𝑜 = 1.60 × 10−19𝐶, 𝑞𝛼 = 3.20 × 10−19𝐶, 𝑚𝑝𝑜 = 9.11 × 10−31𝑘𝑔, mα = 6.64 × 10−27𝑘𝑔
a) Pozitron alfadan 2.00 × 10−10𝑚 uzakta iken sürati nedir.
𝐾𝑎 = 12𝑚𝑣𝑎
2 = 12
9.11 × 10−31kg 3.00 × 106𝑚/𝑠 2 = 4.10 × 10−18 J
𝑈𝑏 = 𝑘𝑒
𝑞𝑞𝑜
𝑟𝑏= 2.30 × 10−18J
𝐾𝑏 = 12𝑚𝑣𝑏
2 = 4.10 × 10−18 J + 4.61 × 10−18 J − 2.30 × 10−18J = 𝟔. 𝟒𝟏 × 𝟏𝟎−𝟏𝟖 J
𝑣𝑏 =2𝐾𝑏
𝑚=
2 6.41 × 10−18 J
9.11 × 10−31𝑘𝑔= 𝟑. 𝟖 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔
𝑈𝑎 = 𝑘𝑒
𝑞𝑞𝑜
𝑟𝑎= 8.99 × 109 𝑁 ⋅ 𝑚2 𝐶2
3.20 × 10−19𝐶 1.60 × 10−19𝐶
1.00 × 10−10𝑚= 4.60 × 10−18 J
b) Alfa parçacığından çok uzaktaki hızı ne olur?
𝐾𝑐 = 𝐾𝑎 + 𝑈𝑎 − 𝑈𝑐 = 4.10 × 10−18 J + 4.61 × 10−18 J − 𝟎 = 𝟖. 𝟕𝟏 × 𝟏𝟎−𝟏𝟖 J
𝑣𝑏 =2𝐾𝑏
𝑚=
2 8.71 × 10−18 J
9.11 × 10−31𝑘𝑔= 𝟒. 𝟒 × 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔
10/36:
𝐾𝑏 = 12𝑚𝑣𝑏
2 = 𝐾𝑎 + 𝑈𝑎 − 𝑈𝑏
∆𝐸𝑇𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚= 0 → 𝐾𝑏 + 𝑈𝑏 − 𝐾𝑎 + 𝑈𝑎 = 0
qo yükünün her bir yüke ve onlara olan uzaklığına bağlı elektrik potansiyel enerjisi:
Başka bir deyişle, bu eşitlik q1 ,q2 , q3 ,… yüklerinin uzayda oluşturduğu elektrik alan içerisindeki q0 sınama yükünün varlığı ile ilişkili olarak a noktasındaki
potansiyel enerjiyi verir.
Şekildeki yükler sisteminin karşısına sonsuzdan bir sınama q0 yükünün getirilmesi için dış bir kuvvet tarafından yapılan iş, q0 yükünün a noktasındaki potansiyel enerjisine eşittir.
Noktasal Yüklerin Potansiyel Enerjisi
11/36:
𝑈𝑞0=
𝑞0
4𝜋𝜖0
𝑞1
𝑟1+
𝑞2
𝑟2+
𝑞3
𝑟3+ ⋯
= 𝑘𝑒𝑞0 𝑞𝑖
𝑟𝑖𝑖
𝑈1 = 𝑘𝑒𝑞1
𝑞2
𝑟12+
𝑞3
𝑟13+ ⋯ +
𝑞𝑖
𝑟3𝑖+ ⋯ +
𝑞𝑁
𝑟1𝑁
𝑈2 = 𝑘𝑒𝑞2
𝑞3
𝑟23+ ⋯ +
𝑞𝑖
𝑟3𝑖+ ⋯ +
𝑞𝑁
𝑟2𝑁
𝑈3 = 𝑘𝑒𝑞3
𝑞4
𝑟34⋯ +
𝑞𝑖
𝑟3𝑖+ ⋯ +
𝑞𝑁
𝑟2𝑁
Çok sayıdaki noktasal yüklerin oluşturduğu sistemin potansiyel enerjisi, q1 ,q2 , q3 ,… yüklerini sonsuz uzaklıktan şekildeki konumlarına getirilmesi için dış kuvvet tarafından yapılan işe eşittir.
𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑞𝑖𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝑖<𝑗
ile ifade edilir.
Noktasal Yük Dağılımının Elektrik Potansiyel Enerjisi
(a) 𝑊 = 𝑈 =𝑞3
4𝜋𝜖0
𝑞1
𝑟13+
𝑞2
𝑟23=
+𝑒
4𝜋𝜖0
−𝑒
2𝑎+
+𝑒
𝑎=
+𝑒2
8𝜋𝜖0𝑎
x-ekseni üzerine x = 0 da q1 = -e ve x = a da q2 = +e noktasal yükleri yerleştirilmiştir. (a) Üçüncü bir q3 = +e yükünün dış bir kuvvet tarafından sonsuzdan x = 2a noktasına getirilmesi için yapılan iş nedir? (b) Üç yükten oluşan bu yük sisteminin toplam potansiyel enerjisini bulunuz.
Örnek 25.2 Elektriksel Potansiyel Enerji
(b) 𝑈 =1
4𝜋𝜖0
𝑞𝑖𝑞𝑗
𝑟𝑖𝑗𝑖<𝑗
=1
4𝜋𝜖0
𝑞1𝑞2
𝑟12+
𝑞1𝑞3
𝑟13+
𝑞2𝑞3
𝑟23
𝑈 =1
4𝜋𝜖0
−𝑒 𝑒
𝑎+
−𝑒 𝑒
2𝑎+
𝑒 𝑒
𝑎=
−𝑒2
8𝜋𝜖0𝑎
W𝑎→𝑏 = 𝐹 𝑒 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝑏
𝑟𝑎
= −∆U = U𝑎 − U𝑏
Bir kaynak 𝒒 yükünün oluşturduğu elektrik alanı içerisinde, bir 𝑞0 sınama yükünün, a noktasından b noktasına getirilmesi için elektrik alanın yaptığı iş, potansiyel enerji değişiminin negatifine eşittir (İş-Enerji teoremi).
Potansiyel enerji değişiminin 𝑞0 sınama yüküne bölümü, bu iki nokta arasındaki potansiyel farkını verir. Yani, birim yük başına düşen potansiyel enerji değişimine, Elektriksel Potansiyel Fark (Potansiyel Fark, Gerilim) denir ve ∆𝐕 sembolü ile gösterilir.
∆V =∆U
𝑞𝑜= −
W𝑎→𝑏
𝑞𝑜= −
𝐹
𝑞𝑜⋅ 𝑑𝑙
𝑟𝑏
𝑟𝑎
= − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝑏
𝑟𝑎
∆V = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 =∆U
𝑞𝑜= − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙
𝑟𝑏
𝑟𝑎
1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule / coulomb
Elektriksel Potansiyel Fark (Gerilim)
𝑑𝑙
𝐵𝑖𝑟 𝒒 yükünün P noktasındaki potansiyelini bulmak için bu yükün elektrik alan tarafından P noktasından sonsuza taşındığını düşünelim.
Noktasal Bir Yükün Elektriksel Potansiyeli
∆V = V𝑏 − V𝑎 = − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝑏
𝑟𝑎
∆V = V∞ − V𝑃 = − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 ∞
𝑅
𝑑𝑙 = 𝑟 𝑑𝑟 ve 𝐸 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑞
𝑟2𝑟
𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑞
𝑟2(𝑟 ⋅ 𝑟 )𝑑𝑟
0 − V = −𝑞
4𝜋𝜖0
1
𝑟2 𝑑𝑟∞
𝑅
=𝑞
4𝜋𝜖0 1
𝑟
𝑅
∞
= −1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑅 ⇒ V = 𝑘𝑒
𝑞
𝑅
Bir noktasal yükün kendisinden r uzaklığındaki potansiyeli, bir dış kuvvetin bir birim yükü sonsuzdan, q yükünün r uzaklığına getirmek için yaptığı iş olarak da tanımlanabilir.
𝒒 < 𝟎 𝑉 = −𝑘𝑒
𝑞
𝑟
𝒒 > 𝟎 𝑉 = 𝑘𝑒
𝑞
𝑟
Noktasal Bir Yükün Elektriksel Potansiyeli
W𝑎→𝑏
𝑞𝑜= 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑘𝑒𝑞
1
𝑟𝑎−
1
𝑟𝑏
𝑟𝑎 → ∞ ⇒ 𝑉𝑎 = 0 , 𝑉𝑏 = 𝑉
W∞→𝑏
𝑞𝑜= 0 − 𝑉 = 𝑘𝑒𝑞
1
∞−
1
𝑅
V = 𝑘𝑒
𝑞
𝑅
Birden fazla noktasal yükün oluşturduğu bir sistemin herhangi bir P noktasında meydana getirdiği elektriksel potansiyel, bir dış kuvvetin bir birim yükü sonsuzdan P noktasına getirmek için her bir noktasal yük için yaptığı işin toplamı olarak tanımlanır. P noktasının potansiyeli her bir kaynak q yükünün P noktasında meydana getirdiği potansiyellerin cebirsel toplamına eşittir.
𝑉 = 𝑘𝑒 𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑁
𝑖=1
Bir Grup Noktasal Yükün Potansiyeli
Şekilde görüldüğü gibi, 𝒒𝟏 = 𝟐. 𝟎𝟎 𝝁𝑪’luk yük orijinde, 𝒒𝟐 = −𝟔. 𝟎𝟎 𝝁𝑪’luk yük 0, 3.00 𝑚 ye yerleştirilmiştir. a) Bu yüklerin 4, 0 𝑚 koordinatındaki P noktasında oluşturduğu toplam elektriksel potansiyeli bulunuz.
b) Sonsuzdan P noktasına getirilen 𝒒𝒐 = 𝟑. 𝟎𝟎 𝝁𝑪’luk yükün potansiyel enerjisindeki değişimi bulunuz.
Örnek 25.3 İki Nokta Yükün Elektriksel Potansiyeli
a) 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 = 𝑘𝑒
𝑞1
𝑏+
𝑞2
𝑎2 + 𝑏2
𝑉 = 8.99 × 1092.00 × 10−6C
4.00 m+
−6.00 × 10−6C
5.00 m
𝑉 = −6.29 × 103 𝑉
b) ∆𝑈 = 𝑞0∆𝑉 = 3.00 × 10−6 C −6.29 × 103 V
∆𝑈 = −1.89 × 10−2 J
a) ∆U = 𝑞𝑜∆V = 5.00 × 10−6 ∙ 12.0 = 60.0 × 10−6 J
𝑨 ve 𝑩 noktaları arasındaki potansiyel fark ∆𝐕 = 𝐕𝑩 − 𝐕𝑨 = 𝟏𝟐. 𝟎 𝑽 ise +𝟓. 𝟎𝟎 𝝁𝑪’luk bir yük
a) A’dan B’ye ve
b) B’den A’ya götürülmekle ne kadar iş yapılmıştır? İşi yapan kimdir?
Sistemin potansiyel enerjisi artmıştır. Sistem üzerinde dış bir kuvvet tarafından iş yapılmıştır. Bu yüklü parçacık, kendiliğinden a noktasından b
noktasına gitmez.
∆U > 0
b) ∆U = 𝑞𝑜∆V = 5.00 × 10−6 ∙ (−12.0) = −60.0 × 10−6 J
Sistemin potansiyel enerjisi azalmıştır. Sistemin kendisi iş yapmıştır. Bu yüklü parçacık, a noktasından b noktasına kendiliğinden gitmiştir.
∆U < 0
∆V =∆U
𝑞𝑜
Örnek 25.4 Elektriksel Potansiyel
C
Düzgün bir elektrik alan 𝒑𝒐𝒛𝒊𝒕𝒊𝒇 𝒚 ekseni doğrultusunda ve 𝟑𝟐𝟓 𝑵/𝑪 şiddetindedir. A(−0.200, −3.00) 𝑚 noktasından B(0.400,0.500) 𝑚 noktasına şekilde gösterildiği gibi bir proton götürdüğümüzü düşünelim.
a) 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 potansiyel farkı nedir? 𝑞𝑝 = 1.60 × 10−19 C
𝑚𝑝 = 1.67 × 10−27 kg
Yol-1
Yol-2
Örnek 25.5 Elektriksel Potansiyel
b) A noktasında proton durduğu bilindiğine göre B noktasındaki hızı nedir?
𝑊 = ∆𝐾
−∆𝑈 = 𝐾𝐵 − 𝐾𝐴
−𝑞∆𝑉 = 𝐾𝐵 − 0
𝐾𝐵 = −𝑞 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = −1.60 × 10−19 −1.14 × 103 = 1.82 × 10−16J
12𝑚𝑝𝑣𝐵
2 = 1.82 × 10−15 J ⟹ 𝑣𝐵 = 4.77 × 105 𝑚/𝑠
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 𝐵
𝐴
= − 𝐸j ⋅ 𝑑𝑥 i + 𝑑𝑦 j 𝐵
𝐴
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = − 𝐸𝑑𝑦 cos 0°𝐶
𝐴
− 𝐸𝑑𝑥𝐵
𝐶
cos 90°
= −𝐸 𝑑𝑦𝐶
𝐴
− 0 = −𝐸 𝑦 −3.00
0.500
= −325 0.500 − −3.00 = −1.14 × 103 𝑉
Yol-1
Yol-2
Elektrik Potansiyel sınama yük başına düşen potansiyel enerji miktarıdır:
Burada 𝛻 =𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑘 Del (veya Gradyent) operatörü olarak isimlendirilen vektörel
bir operatördür. Skaler bir fonksiyonun yöne bağlı olarak değişimini bulmamızı sağlar.
−𝑑𝑉𝑏
𝑎
= 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
−𝑑𝑉 = 𝐸 ∙ 𝑑𝑙
𝐸𝑟 = −𝛻𝑟𝑉 = −𝑑𝑉
𝑑𝑟
Eğer yük dağılımı küresel simetrik ise yani hacimsel yük dağılımı sadece radyal uzaklık r’ye bağlı olduğu durumda:
𝐸 ∙ 𝑑𝑙 = 𝐸𝑟𝑑𝑟 = −𝑑𝑉
Elektrik Alanın Elektrik Potansiyelden Elde Edilmesi
W𝑎→𝑏
𝑞𝑜= −
∆U
𝑞𝑜= −∆V = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = 𝑑𝑉𝑏
𝑎
ve olduğundan,
𝐸 = 𝐸𝑥𝑖 + 𝐸𝑦𝑗 + 𝐸𝑧𝑘
−𝑑𝑉 = 𝐸𝑥𝑑𝑥 + 𝐸𝑦𝑑𝑦 + 𝐸𝑧𝑑𝑧
𝑑𝑉 =𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑑𝑥 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑑𝑦 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
→ 𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑘
𝑑𝑙 = 𝑖 𝑑𝑥 + 𝑗 𝑑𝑦 + 𝑘 𝑑𝑧
Uzayın belirli bir bölgesi üzerinde elektriksel potansiyel 𝑉 = 5𝑥 − 3𝑥2𝑦 + 2𝑦𝑧2 olarak veriliyor.
a) Bu bölgede elektrik alanın 𝑥, 𝑦 ve 𝑧 bileşenlerine ait fonksiyonları bulunuz.
b) Koordinatları metre cinsinden (1.0,0,−2.0) şeklinde verilen bir P noktasındaki elektrik alanın büyüklüğü nedir?
Örnek 25.6 Elektrik Alanın Potansiyelden Elde Edilmesi
𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥i +
𝜕𝑉
𝜕𝑦j +
𝜕𝑉
𝜕𝑧k
b)
a)
𝐸𝑥 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥= 6𝑥𝑦 − 5
𝐸𝑦 = −𝜕𝑉
𝜕𝑦= 3𝑥2 − 3𝑧2
𝐸𝑧 = −𝜕𝑉
𝜕𝑧= −4𝑦𝑧
𝐸 = 6𝑥𝑦 − 5 i + 3𝑥2 − 3𝑧2 j − 4𝑦𝑧k
𝐸 = 𝐸𝑥2 + 𝐸𝑦
2 + 𝐸𝑧2 = −5.0 2 + −9.0 2 + 02 = 10 N/C
(1,0,−2) noktasında
𝐸 = 6 ⋅ 1.0 ⋅ 0 − 5 i + 3 ⋅ 1.02 −3 ⋅ −2.0 2 j − 4 ⋅ 0 ⋅ −2.0 k → 𝐸 = −5.0 i − 9.0 j
Şekilde gösterildiği gibi elektriksel bir dipol, 2a mesafesi ile ayrılmış eşit büyüklükte ve zıt işaretli iki yükten oluşmaktadır. (a) P, R noktalarındaki elektriksel potansiyel değerlerini bulunuz.
(b) x-ekseni üzerinde ve dipolden çok uzaktaki noktaların elektrik alanını, elektrik potansiyel ifadesini kullanarak bulunuz.
Örnek 25.7 Bir Dipolun Elektriksel Potansiyeli
𝑉𝑃 = 𝑘𝑒 𝑞𝑖
𝑟𝑖𝑖
= 𝑘𝑒
𝑞
𝑎2 + 𝑦2+
−𝑞
𝑎2 + 𝑦2= 0
𝑉𝑅 = 𝑘𝑒 𝑞𝑖
𝑟𝑖𝑖
= 𝑘𝑒
−𝑞
𝑥 − 𝑎+
𝑞
𝑥 + 𝑎= −
2𝑘𝑒𝑞𝑎
𝑥2 − 𝑎2
Soru: y-ekseni üzerinde, P noktasındaki elektrik alan hakkında ne söyleyebiliriz?
Cevap: y-ekseni üzerinde, P noktasındaki potansiyelin sıfır olması o noktada elektrik alanın sıfır olacağı anlamına gelmez. Sadece elektrik alanın y-bileşeni sıfırdır ama x-bileşeni hakkında bir şey söyleyemeyiz çünkü potansiyel ifadesi x’e bağlı bir fonksiyon değildir.
𝑉𝑅 = lim𝑥 ≫ 𝑎
−2𝑘𝑒𝑞𝑎
𝑥2 − 𝑎2≈ −
2𝑘𝑒𝑞𝑎
𝑥2 𝑥 ≫ 𝑎
𝐸𝑥 = −𝑑𝑉
𝑑𝑥= −
𝑑
𝑑𝑥−
2𝑘𝑒𝑞𝑎
𝑥2
= −4𝑘𝑒𝑞𝑎
𝑥3𝑥 ≫ 𝑎
Şekilde gösterildiği gibi elektriksel bir dipol, 2a mesafesi ile ayrılmış eşit büyüklükte ve zıt işaretli iki yükten oluşmaktadır. 𝑎 = 0.200 𝑚 ve 𝑞 = 6.00 × 10−10𝐶 ise, O, A, B, C noktalarındaki elektriksel potansiyel değerlerini bulunuz.
Örnek 25.7 Bir Dipolun Elektriksel Potansiyeli
𝑉𝑂 = 𝑘𝑒 𝑞𝑖
𝑟𝑖𝑖
= 𝑘𝑒 −𝑞
𝑎+
𝑞
𝑎= 0
𝑉𝐴 = 𝑘𝑒 𝑞𝑖
𝑟𝑖𝑖
= 𝑘𝑒 −𝑞
𝑎+
𝑞
3𝑎= −𝑘𝑒
2𝑞
3𝑎 𝑉𝐶 = 𝑘𝑒 −
𝑞
5𝑎+
𝑞
5𝑎= 0
𝑉𝐵 = 𝑘𝑒 −𝑞
3𝑎+
𝑞
𝑎= 𝑘𝑒
2𝑞
3𝑎
Sürekli bir yük dağılımının oluşturduğu potansiyel, ∆𝒒 noktasal yüklerin P noktasında meydana getirdiği potansiyellerin cebirsel toplamı olarak yazılabilir.
𝑉 ≅ 𝑘𝑒 ∆𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑉 = lim𝑁→∞
(∆𝑞𝑖→0)
𝑘𝑒 ∆𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑁
𝑖=1
= 𝑘𝑒 𝑑𝑞
𝑟
𝑉 = 𝑘𝑒 𝑑𝑞
𝑟
Sürekli Yük Dağılımının Potansiyeli
(a) İnce ve uzunluğa düzgün dağılmış pozitif Q yüklü bir çubuk P noktasında elektrik potansiyel oluşturuyor. (b) Noktasal bir yük gibi düşünülebilecek bir element seçiliyor, (c) P noktasındaki potansiyel seçilen elementin P noktasına uzaklığı r’ye bağlıdır. Toplam potansiyel, (d) sol uçtan başlayıp (e) sağ uca kadar olan bölgede seçilen tüm elementlerin P noktasında oluşturduğu potansiyellerin toplamına eşittir.
Örnek 25.8 Sonlu Çizgisel Bir Yükün Potansiyeli Düzgün dağılmış pozitif 𝑸 yüklü bir çubuk x-ekseni eksenine yerleştirilmiştir. 𝑷 noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz.
𝑑𝑞 = 𝜆 𝑑𝑥 = 𝑄 𝐿 𝑑𝑦 𝑟 = 𝑥2 + 𝑑2
𝑑𝑉 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑑𝑞
𝑟=
1
4𝜋𝜖𝑜
𝜆𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2
𝑉 = 𝑑𝑉 = 1
4𝜋𝜖𝑜
𝜆𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2
𝐿
0
=𝜆
4𝜋𝜖𝑜
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑑2
𝐿
0
=𝜆
4𝜋𝜖𝑜ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑑2
0
𝐿 =
𝜆
4𝜋𝜖𝑜ln
𝐿 + 𝐿2 + 𝑑2
𝑑
Y-ekseni boyunca uzanan 𝒚 = −𝒂 ve 𝒚 = +𝒂 aralığına düzgün dağılmış pozitif 𝑸 yüklü bir çubuğun x-ekseninde bulunan ve çubuğun merkezinden x uzaklığındaki 𝑷 noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz.
∆𝑉 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙 𝐸 =𝑥
∞
1
4𝜋𝜖𝑜
𝑄
𝑥 𝑎2 + 𝑥2 𝑖
II. YOL:
𝑉𝑃 =𝑄
4𝜋𝜖𝑜
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 𝑦2=
𝑄
4𝜋𝜖𝑜𝑎ln
𝑎2 + 𝑥2 + 𝑎
𝑥
∞
𝑥
Elektrik Alanın Potansiyelden Elde Edilmesi: 𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑘
𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝑑𝑉
𝑑𝑥𝑖 = −
𝑄
4𝜋𝜖𝑜𝑎
𝑑
𝑑𝑥ln
𝑎2 + 𝑥2 + 𝑎
𝑥 ⇒ 𝐸 =
1
4𝜋𝜖𝑜
𝑄
𝑥 𝑎2 + 𝑥2 𝑖
Örnek 25.9 Sonlu Çizgisel Bir Yükün Potansiyeli
𝑉𝑃 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑄
2𝑎ln
𝑎2 + 𝑦2 + 𝑎
𝑎2 + 𝑦2 − 𝑎=
𝑄
4𝜋𝜖𝑜𝑎ln
𝑎2 + 𝑦2 + 𝑎
𝑥
𝑑𝑉 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑄
2𝑎
𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2 → 𝑉𝑃 =
1
4𝜋𝜖𝑜
𝑄
2𝑎
𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝑎
−𝑎
𝑑𝑄 = 𝜆 𝑑𝑦 = 𝑄 2𝑎 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑎2= ln 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2
𝑑𝑥
𝑥 𝑥2 + 𝑎2=
1
𝑎ln
𝑥
𝑎 + 𝑎2 + 𝑥2
𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑘
𝐸𝑥 = −𝑑𝑉
𝑑𝑥= −𝑘𝑒𝑄
𝑑
𝑑𝑥𝑎2 + 𝑥2 −1 2
𝐸𝑥 =𝑘𝑒𝑥𝑄
𝑎2 + 𝑥2 3 2
𝐸𝑥 = −𝑘𝑒𝑄 𝑎2 + 𝑥2 −3 2 2𝑥
Örnek 25.10 Düzgün Olarak Yüklenmiş Bir Halkanın Potansiyeli
Toplam yükü Q ve yarıçapı a olan düzgün yüklenmiş bir halkanın merkezinden geçen eksen üzerinde bir P noktasındaki elektrik potansiyeli bulunuz.
𝑉 = 𝑘𝑒 𝑑𝑞
𝑟= 𝑘𝑒
𝑑𝑞
𝑎2 + 𝑥2
𝑉 =𝑘𝑒
𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑞 =
𝑘𝑒𝑄
𝑎2 + 𝑥2
b) Elektrik alanın büyüklüğünü bulunuz
a) Elektrik potansiyeli
Örnek 25.10 Düzgün Olarak Yüklenmiş Bir Diskin Potansiyeliiyeli
Yüzeyinde yük yoğunluğu 𝝈, yarıçapı a olan düzgün yüklenmiş bir diskin merkezinden geçen eksen boyunca
b) Elektrik alanın büyüklüğünü bulunuz
a) Elektrik potansiyeli
𝐸 = −𝛻𝑉 = −𝜕𝑉
𝜕𝑥𝑖 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦𝑗 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧𝑘 𝐸𝑥 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑥= 2𝜋𝑘𝑒𝜎 1 −
𝑥
𝑅2 + 𝑥2 1 2
𝑑𝑉 = 𝑘𝑒
𝑑𝑞
𝑟2 + 𝑥2= 𝑘𝑒
2𝜋𝜎𝑟𝑑𝑟
𝑟2 + 𝑥2
𝑉 = 𝑘𝑒𝜋𝜎 2𝑟𝑑𝑟
𝑟2 + 𝑥2
𝑅
0
𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝐴 = 𝜎 2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑉 = 2𝜋𝑘𝑒𝜎 𝑅2 + 𝑥2 1 2 − 𝑥
Uzunluğuna düzgün dağılmış, λ yük yoğunluğuna sahip çok uzun çizgisel bir yükün r uzaklığındaki potansiyelini bulunuz.
b noktasını sonsuzda olarak seçersek 𝑽𝒃 = 𝟎 ve 𝑽𝒂 = ∞ olur, çünkü 𝑽𝒂 = 𝝀 𝟐𝝅𝝐𝒐 𝒍𝒏 ∞ 𝒓𝒂 = ∞ . Bu problemi çözmek için kullanışlı bir yöntem değildir. Buradaki zorluk yük dağılımının kendisinin sonsuza kadar uzatılmasından 𝑸 = 𝝀 ⋅ ∞ = ∞ kaynaklanmaktadır.
Bunun yerine sonlu bir uzaklık 𝒓𝒐 için 𝑽𝒃 = 𝟎 alınabilir, bu durumda 𝑽𝒂 = 𝑽 potansiyeli
𝑽 − 𝟎 = 𝝀 𝟐𝝅𝝐𝒐 𝒍𝒏 𝒓𝒐 𝒓 olur, veya 𝑽 =𝝀
𝟐𝝅𝝐𝒐𝒍𝒏
𝒓𝒐
𝒓 olarak yazılabilir.
Eğer 𝒓𝒐 noktasını silindirin yarıçapı R olarak seçersek, öyle ki 𝒓𝒐 = 𝑹’de 𝑽 = 𝟎 olarak tanımlanır, bu durumda 𝑽𝒂 = 𝑽 potansiyeli tüm 𝒓 > 𝑹 için
Silindirin içinde 𝑬 = 𝟎 ve içerideki potansiyel yüzey ile aynı değerdedir (𝑽 = 𝟎 ).
Örnek 25.11 Düzgün Yüklü İletken Bir Silindirin Potansiyeli
𝐸𝑟 =𝜆
2𝜋𝜖𝑜𝑟𝑟
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝜆
2𝜋𝜖𝑜𝑟𝑟 ⋅ 𝑑𝑙
𝑏
𝑎
= 𝜆
2𝜋𝜖𝑜𝑟𝑟 ⋅ 𝑑𝑙
𝒅𝒓
𝑏
𝑎
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 =𝜆
2𝜋𝜖𝑜
𝑑𝑟
𝑟
𝑏
𝑎
=𝜆
2𝜋𝜖𝑜ln
𝑟𝑏𝑟𝑎
𝑉 =𝜆
2𝜋𝜖𝑜ln
𝑅
𝑟
∆𝑉 = 𝑉𝑏 − 𝑉𝑎 = − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 𝑏
𝑎
Örnek 25.12 Düzgün Yüklü İletken Bir Kürenin Elektrik Potansiyeli
Yükü q ve yarıçaplı R olan iletken bir kürenin içinde ve dışındaki potansiyeli bulunuz ve r‘nin fonksiyonu olarak çiziniz.
𝒓 > 𝑹 için V𝑟 =𝑞
4𝜋𝜖𝑜
1
𝑟
𝒓 = 𝑹 için V𝑅 = V𝑟=𝑅 =𝑞
4𝜋𝜖𝑜
1
𝑅
𝒓 < 𝑹 için
V𝑟 − V𝑅 = − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟
𝑅
= 0 ⟹ V𝑟 = V𝑅 =1
4𝜋𝜖𝑜
𝑞
𝑅
⟹ 𝐸 = 0
V𝑟 =𝑞
4𝜋𝜖𝑜
1
𝑅
𝒓 < 𝑹 için
V𝑟 − 0 = −𝑞
4𝜋𝜖𝑜
1
𝑟
∞
𝑟
=𝑞
4𝜋𝜖𝑜
1
𝑟
⟹ 𝐸 =𝑞
4𝜋𝜖𝑜
1
𝑟2𝑟 𝒓 > 𝑹 için
∆V = V𝑟 − V∞ = − 𝐸𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟
∞
= −𝑞
4𝜋𝜖𝑜
𝑑𝑟
𝑟2
𝑟
∞
Düzgün dağılmış pozitif bir yük yoğunluğuna sahip, toplam yükü 𝑄 olan 𝑅 yarıçaplı yalıtkan bir küre veriliyor. Şekildeki B, C, D ve 𝑟 = 0 noktalarındaki potansiyeli bulunuz?
(𝑟 = ∞ da potansiyeli sıfır olarak alınız.)
Örnek 25.13 Düzgün Yüklü Bir Yalıtkan Kürenin Elektrik Potansiyeli
∆V = V𝐵 − V𝐴 = − 𝐸𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝐵
𝐴
V𝐵 − V∞ = − 𝐸 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟𝐵
∞
= −𝑘𝑒𝑄 𝑑𝑟
𝑟2
𝑟
∞
𝐸𝑟 = 𝑘𝑒
𝑄
𝑟2 𝑟 > 𝑅 𝑖ç𝑖𝑛
V𝐵 − 0 = 𝑘𝑒𝑄1
𝑟𝐵−
1
∞ → V𝐵 = 𝑘𝑒
𝑄
𝑟 𝑟 > 𝑅
∆V = V𝐷 − V𝐶 = − 𝐸𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 𝑟
𝑅
𝐸𝑟 = 𝑘𝑒
𝑄
𝑅3 𝑟 𝑟 < 𝑅 𝑖ç𝑖𝑛
𝑉𝐶 = lim𝑟→𝑅
𝑘𝑒
𝑄
𝑟= 𝑘𝑒
𝑄
𝑅 → V𝐷 − 𝑘𝑒
𝑄
𝑅=
𝑘𝑒𝑄
2𝑅3 𝑅2 − 𝑟2
V𝐷 =𝑘𝑒𝑄
2𝑅3 −
𝑟2
𝑅2 𝑉0 = lim𝑟→0
𝑘𝑒𝑄
2𝑅3 −
𝑟2
𝑅2 =3𝑘𝑒𝑄
2𝑅
= −𝑘𝑒
𝑄
𝑅3 𝑟𝑑𝑟𝑟
𝑅
=𝑘𝑒𝑄
2𝑅3 𝑅2 − 𝑟2
Yüklü A ve B küreleri birbirlerini etkilemeyecek kadar uzakta bulunmaktadır. İletken bir telle şekilde görüldüğü gibi bağlanırsa yük dağılımı ve iletken yüzeylerindeki potansiyel ve kürelerin hemen dışındaki elektrik alan değerlerini veren ifadeleri bulunuz?
Örnek 25.14 Temas Halinde İki İletken Kürenin Potansiyeli
𝑉𝑎 = 𝑘𝑒
𝑞𝑎
𝑟𝑎 𝑉𝑏 = 𝑘𝑒
𝑞𝑏
𝑟𝑏 ve
𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 → 𝑘𝑒
𝑞𝑎
𝑟𝑎= 𝑘𝑒
𝑞𝑏
𝑟𝑏 → 𝑞𝑎 =
𝑟𝑎𝑟𝑏
𝑞𝑏
𝑄 = 𝑞𝑎 + 𝑞𝑏
İki iletken cismin yüzey potansiyelleri eşit olana kadar yük hareketi devam eder.
Yük korunumundan;
𝑄 =𝑟𝑎𝑟𝑏
+ 1 𝑞𝑏
𝑞𝑎 =𝑄
𝑟𝑎 + 𝑟𝑏𝑟𝑎
𝑞𝑏 =𝑄
𝑟𝑎 + 𝑟𝑏𝑟𝑏
𝐸𝑎 = 𝑘𝑒
𝑞𝑎
𝑟𝑎2 ve 𝐸𝑏 = 𝑘𝑒
𝑞𝑏
𝑟𝑏2
𝐸𝑎
𝐸𝑏=
𝑘𝑒𝑞𝑎
𝑟𝑎2
𝑘𝑒𝑞𝑏
𝑟𝑏2
=𝑞𝑎
𝑞𝑏
𝑟𝑏2
𝑟𝑎2=
𝑟𝑎𝑟𝑏
𝑟𝑏2
𝑟𝑎2
𝐸𝑎
𝐸𝑏=
𝑟𝑏𝑟𝑎
𝐸𝑎𝑟𝑎 = 𝐸𝑏𝑟𝑏 veya
𝑟𝑏 > 𝑟𝑎 ⇒ 𝐸𝑏 < 𝐸𝑎
𝜎𝑏 < 𝜎𝑎
𝐸 =𝜎
𝜖𝑜
İletken cisimler üzerindeki yük dağılımı, eğrilik yarıçapı küçük yüzeylerde yük yoğunluğu ve yüzeyin hemen dışındaki elektrik alan büyük olur. Bu nedenle ilk iyonlaşma bu bölgelerde başlar.
Yüklü iletken üzerinde şekildeki gibi sınama bir yükü A noktasından B noktasına götürdüğümüzü düşünelim. A ve B noktaları arasındaki potansiyel fark ∆𝑉 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵’yi hesaplayalım.
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = − 𝐸 ∙ 𝑑𝑙
𝐸∙𝑑𝑙 ∙cos 𝜃
𝐵
𝐴
= 0
Elektrik alan iletken yüzeylere her zaman dik olacağından 𝜃 = 90° olur.
𝑉𝐴 = 𝑉𝐵
Yüklü Bir İletkenin Potansiyeli
Eş potansiyel yüzeyler potansiyelin eşit olduğu yüzeylerdir.
Şekilde, iletken cismin yük dağılımına göre elektrik alanla eş potansiyel yüzeylerin değişimi verilmiştir. Eş potansiyel yüzey üzerindeki harekette, sınama yükün yolu her zaman elektrik
alana dik olacağından, noktalar arasındaki potansiyel farkı sıfır olacaktır.
∆V= 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 0
q yükünü A noktasından B noktasına eş potansiyel yüzey üzerinden götürürsek noktalar arasındaki potansiyel fark sıfır olduğundan yapılan iş sıfırdır.
Eş Potansiyel Yüzeyler
Eş Potansiyel Yüzeyler