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ECUACIONES DIFERENCIALES
Las Ec. Diferenciales proporcionan un medio eficaz tanto para resolver numerosos problemas de ingeniería y ciencias en general como problemas puramente matemáticos, por ejemplo Newton formulo la ley de gravitación resolviendo después el sistema correspondiente de ecuaciones diferenciales para demostrar que la tierra se mueve alrededor del sol describiendo aproximadamente una elipse donde uno de sus focos es el sol. Juegan un papel importante en el desarrollo de las teorías de radio radal, televisión y electricidad en general.
ORDEN Y GRADO
Una ecuación diferencial es aquella en donde encontramos diferenciales o derivadas, si en la ec. Diferencial hay diferenciales totales, derivadas totales o ambas, pero no hay derivadas parciales estas se denominan “Ec. Diferenciales ordinarias”. Si contienen derivadas parciales estas se denominan “Ec. Entre derivadas parciales”.
Ejemplo
Ec. Difer. Ordinaria
Ec. Entre derivadas parciales
DEFINICION 1:
El orden de una Ec. Diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que interviene en ella, por ejemplo
en el orden de la Ec. Dif. Es “2” .
DEFINICION 2:
El grado de una ec. Dif. Ordinaria algebraica respecto a sus derivadas es el grado algebraico de sus derivadas de mayor orden, por ejemplo:
si elevamos a 6
El grado de la Ec. Dif. Es “4” y su orden “2”
32 += xdxdy
22 22
22 +=++ xy
dxdyx
dxydx
02
2
2
2
2
2
=¶¶
+¶¶
+¶¶
zu
yu
xu
22 22
22 +=++ xy
dxdyx
dxydx
2
3
2
2
2
1 ÷øö
çèæ+=÷÷
ø
öççè
ædxdy
dxyd
324
2
2
1 ÷÷ø
öççè
æ÷øö
çèæ+=÷÷
ø
öççè
ædxdy
dxyd
SOLUCION DE UNA EC. DIFERENCIAL
Una solución de una Ec. Dif. Ordinaria de 2 variables es una relación sin derivadas entre las variables que satisface a la ecuación.
entonces si esta es una solución a la Ec. Dif. Planteada.
reemplazando en la ecuación
Comprobar que la solución de la ecuación es
Observaciones:
1. Cualquier Ec. Dif. De 1er. orden y 1er. grado se puede escribir como expresión que hace
corresponder a cada punto una línea dependiente evaluada en .
Teorema: Una Ec. Dif. tiene en una región S una solución única satisfecho por
siempre y cuando este sea un punto interior de S y que y sean reales y continuas en S.
2. La solución general de una Ec. De 1er orden contiene una constante arbitraria, la de una Ec. De 2do. Orden contiene 2 , y la de una Ec. De orden “n” contiene n constantes arbitrarias.
ydxdyx 2= 2cxy =
cxdxdy
cxy
2
2
=
=
22
2
2222
2
cxcxcxcxx
ydxdyx
=
×=×
=
0)( =+- ydxdyxy c
yxy =+ln
0
01
ln
2
2
=-+
=×-
+×
=+
ydxdyxy
dxdyy
ydxdyxy
dxdy
y
cyxy
),( yxfdxdy
=
( )00, yxdxdy ( )00, yx
),( yxfdxdy
= )(xy d= ( )00, yx
),( yxfyyxf
¶¶ ),(
( )
( ) 0
0
=+-\
=+-
ydxdyxy
yxydxdy
SOLUCION GENERAL Y PARTICULAR
Se llama solución general a la solución de una Ec. Dif. Que contiene a todos o a casi todos las soluciones. En la mayoría de los ejercicios se encuentra un N° de constantes arbitrarias igual al N° que expresa el orden de la Ec. Dif.
Una solución particular de una Ec. Dif. Es una solución menos amplia que la general por que esta puede obtenerse o no sustituyendo en la solución general las constantes arbitrarias por determinados valores, si no se sustituyen los valores de las constantes arbitrarias la solución es llamada solución singular.
Ejemplo:
La solución de esta Ecuación es y sus soluciones singulares son y = 1; y = -1 ya que estas
satisfacen la Ec. Dif. Pero no son casos especiales de la ecuación .
Se presentan los siguientes 2 problemas:
1.- Dada la solución general o primitiva, encontrar la Ec. Dif.
2.- Dada una Ec. Dif. Hallar una solución para ella.
Ejemplo:
1. Hallar la Ec. Dif. Cuya solución general es
además sabemos que:
Por lo tanto reemplazando nos queda la igualdad: /
Ec. Dif. Cuya solución es
2. Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es
112
2 =úúû
ù
êêë
é÷øö
çèæ+dxdyy
1)( 22 =+- ycx1)( 22 =+- ycx
xcy cos×=
senx-c y´cos ×=×=
entoncesxcySi
xyc
xcysi
cos
cos
=
×=
senxxyy ×-=
cos´ xcos×
senxyxy ×-=´cos
xcy cos×=
xecy ×=
0´cos =+ ysenxxy
Ec. Diferencial
3. Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:
Si
Si
/
Ec. Diferencial
4.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:
xecy ×=´
xeyc = Þ
yy
eeyy xx
=
×=
´
´
0´ =-yy
22
1 cxcy +=
22
1 cxcy += Þ 212 xcyc -=
22
1 cxcy += Þ xcy 12´= Þxyc2´
1 =
12´´ cy = Þxyy2´2´´= x×
Þ ´´´ yyx =×
Þ 0´´´ =-yxy
xececy xx ++= -2
21
Si 1)
Entonces tenemos que: 2)
Entonces tenemos que: 3)
Sumando las expresiones 1) y 2)
Sumando las expresiones 2) y 3)
Reemplazando c1 en la expresión
Tenemos que:
Ec. Dif. Buscada
5.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:
Si
Entonces
Reemplazando c
Ec. Dif.
6.- Encontrar la Ec. Dif. Si la solución es:
xececy xx ++= -2
21
12´ 22
1 +-= -xx ececy
xx ececy -+= 22
14´´
13´´ 21 ++=+ xecyy x Þ xe
xyyc 21 31´ --+
=
16´´´ 21 +=+ xecyy
16´´´ 21 +=+ xecyy
13´6´´´ 22 +÷
øö
çèæ --+
=+ xx e
exxyyyy
( )122´22´´´11´2´´´+--+=++--+=+
xyyyyxyyyy
0122´´´ =++-- xyyy
cxcxy += 2
cxcxy += 2 Þxx
yc+
= 2
)12(´2´
+=+=xcyccxy
)12(´ 2 ++
= xxx
yy
)12(´ 2 ++
= xxx
yy
)12()´( 2 +=+ xyxxy
02)´( 2 =--+ yxyxxy
xcxsencsenxy 2cos2 21 ++=
Respuesta: ECUACIONES DIFERENCIALES DE 1ER. ORDEN Y 1ER. GRADO
SUSTITUCIÓN SIMPLE: Muchos problemas de resolución de Ec. Dif. Pueden ser resueltos mediante separación de variables utilizando sustituciones convenientes, en general para resolver una Ec. Dif. Por simple sustitución conviene realizar lo siguiente: 1.- Escribir las ecuaciones de sustitución. 2.- Calcular las diferenciales de ellas. 3.- Elimínese 2 de las incognitos entre la ecuación diferencial dad y los resultados de 1) y 2). 4.- Resuelva la ecuación obtenida en 3). 5.- Sustituir las nuevas variables en función de las primitivas en el resultado de 4). Ejemplo:
Sea
La nueva Ec. Es:
Solución de la Ec. Dif.
senxyy 34´´ =+
0)4()3( =+++-+ dyyxdxyx
dydxdzyxz+=
+=
0))(4()3( =-++- dxdzzdxz
0443 =-+-+- dxdzzdxzdzdxzdx
ò=++- /0)4(7 zdzdx
0)4(7 =++- òò dzzdx
2/)(2)4(72
cfzx =+
+-
czx =++- 2)4(14
cxyx =-++ 14)4( 2
cyxxyyx =++-++ 1686222
SEPARACIÓN DE VARIABLES:
En la Ec. Dif. cada parte tiene una interpretación numérica definida, por conveniencia
esta interpretación se escribe frecuentemente en la forma diferencial Si al hacer una separación de variables obtenemos:
La solución de esta Ecuac. Se obtiene integrando:
Ejercicios: Encontrar la solución de las Ecuac. Dif.: 1.- Sol. 2.- Sol.
3.- Sol.
4.- Sol.
5.- Sol. 6.- Sol. 7.- Sol. Sugerencia:
8.- Sol. Sugerencia:
9.- Sea la Ec. Dif. Encontrar el valor de c; si x = y = 1
Sol. Ec. Dif. Valor de
0),(),( =+dxdyyxNyxM
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
0)()( 21 =+ dyyfdxxf
)()()( 21 cfdyyfdxxf =+ òò
0=+ ydyxdx cyx =+ 22
0=+ ydxxdy cxy =
011
2
2
=++
+ dxxyxydy 2
2
1)1(
xyxc
++
=
0)21()1(2 22 =+-+ dyxydxyx cyx=
++
2
2
121
0sec)1(3 2 =×++×× dyyedxtgye xx ctgyex =+ 3)1(
02 =-× - dyedxee yyx cee yx =+ -33
0)32(2 =++ dyyxdx cyxey =-+ )332( zyx =+ 32
0)(22 3223 =+-+ ydxxdydyyxdxyx cxyxyyx =++= 13322 yxu
xyz+=
=
dyxydxdyyxydxx 22232 +=+
cyyx
x =-++ ln2
1 22
25
=c
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS Una expresión homogénea de grado n-esimo en x e y es una expresión tal que si se sustituye en ella x e y por tx y ty resulta la expresión original multiplicada por “tn”, o sea: Ejemplo: Demostrar que la función: es homogénea en x e y. OBSERVACIÓN: 1.- Cualquier polinomio cuyos términos sean del mismo grado en x e y es homogénea.
2.- Cualquier función de es homogénea de grado cero.
Una Ec. Dif. es homogénea en x e y ssi M y N son funciones homogéneas del mismo grado en x e y. Para resolver la Ec. Dif. De este tipo basta realizar las siguientes sustituciones:
1.- Cuando N es más sencillo
2.- Cuando M es más sencillo
Ejercicios: Encontrar la solución de las Ecuac. Dif.: 1.- Sol. 2.- Sol.
3.- Sol.
4.- Sol.
),(),( yxfttytxf n ×=
22),( yxyxf +=
xy
0=+ NdyMdx
xdvvdxdyvxy
+==
ydvvdydxvyx
+==
02)( 22 =-+ xydydxyx cxyx =- 22
0)32()32( =+-- dyxydxyx cyxyx =-- 22 3
0)( =-+ dyxyxsendx
xyysenx cex x
y
=×cos
xyxy
dxdy
2
22 -= cxyx =+ 22
5.- Sol.
6.- Sol.
0)( 222 =-+ dxydyyx cy
yxarctgy =÷÷ø
öççè
æ --
32
332ln
yyxx
dxdy 22 ++-
= cxyx =-+ 22