ecuaciones diferenciales e segundo orden …...1 capitulo 5. ecuaciones diferenciales de orden n 2...
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CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2
5.1. Introducción
Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función
con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo ( )
La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos: ( )
5.2. Reducción de orden
Este método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden a
un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar
5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,
se deduce . Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de
primer orden
0p,p,xf '
Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene
21 C,C,xΦydxxpy
5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,
se tiene
dy
dpp
dx
dy
dy
dp
dx
ydy
La ecuación dada se transforma en
0yd
dpp,p,yf
Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene
2
21 C,C,xΦy
5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
La ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar
xRyxQyxPy
En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidas
Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones
continuas en un intervalo I y sea Ix 0 . Sean
00 y,y dos números reales cualesquiera. El problema del
valor inicial
0000 yxy,yxy,xRyxQyxPy
tiene solución única definida en I
5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden
La ecuación lineal general de segundo orden
xRyxQyxPy
es homogénea , si R(x) = 0 ,
x I
0yxQyxPy
Teorema 2. Sean 21 y,y soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I. Entonces se
verifica
1. 21 yy es una solución en I
2. Para cualquier constante c, 1yc es una solución en I
3
Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si 21 y,y son dos soluciones de la
ecuación anterior 2211 ycyc es una solución para dos constantes cualesquiera
Definición 1. Las soluciones 21 y,y son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos
números reales no todos nulos tales que
c1 y1+c2 y2 =0
Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes.
Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientes
Teorema 3. Estudio del wronskiano para la independencia lineal
Sea la ecuación homogénea de segundo orden ( ) ( ) , y sean y1, y2 soluciones de la
ecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dado
por el determinante
xyxy
xyxyy,yW
21
21
21
es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientes
Teorema 4. Sean y1, y2 soluciones independientes de: ( ) ( ) en un intervalo I. Se
demuestra que toda solución de la ecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo 21 c,c
constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2
son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuación
diferencial
5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación lineal
homogénea de segundo orden
( ) ( )
Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segunda
solución linealmente independiente de la forma
y2(x)= u(x) y1(x)
4
Calculemos
22 y,y y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces
0uyQyPyuyPy2'u'y 111111 '
Como 0yQyPy 111 . La nueva ecuación diferencial será
0uyPy2yu 111
Haciendo , la ecuación diferencial dada se transforma en
0pPy
y2p
1
1
Ecuación lineal de donde obtenemos p. A continuación se calcula u en función de p, con lo cual
y2(x)= u(x) y1(x) es una solución de la ecuación diferencial original, siendo y1 , y2 linealmente
independientes ya que u(x) no es constante. Por tanto y1, y2 forman un conjunto fundamental de
soluciones de la ecuación original. La solución general es de la forma y = c1 y1+ c2 y2
5.5. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes
Esta ecuación es de la forma
( )
Supongamos q (x) = 0. Esta ecuación tiene siempre soluciones del tipo exponencial de la forma y= e r x
. La
sustitución de esta solución en la ecuación diferencial nos da
0ebrar xr2
Como e r x 0, x, se tiene que . Esta ecuación se llama ecuación característica de la
ecuación diferencial. Las raíces dan valores de r para los cuales e r x
es una solución de la ecuación.
Estas raíces son
2
b4aar
2
Las raíces pueden ser: Dos raíces reales distintas. Una raíz real doble. Raíces complejas conjugadas
5
1. La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas. Sean r1 y r2 estas raíces, por tanto
xr
2
xr
121 ey,ey son soluciones de la ecuación diferencial. Estas soluciones son linealmente
independientes en cualquier intervalo por ser el wronskiano 0 , luego y1 ,y2 forman un conjunto
fundamental de soluciones, por tanto la solución general de la ecuación homogénea es
xr
2
xr
121 ececy
2. La ecuación característica tiene dos raíces reales iguales. En este caso: a2-4 b=0. Una solución de esta
ecuación diferencial es: x
2
a
ey
Para obtener una segunda solución buscamos soluciones de la forma :
( ) ( )
. La solución general de la ecuación diferencial será
x
2
a
21 exccxy
3. La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. En este caso: a2 - 4 b< 0 . Sean
2
ab4n,
2
am
2 .
Las raíces son: r1= m +i n, r2= m – i n . La solución general de esta ecuación diferencial será:
y= e m x
(C1 cos n x+ C2 sen n x)
5. 6. Ecuación diferencial de Euler
Esta ecuación es de la forma
, x >0
Para resolver esta ecuación se hace el cambio t = L x , con lo cual la ecuación diferencial dada se
transforma en la ecuación de coeficientes constantes
( )
6
5.7. Ecuaciones de segundo orden no homogéneas
Sea la ecuación diferencial lineal
( ) ( ) ( ) (1)
Teorema 5. Sean y1, y2 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y sea py una
solución cualesquiera de la ecuación (1). Entonces toda solución de la ecuación (1) es de la forma
p2211 yycycy
Por tanto el teorema nos dice que conocemos todas las soluciones de la ecuación dada, si podemos
hallar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea junto con una solución
particular cualesquiera de la ecuación no homogénea
La ecuación ( ) ( ) , es la ecuación homogénea asociada de la ecuación (1)
La solución c1 y1+c2 y2 la denotamos por y h. La solución es la solución general de la
ecuación diferencial
5.8. Principio de superposición
Sea la ecuación diferencial
( ) ( ) ( )
Siendo R(x) la suma de un numero finito de funciones
R(x)= f1(x)+f2(x) +…….+f n(x)
y supongamos que podemos hallar una solución particular y j de cada uno de los problemas
( ) ( ) ( )
Se demuestra que la suma de estas soluciones particulares es una solución particular de
( ) ( ) ( )
7
Es decir es una solución de la ecuación diferencial: ( ) ( )
( )
5.9. Método de variación de los parámetros
Sea la ecuación diferencial
( ) ( ) ( ) (2)
P(x), Q(x) , R(x) son funciones continuas en un intervalo I . Supongamos que podemos hallar dos
soluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuación homogénea, el método de variación de los
parámetros intenta obtener una solución particular de la ecuación dada en la forma
y p= u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)
Se necesitan dos ecuaciones para calcular u(x) y v(x). Para ello vamos a operar en la ecuación (2) de la
siguiente forma
2121p yvyuyvyuy
Por otra parte de u y v exigimos que deben satisfacer la ecuación
0yvyu 21 (3)
Ahora bien 2121p yvyuyvyuy '' . Por tanto la ecuación
xRyxQyxPy ppp
se transforma en
R(x)yvyuQyvyuPyvyuyvyu 21212121
Esta ecuación se puede escribir como
xRyvyuyQyPyvyQyPyu 21222111
8
Como y1, y2 son soluciones de la ecuación homogénea, los términos entre paréntesis son cero, con lo cual se
tiene
xRyvyu 21 (4)
De las ecuaciones (3 y 4) se tiene
Rvyuy
0vyuy
21
21
El determinante de los coeficientes es distinto de cero por ser el wronskiano [y1,y2] 0 , al ser y1,y2
linealmente independientes . Por tanto
W
Ry
W
Ry
0y
v'W
Ry
W
yR
y0
u' 11
1
22
2
Posteriormente se calculan u y v. Finalmente se obtiene y p=u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)
5.10. Ecuaciones diferenciales de orden n
Definiciones. Se define el problema del valor inicial de la ecuación diferencial lineal de orden n de la
forma
( ) (x) ( )
1n00
1n0000 yx.y..........,yxy,yxy '
Siendo a1(x)….a n(x) funciones continuas en un intervalo abierto I. Este problema tiene solución única en I
5.11. Ecuación lineal homogénea de orden n
Sea la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n
( ) (x) ( )
9
Sean y1…….y n soluciones de la ecuación homogénea. Entonces se verifica
1. y1 + y2 +………y n es una solución de la homogénea
2. c y i es una solución para cualquier numero c
Prueba del Wronskiano. Sean n1 .........y,y soluciones de la ecuación diferencial
( ) (x)
en un intervalo abierto I . Entonces se verifica
1. W(x)= 0 xI o bien W(x)0 xI
2 .y1 , y2 ,………y n son linealmente independientes en I si y solo si W(x0)0 para algún x0 en I
Teorema 6. Sean y1, y2,………y n soluciones linealmente independientes de
( ) (x)
en un intervalo abierto I .Entonces c1y1 +……+c n y n es la solución general de la ecuación diferencial
homogénea.
5.12. Ecuación lineal no homogénea de orden n
Sea la ecuación lineal no homogénea
( ) (x) ( )
y sea y p cualquier solución de
( ) (x) ( )
Sean y1,………y n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Cualquier solución
de la ecuación no homogénea se puede escribir en la forma
y =c1y1+c2y2+……..+c n y n + y p
10
Por tanto se tiene y =y h + y p
5.13. Ecuación homogénea con coeficientes constantes
Sea la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes
Supongamos que y=e r x
es una solución de la ecuación diferencial, al sustituir en dicha ecuación se tiene
e r x
( r n+a1 r
n-1+……+a n-1 r +a n )=0
La ecuación característica adopta la forma . Esta ecuación tiene n -
raíces, para cada raíz r de esta ecuación, e r x
es una solución de esta ecuación.
5.14. Método de los coeficientes indeterminados
Sea la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes:
( ) (5)
La solución general de esta ecuación diferencial es y h + y p . Por tanto necesitamos obtener una
solución particular y p de la ecuación (5). Para aplicar el método de los coeficientes indeterminados la
función f(x) ha de ser una suma algebraica de funciones tipo
f i(x)= e a x
[P n cos b x+ Q m (x) sen b x]
Donde a , b R y P n (x) , Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente . Por tanto, para cada
una de las funciones f i (x) se busca una solución particular tal y como se indica en la tabla siguiente en
función de la forma de f i (x)
Forma de f i (x) Raíces del polinomio Forma de la solución
Característico. Particular siendo: k= Max [m, n]
P n (x) El 0 no es una raíz del
Polinomio característico. xPn
11
P n (x) El 0 es una raíz del polinomio (x)Px n
s
Característico de multiplicidad s
P n (x) e a x
(a real) El número a no es una raíz del (x)Pe n
xa
Polinomio característico.
P n (x) e a x
(a real) El número a es raíz del polinomio xPex n
xas
Característico de multiplicidad s
xbsenxQ
xbcosxP
m
n Los números bi no son
xbsenxQ
xbcosxP
m
n
Raíces del polinomio característico
xbsenxQ
xbcosxPe
m
nxa i b son raíces del polinomio
xbsenxQ
xbcosxPe
m
nxa
Característico de multiplicidad s
xbsenxQ
xbcosxPe
m
nxa bia Son raíces del polinomio
xbsenQ
xbcosPex
m
nxas
Característico de multiplicidad s
Donde
k
k10n
k
k10n
xB.........xBBQ
xA.........xAAP
Son polinomios de coeficientes a determinar cuyo grado k, es el máximo entre los valores m y n.
Observación: Este método no es aplicable a una ecuación del tipo: y’’-y = Tang x
Ejercicios resueltos
1. Integrar la ecuación diferencial: Lyy'y' ' 3
Ecuación diferencial en la que falta la x: Cambio: y'dy
dp
dx
dy
dy
dp'y'p'y'
12
La ecuación diferencial se transforma en
dyLyp
dpLyp
dy
dp2
2
11 CyLyy
dx
dy
1CyLyy
p
1
dyCyLyydx 1
Lyy2
1y4
3CyCx 2221
2. Integrar la ecuación diferencial xseney2y'3'y' x
a) Ensayando una solución particular
b) Hallando la integral general de la incompleta y aplicando el método de variación de los parámetros
Solución de la homogénea
1r,2r02r3r2
x2
x21H eCeCy
Para hallar integral general, ensayamos una solución particular de la completa
xsenbxcosaey xp
Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene
xsen2
1xcos
2
1ey x
p
Solución general de la ecuación diferencial
xsenxcos2
eeCeCy
xx
2x2
1
b) Método de variación de los parámetros
13
2x
2x
1 eCeCy
xseneeC2Ce
0CeCexx'
2'1
x
'2
x'1
x
xseneC,xsen
e2e
ee
e2xsene
e0
C x'2
xx
xx
xx
x
'1
2x
2
11
K2
xsenxcoseC
KxcosC
x2
2xx
1 eK2
xsenxcoseeKxcosy
x2
2xx
1 eK2
xsenxcoseeKxcosy
x)senx(cose2
1eKeKy xx2
2x
1
3. Integrar la ecuación diferencial 222 xsenx4yx4
x
y''y'
Conociendo dos soluciones de la incompleta 2
22
1 xcosy,xseny
Integral de la incompleta o homogénea
22
21 xcosCxsenCy
Apliquemos el método de variación de los parámetros
22'2
22'1
222'2
'1
2
2'2
2'1
xsenx2C
xcosxsenx2C
xsenx4xsenCx2Cxcosx2
0xcosCxsenC
14
2
222
2
1
22
1
K2
xcosxsen
2
xC
K2
xsenC
Integral general
2
xcosxsenxcosKxcos
2
xxsenK
2
xseny
2222
22
22
1
23
4. Integrar la ecuación diferencial xcosxy''y'
a) A través del método general
b) Conociendo una solución particular de la incompleta x
1 ey
a) Solución de la homogénea
x21H eCCy
Solución particular de la completa, ensayo una solución del tipo
xcosdxcxsenbxayp
Solución general de la ecuación diferencial
xcos1x2
1xsen
2
1x2
1eCCy x
21
b) y(x)= u (x) e –x
Sustituyendo en la ecuación diferencial y, y’, y’’ se obtiene
xcosxeu''u' x
Haciendo u’=p , se obtiene la ecuación diferencial lineal
xcosxepp' x
Cuya solución es
1x Kxcosxsenxep
De donde se obtiene
15
x1
xx eKxcosexsenxedx
dy
De donde se obtiene
xcosxxsenxxcos2xsen2
1eKKy x
21
5. Sea la ecuación diferencial de coeficientes variables x22e.1xyy'x'y'1x
Se conocen dos soluciones particulares de la ecuación incompleta x
21 ey,xy
Aplicar el método de variación de las constantes para obtener la integral general de la completa
Solución: x
21 eCxCy
x2x'2
'1
x'2
'1
e1xeCC
0eCxC
Sistema en '2
'1 C,C , que resolvemos por Cramer
x'2
x2'1 exC,eC
Integrando obtenemos C1, C2
2xx
2
1
x2x2
1
K1xedxxeC
K2
edxeC
Solución general x2
x1
x2
eK1xexK2
ey
x2x2x21 exe
2
1eKxKy
6. Integrar la ecuación diferencial 2x4y2y'3'y'
y hallar una solución particular que pase por el origen , tal que la tangente en el tenga pendiente 1y '0
Solución de la homogénea x
2x2
1 eCeCy
16
Solución particular de la completa, para ello ensayamos una solución del tipo cxbxay 2p
Solución general de la completa:
7x6x2eCeCy 2x2
x21
Calculemos ahora una solución particular con las condiciones dadas
9C,2C6C2C1(0)y
7CC0y(0)21
12'
21
Solución particular: 7x6x2e9e2y(x) 2xx2
7. Integrar la ecuación diferencial xexy'y'
Solución de la homogénea xsenCxcosCy 21H
Para calcular una integral particular de la completa, ensayamos una solución del tipo xp1 ebxay
Solución general de la ecuación diferencial
x21G e
2
1x2
1xsenCxcosCy
8. Integrar la ecuación diferencial xx e4xseneyy'2'y'
Solución de la homogénea
x21h exCCy
Solución particular de xseneyy'2'y' x
Ensayo una solución del tipo xcosbexsenaey xxp1
De donde se obtiene xsen3xcos425
ey
x
p1
Solución particular de xe4yy'2'y'
17
Ensayo una solución del tipo:x2
p2 exKy
De donde obtenemos x2
p2 ex2y
Integral general x2x
21x ex2x)sen3xcos(4
25
eCxCey
9. Integrar la ecuación diferencial de coeficientes variables x32 exy2'y'x obteniendo previamente
una solución particular de la incompleta de la forma mxy . Calculemos a continuación una solución
particular tal que para y(1) = 0 e y’(1)=1
Solución:
Veamos primeramente la solución de la homogénea
Sustituyendo y, y’, y’’ en la ecuación homogénea
1m
2m0x2x1mmx
2
1m2m2
x
CxCy 22
1h
Método de variación de los parámetros para calcular la solución particular de la completa
xex
1CxC2
0x
1CxC
x
2
'2
'1
'2
2'1
3
exC;
3
eC
x3'2
x'1
223
x
21
x
1 K6x6x3x3
eC;K
3
eC
x
1K66xx3x
3
exK
3
ey 2
23x
21
x
Solución general
18
2
x
2xe
x
KxKy x221
Integral particular
eeKK21(1)y
221eKK01y
21'1
21
Integral particular
2
x
2xe
x3
e21x
3
e1y x2
10. Integrar la ecuación diferencial xcosxy''y'
Solución de la homogénea x
21 eCCy
Solución particular de la completa
1d,2
1c,
2
1b,
2
1axcosdxcxsenbxayp
Solución general
xcos2xcosxxsenxxsen2
1eCCy x
21
11. Integrar la ecuación diferencial 2
23
x1
xy8y'x1'y'x)(1''y'x1
La ecuación diferencial es de Euler. Hacemos el cambio L(1+x)=t (1+x)=e t , de donde se obtiene
(1+x) y’= y’(t) ;
(1+x)2 y’’=y’’(t) - y’(t)
(1+x)2 y’’’=y’’’(t) – b2 y’’(t)+b1 y’(t)
1)n1)....(rr(rb2
19
Ecuación característica 08r31rr2r1rr
08r4r2r 23
Que se corresponde con la ecuación diferencial homogénea
0y8(t)y'4(t)'y'2(t)''y'
La ecuación diferencial completa será
t2
t
e
1ey8(t)y'4(t)'y'2(t)''y'
Solución de la homogénea
t2senCt2cosCeCy(t) 32t2
1
Solución particular 15
1KeKy 1
t11
Solución particular 32
1KeKy 1
t12 2
Solución general
t2t32
t21 e
32
1e
15
1-t2senCt2cosCeCy(t)
Deshaciendo el cambio t = L (1+x)
x)L(12x)L(132
x)L(121 e
32
1e
15
1-x1L2senCx)L(12cosCeCy(x)
2
3
32
22
1x132
1
x115
1-x1LsenCx)L(1cosCx)(1Cy(x)
12. Resolver la ecuación diferencial x2senx109y'y'
Solución de la homogénea
x32
x31 eCeCy
20
Solución particular de la completa
169
40d,0c,0b,
13
10-ax2cosdxcx2senbxayp
Solución general
x2cos169
40x2senx
13
10eCeCy x3
2x3
1
13. Resolver la ecuación diferencial 3x2 exxy2y'3'y'
Solución de la homogénea
x22
x1h eCeCy
Solución particular de la completa
x32p ecxbxay
Ensayando esta solución se tiene
x32p e1xx
2
1y
Solución general de la completa
x32x22
x1 e1xx
2
1eCeCy
14. Resolver la ecuación diferencial xsenx2cosy4y'4'y'
Solución de la homogénea
x221 exCCy
Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:
xsenx3sen2
1xsenx2cos
21
Por tanto, y p = y p1+y p2
Para x3sen2
1 ensayamos soluciones del tipo: A sen 3 x+ B cos 3 x, obteniéndose la solución
x3cos169
6x3sen
338
5yp1
Para xsen2
1 ensayamos soluciones del tipo: A sen x + B cos x , obteniéndose la solución
xcos25
2xsen
50
3yp2
Solución general:
xcos25
2xsen
50
3x3cos
169
63xsen
338
5eCxCy x2
21
15. Resolver la ecuación diferencial xsenx2seny2y'3'y'
Solución de la homogénea
x22
x1 eCeCy
Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:
x3cosxcos2
1xsenx2sen
Por tanto, y p = y p1+y p2
Para xcos2
1 ensayamos soluciones del tipo: a cos x + b sen x
Para x3cos2
1 ensayamos soluciones del tipo: a cos 3 x + b sen 3 x
Solución general
x3cos260
7x3sen
260
9xcos
20
1xsen
20
3eCeCy x3
2x
1
22
16. Resolver la ecuación diferencial 5exseny134y''y' x3
Solución de la homogénea
x)3senCx3cos(Cey 21x2
Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:
x3cosxcos2
1xsenx2sen
Solución particular, y p = y p1+y p2 + y p3
Para yp1 ensayamos soluciones del tipo x3cosbx3senayp1
Para yp2 ensayamos soluciones del tipo x3
p2 eky
Para yp3 ensayamos soluciones del tipo kyp3
Solución general de la ecuación diferencial
13
5e
10
1xcos
40
1xsen
40
3x3senCx3cosCey x3
21x2