u2. ecuaciones diferenciales de orden

Ecuaciones diferenciales Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n”

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología

Ingeniería en Telemática

Programa desarrollado de la asignatura:

Ecuaciones diferenciales

Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden “n”

Clave

22142313/21142313

Universidad Abierta y a Distancia de México


Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología 1

Índice

Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden ”n” .......................................................... 3

Presentación de la Unidad ........................................................................................ 3

Propósitos de la unidad ............................................................................................. 3

Competencia específica ............................................................................................ 3

2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.................................................. 4

2.1.1. Teorema de existencia y unicidad ................................................................ 4

2.1.2. Problema de valor inicial .............................................................................. 6

Actividad 1. Teorema fundamental ............................................................................ 7

2.1.3. Principio de superposición ........................................................................... 8

2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano) ...................................... 9

Actividad 2. Principios de superposición, dependencia e independencia lineal ....... 12

2.2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n ........... 12

2.2.1. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de

orden dos............................................................................................................. 12

2.2.2. Ecuación característica (raíces reales y distintas, reales e iguales, raíces

complejas conjugadas) ........................................................................................ 13

Actividad 3. La naturaleza de las raíces de una ecuación característica ................. 17

2.3. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas ........................................... 18

Actividad 4. Representación gráfica de la solución de una ecuación diferencial lineal

homogénea ............................................................................................................. 18

2.3.1. Definición ................................................................................................... 19

2.3.1. Método de coeficientes indeterminados ..................................................... 20

2.3.2. Método de la superposición ....................................................................... 23

2.3.3. Método del operador anulador .................................................................. 26

Evidencia de aprendizaje. Graficación de ecuaciones diferenciales de grado dos... 31

Autorreflexión .......................................................................................................... 31

Para saber más ....................................................................................................... 32

Cierre de la Unidad ................................................................................................. 32



Fuentes de consulta ................................................................................................ 32



Unidad 2. Ecuaciones diferenciales de orden ”n”

Presentación de la Unidad

En esta unidad utilizarás los conocimientos adquiridos en la primera unidad para

resolver problemas de ecuaciones diferenciales de orden superior. Se utilizarán los

determinantes como herramienta para determinar la dependencia lineal de dos o más

funciones, y los operadores diferenciales para la solución de ecuaciones diferenciales

no homogéneas.

Propósitos de la unidad

Con el estudio de esta unidad podrás:

Identificar una ecuación diferencial lineal homogénea y no homogénea.

Resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas.

Competencia específica

Identificar las ecuaciones de orden n, para determinar sus soluciones generales y particulares, así como interpretar sus resultados, utilizando los métodos de solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas



2.1. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas

Iniciarás esta unidad con el estudio de las ecuaciones diferenciales homogéneas y los

métodos para resolverlas. Se puede representar una ecuación diferencial lineal de

orden n homogénea, en su forma más general, de la siguiente forma:

1 2

1 2 01 2..... 0

n n n

n n n nn nx x x x

d y d y d ya a a a y

dx dx dx

(1)

Donde los coeficientes kxa para 1,2,3,..k n son funciones reales, con 0n xa

Mientras que:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n n nn nx x x x x

d y d y d ya a a a y g

dx dx dx

(2)

Se le llama ecuación diferencial lineal de orden n no homogénea porque 0g x .

Nota: las funciones g x y n xa se suponen continuas en un intervalo ,I a b

dado.

Ejemplo 1:

3 '' 2 ' 4 0 y y y

Es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, homogénea 0g x .

2''' 2 '' 4 ' xy y y y e

Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homogénea 0g x .

2.1.1. Teorema de existencia y unicidad

Teorema 1

Sea la ecuación diferencial:



1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n

d y d y d ya x a x a x a x y g x

dx dx dx

Y si, además, 1 2 0, , ,...., n n na x a x a x a x

y g x son funciones continuas en un

intervalo ,I a b con 0n xa para todo en este intervalo. Si 0x x es cualquier

punto que pertenezca al intervalo ,I a b , entonces existe una solución única y x

con valores iniciales en dicho intervalo.

En los siguientes ejemplos verás cómo se utiliza este teorema:

Ejemplo 2:

Verificar si 2 23 3 x xy e e x es una solución única de la siguiente ecuación con

valores iniciales:

2

24 12

d yy x

dx

0 4y

' 0 1y

La ecuación diferencial

2

24 12

d yy x

dx es lineal; los coeficientes, así como

12g x x , son funciones continuas en cualquier intervalo que incluye 0x . Se

puede concluir, por el teorema 1, que2 23 3 x xy e e x es solución única.

Ejemplo 3:

Verificar si la función2 3 y cx x es una solución del problema de valor inicial:

2 '' 2 ' 2 4 x y xy y

0 3y

' 0 1y



Si bien la ecuación diferencial2 '' 2 ' 2 4 x y xy y es lineal, y los coeficientes y

4g x son continuos para todo x , el problema es que 2

2x xa es cero en

0x , por lo tanto 2 3 y cx x no es solución única.

2.1.2. Problema de valor inicial

Se puede presentar el caso de resolver una ecuación diferencial de 2º orden o

superior en la cual los valores iniciales variable dependiente y/o sus derivadas se

especifican en dos puntos diferentes a y b . Es decir, en la suposición que tiene la

siguiente ecuación con valores iniciales dados:

2

2 1 02

d y dya x a x a x y g x

dx dx

0y a y

1y b y

Se dice que se trata de un problema de valores de frontera de dos puntos o,

simplemente, un problema de valores en la frontera. Aunque se cumplan las

condiciones del teorema de unicidad, en un problema de frontera se pueden tener:

a) Soluciones infinitas

b) Solución única

c) Que no exista solución

En el siguiente ejemplo se proporciona la solución general de la ecuación diferencial, y

más adelante se explicará cómo se obtiene.

Ejemplo 4:

Se tiene la siguiente ecuación con valores en la frontera:

'' 64 0 y y

0 0y

02

y



Donde 1 2cos8 8 y c x c sen x es la solución general (también recibe el nombre de

solución paramétrica; en este caso se tienen dos parámetros 1c y 2c ).

Si sustituimos la primera condición de frontera 0 0y , se tiene que:

1 20 cos 0 0 c c sen

1 20 1 0 c c

1 0c

Si sustituimos la segunda condición de frontera 02

y , se tiene:

1 20 cos 8* 8*2 2

c c sen

1 20 cos 4 4 c c sen

Como 1 0c

20 4 c sen

Como 4 0 sen

La igualdad se cumple para cualquier valor de 2c , por lo tanto hay un número infinito

de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y cuyas gráficas pasan por los

puntos 0,0 y 0,2

.

Actividad 1. Teorema fundamental

Bienvenido a la primer actividad de la segunda unidad. De acuerdo al teorema

fundamental de la existencia y unicidad, participa en esta actividad colaborativa.

Entra al foro y participa.

1. Atiende el documento de actividades para seguir las indicaciones.



* Consulta los criterios de evaluación de la actividad.

*No olvides revisar los criterios de evaluación.

2.1.3. Principio de superposición

El siguiente teorema se conoce como principio de superposición y consiste en

reunir las soluciones particulares de una ecuación diferencial lineal para formar

una solución general.

Teorema:

Si se tiene que 1 2, ,.. ky y y son soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

2

2 1 02( ) ... 0

n

n n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx

en un intervalo I, entonces la

combinación lineal:

1 1 2 2 .... k ky c y c y c y

En donde las 1 2, ,.. kc c c son constantes arbitrarias, también es una solución en el

intervalo I.

Ejemplo 5:

Utilizar el principio de superposición si las funciones 2

1 y x

y 2

2 lny x x , definidas

en el intervalo 0, , satisfacen la siguiente ecuación diferencial homogénea de

tercer orden:

3 2

3

3 22 4 0

d y d yx x y

dx dx

Por el principio de superposición, la combinación lineal:

1 1 2 2 y c y c y

2 2

1 2 ln y c x c x x

Esta es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo 0, . (Hay que

recordar que la función lny x está definida en el intervalo 0, ; ver figura 1)



Figura 1. Gráfica de la función lny x

Ejemplo 6:

Las funciones2 3

1 2 3, , x x xy e y e y e , definidas en el intervalo x , son

funciones que satisfacen la siguiente ecuación diferencial homogénea:

''' 6 '' 11 ' 6 0 y y y y

Por el principio de superposición, la solución general será la combinación lineal:

1 1 2 2 .... k ky c y c y c y

2 3

1 2 3 x x xy c e c e c e

2.1.4. Dependencia e independencia lineal (Wronskiano)

Se dice que es un conjunto de funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x linealmente

independientes si las únicas constantes para las cuales son:

1 1 2 2 3 3 .... 0 n nc f x c f x c f x c f x

Para toda x en un intervalo I, son 1 2 .... nc c c .En otras palabras, dos funciones son

linealmente independientes cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en un

intervalo I.

Ejemplo 7:



Las funciones 1 2f x sen x y 2 4 cosf x senx x son linealmente dependientes

en el intervalo x , puesto que una función es un múltiplo de la otra (ver

figura 1):

Demostración:

Recuérdese la identidad trigonométrica 2 2 cossen x senx x

Si multiplicas por 2 ambos miembros de la ecuación, se tiene:

2 2 2(2 cos )sen x senx x

2 2 4 cossen x senx x

Por lo tanto, se obtiene:

2 12f x f x

Figura 1. Gráfica de dos funciones que son linealmente dependientes



El Wronskiano

El siguiente teorema nos ayuda a determinar la dependencia lineal de n funciones en

un intervalo dado I. Cada función se supone que es diferenciable por lo menos 1n

veces.

Teorema

Supóngase que las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x tienen al menos 1n

derivadas. Si el determinante 1 2 3, , ,...., nw f x f x f x f x (Wronskiano) no es

cero por lo menos en un punto de intervalo I, entonces las funciones

1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente independientes en el intervalo I.

Si 1 2 3, , ,...., 0nw f x f x f x f x

Entonces, las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente dependientes.

Si 1 2 3, , ,...., 0nw f x f x f x f x

Entonces, las funciones 1 2 3, , ,...., nf x f x f x f x son linealmente independientes.

El determinante (Wronskiano) se designa por:

1 2

1 2

1 1 1

1 2

....

' ' .... '

....

n

n

n n n

n

f x f x f x

W f x f x f x

f x f f

Ejemplo 8:

Utilizar el Wronskiano para determinar si las siguientes funciones 1 xf x e

6

2 xf x e son linealmente independientes:

6

6 7

6( , ) 5 0

6

x x

x x x

x x

e eW e e e

e e

Para todo valor real de x , por lo tanto 1 xf x e y 6

2 xf x e son linealmente

independientes en cualquier intervalo del eje x porque 6( , ) 0x xW e e .



Actividad 2. Principios de superposición, dependencia e

independencia lineal

Considera los principios de superposición, de dependencia e independencia,

para la realización de esta actividad.

1. Consulta el documento de actividades.

*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.

2.2. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de

orden n

Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n de la forma:

( ) ( 1)

1 2 1 0... 0n n

n na y a y a y a y a y

En donde los coeficientes 1 2 0, , ,...., n n na a a a son reales, se puede resolver utilizando

su ecuación característica, la cual se forma con los coeficientes 1 2 0, , ,...., n n na a a a de

la siguiente manera:

1 2

1 2 1 0... 0n n

n na m a m a m a m a

Primero se analizarán las ecuaciones de 2º orden para pasar después a las de orden

n.

2.2.1. Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes

constantes de orden dos

Si se tiene una ecuación de 2º orden:

2 1 0 0 a y a y a y

La ecuación característica correspondiente será:

2

2 1 0 0 a m a m a

Una vez resuelta la ecuación característica, se pueden usar las raíces para obtener la

solución general de la ecuación diferencial.

Al resolver la ecuación característica se pueden presentar tres casos:



a) Raíces reales y distintas

b) Raíces reales iguales

c) Raíces complejas conjugadas

2.2.2. Ecuación característica (raíces reales y distintas, reales e

iguales, raíces complejas conjugadas)

Caso I. Si al resolver la ecuación característica:

1 2

1 2 1 0... 0n n


Se obtiene que todas las raíces sean reales y distintas 1 2 3 ..... nm m m m ,

entonces la solución general es:

1 2

1 2 ... nm xm x m x

ny c e c e c e

Ejemplo 9:

Resolver la siguiente ecuación diferencial de 2º orden:

'' 9 ' 8 0 y y

La ecuación característica será:

2 9 8 0 m m

Factorizando, se obtiene:

1 8 0 m m

Las raíces son:

1 1 m

2 8 m

La solución general es:

8

1 2

x xy c e c e

Caso II Si al resolver la ecuación característica:



1 2

1 2 1 0... 0n n


Se obtiene que todas las raíces sean reales e iguales a 1m , entonces la solución

general es:

1 1 1 12 1

1 2 3 ... m x m x m x m xk

ky c e c xe c x e c x e

Ejemplo 10:


'' 4 ' 4 0 y y


2 4 4 0 m m


2 2 0 m m

2

2 0 m

Las raíces serán:

1 2 m

2 2 m

La solución general será:

2 2

1 2

x xy c e c xe

Caso III. Si al resolver la ecuación característica:

2

2 1 0 0 a m a m a

Las raíces 1m y 2m son complejas, entonces pueden escribirse:

1m i



2m i

Donde2 1 i La solución general será:

1 2 i iy c e c e

En la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en vez de funciones

exponenciales complejas. Para hacer la conversión se utiliza la fórmula de Euler:

cos ie isen


1 2cos xy e c x c sen x

Ejemplo 11:


'' ' 4 0 y y


2 4 0 m m

Se hallan las raíces resolviendo la ecuación con la fórmula general para ecuaciones

de segundo grado:

21 1 4 1 4

2 1

m

Las raíces serán:

1

1 15 1 15

2 2 2

im

1 15 1 15

2 2 2

im




1

21 2

15 15cos

2 2

x

y e c x c sen x

Ejemplo 12:

Resolver la siguiente ecuación diferencial de 3er orden:

3 2

3 23 19 36 10 0

d y d y dyy

dx dx dx


3 23 19 36 10 0m m m

Recuerda que cuando se tiene un polinomio, la obtención de las raíces incluye los

divisores de 3 y10, así como el cociente de los divisores de 10 entre los divisores de

3: 2 5 1 10

1,3,2,5,10, , , ,3 3 3 3

m

Al efectuar la división sintética entre cada uno de estos factores se encuentra que la

raíz es 1

1

3m

Si dividimos el polinomio entre 1

1

3

m , se obtiene:

3 2 213 19 36 10 (3 18 30)

3

m m m m m m

Simplificando y factorizando, se obtiene:

3 2 23 13 19 36 10 3( 6 10)

3

mm m m m m

3 2 23 19 36 10 3 1 ( 6 10) m m m m m m

Se encuentran las otras raíces resolviendo la ecuación con la fórmula general para

ecuaciones de segundo grado:

26 6 4 1 10

2 1

m



Las raíces serán:

1

1

3m

2

6 43

2

m i

3

6 43

2

m i

Recuderda que 1 i


331 2 3cos

x

xy c e e c x c senx

Actividad 3. La naturaleza de las raíces de una ecuación

característica

Resuelve los ejercicios que se proponen. Para ello:

1. Revisa el documento de actividades.

*Revisa los criterios de evaluación de la actividad.



2.3. Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Ahora se estudiará la forma de encontrar una solución general de una ecuación lineal

no homogénea de la forma:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n


dx dx dx

En donde 0g x

Uno de los métodos que existen para determinar la solución general de una ecuación

lineal no homogénea consiste en utilizar una solución particular. Se definirá una

solución particularpy como cualquier función que no contiene parámetros y que

satisface a la ecuación diferencial lineal no homogénea.

Ejemplo 13:

Verificar que 3py es una solución particular de la ecuación diferencial de 2º orden:

'' 4 12 y y

Solución:

Derivando, se obtiene: '' 0py

Al sustituir en la ecuación, se cumple la identidad:

0 4 3 12

12 12

Por lo tanto, 3py es una solución particular.

Actividad 4. Representación gráfica de la solución de una ecuación

diferencial lineal homogénea

Esta actividad es una tarea individual y es importante que sigas las indicaciones para

aprovechar mejor tu rendimiento académico.

1. Consulta el documento de actividades.



*Revisa los criterios de evaluación.

2.3.1. Definición

Si se tiene apy como la solución particular de una ecuación diferencial lineal no

homogénea:

1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n


dx dx dx

En un intervalo I, y además, se tiene que la función:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c y x c y x c y x

Es la solución general de la ecuación homogénea:

1 2

1 2 01 2..... 0

n n n

n n nn n n

d y d y d ya x a x a x a x y

dx dx dx

Asociada en el intervalo, entonces la solución general de la ecuación no homogénea

en el intervalo I se define como:

1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) n n py c y x c y x c y x y

c py y yx x

Donde 1 1 2 2( ) ( ) ... ( ) c n ny c y x c y x c y x recibe el nombre de función complementaria.

La solución general es, entonces:

y=función complementaria + cualquier solución particular

En el siguiente ejemplo se determinará la solución general, teniendo como dato la

solución particular

Ejemplo 14:

Encontrar la solución general de la siguiente ecuación:

23 2 4 y y y x



Si 27 6 2 py x x

Para determinar la solución general se tiene que resolver la ecuación homogénea

asociada:

3 2 0 y y y


2 3 2 0 m m


2 1 0 m m

Las raíces son:

1 2 m

2 1 m

La función complementaria es:

2

1 2

x x

cy c e c e


c py y yx x

2 2

1 2 7 6 2 x xy c e c e x x

En los siguientes temas debes concentrarte en los métodos que existen para la

determinación de la solución particular.

2.3.1. Método de coeficientes indeterminados

Este método es para obtener la solución particular, y solamente funciona para

ecuaciones no homogéneas:



1 2

1 2 01 2.....

n n n

n n nn n n


dx dx dx

Donde los coeficientes ka x para 1,2,3,..k n son constantes, además, g x debe

ser una función del tipo , , ,cos , n axk x sen x x e o sumas y productos de esas funciones.

Este método no es aplicable si g x es una función de la forma:

11ln , , tan , x x sen x

x

Ejemplo 15:

Resolver la siguiente ecuación por el método de los coeficientes indeterminados: 23 2 2 3 6 y y y x x

Paso 1:

Se determina la función complementaria:

3 2 0 y y y


2 3 2 0 m m


2 1 0 m m

Las raíces son:

1 2 m

2 1 m


2

1 2

x x

cy c e c e

Paso 2:

Como g x tiene la forma de un polinomio, se supone que la solución particular

tendrá la misma forma. (Es una característica notable que al derivar una función del



tipo , , ,cos , n axk x sen x x e , la derivada tenga la misma forma que g x ).

Por lo tanto,py tendrá la misma forma:

2 py Ax Bx C

Derivando dos veces, se obtiene que:

' 2 py Ax B

'' 2py A

Si sustituimos en la ecuación original:

23 2 2 3 6 y y y x x

2 22 3(2 ) 2( ) 2 3 6 A Ax B Ax Bx C x x

2 22 6 3 2 2 2 2 3 6 A Ax B Ax Bx C x x

2 22 2 6 2 3 2 2 3 6 Ax Bx Ax A B C x x

Factorizando la expresión del lado izquierdo:

2 22 (2 6 ) 2 3 2 2 3 6 Ax x B A A B C x x

Igualando ambos miembros de la igualdad se tienen las siguientes ecuaciones:

2 2A , 2 6 3 B A , 2 3 2 6 A B C

1A

2 6 3 B A

Sustituyendo el valor de A:

2 6(1) 3 B

9

2 B

92(1) 3( ) 2 6

2 C



35

4C

Sustituyendo en la ecuación.

2 py Ax Bx C

2 9 35

2 4 py x x


c py y yx x

2 2

1 2

9 35

2 4

x xy c e c e x x

2.3.2. Método de la superposición

El método de superposición se utiliza cuando en una ecuación no homogénea la

función g x es la suma de dos tipos de funciones:

1 2 g x g x g x

Por lo tanto, se tendrá por superposición que la solución particular será:

1 2

p p py x y x y x

Ejemplo 16

Resolver la siguiente ecuación diferencial no homogénea por superposición:

2

2

22 3 4 5 6 xd y dy

y x xedx dx

Paso 1:

Se determina la función complementaria:



2

22 3 0

d y dyy

dx dx


2 2 3 0 m m


3 1 0 m m

Las raíces son:

1 3m

2 1 m


3

1 2

x x

cy c e c e

Paso 2:

Determinación de la solución particular:

Como g x tiene la forma de un polinomio más una exponencial, se supone que la

solución particular tendrá la misma forma. (Recuerda del tema anterior que, al derivar

una función del tipo ,n axx e , la derivada tiene la misma forma que g x ).

En este caso:

1 4 5 g x x

2

2 6 xg x xe

1 2

p p py x y x y x

1

py x Ax B

2

2 2 x x

py x Cxe De



Sustituyendo, se tiene que la solución particular es:

2 2 x x

py x Ax B Cxe De

Sustituyendo en la ecuación original:

2

2

22 3 4 5 6

p p x

p

d y dyy x xe

dx dx

2 2 2 2 2 2 2 2 2(4 2 2 4 ) 2( 2 2 ) 3( ) x x x x x x x x xCxe Ce Ce De A Cxe Ce De Ax B Cxe De24 5 6 xx xe

Simplificando y agrupando, se obtiene:

2 2 23 2 3 3 (2 3 ) 4 5 6 x x xAx A B Cxe C E e x xe

Igualando ambos miembros de la igualdad con las siguientes ecuaciones:

3 4 A , 2 3 5 A B , 3 6 C , 2 3 0 C D

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que:

4

3 A

23

9B

2 C

4

3 D

Sustituyendo en la ecuación:

2 2 x x

py x Ax B Cxe De

2 24 23 42

3 9 3 x x

py x x xe e


c py y yx x



3 2 2

1 2

4 23 42

3 9 3

x x x xy c e c e x xe e

2.3.3. Método del operador anulador

Se comienza este tema explicando el concepto de operador diferencial. El símbolo nD

se usa para designar la derivada enésima de una función, es decir:

n

n

n

d yD y

dx

.

Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes:

( ) ( 1)

1 2 1 0... ( )n n

n na y a y a y a y a y g x

Se puede escribirla utilizando operadores diferenciales de la siguiente manera:

( 1) 2

1 2 1 0... ( )n n

n na D y a D y a D y a Dy a y g x

1 2

1 2 1 0( ... ) ( )n n

n na D a D a D a D a y g x

.

La expresión:

1 2

1 2 1 0...n n

n na D a D a D a D a

Recibe el nombre de operador diferencial lineal de orden n, y a menudo se abrevia

como P(D). Los operadores diferenciales se pueden factorizar como si fueran

polinomios ordinarios:

Ejemplo 17:

Factorizar los siguientes operadores: 2 ( 1) D D D D

2 4 ( 2)( 2) D D D

2 4 3 ( 3)( 1) D D D D D

Operador anulador

Sea f x una función que tiene al menos n derivadas, si

1

1 1 0( ... ) ( ) 0

n n

n na D a D a D a f x



Por ejemplo, si 8f x ' 0f x , en este caso, el operador anulador es la primer

derivada porque, al multiplicarla por f x , la anula.

Si f x x '' 0f x , en este caso, el operador anulador es la segunda derivada

porque, al multiplicarla por f x , la anula.

Si 2f x x ''' 0f x , en este caso, el operador anulador es la tercer derivada

porque, al multiplicarla por f x , la anula. Se puede concluir que el operador

diferencial Dn anula a cada una de las funciones

2 11, , ,..., nx x x .

Un polinomio 1

0 1 1...

n

nc c x c x puede ser anulado fácilmente encontrando un

operador que anule a la mayor potencia de x.

Ejemplo 18:

Hallar un operador que anule a 2 31 7 9 x x .

Solución. Se sabe que4 3 0D x , y por lo tanto, se tiene que el operador anulador

será: 4 2 3(1 5 8 ) 0D x x

El operador diferencial ( ) nD anula a cada una de las funciones:

2 1, , ,..., x x x n xe xe x e x e .

Ejemplo 19:

Hallar un operador anulador para8 5( ) ,( )6x xa e b xe .

Solución

a) Eligiendo 8 y 1n , se obtiene que 8( 8) 0 xD e

b) Eligiendo 5 y 2n , se obtiene que 2 5( 5) 6 0 xD xe

Ejemplo 20:

Obtener un operador diferencial que anule a 3 x xe xe

Se tiene que



3

2

( 3) 0

( 1) 0

x

x

D e

D xe

.

El producto de los 2 operadores ( 3)D 2( 1)D anulará la combinación lineal dada.

En general, operador diferencial 2 2 22 ( )

n

D D anula a cada una de las

funciones:

2 1

2 1

cos , cos , cos ,..., cos

, , ,...,

x x x n x

x x x n x

e x xe x x e x x e x

e sen x xe sen x x e sen x x e sen x

Ejemplo 21:

Obtener un operador diferencial que anule a cos2xe x y 2xe sen x

2 2 21

2 ( ) D D anula a cos , x xe x e sen x

Eligiendo 1, 2 1 y n , se obtiene:

2( 2 5) cos2 0 xD D e x y

2( 2 5) 2 0 xD D e sen x .

Ejemplo 22:

Si se elige 0, 1 2 y n el operador diferencial 2 2( 1)D anulará cos x ,

cosx x , senx , xsenx Además, 2 2( 1)D anulará cualquier combinación lineal de

esas funciones.

Ejemplo 23:

Obtener un operador diferencial que anule a la siguiente función:

1 6 2 x sen x .

2 2 21

2 ( ) D D Anulará xe sen x

Eligiendo 0, 2 1 y n se obtiene:



2(1 ) 0 D x

2( 4) 2 0 D sen x .

Por lo tanto, el operador 2 2( 4)D D anulará a la combinación lineal dada.

Ya vimos que para obtener la solución general de una ecuación diferencial no

homogénea con coeficientes constantes deben realizarse dos pasos:

1er paso: Hallar la función complementaria cy

2º paso: Obtener cualquier solución particular py de la ecuación no homogénea.

La solución general de la ecuación no homogénea es la suma c py y .

Si P D representa el operador diferencial, entonces una ecuación diferencial lineal

no homogénea con coeficientes constantes puede escribirse simplemente:

P D y g x

Si 1( )P D es el operador anulador, y se multiplica ambos miembros de la ecuación, se

obtiene que:

1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0P D P D y P D g x .

Resolviendo la ecuación homogénea es posible descubrir una solución particularpy

de la ecuación no homogénea.

Ejemplo 24:

Resolver 2'' 3 ' 2 8 y y y x

Paso 1. Se resuelve primero la ecuación homogénea

'' 3 ' 2 0 y y y

La ecuación característica 2 3 2 ( 1)( 2) 0 m m m m se obtiene de la función

complementaria:

2

1 2

x x

cy c e c e .



Paso 2. Multiplica ambos miembros de la ecuación2( 3 2) 0 D D y por el operador

anulador (recuerda que en el operador diferencial Dn, el valor de n es el exponente

mayor del polinomio menos uno).

3 2( 3 2) 0 D D D

3 2 3 24 4 0 D x D x

3 2 3 2( 3 2) 4 0D D D y D x

Al multiplicar, se obtiene la siguiente ecuación:

3 2( 3 2) 0m m m


3( 1)( 2) 0m m m

Como el operador diferencial Dn anula a cada una de las funciones

2 11, , ,..., nx x x , la

solución general debe ser:

2 2

1 2 3 4 5

x xy c e c e c c x c x

Donde2

3 4 5 py c c x c x es un polinomio de 2º grado, porque el operador anulador

es de un grado superior; esto significa que la ecuación 2'' 3 ' 2 8 y y y x tuvo que

derivarse tres veces para anular la función ( )g x

2

3 4 5py c c x c x

Las constantes 3 4 5, ,c c c se sustituyen por , ,A B C :

2

py A Bx Cx

Sustituyendopy en

2'' 3 ' 2 8 y y y x

2'' 3 ' 2 8 p p py y y x

2 22 3( 2 ) 2( ) 8 C B Cx A Bx Cx x




2 22 3 2 (2 6 ) 2 8 A B C B C x Cx x

Igualando coeficientes en la igualdad, se obtiene el sistema de ecuaciones

2 3 2 0 A B C

2 6 0 B C

2 8C

Resolviendo, resulta:

14A

12 B 4C En consecuencia, se tiene:

2

py A Bx Cx

214 12 4 py x x

Paso 3. La solución general es, finalmente:

2 2

1 2 14 12 4 x xy c e c e x x

Evidencia de aprendizaje. Graficación de ecuaciones diferenciales

de grado dos

¡Enhorabuena! Con la realización de esta actividad estás a punto de finalizar el

estudio de la segunda unidad.

1. Revisa el documento de actividades de la unidad.

*Verifica los criterios de evaluación.

Autorreflexión

Para propiciar tu autoaprendizaje, es conveniente que respondas y realices lo que te



solicite tu Docente en línea.

Para saber más

Las aplicaciones más interesantes de las ecuaciones diferenciales requieren el

dominio de otras ciencias como la física, química, termodinámica, etc. Sin embargo, en

este curso se dan las bases para el planteamiento de problemas. Ve el siguiente video

para conocer más. Tareasplus (2011). Aplicaciones de ecuaciones diferenciales en

dinámica. Disponible en: www.youtube.com/watch?v=KdkSiGp2oqs

Cierre de la Unidad

Esta unidad fue muy extensa debido a que se necesitan bases sólidas para

comprender los temas que se abordarán en la Unidad 3, así como en cursos

avanzados de ecuaciones diferenciales. Es todo un reto entender todos los métodos

para resolver este tipo de ecuaciones, de modo que la única opción para lograrlo es

practicar mucho hasta dominar los temas. Te invito a que pongas todo tu interés en el

estudio y que siempre tengas tu ánimo en alto.

Fuentes de consulta

Boyce, W. E., y Diprima, R. C. (1978). Ecuaciones Diferenciales y problemas

con valores a la frontera. (3º ed.). México: Limusa.

Campbell, S. L., y Haberman, R. (1997). Introducción a las Ecuaciones

Diferenciales con Problemas de Valor de Frontera. México: McGraw-Hill.

Simmons, G. F., y Robertson, J. S. (1993). Ecuaciones Diferenciales con

aplicaciones y notas históricas. (2º ed.). México:.Mc Graw Hill.

u2. ecuaciones diferenciales de orden

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