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Ecuaciones Diferenciales Exactas Ecuaciones Diferenciales - p. 1/15

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)

Ecuaciones Diferenciales ExactasDepartmento de Matemáticas / CSI

ITESM

Diferencial TotalEjemplo 1Ejemplo 2Ecuacion ExactaEjemplo 3Metodo deSolucionEjemplo 4Ejemplo 5


Ecuaciones Diferenciales Exactas

En el curso de cálculo de varias variables sedefinió el diferencial total de una función de dosvariables f(x, y) por la ecuación (3.1) siguiente:

df(x, y) =∂f(x, y)

∂xdx+

∂f(x, y)

∂ydy (3.1)

Para saber el valor del diferencial total en un punto(x0, y0), hay que conocer los diferenciales de lasvariables independientes, esto es dx y dy paraposteriormente evaluar. En esta evaluación puedeser que el valor encontrado para el diferencial totalsea diferente de cero o bien, idénticamente cero.



Sin embargo, existe una función f(x, y) para lacual el valor de su diferencial total simpre seráigual a cero, sin importar el punto (x0, y0) y loscorrespondientes dx y dy. Esta función f(x, y) estadefinida por la ecuación (3.2)

f(x, y) = cte (3.2)

No es difícil probar la aseveración anterior, ya quecuando una función es igual a una constante, elincremento de la función f(x, y) y el diferencialtotal tienen exactamente el mismo valor de cero.



Esto es, si f(x, y) = cte entonces

df(x, y) = ∆f(x, y) = f(x+∆x, y+∆y)−f(x, y) = cte−cte = 0(3.3)

La ecuación (3.3) es una prueba general, paramostrar de forma específica lo anterior, considereel siguiente ejemplo.



Ejemplo 1

Si f(x, y) = ex+y = 1, muestre que su diferencialtotal vale cero.SoluciónLo primero que tenemos que hacer para mostrarque el diferencial vale cero, es determinar eldominio de f(x, y). Para que la función ex+y seasimpre igual a 1, se requiere que el exponentex+ y sea siempre igual a cero, para con ello tener

ex+y = e0 = 1

luego el dominio de la función es el conjunto depuntos tales que x+ y = 0 o bien la recta

y = −x

Aplicando diferenciales a la ecuación que define eldominio de f(x, y) encontramos un relación entrelos diferenciales dada por

dy = −dx



Ahora, calculemos el diferencial total def(x, y) = ex+y y apliquemos dy = −dx

df(x, y) = ∂f(x,y)∂x

dx+ ∂f(x,y)∂y

dy

df(x, y) = (ex+y)dx+ (ex+y)dy

df(x, y) = (ex+y)dx+ (ex+y)(−dx)

luegodf(x, y) = 0

que es lo que se deseaba mostrar.



Se puede modificar el valor de la constante yveremos que el resultado que se encuentre simpreserá cero, aunque en algunas ocasiones será másfácil que en otras mostrar lo que nos piden. En losucesivo, consideraremos que si f(x, y) = cte, sudiferencial total siempre vale cero sin importar elvalor de la constante y el punto en que se pida.



Ejemplo 2

Determine el diferencial total de cada función dedos variables.1. f(x, y) = ln(x2 + 3y) + xsen(y) = 5



Ejemplo 2



dx+ ∂f(x,y)∂y

dy

df(x, y) =(

2xx2+3y

+ sen(y))

dx+(

3x2+3y

+ xcos(y))

dy = 0

2. f(s, t) = tan−1( ts) = π

2



Ejemplo 2



dx+ ∂f(x,y)∂y

dy

df(x, y) =(

2xx2+3y

+ sen(y))

dx+(

3x2+3y

+ xcos(y))

dy = 0

2. f(s, t) = tan−1( ts) = π

2

df(s, t) = ∂f(s,t)∂s

ds+ ∂f(s,t)∂t

dt

df(s, t) =(

−ts2+t2

)

ds+(

ss2+t2

)

dt = 0

3. f(r, θ) = rsec(θ) + cos(θ) = 4



Ejemplo 2



dx+ ∂f(x,y)∂y

dy

df(x, y) =(

2xx2+3y

+ sen(y))

dx+(

3x2+3y

+ xcos(y))

dy = 0

2. f(s, t) = tan−1( ts) = π

2

df(s, t) = ∂f(s,t)∂s

ds+ ∂f(s,t)∂t

dt

df(s, t) =(

−ts2+t2

)

ds+(

ss2+t2

)

dt = 0

3. f(r, θ) = rsec(θ) + cos(θ) = 4

df(r, θ) = ∂f(r,θ)∂r

dr + ∂f(r,θ)∂θ

dθdf(r, θ) =sec(θ)dr + (rsec(θ)tan(θ)− sen(θ))dθ = 0



Ecuación Diferencial Exacta

Una ecuación diferencial de la forma

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0

se dice que es una ECUACION DIFERENCIALEXACTA si existe una función f(x, y) = cte tal que:

∂f(x, y)

∂x= M(x, y)

∂f(x, y)

∂y= N(x, y)







∂f(x, y)

∂x= M(x, y)

∂f(x, y)

∂y= N(x, y)

y además M(x, y) y N(x, y) cumplen con lasiguiente igualdad

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x







∂f(x, y)

∂x= M(x, y)

∂f(x, y)

∂y= N(x, y)

y además M(x, y) y N(x, y) cumplen con lasiguiente igualdad

∂M(x, y)

∂y=

∂N(x, y)

∂x

y la solución de dicha ecuación diferencial es

f(x, y) = cte



En la teoría del cálculo en varias variables laigualdad ∂M/∂x = ∂N/∂y resulta ser unacondición necesaria y suficiente para la existenciade f(x, y). Es decir, existe f(x, y) tal que sudiferencial total es

M(x, y) dx+N(x, y) dy

si y solamente

∂f(x, y)

∂x= M(x, y) y

∂f(x, y)

∂y= N(x, y)

Aquí juega un papel importante del teorema deClairaut que dice que las parciales cruzadas, encaso de existir y ser continuas, son iguales.



Ejemplo 3

Indique el valor de b para que la siguienteecuación diferencial sea exacta:

(

b x2 y + 3x y2)

dx+ x2 (x+ 3 y) dy = 0



Método de Solución

El método de solución de una ecuación exacta


consiste la determinación de la función f(x, y)cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.






consiste la determinación de la función f(x, y)cuya diferencial total es el lado izquierdo de la ED.El procedimiento es prestado del curso de cálculoen varias variables.







Paso 1. Verifique que la ED sea exacta:

Nx = My







Paso 1. Verifique que la ED sea exacta:

Nx = My

Paso 2. La función buscada f(x, y) es casi laintegral parcial de M(x, y) respecto a x:

f(x, y) =

∫

M(x, y) dx+ h(y)



Paso 3. Determine h′(x) derivando parcialmenterespecto a y la integral anterior eigualando a M(x, y):

∂f(x, y)

∂y= N(x, y) =

∂

∂y

∫

M(x, y) dx+h′(y)




∂f(x, y)

∂y= N(x, y) =

∂

∂y

∫

M(x, y) dx+h′(y)

h′(y) = N(x, y)−∂

∂y

∫

M(x, y) dx




∂f(x, y)

∂y= N(x, y) =

∂

∂y

∫

M(x, y) dx+h′(y)

h′(y) = N(x, y)−∂

∂y

∫

M(x, y) dx

Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y ah′(y).




∂f(x, y)

∂y= N(x, y) =

∂

∂y

∫

M(x, y) dx+h′(y)

h′(y) = N(x, y)−∂

∂y

∫

M(x, y) dx

Paso 4. Determine h(y) integrando respecto a y ah′(y).

Paso 5. Forme f(x, y):

f(x, y) =

∫

M(x, y) dx+ h(y)



Ejemplo 4

Determine la solución general a:(

24x2 y + 8x y2)

dx+ x2 (8x+ 8 y) dy = 0

A 72x3 y + 4x2 y2 = C

B 24x3 y + 8x2 y2 = C

C 72x3 y + 16x2 y2 = C

D 8x3 y + 4x2 y2 = C

E 24x3 y + 4x2 y2 = C

F 8x3 y + 16x2 y2 = C

G 16x3 y + 4x2 y2 = C

H 8x3 y + 8x2 y2 = C



Ejemplo 5

Determine la solución general a:(

−6x2 + 9 y2)

dx+(

18x y + 12 y2)

dy = 0

A −2x3 + 9x y2 + 4 y3 = C

B −2x3 + 9x y2 + 12 y3 = C

C −6x3 + 9x y2 + 12 y3 = C

D −6x3 + 9x y2 + 4 y3 = C

E −6x3 + 18x y2 + 12 y3 = C

F −18x3 + 36x y2 + 81 y3 = C

G −2x3 + 18x y2 + 4 y3 = C

H −2x3 + 18x y2 + 4 y3 = C

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