ecuaciones diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

Crecimiento de Población

1



2



Modelos de Poblaciones

3



4



Presentación

El presente trabajo de investigación, denominado “Crecimiento de

Población”, es el resultado de un minucioso proceso de investigación

llevado a cabo por los integrantes de nuestro grupo de investigación; el

mismo que consistió en la recopilación, análisis y Resolución de problemas

en los cuales para su solución se debía aplicar conceptos de ecuaciones

diferenciales, y posteriormente verificando la validez de los resultados.

Para un mejor entendimiento de estos temas, hemos visto por

conveniente mostrar paso a paso el proceso de resolución de dichos

ejercicios, los cuales pasaremos a detallar a continuación.

Esperamos pues, que el conocimiento aquí planteado, sirva como base

a un conocimiento superior, y que de haberse cometido un error involuntario

en la edición de este texto, se sepa darnos las disculpas del caso.

El Grupo.

5



6



Integrantes:

Echaccaya Anyosa, Jhonathan Edilfonso.

Fajardo Quincho, Álvaro.

Guerrero Valencia, Luis Alberto.

Hernández Ramos, William Antonio.

Peña Siguas, Jesús.

7



8



MODELOS DE POBLACIÓN

El objetivo de esta sección es hacer un recorrido por la resolución de ecuaciones

diferenciales ordinarias a través de un tema apasionante e interdisciplinario como es el tema de la

dinámica de poblaciones. La idea es mostrar diversas situaciones descritas por modelos de

ecuaciones diferenciales (O ecuaciones de diferencias) y motivar la modelación por parte del

propio alumno.

La mayoría de las veces los modelos parten de consideraciones simples e intuitivas de la

realidad y, sin embargo, nos llevan a analizar y cuantificar situaciones complejas que están lejos

de la comprensión inmediata, lo que nos permite reinterpretar con profundidad la realidad que los

originó.

Modelo de Malthus para el Crecimiento de la Población

Si P ´ (t ) es el tamaño de una población al instante de tiempo t ; se supone que en el

instante inicial t=0, el tamaño de la población es P (0 )=P0 y que la velocidad de variación de P ( t )

(o tasa de crecimiento de P (t )) es decir P ´ (t )es proporcional al tamaño de la población. De

manera que la ecuación que modela esta situación es:

P ´ (t )=kP ( t )

Donde k es la constante de proporcionalidad. Esta ecuación se puede escribir como:

P´ ( t )P ( t )

=k

Y por lo tanto tenemos una ecuación diferencial de varias variables. Para resolver esta

ecuación, integramos ambos lados de la ecuación con respecto a la variable t :

∫ P ´ ( t )P (t )

dt=∫ kdt

Realizando el cambio de variable u=P (t ), tenemos que du=P ´ ( t )dt y por lo tanto:

9



∫ duu

=∫ kdt

Ahora calculamos ambas primitivas:

ln (|u|)=kt+c

Es decir:

ln (|P ( t )|)=kt+c

De donde:

P ( t )=±ekt+ c

P (t )=±ekt ec

Y como:

P (0 )=±ec

Tenemos que:

P ( t )=P0 ekt

Ejercicios De Aplicación

Solución:

a) Calculando población en el año 2015:

Aplicando la formula:

P ( t )=P0 ekt

Donde:

P0=227

t=35años

k=0,007

10

En 1980 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones y ha ido

creciendo a una razón de 0,7% por año:

a) Si continuara ese patrón de crecimiento, ¿Cuál será la población de los estados

unidos para el 2015?

b) ¿Y en el año 2020?

Ejercicio 01



Reemplazando:

P (35 )=227 e0,007 (35 )

P (35 )=227 e0,245

P (35 )=227 (1,2776 )

P (35 )=290020038hab .

b) Calculando población en el año 2020:


P ( t )=P0 ekt

Donde:

P0=227

t=40años

k=0,007

Reemplazando:

P (40 )=227e0,007 (40)

P (40 )=227e0,28

P (40 )=227 (1,3231 )

P (40 )=300350467hab .

Solución:

a) Calculando el valor de k:


P ( t )=P0 ekt

Donde:

P0=4000

t=10horas

P (t )=16000

11

El número de bacterias de cierto cultivo crece de 4 000 a 16000 en 10 h. Si suponemos

que la tasa de rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias:

a) Calcular el número de bacterias luego de 20 horas.

b) En que tiempo el númeor de bacterias llegará a ser 40000

Ejercicio 02



Reemplazando:

16000=4 000ek (10)

160004000

=ek (10)

4=ek (10)

ln (4 )=ln (e10 k)ln (4 )=10k (lne )

ln (4 )=10k

ln (4 )10

=k

1,386310

=k

k=0,1386

Reemplazando k para 20 horas:

P (20 )=4000e0,1386 (20)

P (20 )=4000e2,7726

P (20 )=4000 (16 )

P (20 )=64 000bacterias

b) Calculando el tiempo en que se llega 40 000 bacterias:

40000=4000e0,1386t

400004000

=e0,1386 t

10=e0,1386t

ln 10=lne0,1386t

ln 10=0,1386 t ( lne )

ln 10=0,1386 t

ln100,1386

=t

2,30260,1386

=t

16,6132=t

t=16h36m52 seg

12

El número de bacterias de cierto cultivo crece de 3000 a 18000 en 10 horas. Si

suponemos que la tasa de rapidez es proporcional al número de bacterias:

a) Calcular el número de bacterias luego de 30 horas.

b) ¿Cuándo la población será el triple de la inicial?

Ejercicio 03



Solución:

a) Calculando el valor de k:


P ( t )=P0 ekt

Donde:

P0=3000

t=10horas

P ( t )=18000

Reemplazando:

18000=3000ek (10)

180003000

=ek (10)

6=ek (10)

ln (6 )=ln (e10 k )ln (6 )=10k ( lne )

ln (6 )=10k

ln (6 )10

=k

1,791810

=k

k=0,1792


P (30 )=3000e0,1792 (30)

P (20 )=3000e5,3753

P (20 )=3000 (216 )

P (20 )=648000bacterias

b) Calculando el tiempo en que la poblacoión se triplicará (9 000 bacterias):

9000=3000e0,1792t

13



90003000

=e0,1792t

3=e0,1792t

ln 3=lne0,1792t

ln 3=0,1792 t (lne )

ln 3=0,1792 t

ln30,1792

=t

6,1317=t

t=6h7m 54 seg

Solución:

a) Calculando población en dos horas:


P ( t )=P0 ekt

Donde:

P0=3

t=10min

P ( t )=6

Reemplazando:

6=3ek (10)

63=ek (10 )

2=e10 k

ln (2 )=ln e10k

ln (2 )=10k (lne )

ln (2 )=10k

14

Si en un recipiente hay 3 microorganismos que se duplican cada 10 minutos, determina:

a) Cuantos microorganismos habrá despues de dos horas.

b) En cuanto tiempo la población de microorgnaismos será mayor de 20000.

Ejercicio 04



ln (2 )10

=k

0,693110

=k

0,0693=k

Reemplanzando el valor de k

P (120 )=3e0,0693 (120 )

P (120 )=3e8,3178

P (120 )=3 (4096 )

P (120 )=12288

b) Calculando población en el año 2020:


P ( t )=P0 ekt

Donde:

20000≤3e0,0693 t

200003

≤e0,0693t

6666,67≤e0,0693t

ln (6666,67 )≤ lne0,0693t

ln (6666,67 )≤0,0693 t (lne )

ln (6666,67 )≤0,0693 t ln (6666,67 )0,0693

≤ t

8,80490,0693

≤ t

127≤ t

Ejercicio 01:

15

En un cultivo de bacterias, se estimó que inicialmente había 150 bacterias y 200

después de una hora. Suponiendo una rapidez de crecimiento proporcional a la

cantidad de bacterias presente, determinar:

a) La cantidad de bacterias después de t horas.

b) La cantidad de bacterias después de 2 horas.

c) El tiempo que debe transcurrir para que la población se triplique.

Ejercicio 05



Solución

Calculando el valor de k:


P ( t )=P0 ekt

Donde:

P0=150

t=1

P (t )=200

Reemplazando:

200=150ek .1

200150

=ek

43=ek

ln ( 43 )=ln (ek )

ln ( 43 )=k (lne )

ln ( 43 )=k

k=0,2877

Luego en t horas tenemos:

P ( t )=P0 ekt

P (t )=150e0,2877 t


P (2 )=150e0,2877 (2)

P (2 )=150e0,5754

P (2 )=150 (1,7778 )

P (2 )=266,27 P (2 )=266bacterias

Calculando el tiempo en que se triplica (450 bacterias):

16



Luego en t horas tenemos:

P ( t )=P0 ekt

450=150e0,2877t

450150

=e0,2877 t

3=e0,2877t

ln (3 )=ln (e0,2877t )ln (3 )=0,2877 t ( lne )

ln (3 )=0,2877 t

ln (3 )0,2877

=t

1,09860,2877

=t

t=3,8186

t=3h49m 7 s

Solución

a) Sea P ( t ) la población total de bacterias después det h. Como no se dice la población inicial,

suponemos que ésta es P0 y, debido a que la población creció un 50% en 1 h, entonces:

P (1 )=p0+1,5 p0

Por lo tanto, P ( t ) está dada por la solución del PVI:

P ( t )=kP ( t ) Con P (0 )=P0 y además P (1 )=1,5 P0

17

Cierta población de bacterias tiene una rapidez de cambio proporcional a sí misma. Si

en una 1 h tuvo un crecimiento del 50 por ciento:

a) ¿Cuál es la población después de t horas?

b) ¿En cuánto tiempo se duplicará la población?

c) ¿Cuánto habrá aumentado la población en 10 h?

Ejercicio 06



Sabemos queP (t )=P0 ekt , entonces:

P (1 )=1,5 P0→P0 ek=1,5 P0→ek=1,5→k=ln (1,5 )≈0,4055

→P ( t )=P0 e0,4055t

Que es la solución del PVI que da la población de bacterias después de t horas.

b) Para conocer cuándo se duplica la población:

P ( t )=2P0→P0 e0,4055 t=2P0→e0,4055 t=2

→0,4055 t=ln (2 )→t=ln (2 )0,4055

≈1,7094 h.

Hallamos que la población se duplicará en:

t ≈1hora ,42minutos ,33 segundos .

3. La población después de 10 h es:

P (t )=P0 e0,4055 t

P (10 )=P0 e0,4055 (10)

P (10 )=P0 e4,055

P (10 )=57,685 P0

Por lo tanto, en 10 h la población habrá aumentado a 57:685 veces la población inicial.

Solución.

18

Si la población de cierta comunidad crece al 2% anual ¿Cuántos años deben transcurrir para

que la población se duplique?

Ejercicio 07



Aquí, el 2% anual mencionado es precisamente la tasa de crecimiento de población. Se

tiene entonces que k=2%=0,02. Además, por la primera observación, el tiempo para que una

población se duplique está dado por:

t d=ln2k

= ln20,02

≈34,6574 años→t d≈34 años ,240días .

Solución.

Se tiene que: P (0 )=300; en 1980: P (10 )=1500 y para el 2000: P (30 )=?

Se tiene que según el modelo Maltusiano:

dPdt

(t )=kP ( t )

P0=P (0 )

Cuya solución es:

P ( t )=P0 ekt

Para nuestro caso:

P=300 ekt

Utilizamos que P (10 )=1500 para obtener k :

1500=300e10 k

5=e10 k

ln (5 )=10k

k=ln (5 )10

k=0,16

Luego: la solución será

P ( t )=300e0,16t

19

En 1970 la población de caimanes en el centro espacial Kennedy fue estimada en 300, y en

1980 en 1500. Dar una estimación de la población en el año 2000 mediante el modelo

Maltusiano.

Ejercicio 08



P (30 )=300e0,16 (30 )

P (30 )=300e4,8

P (30 )=36453 indivudios enel año2000

Solución.

a) Se tiene que: P (0 )=971mill .; en el año 2 000; k=0,02 y para el 2 006: t=6

Según el modelo Maltusiano, se tiene:

P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )

Reemplazando los valores según datos:

P (6 )=971e0,02 (6 )

P (6 )=971e0,12

P (6 )=971 (1,1275 )

P (6 )=1094,799442

Rpta: Al 2 006 la población será de 1 094 799 442 hab. Aprox.

b) Se tiene que: P (0 )=971mill .; en el año 2 000; k=0,02 y P ( t )=1200mill .


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )


20

En el 2000 la población estimada de la india era de 971 millones y ha estado creciendo a una

tasa de alrededor del 2% anual. Suponiendo que esta tasa de crecimiento es continua, calcule:

a) La población de la India al año 2006 R 1095 millones

b) En qué año serán 1200 millones de personas.

Ejercicio 09



1200=971e0,02 t

1200971

=e0,12t

ln (1200971 )= ln (e0,12 t )

ln (1,2358 )=0,12 t ( lne )

0,2118=0,12 t

0,21180,12

=t

1,7616=t

t=1año9meses5días aprox .

Rpta: Deberá transcurrir 1 año y 09 meses aproximadamente.

Solución.

Se tiene que: P (0 )=20 ; en el año 0; k=0,002 y t=10


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )


P (10 )=20e0,002 (10)

P (10 )=20e0,2

P (10 )=20 (1,0202 )

21

En la ciencia de la pesca se conoce como “cohorte” al conjunto de peces que resulta de una

reproducción anual. Normalmente se supone que el número P ( t ) que sigue vivo cuando han

pasado t años, está dado por una función exponencial de Malthus. Para el pez hipogloso del

Pacifico, P (t )=P0 e0,002 t, en la que P0 es el tamaño inicial del cohorte. Si el tamaño inicial es de

20 ¿Cuántos viven después de 10 años?

Ejercicio 10



P (10 )=20,4040

Rpta: Después de 10 años, la población será de 21 peces aprox.

Solución.

a) Se tiene que: P (0 )=5000 en el año 1978; k=0,047 y para el año 2000 t=22


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )


P (22 )=5000e0,047 (22)

P (22 )=5000e1,034

P (22 )=5000 (2,8123 )

P (22 )=14062

Rpta: Para el año 2000 la población estimada de ballenas es de 14 064 ballenas.

b) Se tiene que: P (0 )=5000 en el año 1978; k=0,047 y para el año 2007 t=29

22

En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió a la población

mundial de la ballena azul contra los barcos balleneros. En 1978 se estimaba que la

población en el hemisferio sur era de 5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento

abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo

con la formula P (t )=5000e0,047 t, en la que t está dado en años.

a) Pronostique la población en el año 2000.

b) Pronostique la población en el año 2007.

c) Siguiendo el modelo creado y asumiendo que 0% de natalidad y 1978 como año cero.

¿Cuándo se duplicará la cantidad de ballenas azules?

Ejercicio 11




P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )


P (22 )=5000e0,047 (29)

P (22 )=5000e1,363

P(22)=5000(3,9079)

P(22)=19 540

Rpta: Para el año 2007 la población estimada de ballenas es de 19 540 ballenas.

c) Se tiene que: P(0)=5000 en el año 1978; k=0,047 ; para que año P (t )=10000


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )


10000=5000e0,047 t

100005000

=e0,047t

2=e0,047 t

ln (2 )=ln (e0,047 t )

0,6931=0,047 t (lne )

0,6931=0,047 t

0,69310,047

=t

14,7478=t

Rpta: Para que la población de ballenas se duplique, deben transcurrir 15 años aproximadamente.

23

Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada población de bacterias es directamente

proporcional al número de bacterias existentes. Se realiza un cultivo en laboratorio,

introduciendo 2,5 millones de bacterias en un recipiente. Se observa que la población se

duplica cada 3 horas. Calcular la población existente al cabo de 11 horas.

Ejercicio 12



Solución.

Se tiene que: P (0 )=2,5mill .; P (3 )=5mill . para t=11horas


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )

Reemplazando los valores según datos para hallar k:

5=2,5ek ( 3)

52,5

=e3k

2=e3k

ln (2 )=ln (e3k )0,6931=3k (lne )

0,6931=3k

0,231=k

Hallando el valor de P ( t ) para t=11:

P (11)=2,5 e0,231 (11 )

P (11)=2,5 e2,5415

P (11)=2,5 (12,6992 )

P (11)=31,748021

Rpta: En 11 horas la población de bacterias será de 31,75 millones de bacterias aprox.

24

En el año 1980, el departamento de recursos naturales liberó 1000 ejemplares de una especie

de pez en un lago. En 1987, la población de estos peces en el lago se estimó en 3000. Use la

ley de Malthus para el crecimiento de poblaciones y estime la población de estos peces en el

lago en el año 2010.

Ejercicio 13



Solución.

Se tiene que: P (0 )=1000; en el año 1980. P (7 )=3000 para t=7años. En 1987.


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )

Reemplazando los valores según datos para hallar k:

3000=1000ek (7)

30001000

=e7k

3=e7 k

ln (3 )=ln (e7k )1,0986=7k ( lne )

1,0986=7k

1,09867

=k

0,1569=7k

Hallando el valor de P ( t ) para t=30:

P (30 )=1000e0,1569 (30)

P (30 )=1000e4,7083

P (30 )=1000 (110,8678 )

P (30 )=110868

Rpta: Para el año 2010 la población de esa especie de peces en el lago será de: 110868 peces.

25

La población mundial en el año 1998, era de aproximadamente 5,9 billones de personas, y se

sabe que crece, aproximadamente en un 1,33% cada año. Asumiendo que el crecimiento de la

población se rige por el modelo exponencial, calcular el valor estimado de la población para el

año 2023.

Ejercicio 14



Solución.

Se tiene que: P (0 )=5,9bill .; en el año 1998.k=0,0133% ; para t=25años. En 2023.


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )


P (25 )=5,9e0,0133 (25)P (25 )=5,9e0,3325

P (25 )=5,9 (1,3944 )

P (25 )=8,2272

Rpta: Para el año 2023 la población mundial se estima en 8,2 billones de personas.

Solución.

Se tiene que: P (0 ) ¿P0; y también P (1 )¿2 P0 para t=1año.


P ( t )=P0 ekt

Dónde: P0=P (0 )

Reemplazando los valores según datos para t=1año:

2 P0=P0 ek (1) 2P0

P0=ek

26

Si la población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de

personas que tiene en cualquier momento t y si la población se duplica en un año, ¿en cuánto

tiempo se triplicará?

Ejercicio 15



2=ekln (2 )=ln (ek )0,6931=k ( lne )0,6931=k

Calculando el tiempo en el que la población se triplica:

3 P0=P0 e0,6931t 3P0

P0=e0,6931 t3=e0,6931tln (3 )=ln (e0,6931t )1,0986=0,6931 t ( lne )1,0986

0,6931=t

1,585=t

t=1año7meses

Rpta: La población se triplicara en un año y 7 meses aproximadamente

Modelo de la Ecuación Logística.

En situaciones tan diversas como la población humana de una nación y la población de la

mosca de la fruta en un recipiente cerrado; con frecuencia se observa que la tasa de natalidad

disminuye cuando la población aumenta. Las razones pueden ser diferentes, desde el incremento

en el refinamiento científico o cultural hasta la limitación de los recursos alimenticios. Por ejemplo,

supónganse que la tasa de natalidad β es una función lineal decreciente del tamaño de la

población P, de modo tal que β=β0−β1 .P, donde β0 y β1 son constantes positivas. Si la tasa de

mortalidad δ=δ 0, permanece constante, la ecuación (2) toma la forma:

dPdt

=(β0−β1−δ0 ) P

Es decir:

dPdt

=aP−b P2 (2)

En donde:

a=β0−δ 0 y b=β1

Si ambos coeficientes: a y b, son positivos, la ecuación (2) se llama ecuación logística.

Para el propósito de relacionar el comportamiento de la población P (t ) con los valores de los

parámetros de la ecuación, es útil reescribir la ecuación logística en la forma:

dPdt

=kP (M−P ) (3)

27



Donde k=b y M=a/b son constantes. Si suponemos que 0<P<M entonces la ecuación

(3) puede resolverse separando las variables de la siguiente forma:

dPP (M−P )

=kdt

∫ dPP (M−P )

=∫ kdt

∫ 1P (M−P )

dP=∫ kdt

1M∫ M

P (M−P )dP=∫kdt

1M∫( 1P+ 1

M−P )dP=∫kdt

1M (∫ 1

PdP+∫ 1

M−PdP)=∫kdt

1M

[ lnP−ln (M−P ) ]=kt+C

ln ( PM−P )=kMt+C

La expresión da:

PM−P

=A ekMt

Donde A=ec sustituimos t=0 en ambos miembros de la ecuación para determinar que

A=P0

M−P0. Así:

PM−P

=P0e

kMt

M−P0

Esta ecuación es fácil resolver para:

p (t )=k p0

h p0+(k−k p0 )e−kt

Otra forma de representarla más sencillamente es:

P ( t )=M P0

P0+(M−P0 )e−kMt (4)

28



Aunque hicimos la suposición de que 0<P<M a fin de deducir la ecuación (4), esta

restricción no es necesaria, ya que podemos verificar por sustitución directa en la ecuación (3) que

P ( t ), como se da en (4), satisface la ecuación logística si 0<P<M o P≥M .

Poblaciones límite y capacidad de mantenimiento

Si la población inicial satisface 0<P0<M, entonces la ecuación (4) demuestra que P ( t )<M

para todo t ≥0; y también que:

limt →∞

P (t )=M (5)

Por tanto, una población que satisface la ecuación logística no es similar a una población

con crecimiento natural; no crece sin límite, sino que, se aproxima a la población límite M cuando

t→+∞. La figura 2.1.2 (en la queM=k=1) muestra curvas solución típicas correspondientes a

diferentes poblaciones iniciales e ilustra el hecho, de que sin importar cuál pueda ser la población

inicial (positiva) P0, P ( t )→M cuando t→+∞.

P ´ (t )=kP (M−P )>0

Ya que 0<P<M, vemos que en este caso la población es constantemente creciente

mientras se aproxima a la población límite M . Algunas veces a M se le conoce como la capacidad

de mantenimiento del entorno o ambiente, considerándola como la población máxima que el

entorno puede soportar a largo plazo.

Para investigar la forma de la curva solución ilustrada en la figura 2.1.2, diferenciamos

cada miembro de la ecuación logística dPdt

=kP (M−P ) con respecto a t . Ésta da:

d2P

dt 2=[ d

dP ( dPdt )]( dPdt )=(kM−2kP ) [ kP (M−P ) ]

d2Pdt 2

=2k2(P−M2 )(P−M )

Por tanto:

P ´>0 Sí 0<P< M2

;

29



P ´=0 Sí P= M2

;

P ´<0 Sí M2

<P<M

De aquí que cualquier curva solución que cruza la recta P= M2

tiene un punto de inflexión

en donde ella cruza esa recta, y por lo tanto se parece a una de las curvas con forma de S que

aparecen en la parte inferior de la figura 2.1.2. En este caso la población aumenta a una tasa

creciente hasta P= M2

de allí en adelante aumenta en una razón decreciente.

Si P0>M , de modo que la población inicial exceda la población límite, entonces un análisis

análogo muestra que P ( t ) en realidad es una función decreciente con una gráfica semejante a una

de las curvas superiores.

¿Puede ver, tanto de la ecuación (3), que si P0=M?, entonces P ( t )=M para toda t ≥0?

En este caso la población permanece constante.

Nota Histórica: La ecuación logística fue introducida (alrededor de 1840) por el matemático y

demógrafo belga P.F. Verhulst como un modelo posible para el crecimiento de la población

humana. En los ejemplos siguientes, comparamos el modelo de crecimiento natural y el modelo

logístico que se ajustan a la información del censo de población de los Estados Unidos del siglo

XIX, y luego comparamos las proyecciones para el siglo XX.

Más aplicaciones de la ecuación logística:

A continuación describiremos algunas situaciones que ilustran la variedad de

circunstancias que las que la ecuación logística es un modelo matemático satisfactorio.

Situación de ambiente limitado: Cierto ambiente puede sostener una población de a lo más M

individuos. Entonces, resulta razonable esperar que la tasa de crecimiento β−δ (tasa combinadas

de natalidad y mortalidad) sea proporcional a M−P como el potencial de expansión futura.

Entonces,β−δ=k (M−P ), de modo que:

dPdt

=(β−δ )P=k (M−P )

30



El clásico ejemplo de una población con ambiente limitado es el de la población de las

moscas de la fruta en un recipiente cerrado.

Situación Competitiva: si la tasa de nacimiento β es constante, pero la tasa de mortalidad δ

es proporcional a P, de modo que δ=αP, entonces:

dPdt

=(β−αP ) P=kP (M−P )

Esto podría ser una hipótesis de trabajo razonable para el estudio de una población

caníbal, en la que todas las muertes resultan del encuentro fortuito entre los individuos. Por su

puesto, la competencia entre ellos no es tan mortal ni los efectos son tan inmediatos y decisivos.

Situación de proporción conjunta: sea P (t ) el número de individuos en una población M

que es constantemente a una susceptible a una enfermedad de la que está infectada, enfermedad

que es contagiosa e incurable. La enfermedad se esparce a causa de encuentros fortuitos.

Entonces, P (´ t ) debe ser proporcional al producto del número P de individuos que padecen la

enfermedad por el número M−P de los que no la padecen, de modo que: dPdt

=kP (M−P ). De

nueva cuenta descubrimos que el modelo matemático es la ecuación logística. La descripción

matemática de la propagación de un rumor en una población de M individuos es idéntica.

Día del juicio contra extinción:

Considere una población P ( t ) de animales silvestres en las que las hembras dependen

solamente de encuentro fortuitos con machos para reproducirse. Es razonable esperar que tales

encuentros ocurran proporcionalmente al producto del número P2

de hembras, por lo que la tasa

será proporcional a P2 . Por ello supondremos que cada uno de los nacimientos ocurren a una

tasa de k P2 (por unidad de tiempo, con k constante). Así, la tasa de natalidad está dada por

β=kP. Si la tasa de mortalidad δ es constante entonces la ecuación general de poblaciones en

(2), conduce a la ecuación diferencial:

dPdt

=k P2−δP=¿kP (M−P ) (10)

(En la que M=dk>0), como un modelo matemático de la población.

31



Observe que el miembro derecho de la ecuación (10) es el negativo del miembro derecho

de la ecuación logística (4). Veremos que la constante M es ahora una población umbral, la forma

en la que la población se comporte en el futuro depende estrictamente de que la población inicial

P0 sea menor o mayor a M .

CASO 1: P0>M . De la ecuación (10) vemos que P ´ (0 )=k P0 (P0−M )>0, de modo que

¿kP (M−P )>0, de modo que P (t ) comienza siendo creciente. Por tanto, P ´ (t ) permanece

positiva, y así P ( t ) continúa en aumento y por lo tanto P ( t )>M para toda t ≥0 observamos que:

1P (P−M )

= 1M ( 1P− 1

P−M )∫ dP

P (P−M )=∫ kdt

∫( 1P− 1P−M )dP=−∫kMdt

lnP

P−M=−kMt+C1

Y así, la sustitución de P0 por P y de 0 por t nos da:

C1=lnP0

P0−M=lnC

En la que C=P0

P0−M>1. Luego, la exponenciación produce

PP−M

=Ce−kMt, que

resolvemos para obtener:

P (t )= CM e−kMt

C e−kMt−1(11)

Obsérvese que el denominador de la ecuación (11) se aproxima a cero cuando:

t→T=lnCkM

= 1kM

lnP0

P0−M>0

Por lo tanto:P ( t )→+∞ cuando t→T . Esta es la situación del día del juicio.

32



CASO 2: 0<P0<M . En este caso. P ´ (0 )<0 y se sigue que: P (t )<M para toda t ≥0. Una

separación de variables análoga ahora conduce a:

P ( t )= CM e−kMt

C e−kMt+1(12)

En la que: C=P0

CM−P0>0. La diferencia entre este caso y el anterior es que el

denominador en la ecuación (12) permanece mayor a 1. Y se sigue que P ( t )→0 cuando t→+∞.

Esta es una situación de extinción.

Así que la población o bien crece explosivamente o es una especie en peligro, amenazada

por la extinción, dependiendo de su tamaño inicial. Una aproximación a este fenómeno se observa

con poblaciones animales, tales como el lagarto de ciertas áreas al del sur de los Estados Unidos.

El proyecto de computo modelos logísticos de datos de población.

El modelo de Malthus sólo consideraba muertes por causas naturales. ¿Y qué hay de las

muertes prematuras debidas a la desnutrición, la falta de medicamentos, transmisión de

enfermedades, crímenes, etc.? Estos hechos implican una competencia entre la población, de

modo que podríamos suponer que existe otra componente de la tasa de defunción, provisional al

número de interacciones por pareja. Hay p ( p−1 )2

de tales interacciones posibles para una

población de tamaño p. Así, si combinamos la tasa de nacimiento (8) con la tasa de defunción y

ordenamos las constantes, obtenemos el modelo logístico.

dPdt

=k 1−k3p ( p−1 )2

O

dPdt

=−Ap ( p−p1 ), p (0 )=P0

Donde A=k32

y p1=2k1k3

+1.

La ecuación (14) tiene dos soluciones de equilibrio p (t )=p1 y p (t )=0. Las soluciones que

no son de equilibrio se pueden determinar separado variables y usando la tabla de integrales del

forro.

33



Si p (t )=p0 en t=U y c3=t−p1p0

, al despejar p (t ) tenemos:

p (t )=P1

1−c3e−Apt =

P0 P1P0+( p1−p0 )e−Apt (15)

Ejercicios de Aplicación

Solución

P (t )=M P0

P0+(M−P0 )e−kMt

23192=M (5308 )

5308+(M−5308 )e−50 kM

También:

76212=M (5308 )

5308+(M−5308 )e−100 kM

Con las incógnitas k y M. sistemas no lineales como éste por lo común se resuelven

numéricamente utilizando un sistema de cómputo adecuado. Pero con un correcto artificio

matemático las ecuaciones pueden resolverse manualmente para obtener k=0,000167716,

M=188,121. La sustitución de estos valores en la ecuación (4) produce el método exponencial

.

P ( t )= 998546

5308+ (182813 ) e−(0,03155 )t (8)

34

La población de los Estados Unidos de 1850 fue de 23 192 millones. Si tomamos P0=5308 y

sustituimos las parejas de datos t=50, P ( t )=23192 y t=10, P ( t )=76212 (para 1900) en la

formula del modelo de la ecuación (4) obtenemos las dos ecuaciones:

Ejercicio 01



Solución:

En la ecuación (3) sustituimos los dos pares de datos propuestos y encontramos que:

0,75=50k (M−50 )

1,00=100k (M−100 )

Resolvemos las ecuaciones simultáneamente para encontrar que M=200 y k=0,0001 por

tanto la población límite del país en cuestión es de 200 millones de habitantes. Con estos valores

M y k, y con t=0 correspondiente al año 1940 (en el cual P0=100), encontramos que, a

consecuencia de la ecuación (4), la población en el año 2000 será:

P (60 )= 200 (100 )100+(200−100 ) e−0,0001 (200 )(60)

Que es de casi 153,7 millones de habitantes.

Solución.

Sustituyendo P0=10 y M=100 (miles) en la ecuación (4), obtenemos:

35

Supóngase que en 1885 la población de cierto país era de 50 millones de personas y que estuvo

creciendo a razón de 750000 personas por año en ese tiempo, suponga que en 1940 la población era de

100 millones y que a partir de …. El crecimiento era a razón de 1 millón al año. Supongamos que la

población es calculada con la ecuación logística. Determinaremos tanto la población límite M como la

población pronosticada para el año 2000.

Ejercicio 02

Suponga que en un instante t=0, 10000 personas en una ciudad con una población

M=100000 personas ha oído cierto rumor. Después de una semana el número P (t ) de

aquellas que han escuchado el rumor ha aumentado a P (1 )=20000. Suponiendo que P (t )

satisface la ecuación logística, ¿cuánto tiempo pasará para que el 80% de la población haya

oído el rumor?

Ejercicio 03



P ( t )= 1000

10+90e−100kt

Luego, la sustitución t=1, P ( t )=20 da la ecuación:

20= 1000

10+90e−100 (1 )t

20= 1000

10+90e−100t

Esto se resuelve con facilidad para obtener:

e−100 (1) t=49

. De modo que k=1100

ln94≈0,008109.

Con P ( t )=80, la ecuación (9) toma la forma:

80= 1000

10+90e−100kt

Que resolvemos para: e−100 kt= 1

36. Se sigue que el 80% de la población ha oído el rumor cuando:

t= ln 36100k

t= ln 36

ln94

t=4,42

Es decir, después de casi 4 semanas y 3 días.

36

Supongamos que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus

de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no

solo a la cantidad x de estudaintes infectados sino tambien a la cantidad de estudiantes no

infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se

observa que después de 4 dias P (4 )=50.

Ejercicio 04



Solución:

Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el

problema con valores iniciales.

dPdt

=kP (1000−P ), x (0 )=1

Identificando a=1000k y b=k , vemos de inmediato la ecuación (5) que:

P ( t )= 1000k

k+(1000−1 ) k e−1000 kt

P ( t )= 1000

1+999e−1000 kt

Ahora, usamos la información P (4 )=50 y calculamos k con:

50= 1000

1+999e−1000 k

Encontramos:−1000k=14ln14999

k=−0,9906

Por tanto:

P ( t )= 1000

1+999e−0,9906t

Finalmente:

P (6 )= 1000

1+999e−0,9906 (6 )

P (6 )= 1000

1+999e−5,9436

P (6 )=276estudiantes

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ecuaciones diferenciales

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