ODDZIAŁYWANIE ELEKTRYCZNE

Siła z jaką dwa ładunki oraz odległe o oddziaływają na siebie wyraża się wzorem:

(5.1)

gdzie jest jednostkowym wektorem =1Współczynnik w układzie SI wynosi:

(5.2)

jest przenikalnością elektryczną próżni

jest jednostką ładunku elektrycznego zwaną KulombWyrażenie na siłę można zapisać:

(5.3)

Jednostka ładunku elektrycznego jest zdefiniowana ze wzoru (5.3) :

Jednostka ładunku 1C – Kulomb to jest ładunek, który umieszczony w odległości 1m od równego sobie odpycha do w próżni siłą 8.987109N

1

Inny zapis wyrażenia na siłę:

(5.4)

Pole elektryczne E

Obszar, w którym na ładunek elektryczny działa siła nazywamy polem elektrycznym. Siła ta pochodzi od obecnych w przestrzeni różnych ładunków elektrycznych.

Natężenie pola elektrycznego

(5.5)

Natężenie E pola elektrycznego jest równe sile działającej na jednostkowy ładunek q=1C umieszczony w wybranym punkcie przestrzeni

Dla ładunku punktowego rozkład pola elektrycznego jest radialny i tak pole wytworzone przez ładunek jest zapisane wzorem:

(5.6)

Strumień pola elektrycznego:

Pojęcie strumienia wprowadza się dla dowolnego pola wektorowego (5.7)

2

Całkujemy po powierzchni , która nie musi być powierzchnia zamkniętą, wielkość jest prostopadła do elementu powierzchni ds.

Tak więc dla pola elektrycznego strumień pola jest wyrażony wzorem:

(5.8)

Przykład (E1):

Rys. 5.1 Pole elektryczne E przechodzące przez walec.

Strumień pola przez zamkniętą powierzchnię walca liczymy sumując strumienie: przez pobocznicę walca oraz i przez ścianki boczne, o powierzchniach A (1) = A (2) =A:

, (E1.1)

, ze względu na wzajemne relacje geometryczne wektorów E i ds.

również ze względu na wyżej wspomniane relacje

3

Całkowity strumień pola przenikający przez powierzchnię walca jest równy zero

Prawo Gaussa

Prawo Gaussa zastosowane do dowolnej hipotetycznej powierzchni (powierzchnia Gaussa) daje związek między strumieniem , pola E, przechodzącym przez tę powierzchnię i całkowitym ładunkiem zamkniętym wewnątrz tej powierzchni.

(5.9a)

(5.9b)

Przykład (E2):

Kula o promieniu naładowana jest ładunkiem całkowitym o gęstości objętościowej ładunku . Należy wyliczyć natężenie pola w punkcie odległym od środka kuli:

a)

b)

ad a)wybieramy sferę jako powierzchnię Gaussa, powierzchnia ta przechodzi przez punkt, w którym chcemy obliczyć pole . Na wybranej powierzchni pole jest stałe co do wartości oraz wektory są do siebie równoległe:

4

, , (E2.1-3)

ad b)wybieramy powierzchnie Gaussa jak wyżej, z tym, że teraz punkt, w którym wyliczamy pole znajduje się wewnątrz naładowanej kuli. Należy więc obliczyć całkowity ładunek znajdujący się wewnątrz kuli o promieniu .Gęstość objętościowa wynosi:

(E2.4)

całkowity ładunek zawarty w rozważanej objętości wynosi:

(E2.5)

Korzystając z prawa Gaussa otrzymujemy:

, (E2.6-7)

stąd:

5

(E2.8)

Na rysunku 5.1 przedstawiona jest zależność natężenia pola elektrycznego od , dla jest to zależność liniowa, natomiast dla natężenie pola

maleje, jak

Rys. 5.2 - Zależność pola elektrycznego, pochodzącego od kuli naładowanej z gęstością objętościową , od odległości r od środka kuli

Przykłady do rozwiązania:

1. wyliczyć pole pochodzące od jednorodnie naładowanego pręta z gęstością liniową .

2 . wyliczyć pole pochodzące od jednorodnie naładowanej nieskończonej płaszczyzny z gęstością powierzchniową

6

Oddziaływania magnetyczne

Oddziaływania elektryczne i magnetyczne są ze sobą związane i reprezentują dwa aspekty tej samej własności materii-ładunku.Dlatego oddziaływania te powinny być rozważane jako całość. Czyli oddziaływania elektromagnetyczne.

Siła z jaką pole magnetyczne działa na ładunek poruszający się z prędkością jest wyrażona wzorem:

(5.10)

Na podstawie wzoru (5.10) jest podana definicja jednostki natężenia pola magnetycznego .

- tesla

Szukamy wyrażenia na siłę z jaką zewnętrzne pole magnetyczne działa na przewodnik z prądem – ładunki w ruchu.

Przykład (E3):

Rozważamy kawałek prostego przewodnika o przekroju w którym przemieszczają się z prędkością cząstki o ładunku ilość naładowanych cząstek w jednostce objętości wynosi , przewodnik jest umieszczony w zewnętrznym polu magnetycznym . Wprowadzamy pojęcie wektora gęstości prądu .

W tym celu należy najpierw znaleźć liczbę cząstek przechodzących przez jednostkową objętość w jednostce czasu. Jako jednostkową objętość

7

przyjmiemy walec o powierzchni przekroju oraz pobocznicy równoległej do wektora prędkości i długości przy czym . Stąd jednostkowa objętość jest równa . Tak więc dla naładowanych cząstek w jednostce objętości , gęstość prądu, która odpowiada liczbie naładowanych cząstek wynosi , wektor gęstości prądu wynosi

Gęstość prądu jest wielkością charakterystyczną dla punktów wewnątrz przewodnika. Gdy rozkład natężenia prądu jest równomierny na powierzchni przekroju przewodnika to gęstość prądu może być

przedstawiona związkiem i jest taka sama we wszystkich punktach

przekroju przewodnika.

(E3.1)

Ze związku (E3.1) wynika, że natężenie prądu jest strumieniem wektora gęstości prądu przez dowolną powierzchnię przewodnika.

(E3.2)

Siła z jaką zewnętrzne pole magnetyczne działa na jednostkę objętości rozważanego przewodnika wynosi:

(E3.3)

Siła z jaką zewnętrzne pole magnetyczne działa na element objętości przewodnika wynosi:

8

(E3.4)

Całkowita siła jest wyrażona wzorem:

(E3.5)

Przykładowo dla przewodnika, jak na rysunku poniżej:

Rys. 5.3 Przewodnik o przekroju S i gęstości prądu w zewnętrznym polu magnetycznym B

Rozważamy przewodnik o przekroju S, w którym płynie prąd o gęstości (gdzie - wektor jednostkowy równoległy do ,

Oznaczamy:

9

Element objętości , wówczas siła jest zapisana związkiem:

(E3.6a)

(E3.6b)

Przykład (E4):

Przewodnik prostoliniowy o długości umieszczony w jednorodnym polu magnetycznym , wektory oraz są stałe i tworzą kąt :

Rys. 5.4 Przewodnik prostoliniowy z pradem w zewnętrznym polu magnetycznym B.

Wówczas wzór na siłę ma postać:

(E4.1a)

10

(E4.1b)

Pole magnetyczne wytworzone przez przewodnik z prądem:

Z doświadczenia wiadomo, że wokół przewodnika z prądem powstaje pole magnetyczne . Pole to opisane jest prawem Ampera-Laplace’a, zwane również prawem Biota-Savarta.

(E4.2)

gdzie: jest współczynnikiem, który w układzie jednostek SI wynosi

jest przenikalnością magnetyczną próżni, jest wektorem jednostkowym, równoległym do wektora gęstości prądu

jest wektorem jednostkowym równoległym do wektora

Wzór (5.10) jest wyrażeniem na pole jakie występuje w punkcie oddalonym o od elementu przewodnika o długości , w którym płynie prąd o natężeniu I.

(E4.3)

Ponieważ prąd elektryczny jest ruchem ładunków, więc pole magnetyczne, a w konsekwencji oddziaływania magnetyczne są wytwarzane przez ładunki w ruchu.

11

Przykład (E5):

Pole magnetyczne nieskończenie długiego przewodnika prostoliniowego

Rys. 5.5 Ilustracja do wyliczenia pola magnetycznego wytworzonego przez przewodnik z prądem: - wektor jednostkowy

- wektor jednostkowy łączącego punkt P z aktualnie rozważanym elementem dl przewodnika

- określa odległość punktu P od przewodnika - natężenie prądu płynącego w rozważanym

przewodniku

Zgodnie z wynikiem iloczynu wektorowego wektorów jednostkowych mamy:

(E5.1)

12

wykorzystując związek (E5.1), otrzymujemy następujące wyrażenie na pole magnetyczne:

(E5.2)

Jak widać z rysunku:

(E5.3)

(E5.4a)

(E5.4b)

Zmieniamy granice całkowania:

Dla

Wyrażenie (E5.3) oraz (E5.4b) wstawiamy do równania (E5.2) i wówczas otrzymujemy:

(E5.5a)

13

(E5.5b)

(E5.6a)

(E5.6b)

Równania (E5.6a,b) stanowią formułę Biota-Savarta, z której można wyliczyć wartość pola magnetycznego wytworzonego przez przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu , w odległości od tego przewodnika.

Przykład (E6) - Siła działająca między dwoma przewodnikami z prądem:

Dwa równoległe przewodniki z prądami , płynącymi w tym samym kierunku są oddalone od siebie o . Wektory jednostkowe są zdefiniowane jak w przykładzie (E5).

14

Rys. 5.6

Korzystamy z równania (E3.6b) na siłę z jaką pole magnetyczne wytworzone przez przewodnik z prądem działa na przewodnik z prądem :

(E6.1)

ale ,

korzystając z formuły Biota-Savarta otrzymujemy:

(E6.2a)

(E6.2b)

15

Jak wynika ze wzoru (E6.2b) przewodnik z prądem przyciąga przewodnik z prądem

Dwa przewodniki o prądach równoległych przyciągają się, natomiast o prądach antyrównoległych odpychają się.

Korzystając z definicji , wzór (E6.2b) można przedstawić w

postaci:

(E6.3a)

(E6.3b)

Wzór (E6.3b) wykorzystany został do definicji Ampera jednostki natężenia prądu:Dwa przewodniki równoległe, odległe o 1m, w których płyną prądy równoległe o wartości 1A, działają na siebie siłą na każdy metr swojej długości.

Pole magnetyczne poruszającego się ładunku (przypadek nierelatywistyczny):

Prąd elektryczny wytwarza pole , zatem i pojedynczy ładunek w ruchu powinien wytwarzać pole magnetyczne.

Z prawa Ampera – Laplace’a, wzór (E4.3), mamy:

16

(5.11)

Korzystając z zależności:

(gdzie jest polem przekroju przewodnika) (element objętości przewodnika)

przekształcamy wyrażenie:

i wówczas wzór (5.11) przyjmuje postać:

(5.12)

jest ilością naładowanych cząstek w objętości .

Tak więc każda cząstka naładowana będąca w ruchu wytwarza pole magnetyczne:

(5.13)

czyli pole jest prostopadłe do płaszczyzny utworzonej z i .

(5.14)

gdzie jest katem zawartym między wektorami i .

17

Linie sił pola są okręgami:

gdy

Szukamy relacji między polem i pochodzącym od poruszającego się ładunku,

(5.15)

(5.16)

Z równości (5.16) wyliczamy:

(5.17)

Wstawiamy wyrażenie (5.17) do (5.15) i otrzymujemy związek:

(5.18)

Dla fali elektromagnetycznej, propagującej w próżni z prędkością , jest następująca relacja:

18

(5.19)

(5.20)

Ważne wnioski:- ładunek w spoczynku jest źródłem pola elektrycznego .- ładunek w ruchu jest źródłem pola elektrycznego i pola

magnetycznego - powinno zatem używać się terminu pole elektromagnetyczne

Elektromagnetyzm- zasada względności

Prawa fizyki muszą być takie same dla wszystkich obserwatorów inercjalnych. Jakie związki muszą zachodzić, żeby zasada była słuszna?

Rozważamy :

Układ porusza się względem układu wzdłuż osi x-ów z prędkością . Ładunki (ładunek próbny) oraz (ładunek, który wytwarza pole ) znajdują się w spoczynku w układzie . Ładunki i są takie same w układzie i .

19

Rys. 5.7 Układ współrzędnych oraz ładunki Q i q

W układzie , występuje tylko oddziaływanie elektryczne, którego siła jest opisana znanym wzorem (5.21).

(5.21)

jest polem elektrycznym wytworzonym przez ładunek i mierzonym w punkcie, gdzie znajduje się ładunek .Składowe są następujące:

(5.22a-c)

Obserwator znajdujący się w układzie widzi ładunki i w ruchu, czyli występuje pole i , którego siła wyraża się wzorem:

(5.23)

20

Po rozpisaniu iloczynu wektorowego i uwzględnieniu składowej wektora , otrzymujemy następujące równania skalarne na składowe wektora siły w układzie

:

(5.24a-c)

Zgodnie z transformacją Lorentza związki między siłą w układzie , a siłą w układzie są następujące:

(5.25a-c)

Wykorzystując związki (5.22a-c) oraz (5.25a-c) otrzymujemy:

(5.26a-c)

21

Wzory (5.26a-c) stanowią TL dla pola elektromagnetycznego. Wynika z nich, że pola i nie są wielkościami rozdzielonymi, ale stanowią całość - pole elektromagnetyczne. Rozdzielenie pola elektromagnetycznego na składową elektryczną i magnetyczną nie jest sprawa bezwzględną, ale zależy od ruchu ładunku w stosunku do obserwatora. Tak więc możemy mówić o oddziaływaniach elektromagnetycznych.

22

Matematyka pól wektorowychAneks (M)

(Feynmann „Wykłady z fizyki” T II cz.2-ga)

Działanie operatora nabla ( ) na funkcję skalarną oraz funkcje wektorową

1. (wektor) (M.1)

(M.2)

Jest to wektor o znaczeniu fizycznym; przedstawia zmienność skalara w przestrzeni. Składowa x-owa określa zmianę skalara wzdłuż osi x-ów. Szybkość zmian skalara w jakimś kierunku dana jest przez składową w tym kierunku. Wynika stąd, że wektor będzie miał ten kierunek, w którym zmiana względem przesunięcia jest największa. ma kierunek najbardziej stromego wznoszenia się skalara .

2. (skalar) (M.3)

(M.4)

Do ilustracji takiego działania operatora nabla korzysta się z twierdzenia matematycznych, które w teorii pola odgrywają taką rolę , jaką zasada zachowania energii odgrywa w mechanice.Obliczając strumień pola wektorowego wypływającego z pewnej dowolnej objętości uzyskujemy zależność, z której wynika, że:całka po dowolnej powierzchni zamkniętej ze składowej normalnej wektora jest równa całce objętościowej po obszarze ograniczonym tą powierzchnią z dywergencji tego wektora. To jest twierdzenie Gaussa, które dla dowolnego pola wektorowego h jest zapisane:

23

(M.5)

gdzie jest dowolna powierzchnią zamykającą obszar .

Przykład:Prawo Gaussa dla pola :

(M.6)

dla jednostki objętości mamy gęstość ładunku i związek (M.6)

przyjmuje postać postać:

(M.7)

(M.8)

to jest postać różniczkowa prawa Gaussa.

3. wektor (M.9)

24

(M.10)

Ilustracja takiego działania operatora nabla jest związana z krążeniem wektora po krzywej zamkniętej, czyli w skrócie z krążeniem wektora. Nazwa krążenie pochodzi z analizowania krążenia cieczy. Obliczając krążenie dowolnego pola wektorowego po krzywej zamkniętej uzyskujemy zależność, z której wynika, że:całka krzywoliniowa ze składowej normalnej pola wektorowego jest równa całce powierzchniowej, po powierzchni ograniczonej rozważaną krzywą, ze składowej normalnej rotacji pola wektorowego , to jest twierdzenie Stokes’a

Drugie pochodne pól wektorowych:

1.

2.

3.

4.

5. Analizujemy związki, dla których wynik jest równy zero, czyli związki 2 i 4.

Ad 2) Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla dowolnego pola wektorowego zawsze jest spełniony warunek, że

25

to istnieje taka funkcja skalarna , że:

(M.11)

Ad 4) Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla dowolnego pola wektorowego jest spełniony warunek, że:

to istnieje taka funkcja wektorowa h, że :

(M.12)

Stosowane zapisy:

(M.13)

(M.14)Związki wynikające z pochodnych pól wektorowych wykorzystujemy do analizy pola elektrycznego i pola magnetycznego .

Potencjał pola elektrycznego

Wielkość ta wiąże się z natężeniem pola podobnie jak energia potencjalna z siłą zachowawczą:

(5.27)

Dla przypadku, gdy ładunek próbny relacja między natężeniem pola elektrycznego i siłą jest następująca:

26

(5.28)

Definiujemy funkcję skalarną jako potencjał pola elektrycznego i wówczas korzystając, z zależności (5.27) i (5.28) mamy:

(5.29)

Natężenie pola elektrycznego

Zgodnie z matematyką drugich pochodnych pól wektorowych z równania (5.29) wynika, że:

(5.30)

Oznacza to, że krążenie pola jest równe zero, czyli pole elektryczne jest polem bezwirowym.

Prawo Gaussa dla pola w postaci całkowej i różniczkowej:

(5.31)

(5.32)

gdzie jest gęstością objętościową ładunku.

Związki (5.31) i (5.32) oznaczają, że pole jest polem źródłowym.

27

Równania elektrostatyki dla pola .

Postać całkowa Postać różniczkowa Wniosek:

pole źródłowe

pole bezwirowe

28

Inne zapisy:

(5.33)

lub wykorzystując wzór (5.29): ,

równanie Poissona (5.34)

Gdy w przestrzeni nie ma ładunków , , otrzymujemy:

równanie Laplace’a (5.35)

Siła elektromotoryczna:

Krążenie dowolnego pola wektorowego zapisujemy poprzez całkę krzywoliniową po obwodzie zamkniętym :

(5.36)

Jeżeli pole jest potencjalne: to wówczas całka krzywoliniowa nie zależy od drogi i mamy:

(5.37)

Dla pola całka:

29

wyraża pracę wykonaną podczas przemieszczenia jednostkowego ładunku wzdłuż drogi od punktu A do B. Dla drogi zamkniętej (patrz pole zachowawcze) mamy:

dla obwodu zamkniętego (5.38)

Gdy warunek (5.38) nie jest spełniony i mamy związek:

(5.39)

to wielkość nosi nazwę siły elektromotorycznej

Prawa Kirchhoffa:

1. Suma prądów w węźle jest równa zero. Wynika to z zasady zachowania ładunku.

2. Suma spadków potencjałów w obwodzie zamkniętym wynosi zero: patrz równanie (5.38)

30

Siła magnetomotoryczna:

Rozważamy krążenie pola magnetycznego wytworzonego przez prąd płynący w nieskończenie długim przewodniku prostoliniowym.

Rys. 5.8 Przewodnik z prądem I, krążenie pola B

Pole magnetyczne w punkcie A jest prostopadłe do odcinka OA i wynosi:

(5.40)

Szukamy krążenia pola magnetycznego po obwodzie kołowym o promieniu .

31

(5.41)

uwzględniając, że

nosi nazwę siły magnetomotorycznej.

Wykorzystując wzór (5.40) mamy:

(5.42)

Wyrażenie (5.42) na siłę magnetomotoryczną nie zależy od i obowiązuje dla dowolnego konturu otaczającego przewodnik

Ponieważ; , to równanie (5.42) przyjmuje postać:

(5.43)

Związek (5.43) jest prawem Ampera.

Z faktu, że krążenie pola magnetycznego nie jest równe zero, wynika, że pole jest polem wirowym i nie jest polem potencjalnym.Różniczkowa postać prawa Ampera:

Korzystamy z twierdzenia Stokes’a dla pola magnetycznego

(5.44)

32

Wykorzystując związek (5.44) we wzorze (5.43), otrzymujemy:

(5.45)

postać różniczkowa prawa Ampera (5.46)

Pola statyczne:Pola i traktowane oddzielnie, podstawowe równania pozwalające wyliczyć i , gdy znane są ładunki i prądy

Prawo Forma całkowa Forma różniczkowaPrawo Gaussa dla pola ; pole źródłowe

Prawo Gaussa dla pola ; pole bez źródłoweKrążenie pola ; pole bez wirowe

Krążenie pola ; pole wirowe

Przykład H:Zjawiska galwonomagnetyczne-efekt Halla

(Wróblewski, Zakrzewski „Fizyka” T2, cz.2 str. 235)

33

Rys. 1H - Geometria do efektu Halla

Płasko-równoległa płytka metalowa lub półprzewodnikowa , w której płynie prąd (patrz rys) jest umieszczone w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do powierzchni płytki. Między przeciwległymi krawędziami płytki prostopadle do pola B i wektora gęstości prądu j pojawia się różnica potencjałów. Jest to zjawisko Halla odkryte w 1879r.

Siłą z jaka pole B działa na ładunek q poruszający się z prędkością v jest opisana znanym wzorem:

(1H)

Zgodnie z geometrią przedstawiona na rysunku przyjmujemy:

otrzymujemy wyrażenie na siłę:

34

(2H)

Ze związku (2H) wynika, że ładunki gromadzą się wzdłuż osi y-ów. W efekcie wzdłuż tej osi pojawia się pole elektryczne Ładunki będą gromadziły się do momentu, gdy siła pola elektrycznego zrównoważy działanie siły pola magnetycznego:

(3H) Siły pola elektrycznego i magnetycznego mają tylko składowe y-owe:Siła wypadkowa wyrazi się związkiem:

(4H)

stąd:

(5H)

Gęstość prądu wynosi:

(6H)

Wstawiamy związek (6H) do (5H) i otrzymujemy:

(7H)

gdzie : stałą Halla, jest to stała materiałowa.

W oparciu o związek (7H) wyrażenie na stałą Halla można zapisać:

35

(8H)

Dla elektronów

Wymiar RH :

Różnica potencjałów UH wytworzona między ściankami płytki odległymi o Ly

wynosi:

gdzie

(9H)

Znając z eksperymentu UH, I, oraz dla danego materiału RH i grubość płytki Lz

można znaleźć pole B; jest to wykorzystywane do cechowania pola magnetycznego np. między nabiegunnikami w elektromagnesu.

Znając UH, I, B oraz Lz można wyznaczyć RH a stad gęstość nośników prądu n.Podstawowym parametrem mikroskopowym w zjawisku przewodnictwa jest ruchliwość , czyli prędkość nośników prądu dla jednostkowego pola E.

Wielkość tę można wyznaczyć ze związku na przewodnictwo właściwe znając wartość stałej Halla.

(10H)

36

Związek jest słuszny dla metali i niektórych półprzewodników. W przypadku ogólnym należy uwzględnić rozkład prędkości nośników prądu wynikający z ich ruchu termicznego i wówczas:

gdzie A jest parametrem zależnym od efektów rozpraszania nośników prądu w materiale płytki.

A=1 dla metali ,

A 1 dla półprzewodników.

metal RH[10-11m3C-1] U[m2V-1s-1]lit -17.0 0.0018miedź -5.5 0.0032srebro -8.4 0,0056kadm +6.0 0.0080

Pole elektromagnetyczne zależne od czasu

Prawo Faraday’a

Gdy w obszarze działania pola magnetycznego znajduje się zamknięty przewodnik i nastąpi zmiana strumienia pola przechodzącego przez obwód, to w obwodzie powstaje siła elektromotoryczna proporcjonalna do szybkości zmian strumienia.

Zapis analityczny prawa:

(5.47)

37

Korzystamy z definicji strumienia pola wektorowego :

(5.48)

oraz z definicji siły elektromotorycznej;

(5.49)

Wstawiamy związki (5.48) i (5.49) do równania (5.47) i otrzymujemy;

(5.50)

Związek (5.50) stanowi prawo indukcji w postaci całkowej.

Z twierdzenia Stokes’a mamy:

(5.51)

Wstawiając związek (5.51) do równania (5.50) otrzymujemy:

(5.52)

lub w postaci różniczkowej:

(5.53)

38

Zasada zachowania ładunku dla przypadku dynamicznego

Całkowity ładunek jest zawsze zachowany.

Dla przypadku dynamicznego zagadnienie to należy rozważać następująco:

Rys. 5.9 Powierzchnia otaczająca ładunek q.

Rozważamy zamkniętą powierzchnię i ładunek zawarty w pewnej chwili wewnątrz tej powierzchni. Ładunek może przepływać przez powierzchnię i zasada zachowania ładunku wymaga ażeby:

strata ładunku = ładunek wchodzący – ładunek wychodzący.

Strumień ładunku przechodzący przez powierzchnię w jednostce czasu jest dany wzorem:

całkowity ładunek przechodzący przez (5.54)

powierzchnię na zewnątrz w jednostce czasu.

Strata ładunku związana z przechodzeniem ładunku przez powierzchnię w jednostce czasu wynosi:

39

(5.55)

Związek (5.55) stanowi zapis zasady zachowania ładunku dla przypadku dynamicznego.

Przekształcamy lewą stronę wyrażenia (5.55) korzystając z prawa Gaussa.

i wówczas mamy:

(5.56)

Wstawiamy związek (5.56) do równania (5.55) i otrzymujemy:

(5.57)

Równanie (5.57) stanowi inny zapis zasady zachowania ładunku dla przypadku dynamicznego.

Dla pól statycznych , nie ma akumulacji ani strat ładunku w żadnym

obszarze przestrzeni wewnątrz powierzchni i wówczas:

Prawo Ampera-Maxwella

Prawo Faraday’a wiąże szybkość zmian pola z polem w tym samym punkcie przestrzeni. Powinno więc dla symetrii istnieć równanie wiążące szybkość zmian pola z polem .

40

Zgodnie z prawem Ampera dla przypadku statycznego mamy związek:

(5.58)

Dla przypadku dynamicznego obowiązuje zależność:

(5.59)

Prawo Ampera ulega modyfikacji; wstawiamy związek (5.59) do równania (5.58) i otrzymujemy:

(5.60)

Zależność (5.60) nosi nazwę prawa Ampera-Maxwella. Postać różniczkową prawa A-M otrzymamy stosując twierdzenie Stokes’a do lewej strony równania (5.60).

(5.61)

(5.62)

41

Równanie (5.62) jest różniczkową postacią prawa Ampera-Maxwella. Dla pól

statycznych: prawo A-M przechodzi a prawo Ampera, które wiąże prąd

stały z polem .Prawo Ampera – Maxwella wiąże zmienne w czasie pole z polem . Gdy to wówczas prawo Ampera-Maxwella zapisane związkiem (5.60) przyjmuje postać:

(5.63)

Korzystając z definicji siły magnetomotorycznej mamy:

(5.64)

Dla forma różniczkowa prawa A-M , wzór (5.62), przyjmuje postać:

(5.65)

Prawo Ampera-Maxwella w postaci różniczkowej, wzór (5.65), dla tego przypadku, jest podobne do prawa Faraday’a w postaci różniczkowej:

(5.66)Równania Maxwella

Ważnym oddziaływaniem między naładowanymi cząstkami jest oddziaływanie elektromagnetyczne. Ażeby scharakteryzować to oddziaływanie należy pole elektromagnetyczne opisać wektorami i w taki sposób, żeby siła zapisana została związkiem:

42

(5.67)

Pola i są określone przez położenia ładunków i ich ruch. Pola te są związane równaniami Faraday’a i Ampera-Maxwella.

Teoria elektromagnetyzmu zapisana jest w postaci czterech praw Maxwella

Prawa te są niezmiennicze względem transformacji Lorentza. Prawa te nie stosują się do oddziaływań między cząstkami elementarnymi należy wówczas korzystać elektrodynamiki kwantowej.

Równania Maxwella

Prawo Forma całkowa Forma różniczkowaPrawo Gaussa dla pola (pole źródłowe)Prawo Gaussa dla pola (pole bez źródłowe)

43

Prawo Faraday’a dla pola Prawo Ampera-Maxwella dla pola

44

SAMOINDUKCJA

Siła elektromotoryczna samoindukcji

45

Jeżeli prąd w obwodzie zmienia się w czasie, strumień pola magnetycznego w cewce też jest zmienny i indukowana siła elektromotoryczna przeciwdziała zmianom prądu.wewnątrz idealnego solenoidu o N zwojach i długości l

strumień pola magnetycznego przez powierzchnię NS (S-powierzchnia jednego zwoju)Jednostka: 1H (henr) = 1Wb/A indukcyjnośćindukcyjność

n- liczba zwojów na jednostkę długości, l – długość solenoidu, S –pole powierzchni przekrojuPrzypomnienie: W obwodzie LC zapisywaliśmy korzystając z prawa Kirchhoffa

INDUKCYJNOŚĆ

Obwody LR

46

Definicja: Przypomnienie: pojemność C

dla idealnego solenoidu dla kondensatora płaskiego

Indukcyjność podobnie jak pojemność zależy wyłącznie od parametrów geometrycznych cewki. Można ją zwiększyć przez wprowadzenie rdzenia ferromagnetycznego o przenikalności magnetycznej .

Fale elektromagnetyczne

W końcu XIX wieku Hertz wykazał, że pole elektromagnetyczne rozchodzi się w próżni z prędkością światła . Badania fal pozwoliły opisać ich własności: wytwarzanie, propagacja oraz absorpcja.Maxwell w swoich równaniach przewiduje występowanie fal elektromagnetycznych.

47

Fala elektromagnetyczna – widmo promieniowaniaFala elektromagnetyczna – widmo promieniowania

Czułość oka ludzkiego w zakresie widzialnym

Przykład (E7):

Rozważamy propagujące w próżni pole elektromagnetyczne o następujących składowych:

Ponadto przyjmujemy, że w rozważanej przestrzeni nie ma prądów ani ładunków:

Korzystając z równań Maxwella, sprawdzimy, czy pola i spełniają równanie fali.

a) z prawa Gaussa dla pola mamy:

(E7.1)

b) z prawa Gaussa dla pola mamy:

(E7.2)

c) z prawa Faraday’a mamy:

(E7.3)

po rozpisaniu na składowe otrzymujemy następujące związki:

48

(E7.4a-c)

uwzględniając składowe przyjęte w założeniach dostajemy następujące zależności:

(E7.5)

(E7.6)

d) z prawa Ampera-Maxwella mamy:

(E7.7) po rozpisaniu na składowe otrzymujemy następujące związki:

(E7.8a-c)

uwzględniając składowe przyjęte w założeniach dostajemy następujące zależności:

49

(E7.9)

- (E7.10)

Ze związku (E7.1) i (E7.5) wynika, że nie zależy od i ,Ze związku (E7.2) i (E7.9) wynika, że również nie zależy od i . Szukamy zależności między drugimi pochodnymi względem współrzędnej i czasu dla pola i .

W równaniu (E7.6) obliczamy obustronnie drugą względem współrzędnej x-owej:

(E7.11)

W równaniu (E7.10) obliczamy obustronnie drugą pochodną względem czasu :

(E7.12)

50

Ze związków (E7.11) i (E7.12) otrzymujemy równanie fali dla pola :

(E7.13)

Ażeby znaleźć analogiczny związek dla pola , najpierw w równaniu (E7.6) obliczamy obustronnie pochodną względem czasu i otrzymujemy:

(E7.14)

a następnie w równaniu (E7.10) obliczamy obustronnie pochodną względem współrzędnej x - owej i otrzymujemy:

(E7.15)

Z równań (E7.14) i (E7.15) otrzymujemy równanie fali dla pola :

(E7.16)

Przypomnienie:

Propagacja zaburzenia; równanie fali dla przypadku jednowymiarowego jest opisane równaniem :

(E7.17)

i wówczas związek (E7.13) oraz (E7.16) zapisujemy:

51

(E7.18)

(E7.19)

W oparciu o powyższe dostajemy wyrażenie na prędkość światła :

(5.68)

Dla dowolnego ośrodka prędkość fali elektromagnetycznej będzie zapisana wzorem:

(5.69)

gdzie i są odpowiednio przenikalnością magnetyczną i elektryczną danego ośrodka.

Współczynnik załamania światła; fali elektromagnetycznej jest zdefiniowany:

(5.70)

gdzie: , a

są odpowiednio względną przenikalnością magnetyczną i elektryczną.

Dla przyjętych składowych pola i (polaryzacji) rozwiązania równań (E7.13) i (E7.16) są w postaci:

(5.71)

52

(5.72)

Pola i są związane równaniem (E7.6):

(5.73)

Podstawiając zależności (5.71) i (5.72) do równania (5.73), po wykonaniu wyliczeń odpowiednich pochodnych, otrzymujemy zależność między polem i w postaci:

(5.74)

Dla dowolnej orientacji pola i mamy ogólny związek:

(5.75)

Przykład G:

Zachowanie się wektorów E i B na granicy dwóch ośrodków

Rozważamy dwa ośrodki o parametrach;

1) 1, 1

2) 2, 2

w ośrodkach tych nie płyną prądy : j=0, q=0

53

Wektory E i B rozkładamy na dwie składowe prostopadłą i równoległą do powierzchni rozdziału, jak na rysunku 1G.

Rys. 1 G. powierzchnia rozdziału

Korzystając z równań Maxwella badamy zachowanie się składowych prostopadłych i równoległych wektorów E i B na granicy rozdziału.Zapisujemy składowe;

Ośrodek 1

Ośrodek 2

Prawo Gaussa dla pola E:

(1G)

54

Biorąc pod uwagę geometrię pola E w stosunku do wybranej powierzchni Gaussa z równania (1G) otrzymujemy związek:

- (2G)

(3G)

Ze związku (3G) wynika, że składowa wektora E prostopadła do powierzchni rozdziału zlega zmianie: następuje skok składowej prostopadłej.

Prawo Gaussa dla pola B:

(4G)

Biorąc pod uwagę geometrię pola B w stosunku do wybranej powierzchni Gaussa z równania (4G) otrzymujemy związek:

(5G)

Ze związku (5G) wynika, że składowa wektora B prostopadła do powierzchni rozdziału nie zlega zmianie: nie następuje skok składowej prostopadłej.

Prawo krążenia dla pole E:

55

(6G)

Przy wybranym konturze krążenia jak na rys. biorąc pod uwagę geometrię pola E w stosunku do konturu otrzymujemy:

Rys. 2 G. kontur krążenia dla powierzchni rozdziału.

- (7G)

(8G)

Ze związku (8G) wynika, że składowa wektora E równoległa do powierzchni rozdziału nie zlega zmianie: nie następuje skok składowej równoległej.

56

Prawo krążenia dla pola B;

(10G)

Biorąc pod uwagę geometrię pola B w stosunku do konturu otrzymujemy:

- (11G)

(12G)

Ze związku (12G) wynika, że składowa wektora B równoległa do powierzchni rozdziału zlega zmianie: następuje skok składowej równoległej.

Energia przenoszona przez falę elektromagnetyczną:

Dla pola gęstość energii wyraża się wzorem:

(5.76)

57

Dla pola gęstość energii wyraża się wzorem:

(5.77)

Stąd gęstość energii całkowitej wyraża się wzorem:

(5.78)

Wprowadza się wektor opisujący transport (przekaz) energii: wektor Poyntinga:

(5.79)

Dla fali płaskiej (wcześniej rozważany przykład E7):

zgodnie z relacją (5.74) mamy:

(5.80) Natomiast składowa x-owa wektora Poyntinga wynosi:

(5.81)

Wykorzystując relację (5.80) wyrażenie na ma postać:

58

(5.82)

wykorzystano zależność: .

Związek (5.82) można przekształcić wykorzystując wzór na prędkość fali

elektromagnetycznej w dowolnym ośrodku: i wówczas mamy zapis:

(5.83)

Przyjmując rozwiązanie równania fali dla pola : otrzymujemy:

(5.84)

Wyrażenie (5.84) uśredniamy po okresie i wówczas otrzymujemy średnią czasową przekazu energii:

(5.85)

w optyce nazywa się natężeniem promieniowania, natężeniem fali, a amplituda pola gra rolę amplitudy fali.

Wektor Poyntinga

59wektor Poyntingawektor Poyntinga

Prąd elektryczny 1

Definicja natężenia prądu 1

1 opracowano na podstawie książki D. Halliday, R. Resnick, J. Walker „Podstawy FIZYKI”, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003.

60

E=0

E≠0

a) Ramka miedziana w równowadze elektrostatycznej. Każdy punkt ramki ma taki sam potencjał. W każdym punkcie ramki natężenie pola jest równe zeru

b) Bateria (źródło) wprowadza różnicę potencjałów między biegunami. Powstaje pole elektryczne w ramce. Obserwujemy uporządkowany ruch ładunków – prąd elektryczny

• Natężenie prądu jest skalarem

• Jednostką natężenia prądu jest 1A=1C/s(ale to nie jest definicja tej jednostki!)

• Umownie przyjmuje się, że prąd płynie tak jakby był to ruch ładunków dodatnich. W rzeczywistości prąd w metalu stanowią elektrony przewodnictwa

I prawo kirchhoffa 1

Gęstość prądu 1

61

a - węzełJaka jest wartość prądu I i kierunek przepływu prądu w dolnym przewodniku z prawej strony?

Gęstość prądu jest to wektor, którego wartość równa jest natężeniu prądu przepływającemu przez element pola przekroju powierzchni na jednostkę pola tej powierzchni

strumień

S1

j1

j2

S2

Wartość natężenia prądu pozostaje stała, zmienia się gęstość prądu – prawo ciągłości przepływu, zasada zachowania ładunku

Mechanizm przewodnictwa w metalach 1

62

• Gdy prąd nie płynie, elektrony przewodnictwa poruszają się chaotycznie z prędkościami ok. 106 m/s

• Elektrony w przewodniku poruszają się w sposób uporządkowany z prędkością unoszenia vd po przyłożeniu pola elektrycznego (vd=10-5-10-4 m/s)

całkowity ładunek

nośników

liczba nośników

ładunek elektronu

n – koncentracja nośników ładunku (elektronów) czyli ich liczba na jednostkę objętości

czas, w jakim ładunek przepływa przez dowolny przekrój przewodnika:

gęstość prądu

prędkość unoszenia

natężenie prądu:

prędkość unoszenia:

Przykład 1 1

63

R/2R

j

Gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu R =2 mm jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i równa j=2·105 A/m2. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/2 i R?

Rozwiązanie:

bo j=const na całym przekroju walca

Odpowiedź:

Przykład 2 1

64

R/2R

j

Załóżmy, że gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu R =2 mm nie jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i zmienia się z odległością r od środka walca zgodnie ze wzorem j = ár2, gdzie α= 3·1011 A/m4. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/2 i R?

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

Energia i moc w obwodzie elektrycznym 1

Siła elektromotoryczna SEM 1

65

źródło prądu lub napięcia, siła elektromotoryczna

Energia potencjalna tracona w obwodzie:

Moc związania z przekazem energii

a gdy spełnione jest prawo Ohma

zamienia się w inny rodzaj energii (np. na elemencie rezystancyjnym na ciepło Joule’a)

• Aby wytworzyć stały przepływ ładunku, potrzebne jest urządzenie, które wykonywałoby pracę nad nośnikami ładunku, utrzymując stałą różnicę potencjałów

• Urządzenie takie nazywamy źródłem siły elektromotorycznej (źródłem SEM)

• Siła elektromotoryczna nie jest siłą!!!

• Stosowane źródła SEM to: ogniwa elektryczne (baterie), prądnice elektryczne, ogniwa słoneczne, ogniwa paliwowe, termoogniwa

Moc i SEM 1

66

Definicja SEM: siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą, przypadającą na jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło, przenosząc ładunek z bieguna na mniejszym potencjale do bieguna o wyższym potencjale

Rzeczywiste źródło SEM zawiera zawsze opór wewnętrzny r. Gdy ogniwo jest otwarte, tj. prąd nie płynie, to różnica potencjałów między biegunami ogniwa Vab=

Gdy prąd płynie to:

moc rozproszona w źródle

Wypadkowa szybkość przekazywania energii ze źródła SEM (moc):

ale:

czyli:

moc źródła SEM

Z drugiej strony, moc wydzielana na obciążeniu R

Dopasowanie mocy 1

II prawo kirchhoffa 1

67

Maksymalna moc wydzielana na obciążeniu wystąpi gdy:

warunek dopasowania mocy dla obciążenia R

tj., gdy: Ale źródło zużywa się najszybciej!!

IIr1

Ir2

IR

+

Algebraiczna suma zmian potencjałów przy pełnym obiegu dowolnego oczka musi być równa zeru.

Połączenie szeregowe rezystancji 1

Rezystancja zastępcza połączenia szeregowego wynosi:

Połączenie równoległe rezystancji 1

Rezystancja zastępcza połączenia równoległego wynosi:

68

Obwody RC 1

Równanie kondensatora

gdzie RC to stała czasowa rozładowania kondensatora

Krzywe rozładowania kondensatora 1

Podsumowanie 1

Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośników ładunku, wywołanym polem elektrycznym w przewodniku pod wpływem różnicy potencjałów.

69

Nośnikami ładunku są elektrony w metalach ale elektrony i dziury w półprzewodnikach. W przewodnikach jonowych (NaCl) mogą to być dodatnie i ujemne jony.

Rozpraszanie nośników ładunku na defektach sieci, np. drgających wokół położeń równowagi jonach, powoduje pojawienie się oporu elektrycznego (rezystancja, rezystywność) zależnego od temperatury.

Prawo Ohma podaje zależność liniową pomiędzy polem elektrycznym i gęstością prądu (mikroskopowo) lub napięciem i natężeniem (makroskopowo). Prawo to nie zawsze jest spełnione.

Do rozwiązywania obwodów elektrycznych konieczna jest znajomość praw Kirchhoffa.

1 opracowano na podstawie książki D. Halliday, R. Resnick, J. Walker „Podstawy FIZYKI”, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003

.

70

Polaryzacja światła-fali elektromagnetycznej;

Rozważamy płaskie fale elektromagnetyczne, dla których propagacja zachodzi wzdłuż kierunku z, a pola i są dane równaniami:

(5.86a)

(5.86b)

gdy i są stałymi wektorami to taka fala jest liniowo spolaryzowana

Rys. 5.10 - Wektory i fali światła spolaryzowanego liniowo

Pola i są wzajemnie prostopadłe, tradycyjnie kierunek pola elektrycznego jest zdefiniowany jako kierunek polaryzacji .

71

Polaryzator liniowy jest to urządzenie, które wiązkę fali niespolaryzowanej zamienia w spolaryzowaną liniowo. Wykorzystane tutaj jest zjawisko;

- podwójnego odbicia,- dichroizmu, czyli absorpcji optycznej, tzn., że jedna ze składowych pola

jest silniej absorbowana niż inne.

Polaryzatory maja dobrze zdefiniowaną oś transmisji, jest to kierunek w polaryzatorze wzdłuż, którego wektor pola fali jest transmitowany bez lub tylko z małymi stratami. . Dla innych kierunków tłumienie pola jest duże. Idealny polaryzator to taki, który jest całkowicie przeźroczysty dla światła spolaryzowanego wzdłuż osi transmisji, natomiast nieprzeźroczysty dla światła spolaryzowanego prostopadle do osi transmisji.

Rys. 5.11. Osie polaryzatora

Zawsze wektor pola można rozłożyć na składową równoległą do osi

transmisji i prostopadłą do osi transmisji.Wówczas :

,

a intensywność (natężenie transmisji) będzie wynosić:

72

Dla światła niespolaryzowanego wszystkie wartości kąta mogą być przyjmowane z równym prawdopodobieństwem

Polaryzacja częściowa:

Światło częściowo spolaryzowane jest mieszaniną światła spolaryzowanego i niespolaryzowanego. Stopień polaryzacji jest zdefiniowany jako część całkowitego natężenia, które nie jest spolaryzowane:

(5.87)

Dla częściowej polaryzacji liniowej mamy:

(5.88)

Polaryzacja kołowa i eliptyczna:

Rozważmy przypadek dwóch liniowo spolaryzowanych fal, o tej samej amplitudzie , fale te są spolaryzowane wzajemnie prostopadle, z różnicą faz . Uzyskuje się

to poprzez polaryzację na rozpraszającej światło molekule.

73

Rys. 5.12 Polaryzacja na molekule rozpraszającej

Pole ma dwie składowe:

Wypadkowe pole wynosi:

(5.89)

To równanie jest rozwiązaniem równania fali, dla której wektor jest stały w danym punkcie, lecz rotuje z częstością . To jest fala kołowo spolaryzowana.

74

a) b)

Rys. 5.13 - Wektory i fali światła spolaryzowanego kołowo:a) układ wektorów w czasie

b) układ wektorów - rotacja w danej pozycji w przestrzeni

Rozważmy przypadek dwóch liniowo spolaryzowanych fal, o różnych amplitudach i , fale te są spolaryzowane wzajemnie prostopadle, z różnicą faz .

Pole ma dwie składowe:

75

W rezultacie wypadkowy wektor w danym punkcie przestrzeni rotuje zmieniając swoją wartość w taki sposób, że koniec wektora zatacza elipsę. To jest fala spolaryzowana eliptycznie.

Rys. 5.14 - Wektory i fali światła spolaryzowanego eliptycznie:a) układ wektorów w czasie

b) układ wektorów - rotacja w danej pozycji w przestrzeni

Przykład wykorzystania równań Maxwella (E8): rezonatory wnękowe

Podłączamy okładki kondensatora do generatora, między okładkami jest zmienne w czasie pole elektryczne:

(E8.1)

76

Zgodnie z prawami Maxwella, gdy istnieje zmienne w czasie pole to całka krzywoliniowa z pola dla wynosi:

(E8.2)

Rys1.Korzystając z równania (E8.2) szukamy pola , całkę krzywoliniową obliczamy po pętli , która ma kształt okręgu o promieniu w każdym punkcie okręgu wektor jest równoległy do wektora i wówczas:

(E8.3)

Całkę powierzchniową liczymy po powierzchni koła o tym samym promieniu , przy tak dobranej geometrii wektor pola jest równoległy do elementu . i wówczas mamy:

(E8.4)

Wykorzystując związki (E8.3) i (E8.4) w równaniu (E8.2) otrzymujemy:

(E8.5)

Przy tak zadanej zależności pola od czasu, mamy:

77

wówczas związek (E8.5) zapisujemy:

(E8.6)

lub:

(E8.7)

Wartość pola staje się istotna, gdy jest duże, tak, że człon nie jest do

zaniedbania. Tak więc miedzy okładkami kondensatora występuje zmienne w czasie i przestrzeni pole magnetyczne , którego wartość wzrasta wraz z częstotliwością zmian pola elektrycznego.

Z praw Maxwella wynika, że zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje pole elektryczne , istnieje różne od zera krążenie pola . Pole a właściwie poprawka do pierwotnego pola elektrycznego będzie zależało od r.

Oznaczmy przez pierwotne pole:

Wówczas całkowite pole wraz z poprawką pochodzącą od zmiany w czasie strumienia pola wynosi:

(E8.8)

78

Na osi kondensatora , pole (patrz wzór E8.6), tym samym na osi kondensatora poprawka do pola będzie równa zero.

Szukamy w oparciu o całkowe prawo Faraday’a, wybieramy kontur całkowania jak na rysunku

Rys. 5.15 (rys 2)

(E8.9)

Analizujemy lewą stronę równania (E8.9):

(E8.10)

Pierwsza część prawej strony równania (E8.10) jest równa zero, bo nie zależy od oraz ze względu na wzajemną geometrię wektorów i . Czyli jedyny przyczynek do całki krzywoliniowej pochodzi od pola . Po uwzględnieniu wzajemnych relacji wektorów i otrzymujemy:

79

(E8.11)

Analizujemy prawa stronę równania (E8.9):Strumień pola liczymy po powierzchni wewnątrz krzywej . Dzielimy powierzchnię na elementarne paski o powierzchni: . Strumień pola przez taki elementarny pasek wynosi: , natomiast strumień całkowity wynosi:

(E8.12)

Wstawiając związki (E8.11) oraz (E8.12) do wzoru (E8.9) otrzymujemy:

(E8.13)

Ze wzoru (E8.13) wynika, że nie wystąpi zależność od wielkości czyli odległości między okładkami kondensatora.

Korzystamy ze związku na pole , który jest zapisany wzorem (E8.7) i podstawiamy do wzoru (E8.13). I otrzymujemy:

(E8.14)

(E8.15)

Indukowane polem pole zmniejsza pierwotne pole największa zmiana zachodzi na końcach kondensatora .

80

Efektywne pole elektryczne wynosi:

(E8.16)

Pole elektryczne zależy od czasu i od .

Rys3.

W kolejnym cyklu rozważań należy wyliczyć poprawkę na pole , związaną z polem . A następnie dalsza poprawkę na pole . Dla dalszych cyklicznych rozważań otrzymamy ogólne wyrażenie na pole elektryczne: .

(E8.17)

Współczynniki są tak zapisane, żeby było widać jak należy konstruować ten szereg.Jako ostateczny wynik otrzymujemy, że dla dużej częstotliwości pole między okładkami kondensatora jest dane przez pomnożone przez nieskończony

szereg, który zawiera tylko zmienną . Dla określenia nieskończonego szeregu

można zdefiniować funkcję specjalną zwaną funkcją Bessel’a:

81

dla

Funkcja ta występuje jako rozwiązanie równania falowego dla fal o symetrii cylindrycznej, czyli jest tym czym dla fal rozchodzących się w jednym wymiarze funkcja cos :

(E8.18)

Korzystając z tego zapisu związek (E8.18) można zapisać:

(E8.19)

Rys. 5.16 – Funkcja Bessel’a

82

Z powyższych rozważań wynika, że kondensator zaprojektowany dla małych częstotliwości nie będzie należycie pracował przy dużych częstotliwościach.Dla dużych kondensator ma własności zarówno kondensatora (pole ) jak i cewki indukcyjnej (pole ). Stanowi więc pewnego rodzaju obwód rezonansowy.Obudowujemy kondensator pobocznica walca o promieniu dla którego

. Czyli nic się nie zmieni w tak zwartym kondensatorze. Uzyskujemy zamkniętą puszkę cylindryczną wewnątrz , której znajduje się bez żadnych połączeń elektrycznych pole i . Pole i oscyluje z częstością , którą określa średnica cylindra:

dla , określa takie, że .

Dla cylindra o promieniu pola i będą wzajemnie się

podtrzymywały (teoretycznie). Praktycznie pola podtrzymuje się za pomocą pętli sprzęgających.

Rys. 5.17

83

Rys 5. 18 - wnęki z różnymi rodzajami drgań

84