oddziaływanie światła z materią

Oddziaływanie światła z materiąOddziaływanie światła z materią• Oscylator Lorentza• Funkcja dielektryczna w modelu

Lorentza• Zespolony współczynnik załamania• Propagacja fali świetlnej w ośrodku• Prawo Lamberta-Beera• Dyspersja materiałów• Funkcja dielektryczna metali w modelu

Drudego-Lorentza-Sommerfelda• Częstość plazmowa metali• Ujemny współczynnik załamania• Metamateriały

poprzedni wykład:

• Fale stojące: suma fal o przeciwnych kierunkach

• Dudnienia: suma fal o różnych częstotliwościach

• Prędkość fazowa (jeszcze raz)• Zatrzymać światło• Ruch z prędkością większą niż

światło

Interferencja: Interferencja: fale stojącefale stojące, , dudnieniadudnienia i prędkość grupowai prędkość grupowa

Zasada superpozycji:(układy liniowe)

Zasadzie superpozycji podlegają fale (rozwiązania równania falowego), w tym harmoniczna fala elektromagnetyczna.

Superpozycja prawie płaskiej fali z odległego źródła i fal kilwateru kaczek.

Liniowość w wodzie spełniona jest tylko w przybliżeniu.


Pole elektromagnetyczne pochodzące od kilku źródeł jest sumą pól, jakie wytwarza każde z tych źródeł.

Konsekwencją zasady superpozycji fal jest interferencja fal.

Dwie fale kołowe zmarszczek na powierzchni wody przechodzą jedna przez drugą.

W przeciwieństwie do przedmiotów materialnych, fale mogą się przenikać. Mogą nakładać się na siebie w przestrzeni i gdy to zachodzi, wychylenia dodają się.


Pole pochodzące od kilku źródeł jest sumą pól, jakie wytwarza każde z tych źródeł.

Ale już natężenie światła pochodzącego od kilku

źródeł nie spełnia zasady superpozycji, ponieważ

jest proporcjonalne do kwadratu sumy pól

elektrycznych:

Konsekwencją zasady superpozycji fal jest interferencja fal.

Zasada superpozycji pozwala falom wzajemnie przez siebie przenikać.

Przykład:

Przykład:

Zasada superpozycji pozwala falom wzajemnie przez siebie przenikać.

Dodawanie fal:

Dla fal zapisanych jako fale o zespolonych amplitudach i takich samych wykładnikach jest to łatwe:

1 2 3

1 2 3

( , ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

( ) exp ( )totE x t E i x t E i x t E ik k x t

E E E i

k

x tk

3 3221 311 2( , ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

?totE x t E i x t E i xk t E ki x tk

Zwróć uwagę na

znak!

gdzie zespolone fazy początkowe zawarte są w .

Ale zespolone eksponensy mogą być różne!

Na przykłąd:

321 i , EEE~ ~ ~

Dodawanie fal o różnych amplitudach:

Dla fal zapisanych jako fale o zespolonych amplitudach i takich samych wykładnikach jest to łatwe:

1 2 3

1 2 3

( , ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

( ) exp ( )totE x t E i x t E i x t E ik k x t

E E E i

k

x tk

3 3221 311 2( , ) exp ( ) exp ( ) exp ( )

?totE x t E i x t E i xk t E ki x tk

Zwróć uwagę na

znak!

gdzie zespolone fazy początkowe zawarte są w .

Ale zespolone eksponensy mogą być różne!

Na przykłąd:

321 i , EEE~ ~ ~

Fala stojącaFala stojąca

0 0

0

0

( , ) exp ( ) exp ( )

exp( )[exp( ) exp( )]

2 exp( )cos( )

totE x t E i kx t E i kx t

E ikx i t i t

E ikx t

0( , ) 2 cos( ) cos( )totE x t E kx t

Ponieważ musimy wziąć część rzeczywistą pól, otrzymujemy:

(E0 jest rzeczywista)

Fale stojące powstają na przykład we wnękach laserowych, gdzie odbijane są one tam i z powrotem między zwierciadłami.

- Wynik dodawania fal o tej samej długości fali, ale różnych kierunkach:


0 0

0

0

( , ) exp ( ) exp ( )

exp( )[exp( ) exp( )]

2 exp( )cos( )

totE x t E i kx t E i kx t

E ikx i t i t

E ikx t

0( , ) 2 cos( ) cos( )totE x t E kx t

Gdy weźmiemy część rzeczywistą pól, otrzymamy:

(E0 jest rzeczywista)

- Wynik dodawania fal o tej samej długości fali, ale różnych kierunkach:


0( , ) 2 cos( )cos( )totE x t E kx t

Miejsca, gdzie amplituda jest zawsze równa zero to „węzły” fali.

Miejsca, gdzie oscylacje amplitudy są maksymalne to “strzałki”

Węzły

strzałki


0( , ) 2 cos( )cos( )totE x t E kx t

węzeł strzałka

Miejsca, gdzie amplituda jest zawsze równa zero to „węzły” fali.

Miejsca, gdzie oscylacje amplitudy są maksymalne to “strzałki”

For a nice demo of beats, check out: http://www.olympusmicro.com/primer/java/interference/

wynik dodawania fal elektromagnetycznych o różnych częstotliwościach

Niech E0 będzie rzeczywiste0 1 1 0 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0 0

( , ) Re{ exp ( ) exp ( )}

2 2

2 2

( , ) Re{ exp ( ) exp (

tot

ave

ave

tot ave ave ave

E x t E i k x t E i k x t

k k k kk k

E x t E i k x kx t t E i k x kx

Let and

Similiarly, and

So :

0

0

0

)}

Re{ exp ( ) exp ( ) exp[ ( )] }

Re{2 exp ( )cos( )}

2 cos( )cos( )

ave

ave ave

ave ave

ave ave

t t

E i k x t i kx t i kx t

E i k x t kx t

E k x t kx t

Wprowadźmy: i

iPodobnie:

Tak więc:

Dudnienia światła:Dudnienia światła: prędkość grupowaprędkość grupowa

For a nice demo of beats, check out: http://www.olympusmicro.com/primer/java/interference/


1 2 1 2

1 2 1 2

0 0

( , ) Re{ exp ( ) exp ( )}

2 2

2 2

( , ) Re{ exp ( ) exp (

tot

ave

ave

tot ave ave ave


k k k kk k


Let and

Similiarly, and

So :

0

0

0

)}

Re{ exp ( ) exp ( ) exp[ ( )] }

Re{2 exp ( )cos( )}

2 cos( )cos( )

ave

ave ave

ave ave

ave ave

t t


E i k x t kx t

E k x t kx t

Wprowadźmy: i

iPodobnie:

Tak więc:

Dudnienia światła:Dudnienia światła: prędkość grupowaprędkość grupowawynik dodawania fal elektromagnetycznych o różnych częstotliwościach


1 2 1 2

1 2 1 2

0 0

( , ) Re{ exp ( ) exp ( )}

2 2

2 2

( , ) Re{ exp ( ) exp (

tot

ave

ave

tot ave ave ave


k k k kk k


Let and

Similiarly, and

So :

0

0

0

)}

Re{ exp ( ) exp ( ) exp[ ( )] }

Re{2 exp ( )cos( )}

2 cos( )cos( )

ave

ave ave

ave ave

ave ave

t t


E i k x t kx t

E k x t kx t

Wprowadźmy: i

iPodobnie:

Tak więc: k1 k21 2



1 2 1 2

1 2 1 2

0 0

( , ) Re{ exp ( ) exp ( )}

2 2

2 2

( , ) Re{ exp ( ) exp (

tot

ave

ave

tot ave ave ave


k k k kk k


Let and

Similiarly, and

So :

0

0

0

)}

Re{ exp ( ) exp ( ) exp[ ( )] }

Re{2 exp ( )cos( )}

2 cos( )cos( )

ave

ave ave

ave ave

ave ave

t t


E i k x t kx t

E k x t kx t

Wprowadźmy: i

iPodobnie:

Tak więc: k1 k21 2


szybko-zmienny wolno-zmienny

Niech E0 będzie rzeczywiste

i

iPodobnie:

Tak więc: k1 k21 2


0 1 1 0 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

0 0

( , ) Re{ exp ( ) exp ( )}

2 2

2 2

( , ) Re{ exp ( ) exp (

tot

ave

ave

tot ave ave ave


k k k kk k


Let and

Similiarly, and

So :

0

0

0

)}

Re{ exp ( ) exp ( ) exp[ ( )] }

Re{2 exp ( )cos( )}

2 cos( )cos( )

ave

ave ave

ave ave

ave ave

t t


E i k x t kx t

E k x t kx t

wynik dodawania fal elektromagnetycznych o różnych częstotliwościach

Mamy więc:

Etot(x,t) = 2E0 cos(kavex–avet) cos(kx–t)

To jest szybko oscylująca fala: [cos(kavex–avet)]

z wolnozmienną amplitudą: [2E0 cos(kx–t)]

Prędkość fazowa wynika z części szybkozmiennej: v = ave / kave

A co z drugą prędkością - prędkością amplitudy?

Zdefiniujmy „prędkość grupową”: vg /k

W ogóIności prędkość grupowa to:

vg d /dk

obwiednia


vg d /dk

Mamy więc:









obwiednia

“fala nośna”

vg d /dk

Mamy więc:


Jest to szybko oscylująca fala: [cos(kavex–avet)]







obwiednia

“fala nośna”

vg d /dk

Mamy więc:









obwiednia

“fala nośna”

Mamy więc:




Prędkość fazowa wynika z części szybkozmiennej: vp = ave / kave



W ogólności prędkość grupowa to:


obwiednia

“fala nośna”

vg d /dk

Prędkość grupowa i prędkość fazowa różnią się w ośrodkach z dyspersją (n()).

Dla dwóch fal o różnych

częstościach: kg

v

vp = / k = /k0 n () =c0 /n() → = ck/n ()Dla każdej z fal :



częstościach: kg

v

)( 2121

2112

21

2

2

1

1

kknn

cknckn

kk

nck

nck

vp = / k = /k0 n () =c0 /n() → = ck/n ()Dla każdej z fal :



częstościach: kg

v

)( 2121

2112

21

2

2

1

1

kknn

cknckn

kk

nck

nck

pg n

c

kknn

ncknck nn n v

)( v,

21

2121

Jeśli: (prędkość fazowa)



częstościach: kg

v

)( 2121

2112

21

2

2

1

1

kknn

cknckn

kk

nck

nck

pg n

c

kknn

ncknck nn n v

)( v,

21

2121

Jeśli:

Jeśli:

(prędkość fazowa)

pg n n v v, 21

Prędkość grupowa jest prędkością impulsu świetlnego

Kiedy vg = v, impuls przemieszcza się z tą samą prędkością co fala nośna (czyli tak, jak fronty falowe):

Ponieważ wyprowadziliśmy prędkość grupową używając dwóch częstości, myślmy o niej jako o prędkości dotyczącej pewnej (danej) częstości (częstość nośna) z obwiednią, której centrum przesuwa się z prędkością fazową (prędkością impulsu)

Zdarza się to rzadko.

z

Na ogół:

Gdy prędkość falowa i grupowa różnią się…

vg ≠ v,

Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową:

Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową (zazwyczaj wolniej):

Na ogół:

Gdy prędkość falowa i grupowa różnią się…

vg ≠ v,

Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową:

Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową (zazwyczaj wolniej):

Teraz trzeba złożyć je obie.

gpvg vp

vg d /dk

Dudnienia światła: Dudnienia światła: prędkość grupowaprędkość grupowa

Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową.

Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową vp = / k

)](exp[)()(~

~ 0 txiktxEtE pg vv

gpvg vp

vg d /dk




)](exp[)()(~

~ 0 txiktxEtE pg vv

Inaczej:

( ) ( v ) exp[ ( v )]gE t I z t ik z t

A co z prędkością rozchodzenia się energii?

vg d /dk




)](exp[)()(~

~ 0 txiktxEtE pg vv

[W/m2] 02

1|| cSI

vg d /dk


Dla dwóch fal o różnych częstościach:


Zazwyczaj, energia propaguje się z

prędkością grupową

prędkość propagacji:

częstość modulacji:

Poszczególne fale:

Suma:

Obwiednia:

Natężenie(irradiancja):


PodsumowaniePodsumowanie(przypomnienie)(przypomnienie)

Każda ze składowych harmonicznych rozchodzi się ze zwykłą prędkością fazową (falową):

vp = / k,

natomiast paczka fal jako całość przesuwa

się z prędkością vg vp.

Falę taką opisać możemy jako falę harmoniczną o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie;

prędkość rozchodzenia się grzbietów modulacji to prędkość grupowa:

vg = d/dk .

fale harmoniczne o różnych częstościach rozchodzą się z różnymi prędkościami. Fala będąca paczką fal zawierających częstości z pewnego przedziału będzie więc zmieniać swój kształt.

W ośrodku dyspersyjnym:

Tak więc prędkość grupowa równa jest prędkości fazowej, tylko wtedy, gdy

dn/d = 0,(brak dyspersji, tak jak np. w próżni).

vg = c0 / (n + dn/d)v v / 1g

dn

n d

1v /g dk d

Prędkość grupowaPrędkość grupowa a dyspersja ośrodka: a dyspersja ośrodka: n(n())

Różnica w prędkości fazowej i grupowej powoduje zmianę kształtu

(rozciągnięcie) paczki falowej

Ośrodek z dyspersją

Ośrodek bez dyspersji

)(

11)(

2200

2

im

Ne

er

21 i

)()(~ n

)(~Re)( nn

)(~Im)( nwspółczynnik załamania

iwspółczynnik ekstynkcji

(absorpcji)

Dyspersja: Dyspersja: funkcja dielektryczna i współczynnik załamania

w modelu Lorentza

)(1)(

2200

2

jj

j

jer i

f

m

Ne

Dielektryki liniowe: Dielektryki liniowe: funkcja dielektryczna w modelu Lorentzafunkcja dielektryczna w modelu Lorentza

Gdy ośrodek posiada wiele częstości rezonansowych 0j:

podczerień widzialne UV X

Rezonanse: oscylacyjnei rotacyjne

przejścia elektronowe

n

Prawie wszędzie:dn/d >

0,

tam też:vg vp =

c0/n

A co się dzieje w obszarze anomalnej dyspersji?

vg = c0 / (n + dn/d)

dn/d jest ujemne. Tak więc vg może przewyższyć c0 dla tych częstości!

Dyspersja

normalna

Dyspersja

normalna

Dyspersja

normalna

Obszary dyspersji anomalnej

Wsp

ółc

zyn

nik

za

łam

an

ia n

Prędkość grupowa Prędkość grupowa a dyspersja ośrodkaa dyspersja ośrodka

Prędkość grupowa może przekroczyć c w ośrodku w obszarze anomalnej dyspersji

vg < c0 vg < c0 vg < c0


czestotliwość (Hz)



n


vg = c0 / (n + dn/d)



Prędkość grupowa może przekroczyć c w ośrodku w obszarze anomalnej dyspersji

Obszary dyspersji anomalnej są: • spektralnie wąskie• stowarzyszone z

rezonansową absorpcją

Ale:


czestotliwość (Hz)



n


vg = c0 / (n + dn/d)



A może prędkość grupowa nie ma sensu w obszarze

anomalnej dyspersji?

Ale:Obszary dyspersji anomalnej są: • spektralnie wąskie• stowarzyszone z rezonansową absorpcją


vg = c0 / (n + dn/d)


?

Zadanie domowe:Zadanie domowe:

Sellmeier wyprowadził następujące wyrażenie na zależność Sellmeier wyprowadził następujące wyrażenie na zależność współczynnika załamania od długości fali:współczynnika załamania od długości fali:

Pokaż, że wyrażenie to odpowiada wyrażeniu:Pokaż, że wyrażenie to odpowiada wyrażeniu:

w obszarach przezroczystości z dala od linni absorpcyjnych. w obszarach przezroczystości z dala od linni absorpcyjnych. Określ wynikające wartości Określ wynikające wartości AAj j ii j.j.

j j

jAn

)(1 22

22

j jj

j

er i

f

m

Ne

)(1)(

2200

2

vg = c0 / (n + dn/d)



?

Czy można:Czy można:

zatrzymać światłozatrzymać światło??

przyspieszyć światłoprzyspieszyć światło?!??!?

Pokonać światłoPokonać światło

Propagacja impulsu w ośrodku dyspersyjnym,Propagacja impulsu w ośrodku dyspersyjnym,

ośrodek dyspersyjny

Time (ns)

-200 0 200 400

Po

we

r (

W)

0

2

4

6

8

10

12

Po

we

r (

W)

0510152025303540

DelayedVacuum

tdel= 67.5 ns

time (ns)

-300 -200 -100 0 100 200 300

pow

er ( W

)

0

2

4

6

8

10

12

pow

er ( W

)

0.00.20.40.60.81.01.21.41.6

advanced vacuum

tadv=27.4 ns

"slow-light” medium "fast-light” medium

Wyniki obserwacji doświadczalnych:Wyniki obserwacji doświadczalnych:

5959

Propagacja impulsu: spowolnienie światła

6060

Propagacja impulsu: przyspieszenie światła

Złapanie światła w kryształach silikonowych umożliwiłoby konstrukcje komputerów na nowych zasadach

Zatrzymać światłoZatrzymać światło

Podziurkowana warstwa silikonu: spowalniający światło „światłowód” skonstruowany z myślą o użyciu do buforowania sygnałów optycznych jako element komputera optycznego (fotonicznego) lub routera sieciowego.

(Yuri A. Vlasov of IBM's Thomas J. Watson Research Center)

Komputery optyczne?Komputery optyczne?

Szybciej niż światłoSzybciej niż światło

cc 300 000 km s 300 000 km s-1-1 - prędkość światła w próżni (w - prędkość światła w próżni (w kosmosie) jest jedną z najpowszechniej znanych kosmosie) jest jedną z najpowszechniej znanych stałych fizycznychstałych fizycznych

Rozchodzenie się światła (animacja przeskalowana

stosownie do odległości Ziemia-Księżyc)


cc 300 000 km s 300 000 km s-1-1 - prędkość światła w próżni (w - prędkość światła w próżni (w kosmosie) jest jedną z najpowszechniej znanych kosmosie) jest jedną z najpowszechniej znanych stałych fizycznychstałych fizycznych

Obiekty posiadające masę wymagają nieskończenie Obiekty posiadające masę wymagają nieskończenie dużej energii by ją osiągnąć,dużej energii by ją osiągnąć,

Cząsteczki bezmasowe takie jak foton w próżni Cząsteczki bezmasowe takie jak foton w próżni przenoszą (swoją) energię dokładnie z prędkością przenoszą (swoją) energię dokładnie z prędkością c,c,

Relatywistyczne pojęcie jednoczesności prowadzi do Relatywistyczne pojęcie jednoczesności prowadzi do wniosku, że informacja nie może wędrować szybciej wniosku, że informacja nie może wędrować szybciej niż światło (jeśli nie chcemy zrezygnować z systemu niż światło (jeśli nie chcemy zrezygnować z systemu pojęć i logiki, którymi się dotąd posługiwaliśmy).pojęć i logiki, którymi się dotąd posługiwaliśmy).

Niemniej jednak prędkości większe niż Niemniej jednak prędkości większe niż cc są są obserwowane!obserwowane!

W obszarze anomalnej dyspersji, jeśli:W obszarze anomalnej dyspersji, jeśli:

impuls jest dostatecznie wąski spektralnieimpuls jest dostatecznie wąski spektralnie obszar, przez który wędruje jest dostatecznie krótki,obszar, przez który wędruje jest dostatecznie krótki,

gładki front falowy impulsu jest modyfikowany przez ośrodekgładki front falowy impulsu jest modyfikowany przez ośrodek

i:i: możliwa jest obserwacja propagacji prędkości grupowej możliwa jest obserwacja propagacji prędkości grupowej

impulsu z prędkością większą niż impulsu z prędkością większą niż c c (~(300 x (~(300 x cc)), )), ale prędkość transmitowanej energii impulsu o ale prędkość transmitowanej energii impulsu o

zmodyfikowanym kształcie wiąże się zmodyfikowanym kształcie wiąże się nie z prędkością nie z prędkością grupową impulsugrupową impulsu, ale dotyczy prędkości, z jaką porusza , ale dotyczy prędkości, z jaką porusza się się wiodąca krawędźwiodąca krawędź (front) impulsu w ośrodku. Prędkość (front) impulsu w ośrodku. Prędkość ta nie przekracza prędkości ta nie przekracza prędkości cc..

Wniosek: Wniosek: trzeba przemyśleć definicję prędkości przenoszenia energii i trzeba przemyśleć definicję prędkości przenoszenia energii i określić ją na nowo!określić ją na nowo!


Jak przekazywana jest Jak przekazywana jest informacja?informacja?

Z jaką prędkością się ona Z jaką prędkością się ona porusza? porusza?

Brak dobrej odpowiedzi !!!Brak dobrej odpowiedzi !!!

Wniosek: Wniosek: trzeba przemyśleć definicję prędkości przenoszenia energii i trzeba przemyśleć definicję prędkości przenoszenia energii i informacji określić ją na nowo!informacji określić ją na nowo!

Ani prędkość grupowa, ani prędkość fazowa nie są dobrymi Ani prędkość grupowa, ani prędkość fazowa nie są dobrymi pojęciami, by opisać prędkość przenoszenia informacji pojęciami, by opisać prędkość przenoszenia informacji impulsu w warunkach wykonanych doświadczeń. impulsu w warunkach wykonanych doświadczeń.

Jest nią „prędkość sygnału” , zdefiniowana jako prędkość Jest nią „prędkość sygnału” , zdefiniowana jako prędkość wędrówki frontu falowego impulsu. wędrówki frontu falowego impulsu.

Zgodnie z Teorią Względności, prędkość ta nigdy nie może Zgodnie z Teorią Względności, prędkość ta nigdy nie może przekroczyć prędkości światła w próżni, ponieważ, gdyby przekroczyć prędkości światła w próżni, ponieważ, gdyby tak się stało, oznaczałoby to sygnał cofający się w czasie tak się stało, oznaczałoby to sygnał cofający się w czasie (sprzeczność z zasadą przyczynowości). (sprzeczność z zasadą przyczynowości).


Prędkość grupowa (vg) a prędkość fazowa (v)

Prędkość grupowa (vg) a prędkość fazowa (v)

v vg

v vg

v vg

v 0

v 0g

v vg

Manipulacja światłemManipulacja światłemNowe narzędziaNowe narzędzia

Ujemny współczynnik załamania Ujemny współczynnik załamania (metamateriały)(metamateriały)

Anomalna dyspersja ze zminimalizowaną Anomalna dyspersja ze zminimalizowaną absorpcją (pompowanie optyczne, absorpcją (pompowanie optyczne, kryształy fotoniczne)kryształy fotoniczne)

…… ……

Dziękuję za uwagęDziękuję za uwagę

oddziaływanie światła z materią

Documents