domasni zadaci 2015 m2

UNIVERZITET “Sv. KIRIL I METODIJ”– SKOPJEFakultet za elektrotehnika i informaciski tehnologii

MATEMATIKA 2

–Domaxni zadaqi––2014/15 –

Skopje, 2015

1 Vektorska algebra

Zadaqa 1.1. Dadeni se vektorite ~a = {1, 1, 0},~b = {−1, 1, 2} i ~c = {2, 3, 4}. Da se opredeli~a+~b, 3~a,−2~c, ~a− ~c, ~a+~b+ ~c, 2~a− 3~b+ ~c, |~c|, | − 2~c|, |~a|, |~b|, |~a+~b|.

Zadaqa 1.2. Da se opredeli:a) vektor paralelen so vektorot {2, 4, 4};b) edineqen vektor koj ima ista nasoka so vektorot {2, 3, 4};v) edineqen vektor koj ima sprotivna nasoka so vektorot {−1, 2, 3}.

Zadaqa 1.3. Da se najde:a) edineqen vektor koj le�i vo xOy ramninata i e ortogonalen so vektorot {2, 4, 1};b) edineqen vektor koj le�i na xOy ramninata i e ortogonalen so vektorot {2, 4, 0}.

Zadaqa 1.4. Kakva megusebna polo�ba mora da imaat vektorite ~a i~b za da va�at ravenstvata:

a) |~a+~b| = |~a−~b|; b) |~a|+ |~b| = |~a−~b|; v) |~a+~b| = |~a| − |~b|?

Zadaqa 1.5. Dadeni se toqkite A(2, 2, 0) i B(0,−2, 5). Da se opredeli vektorot−→AB, a potoa

da se skicira i da se opredeli negovata dol�ina i soodvetniot ort.

Zadaqa 1.6. Daden e pravoagolnikot ABCD. Da se izrazat vektorite na stranite na pravoagol-nikot preku vektorite na dijagonalite.

Zadaqa 1.7. Daden e pravilniot xestoagolnik OABCDE, kade−→OA = ~m,

−→AB = ~n,

−−→BC =

~p. Da se najde vrskata megu vektorite ~m, ~n, ~p, a potoa preku tie vektori da se izrazatvektorite

−−→OD,

−−→DA,

−−→EB i

−→OC.

Zadaqa 1.8. Dadeni se vektorite ~a = α~i+~j+4~k, ~b =~i− 2α~j, ~c = 3α~i− 3~j+4~k. Da se odrediskalarot α za da vektorite bidat komplanarni.

Zadaqa 1.9. Da se izrazi vektorot ~b = {−4, 1,−2} kako ~b = ~b1 +~b2, kade xto vektorot ~b1 eparalelen so ~a = {2, 3,−3} i ~b2⊥~a.

Zadaqa 1.10. Da se opredeli tapiot agol obrazuvan od te�ixnite linii povleqeni od tem-iǌata na ostrite agli kaj eden ramnokrak pravoagolen triagolnik.

Zadaqa 1.11. Vo 4ABC stranata BC e podelena so toqka D vo odnos m : n. Da se izrazivektorot

−−→AD preku vektorite

−→AB = ~c i

−→AC = ~b.

Zadaqa 1.12. Toqkite A(2, 0, 1), B(1,−2, 3) i C(0, 4, 2) se temiǌa na triagolnik. Da se odredi

vektorot na te�ixnata linija−−→AA1 i negovata dol�ina |

−−→AA1|.

Zadaqa 1.13. Nad vektorite−−→BC = ~a i

−→CA = ~b e konstruiran triagolnik ABC.

a) So pomox na vektorite ~a i ~b da se izrazat te�ixnite linii−−→AA1,

−−→BB1,

−−→CC1.

b) Da se poka�e deka od te�ixnite linii mo�e da se konstruira triagolnik.Upatstvo: Tri vektori ~a,~b i ~c formiraat triagolnik akko ~a+~b+ ~c = ~0.

Zadaqa 1.14. Za vektorite ~a = {1, 3, 3} i ~b = {2, 2, 4} da se najde:a) ~a ·~b;b) agolot megu vektorite;v) ortogonalnata proekcija na vektorot ~b vrz vektorot ~a.

1

Zadaqa 1.15. Ramnokrak trapez ABCD e opredelen so vektorite−→AB = ~a i

−−→AD = ~b od koi

edniot pretstavuva osnova, a drugiot boqna strana na trapezot koja so osnovata zafaka agolα = π

3. So pomox na ovie vektori da se izrazat vektorite na drugite strani i dijagonali

na trapezot.

Zadaqa 1.16. Poznato e deka ako ~a ⊥ ~b togax ~a ·~b = 0. Dali va�i obratnoto tvrdeǌe?

Zadaqa 1.17. Dadeni se vektorite ~a = α~i + ~j + 4~k, ~b = ~i − 2αj, ~c = 3α~i − 3~j + 4~k. Da seopredeli skalarot α taka xto vektorite ~a,~b,~c da bidat komplanarni.

Zadaqa 1.18. Da se najde agolot megu vektorite ~a = ~m+ ~n i ~b = ~m− ~n, ako vektorite ~m i ~nzafakaat agol od 60o i |~m| = |~n| = 2.

Zadaqa 1.19. Da se opredeli skalarot λ taka xto vektorite ~a = {2λ, λ, λ− 1} i~b = {λ+ 1, λ− 2, 0} imaat isti intenzitet. Potoa da se najde agolot megu niv.

Zadaqa 1.20. Da se opredeli skalarot λ taka xto vektorot ~a = 2λ~i +~j + (1− λ)~k obrazuvaednakvi agli so vektorite ~b = −~i+ 3~j i ~c = 5~i−~j + 8~k.

Zadaqa 1.21. Dadeni se vektorite ~a = {1, 1, 1}, ~b = {3, 2, 1}, ~c = {1, 2, 3}, ~d = {4, 0, 1}i ~e = {2, 1, 2}. Da se opredelat skalari λ i µ taka xto vektorot ~f = ~a + λ~b + µ~c da bidenormalen so vektorite ~d i ~e.

Zadaqa 1.22. Da se poka�e deka ako toqkite A,B,C i D go zadovoluvaat uslovot

AB2+ CD

2= AC

2+BD

2,

togax AD i BC se normalni.Upatstvo:

−→AB =

−→AC +

−−→CB,

−−→CD =

−−→CB +

−−→BD.

Zadaqa 1.23. Dadeni se vektorite ~a = {0, 2λ, λ},~b = {2, 2, 1},~c = {−1,−2,−1} i ~d = {λ, 0, 1}.Da se opredeli λ od uslovot

~a ·~b = ~c · ~d+ 7.

Zadaqa 1.24. Da se najde proekcijata na vektorot ~a = 2~p− 3~q vrz vektorot ~b = ~p+ ~q, ako

|~p| = 2, |~q| = 3, ^(~p, ~q) =π

3.

Zadaqa 1.25. Da se presmeta ploxtinata na paralelogramot konstruiran nad vektorite~a = ~m+ 2~n i ~b = 2~m+ ~n, kade xto ~m i ~n se edineqni vektori koi zafakaat agol od π/6.

Zadaqa 1.26. Da se presmeta ~a×~b ako:a) ~a = {−1, 3, 5}, ~b = {2,−1, 0};b) ~a = 2~i+~j − 3~k, ~b = −~i−~j + ~k.

Zadaqa 1.27. Da se presmeta |~a×~b| ako |~a| = 1, |~b| = 5 i ~a ·~b = −3.

Zadaqa 1.28. Da se najde vektor ortogonalen so vektorite ~a = {3,−4, 0} i ~b = {0, 2, 5}.

Zadaqa 1.29. Da se presmeta

~i× (~j + ~k)−~j × (~i+ ~k) + ~k × (~i+~j + ~k).

Zadaqa 1.30. Da se presmeta (~a×~b) · (~a×~b) ako |~a| = |~b| = 1, i ^(~a,~b) = π4.

2

Zadaqa 1.31. Stranite na 4ABC se−→AB = 3~p− 4~q i

−−→BC = ~p+5~q (~p i ~q se vzaemno normalni

ortovi.) Da se presmeta dol�inata na visinata−−→CD.

Zadaqa 1.32. Da se opredeli t od uslovot vektorite ~a = {ln (t− 2),−2, 6},~b = {t,−2, 5},~c ={0,−1, 3} da bidat komplanarni.

Zadaqa 1.33. Dadeni se vektorite ~a = {−1

2, 0,

1

2}, ~b = {3

2, 1,−3

2} i ~c = {2, 2,−4}.

a) Da se razlo�i vektorot ~c po pravcite na vektorite ~a+~b, ~a−~b i ~a×~b.b) Da se presmeta volumenot na paralelopipedot konstruiran nad vektorite ~a,~b i ~c.v) Da se presmeta ploxtinata na paralelopipedot konstruiran nad vektorite ~a,~b i ~c.g) Da se najde vektorot na visinata ~h, normalna na vektorite ~a i ~b.

d) Da se najde edineqniot vektor na visinata ~h0 =~h

|~h|.

Zadaqa 1.34. Neka A,B,C,D se proizvolni toqki vo prostorot. Da se poka�e deka va�i

−→AB ·

−−→DC +

−−→BC ·

−−→DA+

−→CA ·

−−→DB = 0.

Ako A(3, 0, 0), B(0, 3, 0), C(1, 5, 0), D(1, 1, 2), da se presmeta ploxtinata na tetraedarot ABCD.

Zadaqa 1.35. Neka ~a =−→AB,~b =

−−→CD se osnovite, ~c =

−−→BC, ~d =

−−→DA se kracite, ~e =

−→AC, ~f =−−→

BD se dijagonalite na trapezot ABCD. So primena na vektorsko smetaǌe da se poka�eravenstvoto

e2 + f 2 = c2 + d2 − 2ab.

Upatstvo: ~e =−−→AD +

−−→DC, ~f =

−−→BC +

−−→CD.

Zadaqa 1.36. Paralelogramot ABCD e konstruiran nad vektorite−→AB = 3~p + 4~q i

−−→AD =

~p− 2~q, kade xto ~p i ~q se zaemno normalni ediniqni vektori. Da se presmeta dol�inata navisinata na paralelogramot DD1 spuxtena kon osnovata AB.

Zadaqa 1.37. Dadeni se vektorite ~a = {1, 1, 1}, ~b = {3, 3, 0}, ~c = {1,−1, 0}. Da se opredelivektor ~d, takov xto

~d · ~a = 3, ~d× ~c = ~b.

Zadaqa 1.38. Dadeni se vektorite: ~a = {3,−3,m}, ~b = {3, 1, 2}, ~c = {m, 4, 2}.a) Da se opredeli realniot parametar m taka xto volumenot na paralelopipedot konstru-iran nad ovie vektori e 27.b) Za pomalata vrednost na m, da se presmeta agolot xto go zafaka vektorot ~c so ramninataopredelena so vektorite ~a i ~b.

Zadaqa 1.39. Vektorite ~a = {1, 2n, 1}, ~b = {2, n, n}, ~c = {3n, 2,−n} se rabovi na tetraedar.a) Da se presmeta volumenot na tetraedarot.b) Da se opredeli n ∈ R taka xto vektorite ~a, ~b, ~c da bidat komplanarni. Potoa da serazlo�i vektorot ~a po pravcite na vektorite ~b i ~c.

Zadaqa 1.40. Dadeni se vektorite ~a = {0, 2λ, λ},~b = {2, 2, 1} i ~c = {−1,−2,−1}.a) Da se opredeli vektorot ~d od uslovot ~a×~b = ~c× ~d i ~a× ~c = ~b× ~d.b) Da se poka�e deka vektorite ~a− ~d i ~b− ~c se kolinearni.v) Da se poka�e deka vektorite ~a×~b,~a× ~c i ~d se komplanarni.g) Da se odredi λ od uslovot (~a−~b) · ~c = ~a · ~c+ λ.

3

Zadaqa 1.41. Dadeni se vektorite −→m = {a, 1, 1}, −→n = {1, a, 1} i −→p = {1, 1, a}.a) Da se opredeli a taka xto volumenot na paralelopipedot konstruiran nad ovie vektorida bide 4.b) Za pomalata vrednost na a da se najde vektorot na visinata

−→h normalna na ramninata

opredelena so vektorite −→m i −→n .v) Da se opredeli agolot pomegu vektorite −→p i

−→h .

g) Vektorot −→p da se pretstavi kako linearna kombinacija na vektorite−→h , −→m i −→n .

4

2 Analitiqka geometrija vo prostorot R3

Zadaqa 2.1. Da se presmeta povrxinata na4ABC qii temiǌa se toqite A(4,−1, 2), B(−8, 0, 4)i C(8, 2, 3).

Zadaqa 2.2. Toqkite A(, 2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 6) i D(2, 3, 8) se temiǌa na piramida.a) Da se presmeta volumenot na piramidata.b) Da se presmeta visinata na piramidata spuxtena od temeto D.

Zadaqa 2.3. Ako toqkite A(0, 1, 2), B(2, 0, 1) i C(3, 1, 0) se tri posledovatelni temiǌa na par-alelogram, da se opredeli temto D, presekot na dijagonalite O i te�ixteto na triagol-nikot ABC.

Zadaqa 2.4. Da se proveri dali toqkite A(1, 1,−1), B(3, 4, 6), C(2,−2, 1) i D(1, 3, 2) formi-raat tetraedar.

Zadaqa 2.5. Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz toqkata (−1, 2, 1) i e oprede-lena so normalen vektor ~n = {2, 3, 4}.

Zadaqa 2.6. Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz toqkite A(3, 2,−1), B(2, 3, 5)i C(−1, 3, 4).

Zadaqa 2.7. Da se napixe ravenka na ramnina xto minuva niz toqkata M(1,−2, 1) i e par-alelna so ramninata

∑≡ 2x+ 3y − 4z + 5 = 0.

Zadaqa 2.8. Da se napixe ravenka na ramnina kojaa) e paralelna na x0y ramninata i e na rastojanie 3 edinici nad nea;b) e paralelna na y0z ramninata i e na rastojanie 2 edinici od nea.

Zadaqa 2.9. Da se napixe ravenka na ramnina normalna so ramninite∑

1 ≡ 2x−y+z+1 = 0i∑

2 ≡ x+ y − 2z − 2 = 0 i koja minuva niz toqkata M(1, 2, 3).

Zadaqa 2.10. Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz toqkite A(1, 0,−1) i B(2, 1, 3)i e ortogonalna na ramninata 2x− y + 3z = 6.

Zadaqa 2.11. Da se najde rastojanieto od toqkata A(1, 5, 4) do ramninata x+ y + 2z = 2.

Zadaqa 2.12. Da se najde rastojanieto megu paralelnite ramnini∑

1 : 2x + y + 3z = 6 i∑2 : 2x+ y + 3z = 1.

Zadaqa 2.13. Da se najde ravenka koja go opixuva mno�estvoto od site toqki koi se napodednakvo rastojanie od toqkite A(3, 1, 1) i B(7, 5, 6).

Zadaqa 2.14. Dadeni se toqkite M1(2, 2, 3),M2(−1, 2−2) i M3(3, 1, 1). Da se napixe ramninakoja:a) minuva niz toqkata M1, a na kordinatnite oski otsekuva otseqoci a, b i c za koi va�ia : b : c = 1 : 2 : 3;b) e postavena normalno na vektorot

−−−→OM2 i e na rastojanie 4 edinici od toqkata (0, 0, 0).

Zadaqa 2.15. Da se napixe ravenka na ramnina normalna na ramninata 2x+ 2y+ 4z− 5 = 0,

koja na x-oskata otsekuva otseqok a = −2, a na y-oskata otseqok b =2

3.

Zadaqa 2.16. Da se napixe ravenka na ramnina vo parametarski i opxt oblik koja minuvaniz toqkata M(3, 4,−5) i e paralelna so vektorite:

−→a =−→3i +

−→j −−→k i

−→b =

−→i −−→2j +

−→k .

1

Zadaqa 2.17. Niz toqkata M(−5,−16, 12) povleqeni se dve ramnini, ednata ja sodr�i x-oskata, a drugata y-oskata. Da se presmeta agolot megu niv.

Zadaqa 2.18. Da se napixe ravenka na ramninata koja minuva niz presekot na ramninite∑1 ≡ x− y + z + 1 = 0 i

∑2 ≡ x+ y − z − 1 = 0, a so ramninata

∑1 zafaka agol

π

3.

Zadaqa 2.19. Niz toqkite M1(−6, 6,−5) i M2(12,−6, 1) e povleqena prava. Da se opredelatpreseqnite toqki na taa prava so koordinatnite ramnini.

Zadaqa 2.20. Od snopot ramnini S : x+3y−5+λ(x−y−2z+4) = 0, da se opredeli ramninakoja otsekuva ednakvi otseqoci na x-oskata i y-oskata.

Zadaqa 2.21. Da se napixe ravenka na ramnina normalna na ramninata 5x− y + 3z − 2 = 0,a istata ja seqe po prava koja le�i vo x0y ramninata.

Zadaqa 2.22. Od snopot ramnini opredelen so ramninite∑

1 : 2x + y − 3z + 2 = 0 i∑

2 :25x+ 5y− 48z+ 31 = 0, da se opredelat dve ramnini normalni edna na druga, od koi ednataminuva niz toqkata A(4,−3, 1).

Zadaqa 2.23. Da se napixe vo kanoniqen vid ravenkata na pravata p ≡{

2x+ 3y + 5z − 3 = 0x+ y + 2z − 1 = 0

.

Zadaqa 2.24. Da se presmeta agolot megu pravite

p ≡{x+ 2y + z − 1 = 0x− 2y + z + 1 = 0

, q ≡{

x− y − z − 1 = 0x− y + 2z + 1 = 0

.

Zadaqa 2.25. Niz toqkata A(−1, 2, 1) da se povleqe prava paralelna so pravata

p ≡{x+ y − 2z − 1 = 0x+ 2y − z + 1 = 0

.

Zadaqa 2.26. Da se najde rastojanieto od toqkata M(2, 1, 3) do pravatax− 1

2=y

1=z

1.

Zadaqa 2.27. Na pravata p ≡ x− 8

8=y − 2

−6=z

0da se najde toqka qie rastojanie do toqkata

M(8, 2, 0) iznesuva 10 edinici.

Zadaqa 2.28. Da se najde rastojanieto megu dvete paralelni pravi p1 ≡x

1=y − 1

1=z − 1

2

i p2 ≡x− 1

1=y

1=z − 1

2.

Zadaqa 2.29. Da se najde rastojanieto megu pravite p1 ≡x− 9

4=y + 2

−3=z

1i p2 ≡

x

−2=

y + 7

9=z − 2

2.

Zadaqa 2.30. Na x−oskata da se opredeli toqka ednakvo oddaleqena od ramninite 12x −16y + 15z + 1 = 0 i 2x+ 2y − z − 1 = 0.

Zadaqa 2.31. Da se opredeli realniot parametar n vo ravenkata na pravata p ≡ x− 1

1=

y − 2

−1=z − 1

ntaka xto taa da ja seqe pravata q ≡ x− 2

1=y − 3

2=z − 4

3. Potoa da se najde

preseqnata toqka na pravite i agolot megu niv.

2

Zadaqa 2.32. Dadeni se pravite p ≡ x− 1− a5

=y + 1

1=z − 3

−2i q ≡ x− 1

10=y + 1

1 + a=z − 1

−4.

a) Da se opredeli parametarot a taka xto pravite p i q da se seqat. Potoa, da se najderavenka na ramnina Σ opredelena so ovie dve pravi.b) Da se presmeta volumenot na piramidata qij xto vrv e vo koordinatniot poqetok, abazata e delot od ramninata Σ koj go otsekuvaat koordinatnite ramnini i ramninata y = 1.

Zadaqa 2.33. Da se najde parametarot D taka xto pravata p ≡{

x− y + z + 1 = 02x− 3y − z +D = 0

da ja

seqe z-oskata.

Zadaqa 2.34. Niz toqkata M(1, 2,−1) da se postavi prava koja gi seqe pravite

p ≡ x− 1

2=y + 1

6=z + 3

3i q ≡ x− 2

3=y

1=z + 3

−1.

Zadaqa 2.35. Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz toqkata M(−1, 2,−3) i e

normalna na pravata p ≡ x− 1

1=y

2=z + 2

1. Potoa da se najde probodot na dadenata prava

niz dobienata ramnina.

Zadaqa 2.36. Da se najde probodot na pravata p ≡ x

2=

y − 1

1=

z + 1

−1so ramninata Σ ≡

x+ y + 3z − 5 = 0. Rezultatot da se protolkuva geometriski.

Zadaqa 2.37. Da se najde agolot megu pravata p ≡ x

1=

y + 1

3=

z − 1−32

i ramninata Σ ≡

2x+ y − z − 4 = 0.

Zadaqa 2.38. Da se opredeli vrednosta na parametarot l taka xto pravata p ≡ x− 1

l=

y + 2

2=

z

−1da bide paralelna so ramninata Σ ≡ x− 2y + 3z − 1 = 0.

Zadaqa 2.39. Da se doka�e deka pravata p ≡{

5x− 3y + 2z − 5 = 02x− y − z − 1 = 0

le�i vo ramninata

Σ ≡ 4x− 3y + 7z − 7 = 0.

Zadaqa 2.40. Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz pravata p ≡ x− 3

2=y + 4

1=

z − 2

−3i e paralelna so pravata q ≡ x+ 5

4=y − 2

7=z − 1

2. Da se najde rastojanieto megu

dvete pravi.

Zadaqa 2.41. Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz preseqnata prava na ramni-nite Σ1 ≡ 2x + y − z + 1 = 0 i Σ2 ≡ x + y + 2z + 1 = 0, i e paralelna so otseqkata megutoqkite M1(2, 5,−3) i M2(3,−2, 2).

Zadaqa 2.42. Da se napixe ravenka na prava koja minuva niz toqkata M(2, 3, 4), paralelna

e so ramninata Σ ≡ x− y + 2z − 3 = 0 i ja seqe pravata p ≡ x− 3

3=y − 5

1=z − 6

1.

Zadaqa 2.43. Da se sostavi ravenka na proekcijata na pravata p ≡ x

4=y − 4

3=z + 1

−2vrz

ramninata Σ ≡ x− y + 3z + 8 = 0.

Zadaqa 2.44. Da se najde prava p koja minuva niz toqkataM(2, 2, 1) i e paralelna so vektorot−→x takov xto −→x + −→a × −→x = −→c ako −→a = {1, 1, 1} i −→c = {2, 0, 1}. Potoa, da se najdesimetriqnata toqka na toqkata A(0,−5, 0) vo odnos na pravata p.

3

Zadaqa 2.45. Da se opredeli toqka Q koja e simetriqna na toqkata P (4, 1, 6) vo odnos na

pravata p ≡{x− y − 4z + 12 = 02x+ y − 2z + 3 = 0

.

Zadaqa 2.46. Dadeni se pravite p :x− 1

2=y + 1

1=z − 7

−1i q =

{x+ 2y + z − 12, = 0

2x+ y − 11 = 0i

toqkata A(1, 2, 1).a) Da se najdat temiǌata na piramidata ABCD ako B e preseqnata toqka na pravite p i q

i−→AC = −→p ,

−−→DA = 2−→q .

b) Da se presmeta volumenot na piramidata ABCD.v) Da se presmeta dol�inata na visinata na piramidata spuxtena od temeto D.

Zadaqa 2.47. Da se opredeli ravenka na prava koja le�i vo ramninata Σ ≡ 2x+3y−z+1 = 0,

minuva niz toqkata M(0, 0, c) i so pravata p ≡ x− 3

1=y − 3

2=z

1zafaka minimalen agol.

Zadaqa 2.48. Da se napixe ravenka na normalata spuxtena od toqkata A(0,−1, 1) kon pravata

p ≡{

y = −1x = 7− 2z

. Potoa da se presmeta dol�inata na visinata na triagolnikot 4ABC

kade xto B(5,−1, 1) i C(1,−1, 3).

Zadaqa 2.49. Da se doka�e deka pravite p ≡ x− 1

2=y

2=z

1i q ≡ x− 11

8=y − 6

4=z − 2

1se

seqat. Potoaa) da se napixe ravenkata na simetralata na tapiot agol megu niv;b) da se napixe ravenka na prava koja e normalna na pravite p i q i minuva niz nivniotpresek.

Zadaqa 2.50. Da se najde ortogonalnata proekcija na otseqkata AB : A(1, 2,−1), B(3, 2, 1) na

pravata p ≡{

2x− y + z − 2 = 0x+ y − z − 1 = 0

.

Zadaqa 2.51. Dadena e ramninata Σ ≡ x + y = 0 i pravite p ≡ x

3=

y + 1

1=

z − 3

−2i

q ≡{y = z + 2x = 1

. Da se napixe ravenka na prava paralelna so dadenata ramnina koja gi

seqe dadenite pravi vo toqki qie megusebno rastojanie e 3 edinici.

Zadaqa 2.52. Da se napixe ravenka na prava koja minuva niz toqkataM(2,−4, 1) i sredinata

na otseqkata na pravata q ≡{

3x+ 4y + 5z − 26 = 03x− 3y − 2z − 5 = 0

megu ramninite Σ1 ≡ 5x+3y−4z+11 =

0 i Σ2 ≡ 5x+ 3y − 4z − 41 = 0.

Zadaqa 2.53. Pravite p i q se paralelni so vektorite ~p = {1, 2,−1} i ~q = {2,−3, 1} sood-vetno. Da se opredeli toqka C vo ramninata Σ ≡ 3x + y + z − 4 = 0 taka xto nejzinataproekcija na pravata p e toqkata A(5,−3, 2), a na pravata q e toqkata B(3, 1, 4). Potoa dase opredeli ploxtinata na triagolnikot ABC.

4

Zadaqa 2.54. Daden sistemot ravenkix − y + z = bx + 2y + z = bbx + y + 2z = 2b

.

a) Da se diskutira rexenieto na sistemot vo zavisnost od parametarot b.b) Ako dadenite ravenki pretstavuvaat ramnini vo prostorot, da se diskutira nivnatazaemna polo�ba vo zavisnost od parametarot b.

Zadaqa 2.55. Neka se dadeni toqkata A(1, 1, 0) i ramninite∑

1 : x − 2y − 2z + 4 = 0 i∑2 : x+ y − z + 1 = 0.

a) Da se napixat kanoniqnite ravenki na pravata p koja pretstavuva presek na dadeniteramnini.b) Da se najdat toqkite A1 i A2 kako proekcii na dadenata toqka A vrz ramninite

∑1 i∑

2

soodvetno.v) Da se najde toqka C od z−oskata taka xto tetraedarot konstruiran nad vektorite−→AC,−−→AA1 i

−−→AA2 ima volumen 1 edinica.

Zadaqa 2.56. Dadeni se ramninite Σ1 ≡ 3x+ 2y − 3z + 1 = 0 i Σ2 ≡ 4x− y + z = 0.a) Da se najde preseqnata prava p na ramninite Σ1 i Σ2 vo kanoniqen oblik.b) Da se najde dol�inata i vektorot na visinata na paralelopipedot opredelen so vektorite−→a = −→n 1 + 3−→n 2,

−→b = −→n 2 i −→p .

v) Na pravata p da se najde toqka koja e na rastojanie 1√3od ramninata Σ ≡ x+ y + z = 1.

Zadaqa 2.57. Na pravata

p :

{5x+ 3y − 1 = 03x+ 9

2z + 15

2= 0

da se najde toqka ednakvo odaleqena od ramninite∑

1 : 3x+3y−2 = 0 i∑

2 : 4x+y+z+4 = 0.

Zadaqa 2.58. Neka se dadeni pravata

p :

{2x− y + z − 3 = 0y + z = 0

i toqkite A(1, 2,−1) i B(3, 1, 0). Da se napixe ravenka na ramnina koja minuva niz toqkataB i dadenata prava p. Potoa, da se najde simetriqna toqka na toqkata A vo odnos nadobienata ramnina.

Zadaqa 2.59. Dadeni se toqkite A(1, 1, a), B(2, 1,−2), C(−1,−2,−3) i D(3, 3, 3). Da se najdeparametarot a taka xto volumenot na tetraedarot ABCD e 1

6. Da se opredeli dol�inata

i vektorot na visinata povleqena od temeto D kon osnovata-triagolnikot ABC. Potoa dase napixe ravenka na prava koja minuva niz toqkata D i e normalna na ramninata vo kojale�i triagolnikot ABC.

5

3 Matrici i determinanti

3.1 Operacii so matrici i vidovi matriciZadaqa 3.1. Da se opredeli koi od slednite matrici se ednakvi:

A =

1 0 31 −2 0√22−3 1

, B =

[ln 1 e0

tg π4−2 ln e

], C =

sin π2

cos π2

eln 3

2o 2 sin 3π2

tg π4− ln e

sin π4

ln 1e3

55−5

D =

[0 11 −2

], E =

[1 01 −2

].

Zadaqa 3.2. Ako e mo�no da se opredelat realnite broevi a, b i c taka xto matricite A iB da se ednakvi:

A =

1 cb c+ a

a− b 1

, B =

a− b 22b 3a a

.Zadaqa 3.3. Dadeni se matricite

A =

1 0 31 −2 00, 2 −3 1

, B =

[1 0 31 −2 0

], C =

2 56−1 24−8 7

,D =

7 −6 252 32 19−5 94 5

, H =

[3 −1 8−3 12 53

], F =

[1 01 −2

].

Da se opredeli koi od niv mo�at da se soberat, a potoa da se presmeta nivniot zbir.

Zadaqa 3.4. Ako matricite A i D se dadeni kako vo prethodnata zadaqa i ako e dadena

matricata H =

11 10 1321 22 202 −15 −9

, da se poka�e deka (A+D) +H = A+ (D +H).

Zadaqa 3.5. Da se opredelat proizvodite AB i BA na matricite:

a) A =

[2 13 4

]i B =

[1 39 7

].

b) A =

3 5 −10 3 14 −1 2

i B =

1 0 3−4 1 21 −2 1

.Zadaqa 3.6. Dadeni se matricite: A =

[1 2−1 2

], B =

[0 3−1 4

]i C =

[1 −11 0

]. Da se

presmetaat proizvodite A(BC) i (AB)C.

Zadaqa 3.7. Dadeni se matricite: A =

1 0 −12 0 −20 1 1

, B =

1 0−1 00 1

i C =

00−1

−110

.Da se presmeta AB i AC.

1

Zadaqa 3.8. Da se najdat site matrici komutativni so matricata A =

[3 24 1

].

Zadaqa 3.9. Dadeni se matricite A =

1 2 −10 1 3a 2 4

i B =

b b 59 a aa 8 a

. Ako e mo�no da se

opredelat realnite broevi a i b taka xto matricite A i B da se komutativni. Potoa da sepresmeta 2A+BT − 3E + AB i f(A), ako f(x) = x3 − 3x2 + 2.

Zadaqa 3.10. Dadeni se matricite

A =

[−1 0 32 1 0

], B =

2 −1 1 31 −2 0 11 0 3 2

, C =

210

, D =[2 1 0

].

Da se presmeta: a) AT , BT ; b) (AB)T , BTAT ; v) CT , DT ; g) (A+B)T ; d) (2A)T , 2AT .

Zadaqa 3.11. Da se presmeta f(A) ako

a) f(x) = x2 − 5x+ 3 i A =

[2 −1−3 3

].

b) f(x) = x2 − 2x− 3 i A =

[−4 −36 5

].

Zadaqa 3.12. Da se poka�e deka matricite xto se komutativni so A =

[0 11 0

]se komuta-

tivni i megu sebe.

Zadaqa 3.13. Da se presmeta Ak ako k ∈ N

a)A =

2 0 00 1 00 0 3

; b) A =

a 1 00 a 10 0 a

; v) A =

2 1 00 2 10 0 2

; g) A =

0 1 0 · · · 00 0 1 0...

. . .0 0 0 10 0 0 . . . 0

m×m

.

Zadaqa 3.14. Dadeni se matricite A i B taka xto AB = BA i B2 = 0. Da se doka�e deka(A+B)k = Ak + kAk−1B.

Zadaqa 3.15. Ako n ∈ N i A =

[1 01 1

], da se doka�e deka An = E + n(A − E) koristejki

matematiqka indukcija.

Zadaqa 3.16. Koristejki matematiqka indukcija da se poka�e deka An = An−2+A2−E, n ≥ 1

za A =

1 0 01 0 10 1 0

.Zadaqa 3.17. Dadena e matricata A =

a b c0 a d0 0 a

kade xto a, b, c i d se realni broevi.

a) Da se opredeli matrica B taka xto A = aE +B.b) Da se opredeli Bn, n ∈ N.v) Koristejki go rezultatot pod b) da se opredeli An, n ∈ N.

2

Zadaqa 3.18. Da se doka�e deka matricata A =

[a bc d

]ja zadovoluva ravenkata x2 − (a +

d)x+ ad− bc = 0. Koristejki go toa, da se najde

[a bc −a

]n.


−1 0 00 3 00 0 2

i B =

2 1 −10 1 −10 0 3

. Da se doka�e

deka:a) AA e dijagonalna matrica;b) BB e gorno triagolna matrica;v) Sekoja matrica C koja e komutativna so A e dijagonalna matrica.

Zadaqa 3.20. Da se najdat site dijagonalni matrici od n-ti red koi xto se:a) involutorni;b) idempotentni.

Zadaqa 3.21. Dadeni se kvadratnite matrici:

A = 13

1 −2 −2−2 1 −2−2 −2 1

, B =

1 −2 −6−3 2 92 0 −3

i C =

0 1 00 0 10 0 0

.Da se poka�e deka:a) A e simetriqna, ortogonalna i involutorna;b) B +BT e simetriqna, a B −BT e antisimetricna, iako B nema niedna od tie osobini;v) B e periodicna matrica so period 2;g) C e nilpotentna so indeks na nilpotentnost 3 .

Zadaqa 3.22. Da se poka�e deka proizvod na dve ortogonalni matrici e ortogonalna matrica.

Zadaqa 3.23. Neka A i B se simetriqni kvadratni matrici od ist red. Da se poka�e dekaAB e simetriqna matrica ako i samo ako AB=BA.

Zadaqa 3.24. Neka A e involutorna matrica. Da se poka�e deka va�i ravenstvoto (E −A)(E + A) = O. Da se poka�e deka va�i i obratnoto tvrdeǌe.

Zadaqa 3.25. Neka A i B se kvadratni matrici od ist red. Ako A e simetriqna matricapoka�i deka i matricata BTAB e isto taka simetriqna.

Zadaqa 3.26. Da se poka�e deka sekoja od trite osobini na edna kvadratna matrica: simet-riqnost, ortogonalnost i involutornost sleduva od preostanatite dve.

Zadaqa 3.27. Neka A i B se kvadratni matrici od ist red i c, k, x, y se skalari za koi va�icy 6= kx. Da se poka�e deka matricite P = cA + kB i S = xA + yB megusebno komutiraatako i samo ako matricite A i B megusebno komutiraat.

3.2 Determinanti

Zadaqa 3.28. Da se presmeta vrednosta na determinantata D =

1 3 02 1 13 1 3

.

3

Zadaqa 3.29. Da se presmeta vrednosta na determinantata A

A =

1 3 2 12 2 1 2−1 1 3 12 2 1 −1

.a) so razlo�uvaǌe na determinantata po elementite od prvata redica;b) so transformacija vo determinata sto ima tri nuli vo prvata kolona, a potoa so ra-zlozuvaǌe po elementite od taa kolona;v) so sveduvaǌe vo triagolna forma.

Zadaqa 3.30. Da se presmeta vrednosta na slednata determinanta B =

12541 12541 1254112551 12541 4572623841 23841 23842

.Zadaqa 3.31. Dadeni se matricite:

A =

1 1 0 0−1 4 0 0−1 0 1 10 −1 −1 2

i B =

0 −1 1 12 0 1 03 −1 0 11 1 2 0

.Da se presmeta detA, detB, det(AB) i da se uoqi deka va�i ravenstvoto

detA · detB = det(AB).

Zadaqa 3.32. Da se presmetaat slednite determinanti

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣−2 4 0 15 7 −3 01 4 9 2−1 0 0 5

∣∣∣∣∣∣∣∣ ; b)

∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −1 −11 1 −1 11 1 1 −1−1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣;

v)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2 5 0 −1 31 0 3 7 −23 −1 0 5 −52 6 −4 1 20 −3 −1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣; g)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3 −3 4 1 02 −1 1 3 21 1 2 1 15 0 5 2 −13 −2 2 2 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Zadaqa 3.33. Da se presmetaat slednite determinanti od red n so sveduvaǌe vo gorno ilidolno triagolna forma:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1−1 0 1 1−1 −1 0 1...

. . .−1 −1 −1 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 2 2 . . . 25 4 5 55 5 6 5...

. . .5 5 5 · · · 2n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣v)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

7 2 2 . . . 22 7 2 22 2 7 2...

. . .2 2 2 · · · 7

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣g)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 3 5 . . . 2n− 11 0 5 2n− 11 3 0 2n− 1...

. . .1 3 5 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

d)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−1 −2 −3 · · · −n1 0 3 n1 2 0 n...

. . .1 2 3 · · · 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣g)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 1 1 · · · 11 1/2 0 01 0 1/3 0...

. . .1 0 0 · · · 1/n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣e)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2 2 · · · 2 52 2 5 2...

. . .2 5 2 25 2 · · · 2 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

4

Zadaqa 3.34. So metod na rekurentni vrski, da se presmetaat slednite determinanti:

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a0 a1 a2 · · · an−x x 0 00 −x x 0...

. . .0 0 0 · · · x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, x, a0, a1, · · · , an ∈ R, b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 0 0 · · ·2 −1 2 03 0 −1 3...

. . .k 0 0 0 · · ·

000

−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

3.3 Inverzna matrica

Zadaqa 3.35. Ako A i B se komutativni matrici, da se poka�e deka i matricite A−1 i B sekomutativni matrici.

Zadaqa 3.36. Da se najde inverznata matrica na matricata A ako

a) A =

2 0 0−1 5 01 0 7

; b) A =

1 2 −1−1 1 12 1 2

;g) A =

1 2 0−1 0 21 1 0

; v) A =

1 4 3 53 10 9 122 6 7 8−1 2 −5 6

.Zadaqa 3.37. Da se najdat inverznite matrici za slednite matrici:

A =

0 0 −30 2 41 −5 0

, B =

2 0 1−2 0 0−3 1 0

, C =

1 −1 0 12 −1 1 23 −3 1 2−1 1 2 −2

.Zadaqa 3.38. Za koe x ∈ R matricata A ke bide: a) singularna, b) nesingularna ako

A =

x 1 0 03 x 2 00 2 x 30 0 1 x

?Zadaqa 3.39. Da se presmeta f(A) ako

a) f(x) =xn + 2

x2 + 4x− 3, n ∈ N i A =

[1 30 1

].

b) f(x) =x− 1

x+ 1i A =

1 3 12 3 11 1 0

.Zadaqa 3.40. Neka S e mno�estvoto od site matrici A od oblik A =

[a b−b a

]kade xto

a, b ∈ R.a) Dali za sekoja matrica A ∈ S postoi inverzna matrica A−1 taka xto A−1 ∈ S.b) Da se najdat site matrici A ∈ S za koi A+ A−1 = O.

5

Zadaqa 3.41. Neka A e nesingularna matrica. Da se poka�e deka:

a) det(A−1

)= (detA)−1 =

1

detA.

b) det (A−1BA) = detB.

Zadaqa 3.42. Neka A e kvadratna matrica i neka postoi priroden broj k taka xto Ak = E.Da se pokaze deka A e nesingularna matrica, i deka A−1 = Ak−1.

Zadaqa 3.43. Neka A e kvadratna matrica a S e nesingularna matrica od ist red kako i A.Da se poka�e deka (SAS−1)n = SAnS−1, za sekoj n ∈ N.

Zadaqa 3.44. Neka A =

[1 10 1

]i S =

[2 13 2

]. Da se opredeli (SAS−1)n, n ∈ N.

Zadaqa 3.45. Dadeni se matricite: A =

2 −5 40 −5 83 15 −1

i B =

2 0 11 3 32 5 5

.a) Bez da se izvrxi mno�eǌeto da se doka�e deka AB = E +B2.b) Koristejki go doka�anoto ravenstvo pod a) da se presmeta An, n ∈ N.Upatstvo. a) Ravenstvoto AB = E +B2 go mno�ime od desno so B−1.

Zadaqa 3.46. Neka e A matrica takva xto za nekoj priroden broj k va�i A2k = O. Da seizrazi inverznata matrica na matricata E − A preku stepenite na matricata A.

Zadaqa 3.47. Neka A i B se ortogonalni matrici od ist neparen red. Da se poka�e dekaedna od matricite A+B i A−B e singularna.

3.4 Rang na matrici

Zadaqa 3.48. Da se opredeli rangot na matricite:

a) C =

2 1 −1 21 −3 3 −11 4 −4 30 0 1 2

; b) B =

5 3 1 2 810 13 5 21 162 4 0 7 11 2 4 5 6

; v) A =

0 2 −4−1 −4 53 1 70 5 −102 3 0

.Zadaqa 3.49. Da se opredeli a ∈ R taka xto rangot na A da e 3

a)

1 −2 2 −1 33 −1 2 3 −14 −3 −1 4 50 0 −5 a a

; b)

4 4 −3 11 1 −1 0a 2 2 29 9 a 3

.

3.5 Matriqni ravenki

Zadaqa 3.50. Dadena e matricata X =

a 0 a0 b 0c 0 c

. Da se rexi ravenkata X2 = X. Potoa

da se opredeli rangot na matricata X.

6


1 0 10 −1 2−1 0 1

i B =

0 0 2−2 3 12 −2 0

. Da se rexi

matriqnata ravenka (A − E)2X + 2AX − BT = 0, a potoa da se proveri dali dobienatamatrica X e simetriqna.


1 3 31 3 41 4 3

i B =

0 1 2−1 0 32 −3 0

. Da se rexat

matriqnite ravenki AX = B i Y A = B.

Zadaqa 3.53. Dadena e matricata A =

0 1 11 0 11 1 0

. Da se opredelat realnite broevi p i q

takvi xto za p > 0, q 6= 0 matricata B = pE + qA go zadovoluva uslovot B2 = E. Za takanajdenite vrednosti za p i q da se rexi matriqnata ravenka BX = A.

Zadaqa 3.54. Da se najde matrica X za koja va�i: 1 2 0−1 1 13 1 1

·X − 0 2 −6

4 −2 −2−3 7 −3

= X.

Zadaqa 3.55. Da se rexi matriqnata ravenka A−1XA = B kade xto A =

3 1 −10 2 01 1 1

i

B =

1 0 00 0 00 0 1

.3.6 Karakteristiqen i minimalen polinom. Sopstveni vred-

nosti i sopstveni vektori na matrici

Zadaqa 3.56. Da se opredeli karakteristiqniot polinom, minimalniot polinom, sopstven-ite vrednosti i sopstvenite vektori za matricite:

a) A =

[2 −4−1 −1

]; b) A =

5 8 164 1 8−4 −4 −11

; v) A =

5 4 24 5 22 2 2

; g) A =

2 1 00 1 −10 0 −3

;d) A =

4 1 −1−1 2 12 2 1

; g) A =

2 1 00 2 01 0 2

; e) A =

1 1 31 1 31 1 3

.Potoa, da se opredeli koja od matricite ima inverzna matrica i taa da se opredeli sopomox na teoremata na Hamilton-Keli.


−3 0 20 2 −1−5 0 4

. Da se opredeli karakteristiqniot

polinom, minimalniot polinom i sopstvenite vrednosti na matricata A. Kolku e tragot namatricata A? Potoa da se presmeta f(A), kade xto f(λ) = λ5 − 3λ4 + 2λ3 − 3λ2 + λ+ 5.

7

Zadaqa 3.58. Dadena se matricite A =

1 0 04 3 3−5 2 −2

i B =

1 0 00 1 1−1 2 2

.a) Da se opredeli karakteristiqniot polinom i sopstvenite vrednosti na matricata A.Potoa koristejki ja teoremata na Hamilton-Keli da se opredeli A−1.b) Da se rexi matriqnata ravenka AX = BT −X.


0 1 00 0 11 −1 1

i B =

1 1 0−1 0 −10 0 1

.a) Da se najde karakteristiqniot polinom, minimalniot polinom, sopstvenite vrednosti isopstvenite vektori na matricata A.b) Da se opredeli g(A) ako g(x) = 3x5 − 3x4 + x3 − 2x− 1.v) Da se rexat matriqnite ravenki ATX = A2X − E i A2 = XBT + 3E.


1 0 01 0 10 1 0

i polinomot f(x) = 2x5−9x4+5x3+8x2−

6x+ 1. Da se opredelat karakteristiqniot, minimalniot polinom i sopstvenite vrednostina matricata A. Koristejki ja teoremata na Hamilton-Keli da se poka�e deka f(A) = A−1.Potoa da se rexi matriqnata ravenka 2XAf(A) + ATX = E.


3 0 −22 −3 05 0 −4

.a) Da se opredeli f(A), kade xto f(x) = x4 + 5x3 + 5x2 − 3x− 3, koristejki ja teoremata naHamilton-Keli, a potoa da se rexi ravenkata ATX = f(A).b) Da se opredelat sopstvenite vrednosti na proizvolna matrica B, ako se znae deka postoinesingularna matrica C za koja xto va�i BCA− CA3 = O.

Zadaqa 3.62. Dadeni se matricite

A(m) =

m+ 1 1 11 m+ 1 11 1 m+ 1

i C =

1 2 33 2 00 1 −1

.a) Da se diskutira rangot na matricata A(m) vo zavisnost od realniot parametar m.b) Da se najde karakteristiqniot polinom na matricata A(−1).v) Da se rexi ravenkata 2XA(0) = 2X + C.


2 −2 −11 2 −13 a 2

i B =

2−11

. Da se opredeli

realniot parametar a taka xto r(A) = 2. Za taka dobienata vrednost na a da se opredelikarakteristiqniot polinom i sopstvenite vrednosti na matricata A. Potoa da se reximatriqnata ravenka (A+ E)TX = B.

8

Zadaqa 3.64. Neka f(x) e karakteristiqniot polinom na matricata A =

0 1 00 0 11 −1 1

.a) Da se najde matricata B = f ′(A) i da se opredeli nejziniot rang.b) Da se opredeli C = g(A) ako g(x) = 3x5 − 3x4 + x3 − 2x− 1.v) Da se rexi matriqnata ravenka XB = CT +X .

Zadaqa 3.65. Neka A e gorno triagolna matrica od vtori red koja ja zadovoluva ravenkatax2 − 3x + 2 = 0. Od koj oblik e matricata A? Opredeli gi sopstvenite vrednosti namatricata A i nejzinata inverzna matrica.

Zadaqa 3.66. Koj e potreben i dovolen uslov za da dvete sopstveni vrednosti na matrica odvtor red bidat ednakvi?

Zadaqa 3.67. So koristeǌe na Kramerovoto pravilo, a potoa i so pomox na matriqni ravenkida se rexat slednite sistemi ravenki:

a)

5x+ 2y + z = 83x+ 2y = 5x+ 2z = 3

, b)

x+ y + 2z = 3

2x− y + 3z = −44x− 3y − z = −18

, v)

3x− 2y − z = 1x+ 2y + z = 7−x+ y + z = 2

.

3.7 Sliqni matrici


[1 20 3

]. Da se proveri dali A e sliqna so matricata:

a) B =

[2 40 6

], b) C =

[1 −22 −1

], v) D =

[2 11 2

].

Zadaqa 3.69. Da se poka�e deka dve sliqni matrici se istovremeno ili nesingularni ilisingularni.

Zadaqa 3.70. Da se poka�e deka karakteristiqnite polinomi na dve sliqni matrici se ed-nakvi.

Zadaqa 3.71. Neka A i B se sliqni matrici. Da se poka�e deka i matricite An i Bn, n ∈ Nse sliqni.

Zadaqa 3.72. Da se opredelat sopstvenite vrednosti na matricata B ako se znae deka postoi

nesingularna matrica C za koja va�i BCA+ CA3 = O i A =

3 0 −22 −3 05 0 −4

.3.8 Primena na teoremata na Kroneker-Kapeli za rexavaǌe sis-

temi linearni ravenki

Zadaqa 3.73. So pomox na teoremata na Kroneker- Kapeli, da se ispita rexenieto na sis-temot, a potoa da se rexi so Gausov metod:

9

a)

x+ 2y + 2z = 0x− y + z = 0x+ 2y + z = 0

, b)

x+ 2y + 2z = 5x− y + z = 0x+ 2y + z = 32x+ y + 3z = 5

,

v)

x− y + z − u = 2

2x− 2y + z − 2u = 2x− y + 2z − u = 4

, g)

x− y + z − u = 22x− y + z − u = 1

3x− 2y + 2z − 2u = 0.

Zadaqa 3.74. Da se diskutiraat rexenijata na slednive sistemi ravenki vo zavisnost odparametarot a:

a)

ax+ 2y + z = 1x+ 2ay + z = 2x+ 2y + az = 1

, b)

a2x+ 3y + 2z = 0ax− y + z = 0y + 4z = 0

, v)

{(a+ 2)x+ ay = 13x+ (2− a) y = 1

.

Zadaqa 3.75. Daden e sistemot ravenki

(1 +m)x+ y + z = 1 +mx+ (1 +m)y + z = 1x+ y + (1 +m)z = 1−m

. So pomox na teore-

mata na Kroneker-Kapeli da se diskutira rexenieto na sistemot vo zavisnost od param-etarot m ∈ R.

Zadaqa 3.76. Daden e sistemot ravenki:ax+ y + z + u = 1x+ ay + z + u = 1x+ y + az + u = 1x+ y + z + au = 1

.

So pomox na teoremata na Kroneker-Kapeli da se diskutira rexenieto na sistemot vozavisnost od parametarot a ∈ R. Kolku e negovoto rexenie za a = 2?

Zadaqa 3.77. So pomox na teoremata na Kroneker-Kapeli da se diskutira i rexi sistemotx+ (1 +m)y + z + u = 3mx+ y + z + u = 1x+ y + (1 +m)z + u = 4x+ y + z + u = 1

vo zavisnost od parametarot m ∈ R. Kolku e rexenieto na sistemot za m = 5?

Zadaqa 3.78. So pomox na teoremata na Kroneker-Kapeli da se diskutira i rexi sistemotmx+ y + z + u = 1x+my + z + u = mx+ y +mz + u = m2

x+ y + z +mu = 1

vo zavisnost od parametarot m ∈ R.

Zadaqa 3.79. So pomox na teoremata na Kroneker-Kapeli da se diskutira rexenieto nadadeniot sistem vo zavisnost od parametarot m ∈ R i da se najde rexenieto za m = 2:

10

mx+ y + z + u = 4x+my + z + u = −mx+ y +mz + u = 0x+ y + z +mu = m

.

Zadaqa 3.80. So pomox na teoremata na Kroneker-Kapeli, da se najdat vrednostite naparametrite m i n za koi sistemot AX = B e soglasen (ima rexenie) i da se najde ne-govoto rexenie, ako

A =

0 11 1

1 22 0

0 21 1

5 n3 3

i B = [0 m 3 0]T .

Zadaqa 3.81. So pomox na teoremata na Kroneker-Kapeli, da se najdat vrednostite na param-etarot a za koi sistemot AX = B e soglasen i da se najde negovoto rexenie, ako

A =

−1 2a a

1 a−(a2 − 2) a2

1 01 1

−(a+ 1) 2−(a+ 1) 2

i B = [a 4 (a− 1) 2 2] T .

11

4 Brojni redovi

Zadaqa 4.1. Najdi barem edna formula za opxtiot qlen an na slednite redovi:

a) 12+ 8

3+ 27

4+ 64

5+ · · · b) 1

2+ 4

4+ 9

8+ 16

16+ · · · v) 2

3+ 6

8+ 24

15+ 120

24+ · · ·

Zadaqa 4.2. Doka�i deka redot∞∑n=1

an konvergira i najdi ja negovata suma ako:

a) an = 1n+4− 1

n+6; b) an = 2n+1

3n; v) an = 2n+1

n2(n+1)2;

g) an = 1(n+k)(n+k+1)

, k ∈ N; d) an = n√a− n+1

√a, a > 0; g) an = 1

n2+2n;

e) an =√n+1−

√n√

n2+n; �) an = 2n+1

n2(n+1)2; z) an = 3n+4

n(n+1)(n+2);

s) an = 2n+n2+n2n+1n(n+1)

; i) an = 2n+1n2(n+1)2

; j) an = 2+(−1)n2n

.

Zadaqa 4.3. Da se opredeli parcijalnata suma Sn i limn→∞

Sn za sledniot red:

∞∑n=2

1√an−1 +

√an

kade xto pozitivnite broevi an, n ∈ N obrazuvaat aritmetiqka progresija. Dali dadeniotred konvergira?

Zadaqa 4.4. Da se opredeli parcijalnata suma Sn i limn→∞

Sn za sledniot red:

∞∑k=1

k3 + 6k2 + 11k + 5

(k + 3)!.

Upatstvo: k3 + 6k2 + 11k + 5 = (k + 1)(k + 2)(k + 3)− 1.

Zadaqa 4.5. Da se proveri dali konvergiraat dadenite redovi i vo potvrden sluqaj da seopredelat nivnite sumi:

a) lnln 3

ln 2+ ln

ln 4

ln 3+ · · ·+ ln

ln(n+ 1)

lnn+ · · · ; b)

∞∑n=2

ln(1− 1

n2

);

v)∞∑n=1

sin1

2ncos

3

2n; g)

∞∑n=1

(√n+ 2− 2

√n+ 1 +

√n).


an divergira ako:

a) an = (−1)nn+ 1

n+ 3; b) an =

(2n2 − 3

2n2 + 1

)n2

; v); an = (n2 + 2) ln

(1 +

1

n2

);

g) an = sinnα (0 < α < π); d) an = cosnα (−π2< α <

π

2); g) an =

1n√n+ α

.

1

4.1 Redovi so nenegativni qlenovi

Zadaqa 4.7. Ispitaj ja konvergencijata na redot∞∑n=1

an ako:

a) an =cos2 n

n(n+ 1); b) an =

sin2 2n

(n+ 1)(n+ 2).

Zadaqa 4.8. So pomox na kriteriumot so sporedba ili kriteriumot so koliqnik ispitaj ja

konvergencijata na redot∞∑n=1

an, ako:

a) an =1

n2 + 1; b) an =

5 + 3(−1)n

2n+3; v) an = sin2 π

n;

g) an =1√

n(n+ 1); d) an =

3n

(n+ 1)(n+ 2); g) an =

1

2n + cos2 n;

e) an =arctgn

n2 + 1; �) an =

cos2 n

n(n+ 1); z) an =

n

n2 + 1;

�) an =1√

4n + 7; i) an =

cos(π4n

)5√n10 + 1

; j) an =3√n− 1− 3

√n√

n;

k) an = tan1

n2; l) an = 1− cos

1

n; ǉ) an = n

√a− 1, a > 1.

.

Zadaqa 4.9. Poka�i deka redot∞∑n=1

n+ 2

(n+ 1)√n

go ispolnuva potrebniot uslov za konvergen-

cija, no toj e divergenten.

Zadaqa 4.10. So pomox na kriteriumot na Dalamber da se ispita konvergencijata na∞∑n=1

an

ako:

a) an =n3

3n; b) an =

2n

n2 + n; v) an =

n4

4n + 1;

g) an =n!

n22n; d) an =

(2n+ 1)!!

3nn!; g) an = n3 sin

π

3n;

e) an =bn

n!(b > 0); �) an =

n!

nn; z) an =

(2n− 1)!!

(2n)!!

1

2n+1.

Zadaqa 4.11. So pomox na kriteriumot na Dalamber da se ispita konvergencijata na∞∑n=1

an

ako:

a) an =bn

(1 + b)(1 + b2) · · · (1 + bn), (b > 0);

b) an = (√2− 3√2)(√2− 5√2) · · · (

√2− 2n+1

√2);

v) an = (√5− 3√5)(√5− 5√5) · · · (

√5− 2n+1

√5).

2

Zadaqa 4.12. So pomox na kriterium na Koxi da se ispita konvergencijata na redot∞∑n=1

an

ako:

a) an =1

(lnn)n; b) an = arcsinn

1

n; v) an =

(n

2n+ 1

)n;

g) an =8n+2

5n; d) an = 2−n

(n+ 1

n

)n2

; g) an =

(n

n+ 2

)n(n+1)

;

e) an =n

(lnn)n; �) an =

(n− 2

n+ 2

)n(n+1)

; z) an = an2+1n+1 , (a > 0);

s) an =

(n− 1

n+ 1

)√n4+3n+1

; i) an =

(√n+ 2√n+ 3

)n 32

; j) an =n3(

a+ 1n

)n , (a > 0).

Zadaqa 4.13. So pomox na kriteriumot na Rabe da se ispita konvergencijata na∞∑n=1

an ako:

a) an =(2n− 1)!!

(2n)!!;

b) an =3n+ 1

n(n+ 1)(n+ 2);

v) an =

((2n− 1)!!

(2n)!!

)2

.

Zadaqa 4.14. So pomox na Koxieviot integralen kriterium da se ispita konvergencijata

na redot∞∑n=1

an ako:

a) an =n√n2 + 1

, n ≥ 1; b) an =1

n2sin

1

n, n ≥ 1;

v) an =arctann

n2 + 1, n ≥ 1; g) an =

1

n lnn(ln (lnn)), n ≥ 3;

d) an = ne−n2

2 , n ≥ 1.

4.2 Redovi so promenliv znak


an e apsolutno konvergenten ako

an =(n+ 1) cos 2n3√n7 + 3n+ 4

.

Zadaqa 4.16. Ispitaj ja konvergencijata na slednive redovi:

3

a)∞∑n=1

sinnx

2n; b)

∞∑n=1

(−1)n−1 1√n; v)

∞∑n=1

(−1)n 1n;

g)∞∑n=1

(−1)n

x+ n; d)

∞∑n=1

(−1)n tan 1

n; g)

∞∑n=1

(−1)n n!nn

;

e)∞∑n=1

(−1)n (n!)2

(2n)!22n; �) 1 +

1

2+

1

3− 1

4− 1

5− 1

6+

1

7+

1

8+

1

9− · · · .

4.3 Proizvod na redovi

Zadaqa 4.17. Da se opredelat sumite na redovite koristejki Koxiev proizvod:

a)∞∑n=0

n+ 1

2n; b)

∞∑n=0

(n+ 1)(n+ 2)

2n.

Zadaqa 4.18. Da se opredeli sledniov proizvod:

∞∑n=0

1

n!·∞∑n=0

(−1)n

n!.

4

5 Funkcionalni nizi

Zadaqa 5.1. Da se ispita toqkasta konvergencija na slednive funkcionalni nizi:

a) fn(x) =nx

n2 + x2, x ∈ (−a, a), a ∈ R; b) fn(x) =

n2

n2 + x2, x ∈ (−a, a), a ∈ R;

v) fn(x) =(1 +

x

n

)n, x ∈ R; d) fn(x) = n sin

1

nx, x ∈ [1,+∞).

Zadaqa 5.2. Da se ispita toqkasta i ramnomerna konvergencija na funkcionalnata niza

fn(x) = arctannx1√

n2 + x2, x ∈ [0,+∞).

6 Funkcionalni redovi

Zadaqa 6.1. So pomox na kriteriumot na Vaerxtras da se proveri dali slednive redoviramnomerno konvergiraat.

a)∞∑n=1

1

x2 + n2; b)

∞∑n=1

1

(x2 + n2)(x2 + n2 + 1); v)

∞∑n=1

sin2(2nx)3√n7 + x2

;

g)∞∑n=1

sin (2n− 1)x

(2n− 1)2; d)

∞∑n=1

n2

n4 + x2; g)

∞∑n=1

cos4 x− sin4 x4√n7

.

6.1 Stepenski redovi

Zadaqa 6.2. Da se opredeli radiusot na konvergencija i intervalot na konvergencija naslednive redovi:

a)∞∑n=1

xn

n; b)

∞∑n=1

xn

n(n+ 1); v)

∞∑n=1

n!xn;

e)∞∑n=1

xn

(n!)2; �)

∞∑n=1

xn

n+√n; z)

∞∑n=1

15nxn;

g)∞∑n=1

(−1)n(x− 4)2n−1

2n− 1; d)

∞∑n=1

(−1)n+1x3n

(3n)!; g)

∞∑n=1

3nx2n

2n− 1;

�)∞∑n=1

n3(x+ 2)n; i)∞∑n=1

nn+1(x− 2)n; j)∞∑n=1

n!

3n(x− 5)n;

k)∞∑n=1

1

n√n(x− 1)n; l)

∞∑n=1

2n+ 1

3n2 − 1(x+ 1)n; ǉ)

∞∑n=1

2n

n2sinn x.

1

Zadaqa 6.3. Da se opredeli radiusot i intervalot na konvergencija na redovite:

a)∞∑n=1

1

xn, x 6= 0; b)

∞∑n=1

lnn x;

v)∞∑n=1

(−1)n

n22n(x+ 2)n, x 6= 2; g)

∞∑n=1

n

n2 + 2

(x− 1

x+ 1

)n, x 6= −1;

d)∞∑n=1

xn

22nn; g)

∞∑n=1

1

2n

(x

x− 3

)n, x 6= 3;

e)∞∑n=1

(−1)n

n2 + 2n+ 2lnn x; m)

∞∑n=1

(2n− 1

3n+ 2

)n1

(x+ 1)n, x 6= −1;

n)∞∑n=1

1

n

(2x

x+ 4

)n, x 6= −4.

Zadaqa 6.4. Koristejki poqleno diferenciraǌe i integriraǌe da se opredeli sumata naslednive redovi. Potoa, da se opredeli radiusot i intervalot na konvergencija na dadeniteredovi.

a)∞∑n=1

nxn−1; b)∞∑n=1

nxn; v)∞∑n=1

(−1)n−1nxn−1;

g)∞∑n=1

n2xn; d)∞∑n=1

xn

n2; g)

∞∑n=1

n(n+ 3)xn;

e)∞∑n=1

n(n+ 2)xn−1; �)∞∑n=1

x4n−1

4n− 1; z)

∞∑n=1

xn−1

n(n+ 1);

�)∞∑n=1

(−1)nn2xn; i)∞∑n=1

x2n

4n2 − 1; j)

∞∑n=1

n(n+ 1)xn.

Zadaqa 6.5. Da se razvijat vo Maklorenov red slednive funkcii. Potoa da se opredelioblasta na konvergencija na dobienite redovi.

a) f(x) = e2x+1; b) f(x) = ln (x+ e); v) f(x) = ea2−x2 ;

g ) f(x) = sinx2

3; d) f(x) =

1√x− 1

; g) f(x) =1

a2 + x2, a− const.

Zadaqa 6.6. Da se razvijat vo Maklorenov red slednive funkcii. Potoa da se opredeli

2

oblasta na konvergencija na dobienite redovi.

a) f(x) =1

1− x2; b) f(x) = (1 + x) cos

√x, x > 0; v) f(x) = cos2 x;

g) f(x) = x√ex; d) f(x) = ln (1 + x+ x2 + x3); g) f(x) =

x

1 + x− 2x2

e) f(x) = (x2 + 5)e3x; �) f(x) =2x− 6

(x− 1)(x− 5); z) f(x) =

x2ex − 2x

e2x;

�) f(x) = sin (2x+π

3); i) f(x) =

1

(1− x)2; j) f(x) =

1

(1− x)3.

6.2 Furieovi redovi

Zadaqa 6.7. Da se razvijat vo Furieov red funkciite na dadenite intervali. Funkciitei nivnite Furieovi redovi da se skiciraat. Da se proveri dali funkcijata se sovpaga sosvojot Furieov red na dadenite intervali.

a) f(x) = ex, x ∈ [−π, π]; b) f(x) =

{−1, −π ≤ x < 01, 0 ≤ x ≤ π

;

v) f(x) = x2, x ∈ [−π, π]; g) f(x) =

0, −π ≤ x < 01, 0 ≤ x ≤ a0, a < x ≤ π0.5, x = 0

;

d) f(x) =π − x2

, x ∈ [0, 2π]; g) f(x) =

{0, −l ≤ x < 0

sinπ

lx, 0 ≤ x ≤ l

;

e) f(x) = sgn(cosx), x ∈ [−π, π]; �) f(x) = e2x, x ∈ [0, 4π].

Zadaqa 6.8. Da se razvie funkcijata

f(x) =

{x, 0 < x ≤ π

2π

2,π

2< x < π

vo Furieov red. Koj broen red se dobiva za x =π

2i kolku e negovata suma?


f(x) =

{0, −π < x ≤ 0π − x, 0 < x ≤ π

vo Furieov red. Potoa da se najdat sumite na brojnite redovi

∞∑n=1

(−1)n−1

2n− 1,

∞∑n=1

1

(2n− 1)2.

3

Zadaqa 6.10. Funkcijata f(x) = x− x2

2na intervalot (0, 2) da se razvie

a) vo Furieov red po kosinusi;

b) vo Furieov red po sinusi.

Zadaqa 6.11. Funkcijata f(x) =1

2− π

4sinx na intervalot [0, π] da se razvie vo Furieov red

po kosinusi, a potoa da se najdat sumite na redovite

∞∑n=1

(−1)n

(4n− 1)(4n+ 1),

∞∑n=1

(−1)n

(2n− 1)(2n+ 1).

Zadaqa 6.12. Funkcijata f(x) = x2 da se razvie

a) vo red po kosinusi na intervalot (0, π);

b) vo red po sinusi na intervalot (0, π);

v) vo Furieov red na intervalot (0, 2π).


f(x) =

{x(π − x), −π ≤ x < 0x(π + x), 0 ≤ x ≤ π

vo Furieov red, a potoa da se najde sumata na redot

∞∑n=1

(−1)n−1 1

(2n− 1)3.


f(x) = | sinx|, x ∈ [−π, π]

vo Furieov red, a potoa da se opredeli sumata na redot∞∑n=1

1

(2n− 1)(2n+ 1).


f(x) = cosx

6, x ∈ [−π, π]

vo Furieov red, a potoa da se opredelat sumite na redovite

∞∑n=1

(−1)n+1

(6n− 1)(6n+ 1),

∞∑n=1

(−1)n+1

(12n− 1)(12n+ 1).

4

domasni zadaci 2015 m2

Documents