va r risk metrics

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueI. GENERALITES

I.1. Introduction: Le besoin d’une mesure de risquestandardisée (VaR)

Jusqu’à la fin des années 80, les méthodes utilisées pour

détecter et gérer les risques de marché n’étaient adaptées qu’à

des produits spécifiques. Il était alors impossible de comparer

les mesures de risques entre les différentes « tables » d’une

même salle de trading. L’accroissement de la volatilité des

marchés financiers, le développement spectaculaire des produits

dérivés et, surtout, une série de désastres (les plus connus

étant ceux de la banque Baring, de Metallgesellschaft, de la

banque Daiwa et du Comité d’Orange aux Etats-Unis) ont poussé

les instituts financiers à rechercher un indicateur global et

synthétique des risques financiers, à partir d’outils adéquats

de contrôle interne qui devront assurer la qualité du processus

de mesure, de suivi, et de gestion du risque.

En juillet 1993, le Groupe des 30 (constitué de

représentants de l’industrie financière et des autorités de

surveillance) recommandait de quantifier les risques par une

mesure uniforme appelée Value-at-Risk (VaR). Cette

recommandation a été très largement suivie puisque la VaR est

devenue, en quelques années, un standard pour l’évaluation des

risques financiers. Plusieurs évènements ont favorisé son

adoption par la communauté financière :

Dossier sur la Méthode VaR Année académique 2003-2004

1

La Value-at-Risk La Valeur à Risque

Octobre 1994 : la banque d’affaires américaine JP Morgan1

dévoile sa méthodologie RiskMetrics et la met gratuitement à

disposition sur Internet.

Janvier 1996 : le Comité de Bâle adopte l’amendement

« Risques de marché » aux Accords de Bâle de 1988. Cet

amendement permet aux banques de choisir entre la méthode

standardisée et leur propre modèle pour calculer la

consommation en fonds propres de leurs activités de

négociation. Contrairement aux méthodes de la VaR, la méthode

standardisée ne tient pas compte des effets de diversification

et implique en pratique une plus grande consommation de fonds

propres.

La Capital Adequacy Directive (CAD) a fait de la VaR l’outil

privilégié de calcul de la quantité nécessaire de fonds propres

pour les activités de marché de la banque.

L’objectif de notre étude est d’introduire la notion de VaR, de

montrer comment elle se calcule et de discuter ses

applications.

I.2. Cadre juridique, réglementation comptable et prudentiellede la VaR

L’objectif de cette section est de présenter l’intérêt des

méthodes d’évaluation des risques au niveau juridique.

Les opérations de marché des établissements de crédit et des

entreprises d’investissement ont en effet connu un important

développement au cours des vingt dernières années, en liaison

1 “At the close of business each day, tell me what the market risks are across all business and location.” Dennis Weatherstone, Chairman, JP Morgan


2

La Value-at-Risk La Valeur à Risquenotamment avec la déréglementation et la libéralisation des

marchés de capitaux et la législation bancaire à tenter de

suivre. Des travaux menés dans un cadre international, au

Comité de Bâle, au niveau communautaire et national, ont permis

d’élaborer des normes en vue de mieux appréhender les risques

de marché. Le but est d’obtenir des normes comptables

prudentielles permettant de contrôler le risque bancaire.

Organismes définissant les règles du contrôle bancaire

Le dispositif consiste à prévoir une mesure des risques

résultant des opérations de marché, ainsi qu’une couverture de

ceux-ci par des exigences de fonds propres. L’intérêt de la VaR


3

Comité de Réglementation Bancaire (CRB)

Niveau national

Comité de BâleNiveau International

Etablissements de crédit et entreprises

d’investissement

Conseil de L’Union

Européenne (CAD)Niveau Communautaire

La Value-at-Risk La Valeur à Risqueest qu’elle apporte de nouvelles exigences par rapport aux

anciennes méthodes du ratio de solvabilité.

Le CRB par la réglementation du 21 juillet 1995 définit quatre

risques de marché :

1. Le risque de taux d’intérêt : Obligations, titres de

créances négociables et instruments assimilés

2. Le risque de variation du prix des titres de propriété :

Actions et instruments assimilés

3. Le risque de réglementation contrepartie : Titres de

créances ou de propriété, pensions prêts et emprunts de

titres, dérivés de gré à gré.

4. Le risque de change :

Pour les trois premiers types de risques, seuls les éléments du

bilan et du hors bilan inclus dans le portefeuille de

négociation (titres de transactions et de placements, produits

dérivés) sont soumis aux exigences de fonds propres. Pour le

risque de change, il a pour assiette l’ensemble des éléments du

bilan et du hors bilan.

Les établissements doivent déterminer, au sein de leur

portefeuille de négociation, les positions nettes sur chacun

des titres ou instruments, c’est-à-dire le solde acheteur ou

vendeur.

Pour les positions sur dérivés, les banques devaient jusqu’en

janvier 1996, les convertir en positions équivalentes sur le

titre sous-jacent ou en positions de change équivalentes.

Maintenant, le Comité de Bâle accepte la gestion à partir des

coefficients delta gamma et vega.


4

La Value-at-Risk La Valeur à RisquePour évaluer les risques, les autorités de contrôle acceptent

deux types de modèle :

I.2.1. L’approche standard :

Le modèle est construit par les autorités de contrôle.

Dans ce cas, différentes méthodes sont proposées pour

déterminer la position nette relative à chaque type de risque.

Par ailleurs, les établissements peuvent être autorisés à

recourir à des algorithmes prédéfinis, pour déterminer

directement le risque afférent à leurs positions sur les

dérivés.

Pour chaque classe de risque précédemment définie, l’approche

standard sépare le risque général du risque spécifique, propre

à chaque titre.

Il est évident que cette méthode est difficile à mettre en

œuvre pour les banques. Elle n’accepte pas le principe de

diversification et nécessite une gestion ligne par ligne.

Aussi, les grandes banques ont fait le forcing auprès des

autorités de contrôle pour obtenir le droit de développer des

modèles propres.

I.2.2. L’approche interne

Ainsi, le 9 avril 1995 le Comité de Bâle a accepté que les

banques développent elles-mêmes des modèles d’évaluation des

risques. Les modèles évaluant le risque potentiel de pertes

maximales : VaR , se sont développés. Ces modèles doivent

toujours être soumis au contrôle des autorités mais surtout, le


5

La Value-at-Risk La Valeur à Risquebesoin en fonds propres résultant du modèle est multiplié par

un facteur compris entre 3 et 4.

Les modèles doivent répondre à deux types de conditions :

Conditions qualitatives : Il s’agit principalement de

conditions destinées à s’assurer de l’existence d’un contrôle

satisfaisant des risques au sein de l’établissement. Une unité

spéciale de contrôle doit produire des rapports quotidiens

d’évaluation du respect des limites de risques. Elle doit

également être chargée de vérifier les résultats et la

fiabilité du modèle et faire rapport à la direction générale,

qui doit elle-même être impliquée dans le processus de

contrôle. Des scénarios de crises doivent impérativement être

analysés.

Conditions quantitatives : Si aucun modèle n’est prescrit, la

prise en compte des risques doit être satisfaisante et reposer

sur des hypothèses statistiques imposées. Les modèles doivent

en outre, prévoir l’agrégation par simple somme des risques

potentiels de pertes maximales pour chaque catégorie de

risques. Par ailleurs, une exigence en fonds propres

supplémentaire est requise dans le cas où le modèle interne ne

prend pas en compte de manière adéquate le risque spécifique

associé aux instruments dérivés de taux et d’actions.

La Commission Bancaire peut autoriser un établissement à

utiliser son modèle interne pour déterminer les exigences

relatives à l’un des trois types de risques seulement, et à

avoir recours à la méthode standard pour les autres.

I.2.3. Le calcul des fonds propres :


6


Les fonds propres éligibles :

1. Bénéfices hors activité de négociation.

2. Actions, réserves et autres.

3. Fonds propres sur-complémentaires : Ce sont les profits

effectivement enregistrés sur le portefeuille de négociation et

non les plus-values latentes. On trouve aussi les emprunts

subordonnés à plus de deux ans. Ils ne doivent pas dépasser 250

% des fonds propres classiques.

Par la réglementation 95-02, le CRB en accord avec la CAD de

l’Union Européenne, a défini la charge de fonds propres

nécessaires :

Le facteur m est compris entre 3 et 4.Il est évident que la complexité grandissante des instruments

financiers, ainsi que la taille des groupes bancaires, rend

toute généralisation de ces calculs très difficile. Pour Madame

Danièle Novy, Secrétaire générale adjoint du Comité de Bâle,

une bonne information financière (disclosure) de chaque groupe

sur les opérations et sur les modèles peut remplacer à terme

une réglementation trop généraliste.

I.3. Le concept de VaR

Conceptuellement, la VaR est une notion très simple :

l’idée est de résumer en un seul nombre l’ensemble des pertes

potentielles que peut subir le portefeuille d’activités


7

La Value-at-Risk La Valeur à Risquefinancières de la banque en agrégeant toutes ses positions,

c’est à dire en une mesure cohérente de risque. La VaR essaie

donc de quantifier dans un intervalle de confiance pré-

spécifié, la perte potentielle maximum que peut subir une

position isolée donnée, ou un portefeuille ou la banque dans

son ensemble, sur une courte période de temps (allant de 1 à 10

jours ouvrés) dans des conditions de marché normales. Cette

mesure basée sur des conditions de marché normales n’a que très

peu de portée dans des périodes de mouvements extrêmes du

marché, il faudra donc recourir à des tests de stress et à des

analyses de scénarios afin de compléter cette mesure. Cette

mesure appliquée à différents portefeuilles de la banque

devrait permettre d’identifier les activités les plus

consommatrices de fonds propres pour le risque de marché, et

ainsi d’allouer ces fonds propres aux activités les plus

rentables. Car plus la perte potentielle est importante pour un

niveau de rentabilité donné moins l’activité semble rentable.

Il faut noter que la CAD laisse le choix aux organismes

financiers de la méthode standard ou alternative pour le calcul

de la charge en fonds propres liée aux activités de marchés (ce

montant est souvent rapporté aux fonds propres total). La

méthode standard consiste à considérer séparément les

différentes catégories d’actifs et de leur attribuer

indépendamment un pourcentage de fonds propres nécessaire pour

le risque de marché. La méthode alternative est basée sur le

modèle interne de VaR de la banque. Cette méthode doit prendre

en compte les effets de diversification entre les différentes

catégories d’actifs.


8


Pour introduire l’idée de base, prenons un exemple. Vous

avez investi une partie de vos économies dans un portefeuille

d’actions suisses. Votre conseiller vient de vous informer que

la valeur de votre portefeuille a encore baissé le mois dernier

et que celui-ci vaut maintenant 50'000 francs suisses. Après

avoir écouté ses explications sur les raisons de cette mauvaise

performance, vous désirerez sûrement avoir une idée de la perte

maximale que le portefeuille pourrait enregistrer d’ici la fin

du mois. La réponse la plus correcte serait que vous pourriez

perdre toutes vos économies. Or cette réponse n’est pas

satisfaisante parce qu’elle ne vous apporte rien de nouveau et,

surtout, parce que le scénario de perte totale a trop peu de

chances de se produire. Il serait plus réaliste et plus

professionnel de dire : «Qu’en l’absence d’événements

exceptionnels, il y a 95% de chances que le portefeuille

reparte à la hausse ou qu’il perde 4'000 francs ou moins d’ici

la fin du mois. » C’est le genre de réponse que la méthode VaR

permet de donner.

Par définition, la VaR d’un portefeuille d’actifs

financiers correspond au montant de pertes maximum sur un

horizon de temps donné, si l’on exclut un ensemble d’événements

défavorables (worst case scenarios) ayant une faible

probabilité de se produire.

A l’aide du concept VaR, on peut ainsi exprimer en un seul

chiffre le montant à risque d’un portefeuille, même si celui-ci

est composé de plusieurs classes d’actifs (actions,

obligations, options, devises, etc.). On pourra alors dire si

le portefeuille est trop risqué ou non, en fonction du chiffre


9

La Value-at-Risk La Valeur à Risqueobtenu, de la valeur du portefeuille et de l’aversion au risque

de l’investisseur.

Reprenons l’exemple précédent. La VaR à 95% et sur un

horizon de temps d’un mois de votre portefeuille est égale à

4'000 francs. Cela signifie que si le portefeuille ne change

pas jusqu’à la fin du mois et que les conditions du marché

restent normales, il y a 95% de chances pour que la perte sur

tout le mois soit inférieure à 4'000 francs. Les événements

défavorables (worst case scenarios) ont une probabilité de 5%.

Le portefeuille perdrait alors plus de 4'000 francs si l’un de

ces derniers devait se produire. Il faut noter que la perte

totale fait partie des événements défavorables. Bien entendu,

ce calcul ne signifie pas que votre portefeuille ne réalisera

pas de performance positive sur le mois.

Les modèles de VaR développés par les banques essaient de

mesurer la perte d’un portefeuille (ou de la banque dans son

ensemble) pour une période de détention spécifique qui ne sera

dépassée seulement qu’un certain pourcentage de fois (le plus

généralement 1% ou 5%). Elle est aussi définie comme la perte

potentielle maximale pour une probabilité fixée sur une période

de détention donnée.

La VaR d’une position de marché est donc un nombre censé

mesurer et résumer le risque encouru sur cette position. Les

risques considérés sont généralement ceux liés aux fluctuations

des taux d’intérêt, du cours de change des monnaies, du prix

des actions et du cours des matières premières.

Si l’on dispose de la distribution de la variation ( P ) de

valeur du portefeuille, mathématiquement la VaR est égale à


10

La Value-at-Risk La Valeur à Risquel’inverse de la fonction de répartition de la loi de P

évaluée en p (p=5% ou 1%).

Si l’on note X la variable aléatoire représentant la variation

de valeur du portefeuille (variation pour un intervalle de

temps t j jours si la période de détention est de j jours),

alors on cherche le nombre VaR tel que :

. En inversant cette équation et

en supposant une loi normale N(o;) pour , on obtient

, ou est la fonction de répartition de la

loi normale centrée réduite.

Loi normale centrée réduite: illustration


11


Ci-dessous, a été donnée une illustration graphique de la

densité de probabilité d’une loi normale N(0 ;15) pour 30000

observations ,pour p=0.01 VaR=-2.33*15%*P.

0

1000

2000

3000

4000

5000

-60 -40 -20 0 20 40 60

Series: RSample 1 30000Observations 30000

Mean 0.029012Median -0.011326Maximum 64.55084Minimum -57.42176Std. Dev. 14.99157Skewness 0.005798Kurtosis 3.001255

Jarque-Bera 0.170071Probability 0.918480

I.4. La démarche générale pour le calcul de la VaR

L’approche moderne de la VaR a pour objectif d’évaluer le

risque global de la banque en prenant en compte toutes les

interactions possibles entre les différents actifs et passifs.

Il existe différentes méthodes de mesure de la VaR, mais elles

ont en commun ces différents points :

La VaR tend à être un outil général de gestion qui

quantifie le risque en global, voyant la firme comme un

portefeuille géant d’actifs et de passifs avec des valeurs

de marché fluctuantes.

L’utilisation d’informations statistiques : c’est-à-

dire toutes les informations statistiques pertinentes à


12

VaR p=1%

La Value-at-Risk La Valeur à Risquepropos des composantes du portefeuille, comme les

volatilités historiques et les corrélations entre les

différentes sources de risques qui sont utilisées dans la

quantification du risque du portefeuille.

La reconnaissance de l’interaction : il faut prendre en

compte dans le portefeuille total les effets de

diversification et de couverture. Par exemple une position

couverte est assez peu risquée tandis qu’une position sur un

dérivé seul peut se révéler très risquée. Pour cette raison

le risque d’un portefeuille n’est généralement pas la simple

somme des risques de ces différentes composantes, et la

contribution marginale d’une position au risque total d’un

portefeuille dépend de la composition du portefeuille.

Le concept de VaR semble plutôt simple, mais sa mise en œuvre

pratique ne l’est pas.

Il existe différentes mesures qui se différencient par leurs

hypothèses et les outils statistiques utilisés. Cependant, les

principes de bases restent les mêmes entre les différentes

mesures.

Pour commencer, les données concernant l’ensemble des positions

de l’institution financière doivent être réunies dans une base

de données centralisée. Cette tâche n’est pas toujours

évidente.

Toutes les positions doivent être valorisées à leur valeur

de marché.

Une fois les données centralisées, le risque global doit

être calculé par agrégation des risques des instruments

individuels entrant dans la composition du portefeuille, de


13

La Value-at-Risk La Valeur à Risquesorte que les effets de diversification soient correctement

pris en compte.

C’est à dire qu’il faut déterminer les facteurs de risque

individuels communs aux différentes positions comme les

principaux indices boursiers, les principaux cours de change et

de matières premières et les taux zéro coupons pour différentes

maturités, qui sont censés influencer les différentes

composantes du portefeuille.

Il faut choisir la période de détention, le plus

généralement un, cinq ou dix jours ouvrés.

Il faut déterminer les variations des facteurs de risques

individuels pour la période de détention, basées sur la

distribution des changements de prix constatés sur un

échantillon d’observations historiques prédéterminé.

Puis il faut estimer les effets des variations des

facteurs de risques individuels sur la valeur des composantes

du portefeuille.

La VaR peut ensuite être calculée, une fois que la relation

précise entre la variation de la valeur du portefeuille et les

variations de chaque source de risque individuel a été

déterminée.

Cette dernière étape est sans doute la plus difficile pour le

calcul de la VaR, et nécessite certaines approximations qui

peuvent se révéler dangereuses.

Il ressort une hypothèse sous-jacente dans l’étape de la

détermination des facteurs de risques, et de l’effet de la

variation de ces facteurs sur la valeur du portefeuille. C’est

à dire que la distribution des futures variations des facteurs


14

La Value-at-Risk La Valeur à Risquede risques est identique à celle des variations passées

(stabilité de la loi), et que la relation entre la variation de

la valeur du portefeuille et les variations des facteurs est

stable.

Les différentes procédures pour ces deux dernières étapes

classifient les méthodes de détermination de la VaR en

différentes catégories.

I.5. Modélisation des risques de marché

A ce stade, nous pouvons nous demander s’il est vraiment

nécessaire de faire intervenir des probabilités dans

l’évaluation des risques financiers. Pour répondre à cette

question, il faut observer que la principale cause de ces

risques est l’incertitude liée à l’évolution des prix. A

l’heure actuelle, la théorie des probabilités est le meilleur

outil dont on dispose pour modéliser cette incertitude. Le

processus de modélisation se déroule en deux étapes :

description de l’ensemble de tous les événements futurs

possible, puis assignation d’une pondération à chacun d’entre

eux pour représenter sa probabilité de réalisation. Le modèle

ainsi obtenu est synthétisé par son diagramme de fréquence,

appelé loi de probabilité ou distribution du modèle. La

distribution la plus connue est la distribution normale (ou de

Gauss cf. supra représentation graphique): c’est la fameuse

courbe en forme de cloche utilisée dans de nombreux domaines

scientifiques.

Pour déterminer le risque d’un portefeuille, il faut

d’abord identifier les différentes variables de marché,


15

La Value-at-Risk La Valeur à Risqueappelées facteurs de risque, susceptibles d’influer sur

l’évolution future du portefeuille (prix d’actions, taux de

change, taux d’intérêt, etc.). Chaque facteur de risque est

ensuite modélisé par une distribution (de probabilité). La

distribution des pertes et profits du portefeuille résultera

d’une combinaison adéquate des choix effectués pour les

facteurs de risque.

Une question fondamentale demeure : comment choisir un

modèle de distribution pour une variable de marché ?

Idéalement, il faudrait un modèle qui soit simple et qui

« colle » très bien aux observations empiriques. Dans notre

contexte, le modèle le plus simple est la distribution normale,

une loi très connue et qui est déterminée par deux paramètres :

la moyenne et la volatilité. C’est d’ailleurs la loi qui peut

servir de base au CAPM et qui est le point de départ du modèle

de Black-Scholes. Malheureusement, de nombreuses études

empiriques ont montré que ce modèle probabiliste « colle » mal

aux observations empiriques. Les krachs boursiers sont les

manifestations les plus spectaculaires de cette inadéquation.

Par exemple, les deux plus importantes baisses de l’indice Dow

Jones sur une séance se sont produites le 19 octobre 1987 (-

22.61%) et le 28 octobre 1929 (-12.82%), soit à un intervalle

de 58 ans. Pour une seconde illustration, la Banque Cantonale

Vaudoise a considéré les rendements quotidiens du SMI entre le

16 juin 1999 et le 15 mai 2001. Les principaux indicateurs de

ces rendements sont consignés dans le tableau I ci-dessous. Il

faut noter que le rendement quotidien moyen est très faible par

rapport à la volatilité.


16


Tableau I : statistiques des rendements quotidiens du SMI entre le 16 juin1999 et le 15 mai 2001.

Nombres d'observations 500

Rendement moyen 0.0134%

Volatilité (écart-type) 0.9984%Rendement minimal (obtenu le 22.03.2001) -5.78%Rendement maximal (obtenu le 16.03.2000) 3.93%

Source : Banque Cantonale Vaudoise, Datastream

Le graphique I présente l’histogramme des rendements quotidiens

du SMI entre les deux dates mentionnées, c’est-à-dire la

distribution empirique des rendements. la distribution normale

la plus proche des observations historiques a été superposée.

Graphique I : histogramme des rendements quotidiens du SMI entre le

16 juin 1999 et le 15 mai 2001 avec sa meilleure approximationnormale.


17


Source : Banque Cantonale Vaudoise, Datastream

Contrairement à la distribution normale, l’empirique possède

une asymétrie entre les gains et les pertes et elle est plus

« effilée » autour de la moyenne. On observe aussi beaucoup

plus de rendements extrêmes que la distribution normale ne le

prévoit. Autrement dit, le choix d’une distribution normale

pour modéliser les rendements quotidiens du SMI conduirait à

une sous-estimation des risques de pertes (ou de gains)

extrêmes. Un test d’adéquation statistique (appelé test de

Jarque-Bera) a été effectué sur les données et le résultat

confirme que l’hypothèse de normalité ne « colle » pas avec les

observations.

Pour améliorer l’adéquation avec les données empiriques, on

peut considérer des distributions plus compliquées ou alors

intégrer le fait (observé empiriquement) que la volatilité des

rendements varie dans le temps. Les modèles actuellement

disponibles combinent ces deux solutions. Ces modèles plus

compliqués ne sont pas forcément plus efficaces, car ils posent

de délicats problèmes d’identification et d’estimation. Il faut

donc chercher un compromis entre l’efficacité et l’adéquation

avec les données empiriques.

I.6. Les trois paramètres d’une VaR

La VaR d’un portefeuille dépend de trois paramètres :

Distribution des pertes et profits du portefeuille en fin

de période.

Niveau de confiance qui est égale à 1 moins la probabilité

des événements défavorables. Par exemple, un niveau de


18

La Value-at-Risk La Valeur à Risqueconfiance de 95% si l’on désire ignorer les 5% relatifs aux

événements les plus défavorables.

Période de temps sur laquelle sur laquelle on désire

mesurer la VaR.

Graphique II : représentation graphique de la VaR.

Le paramètre le plus important est la distribution des pertes

et profits du portefeuille. C’est aussi le paramètre le plus

difficile à déterminer. Comme le niveau de confiance dépend de

l’aversion au risque du propriétaire du portefeuille, plus ce

niveau est important et plus la VaR sera élevée. Autrement dit,

si le propriétaire craint les risques, il s’arrangera pour que

la probabilité des événements défavorables soit très petite. En

ce qui concerne l’horizon de temps, il dépend surtout de la

fréquence de recomposition du portefeuille et de la liquidité

des actifs financiers qui y sont contenus. Pour les mesures de

VaR des portefeuilles de négociation des instituts financiers,

la réglementation impose un niveau de confiance de 99% et une

période de dix jours ouvrables, soit deux semaines.


19


I.7. Remarques

Contrairement à ce que l’on a pu lire ça et là, la notion

de VaR n’a été ni inventée par les financiers, ni par la banque

américaine JP Morgan. Les actuaires utilisent cette notion

depuis plus d’un siècle pour calculer les probabilités de ruine

et de réserves de solvabilité. Dans ce domaine , le niveau de

confiance est toutefois plus élevé (99.9%) et l’horizon de

temps plus vaste (au moins une année).

La méthodologie de la VaR a été étendue à la

quantification des risques de crédit et aussi à la mesure des

risques de marché d’entreprises non financières. Dans ces deux

cas, il est souvent nécessaire de prendre des horizons de temps

plus longs, par exemple un an.

I.8. Exemples de mesures de la VaR

Rappelons que la « Value at Risk » est la perte

potentielle maximale, à l’intérieur d’un intervalle de

confiance donnée, supportée par un établissement sur son

portefeuille de positions, dans l’hypothèse d’un scénario

défavorable de marché sur un horizon déterminé.

Exemple1 : Calcul de la VaR

Soit le portefeuille suivant :

Long 100 USD/FRF spot (Position X1)Long 500 FRF zéro coupon 10 ans (Position X2)Acheteur équivalent 100 FRF CAC 40 (Position X3)Quelle est la Value at Risk de ce portefeuille ? 1.Estimation des paramètres (volatilités et corrélations)


20

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueHypothèses : volatilité USD/FRF :

9% 9 %

volatilité

taux FRF 10 ans : 14 %

volatilité

CAC 40 : 26% 26 %

corrélation

USD/FRF et taux FRF 10 ans : +0,071 + 0,071

corrélation

USD/FRF et CAC 40 : + 0,39

corrélation taux FRF 10 ans et CAC 40 : + 0,11

Données de marché :USD/FRF : 5,50

taux zéro coupon continu 10 ans : 5 %

CAC 40 : 4000

2.Calcul de la variance du portefeuille

Volatilité de la position de change : 100 USD x 5,50 x 9 % x

= 9,86 FRF

Volatilité de la position de taux : 500e -(10x5%) x 10 x 14 % x 5 %

x = 4,23 FRF

Volatilité de la position de CAC 40 : 100 FRF x 26 %

= 5,18 FRF

Variance du portefeuille :

[9,86]2 + [4,23]2 + [5,18]2

- 2 x 0,071 x 9,86 x 4,23 + 2 x 0,39 x 9,86 x 5,18

- 2 x 0,11 x 4,23 x 5,18

= 171,04 MF²

d'où volatilité de portefeuille = = 13,08 MF

d' où VaR. (2,33 ) = 2,33 x 13,08 = 30,47 MF


21

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueExemple2:

Depuis quelques années, les grands groupes financiers publient

des informations sur la VaR de leur portefeuille de

négociation. Deux raisons peuvent expliquer une telle

démarche : volonté délibérée de transparence (pression

concurrentielle ?) et exigence de la SEC (le gendarme de la

bourse américaine) en matière de communication financière. Le

tableau II présente des chiffres extraits des rapports annuels

2000 du Credit Suisse Group, de l’UBS et de la Deutsche Bank.

Les chiffres pour la Deutsche Bank ont été convertis en francs

suisses au taux de change EUR/CHF en vigueur fin 1999 et fin

2000.Tableau II : exemples de mesures de la VaR de portefeuilles denégociation. Le niveau de confiance est de 99% et l’horizon de tempsde 10 jours.

Source : Rapports annuels 2000 des trois banques

Ce tableau montre que les trois banques ont réduit leur

exposition au risque de marché entre fin 1999 et fin 2000. Les

corrections survenues sur les marchés des actions en 2000 ne

doivent pas être étrangères à ces réductions. On aurait aussi

envie de déduire de ce tableau que l’UBS a pris plus de risques

que les deux autres banques. Une telle déduction n’est


22

La Value-at-Risk La Valeur à Risquemalheureusement pas correcte. En effet, on verra que les

banques utilisent des méthodes différentes pour calculer leur

VaR et que les résultats de ces dernières ne sont pas

directement comparables.

II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR

La méthode de calcul est déterminée par la distribution

choisie pour modéliser les pertes et profits du portefeuille.

Le calcul de la VaR peut s’effectuer aussi bien pour une

position isolée ou un facteur de risque seul que pour un

portefeuille, voire pour la totalité des actifs d’une

entreprise. Nous allons donc présenter les méthodes

d’estimation de la VaR les plus utilisées.

II.1. La méthode de la matrice des variances-covariancesestimée

On émet l’hypothèse que les rendements du portefeuille et

des facteurs de risque ont des distributions normales. Même si

cette hypothèse n’est pas empiriquement justifiée, elle permet

de simplifier énormément les calculs. Voici ses principales

étapes :

1. Calculer la valeur actuelle V0 du portefeuille.

2. Estimer la moyenne m et la volatilité2 des rendements

futurs du portefeuille (à partir de données historiques).

3. La VaR du portefeuille est donnée par la formule

suivante :

2 La volatilité décrit la dispersion de la variable « return d’un actif » autour de sa valeur moyenne.


23

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueVaR=V0(-m + zq.), où: zq est égal à 1.65 si le niveau de

confiance est de 95% et égal à 2.33 si ce dernier est de 99%.

La méthode de la matrice des variances-covariances estimée

suppose que les variations de prix :

sont stationnaires dans le temps ;

sont conditionnellement distribuées suivant une loi

normale ;

s’expriment linéairement à partir des facteurs de

risque.

Pour les produits non linéaires (options), une linéarisation

prenant en compte les indications delta, gamma et thêta est

appliquée.

II.2. La méthode RiskMetrics

La méthode RiskMetrics est une méthode paramétrique,

c’est à dire qu’elle a pour hypothèse que les taux de

rentabilité des facteurs de risque appartiennent à une certaine

classe de loi qui peut être déterminée par ses paramètres. Elle

postule donc la forme de la distribution des taux de

rentabilité.

Si l’on postule des loi normales pour les taux de rentabilité

des facteurs de risque, il est possible de connaître la

variation la plus défavorable qui n’aura que x% de chance

d’être dépassée. Par exemple pour x=1, la rentabilité ne

tombera en dessous de qu’une fois sur cent. Alors pour

une position donnée i, connaissant sa valeur de marché(Vi) et

sa sensibilité à son facteur de risque(Si), il est possible de


24

La Value-at-Risk La Valeur à Risquedéterminer la valeur la plus défavorable qui n’aura que 1% de

chance d’être dépassée en effectuant le calcul : Di=Vi*Si*2.33.

Les sensibilités sont déterminées par des méthodes

d’évaluation locale faisant généralement intervenir le premier

ordre du développement de Taylor (delta, ou au mieux le

deuxième ordre gamma). Cette méthode d’évaluation locale pose

des problèmes lorsque les variations sont importantes et

lorsque la variation de la valeur du portefeuille n’est pas

linéaire pour tous les niveaux de prix (options).

Une fois postulée la forme de la distribution pour les facteurs

de risque, en l’occurrence la loi normale (ou plus précisément

une loi normale multivariée), il est nécessaire de déterminer

la matrice de variance-covariance (m) des facteurs de risque

sur la période historique d’observation. Dans le calcul des

variances et des covariances, il est possible de donner le même

poids à toutes les observations ou un poids décroissant en

fonction du temps.

Connaissant m, et le vecteur D des Di, il est possible de

calculer la VaR :

2/1* tVDDVaR t , ou t est la période de détention.

L’hypothèse de normalité des distributions des taux de

rentabilité de court terme n’est en générale pas satisfaisante

mais permet une grande simplicité dans les calculs. En effet,

ces distributions sont souvent leptokurtiques, ce qui implique des

événements extrêmes plus fréquents que pour la loi normale.

II.3. L’analyse historique


25


C’est sans doute la méthode la plus simple dans sa

conception et sa mise en œuvre.

En effet, il suffit des données historiques des gains et pertes

journalières du portefeuille dont l’on souhaite calculer la

VaR. A partir de ces données, il est possible de reconstituer

la distribution empirique des gains et pertes journalières et

d’en déduire la VaR en tronquant 95% ou 99% de la distribution.

Le problème est que si la composition du portefeuille change

souvent, cette approche ne permettra pas de composer une VaR

qui reflète la situation courante. C’est pour cela que l’on

adopte plutôt la méthode de la simulation historique.

II.4. La méthode de la simulation historique

Supposons que l’on veuille calculer la VaR pour une

période de détention de un jour, à partir des données

historiques sur un an. Nous utilisons donc les séries passées

journalières des facteurs de risques qui influent sur notre

portefeuille, et un modèle d’évaluation ou fonction de prix qui

relie la variation du portefeuille aux variations des facteurs

de risque.

A partir de ces séries journalières, il faut calculer les

variations relatives des facteurs de risque qui tiennent donc

compte directement des corrélations entre ces facteurs. On

applique ensuite ces variations aux valeurs actuelles des

facteurs de risque. Il est ainsi possible à partir de la

composition actuelle du portefeuille et de la fonction de prix

qui relie P aux F de simuler la distribution empirique de

la variation de valeur du portefeuille, et donc d’en tirer la


26

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueVaR. Cette méthode a pour avantage de ne pas supposer la

normalité des distributions des taux de rentabilité des

facteurs de risque. Elle peut donc prendre en compte des queues

plus épaisses dans la distribution de la variation de valeur du

portefeuille et donc des événements extrêmes.

Cependant la distribution simulée est complètement

dépendante de la période d’observation considérée, et donc la

prise en compte des événements extrêmes aussi. De plus afin

d’avoir une distribution la plus précise possible, il est

nécessaire de prendre une longue période de données historiques

qui n’est pas toujours disponible.

Par exemple pour générer 1000 scénarios (un scénario est le

calcul de F pour chaque facteur de risque pour la période t )

pour une période de détention de 10 jours ( jt 10 ), il faut

4010/250/1000 ans de données. C’est la raison pour laquelle

on a souvent recours à la simulation de Monte Carlo.

De plus, augmenter la période d’observation pour l’estimation

des distributions des rendements des facteurs de risque peut

inclure l’erreur de non stationnarité des lois considérées.

La méthode d’estimation de la VaR par analyse historique est

celle qui est prônée par Chase Manhattan3, avec les systèmes

Charisma et Risk$.

II.5. La méthode de la simulation de Monte Carlo

La simulation de Monte Carlo est une méthode paramétrique,

c’est à dire que cette méthode requiert la connaissance de la

forme et des paramètres des distributions des facteurs de

3 CHASE MANHATTAN BANK N.A ; Value at Risk: its measurement and uses, Chase Manhattan Bank N.A; s.d.


27

La Value-at-Risk La Valeur à Risquerisque. Connaissant ces éléments, il est possible de simuler de

nombreuses trajectoires pour chaque facteur de risque, tout en

tenant compte des corrélations entre chaque facteur de risque.

Comme dans le modèle précédent, il est nécessaire d’avoir un

modèle d’évaluation ou une fonction de prix qui relie la

variation de la valeur du portefeuille aux variations des

facteurs de risque. A partir de la composition actuelle du

portefeuille et des nombreux scénarios tirés, il est donc

possible de simuler la distribution de variation de valeur du

portefeuille puis d’en tirer la VaR.

Dans le problème de construction de la distribution de la perte

et de l’estimation de la VaR, la méthode de simulation de Monte

Carlo est prônée par Bankers trust, avec son système RaRoc

2020.

La simulation de Monte Carlo diffère de la simulation

historique sur un aspect principal. Tandis que les scénarios

des facteurs de risque sont directement pris du passé dans

l’approche historique, ils ont à être simulé à travers une

modélisation mathématique dans l’approche stochastique. Pour

modéliser l’évolution des facteurs de risque, il est nécessaire

de spécifier un processus stochastique pour chaque facteur, et

d’estimer les paramètres de ces processus ainsi que les

corrélations entre les parties aléatoires des processus.

Les avantages et inconvénients des différentes méthodes sontrésumés dans le tableau III.

Tableau III : comparaison des principales méthodes de calcul dela VaR


28


Source : Banque Cantonale Vaudoise

Une application de ces différentes méthodes de calcul à un cas

simple a été effectuée. Nous sommes le 16 mai 2001 et nous

avons 50'000 francs suisses investis dans l’indice SMI. On

aimerait calculer la VaR de ce portefeuille à l’aide des quatre

méthodes que nous venons de présenter. L’horizon de temps est

d’un mois (soit 20 jours ouvrables) et les niveaux de confiance

considérés de 95% et 99%. La série des prix de clôture

journaliers du SMI entre le 16 juin 1999 et le 15 mai 2001 est

utilisée pour les estimations de paramètres et les calculs,

soit 500 rendements quotidiens. Pour chaque méthode, on calcule

d’abord la VaR sur un jour et on multiplie le résultat par la

racine carrée de 20 pour avoir la VaR sur un mois (règle de la

racine carrée). Les VaR du portefeuille selon les quatre

méthodes sont présentées dans le tableau IV.


29

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueTableau IV: VaR d’un portefeuille SMI valant 50'000 francs au 16 mai2001 et pour un horizon d’un mois.


Pour un même portefeuille, on obtient donc des mesures VaR

différentes. Dans cet exemple, la différence entre les méthodes

Variance-Covariance et Monte Carlo s’explique par un problème

d’échantillonnage. L’écart serait moindre si on avait considéré

plus de scénarios pour Monte carlo. Pour le niveau de confiance

de 95%, c’est la méthode historique qui donne la plus petite

valeur, alors que pour celui de 99% ce sont les méthodes

Variance- Covariance et Monte Carlo qui la fournissent. Ce qui

illustre le fait que la Variance-Covariance sous-estime les

événements extrêmes.

Dans leurs rapports annuels 2000, les trois banques citées dans

le tableau II ont indiqué les méthodes VaR qu’elles utilisent.

La Deutsche Bank effectue ses calculs par simulation Monte

Carlo, tandis que l’UBS utilise la méthode historique avec 5

ans de données. Le Credit Suisse Group emploie la méthode

historique avec deux ans de données depuis le deuxième


30

La Value-at-Risk La Valeur à Risquetrimestre 2000. Cette dernière avait auparavant travaillé avec

les méthodes Variance-Covariance et RiskMetrics. La comparaison

de chiffres VaR de deux banques différentes est à cet effet, un

exercice délicat.

II.6. Le Backtesting

Les résultats du tableau IV posent clairement la question

du choix de la méthode de calcul de la VaR. Tout naturellement,

les critères de coûts d’implémentation, de complexité du modèle

et de flexibilité sont déterminants. Cependant, il est aussi

très important de s’assurer de l’adéquation de la méthode

choisie ; on parle de backtesting. Cet exercice consiste à

confronter la VaR calculée avec les pertes et profits

effectivement réalisés. Ainsi, pour un niveau de confiance de

99%, les pertes effectives ne devraient dépasser les prévisions

VaR que dans 1% des cas environ. Sinon, il faut se demander si

la méthode de calcul choisie est adaptée au portefeuille

considérée. Le régulateur a d’ailleurs prévu des pénalités

(sous forme d’augmentation d’exigence de fonds propres) en cas

d’inadéquation.

On a procédé à titre illustratif, à un backtesting sur l’indice

SMI entre le 4 décembre 1991 et le 15 mai 2001. Comme la

méthode Monte-Carlo avec l’hypothèse de normalité fournit des

résultats proches de ceux de la méthode Variance-Covariance, on

a examiné les trois méthodes suivantes dans le backtesting :

Historique, Variance-Covariance, RiskMetrics. Les 500

rendements quotidiens entre le 3 février 1990 et le 3 décembre

1991 ont été utilisés pour calculer les trois prévisions de la


31

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueVaR pour le 4 décembre 1991. Ces prévisions sont ensuite

comparées au rendement du SMI à cette date. La fenêtre de 500

jours est ensuite décalée d’un jour pour la confrontation des

prévisions de la VaR et du rendement effectif pour le 5

décembre 1991. De la même façon, on a continué jusqu’au 15 mai

2001. L’exercice de backtesting a, au total, été effectué sur

2'465 jours entre le 4 décembre 1991 et le 15 mai 2001. Pour

mesurer l’adéquation d’une méthode, on calcule son taux

d’échec, c’est-à-dire le pourcentage de fois que la VaR a été

dépassée. Les résultats sont consignés dans le tableau V.

Tableau V : backtesting des méthodes historique, variance-covariance et RiskMetrics pour l’indiceSMI entre le 4 /12/ 1991 et le 15 mai 2001. Le taux d’échec représente le pourcentage de dépassementdes prévisions VaR.


Par rapport aux valeurs théoriques, on remarque que la méthode

variance-covariance se comporte bien pour le niveau de

confiance de 95%, mais réalise un résultat médiocre pour celui

de 99%. C’est la méthode historique qui, globalement est la

mieux adaptée au portefeuille considéré. La mauvaise

performance de la méthode RiskMetrics explique cet état de


32

La Value-at-Risk La Valeur à Risquefait. Pour un autre portefeuille, les conclusions auraient été

probablement différentes.

III. UTILISATIONS DE LA VAR

La VaR a été développée pour fournir un indicateur simple

et global de l’exposition d’un institut financier aux risques

de marché. En tant que outil de reporting, elle fournit des

informations sur les concentrations de risques par type de

marché, par trader, par produit financier, etc. Elle permet

aussi de fixer des limites de négociation, d’allouer le capital

disponible et d’évaluer les performances des différentes

« tables » d’une salle de marché.

En dehors des salles de marché, la VaR devient de plus en plus

populaire auprès des gestionnaires de fortune. La VaR permet

d’agréger dans ce domaine, les risques de marché à travers

plusieurs classes d’actifs, mais sur un horizon de temps plus

long (un mois, trois mois ou un an). Elle permet également de

quantifier la performance d’un portefeuille par rapport à un

benchmark4 ; on parle dans ce cas de la VaR relative. La

performance est traditionnellement mesurée par le tracking

error, c’est-à-dire la volatilité de l’écart de rendement entre

le portefeuille et son benchmark. Le tracking error ne

distingue pas une sous-performance d’une sur-performance par

rapport au benchmark. La VaR permet de corriger ce défaut,

puisqu’elle est censée mesurer une éventuelle sous-performance.

En fait, le tracking error s’interprète comme la VaR à un

4 prix de référence (en finances)


33

La Value-at-Risk La Valeur à Risqueniveau de confiance de 84%, si certaines hypothèses telles de

normalité et d’écart moyen nul , sont confirmées.

IV. CONCLUSION

L’introduction de la VaR a constitué un pas important dans

la direction d’une gestion cohérente et adéquate des risques

financiers. Comme pour n’importe quel outil, une utilisation

efficace de la VaR passe par la bonne compréhension de ses

limites. La modélisation de la VaR n’est pas un exercice aisé

et les risk managers diront d’ailleurs que les problèmes

d’implémentation à savoir la collecte, le nettoyage et le

traitement de données sont tout aussi importants. Une autre

limite de la VaR est directement liée au concept lui-même. En

fait, la VaR ne fournit aucune indication sur l’ampleur des


34

La Value-at-Risk La Valeur à Risquepertes si un événement défavorable devait se produire. C’est

pour cette raison que le régulateur oblige les banques à

compléter leurs calculs de la VaR par des analyses de scénarios

catastrophes (stress testing). Dans de telles analyses, on

calcule la perte que pourrait provoquer une variation extrême

du marché, indépendamment de toute hypothèse de modélisation

(une baisse brutale de l’indice SMI de 10% par exemple). Le

choix de scénarios intéressants est souvent un exercice

délicat, qui relève plus de l’intuition et de l’expérience. Par

ailleurs, des chercheurs ont proposé d’autres mesures de risque

proches de la VaR et qui captent mieux le problème des

variations extrêmes. Les scénarios quasi-aléatoires, les scénarios

« miroirs », la méthode de Duffie et Pan, et les scénarios pondérés en

constituent ces nouvelles extensions.


35


V. BIBLIOGRAPHIES

Livres

Lopez Thierry, Esch Louis, Kieffer Robert

Value at Risk. Vers un Risk Management moderne, avec CD-ROM.

Edition : De Boeck Université, 1997, ISBN : 2-8041-2496-7

Jacquillart, Bertrand et Bruno Solnik

Marchés Financiers: gestion de portefeuille et des risques,

Dunod, Paris, 4ème éd., 2002.

Bulletin et Revues

« Le point sur…la VaR » - P. Poncet - Banque et Marchés n°

37. Nov98

Bulletin de la commission de la réglementation bancaire –

Règlement 97-02

Comité de Bâle – M. Novy – Secrétaire Général.

Sites Internet

http://www.gloriamundi.org (le site le plus complet sur la

VaR accessible aussi via

http://pw2.netcom.com/~bschacht/varbiblio.html )

http://www.riskmetrics.com (les manuels de RiskMetrics

contiennent de nombreuses informations)

http://www.bcv.ch (le site de la Banque Cantonale

Vaudoise)


36

http://www.bcv.ch/

http://www.riskmetrics.com/

http://pw2.netcom.com/~bschacht/varbiblio.html

http://www.gloriamundi.org/


http://salledem.free.fr/sdmpage/risques/risk30.php (des

questions sur la VaR)

VI. ANNEXES

RAROC : « Risk-Adjusted Return On Capital »

SEC: La Securities and Exchange Commission

RAROA: «Risk-Adjusted return on Assets»

SMI: Système Monétaire International


37

http://salledem.free.fr/sdmpage/risques/risk30.php

La Value-at-Risk La Valeur à RisqueTable des MatièresI. GENERALITES............................................................1I.1. INTRODUCTION: LE BESOIN D’UNE MESURE DE RISQUE STANDARDISÉE (VAR)............1I.2. CADRE JURIDIQUE, RÉGLEMENTATION COMPTABLE ET PRUDENTIELLE DE LA VAR...........2

I.2.1. L’approche standard :................................................................................................................. 3I.2.2. L’approche interne...................................................................................................................... 3

I.2.3. LE CALCUL DES FONDS PROPRES :........................................4I.3. LE CONCEPT DE VAR....................................................5I.4. LA DÉMARCHE GÉNÉRALE POUR LE CALCUL DE LA VAR.............................8I.5. MODÉLISATION DES RISQUES DE MARCHÉ......................................10I.6. LES TROIS PARAMÈTRES D’UNE VAR........................................12I.7. REMARQUES...........................................................13I.8. EXEMPLES DE MESURES DE LA VAR.........................................13

II. TECHNIQUES CLASSIQUES D’ESTIMATION DE LA VAR.........................15II.1. LA MÉTHODE DE LA MATRICE DES VARIANCES-COVARIANCES ESTIMÉE..............15II.2. LA MÉTHODE RISKMETRICS.............................................16II.3. L’ANALYSE HISTORIQUE................................................16II.4. LA MÉTHODE DE LA SIMULATION HISTORIQUE.................................17II.5. LA MÉTHODE DE LA SIMULATION DE MONTE CARLO.............................18II.6. LE BACKTESTING.....................................................20

III. UTILISATIONS DE LA VAR..............................................22IV. CONCLUSION...........................................................23V. BIBLIOGRAPHIES........................................................24VI. ANNEXES..............................................................24


38

va r risk metrics

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