T E C N I C H E M:ONTE CARLO P E R UI~ METODO D I D E T E R M I N A Z I O N E D E L L A P R O B A B I L I T A

D I M:AIqGANZA DI I:)OTE:NZA E R O G A T A I:N UNA RETE D I C E N T R A L I E L E T T R I C H E

R. JOu

ENEL - Centro progettazione e costruzione per gli impianti nueleari (CPN) - Roma.

ABSTRACT - A method based on Monte Carlo techniques has been realized to determine the probability density for a function of u random variables statistically independant. I t is here used to determine the production loss probability not greater than a preset value for a network of 433 power stations (*).

1. Introduzione.

I n m o l t i cas i di i n t e r e s se p r a t i c o pub s o r g e r e il p r o b l e m s d i de t e rmi -

n a t e l a funz ione di d i s t r i b u z i o n e o l a dens i t i t d i p r o b a b i l i t ~ d i u n a v a r i a b i l e

ca sua le , la qua le s ia e s sa s t e s sa funz ione n o t s di p i~ v a r i a b i l i c a sua l i , t r a

loro s t a t i s t i c a m e n t e i n d i p e n d e n t i , a cu i di v o l t a in v o l t a v i e n e a s s e g n a t o

u n va lore , t r a m i t e u n d e t e r m i n a t o p r o c e d i m e n t o . La r i s o l u z i o n e d i t a l e

p r o b l e m s , s e m p r e poss ib i l e t e o r i c a m e n t e , non a p p e n a s i ano n o t e le densit i~

di probabi l i t ,~ de l le s ingo le v a r i a b i l i c a sua l i , p r e s e n t s in p r a t i c a n o t e v o l i

difficolt i~ gi~ q u a n d o n ~ d e l l ' o r d i n e d i q u a l e h e un i t~ . I n f a t t i , r i f e r e n d o c i

p e r e s e m p i o al easo in cui le s ingo le densiti~ di p r o b a b i l i t ~ de l l e n va r i a -

b i l i s i ano f a n z i o n i con t inue , la r i s o l u z i o n e de l p r o b l e m s i m p l i e s il ca lco lo

di u n i n t e g r a l e n-uplo .

l~el caso po i si a b b i a a c h e fa re con c e n t i n a i a di v a r i a b i l i , si deve

d e c i s a m e n t e r i n u a e i a r e a l l a d e t e r m i n a z i o n e de l l a d e n s i t ~ di p r o b a b i l i t ~ de l la

f u n z i o n e de l l e n v a r i a b i l i con m e t o d i ana l i t i e i .

Rieevuto il 6-2-1970. (*) Work performed at Servizio Automazione CPN.

34, R. JOWNE : Teen~ehe ]lonte Carlo

I1 metodo sugger i to in ques to art icolo, consis te nel s imula re un gran-

d i ss imo n u m e r o di vol te l ' e spe r imen to al cui r i su l ta to si assoeia di vo l ta in vo l t a ]a n-upla r a p p r e s e n t a t i v a dei valori assunt i , in quel la p rova , dalle

n variabi l i casuali . N o r a la legge di d ipendenza del la funz ione in esame, dal le n var iabi l i

casual i , mos t r e r emo come sia possibi le cos t ru i re , per ques ta funz ione , ]a den- si th di probabi l i t~ in man ie ra mol to semplice, d i sponendo di un e labora to re

di medie capacitY.

2. Var iab i l i ea sua l i e f u n z i o n i di d i s t r i b u z i o n e .

Sia E un espe r imen to r ipet ibi le , il cui r i su l ta to sia r a p p r e s e n t a t o da u n a quan t i t~ reale X. I n t r o d u r r e m o la co r r i sponden te var iabi le casua le X(t)

def ini ta in R i , spazio delle probabilit '~ ad una dimensione. D e t t o x un valore assoc ia to ad u n a par t ico lare usc i t a di E, ind icheremo con p = 2 ( X = x) la p robabi l i t s che la var iabi le casuale X a s s u m a un w d o r e egua le ad x. Il

concer to di var iabi le casuale ~ n a t u r a l m e n t e es tendibi le nello spaz io delle probabi l i t~ Rn ad n dimensioni , qua lo ra il r i su l t a to di una pa r t i co la re usc i t a de l l ' e spe r imen to E sia l ' ins ieme di valor i X = (x i , % , . . . , x,~).

Cons ider iamo ora una var iabi le casuale X definita in R t . P e r ogn i x, come ~ noto, si definisce funz ione di d i s t r ibuz ione di X, D (x), la probabi - lit~ P ( X ~ x ) che X a s suma ogni valore consen t i to minore od egua le ad x.

La de r iva t a di D (x), qualora esista, p rende il nome di densi t~ di p robab i l i th di X, e verr~ ind ica ta con w (x). Le funz ioni D (x) e w (x) godono di ben note proprietY. I n par t icolare , D(x / ~ non n e g a t i v a e non deerescen te su t u t t o Passe reale, va le 1 per x ~--- c~, 0 per x = - - r ed ~ sempre c o m p r e s a t r a 0

e 1 per ogni x. La fanz ione w (x) ~ anche essa non n e g a t i v a e il suo inte-

g ra le es teso a t u t t o l 'asse reale vale o v v i a m e n t e 1 co ine idendo con / ) (c~) . S ia ora Y ~ g ( X ) una funz ione del la var iabi le casuale X. Y ~ essa

s tessa una var iabi le casuale con la sua assoc ia ta probabi l i t~ e la sua fun- z ione di d i s t r ibuz ione r isul ta :

(1) .D (y) = P (Y <_ y)

o r e y ~ un valore co r r i sponden te ad x secondo la t r a s fo rmaz ione y = g(x). P e r la densi t~ di probabi l i t~ w (g) del la var iabi le casuale : Y = g (X)

(i) Salvo esplicito avviso si intendo che le variabili considerate siano continue.

~vvr u~t metodo d~ determi,ttaz~o,to eze. 35

possibile dare la seguente espressione formale :

(2) w (g) = f w (x) [g _ g (x): d x

La (2) consente il calcolo di w ( g ) , nota la legge che t ras forma i punt i x nei pun t i y--~-g (x), e nora la densit,~ di probabilit,~ w (x). La (2) pub inter- pre tars i come un 'operazione di mappa tu ra con 8 che rappresen t i un operatore che t r a s fo rma i pan t i dell 'asse reale x in punt i deWasse g, definiti dalla t ras formazione g ~ g ( x ) e appar tenent i ad un insieme [G]

3. F u n z i o n e di n va r i ab i l i casua l i s t a t i s t i c a m e n t e i n d i p e n d e n t i .

Consider iamo ora il ve t tore x ~ ( x ~ x ~ , . . . , Xn) ore xk ~ u a valore as- sun to dalla variabi le casuale X , , definita in R~. Siano le Xk st~ttisticamente indipendent i e eioi~ tali che per una sequenza x i , x , , . . . . x , r i su l t i :

(3) w (x~, x ~ , ... , x , ) = w ( x i i w ( x , ) . . w (x~).

Se g i~ una fanzione di x essa pub essere r iguarda ta anche come funzione di un ' un i ca variabile casuale definita in Rn, di cui le X , r appresen tano le singole component i vettoriali , propr io per l ' a s segna ta indipendenza stati: s t ica delle X , . ~ comunque possibile, in accordo con la (2), scr ivere per w (g) la seguente espress ione:

(4) w (g) ....

--or - - r

ove per brevi t~ si ~ pos to :

(5) d x ~ d x i d x 2 ... dx , , .

bTella (4) 8 ~ un operatore n-dimensionale che t rasforma i punt i x di R~ in punt i g dell 'asse g. 1~ chiaro che a due diverse n-uple x e x ' pub corr ispondere un unico g. Cib avviene per esempio se :

(6) g = 2: .xk. k ~ l

36 R. JOVINE: Tee~dehe Monte Carlo

Uno stesso valore d i g potrh quindi derivare da due o pi~ n uple le cui associate probabiliti~ elementari saranno in genere differenti t ra loro. Le trasformazioni operate sui punti x delPinsieme IX] di R~ sono dunque irre- versibili , e eio~, ai punti g di [G] non sono associabili un ivocamente i punt i x del corr ispondente insieme in R~.

4. Cos t ruz ione d e l l ' o p e r a t o r e <( ~ )~.

/11 molti casi (come in quello di cui i~ data soluzione nel presente ar- ticolo) il numero di v,~riabili casuali supera largamente il centinaio e la dipendenza di g dal vet tore x pub essere notevolmente complicata, bTon possibile determinare analit icamente w (g) per ogni valore di g, con i metodi ordinari . In ogni modo, essendo note le distr ibuzioni w ( x k ) ( k ~ 1, n ) e val ida Pequazione (3), ed essendo inoltre nota la dipendenza di g dal ve t tore casuale x, ~ sempre possibile scrivere la (4). Pe ogni g, Poperatore ~ sele- ziona le n uple x dalle quali deriva g, considerando le associate w ( x ) e deft- nendo cosi Pintegrando della (4). Al variare d i g neWinsieme [G] Poperatore

descrive Pinsieme IX] di R . e la (4) consente il calcolo di w (g) in tu t to [G]. I1 problema ~ quindi r idotto a quello della costruzione del l 'operatore (~.

A tale seopo definiamo le singole funzioni di distr ibuzione delle com- ponenti continue x~ del vet tore x :

(7)

c o n

(s)

X k

1) (x k <__ Xk) ---- f w (Xk) ~Xk

o ~ D ( X k ~- -xk )~- - l ; - - c r

In base alle (7), (8), e alle ipotesi formulate, l 'operatore ( ~ [ g - g(x)] che compare nella (4) pub essere cos'l costruito. S ia :

(9) ~ h ----- (ri , r 2 , . . . , rn)a

una n-upla di numeri casuali (reali)~ associata all'h-too r isul tato deWesperi- mento E. Sia, per ogni h, k :

(10) 0 ___~ r~ ~ 1.

Supponiamo inoltre che, per h - -~ c~, la densit~ di probabilit~ di ogni nu-

per urt metodo di dvtormiuazione r 37

mero casuale rk sia perfe t tamente re t tangolare in (0, 1), cio~:

(11) p ( r k ) = 1 ( r k ) - - i (rk - - 1)

o re 1( ) rappresenta il gradino unitario. Pe r ogni r isultato dell 'esperimento E, tramite la (7), assoeiamo a c~h

la n-pla x ^ , o t tenuta identificando rk con D (Xk ~ xk) e r i so lvendo la (7) stessa in funzione di xk, (k ~ 1, 2, ... ,n ) . Nella (4) resta cosi definito, per ogni ve t tore xh corrispondente a c)~h, l 'operatore c$ [ g - - g (x)] e ovviamente w (x~).

In v i r th delle sue proprietor, la n-upla c)~h i~ l 'operatore che t rasforma punt i di R~ in punti di G, descrivendo l ' insieme [G], per h ~ c~, t ramite la corr ispondenza (7) e l 'equazione g ~ g ( x ) . Contemporaneamente la (9) descrive l 'assoeiata w (g). Ancora per le propriet~ di c~h, per grandi valori di h, noi otteniamo, mediante le annuncia te trasformazioni sui punt i di R,,~ una rappresentazione discreta significativa dell ' insieme [G], la quale tende ad infitt irsi , fino ad esaurire completamente [G] per h ~ co. Per tan to , detto DZ r il numero di volte in cui g i~ compresa t ra g e g 2 7 Dg, con D g finito, si pub se r ive re :

(12) w (g)----- lira _DN/Dg. D g ~ 0 h ~ oo

Lti densit/i di probabilit~ viene cosi o t tenuta come limite della frequenza, per h - + c~.

I1 nostro problema di determinare w (g) ~ cosi r icondotto a quello di generare infinite n-uple di numeri casuali, re t tangolarmente dis t r ibui t i nel- l ' interval lo (0, 1), e alla risoluzione i terat iva delle equazioni :

(13)

X k

rk ~ f w (Xk) dXk = I) (X, ~ Xk)

(k = 1, n)

5. Es tens ione al easo discreto.

Non di rado le variabili casuali dalle quali dipende g sono del tipo discreto~ cio~ possono assumere, per ogni r isultato dell 'esperimento E~ solo gli mk va lo r i : (14) xxk , x2k , ... , x m ~ (k ------ 1, n)

che possiamo intendere ordinati in maniera non decrescente.

38 R. JowNE: Teenieho Monto Carlo

L'equazione (7) diventa :

(15) D (Xk ---- x~) : 2(j) pj~ z j k = x k

O V e :

m k

(15') , V ~ - - - - P ( X k = X j k ) ; X p j ~ I j=l

(k -~-- I, ~)

Tra lasc iamo di scr ivere le ovvie estensioni de]le formule dei precedent i paragrafi . Res ta evidentemente ancora val ido tu t to cib che i~ s ta to de t to sul cri terio della costruzione del l 'operatore 6, tenendo conto perb che il g ruppo di equazioni che devono essere risolte i~ ora rappresen ta to dalle (15) in so- s t i tuzione delle (7). Le D (X~-----xk) sono espresse come combinazioni di fun- zioni a gradino e la r isul tante w (g) sara un i s tog ramma di densi t~ di p r o - babilitY, in gcnerale, e non una funzione continua.

De t to r~ un numero casuale appar tenen te ad v)~ e tenuto conto della condizione di ordinamento crescente dei valori xj~ r ispet to alFindice j , la (15i consente di scrivere~ per ogni k = l , . . . , n :

h--1 h

(16) 2" pj~ ~ r~ < X _pj~

essendo h u n oppor~uno valore delFindice j verificante cer tamente la proprietY:

(17) 1 ~ h ~ m~ (k ~ 1, n).

La t rasformazione consiste dunque~ nel caso discreto, nel far corr ispondere ad ogni rk di "~ verificante ]e (16), quel valore di Xjk,X^k, per cui j ~ h. Ricordando la (15') e le propriet~ di c iascun r~) esisten~ tin solo h the sod- disfi le (16) e le (17), per ogni valore di k. L 'opera to re ~ agisce inoltre, in questo caso, su di un insieme finito di punt i xjk(j ~--- 1, ink; k = 1, n), chc r appresen tano i valori (( permessi >> delle n variabil i casuali da cui dipende g.

6. S t u d i o de l le ( ( con f lguraz ion i >> di u n s i s t e m a .

Se le n variabil i casuali sono relat ive, come spesso accade, alle gran- dezze cara t te r i s t iche dei componenti di un cer to s is tema, pot remo identificare uno �9 s ta to >> del s is tema con la n-upla dei valori assunti) ad un cer to is tante, dalle variabil i stesse. Corr ispondentemente , g ( x i , x ~ . . . . , x.) potrh essere cons idera ta una generica funzione del suddet to ((s ta to >>, come ad esempio Paffidabilit,~, o i l grado di efficienza, etc.

per u~t metoclo d$ determ.iuazione etc. 39

I n quest i casi, lo studio di w (g), ossia della densit~ di probabi l i t~ di una ta l funzione che sintetizza, per cosi dire~ una notevole propr ie t~ del s i s tema in esame, ~ sempre molto importante . Tale studio riesce possibile, se compiuto con il metodo della costruzione dell~operatore 5, anche quando Pinsieme degli stati o configurazioni possibili del s i s tema sin grandissimo. La total i th delle configurazioni di un s is tema individuato d a n variabi l i c iascuna delle quali ammet ta m stati possibili ~, come noto, par i a m~, nel caso pih generale. Se per ciascuna var iabi le gli m s ta t i sono identici, cioi~ a)~ ~ xjh (j -~- ], m ; k, h -~- 1, n) e l 'o rd inamento dei valori nelle n-uple non

in te ressa ' l e e ~ 1 7 6 1 7 6 t u t t ~ ( m q - n - 1 ) n " I n e n t r a m b i i e a s i

si ha in ogni modo a ehe fare con un numero enorme di stati , gi,~ con m e d n dell 'ordine di 10, il che rende di fat to impossibile la determinazione di w (g) con metodi classici.

7. C r i t e r i di convergenza nella determinazione di w(g).

I I metodo proposto, ossia l ' impiego deWoperatore 5 costrui to con la tec- nica di Montecarl% consiste in pra t ica nelFestrazione casuale da lP ins icme IX] di R,~, e quindi, t rami te la legge funzionale g ~ g (x i , . . . ,x,,) da [G], di un numero abbas tanza grande di punti . L~insieme di qucst i pun t i sarh ben lontano dalPesaurire la totalit~ dei punt i di IG], sin che [G] contenga un numero infinito di punti (caso continuo), sin un numero finito (caso discreto). Tu t t av i a le carat ter is t iche di 6, come abbiamo visto~ consentono di es t rar re da [G] un sottoinsieme [G'] rappresen ta t ivo . In generale converr~ arres taze il procedimento i terat ivo di cui si fa uso per la determinazione di w (g), quando le modifiche appor ta te aWandamento di w (g) da successive scelte di punt i in [G] divengono trascurabil i . Cib pub essere fat to introducendo i consueti eri teri statistici per va lu ta re se sin siguificativa o meao la differeuza w - w' o re w ~ ~ intesa calcolata in ogni punto con I iterazioni in pifi ri- spet to a w essendo I un intero oppor tunameute scelto.

8. Generazione dei numeri casuali.

]~ di fondamentale impor tanza la bont~ del metodo con il quale le n-uple di numer i casuali vengono generate . In fa t t i tu t to cib che ~ s tato det to vale esclusivamence nel caso di dis t r ibuzioni di numer i casuali per- f e t t amente re t tangolar i neWintervallo (0,1). Occorre inoltre che l 'a lgor i tmo di generazione dei humeri sia velocemente eseguibile suWelaboratore, per non

40 R. JowsE: Teoniohe ~[onto Carlo

rendere t roppo costoso il metodo, in quanto, nei easi reali, si possono faeil- mente raggiungere 10 ~ e pih iterazioni. Esistono, in dotazione ai grandi e medi e!aboratori, alcune routines generatriei , che risolvono comple tamente il problema, fornendo ottimi risultati e per la qualit~ delle distr ibuzioni e per ia rapiditi~ dei calcoli. Per la generazione dei numeri casuali relat ivi aWesempio di questo articolo ~ stato comunque usato il seguente a lgor i tmo :

(18) r ,+ l = (r,~ a) /m (rood m)

che consists in una tecnica molt ipl icat iva puramente congruenziale. I1 mo- dulo m deve essere scelto il pifi grands possibile compatibi lmente con Fela. boratore di cui si dispone, poich6 la sequenza dei numeri genera t i ~ in realt~ pseudo-casuale e si r ipete con un periodo T r m.

SulFelaboratore USTIVAC 1108 il metodo (18) ~ r isul ta to part icolar- mente veloce, essendo in grado di generare 105 numeri in ] ,5 sec. circa. Quando part icolari motivi non lo vietino, si pub per semplicith scegliere :

(19) a--~ b(P/b) -~- l ; m ~ - bP ; R i -~ bp - 1

essendo p la lunghezza delia <(parola ~) dell 'elaboratore usato e b l a <~ base ~> (binario, b = 2, etc.).

9. S tud io dl una re te con u cen t r a l i e l e t t r i c h e .

Tut t i i coneet t i precedentemente esposti hanno t rovato applieazione nella soluzione del seguente problema.

Siano Ci (i ~---17 n) n centraii elettrich% ciascuna di nora potenza xc e disponibilit/~ Pi (i = 1, n). Intendiamo con la parola disponibilit~ la frazione di tempo duran te il quale la i-esima centrale ~ in funzion% su u n tempo totale prefissato T, ciob:

(20) Pc---- t d T .

Supporremo inoltre che la i-esima centrale, quando funziona, eroghi sempre la potenza massima xc, e ehe le Pc siano desunte da osservazioni s tat is t iche effet tuate su un periodo di funzionamento abbastanza lungo.

Una osservazione contemporanea delle n centrali~ fa t ta ad u n certo is tante da un osservatore~ trover$ una certa configurazion% con alcuni im- piant i in funzione e i restant i non in funzione, ]a probabilitK di ta le confl. gurazione essendo espressa da :

(21) P =Pl (I --la~) ..Pn

per u~t metodo di determ~nazione ece. 41

nel caso, per esempio, che il primo impianto funzioni, il. secondo no, e cosi via. A tale configurazione corr isponde una poteuza nSu erogata~ in quel momento, pari a :

M = ~ ( l - - 6,) x, i = 1

ove ~ ~ pos~o uguale a zero se la centrale non ~ in funzione, uguale ad uno nel easo contrario.

Le cara t te r i s t iche del s is tema descri t to sono tali da poter considerare una configurazione possibile come una funzione d i n variabil i casual i indi- pendent i , c iascuna delle quali ammet t e solo due stati . Le configurazioni totali sa ranno per tanto in numero di 2". Nel caso in esame n = 433. Le 433 central i sono s tate r aggruppa te in so t togruppi di var ia entit/t, secondo la loro potenza. I dati rclat ivi al l ' intero s is tema sono r ipor ta t i nella fig. (1).

Ci p roponiamo ora di de terminare la funzione di dis t r ibuzione D (M),

ossia la probabilit,~ di avere una <~mancanza di potenza erogata, a un certo is tante , minore o eguale a M , . Pe r le ipotesi fat te sulle singole variabi l i ci t rov iamo evidentemente nel caso discreto. Le densith di probabilit '~ e le funzioni di distr ibuzione delle x~ sono tu t t e del t ipo di quelle r appresen ta te in fig. (2). Si possono applicare quindi i metodi descri t t i nel par. (5).

La tabulazione di /9 (M) e il re la t ivo i s togramma sono r ipor ta t i nelle figg. (3) e (4) r i spet t ivamente . Pe r motivi di interesse pratico, Finterval lo di suddivisione delle ascisse ~ stato scelto di 300 Mw. I r i sul ta t i ot tenuti , sono re la t iv i al l 'estrazione casuale di 16.000 configurazioni. A tale valore delle i terazioni si ~ infatti r i tenuto oppor tuno arres tare il procedimento~ in quanto le successive modifiche a l l ' i s togramma, appor ta te dal] 'es trazione di a l t re configurazioni, r i su l tavano inferiori al 0,5o/0, in ogni punto. Tale grado di precisione nella determinazione di D ( M ) ~ stato r i tenuto ampiamente sufficiente ai fini dell 'utflizzazione dei r isul tat i .

10. Cons ide raz ion i sui t e m p i di calcolo .

Da to il grande numero delle variabil i e delle configurazioni possibili , Fesempio r ipor ta to pub essere r i tenuto signiflcativo per una valutazione delle possibiliti~ del metodo in rappor to al suo costo. Una p r ima soluzione del p rob lema ~ s ta ta ot tenuta sul calcolatore da processo G E 412 instal lato presso la centrale nucleate del Garigliano. I tempi di calcolo r i sul tarono abbas tanza lunghi e non sarebbe significativo paragonar l i a quelli relat ivi ad a l t re elassi di elaboratori . Sul calcolatore U N I V A C 1108, per il quale

s ta to in seguito r iscr i t to il p r o g r a m m a (in F O R T R A N V) il t empo di

42 R. J o v I ~ : Teenichv Mo~tt~ Carlo

calcolo ( impegno deWunit~ centrale) ~ r isul tato, per un i s tog ramma costrui to con 10.000 configurazioni, di poco superiore al mezzo minuto. Di questo tempo, 7 secondi circa erano impiegat i per la generazione dei 433.000 nu- meri casuali necessari alle 10.000 configurazioni. Tra l 'a l t ro i! metodo ha d imost ra to un elevato potere di convergenza poichd le 104 configurazioni sumcient i a determinare con la precisione dell ' l~ circa D ( M ) sono in nu- mero mol to esiguo rispetto alla totalitY, pari a 2423 . La dura ta del calco]o

dipende na tu ra lmen te anche dalla forma delle funzioni g ( x i , x ~ , . . . , x,~). bTel nost ro caso questa era della forma (22) e Poperazione di associazione di un valore g alia ~-upla x r i sul tava par t ico la rmente rapida.

per ua mvtodo d~ det~rm~na~ione ~c~. 43

,,~ ~i(Mw)

20 65

26 72

25 151

2 233

6 282

26 300

2 588

46 7

56 13

32 28

33 38

22 66

21 135

6 255

8 5

6 9

24 10

22 11

25 20

55 21

Pi (%)

95

95

88

90

90

90

90

91

95

95

93

91

95

93

91

91

91

95

95

95

FIG. 1

44 I~. JovI~rs : Teeniohe Monte (Tarto

w(x)

I -

pi

1 -p].

X~

Densi th di p robabi l i t~

O(X)

|-Pi - - - I i i Xi

Funz ione di d i s t r i buz i one

FIG. 2

p e r u n metodo di determgna~ion6 ece. 45

M

O - - 300

0 600

O - - 900

0 - - 1 2 0 0

0 - - 1 5 0 0

0 - - 1 8 0 0

0 - - 2 1 0 0

0 - - 2 4 0 0

0 - - 2 7 0 0

0 - - 3 0 0 0

O - - 3 3 0 0

0 - - 3 6 0 O

0 - - 3 9 0 O

0 - - 4 2 0 0

0 - - 4 5 0 0

0 - - 4 8 0 0

D(M)

0 .000540

0 .001944

0.006143

0.027779

0.087814

0.211875

0.396253

0.584780

0.738043

0.844543

0.9.15059

0.959081

0.984085

0.995365

0.999160

0.999972

FI~. 3

46 R. J o v I y ~ : T e ~ v h e Mo~,te Carlo

l.O

.75

.50

.25-

O(M)

I- F [ijy

V [ _ . . . . j - . -

~6o ~oo ,8%o 2Zoo 3~oo 3~oo 42'oo ~oo

FIG. 4

p e r u n m e t o d o d i d a t e r m l n a ~ i o n e eee, 47

B I B L I O G R A F I A

J. MOSI1MAN - R a n d o m Number" Generat ion. Mathemat ica l Methods For Digi ta l Computers ,

Vol. I I 249-263 - J . Wiley 1967.

A. PAPOULIS - Probab i l i t y Raw, dora Var iables and ~tocl~astic Processes - Me. Gr~w Hill co.

1965.