11

ŞEBEKE ANALİZİŞEBEKE ANALİZİ

22

ŞEBEKE ANALİZİ•Bir çalışma içerisinde ya da projede yapılacak işlerin en iyi şekilde sıralanması diyagram şeklinde gösterilebilir. •Bu diyagram şeklindeki gösterim ŞEBEKE (NETWORK) olarak adlandırılır ki, OK’larla çizilen ve ağ planlama tekniklerinin esas bir kısmını oluşturan birbirine bağlı faaliyetlerin şekiller ya da bir diyagram olarak gösterilmesidir.

33

Şebeke Analizi, bir planlama tekniği olup,

•Genellikle büyük ölçekli projelerin planlanması, •Bir noktadan diğer bir noktaya olan en kısa yolun bulunması, •İnşaat, •Köprü planlaması , •Büyük çaplı ihalelerin hazırlanması, •TV programlarının yapılması gibi bir çok alanda uygulanabilir.

44

Şebeke Analizi tekniklerinden olan •PERT (Proje değerlendirme ve gözden geçirme tekniği) ve •CPM (Kritik yol yöntemi) projelerin planlanması ve uygulamasındaki denetim için bir yöntem sağlarlar.

55

Şebeke Analizinde Kullanılan Terimler Faaliyet: Bir işin tamamlanması için zaman ve kaynak harcamasını gerektiren hareketi ifade eder. Bir faaliyetin başlayabilmesi için önceki faaliyetlerin tamamlanmış olması gerekir.Olay: Bir olay akışı devam eden zamanda bir anı ifade eder ki, bu anda bir faaliyet bitmiş ve diğerleri başlamaya hazırdır.Şebeke (Ağ)analizinde bütün faaliyetler OK’lar ( ) ile ve tüm olaylar ise daire veya noktalarla gösterilir.

66

En Küçük Yayılma Problemleri

•Bu problemlerde esas amaç, her bir olay veya nokta çiftleri arasında en kısa yolu bularak NETWORK içinde en kısa uzaklığı sağlayan yolu belirlemektir.

•Bu iş için aşağıdaki adımlar izlenmelidir.

77

•Ağ içerisinde rastgele bir nokta seçilerek onun kendisine en yakın nokta ile birleştirilmesi sağlanır.

•Birleştirilmiş noktaya en yakın birleştirilmemiş nokta bulunarak bu iki noktanın birleştirilmesi sağlanır.

•Bütün noktalar birleştirilinceye kadar işlem tekrarlanır.

88

D

Örnek 6.1. Aşağıda gösterilen ağ içerisinde en küçük yayılma şebekesini bulunuz. 7 2 3 3 6 4 5 2 3 8 4 Çözüm: Rastgele seçilen nokta B olsun. (B için S), ( S için A) , (Aiçin C), (C için E), (C için D), (Diçin F) ‘dir. TOPLAM MİNİMUM YAYILMA UZAKLIĞI = 3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 6 = 19 km’dir

S

A D

F

B E

C 5

99

Örnek 6.2. Bursa B.Bld. il sınırları içinde boş bir alan turizm hizmetine açmak istemektedir. Bu sebeple, otobüslerin belirli yerleşim noktalarına gidebilecekleri en kısa yolu yapmak istemektedir. Beş yerleşim yeri ve bunlar arasındaki uzaklıklar (km) olarak aşağıda verilmektedir. Belediye amacına ulaşmak için yol planını nasıl yapmalıdır.PalmiyPalmiy

eeKayalKayalıkık

ÇağlayÇağlayanan

HuzuHuzurr

OrmanlOrmanlıkık

PalmiyPalmiyee

...... 7.17.1 19.519.5 19.119.1 25.725.7

KayalıKayalıkk

7.17.1 ...... 8.38.3 16.216.2 13.213.2

ÇağlayÇağlayanan

19.519.5 8.38.3 ...... 18.118.1 5.25.2

HuzurHuzur 19.119.1 16.216.2 18.118.1 ...... 17.217.2OrmanlOrmanlıkık

25.725.7 13.213.2 5.25.2 17.217.2 ......

1010

Çözüm:Çözüm: Bu problem bir minimum Bu problem bir minimum yayılma problemi olup, ağ yayılma problemi olup, ağ olarak şekli aşağıdaki gibidir. olarak şekli aşağıdaki gibidir. Başlangıç noktası Palmiye; Başlangıç noktası Palmiye;

7.1 16.2 8.3 5.2

P

K

H

Ç O

1111

EN KISA YOL PROBLEMLERİ

•Bir Ağ içinde başlangıç noktasına kaynak ve

son noktaya da bitiş adı verilir.

•EN kısa yol probleminde herhangi iki nokta

arasındaki uzaklık a(x-y) ise,

x: kaynak,

y: bitiş

•Algoritmanın amacı, kaynaktan-bitime doğru

minimum toplam uzaklıkta gitmeyi sağlayan dallar

dizisini bulmaktır.

1212

Algoritmanın adımları aşağıdaki gibidir.:

Adım 1: Nokta-1 kaynak olur ve buradan başlayarak bütün noktalar geçici olarak adlandırılır. Kaynak noktasının (nokta-1) adlandırılması (-,0) yapılırken diğer bütün noktaların geçici adlandırılmaları (-,∞) şeklinde yapılır.

1313

Adım 2: Tüm bitim noktaları (y’ler) doğrudan nokta-1’e bağlanır ve yeni adlandırmalar (1,a(1,y)) olarak verilir. a(1,y) yazılışı nokta 1 den nokta y’ye olan uzaklığı gösterir.

1414

Adım 3:Adım 3: Adım-2’deki noktaların (y), Adım-2’deki noktaların (y), herbiri i,çin x noktasından (x,y) dalı herbiri i,çin x noktasından (x,y) dalı araştırılır. Ve bu araştırmada,araştırılır. Ve bu araştırmada,

d(x)+ a(x,y) < d(y)................d(x)+ a(x,y) < d(y)................(6.1)(6.1)

formülüne göre yapılır. formülüne göre yapılır. Burada, d(y) herhangi bir y noktasından Burada, d(y) herhangi bir y noktasından adlandırılan adlandırılan geçici uzaklığıgeçici uzaklığı belirtir. belirtir.

Bu formüle göre bulunan dalın Bu formüle göre bulunan dalın adlandırılacak y noktası adlandırılacak y noktası

(x, d(x)+a(x,y)......(6.2)(x, d(x)+a(x,y)......(6.2) formülü ile bulunur.formülü ile bulunur.

1515

Adım 4:Adım 4: Nokta-1’e doğrudan bağlanan Nokta-1’e doğrudan bağlanan bu noktalar için Adım 3 bu noktalar için Adım 3 tamamlandığında, benzer işlemler tamamlandığında, benzer işlemler şebekede geri kalan noktaların şebekede geri kalan noktaların yeniden adlandırılması için yapılır. yeniden adlandırılması için yapılır.

Yani her bir y noktası için (x,y) Yani her bir y noktası için (x,y) dalı araştırılır ve (6.1) nolu dalı araştırılır ve (6.1) nolu formül sağlanır. formül sağlanır.

y noktası için yeniden adlandırma y noktası için yeniden adlandırma (6.2) nolu formüle göre yapılır.(6.2) nolu formüle göre yapılır.

1616

Adım 5:Adım 5: Herhangi bir nokta Herhangi bir nokta için her defasında yeni bir için her defasında yeni bir adlandırma yapıldığında, adlandırma yapıldığında, ilerleyen adımlar için kontrol, ilerleyen adımlar için kontrol, Adım 4’te olduğu gibi diğer Adım 4’te olduğu gibi diğer noktalar için de yapılmalıdır. noktalar için de yapılmalıdır.

1717

Adım 6:Adım 6: Tüm ayrılan adlar sürekli Tüm ayrılan adlar sürekli hale geldiğinde hale geldiğinde EN KISA YOLEN KISA YOL şimdi şimdi kolayca bulunabilir. kolayca bulunabilir.

Bunun için; verilen herhangi bir Bunun için; verilen herhangi bir noktaya olan en kısa yol, verilen noktaya olan en kısa yol, verilen noktadan hareket edilerek bulunur ve noktadan hareket edilerek bulunur ve buradan adlandırılan birinci buradan adlandırılan birinci kısımdaki noktaya doğru geriye kısımdaki noktaya doğru geriye gidilir. gidilir.

Bu süreç Nokta 1 için şebeke içinde Bu süreç Nokta 1 için şebeke içinde geriye doğru devam eder. geriye doğru devam eder.

Bu adlandırma sistemi içinde, Bu adlandırma sistemi içinde, nıktaların adlandırılan ikinci kısmı nıktaların adlandırılan ikinci kısmı Nokta 1 e olan toplam uzaklığı verir.Nokta 1 e olan toplam uzaklığı verir.

1818

Örnek 7.3Örnek 7.3 Aşağıdaki şebekede birbirine dallar ile Aşağıdaki şebekede birbirine dallar ile bağlı olan 7 nokta arasındaki uzaklıklar bağlı olan 7 nokta arasındaki uzaklıklar km olarak verilmektedir.Buna göre nokta1 km olarak verilmektedir.Buna göre nokta1 ile nokta 7 arasındaki en kısa yolu ile nokta 7 arasındaki en kısa yolu bulunuz.bulunuz.

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

1919

ÇözümÇözüm Yukarıda verilen adımlar sırası ile izlenirse, 1. Yukarıda verilen adımlar sırası ile izlenirse, 1.

adım sonunda , adlandırmalar aşağıdaki şekilde adım sonunda , adlandırmalar aşağıdaki şekilde olduğu gibi yapılmalıdır.olduğu gibi yapılmalıdır.

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

),0( ),0(

),0( ),0(

),0(

)0,(

2020

Adım 2.Adım 2. Nokra 1 e olan bağlantılar 2,3 ve 4 tür.Bu Nokra 1 e olan bağlantılar 2,3 ve 4 tür.Bu

adımda bu noktaların isimlendirilmesi, (1,8),adımda bu noktaların isimlendirilmesi, (1,8),(1,15) ve (1,10) olacaktır ve bu durum (1,15) ve (1,10) olacaktır ve bu durum aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.aşağıdaki şekilde gösterilmektedir.

),0(

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

(1,8)

(1,15)

(1,10)

),0( ),0(

),0(

2121

Adım 3Adım 3Bu adımda adlandırmalara devam edilir. Bu adımda adlandırmalara devam edilir. Nokta 2 ve nokta4 için adlandırma Nokta 2 ve nokta4 için adlandırma değişmezken nokra 3 ün adlandırması (2, değişmezken nokra 3 ün adlandırması (2, 14) olarak değişmektedir.14) olarak değişmektedir.

),0(

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

(2,14)

(1,10)

),0( ),0(

),0(

(1,8)

2222

Adım 4Adım 4Bu adımda 5 ve 6 nolu noktaların Bu adımda 5 ve 6 nolu noktaların adlandırılması gerekir ve bu değerler adlandırılması gerekir ve bu değerler sırası ile (3,21) ve (4,19) olur. Şekil sırası ile (3,21) ve (4,19) olur. Şekil aşağıdaki gibidir.aşağıdaki gibidir.

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

(2,14)

(1,10)

),0(

(1,8)

(3,21)

(4,19)

2323

Dikkat edilirse bu adımda nokta5 e yeni Dikkat edilirse bu adımda nokta5 e yeni adlandırma (2,17) olmalıdır. Hatta burada adlandırma (2,17) olmalıdır. Hatta burada nokta 6 da seçenekli olarak nokta 6 da seçenekli olarak adlandırılabilir ki buda (5,19) dır.adlandırılabilir ki buda (5,19) dır.

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

(2,14)

(1,10)

),0(

(1,8)

(2,17)

(4,19)

(5,19)

2424

Adım 5.Adım 5. Bu adımda son nokta (6,30) olarak Bu adımda son nokta (6,30) olarak adlandırılmaktadır. Tüm ağ kontrol adlandırılmaktadır. Tüm ağ kontrol edildiğinde , tüm adlandırmaların devamlı edildiğinde , tüm adlandırmaların devamlı olduğu görülmekte olup son şekil aşağıda olduğu görülmekte olup son şekil aşağıda gibidirgibidir

1

2

3

4

5

6

7

8

15

10

6

7

9

8

9

72

14

11

(2,14)

(1,10)

(1,8)

(2,17)

(4,19)

(5,19)

(6,30)

2525

Bütün bu adlandırmalardan Bütün bu adlandırmalardan sonra nokta1 den nokta 7 ye sonra nokta1 den nokta 7 ye olan EN KISA YOL un 30 km olan EN KISA YOL un 30 km olduğu görülmektedir. olduğu görülmektedir.

Bu yollar sırası ileBu yollar sırası ile1 4 6 7 veya1 4 6 7 veya

1 2 5 6 7 1 2 5 6 7 dirdir

2626

En Yüksek Akış En Yüksek Akış Problemlerinin Problemlerinin

Çalışılması Öğrencilere Çalışılması Öğrencilere Bırakılmıştır.Sh.426Bırakılmıştır.Sh.426

2727

En Yüksek Akış En Yüksek Akış ProblemleriProblemleri

En yüksek akış problemlerinin amacı En yüksek akış problemlerinin amacı iki nokta arasında taşınan malzeme iki nokta arasında taşınan malzeme miktarını optimum kılacak bir miktarını optimum kılacak bir yükleme şebekesi geliştirmektir.yükleme şebekesi geliştirmektir.

Asıl noktaya Asıl noktaya kaynakkaynak hedefe de hedefe de bitişbitiş adı verilir. Çeşitli yüklemeler adı verilir. Çeşitli yüklemeler kaynak ve bitişleri birleştiren kaynak ve bitişleri birleştiren dallar üzerinde olur ki, ara dallar üzerinde olur ki, ara yerleşimlere yerleşimlere birleşimbirleşim adı verilir. adı verilir.

2828

Birleşim noktalarının Birleşim noktalarının malzemeleri depolamadığı malzemeleri depolamadığı varsayılır. varsayılır.

KaynakKaynak, , bitişbitiş ve ve birleşimlerbirleşimler noktalar ile gösterilirken noktalar ile gösterilirken dallar da taşınan malzemeleri dallar da taşınan malzemeleri gösterir.gösterir.

2929

Örnek:Örnek: A, kaynak noktasından D bitiş A, kaynak noktasından D bitiş noktasına gönderilen malzemeler noktasına gönderilen malzemeler aşağıdaki şebekede yer alan aşağıdaki şebekede yer alan bilgilere göre gönderilmektedir. bilgilere göre gönderilmektedir.

Şekilde B ve C Şekilde B ve C birleşimleri gösterirken akışlar birleşimleri gösterirken akışlar için her bir dalın kapasitesi, için her bir dalın kapasitesi, dalların her iki yönünde dalların her iki yönünde gösterilmektedir. gösterilmektedir.

3030

Dikkat edilirse A C’ye 7 birim Dikkat edilirse A C’ye 7 birim gönderilirken ters yönde C A’ya 0 gönderilirken ters yönde C A’ya 0 birim gönderilmektedir. birim gönderilmektedir.

BC dalı boyunca da karşılıklı 5’er BC dalı boyunca da karşılıklı 5’er birim gönderilebilmektedir. birim gönderilebilmektedir.

A D

C

B

8 10

7

0

0

4

5

4

5 10

0Kaynak Bitiş

3131

Buna göre A D’ye Buna göre A D’ye gönderilebilecek malzemelerin gönderilebilecek malzemelerin en yüksek akış malzeme miktarı en yüksek akış malzeme miktarı nedir?nedir?

3232

Çözüm:Çözüm: Kaynak ile bitim noktalarını Kaynak ile bitim noktalarını bağlayan dal AD’dir. bağlayan dal AD’dir.

Buna göre A’dan D bitiş yerine 8 Buna göre A’dan D bitiş yerine 8 birim göndermek uygun olacaktır. birim göndermek uygun olacaktır.

D’ye 8 birim yüklenirse AD’nin D’ye 8 birim yüklenirse AD’nin kapasitesi 8 birim azalırken, kapasitesi 8 birim azalırken, DA’nın kapasitesi 8 birim artar. DA’nın kapasitesi 8 birim artar.

3333

Algoritma şöyledir;Algoritma şöyledir; Adım 1: Kaynaktan bitime kadar Adım 1: Kaynaktan bitime kadar malların pozitif uygun alışını malların pozitif uygun alışını sağlayacak yolun bulunması. Böyle sağlayacak yolun bulunması. Böyle bir yol yoksa adım 5’e geçilir.bir yol yoksa adım 5’e geçilir.

Adım 2: Bu yol üzerinde Adım 2: Bu yol üzerinde yüklenebilecek max. akış yüklenebilecek max. akış belirlenerek, bu miktar L ile belirlenerek, bu miktar L ile gösterilir. gösterilir.

3434

Adım 3: Bu yolun her bir Adım 3: Bu yolun her bir dalının dolaysız kapasitesinin dalının dolaysız kapasitesinin azaltılması ve artırılması L azaltılması ve artırılması L ile sağlanır. L birimi bitime ile sağlanır. L birimi bitime gönderilen miktara eklenir. gönderilen miktara eklenir.

Adım 4: Adım 1’e dönülür.Adım 4: Adım 1’e dönülür.

3535

Adım 5: Bitime gönderilen Adım 5: Bitime gönderilen miktar en yüksek akıştır. En miktar en yüksek akıştır. En uygun yükleme şeması asıl şema uygun yükleme şeması asıl şema ile son şemanın ile son şemanın karşılaştırılması yapılarak karşılaştırılması yapılarak bulunur. Kapasitedeki herhangi bulunur. Kapasitedeki herhangi bir azalma yüklemeyi belirtir.bir azalma yüklemeyi belirtir.

A D

C

B10

10

45

05

40

07

8

Kaynak

(-8)

(+8)

3636

Kaynaktan bitiş yerine pozitif Kaynaktan bitiş yerine pozitif malzemelerin akışı için diğer malzemelerin akışı için diğer uygun yol [AC, CB, BD] dir.uygun yol [AC, CB, BD] dir.

Bu yol üzerinde gönderilebilecek Bu yol üzerinde gönderilebilecek max. malzeme 4 br.dir. L=4. Bu max. malzeme 4 br.dir. L=4. Bu da BD’nin kapasite miktarıdır. da BD’nin kapasite miktarıdır.

Böyle bir yükleme yapılırsa D Böyle bir yükleme yapılırsa D bitiş yerindeki sunum miktarı 4 bitiş yerindeki sunum miktarı 4 birim arttırılır. birim arttırılır.

Yani 8+4=12 olur. Yani 8+4=12 olur.

3737

Aynı zamanda;Aynı zamanda; AC, CB ve BD’nin kapasitelerini AC, CB ve BD’nin kapasitelerini 4 birim azaltırken, CA, BC ve 4 birim azaltırken, CA, BC ve DB’nin kapasiteleri de 4 birim DB’nin kapasiteleri de 4 birim arttırılır. Böylece aşağıdaki arttırılır. Böylece aşağıdaki şekle dönüşülür.şekle dönüşülür.

A

D

B

C10

3

0

4

0

9

1

10

0

8

0 8

Kaynak

-12

Bitiş

+12

3838

Şekildeki şebekeyi ele Şekildeki şebekeyi ele aldığımızda aldığımızda

A D’ye gönderebileceğimiz A D’ye gönderebileceğimiz miktar [AC, CD] yolunda 3 birim miktar [AC, CD] yolunda 3 birim olur. olur.

Bu yüklemeyi de yaptığımızda Bu yüklemeyi de yaptığımızda bitiş yerindeki (D) sunum bitiş yerindeki (D) sunum miktarı 3 birim artarken AC ve miktarı 3 birim artarken AC ve CD’nin kapasiteleri 3 birim CD’nin kapasiteleri 3 birim azalır. azalır.

3939

Aynı şekilde CA ve DC’nin Aynı şekilde CA ve DC’nin kapasiteleri de bu miktarda kapasiteleri de bu miktarda artar. Bu durumda bitiş yerine artar. Bu durumda bitiş yerine yüklenen miktar 12+3=15 birim yüklenen miktar 12+3=15 birim olur.olur.

A

B

C

D

010

0

0

0

1

9

7

7

8

8

3Bitiş yeri

(+15)

4040

Şekilde [AB, BC, CD] yolu Şekilde [AB, BC, CD] yolu üzerinde kaynaktan bitiş yerine üzerinde kaynaktan bitiş yerine 7 birim gönderilebilir. 7 birim gönderilebilir.

Bu yüklemeyi yaptığımızda D Bu yüklemeyi yaptığımızda D noktasındaki sunumu 7 birim noktasındaki sunumu 7 birim arttırarak 15+7=22 birim olur. arttırarak 15+7=22 birim olur.

Bununla beraber AB, BC, CD’nin Bununla beraber AB, BC, CD’nin kapasiteleri 7 birim azalırken, kapasiteleri 7 birim azalırken, BA, CB ve DC’nin kapasiteleri BA, CB ve DC’nin kapasiteleri ise 7 birim artar.ise 7 birim artar.

4141

Sonuç;Sonuç;

A

C

B

D3

7

0

7

0

0

2

0

8

8 8

10

Kaynak

-22

Bitiş

+22

4242

Bu şekli analiz edersek, Bu şekli analiz edersek, kaynaktan bitiş yerine pozitif kaynaktan bitiş yerine pozitif akışı sağlayacak hiçbir yol yok akışı sağlayacak hiçbir yol yok . Böylece kaynak A’dan bitiş . Böylece kaynak A’dan bitiş yerine (D) gönderilebilecek yerine (D) gönderilebilecek max. miktar 22 birimdir max. miktar 22 birimdir denebilir.denebilir.

4343

Kritik Yol Metodu(CPM)Kritik Yol Metodu(CPM)Her hangi bir problem yada proje Her hangi bir problem yada proje programlanırken, karşılıklı ilişkili olan programlanırken, karşılıklı ilişkili olan faaliyetler belirlenmeli ve organize faaliyetler belirlenmeli ve organize edilmelidir. Bu ve benzeri projelerin edilmelidir. Bu ve benzeri projelerin programlanmasını kısıtlayan sadece faaliyetler programlanmasını kısıtlayan sadece faaliyetler arasındaki sırasal ilişkiler ile yapılacak arasındaki sırasal ilişkiler ile yapılacak faaliyetlerin sürdürülmesini sağlayan faaliyetlerin sürdürülmesini sağlayan kaynaklardır.kaynaklardır.

Bir faaliyetin başlayabilmesi için bir önceki Bir faaliyetin başlayabilmesi için bir önceki faaliyetin bitirilmiş olması gerekir ki, bu da faaliyetin bitirilmiş olması gerekir ki, bu da bazı faaliyetler arasında öncelik ilişkisinin bazı faaliyetler arasında öncelik ilişkisinin her zaman olması gerektiğini gösterir.her zaman olması gerektiğini gösterir.

4444

Bir çok projelerde paralel yada seri olarak Bir çok projelerde paralel yada seri olarak yapılacak işlerin sayısı çok olabildiği yapılacak işlerin sayısı çok olabildiği gibi, aralarındaki ilişkiler karmaşıktır. gibi, aralarındaki ilişkiler karmaşıktır. İşte bu ve benzeri karmaşık projelerde, İşte bu ve benzeri karmaşık projelerde, yapılacak işlerin çok daha net görünmesini yapılacak işlerin çok daha net görünmesini sağlamak için geliştirilen CMP tekniği, sağlamak için geliştirilen CMP tekniği, programların yapımı, araştırma programların yapımı, araştırma faaliyetlerinin planlanması gibi önemli faaliyetlerinin planlanması gibi önemli kararların eşgüdümünü gerektiren bir plan kararların eşgüdümünü gerektiren bir plan için çok değerli yardımlar sağlar.için çok değerli yardımlar sağlar.

Bu nedenle, CPM çok yararlı bir planlama Bu nedenle, CPM çok yararlı bir planlama tekniğidir ve ayrıca GANTT tablolarından tekniğidir ve ayrıca GANTT tablolarından aşağıdaki nedenler dolayısı ile daha aşağıdaki nedenler dolayısı ile daha üstündür(sh432).üstündür(sh432).

1)1)

4545

1.1. Projelerin planlanması, Projelerin planlanması, projelerde yer alan projelerde yer alan faaliyetlerin birbiri ile olan faaliyetlerin birbiri ile olan ilişkilerini göstermek ilişkilerini göstermek bakımından zorunludur. Diğer bakımından zorunludur. Diğer planlama tekniklerinde planlama tekniklerinde genellikle bu görülmez.genellikle bu görülmez.

2.2. Şemanın çizilmesi, mümkün Şemanın çizilmesi, mümkün faaliyetlerin bazılarının faaliyetlerin bazılarının unutulmamasını sağlar. unutulmamasını sağlar.

4646

3.3. Kritik faaliyetler ortaya Kritik faaliyetler ortaya çıktığında bu faaliyetlerde çıktığında bu faaliyetlerde gecikme olmayacağını gösterir ve gecikme olmayacağını gösterir ve gerektiğinde bu faaliyetlerde gerektiğinde bu faaliyetlerde fazla işgücü kullanarak proje fazla işgücü kullanarak proje tamamlama süresinin tamamlama süresinin kısaltılabileceğini gösterir. kısaltılabileceğini gösterir.

4.4. Ayrıca ivedili olmayan Ayrıca ivedili olmayan faaliyetlere zamanından önce faaliyetlere zamanından önce finansman ve işgücünün finansman ve işgücünün bağlanmamasını sağlar.bağlanmamasını sağlar.

4747

CPM’de faaliyet zamanlarının sabit CPM’de faaliyet zamanlarının sabit olduğu kabul edilirse (ki olduğu kabul edilirse (ki böyledir) deterministik bir böyledir) deterministik bir yöntemdir.yöntemdir.

Bu yöntemle cevaplandırılabilecek Bu yöntemle cevaplandırılabilecek çeşitli problemler aşağıdaki çeşitli problemler aşağıdaki gibidir;gibidir;

a.a. Bir projenin tamamlanmasında en Bir projenin tamamlanmasında en kısa süre nedir?kısa süre nedir?

b.b. Her bir faaliyetin başlayabileceği Her bir faaliyetin başlayabileceği en erken zaman nedir?en erken zaman nedir?

4848

c.c. Eğer proje en kısa zamanda Eğer proje en kısa zamanda tamamlanacaksa her faaliyet en tamamlanacaksa her faaliyet en geç ne zaman bitirilecektir?geç ne zaman bitirilecektir?

d.d. Projenin tamamlanmasında, Projenin tamamlanmasında, şemada hangi faaliyetler şemada hangi faaliyetler kritiktir? (Kritik faaliyetler kritiktir? (Kritik faaliyetler mutlaka bitirilmelidir, yoksa mutlaka bitirilmelidir, yoksa proje geç kalır).proje geç kalır).

e.e. Projeyi geciktirmeden kritik Projeyi geciktirmeden kritik olmayan faaliyetlere sağlanacak olmayan faaliyetlere sağlanacak en çok gecikme nedir?en çok gecikme nedir?

4949

Ok DiyagramıOk Diyagramı CPM yönteminin temeli şebekedir. CPM yönteminin temeli şebekedir. Şebekenin dalları ortaya Şebekenin dalları ortaya konulacak faaliyetleri gösterir.konulacak faaliyetleri gösterir.

Dalların yönü oklar ( ) ile Dalların yönü oklar ( ) ile gösterilir. gösterilir.

Noktalar veya daireler, hem Noktalar veya daireler, hem olayları gösterir hem de olayları gösterir hem de faaliyetlerin tamamlanmasını faaliyetlerin tamamlanmasını veya başlamasını belirtir.veya başlamasını belirtir.

5050

Yukarıdaki şekil basitçe; faaliyetin Yukarıdaki şekil basitçe; faaliyetin yönünü ve D’nin başlayabilmesi için yönünü ve D’nin başlayabilmesi için E’nin tamamlanmış olması gereğini ifade E’nin tamamlanmış olması gereğini ifade eder.eder.

Bu şekil ise, B ve C faaliyetlerinin Bu şekil ise, B ve C faaliyetlerinin başlamasının A’nın bitirilişine bağlı başlamasının A’nın bitirilişine bağlı olduğunu ifade eder.olduğunu ifade eder.

E D

AB

C

5151

Kukla (Dummy) Kukla (Dummy) FaaliyetlerFaaliyetler

Herhangi bir faaliyetin veya olayın Herhangi bir faaliyetin veya olayın belirli olarak açıklanması için bazen belirli olarak açıklanması için bazen kukla faaliyet oluşturulur. kukla faaliyet oluşturulur.

Bu kukla faaliyetler, faaliyet zamanını Bu kukla faaliyetler, faaliyet zamanını gerektirmeyen faaliyetlerin sırasını gerektirmeyen faaliyetlerin sırasını gösterir.Örneğin K ve L gibi 2 gösterir.Örneğin K ve L gibi 2 faaliyeti ele alalım ve bu iki faaliyeti ele alalım ve bu iki faaliyetten hemen önce ve hemen sonra faaliyetten hemen önce ve hemen sonra gelen faaliyetler aynı olsun. Bu durumda gelen faaliyetler aynı olsun. Bu durumda mantıki olarak aşağıdaki şekli mantıki olarak aşağıdaki şekli çizebiliriz.çizebiliriz.1 2 3

K

L

5252

Yukarıdaki şekil daha önce belirttiğimiz CPM Yukarıdaki şekil daha önce belirttiğimiz CPM kurallarına uymaz. Çünkü her faaliyet iki olay dairesi kurallarına uymaz. Çünkü her faaliyet iki olay dairesi ile özel olarak bağlanmalıdır. Diğer bir ifade ile , ile özel olarak bağlanmalıdır. Diğer bir ifade ile , aynı 2 olay dairesi ayrı ayrı iki faaliyeti aynı 2 olay dairesi ayrı ayrı iki faaliyeti bağlayamaz. Bu problemi çözmek için aşağıdaki şekil bağlayamaz. Bu problemi çözmek için aşağıdaki şekil geliştirilebilir.geliştirilebilir.

Görüldüğü gibi yukarıdaki şekilde 3 ile 4 arasındaki Görüldüğü gibi yukarıdaki şekilde 3 ile 4 arasındaki faaliyet kukla olup süresi sıfırdır. Kukla faaliyetler faaliyet kukla olup süresi sıfırdır. Kukla faaliyetler bazen aşağıdaki gibi kullanılır. A faaliyeti C ve D bazen aşağıdaki gibi kullanılır. A faaliyeti C ve D faaliyetinin bitimine bağlı fakat B faaliyeti sadece faaliyetinin bitimine bağlı fakat B faaliyeti sadece C faaliyetinin tamamlanmasına bağlı ise, kukla C faaliyetinin tamamlanmasına bağlı ise, kukla faaliyet kullanılmadan aşağıdaki şekil çizilebilir.faaliyet kullanılmadan aşağıdaki şekil çizilebilir.

1 2 4

3

K

L Kukla

5353

Yukarıdaki şekil doğru değildir. Çünkü bu Yukarıdaki şekil doğru değildir. Çünkü bu şekilde B faaliyeti hem C ve hem de D şekilde B faaliyeti hem C ve hem de D faaliyetinin bitmesine bağlı gibi faaliyetinin bitmesine bağlı gibi görünmektedir. Gerçek durumu göstermek için görünmektedir. Gerçek durumu göstermek için aşağıdaki şekli çizebiliriz.aşağıdaki şekli çizebiliriz.

C

D

A

B

C

D

B

A

KUKLA

5454

ŞEBEKE ÇİZİMİNDE KURALLARŞEBEKE ÇİZİMİNDE KURALLAR

Faaliyet listesi ve faaliyet öncelikleri verilen Faaliyet listesi ve faaliyet öncelikleri verilen bir projenin şebeke veya ok diyagramını bir projenin şebeke veya ok diyagramını oluşturmak için aşağıdaki kurallar izlenmelidir.oluşturmak için aşağıdaki kurallar izlenmelidir.

1- Olay1 (nokta) projenin başlangıcını temsil eder 1- Olay1 (nokta) projenin başlangıcını temsil eder ve kendisinden önce herhangi bir faaliyet ve kendisinden önce herhangi bir faaliyet yoktur.yoktur.

2-Projenin tamamlandığını temsil eden bitim 2-Projenin tamamlandığını temsil eden bitim noktası veya olay şebekeye dahil edilmelidir.noktası veya olay şebekeye dahil edilmelidir.

3-Şebekedeki olayların sayısı, başlangıçtan bitime 3-Şebekedeki olayların sayısı, başlangıçtan bitime doğru artar.doğru artar.

4-Şebekedeki herhangi bir faaliyet birden fazla OK 4-Şebekedeki herhangi bir faaliyet birden fazla OK ile temsil edilmemelidir.ile temsil edilmemelidir.

5-İki olay en fazla bir OK la birleştirilir.5-İki olay en fazla bir OK la birleştirilir.

5555

Kritik Yolun BulunmasıKritik Yolun Bulunması Dizayn edilen bir şebekede, Dizayn edilen bir şebekede, kritik yolu bulabilmek için kritik yolu bulabilmek için daha önce ele alınan daha önce ele alınan EN KISA EN KISA YOLYOL problemlerindeki işlemlere problemlerindeki işlemlere benzer bir yöntem benzer bir yöntem kullanılabilir.kullanılabilir.

Projenin başlangıcından Projenin başlangıcından bitimine giden farklı yollar bitimine giden farklı yollar bulunabilir. Bu yollar içinde bulunabilir. Bu yollar içinde en uzun olanına en uzun olanına kritik yolkritik yol denir ki, bu yol üzerinde denir ki, bu yol üzerinde olacak herhangi bir gecikme olacak herhangi bir gecikme bütün projenin tamamlanmasını bütün projenin tamamlanmasını geciktirir.geciktirir.

5656

Kritik Yol İşlemi ile projenin Kritik Yol İşlemi ile projenin başlangıcında en uzun yol bulunur başlangıcında en uzun yol bulunur ki, bu bize her bir faaliyet ile ki, bu bize her bir faaliyet ile başlanabilecek en erken zamanın başlanabilecek en erken zamanın bulunmasında yardımcı olur. Bitime bulunmasında yardımcı olur. Bitime gelindiğinde proje için gelindiğinde proje için EN KISA EN KISA ZAMANZAMAN bulunur. Sonra projenin bulunur. Sonra projenin bitim yerinde geriye doğru bitim yerinde geriye doğru gidilerek her olay için gidilerek her olay için EN UZUN EN UZUN YOLYOL bulunur ve faaliyet zamanları bulunur ve faaliyet zamanları buradaki geçen toplam sürelerden buradaki geçen toplam sürelerden çıkarılarak geliştirilen yol için çıkarılarak geliştirilen yol için EN GEÇ BİTİM ZAMANIEN GEÇ BİTİM ZAMANI bulunur. bulunur.

5757

ÖrnekÖrnek

9 Faaliyeti içeren bir projede öncelik 9 Faaliyeti içeren bir projede öncelik ilişkileri ve faaliyet zamanları aşağıdaki ilişkileri ve faaliyet zamanları aşağıdaki gibidir. gibidir.

Faaliyetle başlama Önceliği Süre (gün)

A --- 16

B ---- 20

C --- 30

D B 15

E B 10

F A 15

G D 3

H D 16

I E,F,G 12

5858

Bu Proje içinBu Proje içina)a) OK diyagramını çizinizOK diyagramını çizinizb)b) Her faaliyet için EN ERKEN Her faaliyet için EN ERKEN

BAŞLANGIÇ ZAMANI nı bulunuz.BAŞLANGIÇ ZAMANI nı bulunuz.c)c) Proje ek kısa zamanda Proje ek kısa zamanda

tamamlanırsa, her faaliyetin tamamlanırsa, her faaliyetin başlayabileceği EN KISA başlayabileceği EN KISA ZAMANIN bulunuz.ZAMANIN bulunuz.

d)d) Kritik yolu bulunuz.Kritik yolu bulunuz.

5959

ÇözümÇözüm

a)OK Diyagramıa)OK DiyagramıOK diyagramını çizmek için, olay dairelerini OK diyagramını çizmek için, olay dairelerini veya noktaları adlandırmak gerekir. veya noktaları adlandırmak gerekir. Nokta1 projenin başlangıcını gösterirken, Nokta1 projenin başlangıcını gösterirken, son nokta bitimi gösterir. Böylece son nokta bitimi gösterir. Böylece faaliyetler ,iki noktanın birleşimleri ile faaliyetler ,iki noktanın birleşimleri ile temsil edilirler.Şekil aşağıdadır.temsil edilirler.Şekil aşağıdadır.

1

2 5

3

4

6

A

F

BE

C

G I

H

D

6060

b)Her Faaliyet için En Erken Başlangıç Zamanının b)Her Faaliyet için En Erken Başlangıç Zamanının Bulunması.Bulunması.

Problemin b,c ve d şıkları için faaliyetlerin EN ERKEN ve EN GEÇ Problemin b,c ve d şıkları için faaliyetlerin EN ERKEN ve EN GEÇ başlama zamanlarını bulmak üzere her olayın EN ERKEN BİTİRME ve EN başlama zamanlarını bulmak üzere her olayın EN ERKEN BİTİRME ve EN GEÇ BİTİRME zamanlarının bulunması yerinde olur.Aşağıdaki tablo 7.4 GEÇ BİTİRME zamanlarının bulunması yerinde olur.Aşağıdaki tablo 7.4 bu bilgileri içermektedir. bu bilgileri içermektedir.OlayOlay Önce gelen En Erk Başlama Faaliyet En Erken Önce gelen En Erk Başlama Faaliyet En Erken BitirmeBitirme Olay Zamanı + Zamanı = ZamanıOlay Zamanı + Zamanı = Zamanı

11 - - - - - 0 - 0 22 1 0 1 0 16 16 16 16 33 1 0 1 0 20 20 20 20 44 3 3 20 20 15 15 3535

5 2 16 155 2 16 15 33 20 20 10 10 38 38 44 35 35 3 3

66 1 1 0 0 30 30 44 35 35 16 16 51 51

5 315 31 12 12

6161

Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi projenin Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi projenin EN ERKEN BİTİRİLME SÜRESİ 51 gündür..EN ERKEN BİTİRİLME SÜRESİ 51 gündür..Bu Bu anlamda Olay6 için en erken bitirme süresi anlamda Olay6 için en erken bitirme süresi 51 gündür. Buna göre projenin 51 günde 51 gündür. Buna göre projenin 51 günde bitirilmesi istenirse, her olayın bitirilmesi istenirse, her olayın EN GEÇ EN GEÇ BAŞLAMA ZAMANIBAŞLAMA ZAMANI aşağıdaki tablodaki gibi aşağıdaki tablodaki gibi hesaplanır.hesaplanır.

Bu tablonun geliştirilmesinde, son olaydan Bu tablonun geliştirilmesinde, son olaydan başlanarak ilk olaya doğru gelinerek başlanarak ilk olaya doğru gelinerek hesaplamalar yapılır. Eğer OLAY6 için hesaplamalar yapılır. Eğer OLAY6 için EN EN GEÇ BİTİRİLMEGEÇ BİTİRİLME süresi süresi EN KISAEN KISA, yani 51 gün , yani 51 gün ise, OLAY1 için ise, OLAY1 için EN GEÇ BAŞLAMA ZAMANIEN GEÇ BAŞLAMA ZAMANI 0(sıfır) olur. Tablo aşağıdaki gibidir.0(sıfır) olur. Tablo aşağıdaki gibidir.

6262

Tablo 7.5Tablo 7.5OlayOlay Sonra gelen En Geç Bitirme Faaliyet En Geç Başlama Sonra gelen En Geç Bitirme Faaliyet En Geç Başlama

Olay Zamanı - Zamanı = ZamanıOlay Zamanı - Zamanı = Zamanı

66 - 51 - 51 - - = = 515155 6 6 51 51 - 12 = - 12 =

393944 5 5 39 - 3 39 - 3

66 51 - 16 51 - 16 33 4 35 - 15 4 35 - 15

5 39 - 10 5 39 - 10 2 52 5 39 - 15 = 24 39 - 15 = 241 2 24 - 16 1 2 24 - 16 3 20 - 20 3 20 - 20 6 51 - 306 51 - 30

= 35

= 20

= 0

6363

Tablo 7.4 ve Tablo 7.5 in toplu Tablo 7.4 ve Tablo 7.5 in toplu olarak verildiği yeni tablo aşağıdaki olarak verildiği yeni tablo aşağıdaki

gibidir.gibidir.Olaylar Olaylar En Erken Bitirme Zamanı En Erken Bitirme Zamanı En Geç Başlama En Geç Başlama

ZamanıZamanı

11 00 0022 1616 242433 2020 202044 3535 353555 3838 39 3966 51 5151 51

İşte bu tabloda , proje için en erken bitirme zamanı ile İşte bu tabloda , proje için en erken bitirme zamanı ile en geç başlama(bitirme) zamanı aynı olan olaylar en geç başlama(bitirme) zamanı aynı olan olaylar KRİTİK YOLU oluştururlar. Buna göre tabloda 1,3,4,6 KRİTİK YOLU oluştururlar. Buna göre tabloda 1,3,4,6 olaylarının En Erken Bitirme Zamanları ile, En Geç olaylarının En Erken Bitirme Zamanları ile, En Geç Başlama Zamanları aynıdır.O halde bu projenin kritik Başlama Zamanları aynıdır.O halde bu projenin kritik yoluyolu

1 3 4 6 şeklindedir.. 1 3 4 6 şeklindedir..

6464

Önemli !!!!Önemli !!!!Projeleri değerlendirirken Olaylardan çok faaliyetler Projeleri değerlendirirken Olaylardan çok faaliyetler

teriminde özetlemek daha mantıklı olur. Zira bu durum teriminde özetlemek daha mantıklı olur. Zira bu durum bizeçeşitli faaliyetlerin AYLAK veya BOŞLUK bizeçeşitli faaliyetlerin AYLAK veya BOŞLUK zamanlarının bulunmasında yardımcı olur.zamanlarının bulunmasında yardımcı olur.

Her hangi bir faaliyet için boşluk yada aylak zamanı; Her hangi bir faaliyet için boşluk yada aylak zamanı; EN GEÇ EN GEÇ

BAŞLAMA ZAMANI ile EN ERKEN BAŞLAMA ZAMANI arasındaki BAŞLAMA ZAMANI ile EN ERKEN BAŞLAMA ZAMANI arasındaki fark olarak hesaplanabilir.fark olarak hesaplanabilir.

Bir başka ifade ile,EN GEÇ BİTİRME ZAMANI ile EN ERKEN Bir başka ifade ile,EN GEÇ BİTİRME ZAMANI ile EN ERKEN BİTİRME ZAMANI arasındaki farktır.BİTİRME ZAMANI arasındaki farktır.

Her hangi bir faaliyet için toplam boşluk, o faaliyetin Her hangi bir faaliyet için toplam boşluk, o faaliyetin en erken başlama zamanından sonra, projeyi en erken başlama zamanından sonra, projeyi geciktirmeden, o faaliyetin ne kadar geciktirmeden, o faaliyetin ne kadar geciktirilebileceğini de gösterir.geciktirilebileceğini de gösterir.

Aşağıdaki tablo bu boşlukları göstermektedir.Aşağıdaki tablo bu boşlukları göstermektedir.

6565

Tablo 7.7Tablo 7.7FaaliyetFaaliyet En erkenEn erken En Geç SüreEn Geç Süre Boşluk Boşluk

başlamabaşlama BaşlamaBaşlama (gün) (gün)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--1-21-2 0 0 24 24 16 16 8 81-31-3 0 0 20 20 20 20 0 01-61-6 0 0 51 51 30 30 21 212-52-5 16 16 39 15 8 39 15 83-4 203-4 20 35 35 15 15

0 03-5 3-5 20 39 20 39 10 10 9 94-54-5 35 35 39 39 3 3 1 14-64-6 35 35 51 51 16 16 0 05-65-6 38 38 51 51 12 1 12 1------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--Bu tabloya göre, 2-5 faaliyetinin , projenin tamamlama süresini Bu tabloya göre, 2-5 faaliyetinin , projenin tamamlama süresini

etkilemeden 8 gün geciktirilebileceği söylenebilir.etkilemeden 8 gün geciktirilebileceği söylenebilir.