BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam ilmu teknik elektro, banyak mempergunakan

perhitungan listrik. Perhitungan tersebut harus didasari pada

hukum, analisis, atau teori tertentu. Salah satu cara

penyelesaian hitung pada listrik yaitu dengan cara mengukur

rangkaian tersebut menggunakan alat. Akan tetapi, bagaimana

cara tanpa menggunakan alat?

Teorema-teorema atau kaidah dalam listrik membahas

perhitungan pada suatu rangkaian listrik. Di antaranya, dengan

menggunakan teorema-teorema dan penghitungan tertentu. Semua

ini ini tak lepas dari Hukum Ohm dan Hukum Kirchhoff. Dengan

adanya arus, tegangan, dan hambatan yang terjadi pada

rangkaian tersebut.

Beberapa langkah atau tahapan dalam penyederhanaan arus

searah dengan menggunakan Teorema Mesh dan menggunakan

determinan dalam penghitungan akhir serta pengenalan minior

dan kofaktor akan dibahas pada resume kali ini. Yaitu dengan

mengenal pengertian, sifat, dan perumusan yang digunakan.

B. Rumusan Penulisan

Perumusan pada resume ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimanan konsep penyederhanaan arus searah pada rangkaian

listrik?

2. Apa pengertian dari Teorema Mesh?

3. Bagaimana sifat dan penggunaan (penyelesaian) dari Teorema

Mesh dalam penyederhanaan arus searah?

4. Bagaimana bentuk penyelesaian sebuah persamaan dengan cara

determinan?

5. Bagaimana konsep dan bentuk minor dan kofaktor dalam

penyelesaian matriks dalam suatu persamaan?

C. Manfaat Penulisan

Adapun manfaat penulisan dari resume kali ini adalah

sebagai berikut.

1. Mengetahui konsep penyederhanaan arus searah pada rangkaian

listrik.

2. Mengetahui pengertian dari Teorema Mesh.

3. Mengetahui sifat dan penggunaan (penyelesaian) dari Teorema

Mesh dalam penyederhanaan arus searah.

4. Menegetahui bentuk penyelesaian sebuah persamaan dengan cara

determinan.

5. Mengetahui konsep dan bentuk minor dan kofaktor dalam

penyelesaian matriks dalam suatu persamaan.

D. Metode Pengumpulan Data

1. Metode Observasi (Pengamatan)

Data diambil dari pengamatan yang dilakukan oleh

penulis. Pengamatan dilakukan dengan cara mempelajari Mata

Kuliah Rangkaian Listrik II.

2. Studi Pustaka (Kepustakaan)

Dalam resume ini, penulis mengambil sumber-sumber dari

buku-buku yang berkaitan dengan resume ini. Akan tetapi,

penulis hanya mempelajari dan tidak menyalin isi dari buku

tersebut secara keseluruhan.

BAB II

TEOREMA MESH

A. Pengertian

Teorema Mesh merupakan suatu perhitungan pada rangkaian

listrik dengan menggunakan alur loop dengan jumlah sesuai

dengan rangkaian. Teori ini digunakan untuk mencari nilai arus

yang bekerja pada setiap tahanan atau pada percabangan

rangkaian.

Aturan-aturan dalam Teorema Mesh hampir sama dengan Hukum

Kirchhoff, yaitu dengan menggunakan pembagian arus pada titik-

titik percabangan. Akan tetapi, pada teori ini menggunakan

suatu persamaan-persamaan matematika pada masing-masing loop.

Untuk lebih jelas tentang rangkaian yang menggunakan

Teorema Mesh, dapat dilihat di bawah ini.

Penyederhanaan Arus Bolak-balikTheorema Arus MeshYang membedakan dari Simbol :

Note:

Biasanya yang dicari adalah Arus/Tegangan

Tidak pernah ditanya Z,

karena Z nya sudah diketahui.

Cara penyelesaian :1.) Tentukan arah arus

pada masing – masing loop, putaran arus sebaiknya searah jarum jam.

2.) Tentukan persamaan tegangan masing – masing loop.

3.)

Persamaan loop 1 :ΣV = 0VA - I1.Z1 - I1.Z3 + I2.Z3 = 0

Persamaan loop 2 :ΣV = 0-VB + I1.Z3 - I2.(Z2+Z3) = 0Contoh Soal :

1.)

Dari jaringan diatas ini Diketahui : Z1 = +j2, Z2 = -j, Z3 = 4VA = 2 ∠ 0º, VB = 6 ∠ 0ºDitanya :Tentukan besar arus yang mengalir disetiap loop?Jawab : VA = 2 ∠ 0º = 2 + j0Z1 = j2 = 0º + j2 = 2 ∠ 90ºZ2 = 2 + j3 Z = √22+32

= √13 ∠ θº = arc tg 32

Penyelesaian :1.) Tentukan arah arus pada masing – masing loop.2.) Tentukan persamaan tegangan masing – masing

loop.Loop 1

ΣV = 0VA - I1.Z1 - I1.Z3 + I2.Z3 = 02 ∠ 0º - I1.2j - I1(4) + I2(4) = 0 2 ∠ 0º – (4+2j) I1 + 4I2= 02 ∠ 0º = (4+2j) I1 - 4I2

Loop 2ΣV = 0-VB + I1.Z3 - I2.(Z2+Z3) = 0 -6 ∠ 0º + I1.(4) - I2.(-j + 4) = 0-6 ∠ 0º + 4I1 - (4 - j)I2 = 0-6 ∠ 0º = -4I1 + (4 - j)I2

3.) Matriks

[4+2j −4−4 4−j ] [I1I2] = [ 2∠0°−6∠0°]

I1 = [ 2+j0 −4−6+j0 4−j][4+2j −4

−4 4−j ] = 2 (4−j)−(−6)(−4)

(4+2j)+ (4−j)−16 = −16−2j

4j−2j²= −16−2j2+4j

I1 =16,1∠−172,87°4,47∠63,43° = 3,61 ∠ - 236, 30º atau 3,61º ∠ 123, 70º

I2 = [4+2j 2+j0

−4 −6+j0 ][4+2j −4

−4 4−j] = (4+2j) (−6)−(−4)(2)

(4+2j)+(4−j)−16 = −24−125+8

16−2j2+8j−4j−16 =

−16−12j4j−2j2 =

−16−12j2+4j = 20∠36,86

4,47∠63,434 = 4,447 ∠ -26,574

Contoh Soal :

2.)

Hitunglah besar I2 = ?Penyelesaian :

Diketahui : Z1 = 1 + j2Z2 = 4 – j8Z3 = +j6V1 = 8 ∠ 20ºV2 = 10 ∠ 0º

Jawab :(Z1 + Z2) I1 - Z2 .I2 = V1+ V2-( Z2) I1 + (Z2 + Z3) I1 = - V2

[ 5−6j −(4−j8)−(4−j8) (4−j2) ] [I1I2] = [8∠20°+10∠0°

−10∠0° ]

I2 = [Z1+Z2 V1+V2

−Z2 −V2 ][Z1+Z2 −Z2

−Z2 Z2+Z3]

I2 = [ 5−6j 8∠20°+10∠0°−(4−8j) −10 ∠0° ]

[ 5−6j −(4−j8)−(4−j8) (4−j2) ]

= −(1+j2) (10∠0° )+(4−j8)(8∠20°)

(1+j2) (4−j8)+(1+j2 ) (1+j6 )+(4−j8)(+j6)

I2= 42−j69,2056+j30 = 80,96∠−58,74°63,53∠28,18°

I2 =1,27∠-86,92º

I1 = [ 2+j0 −4−6+j0 4−j][4+2j −4

−4 4−j ] = 2 (4−j)−(−6)(−4)

(4+2j)+ (4−j)−16 = −16−2j

4j−2j²= −16−2j2+4j

PENYELESAIAN PERSAMAAN DENGAN

CARA DETERMINAN

A. Unsur-Unsur Matriks

1. Pengertian

Matriks adalah kumpulan angka-angka yang tersusun dalam

bentuk persegi panjang. Matriks dinyatakan dalam suatu baris

dan kolom dengan angka-angka tertentu. Misalnya matriks A di

bawah ini.

A=[a1.1 a1.2a2.1 a2.2 ]

2. Ketentuan Matriks

Sebuah matriks memiliki beberapa ketentuan di dalamnya,

berupa:

a. Nama dari suaru matriks biasanya dilambangkan dengan

menggunakan huruf kapital, seperti matriks A, B, C, …, X,

dan sebagainya.

b. Jika suatu matriks mempunyai m baris dan n kolom, maka

matriks tersebut dikatakan mempunyai ordo m × n.

c. Baris pada suatu matriks adalah susunan bilangan yang

disusun secara mendatar atau horizontal.

d. Kolom pada suatu matriks adalah susunan bilangan yang

disusun secara tegak atau vertikal.

e. Elemen adalah suatu bilangan, baik real maupun kompleks,

yang merupakan unsur yang menyusun suatu matriks. Elemen

yang terletak pada baris kedua, kolom pertama disimbolkan

dengan a2,1.

Berikut penggamabaran baris, kolom, dan elemen pada suatu

matriks A berordo 3 × 3.

A=[a1.1 a1.2 a1.3a2.1 a2.2 a2.3a3.1 a3.2 a3.3 ]

Gambar 4.1 Ketentuaan sebuah matriks

Sumber: Dokumen penulis

Baris

B. Determinan

1. Pengertian

Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang

menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks

bujursangkar. Determinan ini terdiri dari baris dan kolom.

2. Pengoperasian Determinan

a. Matriks 2 × 2

Diketahui sebuah matriks berordo 2 × 2 di bawah ini.

Dengan jumlah 2 baris dan 2 kolom, mempunyai 4 elemen di

dalamnya.

A=[a1.1 a1.2a2.1 a2.2 ]

Maka, dapat dicari nilai determinan A atau ΔA:

ΔA = a1.1 . a2.2 – a1.2 . a2.1

b. Matriks 3 × 3

Diketahui sebuah matriks berordo 3 × 3 di bawah ini.

Dengan jumlah 3 baris dan 3 kolom, mempunyai 9 elemen di

dalamnya

A=[a1.1 a1.2 a1.3a2.1 a2.2 a2.3a3.1 a3.2 a3.3 ]

Maka, penyelesaian pada matriks tersebut adalah:

A=[a1.1 a1.2 a1.3a2.1 a2.2 a2.3a3.1 a3.2 a3.3 ]a1.1 a1.2

a2.1 a2.2a3.1 a2.3

ΔA = (a1.1.a2.2.a3.3 )+(a1.2.a2.3.a3.1)+(a1.3.a2.1.a2.3 )

−(a3.1.a2.2.a1.3)−(a3.2.a2.3.a1.1)−(a3.3.a2.1.a1.2)

3. Minor

Minor dari elemen (a2.3) dari determinan orde n

disimbolkan dengan (M2,3), merupakan suatu determinan yang

ordenya . Minor elemen M2,3 dari matriks A adalah:

M2.3=[a1.1 a1.2 a1.3a2.1 a2.2 a2.3a3.1 a3.2 a3.3 ]

M2.3=[a1.1 a1.2 a1.3a2.1 a2.2 a2.3a3.1 a3.2 a3.3 ]

Sehingga M2.3 adalah:

M2.3 artinya baris ke-2 dan

M2.3=[a1.1 a1.2a3.1 a3.2 ]

4. Kofaktor

Rumus dari kofaktor adalah:

Δm.n=(−1)(m+n).Mm,n

Kofaktor dari minor M3.1 dilambangkan Δ3.1 adalah:

Δ3.1=(−1 )(3+1).M3,1 = M3.1

Apabila pangkatnya genap, maka hasilnya positif (+). Begitu

juga sebaliknya apabila pangkatnya ganjil, maka hasilnya

negatif (–).∆3,1=(−1)3+1.M3,1=+M3,1

5. Bentuk Soal

Tentukan determinan dari matriks A dengan ekspansi baris 1

Jawab :

Jika pangkat genap maka hasilnya + begitu juga sebaliknya

Kumpulan Soal

1. Jelaskan pengertian dari matrix?Yang dimaksud dengan matrix adalah susunan bilangan ( elemen )yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentukpersegi panjang. Matriks di notasikan dengan huruf A,B,K danlainnya, banyaknya kolom dan baris pada suatu matriksmenentukan ukuran matriks tersebut yang disebut dengan ordomatriks.

2. Tentukan arus yang mengalir di tiap cabang !

Diketahui suatu rangkaian sebagai berikut

Loop I : abcd      V1     =   I1 R1 + ( I1 + I2 ) R3      30      =  4I1 + 3 ( I1 +I2 )      30      =  4I1 + 3I1 + 3I2      30      =  7I1 +3I2 ……………….. (1)Loop II : fedc

      V2 = I2 R2 + (I1 + I2) R3      40 = 4I2 + 3(I1 +I2)      40 = 4I2 + 3I1 + 3I2      40 = 3I1 + 7I2 ……………….. (2)

Dari persamaan (1) dan (2) :30 = 7I1 + 3I2     |x 3  | 21 I1 + 9 I2   = 9040 = 3I 1 + 7I 2 _  |x 7  | 21 I 1 + 49 I 2 = 280 _                                                - 40I2 = - 190I2 =   190 / 40   =   4,75 A……( 3)

Dari persamaan (3) didapat7 I1 + 3 I2       = 307 I1 + 3 (4,75) = 307 I1 + 14,25    = 307 I1   = 30 – 14,25 = 15,75 = 15,75 / 7 = 2,25 A

           i1 = I1  = 2,25 A           i2 = I2  = 4,75 A           i3 = i1   +      i2              = 2,25 A + 4,75 A              = 7 A

3. Berapakah determinan dari matrik A ?

[6 7 436

40

23]

∆A = [6 7 436

40

23]636

740

∆A = (6 . 4 . 3 + 7 . 2 . 6 + 4 . 3 . 0) – ( 6 . 4 . 4 + 0. 2 . 6 + 3 . 3 . 7) ∆A = (72 + 84 + 0) – ( 96 + 0 + 63)

∆A = 156 – 159 = -3

4. Hitung dan carilah determinan dan minor M22 dari matrik A !

[5 7 320

41

63 ]

Determinan

∆A = [5 7 320

41

63]5 72 40 1

∆A = (5 . 4 . 3 + 7 . 6 . 0 + 3 . 2 . 1) – (0 . 4 . 3 + 1 . 6 . 5 + 3 . 2 . 7)

∆A = ( 60 + 0 + 6) – (0 + 30 + 42)

∆A = 66 - 72

∆A = - 6

Minor M22

M22 = [5 7 320

41

63 ]

M22 = [5 7 320

41

63 ]

M22 = [5 30 3]

5. Carilah kofaktor dari minor M 11 dari matrik !

[3 7 652

30

41 ]

∆11 = (-1)1+1 M11 = + M11

∆11 = + [3 40 1]

DAFTAR PUSTAKA

Materi Mata Kuliah Rangkaian Listrik II.

Tanggal 12 September 2012 Pukul 10.00 – 12.00 WIB.

RANGKAIAN LISTRIK II

RESUME I

PENYEDERHANAAN ARUS SEARAH DAN PENYELESAIAN PERSAMAAN

DENGAN CARA DETERMINAN

Disusun untuk Memenuhi Tugas Resume

Mata Kuliah Rangkaian Listrik II

Universitas Negeri Jakarta

Semester 099

oleh,

Kelompok

Andita Ranni 5115127119

Fuad Hasan 5115127096

Bayu S.W 5115125363

Novalina Magdalena 5115127112

Nur Aliyudin 5115125368

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN TEKNIK ELEKTRO

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2013