introdução ao crescimento económico

Introducao ao Crescimento Economico∗

Antonio Neto

Faculdade de Economia da Universidade do Porto2010/2011

Este trabalho introduz a tematica de Crescimento Economico, os seus principais in-

dicadores e alguns modelos base necessarios a compreensao do fenomeno.

O capıtulo I esboca uma introducao generica, cobrindo temas como o Rendimento

per capita, a taxa de cambio, paridade de poderes de compra, entre outros. Discute-se

tambem as diferencas entre Crescimento Economico e Desenvolvimento Economico.

O capıtulo II expoe os primeiros modelos de crescimento economico, a saber: o Modelo

de Harrod, o Modelo de Solow (sem progresso tecnico) e o Modelo de Kaldor. Sao

derivadas as principais equacoes e apresentados os graficos chave em cada modelo.

O capıtulo III retrata o modelo de Solow com progresso tecnico e utiliza-se a funcao

producao Cobb-Douglas a tıtulo de exemplo.

O capıtulo seguinte esta dividido em tres partes. A primeira diz respeito a contabili-

dade do crescimento; a segunda aos factos estilizados de Kaldor; e a terceira confronta o

modelo de Solow com progresso tecnico com estes mesmos factos estilizados.

O capıtulo V debate a problematica da convergencia. Distinguem-se conceitos como

convergencia absoluta de condicionada e analisam-se os resultados a luz do modelo de

Solow.

Finalmente, o capıtulo VI apresenta os primeiros modelos de crescimento endogeno.

Primeiro e feita uma nota introdutoria sobre a natureza do conhecimento. Depois sao

explicados e demonstrados quatro modelos: (a) modelo AK, (b) o primeiro modelo de

Romer; (c) o modelo de Lucas; e (d) o segundo modelo de Romer.

∗O material aqui apresentado e baseado num conjunto de apontamentos de aula e destina-se unicae exclusivamente para fins academicos. Tratando-se de um trabalho amador (versao I), nao esta livrede erros ou de qualquer outro tipo de falhas, pelas quais o seu autor nao se responsabiliza. O autorgostaria de agradecer a Pedro Gonzaga e Carlota Costa pelos apontamentos fornecidos. Email: [email protected]

1

1 Introducao

Definicao de conceito de Crescimento Economico (Kuznets): “o crescimento economico

de um paıs pode ser definido com o aumento a longo prazo da sua capacidade de oferecer

a populacao bens economicos cada vez mais diversificados, baseando-se esta capacidade

crescente numa tecnologia avancada e nos ajustamentos institucionais e ideologicos que

esta exige”.

Crescimento economico diz respeito ao aumento de longo prazo do produto (PIB) de

uma dada economia.

Analise standard: longo prazo:

• Ignora as flutuacoes do produto no curto prazo

• Concentra a atencao na evolucao do produto natural

– Nıvel de PIB a que corresponde uma taxa de inflacao estavel

Principais preocupacoes da teoria do crescimento economico:

• Razoes que explicam diferencas no espaco e no tempo nas taxas de crescimento do

PIB natural

• Identificacao de polıticas que possam alterar essa taxa de crescimento

Kuznets distingue nessa dinamica de longo prazo o perıodo do crescimento economico

“moderno” (CEM), datado de finais do seculo XVIII. Este CEM e visto como um aumento

ininterrupto do produto real per capital dum paıs – fenomeno recente que nasceu com a

Revolucao Industrial.

Em contraste com o “crescimento pre-moderno”:

• No mundo pre-industrial, o crescimento do produto real das economias era muitas

vezes acompanhado por um declınio do produto real per capita dos seus habitantes;

• A prosperidade da economia provocava aumento da populacao, o qual excedia os

progressos da producao, terminando em degradacao das condicoes de vida.

Os tracos diferenciadores do perıodo CEM, configurando elementos novos e aprofunda-

mento de tendencias antigas, sao segundo Kuznets, os seguintes:

• Elevadas taxas de crescimento do produto per capita e da populacao;

• Elevada taxa de crescimento da produtividade;

• Ritmo elevado de transformacao estrutural da economia;

• Rapida transformacao de estruturas sociais;

2

• Expansao da economia-mundo

• Potencial nao generalizado da aplicacao da tecnologia

O aumento secular da produtividade e dos nıveis de bem-estar e demonstrado por J.

Bradford DeLong. Desta analise conclui-se que:

• Os nıveis de produtividade e de padrao de vida do coracao industrializado da econo-

mia mundial intensificaram-se fortemente nos seculos XIX e XX;

• O mundo tornou-se, porem, mais desigual;

• Os padroes de vida da populacao dos paıses mais pobres melhoram mas o desvio

face as nacoes mais avancadas aumentou;

• Seculo XIX – nıvel de vida do habitante no paıs “medio”: ½ do lıder;

• Actualmente – 1/6

Uma das principais caracterısticas do crescimento economico e que este e cumulativo: pe-

quenas diferencas na taxa de crescimento anual podem traduzir-se em grandes diferencas

de nıvel de vida ao fim de algumas decadas. E facil calcular quanto tempo e necessario

para que o produto real per capita duplique:

• Lei dos 70 – postula que o tempo que certa variavel necessita para duplicar o seu

valor se obtem, aproximadamente, dividindo o nº 70 pela taxa de crescimento da

variavel;

A taxa de variacao no produto nacional/interno bruto constitui o indicador utilizado na

informacao economica para medir a dinamica de crescimento economico das economias.

No entanto, por razoes de eficiencia e bem-estar, e necessario que se desconte na variacao

do produto o que resulta do simples aumento demografico ou do numero de trabalhadores.

Assim sendo, chegamos as taxas de variacao do produto por habitante ou do produto

por trabalhador como as medidas adequadas para avaliar o comportamento dinamico,

respectivamente, do nıvel de bem-estar material e do nıvel de eficiencia.

Produto/Rendimento por habitante (em termos estaticos) – RPC:

Y

N=

PNB(ouPIB)

PopulacaoResidente

Seja a expressao seguinte a funcao que descreve o crescimento exponencial do produto

per capita:

Yt = Y0eyt

Logaritmizando, temos:

3

yt =(lnyt − lny0)

t

1.1 Crıticas internas ao indicador RPC

1. Prende-se sobretudo com as insuficiencias de medida do produto.

2. A medicao de aspectos de bem-estar material que nao resultam de operacoes de

mercado continua a nao ser satisfatoria, gerando expectativas de aperfeicoamento

em domınios como a depreciacao dos recursos naturais, o ambiente, o tempo de

lazer e o trabalho nao remunerado.

(a) Nao passam pelo mercado ou em relacao as quais e difıcil atribuir um lugar

no sistema de precos;

3. A medida do contributo dos servicos publicos como a educacao e a saude para o

produto continua a padecer da limitacao de se basear numa medida de input e nao

output desses servicos

(a) Nao existe uma medida realista da produtividade desses servicos.

4. Os dados sao publicados com desfasamento temporal e sujeitos a revisoes e lacunas

ou erros que surgem devido a economia paralela (informal e subterranea), a escassez

de fontes e aos erros de medida:

(a) Preferencia pela analise das taxas de variacao percentual a analise dos nıveis

das variaveis;

5. O calculo do PIB per capita de um dado paıs a precos constantes de um ano

base constituiu uma aproximacao grosseira a medida da materializacao do produto.

Afinal, podemos falar de tantos valores dessa variavel em termos reais quantos os

sistemas de precos e correspondentes deflatores que utilizarmos no seu calculo.

1.1.1 Desafios a melhoria. . .

Desafios a melhoria da qualidade da medida do produto:

• A medida do produto nos servicos;

• A emergencia de novos produtos e a reorganizacao do tempo individual;

• Melhorias de qualidade de produto existentes;

• Mudanca tecnologica e a sua evolucao;

4

• A intensificacao da globalizacao e do comercio livre (menos registos);

• A inovacao nos sistemas financeiros;

• As contas do capital e a medida dos investimentos intangıveis (software e conheci-

mento);

• Demografia e envelhecimento;

1.2 Crıticas externa do indicador

• Pressupoe que ha aspectos do bem-estar individual descritos por variaveis que nao

estao necessariamente correlacionadas com o produto per capita;

• Incapacidade de medida dos aspectos normativos.

1.3 Metodos de comparacao internacional de produto per capita

1.3.1 Taxa de Cambio simples

Se “E” representa o nº de unidades de moeda nacional “A” que e necessario para comprar

1 unidade de moeda internacional “B” no mercado cambial -¿ ao incerto, e PIBpcpaısA cor-

responder ao PIBpc do paıs A, entao o PIBpcpaısA em moeda de “B” e igual aPIBpcpaısA

E,

que e comparavel com PIBpcpaısB em moeda de “B”.

Se “E” representa o numero de unidades de moeda internacional “B” que uma unidade

de moeda nacional “A” pode adquirir no mercado cambial -¿ ao certo, entao: PIBpcpaısA

em moeda de “B” e igual a PIBpcpaısA ∗E, que e comparavel com PIBpc de B em moeda

B.

1.3.2 Taxa de cambio ajustada (metodo de Altas)

Corrige os diferenciais de inflacao existentes entre os paıses cujos PIBpc se pretendem

homogeneizar. Substituiu-se a taxa de cambio Et por uma taxa E∗t que tem em conta os

diferenciais de inflacao para os ultimos dois anos.

E∗t =

1

3

[Et−2

(PtPt−2/

PUStPUSt−2

)+ Et−1

(PtPt−1/

PUStPUSt−1

)+ Et

]Medida aritmetica entre a taxa de cambio de um dado ano e as taxas de cambio dos

dois anos imediatamente anteriores, ajustadas pelos diferenciais de inflacao entre o paıs

de calculo e um ındice representativo de inflacao internacional, sendo o paıs de referencia

da taxa de inflacao os EUA.

As taxas de cambio simples ou ajustadas sao influenciadas por uma diversidade de

factores que nao traduzem as diferencas de bem-estar individual. As diferencas de nıveis

5

gerais de precos entre duas economias sao essencialmente explicadas pelas diferencas de

precos dos NTG (bens e servicos nao transacionaveis) que nao sao reflectidos nas taxas

de cambio.

1.3.3 Paridade de poder de comprar (PPC)

A PPC entre uma moeda A e o dolar representa o numero de unidades de moeda A que

e necessario possuir, no paıs A, para assegurar a aquisicao da mesma quantidade de bens

e servicos que 1 dolar pode adquirir nos EUA. Corresponde ao poder de compra relativo

de diferentes moedas sobre bens e servicos equivalentes. A PPC traduz uma equivalencia

de poder de compra:

PIBApc (PPC) =

PIBApcmoedaA

PPCmoedaAdola

Para n bens e servicos e 2 paıses (A e EUA), o calculo da PPC e realizado com base

na previa composicao de um cabaz representativo e comparavel de bens e servicos em

cada paıs.

PPCmoedaAdolar (emArelativamenteaB) =

(∑QiP

Ai

)∑QiPUS

t

onde Qi e a media geometrica das quantidades consumidas da mercadoria I nos 2

paıses.

Dados necessarios ao calculo da PPC:

• Precos de artigos especıficos, cinco ou mais por cada categoria de despesa;

• Avaliacao da despesa por categorias basicas;

• Taxas de cambio para comparacao;

• Populacao para calculo de valores per capita;

• Indices de precos, taxas de crescimento PIB;

1.3.4 Outros indicadores

• Indice de desvio da taxa de cambio (IDTC):

Indice de desvio da taxa de cambio (IDTC) = PIBpcPPCPIBpcE

= PIBpcrealPIBpcnominal

= EPPC

onde E corresponde a taxa de cambio. Assim, PIBpcE corresponde ao valor do

PIBpc avaliado pela taxa de cambio.

Este ındice pode ser considerado como uma medida de enviesamento provocada pelo

uso da taxa de cambio como factor de conversao face ao PPC.

6

Note-se ainda que:

Nıvel Geral de precos (NGP)= 1IDTC

= PPCE

Assim, o uso da taxa de cambio corrente sub-estima o valor do PIBpc face a PPC

para os paıses menos desenvolvidos (IDTC¿1). Por outro lado, o uso da taxa de cambio

corrente sobre-estima o valor do PIBpc face a PPC para os paıses desenvolvidos (ICDT¡1).

1.4 Conclusoes do projecto de comparacoes internacionais

Para os paıses desenvolvidos o IDTC tende a ser menor que 1 e para os paıses menos

desenvolvidos maior que 1. Existe uma relacao negativa entre o produto por habitante

que aqui representa o nıvel de desenvolvimento economico e o ındice de desvio da taxa

de cambio. Existe uma relacao positiva/directa entre o NGP e o nıvel de desenvolvi-

mento economico. O NGP e normalmente inferior nos paıses menos desenvolvidos. Dois

principais efeitos sao:

• Efeito a): Dotacao relativa dos factores de producao:

– factor trabalho e mais abundante, logo os salarios tendem a ser mais baixos, o

que implica custos de producao mais baixos, logo precos mais baixos nos bens

nao transacionaveis.

∗ Excepcao: bens de investimento;

• Efeito b): Diferencial de produtividade entre menos e mais desenvolvidos:

– Tudo o resto constante, quanto maior a produtividade, menor o custo unitario.

Como tendencialmente os paıses mais desenvolvidos sao mais produtivos, por

este efeito os precos serao mais baixos nos paıses mais desenvolvidos.

No entanto, para os bens nao transacionaveis o diferencial de produtividade tende a ser

pouco importante e, por isso, repercute-se favoravelmente para esses bens atraves de

precos relativamente mais baixos nos paıses menos desenvolvidos. O efeito a) sobrepoe-se

ao efeito b).

Exemplo:

Se: PPCBrasilEUA = 66; PPCPort

EUA = 68; PPCPortBrasil =?{

68→ 66

x→ 100x = 103 e PPCPort

Brasil = 66∗10068

= 97

1.5 Crescimento versus Desenvolvimento

Partimos do princıpio de que o comportamento do produto per capita a longo prazo

traduz uma medida satisfatoria da evolucao do bem-estar material individual. No en-

tanto, existem alguns economistas que tem reservas quanto a utilizacao do crescimento

7

per capita como medida exclusiva do bem-estar individual. Crescimento economico e

desenvolvimento economico sao portanto conceitos diferentes.

A abordagem do crescimento consiste em admitir que o bem-estar individual pode

ser descrito pela funcao W = w(y) em que y representa o produto per capita ou a

produtividade. Nesta perspectiva, pressupoe-se que o crescimento economico per capita

estara positivamente correlacionado com a generalidade das variaveis influenciadoras do

bem-estar individual.

A logica do desenvolvimento economico evoluiu segundo outros pressupostos:

• Reconhecimento de que a correlacao entre os ritmos de crescimento per capita e a

melhoria de outros componentes de bem estar individual nao e perfeita:

– Construcao de outras medidas/indicadores mais complexos de bem-estar indi-

vidual, uns integrando no seu seio o produto per capita, outros nao integrando

o produto per capita.

• “A medida do desenvolvimento nao deve consistir na quantificacao dos meios colo-

cados a disposicao dos indivıduos, mas antes da satisfacao que retiram desses meios”

– means versus achivements ;

Crescimento:

• Em termos normativos: aumento do produto ou do produto por habitante, isto e,

da riqueza de um pais;

• Em termos analıticos/estruturalistas: reproducao alargada de um sistema economico

sem alteracao significativa do modo de funcionamento do sistema;

Desenvolvimento:

• Em termos normativos: aumento do nıvel de riqueza, mas tambem do bem-estar

das populacoes e da equidade na distribuicao do rendimento, ou seja, para alem do

aumento da riqueza e necessario atingirem-se outros fins sociais;

• Em termos analıticos/estruturalistas: conjunto de alteracoes ou transformacoes do

modo de funcionamento desse sistema ao longo do tempo e que sao necessarios para

o crescimento se efectuar;

1.5.1 Como medir o desenvolvimento?

• Concepcao analıtica: o conceito de desenvolvimento visa apreender a complexidade

estrutural e a capacidade de mudanca estrutural Indicadores de mudanca estrutural:

estrutura do PIB, do consumo, do emprego, etc.

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• Concepcao normativa: o conceito de desenvolvimento visa apreender o bem-estar

das populacoes em varias vertentes:

– Bem-estar material/nıvel de vida – RPC

– Equidade na distribuicao do rendimento

∗ Coeficiente de Gini (mede a desigualdade na distribuicao do rendimento,

ou seja, mede a dispersao do rendimento em relacao a uma recta de

equidade absoluta)

– Satisfacao das necessidades basicas associadas a ideia de pobreza absoluta:

indicadores nao economicos, sociais e fısicos;

– Outros: indicadores de Desenvolvimento Humano das Nacoes Unidas (IDH)

IDH: qualquer que seja o estadio de desenvolvimento, 3 condicoes essenciais devem ser

realizadas: (a) Viver muito tempo e de boa saude; (b) Adquirir um saber; (c) Ter acesso

aos recursos necessarios para usufruir de um nıvel de vida conveniente;

IDH=f(saude, educacao, rendimento)=f(esperanca media de vida a nascenca, alfabet-

izacao + instrucao, rendimento per capita)

Corresponde, por isso, a uma medida aritmetica de ındices para as variaveis indepen-

dentes da funcao utilidade.

Wi = w(IDHi)

onde:

IDHi =1

3(Ii1 + Ii2 + Ii3)

e:

Indice de dimensao i (Ii) = (valor efectivo i - valor mınimo i)/(valor maximo i - valor

mınimo i).

Neste caso, temos que:

• Ii1: ındice de esperanca media de vida a nascenca;

• Ii2 = 23Ii21 + 1

3Ii22: ındice de educacao

– Ii21– ındice de alfabetizacao dos adultos;

– Ii22– ındice de escolarizacao bruta;

• Ii3– ındice de rendimento/produto per capita

9

No calculo do Ii3 utilizam-se os logaritmos dos valores PIBpcPPC , exprimindo uma desval-

orizacao tendencial do rendimento. Ao utilizarmos os valores em logaritmos, estamos a

contribui para que as disparidades de desenvolvimento, quando medidas pelo IDH, sejam

muito menos pronunciadas do que as disparidades de PIBpcPPC .

Conclusoes deste ındice: existe uma forte correlacao entre o IDH e o PIBpcPPC .

1.5.2 Distribuicao do rendimento

• Pessoal – entre grupos fısicos de populacao ou entre grupos sociais

– Mais relevante;

• Factorial/funcional – entre os factores de producao (trabalho e capital);

Medidas de desigualdade na distribuicao do rendimento:

• Pobreza absoluta – percentagem de indivıduos que fica aquem de um limiar de

pobreza absoluta;

• Pobreza relativa – tem em consideracao a sociedade em que esta inserida.

– Podemos ter pobreza absoluta ¿ limiar da pobreza, e o paıs continuar a ser

pobre relativamente

• Desigualdade relativa:

– Comparacao entre os extremos da populacao. Ex. % de rendimento detido

pelos 20% mais ricos a dividir pela % de rendimento detida pelos 20% mais

pobres;

– Curva de Lorenz – confronta a % de rendimento acumulada com a % da pop-

ulacao acumulada;

– Coeficiente de Gini – mede o desvio da curva de Lorenz em relacao a situacao

ideal de equidade absoluta; Varia entre 0 (equidade absoluta) e 1 (desigualdade

absoluta);

Relacao entre crescimento e equidade:

• Abordagem normativa – nıvel de desenvolvimento economico como funcao do nıvel

de desigualdade do mesmo;

• Abordagem estruturalista – discute-se se a evolucao da desigualdade esta correla-

cionada e em que medida com o nıvel de desenvolvimento economico;

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– Curva de Kuznets ou hipotese do U-invertido: nos estagios iniciais de de-

senvolvimento economico, o crescimento economico e acompanhado de um

agravamento da desigualdade, enquanto que a partir de determinado limiar de

desenvolvimento economico essa tendencia e invertida;

– “Um qualquer perıodo longo implica uma interacao entre mudancas tecnologicas

e inovacao e nao apenas com alteracoes institucionais mas tambem com mu-

dancas nas crencas geradas pelas sociedades que nele participam”.

Conclusoes das duas abordagens:

• Explicacao integrada do crescimento economico de longo prazo nas suas compo-

nentes de crescimento economico per capita e factores que o determinam;

• Mudanca estrutural e inovacao como tracos distintos do desempenho diferenciado

de longo prazo que o capitalismo reveste face a outros sistemas de organizacao

economica e social.

1.6 Convergencia

As evidencias de longa duracao mostram que o agravamento das disparidades do produto

per capita a nıvel mundial constitui um traco distintivo do crescimento economico mod-

erno. Uma questao muito relevante, do ponto de vista do crescimento economico, consiste

em saber se as disparidades se acentuam ou tenderao a desaparecer. Sera que o nıvel de

rendimento per capita das diferentes economias tendera a convergir ou a divergir? En-

quanto que umas economias mantiveram sensivelmente a distancia relativa que as separa

dos EUA (India, Paquistao), outras aproximaram-se significativamente da economia lıder

(Japao, Coreia do Sul). Por outro lado, outras economias viram aumentar drasticamente

o seu atraso (Nigeria, Chade);

• Convergencia sigma – como tem evoluıdo a dispersao dos rendimentos per capita

nacionais a escala internacional?

• Convergencia beta – sera que o ritmo de crescimento de uma economia esta associ-

ada ao seu nıvel de desenvolvimento inicial?

– Utiliza-se como medida de dispersao a variancia e o desvio padrao;

A plena compreensao dos ritmos de evolucao da moderna teoria de crescimento exige

uma periodizacao cuidada dos seus principais contributos, a qual deve ir alem do simples

reconhecimento de que o modelo de Solow constituiu o modelo estruturador de qualquer

manual de teoria do crescimento. Quer o proprio modelo de Solow quer a nova teoria

do crescimento (endogeno) para serem plenamente entendidos, exigem a remissao para

11

contributos anteriores. Entre estes, os economistas classicos (Smith, Malthus e Ricardo)

e a dinamizacao da teoria Keynesiana (Harrod) sao referencias obrigatorias para a devida

contextualizacao das teorias.

1.7 Exercıcio

Variavel Dinamarca RomeniaPIBpc nominal, US$ 47 793 4575PPC para PIB 8,52 1,42

PPC para “Maquinas e Equipamentos” 7,59 3,24Taxa de cambio 5,99 2,91

Despesa nominal per capita em “Maquinas eEquipamentos” US$

3614 511

Table 1: Exercıcio

1. O NGP da Romenia equivale a 34,31% do NGP da Dinamarca;

2. Para a Romenia, o preco absoluto de “Maquinas e Equipamentos” e equivalente a

111,34% do preco nos EUA;

3. Para a Dinamarca, a despesa real em “Maquina e Equipamentos” corresponde a

8,49% do PIB

4. Na Romenia, o preco relativo da categoria “Maquinas e Equipamentos” e 2,28.

Resolucao:

1.

NGP entre Romenia e EUA = PPCglobale

= 1,422,91

= 0, 48797

NGP entre Dinamarca e EUA = 8,525,99

= 1, 42237

Assim, NGP entre Romenia e Dinamarca:

0, 48797 → 1, 42237

x −→ 1−→ x =

0, 48797

14, 2237= 0, 34306

2.

PPC ”Maq e Equip” Romenia

e=

3, 24

2, 91= 1, 1134

3.

12

Desp ”Maq e Equip” Dinamarca

PPC ”Maq e Equip”

Desp Global Dinamarca

PPC PIB

=

Despesa nominal︷︸︸︷Desp ”Maq e Equip” Dinamarca

Desp Global Dinamarca

PPC PIB

PPC ”Maq e Equip”

3614

47793

8, 52

7, 59= 0, 084883

4.

Preco relativo ”Maq e Equip” Romenia =PPC ”Maq e Equip”Romenia

PPC PIB=

3,241,42

= 2, 28.

13

2 Equilıbrio Dinamico: do debate inicial ate ao mod-

elo classico

• Modelos formais que procuram analisar o equilıbrio e determinar as fontes de cresci-

mento economico.

– Confrontar os resultados do modelo com a evidencia empırica

∗ Permite-nos saber se os modelos sao robustos ou nao

• Apostam nas relacoes entre agregados macroeconomicos como o produto, capital,

populacao, etc.;

• E uma analise ao longo do tempo

– Macroeconomia dinamica – tem em conta as fases de crescimento dos agregados

macroeconomicos:

∗ Y corresponde ao rendimento (=produto) e y a taxa de crescimento

∗ K corresponde stock de capital e k a taxa de crescimento

∗ N corresponde a populacao e n a taxa de crescimento =

· Taxa de crescimento da populacao = taxa de natalidade – taxa de

mortalidade

2 Questoes fundamentais:

1. Qual a taxa de crescimento maxima que uma economia pode atingir – isto e, o

produto potencial – e de que grandezas depende?

2. Sera que a taxa de crescimento de equilıbrio de longo prazo e de pleno emprego?

Keynesianos – factores de producao complementares ou quase complementares, o que

implica uma grande rigidez tecnologica. Neste caso:

• Precos e salarios rıgidos a baixa

• So por acaso o equilıbrio dinamico de longo prazo sera de pleno emprego

Versus

Neoclassicos – factores de producao sao substitutos – flexibilidade tecnologica

• Precos e salarios sao flexıveis

• Equilıbrio dinamico de longo prazo e possıvel com pleno emprego e tende a ser

estavel.

14

Keynes (1936)

• Poupanca depende do nıvel de rendimento da economia: S = sY

• Investimento depende do comportamento dos empresarios

– Expectativas/antecipacao sobre o estado futuro dos mercados e das condicoes

tecnologicas

∗ Incerteza

– Analise de curto-prazo (pouco relevante na analise de crescimento economico)

Versus

Harrod (1936)

• Procura integrar a analise Keynesiana numa perspectiva de crescimento economico

• Analisa o lado da procura com o lado da oferta

2.1 Modelo de Harrod (1939,1948)

2.1.1 Pressupostos

• Complementaridade de factores

• Ausencia de progresso tecnologico

2.1.2 Principais variaveis

No curto prazo, a dinamica do modelo assenta nas perspectivas dos empresarios. Estes

antecipam o estado futuro do mercado e decidem o volume de producao (planeada). Desta

forma, os empresarios fixam o nıvel de investimento planeado de acordo com o princıpio

do acelerador:

K

Y= v ←→ K = vY

dKw

dt= v

dYwdt←→ IW = vYW

onde Yw corresponde a taxa de variacao do produto prevista pelos empresarios. Con-

tudo, existe incerteza associada ao futuro:

investimento planeado 6= investimento efectivo

producao planeada 6= producao efectiva

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Assim:

Kt

Yt= vt

dKt

dt= vt

dYtdt←→ It = vtYt ←→ vt =

It

Yt

onde Yt corresponde a taxa de variacao efectiva do produto.

Como a igualdade entre Poupanca e Investimento se verifica sempre ex-post:

It = St ←→ vtY = sYt

Y

Yt=

s

st←→ Yt =

s

vt

Em curto prazo, se Yt = Yw (i.e., vt = v), a economia esta em equilıbrio dinamico,

ainda que instavel, pois enquanto a taxa de crescimento efectiva se mantiver igual a

garantida (i.e., a prevista pelos empresarios), as expectativas dos empresarios nao se

alteram e mantem o nıvel de investimento.

Caso Yt > Yw, (ou seja, vt < v), o nıvel de capital e insuficiente, conduzindo a uma

diminuicao involuntaria de stocks. Os empresarios iram aumentar o investimento/capital.

Contudo, este aumento de investimento ira provocar, por sua vez, um novo aumento

da taxa de crescimento efectiva. Assim sendo, o aumento de capital dos empresarios

nunca sera o necessario para igualar a taxa de crescimento prevista a taxa de crescimento

efectiva. Assistimos a uma expansao cumulativa, com tensoes inflacionistas.

Caso Yt < Yw, (ou seja, vt > v), e aplicado o raciocınio inverso. Existe um excesso de

capacidade produtiva bem como uma acumulacao involuntaria de stocks. Os empresarios

reduzem o investimento, o que por sua vez ira provocar uma nova reducao da taxa de

crescimento efectiva. Assistimos a uma depressao cumulativa.

No longo prazo, a taxa de crescimento efectiva estara sempre dependente do factor

trabalho. Por outras palavras, a taxa de crescimento efectiva nunca podera ultrapassar a

taxa de crescimento do factor trabalho (relembre-se que os factores sao complementares e,

por isso mesmo, por mais capital disponıvel, sem mao-de-obra nao se consegue produzir).

Neste caso, a procura de trabalho e dada por:

LDt = uYt

onde u e a quantidade de trabalho necessaria a producao de uma unidade de output.

A oferta de trabalho e dada por:

LSt = L0ent

16

onde n e a taxa de crescimento da oferta do factor trabalho e corresponde ao limite

maximo para a taxa de crescimento do produto.

Em equilıbrio dinamico de longo prazo, existe pleno emprego da capacidade produtiva

(Yn = Yt) e do trabalho disponıvel (LDt = LSt ). Assim:

uYt = L0ent ←→ dln (uYt)

dt=dln (L0e

nt)

dt←→ udYt/dt

uYt=L0ne

nt

L0ent←→ Yt = n

Logo:

Yn = Yt = n

Assumindo Yt = Yw, entao n = sv. Tendo em conta que os tres factores sao exogenos

(i.e., sao determinados por factores que estao “fora” do modelo, so por causalidade a

economia se encontra em equilıbrio dinamico).1

O que acontece nas situacoes de desequilıbrio?

• Se Yw > Yn, entao a taxa de crescimento efectiva e maior que a taxa de crescimento

do factor trabalho (Yt > Yn). Note-se que, para que a taxa de crescimento prevista

ser maior que a taxa de crescimento do factor trabalho, entao a taxa de crescimento

efectiva tera de ser superior a taxa de crescimento do factor trabalho. E uma

situacao temporaria que resulta apenas da absorcao de desemprego previamente

existente. Inevitavelmente, Yt sera inferior a Yw, o que conduzira a um desequilıbrio

auto-agravante no sentido da depressao.

• Yw < Yn, temos tres situacoes possıveis:

– Yt = Yn, o que equivale a um equilıbrio dinamico com desemprego involuntario;

– Yt > Yw, expansao com tensoes inflacionistas e tendencia para o pleno emprego;

– Yt < Yn, depressao cumulativa com desemprego crescente.

2.1.3 Conclusoes

O equilıbrio dinamico apenas ocorrera por acaso, sendo que a situacao normal e o dese-

quilıbrio. Isto e uma consequencia de s, v, e n serem constantes, rıgidos e independentes

entre si.

1Com progresso tecnico a Harrod, terıamos: LSt = L0e

nt e LDt = Ytue

xt

. Assim, Yn = n + x. E, porisso, a equacao de equilıbrio e dada por: n + x = s

v . Uma vez mais, todos os factores sao exogenos aomodelo, logo as conclusoes mantem-se.

17

2.2 Modelo de Solow (1956)

Segundo Robert Solow, a improbabilidade elevada de ocorrer um equilıbrio dinamico no

modelo de Harrod e uma consequencia do pressuposto da complementaridade dos factores.

Admitindo a sua substituibilidade, v podera variar e sera possıvel a convergencia para o

equilıbrio dinamico. Neste capıtulo faz-se uma breve descricao do modelo de Solow. No

capıtulo seguinte, deriva-se passo a passo o modelo de Solow com progresso tecnico.

2.2.1 Pressupostos

• Factores substituıveis e perfeitamente divisıveis;

• Rendimentos tecnicos constantes a escala;

F (λK, λL) = λF (K,L)

• Rendimentos marginais decrescentes associados a cada factor;

∂F∂K

> 0, ∂F∂L

> 0, ∂2F∂2K

< 0, ∂2F∂2L

< 0

Quando a quantidade utilizada de um factor tende para 0, uma variacao muita pe-

quena desse factor tem um impacto sobre a quantidade produzida que tende para infinito.

Da mesma forma forma, para quantidades infinitamente elevadas de um factor, o impacto

de uma variacao desse factor na quantidade de producao tende a ser nulo.

• Condicoes de Inada;

lim

K → 0

∂F∂K

= +∞, lim

L→ 0

∂F∂L

= +∞, lim

K →∞

∂F∂K

= 0, lim

L→∞

∂F∂L

= 0

• s = SY

, 0 ≤ s ≤ 1

• L (t) = L (0) ent −→ ∂L/∂tL

= nL0ent

L0ent= n

• Equilıbrio no Mercado:S (t) = Ib (t)


• Funcao producao;

Y (t) = F [K (t) , L (t)]

Na sua forma intensiva, temos:

y =Y

L=F [K (t) , L (t)]

L= F

(K

L,L

L

)= F (k, 1) = f(k)

18

• Investimento

Tendo em conta uma depreciacao do capital a taxa δ:

Ib (t) = I (t) + δK (t)

onde: I (t) = dK(t)dt

= K

2.2.3 Deducao do equilıbrio dinamico

1º Passo:

Ib = S

I + δK = S ←→ K = S − δK ↔ K = sF (K,L)− δK

2º Passo:

k =dk

dt=d (K/L)

dt=d(

KL0ent

)dt

=KL0e

nt −KnL0ent

(L0ent)2 =

K

L0ent− nK

L0ent

k =K

L0ent− nK

L=K

L− nk

Combinando o primeiro com o segundo passo, temos:

k =sF (K,L)− δK

L− nk = sf (k)− δk − nk

A Equacao Fundamental de Solow e dada por:

k = sf (k)− δ (k + n)

Figure 1: O modelo de Solow sem progresso tecnicoFonte: Barro e Sala-i-Martin (2004), pagina 29.

19

2.2.4 Conclusoes

O equilıbrio ocorre quando a variacao no tempo do capital por trabalhador e nula, isto

e, quando a poupanca por trabalhador iguala a depreciacao efectiva do stock de capital

por trabalhador.

k = 0←→ sf (k) = δ (k + n)

O equilıbrio dinamico e estavel.

• k < k∗, excesso de poupanca (em relacao ao investimento necessario para compensar

o aumento de trabalhadores, depreciacao de capital e avanco tecnologico).

– O capital torna-se relativamente mais barato -¿ utilizacao de tecnicas mais

capital intensivas -¿ acumulacao de capital por trabalhador eficiente ao nıvel

de steady-state;

• k > k∗, escassez de poupanca (raciocınio inverso);

Figure 2: Dinamica do modelo de SolowFonte: Barro e Sala-i-Martin (2004), pagina 38.

Em steady-state:

K =dK/dt

K=K

K=sF (K,L)− δK

K= sf (k)

L

K− δ = s

f (k)K/L

− δ = sf (k)L

K− δ =

20

sf (k)

k− δ = s

f (k)

k− δ + n− n = k + n = 0 + n = n

Aplicando um raciocınio identico para a taxa de crescimento:

Y =dY/dt

Y=Y

Y=

dy/dtL+ ydL/dt

yL=

0 + ynLoent

yL=ynL

yL= n

2.3 Modelo de Kaldor

2.3.1 Pressupostos

• Rigidez nos precos;

• Incerteza quanto ao futuro;

• Rigidez da razao capital-trabalho;

• Endogeneizacao da taxa media de poupanca

• Taxa de poupanca dos capitalistas (aferem lucros) diferente da taxa de poupanca

dos trabalhadores (auferem salarios)


Reparticao do rendimento:

Y = W

salarios

+ P

lucrossw = Sw

W

sp = SpP

0 < sw < s < sp < 1

s =S

Y=

(swW + spP )

Y=

(sw(Y − P ) + spP )

Y= sw + (sp − sw)

P

Y

A taxa media de poupanca depende da reparticao do rendimento.2 Uma vez que o

equilıbrio no mercado de bens e servicos implica:

I = S

I

Y=S

Y= s = sw + (sp − sw)

P

Y

2Esta e a funcao de poupanca classica. No modelo de Ricardo: s = PY , com sp = 1 e sw = 0.

21

Tomando a taxa de investimento como exogena, o equilıbrio no Mercado de Bens e

Servicos sera assegurado por uma determinada reparticao do rendimento PY

.

Contudo, existem limites razoaveis para a reparticao do rendimento PY

.

Figure 3: O modelo de Kaldor

Assim, a possibilidade de existir equilıbrio no Mercado de Bens e Servicos depende

da taxa de investimento exogena se situar no intervalo a < IY< b.

IY< a→ I

Y< s↔ I < S (desvio inflacionista)

IY> b→ I

Y> s↔ I > S (desvio deflacionista)

2.3.3 Notas finais

Considerando a equacao de Harrod (n = sv) e combinando-a com o Modelo de Kaldor,

temos:

nv = sw + (sp − sw)P

Y

Neste caso, ainda que sw, sp,v e n sejam rıgidos, e possıvel a convergencia para o

equilıbrio dinamico, desde que a taxa de investimento se situe entre determinados limites

a e b (ou, numa situacao menos realista, entre sw e sp).

22

3 Modelo de Solow com progresso tecnico

3.1 Pressupostos

• Semelhantes aos pressupostos indicados no modelo de Solow

• Introducao do progresso tecnico como:

– Variavel exogena, sem custo e inexplicada

– Neutral a Harrod

3.1.1 Notas sobre diferentes formas de Progresso Tecnico (PT):

• PT neutral a Hicks: afecta com a mesma intensidade a eficiencia do capital e do

trabalho

Y (t) = A (t)F [K (t) , L (t)]

• PT neutral a Harrod: afecta apenas a eficiencia do trabalho

Y (t) = [K (t) , A (t)L (t)]

• PT neutral a Solow: afeta apenas a eficiencia do capital

Y (t) = [A (t)K (t) , L (t)]

3.2 Principais variaveis

Equacoes iniciais:

• Funcao producao

Y = F [K,AL]

Na forma intensiva, temos:

Y

AL=F [K,AL]

AL= F

(K

AL,AL

AL

)= F

(k, 1)

= f(k)

Logo:

y = f(k)

onde y corresponde ao produto por unidade de trabalhador eficiente e k ao capital

por unidade de trabalho eficiente.

• Funcao poupanca

23

A poupanca e exogena, representando uma fraccao constante do rendimento:

s =S (t)

Y (t)

• Funcao trabalho

L(t) = L0ent

A dotacao de factor trabalho cresce, exogenamente, a taxa n.

∂L(t)⁄∂tL

=L

L=nL0e

nt

L0ent= n

• Funcao Progresso Tecnico

A(t) = A0ext

O progresso tecnico e exogeno, crescendo a uma taxa constante x.

∂A(t)⁄∂tA

=A

A=xA0e

xt

A0ext= x

3.3 Deducao do equilıbrio dinamico

• Equilıbrio no mercado de bens e servicos

Ib(t) = S(t)

Por outras palavras, o investimento bruto e igual a poupanca. Assim:

Primeiro passo:

Ib = S ↔ Ib = sY ↔ Ib = sF [K,AL]↔ Ib = sf(k)AL↔ IL + δK = sf(k)AL

K = sf(k)AL− δkAL↔ K = sf(k)A0extL0e

nt− δkA0extL0e

nt

K = A0extL0e

nt[sf(k)− δk]

Segundo passo:

K = kAL↔ K = kA0extL0e

nt

∂K/∂t = K = ∂[kA0extL0e

nt]/∂t = (∂k)/∂tA0extL0e

nt+kxA0extL0e

nt+knA0extL0e

nt

K = A0extL0e

nt[(∂k)

∂t+ kx+ kn]

Combinando o primeiro com o segundo passo:

A0extL0e

nt[sf(k)− δk] = A0extL0e

nt[(∂k)/∂t+ kx+ kn]

Obtemos a equacao fundamental:

∂k

∂t= k = sf(k)− (δ + x+ n)k

24

3.4 Conclusoes

Em steady-state, a poupanca por trabalhador eficiente iguala a depreciacao efectiva do

capital por trabalhador eficiente. Ou seja, o stock de capital por trabalhador eficiente e

constante ao longo do tempo).

k = 0←→ sf(k) = (δ + x+ n)k

Figure 4: O modelo de Solow com progresso tecnico

Propriedades do steady-state:

y e k sao constantes.

Y = K = x+ n

y = k = x

Exemplo de demonstracao:

y =∂y⁄∂ty

=∂(AY/LA)⁄∂t

AY/LA=∂(Ay)⁄∂t

Ay=∂(A0e

xty)⁄∂tA0exty

=xA0e

xty

A0exty= x

O equilıbrio dinamico e estavel. Se

• k < k∗, excesso de poupanca (em relacao ao investimento necessario para compensar

o aumento de trabalhadores, depreciacao de capital e avanco tecnologico).

– O capital torna-se relativamente mais barato -¿ utilizacao de tecnicas mais

capital intensivas -¿ acumulacao de capital por trabalhador eficiente ao nıvel

de steady-state;

• k > k∗, escassez de poupanca (raciocınio inverso);

25

3.5 A Funcao Producao Cobb-Douglas

A funcao producao Cobb-Douglas respeita as propriedades definidas para a funcao producao

do modelo de Solow.

Y = Kα (AL)1−α

y =Kα (AL)1−α

AL=

(K

AL

)α(AL

AL

)1−α

= kα

Em equilıbrio:

˚k = 0←→ skα = (n+ x+ δ) k ←→ s

n+ x+ δ= k1−α

k∗ =

(s

n+ x+ δ

) 11−α

Finalmente:

y = kα ←→ y∗ =

(s

n+ x+ δ

) α1−α

De notar que uma alteracao dos parametros influencia o nıvel das variaveis per capita,

mas nao as suas taxas de crescimento em steady-state.

26

4 Contabilidade do Crescimento e os factos estiliza-

dos de Kaldor

4.1 Contabilidade do Crescimento

Qual a importancia relativa de cada um dos factores (capital, trabalho e progresso tecnico)

para o crescimento do produto?

Funcao Producao Cobb-Douglas com Progresso tecnico neutral a Hicks:

Y = AKαL(1−α)

Apos logaritmos e derivacao da taxa de crescimento temos:

ln(y) = ln(AKαL(1−α)

)ln(y) = ln (A) + αln (K) + (1− α) ln(L)

dln(y)

dt=dln (A)

dt+ α

dln (K)

dt+ (1− α)

dln(L)

dt

dln(y)

dt=

dA/dt

A+ α

dK/dt

K+ (1− α)

dL/dt

L

Y

Y=A

A+ α

K

K+ (1− α)

L

L

Y = A+ αK + (1− α) L

Y = x+ αK + (1− α)n

onde α corresponde a elasticidade do produto em relacao ao capital; (1− α) a elasti-

cidade do produto em relacao ao trabalho; x a taxa de crescimento do progresso tecnico;

e n a taxa de crescimento do factor trabalho.

α pode ser estimado recorrendo a evidencia empırica ou a testes econometricos. Al-

ternativamente, α pode ser estimado tendo em conta que:

α =dY

dK

K

Y= PmgK

K

Y= r

K

Y

1− α =dY

dL

L

Y= PmgL

L

Y= w

K

Y

27

rKY

corresponde a quota dos rendimento do capital no rendimento total e wKY

a quota

dos rendimento do trabalho no rendimento total.

Nota: este metodo de estimacao de α parte da hipotese de que os factores sao remu-

nerados de acordo com a sua produtividade marginal.

O contributo do progresso tecnico e obtido residualmente:

Resıduo de Solow: x = y − αK − (1− α)n

Esta decomposicao tambem pode ser feita para valores per capita:

y = Akα −→ lny = lnA+ αlnk ←→ y = A+ αk ←→ y = x+ αk

Finalmente, esta mesma decomposicao tambem pode ser feita considerando o pro-

gresso tecnico Neutral a Harrod:

Y = Kα (AL)1−α

Y = (1− α)x+ αK + (1− α)n

4.2 Factos Estilizados de Kaldor

Os factos estilizados de Kaldor consistem em regularidade empıricas do crescimento das

economias desenvolvidas identificadas por Nicholas Kaldor na sua obra “The Theory of

Capital” em 1961. Sao eles:

1. Crescimento contınuo do produto per capita a uma taxa (relativamente) constante;

2. Crescimento contınuo do capital per capita a uma taxa constante;

3. O racio capital-produto tende a manter-se constante ao longo do tempo;

4. A taxa de remuneracao do capital tende a ser constante ao longo do tempo (ou sem

tendencia definida);

5. A taxa de remuneracao do trabalho (taxa de salario real) tende a aumentar secu-

larmente;

6. Estabilidade das quotas dos rendimentos do trabalho e do capital no rendimento

total;

28

4.3 Confronto dos factos estilizados de Kaldor com o Modelo

de Solow com progresso tecnico em steady-state

y = k = x

Em equilıbrio dinamico, o produto e capital per capita crescem ambos a uma taxa

constante. O 1º e 2º factos estilizados de Kaldor verificam-se no modelo de Solow com

progresso tecnico.

K = Y = n+ x −→ K − Y = n+ x− n− x = 0

O 3º facto estilizado de Kaldor verifica-se no modelo de Solow com progresso tecnico,

bem como no modelo de Solow sem progresso tecnico.

Os ultimos tres factos estilizados dizem respeito a remuneracao dos factores. Come-

cemos por analisar o ultimo: estabilidade das quotas dos rendimentos do capital e do

trabalho no rendimento total.

Quota do rendimento do capital: rKY

.

Uma vez que no modelo de Solow se verifica a estabilidade do racio KY

, a quota

dos rendimentos do capital sera estavel se r tambem for constante. Numa estrutura

perfeitamente concorrencial:

r = PmgK =∂Y

∂K=∂ALy

∂ALk=AL

AL

dy

dk=dy

dk

Em steady-state, k e constante, pelo que a derivada dydk

tambem e constante. Logo, r

e constante. Verifica-se, assim, o 4º facto estilizado de Kaldor.

Mais ainda, se r e constante e KY

tambem e constante, entao rKY

, a quota dos rendi-

mentos do capital no rendimento total, tambem sera constante. Entao:

rK

Y+ w

L

Y= 1

wL

Y= 1− r

K

Y︸︷︷︸constante

Logo, w LY

tambem e constante. Temos, por isso, estabilidade dos rendimentos do

trabalho no rendimento total. Verifica-se, por isso, o 6º facto estilizado de Kaldor no

modelo de Solow com progresso tecnico (e sem).

Finalmente, w LY

e constante, logo wY/L

tambem e constante.

Uma vez que o produto per capita cresce a taxa x, o salario real tambem tera que

crescer a taxa x. Tal equivale a dizer que o progresso tecnico apenas afecta a eficiencia

do factor trabalho e que os trabalhadores se apropriam do aumento da sua propria pro-

29

dutividade. O 5º facto estilizado de Kaldor tambem e captado, desta forma, pelo modelo

de Solow com progresso tecnico.

O modelo de Solow com progresso tecnico permite, entao, a extracao de conclusoes

sobre o crescimento das economias que podem ser verificadas empiricamente. Contudo,

uma vez que tais conclusoes dependem da consideracao do progresso tecnico (que e, no

modelo, uma variaveis exogena e nao explicada), existe uma limitacao significativa do

modelo de Solow enquanto interpretacao teorica do crescimento economico.

30

5 Problematica da Convergencia

No modelo de Solow, se duas economias forem estruturalmente semelhantes (s, n delta

e x iguais), uma diferenca nos seus nıveis de produto por trabalhador apenas podera

resultar de:

• Uma das economias nao se encontrar em steady-state;

• Ambas as economias nao se encontrarem em steady-state;

Figure 5: Modelo de Solow: convergencia absoluta

Neste caso, ambas as economias tenderao a convergir para o nıvel de steady-state e,

a que tiver um nıvel de capital por trabalhador eficiente mais baixo, apresenta uma taxa

de crescimento de k (e consequentemente de K) superior. Verifica-se a convergencia entre

economias / “catching-up”.

Esta convergencia resulta da existencia de rendimentos marginais decrescentes asso-

ciados ao capital: paıses com rendimentos per capita reduzidos tem um stock de capital

per capita reduzido e uma produtividade marginal associada ao capital superior, pelo que

tenderao a crescer mais rapidamente – hipotese de convergencia absoluta.

Convergencia absoluta:

• Hipotese de que as economias mais pobres crescem mais rapidamente do que as

economias mais ricas, sem quaisquer tipos de condicionalismo;

• Nao existe evidencia empırica que permita concluir inequivocamente pela con-

vergencia absoluta dos nıveis de rendimento entre os paıses;

Convergencia condicionada:

• Hipotese da existencia de convergencia em economias estruturalmente proximas;

31

• Ja e possıvel observar empiricamente alguma tendencia para a convergencia.

Vias para suportar teoricamente a evidencia empırica acerca da convergencia (no quadro

da matriz neoclassica):

• Criacao de mecanismos endogenos a economia que eliminem os rendimentos marginais

decrescentes do factor acumulavel;

– Modelos de crescimento endogeno;

• Analise de convergencia condicional a luz do Modelo de Solow

– Robert Barro;

Convergencia condicional de Rendimentos no Modelo de Solow

• Cada economia tende a convergir para o seu nıvel de steady-state;

• Economias estruturalmente diferentes podem ter diferentes nıveis de steady-state;

• Cada economia cresce tanto mais depressa quanto mais afastada se encontrar no

“seu” steady-state;

Desta forma, e possıvel que entre duas economias com estruturas diferentes, a mais rica

cresca a ritmos superiores, eliminando a resistencia de convergencia absoluta.

Figure 6: Modelo de Solow: convergencia condicionada:Fonte: Barro e Sala-i-Martin (2004), pagina 48.

Por exemplo, a Figura 6 retrata duas economias com diferentes taxas de poupanca

e, por isso, nıveis de steady-state diferentes. A economia mais pobre tem uma taxa de

32

crescimento do produto por trabalhador inferior, uma vez que se encontra mais proxima

do seu nıvel de steady-state.

Contudo, se a estrutura de duas economias for igual (n, s, delta e x iguais), entao

a taxa de crescimento do produto per capita sera necessariamente superior na economia

mais pobre.

5.1 Medidas de convergencia

5.1.1 Convergencia Beta (β)

• Existe uma correlacao negativa entre o rendimento per capita inicial e a taxa de

crescimento do rendimento per capita de um grupo de paıses ou regioes, num de-

terminado momento do tempo – analises “cross-section”.

– Logo, a convergencia Beta implica que as economias mais pobres crescam mais

rapidamente do que as economias mais ricas;

A existencia de convergencia β pode ser testada atraves do modelo econometrico:

yi = α + βyi + ui

onde:

yi corresponde a taxa de crescimento do produto per capita da economia i no perıodo

de analise (0, t)

yi corresponde ao nıvel do produto per capita no momento inicial do perıodo em

analise (0).

A hipotese da convergencia β e sustentavel se:

• β < 0

• β e estatisticamente significativo (teste de significancia individual).

Contudo, a nao rejeicao da hipotese nula β = 0 apenas permite concluir, para um de-

terminado nıvel de significancia, pela nao existencia de convergencia absoluta. Nada se

pode concluir quanto a convergencia condicionada.

Assim, existe tambem o conceito de convergencia condicionada a taxa de crescimento

do produto per capita de uma economia depende:

• do seu nıvel de produto per capita inicial;

• do quao afastado se encontra do seu nıvel de steady-state;

Por isso: duas economias apenas irao garantidamente convergir se forem estruturalmente

semelhantes (caso contrario, sera possıvel a economia mais rica crescer mais rapidamente

33

do que a mais pobre, desde que se encontre a uma maior distanica do seu nıvel de steady-

state).

Para testas a convergencia condicional, Barro criou um modelo em que o produto per

capita de steady-state depende de:

• taxa de poupanca;

• taxa de crescimento da oferta de trabalho;

• capital humano inicial;

• consumo publico;

• taxa de inflacao;

• ındices de manutencao da lei e da economia polıtica;

• ...

Neste caso, recorrendo a um modelo econometrico em que a taxa de crescimento do

produto depende nao so do nıvel inicial do produto per capita, mas tambem do nıvel de

produto de steady-state (ou de variaveis que influenciem o nıvel de steady-state, como a

taxa de poupanca), e possıvel testar a existencia de convergencia condicional.

No modelo econometrico: y = f (y, y∗)Existe convergencia condicional se:

• β < 0;

• β e estatisticamente significativo;

– β continua a ser o coeficiente de regressao do nıvel inicial do produto per

capita;

A utilizacao da convergencia β como medida de convergencia e, no entanto, criticada por

alguns autores (Friedman, Quah, ...) devido a sua sensibilidade a distorcoes da amostra.

5.1.2 Convergencia Sigma (σ)

• Diminuicao ao longo do tempo da dispersao dos nıveis de produto per capita de um

conjunto de economias (analise temporal);

A dispersao pode ser medida atraves de indicadores estatısticos como:

• Desvio padrao (corrigido);

• Coeficiente de variacao;

34

• Coeficiente de dispersao;

A tıtulo de exemplo, o desvio padrao (corrigido) e dado por:√∑(yi − y)2

n− 1=

√∑(y2i + y2 − 2yiy)

n− 1=

√(∑y2i + ny2 − 2y

∑yi)

n− 1=

√√√√(∑ y2i + n (

∑yi)

2

n2 − 2 (∑yi)n

∑yi

)n− 1

=

√(n∑y2i + (

∑yi)

2 − 2 (∑yi)

2)n (n− 1)√(

n∑y2i − (

∑yi)

2)n (n− 1)

onde yi corresponde ao logaritmo do produto per capita da economia e na dimensao

da amostra.

Existe uma relacao entre convergencia Beta e convergencia Sigma.

• Se uma economia mais pobre cresce mais rapidamente que uma economia mais rica

(convergencia Beta)

– A dispersao dos rendimentos per capita das duas economias diminuiu ao longo

do tempo (convergencia sigma);

Para haver convergencia Sigma, a convergencia Beta e uma condicao necessaria mas nao

suficiente.

(a) Convergencia beta e sigma (b) Nao ha convergencia beta nem sigma (c) Convergencia beta mas nao sigma

Figure 7: Convergencia beta e sigma - exemplos

35

6 Modelos de Crescimento Endogeno

6.1 Nota Introdutoria

O modelo de Solow com progresso tecnico permite retirar conclusoes sobre o crescimento

das economias que podem ser verificadas empiricamente. Contudo, uma vez que tais con-

clusoes dependem da consideracao do progresso tecnico (que e, no modelo, uma variavel

exogena e inexplicada), existe uma limitacao significativa do modelo de Solow enquanto

interpretacao teorica do crescimento economico.

Os modelos de crescimento endogeno surgem nos anos 80 e 90 como resposta as

hipoteses do Modelo Neoclassico:

• Explicacao do crescimento per capita atraves de mecanismos endogenos a economia;

• Incorporacao das constatacoes da nao convergencia dos rendimentos per capita,

atraves da criacao de mecanismos que eliminam os rendimentos marginais decres-

centes do factor acumulavel.

6.2 Modelo AK

6.2.1 Pressupostos

• Taxa de crescimento exogena;

• Ausencia de rendimentos marginais decrescentes para o factor acumulavel;

• K=stock de capital em sentido lato (fısico e humano);

• A oferta de trabalho e constante (n=0);

• A e uma variavel de nıvel tecnologico positiva e constante (a=0);


Funcao producao:

Y = AK↔y = Ak

Em equilıbrio:

Ib = S

K = sA− δk = KL→ ∂k

∂t= k = ∂KL

∂t→ ∂KL/∂t

k= k = ∂(KL)/∂t

KL

k = K − L︸︷︷︸0

= sA− δ

36

Assim, na ausencia de progresso tecnico exogeno (x = 0), o capital e produto per

capita crescem ao longo do tempo, desde que sA > δ.

Por outro lado, as taxas de crescimento de y e k dependem apenas do valor dos

parametros estruturais s, A e delta (e nao de k). Assim sendo, nao se preve nem con-

vergencia nem divergencia das economias.

(a) Grafico (b) Dinamica

Figure 8: O modelo AK

6.3 Conhecimento - nota introdutoria

Progresso tecnico em sentido lato – aumento da eficiencia na utilizacao dos factores

convencionais. Nos modelos de crescimento endogenos, o progresso tecnico sera endo-

geneizado atraves da consideracao do aumento do stock de conhecimento que surge entao

como motor de crescimento per capita.

O conhecimento como um bem publico (puro):

• Caracterıstica de nao exclusao;

• Caracterıstica da nao rivalidade

– Esta segunda caracterıstica torna o conhecimento numa fonte de rendimentos

crescentes e de crescimento per capita;

O aumento do stock de conhecimento pode ser levado a cabo por:

• Instituicoes publicas ou sem fins lucrativos;

• Empresas privadas – neste caso, o conhecimento tera de ter uma caracterıstica de

exclusao parcial (bem puro impuro) para que seja possıvel ao sector privado extrair,

temporariamente, os benefıcios decorrentes da utilizacao conhecimento novo.

37

Por fim, o conhecimento pode ser visto como uma fonte de externalidades marshalianas: o

investimento em conhecimento de cada produtor pode gerar, ao nıvel agregado e em con-

sequencia de accoes simultaneas de todos os produtores, efeitos externos na produtividade

de cada produtor que contrariem os rendimentos marginais decrescentes.

6.4 O primeiro modelo de Romer

6.4.1 Pressupostos

• Rendimentos decrescentes para cada um dos factores de producao;

• Externalidades decorrentes da difusao gratuita do conhecimento;

Nota: pelo facto de neste modelo o conhecimento se tratar de um bem publico puro, a

sua producao resulta de accoes nao deliberadas.

• “Learning-by-doing” – a criacao de conhecimento decorre da experiencia produtiva,

pelo que quanto maior for a formacao de capital maior e a eficiencia da firma.

• Conhecimento como bem gratuito

– Apenas existem custos de formacao de capital;


Funcao producao da firma:

Yi = F (Ki, AiLi)

Ai e o nıvel de conhecimento disponıvel para a firma i, que depende do valor do stock

de capital agregado:

A = B∑

Ki = BK

Yi = F (Ki, AiLi) = F (Ki, BKLi) = Kαi (BKLi)

(1−α) = Kαi (BnKiLi)

(1−α) = K1i (BnLi)

(1−α)

Quando as n firmas de uma economia investem, o stock de capital total de K aumenta

na mesma proporcao que o capital de cada uma das firmas. Com o aumento da experiencia

produtiva sao gerados novos conhecimentos, que sao imediatamente difundidos por toda

a economia, do que resulta um aumento de produtividade de todas as firmas.

Tendo em conta que:

38

• Existem rendimentos constantes a escala para os factores capital e trabalho (no seu

conjunto)

Yi = Z (Ki)α (BKLi)

1−α −→ α + 1− α = 1

• O crescimento da eficiencia do trabalho e igual ao crescimento do stock de capital

de cada firma;

A =1

A

dA

dt=

1

A

d (BNKi)

dt=

1

BNKi

BNdKi

dt=

1

Ki

Ki = Ki

Entao, o aumento do stock de capital de uma firma gera igual aumento da eficiencia

do factor trabalho (dado que todas as firmas investem), o que compensa exatamente os

rendimentos marginais decrescentes associados ao capital.


1−α = Z (Ki)α (BNKiLi)

1−α =

Kα+1−αi Z (BNLi)

1−α = KiZ (BNLi)1−α

6.4.3 Notas sobre o 1º Modelo de Romer:

• O crescimento das variaveis per capita nao dependem do seu nıvel;

• O stock de conhecimento e a variavel endogena cuja acumulacao explica o cresci-

mento per capita;

• O conhecimento e um bem puro que nao pode ser apropriado em exclusivo por

nenhuma empresa: inexistencia de poder de monopolio – cenario de concorrencia

perfeita;

6.4.4 Equilıbrio descentralizado versus Equilıbrio centralizado

A existencia de externalidades positivas associadas ao investimento fazem com que o

equilıbrio descentralizado nao corresponda a um optimo social, uma vez que a produ-

tividade marginal privada do capital e menor que a produtividade marginal ao nıvel

agregado.


1−α −→ 0 < α < 1

PmgKi =∂Yi∂Ki

= αZ (Ki)α−1 (BKLi)

1−α = αZ(BNKiLi)

1−α

K1−αi

= αZ (BNKi)1−α

onde αZ (BNKi)1−α corresponde a produtividade marginal privada do capital.

39

Por outro lado:

Y = NYi = NZ (Ki)α (BKLi)

1−α = NZ

(K

N

)α(BK

L

N

)1−α

N

NZKαK1−α (NL)1−α = ZK (BL)1−α

onde ZK (BL)1−α corresponde a produtividade marginal social do capital. Uma vez

que α < 1:

ZK (BL)1−α > αZ (BL)1−α

PmgK > PmgKi

6.5 O modelo de Lucas

6.5.1 Pressupostos

• Introducao de Capital Humano

– “Stock de conhecimentos susceptıveis de serem utilizados na producao e incor-

porados nos indivıduos” – factor de crescimento;


Sector de producao:

Y = ZKα(uhL)(1−α)hγa

onde:

u = fraccao do tempo dedicado a producao;

h = nıvel de capital humano detido por cada indivıduo;

ha = nıvel medio de capital humano;

A funcao de producao apresenta:

• Rendimentos decrescentes para o capital;

• Rendimentos decrescentes para o trabalho;

• Rendimentos constantes para o capital e trabalho;

No sector de producao de bens, a eficiencia do trabalho nao depende apenas do nıvel de

capital humano de cada indivıduo, mas tambem do nıvel medio de capital humano. Por

40

outras palavras, existem externalidades associadas ao capital humano, que tornam um in-

divıduo tanto mais eficiente quanto mais a economia for composta de pessoas qualificadas.

γ mede as forcas dessa externalidade.

Sector de Educacao:

H = B(1− u)H

H = B(1− u)

No sector de educacao, o capital humano utilizado para produzir o proprio capital hu-

mano nao esta sujeito aos rendimentos marginais decrescentes (note-se que H so depende

de u).

Em equilıbrio:

• Os indivıduos maximizam a sua utilidade inter-temporal, escolhendo a cada mo-

mento do tempo os nıveis optimos de consumo per capita e de tempo dedicado a producao,

com base na estrutura:

S = Ib ↔ Y − C = I + δK︸︷︷︸0

↔ K = Y − C

• As taxas de crescimento do produto e do capital sao iguais, do que resulta, em

equilıbrio:

Y = y = K = k = C = c =(1− α + γ)

(1− α)H

Passos:

• Pressupondo que L e constante e que, em equilıbrio dinamico, u nao pode variar.

• Logaritmizar a funcao e derivar em ordem ao tempo.

• Introduzindo a hipotese da homogeneidade dos agentes (ha = h), e tendo em conta

que Y = K, chegamos a expressao desejada.

Demonstracao:

Y = ZKα(uhL)(1−α)hγa

dlnY

dt=dlnZ

dt+αdlnK

dt+

(1− α) dln(uhL)

dt+γdlhadt

Y

Y=Z

Z+ α

K

K+ (1− α)

d(uhL)/dt

uhl+ γ

haha

41

Introduzindo a hipotese da homogeneidade dos agentes (ha = h), e tendo em conta

que Y = K, chegamos a expressao desejada.

Y = αK +(1− α)uLdh/dt

uLh+ γh

Y = αY + (1− α) h+ γh

Y (1− α) = (1− α + γ) H

Y =(1− α + γ)

(1− α)H

6.5.3 Notas finais sobre o modelo de Lucas

• A formacao de capital humano e a variavel endogena que permite explicar o cresci-

mento do produto per capita;

• A existencia de externalidades associadas a formacao do capital humano provocam

taxas de crescimento do produto e capital per capita superiores a taxa de cresci-

mento do capital humano;

Y = K > H ←→ (1− α + γ)

(1− α)H > H , se γ > 0

• O crescimento endogeno nao depende da existencia das externalidades, uma vez que

na sua ausencia a taxa de crescimento do produto e igual a taxa de crescimento do

capital humano. Para γ = 0, entao:

Y =(1− α)

(1− α)H = H

• As taxas de crescimento das variaveis per capita nao dependem do nıvel das variaveis.

Duas economias com diferentes nıvel de capital fısico e de capital humano, mas com

o mesmo racio HK

, tem taxas de crescimento identicas e mantem, ao longo do tempo,

o mesmo desnıvel do rendimento per capita;

• A solucao de equilıbrio descentralizado nao coincide com a solucao socialmente

optima, uma vez que quando cada indivıduo maximiza a sua utilidade e opta pela

parcela de tempo dedicada a formacao bruta de capital humano, nao tem em conta

a existencia de externalidades que aumentam a eficiencia de todos os indivıduos;

• O modelo de Solow pode ser visto como um caso particular do modelo de Lucas,

em que todo o tempo do trabalho seria dedicado a producao de bens:

42

H = B(1− 1)H = 0→ Y = y = K = k = C = c = 0

Relembre-se que o crescimento das variaveis per capita so pode ser atribuıdo a factores

exogenos no Modelo de Solow.

6.6 O segundo modelo de Romer

6.6.1 Nota introdutoria - criacao do conhecimento

A criacao de conhecimento resulta, em grande parte, do esforco deliberado de empresas

que pretendem deter algum poder de monopolio (de notar que no 1º Modelo de Romer o

conhecimento era apenas um “side product” da producao).

A criacao deliberada de conhecimento exige uma estrutura de mercado de concorrencia

perfeita e a consideracao da tecnologia como um bem publico impuro, que apesar de

manter a caracterıstica da nao rivalidade, apresenta uma exclusao parcial, que permite

a protecao dos benefıcios recolhidos da primeira utilizacao produtiva de uma descoberta

(ex. Patentes);

6.6.2 Pressupostos

O 2º modelo de Romer considera que a inovacao e feita atraves da diferenciacao horizontal:

aumento da diversidade de bens existentes na economia;


Fonte de crescimento endogeno: aumento do numero de bens de capital (o que implica

um aumento da divisao social e tecnica do trabalho);

A economia no modelo e composta por:

• Sector de bens finais

• Sector de bens intermedios

• Sector de producao de conhecimento (I&D)

Sector de bens finais

Sector perfeitamente concorrencial onde o output e produzido. Uma vez que cada

variedade de bens precisa de um bem de capital especıfico, o stock de capital agregado

nao e homogeneo.

Y = L(1−α−β)HBy

A∑(j=1)

xαj , L = L0

Uma vez que a quantidade oferecida de trabalho e fixa (L = L0), as taxas de cresci-

mento das variaveis coincidem com a taxa de crescimento das variaveis per capita.

43

HY - stock de capital humano utilizado na producao de bens finais. Note-se que: H =

Hy+HA, em que HA e o stock de capital humano utilizado na producao de conhecimentos.

Neste metodo, o stock de capital humano e tambem considerado fixo.

xj- quantidade de bens de capital da variedade j

A – numero de variedades de bens de capital num dado momento do tempo (ındice

do nıvel atual da tecnologia ou conhecimento).

Para um dado stock de conhecimentos A, a funcao producao rendimentos constantes

a escala:

1− α− β + β + α = 1

Se considerarmos x uma variavel contınua:


ˆ A

0

xαj dj

Sector de bens Intermedios

Sector em que as firmas produzem os bens de capital para vender no sector de bens

finais. Para produzir cada bem de capital especıfico, as firmas deste sector compram um

“design” ao sector de I&D, que lhes permite obter poder de monopolio.

Simplificacoes:

• Cada variedade de bens de capital e produzido na mesma quantidade: xj = x

– Para produzir cada variedade de bens de capital sao necessarios:

– O respectivo “design”; o N unidades de “capital primario” por cada unidade

de bem de capital;

• Stock de capital por variedade = nxj = nx

Dado que existem A variedade, o stock de capital agregado e dado por:

K = nAx↔ x =K

nA

x corresponde a quantidade utilizada de cada variedade de bens de capital no sector

de bens finais.

Sector de Producao de conhecimento

Sector onde os investigadores produzem novos conhecimentos que permitem a trans-

formacao de capital primario em novas variedades de bens de capital. Quando uma

descoberta e feita os investidores registam uma patente, que vendem ao sector de bens

intermedios.

A = πHAA

44

π – parametro de sucesso na investigacao;

HA- capital humano afecto a producao de conhecimento;

A- stock de conhecimento ja existente;

Externalidades da Actividade de Investigacao

• Externalidade intertemporal sobre a produtividade dos investigadores: uma vez

que a producao de novos conhecimentos (A) depende do stock de conhecimento

existente (A), a investigacao / producao de novos conhecimentos contribuiu para o

aumento da produtividade dos investigadores no futuro.

• Aumento na eficiencia na producao de bens em geral, que resulta da inovacao /

aumento das variedades de bens de capital (a externalidade mantem-se depois de o

prazo da patente terminar).

A

A= πHA

Neste caso, a tecnologia pode ser acumulada indefinidamente sem estar sujeita a

rendimentos marginais decrescentes (dado que a sua taxa de crescimento nao depende do

seu nıvel de capital inicial).

6.6.4 Resultados do Segundo Modelo de Romer

Sector de Bens finais


ˆ A

0

xαj dj

Sector de Bens Intermedios

K = nAx

Sector de Producao de conhecimento

A = πHAA


ˆ A

0

xαj dj = L(1−α−β)HBy [xαj ]A0 = L(1−α−β)HB

y Axα = L(1−α−β)HB

y A

(K

nA

)αA funcao producao do sector de bens finais pode ser reescrita como:

Y = n(−α)L(1−α−β)HBy A

(1−α)Kα

Na ausencia de tecnologia (A constante), a funcao producao tem rendimentos con-

stantes a escala para L, HY e K : 1− α− β + α + β = 1

45

Tomando L e HY como constantes, verifica-se que o aumento da tecnologia/inovacao

gera crescimento per capita e que compensa exatamente os rendimentos marginais decres-

centes do capital, dado que a funcao tem rendimentos constantes para A eK : 1−α+α = 1

6.6.5 Conclusoes do segundo modelo de Romer

• Um aumento de capital resultante do aumento da quantidade produzida de cada

variedade de bens de capital (variacao positiva de x e A mantem-se constante)

esta sujeito aos rendimentos marginais decrescentes. Desta forma, tornaria o cap-

ital relativamente mais caro e passariam a ser utilizados tecnicas mais intensivas

em trabalho (analogia com o modelo de Solow). O aumento/acumulacao de cap-

ital atraves do aumento da quantidade de cada variedade nao pode, entao, gerar

crescimento per capita em equilıbrio.

• Uma acumulacao de capital gerada por um aumento das variedades de bens de

capital (isto e, x mantem-se constante mas A aumenta) ja permite o crescimento

per capita. A inovacao e aumento da tecnologia (variacao positiva de A) traduzi-

dos numa maior variedade de bens de capital fomentam a divisao social e tecnica

do trabalho e aumentam a produtividade do capital, cujos rendimentos marginais

decrescentes sao eliminados.

A funcao de producao do sector de bens finais pode ainda ser reescrita como:

Y = n(−α)L(1−α−β)HBy A

(1−α)Kα

Nesta equacao verifica-se facilmente que o crescimento da tecnologia aumenta a pro-

dutividade do trabalho e capital humano, compensando os rendimentos decrescentes do

capital fısico. Esta situacao e analoga ao modelo de Solow com progresso tecnico, com a

diferenca de A ser exogeno e resultante do esforco deliberado de produzir conhecimento.

Em steady-state:

K =K

K= πHA

Y = πHA

Passos:

1) Logaritmizar a funcao producao e derivar em ordem ao tempo

2) Note que, por hipotese do modelo, L e HY sao constantes.

Demonstracao:

K = KK

= 1KhαdA

dt= 1

AhxhxA = A = πHA

Y = dlnYdt

= −αdln(h)dt

+ (1− α− β) dln(AL)dt

+ β dln(AHY )dt

+ αdlnKdt

46

Y = −αh+ (1− α− β)d(AL)/dtAL

+ βd(AHY )/dtHY A

+ αK

Por hipoteses do modelo: L e HY sao constantes, logo:

Y = (1− α− β)L

LA+ β

HY

HY

A+ αA

Y = (1− α− β) A+ βA+ αA = A = πHA

Como L e constante, as taxas de crescimento das variaveis correspondem as taxas de

crescimento das variaveis per capita.

Y = y = K = k = A = πHA

O valor optimo de HA e calculado a partir da maximizacao de uma funcao de utili-

dade inter-temporal e tendo em conta a relacao (K = Y − C) que permite aos agentes

economicos optar, a cada momento, pelos nıveis optimos do consumo e poupanca.

6.6.6 Notas finais

A funcao de producao de conhecimento no 2º modelo de Romer e dada por:

A = πHAA

A produtividade da investigacao (πHA) e diretamente proporcional ao stock de con-

hecimento existente. Isto implica que: (1) quanto mais ideias existirem para serem tra-

balhadas, mais facil e gerar novas ideias; (2) existe um universo infinito e bem distribuıdo

de ideias a espera de serem descobertas.

6.6.7 Crıtica de Charles Jones

Ao longo do tempo, e cada vez mais difıcil criar novos conhecimentos: as ideias mais

faceis sao descobertas primeiro e o universo de ideias potenciais e esgotavel.

Especificando a funcao producao de conhecimento de uma forma geral:

A = πHλAA

φ

onde:

λ = externalidade do pessoal afecto a investigacao;

φ = externalidade associada ao stock de ideias existentes;

Se: φ > 0 existe uma externalidade positiva (quanto maior o stock de ideias descober-

tas, maior a produtividade da investigacao;

Se: φ < 0 existe uma externalidade negativa (quanto maior o stock de ideias, mais

difıcil e criar ideias novas);

47

Uma vez mais, a taxa de crescimento da tecnologia e dada por:

A =A

A=πHλ

AAφ

A=πHλ

A

A1−φ

No longo prazo, A e constante, o que implica que: dlnAdt

= 0. Assim:

dlnπ

dt+λdln (HA)

dt+

[− (1− φ)

dlnA

dt

]= 0

λHa = (1− φ) A

A =λHa

(1− φ)

A taxa de crescimento do progresso tecnico depende, para alem da taxa de crescimento

do numero de investigadores, de λ e φ.

Se λ = 1 e φ = 0, entao A = πHA e A = HA

• Nao existe qualquer externalidade associada ao stock de ideias;

• A produtividade de um investigador e constante e independente do nıvel inicial do

stock de ideias;

• Se HA for constante, entao: A =πHλ

A

A1−φ −→ no longo prazo, A nao pode ser constante.

– A taxa de crescimento do progresso tecnico/do stock de ideias diminui ao longo

do tempo.

Se λ = 1 e φ = 1, entao A = πHAA e A = πHA

• Existe uma taxa de crescimento do progresso tecnico constante/sustentada bem

como um aumento da produtividade dos investigadores ao longo do tempo, ainda

que o numero de investigadores seja constante (i.e., HA = 0).

• Contudo, uma taxa de crescimento positiva do numero de trabalhadores e inves-

tigadores, ou seja, um aumento da dimensao da economia, gera um crescimento

infinito do stock de conhecimentos e do produto per capita no longo prazo.

– Inconsistente com a experiencia, que demonstra que nos ultimos 50 anos o

numero de investigadores cresceu a uma taxa superior do que a taxa de cresci-

mento economico

– λHa(1−φ)

= HA1−1

= HA0

=∞ −→ A =∞

∗ A hipotese de φ = 1 e, entao, bastante questionavel.

48

introdução ao crescimento económico

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