1. introdução: - ufpel

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS - UFPELINSTITUTO DE FÍSICA E MATEMÁTICADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA11100061 - CÁLCULO 1ASEMESTRE 2019/02 Profa.: Rejane Pergher

1. Introdução:

1.1 Números Reais R

Conjuntos numéricos:

- Números Naturais: N = 1,2,3, . . . - Números Inteiros: Z = . . . ,−2,−1,0,1,2, . . . - Números Racionais: Q = x\x = m

n , com m,n ∈ Z∗

- Números Irracionais: Q ′ . Não podem ser escritos em termos de uma fração.Ex.: π,e, 2 , . . .

1.2 Intervalos:

- Intervalo aberto limitado: a,b = x\a < x < b. Representação gráfica:- Intervalo fechado limitado: a,b = x\a ≤ x ≤ b.Representação gráfica:- Intervalo semi-aberto ou semi-fechado limitado: a,b = x\a < x ≤ b

a,b = x\a ≤ x < b- Intervalo aberto ilimitado: a,∞ = x\x > a

−∞,b = x\x < b- Intervalo fechado ilimitado: a,∞ = x\x ≥ a

−∞,b = x\x ≤ b

1.3 Valor Absoluto:

Seja a ∈ R :

|a | =a , se a ≥ 0

−a , se a < 0

|a | = da, 0 = distância do ponto a até a origem.

|a − b | = da, b = distância entre a e b.

|a − b | =a − b , se a ≥ b

b − a , se b > a

Propriedades:

1) |x| < a −a < x < a

2) |x| > a −a > x ou x > a

Ex.: |x| < 2 , ou seja, dx, 0 < 2.

d1,0 = 1, mas d−1,0 = 1 também! Logo, −2 < x < 2.

1

1.4 Desigualdades:

i) a < b ⇔ b − a é positivoii) a > b ⇔ a − b é positivoiii) a ≤ b ⇔ a < b ou a = b

iv) a ≥ b ⇔ a > b ou a = b

Desigualdades do 1∘ Grau:

Ex.: Determine todos os intervalos que satisfaçam as desigualdades abaixo. Faça a representação gráfica:

i) 7 < 5x + 3 ≤ 9 Resp.: 4/5, 6/5ii) |7x − 2| < 4 Resp.: −2/7,6/7iii) 2 > −3 − 3x ≥ −7 Resp.: −5/3,4/3iv) |x + 12| > 7 Resp.: −∞,−19 ∪ −5,∞

Desigualdades do 2∘ Grau:

Exs.:1) x2 − x − 2 > 0 Resp.: −∞,−1 ∪ 2,∞2) x2 − 4x + 3 ≤ 0 Resp.: 1,33) x2 + 2x ≥ 0 Resp.: −∞,−2 ∪ 0,∞4) x2 + 6x + 5 < 0 Resp.: −5,−1

LISTA DE EXERCÍCIOS 1:

Resolva as desigualdades e exprima a solução em termos de intervalos:

1. 2x + 5 < 3x − 7 2. 3 ≤ 2x − 35

< 7 3. x2 − x − 6 < 0

4. x2 − 2x − 5 > 3 5. x2x + 3 ≥ 5 6. |x + 3| < 0.01

7. |2x + 5| < 4 8. |6 − 5x| ≤ 3 9. |3x − 7| ≥ 5

10. |−11 − 7x| > 6 11. −5 ≤ 3x + 4 < 7 12. |6x − 7| > 10

13. 0 < 3x + 1 ≤ 4x − 6 14. |5 − 2x| ≥ 7 15. −6 < 3x + 3 ≤ 3

16. |x − 4| ≤ 16 17. 1 < x − 2 < 6 − x 18.x − 7 ≥ −5 ou x − 7 ≤ −6

19.x < 6x − 10 ou x ≥ 2x + 5 20.2x − 1 > 1ou x + 3 < 4 21.1 ≤ −2x + 1 < 3

22.x + 3 < 6x + 10 23. |2x − 3| > 4 24.2 < 5x + 3 ≤ 8x − 12

25.|2x − 3| ≤ 5

Respostas:

2

1. (12,∞ 2. [9,19) 3. (-2,3)

4. (-∞,−2 ∪ 4,∞ 5. (-∞,−5/2 ∪ 1,∞ 6. (-3.01,-2.99)

7. (-9/2,-1/2) 8. [3/5,9/5] 9. (-∞, 2/3 ∪ 4,∞

10. (-∞,−17/7 ∪ −5/7,∞ 11. [-3,1) 12. (−∞,−1/2 ∪ 17/6,∞

13. [7,∞ 14. (-∞,−1 ∪ 6,∞ 15. (-3,0]

16. [-12,20] 17. (3,4) 18.−∞, 1 ∪ 2,∞

19.−∞,−5 ∪ 2,∞ 20.−∞, 1 ∪ 1,∞ 21.(-1,0]

22.−7/5,∞ 23. −∞,−1/2 ∪ 7/2,∞ 24.5,∞

25.[-1,4]

2. FUNÇÕES:

1. O que é uma função ?Podemos definir função da seguinte maneira:

Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor de y.Dizemos que y é a variável dependente e x é a variável independente.

Escrevemos y = fx, onde f é o nome da função.

O domínio da função é o conjunto dos possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjuntocorrespondente de valores da variável dependente.

Uma função pode ser representada por tabelas, gráficos e fórmulas.

Exemplo: No verão de 1990, a temperatura, no estado do Arizona, ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato, quealgumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As altas diárias de temperaturana cidade de Phoenix, de 19 a 29 de junho são dadas na tabela abaixo:

Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Temperatura oC 43 45 46 45 45 45 49 50 48 48 42

Tabela 1. Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990

Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta, associada a ela.

2.1 Gráfico de uma função:

O gráfico da função f em um plano xy é o conjunto de pontos x,y, onde x pertence ao domínio de f e y é o valorcorrespondente fx de f.

3

-2 -1 1 2 3

10

20

x

f(x)

2.2 Tipos de Funções:

a) Funções polinomiais:

1) Função Linear:

fx = mx + b

onde x é a variável independente e m e b são constantes (números reais).

⋅ A constante m é a inclinação da reta determinada por y = fx.⋅ b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo vertical.⋅ zero ou raiz da função é a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo horizontal.

Observe que:

⋅ Se m = 0, a função linear fx = b é uma função constante. Desenhe seu gráfico!⋅ Se b = 0, então temos fx = mx. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem 0,0.

Por exemplo: y = −2x, y = −x, y = − 12

x, y = 12

x, y = x, y = 2x.

Coeficiente Angular de uma reta:

O coeficiente angular ou inclinação de uma reta não vertical pode ser determinado, se conhecermos dois de seus pontos, apartir da expressão:

m =y2 − y1x2 − x1

Equação de uma reta de coeficiente angular conhecido:

y − y1 = mx − x1

Exemplo 1: A equação da reta que passa pelo ponto 3,−2 e tem coeficiente angular 23 é? Resposta: y = 2

3 x − 4.

Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos −3,−5 e 2,−2. Resposta: y = 35 x − 16

5 .

Exemplo 3: Dada a função fx = 2x + 4, esboce o gráfico da função, mostrando os interceptos vertical e horizontal.Resposta:

4

-2 -1 0 1 2

2

4

6

8

x

y

Exemplo 4: A média de pontos obtidos num teste psicotécnico aplicado em determinada empresa vem decrescendoconstantemente nos últimos anos. Em 2000, a média foi de 582 pontos, enquanto que em 2005, a média foi de 552 pontos.

a) Defina a função do valor da média em relação ao tempo. Resposta: y = −6x + 582b) Se a tendência atual se mantiver, qual foi a média de pontos obtida em 2010? Resposta: 522 pontosc) Em que ano, a média é de 534 pontos, nestas condições? Resposta: Em 2008.

2) Função Quadrática:

Uma função quadrática é da forma

y = ax2 + bx + c

Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x2 − 1. Resposta:

-4 -2 2 4-1

1

2

3

4

5

x

y

Observação: Esta curva é chamada parábola. Uma parábola pode ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ouconcavidade voltada para baixo (a < 0).

Elementos da Parábola:

Raízes: Calcula-se por Báskhara (são os valores onde a parábola intercepta o eixo x).

−b ± b2 − 4ac

2a

Vértice: é onde se encontra o valor máximo (se a < 0) ou o valor mínimo (se a > 0) da função.

xv = − b2a

e

5

yv = − Δ4a

= − b2 − 4ac4a

Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = x2 + 2x − 3, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.

Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = −x2 + 5x − 6, mostrando os elementos da parábola, o domínio e a imagem.

Resposta:

Exemplo 2: Exemplo 3:

-4 -2 2

-4-2

2468

1012

x

y 0 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

0

x

y

Exemplo 4: A temperatura de uma certa região em função do tempo x é Cx = −0,15x2 + 3,8x + 12 graus centígrados.

a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: 35,8 ∘C.b) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 19 e 22 horas? Resposta: Diminuiu 7,05∘C.

3) Função Cúbica:

fx = ax3 + bx2 + cx + d

Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = x3. Resposta:

-2 -1 1 2

-5

5

x

y

Exemplo 2: Suponha que o custo total, em reais, para fabricar q unidades de um certo produto seja dado pela função:Cq = 1

27 q3 + 5q2 + 125q + 250.

a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades. Resposta: R$ 5.046,30.b) Calcule o custo de fabricação da 20a. unidade. Resposta: R$ 362,26.


1) Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t = 0, com velocidade de 15 metros por segundo. Sua alturay, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação

y = −5t2 + 15t .

6

Faça uma análise da função quadrática definida por esta equação, isto é:

∙ esboce um gráfico da posição versus tempo;∙ determine os zeros desta função e interprete o que representam;∙ determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa;∙ responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate ?

2) Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros:(a) fx = 1

2x − 5 (b) gx = 2 − 5x (c) hx = 10 − x2 (d) lx = x2 − 2x + 4

3) Uma caixa retangular de base quadrada, tem volume 125. Expresse a área A, de sua superfície total, como função daaresta x , de sua base.Lembre: ∙ o volume de uma caixa retangular pode ser obtido pelo produto da área de sua base pela altura

∙ a área da superfície total de uma caixa retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces.

4) Expresse a área de um quadrado como função de seu perímetro.

5) Considere o gráfico abaixo para responder as perguntas a seguir.

-10

-5

0

5

10

y

-10 -5 5 10x

(a) Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproximadas.(b) Dê valores aproximados para f2 e f4.(c) A função é crescente ou decrescente na vizinhança de x = −1 ? E na vizinhança de x = 3 ?(d) O gráfico é côncavo para cima ou para baixo na vizinhança de x = 5 ? E na vizinhança de x = −5 ?(e) Dê os intervalos (aproximados) onde a função é crescente.

6) Se fx = x2 + 1, encontre:(a) ft + 1 (b) ft2 + 1 (c) f2 (d) 2ft (e) ft2 + 1

7) Esboce o gráfico de uma função definida para x ≥ 0 com as seguintes propriedades. (Existem várias respostaspossíveis.)(a) f0 = 2.(b) fx é crescente para 0 ≤ x < 1.(c) fx é decrescente para 1 < x < 3.(d) fx é crescente para x > 3.(e) fx → 5 quando x → ∞.

8) Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir:

( ) y = −x ( ) y = x3 − 4x − 2 ( ) y = −28 + 34x − 9x2

( ) y = −x2 + x − 2 ( ) y = x2 + 2 ( ) y = 2x − 6

7

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

x

y

(1)

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

(2)

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

(3)

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

(4)

1 2 3 4

-4

-2

0

2

4

x

y

(5)

-4 -2 2 4-1

1

2

3

4

5

x

y

(6)

9) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$ 40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro rodado. Oscarros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado.

(a) Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distânciapercorrida.(b) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.(c) Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato ?

b) Função Módulo:

fx = |ax + b |

Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = |x|.

Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = |x − 1|.

Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = |2x + 1|.

Respostas:

Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:

-4 -2 0 2 4

2

4

x

y

-2 0 2 4

1

2

3

4

x

y

-4 -2 0 2

2

4

6

x

y

8

c) Função Racional:

fx =pxqx

Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 1x .

Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 1x − 2

.

Exemplo 3: Esboce o gráfico de fx = 1x + 2

.

Respostas:

Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

-2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

-4 -2 2

-10

-5

5

10

x

y

Exemplo 4: Supõe-se que a população de uma certa comunidade, daqui a x anos, será de Px = 30 − 5x + 2

milhares.

a) Daqui a 10 anos, qual será a população da comunidade? Resposta: 29,58 mil habitantes.b) De quanto a população crescerá durante o 10o ano? Resposta: 30 habitantes.c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população? Resposta: Crescerá até 30 mil habitantes.

d) Função Raiz Quadrada:

fx = ax + b

Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = x .

Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = x − 3 .

Respostas:

1)

0 1 2 3 40

1

2

x

y

2)

4 6 8

-1

0

1

2

3

x

y

e) Funções Trigonométricas:

9

Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datam demuito tempo.(Trigonon : triângulo e metria : medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo defunções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou comrepetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: onível da água em uma maré, a pressão sangüinea em um coração, uma corrente alternada, a posição das moléculas de artransmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas.

Medida de arcos de circunferência

Usamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência:

∙ GrauUm grau corresponde a 1

360da circunferência onde está o arco a ser medido.

∙ RadianoUm radiano corresponde à medida do arco de comprimento igual ao raio da circunferência onde está o arco a ser medido.É importante lembrar que o arco de uma volta mede 360∘ ou 2π rad π ≈ 3,14.

Responda: Quantos graus correspondem, aproximadamente, a um arco de 1rad ?

Definição 1: Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação x2 + y2 = 1. Seu lado terminalintercepta o círculo num ponto Px,y. O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t édefinido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é:

sent = y e cos t = x.

Sobre o círculo abaixo, de raio 1, marque um ponto P e identifique o seno e o co − seno do ângulo que ele representa, emcada um dos seguintes casos:a) P ∈ 1o quadrante b) P ∈ 2o quadrante c) P ∈ 3o quadrante d) P ∈ 4o quadrante

Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre −1 e 1.

Como conseqüência imediata da definição, temos que;

sen2t + cos2t = 1.

Veja, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções f e g , definidas, respectivamente, porft = sent e gt = cos t. Identifique cada uma delas.

10

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo

e mínimo.

O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete

um ciclo.

A amplitude de cos t e sent é 1 e o período é 2π.

Definição: Consideremos um número qualquer t , com cos t ≠ 0. A função tangente é definida por

tan t = sin tcos t

.

∙ Observe o gráfico da função f , definida por ft = tan t

-4 -2 2 4

-10

10

x

y

LISTA DE EXERCÍCIOS 3

1) Relacione cada gráfico com a função que ele representa:

( 1 ) fx = 1 + senx ( 2 ) gx = senx − 2 ( 3 ) hx = sen2x

( 4 ) lx = 2senx ( 5 ) mx = 5sen2x ( 6 ) nx = −5sen x2

11

2 4 6

-2

-1

0

1

2

x

y

( )

2 4 6

-2

-1

0

1

2

x

y

( )

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

( )

2 4 6

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

( )

2 4 6

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

( )

-2 2 4 6 8 10 12

-4

-2

2

4

x

y

( )

∙ Qual a amplitude e o período de cada uma das funções ?

2) Idem para:

( 1 ) Fx = cos x + 2 ( 2 ) Gx = 1 − cos x ( 3 ) Hx = cos x2

( 4 ) Lx = cos x2

( 5 ) Mx = 4cos 2x ( 6 ) Nx = 4cos 12

x

2 4 6-1

0

1

x

y

( )

2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

x

y

( )

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

( )

2 4 6

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

( )

2 4 6

-3

-2

-1

0

1

2

3

x

y

( )

-10 -5 5 10

-4

-2

2

4

x

y

( )3) Qual a diferença entre senx2, sen2x e sensenx ? Apresente exemplos, justificando.

12

4) Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de π2

e determine o seno , o co-seno e a tangente do mesmo.

5) Complete, determinando uma fórmula para descrever oscilações do tipo:

-4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

fx =

-4 -2 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

x

y

gx =

f) Função exponencial:

Definição: é uma função real, com base a positiva e diferente de 1, definida por

fx = ax

Exemplo 1: Esboce o gráfico de fx = 2x.

Exemplo 2: Esboce o gráfico de fx = 12

x.

Respostas:

1)

-4 -2 0 2 4

10

20

30

x

y

2)

-4 -2 0 2 4

10

20

30

x

y

Exemplo 3: Um determinado veículo automotivo tem seu valor depreciado de tal forma que após t anos de utilizaçãoporde ser descrito pela função Vt = 15.000e−0,08t + 600.

a) Qual era o preço do veículo novo? Resposta: 15.600b) Quanto o veículo valerá após 10 anos? Resposta: 7.339,93

Exemplo 4: A função exponencial natural fx = ex é um caso particular da função exponencial de base a qualquer. Vejaesta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboce o gráfico. Resposta:

13

-4 -2 2

5

10

x

y

Exemplo 5: Se o custo anual y de manutenção de um computador está relacionado com o seu uso mensal médio x (emcentenas de horas) pela equação y = 35.000 − 25.000e−0,02x, qual é o custo anual de manutenção, em reais para o usomensal médio de 200 horas? Resposta: R$ 10.980,26

g) Função Logarítmica:

Definição: A função logarítmica de base a, positiva e diferente de 1, é uma função real, definida por

fx = logax

Exemplo 1: Esboce o gráfico da função fx = log3x.

Exemplo 2: Esboce o gráfico da função fx = log 13x.

Exemplo 3: A função logarítmica natural fx = lnx é um caso particular da função logarítmica de base a qualquer,porque lnx = logex. Veja esta função na calculadora científica. Calcule alguns valores de x, inclusive x = 1. Esboce ográfico.

Respostas:

1

1 2 3 4 5

-2

0

2

x

y

2)

1 2 3 4 5

-2

0

2

x

y

3)

2 4 6 8 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

x

y

Propriedades:

1) lnA.B = lnA + lnB

2) ln AB = lnA − lnB

3) lnAr = r lnA

4) Mudança de base: logab =log b

log a= lna

lnb

Exemplo 4: Uma máquina tem depreciação exponencial dada pela fórmula V = V0eat. Sabendo que, em 1995, seu valorera de R$ 14.500,00 e em 2004 era de R$ 9.800, calcule seu valor em 1997. Resposta: R$ 13.291,00

h) Função par:

14

f−x = fx

Exemplos:

1) Função módulo: fx = |x| 2) Função quadrática: fx = x2

-4 -2 0 2 4

2

4

x

y

-4 -2 0 2 4

10

20

x

y

i) Função Ímpar:

f−x = −fx

Exemplos:

1) Função identidade: fx = x 2) Função cúbica: fx = x3

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

x

y

j) Função periódica:

fx = fx + T = fx + 2T =. . .

Exemplo: As funções trigonométricas: função seno e função cosseno são periódicas.

k) Função definida por partes:

Há funções que são definidas por mais de uma expressão.

Exemplo1: Esboce o gráfico da função:

fx =

2x + 3 se x < 0

x2 se 0 ≤ x < 2

1 se x ≥ 2

15

-2 -1 1 2 3

-2

2

4

x

y

Exemplo2: A função valor absoluto |x| =x se x ≥ 0

−x se x < 0é uma função definida por duas sentenças.


1. A função degrau de Heaviside, H, é definida por Hx =0 se x < 0

1 se x ≥ 0. Construa seu gráfico.

2. Considerando a função H, definida acima, determine a função Hx − 1 e construa seu gráfico.

3. Represente graficamente a função g, definida por gx =

0 se x < 1

1 se 1 ≤ x < 2

2 se 2 ≤ x < 3

3 se 3 ≤ x < 4

4 se x ≥ 4

e determine:

a) g−1 b) g1 c) g2,5 d) g4 e) g5

4. Encontre uma função que se ajuste ao gráfico apresentado a seguir:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

5. Construa o gráfico da função h, definida por hx = |x2 − 4| − 3 e responda às seguintes questões:a) Quais os zeros de h ?b) Quais os valores de x que tornam hx um número positivo ?c) Quais os valores de x que tornam hx um número negativo ?

16

Resposta:-4 -2 2 4-2

2

4

6

8

10

x

y

m) Função Composta:

Dadas duas funções f e g, a função composta de f e g ,denotada por f ∘ g é definida por

f ∘ gx = fgx

Exemplo 1: Dadas as funções fx = x e gx = x − 1, encontre a composição de funções f ∘ gx.Resposta: f ∘ gx = fx − 1 = x − 1

Exemplo 2: A análise das condições da água de uma pequena praia indica que o nível médio diário de substânciaspoluentes presentes no local será de Qp = 0,6p + 18,4 unidades de volume, quando a população for p milhares dehabitantes. Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de pt = 6 + 0,1t2 mil habitantes.a) Expresse o nível de substâncias poluentes em função do tempo. Resposta: Qt = 22 + 0,06t2

b) Qual será o nível de substâncias poluentes daqui a 2 anos? Resposta: 4,72 unidades de volumec) Em quanto tempo, aproximadamente, o número de substâncias poluentes será de 5 unidades de volume? Resposta: 7anos.

n) Função Inversa:

Exemplo 1: Encontre a função inversa de fx = 2x.Solução: Escrevendo y = 2x, então reslvemos a equação para x, 2x = y x = y/2. Finalmente, trocamos x por y

temos: y = x/2.

Observe que o grafico da função inversa é obtido refletindo-se o gráfico de fx em torno da reta y = x.

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

Exemplo 2: As funções exponencial y = ex e logaritmica y = lnx são inversas

17

-2 -1 1 2

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Exemplo 3: Encontre a função inversa de fx = x3 + 2.

Solução: escrevendo y = x3 + 2, então reslvemos a equação para x, x3 = y − 2 x = 3 y − 2 . Finalmente, trocamosx por y, obtemos y = 3 x − 2 .


1) Construa o gráfico das funções:

a) fx = 5/2 b)fx = 2x + 1 c)fx = 5 − 3x

d)fx = −x2 + 8x − 7 e)fx = 2x + 1 f)fx = lnx + 1

Respostas:

a)

-4 -2 0 2 4

2

3

x

y

b)

-3 -2 -1 1 2 3

-5

5

x

y

c)

-2 2 4

-5

5

x

y

d)

2 4 6 8

-5

0

5

10

x

y

e)

-4 -2 0 2

2

4

x

y

f)

-2 -1 1 2 3

-4

-2

2

x

y

2) Um ciclista, com velocidade constante, percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico:

-1 0 1 2

2

4

6

x

y

Em quanto tempo percorrerá 15 Km? Resposta: 6 min.

18

3) Escreva a função do 2o grau representada pelo gráfico:

-1 1 2 3 4 5

5

x

y

Resposta:fx = x2 − 4x + 3

4) O custo para a produção de x unidades de certo produto é dado por C = x2 − 40x + 1600. Calcule o valor do customínimo. Resposta: C = 1200.

5) Dada a função fx = |x − 2| − 1, construa o gráfico e dê o conjunto imagem de f. Resposta: Imf = y ∈ ℜ\y −1.

6) Determine o domínio, a imagem, o gráfico e o período das funções:

a)y = 2sinx Resp.:D = ℜ, Im = −2,2, período= 2π.b)y = 2 + sinx Resp.:D = ℜ, Im = 1,3, período=2π.c)y = sin3x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1, período=2π/3.d)y = cos2x Resp.:D = ℜ, Im = −1,1, período=π.e)y = cosx + π/2 Resp.:D = ℜ, Im = −1,1, período=2π.f)y = 1 + 2 cosx + π Resp.:D = ℜ, Im = −1,3, período=2π.

7) Encontre uma fórmula para a função inversa.a) fx = 10 − 3x , b) fx = ex3

, c) fx = lnx + 3, d) y = 2x2 + 2.Resp.: a) f−1x = − 1

3 x2 + 103 . b) f−1x = 3 lnx c) f−1x = ex − 3, d) f−1x = x−2

2 .

3. LIMITES

O conceito de limite é o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados. Usamos a palavra limiteno nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido mas que jamais pode serultrapassado.

Exemplos:

a) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura. Isso porque existeum Limite de elasticidade da borracha.b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o Limite de carga que este suporta.c) No lançamento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um Limite mínimo de combustível necessário para quea aeronave entre em órbita.

É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido mas do qual pode-se aproximar tantoquanto desejar. Iniciaremos por estudá-los de uma forma intuitiva.

Limites descrevem o que acontece com uma função fx à medida que sua variável x se aproxima de um númeroparticular a. Para ilustrar este conceito, vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Suponha que você quer saber o que acontece com a função fx = x2 + x − 2x − 1

à medida que x se aproxima de

1. Embora fx não esteja definida em x = 1, você pode obter uma boa idéia da situação avaliando fx em valores de x

19

cada vez mais próximos de 1 , tanto à esquerda quanto à direita. Isto pode ser feito através de uma tabela de valores.

x fx

0.9 2. 9

0.99 2. 99

0.999 2. 999

0.9999 2. 9999

donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua esquerda, fx se aproxima do número 3 e escrevemos:

limx→1−

fx = 3 ,

lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda é 3.

De forma análoga, investigamos o limite à direita. Vejamos:

x fx

1.1 3. 1

1.01 3. 01

1.001 3. 001

1.0001 3. 0001

donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua direita, fx se aproxima também do número 3 eescrevemos:

limx→1+

fx = 3 ,

lendo: “o limite de fx quando x tende a 1 pela direita é 3".

Concluimos que:

limx→1

fx = 3

Graficamente, temos:

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Observe que o gráfico da função fx = x2 + x − 2x − 1

é uma reta mas com um ”buraco” no ponto (1,3).

No caso da função fx = x2 + x − 2x − 1

, a qual concluimos quex→1lim fx = 3 tabelando valores à esquerda e à direita de

1, este também pode ser determinado de forma algébrica, ou seja,

20

x→1lim fx =

x→1lim x2 + x − 2

x − 1=

x→1lim

x + 2x − 1x − 1

=x→1lim x + 2 = 1 + 2 = 3

Propriedades:

1) O limite é único.

2) Se limx→a

fx = L e limx→a

gx = M existem e c é um número real qualquer, então:

a) limx→a

fx ± gx = limx→a

fx ± limx→a

gx = L ± M

b) limx→a

c. fx = c limx→a

fx = cL

c) limx→a

fxgx = limx→a

fx limx→a

gx = LM

d) limx→a

fxgx

=limx→a

fx

limx→a

gx= L

M, para M ≠ 0

e) limx→a

fxn = limx→a

fxn = Ln

f) limx→a

c = c

LIMITES LATERAIS:

- Limite pela direita:Notação:

limx→a+

fx

- Limite pela esquerda:Notação:

limx→a−

fx

Teorema 1: Se os limites à direita e à esquerda são diferentes limx→a−

fx = A e limx→a+

fx = B, então o limite limx→a

fx não

existe.

Notamos que no exemplo obtivemos para a função fx = x2 + x − 2x − 1

,os limites laterais iguais, isto é,

x→1−lim fx = 3 =

x→1+lim fx e por este motivo afirmamos que

x→1lim fx = 3. Nem sempre isso ocorre. Vejamos um segundo

exemplo.

Exemplo 2: Dada a função fx =x + 1 se x < 3

6 se x ≥ 3, cujo gráfico está representado a seguir:

21

-6 -4 -2 2 4 6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Temos:

x→3−lim fx = 4 e

x→3+lim fx = 6

logo, conclui-se que ∄x→3lim fx, pois os limites laterais são distintos.

Exemplo 3 :

Dada a função fx = 1x , vamos verificar o comportamento da função quando tomamos valores próximos de x = 0.

Embora fx não esteja definida em x = 0, pode-se obter uma idéia da situação avaliando fx em valores de x cada vezmais próximos de 0 , tanto à esquerda quanto à direita, como foi feito no exemplo 1, através de uma tabela,

x fx

−0.1 −10

−0.01 −100

−0.001 −1000

−0.0001 −10000

−0.00001 −100000

donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, à sua esquerda, fx decresce indefinidamente (sem limitação)e escrevemos:

limx→0−

fx = −∞ ,

De forma análoga, investigamos o limite à direita.

x fx

0.1 10

0.01 100

0.001 1000

0.0001 10000

0.00001 100000

donde podemos concluir que, para valores próximos de 0, a sua direita, fx cresce indefinidamente (sem limitação) eescrevemos:

22

limx→0+

fx = +∞

Concluimos então que ∄x→0lim fx , usando o argumento de que os limites laterais são distintos.

O gráfico da função fx = 1x está abaixo representado

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

OBS.1: Devemos enfatizar que os símbolos +∞ e − ∞, como usados aqui, descrevem uma maneira particular na qual olimite não existe; eles não são limites numéricos e, conseqüentemente, não podem ser manipulados usando regras deálgebra. Por exemplo, não é correto escrever +∞ − +∞ = 0.

OBS.2: Se limx→a

fx , onde a não é ponto crítico ( a0

, por exemplo) ou ponto de descontinuidade, então o limite existe e é

fa. Caso contrário, devemos calcular os limites laterais.

Exemplo: Determine, se existir, o limite de:

a) limx→1

xx − 1

:

b) limx→−2

x2 − 9x + 2

:

c) Calcule limx→0

fx onde fx =−1, se x = 0

x, se x ≠ 0

Teorema 2: (Limite no infinito) Se n ∈ N , então limx→±∞

1xn = 0

Teorema 3: (Limite Infinito) Se n ∈ N , então limx→0+

1xn = ∞ e lim

x→0−1xn =

+∞, se n é par

− ∞, se n é ímpar

OBS.3: Se n é par, limx→0+

1xn = lim

x→0−1xn , então lim

x→0

1xn existe.

Se n é ímpar, limx→0+

1xn ≠ lim

x→0−1xn , então lim

x→0

1xn não existe.

23

Exemplo.: y = 1x2

-2 -1 1 2

5

10

x

y

Expressões Indeterminadas:

00

, ∞∞ , ∞ − ∞, 00,∞0, 1∞


1) Explique com suas palavras o significado da equação

É possível diante da equação anterior que f2 = 3? Explique.

2) Para a função cujo gráfico é dado, determine o valor solicitado se existir. Se não existir, explique por quê.


24


5) Dado que

Encontre se existir , o limite. Se não existir, explique por quê.

6) Calcule os limites:

25

1) limx→∞

2x − 5x + 8

Resp.: 2

2) limx→−∞

2x3 − 3x + 54x5 − 2

Resp.: 0

3) limx→3

x2 − 9x − 3

Resp.: 6

4) limx→1

x − 1x − 1

Resp.: 1/2

5) limx→2

x3 − 4xx3 − 3x2 + 2x

Resp.: 4

6) limx→9

x − 9x − 3

Resp.: 6

7) limx→1

x2 + x − 2x − 1

Resp.: 3

7) Calcule os limites:

1)limx→3

x − 5x3 − 7

12)limt→∞

t2 − 2t + 32t2 + 5t − 3

2)limt→2

t2 − 52t3 + 6

13) limx→−∞

5x3 − x2 + x − 1x4 + x3 − x + 1

3)limr→1

8r + 1r + 3

14)limx→3+

xx − 3

, limx→3−

xx − 3

, limx→3

xx − 3

4)limx→1

x2 − 1x − 1

15)limy→0

1 − 1 + y

7y

5)limx→0

x + 2 − 2

x 16)limt→0

4 − t + 22

9 − t + 32

6)limx→0

|x|x 17)lim

x→−1 x2 + 3x + 2

x + 1

7)limx→0

x3 − xx 18)lim

x→03x + 12 − 1

x3 − 3x

8)limx→∞

2x − 1x − 2

19)limx→1

x − 1

x − 1

9)limx→∞

2xx2 − 1

20)limh→0

x + h2 − x2

h

10)limx→∞

x2 − 10x + 1 21)limx→∞

−x3 + 3x2

x3 − 1

11)limx→−2

x3 − 3x + 2x2 − 4

22)limx→0+

|x|x2 , lim

x→0−

|x|x2 , lim

x→0

|x|x2

Respostas do exercício 7:

1)− 110 9)0 17)1

2)− 122 10)+∞ 18)−2

3) 32 11)− 9

4 19) 12

4)2 12) 12 20) 2x

5) 12 2

13)0 21)−1

6)∄ 14)+∞,−∞,∄ 22)+∞,+∞,+∞7)-1 15)− 1

148)2 16) 2

3

4 Continuidade:

Um grupo importante de funções de uma variável real é o das funções contínuas, isto é, funções que têm limite, emcada ponto de seu domínio, igual ao valor da função no ponto. O gráfico uma função contínua não tem quebras, saltos ou

26

furos, ou seja, pode ser traçado sem levantar a ponta do lápis do papel.

Definição: Dizemos que uma função f é contínua no ponto a, se as seguintes condições forem satisfeitas:

i) f é definida no ponto a

ii) limx→a

fx existe

iii) limx→a

fx = fa

Se f não satisfizer alguma destas condições, dizemos que a função f é descontínua em a ou que f tem umadescontinuidade no ponto a.

Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo, se f for contínua em todos os pontos desse intervalo.

Ex.1: fx = 1x + 1

é contínua em x = −1?

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

Ex.2: fx =

1x2 , se x ≠ 0

1 , se x = 0é contínua em x = 0 ?

-4 -2 2 4

2

4

x

y

Ex.3: Em qual dos seguintes intervalos fx = 1x − 2

é contínua?

a) [ 2, ∞ b) (-∞, +∞ c) (2, ∞ d) [1 , 2]

Teorema: Todos os polinômios são contínuos para todo valor de x. Uma função racional é contínua em qualquer pontoonde ela é definida, isto é, em todos os pontos, exceto naqueles para os quais um ou mais de seus denominadores seanulam.

Ex.: A função fx = x3 + 3x − 1 é função contínua para todo x.

27

-4 -2 2 4

-100

-50

50

100

x

y

Assíntota Vertical:

A linha reta vertical x = a é chamada de assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintescondições for válida:

i) limx→a+

fx = +∞ii) lim

x→a−fx = +∞

iii) limx→a+

fx = −∞iv) lim

x→a−fx = −∞

Assíntota Horizontal:

A linha reta horizontal y = b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma dasseguintes condições for válida:lim

x→+∞fx = b ou lim

x→−∞fx = b.

Traçado de Gráficos de funções racionais:

1o Passo: Se a função racional é dada como uma soma de quociente de polinômios, reunimos os termos num únicoquociente de polinômios, tomando o mínimo múltiplo comum.

2o Passo: Determinar limx→∞

fx e limx→−∞

fx. Se esses limites são um número finito L, então y = L é uma assíntota horizontal.

3o Passo: Determinar os valores de x para os quais o numerador da função é zero. São os pontos onde o gráfico interceptao eixo dos x.

4o Passo: Determinar os valores de x para os quais o denominador da função é zero, que é onde a função tende a ∞ ou −∞,determinando uma assíntota vertical.

5o Passo: Os valores de x encontrados no 3o e 4o passos são os pontos onde a função pode mudar de sinal. Esses pontosdeterminam os intervalos. Determinamos, então, se a função é positiva ou negativa em cada um desses intervalos,calculando seu valor num ponto de cada intervalo.

Ex.: Ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e trace este gráfico:

1) fx = 3xx − 1

2) fx = 2x2 − 12x2 − 3x

3) yx = x2

x + 2

4) yx = x2 + 1x2 − 1

5) yx = 3xx2 − 4

6) yx = 2x2

9 − x2

Respostas:

28

1)

-4 -2 2 4

5

x

y

2)

-4 -2 2 4-2

2

4

x

y

3)

-6 -4 -2 2 4

-20

-10

10

x

y

4)

-4 -2 2 4

-5

5

x

y

5)

-4 -2 2 4

-2

2

x

y

6)

-6 -4 -2 2 4 6

-5

5

x

y


1) Dados os gráficos de f(x) e g(x) abaixo, estabeleça os números nos quais as funções são descontínuas e explique porquê.

f(x) g(x)

2) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x nos quais a função fx é descontínua:

a)fx =x

x2 − 1,se x ≠ ±1

0 ,se x = ±1b)fx =

0 ,se x ≤ 0

x ,se x > 0c)fx =

x2 − 4x + 2

,se x ≠ −2

1 ,se x = −2

d)fx =x + 3 ,se x ≠ 3

2 ,se x = 3e)fx =

x2 − 4 ,se x < 3

2x − 1 ,se x ≥ 3f)fx =

x + 6 ,se x ≤ −4

16 − x2 ,se −4 < x < 4

6 − x ,se x ≥ 4

g)fx =2x − 1 ,se x ≠ 2

0 ,se x = 2h)fx =

|x|x ,se x ≠ 0

1 ,se x = 0i)fx =

1x + 5

,se x ≠ −5

0 ,se x = −5

Gráficos do exercício 2:

29

a)

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

x

y

b)

-4 -2 0 2 4

2

4

x

y

c)

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

x

y

d)-4 -2 2 4

5

x

y

e)

-2 2 4

-5

5

10

x

y

f)

-4 -2 2 4

-2

2

4

x

y

g)

-4 -2 2 4

-5

5

x

y

h)

-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

x

y

i)

-6 -4 -2 2

-2

2

x

y

3) Faça o gráfico e determine, se existirem, os valores de x, nos quais a função é descontínua:

a) fx =

3 − x , se x < 1

4 , se x = 1

x2 + 1 , se x > 1

b) fx =x2 − 1 ,se x < 1

4 − x ,se x ≥ 1c) fx =

1x + 1

, se x > −1

1 , se x = −1

x + 1 , se x < −1

d) gx =

3 − x2 , se x < 1

1 , se x = 1

x + 1 , se x > 1

e) gx =1

x2 − 1, se x ≠ ±1

0 , se x = ±1f) fx =

3x − 1 ,se x ≤ 1

3 − x ,se x > 1

g) gx = 1x2 − x

h) yx = x2

x2 − 4i) yx = x2

x2 − x − 2

Gráficos do exercício 3:

30

a)

-2 -1 0 1 2 3

5

10

x

y

b)-4 -2 2 4

5

10

x

y

c)

-4 -2 2 4

-2

2

4

x

y

d)

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

x

y

e)

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

f)

-4 -2 2 4

-2

2

x

y

g)

-4 -2 2 4

-5

5

x

y

h)

-4 -2 2 4

-5

5

x

y

i)

-4 -2 2 4

-5

5

x

y

5. Derivadas

Coeficiente Angular da Reta Tangente a uma Curva

Para calcular o coeficiente angular da reta tangente a f em x0, tomamos a reta secante passando por P = x0, fx0 eum segundo ponto Q = x, fx qualquer. Aproximando x de x0 , a reta secante se aproxima da reta tangente.

31

Temos o coeficiente angular da reta secante:

ms =ΔfΔx

=fx − fx0

x − x0, para x ≠ x0. Então, ao x → x0, teremos o coeficiente angular da reta tangente:

m = limx→x0

fx − fx0x − x0

desde que o limite exista e seja finito.

Mudança de variável: x − x0 = Δx x = Δx + x0.

Assim,fx − fx0

x − x0=

fΔx + x0 − fx0Δx

E, ao x → x0, Δx → 0 :

dfx0dx

= limx→x0

fx − fx0x − x0

= limΔx→0


Observação: o coeficiente angular da reta tangente a f em x0 representa a taxa de variação instantânea de f em x0,também chamado de derivada de f em x0.

dfx0dx

= limΔx→0

Δf

Δx= lim

Δx→0


, chamada fórmula de Leibniz

Notações para a Derivada: y ′, f ′x, Dxfx, Dxy,dfx

dxou

dy

dx.

Exemplos: Usando a fórmula de Leibniz, calcule a derivada das funções:

1) fx = 2x + 1 em x = 2 :2) fx = x2 em x = 1 e em x = 2 ?3) fx = 3x2 + 12 , em x = 2.

OBS.: Funções deriváveis são contínuas, mas nem toda função contínua é derivável.

32

Ex. 4: Usando a primeira fórmula estudada, calcule a derivada da função abaixo em x = 2 :

fx =7 − x , se x > 2

3x − 1 , se x ≤ 2

Ex. 5: Idem para fx = |x| em x = 0 :

A Derivada Como Uma Função:

Se considerarmos a derivada de f em x e fizermos x variar, obtemos a função derivadadf

dx, onde

dfxdx

é o coeficiente

angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto x, fx.dfx

dx= lim

Δx→0

fx + Δx − fxΔx

obtida substituindo x0 por x.

Ex. 6: Calcule a derivada de fx = 1x para x ≠ 0 :

Ex. 7: Calcule a derivada de fx = 3x2 − 4 :

Regras de Derivação:

- Derivada de xn:

Def.: Para qualquer constante racional n, a derivada da função xn édxn

dx= nxn−1

Ex. 8: d

dxx2 = 2x

- Derivadas de Combinações Lineares de Funções:

Sejam A e B constantes:ddx

Afx + Bgx = A ddx

fx + B ddx

gx

Ex. 9: Calcule a derivada de ddx

6x23 − 4x−2 + 5x. Para que valores de x existe a derivada?

Taxa de variação média

Sejam x e y quantidades variáveis e suponha que y depende de x, tal que y = fx, onde f é uma função conveniente.Para calcularmos a taxa de variação de y por unidade de variação de x naturalmente começaremos por considerar umavariação em x, digamos △x. Esta variação em x provoca uma variação em y, digamos △y. Desta forma, podemos definirtaxa de variação média como:

Tvm =△y△x

Exemplo 1: A tabela abaixo dá a população P dos EUA (em milhões de habitantes) no século XIX, a intervalos t de 10

33

anos.

1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900

5,3 7,2 9, 6 12,9 17,1 23,2 31,4 38,6 50,2 62,9 76,0

a) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1800 a 1850?b) Qual a taxa de variação média da população dos EUA no período que vai de 1840 a 1850?

Velocidade média

Por exemplo, se numa viagem você dirigir 150km em 3h, então, dividindo 150km por 3h, conclui-se que você dirigiu,em média, 50km em 1h, isto é 50km/h. Isto não lhe indica, por exemplo, que após 1h de viagem você tenha percorridoexatamente 50km. Você pode ter parado num sinal de trânsito ou pode ter viajado a 55km/h !

Na tentativa de resolver matematicamente este problema, suponhamos que podemos descrever a distância percorridapor um objeto como uma função do tempo. Isto é, para cada valor do tempo t podemos associar um número d querepresenta a distância percorrida pelo objeto.

Por exemplo, dt = 2t + 1 é uma função que descreve o movimento de um objeto que se move ao longo de uma reta emtermos do tempo t. Assim, se t for medido em segundos (seg) e d em metros (m), então, após 2seg, o objeto está a 5m

(d2 = 2.2 + 1) ao longo da linha de movimento; 3seg mais tarde, isto é, quandot = 5seg, o objeto está a 11m ao longoda linha de movimento (d5 = 2.5 + 1).

A velocidade média, Vm, de um objeto em movimento é a razão (ou taxa) entre a distância percorrida pelo objeto e otempo gasto para percorrer esta distância.

No exemplo dado, no intervalo de tempo que vai dos 2seg aos 5seg temos:

Vm = △d△t

= 11 − 55 − 2

= 2m/s ou Vm =dt + △t − dt

△t=

d2 + 3 − d25 − 3

= 2m/s.

Exercício 1: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2, faça umaanálise deste movimento, no intervalo de tempo que vai de 3seg a 7seg, determinando:a) △t ;

b) △d;

c) a velocidade média Vm do objeto quando este se desloca do ponto em que está aos 3seg do início do movimento, aoponto em que está aos 7seg.

Velocidade Instantânea

Consideremos, agora, o problema de determinar a velocidade de um objeto em movimento, num determinado instante t , oque significa determinar sua velocidade instantânea. O que podemos fazer, é imaginar intervalos de tempo △t cada vezmenores, para que as velocidades médias correspondentes possam dar-nos informações cada vez mais precisas do que sepassa no instante t. Somos, assim, levados ao conceito de velocidade instantânea Vt (ou taxa de variação instantâneado deslocamento), no instante t, como sendo o limite de Vm, quando △t tende a zero, isto é

Vt = lim△t→0

dt + △t − dt△t

34

Exemplo 3: Sabendo que um objeto movimenta-se ao longo de uma linha, de acordo com a equação d = 3t − 2,determine a velocidade instantânea para t = 3seg.

Exercício 2: Uma bola é lançada de uma ponte, para o alto, e sua altura, y (em metros), acima do solo, t segundos depois,é dada por y = −5t2 + 15t + 12.a) A ponte fica a que altura acima do solo?b) Qual é a velocidade média da bola durante o primeiro segundo?c) Obtenha um valor aproximado para a velocidade em t = 1seg.d) Esboce um gráfico da função e determine a altura máxima atingida pela bola. Qual deve ser a velocidade no instante emque a bola atinge o topo?e) Use o gráfico para determinar o instante t em que a bola atinge sua altura máxima.


1) Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir doponto O em t segundos. Ache a velocidade instantânea vt cm/s em t segundos e então ache vt1 para o valor de t1 dado:

a) s = 3t2 + 1; t1 = 3 Resp.: 6t; 18

b) s = 14t

; t1 = 12

Resp.: − 14t2 ;−1

c) s = 2t3 − t2 + 5; t1 = −1 Resp.: 6t2 − 2t; 8

d) s = 2t4 + t

; t1 = 0 Resp.: 84 + t2 ; 1

2

2) Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s = −16t2, onde s cm é a distância do objeto ao ponto de partidaem t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 256 cm de altura, ache

a) a velocidade instantânea da pedra 1s. depois de iniciada a queda; Resp.: −32 cm/sb) a velocidade instantânea da pedra 2s. depois da queda; Resp.: −64 cm/sc) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? Resp.: 4sd) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo. Resp.: −128 cm/s.

3) Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distância da bola de sua posição inicial após tsegundos, então s = 100t2 + 100t. Com qual velocidade a bola atingirá a tabela da posição inicial que está a 39 cm?Resp.: 160 cm/s.

4) Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo planoinclinado, então s = 24t + 10t2, onde o sentido positivo é o de descida do plano inclinado.

a) Qual será a velocidade instantânea da bola em t1 s.? Resp.: 24 + 20t1.b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s? Resp.: 1,2 s.

5) Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus t horas após a meia-noite eT = 0,1400 − 40t + t2 , 0 ≤ t ≤ 12.

a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h: R.: T=-2,9 graus/hb) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h: R.: -3 graus/h.

35

6) Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do chão, com velocidade inicial de 64 m/s. Se o sentido positivo dadistância do ponto de partida é para cima, a equação do movimento é s = −16t2 + 64t com t em segundos e s em metros.

a) Ache a velocidade instantânea da bola ao fim de 1s. R.: 32 m/sb) Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto? R.: 2 sc) Qual a altura máxima atingida pela bola? R.: 64 md) Decorridos quantos segundos a bola atinge o solo? R.: 4 se) Ache a velocidade instantânea da bola quando ela chega ao chão. R.: -64 m/s.

- Regra do produto:

Se as funções f e g têm derivadas em x, então seu produto também tem derivada e vale:

ddx

fx. gx = fx ddx

gx + gx ddx

fx


x3 + 3x − 14x12 − 6

- Regra do quociente:

Se as funções f e g têm derivadas em x e se gx não é zero, então o quocientefxgx

também tem uma derivada em x e

vale:

ddx

fxgx

=gx

dfxdx

− fxdgx

dxgx2


x2

2x − 1 :

- Derivada de Funções Especiais:d

dxsenx = cos x d

dxsenhx = coshx

d

dxcos x = −senx d

dxcoshx = senhx

ddx

tanx = sec2x ddx

tanhx = sech2x

d

dxcotx = −csc2x d

dxcscx = −cscxcotx

d

dxex = ex d

dxlnx = 1

x

d

dxax = ax lna d

dxlogax = 1

x lna

senhx = ex − e−x

2 coshx = ex + e−x

2


1) Usando a definição de derivada (fórmula de Leibniz), calcule as seguintes funções:

36

a)fx = 2x2 + x, em x = 3 Resp.: f ′3 = 13b)gx = 1

x + 2, em x = 5 Resp.: g ′5 = − 1

49c)hx = x + 5 , em x = 4 Resp.: h ′4 = 1

6d)fx = − x2

4Resp.: f ′x = − x

2e)fx = 5x − 3 Resp.: f ′x = 5f)gx = x2 Resp.: g ′x = 2x

2) Calcule a derivada, usando a regra adequada:

1) yx = 5x3 − 6x2 + 7x Resp.: y ′x = 15x2 − 12x + 72) yx = x7 + 3x2 − 15 Resp.: y ′x = 7x6 + 6x

3) yx = 1x − 2

x2 + 3x3 Resp.: y ′x = − 1

x2 + 4x3 − 9

x4

4) yx = x + 2 Resp.: y ′x = 12

x− 1

2

5) yx = x23 − 3x

13 Resp.: y ′x = 2

3x− 1

3 − x− 2

3

6) yx = 2 3 x − 3x Resp.: y ′x = 23

x− 2

3 − 3

7) yx = 1 − x2

1 + x2 Resp.: y ′x = − 4x1 + x22

8) yx = x2 + x + 11 − x3 Resp.: y ′x = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

1 − x32

9) yx =x + 2

x − 3Resp.: y ′x =

− 3 − 2

x − 3 2

10) yx = 23

x3 − x2x12 + 2x Resp.:y ′x = 2

3x3 − x2 1

2x− 1

2 + 2 + 2x2 − 2xx12 + 2x

- Regra da Cadeia (para funções compostas):

Na última unidade vimos como diferenciar polinômios e funções racionais. Mas, freqüentemente, precisamos diferenciarpotências dessas funções. Por exemplo, se y = fx2, da derivada do produto de funções, dá

dy

dx= Dxfx. fx

= fx. f ′x + f ′x. fx

e, agrupando os termos, obtemos:dy

dx= 2fxf ′x.

É surpresa que a derivada de fx2 não seja simplesmente 2fx, como poderíamos esperar por analogia com afórmula (2.2.2) Dxxn = nxn−1, com n = 2 ? Há um fator adicional, f ′x, cuja origem pode ser explicada escrevendo-seg = fx2, na forma

g = u2 com u = fx .

Então

37

dg

dx= d

dxfx2 ,

dg

du= 2u = 2fx e

dudx

= f ′x ,

de modo que a forma da derivada na equação toma a forma

ddx

gux = ddu

gu. ddx

ux

A equação acima - a regra da cadeia - é válida para duas funções diferenciáveis quaisquer y = gu e u = fx. Nestecaso, u ′x é chamada derivada da função interna.

Exemplo 1:Se

y = 3x + 517 ,

não seria prático achar o desenvolvimento binomial da 17a potência de 3x + 5: o resultado seria um polinômio com 18termos e alguns coeficientes teriam até 14 algarismos ! Mas, se escrevermos

y = u17 com u = 3x + 5 .

Então,dg

du= 17u16 e du

dx= 3 .

Assim, a regra da cadeia fornece

ddx

3x + 517 =dy

dx=

dy

du. du

dx= 17u16 . 3

= 173x + 516. 3 = 513x + 516 .

Exemplo 2: Calcule a derivada de:

a) yx = x2 + 4 , b) yx = x2x3 + 2x10, c) yx = 3xx2 + 7

9

Exemplo 3:

Para uma interpretação física da regra da cadeia, imagine uma refinaria de petróleo que produza u litros de gasolina de x

barris de óleo cru. Então, em um segundo processo, a refinaria produz y gramas de um produto petroquímico a partir dosu litros de gasolina. A figura 5 ilustra os dois processos.

38

x barris de óleo cru

↓

Processo 1

∣

u litros de gasolina

↓

Processo 2

∣

y gramas de petroquímico

↓

figura 5

y é, assim, uma função de u e u é uma função de x, de modo que a saída final, y, é uma função também da entrada x.Considere as unidades em que as derivadas destas funções são medidas:

dy

du:

g

l(gramas de petroquímico por litro de gasolina)

dudx

: lbarril

(litros de gasolina por barril de óleo)

dy

dx:

g

barril(gramas de petroquímico por barril de óleo)

Levando essas unidades a cada termo correspondente da equação (3.4.3) obtemos:

g

barril=

g

l. l

barril.

O prático cancelamento das unidades no segundo membro desta última igualdade, parece confirmar a validade da regrada cadeia. Por exemplo, se obtemos 3 gramas de petroquímico por litro de gasolina e 75 litros de gasolina por barril deóleo, como poderíamos deixar de obter 3 × 75 = 225 gramas de petroquímico por barril de óleo?Obs.: A regra da cadeia pode ser escrita na forma:

ddx

gux = g ′ux.u ′x

Esta notação tem a vantagem de especificar os valores das variáveis nos quais se calculam as derivadas. Neste caso, u ′xé chamada derivada da função interna.

A Regra da Cadeia para as funções trigonométricasSe u = fx então:

d

dxsenu = cos u.Dxu

d

dxcotgu = −cos ec2u.Dxu

d

dxcos u = −senu.Dxu

d

dxsecu = secu. tgu.Dxu

d

dxtgu = sec2u.Dxu d

dxcos ecu = −cos ecu. cotgu.Dxu

Exercícios: Calcule a derivada de:

1) y = cos2x R.: y ′ = −2cos xsenx

39

2) y = sen34x R.: y ′ = 12sen24xcos4x3) y = e2x R.: y ′ = 2e2x

4) y = ln2x2 R.: y ′ = 2x

5) y = e−3x3x2 + 13 R.: y ′ = −3e−3x3x2 + 13 + 18xe−3x3x2 + 12

- Derivada Segunda ou de Ordem 2:

A derivada segunda de uma função fx é a derivada de sua derivada (primeira) f ′x.Notação:

f"x =d2fxdx2 = d

dx

dfxdx

Ex. 1: Calcule a derivada segunda de fx = x5 − 2x.

- Derivadas de ordem superior:

Seja f uma função derivável: f ′ é a derivada primeira de f

f ′′ é a derivada segunda de f

f ′′′ é a derivada terceira de f

fn é a derivada enésima de f.

Ex. 2: Ache todas as derivadas da função fx = x4 + x3 − x2 + 7.

Ex. 3: Calcule d3

dx3 2senx + 3cos x − x3 :

- Aceleração instantânea:

É a taxa de variação instantânea da velocidade. Se v (velocidade) é dada em cm/s, a (aceleração) será dada em cm/s2.

v = dsdt

e a = dvdt

ou a = d2sdt2

Ex. 4: Se s = 1t− 2 t − 1 , v = − 1

t2 − t − 1− 1

2 e a = 2t3 + 1

2t − 1

− 32


1) Calcule a derivada segunda das seguintes funções:

a) yx = x6 Resp.: y ′′x = 30x4

b) yx = 2x Resp.: y ′′x = 4

x3

c) yx = x4 − 3x3 + 2x + 1 Resp.: y ′′x = 12x2 − 18x

d) yx = exp−x Resp.: y ′′x = e−x

e) yx = 1 − x3 Resp.: y ′′x = 61 − x

2) Ache f4x se fx = 2x − 1

. Resp.: f4x = 48x − 15

3) Ache f5x se fx = cos2x − sin2x. Resp.: f5x = −32sin2x + cos2x

40

4) Uma partícula está se movendo ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada. Ache a velocidade e aaceleração em função do tempo t.

a) s = 16

t3 − 2t2 + 6t − 2 Resp.: v = t2

2− 4t + 6;a = t − 4

b) s = 12516t + 32

− 25

t5 Resp.: v = − 200016t + 322 − 2t4;a = 64000

16t + 323 − 8t3

c) s = 9t2 + 2 2t + 1 Resp.: v = 18t + 22t + 1− 1

2 ;a = 18 − 22t + 1− 3

2

d) s = 49

t32 + 2t

12 Resp.: v = 2

3t

12 + t

− 12 ;a = 1

3t− 1

2 − 12

t− 3

2

6 Aplicações da derivada:

Teste da derivada primeira:

Se a derivada f ′x exite e é positiva para todo x em um intervalo aberto, então a função é crescente neste intervalo. Sef ′x é negativa no intervalo aberto, então a função é decrescente.

Ex. 1: Se fx = x2 então f ′x = 2x.

-3 -2 -1 0 1 2 3

2

4

6

8

x

y

Observe que f ′x é positiva para x > 0 e f ′x é negativa para x < 0.

Traçado de gráficos, Pontos Críticos:

O ponto x0 é um ponto crítico de uma função f, se f é definida em um intervalo aberto contendo x0 e fx0 é zero ou nãoexiste.

Exercício: Ache os pontos críticos das funções e trace seus gráficos.

1) fx = 4x2 − 3x + 2 2) fx = 2x + 5 3) st = 2t3 + t2 − 20t + 4

4) Fw = w4 − 32w 5) fz = z2 − 16 6) fx = 14 x4 − 2x2

Respostas:

41

.: 3/8;-3 -2 -1 0 1 2 3

10

20

x

y

∄;

-4 -2 2 4

10

x

y

-2, 5/3;

-4 -2 2 4

-40

-20

20

40

x

y

2;

-4 -2 2 4

-40

-20

20

40

x

y

±4;

-20 -10 0 10 20

10

20

x

y

-2, 0, 2;

-4 -2 2 4

-5

5

10

x

y

Máximos e Mínimos absolutos (globais):

Uma função f tem um máximo relativo (ou local) em x0, se fx ≤ fx0 para todo x em um intervalo aberto contendo x0.A função tem um mínimo relativo (ou local) em x0, se fx ≥ fx0 para todo x em um intervalo aberto contendo x0.

Roteiro para encontrar o máximo e o mínimo de uma função contínua f em um intervalo fechado a,b:

1) Encontre os pontos críticos de f.2) Calcule f em cada ponto crítico em a,b.3) Calcule f nos extremos do intervalo a,b.4) O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máximo.

Ex. 2: Encontre o máximo e o mínimo de

a) fx = 3x4 − 4x3 em −1,2.b) fx = 23 − x em −1,2 R.: Mín.: (2,2) Máx.: (-1,8)c) fx = 2x + 5

3em 0, 5 R.: Mín.: (0,5/3) Máx.: (5,5)

Ex. 3: Explique porque a função fx = 1x + 1

tem um mínimo em 0,2 mas não em −2,0.

Teste da derivada segunda:

Concavidade: Se a derivada segunda f ′′x é positiva num intervalo aberto, então o gráfico de f tem a concavidade voltadapara cima neste intervalo. Se f ′′x é negativa no intervalo, o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo.

Ponto de Inflexão:

Um ponto x0, fx0 do gráfico de f é um ponto de inflexão, se f ′′x0 = 0 ou o gráfico tem uma reta tangente vertical emx = x0.

Ex. 4: Trace o gráfico da seguinte função, encontrando os pontos críticos, os pontos de inflexão, os intervalos onde a

42

função é crescente, decrescente, onde a função têm concavidade voltada para cima e onde têm concavidade voltada parabaixo. Trace o fx = x3 − 3x2 + 4.Gáfico:

-4 -2 2 4

-10

10

x

y


1) Calcule os valores máximos e mínimos das funções:

a) fx = −x2 + 3x em 0,3 R.: Mín.: (0,0) e (3,0) Máx.: (3/2,9/4)b) fx = x3 − 3x2 em −1,3 R.: Mín.: (-1,4) e (2,-4) Máx.: (0,0) e (3,0)c) fs = 1

s − 2em 0,1 R.: Mín.: (1,-1) Máx.: (0,-1/2)

2) Explique porque a função fx = 1x2 tem um máximo em 1,2 mas não em 0,2.

3) Trace o gráfico das seguintes funções, encontrando os pontos críticos, os pontos de inflexão, os intervalos onde afunção é crescente, decrescente, onde a função têm concavidade voltada para cima e onde têm concavidade voltada parabaixo:

a) fx = x3 + 7x2 − 5x b) fx = 2x3 − 2x2 − 16x + 1 c) fx = x4 + 4x3 − 2x2 − 12x

d) fx = x3 − 12x e) fx = x4 − 8x2 + 1 f) yx = 23 x3 − 1

5 x5

g) yx = 13 x3 − x h) yx = 1

4 x4 − 2x2 − 4 i) yx = 13 x3 − 2x2 + 3x

Gráficos:

43

a)-8 -6 -4 -2 2

50

x

y

b)

-2 2 4

-20

-10

10

20

x

y

c)

-4 -3 -2 -1 1 2

-10

-5

5

10

x

y

d)

-4 -2 2 4

-40

-20

20

40

x

y

e)

-3 -2 -1 1 2 3

-10

x

y

f)

-2 -1 1 2

-2

2

x

y

g)

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

h)

-4 -2 2 4

-10

-5

5

x

y

i)

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

4) A potência P de uma bateria de automóvel é dada por P = VI − I2r, para uma voltagem V, corrente I e resistênciainterna r da bateria. Que corrente corresponde à potência máxima? Resp.: I = V

2r

5) A tosse faz com que a traquéia se contraia, afetando assim a velocidade com que o ar passa por ela. Suponha que avelocidade do ar ao tossir seja descrita pela fórmula v = kR − rr2; onde k é uma constante, R é o raio normal da traquéiae r é o raio da mesma durante a tosse. Que raio produz a maior velocidade? Resp.: r = 2R

3

6) A concentração C de uma certa substância química no fluxo sangüíneo em t horas após ser injetado no músculo é dadapor C = 3t

27 + t3 . Em que instante a concentração será máxima? Resp.: ≈ 2,38 horas.

7) Após a administração de uma substância química, sua concentração no fluxo sangüíneo do paciente durante umintervalo de duas horas é da forma C = 0,29483t + 0,04253t2 − 0,00035t3 , onde C é medido em miligramas e t é otempo em minutos. Encontre os intervalos abertos em que C cresce ou decresce. Resp.: Crescente quando0 < t < 84,3388 minutos. Decrescente quando 84,3388 < t < 120 minutos.

7. INTEGRAL INDEFINIDA

Até aqui, nosso problema básico era:

encontrar a derivada de uma função dada.

A partir de agora, estudaremos o problema inverso:

encontrar uma função cuja derivada é dada.

44

Ex. 1: Qual é a função cuja derivada é a função F′x = 2x ?

fx = x2 , pois ddx

x2 = 2x

A função F é chamada uma antiderivada de F′.

Definição:

Uma antiderivada da função f é uma função F tal que

F′x = fx

em todo ponto onde fx é definida.

Observação: Sabemos que Fx = x3 é uma antiderivada de F′x = 3x2, assim como:Gx = x3 + 1 e Hx = x3 − 5.

Na verdade, qualquer função do tipo Jx = x3 + C é antiderivada de F′x.

Teorema:

Se F′x = fx em todo ponto do intervalo aberto I, então

toda antiderivada G , de f em I, tem a forma

Gx = Fx + C

onde C é uma constante.

Assim, uma única função tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da função F′x é chamadaintegral indefinida (ou antidiferencial) de f com relação a x e denotada por ∫ fxdx.

∫ fxdx = Fx + C

A operação de antidiferenciação, assim como a diferenciação, é linear:

∫ cfxdx = c ∫ fxdx (onde c é uma constante)

e

∫fx ± gxdx = ∫ fxdx ± ∫gxdx

A integração e a diferenciação são operações inversas uma da outra. Este fato nos permite obter fórmulas de integraçãodiretamente das fórmulas de diferenciação.

FÓRMULAS:

45

∫ xndx = 1n+1 xn+1 + C (se n ≠ −1) ∫ sinxdx = −cos x + C ∫ tanudu = ln|secu | + C

∫dx = x + C ∫ sec2xdx = tanx + C ∫ cotudu = ln|sinu | + C

∫ exdx = ex + C ∫ csc2xdx = −cotx + C ∫ secudu = ln|secu + tanu | + C

∫ 1x dx = lnx + C ∫ secx tanxdx = secx + C ∫ cscudu = ln|cscu − cotu | + C

∫ cos xdx = sinx + C ∫ cscxcotxdx = −cscx + C

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS:

sin2x + cos2x = 1

1 + tan2x = sec2x

1 + cot2x = csc2x

secx = 1cos x

cscx = 1sinx

tanx = sinxcos x

cotx = cos xsinx


Calcule a integral de:

1 ∫ 1x3 dx 2 ∫5u3/2du 3 ∫ 2

3 xdx

4 ∫6t2 3 t dt 5 ∫4x3 + x2 dx 6 ∫ y32y2 − 3dy

7 ∫3 − 2t + t2 dt 8 ∫8x4 + 4x3 − 6x2 − 4x + 5dx 9 ∫ x x + 1dx

10 ∫x3/2 − xdx 11 ∫ 2x3 + 3

x2 + 5 dx 12 ∫ x2 + 4x − 4x

dx

13 ∫ 3 x + 13 x

dx 14 ∫3sin t − 2cos tdt 15 ∫5cos x − 4sinxdx

16 ∫ sinxcos2x

dx 17 ∫ cos xsin2x

dx 18 ∫4cscxcotx + 2sec2xdx

19 ∫3csc2t − 5sec t tan tdt 20 ∫2cot2θ − 3 tan2θdθ 21 ∫ 3tgθ − 4cos2θcosθ

dθ

Respostas:

46

1) − 12x2 + C 22u5/2 + C 33x2/3 + C

4 95 t10/3 + C 5x4 + 1

3 x3 + C 6 13 y6 − 3

4 y4 + C

73t − t2 + 13 t3 + C 8 8

5 x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + 5x + C 9 25 x5/2 + 2

3 x3/2 + C

10 25 x5/2 − 1

2 x2 + C 11 − 1x2 − 3

x + 5x + C 12 25 x5/2 + 8

3 x3/2 − 8x1/2 + C

13 34 x4/3 + 3

2 x2/3 + C 14 − 3 cos t − 2sin t + C 155sinx + 4 cos x + C

16 secx + C 17 − cscx + C 18 − 4cscx + 2 tanx + C

19 − 3cot t − 5sec t + C 20 − 2 cotθ − 3 tanθ + θ + C 213secθ − 4sinθ + C

Integração por Substituição:

Trabalharemos algumas técnicas para integrar funções compostas. Essas técnicas envolvem uma substituição. O uso dasubstituição na integração pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia na diferenciação. Iniciaremos recordando aRegra da Cadeia da diferenciação.

Seja a função y = fgx com y = fu e u = gx funções diferenciáveis. Para calcular y ′ devemos utilizar a Regra daCadeia e obteremos:

y ′ = ddx

fgx = f ′gx.g ′x = f ′u.u ′

Exemplo: Derive a função composta y = x2 + 33 :

Seja u = x2 + 3 . Então y = u3

Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos:y ′ = 3u2.u ′ = 3u2. x2 + 3 ′ = 3. x2 + 32. 2x

Teorema:

Sejam f e g duas funções tais que f ∘ g e g ′ são contínuas em um intervalo I.

Se F é uma antiderivada de f em I, então:

∫ fgxg ′xdx = Fgx + C

Ex. 1: Calcule ∫ ecosx sinxdx. Resp.: −ecosx + C

Ex. 2: Calcule ∫ cos3x + 1dx . Resp.: 13 sin3x + 1 + C

Ex. 3: Calcule ∫ 2x − 1x2 − x

dx. Resp.: ln|x2 − x|+C

Ex. 4: Calcule ∫ xex2dx. Resp.: 1

2 ex2+ C

Ex. 5: Calcule ∫ tdt

t + 3R.: 2

3 t + 33− 6 t + 3 + C


47


1) ∫ 3 3x − 4 dx 13) ∫ csc22θdθ 25) ∫ x3dx

1 − 2x2

2) ∫ 5r + 1 dr 14) ∫ r2 sec2r3dr 26) ∫ secx tanxcossecxdx

3) ∫3x 4 − x2 dx 15) ∫ 4sinxdx

1 + cos x2 27) ∫ dx3 − 2x

4) ∫ x2x2 + 16dx 16) ∫ 1

t− 1 dt

t2 28) ∫ 3xx2 + 4

dx

5) ∫ xdx

x2 + 13 17) ∫ sin2x 2 − cos 2x dx 29) ∫ 3x2

5x3 − 1dx

6) ∫ sds

3s2 + 118) ∫ sin3θcosθdθ 30) ∫ cos t

1 + 2sin tdt

7) ∫ x4 3x5 − 5 dx 19) ∫12 cos 1

4 x

sin 14 x

dx 31) ∫cot5x + csc5xdx

8) ∫x2 + 14xdx . 20) ∫ sec23 t

tdt 32) ∫ 2 − 3sin2x

cos 2xdx

9) ∫ x32 − x2 12dx 21) ∫ xx2 + 1 4 − 2x2 − x4 dx 33) ∫ 2x3

x2 − 4dx

10) ∫x3 + 31/4x5dx 22) ∫ 3 + s s + 12ds 34) ∫ dx

x lnx

11) ∫ sin 13 xdx 23) ∫2t2 + 11/3

t3dt 35) ∫ ln23xx dx

12) ∫ 12 tcos 4t2dt 24) ∫ t + 1

t

3/2 t2 − 1t2 dt 36) ∫ 2t + 3

t + 1dt

Respostas:

1) 14

3 3x − 44+ C 13) − 1

2 cot2θ + C 25) 112 1 − 2x2 3/2 − 1

4 1 − 2x2 1/2

2) 215 5r + 1

3+ C 14) 1

3 tanr3 + C 26) sinsecx + C

3) − 4 − x2 3+ C 15) 4

1 + cos x+ C 27) - 1

2 ln|3 − 2x| + C

4) 128 2x2 + 17 + C 16) − 2

31t− 1

3/2+ C 28) 3

2 lnx2 + 4 + C

5) − 14x2 + 12 + C 17) 1

3 2 − cos 2x3/2 + C 29) 15 ln|5x3 − 1| + C

6) 13 3s2 + 1 + C 18) 1

4 sin4θ + C 30) 12 ln|1 + 2sin t| + C

7) 245 3x5 − 5

3+ C 19) 4sin

12 1

4 x + C 31) 15 ln1 − cos 5x + C

8) 110 x

2 + 15 + C 20) 23 tan3 t + C 32) ln1 + sin2x + 1

2 ln|cos 2x| + C

9) −2 − x2 13

13+

2 − x2 14

28+ C 21) − 1

6 4 − 2x2 − x4 3+ C 33) x2 + 4 ln|x2 − 4| + C

10) 427 x

3 + 39/4 − 45 x

3 + 35/4 + C 22) 27 3 + s

7− 8

5 3 + s5+ 8

3 3 + s3

34) ln|lnx| + C

11) − 3cos 13 x + C 23) 3

56 2t2 + 17/3 − 332 2t2 + 14/3 + C 35) 1

3 ln33x + C

12) 116 sin4t2 + C 24) 2

5 t + 1t

5/2+ C 36) 2t + ln|t + 1| + C

48

Integração por partes:

Teorema:

Se u e v são funções de x com derivadas contínuas, então

∫udv = uv − ∫ vdu

Ex.1: Calcule ∫ xexdx . Resp.: xex − ex + C

Ex. 2: Calcule ∫ x2 lnxdx . Resp.: x3

3lnx − x3

9+ C

Ex. 3: Calcule ∫ arcsinxdx onde arcsinx ′ = 11 − x2

. Resp.: xarcsinx + 1 − x2 + C

Observação: Uma integral pode necessitar de aplicações repetidas da fórmula de integração por partes.

Ex. 4: Calcule ∫ x2 sinxdx . Resp.: −x2 cos x + 2x sinx + 2cos x + C

Ex. 5: Calcule ∫ ex cos 2xdx . Resp.: 15 ex cos 2x + 2

5 ex sin2x + C



1) ∫ xe2xdx R.: e2x

42x − 1 + C

2) ∫ xex2dx R.: 1

2 ex2+ C

3) ∫ xe−2xdx R.: − 14e2x

2x + 1 + C

4) ∫ x3exdx R.: exx3 − 3x2 + 6x − 6 + C

5) ∫ x3 lnxdx R.: x4

164 lnx − 1 + C

6) ∫ t lnt + 1dt R.: 14 2t

2 − 1 ln|t + 1| − t2 + 2t + C

7) ∫lnx2dx R.: xlnx2 − 2x lnx + 2x + C

8) ∫ lnx2

x dx R.:lnx3

3+ C

Somatório:

Trabalhamos no capítulo anterior com o conceito de integral indefinida ou antidiferencial. A partir deste momentotrabalharemos com um novo problema: Como encontrar a área de uma região no plano. Essas duas noções estãorelacionadas pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

O cálculo da área de uma região envolve a notação de somatório, que é uma forma abreviada de escrever somas demuitos termos. Esta notação utiliza a letra grega maiúscula sigma ∑.

Definição:

49

A soma de n temos a1, a2, . . . ,an é denotada por

∑i=1

n

a i = a1 + a2 +. . .+an

onde i é o índice do somatório, a i é o i-ésimo termo da soma e n e 1

são, respectivamente, os limites superior e inferior do somatório.

Exemplos:

1) ∑i=1

4

i = 1 + 2 + 3 + 4

2) ∑j=2

5

j2 = 22 + 32 + 42 + 52

3) ∑i=1

n

fx iΔx = fx1Δx + fx2Δx +. . .+fxnΔx

Observações:

1) Os limites superior e inferior do somatório tem que ser constantes.2) O limite inferior não precisa ser 1. Pode ser qualquer valor inteiro menor ou igual ao limite superior.3) Qualquer variável ( i, j ou k) pode ser usada como índice do somatório.

Área de uma região plana:

Definição:

Seja uma função contínua, não-negativa y = fx. Estudaremos a região A limitada inferiormente pelo eixo x, à esquerdapela reta x = a, à direita pela reta x = b e superiormente pela curva y = fx.

Podemos tentar a aproximação da área A tomando retângulos inscritos ou circunscritos. A somatória das áreas de cadaretângulo pode ser usada como uma aproximação para a área desejada.

A altura de cada retângulo é o valor da função fx para algum ponto t ao longo da base do retângulo. Escolhemos Δx

para a base de cada retângulo. A área será aproximadamente igual à somatória:

Sn = ft1Δx + ft2Δx +. . .+ftnΔx

Sn = ∑i=1

n

ftiΔx

quando usamos n retângulos com base Δx e ti como um ponto ao longo da base do i-ésimo retângulo.

Observação: Quanto menor escolhermos a largura Δx , melhor será a aproximação da área sob a curva. Quando Δx → 0,o número de termos n da somatória de aproximação Sn aumenta. De fato, quando Δx → 0 , n → ∞ e a somatória Sn seaproxima da área exata A sob a curva. Este processo pode ser simbolizado por:limn→∞

Sn = A.

A Integral Definida:

A área definida acima é chamada a integral de f no intervalo a,b, a qual é indicada com o símbolo

50

∫a

b

fxdx

Por definição:

∫a

b

fxdx = limn→∞ ∑

i=1

n

ftiΔx.

Quando este limite existe, dizemos que a função f é integrável no intervalo a,b.

Nota: Toda função contínua num intervalo fechado é integrável nesse intervalo.

A integral no intervalo a,b é lida como ” integral de a até b” e esses números a e b são chamados os limites deintegração (inferior e superior, respectivamente), a função f é chamada integrando. O símbolo ∫ de integral é devido aLeibniz, uma antiga grafia da letra S de soma, usado para lembrar que estamos trabalhando com o limite de umaseqüência de somas (soma de Riemann).

Observação:

Dada uma função f :

1 2 3 4 5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

y

Observe que quando fx > 0 o retângulo está ”acima” do eixo x e quando fx < 0 o retângulo está ”abaixo” do eixox. A soma de Riemann é a soma das áreas, considerando os sinais dos retângulos, isto é, se o retângulo está para cima doeixo x a soma das áreas é ”positiva” e se o retângulo está para baixo do eixo x, a soma das áreas é ”negativa”. Isto sugereque a ∫

a

bfxdx será a soma das áreas dos retângulos acima do eixo x , mais a soma das áreas dos retângulos abaixo do

eixo x (Aacima + Aabaixo).

Por exemplo, fx = 2x.

∫−2

1fxdx = −3 , pois a soma das áreas dos retângulos que estão abaixo do eixo x é -4 e a soma das áreas dos

retângulos que estão acima do eixo x é 1. Portanto, Aacima + Aabaixo = −4 + 1 = −3

Note que ∫−2

1fxdx não representa a área da região limitada pela curva, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = 1. Para

que a integral represente a área, a função f deverá verificar as seguintes condições:

1) f é contínua no intervalo fechado a,b;2) f é não-negativa no intervalo fechado a,b.

Aí sim, a área da região limitada pelo gráfico da função f, o eixo dos x e as retas verticais x = a e x = b é dada por

51

Área=∫a

bfxdx

Atenção:

1) Quando fx < 0, a Área= −∫a

bfxdx.

2) É importante notar que, a integral definida é um número e a integral indefinida é uma família de funções.

Exercícios:

Calcule as seguintes integrais definidas, encarando-as como áreas e construa os gráficos das funções envolvidas:

1) ∫−1

56dx

2) ∫−1

22x + 3dx

3) ∫−1

3|x|dx

4) ∫0

24 − x2 dx

Integrais Particulares:

∫a

afxdx = 0 , para f definida em x = a.

∫a

bfxdx = −∫

b

afxdx , para f integrável em a,b.

Propriedades da Integral Definida:

1) ∫a

bfxdx = ∫

a

cfxdx + ∫

c

bfxdx, para f integrável nos três intervalos fechados determinados por a,b e c.

2) ∫a

bkfxdx = k ∫

a

bfxdx , para f integrável em a,b e k ∈ ℜ.

3) ∫a

bfx ± gxdx = ∫

a

bfxdx ± ∫

a

bgxdx , para f e g integráveis em a,b.

4) ∫a

bfxdx ≥ 0 , para f integrável e não-negativa no intervalo fechado a,b.

5) ∫a

bfxdx ≤ ∫

a

bgxdx, para f e g integráveis no intervalo fechado a,b e fx ≤ gx para todo x em a,b.

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO:

Para calcularmos o valor da integral definida, usamos o 2o Teorema Fundamental do Cálculo que faz a relação entre aintegral indefinida e a integral definida.

Seja f contínua no intervalo fechado a,b e F uma função tal que F′x = fx

para todo x ∈ a,b. Então,

∫a

bfxdx = Fxa

b = Fb − Fa

Ex. 1: Calcule ∫1

2x3dx. Resposta: 15

4

Ex. 2: Calcule ∫3

6x2 − 2xdx. Resposta: 36

52

Ex. 3: Calcule as áreas da região limitada pela reta y = 2x − 1 , pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 5, usando oTeorema Fundamental do Cálculo. R.: 20


1) Calcule a integral de:

1) ∫1

2 x2 + 1x2 dx R.: 3/2 5) ∫

0

π/2sin2xdx R.: 1 9) ∫

−2

5|x − 3|dx R.: 29/2

2) ∫0

1 z

z2 + 13 dz R.: 3/16 6) ∫1

2t2 t3 + 1 dt R.: 2/927 − 2 2 10) ∫

0

3x + 2 x + 1 dx R.: 256/15

3) ∫1

105x − 1 dx R.: 134/3 7) ∫

0

1 y2 + 2y

3 y3 + 3y2 + 4dy R.: 2 − 3 2 11) ∫

0

1 x3 + 1x + 1

dx R.: 5/6

4) ∫−2

03w 4 − w2 dw R.: -8 8) ∫

0

15 wdw

1 + w3/4R.: 104/5 12) ∫

0

1sinπxcosπxdx R.: 0

2) Calcule as áreas das regiões abaixo, usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

a) Limitada pela reta y = −3x + 2, pelo eixo x e pelas retas x = −5 e x = −1. R.: 44

b) Limitada pela curva y = 4 − x2, pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 2. R.: 5/3

c) Limitada pela curva y = 12 − x − x2, pelo eixo x e pelas retas x = −3 e x = 2. R.: 305/6

d) Limitada pela curva y = x3 − 4, pelo eixo x e pelas retas x = −2 e x = −1. R.: 31/4

8 ÁREAS DE REGIÕES PLANAS:

CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM x :

Seja uma região num plano xy , limitada em cima pela função y = fx , embaixo pela curva y = gx e que se estendadesde x = a até x = b . Se as integrais de fx e gx de x = a até x = b existem então a área da região é

A = ∫a

b

fx − gxdx

Ex. 1: Calcule a área limitada pelas parábolas y = x2 e y = −x2 e pela reta vertical x = 2 :Resposta: 16

3 u.a.

Ex. 2: Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y = x2 e y = x de x = 0 até x = 1 :Resposta: 1

3 u.a.

Ex. 3: Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y + x2 = 6 e y + 2x − 3 = 0 de x = −1 até x = 3 :Resposta: 32

3 u.a.

CÁLCULO DE ÁREAS POR INTEGRAÇÃO EM y :

Seja uma região limitada à direita pela curva x = My e à esquerda pela curva x = Ny de y = c embaixo até y = d emcima. A área da região é

53

A = ∫c

d

My − Nydy

Ex. 1: Trace a região limitada pela parábola x = y2 e pelas retas x = y − 1 , y = −1 e y = 1 , calcule a área:Resposta: 8

3 u.a.

Ex. 2: Trace a região limitada pela parábola x = −y2 e pelas retas x − y = 4 , y = −1 e y = 2 , calcule a área:Resposta: 33

2 u.a.


1) Ache a área da região limitada por:

a) y = x2 − 2x + 3, eixo x, x = −2 e x = 1. R.: 15b) y = 6 − x − x2, eixo x. R.: 125/6c) y = x2 − 6x + 5, eixo x. R.: 32/3d) y = x2 , y = 18 − x2. R.: 72e) x = 4 − y2, x = 4 − 4y. R.: 32/3f) x = y2 − y, x = y − y2. R.: 1/3

2) A área da região limitada pelos gráficos de y = x3 e y = x não pode ser calculada utilizando-se apenas a integral∫−1

1x3 − xdx. Explique por quê. Em seguida use um argumento de simetria para escrever uma só integral que represente

a área em questão.

3) Utilize integração para calcular a área do triângulo cujos vértices são 0,0, 4,0 e 4,4. R.: 8.

4) Ache, por integração, a área do triângulo tendo vértices 3,4, 2,0 e 0,1. R.:9/2

5) Determine a área da região limitada pelos gráficos das equações y = ex e y = x , x = 0 e x = 1. Resposta: 1,05 u.a.

6) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções y = x e x + y = 4 de x = 0 até x = 2 :Resposta: 4 u.a.

7) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x = y2 e x = 2y de x = 0 até x = 4 :Resposta: 4

3 u.a.

8) Trace a região limitada pela parábola x = 4Y − y2 e pelas retas x = 0 e y = 0 , calcule a área:Resposta: 32

3 u.a.

9) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x = y2 e x = 2y de y = 0 até y = 2 :Resposta: 4

3 u.a.

10) Ache a área da região delimitada pelos gráficos das funções x = y2 e x − y = 2 de y = −1 até y = 2 :Resposta: 9

2 u.a.

VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO:

MÉTODO DOS DISCOS (CILINDROS):

54

Suponhamos que a parte superior de uma região R seja uma função y = fx e a parte inferior, a reta y = L, de x = a atéx = b. Então, o sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta y = L tem volume:

V = ∫a

b

Axdx = ∫a

b

πfx − L2dx

Ex. 1: Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela função y = x3, girando em torno da reta y = −1 para x = −1até x = 1 :Resposta: 16

7 π u.v.

Ex. 2: A região delimitada pelo eixo x, pelo gráfico da função y = x2 + 1 e pelas retas x = −1 e x = 1 gira em torno doeixo x. Determine o volume do sólido resultante:Resposta: 56

15 π u.v.

Ex. 3: A região delimitada pelo eixo y e pelos gráficos de y = x3 , y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo y. Determine ovolume do sólido resultante:Resposta: 93

5 π u.v.

MÉTODO DOS ANÉIS:

Suponhamos que a parte de cima de uma região R seja y = fx e a parte de baixo seja y = gx de x = a até x = b, entãoo volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno da reta horizontal y = L é

V = ∫a

b

Axdx = ∫a

b

πRx2 − rx2dx

onde Rx é o raio exterior da seção em x e rx é o raio interior da seção em x.

Ex. 4: Dado o triângulo delimitado pelas retas y = 14 x + 3 e y = − 1

4 x + 3 de x = 0 até x = 4. Calcule o volume do sólidogerado pela rotação deste triângulo em torno do eixo horizontal y = 1.Resposta: 16π u.v.

Ex. 5: A região delimitada pelos gráficos de x2 = y − 2 e 2y − x − 2 = 0 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1, gira emtorno do eixo x. Determine o volume do sólido resultante:Resposta: 79

20 π u.v.


1) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região descrita no exemplo anterior em torno da reta y = 3 :Resposta: 51

20 π u.v.

2) A região do primeiro quadrante delimitada pelos gráficos de y = 18 x3 e y = 2x, gira em torno do eixo y. Determine o

volume do sólido resultante:Resposta: 512

15 π u.v.

3) A região delimitada pelos gráficos de x = y2 e 2y − x = 0 , gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólidoresultante:Resposta: 64

15 π u.v.

4) A região delimitada pelos gráficos de y2 = x e y − x = −2 , gira em torno do eixo y. Determine o volume do sólidoresultante: Resposta: 72

5 π u.v.

55

5) A região delimitada pelos gráficos de x = y e y + x = 4 , gira em torno do eixo x. Determine o volume do sólidoresultante:Resposta: 16π u.v.

6) Estabeleça uma integral que permita achar o volume do sólido gerado pela revolução da função x + 2y = 4 girando emtorno da reta:

a) y = −2 Resp.: 643 π u.v.

b) y = 5 Resp.: 2483 π u.v.

c) x = 7 Resp.: 1363 π u.v.

d) x = −4 Resp.: 1283 π u.v.

56

1. introdução: - ufpel

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