Ion PETRESCU Victoria PETRESCU

Dinamica

Mecanismelor de Distribuţie

Publisher

London Uk 2011 London Uk

2

copyright

Scientific reviewer:

Prof. Consul. Dr. Ing. Păun ANTONESCU

Copyright

Title book: Distribution Mechanism Dynamics

Author book: Ion PETRESCU & Victoria PETRESCU

© 2011, Florian Ion PETRESCU

petrescuflorian@yahoo.com

ALL RIGHTS RESERVED. This book contains material protected under International and Federal Copyright Laws and Treaties. Any unauthorized reprint or use of this material is prohibited. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system without express written permission from the authors / publisher.

ISBN 978-1-4476-2879-8

3

SD

SCURTĂ DESCRIERE

Prezenta carte îşi propune să rezolve

problemele principale de dinamică, ce apar la

mecanismele de distribuţie ale automobilelor şi

autovehiculelor rutiere. Sunt modulate şi luate în

calcul mai multe tipuri de mecanisme de

distribuţie cu camă şi tachet.

Se porneşte cu mecanismul clasic de

distribuţie, având cama rotativă şi tachetul de

translaţie plat (cu talpă), construit clasic cu un

unghi de 90 [grade sexazecimale] între talpă şi

axa de translaţie a tachetului.

Se continuă cu mecanismul de distribuţie care

are cama rotativă şi tachetul de translaţie cu

rolă.

Următorul modul prezentat păstrează cama

rotativă şi tachetul cu rolă, dar acesta din urmă

4

nu mai translatează ci se roteşte, rotaţia fiind sub

forma unui balans.

Ultimul modul de distribuţie studiat în cadrul

cărţii are tot cama de rotaţie şi tachetul de rotaţie

(balansier) plat (cu talpă).

La fiecare modul se prezintă pe scurt,

geometria sa, cinematica, cinematica de

precizie, cinetostatica (forţele care acţionează în

cupla mecanismului de distribuţie considerat), şi

dinamica mecanismului respectiv, care cuprinde

două aspecte principale, randamentul

mecanismului, şi cinematica sa dinamică

(cinematica reală a mecanismului de distribuţie,

influenţată de toţi parametrii funcţionali, inclusiv

de forţele de inerţie).

5

C

CUPRINS

SCURTĂ DESCRIERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 003

CUPRINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 005

INTRODUCERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 008

1. UN SCURT ISTORIC AL MECANISMELOR DE DISTRIBUłIE LEGAT DE ISTORICUL MOTORULUI OTTO ŞI DE CEL AL AUTOMOBILULUI . . . . . . . . . . . . 015

1.1. ApariŃia şi dezvoltarea motoarelor cu ardere internă, cu supape, de tip Otto sau Diesel 015

1.2. Primele mecanisme cu supape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 016

1.3. Primele mecanisme cu came . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 017

1.4. Mecanismele de distribuŃie – prezentare generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 018

2. MODELE DINAMICE ALE MECANISMELOR CU CAME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 024

2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă . . . . . . . . . . . . . . . . . 024

2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă . . . . . . . . . . . . . . . . . . 025

2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă . . . . . . . . . . . . . . 026

2.4. Model dinamic cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a resortului supapei . . . 026

2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 027

2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraŃii torsionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 028

2.6.1. Model dinamic monomasic amortizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 029

2.6.2. Model dinamic bimasic amortizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 030

2.6.3. Model dinamic monomasic cu vibraŃii torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 031

2.6.4. InfluenŃa vibraŃiilor transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 032

2.7. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraŃii de încovoiere . . . . . . . . . . . . . . . . . 034

2.8. Modele dinamice cu amortizare internă variabilă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 038

2.8.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a sistemului variabilă. . . 038

2.8.1.1. Determinarea coeficientului de amortizare al mecanismului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 039

2.8.1.2. Determinarea ecuaŃiilor de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 044

2.8.2. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă variabilă . . . . . . . . . 045

2.8.2.1. EcuaŃiile de mişcare pentru modelul dinamic cu patru mase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 046

3. DINAMICA GENERALĂ A MECANISMELOR CU CAMĂ ŞI TACHET, EXEMPLIFICATĂ PE MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUłIE . . . . . . . . . . . . . . . . 051

3.1. Cinematica exactă, la mecanismul clasic de distribuŃie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 051

3.2. Coeficientul de transmitere al forŃelor (TF) la modulul clasic C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 059

3.3. Sinteza profilului camei, la modulul clasic C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 062

3.4. Rezolvarea aproximativă a ecuaŃiei de mişcare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 065

6

3.5. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, (cea care a fost obŃinută la paragraful 2.8.1.) . . . . . . . . . 069

3.5.1. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, printr-o soluŃie particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 070

3.5.2. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, printr-o soluŃie particulară completă . . . . . . . . . . . . . . 072

3.5.3. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, cu ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor . . . . . . . . . . . . 074

3.5.4. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, în doi paşi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 075

3.6. Prezentarea unei ecuaŃii diferenŃiale, (model dinamic), care Ńine cont de masa camei . . . 076

3.7. Determinarea anticipată a vitezei şi a acceleraŃiei dinamice reduse la axa supapei . . . . . . 080

3.7.1. Determinarea anticipată aproximativă a vitezei reduse şi a acceleraŃiei reduse a supapei 081

3.7.2. Determinarea anticipată precisă a vitezei reduse şi a acceleraŃiei reduse a supapei . . . . 083

3.7.3. Determinarea anticipată, precisă, a vitezei reduse şi a acceleraŃiei reduse a supapei,

prin metoda cu diferenŃe finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 086

3.7.4. Determinarea anticipată şi precisă a vitezei reduse şi a acceleraŃiei reduse a supapei,

utilizând modelul dinamic care ia în calcul şi masa m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 087

3.8. Model dinamic cu integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 090

3.9. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale prin, integrare directă şi obŃinerea ecuaŃiei mamă. . . . . . . 094

3.9.1. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, mamă, prin utilizarea ipotezei statice . . . . . . . . . . . . . . . 096

3.9.1.1. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale,mamă, prin utilizarea ipotezei statice,

prin rezolvarea obişnuită a ecuaŃiei de gradul II, în x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 096

3.9.1.2. Rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale,mamă, cu ajutorul ipotezei statice, prin utilizarea diferenŃelor finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 097

4. ANALIZA DINAMICĂ LA MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUłIE . . . . . . . . . . 100

4.1. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaŃiei (3.107), bazată pe dezvoltările

în serie Taylor şi pe modelul dinamic-A1, cu amortizare internă variabilă,

fără considerarea masei m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaŃiei (3.107), bazată pe modelul

dinamic cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, cu

rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale în doi paşi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaŃiei (3.124),

cu considerarea masei m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaŃiilor (3.139), (3.140), (3.141),

pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, aproximativă, a vitezei şi acceleraŃiei reduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaŃiilor (3.143-3.146),

pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraŃiei reduse la supapă . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7

4.6. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaŃiilor (3.168, 3.169, 3.162), pentru modelul dinamic cu considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraŃiei reduse la supapă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.7. Analiza dinamică, cu ajutorul relaŃiilor (3.186-3.187), pentru modelul dinamic cu

integrare, fără considerarea masei m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.8. Analiza dinamică, cu ecuaŃia mamă, obŃinută prin ipoteza statică (3.196), cu rezolvarea normală a ecuaŃiei de gr. II, (3.198, 3.200) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.9. Analiza dinamică, cu ecuaŃia mamă, obŃinută prin ipoteza statică (3.196), rezolvând

ecuaŃia de gr. II, prin diferenŃe finite (3.204, 3.205) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.10. Analiza dinamică, cu ecuaŃia mamă, obŃinută prin ipoteza statică (3.196),

prin diferenŃe finite cu relaŃiile (3.203, 3.206) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5. DINAMICA, MEC DE DISTRIBUłIE CU TACHET DE TRANSLAłIE CU ROLĂ . 113

5.1. Prezentare generală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2. RelaŃiile pentru trasarea profilului camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3. Cinematica exactă la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4. Determinarea coeficientului TF la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5. Determinarea funcŃiei de transmitere, D, la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6. Dinamica modulului B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.7. Analiza dinamică la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6. DINAMICA, MEC DE DISTRIBUłIE CU TACHET BALANSIER CU ROLĂ . . . . . 141

6.1. Prezentare generală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2. Determinarea unghiului de presiune, δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3. Determinarea unghiului de presiune suplimentar (intermediar), α . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

6.4. Cinematica de bază la Modulul F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

6.5. RelaŃiile pentru trasarea profilului camei, la Modulul F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.6. Determinarea coeficientului TF la mecanismul cu camă rotativă

şi tachet balansier cu rolă ( Modul F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6.7. Determinarea funcŃiei de transmitere a mişcării, la mecanismul cu

camă rotativă şi tachet balansier cu rolă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.8. Dinamica la Modulul F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.9. Analiza dinamică a modulului F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7. DINAMICA, MEC DE DISTRIBUłIE CU TACHET BALANSIER PLAT . . . . . . . . . . 164

7.1. Prezentare general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.2. Dinamica la Modulul H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7.3. Analiza dinamică a modulului H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

8

I I N T R O D U C E R E

Dezvoltarea şi diversificarea autovehiculelor rutiere şi a vehiculelor, mai ales cea a automobilelor, împreună cu motoarele termice, în special cele cu ardere internă (fiind mai compacte, mai robuste, mai independente, mai fiabile, mai puternice, mai dinamice, etc...), a forţat şi dezvoltarea într-un ritm alert a dispozitivelor, mecanismelor, şi ansamblurilor componente. Cele mai studiate fiind trenurile de putere şi cel al transmisiei.

Trenul de putere la motoarele termice generalizate, cu ardere internă (în patru timpi, de tip Otto sau Diesel) cuprinde în cele mai multe cazuri (cu excepţia unor motoare rotative) şi unul sau mai multe mecanisme de distribuţie cu came, tacheţi, supape, etc.

Mecanismele de distribuţie clasice sunt robuste, fiabile, dinamice, cu răspuns rapid, şi deşi au funcţionat cu randamente mecanice foarte scăzute, răpind mult din puterea motorului şi provocând efectiv o poluare suplimentară şi un consum sporit de combustibili, nu s-a putut renunţa la ele nici până în prezent. O altă problemă a lor o reprezenta turaţia scăzută de la care aceste mecanisme încep să producă vibraţii şi zgomote foarte mari.

Privind realist situaţia, mecanismele de distribuţie cu camă şi tachet, sunt cele care au putut produce în dezvoltarea omenirii mai multe revoluţii industriale, economice, sociale, etc. Ele au contribuit esenţial la dezvoltarea motoarelor cu ardere internă şi la

9

răspândirea lor în detrimentul motoarelor termice cu ardere externă (cu aburi, sau Stirling).

Problema randamentului foarte scăzut, a noxelor mari şi a consumului foarte mare de putere şi de combustibil, a fost mult ameliorată şi reglementată în ultimii 20-30 ani, prin dezvoltarea şi introducerea unor mecanisme de distribuţie moderne, care pe lângă randamente mai ridicate (ce aduc imediat o mare economie de combustibili) realizează şi o funcţionare optimă, fără zgomote, fără vibraţii, cu noxe mult diminuate, în condiţiile în care turaţia motorului maximă posibilă a crescut de la 6000 la circa 30000 [rot/min].

Cartea aceasta împreună cu multe alte lucrări din acest domeniu ale autorilor ei, încearcă să aducă un sprijin suplimentar dezvoltării mecanismelor de distribuţie, astfel încât performanţele lor şi ale motoarelor pe care ele le vor echipa să poată spori în continuare.

O performanţă deosebită este creşterea în continuare a randamentului mecanic al sistemelor de distribuţie, până la cote nebănuite până în prezent, fapt ce va aduce o economie de combustibili majoră.

Rezervele de petrol şi cele energetice actuale ale omenirii sunt limitate. Până la implementarea de noi surse energetice (care să preia controlul real în locul combustibililor fosilici) o sursă alternativă reală de energie şi de combustibili este chiar „scăderea consumului de combustibil al unui autovehicul”, fie că vom arde petrol, gaze şi derivaţi petrolieri, fie că vom implementa într-o primă fază biocombustibilii, iar mai târziu şi hidrogenul (extras din apă).

10

Scăderea consumului de combustibil pentru un anumit tip de vehicul, pentru o sută de km parcurşi, s-a produs în mod constant din anul 1980 şi până în prezent şi va continua şi în viitor.

Chiar dacă se vor înmulţi hibrizii şi automobilele cu motoare electrice, să nu uităm că ele trebuie să se încarce cu curent electric care în general este obţinut tot prin arderea combustibililor fosilici, cu precădere petrol şi gaze, în proporţie planetară actuală de circa 60%. Ardem petrolul în centrale termice mari ca să ne încălzim, să avem apă caldă menajeră, şi energie electrică pentru consum, şi o parte din această energie o luăm suplimentar şi o consumăm suplimentar pe (auto)vehicule cu motoare electrice, dar problema globală, energetică nu se rezolvă, criza chiar se adânceşte. Aşa s-a întâmplat atunci când am electrificat forţat calea ferată pentru trenuri, când am generalizat tramvaiele, troleibuzele şi metrourile, consumând mai mult curent electric produs mai ales din petrol; consumul petrolier a crescut mult, preţul său a trebuit să aibă un salt uriaş, şi ne uităm cum rezervele dispar rapid.

Generalizând brusc şi automobilele electrice (deşi nu suntem încă pregătiţi real pentru acest lucru), vom da o nouă lovitură rezervelor de petrol şi gaze.

Din fericire în ultima vreme s-au dezvoltat foarte mult biocombustibilii, biomasa şi energetica nucleară (deocamdată cea bazată pe reacţia de fisiune nucleară). Acestea împreună şi cu hidrocentralele, au reuşit să producă circa 40% din energia reală consumată global. Numai circa 2-3% din resursele energetice globale sunt produse prin diverse alte metode alternative (în ciuda eforturilor făcute până acum).

11

Acest fapt nu trebuie să ne dezarmeze, şi să renunţăm la implementarea centralelor solare, eoliene, etc.

Totuşi, ca o primă necesitate de a scădea şi mai mult procentul de energii globale obţinute din petrol şi gaze, primele măsuri energice ce vor trebui continuate, vor fi sporirea producţiei de biomasă şi biocombustibili, împreună cu lărgirea numărului de centrale nucleare (în ciuda unor evenimente nedorite, care ne arată doar faptul că centralele nucleare pe fisiune trebuiesc construite cu un grad sporit de siguranţă, şi în nici un caz eliminate încă de pe acum, ele fiind în continuare, cea ce au fost şi până acum, „un rău necesar”).

Sursele alternative vor lua ele singure o amploare nebănuită, dar aşteptăm ca şi energia furnizată de ele să fie mult mai consistentă în procente globale, pentru a putea să ne şi bazăm pe ele la modul real (altfel, riscăm ca toate aceste energii alternative să rămână un fel de „basm”).

Programele energetice de tip combustibil hidrogen, „când demarează, când se opresc”, astfel încât nu mai e timp real acum pentru a ne salva energetic prin ele, deci nu mai pot fi prioritare, dar pe camioane, şi autobuze ar putea fi implementate chiar acum, deoarece au fost rezolvate parţial problemele cu stocarea. Problema mai mare la hidrogen nu mai este stocarea sigură, ci cantitatea mare de energie necesară pentru extragerea lui, şi mai ales pentru stocarea (îmbutelierea) lui. Cantitatea uriaşă de energie electrică consumată pentru îmbutelierea hidrogenului, va trebui să fie obţinută în totalitate prin surse alternative energetice, în caz contrar programele pentru hidrogen nefiind rentabile pentru

12

omenire, cel puţin pentru moment. Personal cred că utilizarea imediată a hidrogenului extras din apă cu ajutorul energiilor alternative, ar fi mai potrivită la navele maritime.

Am arătat detaliat motivele pentru care motorul Otto sau de tip Otto, a supravieţuit şi a continuat să se dezvolte chiar în plină criză energetică, astfel încât nu mai e necesar să facem o altă precizare referitoare la necesitatea prezentării acestei cărţi.

Poate doar să mai spunem că datorită lui în plină criză energetică (şi nu doar energetică, din 1970 şi până azi), producţia de automobile şi autovehicule a sporit într-un ritm alert (dar firesc), în loc să scadă, iar acestea au şi fost comercializate şi utilizate. S-a pornit la declanşarea crizei energetice mondiale (în anii 1970) de la circa 200 milioane autovehicule pe glob, s-a atins cifra de aproximativ 350 milioane în 1980 (când s-a declarat pentru prima oară criza energetică şi de combustibili mondială), în 1990 circulau circa 500 milioane autovehicule pe glob, iar în 1997 numărul de autovehicule înmatriculate la nivel mondial depăşea cifra de 600 milioane. În 2010 circulă pe întreaga planetă peste 800 milioane autovehicule.

Primul capitol prezintă un scurt istoric al apariţiei şi dezvoltării motoarelor cu ardere internă, datorită cărora au apărut şi s-au dezvoltat şi mecanismele de distribuţie; de acest istoric sunt legate nume sonore ale unor cercetători şi ingineri, olandezi, belgieni, francezi, elveţieni, englezi şi mai ales germani. Este meritul

13

inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a fi construit primul motor cu ardere internă în patru timpi, în anul 1866, având aprinderea electrică, carburaţia şi distribuţia într-o formă avansată. În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel. Primele mecanisme cu supape apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts. Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de ţesut. Se face o prezentare a mecanismelor de distribuţie utilizate la motoarele cu ardere internă: se remarcă modelele actuale cu patru supape pe cilindru, cu distribuţie variabilă, în special modelul suedez al firmei „Scania”, cel franţuzesc al firmelor reunite „Peugeot-Citroen”, şi modelele germane ale concernului „Volkswagen”.

Capitolul al doilea prezintă câteva modele dinamice utilizate la studiul mecanismelor de distribuţie. Se prezintă şi un model dinamic original „cu amortizare internă variabilă”, [A15, A17, P29, P34], (a se vedea cap. 2.8.).

Capitolul 3, prezintă efectiv dinamica mecanismelor de distribuţie, exemplificată pe mecanismul clasic cu camă rotativă şi tachet plat translant. La începutul capitolului este prezentată cinematica de precizie (cinematica dinamică, originală), a acestui tip de mecanism ([P30], [P31], [P32], [P33], [P34], [P35], [P38]).

Capitolul 4 face analiza dinamică pentru sistemul de distribuţie clasic (a se vedea şi lucrările: [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29], [P34]), pe baza

14

Welcome!

relaţiilor dinamice prezentate în cap. 3, utilizând programe de calcul originale (scrise în excel); în fiecare program sunt generate, diagramele dinamice ale deplasării, vitezei şi acceleraţiei tachetului şi supapei, viteza unghiulară variabilă a camei, profilul sintetizat al camei; cele mai interesante fiind profilul camei, deplasarea şi acceleraţia supapei).

Capitolul 5, se ocupă de studiul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă, modul B.

Capitolul 6, tratează dinamica modulului F, la care tachetul este tot cu rolă (bilă), însă are o mişcare de rotaţie (balans).

Capitolul 7 prezintă mai concentrat, modulul H, reprezentând cama rotativă cu tachet rotativ plat.

Autorii

15

CAP. 1

UN SCURT ISTORIC AL MECANISMELOR DE

DISTRIBUŢIE LEGAT DE ISTORICUL MOTORULUI OTTO ŞI DE CEL AL

AUTOMOBILULUI

1.1. Apariţia şi dezvoltarea motoarelor cu ardere internă, cu supape, de tip Otto sau Diesel

În anul 1680 fizicianul olandez, Christian Huygens proiectează primul motor cu ardere internă.

În 1807 elveŃianul Francois Isaac de Rivaz inventează un motor cu ardere internă care utiliza drept combustibil un amestec lichid de hidrogen şi oxigen. Automobilul proiectat de Rivaz pentru noul său motor a fost însă un mare insucces, astfel încât şi motorul său a trecut pe linie moartă, neavând o aplicaŃie imediată.

În 1824 inginerul englez Samuel Brown adaptează un motor cu aburi determinându-l să funcŃioneze cu benzină.

În 1858 inginerul de origine belgiană Jean Joseph Etienne Lenoir, inventează şi brevetează doi ani mai târziu, practic primul motor real cu ardere internă cu aprindere electrică prin scânteie, cu gaz lichid (extras din cărbune), acesta fiind un motor ce funcŃiona în doi timpi. În 1863 tot belgianul Lenoir este cel care adaptează la motorul său un carburator făcându-l să funcŃioneze cu gaz petrolier (sau benzină).

În anul 1862 inginerul francez Alphonse Beau de Rochas, brevetează pentru prima oară motorul cu ardere internă în patru timpi (fără însă a-l construi).

Este meritul inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a construi (realiza fizic, practic, modelul teoretic al francezului Rochas), primul motor cu ardere internă în patru timpi, în

16

anul 1866, având aprinderea electrică, carburaŃia şi distribuŃia într-o formă avansată.

Zece ani mai târziu, (în 1876), Nikolaus August Otto îşi brevetează motorul său.

În acelaşi an (1876), Sir Dougald Clerk, pune la punct motorul în doi timpi al belgianului Lenoir, (aducându-l la forma cunoscută şi azi).

În 1885 Gottlieb Daimler aranjează un motor cu ardere internă în patru timpi cu un singur cilindru aşezat vertical şi cu un carburator îmbunătăŃit.

Un an mai târziu şi compatriotul său Karl Benz aduce unele îmbunătăŃiri motorului în patru timpi pe benzină. Atât Daimler cât şi Benz lucrau noi motoare pentru noile lor autovehicole (atât de renumite).

În 1889 Daimler îmbunătăŃeşte motorul cu ardere internă în patru timpi, construind un «doi cilindri în V», şi aducând distribuŃia la forma clasică de azi, «cu supapele în formă de ciupercuŃe».

În 1890, Wilhelm Maybach, construieşte primul «patru-cilindri», cu ardere internă în patru timpi.

În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel.

1.2. Primele mecanisme cu supape

Primele mecanisme cu supape (fig. 1.1) apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts.

17

Fig. 1.1. Primele mecanisme cu supape,

utilizate la locomotivele cu aburi.

1.3. Primele mecanisme cu came

Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de Ńesut.

Fig. 1.2. Război de Ńesut.

În 1719, în Anglia, un oarecare John Kay deschide într-o clădire cu cinci etaje o filatură. Cu un personal de peste 300 de femei şi copii, aceasta avea să fie prima fabrică din lume. Tot el devine celebru inventând suveica zburătoare, datorită căreia Ńesutul devine mult mai rapid. Dar maşinile erau în continuare acŃionate manual. Abia pe la 1750 industria textilă avea să fie revoluŃionată prin aplicarea pe scară largă a acestei invenŃii. IniŃial Ńesătorii i s-au opus, distrugând suveicile zburătoare şi alungându-l pe inventator. Pe la

18

1760 apar războaiele de Ńesut şi primele fabrici în accepŃiunea modernă a cuvântului. Era nevoie de primele motoare. De mai bine de un secol, italianul Giovanni Branca propusese utilizarea aburului pentru acŃionarea unor turbine. Experimentele ulterioare nu au dat satisfacŃie. În FranŃa şi Anglia, inventatori de marcă, ca Denis Papin sau marchizul de Worcester, veneau cu noi şi noi idei. La sfârşitul secolului XVII, Thomas Savery construise deja „prietenul minerului”, un motor cu aburi ce punea în funcŃiune o pompă pentru scos apa din galerii. Thomas Newcomen a realizat varianta comercială a pompei cu aburi, iar inginerul James Watt realizează şi adaptează un regulator de turaŃie ce îmbunătăŃeşte net motorul. Împreună cu fabricantul Mathiew Boulton construieşte primele motoare navale cu aburi şi în mai puŃin de o jumătate de secol, vântul ce asigurase mai bine de 3000 de ani forŃa de propulsie pe mare mai umfla acum doar pânzele navelor de agrement. În 1785 intră în funcŃiune, prima filatură acŃionată de forŃa aburului, urmată rapid de alte câteva zeci.

1.4. Mecanismele de distribuţie – prezentare generală

Primele mecanisme de distribuŃie apar odată cu motoarele în patru timpi pentru automobile.

Schemele arborelui cu came şi a mecanismului de distribuŃie pot fi urmărite în figura 1.3:

1. – roata de lanŃ;

2. – fixare axială a arborelui;

3. – camă;

4. – arborele de distribuŃie zonă neprelucrată ;

5. – fus palier;

6. – carcasă.

19

1. – arbore de distribuŃie;

2. – tachet;

3. – tijă împingătoare;

4. – culbutor;

5. – supapă;

6. – arc de supapă.

a) – model clasic cu tijă şi culbutor;

b) – varianta compactă.

Fig. 1.3. Schema mecanismului de distribuŃie.

Un model constructiv pentru varianta compactă, b. Tachetul este clasic, adică plat.

În ultimii 25 ani, s-au utilizat fel de fel de variante pentru a spori numărul de supape pe un cilindru; de la 2 supape pe cilindru s-a ajuns chiar la 12 supape/cilindru; s-a revenit însă la variantele mai simple cu 2, 3, 4, sau 5 supape/cilindru. O suprafaŃă mai mare de admisie sau evacuare se poate obŃine şi cu o singură supapă, dar atunci

20

când sunt mai multe se poate realiza o distribuŃie variabilă pe o plajă mai mare de turaŃii.

În figura 1.4 se poate vedea un mecanism de distribuŃie echilibrat, de ultimă generaŃie, cu patru supape pe cilindru, două pentru admisie şi două pentru evacuare; s-a revenit la mecanismul clasic cu tijă împingătoare şi culbutor, deoarece dinamica acestui model de mecanism este mult mai bună (decât la modelul fără culbutor). Constructorul suedez a considerat chiar că se poate îmbunătăŃii dinamica mecanismului clasic utilizat prin înlocuirea tachetului clasic cu talpă printr-unul cu rolă.

Fig. 1.4. Schema mecanismului de distribuŃie Scania

(cu tachet cu rolă şi patru supape/cilindru).

Mecanismul de distribiŃie Scania.

Camera de ardere modulară are o construcŃie unică a sistemului de acŃionare a supapelor. Arcurile supapelor exercită forŃe mari pentru a asigura închiderea lor rapidă. ForŃele pentru deschiderea lor sunt asigurate de tacheŃi cu rolă acŃionaŃi de arborele cu came.

21

Economie: TacheŃii şi camele sunt mari, asigurând o acŃionare lină şi precisă asupra supapelor. Aceasta se reflectă în consumul redus de combustibil.

Emisii poluante reduse: AcurateŃea funcŃionării mecanismului de distribuŃie este un factor vital în eficienŃa motorului şi în obŃinerea unei combustii curate.

Cost de operare: Un beneficiu important adus de dimensiunile tacheŃilor este rata scăzută a uzurii lor. Acest fapt reduce nevoia de reglaje. FuncŃionarea supapelor rămâne constantă pentru o perioada lungă de timp. Dacă sunt necesare reglaje, acestea pot fi făcute rapid şi uşor.

În figura 1.5 se pot vedea schemele cinematice ale mecanismului de distribuŃie cu două (în stânga), respectiv cu patru (în dreapta) supape pe cilindru.

Fig. 1.5. Schemele cinematice ale mecanismului de distribuŃie cu două (în stânga), respectiv cu patru (în dreapta) supape pe cilindru.

În figura 1.6 se poate vedea schema cinematică a unui mecanism cu distribuŃie variabilă cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj (motor hibrid realizat de grupul Peugeot-Citroen în anul 2006).

22

Fig. 1.6. Schema cinematică a unui mecanism cu distribuŃie variabilă cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj (motor hibrid realizat de grupul Peugeot-Citroen în anul 2006).

Fig. 1.7. DistribuŃie cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj: în stânga se vede un motor Audi V-6, model-2007, iar în dreapta un Volkswagen normal cu 4 cilindri în linie verticali, model-2006.

23

Aproape toate modelele actuale s-au stabilizat la patru supape pe cilindru pentru a realiza astfel o distribuŃie variabilă (vezi şi modelele concernului Volkswagen, figura 1.7.).

În 1971 K. Hain propune o metodă de optimizare a mecanismului cu camă pentru a obŃine la ieşire un unghi de transmitere optim (maxim) şi o acceleraŃie minimă [H4].

În 1979 F. Giordano investighează influenŃa erorilor de măsurare în analiza cinematică a camei [G4].

În 1985 P. Antonescu prezintă o metodă analitică pentru sinteza mecanismului cu camă şi tachet plat [A11, A12, A13], şi a mecanismului cu tachet balansier [A26, A27, A28, A29, A30, A31, A32, A33, A34, A35, A36, A37].

În 1988 J. Angeles şi C. Lopez-Cajun prezintă sinteza optimală a mecanismului cu camă şi tachet plat oscilant [A20].

În 2001 Dinu Taraza analizează influenŃa profilului sintetizat al camei, asupra variaŃiei vitezei unghiulare a arborelui de distribuŃie, şi asupra parametrilor de putere, sarcină, consum şi emisii ai motorului cu ardere internă [T10, T11, T12, T13].

În 2005 Fl. I. Petrescu şi R. V. Petrescu prezintă o metodă de sinteză a profilului camei rotative cu tachet de translaŃie sau rotativ, plat sau cu rolă, pentru obŃinerea unor randamente ridicate la ieşire [P33, P34, P35, P38].

24

CAP. 2

MODELE DINAMICE ALE MECANISMELOR CU CAME

2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă

În lucrarea [W1] se prezintă un model dinamic de bază, cu un singur grad de libertate, cu două resorturi şi cu dublă amortizare internă, pentru simularea mişcării mecanismului cu camă şi tachet (vezi fig. 2.1.) şi relaŃiile de calcul (2.1-2.2).

yyxxx &&&& 1121

2222 22 ωξωωωξ +=++ (2.1)

M

cc

M

c

M

KK

M

K )(2;2;

)(; 21

221

1121

21

1

+==

+== ωξωξωω (2.2)

M

x

y

k2

k1

c2

c1

y= miscarea de intrare impusã deprofilul camei,x= miscarea de iesire, a tachetului,k1 si k2 reprezintã elasticitãtile siste-mului, c1 si c2 amortizãrile din sistemsi M este masa redusã.

Fig. 2.1. Model dinamic cu un grad de libertate,

cu dublă amortizare internă

25

EcuaŃia de mişcare a sistemului propus (2.1), utilizează notaŃiile (relaŃiile) din sistemul (2.2); ω1 şi ω2 reprezintă pulsaŃiile proprii ale sistemului şi se calculează din sistemul de relaŃii (2.2), în funcŃie de elasticităŃile K1 şi K2 ale sistemului din figura 2.1, cât şi în funcŃie de masa redusă M, a sistemului.

2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă

În lucrarea [F1] este prezentat modelul dinamic de bază al unui mecanism cu camă, tachet şi supapă, cu două grade de libertate, fără amortizare internă (vezi fig. 2.2.).

zxy += (2.3)

0112

2

)( sxKyKKdt

ydm −=++ (2.4)

zkxmxyKxmFn 1111 )( −=−−= &&&& (2.5)

m

m1

k

k1

y

x

Model clasic, cu douã grade de libertate,fãrã amortizãri si care tine cont de forta deprestrângere s0 .(2) reprezintã ecuatia de miscare a supapei(3)reprezintã ecuatia de miscare a tachetu-lui, din care se scoate si ecuatia de conti-nuitate a miscãrii.

Fig. 2.2. Model dinamic cu două grade de libertate,

fără amortizare internă

26

2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă

Un model dinamic cu ambele amortizãri din sistem, cea externã (a resortului supapei) si cea internã, este cel prezentat în lucrarea [J2], (vezi fig. 2.3.).

y

m

camă

masă

amortizare

internă

amortizare

externă

tachet

elasticitate

Fig. 2.3. Model dinamic cu un grad de libertate

cu amortizare internă şi externă

2.4. Model dinamic cu un grad de libertate,

ţinând cont de amortizarea internă a resortului supapei

Un model dinamic cu un grad de libertate, generalizat, este prezentat în lucrarea [T7], (vezi fig. 2.4.):

ELASTICITATEA

ECHIVALENTA

A SISTEMULUI

K

MASA ECHIVALENTA A

SISTEMULUI

My, y, y

IESIRE

. ..

ELASTICITATEA

RESORTULUI

SUPAPEI,

Kr

AMORTIZAREA

RESORTULUI

SUPAPEI,

Cr

S

INTRARE

Fig. 2.4. Model dinamic cu un grad de libertate,

Ńinând cont de amortizarea internă a resortului supapei

27

EcuaŃia de mişcare se scrie sub forma (2.6):

SyK

KK

dt

dy

K

C

dt

yd

K

M rr =+

++)(

2

2

(2.6)

Utilizând relaŃia cunoscută (2.7) ecuaŃia (2.6) ia forma (2.8):

KK

K

K

ydt

ydω)(= (2.7)

yyyS KCM µµµ ++= ''' (2.8)

unde coeficienŃii µ au forma (2.9):

KcuKK

KK

K

C

K

Mr

r

K

r

CM <<≅+

=== ,1)(

;;2 µωµωµ (2.9)

ReacŃiunea verticală are forma:

PyKyCyMPySKF rrK +++=+−= ''')( 2 ωω (2.10)

2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare

Tot în lucrarea [T7] se prezintă modelul cu două grade de libertate (vezi fig. 2.5.), cu dublă amortizare:

y2 , y2 , y2

. ..

S

y1 , y1 , y1

. ..

Cr2

K2

M2

M1

K1

Kr1

Kr2

Cr1

Fig. 2.5. Model dinamic cu două grade de libertate,

cu dublă amortizare

28

RelaŃiile de calcul utilizate sunt (2.11-2.16):

10'11

''12

'''13

''''14 yPyPyPyPyPS ++++= (2.11)

4

21

214 ω

KK

MMP = (2.12)

3

21

21123

)(ω

KK

CMCMP rr +

= (2.13)

2

21

2122111122

])()([ω

KK

CCKKKMKKMP rrrr +++++

= (2.14)

ω21

22111121

)]()([

KK

KKKCKKCP rrrr ++++

= (2.15)

21

21211221110

)(

KK

KKKKKKKKKKP rrrrr ++++

= (2.16)

2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii torsionale

În lucrarea [S5] se propune un model dinamic cu 4 grade de libertate, obŃinute astfel:

modelul are două mase în mişcare; acestea prin vibraŃia verticală impun fiecare câte un grad de libertate; una din mase se consideră că vibrează şi transversal, generând încă un grad de libertate; iar ultimul grad de libertate, este generat de vibraŃia torsională a arborelui cu came (vezi fig. 2.6.).

RelaŃiile de calcul sunt (2.17-2.20).

Primele două ecuaŃii rezolvă vibraŃiile normale verticale, a treia ecuaŃie Ńine cont de vibraŃia torsională a arborelui cu came, iar ultima

29

ecuaŃie (independentă de celelalte), cea de-a patra, se ocupă numai de vibraŃia transversală a sistemului.

)()(2 22111 tPKxxcxKkxcxM −=−−+++ &&&& (2.17)

skscFKxxcxkKxcxm acvac ++=−−+++ &&&&& 11222 )(2 (2.18)

)'(''' 22 cssksxcsxksqkqcqJ acacrr +−=−−++ &&&& (2.19)

ht Fukum =+&& (2.20)

M

m

Pk

K

kac

fr (q)

x1

x2

Fh Fv

kt

s(ϕ ϕ ϕ ϕ )

kr

u

J

ϕϕϕϕr = ω = ω = ω = ω t

ϕ = ω ϕ = ω ϕ = ω ϕ = ω t +q

f(x1 )

f(x1 ,x2 )

f(x2 , s ). .

.

. .

Fig. 2.6. Model dinamic cu patru grade

de libertate cu vibraŃii torsionale

2.6.1. Model dinamic monomasic amortizat

M

Pk

K

x

c

s

Fig. 2.7. Model dinamic monomasic amortizat

30

Tot în lucrarea [S5] este prezentat un model dinamic simplificat, monomasic amortizat (vezi fig. 2.7.).

EcuaŃia de mişcare folosită are forma (2.21):

PKsscxKkxcxM −+=+++ &&&& )( (2.21)

Care se poate scrie mai convenabil, (2.22):

FxyxyAx −−+−= )()''('' 211 ω (2.22)

Unde coeficienŃii A1, ω12 şi F se calculează cu expresiile date în relaŃia (2.23):

0

20

202

10

1 ;)2(

;Ms

PtF

M

tkK

M

ctA =

+== ω (2.23)

2.6.2. Model dinamic bimasic amortizat

În figura 2.8. este prezentat modelul bimasic propus în lucrarea [S5].

x1

M

m

Pk

K

kac

x2

s(ϕ ϕ ϕ ϕ )

c

c

-Fv

c

Fig. 2.8. Model dinamic bimasic amortizat

Modelul matematic se scrie:

)()(2 22111 tPKxxcxKkxcxM −=−−+++ &&&& (2.24)

31

skscFKxxcxkKxcxm acvac ++=−−+++ &&&&& 11222 )(2 (2.25)

EcuaŃiile (2.24-2.25) se pot scrie sub forma:

FxxxxAx −−+−= )()2( 1221

'1

'21

''1 ω (2.26)

)']('')1([

)()2'(

321121

222

'1

'21

''2

yByBByFx

xyxxyAx

++++++

+−++−=

µµµω

ω (2.27)

unde s-au folosit notaŃiile (2.28):

⇒=m

Mµ raportul celor două mase,

⇒≅+

=m

tk

m

tKk acac

20

202

2

)(ω pulsaŃia proprie adimensională a masei

m,

0330

02211 ;; sB

sBB µ

ϕµ

µ === (2.28)

2.6.3. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale

În figura 2.9. se poate vedea un model dinamic monomasic, care Ńine cont şi de vibraŃiile torsionale ale arborelui cu came [S5]:

ϕϕϕϕr = ω = ω = ω = ω t

k

K

cr

s(ϕ ϕ ϕ ϕ )

kr

J

ϕ = ω ϕ = ω ϕ = ω ϕ = ω t +q

c

M

P

x1

ωωωω

Fig. 2.9. Model dinamic monomasic cu vibraŃii torsionale

32

Studiul evidenŃiază faptul că vibraŃiile torsionale ale arborelui cu came au o influenŃă neglijabilă şi deci ele pot fi excluse din modelele de calcul dinamice.

Aceiaşi concluzie rezultă şi din lucrarea [S6] unde modelul cu torsiune este studiat mai amănunŃit.

2.6.4. Influenţa vibraţiilor transversale

Elasticitatea tachetului, lungimea variabilă a tachetului în timpul funcŃionării mecanismului cu came, variaŃia unghiului de presiune, excentricitatea tachetului, frecările din cuplele cinematice, uzura cuplei de translaŃie, erorile tehnologice şi de fabricaŃie, jocurile din sistem şi alŃi factori, sunt elemente care favorizează prezenŃa unei vibraŃii transversale a masei tachetului [S5].

În cazul unor vibraŃii de amplitudine ridicată, parametrii de răspuns la ultimul element al sistemului urmăritor vor fi influenŃaŃi. Urmărind figura 2.10., se poate constata că dacă curba a, este traiectoria vârfului A, al tachetului, punctul A va ajunge periodic în punctul A’, caz în care cursa reală a tachetului yr , se va modifica după legea: yr=y-yv=y-u.tgv , unde y este deplasarea longitudinală a tachetului, u reprezintă deplasarea transversală a masei m, a tachetului, iar v este unghiul de presiune.

Cursa reală a tachetului, yr, se va modifica după legea (2.29):

)(vutgyyyy vr −=−= (2.29)

EcuaŃia de mişcare (adimensională) se scrie (2.30):

)']('')1([)1(

'' 31211132

1 yByBByFyA

uAu ++++=

−+ µ (2.30)

unde s-au notat cu (2.31) constantele adimensionale:

3131212111110

23

20

1 ;;;;3

BfBBfBBfBa

sA

ma

EItA ===== (2.31)

33

Tot în lucrarea [S5] se analizează influenŃa diametrului tijei tachetului, a intervalului de ridicare, a lungimii maxime aflate în afara ghidajelor tachetului, a cursei maxime de ridicare, precum şi a diverselor profile de came, asupra traiectoriei punctului A.

Concluzii:

Se constată că reducerea diametrului tijei tachetului conduce la mărirea amplitudinii şi micşorarea frecvenŃei medii a vibraŃiilor transversale. Reducerea diametrului de 1.35 ori, conduce la creşterea amplitudinii de aproape trei ori, iar frecvenŃa medie scade sensibil. Amplitudinile iniŃiale sunt mai mari la începutul intervalului, către mijlocul intervalului de ridicare scad, oscilaŃia devenind neînsemnată, iar către sfârşitul ridicării, din cauza reducerii lungimii a, prin scăderea cursei y, frecvenŃa creşte şi în consecinŃă amplitudinea scade de la dublu la simplu, faŃă de începutul intervalului. Mărirea lungimii tachetului în afara ghidajelor sale de la 2.2 la 3 cm, conduce la creşterea amplitudinii vibraŃiei de circa 25 ori. Legea de mişcare fără salturi în curba acceleraŃiei de intrare reduce amplitudinea vibraŃiei transversale a tachetului.

Autorul lucrării [S5] menŃionează că oricare ar fi influenŃa parametrilor enumeraŃi, pentru cazurile considerate, valorile amplitudinii rămân destul de mici, iar în cazul unor frecări reduse în cupla superioară, ele pot scădea şi mai mult. Prin urmare conchide autorul lucrării [S5], vibraŃiile transversale ale tachetului există şi trebuie să atragă atenŃia constructorului numai în cazul unor valori exagerate, ale constantelor care caracterizează aceste vibraŃii. În ceea ce priveşte distribuŃia motoarelor cu ardere internă, vibraŃia transversală poate fi neglijată fără a se afecta parametrii de răspuns, realizaŃi la supapă.

a

A

A’

uy

yv

ωωωω

v

R0

2.10. InfluenŃa vibraŃiilor transversale

34

2.7. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere

În lucrarea [K3] este prezentat un model dinamic cu patru grade de libertate, având o singură masă oscilantă în mişcare de translaŃie, care reprezintă unul dintre cele patru grade de libertate. Celelalte trei libertăŃi rezultă dintr-o deformaŃie de torsiune a arborelui cu came, o deformaŃie de încovoiere pe verticală (z), tot a arborelui cu came şi o deformaŃie de încovoiere a aceluiaşi arbore, pe orizontală (y), toate trei deformaŃiile producându-se într-un plan perpendicular pe axa de rotaŃie (vezi fig. 2.11.).

Rb

R(ββββ)

mx x

.

.

cx

α α α α y

z.

β β β β

ωωωωs

Fig. 2.11. Model dinamic cu patru grade de libertate,

cu vibraŃii de încovoiere

Lucrarea [K3] este extrem de interesantă prin modelul pe care îl propune (se iau în studiu toate tipurile de deformaŃii), dar mai ales prin ipoteza pe care o avansează şi anume: turaŃia camei nu este constantă, ci variabilă, viteza unghiulară a camei ω=f(β) fiind o funcŃie de poziŃia camei (unghiul de rotaŃie al camei=β).

Viteza unghiulară a camei este o funcŃie de unghiul de pozitie β (pe care uzual îl notăm cu ϕ), iar variaŃia ei este cauzată de cele trei deformaŃii (una de torsiune şi două încovoieri) ale arborelui, cât şi de

35

jocurile unghiulare existente între sursa motoare (de antrenare) şi arborele cu came.

Modelul matematic Ńinând cont de flexibilitatea arborelui cu came este următorul; rigiditatea de legătură între camă şi tachet este o funcŃie de pozitia β (unghiul de rotaŃie al camei), vezi relaŃia (2.32):

αββ β

2]1

)(

1[

11

)(

1tg

CCCCC yzx

+++= (2.32)

zxc CCC

111+= (2.33)

Unde 1/Cc vezi (2.33) este o rigiditate constantă, dată de rigidităŃile tachetului (Cx) şi a camei (Cz ) pe direcŃia de lucru a tachetului.

yCCC

1

)(

1

)(

1

tan

+=ββ β

(2.34)

Iar: 1/Ctan (β) vezi (2.34) reprezintă rigidităŃile tangenŃiale, Cβ fiind rigiditatea la torsiune a camei şi Cy rigiditatea la încovoierea după axa y a camei, cu, Cβ (β) dată de relaŃia (2.35) .

2)]([

)(β

ββR

KC = (2.35)

Cu (2.33) şi (2.34) relaŃia (2.32) se rescrie sub forma (2.36):

)(

1

)(

1

tan

2

βα

β C

tg

CC c

+= (2.36)

Unde α, este unghiul de presiune, care în general e o funcŃie de β, iar la tacheŃii plaŃi (folosiŃi la mecanismele de distribuŃie), are valoarea constantă (zero): α=0.

EcuaŃia de mişcare se scrie sub forma (2.37):

)().().(. βββ hCxCxm =+&& (2.37)

unde h(β) este legea de mişcare impusă tachetului de către camă.

36

Unghiul de presiune, α, influenŃează astfel (2.38):

ββ

αd

dh

Rtg

)(

1= (2.38)

Unde R(β), este raza curentă, care dă poziŃia camei (distanŃa de la centrul camei la punctul de contact camă-tachet) şi se aproximează prin raza medie, R1/2. RelaŃia (2.38) se poate pune sub forma (2.39); Unde raza medie, R1/2, se obŃine cu formula (2.40):

s

h

Rtg

ωα

&

2/1

1= (2.39)

mb hRR2

12/1 += (2.40)

Rb este raza cercului de bază, iar hm este cursa maximă proiectată a tachetului. Se obŃine astfel o rază medie, care este utilizată în calcule, pentru simplificări; ωs=viteza unghiulară a maşinii, constantă, dată de turaŃia maşinii. EcuaŃia (2.37) se poate scrie acum:

])1

(1.[

])(.[

2

2/1tan s

c

c

h

RC

Cm

xthCx

ω

&&&

+

−= (2.41)

Rezolvarea ecuaŃiei (2.41) se face pentru α=0, cu următoarele notaŃii:

Perioada vibraŃiei naturale se determină cu relaŃia (2.42);

c

cC

mT π2= (2.42)

RaŃia perioadei vibraŃiei naturale se obŃine cu formula (2.43);

m

c

t

T=τ (2.43)

Panta în timpul ridicării camei (2.44) este;

37

m

m

mcR

htg

βα

.2/1

= (2.44)

Factorul rigidităŃii arborelui se obŃine cu formula (2.45);

mc

c

a tgC

CF α2

tan

= (2.45)

Cu parametrii adimensionali daŃi de (2.46);

2;;;; m

m

m

mmmm

th

xXt

h

hH

t

tT

h

xX

h

hH ===== &&& (2.46)

EcuaŃia de mişcare se scrie sub forma (2.47):

aFH

XHX

.1.)

2(

2

2

&&&

+

−=

τπ

(2.47)

Curba nominală a camei este cunoscută (2.48) şi (2.49):

)(THH && = (2.48)

)(THH = (2.49)

Cu (2.47), (2.48) şi (2.49) se calculează răspunsul dinamic printr-o metodă numerică.

Autorul lucrării [K3] dă un exemplu numeric, pentru o lege de mişcare, corespunzătoare camei cicloidale (2.50):

).2sin(2

1TTH π

π−= (2.50)

Lucrarea este interesantă mai ales prin modul în care reuşeşte (să cupleze) să transforme cele patru grade de libertate într-unul singur, utilizând în final o singură ecuaŃie de mişcare după axa principală. Modelul dinamic prezentat poate fi utilizat integral sau numai parŃial, astfel încât pe un alt model dinamic clasic sau nou, să se insereze, ideea utilizării deformaŃiilor pe diferite axe, cu efectul lor cumulat pe o singură axă.

38

2.8. Modele dinamice cu amortizare internă variabilă

Dacă în general problema elasticităŃilor este rezolvată, în problema amortizărilor sistemului lucrurile nu sunt clare şi bine puse la punct.

De obicei se consideră o valoare “c” constantă pentru amortizarea internă a sistemului şi uneori aceeaşi valoare c şi pentru amortizarea resortului elastic care susŃine supapa. Aproximarea este însă mult forŃată, ştiut fiind că, amortizarea resorturilor elastice este variabilă, iar pentru resorturile clasice, cilindrice, cu parametru de elasticitate (k) constant, cu deplasare liniară cu forŃa, amortizarea este mică şi se poate considera zero. Trebuie să se facă specificaŃia faptului că amortizarea nu înseamnă neapărat oprirea (sau opoziŃia) mişcării, ci amortizare înseamnă consum de energie în scopul frânării mişcării (elementele elastice din cauciuc au o amortizare considerabilă; la fel şi amortizoarele hidraulice). Arcurile metalice elicoidale, au în general o amortizare mică (neglijabilă). Efectul de frânare pe care îl realizează aceste resorturi creşte odată cu constanta elastică (rigiditatea k a arcului) şi cu forŃa de prestrângere (P0 ori F0 ) a resortului (altfel spus cu săgeata statică a arcului, x0 = P0 /k ). Energia se transformă în permanenŃă dar nu se disipează (din acest motiv randamentul acestor resorturi este în general mai mare). În lucrările [A15] şi [A17] sunt prezentate două modele dinamice cu amortizarea internă a sistemului, c, variabilă. Determinarea amortizării interne a sistemului, c, are la bază comparaŃia între coeficienŃii ecuaŃiei dinamice, scrisă în două moduri diferite, Newtonian şi Lagrangian.

2.8.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă –

În lucrarea [A15] se prezintă un model dinamic cu un grad de libertate, cu considerarea amortizării interne a sistemului (c), amortizare pentru care se consideră o funcŃie specială. Mai exact se defineşte coeficientul de amortizare al sistemului (c), ca parametru variabil depinzând de masa redusă a mecanismului (m* sau Jredus ) şi de timp,

39

adică, c, depinde de derivata lui mredus în funcŃie de timp. EcuaŃia de mişcare, diferenŃială, a mecanismului, se scrie considerând deplasarea supapei ca răspuns dinamic.

2.8.1.1. Determinarea coeficientului de amortizare al mecanismului

Pornindu-se de la schema cinematică a mecanismului de distribuŃie clasic (vezi figura 2.12.) se construieşte modelul dinamic monomasic (cu un singur grad de libertate), translant, cu amortizare variabilă (vezi figura 2.13.), a cărui ecuaŃie de mişcare este:

0..).(. FxcxkxyKxM −−−−= &&& (2.51)

EcuaŃia (2.51) nu este altceva decât ecuaŃia lui Newton, în care suma de forŃe pe un element, pe o anumită direcŃie (x), este egală cu zero.

Notaţiile din formula (2.51) sunt următoarele:

M- masa mecanismului redusă la supapă;

K- constanta elastică redusă a lanŃului cinematic (rigiditatea lanŃului cinematic);

k- constanta elastică a arcului supapei;

c- coeficientul de amortizare al întregului lanŃ cinematic (amortizarea internă a sistemului);

F ≡ F0 – forŃa elastică de prestrângere a arcului supapei;

x- deplasarea efectivă a supapei;

y≡s- legea de deplasare a tachetului (impusă de profilul camei) redusă la axa supapei.

EcuaŃia Newton (2.51) se ordonează astfel:

).().(.. 0 xkFxyKxcxM +−−=+ &&& (2.52)

Totodată ecuaŃia diferenŃială a mecanismului se scrie şi sub forma Lagrange, (2.53), (EcuaŃia Lagrange).

40

rm FFxdt

dMxM −=+ &&&

2

1. (2.53)

5 ωωωω1 1 1 1 1

2

3

4

A

B

C

D

C0

O

Fig. 2.12. Schema cinematică a mecanismului clasic de distribuŃie

M M

k

kx F

F(t) c .

cx

xx(t)

K(y-x)K

y(t)

ωωωω1 1 1 1

camã

Fig. 2.13. Model dinamic monomasic, cu

amortizarea internă a sistemului variabilă.

EcuaŃia (2.53), care nu este altceva decât ecuaŃia diferenŃială Lagrange, permite ca prin identificarea coeficienŃilor polinomului, cu cei ai polinomului Newtonian (2.52), să se obŃină forŃa rezistentă redusă la supapă (2.54), forŃa motoare redusă la supapă (2.55), cât şi expresia lui c, adică expresia coeficientului variabil de amortizare internă, a sistemului, (2.56).

41

).(... 000 xxkxkxkxkFFr +=+=+= (2.54)

).().( xsKxyKFm −=−= (2.55)

dt

dMc .

2

1= (2.56)

Se obŃine astfel o nouă formulă, (2.56), în care coeficientul de amortizare internă (a unui sistem dinamic), este egal cu jumătate din derivata cu timpul a masei reduse a sistemului dinamic respectiv.

EcuaŃia de mişcare Newton (2.51, sau 2.52), prin înlocuirea lui c, ia forma (2.57):

0.).(2

1. FyKxkKx

dt

dMxM −=+++ &&& (2.57)

În cazul mecanismului clasic, de distribuŃie (din figura 2.12.), masa redusă, M, se calculează cu formula (2.58):

244

211

22325 ).().()).((

xJ

xJ

x

ymmmM

&&&

& ωω++++= (2.58)

formulă în care sau utilizat următoarele notaŃii:

m2 = masa tachetului;

m3 = masa tijei împingătoare;

m5 = masa supapei;

J1 = momentul de inerŃie mecanic al camei;

J4 = momentul de inerŃie mecanic al culbutorului;

2y& = viteza tachetului impusă de legea de mişcare a camei;

x& = viteza supapei.

Dacă se notează i=i25 , raportul de transmitere tachet-supapă (realizat de pârghia culbutorului), viteza teoretică a supapei (impusă prin legea de mişcare dată de profilul camei), se calculează cu formula (2.59):

42

i

yyy 2

5

&& =≡ (2.59)

unde:

DC

CCi

0

0= (2.60)

este raportul braŃelor culbutorului.

Se scriu următoarele relaŃii:

'.1 xx ω=& (2.61)

''.21 xx ω=&& (2.62)

'... 1'212 yiyy ωω ==& (2.63)

'

1

'.1

11

xxx==

ωωω

& (2.64)

DC

y

DC

CC

CC

y

CC

iy

CC

y

CC

y

0

1

0

0

0

1

0

1

0

'21

0

24

'.'.'... ωωωωω =====

& (2.65)

'

'1

'..

'.

010

14

x

y

DCxDC

y

x==

ωωω

& (2.66)

unde y’ este viteza redusă impusă tachetului (prin legea de mişcare a profilului camei), redusă la axa supapei.

Cu relaŃiile anterioare (2.60), (2.63), (2.64), (2.66), relaŃia (2.58) devine:

2

04

21

2325 )

'

'1.()

'

1.()

'

'.).((

x

y

DCJ

xJ

x

yimmmM ++++= (2.67)

sau:

21

2

20

432

25 )

'

1.()

'

'].(

)().([

xJ

x

y

DC

JmmimM ++++= (2.68)

ori:

43

21

25 )

'

1.()

'

'.(*

xJ

x

ymmM ++= (2.69)

Facem derivata dM/dϕ şi rezultă următoarele relaŃii:

)'

''

'

''.()

'

'.(2)

'

''.'''.(

'

'.2

'

)''.'''.'(

'

'.2])'

'[(

22

2

2

x

x

y

y

x

y

x

yxy

x

y

x

yxxy

x

y

d

x

yd

−=−=

=−

=ϕ (2.70)

32

2

'

''.2

'

''.

'

2])

'

1[(

x

x

x

x

xd

xd

−=−

=ϕ

(2.71)

31

2

'

''..2)

'

''

'

''.()

'

'.(*.2

x

xJ

x

x

y

y

x

ym

d

dM−−=

ϕ (2.72)

Se scrie relaŃia (2.56) sub forma:

ϕ

ωd

dMc ⋅=

2 (2.73)

care cu (2.72) devine:

}'

''.)

'

''

'

''()

'

'(

])(

).({[

312

20

432

2

x

xJ

x

x

y

y

x

y

DC

Jmmic

−−⋅⋅

⋅++⋅= ω

(2.74)

deci

]'

''.)

'

''

'

''.()

'

'.(*.[

312

x

xJ

x

x

y

y

x

ymc −−= ω (2.75)

unde s-a notat:

44

2

0

432

2

)().(*

DC

Jmmim ++= (2.76)

2.8.1.2. Determinarea ecuaţiilor de mişcare

Cu relaŃiile (2.69), (2.62), (2.75) şi (2.61) ecuaŃia (2.52) se scrie mai întâi în forma (2.77), care se dezvoltă în formele (2.78), (2.79) şi (2.80):

02 .).('..''.. FyKxkKxcxM −=+++ ωω (2.77)

03122

2221

225

2

)('

''')

'

''

'

''()

'

'(

*''')'

1('')

'

'(*''

FyKxkKx

xJx

x

x

y

y

x

y

mxxx

Jxx

ymmx

−⋅=⋅++⋅⋅⋅−−⋅⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

ω

ωωωω (2.78)

adică:

02

22225

2

.).('

''.'.*.

''.)'

'.(*.)

'

''.('.*.''..

FyKxkKx

yym

xx

ym

x

yxmxm

−=+++

−+

ω

ωωω (2.79)

şi forma finală:

02

52 .

'

''.'.*.).(''.. FyKx

yymxkKxm −=+++ ωω (2.80)

care se mai poate scrie şi sub o altă formă:

052 .).()

'

''.'.*''..( FyKxkKx

yymxm −=+++ω (2.81)

EcuaŃia (2.81) se poate aproxima la forma (2.82) dacă considerăm viteza teoretică, de intrare, y, impusă de profilul camei-tachetului (redusă la axa supapei), aproximativ egală cu viteza supapei, x.

45

052 .).()''.*''..( FyKxkKymxm −=+++ω (2.82)

Dacă se notează legile de intrare cu s, s’ (viteza redusă), s’’ (acceleraŃia redusă), ecuaŃia (2.82) ia forma (2.83), iar ecuaŃia mai completă (2.81) capătă forma mai complexă (2.84):

052 .).()''.*''..( FsKxkKsmxm −=+++ω (2.83)

052 .).()

'

''.'.*''..( FsKxkKx

ssmxm −=+++ω (2.84)

2.8.2. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă –

În lucrarea [A17] se prezintă un model dinamic cu amortizare variabilă ca şi cel din paragraful anterior, însă cu patru grade de mobilitate. Se face ipoteza existenŃei a patru mase, în mişcare de translaŃie în acelaşi timp (vezi fig. 2.14.). În fig. 2.14.a se prezintă schema cinematică a mecanismului clasic de distribuŃie, iar în fig. 2.14.b este prezentat modelul dinamic aferent, cu patru mase în mişcare, deci cu patru grade de libertate. Modul în care se deduc cele patru mase dinamice, cât şi constantele elastice aferente, ca şi cele de amortizare corespunzătoare va fi prezentat în paragraful următor.

ωωωω1 1 1 1

O1 m1 ,k1

m2 ,k2

m3 ,k3

A

B

CD

O4

m4 ,k4

m5 ,k5

m6 ,k6

m1 *

m4 *

m2 *

m3 *

Fe

F0

k1 *

k2 *

k3 *

k4 * c4

c2

c3

c1

a) b)

y1

y2

y3

y4 = x

Fig. 2.14. Model dinamic cu patru grade de libertate,

cu amortizarea internă a sistemului – variabilă –

46

2.8.2.1. Ecuaţiile de mişcare pentru modelul dinamic cu patru mase

Se consideră modelul dinamic cu patru grade de libertate (fig. 2.14.), la care cele patru mase reduse la elementul condus (supapa) se calculează cu formulele (2.85).

Masa m1* se calculează ca fiind masa m1 (masa camei) care se reduce la axa supapei, adică această masă m1, se înmulŃeşte cu viteza teoretică de intrare, cy1& , ridicată la pătrat şi se împarte cu pătratul vitezei supapei,

2x& , mai exact se face raportul între viteza de intrare la camă, cy1& şi

viteza supapei, x& , şi se ridică la pătrat, iar acest raport la pătrat se înmulŃeşte cu masa m1.

Cum viteza de intrare, cy1& , trebuie să fie şi ea redusă la axa supapei, în locul ei se va scrie viteza de intrare redusă la axa supapei,

1y& , înmulŃită cu raportul de transmitere al culbutorului, i, adică avem

relaŃia 11 .yiy c&& = , iar viteza la pătrat 2

1cy& , se va înlocui cu 21

2 .yi & , urmând a nota acest i2 înmulŃit cu masa m1 cu m1’. Pentru masa m2* se consideră masa tachetului, m2, plus o treime din masa tijei împingătoare, m3, iar viteza corespunzătoare, 2y& , este practic viteza dinamică, reală, a tachetului, redusă la axa supapei.

Masa m3* corespunde tijei împingătoare şi este formată din două treimi rămase ale masei tijei împingătoare, m3, plus jumătate din masa culbutorului, m4; viteza 3y& , este viteza medie reală, cu care se va deplasa tija împingătoare pe axa verticală redusă la axa supapei, sau viteza culbutorului în punctul C redusă la axa supapei.

Masa m4* este obŃinută din toate masele însumate de pe lateralitatea supapei, adică jumătate din masa culbutorului, plus masa m5 (care reprezintă la rândul ei suma dintre masa supapei şi masa talerului supapei), plus o treime din masa m6, a arcului supapei. Viteza supapei (evident la axa sa) a fost notată cu x& .

47

'4654

*4

23'3

23243

*3

22'2

22232

*2

21'1

2121

*1

.3

1.

2

1

;).().()..2

1.

3

2(

;).().()..3

1(

;).().(.

mmmmm

x

ym

x

yimmm

x

ym

x

yimmm

x

ym

x

yimm

=++=

=+=

=+=

==

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(2.85)

în care i = O4C / O4D (vezi fig. 2.14.) reprezintă raportul de transmitere al culbutorului; m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 sunt în ordine: masa camei, a tachetului, a tijei împingătoare, a culbutorului, a supapei (cu tot cu taler) şi respectiv a arcului supapei. Se precizează următoarele constante elastice (vezi fig. 2.14.) echivalente reduse la supapă (2.86):

6*44

*3

23

*2

2

21

21*1 ;;.;.

.KKKKiKKi

KK

KKK ===

+= (2.86)

unde k1, k2, k3, k4, k6, sunt rigidităŃile (constantele elastice ale) elementelor corespunzătoare. Constanta elastică a supapei nu intră în discuŃie. Se menŃionează că F0 este forŃa exterioară, cunoscută ca forŃa de prestrângere a arcului supapei, iar Fe este forŃa de echilibrare la supapă, practic forŃa motoare. În continuare se va neglija influenŃa momentelor de inerŃie mecanice (masice), a forŃelor de greutate şi a forŃelor de frecare. Urmărind echilibrul dinamic pentru fiecare masă redusă în parte se scriu patru ecuaŃii de forma:

0..).( 111*121

*1 =++−− ycymFyyK e

&&& (2.87)

0..).().( 222*221

*132

*2 =++−−− ycymyyKyyK &&& (2.88)

0..).().( 333*332

*23

*3 =++−−− ycymyyKxyK &&& (2.89)

0..).(. 4*403

*3

*4 =+++−− xcxmFxyKxK &&& (2.90)

Deplasările liniare y1 , y2 , y3 , y4 =x corespund maselor reduse m1*, m2*, m3*, m4*.

48

În ipoteza că deplasarea y1 este cunoscută din legea de mişcare y1 = y1 (ϕ), impusă tachetului la proiectarea camei, rămân ca necunoscute deplasările y2, y3, x şi forŃa de echilibrare Fe, adică forŃa motoare Fm.

În acest caz se observă că ecuaŃiile (2.88), (2.89) şi (2.90) formează un sistem de trei ecuaŃii cu trei necunoscute y2 , y3 , x. După calculul celor trei deplasări se obŃine din ecuaŃia (2.87) forŃa de echilibrare Fe .

Practic, sistemul nu este liniar deoarece, pe lângă necunoscutele date de cele trei deplasări, avem ca necunoscute suplimentare şi vitezele şi acceleraŃiile derivate din deplasările necunoscute, adică în mod practic necunoscutele vor fi zece iar ecuaŃiile întregului sistem numai patru.

ϕ

ωd

dM

dt

dMc .

2.

2

1 1== (2.91)

Pentru rezolvarea efectivă a sistemului de ecuaŃii (2.87)-(2.90), se determină coeficienŃii de amortizare c1, c2, c3, c4, cu formula (2.91), deja cunoscută de la sistemul cu un grad de libertate şi cu sistemul de mase (2.85), astfel:

)..

.(.2

13

21

2

11'1

*1

1x

xy

x

yym

dt

dmc

&

&&&

&

&&&−== (2.92)

)..

.(.2

13

22

2

22'2

*2

2x

xy

x

yym

dt

dmc

&

&&&

&

&&&−== (2.93)

)..

.(.2

13

23

2

33'3

*3

3x

xy

x

yym

dt

dmc

&

&&&

&

&&&−== (2.94)

0.2

1 *4

4 ==dt

dmc (2.95)

care se mai pot scrie şi sub forma (2.96-2.99):

).().(1

121'11

x

x

y

y

x

ymc

&

&&

&

&&

&

&−= (2.96)

49

).().(2

222'22

x

x

y

y

x

ymc

&

&&

&

&&

&

&−= (2.97)

).().(3

323'33

x

x

y

y

x

ymc

&

&&

&

&&

&

&−= (2.98)

04 =c (2.99)

Cu ajutorul relaŃiilor (2.96-2.99) şi cu sistemul (2.85) se pot obŃine imediat relaŃiile (2.100-2.103):

)..()..().(. 11

*1

11

21'111 x

x

yymx

x

yy

x

ymyc &&

&

&&&&&

&

&&&

&

&& −=−= (2.100)

)..()..().(. 22

*2

22

22'222 x

x

yymx

x

yy

x

ymyc &&

&

&&&&&

&

&&&

&

&& −=−= (2.101)

)..()..().(. 33

*3

33

23'333 x

x

yymx

x

yy

x

ymyc &&

&

&&&&&

&

&&&

&

&& −=−= (2.102)

0.. 444 == xcyc && (2.103)

łinând seama de relaŃiile (2.100-2.103), ecuaŃiile (2.87-2.90) se rescriu sub forma următoare (2.104-2.107):

0.).(.).(.2.. 31'11

21'12

*11

*1 =−+−− x

x

ymy

x

ymFyKyK e

&&&

&&&

&

& (2.104)

0.).(.).(.2

.).(.

32'22

22'2

3*22

*2

*11

*1

=−+

+−++−

xx

ymy

x

ym

yKyKKyK

&&&

&&&

&

& (2.105)

0.).(.).(.2

.).(.

33'33

23'3

*33

*3

*22

*2

=−+

+−++−

xx

ymy

x

ym

xKyKKyK

&&&

&&&

&

& (2.106)

0.).(. 0'4

*4

*33

*3 =++++− FxmxKKyK && (2.107)

50

Cu sistemul de ecuaŃii (2.104-2.107) se rezolvă modelul dinamic prezentat în figura 2.14., având în vedere faptul că sistemul este neliniar şi pe lângă cele patru necunoscute principale, y2, y3, x, Fe, mai apar încă şase necunoscute .,,,,, 3322 xxyyyy &&&&&&&&& care sunt dependente însă între ele şi depind deasemenea de deplasările liniare, y2, y3, respectiv x.

Sistemul se simplifică foarte mult dacă considerăm cele trei viteze aproximativ egale între ele şi egale cu viteza cunoscută de intrare,

1y& ; în acest caz sistemul de ecuaŃii (2.104 – 2.107) se simplifică considerabil, luând forma (2.108-2.111):

0...2.. '11

'12

*11

*1 =−+−− xmymFyKyK e

&&&& (2.108)

0...2.).(. '22

'23

*22

*2

*11

*1 =−+−++− xmymyKyKKyK &&&& (2.109)

0...2.).(. '33

'3

*33

*3

*22

*2 =−+−++− xmymxKyKKyK &&&& (2.110)

0.).(. 0'4

*4

*33

*3 =++++− FxmxKKyK && (2.111)

51

CAP. 3

DINAMICA GENERALĂ A MECANISMELOR

CU CAMĂ ŞI TACHET, EXEMPLIFICATĂ PE

MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE

3.1. Cinematica exactă, la mecanismul clasic de distribuţie

În lucrările [P22], [P23], [P25], [P26], [P27], [P29], se prezintă câteva modalităŃi de sinteză a mecanismelor cu camă şi tachet. Pornind de la metoda de sinteză prin utilizarea coordonatelor polare (sau metoda triunghiurilor), pentru mecanismul clasic de distribuŃie (Modulul C), se urmăreşte în continuare cinematica mecanismului clasic de distribuŃie, mai exact cinematica la Modulul C, adică la mecanismul cu camă de rotaŃie şi tachet de translanŃie plat (cu talpă), vezi (fig. 3.1.) şi relaŃiile de calcul (3.0-3.27).

ϕ

θ

τ

O

Ai

r0=s0

s

s’

rA

A0

1vr

2vr

12vr

B

C

D

A0i

τ

ω

θ&

Fig. 3.1. Cinematica la mecanismul clasic de distribuŃie

52

În figura 3.1. este prezentată schema cinematică a mecanismului clasic de distribuŃie, în două poziŃii consecutive; cu linie întreruptă este reprezentată poziŃia particulară când tachetul se află în planul cel mai jos, (s=0), iar cama, care se roteşte în sens orar cu viteza unghiulară constantă, ω, se situează în punctul A0, adică în punctul de racordare dintre profilele de bază şi de urcare, punct particular care marchează începutul urcării tachetului, datorită ridicării profilului camei; cu linie continuă este reprezentată cupla superioară într-o poziŃie oarecare aparŃinând fazei de ridicare.

Punctul A0 marchează deci, poziŃia iniŃială a cuplei, reprezentând în acelaşi timp şi punctul de contact dintre camă şi tachet în poziŃia iniŃială. Cama se roteşte cu viteza unghiulară ω, viteză constantă ce caracterizează arborele cu came (mişcarea arborelui de distribuŃie).

Cama se roteşte deci cu viteza ω, parcurgând unghiul ϕ, care arată cum cercul de bază s-a rotit în sens orar, solidar cu arborele; rotaŃia se poate urmări pe cercul de bază între cele două puncte particulare, A0 şi A0i.

În acest timp vectorul rA=OA (care reprezintă distanŃa de la centrul camei, O, până la punctul de contact A, dintre camă şi tachet), se roteşte în sens invers (trigonometric) cu unghiul τ.

Dacă măsurăm unghiul θ, care poziŃionează vectorul general rA în funcŃie de vectorul particular rA0 (care arată distanŃa de la centrul camei, O, la punctul de racordare A0 dintre profilul de bază şi cel de ridicare, vector care se roteşte şi el odată cu cama), observăm faptul că valoarea lui θ este de fapt suma dintre cele două unghiuri care se rotesc în sensuri opuse, ϕ şi τ.

De fapt acest unghi θ se măsoară trigonometric, de la vectorul rA0 la vectorul rA, fapt care ne obligă să măsurăm unghiul ϕ tot trigonometric, de la vectorul rA0 aflat într-o poziŃie oarecare i, la vectorul rA0 din poziŃia iniŃială (corespunzător axei verticale); aşadar şi unghiul ϕ se va măsura tot trigonometric, invers rotaŃiei, adică în sensul care descrie trasarea profilului camei.

Putem exprima acum relaŃia (3.0):

53

τϕθ += (3.0)

Practic dacă rA este modulul (lungimea variabilă a) vectorului

Arr

, θA reprezintă unghiul de fază al vectorului Arr

. Adică rA şi θA sunt

coordonatele polare ale vectorului Arr

.

Viteza de rotaŃie a vectorului Arr

este Aθ& şi este o funcŃie de

viteza unghiulară a camei, ω (adică de turaŃia camei), dar şi de unghiul ϕ, prin intermediul legilor de mişcare s(ϕ), s’(ϕ), s’’(ϕ).

Din punct de vedere cinematic definim următoarele viteze (vezi fig. 3.1.):

1vr

=viteza camei; este de fapt viteza punctului A cu vectorul

Arr

, astfel încât nu este corect să scriem relaŃia (3.1), dar este valabilă relaŃia (3.2) pentru determinarea precisă a vitezei de intrare, v1:

ω.1 Arv = (3.1)

AArv θ&.1 = (3.2)

RelaŃia (3.2) exprimă modulul exact al vitezei de intrare, cunoscută, 1v

r.

Viteza 1vr

=AC se descompune în vitezele 2vr

=BC (viteza tachetului care acŃionează pe axa acestuia, pe direcŃie verticală) şi

12vr

=AB (viteza de alunecare dintre profile, viteza de alunecare dintre camă şi tachet, care lucrează pe direcŃia tangentei comune la cele două profile dusă în punctul de contact).

Cum deobicei cama (profilul camei) se construieşte cu AD=s’, pentru modulul clasic, C, putem scrie relaŃiile:

220

2 ')( ssrrA ++= (3.3)

220 ')( ssrrA ++= (3.4)

54

22

0

00

')(cos

ssr

sr

r

sr

A ++

+=

+=τ (3.5)

22

0 ')(

''sin

ssr

s

r

s

r

AD

AA ++===τ (3.6)

A

A

AA sr

srvv θθτ && '.

'..sin.12 === (3.7)

Se credea că viteza tachetului se poate scrie; v2=s’.ω, dar iată că în realitate cama (mecanismul cu camă şi tachet) impune o funcŃie de transmitere (în funcŃie de tipul cuplei).

La mecanismul clasic de distribuŃie, funcŃia de transmitere este reprezentată printr-un parametru D, conform relaŃiilor (3.8-3.9):

ωθ

ωθ AA DD

&& == . (3.8)

ωθ .'.'.2 Dssv A == & (3.9)

Determinarea vitezei de alunecare dintre profile se face cu ajutorul relaŃiei (3.10):

A

A

AA srr

srrvv θθτ && ).(..cos. 0

0112 +=

+== (3.10)

Unghiurile τ şi θA vor fi determinate în continuare, împreună şi cu derivatele lor de ordinul 1 şi 2.

Unghiul τ se determină din triunghiul ODAi (vezi fig. 3.1.) cu relaŃiile (3.11-3.13):

22

0 ')(

'sin

ssr

s

++=τ (3.11)

22

0

0

')(cos

ssr

sr

++

+=τ (3.12)

55

sr

stg

+=

0

'τ (3.13)

Derivăm (3.11) în funcŃie de unghiul ϕ şi obŃinem (3.14):

22

0

0

')(

'''.').('.'.'

cos'.ssr

r

ssssrsrs

A

A

++

++−

=ττ (3.14)

RelaŃia (3.14) se scrie sub forma (3.15):

220

220

20

2220

')(].')[(

''.').('''.')'.('cos'.

ssrssr

sssrssssrs

++++

−+−++=ττ (3.15)

Din relaŃia (3.12) scoatem valoarea lui cosτ şi o introducem în termenul stâng al expresiei (3.15); apoi se reduc s’’.s’2 din termenul drept al expresiei (3.15) şi obŃinem o relaŃie de forma (3.16):

220

220

200

220

0

')(].')[(

]')'.(').[(

')('.

ssrssr

ssrssr

ssr

sr

++++

−++=

++

+τ (3.16)

După simplificări obŃinem în final relaŃia (3.17) care reprezintă expresia lui τ’:

22

0

20

')(

')'.(''

ssr

ssrs

++

−+=τ (3.17)

Acum, când avem τ’ explicitat, putem determina imediat derivatele următoare, pentru moment limitându-ne la derivata de ordinul 2, τ’’ (aşa cum se va observa în cadrul unor modele dinamice prezentate ulterior, vor mai fi necesare încă cel puŃin două derivate, τ’’’ şi τIV). Expresia (3.17) se derivează direct şi obŃinem pentru început relaŃia (3.18):

2220

02

022

00

]')[(

]'''')][(')(''[2]')][('''2''')('''[''

ssr

ssssrssrsssrsssssrs

++

++−+−++−++=τ

(3.18)

56

Se reduc parŃial termenii s’.s’’ din prima paranteză de la numărător, după care se scoate s’ din a patra paranteză de la numărător în factor comun şi obŃinem expresia (3.19):

2220

02

022

00

]')[(

]''].[')'.(''.[.2]')].[('''.)'.(''[''

ssr

ssrssrssssrsssrs

++

++−+−++−+=τ (3.19)

Acum se poate calcula θA, cu primele două derivate ale sale,

Aθ& şi Aθ&& . Pentru simplificare în loc de θA se va scrie simplu, θ. Din figura 3.1. se observă imediat relaŃia (3.20), care este o reluare a primei expresii prezentate în acest capitol, expresia (3.0):

ϕτθ += (3.20)

Derivăm (3.20) şi obŃinem relaŃia (3.21):

ωτωωωτϕτθ .)'1.('. D=+=+=+= &&& (3.21)

Derivăm a doua oară (3.20), adică derivăm (3.21) şi obŃinem (3.22):

22 ''' ωωτϕτθ ⋅=⋅=+= D&&&&&& (3.22)

Se observă faptul că funcŃia de transmitere a mişcării, la modulul clasic (C), se poate scrie acum sub forma (3.23-3.24):

1'+=τD (3.23)

''τ=ID (3.24)

Viteza tachetului pe care deja am demonstrat-o anterior, se obŃine cu ajutorul funcŃiei de transmitere, D, conform relaŃiei (3.25):

DsDssswsv A ⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅= &&& ωθθ ''''2 (3.25)

Iată că în realitate viteza tachetului este produsul lui s’ nu cu ω, ci cu o viteză unghiulară variabilă, w, care însă se poate exprima sub forma unui produs dintre o variabilă D şi viteza unghiulară constantă, ω, (vezi relaŃia 3.26).

ω.Dw = (3.26)

Această relaŃie generală lucrează în cazul tuturor mecanismelor cu camă şi tachet, iar pentru mecanismul clasic de distribuŃie (Modul

57

C), variabila w este identică cu Aθ& (vezi relaŃia 3.25). De exemplu, la modulul B (mecanismul cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă), funcŃia de transmitere este mult mai complexă, cum se poate vedea în cadrul capitolului 5, fapt care conduce şi la derivate ale ei mult mai complexe, deoarece dacă obŃinerea funcŃiei de transmitere, D, la modulul B, este dificilă, deja prima ei derivată, D’, se obŃine cu multă trudă, iar pentru D’’ şi D’’’ volumul de muncă este considerabil. Dacă viteza reală (chiar cinematic, nu numai dinamic) a tachetului, la modulul clasic C, este ω.'.2 Dsvy =≡& , putem determina imediat şi acceleraŃia reală a tachetului (vezi relaŃia 3.27), prin derivarea lui v2 în funcŃie de timp.

22 )''''( ω⋅⋅+⋅=≡ DsDsay&& (3.27)

Rezultă de aici că pentru determinarea acceleraŃiei reale a tachetului, sunt necesare atât s’ şi s’’, cât şi D şi D’, iar pentru obŃinerea lui D respectiv D’ sunt necesare variabilele τ’ şi respectiv τ’’.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 50 100 150 200

Vclasic[m/s]Vprecis[m/s]

Fig. 3.2.a ComparaŃie între cinematica clasică şi cea propusă în

prezenta lucrare; a-viteze ale tachetului.

58

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200

a2clasic[m/s2]a2precis[m/s2]

Fig. 3.2.b ComparaŃie între cinematica clasică şi cea propusă în

prezenta lucrare; b-acceleraŃii ale tachetului.

Numai când se trasează diagramele v2 şi a2 în funcŃie de unghiul ϕ, calculate cinematic precis, pe baza relaŃiilor (3.25) şi respectiv (3.27), avem impresia unei viteze şi a unei acceleraŃii cu aspecte dinamice (vezi diagramele din figura 3.2.a-b).

Calculele care au stat la baza trasării diagramelor comparative, se bazează pe legea SINus, o turaŃie a arborelui motor de n=5500 [rot/min], un unghi de urcare ϕu=75 [grade] egal cu cel de coborâre, o rază a cercului de bază r0=17 [mm] şi o cursă maximă a tachetului hT=6[mm].

Totuşi dinamica este mult mai complexă, Ńinând cont şi de masele şi momentele inerŃiale, de forŃele rezistente şi motoare ale mecanismului, de amortizările şi elasticităŃile întregului lanŃ cinematic, de forŃele de inerŃie din sistem, de turaŃia mecanismului, de variaŃia vitezei unghiulare ω (considerată în general constantă) cu poziŃia ϕ a camei dar şi cu turaŃia n a arborelui motor, cât şi de randamentul mecanic al întregului mecanism.

InfluenŃa forŃelor de greutate şi a pierderilor datorate frecărilor din cuple nu se iau în consideraŃie.

59

3.2. Coeficientul TF la modulul clasic C

În continuare se va prezenta o metodă exactă de calcul a coeficientului TF la mecanismele de distribuŃie clasice, cu camă rotativă şi tachet de translaŃie cu talpă (tachet de translaŃie plat), adică la Modulul clasic de distribuŃie, Modulul C; a se vedea şi lucrările [P30], [P31], [P32], [P33], [P34-P38].

În figura 3.3. se poate urmări modul de calcul al coeficientului de transmitere a forŃei (CTF), la mecanismul clasic de distribuŃie, cu determinarea vitezelor principale din cuplă şi a forŃelor principale din cuplă, cu care se calculează puterile principale şi pe baza lor randamentul mecanic al cuplei cinematice superioare (camă-tachet).

τ

O

A

r0

s

s’

rA

1vr

2vr

12vr B

C

D

τ

ω

δ

δ

δ

ψFr mF

r

cFr F

E

Fig. 3.3. Determinarea coeficientului TF

la Modulul C. ForŃe şi viteze.

ForŃa motoare consumată, Fc, sau forŃa motoare de intrare, adică forŃa motoare redusă la camă (forŃa motoare redusă la arborele de distribuŃie), perpendiculară în A pe vectorul rA, se împarte în două componente perpendiculare între ele: ForŃa Fm, care reprezintă forŃa

60

motoare redusă la tachet, sau forŃa utilă şi acŃionează pe verticală (de jos în sus pe porŃiunea de ridicare), ea fiind forŃa care mişcă tachetul pe porŃiunea de ridicare şi care este opusă forŃei rezistente redusă la tachet; ForŃa Fψ, care acŃionează pe orizontală şi produce alunecarea dintre cele două profile (camă-tachet), provocând pierderile din sistem datorate alunecărilor dintre profile.

Se pot scrie următoarele relaŃii:

τsin.cm FF = (3.28)

τsin.12 vv = (3.29)

τ212 sin... vFvFP cmu == (3.30)

1.vFP cc = (3.31)

δττ

η 22

1

21 cossin

.

sin..====

vF

vF

P

P

c

c

c

u

i (3.32)

τψ cos.cFF = (3.33)

τcos.112 vv = (3.34)

τψψ2

112 cos... vFvFP c== (3.35)

δττ

ψ ψ 22

1

21 sincos

.

cos..====

vF

vF

P

P

c

c

c

i (3.36)

Unde Pc este puterea totală consumată, Pu=Pm reprezintă puterea utilă, Pψ este puterea pierdută, ηi este coeficientul TF instantaneu al mecanismului, iar ψi reprezintă coeficientul instantaneu al pierderilor din mecanism.

Se ştie că suma dintre ηi şi ψi trebuie să fie 1, iar dacă facem această verificare ea apare ca adevărată imediat (vezi relaŃia 3.37):

1sincoscossin 2222 =+=+=+ δδττψη ii (3.37)

Determinarea coeficientului TF total, pentru cursa de urcare de exemplu, se face prin integrarea coeficientului TF instantaneu, pe

61

porŃiunea de ridicare, conform relaŃiilor (3.38-3.48), vezi şi lucrarea [P30]:

∫∆=

M

m

di

τ

τ

τητ

η ..1

(3.38)

∫∆=

M

m

d

τ

τ

τττ

η .sin.1 2 (3.39)

∫∆=

M

m

d

τ

τ

τττ

η .sin.2..2

1 2 (3.40)

∫ −∆

=M

m

d

τ

τ

τττ

η )]..2cos(1[..2

1 (3.41)

M

m

ττττ

τη )].2sin(.

2

1.[

.2

1−

∆= (3.42)

)]}.2sin().2.[sin(2

1.{

.2

1mM τττ

τη −−∆

∆= (3.43)

τττ

η∆−

+=.4

).2sin().2sin(

2

1 Mm (3.44)

0=mτ (3.45)

M

M

ττ

η.4

).2sin(

2

1−= (3.46)

M

MM

M

MM

τττ

τττ

η.2

cos.sin

2

1

.4

cos.sin.2

2

1−=−= (3.47)

}]').[(

').(1{5.0

220

0

MM

MM

ssr

ssr

M ττ

ττ

τη

++

+−⋅= (3.48)

62

Se determină τM şi valorile corespunzătoare ale lui M

sτ şi M

s τ' ,

după care se calculează, uşor, coeficientul TF total al mecanismului, pentru cursa de urcare, cu relaŃia (3.48). Dificultatea constă în determinarea matematică a valorii τM, fapt pentru care în practică se aproximează

Ms τ' cu s’ la mijlocul intervalului de ridicare şi cu valorile s

şi τ care îi corespund, sau se extrag aceste valori prin tabelare.

În cadrul prezentei lucrări, în toate programele utilizate, s-a folosit metoda integrării aproximative, prin însumarea valorilor instantanee, pe intervalul considerat şi prin medierea lor aritmetică. Această metodă mult mai rapidă, generează rezultate foarte apropiate de cele reale, fiind totodată şi mai rapidă şi mai directă, integrarea (însumarea) putându-se face separat pe intervalele de urcare şi apoi de coborâre, sau direct pe tot intervalul ridicare plus revenire. (Metoda constă practic în calcularea mediei aritmetice a valorilor instantanee ale coeficienŃilor TF direct pe intervalul dorit).

3.3. Sinteza profilului camei, la modulul clasic C

În continuare se va prezenta o metodă exactă de sinteză a profilului camei, pentru mecanismul clasic de distribuŃie (Modulul C); a se urmări şi lucrările: [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [A11], [A12], [A13], [A14], [A15], [A16], [A17], [A18], [A26].

Deoarece se cunosc acum coordonatele polare ale punctului A (rA şi θA), punct care determină profilul efectiv al camei, pentru a putea trasa mai uşor, (printr-o metodă analitică), profilul camei, vom determina coordonatele carteziene corespunzătoare, xA, yA (a se vedea relaŃiile 3.49-3.52):

AAA rx θcos.= (3.49)

AAA ry θsin.= (3.50)

63

ϕϕ

ϕτϕτϕτ

sin'.cos).(

]sin.sincos..[cos)cos(.

0 ssr

rrx AAA

−+=

=−=+=

(3.51)

ϕϕ

τϕϕτϕτ

sin).(cos'.

]cos.sincos..[sin)sin(.

0 srs

rry AAA

++=

=+=+= (3.52)

ObservaŃii:

Profilul se construieşte în mod normal de la dreapta spre stânga (adică trigonometric) şi pentru ca primul profil construit să fie cel de urcare (de ridicare), este necesar ca la proiectare sensul de rotaŃie să fie cel orar (vezi figura 3.1.); acest sens (cel orar), trebuie păstrat şi în funcŃionare. În cazul în care dorim să construim o camă care să se rotească invers (adică să funcŃioneze trigonometric), va fi necesară răsucirea camei în planul ei cu 1800 (ca şi cum am întoarce foaia pe care este desenată cama pe verso şi am privi profilul camei care acum este schimbat; în acest caz axa Ox nu se mai construieşte spre dreapta planului, ci spre stânga lui, adică axa absciselor nu mai apare în plan la răsărit ci la apus, în vreme ce axa ordonatelor, Oy, se construieşte întotdeauna normal către Nord; altfel spus, sistemul drept se înlocuieşte cu unul stâng).

Dacă legile de mişcare, s, s’, s’’, s’’’, sIV, sV, etc..., pentru profilul de urcare sau cel de coborâre, se pot defini cu o valoare ϕ locală, ϕ1, sau ϕ3, ϕ1∈[0,ϕu], respectiv ϕ3∈[0,ϕc], pentru proiectarea profilului efectiv al camei, se va utiliza unghiul ϕ propriuzis, care variază de la 0 la 3600; astfel pentru cursa de ridicare, unghiul ϕ este identic cu unghiul ϕ1, adică ϕ≡ϕ1∈[0, ϕu]; pentru intervalul de staŃionare superioară (pe cercul de vârf), unghiul ϕ este egal cu ϕ1M+ϕ2≡ϕu+ϕ2, adică ϕ∈[ϕu, ϕu+ϕsv]; la coborâre (la revenirea tachetului pe cercul de bază), unghiul ϕ ia valori în continuare de la ϕu+ϕsv până la ϕu+ϕsv+ϕc, în timp ce pe acelaşi interval unghiul de coborâre ϕ3 variază de la 0 la ϕc, adică la coborâre ϕ3∈[0,ϕc] iar ϕ∈[ϕu+ϕsv, ϕu+ϕsv+ϕc]; pe ultima porŃiune, în care tachetul staŃionează pe cercul de bază, ϕ4∈[0, ϕsb], iar ϕ∈[ϕu+ϕsv+ϕc, ϕu+ϕsv+ϕc+ϕsb], sau ϕ∈[ϕu+ϕsv+ϕc, 2.π].

64

Unghiul ϕ care apare în relaŃiile (3.51, 3.52) de sinteză a profilului camei, este deci un unghi global, care variază de la 00 la 3600 [adică de la 0 la 2.π] şi nu trebuie confundat cu unghiurile ϕ locale, care trebuiesc notate cu ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, deşi uzual ele se notează tot cu ϕ.

Unghiul ϕ se foloseşte pentru sinteza profilului camei, iar unghiurile ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕ4, se utilizează la scrierea legilor de mişcare.

Se poate folosi şi la determinarea legilor de mişcare tot unghiul general ϕ, caz în care se evită neînŃelegerile ce ar putea să apară, dar relaŃiile vor fi mai complicate deoarece introducem în sisteme constante suplimentare, care altfel puteau fi eliminate pentru a nu complica prea mult relaŃiile de calcul.

În continuare se prezintă două profile de camă Modul C, unul SINus şi altul COSinus.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-20 -10 0 10 20

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul clasic C.

Suportã o turatien=5500[rot/min]

ϕu=ϕc=75[grad]

r0=17 [mm]

hT=6 [mm]

η=6.7% legea:sin y=x-sin(2πx)/(2π)

a) b)

Fig. 3.4. Profile de camă Modul C.

a)profil SIN; b)profil COS

65

3.4. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei de mişcare Lagrange

În cadrul studiului cinematic şi cinetostatic al mecanismelor [A1-A30], [C17], [G11], [M15], [T9], [H11, U1, V3], se consideră viteza de rotaţie a arborelui de intrare (manivela), constantă,

ωϕ =& =constant, iar acceleraţia unghiulară corespunzătoare, nulă,

0=== εωϕ &&& .

În realitate, datorită maselor şi momentelor inerţiale, dar şi a momentelor motoare şi rezistente, această viteză unghiulară ω nu este constantă, ci variază în funcţie de poziţia ϕ a arborelui respectiv.

Mecanismele cu camă şi tachet se supun şi ele acestei legi, astfel încât vom urmări ecuaţia generală Lagrange, scrisă sub formă diferenţială, şi modul ei general de rezolvare.

Ecuaţia Lagrange, scrisă sub formă diferenţială (denumită şi ecuaţia maşinii), are forma (3.53):

*2** ..2

1. MJJ I =+ ϕϕ &&& (3.53)

unde J* este momentul de inerţie (momentul masic, sau mecanic) al mecanismului, redus la manivelă, iar M* reprezintă momentul motor redus minus momentul rezistent redus, reduse la manivelă; unghiul ϕ reprezintă unghiul de rotaţie al manivelei. J*I reprezintă derivata momentului mecanic în funcţie de unghiul ϕ de rotaţie al manivelei.

Ld

dJJ I ==

ϕ

** .

2

1.

2

1 (3.54)

Dacă utilizăm notaţia (3.54), ecuaţia (3.53) se rescrie sub forma (3.55):

*2* .. MLJ =+ ϕϕ &&& (3.55)

Împărţim ambii termeni la J* şi (3.55) ia forma (3.56):

66

*

*2

*.

J

M

J

L=+ ϕϕ &&& (3.56)

Trecem termenul cu 2ϕ& în dreapta şi obţinem (3.57):

2

**

*

.ϕϕ &&&J

L

J

M−= (3.57)

Prelucrăm termenul din stânga ecuaţiei sub forma (3.58), după care îl introducem în (3.57) şi obţinem forma (3.59):

ωϕω

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕ ...d

d

d

d

dt

d

d

d

dt

d==== &

&&&&& (3.58)

*

2*2

**

* ...

J

LM

J

L

J

M

d

d ωω

ϕω

ω−

=−= (3.59)

Deoarece, pentru un anumit unghi ϕ, ω variază de la valoarea nominală constantă ωn la valoarea ω, putem scrie relaţia (3.60), unde dω reprezintă variaţia instantanee pentru un anumit ϕ, ea fiind o variabilă de ϕ, care adăugată la constanta ωn conduce la variabila căutată, ω:

ωωω dn += (3.60)

În relaţia (3.60), ω şi dω sunt funcţii de unghiul ϕ, iar ωn este un parametru constant, care poate lua diferite valori în funcţie de turaţia arborelui conducător, n. La un moment dat, turaţia n este considerată constantă şi la fel ωn, însă cum ea poate lua diferite valori (şi n şi ωn) se poate considera ωn ca fiind o funcţie de turaţia n, astfel încât şi ω devine o funcţie şi de n, cu atât mai mult cu cât chiar dω este funcţie de ϕ dar şi de ωn (vezi relaţia 3.60’):

))(,()(),( ndnn nn ωϕωωϕω += (3.60’)

Introducând (3.60) în (3.59), obţinem ecuaţia (3.61):

67

ϕωωωωω ddJ

L

J

Mdd nn ].).([).( 2

**

*

+−=+ (3.61)

În continuare (3.61) se scrie sub forma (3.62):

]..2)(.[..)(. 22

**

*2 ωωωωϕϕωωω ddd

J

Ld

J

Mdd nnn ++−=+ (3.62)

Ecuaţia (3.62) se poate desface în forma (3.63):

0....2).(.

...)(.

*2

*

2**

*2

=++

++−+

ωωϕωϕ

ωϕϕωωω

ddJ

Ldd

J

L

dJ

Ld

J

Mdd

n

nn

(3.63)

Grupăm termenii doi câte doi şi obţinem ecuaţia (3.64):

0)...(

.).2

1..(2)).(1.(

2**

*

*2

*

=−−

−+++

n

n

dJ

Ld

J

M

ddJ

Ldd

J

L

ωϕϕ

ωωϕωϕ (3.64)

Ecuaţia (3.64) este o ecuaţie de gradul 2 în (dω).

Discriminantul ecuaţiei (3.64) se scrie iniţial sub forma (3.65), iar apoi se reduce la forma (3.66):

2

*

22

2*

2

*

*

2

2*

*2

*

222

2*

2

...).(.

).(.

..4

.).(

nn

n

n

n

dJ

Ld

J

Ld

J

M

dJ

MLd

J

Ld

J

L

ωϕωϕϕ

ϕωϕω

ωϕ

−−+

+++=∆ (3.65)

ϕϕω

dJ

Md

J

MLn .).(.

4 *

*2

2*

*2

++=∆ (3.66)

Se reţine, pentru dω, numai soluţia cu plus, care poate genera atât valori pozitive cât şi valori negative (3.67), valori care se încadrează în limite normale, generând pentru ω valori normale;

68

pentru 0<∆ se consideră dω=0 (acest caz nu apare de loc pentru o ecuaţie corectă).

1

2

*

*

+⋅

∆+−⋅⋅−=

ϕ

ωωϕ

ωd

J

L

dJ

L

d

nn

(3.67)

Observaţii:

Pentru mecanismele cu camă şi tachet, utilizând relaţiile (3.66, 3.67 şi 3.60), cu M* (momentul redus al întregului mecanism) obţinut prin scrierea momentului rezistent redus cunoscut şi prin calculul celui motor prin integrarea celui rezistent pe toată zona de urcare (de exemplu), se determină frecvent valori mari şi chiar foarte mari pentru dω, sau zone întregi în care realizantul ∆, ia valori negative, generând soluţii complexe pentru dω, pe care îl considerăm 0 pe aceste zone, fapt care ne îndreptăţeşte să reconsiderăm problema determinării momentului redus, unde unul din cele două momente, cel rezistent sau cel motor este cunoscut printr-o relaţie de calcul, iar celălalt, se determină prin integrarea celui cunoscut pe un anumit domeniu.

Dacă considerăm cunoscute atât M*r cât şi M*m şi le calculăm pe fiecare în parte cu relaţia aferentă (independentă una de alta, adică fără integrare), se obţin pentru mecanismele cu camă şi tachet, valori normale pentru dω (valori care se păstrează pe tot intervalul în limite normale, iar în plus discriminantul, ∆, este în permanenţă pozitiv, adică ≥0, astfel încât nu apar soluţii complexe pentru dω).

În lucrările [A15], [A17], [P29], cât şi în capitolul 2, se prezintă relaţiile pentru calculul forţei rezistente (2.54) redusă la supapă, cât şi a forţei motoare (2.55) redusă la axul supapei:

).( 0* xxkFr += (3.68)

).(* xyKFm −= (3.69)

69

Momentul rezistent redus sau cel motor redus, se calculează înmulţind forţa rezistentă redusă, respectiv cea motoare redusă, cu viteza redusă x’.

')..( 0* xxxkM r += (3.70)

')..(* xxyKM m −= (3.71)

Observaţie: Atât ecuaţiile (3.66), (3.67), (3.60), cât şi (3.68), (3.69), (3.70), (3.71), se utilizează ca un algoritm separat, în toate programele dinamice din cadrul acestei lucrări, pentru determinarea vitezei unghiulare variabile ω, a arborelui de distribuţie.

3.5. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,

(cea care a fost obţinută la paragraful 2.8.1.)

În cadrul paragrafului 2.8.1. a fost prezentat un model dinamic cu un grad de mobilitate, cu amortizare internă a sistemului variabilă, care conduce în final (paragraful 2.8.1.2.) la ecuaŃia (2.84), pe care o rescriem sub forma (3.72) şi la ecuaŃia simplificată (2.83), pe care o aranjăm în forma (3.73).

IT

II

SX

yymXmxkyKxkK

''.'......).( 22

0 ωω −−−=+ (3.72)

''......).( 220 ymXmxkyKxkK T

II

S ωω −−−=+ (3.73)

Se va utiliza ecuaŃia diferenŃială (3.73), adică forma simplificată (în care se consideră viteza redusă de intrare, impusă de profilul camei, y’, egală cu viteza redusă dinamică, X’; ambele fiind reduse la axa supapei).

În continuare vom urmări câteva moduri de rezolvare a ecuaŃiei diferenŃiale (3.73).

70

3.5.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,

printr-o soluţie particulară

EcuaŃia (3.73) se scrie sub forma (3.74):

ymxkyKXkKXm TS&&&& ...).(. 0 −−=++ (3.74)

ÎmpărŃim ecuaŃia (3.74) cu mS şi amplificăm termenul drept cu cosωt, obŃinându-se forma (3.75):

).cos(.).cos(.

.... 0 t

tm

ymxkyKX

m

kKX

S

T

S

ωω

&&&&

−−=

++ (3.75)

Se utilizează următoarele notaŃii (3.76-3.77):

Sm

kKp

+=2 (3.76)

).cos(.

... 0

tm

ymxkyKq

S

T

ω

&&−−= (3.77)

EcuaŃia (3.75) se scrie simplificat sub forma (3.78):

).cos(..2 tqXpX ω=+&& (3.78)

SoluŃia particulară a ecuaŃiei (3.78) este de forma (3.79):

).cos(. taX ω= (3.79)

Derivatele 1 şi 2 ale soluŃiei (3.79) se notează cu (3.80-3.81):

).sin(.. taX ωω−=& (3.80)

).cos(.. 2 taX ωω−=&& (3.81)

Înlocuind valorile (3.79) şi (3.81) în ecuaŃia (3.78), se obŃine forma (3.82):

).cos(.).cos(..).cos(.. 22 tqtapta ωωωω =+− (3.82)

71

EcuaŃia caracteristică se scrie sub forma (3.83):

qpa =− ).( 22 ω (3.83)

Se explicitează a sub forma (3.84):

22 ω−

=p

qa (3.84)

Se scrie acum soluŃia X, sub formele (3.85), (3.86):

).cos(.22

tp

qX ω

ω−= (3.85)

20

2

0

.

...

).cos(.

).cos(.

...

ω

ω

ωω

S

T

S

S

T

mkK

ymxkyK

m

kK

t

tm

ymxkyKX

−+

−−=

=−

+−−

=

&&

&&

(3.86)

SoluŃia particulară, astfel obŃinută, este interesantă şi simplă, dar se comportă ca şi cum am fi obŃinut-o direct din ecuaŃia diferenŃială

(3.74), prin aproximarea lui X&& cu –X.ω2, adică prin aproximarea lui X’’ cu –X, o aproximare puŃin cam forŃată.

Pentru o rezolvare mai exactă, aproximăm direct în ecuaŃia

(3.74), X’’ cu y’’, cu s’’, adică syX &&&&&& == şi ajungem la ecuaŃia liniară (3.87):

kK

smxksK

kK

smmxksKX TS

+

−−=

+

+−−=

&&&& ...).(.. *00 (3.87)

SoluŃia aproximativă (3.87), este ceva mai precisă decât soluŃia particulară (3.86), care se poate obŃine şi ca o soluŃie directă aproximativă, cu X’’= -X.

72

3.5.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,

printr-o soluţie particulară completă

EcuaŃia (3.74) se poate scrie sub forma (3.88), Ńinând cont de coeficienŃii D şi D’:

)''.''..(...

).(''...''...2

0

22

sDsDmxksK

xkKxDmxDm

T

SS

+−−=

=+++

ω

ωω (3.88)

ÎmpărŃim ecuaŃia (3.88) cu mS.ω2.D şi obŃinem (3.89):

Dm

sDsDmxksK

xDm

kKx

Dm

Dmx

S

T

SS

S

..

)''.''..(...

...

'...

'..''

2

20

22

2

ωω

ωωω

+−−=

=+

++

(3.89)

Termenul drept se amplifică cu (cosϕ+sinϕ) şi ecuaŃia (3.89) se scrie sub forma (3.90):

)sin.(cos)sin.(cos..

)''.''..(...

...

'.'

''

2

20

2

ϕϕϕϕω

ω

ω

++

+−−=

=+

++

Dm

sDsDmxksK

xDm

kKx

D

Dx

S

T

S (3.90)

Notăm coeficienŃii corespunzător:

D

Da

'= (3.91)

2.. ωDm

kKb

S

+= (3.92)

)sin.(cos..

)''.''..(...2

20

ϕϕωω

+

+−−=

Dm

sDsDmxksKc

S

T (3.93)

EcuaŃia (3.90) se poate scrie acum sub forma (3.94):

73

)sin.(cos.'.'' ϕϕ +=++ cxbxax (3.94)

SoluŃia particulară completă a ecuaŃiei (3.94) este de forma (3.95), iar derivatele ei în funcŃie de unghiul ϕ, derivatele I şi II, capătă formele (3.96), respectiv (3.97):

ϕϕ sin.cos. BAx += (3.95)

ϕϕ cos.sin.' BAx +−= (3.96)

ϕϕ sin.cos.'' BAx −−= (3.97)

Introducând soluŃiile (3.95-3.96) în (3.94) obŃinem ecuaŃia (3.98):

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

sin.cos.sin..cos..

cos..sin..sin.cos.

CCBbAb

BaAaBA

+=++

+−−− (3.98)

Identificăm coeficienŃii în cos şi respectiv cei în sin şi obŃinem un sistem liniar de două ecuaŃii cu două necunoscute, A şi respectiv B:

cBbAa

cBaAb

=−+−

=+−

).1(.

.).1( (3.99)

Pentru rezolvarea operativă a sistemului (3.99) înmulŃim prima ecuaŃie cu a şi pe cea de-a doua cu (b-1), după care le adunăm şi obŃinem B, iar apoi similar îl determinăm pe A, înmulŃind prima ecuaŃie cu (b-1) şi pe cea de-a doua cu –a, după care le adunăm şi obŃinem sistemul (3.100):

)1.()1(

)1.()1(

22

22

abba

cB

abba

cA

+−−+

=

−−−+

=

(3.100)

SoluŃia se poate scrie acum sub forma (3.101):

]sin).1(cos).1.[()1( 22

ϕϕ ababba

cx +−+−−

−+= (3.101)

unde coeficienŃii a, b, c, sunt cunoscuŃi (3.91-3.93).

74

3.5.3. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,

cu ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor

Se scrie relaŃia (3.102), care exprimă legătura dintre deplasarea dinamică a supapei, x, şi cea impusă de profilul camei, s:

)()()()( ϕϕϕϕϕ ∆+≅∆+= sxsx (3.102)

FuncŃia s(ϕ+∆ϕ) o dezvoltăm în serie Taylor şi reŃinem primii 8 termeni ai dezvoltării; se găseşte astfel relaŃia (3.103):

765

432

0

)).((.!7

1)).((.

!6

1)).((.

!5

1

)).((.!4

1)).((.

!3

1)).((.

!2

1

).(!1

1)).((

!0

1)(

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

∆+∆+∆+

∆+∆+∆+

∆+∆=∆+=

VIIVIV

IVIIIII

I

sss

sss

sssx

(3.103)

RelaŃia (3.103) se mai scrie şi sub forma (3.104):

76

54

32

).(.5040

1).(.

720

1

).(.120

1).(.

24

1

).(.6

1).(.

2

1.

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

∆+∆+

+∆+∆+

+∆+∆+∆+=

VIIVI

VIV

IIIIII

ss

ss

ssssx

(3.104)

Prin derivare obŃinem x’ (relaŃia 3.105):

76

54

32

).(.5040

1).(.

720

1

).(.120

1).(.

24

1

).(.6

1).(.

2

1.

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

∆+∆+

+∆+∆+

+∆+∆+∆+=

VIIIVII

VIV

IVIIIIIII

ss

ss

ssssx

(3.105)

75

Derivăm a doua oară şi obŃinem x’’, (relaŃia 3.106):

76

54

32

).(.5040

1).(.

720

1

).(.120

1).(.

24

1

).(.6

1).(.

2

1.

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕ

∆+∆+

+∆+∆+

+∆+∆+∆+=

IXVIII

VIIVI

VIVIIIIIII

ss

ss

ssssx

(3.106)

EcuaŃia diferenŃială utilizată este (3.72), adică ecuaŃia completă, pe care o scriem sub forma (3.107), Ńinând cont şi de funcŃia de transmitere, D: Diagramele dinamice ale deplasării şi acceleraŃiei, trasate pentru legea SINus, se pot urmări în paragraful 4.1.

kK

x

ssDsDm

kK

xDxDmxksKx

T

S

+

+−

−+

+−−=

'

'*001.0*).''.''..(

001.0*).''.''..(..

2*

2*0

ω

ω

(3.107)

3.5.4. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, în doi paşi

EcuaŃia diferenŃială cunoscută, scrisă în una din formele prezentate anterior, de exemplu în forma (3.107), se rezolvă de două ori. Prima dată se utilizează pentru x’ valoarea s’ iar pentru x’’ valoarea s’’. Se obŃine în acest fel, valoarea x(0), adică deplasarea dinamică a supapei la pasul 0. Această deplasare se derivează numeric şi se obŃin x’(0) şi x’’(0). Valorile astfel obŃinute se introduc în ecuaŃia diferenŃială (care se utilizează pentru a doua oară consecutiv) şi obŃinem x(1), adică deplasarea dinamică a supapei căutată, x, care se consideră a fi valoarea finală. Dacă încercăm să iterăm acest proces (pentru mai mulŃi paşi), se va observa lipsa convergenŃei către o soluŃie unică şi amplificarea valorilor la fiecare trecere (iteraŃie). Se consideră rezolvarea ecuaŃiei nu iterativ, în doi paşi, ci exact şi direct, rezolvare dintr-un singur pas, cel

76

de al doilea, primul pas fiind de fapt o intermediere necesară determinării aproximative a valorilor x’ şi x’’, (paragraful 4.2).

3.6. Prezentarea unei ecuaţii diferenţiale,

(model dinamic), care ţine cont de masa camei

Pornind de la modelul dinamic prezentat în cadrul paragrafului 2.8.1., se va obŃine o nouă ecuaŃie diferenŃială, care să descrie funcŃionarea dinamică a mecanismului de distribuŃie, de la motoarele cu ardere internă, în patru timpi.

Practic se modifică formula care exprimă masa redusă a întregului lanŃ cinematic şi atunci se modifică şi amortizarea internă a sistemului, c, şi automat se schimbă şi întreaga ecuaŃie dinamică (diferenŃială), fapt care ne îndreptăŃeşte să spunem că avem de a face cu un nou model dinamic, cel care ia în consideraŃie şi masa camei.

Masa redusă M, a întregului lanŃ cinematic se scrie acum în forma (3.108):

2121*

211

*211

**

211

232

*

211

2325

).(.2

).().(

).().(

).().(

Xr

mm

XJm

XJmm

XJimmm

XJimmmM

A

LTLS

LS

&

&&

&

&

ω

ωω

ω

ω

+=

=+=++=

=+++=

=+++=

(3.108)

Constanta de amortizare a sistemului se determină cu formula prezentată la 2.8.1., şi capătă acum forma (3.109):

]...2

.2...2.[2

1.

2

12

311

3

211

Xrr

m

X

XJ

dt

dMc I

AA &&

&& ωω +−== (3.109)

77

Pentru mecanismul de distribuŃie clasic se găseşte valoarea I

AA rr . dată de (3.110) şi se introduce în relaŃia (3.109), care capătă forma (3.111):

').''(. *0 sssrrr I

AA ++= (3.110)

2

31*

01

3

211 '.).''.(

2..

Xsssr

m

X

XJc

&&

&& ωω +++−= (3.111)

Se utilizează în continuare ecuaŃia diferenŃială prezentată la 2.8.1. şi anume (3.112):

0.).(.. 0 =+−+++ FyKXkKXcXM &&& (3.112)

Se introduce în continuare masa M, determinată cu (3.108) şi coeficientul de amortizare, c, obŃinut cu (3.111), în ecuaŃia (3.112) şi obŃinem o nouă ecuaŃie dinamică, diferenŃială, (3.113), care reprezintă de fapt un nou model dinamic de bază.

0.).(1

.'.).''(

.2

.....

031

*0

*1

22112

211

*

=+−++++⋅

+−+

FyKXkKX

sssr

m

X

XJ

X

XJXm

&

&

&&

&

&&&&

ω

ωω (3.113)

EcuaŃia diferenŃială (3.113) se scrie sub forma (3.114), după ce se reduc cei doi termeni identici care îl conŃin pe J1:

0..).(

1.'.).''.(

2.

0

31

*0

*1*

=+−++

+++

xkyKXkK

Xsssr

mXm

&&& ω

(3.114)

Utilizând funcŃia de transmitere, D şi prima ei derivată, D’, ecuaŃia diferenŃială (3.114), devine ecuaŃia (3.115):

0..).(.'.

1

.'.).''.(2

)''.'.'.(.

01

1

21

*0

*12

1*

=+−++⋅⋅

++++

xkyKxkKDx

sssrm

DxDxm

ωω

ωω (3.115)

78

EcuaŃia (3.115) se aranjează în forma (3.116):

0..).('

'.

)''(..

2''...''...

0

*02

*12*2*

=+−++

++++

xksKxkK

x

s

D

ssrmxDmxDm ωωω

(3.116)

Notăm x cu s+∆x, (3.117):

xsx ∆+= (3.117)

Cu (3.117), ecuaŃia (3.116) capătă forma (3.118):

kK

x

s

D

ssrm

kK

xskxDxDmx

+

++

−

−+

+−+−=∆

'

'.

''..

2

).(]''.''..[.

*02

*1

0*2

ω

ω

(3.118)

unde ∆x reprezintă diferenŃa dintre deplasarea dinamică x şi cea impusă s, ambele reduse la axa supapei.

Pentru aflarea aproximativă a valorilor x’ şi x’’ utilizăm relaŃiile (3.119-3.122) şi în final (3.121-3.122):

ϕϕϕϕ

∆≅∆=∆⇒=⇒= '.''.'''.'''

'' sxxdxdxd

dxx (3.119)

ϕϕϕϕ

∆≅∆=∆⇒=⇒= '.'''.'''''.''''''

''' sxxdxdxd

dxx (3.120)

ϕϕϕ

∆+≅∆+=∆+=∆

+=⇒∆+= '.''''''' ssxsd

dxs

d

xdsxxsx (3.121)

ϕϕ

ϕ

∆+≅∆+=∆+=

=∆

+=⇒∆+=

'.'''''''''

''

''''''''

ssxsd

dxs

d

xdsxxsx

(3.122)

79

Cu relaŃiile (3.121) şi (3.122), dar şi cu aproximaŃia 1'

'≅

x

s,

ecuaŃia (3.118) se scrie sub forma (3.123):

kK

xskD

ssrm

kK

ssDssDmx

+

++++

−

−+

∆++∆+−=∆

).(''

..2

)]'.'''.()'.''''.(.[.

0

*02

*1

*2

ω

ϕϕω

(3.123)

EcuaŃia (3.123) se ordonează sub forma (3.124):

kK

xskD

ssi

r

i

m

kK

sDsDDsDmx

+

++++

−

−+

∆+∆++−=∆

).(''

...2

]'''..'').'.(''..[.

0

0

22

1

*2

ω

ϕϕω

(3.124)

Se calculează ∆x de două ori, ∆x(0) şi ∆x. ∆x(0) adunat la s generează x(0), care este utilizat pentru determinarea vitezei unghiulare variabile, ω.

În ecuaŃia ∆x(0) se utilizează ω=ωn=constant.

În ecuaŃia a doua ∆x, se utilizează ω variabil determinat cu ajutorul primei ecuaŃii; pentru viteza redusă x’ şi acceleraŃia redusă x’’, acum avem două variante: fie introducem direct, tot valorile aproximative, calculate cu relaŃiile (3.121-3.122), ori utilizăm x’(0) şi x’’(0) obŃinute deja prin derivarea directă (numerică) a lui x(0), care altfel nu vor fi folosite decât pentru aflarea vitezei unghiulare variabile, ω.

Cu ∆x adunat la s obŃinem valoarea exactă a lui x, pe care o derivăm numeric şi obŃinem şi valorile finale (exacte) pentru viteza redusă, x’ şi acceleraŃia redusă, x’’.

80

3.7. Determinarea anticipată a vitezei dinamice reduse

şi a acceleraţiei dinamice reduse la axa supapei

La paragraful 2.8.1. s-au determinat relaŃiile de calcul ale forŃelor ce acŃionează asupra supapei (ForŃa MOTOARE redusă şi ForŃa REZISTENTĂ redusă). Aceste forŃe au fost utilizate deja în cadrul paragrafului 3.4. pentru determinarea forŃelor reduse şi a momentelor reduse, din cadrul ecuaŃiei diferenŃiale Lagrange, ecuaŃie care odată rezolvată generează valorile vitezei unghiulare ω în funcŃie de unghiul de rotaŃie al camei, ϕ.

Se vor reaminti acum expresiile celor două forŃe reduse la supapă, forŃa motoare (3.125) şi cea rezistentă (3.126):

).().( xsKxyKFm −≅−= (3.125)

).( 0xxkFr += (3.126)

Static cele două forŃe sunt egale în modul (3.127-3.128), dar de sens contrar (acŃiune şi reacŃiune), iar dinamic ele diferă foarte puŃin una faŃă de alta (în modul).

rm FF = (3.127)

).().( 0xxkxsK +=− (3.128)

Din relaŃia (3.128) explicităm deplasarea supapei, xS, (3.129):

kK

xksKxx S +

−=≡ 0..

(3.129)

Ne reamintim acum ecuaŃia dinamică determinată la modelul 2.8.1., scrisă sub forma (3.130):

K

ymXmxkXksxx TS

&&&& .... 0 +++−=−≡∆ (3.130)

În ecuaŃia (3.130) înlocuim valoarea x cu cea statică obŃinută prin relaŃia (3.129) şi rezultă expresia (3.131):

81

).(

)..).(().(. 0

kKK

ymXmkKxsKkx TS

+

++++−=∆

&&&&

(3.131)

O modalitate simplă de a determina valoarea expresiei (3.131),

este înlocuirea lui X&& cu expresiile (3.132) şi a lui y&& cu relaŃia (3.133), care se determină cu ajutorul funcŃiilor de transmitere, D, D’.

)''.''..(.

)''.''..(

''.

'.

22 sDsD

kK

KxDxDX

kK

sKx

kK

sKx

II

S

I

S

++

=+=

+=

+=

ωω&&

(3.132)

)''.''..(2 sDsDy += ω&& (3.133)

După înlocuire se obŃine expresia (3.134):

kK

sDsDmK

kmxsk

xT

+

++++−=∆

)''.''.).(..().( *20 ω

(3.134)

Cu relaŃia (3.134) se poate calcula acum expresia (3.135):

xsx ∆+= (3.135)

3.7.1. Determinarea anticipată aproximativă a vitezei

reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei

Expresia (3.134) se scrie sub forma aproximativă (3.136):

kK

xk

kK

smK

kmsk

xT

+−

+

++−=∆ 0

*2

.'')...(. ω (3.136)

82

EcuaŃia (3.136) se derivează de două ori şi obŃinem la prima derivare (∆x)’, (3.137), iar la a doua derivare, (∆x)’’, (3.138):

kK

smK

kmsk

x

III

T

I

I

+

++−=∆

)...(.)(

*2ω (3.137)

kK

smK

kmsk

x

IV

T

II

II

+

++−=∆

)...(.)(

*2ω (3.138)

Se poate determina acum x’, (3.139), dar şi pe x’’, (3.140):

kK

smK

kmsK

xsx

III

T

I

+

+−=∆+=

)...(.)'(')0('

*2ω (3.139)

kK

smK

kmsK

xsx

IV

T

II

II

+

+−=∆+=

)...(.)('')0(''

*2ω (3.140)

În continuare se utilizează ecuaŃia (3.131), pe care o rescriem sub forma (3.141); unde x’’ şi x’ se înlocuiesc cu x’’(0) respectiv x’(0), date de formulele (3.140), respectiv (3.139).

K

msDsDmxDxD

kK

xskx

TSn ])()[(

)(

)(

'''''0

'''0

2

0

⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+

++

+⋅−=∆

ω (3.141)

Analiza dinamică pe baza acestui model se face pe scurt în paragraful 4.4.

83

3.7.2. Determinarea anticipată precisă a vitezei

reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei

Pentru o determinare mai precisă a vitezei dinamice reduse a supapei, x’, şi a acceleraŃiei dinamice reduse a supapei, x’’, se pleacă de la relaŃia (3.142), care exprimă valoarea exactă a lui ∆x.

kK

xk

kK

sDsDmK

kmsk

xT

+−

+

+++−=∆ 0

*2

.)''.''.).(..(. ω (3.142)

Expresia (3.142) se derivează de două ori şi se obŃin (∆x)’, (3.143), şi (∆x)’’, (3.144):

kK

sDsDsDmK

kmsk

xT

I

I

+

++++−=∆

)'''.'''..2''.').(..(.)(

*2ω(3.143)

kK

sDsDsDsDmK

kmsk

x

IV

T

II

II

+

+++++−=∆

).''''..3'''.'.3''.'').(..(.)(

*2ω (3.144)

Cu relaŃiile (3.143) şi (3.144) se determină imediat viteza redusă a supapei (3.145) şi acceleraŃia redusă a supapei (3.146):

)'('' xsx ∆+= (3.145)

')'('''' xsx ∆+= (3.146)

Dificultatea metodei constă în necesitatea determinării suplimentare a valorilor D’’ şi D’’’, adică derivatele de ordinul doi şi trei ale funcŃiei de transmitere D. Mai întâi trebuie să ne reamintim expresia lui D’ (3.147):

2220

02

0

2220

2200

]')[(

]''].[')'.(''.[.2

]')[(

]')].[('''.)'.(''[

ssr

ssrssrss

ssr

ssrsssrsD I

++

++−+−

−++

++−+=

(3.147)

84

Expresia (3.147) se scrie sub forma (3.148):

220

0

2

0000

220

220

0

')(

)(

').).(''('').).(''(

')(

'.2

')(

'''.)'.(''

ssr

sr

ssrssrssrssr

ssr

s

ssr

sssrsD I

++

++++−+++

∗++

−++

−+=

(3.148)

Din (3.148) se determină forma restrânsă (3.149):

])(

'''[

')(

'..2

')(

'''.)'.(''

0

2

220

220

0

sr

ss

ssr

Ds

ssr

sssrsD I

+−⋅

++−

++

−+= (3.149)

D’ se poate scrie mai compact, în relaŃia (3.150):

22

0

0

30

')(

1'..2''.'..2'''.)'.(''

ssr

srsDsDssssrs

D I

++

+⋅+−−+

= (3.150)

Pentru a putea deriva mai uşor relaŃia (3.150) o scriem sub forma (3.151):

sr

sDssDsssrs

ssrD I

+⋅⋅

+⋅⋅⋅−⋅−+⋅=

=++⋅

0

3

0

220

'2'''2''')('''

]')[(

(3.151)

Acum urmează derivarea propriuzisă a expresiei (3.151), care a fost aranjată în mod special în vederea derivării şi obŃinem relaŃia (3.152):

20

40

23

2

20

022

0

)(

'2)()'''3'(2

''''2''2

'''.2'''''''''')(

]'''')[(2]')[(

sr

sDsrssDsD

ssDsD

ssDssssssrs

ssssrDssrD

I

IIV

III

+

⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅⋅−

−⋅⋅−⋅−−⋅++⋅=

=⋅+⋅+⋅⋅+++⋅

(3.152)

85

Din (3.152) se explicitează D’’ sub forma (3.153):

220

020

4

0

23

220

220

')(

)''('2)(

'2'''6'2

')(

''''2''2'''2'')(

ssr

ssrsDsr

sD

sr

ssDsD

ssr

ssDsDssDssrsD

II

IIV

II

++

++⋅⋅⋅−+

⋅⋅−

+⋅⋅⋅+⋅⋅

+

++

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−−+⋅=

(3.153)

Expresia (3.153) se scrie sub forma (3.154) în vederea unei noi derivări:

)''('2)(

'2

'''6'2''''2''2

'''2'')(]')[(

020

4

0

232

20

220

ssrsDsr

sD

sr

ssDsDssDsD

ssDssrsssrD

I

I

IIVII

++⋅⋅⋅−+

⋅⋅−

+⋅⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅⋅−⋅⋅−

⋅⋅⋅−−+⋅=++⋅

(3.154)

Se derivează relaŃia (3.154) şi rezultă expresia (3.155):

)''('2

)''''('2)''(''2)''('2

)(

'4

)(

'''8'2

)(

'''6'2

''''6'''12'''6'''6'2

'2'''''2''''2'''''4

''2''''2''2'''2

'''''2')(]')[(

0

00

30

5

20

34

20

34

0

22223

22

022

0

ssrsD

sssDssrsDssrsD

sr

sD

sr

ssDsD

sr

ssDsD

sr

ssDssDssDssDsD

ssDssDssDssD

sDssDsDssD

sssssrsssrD

II

IIII

II

IIII

IVI

IIIII

IVVIII

++⋅⋅⋅−

+⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅−

+

⋅⋅+

+

⋅⋅⋅+⋅⋅−

+

⋅⋅⋅+⋅⋅−

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅−⋅++⋅=++⋅

(3.155)

Expresia (3.155) se aranjează în forma (3.156), din care se extrage D’’’:

86

)''''('2)''(''2)''('4

)(

'4

)(

'''14'4

''''6'''12'''12'2

'2'''''6''''4''4

'''2'''''2')(]')[(

00

30

5

20

34

0

2223

2

022

0

sssDssrsDssrsD

sr

sD

sr

ssDsD

sr

ssDssDssDsD

ssDssDssDsD

ssDsssssrsssrD

IIII

I

III

IVII

IIIVVIII

+⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅−++⋅⋅⋅−

+

⋅⋅+

+

⋅⋅⋅+⋅⋅−

+

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅++⋅=++⋅

(3.156)

Cu acest model dinamic prezentat, se poate face analiza dinamică completă şi precisă. Un exemplu analizat, pentru legea sin, se prezintă în cap. 4.5., numai pentru o singură turaŃie, la fel ca şi la modelele dinamice anterioare.

3.7.3. Determinarea anticipată, precisă, a vitezei

reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei,

prin metoda cu diferenţe finite

Calculul lui ∆x este similar cu cel anterior (de la paragr. 3.7.2.), cu excepŃia faptului că în loc de ipoteza statică (Fm=Fr), utilizăm diferenŃele finite, pentru amorsarea calculelor, conform relaŃiilor (3.157):

)'''(

]''''')('[

)'''(

'.''''''

'.'''

'.

2

2

2

sDsDSy

sDsDDsD

xDxDX

ssx

ssx

ssx

I

II

I

⋅+⋅⋅==

∆⋅⋅+⋅∆⋅++⋅⋅=

=⋅+⋅⋅=

∆+≅

∆+≅

∆+≅

ω

ϕϕω

ω

ϕϕϕ

&&&&

&& (3.157)

EcuaŃia de pornire este cea cunoscută deja pe care o rescriem în forma (3.158):

87

K

ymXmxkXkx TS

&&&& .... 0 +++−=∆ (3.158)

Cu relaŃiile (3.157), ecuaŃia (3.158) se scrie sub forma (3.159):

K

sDsDm

K

sDsDDsDm

K

xkskskx

T

S

)''.''..(.

]'.''.'').'.(''..[.

.'...

2

2

0

+−

−∆+∆++

+

++∆+

−=∆

ω

ϕϕω

ϕ

(3.159)

Prin derivare se obŃin expresiile lui (∆x)’, (3.160) şi (∆x)’’, (3.161).

K

sDsDsDmsksk

K

sDsDDsDDsDmx

T

IV

S

)'''.'''..2''.'.(.''..'.

]..''').'..2('').'.''.2(''.'.[.)'(

2

2

+++∆+−

∆+∆++∆++−=∆

ωϕ

ϕϕϕω (3.160)

K

sDsDsDsDmsksk

K

sDsDDm

K

sDDsDDsDmx

IV

T

VIV

S

S

).''''..3'''.'.3''.''.(.'''..''.

]..).'..3.[(.

]''').'.''.(3'').'.''''.3(''.''.[.')'(

2

2

2

++++∆+−

∆+∆+−

∆++∆++−=∆

ωϕ

ϕϕω

ϕϕω

(3.161)

3.7.4. Determinarea anticipată şi precisă a vitezei reduse

şi a acceleraţiei reduse a supapei, utilizând modelul

dinamic care ia în calcul şi masa m1 a camei

La paragraful 3.6. a fost prezentat un model dinamic care ia în calcul şi masa camei (vezi ecuaŃiile 3.114, 3.115, 3.116 şi 3.118). RelaŃia (3.118) se rescrie sub forma (3.162):

88

kK

xskx

s

D

ssrmxDxDm

x+

+−++

−+−=∆

).('

'.

''..

2]''.''..[. 0

*02

*1*2 ωω

(3.162)

De la ipoteza statică (Fm=Fr), reŃinem relaŃiile de amorsare (3.163):

kK

sKx

kK

sKx

IIII

S

II

S

+⋅

≅

+⋅

≅ (3.163)

Cu relaŃiile (3.163), expresia (3.162) capătă forma (3.164):

)()(

2

][)(

0

*0

2*1

2

*2

xskK

k

D

ssr

K

m

sDsDkK

Kmx

II

IIII

+⋅+

−++

⋅⋅−

⋅+⋅⋅+

⋅⋅−=∆

ω

ω

(3.164)

Expresia (3.164) se derivează succesiv, de două ori, pentru obŃinerea lui (∆x)’, (3.165) şi (∆x)’’, (3.166).

])(

[2

]2[)(

)'(

2

*0

2*1

2

*2

D

Dssr

D

ss

K

m

kK

sk

sDsDsDkK

Kmx

IIIIIIII

IIIIIIIII

⋅++−

+⋅⋅−

+⋅

−

⋅+⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅−=∆

ω

ω

(3.165)

]')(2)()(2

[2

]3

3[)(

)(

3

2*0

2

*0

2*1

2

*2

D

Dssr

D

DssrDss

D

ss

K

m

kK

sksDsD

sDsDkK

Kmx

IIIIIIIIIII

IVIIIIIVIIII

IIIIIIIIII

⋅++⋅+

⋅+++⋅+⋅

−+

⋅⋅−+

⋅−⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅−=∆

ω

ω

(3.166)

89

Cu relaŃiile (3.165) şi (3.166), expresiile (3.167) capătă formele (3.168) şi respectiv (3.169).

IIIIII

III

xsx

xsx

)(

)(

∆+=

∆+= (3.167)

])(

[2

]2[)(

2

*0

2*1

2

*2

D

Dssr

D

ss

K

m

kK

sk

sDsDsDkK

Kmsx

IIIIIIII

IIIIIIIIIII

⋅++−

+⋅⋅−

+⋅

−

⋅+⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅−=

ω

ω

(3.168)

]')(2)()(2

[2

]3

3[)(

3

2*0

2

*0

2*1

2

*2

D

Dssr

D

DssrDss

D

ss

K

m

kK

sksDsD

sDsDkK

Kmsx

IIIIIIIIIII

IVIIIIIVIIII

IIIIIIIIIIII

⋅++⋅+

⋅+++⋅+⋅

−+

⋅⋅−+

⋅−⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅−=

ω

ω

(3.169)

Expresiile (3.168) şi (3.169) determină, anticipat şi precis, viteza redusă a supapei, respectiv acceleraŃia redusă a supapei. Ele se introduc în relaŃia (3.162) şi se determină astfel cu precizie ∆x. Cu ∆x calculat putem afla imediat deplasarea supapei, x, (cu relaŃia x=s+∆x). Rezultă un model dinamic precis şi flexibil. Cu acest model dinamic se face analiza dinamică prezentată la cap. 4.6.

Precizare: Trebuie făcută următoarea precizare. În modelele dinamice utilizate, s-a luat în calcul pentru deplasarea dinamică (reală) a supapei, valoarea x în loc de X, din motive de simetrie faŃă de funcŃia de intrare, cunoscută, s. FuncŃia de intrare necunoscută, S s-a notat cu y. Avantajele utilizării deplasării x (care este aproximativ egală cu X, dar care are alte derivate, în comparaŃie cu X) sunt următoarele: utilizarea în ecuaŃia dinamică (diferenŃială) a valorii s (cunoscută), în loc de S=y (necunoscută), utilizarea deasemenea a valorii x care se poate aproxima atât ea , cât şi derivatele ei cu valori cunoscute (anticipat), fapt care uşurează mult rezolvarea ecuaŃiei diferenŃiale, prin posibilitatea introducerii anticipate în ecuaŃie a valorilor x’ şi x’’ aproximativ

90

cunoscute, ceea ce conduce la transformarea ecuaŃiei diferenŃiale într-o ecuaŃie liniară de gradul I. Utilizarea la ieşire a funcŃiei x, care lucrează simetric cu funcŃia de intrare cunoscută, s, crează posibilitatea obŃinerii unor rezultate mai apropiate de realitate. Între aceste funcŃii, între care există o transformare (X cu x) şi (y=S cu s) se crează următoarele relaŃii de legătură (3.170):

'''''''';''';'

;'''''';'';'

;'''')''''(''''

;'''';

;'''';'';

0

0

sDsDySsDySsdsDyS

xDxDXxDXxdxDX

xDxDsDsDkK

Ky

kK

KX

xDsDkK

Ky

kK

KXx

kK

ky

kK

KX

skK

Kxs

kK

Kxx

kK

ks

kK

Kx

⋅+⋅=≡⋅=≡≅⋅⋅=≡

⋅+⋅=⋅=≅⋅⋅=

⋅+⋅=⋅+⋅⋅+

=⋅+

≅

⋅=⋅⋅+

=⋅+

≅⋅+

−⋅+

≅

⋅+

≅⋅+

≅⋅+

−⋅+

≅

∫∫

ϕ

ϕ

(3.170)

3.8. Model dinamic cu integrare

InfluenŃa resortului supapei, în modelele dinamice prezentate anterior, este în general redusă, deşi în realitate ea trebuie să fie mult mai substanŃială. DeficienŃa apare datorită modului de rezolvare aproximativã a ecuaŃiei dinamice (diferenŃiale) cunoscute, rezolvare care face ca elasticitatea k a resortului supapei să devină neglijabilă comparativ cu K.

Pentru a putea Ńine cont de k, cât şi de x0, se scrie ecuaŃia (3.171), de echilibru de forŃe pe axa supapei, numai pentru supapă (pentru masa supapei, mS*):

**2* FgmXm S

II

S =⋅−⋅⋅ω (3.171)

ForŃa redusă care acŃionează asupra supapei, se scrie cu cele două componente ale sale, cea motoare şi cea rezistentă (3.172):

***rm FFF −= (3.172)

91

ForŃa redusă rezistentă la supapă este cunoscută (3.173):

)( 0* xXkFr +⋅= (3.173)

ForŃa motoare redusă la supapă, Fm*, se poate exprima în mai multe moduri. Dacă o calculăm direct printr-o relaŃie cunoscută, de

tipul celei deja prezentate )(* XyKFm −⋅= , ea preia controlul în ecuaŃie, iar K practic face constanta k inoperabilă (deşi resortul există şi lucrează); pe de altă parte orice deplasare înmulŃită cu K este mult mai mare decât prestrângerea resortului supapei k.x0, astfel încât şi influenŃa lui x0 dispare practic din ecuaŃie, din teorie, (deşi ea există în procesul dinamic real). SoluŃia care se întrevede în acest caz este ca forŃa redusă motoare, Fm*, să fie exprimată în funcŃie de Fr*, prin integrarea momentului rezistent redus cunoscut. Se consideră relaŃia (3.174) care exprimă valoarea momentului rezistent redus:

II

rr XxXkXFM ⋅+⋅=⋅= )( 0** (3.174)

Momentul motor redus corespunzător (3.175), se află prin integrarea momentului rezistent redus pe toată cursa de ridicare (de exemplu), adică pe intervalul [0,ϕu].

)2

()2(2

)2(2

)2(2

])[(2

])[(2

]2

)([)(

)(11

00

022

0200

2

20

200

20

0

20

0

0

0 0

0**

xhkh

xhkh

xhhk

xxxhhk

xxhk

xXk

xXkdXxX

k

dXxXkdMM

uu

uu

uu

u

I

u

I

u

r

u

m

u

u

u

u u

+⋅⋅

=⋅+⋅⋅⋅

=

⋅⋅+⋅⋅

=−+⋅⋅+⋅⋅

=

−+⋅⋅

=+⋅⋅

=

+⋅=⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=

∫

∫ ∫

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

(3.175)

Momentul redus total se scrie sub forma (3.176):

I

u

rm XxXkxhkh

MMM ⋅+⋅−+⋅⋅

=−= )()2

( 00***

ϕ (3.176)

92

ForŃa redusă totală este (3.177):

00

*****

1)

2( xkXk

Xx

hkh

X

MMFFF

I

u

I

rmrm

⋅−⋅−⋅+⋅⋅

=

=−

=−=

ϕ

(3.177)

EcuaŃia dinamică la supapă se scrie sub forma (3.178):

gmXm

xkXkX

xhkh

S

II

S

I

u

⋅−⋅⋅=

=⋅−⋅−⋅+⋅⋅

*2*

00

1)

2(

ω

ϕ (3.178)

Se poate scrie (3.178) în forma (3.179):

gmXmxkXk

Xx

hkh

S

II

S

I

u

⋅−⋅⋅+⋅+⋅=

=⋅+⋅⋅

*2*0

0

1)

2(

ω

ϕ (3.179)

Ecuaţia (3.179) se mai scrie şi sub forma (3.180):

I

S

II

S

u

XgmXmxkXk

xhkh

⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅=

=+⋅⋅

][

)2

(

*2*0

0

ω

ϕ (3.180)

Din (3.180) se explicitează X’ (3.181):

gmXmxkXk

xhkh

XS

II

S

uI

⋅−⋅⋅+⋅+⋅

+⋅⋅

=*2*

0

0 )2

(

ωϕ

(3.181)

Pentru evaluarea efectivă a lui X’ (din 3.181), se scriu X şi X’’ sub formele (3.182), respectiv (3.183) şi se substituie în numitorul relaŃiei (3.181), care ia forma (3.184):

kK

xk

kK

sK

kK

xk

kK

yKX

+

⋅−

+⋅

≅+

⋅−

+

⋅= 00 (3.182)

93

)( IIIIII sDsDkK

KX ⋅+⋅⋅

+= (3.183)

kK

gmkKsDsD

kK

Km

kK

xkxkK

kK

xk

kK

sKk

xhkh

XSIIIIS

uI

+

⋅⋅+−⋅+⋅⋅

+

⋅⋅+

+

⋅+⋅⋅+

+

⋅−

+

⋅⋅

+⋅⋅

=*2*

02

002

0

)()(

)2

(

ω

ϕ(3.184)

RelaŃia (3.184) se reduce la forma (3.185):

gmkKsDsDKmxsKk

xhkhkK

XS

IIII

S

uI

⋅⋅+−⋅+⋅⋅⋅⋅++⋅⋅

+⋅⋅⋅+

=*2*

0

0

)()()(

)2

()(

ω

ϕ (3.185)

Se derivează relaŃia (3.185) şi se obŃine expresia (3.186):

2*2*0

2*0

])()()([

)]2([)2

()(

gmkKsDsDKmxsKk

sDsDsDKmsKkxhkhkK

XS

IIII

S

IIIIIIIII

S

I

uII

⋅⋅+−⋅+⋅⋅⋅⋅++⋅⋅

⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

−=ω

ωϕ (3.186)

Reamintim ecuaŃia diferenŃială (3.187), pentru modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără să Ńină cont de masa camei:

kK

sDsDK

kKmXmxksK

x

IIII

T

II

S

+

⋅+⋅⋅+

⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅=

)(2*2*0 ωω

(3.187)

Acum se poate rezolva direct ecuaŃia diferenŃială (3.187), introducând pentru necunoscuta X’’, expresia (3.186), obŃinută cu ajutorul modelului dinamic cu integrare, scris pentru supapă; x’ şi x’’ se obŃin prin derivare numerică, dar se pot obŃine mai precis şi prin derivarea directă a expresiilor (3.186 şi 3.187), cu specificaŃia că va trebui calculat şi DIV; Deplasarea x, calculată cu (3.187 şi 3.186) se obŃine acum prin metoda dinamică cu integrare; la fel şi v şi a supapă. Avantajele acestui model dinamic sunt date de variaŃia efectivă a lui x, x’, x’’, sau X, v, a, şi cu coeficientul elastic, k, al arcului supapei, cât şi cu prestrângerea resortului, x0. Analiza dinamică cu acest model, se face în cadrul cap. 4., paragraful 4.7. Pentru a nu avea o dublă impunere, relaŃiile (3.186) şi (3.187) se modifică în (3.188), respectiv (3.189), rezultând astfel modelul A7M (A7 modificat).

94

2*2*0

2*0

])()([

][)2

()(

gmkKsKmxsKk

sKmsKkxhkhkK

xS

II

S

III

S

I

uII

⋅⋅+−⋅⋅⋅++⋅⋅

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

−=ω

ωϕ (3.188)

kK

sK

kKmxmxksK

x

II

T

II

S

+

⋅+

⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅=

2*2*0 ωω

(3.189)

3.9. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale prin,

integrare directă şi obţinerea ecuaţiei mamă

Rezolvarea cea mai firească a ecuaŃiei dinamice, care este o ecuaŃie diferenŃială, este rezolvarea prin integrare directă, printr-o metodă originală.

EcuaŃia diferenŃială de bază, cunoscută atât de la cap. 2 cât şi din cadrul acestui capitol, cea cu amortizare internă a sistemului variabilă, dar care nu Ńine cont de masa camei, se scrie sub forma (3.190):

I

III

T

II

S

x

yym

xmxkyKxkK

⋅⋅⋅=

=⋅⋅−⋅−⋅+⋅+−2*

2*0)(

ω

ω (3.190)

ÎnmulŃim ecuaŃia cu x’ şi obŃinem forma (3.191):

III

T

III

S

III

yymxxm

xxkxyKxxkK

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅−

−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+−2*2*

0)(

ωω (3.191)

Cum singurul care se integrează mai greu (nu se poate integra direct) este termenul K.y.x’, îl înlocuim prin aproximare (Ńinând cont de

ipoteza statică), cu IykK

KyK ⋅

+⋅⋅ şi obŃinem ecuaŃia (3.192):

95

III

T

III

S

III

yymxxm

xxkyykK

KxxkK

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅−

−⋅⋅−⋅⋅+

+⋅⋅+−

2*2*

0

2

)(

ωω (3.192)

EcuaŃia (3.192) obŃinută se integrează direct şi obŃinem părintele ei (3.193):

Cy

mx

m

xxky

kK

KxkK

TS +⋅⋅=⋅⋅−

−⋅⋅−⋅+

+⋅+−

2

'

2

'

22)(

22*

22*

0

222

ωω

(3.193)

Punând condiŃia ca la momentul iniŃial ϕ=0, când y=y’=0 şi x=x’=0, obŃinem pentru constanta de integrare, C, valoarea zero, (C=0). EcuaŃia mamă, (3.193) se scrie sub forma finală (3.194):

2

'

2

'

22)(

22*

22*

0

222

ym

xm

xxky

kK

KxkK

TS ⋅⋅=⋅⋅−

−⋅⋅−⋅+

+⋅+−

ωω

(3.194)

Ordonăm termenii, înmulŃim ecuaŃia cu -2 şi o împărŃim la (K+k) şi rezultă forma (3.195):

0)(

'

'2

22

22

2*

22*

02

=⋅+

−+

⋅+

+⋅+

⋅+⋅

+

⋅⋅+

ykK

Ky

kK

m

xkK

mx

kK

xkx

T

S

ω

ω

(3.195)

Această ecuaŃie este mult mai simplu de rezolvat. Integrarea directă încă odată, fiind dificilă, preferăm rezolvarea ei, prin una din diversele metode posibile.

96

3.9.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,

mamă, prin utilizarea ipotezei statice

Rezolvarea cea mai simplă a ecuaŃiei diferenŃiale mamă, se face prin utilizarea imediată a ipotezei statice care înlocuieşte viteza redusă a supapei, x’, cu viteza redusă impusă de camă, y’, conform relaŃiei deja

prezentate, '' ykK

Kx ⋅

+= , astfel încât ecuaŃia mamă (3.195) capătă

forma (3.196):

0')(

)(

)(2

22

**2

2

22

202

=⋅⋅+

+⋅+

+

+⋅+

−⋅+

⋅⋅+

ykK

mmkK

K

ykK

Kx

kK

xkx

TS

ω

(3.196)

Am obŃinut astfel o ecuaŃie de gradul 2 în x, care se rezolvă simplu ca orice ecuaŃie de gradul II, (paragraful 3.9.1.1.), sau mai elegant, prin metoda diferenŃelor finite (paragraful 3.9.1.2.):

3.9.1.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, prin utilizarea ipotezei

statice, prin rezolvarea obişnuită a ecuaţiei de gradul II, în x

Rezolvarea cea mai simplă a ecuaŃiei (3.196), ecuaŃie de gradul doi în x, se face direct prin calculul realizantului ∆, (vezi relaŃiile 3.197, 3.198), şi a celor două soluŃii x1,2, (a se vedea relaŃiile 3.199 şi 3.200):

97

22

*

2

2*

2

220 '

)(

)(

)(

)()(ω⋅⋅

+

++

⋅

−+

⋅+⋅=∆ y

kK

mkK

Km

kK

sKxkTS

(3.197)

22

*2

2*

2

220

)'()(

)(

)(

)()(

ω⋅⋅⋅+

++

⋅−

−+

⋅+⋅=∆

sDkK

mkK

Km

kK

sKxk

TS

(3.198)

∆±+

⋅−=

kK

xkX 0

2,1 (3.199)

Cum nu se doreşte o soluŃie negativă pe tot intervalul (nu este posibilă fizic), oprim numai soluŃia cu plus (3.200):

kK

xkX

+

⋅−∆= 0 (3.200)

Programul de calcul (scris în Excel) generează valorile prezentate în diagrama dinamică pentru legea sin de la paragraful 4.8.

3.9.1.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, cu

ajutorul ipotezei statice, prin utilizarea diferenţelor finite

Rezolvarea mai elegantă a ecuaŃiei (3.196), ecuaŃie de gradul doi în x, se face prin utilizarea diferenŃelor finite.

În acest scop utilizăm notaŃia (3.201):

98

XsX ∆+= (3.201)

Cu relaŃia (3.201) ecuaŃia (3.196) capătă forma (3.202):

0')(

)(

)(

222)(

22

**

2

2

2

2

2

0022

=⋅⋅+

+⋅+

++

−

∆⋅+

⋅⋅+⋅

+

⋅⋅+⋅∆⋅+∆+

ykK

mmkK

K

skK

K

XkK

xks

kK

xksXXs

TS

ω

(3.202)

EcuaŃia (3.202) este o ecuaŃie de gradul doi în ∆X, care se poate rezolva direct (exact), prin aflarea realizantului ∆ (a se urmări relaŃia 3.204) şi a soluŃiilor ∆X1,2, din care oprim doar soluŃia cu plus (a se vedea relaŃia 3.205), sau se poate transforma într-o ecuaŃie de gradul I, în ∆X, punând (∆X)2≅0, ecuaŃie care îl generează imediat şi direct pe ∆X (vezi relaŃia 3.203).

20

22**2

022

)()(2

)'(])([)(2)2()1(

kKkK

xks

DsmkKmkK

KskKxksKkk

XTS

+⋅+

⋅+⋅

⋅⋅⋅++⋅+

+⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅−=∆

ω (3.203)

2

22**2

20

222

)(

)'(])([

kK

sDmkKmkK

KxksK TS

+

⋅⋅⋅⋅++⋅+

−⋅+⋅=∆

ω(3.204)

)( 0

kK

xksX

+

⋅+−∆=∆ (3.205)

Programul de calcul (scris în Excel) este utilizat pentru generarea diagramei dinamice pentru legea sin de la paragraful 4.9.

EcuaŃiile utilizate direct sunt (3.205) care o cheamă pe (3.204), dar atunci când în mod sporadic (foarte rar) ∆ ia valori negative (ecuaŃia are rădăcini complexe), soluŃia va fi dată direct de ecuaŃia (3.203).

Putem să scriem un program de calcul, care să utilizeze numai ecuaŃia (3.203) pentru aflarea soluŃiilor ∆X. Avantajul principal al unui astfel de model dinamic este în primul rând faptul că în acest mod găsim direct diferenŃa finită, ∆X, care adunată la S generează chiar

99

soluŃia finală, X, a sistemului mecanic, soluŃie pe care o căutam. În programul de calcul s-a utilizat metoda derivării numerice pentru determinarea lui X’ şi X’’, când se cunoaşte X, metodă mai rapidă şi foarte avantajoasă atunci când expresia lui X este complexă iar derivarea normală este foarte dificilă chiar şi pentru aflarea primei derivate, X’. De aici rezultă şi un alt avantaj al cunoaşterii expresiei lui X, şi anume faptul că putem deriva expresia lui X, (3.206, sau 3.207), direct şi cu uşurinŃă, obŃinând pentru X’ relaŃia (3.208) şi pentru X’’ relaŃia (3.209).

20

022

20

22**2

)()(2

)(2)2(

)()(2

)'(])([

kKkK

xks

skKxksKkk

kKkK

xks

DsmkKmkK

K

sXTS

+⋅+⋅

+⋅

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+−

+⋅+⋅

+⋅

⋅⋅⋅++⋅+−=

ω

(3.206)

24

232

21 '

CsC

yCsCsCX

+⋅

⋅−⋅−⋅= (3.207)

24

4321 ''''2''2'

CsC

XsCyyCsCssCX

+⋅

⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅= (3.208)

24

4432

3212

1 ''''2''''2''2''''2'2''

CsC

XsCXsCyyCyCsCssCsCX

+⋅

−−−−−+= (3.209)

S-au utilizat notaŃiile (3.210):

24

2*2*2

3

0222

1

)(2;)(

)(

);(2;22

kKCkK

mkKmKC

kKxkCKkkKC

TS +⋅=⋅+

⋅++⋅=

+⋅⋅⋅=⋅⋅++⋅=

ω (3.210)

100

CAP. 4

ANALIZA DINAMICĂ LA

MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE

În cadrul capitolului 4 se va face analiza dinamică la mecanismul clasic de distribuŃie (Modul C) – a se vedea şi lucrările [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29].

Pentru început, analiza se va face pentru condiŃii similare, cu ajutorul a diverse modele dinamice, cu aceeaşi lege SINus, la o turaŃie constantă, mereu cam de aceeaşi valoare (n=5500 [rot/min]), urmând ca pentru un model dinamic (final) ales, să se facă o analiză mai completă, la care se vor schimba legile de mişcare, turaŃia motorului şi diversele constante de lucru, cum ar fi k, x0.

4.1. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107),

bazată pe dezvoltările în serie Taylor şi pe modelul dinamic-A1,

cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei

Utilizând relaŃia (3.107), obŃinută din ecuaŃia diferenŃială (3.72), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, dar utilizând în calcule dezvoltările în serie Taylor cu reŃinerea a 8 termeni consecutivi, se obŃine modelul dinamic (A1).

Pentru acest model dinamic (A1) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.1.):

101

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1278.41s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=60 [N/mm]

r0=14 [mm]

x0=30 [mm]

hs=5 [mm]

hT=5 [mm]

i=1;η=6.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A1amax=7200

s max =4.49

amin= -4000

Fig. 4.1. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A1

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=14 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=60 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm].

Randamentul mecanic este scăzut (în general la mecanismele cu camă rotativă şi tachet, randamentul mecanic are valori scăzute, iar la Modulul C-mecanism de distribuŃie clasic, aceste valori sunt chiar ceva mai scăzute), η=6.9%.

4.2. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe modelul dinamic cu

amortizare internă variabilă,

fără considerarea masei m1 a camei,

cu rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în doi paşi

Utilizând relaŃia (3.107), obŃinută din ecuaŃia diferenŃială (3.72), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei şi folosind ecuaŃia diferenŃială de

102

două ori consecutiv, odată pentru determinarea vitezei dinamice reduse, x’, şi a acceleraŃiei dinamice reduse, x’’, iar a doua oară normal, se obŃine modelul dinamic A2.

Pentru acest model dinamic (A2) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.2.):

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1129.61s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=20 [mm]

hs=5 [mm]

hT=5 [mm]

i=1;η=6.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A2

amax=6700

s max =4.70

amin= -2900

Fig. 4.2. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A2

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=800, raza cercului de bază, r0=13 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul mecanic este , η=6.9%.

4.3. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.124), pentru modelul dinamic cu

considerarea masei m1 a camei

Pentru acest model dinamic (A3) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.3.):

Utilizând relaŃia (3.124), obŃinută din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, cu considerarea masei m1 a camei,

103

rezultă modelul dinamic A3, care se aplică în cadrul analizei dinamice prezentate în diagrama din figura 4.3.

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1747.95s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=60 [N/mm]

r0=14 [mm]

x0=30 [mm]

hs=5 [mm]

hT=5 [mm]

i=1;η=6.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A3

amax=10100

s max =4.62

amin= -7700

Fig. 4.3. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A3

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=14 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=60 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=6.9%.

4.4. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.139), (3.140), (3.141), pentru modelul

dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată,

aproximativă, a vitezei şi acceleraţiei reduse, ambele reduse la supapă

Utilizând relaŃiile (3.139), (3.140) şi (3.141), obŃinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi aproximativă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a

104

acceleraŃiei dinamice reduse a supapei; rezultă modelul dinamic A4, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, prezentate în diagrama din figura 4.4.

Pentru acest model dinamic (A4) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.4.):

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=16 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=7.4%.

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1200.96s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=16 [mm]

x0=30 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=7.4% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A4

amax=8300

s max =5.56

amin= -5800

Fig. 4.4. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A4

4.5. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.143-3.146), pentru modelul dinamic fără

considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată,

precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă

Utilizând relaŃiile (3.143), (3.144), (3.145) şi (3.146), obŃinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare

105

anticipată şi precisă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraŃiei dinamice reduse a supapei; rezultă modelul dinamic A5, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, prezentate în diagrama din figura 4.5.

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=17 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=6.7%. Pentru acest model dinamic (A5) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.5.):

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1718.49s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=17 [mm]

x0=30 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=6.7% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A5

amax=12000

s max =5.57

amin= -5500

Fig. 4.5. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A5

4.6. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.168, 3.169, 3.162), pentru modelul

dinamic cu considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată,

precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă

Utilizând relaŃiile (3.168), (3.169), şi (3.162), obŃinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, care ia în

106

considerare masa m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi precisă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraŃiei dinamice reduse a supapei, rezultă modelul dinamic A6, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, (figura 4.6).

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1209.26s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=30 [mm]

hs=4 [mm]

hT=4 [mm]

i=1;η=4.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A6 amax=5500

s max =3.59

amin= -2500

Fig. 4.6. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A6

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=800, raza cercului de bază, r0=13 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=4 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=4.9%. Profilul sinus utilizat, se poate vedea în figura 4.7.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -10 0 10 20

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul clasic C.

Suportã o turatien=5500[rot/min]

ϕu=ϕc=80[grad]

r0=13 [mm]

hT=4 [mm]

η=4.9% legea:sin y=x-sin(2πx)/(2π)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 1 2 3

WD [s-1]

ω [s-1]

φ [rad]

Fig. 4.7. Profilul Sin, corespunzător Fig. 4.8. Diagrama de variaţie a lui ω,

diagramei dinamice din fig. 4.6. viteza unghiulară a camei, pt. fig. 4.6.

107

Viteza unghiulară variabilă a camei (a arborelui de distribuţie), ω, pentru situaţia dată, poate fi urmărită în figura 4.8.

4.7. Analiza dinamică, cu ajutorul relaţiilor (3.186-3.187), pentru modelul dinamic cu integrare,

fără considerarea masei m1 a camei

Utilizând relaŃiile (3.186) şi (3.187), obŃinute din modelul dinamic cu integrare, cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, rezultă modelul dinamic A7.

Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=16 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm]. Randamentul mecanic este , η=7.4%. Vezi diagrama dinamică din fig. 4.9.:

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1246.67s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=16 [mm]

x0=30 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=7.4% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

translant plat - A7 am ax=8670

s max =5.56

amin= -4800

Fig. 4.9. Analiza dinamică, pentru legea SINus,

utilizând modelul dinamic cu integrare, A7.

108

4.8. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), cu rezolvarea normală a

ecuaţiei de gr. II, (3.198, 3.200)

Utilizând relaŃiile (3.196), (3.198) şi (3.200), obŃinute din modelul dinamic cu integrare directă, rezultă modelul dinamic A8. De data aceasta s-a procedat prin integrarea directă a ecuaŃiei diferenŃiale de ordinul II, o singură dată, obŃinându-se o ecuaŃie mamă, ecuaŃie diferenŃială de ordinul I, care se poate rezolva uşor prin diferite metode.

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1317.04s*k[mm] k=

n=5200[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=15 [mm]

x0=20 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.1% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A8amax=9400

s max =5.68

amin= -3000

Fig. 4.10. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad],

pentru n=5200 [rot/min], cu modelul dinamic A8

Prin utilizarea ipotezei statice, x’ se înlocuieşte cu C.y’, iar ecuaŃia diferenŃială de ordinul I, se transformă într-o banală ecuaŃie de gradul II, în X (3.196). Rezolvând direct ecuaŃia cu ∆ dat de (3.198), obŃinem singura soluŃie viabilă (din punct de vedere fizic), (3.200). În figura 4.10. se prezintă dinamica rezultată cu acest model fizico-matematic (A8). Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5200 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=15 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se

109

adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul mecanic este , η=8.1%.

4.9. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), rezolvând ecuaţia de gr. II,

prin diferenţe finite (3.204, 3.205)

Utilizând relaŃiile (3.196), (3.203), (3.204) şi (3.205), obŃinute din modelul dinamic cu integrare directă, prin utilizarea diferenŃelor finite, rezultă modelul dinamic A9. În figura 4.11. se prezintă dinamica rezultată cu acest model fizico-matematic (A9). Se utilizează legea SINus, turaŃia motorului, n=5200 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, ϕu=ϕc=750, raza cercului de bază, r0=15 [mm].

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1037.56s*k[mm] k=

n=5200[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=15 [mm]

x0=20 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.1% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A9

amax=7400s max =5.68

amin= -3000

Fig. 4.11. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad],

pentru n=5200 [rot/min], cu modelul dinamic A9

Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul mecanic este , η=8.1%.

110

ObservaŃie: Vârfurile pozitive ale acceleraŃiei coboară de la circa 10000 [m/s2] (modelul dinamic anterior, A8), la aproximativ 7000 [m/s2], fiind mai apropiate de determinările experimentale, care utilizează legi clasice şi care pentru condiŃii similare generează acceleraŃii maxime de circa 6000-7000 [m/s2]. E drept că în aceste determinări experimentale (vezi[R6], p.1.197), şi maximul negativ nu trece de 2000 [m/s2], în vreme ce în modelele A8 şi A9 el atinge 3000 [m/s2]. CorecŃia necesară se face cu modelul A10.

4.10. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), prin diferenţe finite cu

relaţiile (3.203, 3.206)

Modelul dinamic A10, corespunde foarte bine cu cel experimental (vezi diagramele experimentale de la pag. 1.197 lucrarea [R6]). Acest model dinamic utilizează pentru aflarea directă a lui ∆X relaŃia (3.203).

În continuare se vor urmări diagramele dinamice, trasate cu modelul A10, pentru turaŃiile motorului de 5000, 5600 şi respectiv 5900 [rot/min].

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

673.05s*k[mm] k=

n=5000[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=20 [N/mm]

r0=14 [mm]

x0=40 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A10

amax=4900

s max =5.78

amin= -1400

4.12. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad],

pentru n=5000 [rot/min], cu modelul dinamic A10

111

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1027.71s*k[mm] k=

n=5600[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=20 [N/mm]

r0=14 [mm]

x0=40 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A10 amax=7400

s max =5.78

amin= -1750

4.13. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad],

pentru n=5600 [rot/min], cu modelul dinamic A10

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

1284.44s*k[mm] k=

n=5900[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=20 [N/mm]

r0=14 [mm]

x0=40 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.9% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant plat - A10 amax=9300

s max =5.78

amin= -2000

4.14. Analiza dinamică a legii sin, ϕu=75 [grad],

pentru n=5900 [rot/min], cu modelul dinamic A10

Se va aplica acest model dinamic, pentru studierea legii C4, sintetizată de autor. Analiza dinamică a legii C4P, cu ajutorul modelului A10 (net superior celorlalte modele dinamice), arată că pentru un unghi de fază scăzut la 45 grade, nu putem depăşi 10000 ori 15000 [rot/min], cu un randament bun, dar cu o cursă maximă efectivă smax de numai 4.1 [mm], (fig. 4.15).

112

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

0 20 40 60 80 100 a[m/s2]

7531.65s*k[mm] k=

n=10000[rot/min]

ϕu=45 [grad]

k=200 [N/mm]

r0=17 [mm]

x0=50 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=15.7% legea:C4P1-1

y=2x-x2

yc=1-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

translant plat - A10amax=39000

s max =4.10

amin= -8000

4.15. Analiza dinamică a legii C4P pentru ϕu=45 [grad],

n=10000 [rot/min], cu modelul dinamic A10

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 50 100 150 200 a[m/s2]

14220.35s*k[mm] k=

n=20000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=200 [N/mm]

r0=18 [mm]

x0=50 [mm]

hs=7 [mm]

hT=7 [mm]

i=1;η=7.2% legea:C4P2-0

y=2x-x2

yc=1-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

translant plat - A10amax=89000

s max =4.99

amin= -8100

4.16. Analiza dinamică a legii C4P pentru ϕu=80 [grad],

n=20000 [rot/min], cu modelul dinamic A10

Dacă ridicăm faza de urcare la 80 grade, se poate ajunge până la n=20000 [rot/min], dar cu un randament scăzut la jumătate şi cu o acceleraŃie maximă dublată, însă cu o ridicare maximă a supapei ceva mai mare, smax=4.99, (un minus reprezentându-l faza care acum este foarte mare, fig. 4.16).

Cursa maximă efectivă este scăzută, ca şi randamentul, în timp ce vârfurile acceleraŃiilor sunt mai ridicate.

113

CAP. 5

DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE

CU TACHET DE TRANSLAŢIE CU ROLĂ (MODUL B)

În cadrul capitolului 5 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuŃie, cu camă rotativă şi tachet de translaŃie cu rolă (Modul B); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].

5.1. Prezentare generală

Mecanismele cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă (Modul B), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunŃit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod normal acest tip de mecanism se studiază aproximativ, considerându-se, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, suficient un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta (vezi fig. 5.1.) prezintă însă o mare deficienŃă datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt ce conduce la un studiu dinamic inadecvat.

Un studiu precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul Ar având lungimea

(modulul) rA şi unghiul de poziŃie θA.

La fel se defineşte poziŃia punctului B (centrul rolei), prin vectorul Br , care se poziŃionează la rândul său prin, unghiul θB şi are lungimea rB.

114

α0αA

ϕθA

θB

δ

µ

γ

αA-δ

Fn, vn

Fm, vm

Fa, va

Fi, viFn, vn

Fu, v2

B

B0

A0

A

O

x

e

s0

rb

r0

rA

rB

s

n

C

rb

Fig. 5.1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet de translaŃie cu rolă

Între cei doi vectori prezentaŃi ( BA rsir ) se formează un unghi

µ.

Unghiul α0 defineşte poziŃia, de bază, a vectorului 0Br , în triunghiul dreptunghic OCB0, astfel încât putem scrie relaŃiile (5.1-5.4):

bB rrr += 00 (5.1)

220 0

ers B −= (5.2)

0

0cosBr

e=α (5.3)

0

00sin

Br

s=α (5.4)

115

Unghiul de presiune δ, care apare între normala n dusă prin punctul de contact A şi o verticală, are mărimea cunoscută dată de relaŃiile (5.5-5.7):

22

0

0

)'()(cos

esss

ss

−++

+=δ (5.5)

22

0 )'()(

'sin

esss

es

−++

−=δ (5.6)

ss

estg

+−

=0

'δ (5.7)

Vectorul Ar se poate determina direct cu relaŃiile (5.8-5.9):

20

22 )cos()sin( δδ ⋅−++⋅+= bbA rssrer (5.8)

20

2 )cos()sin( δδ ⋅−++⋅+= bbA rssrer (5.9)

Putem determina direct şi unghiul αA (5.10-5.11):

A

b

Ar

re δα

sincos

⋅+= (5.10)

A

b

Ar

rss δα

cossin 0 ⋅−+

= (5.11)

5.2. Relaţiile pentru trasarea profilului camei

Se poate acum trasa direct profilul camei cu ajutorul coordonatelor polare rA (cunoscută, vezi relaŃia 5.9) şi θA (care se determină cu relaŃiile 5.12-5.17):

0ααγ −= A (5.12)

116

00 sinsincoscoscos ααααγ ⋅+⋅= AA (5.13)

00 sincoscossinsin ααααγ ⋅−⋅= AA (5.14)

γϕθ −=A (5.15)

γϕγϕθ sinsincoscoscos ⋅+⋅=A (5.16)

ϕγγϕθ cossincossinsin ⋅−⋅=A (5.17)

5.3. Cinematica exactă la modulul B

Se determină în continuare câteva relaŃii de calcul, necesare obŃinerii cinematicii precise pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet de translaŃie cu rolă.

Din triunghiul OCB (fig. 5.1.) se determină lungimea rB (OB) şi unghiurile complementare αB şi τ (unde unghiul αB este unghiul COB, iar unghiul complementar τ este de fapt unghiul CBO; aceste două unghiuri intuitive nu au mai fost trecute pe desenul din fig. 5.1. pentru a nu o încărca prea mult):

20

22 )( sserB ++= (5.18)

2BB rr = (5.19)

B

Br

e=≡ τα sincos (5.20)

B

Br

ss +=≡ 0cossin τα (5.21)

Din triunghiul oarecare OAB, la care se cunosc laturile OB şi AB şi unghiul dintre ele B (unghiul ABO), care reprezintă suma unghiurilor τ şi δ, putem determina lungimea OA şi unghiul µ (unghiul AOB):

117

τδτδτδ sinsincoscos)cos( ⋅−⋅=+ (5.22)

)cos(2222 τδ +⋅⋅⋅−+= BbbBA rrrrr (5.23)

BA

bBA

rr

rrr

⋅⋅

−+=

2cos

222

µ (5.24)

δττδτδ cossincossin)sin( ⋅+⋅=+ (5.25)

)sin(sin τδµ +⋅=A

b

r

r (5.26)

Cu αB şi µ putem acum să determinăm αA:

µαα −= BA (5.27)

RelaŃia (5.27) o derivăm în raport cu timpul şi obŃinem Aα& :

µαα &&& −= BA (5.28)

Se derivează expresia (5.20) şi se obŃine Bα& (5.32):

2

sinB

B

BBr

re &&

⋅−=⋅− αα (5.29)

2

0 )( B

BB

Brss

rre

⋅+

⋅⋅=

&&α (5.30)

Pentru a afla Br& se derivează expresia (5.18):

sssrr

sssrr

BB

BB

&&

&&

⋅+=⋅

⋅+⋅=⋅⋅

)(

)(22

0

0 (5.31)

Acum Bα& se scrie sub forma (5.32):

22

0

0

)(

)(

BB

Br

se

rss

ssse &&&

⋅=

⋅+

⋅+⋅=α (5.32)

118

Expresia lui µ& este ceva mai dificilă, pentru obŃinerea ei derivăm în raport cu timpul relaŃia (5.24) şi obŃinem expresia (5.33):

BBAABA

BABA

rrrrrr

rrrr

&&&

&&

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅⋅−

−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

22sin2

cos2cos2

µµ

µµ (5.33)

Din (5.33) se explicitează µ& (5.38), care se poate determina

dacă obŃinem mai întâi Ar& prin derivarea expresiei (5.23):

)()sin(2

)cos(222

τδτδ

τδ

&&

&&&

+⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅

Bb

BbBBAA

rr

rrrrrr (5.34)

Pentru rezolvarea expresiei (5.34) sunt necesare derivatele δ& şi τ& .

Se derivează (5.7) şi se obŃine (5.35 şi 5.36):

22

0

0

)'()(

)'(')('''

esss

essess

−++

−⋅−+⋅=δ (5.35)

ωδδ ⋅= '& (5.36)

Se observă faptul că τ este complementarul lui αB, astfel încât vitezele lor (derivatele lor în raport cu timpul) sunt egale dar de semne contrare, astfel încât există relaŃia:

2B

Br

se &&&

⋅−=−= ατ (5.37)

Acum putem calcula µ& :

µµµ

µsin

coscos

⋅⋅

⋅−⋅−⋅⋅+⋅⋅=

BA

BBAABABA

rr

rrrrrrrr &&&&& (5.38)

Se poate determina acum Aα& (5.28) şi Aθ& (5.39):

AA αωγϕθ &&&& −=−= (5.39)

119

În continuare reexprimăm funcŃiile trigonometrice de bază (sin şi cos) de unghiul αA în alt mod decât prin relaŃiile (5.10-5.11), pe baza calculelor anterioare:

22

0

220

)'()(

)'()'()(cos

esssr

esressse

A

b

A

−++⋅

−⋅+−++⋅=α (5.40)

22

0

2200

)'()(

])'()([)(sin

esssr

resssss

A

b

A

−++⋅

−−++⋅+=α (5.41)

Putem să obŃinem acum expresia cos(αA-δ):

δδα cos'

)'()(

')()cos(

220

0 ⋅=−++⋅

⋅+=−

AA

Ar

s

esssr

sss (5.42)

Produsul cos(αA-δ).cosδ se exprimă acum sub forma simplificată:

δδδα 2cos'

cos)cos( ⋅=⋅−A

Ar

s (5.43)

Putem scrie următoarele forŃe şi viteze:

La intrare avem Fm şi vm perpendiculare pe vectorul rA. Ele se descompun în Fa (respectiv va), forŃa şi viteza de alunecare dintre profile, şi în Fn (respectiv vn) forŃa şi viteza normale la profil, care trec prin punctul B şi se descompun la rândul lor în două componente; forŃa Fi (respectiv viteza vi), forŃa şi viteza de încovoiere a tachetului (produc vibraŃii, oscilaŃii laterale) şi forŃa Fu (respectiv viteza v2), adică forŃa utilă care deplasează tachetul efectiv şi viteza sa de deplasare v2. În plus forŃa Fa dă naştere la un moment Fa.rb care face ca rola să se rotească.

Scriem următoarele relaŃii de forŃe şi viteze:

)sin(

)sin(

δα

δα

−⋅=

−⋅=

Ama

Ama

FF

vv (5.44)

120

)cos(

)cos(

δα

δα

−⋅=

−⋅=

Amn

Amn

FF

vv (5.45)

δ

δ

sin

sin

⋅=

⋅=

ni

ni

FF

vv (5.46)

δδαδ

δδαδ

cos)cos(cos

cos)cos(cos2

⋅−⋅=⋅=

⋅−⋅=⋅=

Amnu

Amn

FFF

vvv (5.47)

5.4. Determinarea coeficientului TF la modulul B

Se determină în continuare coeficientul TF al mecanismului (coeficientul de transmitere a forŃei, sau randamentul mecanic).

Puterea utilă se scrie:

δδα 222 cos)(cos ⋅−⋅⋅=⋅= Ammuu vFvFP (5.48)

Puterea consumată este:

mmc vFP ⋅= (5.49)

Se determină coeficientul TF instantaneu:

δδ

δδαδδα

δδαη

4

2

222

222

22

cos'

]cos'

[

]cos)[cos(cos)(cos

cos)(cos

⋅=⋅=

=⋅−=⋅−=

=⋅

⋅−⋅⋅==

AA

AA

mm

Amm

c

u

i

r

s

r

s

vF

vF

P

P

(5.50)

121

5.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B

Se determină funcŃia de transmitere a mişcării la modulul B, adică funcŃia notată cu D.

Se reia viteza tachetului din expresia (5.47) şi se scrie sub forma (5.51):

δωθδθ

δθδ

δδαδ

22

22

2

cos'cos'

cos'

cos'

cos)cos(cos

⋅⋅⋅=⋅⋅=

=⋅⋅⋅=⋅⋅=

=⋅−⋅=⋅=

ss

r

sr

r

sv

vvv

I

AA

A

AA

A

m

Amn

&

& (5.51)

Pe de altă parte se cunoaşte pentru viteza tachetului expresia (5.52):

ω⋅⋅= Dsv '2 (5.52)

Din egalarea celor două relaŃii (5.51 şi 5.52) se identifică expresia lui D (5.53):

δθ 2cos⋅= I

AD (5.53)

Expresia lui cos2δ se cunoaşte (5.54):

22

0

202

)'()(

)(cos

esss

ss

−++

+=δ (5.54)

Expresia lui θ’A este ceva mai dificilă având forma din relaŃia (5.55):

122

]}')[(2)'()(

])/{[(])'()/[(

/]})'()()'(')(''[

)'()(])'(){[(

])'()(')[(

220

220

2220

220

2200

220

220

220

220

seessresss

ressesss

esssesssssr

esssesss

esssrseess

b

b

b

b

I

A

⋅−++⋅⋅−−++⋅

⋅+++−++

−−+−−⋅−+⋅⋅+

−++⋅−++

⋅−++⋅−⋅−++=θ

(5.55)

Se dau în continuare şi expresiile lui µ:

220

220

220

220

)'()(

]')[()'()(])[(

cos

esssrr

seessresssess

BA

b

−++⋅⋅

⋅−++⋅−−++⋅++=

=µ

(5.56)

220

0

)'()(

')(sin

esssrr

sssr

BA

b

−++⋅⋅

⋅+⋅=µ (5.57)

5.6. Dinamica modulului B

Se utilizează pentru dinamica modulului B relaŃia (3.203) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcŃie de câŃiva parametri de intrare. RelaŃia solicită doar funcŃia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obŃinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraŃiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X. Dacă dorim scrierea exactă a ecuaŃiilor de viteze şi acceleraŃii funcŃia D trebuie derivată de două ori.

RelaŃia dinamică utilizată fost notată cu (5.58 şi 5.59):

123

][2

'

])(

[2

)(

2

0

2

2**2

2

022

2

kK

kxs

ykK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

++⋅

⋅+

⋅+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

−=∆

ω (5.58)

][2

)'(

])(

[2

)(

2

0

2

2**2

2

022

2

kK

kxs

sDkK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

++⋅

⋅⋅+

⋅+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

−=∆

ω (5.59)

Cunoscându-l pe ∆X îl putem determina imediat pe X cu relaŃia (5.60):

XsX ∆+= (5.60)

5.7. Analiza dinamică la modulul B

În continuare se prezintă analiza dinamică a modulului B, pentru câteva legi de mişcare cunoscute.

Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 5.2.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaŃie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=5 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=65 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

124

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm].

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 50 100 150

a[m/s2]

1041.06s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=65 [grad]

k=30 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=20 [mm]

hs=5 [mm]

hT=5 [mm]

i=1;η=9.8%

rb=20 [mm]

e=0 [mm] legea: sin-0 y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

amax=6200

smax=4.82

amin= -2400

Fig. 5.2. Analiza dinamică la modulul B. Legea SIN, n=5500 [rot/min]

ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm]. Randamentul are o valoare ridicată, η=9.8%; reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=20 [mm].

Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 65 grade atingem aceleaşi vârfuri de acceleraŃii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade.

În figura 5.3. se poate urmări profilul aferent, trasat invers decât cele de la modulul C, adică cu profilul de ridicare în partea stângă şi cu cel de revenire în dreapta, (deoarece sensul de rotaŃie a camei a fost şi el inversat, din orar în trigonometric).

Pentru legea cos vibraŃiile sunt mai liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se vedea diagrama dinamică din figura 5.4.).

125

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -10 0 10 20

yC [mm]PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu= 65[grad]

ϕc= 65[grad]

r0= 13[mm]

rb = 20[mm]

e= 0[mm]

hT= 5[mm]

Legea SIN

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

ω

Fig. 5.3. Profilul SIN la modulul B. n=5500 [rot/min]

ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

0 50 100 150

a[m/s2]

577.42s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=65 [grad]

k=30 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=30 [mm]

hs=5 [mm]

hT=5 [mm]

i=1;η=8.7%

rb=20 [mm]

e=0 [mm] legea: cos-0 y=.5-.5cos(πx)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

amax=3400

smax=4.75

amin= -1600

Fig. 5.4. Analiza dinamică la modulul B. Legea COS, n=5500 [rot/min], ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

126

TuraŃia aleasă este de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=5 [mm].

Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=65 [grad];

Raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm].

Un studiu dinamic arată că ce se câştigă la randament în una din faze (urcare sau coborâre) datorită excentricităŃii, e, se pierde în faza cealaltă, astfel încât, e, poate regla o fază şi în acelaşi timp o dereglează pe cealaltă.

Iată un motiv serios ca valoarea adoptată a lui e să fie zero.

Randamentul mecanismului are o valoare ridicată (mai mare decât cea de la modulul clasic, C), η=8.7%, dar mai redusă cu un procent comparativ cu legea sin.

Reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=30 [mm].

Profilul COS (pentru modulul dinamic B), corespunzător diagramei dinamice din figura 5.4., este trasat în figura 5.5. Profilul de ridicare, sau de urcare, sau de atac, este cel din stânga, iar cel de revenire (sau coborâre), este situat în dreapta. Ca o primă observaŃie aceste profiluri sunt mai rotunjite şi mai pline, comparativ cu cele de la modulul clasic, C.

127

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -10 0 10 20

yC [mm]PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu= 65[grad]

ϕc= 65[grad]

r0= 13[mm]

rb = 20[mm]

e= 0[mm]

hT= 5[mm]

Legea COS

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

ω

Fig. 5.5. Profilul COS la modulul B. n=5500 [rot/min]

ϕu=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 50 100 150 200 a[m/s2]

1920,48s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=50 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.3%

rb=3 [mm]

e=0 [mm] legea: C4P1-0

y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

amax=13000

smax=5.37

amin= -600

Fig. 5.6. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-0,

n=5500 [rot/min], ϕu=80 [grad], r0=13 [mm], rb=3 [mm], hT=6 [mm].

128

În figura 5.6. se analizează dinamic legea C4P, sintetizată de autor, pornind de la o turaŃie n=5500 [rot/min].

Vârfurile negative ale acceleraŃiilor sunt foarte reduse (funcŃionare normală, cu zgomote şi vibraŃii scăzute). Ridicarea efectivă a supapei este suficient de mare, smax=5.37 [mm], comparativ cu h impus de 6 [mm]. Randamentul se păstrează în limite normale, η=8.3%. În figura 5.7. se prezintă profilul corespunzător.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-20 -10 0 10 20

yC [mm]

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu= 80[grad]

ϕc= 80[grad]

r0= 13[mm]

rb = 3[mm]

e= 0[mm]

hT= 6[mm]

Legea C4P1-0

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

ω

Fig. 5.7. Profilul C4P la modulul B.

Pentru această lege sintetizată se observă faptul că modulul B păstrează o rezervă de turaŃie şi randament.

129

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 50 100 150 200 a[m/s2]

7874,63s*k[mm] k=

n=10000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=50 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.3%

rb=3 [mm]

e=0 [mm] legea: C4P1-1

y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

amax=50000

smax=5.37

amin= -1700

Fig. 5.8. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-1, n=10000

[rot/min].

În figura 5.8. turaŃia a crescut până la 10000 [rot/min], iar în fig. 5.9. ea a atins 15000 [rot/min], pentru ca în diagrama dinamică din figura 5.10. turaŃia motorului să devină 20000 [rot/min].

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

0 50 100 150 200a[m/s2]

6719,04s*k[mm] k=

n=15000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=150 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=80 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.3%

rb=3 [mm]

e=0 [mm] legea: C4P1-2

y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolãamax=33000

smax=3.91

amin= -3800

Fig. 5.9. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-2, n=15000

[rot/min].

130

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 50 100 150 200a[m/s2]

14229,64s*k[mm] k=

n=20000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=150 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=80 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=8.3%

rb=3 [mm]

e=0 [mm] legea: C4P1-3

y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolãamax=69000

smax=3.91

amin= -6400 Fig. 5.10. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-3, n=20000

[rot/min].

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

10103,95s*k[mm] k=

n=30000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=400 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=150 [mm]

hs=10 [mm]

hT=10 [mm]

i=1;η=12.7%

rb=2 [mm]

e=0 [mm] legea: C4P1-4

y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolãamax=49000

smax=3.88

amin= -19000

Fig. 5.11. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-4, n=30000

[rot/min].

131

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

19963,94s*k[mm] k=

n=40000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=400 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=150 [mm]

hs=10 [mm]

hT=10 [mm]

i=1;η=12.7%

rb=2 [mm]

e=0 [mm] legea: C4P1-5

y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

amax=97000

smax=3.88

amin= -33000

Fig. 5.12. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-5, n=40000

[rot/min].

În diagramele din figurile 5.11. şi 5.12. turaŃia creşte până la 30000 şi respectiv 40000 [rot/min], în vreme ce randamentul creşte şi el, în detrimentul lui smax care abia mai atinge valoarea de 3.88 [mm].

Se poate vorbi în mod evident de un avantaj al tachetului cu rolă, sau bilă, (Modul B), faŃă de tachetul clasic cu talpă, (Modul C).

Se pot obŃine aşadar turaŃii ridicate, dar şi randamente superioare, cu ajutorul modulului B, fapt care relansează cursa pentru construirea unui motor compact.

În figura 5.13. este prezentată dinamica modulului B pentru legea arctangent.

TuraŃia aleasă este de n=20000 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=10 [mm].

Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=80 [grad];

Raza cercului de bază are valoarea, r0=6 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=6 [mm].

132

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm].

Randamentul mecanismului are o valoare foarte ridicată, η=24.8%.

Reglajele resortului sunt, k=250 [N/mm] şi x0=100 [mm].

Profilul corespunzător poate fi urmărit în figura 5.14.

-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

3172.40s*k[mm] k=

n=20000[rot/min]

ϕu=80 [grad]

k=250 [N/mm]

r0=6 [mm]

x0=100 [mm]

hs=10 [mm]

hT=10 [mm]

i=1;η=24.8%

rb=6 [mm]

e=0 [mm] legea: ATAN-1 y=arctg(x/a) a=0.642

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã

amax=23000smax=5.88

amin= -99000

Fig. 5.13. Analiza dinamică la modulul B. Legea ATAN, n=20000 [rot/min].

Aşa cum se poate observa raza cercului de bază este mult mai mică decât în mod normal, ajungând egală sau chiar mai mică decât ridicarea teoretică, h.

Este o proprietate importantă, a unor legi (cum ar fi legile logaritm, radical, putere, e la x, arctangent, arcsin, etc…), care trebuie exploatată în mod corespunzător, astfel încât pe baza reducerii razei de bază, r0, în raport cu înălŃimea, h, să obŃinem un randament superior şi

133

o ridicare suficientă, în condiŃiile creşterii turaŃiei motorului. Proprietatea acestor legi este valabilă în toate sistemele dinamice (pentru toate modulele), dar poate fi exploatată în mod special în unele dintre ele, printre care şi modulul B, modulul care utilizează tachetul de translaŃie cu rolă (sau cu bilă). Dezavantajul tuturor acestor legi este apariŃia unui şoc la trecerea de la ridicare la coborâre, care mai poate fi atenuat parŃial printr-o racordare optimă în zona de vârf a camei. Fără acest şoc legile ar fi fost extraordinare. Oricum ele sunt de preferat legilor clasice, dar cea mai bună lege este până la urmă polinomiala particulară de gradul II, C4P - net superioară faŃă de legile prezentate (studiate) până acum.

În acest caz sunt necesare racordări suplimentare pe profil, la ridicare, la revenire, dar şi (mai ales) la vârf (la conexiunea dintre cele două profile urcare-coborâre).

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10

Series1

ϕu= 80[grad]

ϕc= 80[grad]

r0= 6[mm]

rb = 6[mm]

e= 0[mm]

hT= 6[mm]

Legea ATAN-1

Fig. 5.14. Profilul ATAN la modulul B.

134

-14000

-12000

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

448,64s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=200 [N/mm]

r0=5 [mm]

x0=30 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;η=22.9%

rb=2 [mm]

e=0 [mm]

y=(ex-e-x)/a

a=2.35040238

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã amax=2400

smax=4.31

amin= -12500

Fig. 5.15. Analiza dinamică la modulul B. Legea y=(ex-e-x)/a, n=5500

[rot/min].

Legea a

eey

xx −−= acŃionează asemănător cu legea atan,

putând genera turaŃii mari şi mai ales randamente ridicate, pe seama

scăderii raportului h

r0 .

În figura 5.15. se urmăreşte analiza dinamică la modulul B, pentru legea elax, iar în fig. 5.16. se poate vedea profilul corespunzător.

135

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Series1

ϕu= 75[grad]

ϕc= 75[grad]

r0= 5[mm]

rb = 2[mm]e= 0[mm]hT= 6[mm]Legea

y=(ex -e-x)/a

ω

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

Fig. 5.16. Profilul y=(ex-e-x)/a, la modulul B.

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

448,76s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=85 [grad]

k=80 [N/mm]

r0=6 [mm]

x0=40 [mm]

hs=8 [mm]

hT=8 [mm]

i=1;η=21.%

rb=2 [mm]

e=0 [mm]legea:Putere-0

y=2x-1

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã amax=3900smax=6.99

amin= -14800

Fig. 5.17. Analiza dinamică la modulul B. Legea Putere, n=5500

[rot/min].

În figura 5.17. se prezintă analiza dinamică a legii Putere, iar în fig. 5.18. se poate urmări profilul corespunzător.

136

-10

-5

0

5

10

15

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Series1

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu=

85[grad]

ϕc=

85[grad]

r0= 6[mm]

rb = 2[mm]

e= 0[mm]

hT= 8[mm]

Legea

ω

Fig. 5.18. Profilul Putere, la modulul B.

-12000

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

397,98s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=80 [N/mm]

r0=8 [mm]

x0=60 [mm]

hs=10 [mm]

hT=10 [mm]

i=1;η=13.3%

rb=2 [mm]

e=0 [mm]legea: Rad-0 a=0.001;b=0.5

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolãamax=4300 smax=8.75

amin= -10000

y=((x+a)b-ab)/((a+1)b-ab)

Fig. 5.19. Analiza dinamică la modulul B. Legea Radical, a=0.001.

În figura 5.19. se prezintă analiza dinamică a legii Radical, unde b=0.5, iar parametrul a ia valoarea 0.001; Vârfurile acceleraŃiilor sunt în

137

limite acceptabile (pentru asemenea tipuri de legi), dar randamentul nu mai ia valori de peste 20%, ci doar circa 13.3%. În fig. 5.20. se poate urmări profilul corespunzător.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series1

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu= 75[grad]

ϕc= 75[grad]

r0= 8[mm]

rb = 2[mm]

e= 0[mm]

hT= 10[mm]

Legea RAD-0a=0.001;b=0.5

ω

Fig. 5.20. Profilul Radical, cu a=0.001, (la modulul B).

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

705.59s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=75 [grad]

k=80 [N/mm]

r0=8 [mm]

x0=60 [mm]

hs=10 [mm]

hT=10 [mm]

i=1;η=22.2%

rb=3 [mm]

e=0 [mm]legea: Rad-1 a=1;b=0.5

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã amax=7700

smax=8.71

amin= -16000

y=((x+a)b-ab)/((a+1)b-ab)

Fig. 5.21. Analiza dinamică la modulul B. Legea Radical, a=1.

138

În figura 5.21. se prezintă analiza dinamică a legii Radical, unde b=0.5, iar parametrul a ia valoarea 1; Vârfurile acceleraŃiilor sunt în limite acceptabile (pentru asemenea tipuri de legi) şi în plus randamentul ia valori de peste 20%, mai exact 22%. În fig. 5.22. se poate urmări profilul corespunzător.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-15 -10 -5 0 5 10

Series1

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolãϕu= 75[grad]

ϕc= 75[grad]

r0= 8[mm]

rb = 3[mm]

e= 0[mm]

hT= 10[mm]

Legea RAD-1a=1;b=0.5

ω

Fig. 5.22. Profilul Radical, cu a=1, (la modulul B).

-35000

-30000

-25000

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 50 100 150

a[m/s2]

902,62s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=55 [grad]

k=120 [N/mm]

r0=8 [mm]

x0=60 [mm]

hs=12 [mm]

hT=12 [mm]

i=1;η=24.3%

rb=2 [mm]

e=0 [mm] legea:Log-0 a=1

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã amax=11000

smax=10.00

amin= -32000

y=(ln(x+a)-ln(a))/(ln(a+1)-ln(a))

Fig. 5.23. Analiza dinamică la modulul B. Legea Logaritm natural,

ϕu=55[grad].

139

În figura 5.23. se prezintă analiza dinamică la modulul B, pentru legea Logaritm (natural), cu faza de urcare şi coborâre de 55 grade fiecare. Această fază scurtă forŃează creşterea randamentului la valori de circa 30%, dar vârful negativ este ridicat.

Profilul corespunzător se poate urmări în figura 5.24.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

Series1

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu= 55[grad]

ϕc= 55[grad]

r0= 8[mm]

rb = 2[mm]

e= 0[mm]

hT= 12[mm]

Legea LOG-0 a=1

ω

Fig. 5.24. Profilul Logaritm, cu ϕu=55[grad] (la modulul B).

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

937,35s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=85 [grad]

k=80 [N/mm]

r0=8 [mm]

x0=40 [mm]

hs=12 [mm]

hT=12 [mm]

i=1;η=19.5%

rb=2 [mm]

e=0 [mm] legea:Log-1 a=1

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet translant cu rolã amax=12900

smax=11.00

amin= -13000

y=(ln(x+a)-ln(a))/(ln(a+1)-ln(a))

Fig. 5.25. Analiza dinamică la modulul B. Legea Logaritm natural,

ϕu=85[grad].

140

În figura 5.25. se vede cum relaxând faza de la 55 la 85 grade, vârfurile negative scad, dar din păcate scade de asemenea şi randamentul mecanismului, de la circa 24% la aproximativ 20%. Profilul corespunzător poate fi urmărit în figura 5.26.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-15 -10 -5 0 5 10

Series1

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

ϕu= 85[grad]

ϕc= 85[grad]

r0= 8[mm]

rb =2[mm]

e= 0[mm]

hT= 12[mm]

Legea LOG-1 a=1

ω

Fig. 5.26. Profilul Logaritm, cu ϕu=85[grad] (la modulul B).

141

CAP. 6

DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE

CU TACHET BALANSIER CU ROLĂ (MODUL F)

În cadrul capitolului 6 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuŃie, cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].

6.1. Prezentare generală

Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F), (fig. 6.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunŃit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod obişnuit studiul acestui tip de mecanism se face aproximativ, (vezi figura 6.1.) considerându-se suficient, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta prezintă însă o mare deficienŃă, datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt care conduce la un studiu dinamic inadecvat.

Un studiu foarte precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului).

Punctul A este definit de vectorul Ar având lungimea

(modulul) rA şi unghiul de poziŃie θA măsurat de la axa OX.

142

În calculele care vor fi prezentate vectorul Ar va mai fi

poziŃionat şi prin unghiul αA, care în loc să plece de la axa OX se măsoară de la axa OD.

α0

αA

ϕθA

ψ2αB

B

B0

A0

x

rb

r0

rA

rB

A

γ

OD

ψ

ψ0

d

b

b

B

Fig. 6.1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă

La fel se defineşte poziŃia punctului B (centrul rolei), prin vectorul Br , care se poziŃionează la rândul său prin, unghiul θB faŃă de

axa OX şi prin unghiul αB faŃă de axa OD şi are lungimea rB.

Între cei doi vectori prezentaŃi ( BA rsir ) se formează un unghi

µ.

Unghiul α0 defineşte poziŃia, de bază (iniŃială), a vectorului

0Br , în triunghiul dreptunghic ODB0, fiind măsurat de la axa OD.

RotaŃia camei (arborelui de distribuŃie), dată de unghiul ϕ, se măsoară de la axa OX până la vectorul 0Br . Această rotaŃie reprezintă

143

unghiul, ϕ, cu care s-a rotit arborele cu came din poziŃia iniŃială (dată de vectorul 0Br , vector ce coincide cu axa OX în poziŃia iniŃială), până în poziŃia curentă, când axa OX ocupă o nouă poziŃie (vezi fig. 6.1.); deşi rotaŃia arborelui de distribuŃie este orară, sensul de construcŃie al profilului camei este cel trigonometric, fapt pentru care vom inscripŃiona unghiul ϕ invers, de la axa OX, în poziŃia curentă până la poziŃia ei iniŃială, care coincide cu vectorul 0Br .

În timp ce arborele cu came se roteşte cu unghiul ϕ, vectorul

Ar , se roteşte cu unghiul θA, iar între cele două unghiuri θA şi ϕ apare

un defazaj notat pe figura 6.1. cu γ.

Defazajul γ, apare şi între unghiurile αA şi α0, fapt care ne ajută la determinarea exactă a valorii lui.

Raza tachetului, DB, egală cu b, în poziŃia iniŃială DB0, face cu axa OD unghiul ψ0, constant care poate fi determinat cu uşurinŃă din triunghiul ODB0, ale cărui laturi au lungimi cunoscute: OD=d, DB0=b, OB0=r0+rb, unde r0 este raza cercului de bază (al camei) iar rb reprezintă raza rolei tachetului (care poate fi un bolŃ, o rotiŃă, o rolă, un rulment, sau o bilă).

ψ2

αB

Brb

rA

rB

A

OD

d

b

Bβ2

τ

µ

Fig. 6.2. Determinarea unghiului B la mecanismul

cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

144

Din poziŃia iniŃială şi până în poziŃia curentă, tachetul se roteşte în jurul lui D cu un unghi cunoscut, ψ. Acest unghi, ψ, este dat de legea de mişcare a tachetului şi este o funcŃie de unghiul ϕ; el este cunoscut împreună şi cu derivatele sale: ψ’, ψ’’, ψ’’’, etc.

În general este mai uşor de exprimat mişcarea tachetului faŃă de axa OD, astfel încât apare unghiul ψ2=ψ0+ψ. Derivatele lui ψ2, sunt egale cu cele cunoscute, ale lui ψ, deoarece unghiul ψ0 este o constantă (deci nu variază nici cu unghiul de intrare ϕ).

Din triunghiul ODB, în care se cunosc lungimile OD=d, DB=b şi unghiul ψ2, se determină lungimea OB=rB, unghiul DOB=αB şi unghiul OBD=β2.

În continuare se determină unghiul OBA=B, aparŃinând triunghiului OBA (vezi figura 6.2.). Unghiul B căutat, împreună cu unghiurile β2 şi τ însumează 1800. Unghiul de transmitere τ este complementul unghiului de presiune δ, care se va determina în cadrul paragrafului următor. Putem scrie relaŃia (6.1):

22

22

9090180

)90(180180

βδδβ

δβτβ

−+=+−−=

=−−−=−−=B (6.1)

În triunghiul OAB (vezi figurile 6.1. şi 6.2.) se cunosc acum lungimile elementelor AB=rb şi OB=rB, cât şi mărimea unghiului B (vezi relaŃia 6.1).

Putem determina în continuare lungimea OA=rA, mărimea unghiului AOB=µ şi mărimea unghiului OAB (vezi figura 6.2.).

Cu relaŃia (6.2) obŃinem valoarea unghiului αA:

µαα += BA (6.2)

Acum putem să-l determinăm pe γ cu relaŃia (6.3):

0ααγ −= A (6.3)

În continuare se determină unghiul θA cu relaŃia (6.4):

γϕθ +=A (6.4)

145

Cu coordonatele polare rA şi θA, acum deja cunoscute, se poate sintetiza profilul camei.

Pentru o trasare mai rapidă se preferă coordonatele carteziene, xA şi yA:

⋅=

⋅=

AAA

AAA

ry

rx

θ

θ

sin

cos (6.5)

În continuare se stabilesc forŃele şi vitezele care acŃionează în mecanism, în cuplele lui, cât şi pe elementele sale. Astfel se determină randamentul mecanic, al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, cinematica precisă a mecanismului (funcŃia de transmitere a mişcării, de la camă la tachet, la acest tip de mecanism - Modul F) şi putem trece în final la studiul dinamic al mecanismului (odată determinată funcŃia sa de transmitere a mişcării).

Pentru a demara toate aceste calcule (anticipate) este necesar mai întâi să determinăm unghiul de presiune, δ, pe care mecanismul îl face între forŃa utilă (perpendiculară pe tachet în punctul B) şi forŃa normală (care este în lungul normalei n-n, normală ce trece prin punctele A şi B, constituind normala comună între profilul camei şi cel al rolei tachetului, în punctul A).

6.2. Determinarea unghiului de presiune, δδδδ

Determinarea unghiului de presiune, δ, la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F), (fig. 6.3.), se face în modul următor. Unghiul de presiune, δ, apare între direcŃia n-n şi dreapta t-t. Dreapta n-n trece prin B şi este normală la cele două profile în contact (cel al camei şi cel al rolei tachetului). Dreapta t-t este perpendiculară în B pe segmentul DB.

Se construieşte la scară, triunghiul vitezelor rotite cu 900 (vezi figura 6.3.); viteza camei în B (vB1) apare în lungul lui BO de la B la O, viteza redusă a tachetului în B, (vB2) apare în lungul lui BD de la B la b2, iar viteza de alunecare dintre profile în punctul B (vB2B1) apare în

146

lungul lui n-n de la O la b2. Se alege polul vitezelor rabătute, Pv, în B şi scara vitezelor kv=kl.ω1.

(BO)=(Pvb1)=vB1/[kl.ω1]; (Bb2)=(Pvb2)=vB2/[kl.ω1]; (Ob2)=(b1b2)=vB2B1/[kl.ω1].

Se pot exprima lungimile reale de pe desen; sistemul (6.6) şi relaŃia (6.7):

−⋅+⋅=

=⋅−−⋅=−=

⋅−=

⋅=⋅=

⋅===

bbd

bbdDbCDCb

bbDb

dOCdCD

bv

BbbDBB

'cos

)'(cos

'

sin;cos

';

2

222

2

22

12

2

ψψ

ψψ

ψ

ψψ

ψω

(6.6)

ψ2

B

rB

O D

d

b

C

b2

δτ

n

nδ

τt

t

Fig. 6.3. Determinarea unghiului de presiune, δ, la

mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

147

Din triunghiul oarecare ODb2 se exprimă lungimea Ob2, (relaŃia 6.7):

2

22

2

cos)'(2)'( ψψψ ⋅⋅−⋅⋅−⋅−+=

==

bbdbbd

RADOb (6.7)

Se pot determina acum funcŃiile trigonometrice sin, cos şi tg, ale unghiului de presiune δ, (vezi relaŃiile 6.8-6.10):

RAD

bbd

bbdbbd

bbd

−⋅+⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅−+

−⋅+⋅=

'cos

cos)'(2)'(

'cossin

2

222

2

ψψ

ψψψ

ψψδ

(6.8)

RAD

d

bbdbbd

d

2

222

2

sin

cos)'(2)'(

sincos

ψ

ψψψ

ψδ

⋅=

=⋅⋅−⋅⋅−⋅−+

⋅=

(6.9)

2

2

sin

'cos

ψψψ

δ⋅

−⋅+⋅=

d

bbdtg (6.10)

6.3. Determinarea unghiului de presiune suplimentar (intermediar), αααα

În continuare se determină unghiul de presiune-suplimentar, α, la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F). Acest unghi apare între direcŃia n-n şi segmentul de dreaptă AA’, perpendicular în A pe OA (vezi figura 6.4.).

148

ψ2

BrbA

O D

d

b

B β2

τ

µ

αααα

αAA’

n

n

rA

Fig. 6.4. Determinarea unghiului de presiune-suplimentar, α,

la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

Din triunghiul oarecare OAB s-a exprimat şi unghiul OAB (vezi figura 6.4.). Din unghiul OAB scădem 900 şi obŃinem direct unghiul de presiune suplimentar, α. Este una din multiplele modalităŃi prin care se poate determina unghiul α, dar probabil şi cea mai simplă (cea mai rapidă şi mai directă). RelaŃiile de calcul sunt următoarele:

90−= OABα (6.11)

)cos()90sin(

)90sin(sin

OABOAB

OAB

−=−−=

=−=α (6.12)

B

r

rOAB

OABOAB

A

B sin)sin(

)90cos()90cos(cos

⋅==

=−=−=α (6.13)

149

B

Br

bd 2coscos

ψα

⋅−= (6.14)

B

Br

b 2sinsin

ψα

⋅= (6.15)

RAD

bbd −⋅+⋅=

'cossin 2 ψψ

δ (6.16)

RAD

d 2sincos

ψδ

⋅= (6.17)

RAD

bd

RAD

d

RAD

bbd

)'1(cos

sinsincos

'cos

cossincossin)sin(

2

222

2

222

ψψ

ψψψ

ψψ

δψψδψδ

−⋅⋅−=

=⋅⋅

+⋅−⋅+⋅

=

=⋅+⋅=+

(6.18)

RAD

b

RAD

bbdd

)'1(sin

sinsin'sincoscossin

sinsincoscos)cos(

2

222222

222

ψψ

ψψψψψψψ

ψδψδψδ

−⋅⋅=

=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅

=

=⋅−⋅=+ (6.19)

B

BBB

B

B

BB

r

bB

r

b

r

b

RAD

d

RADr

bd

RADr

bdb

RADr

bbd

B

δψ

δψψψψψ

ψψψψψ

ψψψψ

αψδαψδ

cos'sin

cos''sin'sin

)'1(sin)'1(sincos

)'1(cossinsin

cos)cos(sin)sin(sin

22

2222

222

2

22

⋅⋅=

⋅⋅

=⋅

⋅⋅

=⋅

⋅⋅⋅=

=⋅

−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+

+⋅

−⋅⋅⋅−⋅⋅=

=⋅+−⋅+=

(6.20)

150

δψ

α

δψδψα

cos'

cos

cos'cos'sincos

⋅⋅

=

⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅=

A

ABA

B

A

B

r

b

r

b

r

b

r

rB

r

r

(6.21)

Am reuşit astfel să-l exprimăm pe cosα într-o formă simplificată (vezi formula 6.21), care ne va permite determinarea directă a randamentului mecanismului, determinarea directă a funcŃiei de transmitere a mişcării şi mai departe cu ajutorul acesteia realizarea directă a dinamicii mecanismului.

6.4. Cinematica de bază la Modulul F

În continuare se determină câŃiva parametri cinematici (care constituie baza acestui mecanism) ai mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

db

rrdb b

⋅⋅

+−+=

2

)(cos

20

22

0ψ (6.22)

02 ψψψ += (6.23)

2222 cos)'1(2)'1( ψψψ ⋅−⋅⋅⋅−−⋅+= dbbdRAD (6.24)

RAD

bbd −⋅+⋅=

'cossin 2 ψψ

δ (6.25)

RAD

d 2sincos

ψδ

⋅= (6.26)

2

2

sin

'cos

ψψψ

δ⋅

−⋅+⋅=

d

bbdtg (6.27)

δψ

ψψδψψψδ 2

2

22 cossin

'cos'sin''' ⋅

⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=

d

tgddb (6.28)

151

2222 cos2 ψ⋅⋅⋅−+= dbdbrB (6.29)

2BB rr = (6.30)

B

I

Br

dbr

'sin 2 ψψ ⋅⋅⋅= (6.31)

B

B

Brd

brd

⋅⋅

−+=

2cos

222

α (6.32)

B

Br

b 2sinsin

ψα

⋅= (6.33)

'2 2

222

ψα ⋅⋅

−−=

B

BI

Br

rbd (6.34)

RAD

bd )'1(cos

cossincossin)sin(

2

222

ψψ

δψψδψδ

−⋅⋅−=

=⋅+⋅=+ (6.35)

RAD

b )'1(sin

sinsincoscos)cos(

2

222

ψψ

ψδψδψδ

−⋅⋅=

=⋅−⋅=+ (6.36)

RADr

bdbd

B

B

BB

⋅

−⋅⋅⋅−−⋅+=

=+⋅+⋅+=

)'2(cos)'1(

)cos(sincos)sin(cos

222

22

ψψψ

ψδααψδ

(6.37)

δ

ψαψδ

αψδ

cos'

cos)cos(

sin)sin(sin

2

2

⋅⋅

=⋅+−

−⋅+=

B

B

B

r

b

B

(6.38)

Brrrrr BbbBA cos2222 ⋅⋅⋅−+= (6.39)

2AA rr = (6.40)

152

BA

bBA

rr

rrr

⋅⋅

−+=

2cos

222

µ (6.41)

Br

r

A

b sinsin ⋅=µ (6.42)

'''' BB αψδ ++= (6.43)

A

BbBbBB

Ar

BBrrBrrrrr

'sincos''' ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅

= (6.44)

)sin'(coscos

''

A

A

A

b

r

rBBB

r

r⋅−⋅⋅

⋅=

µµ (6.45)

µαα += BA (6.46)

''' µαα += BA (6.47) µαµαα sinsincoscoscos BBA −= (6.48)

µαµαα sincoscossinsin BBA += (6.49)

δψαπα −−−= 2A (6.50)

AA

A

αδψαδψ

αδψα

cos)cos(sin)sin(

)cos(cos

22

2

⋅+−⋅+=

=++−= (6.51)

δψ

α cos'

cos ⋅⋅

=Ar

b (6.52)

δψ

δα 2cos'

coscos ⋅⋅

=⋅Ar

b (6.53)

γϕθ +=A (6.54)

0ααγ −= A (6.55)

AA αωγϕθ &&&& +=+= (6.56)

153

'' 1 AA αθ += (6.57)

6.5. Relaţiile pentru trasarea profilului camei, la Modulul F

În continuare se determină câŃiva parametri cinematici cu ajutorul cărora se poate trasa direct profilul camei, pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.

drr

bdrr

b

b

⋅+⋅

−++=

)(2

)(cos

0

2220

0α (6.58)

brr

b

+

⋅=

0

00

sinsin

ψα (6.59)

00 sinsincoscoscos ααααγ ⋅+⋅= AA (6.60)

AA ααααγ cossincossinsin 00 ⋅−⋅= (6.61)

γϕγϕθ sinsincoscoscos ⋅−⋅=A (6.62)

ϕγγϕθ cossincossinsin ⋅+⋅=A (6.63)

AAA rx θcos⋅= (6.64)

AAA ry θsin⋅= (6.65)

6.6. Determinarea coeficientului TF la mecanismul cu

camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, ( Modul F)

În continuare se determină coeficientul TF al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F).

ForŃele şi vitezele transmise de mecanism se pot urmări în figura 6.5.

154

α0

αA

ϕθA

ψ2

µ

αB

Fn, vn

Fm, vmFa, va

Fc, vc

Fn, vn

Fu, vu

B

B0

A0

x

rb

r0

rA

rB

Aδ

αB

γ

OD

ψ

ψ0

d

b

b

Fig. 6.5. ForŃele şi vitezele la mecanismul cu camă rotativă şi tachet

balansier cu rolă. Determinarea coeficientului TF al mecanismului.

Putem scrie următoarele forŃe şi viteze (sistemul 6.66):

⋅=

⋅⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

mmc

mmuu

mnu

mnu

nc

nc

mn

mn

ma

ma

vFP

vFvFP

vvv

FFF

vv

FF

vv

FF

vv

FF

δα

δαδ

δαδ

δ

δ

α

α

α

α

222 coscos

coscoscos

coscoscos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

(6.66)

155

Unde Fm şi vm reprezintă forŃa de intrare şi respectiv viteza de intrare, ambele perpendiculare pe OA în A.

ForŃa Fm se descompune în două componente: Fa şi Fn.

Componenta Fa este o forŃă de alunecare între profile, tangentă la cele două profile în contact în punctul A, ea producând alunecarea dintre cele două profile (cel al camei şi cel al rolei tachetului). Această componentă dă şi un moment faŃă de centrul rolei B, (M=Fa.rb), moment care poate produce rostogolirea rolei (acest lucru este avantajos, deoarece se schimbă mereu punctul de contact de pe rolă, uzura acesteia fiind astfel redusă şi uniformizată pe toată suprafaŃa rolei).

Componenta Fn, este cea principală, care se transmite rolei şi apoi tachetului. Ea este perpendiculară pe Fa şi tangentă la dreapta n-n care trece prin punctele A şi B. Când tachetul urcă (ca în figura 6.5.) forŃa Fn apasă pe rolă, deci este îndreptată de la A la B. ForŃa Fn se transmite radial până în centrul rolei unde se descompune în două componente, pe două direcŃii: o direcŃie este în lungul tachetului de la B la D, iar cealaltă direcŃie este perpendiculară pe tachet (pe DB) în B. Componenta Fc apasă tachetul în lungul lui, comprimându-l, iar componenta Fu perpendiculară în B pe DB, produce rotaŃia tachetului în jurul articulaŃiei D, ea fiind până la urmă singura componentă utilă.

Viteza de intrare vm, se descompune într-o viteză de alunecare între profile, va, sau de rostogolire a rolei în raport cu cama în jurul articulaŃiei B, cât şi într-o viteză normală (sau radială), vn.

Componenta normală (radială), vn, se descompune la rândul ei în alte două componente: vc şi vu. Viteza vu fiind singura componentă utilă, care roteşte tachetul efectiv în jurul articulaŃiei fixe D.

RelaŃiile de legătură între forŃe, cât şi cele dintre viteze, se dau în sistemul (6.66). Aşa cum se poate observa există două unghiuri de presiune, α şi δ.

Coeficientul TF instantaneu al mecanismului (vezi relaŃia 6.67), este raportul dintre puterea utilă şi cea consumată, astfel încât utilizând ultimele două relaŃii din sistemul (6.66), obŃinem expresia coeficientului TF instantaneu al mecanismului (6.67),

222 )cos(coscoscos δαδαη ⋅=⋅=i , adică, tocmai produsul

156

cosinusurilor celor două unghiuri de presiune, ridicat la pătrat. Utilizând relaŃia (6.53), obŃinem forma finală a expresiei coeficientului TF (vezi relaŃia 6.67), în care unghiul de presiune intermediar, α, (suplimentar), este eliminat.

δψ

δψ

δαδαη

42

2222

222

cos'

)cos'

(

)cos(coscoscos

⋅⋅

=⋅⋅

=

=⋅=⋅==

AA

c

ui

r

b

r

b

P

P

(6.67)

6.7. Determinarea funcţiei de transmitere a mişcării, la mecanismul cu camă rotativă şi tachet

balansier cu rolă, ( Modul F)

În continuare se determină funcŃia de transmitere a mişcării la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F), funcŃie notată cu D.

Cum am arătat în capitolele precedente, între viteza utilă şi viteza cunoscută v2 a tachetului apare o diferenŃă pe care o înglobăm în coeficientul de transmitere D, sau funcŃia de transmitere, D.

Scriem viteza redusă a tachetului vB2r sub forma cunoscută (6.68):

'22 ψ

ω⋅== b

vv B

rB (6.68)

Viteza absolută a tachetului în B, se obŃine înmulŃind viteza redusă cu ω (6.69):

ωψ ⋅⋅= '2 bvB (6.69)

O să scriem însă această viteză sub forma (6.70), împreună cu un coeficient de tansmitere a mişcării, D:

ωψ ⋅⋅⋅= Dbv '2 (6.70)

157

Viteza utilă obŃinută din figura (6.5.) şi a cărei expresie se regăseşte în sistemul (6.66), o rescriem în relaŃia (6.71), unde introducem pentru produsul δα coscos ⋅ valoarea obŃinută în expresia (6.53):

δψ

δα 2cos'

coscos ⋅⋅

⋅=⋅⋅=A

mmur

bvvv (6.71)

Pentru viteza de intrare vm luăm în varianta (1), convenabilă din punct de vedere dinamic, valoarea dată de expresia (6.72):

ωθθ ⋅⋅=⋅= 'AAAAm rrv & (6.72)

Cu relaŃia (6.72) expresia (6.71) capătă forma (6.73):

ωδθψδψω

θ ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅= )cos('cos' 2'2'

A

A

AAu br

brv (6.73)

Comparând expresiile (6.70) şi (6.73) identificăm coeficientul D sub forma (6.74):

δθ 2' cos⋅= AD (6.74)

În varianta (2), clasică şi raŃională, viteza de intrare vm este dată de relaŃia (6.75):

ω⋅= Am rv (6.75)

Caz în care funcŃia de transmitere D ia forma simplificată (6.76):

δ2cos=D (6.76)

Pentru calculul dinamic, se va utiliza pentru funcŃia de transmitere a mişcării, D, expresia completă (6.74), care convine din punct de vedere al rezultatelor, adepŃii mecanicii clasice putând lua expresia (6.76), sau putând considera tot calculele dinamice dezvoltate pentru varianta (1), însă cu 1' =Aθ .

158

6.8. Dinamica la Modulul F

Pentru calculul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă se utilizează tot aceeaşi relaŃie dinamică prezentată la capitolele anterioare (6.77), (6.78), (6.79):

Se utilizează pentru dinamica modulului F relaŃia finală (3.203) de la cap. 3 şi un program de calcul care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcŃie de câŃiva parametri de intrare. RelaŃia solicită doar funcŃia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obŃinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraŃiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X. Dacă dorim scrierea exactă a ecuaŃiilor de viteze şi acceleraŃii funcŃia D trebuie derivată de două ori.

][2

'

])(

[2

)(

2

0

2

2**

2

2

02

2

2

kK

kxs

ykK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

++⋅

⋅+

⋅+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

−=∆

ω

(6.77)

][2

)'(

])(

[2

)(

2

0

2

2**

2

2

02

2

2

kK

kxs

sDkK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

++⋅

⋅⋅+

⋅+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

−=∆

ω

(6.78)

Cunoscându-l pe ∆X îl putem determina imediat pe X cu relaŃia (6.79):

XsX ∆+= (6.79)

Deplasarea supapei, s, se obŃine la Modulul F, înmulŃind l cu ψ (vezi figura 6.6.). Cum i este dat de raportul b/l, iar i şi b se cunosc, se poate determina l ca fiind raportul dintre b şi i cunoscute (vezi relaŃia 6.80), iar s şi derivatele lui se pot exprima cu grupul de relaŃii (6.81)

i

bl = (6.80)

159

O

D

bB

d

lF

Fig. 6.6. Transformarea mişcării de rotaŃie a tachetului,

în mişcare de translaŃie a supapei. Schemă simplificată.

'

'''''

''''

''

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

ψ

ψ

ψ

ψ

i

bs

i

bs

i

bs

i

bs

(6.81)

6.9. Analiza dinamică a modulului F

Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 6.7.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaŃie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=10 [mm].

160

Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=60 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=24 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm]; b=20[mm]; d=50[mm];

Coeficientul TF are o valoare ridicată, η=12.0%; reglajele resortului sunt: k=60 [N/mm] şi x0=30 [mm].

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 50 100 150

a[m/s2]

1051.14s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=60 [grad]

k=60 [N/mm]

r0=24 [mm]

rb=20 [mm]

b=20 [mm] d=50 [mm]

x0=30 [mm]

i=1;η=12.0% legea: sin-0y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

balansier cu rolã (Modul F) - A12amax=13000s max =9.9

amin= -5300

Fig. 6.7. Analiza dinamică la modulul F. Legea SIN, n=5500 [rot/min]

ϕu=60 [grad], r0=24 [mm], rb=20 [mm].

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-40 -20 0 20 40

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatien=5500[rot/min]

ϕu=ϕc=60[grad]

r0=24 [mm]

rb=20 [mm]

b=20 [mm] d=50 [mm] i=1 l=b/i legea:sin y=x-sin(2πx)/(2π)

Fig. 6.8. Profilul SIN la modulul F. n=5500 [rot/min]

ϕu=60 [grad], r0=24 [mm], rb=20 [mm].

161

Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 60 grade se ating aceleaşi vârfuri de acceleraŃii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În plus şi deplasarea maximă a tachetului (cursa), hT, este mai mare (aproape dublă). În figura 6.8. se poate urmări profilul aferent. Pentru legea cos ridicarea este mai mare comparativ cu legea sin, (a se vedea diagrama dinamică din figura 6.9.).

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

0 50 100 150

a[m/s2]

951.35s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=60 [grad]

k=60 [N/mm]

r0=24 [mm]

rb=20 [mm]

b=25 [mm] d=50 [mm]

x0=30 [mm]

i=1;η=14.1% legea: cos-0y=.5-.5cos(πx)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

balansier cu rolã (Modul F) - A12

amax=14800

s max =12.48

amin= -8600

Fig. 6.9. Analiza dinamică la modulul F. Legea COS, n=5500

[rot/min]

Profilul COS, corespunzător poate fi urmărit în figura 6.10.

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-40 -20 0 20 40

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatien=5500[rot/min]

ϕu=ϕc=60[grad]

r0=24 [mm]

rb=20 [mm]

b=25 [mm] d=50 [mm] i=1 l=b/i legea:cos-0 y=.5-.5cos(πx)

Fig. 6.10. Profilul COS la modulul F. n=5500 [rot/min]

ϕu=60 [grad], r0=24 [mm], rb=8 [mm], hT=13 [mm].

162

În figura 6.11. se poate urmări dinamica pentru legea C4P1-0, iar în fig. 6.12. profilul aferent; utilizat astfel nu este interesant (vibraŃii mari şi zone concave); se măreşte unghiul de urcare de la 45 la 85 [grad] şi rezultă profilul C4P3, care racordat, suportă o turaŃie de 40000 [rot/min].

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

0 20 40 60 80 100a[m/s2]

4894,11s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

ϕu=45 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=6 [mm]

rb=3 [mm]

b=8 [mm] d=15 [mm]

x0=50 [mm]

i=1;η=22% legea: C4P1-0

y=2x-x2

yc=1-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

balansier cu rolã (Modul F) - A12amax=22000

s max =3.6

amin= -1200

Fig. 6.11. Analiza dinamică la modulul F. Legea C4P1-0, n=5500

[rot/min]

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-10 -5 0 5 10

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatien=5500[rot/min]

ϕu=ϕc=45[grad]

r0=6 [mm]

rb=3 [mm]

b=8 [mm] d=15 [mm] i=1 l=b/i legea:C4P1-0

y=2x-x2

Se pot face racordãri

Fig. 6.12. Profilul C4P1-0 la modulul F. n=5500 [rot/min]

ϕu=45 [grad], r0=10 [mm], rb=3 [mm], hT=6.28 [mm].

163

În figura 6.13. se poate urmări dinamica pentru legea C4P3-2, iar în fig. 6.14. profilul corespunzător (la care trebuiesc făcute racordările la urcare şi la revenire).

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

15044,81s*k[mm] k=

n=40000[rot/min]

ϕu=85 [grad]

k=800 [N/mm]

r0=10 [mm]

rb=3 [mm]

b=30 [mm] d=30 [mm]

x0=200 [mm]

i=1;η=16.5% legea: C4P3-2

y=2x-x2

yc=1-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

balansier cu rolã (Modul F) - A12amax=80600

s max=4.28

amin= -40600

hT=15.70 [mm]

Fig. 6.13. Analiza dinamică la modulul F. Legea C4P3-2, n=40000

[rot/min]

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-20 -10 0 10 20

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul F.

Suportã o turatie n=40000[rot/min]

ϕu=ϕc=85[grad]

r0=10 [mm]

rb=3 [mm]

b=30 [mm] d=30 [mm]

hT=15.70 [mm]

i=1 l=b/i legea:C4P3-2

y=2x-x2

Fig. 6.14. Profilul C4P3-2 la modulul F. n=40000 [rot/min]

ϕu=85 [grad], r0=10 [mm], rb=3 [mm], hT=15.70 [mm].

164

CAP. 7

DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE

CU TACHET BALANSIER PLAT (MODUL H)

În cadrul capitolului 7 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuŃie, cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].

7.1. Prezentare generală

Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H), (fig. 7.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului (a se urmări schema cinematică din figura 7.1).

RelaŃiile de calcul vor fi prezentate în continuare pe scurt.

Pentru uzul general se introduc relaŃiile cinematice 7.1-7.4;

'1

']sin)(cos)([ 0

20

2

ψ

ψψψ

−⋅⋅−−⋅−−= brbrdAH (7.1)

ψψ sin)(cos)( 20

20 ⋅−−+⋅−+= brdbrbOH (7.2)

222 OHAHr += (7.3)

22

2

2

22sin;sin

OHAH

AH

r

AH

r

AH

+=== ττ (7.4)

165

ForŃele, vitezele şi puterile, se determină cu relaŃiile 7.5.;

τατα sincos;sincos ⋅=⋅=⋅=⋅= mmnmmn vvvFFF (7.5)

CTF instantaneu, se determină cu relaŃia 7.6.

22

22

2

sinsin

OHAH

AH

vF

vF

vF

vF

P

P

mm

mm

mm

nn

c

ni

+==

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅== τ

τη (7.6)

r0

G δ

B

O D

d

A

A0

B0

H

I

ρ

l

bG0

l.ψ’

ρ.ψ’r

τ

ψ

ψ

θ

β

αM

αmx

ϕ

γ ψ

1

2

Fig. 7.1. Schema cinematică a mecanismului

cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H).

166

În figura 7.2 sunt prezentate forŃele şi vitezele din cuplă:

r0

G δ

B

O D

d

A

A0

B0

H

I

ρ

l

bG0

l.ψ’

ρ.ψ’r

τ

ψ

ψ

θ

β

αM

αmx

ϕ

γ ψ

1

2

τ

α

A

Fn; vn

Fm; vm

Fa; va

Fig. 7.2. DistribuŃia forŃelor şi a vitezelor la mecanismul

cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H).

7.2. Dinamica la Modulul H

Pentru calculul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier plat se utilizează relaŃiile dinamice deja prezentate în cadrul cap. 3 (7.7), (7.8), (7.9):

Se utilizează pentru dinamica modulului H relaŃia finală (3.203) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcŃie de câŃiva parametri de intrare. RelaŃia solicită doar funcŃia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obŃinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraŃiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X.

167

][2

'

])(

[2

)(

2

0

2

2**

2

2

02

2

2

kK

kxs

ykK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

++⋅

⋅+

⋅+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

−=∆

ω

(7.7)

][2

)'(

])(

[2

)(

2

0

2

2**

2

2

02

2

2

kK

kxs

sDkK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

++⋅

⋅⋅+

⋅+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

−=∆

ω

(7.8)

Cunoscându-l pe ∆X îl putem determina imediat pe X cu relaŃia (6.79):

XsX ∆+= (7.9)

7.3. Analiza dinamică a modulului H

Se prezintă legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 7.3.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaŃie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet, h=8.72 [mm]. Unghiul de fază este, ϕu=ϕc=80 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

Coeficientul TF are o valoare ridicată, η=12.9%; reglajele resortului sunt: k=60 [N/mm] şi x0=40 [mm]. În figura 7.4 este trasat profilul corespunzător (Modul H – legea SIN).

Pentru legea C4P, cu reglajele şi racordările corespunzătoare, se poate ajunge până la o turaŃie a motorului de 30000 [rot/min], însă

168

randamentul şi deplasarea sunt mici, deoarece a crescut r0; a se urmări analiza dinamică din fig. 7.5. şi profilul corespunzător din fig. 7.6.

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

702.96s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]ϕu=80 [grad]k=60 [N/mm]r0=13 [mm]ls=50 [mm]b=5 [mm]d=45 [mm]x0=40 [mm]η=12.9%

h=8.72 [mm]legea: sin-0

y=x-sin(2πx)/(2π)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet balansier plat cu dezaxare (Modul H)-A13

amax=7400smax=8.42

amin= -3000

Fig. 7.3. Analiza dinamică la mec. cu camă rotativă şi tachet balansier

plat (Modul H). Legea SIN; n=5500 r/m. Coeficientul TF =13%.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-15 -10 -5 0 5 10 15

Series1

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul H.

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

ϕu=ϕc=80[grad]

r0=13 [mm]

ls=50 [mm]

b=5 [mm] d=45 [mm] η=12.9% legea:sin y=x-sin(2πx)/(2π)

Fig. 7.4. Trasarea profilului SIN al camei rotative cu tachet balansier

plat (Modul H).

169

-150000

-100000

-50000

0

50000

100000

150000

0 50 100 150

a[m/s2]

35959,78s*k[mm] k=

n=30000[rot/min]

ϕu=70 [grad]

k=800 [N/mm]

r0=20 [mm]

ls=50 [mm]

b=3 [mm] d=30 [mm]

x0=150 [mm]

η=3.7% s=3 [mm] legea: C4P y=2x-x2

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet balansier plat cu dezaxare (Modul H)-A13

amax=133000s max =3.0

amin= -94000

Fig. 7.5. Analiza dinamică la mec. cu camă rotativă şi tachet balansier

plat (Modul H). Legea C4P; n=30000 [rot/min]. Coeficientul TF =3.7%.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

-30 -20 -10 0 10 20 30

Series1

Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreaptaeste cel de urcare. Modul H.

Suportã o turatie n=30000[rot/min]

ϕu=ϕc=70[grad]

r0=20 [mm]

ls=50 [mm]

b=3 [mm] d=30 [mm] η=3.7% legea:C4P y=2x-x2

Fig. 7.6. Trasarea profilului C4P al camei rotative cu tachet balansier

plat (Modul H).

170

B

B i b l i o g r a f i e

1.-A1. ANTONESCU P., Mecanisme - Calculul structural si cinematic. I.P.B., Bucuresti, 1979.

2.-A2. ANTONESCU P., Cinetostatica si dinamica mecanismelor. I.P.B.,Bucuresti, 1980.

3.-A3. ANTONESCU P., Sinteza mecanismelor. I.P.B.,Bucuresti, 1983.

4.-A4. ANTONESCU P., COMANESCU A.,GRECU B., Indrumar de proiect la mecanisme. Partea a I-a, I.P.B., Bucuresti, 1987.

5.-A5. ALEXANDRU P., DUTA FL.,JULA A., Mecanismele directiei autovehiculelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1977.

6.-A6. ARTOBOLEVSKI I., Teoria mehanizov, Izd. Nauka, Moskva, 1965.

7.-A7. ANTONESCU P., DRANGA M., TEMPEA I., Asigurarea preciziei cinematice a preselor de vulcanizat camere de aer. In revista Constructia de masini, nr.8., Bucuresti, 1978.

8.-A8. ATANASIU M., Mecanica. Ed. Did. Ped., Bucuresti, 1973.

9.-A9. ATTILA H., DRAGULESCU D., Probleme de mecanicã - dinamicã. Editura Helicon, Timisoara, 1993.

10.-A10. ANTONESCU P., Sinteza mecanismului cu camã rotativã si tachet translant. In al V-lea Simpozion national de mecanisme si transmisii mecanice, Cluj-Napoca, 20-22 octombrie 1988.

11.-A11. ANTONESCU P., PETRESCU FL., Metodã analiticã de sintezã a mecanismului cu camã si tachet plat. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

12.-A12. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Contributii la sinteza mecanismului cu camã oscilantã si tachet plat oscilant. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

13.-A13. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., La projection de la came oscillante chez les mechanismes a distribution variable. In a V-a Conferintã de motoare, automobile, tractoare si masini agricole, Vol. I-motoare si automobile, Brasov, noiembrie 1985.

171

14.-A14. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Proiectarea profilului Kurz al camei rotative ce actioneazã tachetul plat oscilant cu dezaxare. In al III-lea Siopozion national de proiectare asistatã de calculator în domeniul mecanismelor si organelor de masini-PRASIC’86, Brasov, decembrie 1986.

15.-A15. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Analiza dinamicã a mecanismelor de distributie cu came. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale, Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.

16.-A16. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Sinteza analiticã a profilului Kurz, la cama cu tachet plat rotativ. In revista Constructia de masini, nr. 2., Bucuresti, 1988.

17.-A17. ANTONESCU P., PETRESCU FL., Contributii la analiza cinetoelastodinamicã a mecanismelor de distributie. In SYROM’89, Bucuresti, iulie 1989.

18.-A18. ANTONESCU P., PETRESCU FL., ANTONESCU O., Contributii la sinteza mecanismului cu camã rotativã si tachet balansier cu vârf. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.

19.-A19. AUTORENKOLLEKTIV (J. VOLMER COORDONATOR), Getriebetechnik-VEB, Verlag technik, pp. 345-390, Berlin, 1968.

20.-A20. ANGELAS J., LOPEZ-CAJUN C., Optimal synthesis of cam mechanisms with oscillating flat-face followers. Mechanism and Machine Theory 23,(1988), Nr. 1., pp. 1-6., 1988.

21.-A21. ARAMA C., SERBANESCU A., Economia de combustibil la automobile. Editura tehnicã, Bucuresti, 1974.

22.-A22. ALLAIS D.C., Cycloidal vs modified trapezoid cams. Machine Design 35(3), 31 Jan. 1963, pp. 92-96.

23.-A23. ANDERSON D.G., Cam dynamics. Prod. Engineering, 24(10), 1953, pp. 170-176.

24.-A24. ASTROP A.W., Automatic high-speed inspection of variable pitch cams for zoom lenses. Machinery (London), 1967, 110(2849), pp. 1360-1364.

25.-A25. AOYAGI Y., s.a., Hino Motors, Ltd. Japan, Swirl Formation Process in Four Valve Diesel Engines. (945011), In XXV FISITA Congres, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 99-105.

172

26.-A26. ANTONESCU P., sa., Contributions to the synthesis of the oscillating cam profile in the variable distribution mechanisms, Eighth World Congress on TMM, Praga, vol. 5, 1991.

27.-A27. ANTONESCU P., PETRESCU FL., ANTONESCU D., Geometrical synthesis of the rotary cam and balance tappet mechanism. SYROM’97, Vol. 3, pp. 23, Bucuresti, august 1997.

28.-A28. ANTONESCU P., Mecanisme şi Manipulatoare, aplicaŃii-teme de proiect, Printech, Buc., 2000.

29.-A29. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O. Contributions to the Synthesis of The Rotary Disc-Cam Profile, In VIII-th International Conference on the Theory of Machines and Mechanisms, Liberec, Czech Republic, pp. 51-56, 2000.

30.-A30. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O., Synthesis of the Rotary Cam Profile with Balance Follower, In the 8-th Symposium on Mechanisms and Mechanical Transmissions, Timişoara, Vol. 1, pp. 39-44, 2000.

31.-A31. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O. Contributions to the synthesis of mechanisms with rotary disc-cam. In The Eigth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM'2001, Bucharest, ROMANIA, 2001, Vol. III, p. 31-36.

32.-A32. ANTONESCU P., OCNARESCU C., ANTONESCU O., Mecanisme şi Manipulatoare-îndrumar de laborator, Ed. Printech, Bucuresti, 2002.

33.-A33. ANTONESCU P., Sinteza unitară geometro-cinematică a profilului camei-disc rotative, Rev. Mecanisme şi Manipulatoare, I, 2, 2002.

34.-A34. ANTONESCU P., sa., Geometric and Kinematic Synthesis of Mechanisms with Rotary Disc-Cam, Proceedings of the 11th World Congress in Mechanism and Machine Science, Tianjin, 2003.

35.-A35. ANTONESCU P., Mecanisme, Printech, Bucuresti, 2003.

36.-A36. ANTONESCU P., Mechanism and Machine Science, Printech Press, Bucharest, Romania, 2005.

37.-A37. ANTONESCU P., ANTONESCU O., AplicaŃii de mecanică tehnică, mecanisme şi manipulatoare, Printech, 2007.

38.-B1. BUZDUGAN GH., Teoria vibratiilor si aplicatiile ei în constructia de masini. Editura tehnicã, Bucuresti, 1958.

39.-B2. BUZDUGAN GH., Rezistenta materialelor. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1964.

173

40.-B3. BOGDAN R., LARIONESCU D., CONONOVICI S., Sinteza mecanismelor plane articulate. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1977.

41.-B4. BOGDAN R., LARIONESCU D., Analiza armonicã complexã si mecano-electricã a mecanismelor plane. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1968.

42.-B5. BALAN ST., Probleme de mecanicã. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1977.

43.-B6. BUZDUGAN GH., FETCU L., RADES M., Vibratii mecanice. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1979.

44.-B7. BUZDUGAN GH., MIHAILESCU E., RADES M., Mãsurarea vibratiilor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1979.

45.-B8. BOBANCU S., Consideratii cinetoelastice asupra variabilei “excentricitate” a mecanismelor plane cu camã având tachet oscilant plat. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

46.-B9. BARSAN A., Algoritm de sintezã asistatã de calculator, a mecanismelor plane cu camã de rotatie si tachet plat. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.

47.-B10. BARSAN A., Algoritm de sintezã asistatã de calculator a mecanismelor cu camã cilindricã. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.

48.-B11. BOGDAN R., S.A., Algoritm si program pentru analiza cinematicã si dinamicã a mecanismelor diferentiale complexe. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.

49.-B12. BUGAEVSKI E., Contributii la studiul cinematic si dinamic al mecanismelor cu trenuri diferentiale. Tezã de doctorat, I.P.B., 1971.

50.-B13. BOIANGIU D., s.a., Elemente elastice ale masinilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1967.

51.-B14. BUZDUGAN GH., Izolarea antivibratorie a masinilor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1980.

52.-B15. BLOOM D., and RADCLIFFE C.W., The effect of camshaft elasticity on the response of cam driven systems, ASME paper 64-mech 41.

53.-B16. BARTON P., REESJONES J., The dynamic effects of functional clearance and motor characteristics on the performance of a Geneva mechanism. IFTOMM International Symp. on Linkages and Computer Design Methods, Bucharest, 1973.

174

54.-B17. BARABYI J.S., Cams, dynamics and design. Design News, 1969, 24, pp. 108.

55.-B18. BARKAN P., Calculation of high-speed valve motion with flexible overhead linkage. Trans. SAE, 1953, 61,pp. 687-700.

56.-B19. BEARD C.A., Problems în valve gear design and instrumentation. SAE Technical Progress Series, 1963, pp. 58-84.

57.-B20. BEARD C.A., Cam mechanism design problems-an engine designer’s view point. In, Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974, pp.49-53.

58.-B21. BARKAN P., s.a., A spring-actuated, cam follower system; Design theory and experimental result. Journal Engineering, Trans. ASME, 1965,(87 B), pp. 279-286.

59.-B22. BAUMGARTEN J.R., Preload force necessary to prevent separation of follower from cam. Trans. 7 th. Conf. on Mech., Purdue University, 1962.

60.-B23. BENEDICT C.A., s.a., Dynamic responses of a mechanical system containing a coulomb friction force. The 3 rd. Appl. Mech. Conf. Paper, Nr. 44., Oklahoma State University, 1973.

61.-B24. BAXTER M.L., Qurvature-acceleration relation for plane cams. Trans. ASME 70,1948, pp.483-489.

62.-B25. BISHOP J.L.H., An analytical approach to automobile valve gear design. Inst. of Mech. Engrs. Auto-Division Proc. 4, 1950-51, pp. 150-160.

63.-B26. BUHAYAR E.S., Computerized cam design and plate cam manufacture. Paper Nr. 66-MECH-2, ASME Mechanisms Conference, Lafayette, Ind., Oct. 1966.

64.-B27. BARBULESCU N., Bazele fizice ale relativitãtii Einsteiniene. In E.S.E., Bucuresti, 1979.

65.-B28. BACKLUND O., s.a., Volvo’s MEP and PCP Engines: Combining Environmental Benefit with High Performance. In Fifth Autotechnologies Conference Proceedings, SAE, (910010), pp. 238.

66.-C1. CHIRIACESCU S., Proiectarea automatã a camelor folosite la masina de ascutit pânze de fierãstrãu. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

67.-C2. CIONCA O., Studiul mecanismelor camã-tachet ca sisteme oscilante autoexcitante. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

175

68.-C3. COMANESCU D., COMANESCU A.,S.A., Sinteza profilelor zonelor de contact ale elementelor cinematice din mecanismele perforatoarelor de bandã. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

69.-C4. COMANESCU A., COMANESCU D., Aplicarea sistemelor modulare de calcul cinetodinamic la instruirea si comanda mecanismelor multimobile. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale, Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.

70.-C5. CONSTANTINESCU G., Teoria sonicitãtii. Ed. Academiei R.S.R., Bucuresti, 1985.

71.-C6. CRUDU M., Contributii la studiul mecanismelor cu conexiuni dinamice. Tezã de doctorat, I.P.B., 1971.

72.-C7. CECCARELLI M., GARCIA-LOMAS J., On the dynamics of two-link manipulators. Al VI-lea SYROM, Vol. II.,Bucuresti, iunie 1993.

73.-C8. CHEN F.Y., Kinematic synthesis of cam profiles for prescribed acceleration by a finite integration method. Trans. ASME, J. Engng., 1973, Ind. 95B, pp. 519-524.

74.-C9. CHURCHILL F.T. and HANSEN R.S., Theory of envelopes provide new cam-design equations. J. Engng., 1962, 35, pp. 45-55.

75.-C10. CROSSLEY F.R.E., How to modify positioning cams. Machine Design, 1960, pp. 121-126.

76.-C11. CRUTCHER D.E.G., The dynamics of valve mechanisms. Prod. Instr. mech. Engr., 1967-68, 1, 182, Part 3L, 129.

77.-C12. CHENEY R.E., Production of very accurate high-speed master cams. Machinery (London), 1962, 100(2570), pp. 380-386.

78.-C13. CLAYTON J.C., Cast Iron Camshafts in Car Production. Design and Components in Engineering. April 1971, 16.

79.-C14. ***, Combustion effects of asymmetric valve strategies. In Automotive Engineering, Decembrie 1993, pp. 49-53.

80.-C15. CHOI J.K., KIM S.C., Hyundai Motor Co. Korea, An Experimental Study on the Frictional Characteristics in the Valve Train System. (945046), In FISITA CONGRESS, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 374-380.

81.-C16. ***, Chrysler’s Vlo light-truck engine. In revista Automotive Engineering, Decembrie 1993, pp. 55-57.

82.-C17. COMĂNESCU Adr., COMĂNESCU D., GEORGESCU L., Bazele analizei şi sintezei mecanismelor cu memorie rigidă, Edit. Politehnica Press, Bucureşti, 175 pag., 2008.

176

83.-D1. DRANGA M., Contributii la analiza dinamicã a mecanismelor cu unul si cu mai multe grade de mobilitate. Tezã de doctorat. I.P.B., Bucuresti, 1975.

84.-D2. DUDITA FL., Teoria mecanismelor. Universitatea Brasov, 1979.

85.-D3. DEMIAN T., s.a., Mecanisme de mecanicã finã. Editura Didacticã si Pedagogicã, Bucuresti, 1982.

86.-D4. DRANGA M., Mecanisme si organe de masini, partea I. Transmisii mecanice. I.P.B., Bucuresti, 1983.

87.-D5. DARABONT AL., s.a., Socuri si vibratii- Aplicatii în tehnicã. Editura tehnicã, Bucuresti, 1988.

88.-D6. DARABONT AL., VAITEANU D., Combaterea poluãrii sonore si a vibratiilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1975.

89.-D7. DECIU E.,s.a., Probleme de vibratii mecanice. I.P.B.,Bucuresti, 1978.

90.-D8. DODESCU GH., Metode numerice în algebrã. Editura tehnicã, Bucuresti, 1979.

91.-D9. DRANGA M., Asupra echilibrãrii unei structuri de robot 6R. In al VI-lea SYROM’93, Vol. II., Bucuresti, iunie 1993.

92.-D10. DRANGA M., Metodã de echilibrare a unui lant cinematic plan articulat. In al IV-lea SYROM’85. Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

93.-D11. DUCA C., Sinteza mecanismelor cu came în functie de raza de curburã a profilului. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

94.-D12. DRAGHICI I., s.a., Suspensii si amortizoare. E.T. , Bucuresti, 1970.

95.-D13. DUDLEY W.M., New Methods in Valve Cam Design. Trans. SAE, January 1948, 2, pp. 19-33.

96.-D14. DRUCE G., Research in cam mechanisms. I. Mech. E. Discussion on Mechanisms, 1971, 4-13.

97.-E1. ERMAN A.G., SANDOR G.N., Kineto-elastodynamic- a review of the state of the art and rends. Mechanism and Machine Theory nr.1., 1972.

98.-E2. EISS N.S., Vibration of cams having tow degrees-of-fredom. Trans. ASME, J. Engng., Ind. 86B, 1964, pp. 343-350.

99.-E3. ERISMAN R.J., Automotive cam profile synthesis and valve gear dynamic from domensionless analysis. Trans. SAE, 75, 1967, pp. 128-147.

177

100.-F1. FAWCETT G.F., FAWCETT J.N., Comparison of polydyne and non polydyne cams. In, Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONED, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974.

101.-F2. FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Cercetãri privind transmisibilitatea vibratiilor motorului la cadrul si caroseria automobilului. In, CONAT, Brasov, 1982.

102.-F3. FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Contributii privind ameliorarea suspensiei grupului motopropulsor. Buletinul Universitãtii Brasov, 1986.

103.-F4. FENTON R.G., Determining minimum cam size. In Machine Design, 1966, 38(2), pp. 155-158.

104.-F5. FENTON R.G., Cam design-determining of the minimum base radius for disc cams with reciprocating flat faced followers. In Automobile Enginer, 3, 1967, pp. 184-187.

105.-G1. GRECU B., CANDREA A., COLTOFEANU N., Determinarea reactiunilor dinamice în cuplele cinematice la mecanismele plane cu ajutorul modulelor de calcul. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.

106.-G2. GHITA E., Proiectarea camelor bilaterale poliracordate. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.

107.-G3. GRUNWALD B., Teoria,calculul si constructia motoarelor pentru autovehicule rutiere. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1980.

108.-G4. GIORDANA F., s.a., On the influence of measurement errors in the Kinematic analysis of cam. Mechanism and Machine Theory 14 (1979), nr. 5., pp, 327-340, 1979.

109.-G5. GRADU M., Stadiul actual al cercetãrilor în domeniul mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã. Referat I pentru doctorat, I.P.B., Bucuresti, 1991.

110.-G6. GRUMAZESCU M., s.a., Combaterea zgomotului si vibratiilor. E.T., Bucuresti, 1964.

111.-G7. GAGNE A.F., Design high speed cams. In Machine Design, 25, 1953, pp. 121-135.

112.-G8. GRANT B., s.a., Cam design survey. Design Technology Transfer, ASME, 1974, pp. 177-219.

113.-G9. GRODZINSKI P., Production of cam profiles by positive mechanisms. Machinery (London), 1959, 88(2269), pp. 683-688.

114.-G10. GOODMAN T.P., Linkages vs cams. Machine Design, 1958, 30(17), pp. 102-109.

178

115.-G11. GRECU B., PETRESCU, F., s.a., Mecanisme Plane – lucrãri pentru laborator si proiect. Editura BREN, Bucuresti, ISBN 978-973-648-697-5, 191 pag., 2007.

116.-H1. HANDRA-LUCA V., Organe de masini si mecanisme. Editura Did. si pedagogicã, Bucuresti, 1975.

117.-H2. HANDRA-LUCA V.,STOICA A., Introducere în teoria mecanismelor. Vol. II., Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1983.

118.-H3. HERRMANN R., DELANGE J., LOURDOUR G., Evolution du trasee des cames. Ingenieurs de l’automobile, nr. 11, 1969.

119.-H4. HAIN K., Optimization of a cam mechanism to give goode transmissibility maximal output angle of swing and minimal acceleration. Journal of Mechanisms 6 (1971), Nr. 4., pp.419-434.

120.-H5. HARRIS M.C., CREDE E.C., Socuri si vibratii. Vol. I-III., E.T., Bucuresti, 1968-69.

121.-H6. HEBELER C.B., Design equation and graphs for finding the dynamic response of cycloidal-motion cam systems. Machine Design, Feb. 1961, pp. 102-107.

122.-H7. HRONES J.A., An analysis of Dynamic Forces in a Cam-Driver System, Trans. ASME, 1948, 70, PP. 473-482.

123.-H8. HIRSCHHORN J., Disc-cam curvature. In Machine Design 31(3), 1959, pp. 125-129.

124.-H9. HALE F.W., Cam machining without master former. Tool Engineer, 1955, 35(6), pp. 82-87.

125.-H10. HOSAKA T., and HAMAZAKI M., Development of the Variable Valve Timing and Lift (VTEC) Engine for the Honda NSX, (910008), Fifth Auto-technologies Conference Proceedings, SAE,pp. 238.

126.-H11. HOORFAR, M., NAJJARAN, H., CLEGHORN, W.L, Software demonstration of disc cam mechanisms for mechanical engineering education, Journal: The International Journal of Mechanical Engineering Education, ISSN: 0306-4190, Volume 35 Issue 2, April 2007, pp. 166-180.

127.-I1. IACOB C., Mecanica teoreticã. E.D.P., Bucuresti, 1971.

128.-I2. IUDIN E., s.a., Issledovanie suma ventileatornîh ustanovok I metodov borbî s nim. Oborongiz, Moskva, 1958.

129.-J1. JIANG QI , XU ZENG-YIN, Compounding of mechanism and analysis and synthesis of complex mechanisms. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.

179

130.-J2. JONES J.R., REEVE J.E., Dynamic response of cam curves based on sinusoidal segments. In Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974.

131.-J3. JACOBSEN and AYRE R., Engineering Vibration. Mc Graw- Hill Book Co. Inc., 1958.

132.-J4. JENSEN P.W., Cam Design and Manufacture. Industrial Press., New York, 1965.

133.-J5. JOHNSON R.C., A rapid method for developing cam profiles having desired acceleration characteristics. In Machine Design 27(12), 1965, pp. 129-132.

134.-J6. JELLING W., Precision machines assure cam accuracy. In Iron Age, 1954, 173(15), pp. 140-142.

135.-J7. JASSEN B., Kraftschlub bei Kurventrieben. Ind. Anz., 1966, 88, Part. I: 1906-1907; part. II: 2193-2196.

136.-K1. KOVACS FR., PERJU D., CRUDU M., Mecanisme. Partea I-a. Analiza mecanismelor. I.P.”Traian Vuia” din Timisoara, 1978.

137.-K2. KOVACS FR., PERJU D., Mecanisme. I.P. “Traian Vuia” din Timisoara, 1977.

138.-K3. KOSTER M.P., The effects of backlash and shaft flexibility on the dynamic behaviour of a cam mechanism. In, Cams and cam mechanisms, 1974, pp. 141-146.

139.-K4. KWAKERNAAK H., Minimum Vibration Cam Profiles, J. Mech. Eng. Sci., 1968, 10, pp. 219-227.

140.-K5. KLOOMOK M., s.a., Plate cam design-evaluating dynamic loads. Prod. Engng., 27(1), 1956, pp. 178-182.

141.-K6. KLOOMOK M., MUFFLEY R.V., Plate cam design-pressure angle analysis. In Product Engineering, 1955, 26(5), pp. 155-160.

142.-K7. KERLE H., How effective is the method of finite differences as regards simple cam mechanisms. Cams and cam mechanisms, 1974, pp. 131-135.

143.-L1. LOWN G., s.a., Survey of Investigations in to the Dynamic Behaviour of Mechanisms Contsining Links with Distributed Mass and Elasticity. Mech. and Mach. Th., 7, 1972.

144.-L2. LEDERER P., Dynamische synthese der ubertragungs-funktion eines Kurvengetriebes. In, Mech. Mach. Theory ,Vol. 28., Nr.1., pp. 23-29, Printed in Great Britain, 1993.

180

145.-M1. MANOLESCU N.I., KOVACS FR., ORANESCU A., Teoria mecanismelor si a masinilor. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1972.

146.-M2. MANOLESCU N.I., MAROS D., Teoria mecanismelor si a masinilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1958.

147.-M3. MANOLESCU N.I., s.a., Probleme de teoria mecanismelor si a masinilor. Vol. II., E.D.P., Bucuresti, 1968.

148.-M4. MAROS D., Mecanisme. Vol. I., I.P. Cluj-Napoca, 1980.

149.-M5. MERTICARU V., Mecanisme si organe de masini. I.P.Iasi, 1979.

150.-M6. MANGERON D., IRIMICIUC N., Mecanica rigidelor cu aplicatii în inginerie. Vol. I,II si III. Editura tehnicã, Bucuresti, 1981.

151.-M7. MARUSTER ST., Metode numerice în rezolvarea ecuatiilor neliniare. Ed. Tehn., Bucuresti, 1981.

152.-M8. MARINA M., Contributii la studiul optimizãrii distributiei motoarelor cu ardere internã în 4 timpi. Rezumatul tezei de doctorat, Timisoara, 1978.

153.-M9. MANEA GH., Organe de masini. Editura Tehnicã, Bucuresti, 1970.

154.-M10. MITSI S., TSIAFIS J., Optimal synthesis of cam mechanisms. In SYROM’93, Vol. III., pp. 155-162., Bucuresti, iunie 1993.

155.-M11. MARINA M., Consideration on the functional compatibility of the engine distribution mechanism springs. SYROM’97, Vol. 3., pp. 313, Bucuresti, august 1997.

156.-M12. MERCER S., Dynamic characteristics of cam forms calculated by the digital computer. Trans. ASME, Nov. 1958, 80, pp. 1695-1705.

157.-M13. MARINCAS D., FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Rezultatele experimentale privind îmbunãtãtirea izolatiei fonice a cabinei autoutilitarei TV-14. In CONAT, Brasov, 1982.

158.-M14. MOLIAN S., The Design of Cam Mechanisms and Linkages. Elsevier, New York, 1968.

159.-M15. MOISE V., SIMIONESCU I., ENE M., NEACŞA M., TABĂRĂ I., Analiza mecanismelor aplicate, Editura Printech, ISBN 978-973-718-891-5, Bucureşti, 216 pag., 2008.

160.-N1. NEKLUTIN C.N., Designing cams for controlled inertia and vibration. In Machine Design, June 1952, pp. 143-153.

181

161.-N2. NAKANISHI F., On cam from which induce no surging in valve springs. Report of the Aeronautical Research Institute, 220, TOKYO Imperial University, 1941, pp. 271-280.

162.-O1. OPREAN M., Studiul interactiunii camã-arc de supapã la motoarele, cu aprindere prin scânteie, de turatie ridicatã. Tezã de doctorat, I.P.B., Bucuresti, 1984.

163.-O2. OPRISAN C., POPOVICI GH., O analizã a variatiei unghiului de presiune la mecanismele cu camã si tachet de translatie. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.

164.-O3. OHRNBERGER G., MANN M., AUDI A.G., Germany, The Audi 5- Valve Cylinder Head Concept.(945004), In XXV FISITA CONGRESS, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 36-44.

165.-P1. PELECUDI CHR., DRANGA M., Dinamica masinilor. I.P.B., Bucuresti, 1980.

166.-P2. PELECUDI CHR., Bazele analizei mecanismelor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1967.

167.-P3. PELECUDI CHR., Precizia mecanismelor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1975.

168.-P4. PELECUDI CHR., MAROS D., MERTICARU V., PANDREA N., SIMIONESCU I., Mecanisme. E.D.P., Bucuresti, 1985.

169.-P5. PELECUDI CHR., s.a., Proiectarea mecanismelor. I.P.B., Bucuresti, 1981.

170.-P6. PELECUDI CHR., s.a., Probleme de mecanisme. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1982.

171.-P7. PELECUDI CHR., s.a., Algoritmi si programe pentru analiza mecanismelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1982.

172.-P8. PELECUDI CHR., SIMIONESCU I., ENE M., CANDREA A., STOENESCU M., MOISE V., Mecanisme cu cuple superioare: came si roti. I.P.B., Bucuresti, 1982.

173.-P9. POPESCU I., Proiectarea mecanismelor plane. Editura Scrisul Românesc din Craiova, 1977.

174.-P10. PANDREA N., MUNTEANU M., Curs de vibratii. Vol. I. si II., I.P.B., Bucuresti, 1979.

175.-P11. PELECUDI CHR., SAVA I., Studiul experimental al dinamicii mecanismelor cu came. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 3., Bucuresti, 1970.

182

176.-P12. PELECUDI CHR., SAVA I., MATHEESCU A., Optimizarea legilor de functionare ale mecanismelor de distributie. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 3., Bucuresti, 1968.

177.-P13. PFISTER F., FAYET M., Linearization of dynamic models. In al VI-lea SYROM’93, Vol. II., Bucuresti, iunie 1993.

178.-P14 PELECUDI CHR., BOGDAN R., Sinteza mecanismelor cu came la prescrierea valorilor arcelor de curbã. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 6., Bucuresti, 1962.

179.-P15. PELECUDI CHR., MATHEESCU A., Analiza armonicã a legilor de miscare la mecanismele cu camã. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 1., Bucuresti, 1969.

180.-P16. PELECUDI CHR., SAVA I., Asupra analizei si sintezei mecanismelor cu came. In revista Constructia de masini, nr. 8-9., Bucuresti, 1967.

181.-P17. PANDREA N., HARA V., POPA D., Sinteza dimensionalã a mecanismelor de distributie cu admisie adaptivã pentru optimizarea legii de deplasare a supapei de admisie. In PRASIC’94, Brasov, dec. 1994.

182.-P18. POPOVICI GH., Sinteza profilului camei cu tachet de translatie. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.

183.-P19. POPOVICI GH., LEOHCHI D., CIAUSU V., Sinteza profilului camei cu tachet oscilant. In PRASIC’94, Brasov, dec. 1994.

184.-P20. PELECUDI CHR., SAVA I., Optimizãri în sinteza numericã a miscãrii mecanismelor cu came. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 5., Bucuresti, 1971.

185.-P21. PETRESCU F., PETRESCU R., Contributii la optimizarea legilor polinomiale de miscare a tachetului de la mecanismul de distributie al motoarelor cu ardere internã. In E.S.F.A.’95, Vol. 1.,pp. 249-256., Bucuresti, mai 1995.

186.-P22. PETRESCU F., PETRESCU R., Contributii la sinteza mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã. In E.S.F.A.’95, Vol. 1., pp. 257-264., Bucuresti, mai 1995.

187.-P23. PETRESCU F., PETRESCU V., Dinamica mecanismelor cu came (exemplificatã pe mecanismul clasic de distributie). SYROM’97, Vol. 3., pp. 353-358., Bucuresti, august 1997.

188.-P24. PETRESCU F., PETRESCU V., Contributii la sinteza mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã cu metoda coordonatelor carteziene. SYROM’97, Vol. 3., pp. 359-364., Bucuresti, august 1997.

183

189.-P25. PETRESCU F., PETRESCU V., Contributii la maximizarea legilor polinomiale pentru cursa activã a mecanismului de distributie de la motoarele cu ardere internã. SYROM’97, Vol. 3., pp. 365-370., Bucuresti, august 1997.

190.-P26. PETRESCU F.,PETRESCU V., Sinteza mecanismelor de distributie prin metoda coordonatelor rectangulare (carteziene). In Conferinta “Grafica-2000”, Universitatea din Craiova, Craiova, 2000.

191.-P27. PETRESCU F., PETRESCU V., Designul (sinteza) mecanismelor cu came prin metoda coordonatelor polare (metoda triunghiurilor). In Conferinta “Grafica-2000”, Universitatea din Craiova, Craiova, 2000.

192.-P28. PETRESCU F., PETRESCU V., Legi de mişcare pentru

mecanismele cu came. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 321-326.

193.-P29. PETRESCU, F., PETRESCU, R. Elemente de dinamica

mecanismelor cu came. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 327-332.

194.-P30. PETRESCU, V., PETRESCU, I., ANTONESCU, O. Randamentul cuplei superioare de la angrenajele cu roţi dinţate cu axe fixe. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 333-338.

195.-P31. PETRESCU, I., PETRESCU, V., OCNĂRESCU, C. The

Cam Synthesis With Maximal Efficiency. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 339-344.

196.-P32. PETRESCU, F., PETRESCU, R. Câteva elemente privind îmbunătăŃirea designului mecanismului motor. În al VIII-lea Simpozion NaŃional, de Geometrie Descriptivă, Grafică Tehnică şi Design, GTD 2003, Braşov, iunie 2003, Vol. I, p. 353-358.

197.-P33. PETRESCU, F., PETRESCU, R. The cam design for a better efficiency. In the International Conference on Engineering Graphics and Design, ICEGD 2005, Bucharest, 2005, Vol. I, p. 245-248.

198.-P34. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. Contributions at the dynamics of cams. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 123-128.

199.-P35. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. Determining the dynamic efficiency of cams. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of

184

Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 129-134.

200.-P36. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. An original internal combustion engine. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 135-140.

201.-P37. PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I. Determining the mechanical efficiency of Otto engine’s mechanism. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 141-146.

202.-P38. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V., POPESCU N., The efficiency of cams. In the Second International Conference “Mechanics and Machine Elements”, Technical University of Sofia, November 4-6, 2005, Sofia, Bulgaria, Vol. II, p. 237-243.

203.-R1. RADOI M., DECIU E., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1973.

204.-R2. RADOI M., DECIU E., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1977.

205.-R3. RAO A., Optimum Elastodynamic Synthesis of a Cam-Follower Train Using Stochastic-Geometric Programming. Mech. and Mach. Theory, Vol. 15., 1980.

206.-R4. RAICU A., Consideratii privind nedeterminarea din ecuatia de miscare a masinii. In PRASIC, Brasov, decembrie 1994.

207.-R5. REES JONES J., Analog simulation of SCCA cam motion. In Mech. Eng. Deptl. Report, 1974, Liverpool Polytechnic.

208.-R6. ROSKILLY M., s.a., Valve gear design analysis. In XXII FISITA CONGRESS (865027), PP. 1.193-1.200.

209.-R7. ***, Revue Technique, aprilie 1991, pp. 22.

210.-S1. SILAS GH., Mecanicã-vibratii mecanice, E.D.P., Bucuresti, 1968.

211.-S2. SILAS GH., s.a., Culegere de probleme de vibratii mecanice. Editura tehnicã, Bucuresti, 1967.

212.-S3. SARSTEN A.,VALLEND H., Computer aided design of valve cams. Internal Combustion Engines conference, Bucharest, Paper II-19, 1967.

213.-S4. SAVA I., Stadiul actual în dinamica mecanismelor cu came. I-II., Rev. S.C.M.A., Nr. 5., 1969.

214.-S5. SAVA I., Contributii la dinamica si sinteza optimalã a mecanismelor cu came. Tezã de doctorat, I.P.B., 1970.

185

215.-S6. SAVA I., Cu privire la functionarea in regim dinamic a supapei mecanismului distributiei motoarelor cu ardere interna. In revista C.M. Nr.12.,Bucuresti, 1971.

216.-S7. SAVIUC S., Optimizarea duratei de deschidere simultanã a supapelor la motoarele cu aprindere prin scânteie. Tezã de doctorat, I.P.B., 1979.

217.-S8. SIRETEANU T., GRUNDISCH O., PARAIAN S., Vibratiile aleatoare ale automobilelor. E.T., Bucuresti, 1981.

218.-S9. STOICESCU A., Dinamica autovehiculelor. Vol. I-II., I.P.B., Bucuresti, 1980-82.

219.-S10. STOICESCU A., Dinamica autovehiculelor pe roti. E.D.P., Bucuresti, 1981.

220.-S11. SONO H., UMIYAMA H., Honda RDCo., Ltd. Japan, A study of Combustion Stability of Non-Throttling S.I. Engine with Early Intake Valve Closing Mechanism. (945009), In XXV FISITA CONGRES, October 1994, Beijing, pp. 78-87.

221.-T1. TEMPEA I., POPA GH., Mecanisme plane articulate. I.P.B., Bucuresti, 1978.

222.-T2. TEMPEA I., MARTINEAC A., Organe de masini, teoria mecanismelor si prelucrãrii prin aschiere. Partea I , mecanisme, I.P.B., Bucuresti, 1983.

223.-T3. TEMPEA I., BALESCU C., ADIR G., Mecanism de presare destinat mecanizãrii operatiei de formare în rame (pãrtile I si II). In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, 1987.

224.-T4. TEMPEA I., GRADU M., Sinteza camei de translatie cu tachet cu rolã, cu ajutorul functiilor spline. In lucrãrile simpozionului de R.I., Timisoara, 1992.

225.-T5. TUTUNARU D., Mecanisme plane rectiliniare si inversoare. Editura tehnicã, Bucuresti, 1969.

226.-T6. TORAZZA G., A variable lift and event control device piston engine valve operation. In FISITA XIV Congres,Paper II / 10, London, 1972.

227.-T7. TESAR D., MATTHEW G.K., The design of modelled cam sistems. In Cams and cam mechanisms, 1974.

228.-T8. TERME D., Besondere Merkmalebeider Nutzung des Pressungwinkels fur kurvengetriebeanalyse und-Synthese. In SYROM’85,Vol. III-2, pp. 489-504, Bucuresti, iulie 1985.

186

229.-T9. TEMPEA I., DUGĂEŞESCU I., NEACŞA M., Mecanisme. NoŃiuni teoretice şi teme de proiect rezolvate, Ed. Printech, ISBN (10) 973-718-560-9, 2006.

230.-T10. D. Taraza, N.A. Henein, W. Bryzik, "The Frequency Analysis of the Crankshaft's Speed Variation: A reliable Tool for Diesel Engine Diagnosis," ASME Journal for Gas Turbines and Power 123(2), 428-432, 2001 231.-T11. D. Taraza, "Accuracy Limits of IMEP Determination from Crankshaft Speed Measurements," SAE Transactions, Journal of Engines 111, 689-697, 2002.

232.-T12. D. Taraza, "Statistical Correlation Between the Crankshaft's Speed Variation and Engine Performance, Part I: Theoretical Model," ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power 125(3), 791-796, 2003.

233.-T13. D. Taraza, "Statistical Correlation Between the Crankshaft's Speed Variation and Engine Performance, Part II: Detection of Deficient Cylinders and MIP Calculation," ASME journal of Engineering for Gas Turbines and Power 125(3), 797-803, 2003.

234.-U1. ULF A., WILLIAM S., A Simple Procedure for Modifying High-Speed Cam Profiles for Vibration Reduction, Journal of Mechanical Design - November 2004 - Volume 126, Issue 6, pp. 1105-1108.

235.-V1. VOINEA R., VOICULESCU D., CEAUSU V., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1975.

236.-V2. VOINEA R., ATANASIU M., Metode analitice noi în teoria mecanismelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1964.

237.-V3. Van de Straete, H.J., De Schutter, J., Hybrid cam mechanisms, Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on Volume 1, Issue 4, Dec. 1996 Page(s):284 - 289

238.-W1. WIEDERRICH J.L., ROTH B., Design of low vibration cam profiles. In Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974.

239.-W2. WIEDERRICH J.L., ROTH B., Dynamic Synthesis of Cams Using Finite Trigonometric Series, Trans. ASME, 1974.

240.-Y1. YOUNG V.C., Considerations în valve gear design. Trans. SAE, 1, 1947, pp. 359-365.

241.-Z1. ZHANG J.L., LI Z., Research on the dynamics of a RSCR spatial mechanisms considering bearing clearances. In al VI-lea SYROM, Vol. II, Bucuresti, iunie 1993.

187

Goodbye. See you soon…