dinamica mecanismelor de distributie petrescu
DESCRIPTION
Florian Ion PETRESCU, Relly Victoria PETRESCU Dinamica Mecanismelor de Distribuţie CREATE SPACE Publisher USA-2011TRANSCRIPT
Florian Ion PETRESCU, Relly Victoria
PETRESCU
Dinamica Mecanismelor de Distribuţie
CREATE SPACE Publisher
USA-2011
2
copyright
Scientific reviewer:
Prof. Consul. Dr. Ing. Păun ANTONESCU
Copyright
Title: Distribution Mechanism Dynamics
Authors: Florian Ion PETRESCU & Relly Victoria PETRESCU
© 2011, Florian Ion PETRESCU
ALL RIGHTS RESERVED. This book contains material protected under International and Federal Copyright Laws and Treaties. Any unauthorized reprint or use of this material is prohibited. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording, or by any information storage and retrieval system without express written permission from the authors / publisher.
ISBN 978-1-4680-5265-7
3
SD
SCURTĂ DESCRIERE
Prezenta carte îşi propune să rezolve
problemele principale de dinamică, ce apar
la mecanismele de distribuţie ale
automobilelor şi autovehiculelor rutiere. Sunt
modulate şi luate în calcul mai multe tipuri de
mecanisme de distribuţie cu camă şi tachet.
Se porneşte cu mecanismul clasic de
distribuţie, având cama rotativă şi tachetul de
translaţie plat (cu talpă), construit clasic cu
un unghi de 90 [grade sexazecimale] între
talpă şi axa de translaţie a tachetului.
Se continuă cu mecanismul de distribuţie
care are cama rotativă şi tachetul de
translaţie cu rolă.
Următorul modul prezentat păstrează
cama rotativă şi tachetul cu rolă, dar acesta
4
din urmă nu mai translatează ci se roteşte,
rotaţia fiind sub forma unui balans.
Ultimul modul de distribuţie studiat în
cadrul cărţii are tot cama de rotaţie şi
tachetul de rotaţie (balansier) plat (cu talpă).
La fiecare modul se prezintă pe scurt,
geometria sa, cinematica, cinematica de
precizie, cinetostatica (forţele care
acţionează în cupla mecanismului de
distribuţie considerat), şi dinamica
mecanismului respectiv, care cuprinde două
aspecte principale, randamentul
mecanismului, şi cinematica sa dinamică
(cinematica reală a mecanismului de
distribuţie, influenţată de toţi parametrii
funcţionali, inclusiv de forţele de inerţie).
5
C
CUPRINS
SCURTĂ DESCRIERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 003
CUPRINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 005
INTRODUCERE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 008
1. UN SCURT ISTORIC AL MECANISMELOR DE DISTRIBUŢIE LEGAT DE ISTORICUL MOTORULUI OTTO ŞI DE CEL AL AUTOMOBILULUI . . . . . . . 015
1.1. Apariţia şi dezvoltarea mot. cu ardere int., cu supape, de tip Otto sau Diesel. . 015
1.2. Primele mecanisme cu supape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 016
1.3. Primele mecanisme cu came . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 017
1.4. Mecanismele de distribuţie – prezentare generală. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 018
2. MODELE DINAMICE ALE MECANISMELOR CU CAME . . . . . . . . . . . . . . . 024
2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă . . . . . . . . . . . 024
2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă . . . . . . . . . . . . 025
2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă . . . . . . . . 026
2.4. Model din. cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a resortului supapei . . 026
2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare . . . . . . . . . . . . . . . 027
2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii torsionale. . . . . . . . . . . . . . . 028
2.6.1. Model dinamic monomasic amortizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 029
2.6.2. Model dinamic bimasic amortizat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 030
2.6.3. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 031
2.6.4. Influenţa vibraţiilor transversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 032
2.7. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere . . . . . . . . . . . 034
2.8. Modele dinamice cu amortizare internă variabilă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 038
2.8.1. Model din. cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a sistemului variabilă. .038
2.8.1.1. Determinarea coeficientului de amortizare al mecanismului . . . . . . . . . . . . . . . .039
2.8.1.2. Determinarea ecuaţiilor de mişcare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 044
2.8.2. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă variabilă . . . . 045
2.8.2.1. Ecuaţiile de mişcare pentru modelul dinamic cu patru mase. . . . . . . . . . . . . . . . 046
3. DINAMICA GENERALĂ A MECANISMELOR CU CAMĂ ŞI TACHET, EXEMPLIFICATĂ PE MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE . . . . . . . . . . . 051
3.1. Cinematica exactă, la mecanismul clasic de distribuţie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 051
3.2. Coeficientul de transmitere al forţelor (TF) la modulul clasic C . . . . . . . . . . . . . . . 059
3.3. Sinteza profilului camei, la modulul clasic C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .062
3.4. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei de mişcare Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 065
3.5. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, (cea care a fost obţinută la paragraful 2.8.1.) . . . 069
6
3.5.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, printr-o soluţie particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 070
3.5.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, printr-o soluţie particulară completă . . . . . . . . . 072
3.5.3. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, cu ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor . . . . . . . 074
3.5.4. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, în doi paşi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 075
3.6. Prezentarea unei ecuaţii diferenţiale, care ţine cont de masa camei . . . . . . . . . . . . 076
3.7. Determinarea anticipată a vitezei şi a acceleraţiei dinamice reduse la axa supapei . .080
3.7.1. Determinarea anticipată aprox. a vitezei reduse şi a acc. reduse a supapei. . . . . 081
3.7.2. Det. anticipată precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei . . . . . 083
3.7.3. Det. anticipată, precisă, a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei,
prin metoda cu diferenţe finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 086
3.7.4. Determinarea anticipată şi precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei,
utilizând modelul dinamic care ia în calcul şi masa m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 087
3.8. Model dinamic cu integrare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 090
3.9. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale prin, integrare directă şi obţinerea ecuaţiei mamă. 094
3.9.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, mamă, prin utilizarea ipotezei statice . . . . . . . . . 095
3.9.1.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, prin utilizarea ipotezei statice,
prin rezolvarea obişnuită a ecuaţiei de gradul II, în x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 096
3.9.1.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, cu ajutorul ipotezei statice, prin utilizarea diferenţelor finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 097
4. ANALIZA DINAMICĂ LA MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE . . . . . 100
4.1. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe dezvoltările
în serie Taylor şi pe modelul dinamic-A1, cu amortizare internă variabilă,
fără considerarea masei m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe modelul
dinamic cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, cu
rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în doi paşi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.124),
cu considerarea masei m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.139), (3.140), (3.141),
pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, aproximativă, a vitezei şi acceleraţiei reduse . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.143-3.146),
pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă . . . . . . . . . . . . 104
4.6. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.168, 3.169, 3.162), pentru modelul dinamic cu considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei reduse la supapă . . . 105
4.7. Analiza dinamică, cu ajutorul relaţiilor (3.186-3.187), pentru modelul dinamic cu
7
integrare, fără considerarea masei m1 a camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
4.8. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), cu rezolvarea normală a ecuaţiei de gr. II, (3.198, 3.200) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.9. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), rezolvând
ecuaţia de gr. II, prin diferenţe finite (3.204, 3.205) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.10. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196),
prin diferenţe finite cu relaţiile (3.203, 3.206) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5. DIN., MEC DE DISTRIBUŢIE CU TACHET DE TRANSLAŢIE CU ROLĂ . 113
5.1. Prezentare generală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2. Relaţiile pentru trasarea profilului camei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3. Cinematica exactă la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4. Determinarea coeficientului TF la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6. Dinamica modulului B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.7. Analiza dinamică la modulul B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6. DINAMICA, MEC DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER CU ROLĂ 139
6.1. Prezentare generală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2. Determinarea unghiului de presiune, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3. Determinarea unghiului de presiune suplimentar (intermediar), . . . . . . . . . . . . 145
6.4. Cinematica de bază la Modulul F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.5. Relaţiile pentru trasarea profilului camei, la Modulul F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6. Determinarea coeficientului TF la mecanismul cu camă rotativă
şi tachet balansier cu rolă ( Modul F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.7. Determinarea funcţiei de transmitere a mişcării, la mecanismul cu
camă rotativă şi tachet balansier cu rolă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.8. Dinamica la Modulul F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.9. Analiza dinamică a modulului F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7. DINAMICA, MEC DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER PLAT . . . . 163
7.1. Prezentare general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2. Dinamica la Modulul H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3. Analiza dinamică a modulului H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8
I
I N T R O D U C E R E
Dezvoltarea şi diversificarea autovehiculelor rutiere şi a vehiculelor, mai ales cea a automobilelor, împreună cu motoarele termice, în special cele cu ardere internă (fiind mai compacte, mai robuste, mai independente, mai fiabile, mai puternice, mai dinamice, etc...), a forţat şi dezvoltarea într-un ritm alert a dispozitivelor, mecanismelor, şi ansamblurilor componente. Cele mai studiate fiind trenurile de putere şi cel al transmisiei.
Trenul de putere la motoarele termice generalizate, cu ardere internă (în patru timpi, de tip Otto sau Diesel) cuprinde în cele mai multe cazuri (cu excepţia unor motoare rotative) şi unul sau mai multe mecanisme de distribuţie cu came, tacheţi, supape, etc.
Mecanismele de distribuţie clasice sunt robuste, fiabile, dinamice, cu răspuns rapid, şi deşi au funcţionat cu randamente mecanice foarte scăzute, răpind mult din puterea motorului şi provocând efectiv o poluare suplimentară şi un consum sporit de combustibili, nu s-a putut renunţa la ele nici până în prezent. O altă problemă a lor o reprezenta turaţia scăzută de la care aceste mecanisme încep să producă vibraţii şi zgomote foarte mari.
Privind realist situaţia, mecanismele de distribuţie cu camă şi tachet, sunt cele care au putut produce în dezvoltarea omenirii mai multe revoluţii industriale, economice, sociale, etc. Ele au contribuit
9
esenţial la dezvoltarea motoarelor cu ardere internă şi la răspândirea lor în detrimentul motoarelor termice cu ardere externă (cu aburi, sau Stirling).
Problema randamentului foarte scăzut, a noxelor mari şi a consumului foarte mare de putere şi de combustibil, a fost mult ameliorată şi reglementată în ultimii 20-30 ani, prin dezvoltarea şi introducerea unor mecanisme de distribuţie moderne, care pe lângă randamente mai ridicate (ce aduc imediat o mare economie de combustibili) realizează şi o funcţionare optimă, fără zgomote, fără vibraţii, cu noxe mult diminuate, în condiţiile în care turaţia motorului maximă posibilă a crescut de la 6000 la circa 30000 [rot/min].
Cartea aceasta împreună cu multe alte lucrări din acest domeniu ale autorilor ei, încearcă să aducă un sprijin suplimentar dezvoltării mecanismelor de distribuţie, astfel încât performanţele lor şi ale motoarelor pe care ele le vor echipa să poată spori în continuare.
O performanţă deosebită este creşterea în continuare a randamentului mecanic al sistemelor de distribuţie, până la cote nebănuite până în prezent, fapt ce va aduce o economie de combustibili majoră.
Rezervele de petrol şi cele energetice actuale ale omenirii sunt limitate. Până la implementarea de noi surse energetice (care să preia controlul real în locul combustibililor fosilici) o sursă alternativă reală de energie şi de combustibili este chiar „scăderea consumului de combustibil al unui autovehicul”, fie că vom arde petrol, gaze şi derivaţi petrolieri, fie că
10
vom implementa într-o primă fază biocombustibilii, iar mai târziu şi hidrogenul (extras din apă).
Scăderea consumului de combustibil pentru un anumit tip de vehicul, pentru o sută de km parcurşi, s-a produs în mod constant din anul 1980 şi până în prezent şi va continua şi în viitor.
Chiar dacă se vor înmulţi hibrizii şi automobilele cu motoare electrice, să nu uităm că ele trebuie să se încarce cu curent electric care în general este obţinut tot prin arderea combustibililor fosilici, cu precădere petrol şi gaze, în proporţie planetară actuală de circa 60%. Ardem petrolul în centrale termice mari ca să ne încălzim, să avem apă caldă menajeră, şi energie electrică pentru consum, şi o parte din această energie o luăm suplimentar şi o consumăm suplimentar pe (auto)vehicule cu motoare electrice, dar problema globală, energetică nu se rezolvă, criza chiar se adânceşte. Aşa s-a întâmplat atunci când am electrificat forţat calea ferată pentru trenuri, când am generalizat tramvaiele, troleibuzele şi metrourile, consumând mai mult curent electric produs mai ales din petrol; consumul petrolier a crescut mult, preţul său a trebuit să aibă un salt uriaş, şi ne uităm cum rezervele dispar rapid.
Generalizând brusc şi automobilele electrice (deşi nu suntem încă pregătiţi real pentru acest lucru), vom da o nouă lovitură rezervelor de petrol şi gaze.
Din fericire în ultima vreme s-au dezvoltat foarte mult biocombustibilii, biomasa şi energetica nucleară (deocamdată cea bazată pe reacţia de
11
fisiune nucleară). Acestea împreună şi cu hidrocentralele, au reuşit să producă circa 40% din energia reală consumată global. Numai circa 2-3% din resursele energetice globale sunt produse prin diverse alte metode alternative (în ciuda eforturilor făcute până acum).
Acest fapt nu trebuie să ne dezarmeze, şi să renunţăm la implementarea centralelor solare, eoliene, etc.
Totuşi, ca o primă necesitate de a scădea şi mai mult procentul de energii globale obţinute din petrol şi gaze, primele măsuri energice ce vor trebui continuate, vor fi sporirea producţiei de biomasă şi biocombustibili, împreună cu lărgirea numărului de centrale nucleare (în ciuda unor evenimente nedorite, care ne arată doar faptul că centralele nucleare pe fisiune trebuiesc construite cu un grad sporit de siguranţă, şi în nici un caz eliminate încă de pe acum, ele fiind în continuare, cea ce au fost şi până acum, „un rău necesar”).
Sursele alternative vor lua ele singure o amploare nebănuită, dar aşteptăm ca şi energia furnizată de ele să fie mult mai consistentă în procente globale, pentru a putea să ne şi bazăm pe ele la modul real (altfel, riscăm ca toate aceste energii alternative să rămână un fel de „basm”).
Programele energetice de tip combustibil hidrogen, „când demarează, când se opresc”, astfel încât nu mai e timp real acum pentru a ne salva energetic prin ele, deci nu mai pot fi prioritare, dar pe camioane, şi autobuze ar putea fi implementate chiar acum, deoarece au fost rezolvate parţial
12
problemele cu stocarea. Problema mai mare la hidrogen nu mai este stocarea sigură, ci cantitatea mare de energie necesară pentru extragerea lui, şi mai ales pentru stocarea (îmbutelierea) lui. Cantitatea uriaşă de energie electrică consumată pentru îmbutelierea hidrogenului, va trebui să fie obţinută în totalitate prin surse alternative energetice, în caz contrar programele pentru hidrogen nefiind rentabile pentru omenire, cel puţin pentru moment. Personal cred că utilizarea imediată a hidrogenului extras din apă cu ajutorul energiilor alternative, ar fi mai potrivită la navele maritime.
Am arătat detaliat motivele pentru care motorul Otto sau de tip Otto, a supravieţuit şi a continuat să se dezvolte chiar în plină criză energetică, astfel încât nu mai e necesar să facem o altă precizare referitoare la necesitatea prezentării acestei cărţi.
Poate doar să mai spunem că datorită lui în plină criză energetică (şi nu doar energetică, din 1970 şi până azi), producţia de automobile şi autovehicule a sporit într-un ritm alert (dar firesc), în loc să scadă, iar acestea au şi fost comercializate şi utilizate. S-a pornit la declanşarea crizei energetice mondiale (în anii 1970) de la circa 200 milioane autovehicule pe glob, s-a atins cifra de aproximativ 350 milioane în 1980 (când s-a declarat pentru prima oară criza energetică şi de combustibili mondială), în 1990 circulau circa 500 milioane autovehicule pe glob, iar în 1997 numărul de autovehicule înmatriculate la nivel mondial depăşea cifra de 600 milioane. În 2010 circulă pe întreaga planetă peste 800 milioane autovehicule.
13
Primul capitol prezintă un scurt istoric al apariţiei şi dezvoltării motoarelor cu ardere internă, datorită cărora au apărut şi s-au dezvoltat şi mecanismele de distribuţie; de acest istoric sunt legate nume sonore ale unor cercetători şi ingineri, olandezi, belgieni, francezi, elveţieni, englezi şi mai ales germani. Este meritul inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a fi construit primul motor cu ardere internă în patru timpi, în anul 1866, având aprinderea electrică, carburaţia şi distribuţia într-o formă avansată. În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel. Primele mecanisme cu supape apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts. Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de ţesut. Se face o prezentare a mecanismelor de distribuţie utilizate la motoarele cu ardere internă: se remarcă modelele actuale cu patru supape pe cilindru, cu distribuţie variabilă, în special modelul suedez al firmei „Scania”, cel franţuzesc al firmelor reunite „Peugeot-Citroen”, şi modelele germane ale concernului „Volkswagen”.
Capitolul al doilea prezintă câteva modele dinamice utilizate la studiul mecanismelor de distribuţie. Se prezintă şi un model dinamic original „cu amortizare internă variabilă”, [A15, A17, P29, P34], (a se vedea cap. 2.8.).
Capitolul 3, prezintă efectiv dinamica mecanismelor de distribuţie, exemplificată pe mecanismul clasic cu camă rotativă şi tachet plat translant. La începutul capitolului este prezentată
14
Welcome!
cinematica de precizie (cinematica dinamică, originală), a acestui tip de mecanism ([P30], [P31], [P32], [P33], [P34], [P35], [P38]).
Capitolul 4 face analiza dinamică pentru sistemul de distribuţie clasic (a se vedea şi lucrările: [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29], [P34]), pe baza relaţiilor dinamice prezentate în cap. 3, utilizând programe de calcul originale (scrise în excel); în fiecare program sunt generate, diagramele dinamice ale deplasării, vitezei şi acceleraţiei tachetului şi supapei, viteza unghiulară variabilă a camei, profilul sintetizat al camei; cele mai interesante fiind profilul camei, deplasarea şi acceleraţia supapei).
Capitolul 5, se ocupă de studiul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă, modul B.
Capitolul 6, tratează dinamica modulului F, la care tachetul este tot cu rolă (bilă), însă are o mişcare de rotaţie (balans).
Capitolul 7 prezintă mai concentrat, modulul H, reprezentând cama rotativă cu tachet rotativ plat.
Autorii
15
CAP. 1
UN SCURT ISTORIC AL MECANISMELOR DE DISTRIBUŢIE LEGAT DE ISTORICUL MOTORULUI OTTO ŞI DE CEL AL AUTOMOBILULUI
1.1. Apariţia şi dezvoltarea motoarelor cu ardere internă, cu supape, de tip Otto sau Diesel
În anul 1680 fizicianul olandez, Christian Huygens proiectează primul motor cu ardere internă.
În 1807 elveţianul Francois Isaac de Rivaz inventează un motor cu ardere internă care utiliza drept combustibil un amestec lichid de hidrogen şi oxigen. Automobilul proiectat de Rivaz pentru noul său motor a fost însă un mare insucces, astfel încât şi motorul său a trecut pe linie moartă, neavând o aplicaţie imediată.
În 1824 inginerul englez Samuel Brown adaptează un motor cu aburi determinându-l să funcţioneze cu benzină.
În 1858 inginerul de origine belgiană Jean Joseph Etienne Lenoir, inventează şi brevetează doi ani mai târziu, practic primul motor real cu ardere internă cu aprindere electrică prin scânteie, cu gaz lichid (extras din cărbune), acesta fiind un motor ce funcţiona în doi timpi. În 1863 tot belgianul Lenoir este cel care adaptează la motorul său un carburator făcându-l să funcţioneze cu gaz petrolier (sau benzină).
În anul 1862 inginerul francez Alphonse Beau de Rochas, brevetează pentru prima oară motorul cu ardere internă în patru timpi (fără însă a-l construi).
16
Este meritul inginerilor germani Eugen Langen şi Nikolaus August Otto de a construi (realiza fizic, practic, modelul teoretic al francezului Rochas), primul motor cu ardere internă în patru timpi, în anul 1866, având aprinderea electrică, carburaţia şi distribuţia într-o formă avansată.
Zece ani mai târziu, (în 1876), Nikolaus August Otto îşi brevetează motorul său.
În acelaşi an (1876), Sir Dougald Clerk, pune la punct motorul în doi timpi al belgianului Lenoir, (aducându-l la forma cunoscută şi azi).
În 1885 Gottlieb Daimler aranjează un motor cu ardere internă în patru timpi cu un singur cilindru aşezat vertical şi cu un carburator îmbunătăţit.
Un an mai târziu şi compatriotul său Karl Benz aduce unele îmbunătăţiri motorului în patru timpi pe benzină. Atât Daimler cât şi Benz lucrau noi motoare pentru noile lor autovehicole (atât de renumite).
În 1889 Daimler îmbunătăţeşte motorul cu ardere internă în patru timpi, construind un «doi cilindri în V», şi aducând distribuţia la forma clasică de azi, «cu supapele în formă de ciupercuţe».
În 1890, Wilhelm Maybach, construieşte primul «patru-cilindri», cu ardere internă în patru timpi.
În anul 1892, inginerul german Rudolf Christian Karl Diesel, inventează motorul cu aprindere prin comprimare, pe scurt motorul diesel.
1.2. Primele mecanisme cu supape
Primele mecanisme cu supape (fig. 1.1) apar în anul 1844, fiind utilizate la locomotivele cu aburi; ele au fost proiectate şi construite de inginerul mecanic belgian Egide Walschaerts.
17
Fig. 1.1. Primele mecanisme cu supape,
utilizate la locomotivele cu aburi.
1.3. Primele mecanisme cu came
Primele mecanisme cu came sunt utilizate în Anglia şi Olanda la războaiele de ţesut.
Fig. 1.2. Război de ţesut.
În 1719, în Anglia, un oarecare John Kay deschide într-o clădire cu cinci etaje o filatură. Cu un personal de peste 300 de femei şi copii, aceasta avea să fie prima fabrică din lume. Tot el devine celebru inventând suveica zburătoare, datorită căreia ţesutul devine mult mai rapid. Dar maşinile erau în continuare acţionate manual. Abia pe la 1750 industria textilă avea să fie revoluţionată prin aplicarea pe scară largă a acestei invenţii. Iniţial ţesătorii i s-au opus, distrugând suveicile zburătoare şi alungându-l pe inventator. Pe la 1760 apar războaiele de ţesut şi primele fabrici în accepţiunea modernă a cuvântului. Era nevoie
18
de primele motoare. De mai bine de un secol, italianul Giovanni Branca propusese utilizarea aburului pentru acţionarea unor turbine. Experimentele ulterioare nu au dat satisfacţie. În Franţa şi Anglia, inventatori de marcă, ca Denis Papin sau marchizul de Worcester, veneau cu noi şi noi idei. La sfârşitul secolului XVII, Thomas Savery construise deja „prietenul minerului”, un motor cu aburi ce punea în funcţiune o pompă pentru scos apa din galerii. Thomas Newcomen a realizat varianta comercială a pompei cu aburi, iar inginerul James Watt realizează şi adaptează un regulator de turaţie ce îmbunătăţeşte net motorul. Împreună cu fabricantul Mathiew Boulton construieşte primele motoare navale cu aburi şi în mai puţin de o jumătate de secol, vântul ce asigurase mai bine de 3000 de ani forţa de propulsie pe mare mai umfla acum doar pânzele navelor de agrement. În 1785 intră în funcţiune, prima filatură acţionată de forţa aburului, urmată rapid de alte câteva zeci.
1.4. Mecanismele de distribuţie – prezentare generală
Primele mecanisme de distribuţie apar odată cu motoarele în patru timpi pentru automobile.
Schemele arborelui cu came şi a mecanismului de distribuţie pot fi urmărite în figura 1.3:
1. – roata de lanţ;
2. – fixare
axială a arborelui;
3. – camă;
4. – arborele de distribuţie zonă
neprelucrată ;
5. – fus palier;
6. – carcasă.
19
1. – arbore de distribuţie;
2. – tachet;
3. – tijă
împingătoare;
4. – culbutor;
5. – supapă;
6. – arc de supapă.
a) – model clasic cu tijă şi culbutor;
b) – varianta compactă.
Fig. 1.3. Schema mecanismului de distribuţie.
Un model constructiv pentru varianta compactă, b. Tachetul este clasic, adică plat.
În ultimii 25 ani, s-au utilizat fel de fel de variante pentru a spori numărul de supape pe un cilindru; de la 2 supape pe cilindru s-a ajuns chiar la 12 supape/cilindru; s-a revenit însă la variantele mai simple cu 2, 3, 4, sau 5 supape/cilindru. O suprafaţă mai mare de admisie sau evacuare se poate obţine şi cu o singură supapă, dar atunci când sunt mai multe se poate realiza o distribuţie variabilă pe o plajă mai mare de turaţii.
20
În figura 1.4 se poate vedea un mecanism de distribuţie echilibrat, de ultimă generaţie, cu patru supape pe cilindru, două pentru admisie şi două pentru evacuare; s-a revenit la mecanismul clasic cu tijă împingătoare şi culbutor, deoarece dinamica acestui model de mecanism este mult mai bună (decât la modelul fără culbutor). Constructorul suedez a considerat chiar că se poate îmbunătăţii dinamica mecanismului clasic utilizat prin înlocuirea tachetului clasic cu talpă printr-unul cu rolă.
Fig. 1.4. Schema mecanismului de distribuţie Scania
(cu tachet cu rolă şi patru supape/cilindru).
Mecanismul de distribiţie Scania.
Camera de ardere modulară are o construcţie unică a sistemului de acţionare a supapelor. Arcurile supapelor exercită forţe mari pentru a asigura închiderea lor rapidă. Forţele pentru deschiderea lor sunt asigurate de tacheţi cu rolă acţionaţi de arborele cu came.
Economie: Tacheţii şi camele sunt mari, asigurând o acţionare lină şi precisă asupra supapelor. Aceasta se reflectă în consumul redus de combustibil.
Emisii poluante reduse: Acurateţea funcţionării mecanismului de distribuţie este un factor vital în eficienţa motorului şi în obţinerea unei combustii curate.
Cost de operare: Un beneficiu important adus de dimensiunile tacheţilor este rata scăzută a uzurii lor. Acest fapt reduce nevoia de reglaje. Funcţionarea supapelor rămâne constantă pentru o
21
perioada lungă de timp. Dacă sunt necesare reglaje, acestea pot fi făcute rapid şi uşor.
În figura 1.5 se pot vedea schemele cinematice ale mecanismului de distribuţie cu două (în stânga), respectiv cu patru (în dreapta) supape pe cilindru.
Fig. 1.5. Schemele cinematice ale mecanismului de distribuţie cu două (în stânga), respectiv cu patru (în dreapta) supape pe cilindru.
În figura 1.6 se poate vedea schema cinematică a unui mecanism cu distribuţie variabilă cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj (motor hibrid realizat de grupul Peugeot-Citroen în anul 2006).
22
Fig. 1.6. Schema cinematică a unui mecanism cu distribuţie variabilă cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj (motor hibrid realizat de grupul Peugeot-Citroen în anul 2006).
Fig. 1.7. Distribuţie cu 4 supape pe cilindru; prima camă deschide supapa normal iar a doua cu defazaj: în stânga se vede un motor Audi V-6, model-2007, iar în dreapta un Volkswagen normal cu 4 cilindri în linie verticali, model-2006.
23
Aproape toate modelele actuale s-au stabilizat la patru supape pe cilindru pentru a realiza astfel o distribuţie variabilă (vezi şi modelele concernului Volkswagen, figura 1.7.).
În 1971 K. Hain propune o metodă de optimizare a mecanismului cu camă pentru a obţine la ieşire un unghi de transmitere optim (maxim) şi o acceleraţie minimă [H4].
În 1979 F. Giordano investighează influenţa erorilor de măsurare în analiza cinematică a camei [G4].
În 1985 P. Antonescu prezintă o metodă analitică pentru sinteza mecanismului cu camă şi tachet plat [A11, A12, A13], şi a mecanismului cu tachet balansier [A26, A27, A28, A29, A30, A31, A32, A33, A34, A35, A36, A37].
În 1988 J. Angeles şi C. Lopez-Cajun prezintă sinteza optimală a mecanismului cu camă şi tachet plat oscilant [A20].
În 2001 Dinu Taraza analizează influenţa profilului sintetizat al camei, asupra variaţiei vitezei unghiulare a arborelui de distribuţie, şi asupra parametrilor de putere, sarcină, consum şi emisii ai motorului cu ardere internă [T10, T11, T12, T13].
În 2005 Fl. I. Petrescu şi R. V. Petrescu prezintă o metodă de sinteză a profilului camei rotative cu tachet de translaţie sau rotativ, plat sau cu rolă, pentru obţinerea unor randamente ridicate la ieşire [P33, P34, P35, P38].
24
CAP. 2
MODELE DINAMICE ALE MECANISMELOR CU CAME
2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă
În lucrarea [W1] se prezintă un model dinamic de bază, cu un singur grad de libertate, cu două resorturi şi cu dublă amortizare internă, pentru simularea mişcării mecanismului cu camă şi tachet (vezi fig. 2.1.) şi relaţiile de calcul (2.1-2.2).
yyxxx 11
2
1
2
222 22 (2.1)
M
cc
M
c
M
KK
M
K
)(2;2
;)(
;
2122
111
212
11
(2.2)
M
x
y
k2
k1
c2
c1
y= miscarea de intrare impusã de
profilul camei,
x= miscarea de iesire, a tachetului,
k1 si k2 reprezintã elasticitãtile siste-
mului, c1 si c2 amortizãrile din sistem
si M este masa redusã.
Fig. 2.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu dublă amortizare internă
25
Ecuaţia de mişcare a sistemului propus (2.1), utilizează
notaţiile (relaţiile) din sistemul (2.2); şireprezintă pulsaţiile proprii ale sistemului şi se calculează din sistemul de relaţii (2.2), în funcţie de elasticităţile K1 şi K2 ale sistemului din figura 2.1, cât şi în funcţie de masa redusă M, a sistemului.
2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă
În lucrarea [F1] este prezentat modelul dinamic de bază al unui mecanism cu camă, tachet şi supapă, cu două grade de libertate, fără amortizare internă (vezi fig. 2.2.).
zxy (2.3)
0112
2
)( sxKyKKdt
ydm (2.4)
zkxmxyKxmFn 1111 )( (2.5)
m
m1
k
k1
y
x
Model clasic, cu douã grade de libertate,
fãrã amortizãri si care tine cont de forta de
prestrângere s0 .
(2) reprezintã ecuatia de miscare a supapei
(3)reprezintã ecuatia de miscare a tachetu-
lui, din care se scoate si ecuatia de conti-
nuitate a miscãrii.
Fig. 2.2. Model dinamic cu două grade de libertate, fără amortizare internă
26
2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă
Un model dinamic cu ambele amortizãri din sistem, cea externã (a resortului supapei) si cea internã, este cel prezentat în lucrarea [J2], (vezi fig. 2.3.).
z
y
m
camă
masă
amortizare
internă
amortizare
externă
tachet
elasticitate
Fig. 2.3. Model dinamic cu un grad de libertate cu amortizare internă şi externă
2.4. Model dinamic cu un grad de libertate,
ţinând cont de amortizarea internă a resortului supapei
Un model dinamic cu un grad de libertate, generalizat, este prezentat în lucrarea [T7], (vezi fig. 2.4.):
ELASTICITATEA
ECHIVALENTA
A SISTEMULUI
K
MASA ECHIVALENTA A
SISTEMULUI
My, y, y
IESIRE
. ..
ELASTICITATEA
RESORTULUI
SUPAPEI,
Kr
AMORTIZAREA
RESORTULUI
SUPAPEI,
Cr
S
INTRARE
Fig. 2.4. Model dinamic cu un grad de libertate, ţinând cont de amortizarea internă a resortului supapei
27
Ecuaţia de mişcare se scrie sub forma (2.6):
SyK
KK
dt
dy
K
C
dt
yd
K
M rr
)(
2
2
(2.6)
Utilizând relaţia cunoscută (2.7) ecuaţia (2.6) ia forma (2.8):
KK
K
K
ydt
yd)( (2.7)
yyyS KCM ''' (2.8)
unde coeficienţii au forma (2.9):
KcuKK
KK
K
C
K
Mr
r
K
r
CM
,1)(
;;2 (2.9)
Reacţiunea verticală are forma:
PyKyCyMPySKF rrK ''')( 2 (2.10)
2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare
Tot în lucrarea [T7] se prezintă modelul cu două grade de libertate (vezi fig. 2.5.), cu dublă amortizare:
y2 , y2 , y2
. ..
S
y1 , y1 , y1
. ..
Cr2
K2
M2
M1
K1
Kr1
Kr2
Cr1
Fig. 2.5. Model dinamic cu două grade de libertate, cu dublă amortizare
28
Relaţiile de calcul utilizate sunt (2.11-2.16):
10
'
11
''
12
'''
13
''''
14 yPyPyPyPyPS (2.11)
4
21
21
4 KK
MMP (2.12)
3
21
2112
3
)(
KK
CMCMP rr
(2.13)
2
21
212211112
2
])()([
KK
CCKKKMKKMP rrrr
(2.14)
21
2211112
1
)]()([
KK
KKKCKKCP rrrr (2.15)
21
2121122111
0
)(
KK
KKKKKKKKKKP rrrrr
(2.16)
2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii torsionale
În lucrarea [S5] se propune un model dinamic cu 4 grade de libertate, obţinute astfel:
modelul are două mase în mişcare; acestea prin vibraţia verticală impun fiecare câte un grad de libertate; una din mase se consideră că vibrează şi transversal, generând încă un grad de libertate; iar ultimul grad de libertate, este generat de vibraţia torsională a arborelui cu came (vezi fig. 2.6.).
Relaţiile de calcul sunt (2.17-2.20).
Primele două ecuaţii rezolvă vibraţiile normale verticale, a treia ecuaţie ţine cont de vibraţia torsională a arborelui cu came,
29
iar ultima ecuaţie (independentă de celelalte), cea de-a patra, se ocupă numai de vibraţia transversală a sistemului.
)()(2 22111 tPKxxcxKkxcxM (2.17)
skscFKxxc
xkKxcxm
acv
ac
11
222 )(2 (2.18)
)'(''' 22 cssksxcsxksqkqcqJ acacrr (2.19)
ht Fukum (2.20)
M
m
Pk
K
kac
fr (q)
x1
x2
Fh Fv
kt
s()
kr
u
J
rt
t +q
f(x1 )
f(x1 ,x2 )
f(x2 , s ). .
.
. .
Fig. 2.6. Model dinamic cu patru grade de libertate cu vibraţii torsionale
2.6.1. Model dinamic monomasic amortizat
M
Pk
K
x
c
s
Fig. 2.7. Model dinamic monomasic amortizat
30
Tot în lucrarea [S5] este prezentat un model dinamic simplificat, monomasic amortizat (vezi fig. 2.7.).
Ecuaţia de mişcare folosită are forma (2.21):
PKsscxKkxcxM )( (2.21)
Care se poate scrie mai convenabil, (2.22):
FxyxyAx )()''('' 2
11 (2.22)
Unde coeficienţii A1, 12 şi F se calculează cu expresiile
date în relaţia (2.23):
0
2
0
2
02
1
0
1 ;)2(
;Ms
PtF
M
tkK
M
ctA
(2.23)
2.6.2. Model dinamic bimasic amortizat
În figura 2.8. este prezentat modelul bimasic propus în lucrarea [S5].
x1
M
m
Pk
K
kac
x2
s()
c
c
-Fv
c
Fig. 2.8. Model dinamic bimasic amortizat
Modelul matematic se scrie:
)()(2 22111 tPKxxcxKkxcxM (2.24)
31
skscF
KxxcxkKxcxm
acv
ac
11222 )(2
(2.25)
Ecuaţiile (2.24-2.25) se pot scrie sub forma:
FxxxxAx )()2( 12
2
1
'
1
'
21
''
1 (2.26)
)']('')1([
)()2'(
3211
2
1
2
2
2
'
1
'
21
''
2
yByBByFx
xyxxyAx
(2.27)
unde s-au folosit notaţiile (2.28):
m
M raportul celor două mase,
m
tk
m
tKk acac
2
0
2
02
2
)( pulsaţia proprie adimensională a
masei m,
033
0
02
211 ;; sBs
BB
(2.28)
2.6.3. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale
În figura 2.9. se poate vedea un model dinamic monomasic, care ţine cont şi de vibraţiile torsionale ale arborelui cu came [S5]:
r t
k
K
cr
s()
kr
J
t +q
c
M
P
x1
Fig. 2.9. Model dinamic monomasic cu vibraţii torsionale
32
Studiul evidenţiază faptul că vibraţiile torsionale ale arborelui cu came au o influenţă neglijabilă şi deci ele pot fi excluse din modelele de calcul dinamice.
Aceiaşi concluzie rezultă şi din lucrarea [S6] unde modelul cu torsiune este studiat mai amănunţit.
2.6.4. Influenţa vibraţiilor transversale
Elasticitatea tachetului, lungimea variabilă a tachetului în timpul funcţionării mecanismului cu came, variaţia unghiului de presiune, excentricitatea tachetului, frecările din cuplele cinematice, uzura cuplei de translaţie, erorile tehnologice şi de fabricaţie, jocurile din sistem şi alţi factori, sunt elemente care favorizează prezenţa unei vibraţii transversale a masei tachetului [S5].
În cazul unor vibraţii de amplitudine ridicată, parametrii de răspuns la ultimul element al sistemului urmăritor vor fi influenţaţi. Urmărind figura 2.10., se poate constata că dacă curba a, este traiectoria vârfului A, al tachetului, punctul A va ajunge periodic în punctul A’, caz în care cursa reală a tachetului yr , se va modifica după legea: yr=y-yv=y-u.tgv , unde y este deplasarea longitudinală a tachetului, u reprezintă deplasarea transversală a masei m, a tachetului, iar v este unghiul de presiune. Cursa reală a tachetului, yr, se va modifica după legea (2.29):
)(vutgyyyy vr (2.29)
Ecuaţia de mişcare (adimensională) se scrie (2.30):
)']('')1([)1(
'' 3121113
2
1 yByBByFyA
uAu
(2.30)
unde s-au notat cu (2.31) constantele adimensionale:
313121211111
023
2
01
;;
;;3
BfBBfBBfB
a
sA
ma
EItA
(2.31)
33
Tot în lucrarea [S5] se analizează influenţa diametrului tijei tachetului, a intervalului de ridicare, a lungimii maxime aflate în afara ghidajelor tachetului, a cursei maxime de ridicare, precum şi a diverselor profile de came, asupra traiectoriei punctului A.
Concluzii:
Se constată că reducerea diametrului tijei tachetului conduce la mărirea amplitudinii şi micşorarea frecvenţei medii a vibraţiilor transversale. Reducerea diametrului de 1.35 ori, conduce la creşterea amplitudinii de aproape trei ori, iar frecvenţa medie scade sensibil. Amplitudinile iniţiale sunt mai mari la începutul intervalului, către mijlocul intervalului de ridicare scad, oscilaţia devenind neînsemnată, iar către sfârşitul ridicării, din cauza reducerii lungimii a, prin scăderea cursei y, frecvenţa creşte şi în consecinţă amplitudinea scade de la dublu la simplu, faţă de începutul intervalului. Mărirea lungimii tachetului în afara ghidajelor sale de la 2.2 la 3 cm, conduce la creşterea amplitudinii vibraţiei de circa 25 ori. Legea de mişcare fără salturi în curba acceleraţiei de intrare reduce amplitudinea vibraţiei transversale a tachetului. Autorul lucrării [S5] menţionează că oricare ar fi influenţa parametrilor enumeraţi, pentru cazurile considerate, valorile amplitudinii rămân destul de mici, iar în cazul unor frecări reduse în cupla superioară, ele pot scădea şi mai mult. Prin urmare conchide autorul lucrării [S5], vibraţiile transversale ale tachetului există şi trebuie să atragă atenţia constructorului numai în cazul unor valori exagerate, ale constantelor care caracterizează aceste vibraţii. În ceea ce priveşte distribuţia motoarelor cu ardere internă, vibraţia transversală poate fi neglijată fără a se afecta parametrii de răspuns, realizaţi la supapă.
a
A
A’
uy
yv
v
R0
2.10. Influenţa vibraţiilor transversale
34
2.7. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere
În lucrarea [K3] este prezentat un model dinamic cu patru grade de libertate, având o singură masă oscilantă în mişcare de translaţie, care reprezintă unul dintre cele patru grade de libertate. Celelalte trei libertăţi rezultă dintr-o deformaţie de torsiune a arborelui cu came, o deformaţie de încovoiere pe verticală (z), tot a arborelui cu came şi o deformaţie de încovoiere a aceluiaşi arbore, pe orizontală (y), toate trei deformaţiile producându-se într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie (vezi fig. 2.11.).
Rb
R()
mx x
.
.
cx
y
z.
s
Fig. 2.11. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu vibraţii de încovoiere
Lucrarea [K3] este extrem de interesantă prin modelul pe care îl propune (se iau în studiu toate tipurile de deformaţii), dar mai ales prin ipoteza pe care o avansează şi anume: turaţia camei
nu este constantă, ci variabilă, viteza unghiulară a camei f)
fiind o funcţie de poziţia camei (unghiul de rotaţie al camei=).
Viteza unghiulară a camei este o funcţie de unghiul de
pozitie (pe care uzual îl notăm cu ), iar variaţia ei este cauzată de cele trei deformaţii (una de torsiune şi două încovoieri) ale
35
arborelui, cât şi de jocurile unghiulare existente între sursa motoare (de antrenare) şi arborele cu came.
Modelul matematic ţinând cont de flexibilitatea arborelui cu came este următorul; rigiditatea de legătură între camă şi tachet
este o funcţie de pozitia (unghiul de rotaţie al camei), vezi relaţia (2.32):
2]1
)(
1[
11
)(
1tg
CCCCC yzx
(2.32)
zxc CCC
111 (2.33)
Unde 1/Cc vezi (2.33) este o rigiditate constantă, dată de rigidităţile tachetului (Cx) şi a camei (Cz ) pe direcţia de lucru a tachetului.
yCCC
1
)(
1
)(
1
tan
(2.34)
Iar: 1/Ctan () vezi (2.34) reprezintă rigidităţile
tangenţiale, C fiind rigiditatea la torsiune a camei şi Cy rigiditatea
la încovoierea după axa y a camei, cu, C dată de relaţia (2.35) .
2)]([
)(
R
KC (2.35)
Cu (2.33) şi (2.34) relaţia (2.32) se rescrie sub forma (2.36):
)(
1
)(
1
tan
2
C
tg
CC c
(2.36)
Unde este unghiul de presiune, care în general e o
funcţie de , iar la tacheţii plaţi (folosiţi la mecanismele de
distribuţie), are valoarea constantă (zero): =0.
Ecuaţia de mişcare se scrie sub forma (2.37):
)().().(. hCxCxm (2.37)
36
unde h() este legea de mişcare impusă tachetului de către camă.
Unghiul de presiune, , influenţează astfel (2.38):
d
dh
Rtg
)(
1 (2.38)
Unde R(), este raza curentă, care dă poziţia camei (distanţa de la centrul camei la punctul de contact camă-tachet) şi se aproximează prin raza medie, R1/2. Relaţia (2.38) se poate pune sub forma (2.39); Unde raza medie, R1/2, se obţine cu formula (2.40):
s
h
Rtg
2/1
1 (2.39) mb hRR
2
12/1 (2.40)
Rb este raza cercului de bază, iar hm este cursa maximă proiectată a tachetului. Se obţine astfel o rază medie, care este
utilizată în calcule, pentru simplificări; s=viteza unghiulară a maşinii, constantă, dată de turaţia maşinii. Ecuaţia (2.37) se poate scrie acum:
])1
(1.[
])(.[
2
2/1tan s
c
c
h
RC
Cm
xthCx
(2.41)
Rezolvarea ecuaţiei (2.41) se face pentru =0, cu următoarele notaţii:
Perioada vibraţiei naturale se determină cu relaţia (2.42);
c
cC
mT 2 (2.42)
Raţia perioadei vibraţiei naturale se obţine cu formula (2.43);
m
c
t
T (2.43)
Panta în timpul ridicării camei (2.44) este;
37
m
m
mcR
htg
.2/1
(2.44)
Factorul rigidităţii arborelui se obţine cu formula (2.45);
mc
c
a tgC
CF 2
tan
(2.45)
Cu parametrii adimensionali daţi de (2.46);
2;;;; m
m
m
mmmm
th
xXt
h
hH
t
tT
h
xX
h
hH (2.46)
Ecuaţia de mişcare se scrie sub forma (2.47):
aFH
XHX
.1.)
2(
2
2
(2.47)
Curba nominală a camei este cunoscută (2.48) şi (2.49):
)(THH (2.48)
)(THH (2.49)
Cu (2.47), (2.48) şi (2.49) se calculează răspunsul dinamic printr-o metodă numerică.
Autorul lucrării [K3] dă un exemplu numeric, pentru o lege de mişcare, corespunzătoare camei cicloidale (2.50):
).2sin(2
1TTH
(2.50)
Lucrarea este interesantă mai ales prin modul în care reuşeşte (să cupleze) să transforme cele patru grade de libertate într-unul singur, utilizând în final o singură ecuaţie de mişcare după axa principală. Modelul dinamic prezentat poate fi utilizat integral sau numai parţial, astfel încât pe un alt model dinamic clasic sau nou, să se insereze, ideea utilizării deformaţiilor pe diferite axe, cu efectul lor cumulat pe o singură axă.
38
2.8. Modele dinamice cu amortizare internă variabilă
Dacă în general problema elasticităţilor este rezolvată, în problema amortizărilor sistemului lucrurile nu sunt clare şi bine puse la punct.
De obicei se consideră o valoare “c” constantă pentru amortizarea internă a sistemului şi uneori aceeaşi valoare c şi pentru amortizarea resortului elastic care susţine supapa. Aproximarea este însă mult forţată, ştiut fiind că, amortizarea resorturilor elastice este variabilă, iar pentru resorturile clasice, cilindrice, cu parametru de elasticitate (k) constant, cu deplasare liniară cu forţa, amortizarea este mică şi se poate considera zero. Trebuie să se facă specificaţia faptului că amortizarea nu înseamnă neapărat oprirea (sau opoziţia) mişcării, ci amortizare înseamnă consum de energie în scopul frânării mişcării (elementele elastice din cauciuc au o amortizare considerabilă; la fel şi amortizoarele hidraulice). Arcurile metalice elicoidale, au în general o amortizare mică (neglijabilă). Efectul de frânare pe care îl realizează aceste resorturi creşte odată cu constanta elastică (rigiditatea k a arcului) şi cu forţa de prestrângere (P0 ori F0 ) a resortului (altfel spus cu săgeata statică a arcului, x0 = P0 /k ). Energia se transformă în permanenţă dar nu se disipează (din acest motiv randamentul acestor resorturi este în general mai mare). În lucrările [A15] şi [A17] sunt prezentate două modele dinamice cu amortizarea internă a sistemului, c, variabilă. Determinarea amortizării interne a sistemului, c, are la bază comparaţia între coeficienţii ecuaţiei dinamice, scrisă în două moduri diferite, Newtonian şi Lagrangian.
2.8.1. Model dinamic cu un grad de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă –
În lucrarea [A15] se prezintă un model dinamic cu un grad de libertate, cu considerarea amortizării interne a sistemului (c), amortizare pentru care se consideră o funcţie specială. Mai exact se defineşte coeficientul de amortizare al sistemului (c), ca
39
parametru variabil depinzând de masa redusă a mecanismului (m* sau Jredus ) şi de timp, adică, c, depinde de derivata lui mredus în funcţie de timp. Ecuaţia de mişcare, diferenţială, a mecanismului, se scrie considerând deplasarea supapei ca răspuns dinamic.
2.8.1.1. Determinarea coeficientului de amortizare al mecanismului
Pornindu-se de la schema cinematică a mecanismului de distribuţie clasic (vezi figura 2.12.) se construieşte modelul dinamic monomasic (cu un singur grad de libertate), translant, cu amortizare variabilă (vezi figura 2.13.), a cărui ecuaţie de mişcare este:
0..).(. FxcxkxyKxM (2.51)
Ecuaţia (2.51) nu este altceva decât ecuaţia lui Newton, în care suma de forţe pe un element, pe o anumită direcţie (x), este egală cu zero.
Notaţiile din formula (2.51) sunt următoarele:
M- masa mecanismului redusă la supapă;
K- constanta elastică redusă a lanţului cinematic (rigiditatea lanţului cinematic);
k- constanta elastică a arcului supapei;
c- coeficientul de amortizare al întregului lanţ cinematic (amortizarea internă a sistemului);
F F0 – forţa elastică de prestrângere a arcului supapei;
x- deplasarea efectivă a supapei;
ys- legea de deplasare a tachetului (impusă de profilul camei) redusă la axa supapei.
Ecuaţia Newton (2.51) se ordonează astfel:
).().(.. 0 xkFxyKxcxM (2.52)
Totodată ecuaţia diferenţială a mecanismului se scrie şi sub forma Lagrange, (2.53), (Ecuaţia Lagrange).
40
rm FFxdt
dMxM
2
1. (2.53)
5 1
2
3
4
A
B
C
D
C0
O
Fig. 2.12. Schema cinematică a mecanismului clasic de distribuţie
M M
k
kx F
F(t) c .
cx
xx(t)
K(y-x)K
y(t)
camã
Fig. 2.13. Model dinamic monomasic, cu
amortizarea internă a sistemului variabilă.
Ecuaţia (2.53), care nu este altceva decât ecuaţia diferenţială Lagrange, permite ca prin identificarea coeficienţilor polinomului, cu cei ai polinomului Newtonian (2.52), să se obţină forţa rezistentă redusă la supapă (2.54), forţa motoare redusă la supapă (2.55), cât şi expresia lui c, adică expresia coeficientului variabil de amortizare internă, a sistemului, (2.56).
).(... 000 xxkxkxkxkFFr (2.54)
41
).().( xsKxyKFm (2.55)
dt
dMc .
2
1 (2.56)
Se obţine astfel o nouă formulă, (2.56), în care coeficientul de amortizare internă (a unui sistem dinamic), este egal cu jumătate din derivata cu timpul a masei reduse a sistemului dinamic respectiv.
Ecuaţia de mişcare Newton (2.51, sau 2.52), prin înlocuirea lui c, ia forma (2.57):
0.).(2
1. FyKxkKx
dt
dMxM (2.57)
În cazul mecanismului clasic, de distribuţie (din figura 2.12.), masa redusă, M, se calculează cu formula (2.58):
24
4
21
1
22
325 ).().()).((x
Jx
Jx
ymmmM
(2.58)
formulă în care sau utilizat următoarele notaţii:
m2 = masa tachetului;
m3 = masa tijei împingătoare;
m5 = masa supapei;
J1 = momentul de inerţie mecanic al camei;
J4 = momentul de inerţie mecanic al culbutorului;
2y = viteza tachetului impusă de legea de mişcare a
camei;
x = viteza supapei.
Dacă se notează i=i25 , raportul de transmitere tachet-supapă (realizat de pârghia culbutorului), viteza teoretică a supapei (impusă prin legea de mişcare dată de profilul camei), se calculează cu formula (2.59):
i
yyy 2
5
(2.59)
42
unde:
DC
CCi
0
0 (2.60)
este raportul braţelor culbutorului.
Se scriu următoarele relaţii:
'.1 xx (2.61)
''.2
1 xx (2.62)
'... 1
'
212 yiyy (2.63)
'
1
'.1
11
xxx
(2.64)
DC
y
DC
CC
CC
y
CC
iy
CC
y
CC
y
0
1
0
0
0
1
0
1
0
'
21
0
2
4
'.'.'...
(2.65)
'
'1
'..
'.
010
14
x
y
DCxDC
y
x
(2.66)
unde y’ este viteza redusă impusă tachetului (prin legea de mişcare a profilului camei), redusă la axa supapei.
Cu relaţiile anterioare (2.60), (2.63), (2.64), (2.66), relaţia (2.58) devine:
2
0
4
2
1
2
325
)'
'1.()
'
1.(
)'
'.).((
x
y
DCJ
xJ
x
yimmmM
(2.67)
sau:
2
1
2
2
0
4
32
2
5 )'
1.()
'
'].(
)().([
xJ
x
y
DC
JmmimM (2.68)
ori:
43
2
1
2
5 )'
1.()
'
'.(*
xJ
x
ymmM (2.69)
Facem derivata dM/d şi rezultă următoarele relaţii:
)'
''
'
''.()
'
'.(2)
'
''.'''.(
'
'.2
'
)''.'''.'(
'
'.2])
'
'[(
2
2
2
2
x
x
y
y
x
y
x
yxy
x
y
x
yxxy
x
y
d
x
yd
(2.70)
32
2
'
''.2
'
''.
'
2])
'
1[(
x
x
x
x
xd
xd
(2.71)
31
2
'
''..2)
'
''
'
''.()
'
'.(*.2
x
xJ
x
x
y
y
x
ym
d
dM
(2.72)
Se scrie relaţia (2.56) sub forma:
d
dMc
2 (2.73)
care cu (2.72) devine:
}'
''.)
'
''
'
''()
'
'(
])(
).({[
31
2
2
0
432
2
x
xJ
x
x
y
y
x
y
DC
Jmmic
(2.74)
deci
]'
''.)
'
''
'
''.()
'
'.(*.[
31
2
x
xJ
x
x
y
y
x
ymc (2.75)
unde s-a notat:
2
0
4
32
2
)().(*
DC
Jmmim (2.76)
44
2.8.1.2. Determinarea ecuaţiilor de mişcare
Cu relaţiile (2.69), (2.62), (2.75) şi (2.61) ecuaţia (2.52) se scrie mai întâi în forma (2.77), care se dezvoltă în formele (2.78), (2.79) şi (2.80):
0
2 .).('..''.. FyKxkKxcxM (2.77)
031
22
222
1
22
5
2
)('
''')
'
''
'
''()
'
'(
*''')'
1('')
'
'(*''
FyKxkKx
xJx
x
x
y
y
x
y
mxxx
Jxx
ymmx
(2.78)
adică:
0
2
2222
5
2
.).('
''.'.*.
''.)'
'.(*.)
'
''.('.*.''..
FyKxkKx
yym
xx
ym
x
yxmxm
(2.79)
şi forma finală:
0
2
5
2 .'
''.'.*.).(''.. FyKx
yymxkKxm (2.80)
care se mai poate scrie şi sub o altă formă:
05
2 .).()'
''.'.*''..( FyKxkKx
yymxm (2.81)
Ecuaţia (2.81) se poate aproxima la forma (2.82) dacă considerăm viteza teoretică, de intrare, y, impusă de profilul camei-tachetului (redusă la axa supapei), aproximativ egală cu viteza supapei, x.
05
2 .).()''.*''..( FyKxkKymxm (2.82)
Dacă se notează legile de intrare cu s, s’ (viteza redusă), s’’ (acceleraţia redusă), ecuaţia (2.82) ia forma (2.83), iar ecuaţia mai completă (2.81) capătă forma mai complexă (2.84):
45
05
2 .).()''.*''..( FsKxkKsmxm (2.83)
05
2 .).()'
''.'.*''..( FsKxkKx
ssmxm (2.84)
2.8.2. Model dinamic cu patru grade de libertate, cu amortizarea internă a sistemului - variabilă –
În lucrarea [A17] se prezintă un model dinamic cu amortizare variabilă ca şi cel din paragraful anterior, însă cu patru grade de mobilitate. Se face ipoteza existenţei a patru mase, în mişcare de translaţie în acelaşi timp (vezi fig. 2.14.). În fig. 2.14.a se prezintă schema cinematică a mecanismului clasic de distribuţie, iar în fig. 2.14.b este prezentat modelul dinamic aferent, cu patru mase în mişcare, deci cu patru grade de libertate. Modul în care se deduc cele patru mase dinamice, cât şi constantele elastice aferente, ca şi cele de amortizare corespunzătoare va fi prezentat în paragraful următor.
O1 m1 ,k1
m2 ,k2
m3 ,k3
A
B
CD
O4
m4 ,k4
m5 ,k5
m6 ,k6
m1 *
m4 *
m2 *
m3 *
Fe
F0
k1 *
k2 *
k3 *
k4 * c4
c2
c3
c1
a) b)
y1
y2
y3
y4 = x
Fig. 2.14. Model dinamic cu patru grade de libertate,
cu amortizarea internă a sistemului – variabilă –
46
2.8.2.1. Ecuaţiile de mişcare pentru modelul dinamic cu patru mase
Se consideră modelul dinamic cu patru grade de libertate (fig. 2.14.), la care cele patru mase reduse la elementul condus (supapa) se calculează cu formulele (2.85).
Masa m1* se calculează ca fiind masa m1 (masa camei) care se reduce la axa supapei, adică această masă m1, se înmulţeşte cu
viteza teoretică de intrare, cy1 , ridicată la pătrat şi se împarte cu
pătratul vitezei supapei, 2x , mai exact se face raportul între viteza
de intrare la camă, cy1 şi viteza supapei, x , şi se ridică la pătrat,
iar acest raport la pătrat se înmulţeşte cu masa m1.
Cum viteza de intrare, cy1 , trebuie să fie şi ea redusă la
axa supapei, în locul ei se va scrie viteza de intrare redusă la axa
supapei, 1y , înmulţită cu raportul de transmitere al culbutorului,
i, adică avem relaţia 11 .yiy c , iar viteza la pătrat 2
1cy , se va
înlocui cu 2
1
2 .yi , urmând a nota acest i2 înmulţit cu masa m1 cu
m1’. Pentru masa m2* se consideră masa tachetului, m2, plus o treime din masa tijei împingătoare, m3, iar viteza corespunzătoare,
2y , este practic viteza dinamică, reală, a tachetului, redusă la axa
supapei.
Masa m3* corespunde tijei împingătoare şi este formată din două treimi rămase ale masei tijei împingătoare, m3, plus
jumătate din masa culbutorului, m4; viteza 3y , este viteza medie
reală, cu care se va deplasa tija împingătoare pe axa verticală redusă la axa supapei, sau viteza culbutorului în punctul C redusă la axa supapei.
Masa m4* este obţinută din toate masele însumate de pe lateralitatea supapei, adică jumătate din masa culbutorului, plus masa m5 (care reprezintă la rândul ei suma dintre masa supapei şi masa talerului supapei), plus o treime din masa m6, a arcului
supapei. Viteza supapei (evident la axa sa) a fost notată cu x .
47
'
4654
*
4
23'
3
232
43
*
3
22'
2
222
32
*
2
21'
1
212
1
*
1
.3
1.
2
1
;).().()..2
1.
3
2(
;).().()..3
1(
;).().(.
mmmmm
x
ym
x
yimmm
x
ym
x
yimmm
x
ym
x
yimm
(2.85)
în care i = O4C / O4D (vezi fig. 2.14.) reprezintă raportul de transmitere al culbutorului; m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 sunt în ordine: masa camei, a tachetului, a tijei împingătoare, a culbutorului, a supapei (cu tot cu taler) şi respectiv a arcului supapei. Se precizează următoarele constante elastice (vezi fig. 2.14.) echivalente reduse la supapă (2.86):
6
*
44
*
3
2
3
*
2
2
21
21*
1 ;;.;..
KKKKiKKiKK
KKK
(2.86)
unde k1, k2, k3, k4, k6, sunt rigidităţile (constantele elastice ale) elementelor corespunzătoare. Constanta elastică a supapei nu intră în discuţie. Se menţionează că F0 este forţa exterioară, cunoscută ca forţa de prestrângere a arcului supapei, iar Fe este forţa de echilibrare la supapă, practic forţa motoare. În continuare se va neglija influenţa momentelor de inerţie mecanice (masice), a forţelor de greutate şi a forţelor de frecare. Urmărind echilibrul dinamic pentru fiecare masă redusă în parte se scriu patru ecuaţii de forma:
0..).( 111
*
121
*
1 ycymFyyK e (2.87)
0..).().( 222
*
221
*
132
*
2 ycymyyKyyK (2.88)
0..).().( 333
*
332
*
23
*
3 ycymyyKxyK (2.89)
0..).(. 4
*
403
*
3
*
4 xcxmFxyKxK (2.90)
Deplasările liniare y1 , y2 , y3 , y4 =x corespund maselor reduse m1*, m2*, m3*, m4*.
48
În ipoteza că deplasarea y1 este cunoscută din legea de
mişcare y1 = y1 (), impusă tachetului la proiectarea camei, rămân ca necunoscute deplasările y2, y3, x şi forţa de echilibrare Fe, adică forţa motoare Fm.
În acest caz se observă că ecuaţiile (2.88), (2.89) şi (2.90) formează un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute y2 , y3 , x. După calculul celor trei deplasări se obţine din ecuaţia (2.87) forţa de echilibrare Fe .
Practic, sistemul nu este liniar deoarece, pe lângă necunoscutele date de cele trei deplasări, avem ca necunoscute suplimentare şi vitezele şi acceleraţiile derivate din deplasările necunoscute, adică în mod practic necunoscutele vor fi zece iar ecuaţiile întregului sistem numai patru.
d
dM
dt
dMc .
2.
2
1 1 (2.91)
Pentru rezolvarea efectivă a sistemului de ecuaţii (2.87)-(2.90), se determină coeficienţii de amortizare c1, c2, c3, c4, cu formula (2.91), deja cunoscută de la sistemul cu un grad de libertate şi cu sistemul de mase (2.85), astfel:
)..
.(.2
13
2
1
2
11'
1
*
1
1x
xy
x
yym
dt
dmc
(2.92)
)..
.(.2
13
2
2
2
22'
2
*
2
2x
xy
x
yym
dt
dmc
(2.93)
)..
.(.2
13
2
3
2
33'
3
*
3
3x
xy
x
yym
dt
dmc
(2.94)
0.2
1*
4
4 dt
dmc (2.95)
care se mai pot scrie şi sub forma (2.96-2.99):
).().(1
121'
11x
x
y
y
x
ymc
(2.96)
49
).().(2
222'
22x
x
y
y
x
ymc
(2.97)
).().(3
323'
33x
x
y
y
x
ymc
(2.98)
04 c (2.99)
Cu ajutorul relaţiilor (2.96-2.99) şi cu sistemul (2.85) se pot obţine imediat relaţiile (2.100-2.103):
)..()..().(. 1
1
*
1
1
1
21'
111 xx
yymx
x
yy
x
ymyc
(2.100)
)..()..().(. 2
2
*
2
2
2
22'
222 xx
yymx
x
yy
x
ymyc
(2.101)
)..()..().(. 3
3
*
3
3
3
23'
333 xx
yymx
x
yy
x
ymyc
(2.102)
0.. 444 xcyc (2.103)
Ţinând seama de relaţiile (2.100-2.103), ecuaţiile (2.87-2.90) se rescriu sub forma următoare (2.104-2.107):
0.).(.).(.2
..
31'
11
21'
1
2
*
11
*
1
xx
ymy
x
ym
FyKyK e
(2.104)
0.).(.).(.2
.).(.
32'
22
22'
2
3
*
22
*
2
*
11
*
1
xx
ymy
x
ym
yKyKKyK
(2.105)
0.).(.).(.2
.).(.
33'
33
23'
3
*
33
*
3
*
22
*
2
xx
ymy
x
ym
xKyKKyK
(2.106)
0.).(. 0
'
4
*
4
*
33
*
3 FxmxKKyK (2.107)
50
Cu sistemul de ecuaţii (2.104-2.107) se rezolvă modelul dinamic prezentat în figura 2.14., având în vedere faptul că sistemul este neliniar şi pe lângă cele patru necunoscute principale, y2, y3, x, Fe, mai apar încă şase necunoscute
.,,,,, 3322 xxyyyy care sunt dependente însă între ele şi
depind deasemenea de deplasările liniare, y2, y3, respectiv x.
Sistemul se simplifică foarte mult dacă considerăm cele trei viteze aproximativ egale între ele şi egale cu viteza cunoscută
de intrare, 1y ; în acest caz sistemul de ecuaţii (2.104 – 2.107) se
simplifică considerabil, luând forma (2.108-2.111):
0...2.. '
11
'
12
*
11
*
1 xmymFyKyK e (2.108)
0...2
.).(.
'
22
'
2
3
*
22
*
2
*
11
*
1
xmym
yKyKKyK
(2.109)
0...2.
).(.
'
33
'
3
*
3
3
*
3
*
22
*
2
xmymxK
yKKyK
(2.110)
0.).(. 0
'
4
*
4
*
33
*
3 FxmxKKyK (2.111)
51
CAP. 3
DINAMICA GENERALĂ A MECANISMELOR
CU CAMĂ ŞI TACHET, EXEMPLIFICATĂ PE
MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE
3.1. Cinematica exactă, la mecanismul clasic de distribuţie
În lucrările [P22], [P23], [P25], [P26], [P27], [P29], se prezintă câteva modalităţi de sinteză a mecanismelor cu camă şi tachet. Pornind de la metoda de sinteză prin utilizarea coordonatelor polare (sau metoda triunghiurilor), pentru mecanismul clasic de distribuţie (Modulul C), se urmăreşte în continuare cinematica mecanismului clasic de distribuţie, mai exact cinematica la Modulul C, adică la mecanismul cu camă de rotaţie şi tachet de translanţie plat (cu talpă), vezi (fig. 3.1.) şi relaţiile de calcul (3.0-3.27).
O
Ai
r0=s0
s
s’
rA
A0
1v
2v
12v
B
C
D
A0i
Fig. 3.1. Cinematica la mecanismul clasic de distribuţie
52
În figura 3.1. este prezentată schema cinematică a mecanismului clasic de distribuţie, în două poziţii consecutive; cu linie întreruptă este reprezentată poziţia particulară când tachetul se află în planul cel mai jos, (s=0), iar cama, care se roteşte în sens
orar cu viteza unghiulară constantă, , se situează în punctul A0, adică în punctul de racordare dintre profilele de bază şi de urcare, punct particular care marchează începutul urcării tachetului, datorită ridicării profilului camei; cu linie continuă este reprezentată cupla superioară într-o poziţie oarecare aparţinând fazei de ridicare.
Punctul A0 marchează deci, poziţia iniţială a cuplei, reprezentând în acelaşi timp şi punctul de contact dintre camă şi
tachet în poziţia iniţială. Cama se roteşte cu viteza unghiulară , viteză constantă ce caracterizează arborele cu came (mişcarea arborelui de distribuţie).
Cama se roteşte deci cu viteza , parcurgând unghiul , care arată cum cercul de bază s-a rotit în sens orar, solidar cu arborele; rotaţia se poate urmări pe cercul de bază între cele două puncte particulare, A0 şi A0i.
În acest timp vectorul rA=OA (care reprezintă distanţa de la centrul camei, O, până la punctul de contact A, dintre camă
şi tachet), se roteşte în sens invers (trigonometric) cu unghiul .
Dacă măsurăm unghiul , care poziţionează vectorul general rA în funcţie de vectorul particular rA0 (care arată distanţa de la centrul camei, O, la punctul de racordare A0 dintre profilul de bază şi cel de ridicare, vector care se roteşte şi el odată cu
cama), observăm faptul că valoarea lui este de fapt suma dintre
cele două unghiuri care se rotesc în sensuri opuse, şi .
De fapt acest unghi se măsoară trigonometric, de la vectorul rA0 la vectorul rA, fapt care ne obligă să măsurăm unghiul
tot trigonometric, de la vectorul rA0 aflat într-o poziţie oarecare i, la vectorul rA0 din poziţia iniţială (corespunzător axei verticale);
aşadar şi unghiul se va măsura tot trigonometric, invers rotaţiei, adică în sensul care descrie trasarea profilului camei.
Putem exprima acum relaţia (3.0):
53
(3.0)
Practic dacă rA este modulul (lungimea variabilă a)
vectorului Ar
, A reprezintă unghiul de fază al vectorului Ar
.
Adică rA şi A sunt coordonatele polare ale vectorului Ar
.
Viteza de rotaţie a vectorului Ar
este A şi este o funcţie
de viteza unghiulară a camei, (adică de turaţia camei), dar şi de
unghiul , prin intermediul legilor de mişcare s(), s’(), s’’().
Din punct de vedere cinematic definim următoarele viteze (vezi fig. 3.1.):
1v
=viteza camei; este de fapt viteza punctului A cu
vectorul Ar
, astfel încât nu este corect să scriem relaţia (3.1), dar
este valabilă relaţia (3.2) pentru determinarea precisă a vitezei de intrare, v1:
.1 Arv (3.1)
AArv .1 (3.2)
Relaţia (3.2) exprimă modulul exact al vitezei de intrare,
cunoscută, 1v
.
Viteza 1v
=AC se descompune în vitezele 2v
=BC (viteza
tachetului care acţionează pe axa acestuia, pe direcţie verticală) şi
12v
=AB (viteza de alunecare dintre profile, viteza de alunecare
dintre camă şi tachet, care lucrează pe direcţia tangentei comune la cele două profile dusă în punctul de contact).
Cum deobicei cama (profilul camei) se construieşte cu AD=s’, pentru modulul clasic, C, putem scrie relaţiile:
22
0
2 ')( ssrrA (3.3)
22
0 ')( ssrrA (3.4)
54
22
0
00
')(cos
ssr
sr
r
sr
A
(3.5)
22
0 ')(
''sin
ssr
s
r
s
r
AD
AA (3.6)
A
A
AA sr
srvv '.
'..sin.12 (3.7)
Se credea că viteza tachetului se poate scrie; v2=s’., dar iată că în realitate cama (mecanismul cu camă şi tachet) impune o funcţie de transmitere (în funcţie de tipul cuplei).
La mecanismul clasic de distribuţie, funcţia de transmitere este reprezentată printr-un parametru D, conform relaţiilor (3.8-3.9):
A
A DD
. (3.8)
.'.'.2 Dssv A (3.9)
Determinarea vitezei de alunecare dintre profile se face cu ajutorul relaţiei (3.10):
A
A
AA srr
srrvv ).(..cos. 0
0
112
(3.10)
Unghiurile şi A vor fi determinate în continuare,
împreună şi cu derivatele lor de ordinul 1 şi 2.
Unghiul se determină din triunghiul ODAi (vezi fig. 3.1.) cu relaţiile (3.11-3.13):
22
0 ')(
'sin
ssr
s
(3.11)
22
0
0
')(cos
ssr
sr
(3.12)
55
sr
stg
0
' (3.13)
Derivăm (3.11) în funcţie de unghiul şi obţinem (3.14):
22
0
0
')(
'''.').('.'.'
cos'.ssr
r
ssssrsrs
A
A
(3.14)
Relaţia (3.14) se scrie sub forma (3.15):
22
0
22
0
2
0
222
0
')(].')[(
''.').('''.')'.('cos'.
ssrssr
sssrssssrs
(3.15)
Din relaţia (3.12) scoatem valoarea lui cos şi o introducem în termenul stâng al expresiei (3.15); apoi se reduc s’’.s’2 din termenul drept al expresiei (3.15) şi obţinem o relaţie de forma (3.16):
22
0
22
0
2
00
22
0
0
')(].')[(
]')'.(').[(
')('.
ssrssr
ssrssr
ssr
sr
(3.16)
După simplificări obţinem în final relaţia (3.17) care
reprezintă expresia lui ’:
22
0
2
0
')(
')'.(''
ssr
ssrs
(3.17)
Acum, când avem ’ explicitat, putem determina imediat derivatele următoare, pentru moment limitându-ne la derivata de
ordinul 2, ’’ (aşa cum se va observa în cadrul unor modele dinamice prezentate ulterior, vor mai fi necesare încă cel puţin
două derivate, ’’’ şi IV). Expresia (3.17) se derivează direct şi obţinem pentru început relaţia (3.18):
222
0
0
2
0
22
00
]')[(
]'''')][(')(''[2]')][('''2''')('''[''
ssr
ssssrssrsssrsssssrs
(3.18)
Se reduc parţial termenii s’.s’’ din prima paranteză de la numărător, după care se scoate s’ din a patra paranteză de la numărător în factor comun şi obţinem expresia (3.19):
56
222
0
0
2
0
22
00
]')[(
]''].[')'.(''.[.2]')].[('''.)'.(''[''
ssr
ssrssrssssrsssrs
(3.19)
Acum se poate calcula A, cu primele două derivate ale
sale, A şi A
. Pentru simplificare în loc de A se va scrie simplu,
. Din figura 3.1. se observă imediat relaţia (3.20), care este o reluare a primei expresii prezentate în acest capitol, expresia (3.0):
(3.20)
Derivăm (3.20) şi obţinem relaţia (3.21):
.)'1.('. D (3.21)
Derivăm a doua oară (3.20), adică derivăm (3.21) şi obţinem (3.22):
22 ''' D (3.22)
Se observă faptul că funcţia de transmitere a mişcării, la modulul clasic (C), se poate scrie acum sub forma (3.23-3.24):
1'D (3.23)
''ID (3.24)
Viteza tachetului pe care deja am demonstrat-o anterior, se obţine cu ajutorul funcţiei de transmitere, D, conform relaţiei (3.25):
DsDssswsv A ''''2 (3.25)
Iată că în realitate viteza tachetului este produsul lui s’ nu
cu , ci cu o viteză unghiulară variabilă, w, care însă se poate exprima sub forma unui produs dintre o variabilă D şi viteza
unghiulară constantă, , (vezi relaţia 3.26).
.Dw (3.26)
Această relaţie generală lucrează în cazul tuturor mecanismelor cu camă şi tachet, iar pentru mecanismul clasic de
distribuţie (Modul C), variabila w este identică cu A (vezi relaţia
3.25). De exemplu, la modulul B (mecanismul cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă), funcţia de transmitere este mult mai
57
complexă, cum se poate vedea în cadrul capitolului 5, fapt care conduce şi la derivate ale ei mult mai complexe, deoarece dacă obţinerea funcţiei de transmitere, D, la modulul B, este dificilă, deja prima ei derivată, D’, se obţine cu multă trudă, iar pentru D’’ şi D’’’ volumul de muncă este considerabil. Dacă viteza reală (chiar cinematic, nu numai dinamic) a tachetului, la modulul clasic
C, este .'.2 Dsvy , putem determina imediat şi acceleraţia
reală a tachetului (vezi relaţia 3.27), prin derivarea lui v2 în funcţie de timp.
2
2 )''''( DsDsay (3.27)
Rezultă de aici că pentru determinarea acceleraţiei reale a tachetului, sunt necesare atât s’ şi s’’, cât şi D şi D’, iar pentru
obţinerea lui D respectiv D’ sunt necesare variabilele ’ şi
respectiv ’’.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 50 100 150 200
Vclasic[m/s]
Vprecis[m/s]
Fig. 3.2.a Comparaţie între cinematica clasică şi cea propusă în prezenta lucrare; a-viteze ale tachetului.
58
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
0 50 100 150 200
a2clasic[m/s2]
a2precis[m/s2]
Fig. 3.2.b Comparaţie între cinematica clasică şi cea propusă în prezenta lucrare; b-acceleraţii ale tachetului.
Numai când se trasează diagramele v2 şi a2 în funcţie de unghiul
, calculate cinematic precis, pe baza relaţiilor (3.25) şi respectiv (3.27), avem impresia unei viteze şi a unei acceleraţii cu aspecte dinamice (vezi diagramele din figura 3.2.a-b).
Calculele care au stat la baza trasării diagramelor comparative, se bazează pe legea SINus, o turaţie a arborelui
motor de n=5500 [rot/min], un unghi de urcare u=75 [grade] egal cu cel de coborâre, o rază a cercului de bază r0=17 [mm] şi o cursă maximă a tachetului hT=6[mm].
Totuşi dinamica este mult mai complexă, ţinând cont şi de masele şi momentele inerţiale, de forţele rezistente şi motoare ale mecanismului, de amortizările şi elasticităţile întregului lanţ cinematic, de forţele de inerţie din sistem, de turaţia
mecanismului, de variaţia vitezei unghiulare (considerată în
general constantă) cu poziţia a camei dar şi cu turaţia n a arborelui motor, cât şi de randamentul mecanic al întregului mecanism.
Influenţa forţelor de greutate şi a pierderilor datorate frecărilor din cuple nu se iau în consideraţie.
59
3.2. Coeficientul TF la modulul clasic C
În continuare se va prezenta o metodă exactă de calcul a coeficientului TF la mecanismele de distribuţie clasice, cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu talpă (tachet de translaţie plat), adică la Modulul clasic de distribuţie, Modulul C; a se vedea şi lucrările [P30], [P31], [P32], [P33], [P34-P38].
În figura 3.3. se poate urmări modul de calcul al coeficientului de transmitere a forţei (CTF), la mecanismul clasic de distribuţie, cu determinarea vitezelor principale din cuplă şi a forţelor principale din cuplă, cu care se calculează puterile principale şi pe baza lor randamentul mecanic al cuplei cinematice superioare (camă-tachet).
O
A
r0
s
s’
rA
1v
2v
12v B
C
D
F mF
cF F
E
Fig. 3.3. Determinarea coeficientului TF
la Modulul C. Forţe şi viteze.
Forţa motoare consumată, Fc, sau forţa motoare de intrare, adică forţa motoare redusă la camă (forţa motoare redusă la arborele de distribuţie), perpendiculară în A pe vectorul rA, se împarte în două componente perpendiculare între ele: Forţa Fm,
60
care reprezintă forţa motoare redusă la tachet, sau forţa utilă şi acţionează pe verticală (de jos în sus pe porţiunea de ridicare), ea fiind forţa care mişcă tachetul pe porţiunea de ridicare şi care este
opusă forţei rezistente redusă la tachet; Forţa F, care acţionează pe orizontală şi produce alunecarea dintre cele două profile (camă-tachet), provocând pierderile din sistem datorate alunecărilor dintre profile.
Se pot scrie următoarele relaţii:
sin.cm FF (3.28)
sin.12 vv (3.29)
2
12 sin... vFvFP cmu (3.30)
1.vFP cc (3.31)
22
1
2
1 cossin.
sin..
vF
vF
P
P
c
c
c
u
i (3.32)
cos.cFF (3.33)
cos.112 vv (3.34)
2
112 cos... vFvFP c (3.35)
22
1
2
1 sincos.
cos..
vF
vF
P
P
c
c
c
i (3.36)
Unde Pc este puterea totală consumată, Pu=Pm reprezintă
puterea utilă, P este puterea pierdută, i este coeficientul TF
instantaneu al mecanismului, iar i reprezintă coeficientul instantaneu al pierderilor din mecanism.
Se ştie că suma dintre i şi i trebuie să fie 1, iar dacă facem această verificare ea apare ca adevărată imediat (vezi relaţia 3.37):
1sincoscossin 2222 ii (3.37)
61
Determinarea coeficientului TF total, pentru cursa de urcare de exemplu, se face prin integrarea coeficientului TF instantaneu, pe porţiunea de ridicare, conform relaţiilor (3.38-3.48), vezi şi lucrarea [P30]:
M
m
di
..1
(3.38)
M
m
d
.sin.1 2
(3.39)
M
m
d
.sin.2..2
1 2 (3.40)
M
m
d
)]..2cos(1[..2
1 (3.41)
M
m
)].2sin(.2
1.[
.2
1
(3.42)
)]}.2sin().2.[sin(2
1.{
.2
1mM
(3.43)
.4
).2sin().2sin(
2
1 Mm (3.44)
0m (3.45)
M
M
.4
).2sin(
2
1 (3.46)
M
MM
M
MM
.2
cos.sin
2
1
.4
cos.sin.2
2
1 (3.47)
}]').[(
').(1{5.0
22
0
0
MM
MM
ssr
ssr
M
(3.48)
62
Se determină M şi valorile corespunzătoare ale lui Ms şi
Ms ' , după care se calculează, uşor, coeficientul TF total al
mecanismului, pentru cursa de urcare, cu relaţia (3.48).
Dificultatea constă în determinarea matematică a valorii M, fapt
pentru care în practică se aproximează M
s ' cu s’ la mijlocul
intervalului de ridicare şi cu valorile s şi care îi corespund, sau se extrag aceste valori prin tabelare.
În cadrul prezentei lucrări, în toate programele utilizate, s-a folosit metoda integrării aproximative, prin însumarea valorilor instantanee, pe intervalul considerat şi prin medierea lor aritmetică. Această metodă mult mai rapidă, generează rezultate foarte apropiate de cele reale, fiind totodată şi mai rapidă şi mai directă, integrarea (însumarea) putându-se face separat pe intervalele de urcare şi apoi de coborâre, sau direct pe tot intervalul ridicare plus revenire. (Metoda constă practic în calcularea mediei aritmetice a valorilor instantanee ale coeficienţilor TF direct pe intervalul dorit).
3.3. Sinteza profilului camei, la modulul clasic C
În continuare se va prezenta o metodă exactă de sinteză a profilului camei, pentru mecanismul clasic de distribuţie (Modulul C); a se urmări şi lucrările: [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [A11], [A12], [A13], [A14], [A15], [A16], [A17], [A18], [A26].
Deoarece se cunosc acum coordonatele polare ale
punctului A (rA şi A), punct care determină profilul efectiv al camei, pentru a putea trasa mai uşor, (printr-o metodă analitică), profilul camei, vom determina coordonatele carteziene corespunzătoare, xA, yA (a se vedea relaţiile 3.49-3.52):
AAA rx cos. (3.49)
AAA ry sin. (3.50)
63
sin'.cos).(
]sin.sincos..[cos)cos(.
0 ssr
rrx AAA
(3.51)
sin).(cos'.
]cos.sincos..[sin)sin(.
0 srs
rry AAA
(3.52)
Observaţii:
Profilul se construieşte în mod normal de la dreapta spre stânga (adică trigonometric) şi pentru ca primul profil construit să fie cel de urcare (de ridicare), este necesar ca la proiectare sensul de rotaţie să fie cel orar (vezi figura 3.1.); acest sens (cel orar), trebuie păstrat şi în funcţionare. În cazul în care dorim să construim o camă care să se rotească invers (adică să funcţioneze trigonometric), va fi necesară răsucirea camei în planul ei cu 1800 (ca şi cum am întoarce foaia pe care este desenată cama pe verso şi am privi profilul camei care acum este schimbat; în acest caz axa Ox nu se mai construieşte spre dreapta planului, ci spre stânga lui, adică axa absciselor nu mai apare în plan la răsărit ci la apus, în vreme ce axa ordonatelor, Oy, se construieşte întotdeauna normal către Nord; altfel spus, sistemul drept se înlocuieşte cu unul stâng).
Dacă legile de mişcare, s, s’, s’’, s’’’, sIV, sV, etc..., pentru
profilul de urcare sau cel de coborâre, se pot defini cu o valoare
locală, 1, sau 3, 1[0,u], respectiv 3[0,c], pentru
proiectarea profilului efectiv al camei, se va utiliza unghiul propriuzis, care variază de la 0 la 3600; astfel pentru cursa de
ridicare, unghiul este identic cu unghiul 1, adică 1[0, u]; pentru intervalul de staţionare superioară (pe cercul de vârf),
unghiul este egal cu 1M+2u+2, adică [u, u+sv]; la
coborâre (la revenirea tachetului pe cercul de bază), unghiul ia
valori în continuare de la u+sv până la u+sv+c, în timp ce
pe acelaşi interval unghiul de coborâre 3 variază de la 0 la c,
adică la coborâre 3[0,c] iar [u+sv, u+sv+c]; pe ultima
porţiune, în care tachetul staţionează pe cercul de bază, 4[0,
sb], iar [u+sv+c, u+sv+c+sb], sau [u+sv+c,
2.].
64
Unghiul care apare în relaţiile (3.51, 3.52) de sinteză a profilului camei, este deci un unghi global, care variază de la 00 la
3600 [adică de la 0 la 2.] şi nu trebuie confundat cu unghiurile
locale, care trebuiesc notate cu 1, 2, 3, 4, deşi uzual ele se
notează tot cu .
Unghiul se foloseşte pentru sinteza profilului camei, iar
unghiurile 1, 2, 3, 4, se utilizează la scrierea legilor de mişcare.
Se poate folosi şi la determinarea legilor de mişcare tot
unghiul general , caz în care se evită neînţelegerile ce ar putea să apară, dar relaţiile vor fi mai complicate deoarece introducem în sisteme constante suplimentare, care altfel puteau fi eliminate pentru a nu complica prea mult relaţiile de calcul.
În continuare se prezintă două profile de camă Modul C, unul SINus şi altul COSinus.
-2 0
-1 5
-1 0
-5
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
-2 0 -1 0 0 1 0 2 0
P rofil cam ã-sens rota tie ora r-dec i profi lu l din dreapta
este ce l de urca re . M odu l c las ic C.
S uportã o turatie
n=5500 [ro t/min]
u= c=75[g rad]
r0=17 [m m ]
hT=6 [m m]
=6 .7%
legea :s in
y=x-sin(2 x)/(2 )
a) b)
Fig. 3.4. Profile de camă Modul C.
a)profil SIN; b)profil COS
65
3.4. Rezolvarea aproximativă a ecuaţiei de mişcare Lagrange
În cadrul studiului cinematic şi cinetostatic al
mecanismelor [A1-A30], [C17], [G11], [M15], [T9], [H11, U1,
V3], se consideră viteza de rotaţie a arborelui de intrare
(manivela), constantă, =constant, iar acceleraţia
unghiulară corespunzătoare, nulă, 0 .
În realitate, datorită maselor şi momentelor inerţiale,
dar şi a momentelor motoare şi rezistente, această viteză
unghiulară nu este constantă, ci variază în funcţie de poziţia
a arborelui respectiv.
Mecanismele cu camă şi tachet se supun şi ele acestei
legi, astfel încât vom urmări ecuaţia generală Lagrange, scrisă
sub formă diferenţială, şi modul ei general de rezolvare.
Ecuaţia Lagrange, scrisă sub formă diferenţială
(denumită şi ecuaţia maşinii), are forma (3.53):
*2** ..
2
1. MJJ I (3.53)
unde J* este momentul de inerţie (momentul masic, sau
mecanic) al mecanismului, redus la manivelă, iar M* reprezintă
momentul motor redus minus momentul rezistent redus, reduse
la manivelă; unghiul reprezintă unghiul de rotaţie al
manivelei. J*I reprezintă derivata momentului mecanic în
funcţie de unghiul de rotaţie al manivelei.
Ld
dJJ I
** .
2
1.
2
1 (3.54)
Dacă utilizăm notaţia (3.54), ecuaţia (3.53) se rescrie
sub forma (3.55):
*2* .. MLJ (3.55)
Împărţim ambii termeni la J* şi (3.55) ia forma (3.56):
66
*
*2
*.
J
M
J
L (3.56)
Trecem termenul cu 2 în dreapta şi obţinem (3.57):
2
**
*
. J
L
J
M (3.57)
Prelucrăm termenul din stânga ecuaţiei sub forma
(3.58), după care îl introducem în (3.57) şi obţinem forma
(3.59):
...
d
d
d
d
dt
d
d
d
dt
d
(3.58)
*
2*2
**
* ...
J
LM
J
L
J
M
d
d
(3.59)
Deoarece, pentru un anumit unghi , variază de la
valoarea nominală constantă n la valoarea , putem scrie
relaţia (3.60), unde d reprezintă variaţia instantanee pentru un
anumit , ea fiind o variabilă de , care adăugată la constanta
n conduce la variabila căutată, :
dn (3.60)
În relaţia (3.60), şi d sunt funcţii de unghiul , iar
n este un parametru constant, care poate lua diferite valori în
funcţie de turaţia arborelui conducător, n. La un moment dat,
turaţia n este considerată constantă şi la fel n, însă cum ea
poate lua diferite valori (şi n şi n) se poate considera n ca
fiind o funcţie de turaţia n, astfel încât şi devine o funcţie şi
de n, cu atât mai mult cu cât chiar d este funcţie de dar şi de
n (vezi relaţia 3.60’):
))(,()(),( ndnn nn (3.60’)
Introducând (3.60) în (3.59), obţinem ecuaţia (3.61):
67
ddJ
L
J
Mdd nn ].).([).( 2
**
*
(3.61)
În continuare (3.61) se scrie sub forma (3.62):
]..2)(.[.
.)(.
22
*
*
*2
dddJ
L
dJ
Mdd
nn
n
(3.62)
Ecuaţia (3.62) se poate desface în forma (3.63):
0....2).(.
...)(.
*
2
*
2
**
*2
ddJ
Ldd
J
L
dJ
Ld
J
Mdd
n
nn
(3.63)
Grupăm termenii doi câte doi şi obţinem ecuaţia (3.64):
0)...(
.).2
1..(2)).(1.(
2
**
*
*
2
*
n
n
dJ
Ld
J
M
ddJ
Ldd
J
L
(3.64)
Ecuaţia (3.64) este o ecuaţie de gradul 2 în (d).
Discriminantul ecuaţiei (3.64) se scrie iniţial sub forma
(3.65), iar apoi se reduce la forma (3.66):
2
*
22
2*
2
*
*
2
2*
*2
*
2
22
2*
2
...).(.
).(.
..4
.).(
nn
n
n
n
dJ
Ld
J
Ld
J
M
dJ
MLd
J
Ld
J
L
(3.65)
dJ
Md
J
MLn .).(.
4 *
*2
2*
*2
(3.66)
Se reţine, pentru d, numai soluţia cu plus, care poate
genera atât valori pozitive cât şi valori negative (3.67), valori
68
care se încadrează în limite normale, generând pentru valori
normale; pentru 0 se consideră d=0 (acest caz nu apare
de loc pentru o ecuaţie corectă).
1
2
*
*
dJ
L
dJ
L
d
nn
(3.67)
Observaţii:
Pentru mecanismele cu camă şi tachet, utilizând
relaţiile (3.66, 3.67 şi 3.60), cu M* (momentul redus al
întregului mecanism) obţinut prin scrierea momentului
rezistent redus cunoscut şi prin calculul celui motor prin
integrarea celui rezistent pe toată zona de urcare (de exemplu),
se determină frecvent valori mari şi chiar foarte mari pentru
d, sau zone întregi în care realizantul , ia valori negative,
generând soluţii complexe pentru d, pe care îl considerăm 0
pe aceste zone, fapt care ne îndreptăţeşte să reconsiderăm
problema determinării momentului redus, unde unul din cele
două momente, cel rezistent sau cel motor este cunoscut printr-
o relaţie de calcul, iar celălalt, se determină prin integrarea
celui cunoscut pe un anumit domeniu.
Dacă considerăm cunoscute atât M*r cât şi M*m şi le
calculăm pe fiecare în parte cu relaţia aferentă (independentă
una de alta, adică fără integrare), se obţin pentru mecanismele
cu camă şi tachet, valori normale pentru d (valori care se
păstrează pe tot intervalul în limite normale, iar în plus
discriminantul, , este în permanenţă pozitiv, adică 0, astfel
încât nu apar soluţii complexe pentru d).
În lucrările [A15], [A17], [P29], cât şi în capitolul 2, se
prezintă relaţiile pentru calculul forţei rezistente (2.54) redusă
la supapă, cât şi a forţei motoare (2.55) redusă la axul supapei:
).( 0
* xxkFr (3.68)
).(* xyKFm (3.69)
69
Momentul rezistent redus sau cel motor redus, se
calculează înmulţind forţa rezistentă redusă, respectiv cea
motoare redusă, cu viteza redusă x’.
')..( 0
* xxxkM r (3.70)
')..(* xxyKMm (3.71)
Observaţie: Atât ecuaţiile (3.66), (3.67), (3.60), cât şi
(3.68), (3.69), (3.70), (3.71), se utilizează ca un algoritm
separat, în toate programele dinamice din cadrul acestei lucrări,
pentru determinarea vitezei unghiulare variabile , a arborelui
de distribuţie.
3.5. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,
(cea care a fost obţinută la paragraful 2.8.1.)
În cadrul paragrafului 2.8.1. a fost prezentat un model dinamic cu un grad de mobilitate, cu amortizare internă a sistemului variabilă, care conduce în final (paragraful 2.8.1.2.) la ecuaţia (2.84), pe care o rescriem sub forma (3.72) şi la ecuaţia simplificată (2.83), pe care o aranjăm în forma (3.73).
IT
II
SX
yymXmxkyKxkK
''.'......).( 22
0 (3.72)
''......).( 22
0 ymXmxkyKxkK T
II
S (3.73)
Se va utiliza ecuaţia diferenţială (3.73), adică forma simplificată (în care se consideră viteza redusă de intrare, impusă de profilul camei, y’, egală cu viteza redusă dinamică, X’; ambele fiind reduse la axa supapei).
În continuare vom urmări câteva moduri de rezolvare a ecuaţiei diferenţiale (3.73).
70
3.5.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,
printr-o soluţie particulară
Ecuaţia (3.73) se scrie sub forma (3.74):
ymxkyKXkKXm TS ...).(. 0 (3.74)
Împărţim ecuaţia (3.74) cu mS şi amplificăm termenul
drept cu cost, obţinându-se forma (3.75):
).cos(.).cos(.
.... 0 t
tm
ymxkyKX
m
kKX
S
T
S
(3.75)
Se utilizează următoarele notaţii (3.76-3.77):
Sm
kKp
2
(3.76)
).cos(.
... 0
tm
ymxkyKq
S
T
(3.77)
Ecuaţia (3.75) se scrie simplificat sub forma (3.78):
).cos(..2 tqXpX (3.78)
Soluţia particulară a ecuaţiei (3.78) este de forma (3.79):
).cos(. taX (3.79)
Derivatele 1 şi 2 ale soluţiei (3.79) se notează cu (3.80-3.81):
).sin(.. taX (3.80)
).cos(.. 2 taX (3.81)
Înlocuind valorile (3.79) şi (3.81) în ecuaţia (3.78), se obţine forma (3.82):
).cos(.).cos(..).cos(.. 22 tqtapta (3.82)
Ecuaţia caracteristică se scrie sub forma (3.83):
71
qpa ).( 22 (3.83)
Se explicitează a sub forma (3.84):
22
p
qa (3.84)
Se scrie acum soluţia X, sub formele (3.85), (3.86):
).cos(.22
tp
qX
(3.85)
2
0
2
0
.
...
).cos(.
).cos(.
...
S
T
S
S
T
mkK
ymxkyK
m
kK
t
tm
ymxkyKX
(3.86)
Soluţia particulară, astfel obţinută, este interesantă şi simplă, dar se comportă ca şi cum am fi obţinut-o direct din
ecuaţia diferenţială (3.74), prin aproximarea lui X cu –X.2, adică prin aproximarea lui X’’ cu –X, o aproximare puţin cam forţată.
Pentru o rezolvare mai exactă, aproximăm direct în
ecuaţia (3.74), X’’ cu y’’, cu s’’, adică syX şi ajungem la
ecuaţia liniară (3.87):
kK
smxksK
kK
smmxksKX TS
...).(.. *
00 (3.87)
Soluţia aproximativă (3.87), este ceva mai precisă decât soluţia particulară (3.86), care se poate obţine şi ca o soluţie directă aproximativă, cu X’’= -X.
72
3.5.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,
printr-o soluţie particulară completă
Ecuaţia (3.74) se poate scrie sub forma (3.88), ţinând cont de coeficienţii D şi D’:
)''.''..(...
).(''...''...
2
0
22
sDsDmxksK
xkKxDmxDm
T
SS
(3.88)
Împărţim ecuaţia (3.88) cu mS.2.D şi obţinem (3.89):
Dm
sDsDmxksK
xDm
kKx
Dm
Dmx
S
T
SS
S
..
)''.''..(...
...
'...
'..''
2
2
0
22
2
(3.89)
Termenul drept se amplifică cu (cos+sin) şi ecuaţia (3.89) se scrie sub forma (3.90):
)sin.(cos)sin.(cos..
)''.''..(...
...
'.'
''
2
2
0
2
Dm
sDsDmxksK
xDm
kKx
D
Dx
S
T
S (3.90)
Notăm coeficienţii corespunzător:
D
Da
' (3.91)
2.. Dm
kKb
S
(3.92)
)sin.(cos..
)''.''..(...2
2
0
Dm
sDsDmxksKc
S
T (3.93)
Ecuaţia (3.90) se poate scrie acum sub forma (3.94):
)sin.(cos.'.'' cxbxax (3.94)
73
Soluţia particulară completă a ecuaţiei (3.94) este de
forma (3.95), iar derivatele ei în funcţie de unghiul , derivatele I şi II, capătă formele (3.96), respectiv (3.97):
sin.cos. BAx (3.95)
cos.sin.' BAx (3.96)
sin.cos.'' BAx (3.97)
Introducând soluţiile (3.95-3.96) în (3.94) obţinem ecuaţia (3.98):
sin.cos.sin..cos..
cos..sin..sin.cos.
CCBbAb
BaAaBA
(3.98)
Identificăm coeficienţii în cos şi respectiv cei în sin şi obţinem un sistem liniar de două ecuaţii cu două necunoscute, A şi respectiv B:
cBbAa
cBaAb
).1(.
.).1( (3.99)
Pentru rezolvarea operativă a sistemului (3.99) înmulţim prima ecuaţie cu a şi pe cea de-a doua cu (b-1), după care le adunăm şi obţinem B, iar apoi similar îl determinăm pe A, înmulţind prima ecuaţie cu (b-1) şi pe cea de-a doua cu –a, după care le adunăm şi obţinem sistemul (3.100):
)1.()1(
)1.()1(
22
22
abba
cB
abba
cA
(3.100)
Soluţia se poate scrie acum sub forma (3.101):
]sin).1(cos).1[(
)1( 22
abab
ba
cx
(3.101)
unde coeficienţii a, b, c, sunt cunoscuţi (3.91-3.93).
74
3.5.3. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,
cu ajutorul dezvoltărilor în serie Taylor
Se scrie relaţia (3.102), care exprimă legătura dintre deplasarea dinamică a supapei, x, şi cea impusă de profilul camei, s:
)()()()( sxsx (3.102)
Funcţia s(+) o dezvoltăm în serie Taylor şi reţinem primii 8 termeni ai dezvoltării; se găseşte astfel relaţia (3.103):
765
432
0
)()(!7
1)()(
!6
1)()(
!5
1
)()(!4
1)()(
!3
1)()(
!2
1
)(!1
1)()(
!0
1)(
VIIVIV
IVIIIII
I
sss
sss
sssx
(3.103)
Relaţia (3.103) se mai scrie şi sub forma (3.104):
76
54
32
).(.5040
1).(.
720
1
).(.120
1).(.
24
1
).(.6
1).(.
2
1.
VIIVI
VIV
IIIIII
ss
ss
ssssx
(3.104)
Prin derivare obţinem x’ (relaţia 3.105):
76
54
32
).(.5040
1).(.
720
1
).(.120
1).(.
24
1
).(.6
1).(.
2
1.
VIIIVII
VIV
IVIIIIIII
ss
ss
ssssx
(3.105)
Derivăm a doua oară şi obţinem x’’, (relaţia 3.106):
75
76
54
32
).(.5040
1).(.
720
1
).(.120
1).(.
24
1
).(.6
1).(.
2
1.
IXVIII
VIIVI
VIVIIIIIII
ss
ss
ssssx
(3.106)
Ecuaţia diferenţială utilizată este (3.72), adică ecuaţia completă, pe care o scriem sub forma (3.107), ţinând cont şi de funcţia de transmitere, D: Diagramele dinamice ale deplasării şi acceleraţiei, trasate pentru legea SINus, se pot urmări în paragraful 4.1.
kK
x
ssDsDm
kK
xDxDmxksKx
T
S
'
'*001.0*).''.''..(
001.0*).''.''..(..
2*
2*
0
(3.107)
3.5.4. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, în doi paşi
Ecuaţia diferenţială cunoscută, scrisă în una din formele prezentate anterior, de exemplu în forma (3.107), se rezolvă de două ori. Prima dată se utilizează pentru x’ valoarea s’ iar pentru x’’ valoarea s’’. Se obţine în acest fel, valoarea x(0), adică deplasarea dinamică a supapei la pasul 0. Această deplasare se derivează numeric şi se obţin x’(0) şi x’’(0). Valorile astfel obţinute se introduc în ecuaţia diferenţială (care se utilizează pentru a doua oară consecutiv) şi obţinem x(1), adică deplasarea dinamică a supapei căutată, x, care se consideră a fi valoarea finală. Dacă încercăm să iterăm acest proces (pentru mai mulţi paşi), se va observa lipsa convergenţei către o soluţie unică şi amplificarea valorilor la fiecare trecere (iteraţie). Se consideră rezolvarea ecuaţiei nu iterativ, în doi paşi, ci exact şi direct, rezolvare dintr-un singur pas, cel de al doilea, primul pas fiind de fapt o
76
intermediere necesară determinării aproximative a valorilor x’ şi x’’, (paragraful 4.2).
3.6. Prezentarea unei ecuaţii diferenţiale,
(model dinamic), care ţine cont de masa camei
Pornind de la modelul dinamic prezentat în cadrul paragrafului 2.8.1., se va obţine o nouă ecuaţie diferenţială, care să descrie funcţionarea dinamică a mecanismului de distribuţie, de la motoarele cu ardere internă, în patru timpi.
Practic se modifică formula care exprimă masa redusă a întregului lanţ cinematic şi atunci se modifică şi amortizarea internă a sistemului, c, şi automat se schimbă şi întreaga ecuaţie dinamică (diferenţială), fapt care ne îndreptăţeşte să spunem că avem de a face cu un nou model dinamic, cel care ia în consideraţie şi masa camei.
Masa redusă M, a întregului lanţ cinematic se scrie acum în forma (3.108):
2121*
21
1
*21
1
**
21
1
2
32
*
21
1
2
325
).(.2
).().(
).().(
).().(
Xr
mm
XJm
XJmm
XJimmm
XJimmmM
A
LTLS
LS
(3.108)
Constanta de amortizare a sistemului se determină cu formula prezentată la 2.8.1., şi capătă acum forma (3.109):
]...2
.2...2.[2
1.
2
12
3
11
3
2
11X
rrm
X
XJ
dt
dMc I
AA
(3.109)
77
Pentru mecanismul de distribuţie clasic se găseşte
valoarea I
AA rr . dată de (3.110) şi se introduce în relaţia (3.109),
care capătă forma (3.111):
').''(. *
0 sssrrr I
AA (3.110)
2
3
1*
0
1
3
2
11 '.).''.(2
..X
sssrm
X
XJc
(3.111)
Se utilizează în continuare ecuaţia diferenţială prezentată la 2.8.1. şi anume (3.112):
0.).(.. 0 FyKXkKXcXM (3.112)
Se introduce în continuare masa M, determinată cu (3.108) şi coeficientul de amortizare, c, obţinut cu (3.111), în ecuaţia (3.112) şi obţinem o nouă ecuaţie dinamică, diferenţială, (3.113), care reprezintă de fapt un nou model dinamic de bază.
0.).(1
.'.).''(
.2
.....
0
3
1
*
0
*
1
2
2
112
2
11
*
FyKXkKX
sssr
m
X
XJ
X
XJXm
(3.113)
Ecuaţia diferenţială (3.113) se scrie sub forma (3.114), după ce se reduc cei doi termeni identici care îl conţin pe J1:
0..).(
1.'.).''.(
2.
0
3
1
*
0
*
1*
xkyKXkK
Xsssr
mXm
(3.114)
Utilizând funcţia de transmitere, D şi prima ei derivată, D’, ecuaţia diferenţială (3.114), devine ecuaţia (3.115):
0..).(.'.
1
.'.).''.(2
)''.'.'.(.
0
1
1
2
1
*
0
*
12
1
*
xkyKxkKDx
sssrm
DxDxm
(3.115)
Ecuaţia (3.115) se aranjează în forma (3.116):
78
0..).(
'
'.
)''(..
2''...''...
0
*
02
*
12*2*
xksKxkK
x
s
D
ssrmxDmxDm
(3.116)
Notăm x cu s+x, (3.117):
xsx (3.117)
Cu (3.117), ecuaţia (3.116) capătă forma (3.118):
kK
x
s
D
ssrm
kK
xskxDxDmx
'
'.
''..
2
).(]''.''..[.
*
02*
1
0
*2
(3.118)
unde x reprezintă diferenţa dintre deplasarea dinamică x şi cea impusă s, ambele reduse la axa supapei.
Pentru aflarea aproximativă a valorilor x’ şi x’’ utilizăm relaţiile (3.119-3.122) şi în final (3.121-3.122):
'.''.'''.'''
'' sxxdxdxd
dxx (3.119)
'.'''.'''''.''''''
''' sxxdxdxd
dxx (3.120)
'.'''''
''
ssxsd
dxs
d
xdsxxsx
(3.121)
'.'''''''''
''
''''''''
ssxsd
dxs
d
xdsxxsx
(3.122)
79
Cu relaţiile (3.121) şi (3.122), dar şi cu aproximaţia
1'
'
x
s, ecuaţia (3.118) se scrie sub forma (3.123):
kK
xskD
ssrm
kK
ssDssDmx
).(''
..2
)]'.'''.()'.''''.(.[.
0
*
02*
1
*2
(3.123)
Ecuaţia (3.123) se ordonează sub forma (3.124):
kK
xskD
ssi
r
i
m
kK
sDsDDsDmx
).(
''
...2
]'''..'').'.(''..[.
0
0
2
2
1
*2
(3.124)
Se calculează x de două ori, x(0) şi x. x(0) adunat la s generează x(0), care este utilizat pentru determinarea vitezei
unghiulare variabile, .
În ecuaţia x(0) se utilizează =n=constant.
În ecuaţia a doua x, se utilizează variabil determinat cu ajutorul primei ecuaţii; pentru viteza redusă x’ şi acceleraţia redusă x’’, acum avem două variante: fie introducem direct, tot valorile aproximative, calculate cu relaţiile (3.121-3.122), ori utilizăm x’(0) şi x’’(0) obţinute deja prin derivarea directă (numerică) a lui x(0), care altfel nu vor fi folosite decât pentru
aflarea vitezei unghiulare variabile, .
Cu x adunat la s obţinem valoarea exactă a lui x, pe care o derivăm numeric şi obţinem şi valorile finale (exacte) pentru viteza redusă, x’ şi acceleraţia redusă, x’’.
80
3.7. Determinarea anticipată a vitezei dinamice reduse
şi a acceleraţiei dinamice reduse la axa supapei
La paragraful 2.8.1. s-au determinat relaţiile de calcul ale forţelor ce acţionează asupra supapei (Forţa MOTOARE redusă şi Forţa REZISTENTĂ redusă). Aceste forţe au fost utilizate deja în cadrul paragrafului 3.4. pentru determinarea forţelor reduse şi a momentelor reduse, din cadrul ecuaţiei diferenţiale Lagrange, ecuaţie care odată rezolvată generează valorile vitezei unghiulare
în funcţie de unghiul de rotaţie al camei, .
Se vor reaminti acum expresiile celor două forţe reduse la supapă, forţa motoare (3.125) şi cea rezistentă (3.126):
).().( xsKxyKFm (3.125)
).( 0xxkFr (3.126)
Static cele două forţe sunt egale în modul (3.127-3.128), dar de sens contrar (acţiune şi reacţiune), iar dinamic ele diferă foarte puţin una faţă de alta (în modul).
rm FF (3.127)
).().( 0xxkxsK (3.128)
Din relaţia (3.128) explicităm deplasarea supapei, xS, (3.129):
kK
xksKxx S
0..
(3.129)
Ne reamintim acum ecuaţia dinamică determinată la modelul 2.8.1., scrisă sub forma (3.130):
K
ymXmxkXksxx TS
.... 0 (3.130)
În ecuaţia (3.130) înlocuim valoarea x cu cea statică obţinută prin relaţia (3.129) şi rezultă expresia (3.131):
81
).(
)..).(().(. 0
kKK
ymXmkKxsKkx TS
(3.131)
O modalitate simplă de a determina valoarea expresiei
(3.131), este înlocuirea lui X cu expresiile (3.132) şi a lui y cu
relaţia (3.133), care se determină cu ajutorul funcţiilor de transmitere, D, D’.
)''.''..(.
)''.''..(
''.
'.
22 sDsD
kK
KxDxDX
kK
sKx
kK
sKx
II
S
I
S
(3.132)
)''.''..(2 sDsDy (3.133)
După înlocuire se obţine expresia (3.134):
kK
sDsDmK
kmxsk
xT
)''.''.).(..().( *2
0
(3.134)
Cu relaţia (3.134) se poate calcula acum expresia (3.135):
xsx (3.135)
3.7.1. Determinarea anticipată aproximativă a vitezei
reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei
Expresia (3.134) se scrie sub forma aproximativă (3.136):
kK
xk
kK
smK
kmsk
xT
0
*2
.'')...(.
(3.136)
82
Ecuaţia (3.136) se derivează de două ori şi obţinem la
prima derivare (x)’, (3.137), iar la a doua derivare, (x)’’, (3.138):
kK
smK
kmsk
x
III
T
I
I
)...(.
)(
*2
(3.137)
kK
smK
kmsk
x
IV
T
II
II
)...(.
)(
*2
(3.138)
Se poate determina acum x’, (3.139), dar şi pe x’’, (3.140):
kK
smK
kmsK
xsx
III
T
I
)...(.
)'(')0('
*2
(3.139)
kK
smK
kmsK
xsx
IV
T
II
II
)...(.
)('')0(''
*2
(3.140)
În continuare se utilizează ecuaţia (3.131), pe care o rescriem sub forma (3.141); unde x’’ şi x’ se înlocuiesc cu x’’(0) respectiv x’(0), date de formulele (3.140), respectiv (3.139).
K
msDsDmxDxD
kK
xskx
TSn ])()[(
)(
)(
'''''
0
'''
0
2
0
(3.141)
Analiza dinamică pe baza acestui model se face pe scurt în paragraful 4.4.
83
3.7.2. Determinarea anticipată precisă a vitezei
reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei
Pentru o determinare mai precisă a vitezei dinamice reduse a supapei, x’, şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei, x’’, se pleacă de la relaţia (3.142), care exprimă valoarea exactă a
lui x.
kK
xk
kK
sDsDmK
kmsk
xT
0
*2
.)''.''.).(..(.
(3.142)
Expresia (3.142) se derivează de două ori şi se obţin
(x)’, (3.143), şi (x)’’, (3.144):
kK
sDsDsDmK
kmsk
xT
I
I
)'''.'''..2''.').(..(.
)(
*2 (3.143)
kK
sDsDsDsDmK
kmsk
x
IV
T
II
II
).''''..3'''.'.3''.'').(..(.
)(
*2 (3.144)
Cu relaţiile (3.143) şi (3.144) se determină imediat viteza redusă a supapei (3.145) şi acceleraţia redusă a supapei (3.146):
)'('' xsx (3.145)
')'('''' xsx (3.146)
Dificultatea metodei constă în necesitatea determinării suplimentare a valorilor D’’ şi D’’’, adică derivatele de ordinul doi şi trei ale funcţiei de transmitere D. Mai întâi trebuie să ne reamintim expresia lui D’ (3.147):
222
0
0
2
0
222
0
22
00
]')[(
]''].[')'.(''.[.2
]')[(
]')].[('''.)'.(''[
ssr
ssrssrss
ssr
ssrsssrsD I
(3.147)
Expresia (3.147) se scrie sub forma (3.148):
84
22
0
0
2
0000
22
0
22
0
0
')(
)(
').).(''('').).(''(
')(
'.2
')(
'''.)'.(''
ssr
sr
ssrssrssrssr
ssr
s
ssr
sssrsD I
(3.148)
Din (3.148) se determină forma restrânsă (3.149):
])(
'''[
')(
'..2
')(
'''.)'.(''
0
2
22
0
22
0
0
sr
ss
ssr
Ds
ssr
sssrsD I
(3.149)
D’ se poate scrie mai compact, în relaţia (3.150):
22
0
0
3
0
')(
1'..2''.'..2'''.)'.(''
ssr
srsDsDssssrs
D I
(3.150)
Pentru a putea deriva mai uşor relaţia (3.150) o scriem sub forma (3.151):
sr
sDssDsssrs
ssrD I
0
3
0
22
0
'2'''2''')('''
]')[(
(3.151)
Acum urmează derivarea propriuzisă a expresiei (3.151), care a fost aranjată în mod special în vederea derivării şi obţinem relaţia (3.152):
2
0
4
0
23
2
2
0
0
22
0
)(
'2)()'''3'(2
''''2''2
'''.2'''''''''')(
]'''')[(2]')[(
sr
sDsrssDsD
ssDsD
ssDssssssrs
ssssrDssrD
I
IIV
III
(3.152)
Din (3.152) se explicitează D’’ sub forma (3.153):
85
22
0
02
0
4
0
23
22
0
22
0
')(
)''('2)(
'2'''6'2
')(
''''2''2'''2'')(
ssr
ssrsDsr
sD
sr
ssDsD
ssr
ssDsDssDssrsD
II
IIV
II
(3.153)
Expresia (3.153) se scrie sub forma (3.154) în vederea unei noi derivări:
)''('2)(
'2
'''6'2''''2''2
'''2'')(]')[(
02
0
4
0
232
2
0
22
0
ssrsDsr
sD
sr
ssDsDssDsD
ssDssrsssrD
I
I
IIVII
(3.154)
Se derivează relaţia (3.154) şi rezultă expresia (3.155):
)''('2
)''''('2)''(''2)''('2
)(
'4
)(
'''8'2
)(
'''6'2
''''6'''12'''6'''6'2
'2'''''2''''2'''''4
''2''''2''2'''2
'''''2')(]')[(
0
00
3
0
5
2
0
34
2
0
34
0
22223
22
0
22
0
ssrsD
sssDssrsDssrsD
sr
sD
sr
ssDsD
sr
ssDsD
sr
ssDssDssDssDsD
ssDssDssDssD
sDssDsDssD
sssssrsssrD
II
IIII
II
IIII
IVI
IIIII
IVVIII
(3.155)
Expresia (3.155) se aranjează în forma (3.156), din care se extrage D’’’:
86
)''''('2)''(''2)''('4
)(
'4
)(
'''14'4
''''6'''12'''12'2
'2'''''6''''4''4
'''2'''''2')(]')[(
00
3
0
5
2
0
34
0
2223
2
0
22
0
sssDssrsDssrsD
sr
sD
sr
ssDsD
sr
ssDssDssDsD
ssDssDssDsD
ssDsssssrsssrD
IIII
I
III
IVII
IIIVVIII
(3.156)
Cu acest model dinamic prezentat, se poate face analiza dinamică completă şi precisă. Un exemplu analizat, pentru legea sin, se prezintă în cap. 4.5., numai pentru o singură turaţie, la fel ca şi la modelele dinamice anterioare.
3.7.3. Determinarea anticipată, precisă, a vitezei
reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei,
prin metoda cu diferenţe finite
Calculul lui x este similar cu cel anterior (de la paragr. 3.7.2.), cu excepţia faptului că în loc de ipoteza statică (Fm=Fr), utilizăm diferenţele finite, pentru amorsarea calculelor, conform relaţiilor (3.157):
)'''(
]''''')('[
)'''(
'.''''''
'.'''
'.
2
2
2
sDsDSy
sDsDDsD
xDxDX
ssx
ssx
ssx
I
II
I
(3.157)
Ecuaţia de pornire este cea cunoscută deja pe care o rescriem în forma (3.158):
87
K
ymXmxkXkx TS
.... 0 (3.158)
Cu relaţiile (3.157), ecuaţia (3.158) se scrie sub forma (3.159):
K
sDsDm
K
sDsDDsDm
K
xkskskx
T
S
)''.''..(.
]'.''.'').'.(''..[.
.'...
2
2
0
(3.159)
Prin derivare se obţin expresiile lui (x)’, (3.160) şi (x)’’, (3.161).
K
sDsDsDmsksk
K
sDsDDsDDsDmx
T
IV
S
)'''.'''..2''.'.(.''..'.
]..''').'..2('').'.''.2(''.'.[.)'(
2
2
(3.160)
K
sDsDsDsDmsksk
K
sDsDDm
K
sDDsDDsDmx
IV
T
VIV
S
S
).''''..3'''.'.3''.''.(.'''..''.
]..).'..3.[(.
]''').'.''.(3'').'.''''.3(''.''.[.')'(
2
2
2
(3.161)
3.7.4. Determinarea anticipată şi precisă a vitezei reduse şi a acceleraţiei reduse a supapei,
utilizând modelul dinamic care ia în calcul şi masa m1 a camei
La paragraful 3.6. a fost prezentat un model dinamic care ia în calcul şi masa camei (vezi ecuaţiile 3.114, 3.115, 3.116 şi 3.118). Relaţia (3.118) se rescrie sub forma (3.162):
88
kK
xskx
s
D
ssrmxDxDm
x
).('
'.
''..
2]''.''..[. 0
*
02
*
1*2 (3.162)
De la ipoteza statică (Fm=Fr), reţinem relaţiile de amorsare (3.163):
kK
sKx
kK
sKx
IIII
S
II
S
(3.163)
Cu relaţiile (3.163), expresia (3.162) capătă forma (3.164):
)()(
2
][)(
0
*
02*
1
2
*2
xskK
k
D
ssr
K
m
sDsDkK
Kmx
II
IIII
(3.164)
Expresia (3.164) se derivează succesiv, de două ori,
pentru obţinerea lui (x)’, (3.165) şi (x)’’, (3.166).
])(
[2
]2[)(
)'(
2
*
02*
1
2
*2
D
Dssr
D
ss
K
m
kK
sk
sDsDsDkK
Kmx
IIIIIIII
IIIIIIIII
(3.165)
]')(2)()(2
[2
]3
3[)(
)(
3
2*
0
2
*
0
2*
1
2
*2
D
Dssr
D
DssrDss
D
ss
K
m
kK
sksDsD
sDsDkK
Kmx
IIIIIIIIIII
IVIIIIIVIIII
IIIIIIIIII
(3.166)
Cu relaţiile (3.165) şi (3.166), expresiile (3.167) capătă formele (3.168) şi respectiv (3.169).
89
IIIIII
III
xsx
xsx
)(
)(
(3.167)
])(
[2
]2[)(
2
*
02*
1
2
*2
D
Dssr
D
ss
K
m
kK
sk
sDsDsDkK
Kmsx
IIIIIIII
IIIIIIIIIII
(3.168)
]')(2)()(2
[2
]3
3[)(
3
2*
0
2
*
0
2*
1
2
*2
D
Dssr
D
DssrDss
D
ss
K
m
kK
sksDsD
sDsDkK
Kmsx
IIIIIIIIIII
IVIIIIIVIIII
IIIIIIIIIIII
(3.169)
Expresiile (3.168) şi (3.169) determină, anticipat şi precis, viteza redusă a supapei, respectiv acceleraţia redusă a supapei. Ele
se introduc în relaţia (3.162) şi se determină astfel cu precizie x.
Cu x calculat putem afla imediat deplasarea supapei, x, (cu
relaţia x=s+x). Rezultă un model dinamic precis şi flexibil. Cu acest model dinamic se face analiza dinamică prezentată la cap. 4.6.
Precizare: Trebuie făcută următoarea precizare. În modelele dinamice utilizate, s-a luat în calcul pentru deplasarea dinamică (reală) a supapei, valoarea x în loc de X, din motive de simetrie faţă de funcţia de intrare, cunoscută, s. Funcţia de intrare necunoscută, S s-a notat cu y. Avantajele utilizării deplasării x (care este aproximativ egală cu X, dar care are alte derivate, în comparaţie cu X) sunt următoarele: utilizarea în ecuaţia dinamică (diferenţială) a valorii s (cunoscută), în loc de S=y (necunoscută), utilizarea deasemenea a valorii x care se poate aproxima atât ea , cât şi derivatele ei cu valori cunoscute (anticipat), fapt care uşurează mult rezolvarea ecuaţiei diferenţiale, prin posibilitatea introducerii anticipate în ecuaţie a valorilor x’ şi x’’ aproximativ cunoscute, ceea ce conduce la transformarea ecuaţiei diferenţiale într-o ecuaţie liniară de gradul I. Utilizarea la ieşire a funcţiei x,
90
care lucrează simetric cu funcţia de intrare cunoscută, s, crează posibilitatea obţinerii unor rezultate mai apropiate de realitate. Între aceste funcţii, între care există o transformare (X cu x) şi (y=S cu s) se crează următoarele relaţii de legătură (3.170):
'''''''';''';'
;'''''';'';'
;'''')''''(''''
;'''';
;'''';'';
0
0
sDsDySsDySsdsDyS
xDxDXxDXxdxDX
xDxDsDsDkK
Ky
kK
KX
xDsDkK
Ky
kK
KXx
kK
ky
kK
KX
skK
Kxs
kK
Kxx
kK
ks
kK
Kx
(3.170)
3.8. Model dinamic cu integrare
Influenţa resortului supapei, în modelele dinamice prezentate anterior, este în general redusă, deşi în realitate ea trebuie să fie mult mai substanţială. Deficienţa apare datorită modului de rezolvare aproximativã a ecuaţiei dinamice (diferenţiale) cunoscute, rezolvare care face ca elasticitatea k a resortului supapei să devină neglijabilă comparativ cu K.
Pentru a putea ţine cont de k, cât şi de x0, se scrie ecuaţia (3.171), de echilibru de forţe pe axa supapei, numai pentru supapă (pentru masa supapei, mS*):
**2* FgmXm S
II
S (3.171)
Forţa redusă care acţionează asupra supapei, se scrie cu cele două componente ale sale, cea motoare şi cea rezistentă (3.172):
***
rm FFF (3.172)
Forţa redusă rezistentă la supapă este cunoscută (3.173):
)( 0
* xXkFr (3.173)
91
Forţa motoare redusă la supapă, Fm*, se poate exprima în mai multe moduri. Dacă o calculăm direct printr-o relaţie
cunoscută, de tipul celei deja prezentate )(* XyKFm , ea
preia controlul în ecuaţie, iar K practic face constanta k inoperabilă (deşi resortul există şi lucrează); pe de altă parte orice deplasare înmulţită cu K este mult mai mare decât prestrângerea resortului supapei k.x0, astfel încât şi influenţa lui x0 dispare practic din ecuaţie, din teorie, (deşi ea există în procesul dinamic real). Soluţia care se întrevede în acest caz este ca forţa redusă motoare, Fm*, să fie exprimată în funcţie de Fr*, prin integrarea momentului rezistent redus cunoscut. Se consideră relaţia (3.174) care exprimă valoarea momentului rezistent redus:
II
rr XxXkXFM )( 0
** (3.174)
Momentul motor redus corespunzător (3.175), se află prin integrarea momentului rezistent redus pe toată cursa de
ridicare (de exemplu), adică pe intervalul [0,u].
)2
()2(2
)2(2
)2(2
])[(2
])[(2
]2
)([)(
)(11
00
0
22
0
2
00
2
2
0
2
00
2
0
0
2
0
0
0
0 0
0
**
xhkh
xhkh
xhhk
xxxhhk
xxhk
xXk
xXkdXxX
k
dXxXkdMM
uu
uu
uu
u
I
u
I
u
r
u
m
u
u
u
u u
(3.175)
Momentul redus total se scrie sub forma (3.176):
I
u
rm XxXkxhkh
MMM
)()2
( 00
***
(3.176)
Forţa redusă totală este (3.177):
92
00
*****
1)
2( xkXk
Xx
hkh
X
MMFFF
I
u
I
rmrm
(3.177)
Ecuaţia dinamică la supapă se scrie sub forma (3.178):
gmXm
xkXkX
xhkh
S
II
S
I
u
*2*
00
1)
2(
(3.178)
Se poate scrie (3.178) în forma (3.179):
gmXmxkXk
Xx
hkh
S
II
S
I
u
*2*
0
0
1)
2(
(3.179)
Ecuaţia (3.179) se mai scrie şi sub forma (3.180):
I
S
II
S
u
XgmXmxkXk
xhkh
][
)2
(
*2*
0
0
(3.180)
Din (3.180) se explicitează X’ (3.181):
gmXmxkXk
xhkh
XS
II
S
uI
*2*
0
0 )2
(
(3.181)
Pentru evaluarea efectivă a lui X’ (din 3.181), se scriu X şi X’’ sub formele (3.182), respectiv (3.183) şi se substituie în numitorul relaţiei (3.181), care ia forma (3.184):
kK
xk
kK
sK
kK
xk
kK
yKX
00
(3.182)
)( IIIIII sDsDkK
KX
(3.183)
93
kK
gmkKsDsD
kK
Km
kK
xkxkK
kK
xk
kK
sKk
xhkh
XSIIIIS
uI
*2*
0
2
00
2
0
)()(
)2
(
(3.184)
Relaţia (3.184) se reduce la forma (3.185):
gmkKsDsDKmxsKk
xhkhkK
XS
IIII
S
uI
*2*
0
0
)()()(
)2
()(
(3.185)
Se derivează relaţia (3.185) şi se obţine expresia (3.186):
2*2*
0
2*
0
])()()([
)]2([)2
()(
gmkKsDsDKmxsKk
sDsDsDKmsKkxhkhkK
XS
IIII
S
IIIIIIIII
S
I
uII
(3.186)
Reamintim ecuaţia diferenţială (3.187), pentru modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără să ţină cont de masa camei:
kK
sDsDK
kKmXmxksK
x
IIII
T
II
S
)(2*2*
0 (3.187)
Acum se poate rezolva direct ecuaţia diferenţială (3.187), introducând pentru necunoscuta X’’, expresia (3.186), obţinută cu ajutorul modelului dinamic cu integrare, scris pentru supapă; x’ şi x’’ se obţin prin derivare numerică, dar se pot obţine mai precis şi prin derivarea directă a expresiilor (3.186 şi 3.187), cu specificaţia că va trebui calculat şi DIV; Deplasarea x, calculată cu (3.187 şi 3.186) se obţine acum prin metoda dinamică cu integrare; la fel şi v şi a supapă. Avantajele acestui model dinamic sunt date de variaţia efectivă a lui x, x’, x’’, sau X, v, a, şi cu coeficientul elastic, k, al arcului supapei, cât şi cu prestrângerea resortului, x0. Analiza dinamică cu acest model, se face în cadrul cap. 4., paragraful 4.7. Pentru a nu avea o dublă impunere, relaţiile (3.186) şi (3.187) se modifică în (3.188), respectiv (3.189), rezultând astfel modelul A7M (A7 modificat).
2*2*
0
2*
0
])()([
][)2
()(
gmkKsKmxsKk
sKmsKkxhkhkK
xS
II
S
III
S
I
uII
(3.188)
94
kK
sK
kKmxmxksK
x
II
T
II
S
2*2*
0 (3.189)
3.9. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale prin,
integrare directă şi obţinerea ecuaţiei mamă
Rezolvarea cea mai firească a ecuaţiei dinamice, care este o ecuaţie diferenţială, este rezolvarea prin integrare directă, printr-o metodă originală.
Ecuaţia diferenţială de bază, cunoscută atât de la cap. 2 cât şi din cadrul acestui capitol, cea cu amortizare internă a sistemului variabilă, dar care nu ţine cont de masa camei, se scrie sub forma (3.190):
I
III
T
II
S
x
yym
xmxkyKxkK
2*
2*
0)(
(3.190)
Înmulţim ecuaţia cu x’ şi obţinem forma (3.191):
III
T
III
S
III
yymxxm
xxkxyKxxkK
2*2*
0)(
(3.191)
Cum singurul care se integrează mai greu (nu se poate integra direct) este termenul K.y.x’, îl înlocuim prin aproximare
(ţinând cont de ipoteza statică), cu Iy
kK
KyK
şi obţinem
ecuaţia (3.192):
III
T
III
S
III
yymxxm
xxkyykK
KxxkK
2*2*
0
2
)(
(3.192)
95
Ecuaţia (3.192) obţinută se integrează direct şi obţinem părintele ei (3.193):
Cy
mx
m
xxky
kK
KxkK
TS
2
'
2
'
22)(
22*
22*
0
222
(3.193)
Punând condiţia ca la momentul iniţial =0, când y=y’=0 şi x=x’=0, obţinem pentru constanta de integrare, C, valoarea zero, (C=0). Ecuaţia mamă, (3.193) se scrie sub forma finală (3.194):
2
'
2
'
22)(
22*
22*
0
222
ym
xm
xxky
kK
KxkK
TS
(3.194)
Ordonăm termenii, înmulţim ecuaţia cu -2 şi o împărţim la (K+k) şi rezultă forma (3.195):
0)(
'
'2
2
2
22
2*
22*
02
ykK
Ky
kK
m
xkK
mx
kK
xkx
T
S
(3.195)
Această ecuaţie este mult mai simplu de rezolvat. Integrarea directă încă odată, fiind dificilă, preferăm rezolvarea ei, prin una din diversele metode posibile.
3.9.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,
mamă, prin utilizarea ipotezei statice
Rezolvarea cea mai simplă a ecuaţiei diferenţiale mamă, se face prin utilizarea imediată a ipotezei statice care înlocuieşte
96
viteza redusă a supapei, x’, cu viteza redusă impusă de camă, y’,
conform relaţiei deja prezentate, '' ykK
Kx
, astfel încât
ecuaţia mamă (3.195) capătă forma (3.196):
0')(
)(
)(2
22
**
2
2
2
2
2
02
ykK
mmkK
K
ykK
Kx
kK
xkx
TS
(3.196)
Am obţinut astfel o ecuaţie de gradul 2 în x, care se rezolvă simplu ca orice ecuaţie de gradul II, (paragraful 3.9.1.1.), sau mai elegant, prin metoda diferenţelor finite (paragraful 3.9.1.2.):
3.9.1.1. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, prin utilizarea ipotezei
statice, prin rezolvarea obişnuită a ecuaţiei de gradul II, în x
Rezolvarea cea mai simplă a ecuaţiei (3.196), ecuaţie de
gradul doi în x, se face direct prin calculul realizantului , (vezi relaţiile 3.197, 3.198), şi a celor două soluţii x1,2, (a se vedea relaţiile 3.199 şi 3.200):
22
*
2
2*
2
22
0 ')(
)(
)(
)()(
y
kK
mkK
Km
kK
sKxkTS
(3.197)
22
*
2
2*
2
22
0 )'()(
)(
)(
)()(
sD
kK
mkK
Km
kK
sKxkTS
(3.198)
97
kK
xkX 0
2,1 (3.199)
Cum nu se doreşte o soluţie negativă pe tot intervalul (nu este posibilă fizic), oprim numai soluţia cu plus (3.200):
kK
xkX
0
(3.200)
Programul de calcul (scris în Excel) generează valorile prezentate în diagrama dinamică pentru legea sin de la paragraful 4.8.
3.9.1.2. Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale,mamă, cu
ajutorul ipotezei statice, prin utilizarea diferenţelor finite
Rezolvarea mai elegantă a ecuaţiei (3.196), ecuaţie de gradul doi în x, se face prin utilizarea diferenţelor finite.
În acest scop utilizăm notaţia (3.201):
XsX (3.201)
Cu relaţia (3.201) ecuaţia (3.196) capătă forma (3.202):
0')(
)(
)(
222)(
22
**
2
2
2
2
2
0022
ykK
mmkK
K
skK
K
XkK
xks
kK
xksXXs
TS
(3.202)
Ecuaţia (3.202) este o ecuaţie de gradul doi în X, care se
poate rezolva direct (exact), prin aflarea realizantului (a se
urmări relaţia 3.204) şi a soluţiilor X1,2, din care oprim doar
98
soluţia cu plus (a se vedea relaţia 3.205), sau se poate transforma
într-o ecuaţie de gradul I, în X, punând (X)20, ecuaţie care îl
generează imediat şi direct pe X (vezi relaţia 3.203).
20
22**2
0
22
)()(2
)'(])([)(2)2(
)1(
kKkK
xks
DsmkKmkK
KskKxksKkk
XTS
(3.203)
2
22**2
2
0
222
)(
)'(])([
kK
sDmkKmkK
KxksK TS
(3.204)
)( 0
kK
xksX
(3.205)
Programul de calcul (scris în Excel) este utilizat pentru generarea diagramei dinamice pentru legea sin de la paragraful 4.9.
Ecuaţiile utilizate direct sunt (3.205) care o cheamă pe
(3.204), dar atunci când în mod sporadic (foarte rar) ia valori negative (ecuaţia are rădăcini complexe), soluţia va fi dată direct de ecuaţia (3.203).
Putem să scriem un program de calcul, care să utilizeze
numai ecuaţia (3.203) pentru aflarea soluţiilor X. Avantajul principal al unui astfel de model dinamic este în primul rând
faptul că în acest mod găsim direct diferenţa finită, X, care adunată la S generează chiar soluţia finală, X, a sistemului mecanic, soluţie pe care o căutam. În programul de calcul s-a utilizat metoda derivării numerice pentru determinarea lui X’ şi X’’, când se cunoaşte X, metodă mai rapidă şi foarte avantajoasă atunci când expresia lui X este complexă iar derivarea normală este foarte dificilă chiar şi pentru aflarea primei derivate, X’. De aici rezultă şi un alt avantaj al cunoaşterii expresiei lui X, şi anume faptul că putem deriva expresia lui X, (3.206, sau 3.207), direct şi
99
cu uşurinţă, obţinând pentru X’ relaţia (3.208) şi pentru X’’ relaţia (3.209).
20
0
22
20
22**2
)()(2
)(2)2(
)()(2
)'(])([
kKkK
xks
skKxksKkk
kKkK
xks
DsmkKmkK
K
sXTS
(3.206)
24
2
32
2
1 '
CsC
yCsCsCX
(3.207)
24
4321 ''''2''2'
CsC
XsCyyCsCssCX
(3.208)
24
443
2
321
2
1 ''''2''''2''2''''2'2''
CsC
XsCXsCyyCyCsCssCsCX
(3.209)
S-au utilizat notaţiile (3.210):
2
4
2*2*2
3
02
22
1
)(2;)(
)(
);(2;22
kKCkK
mkKmKC
kKxkCKkkKC
TS
(3.210)
100
CAP. 4
ANALIZA DINAMICĂ LA
MECANISMUL CLASIC DE DISTRIBUŢIE
În cadrul capitolului 4 se va face analiza dinamică la mecanismul clasic de distribuţie (Modul C) – a se vedea şi lucrările [A15], [A16], [A17], [P21], [P23], [P24], [P28], [P29].
Pentru început, analiza se va face pentru condiţii similare, cu ajutorul a diverse modele dinamice, cu aceeaşi lege SINus, la o turaţie constantă, mereu cam de aceeaşi valoare (n=5500 [rot/min]), urmând ca pentru un model dinamic (final) ales, să se facă o analiză mai completă, la care se vor schimba legile de mişcare, turaţia motorului şi diversele constante de lucru, cum ar fi k, x0.
4.1. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107),
bazată pe dezvoltările în serie Taylor şi pe modelul dinamic-A1,
cu amortizare internă variabilă, fără considerarea masei m1 a camei
Utilizând relaţia (3.107), obţinută din ecuaţia diferenţială (3.72), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, dar utilizând în calcule dezvoltările în serie Taylor cu reţinerea a 8 termeni consecutivi, se obţine modelul dinamic (A1).
Pentru acest model dinamic (A1) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.1.):
101
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1278.41s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=60 [N/mm]
r0=14 [mm]
x0=30 [mm]
hs=5 [mm]
hT=5 [mm]
i=1;=6.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A1amax=7200
s max =4.49
amin= -4000
Fig. 4.1. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A1
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=750, raza cercului de bază, r0=14 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=60 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30 [mm].
Randamentul mecanic este scăzut (în general la mecanismele cu camă rotativă şi tachet, randamentul mecanic are valori scăzute, iar la Modulul C-mecanism de distribuţie clasic,
aceste valori sunt chiar ceva mai scăzute), =6.9%.
4.2. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.107), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă variabilă,
fără considerarea masei m1 a camei,
cu rezolvarea ecuaţiei diferenţiale în doi paşi
Utilizând relaţia (3.107), obţinută din ecuaţia diferenţială (3.72), bazată pe modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei şi
102
folosind ecuaţia diferenţială de două ori consecutiv, odată pentru determinarea vitezei dinamice reduse, x’, şi a acceleraţiei dinamice reduse, x’’, iar a doua oară normal, se obţine modelul dinamic A2.
Pentru acest model dinamic (A2) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.2.):
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1129.61s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=80 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=20 [mm]
hs=5 [mm]
hT=5 [mm]
i=1;=6.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A2amax=6700
s max =4.70
amin= -2900
Fig. 4.2. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A2
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=800, raza cercului de bază, r0=13 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20
[mm]. Randamentul mecanic este , =6.9%.
4.3. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiei (3.124), pentru modelul dinamic
cu considerarea masei m1 a camei
Pentru acest model dinamic (A3) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.3.):
Utilizând relaţia (3.124), obţinută din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, cu considerarea masei m1 a
103
camei, rezultă modelul dinamic A3, care se aplică în cadrul analizei dinamice prezentate în diagrama din figura 4.3.
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1747.95s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=60 [N/mm]
r0=14 [mm]
x0=30 [mm]
hs=5 [mm]
hT=5 [mm]
i=1;=6.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A3amax=10100
s max =4.62
amin= -7700
Fig. 4.3. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A3
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=750, raza cercului de bază, r0=14 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=5 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=60 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30
[mm]. Randamentul mecanic este , =6.9%.
4.4. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.139), (3.140), (3.141), pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare
anticipată,
aproximativă, a vitezei şi acceleraţiei reduse, ambele reduse la supapă
Utilizând relaţiile (3.139), (3.140) şi (3.141), obţinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi aproximativă a vitezei dinamice reduse a
104
supapei şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei; rezultă modelul dinamic A4, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, prezentate în diagrama din figura 4.4.
Pentru acest model dinamic (A4) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.4.):
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=750, raza cercului de bază, r0=16 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30
[mm]. Randamentul mecanic este , =7.4%.
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1200.96s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=16 [mm]
x0=30 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=7.4%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A4amax=8300
s max=5.56
amin= -5800
Fig. 4.4. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A4
4.5. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.143-3.146), pentru modelul dinamic fără considerarea masei m1 a camei,
când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei
reduse la supapă
Utilizând relaţiile (3.143), (3.144), (3.145) şi (3.146), obţinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului
105
variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată şi precisă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei; rezultă modelul dinamic A5, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, prezentate în diagrama din figura 4.5.
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=750, raza cercului de bază, r0=17 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm].Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30
[mm]. Randamentul mecanic este , =6.7%. Pentru acest model dinamic (A5) se prezintă o singură diagramă dinamică (fig. 4.5.):
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1718.49s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=17 [mm]
x0=30 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=6.7%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A5amax=12000
s max=5.57
amin= -5500
Fig. 4.5. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A5
4.6. Analiza dinamică, pentru legea sinus, cu ajutorul relaţiilor (3.168, 3.169, 3.162), pentru modelul dinamic cu considerarea masei m1 a
camei, când se aplică o metodă de determinare anticipată, precisă, a vitezei şi acceleraţiei
reduse la supapă
Utilizând relaţiile (3.168), (3.169), şi (3.162), obţinute din modelul dinamic cu amortizare internă a sistemului variabilă, care ia în considerare masa m1 a camei, când se aplică o metodă de
106
determinare anticipată şi precisă a vitezei dinamice reduse a supapei şi a acceleraţiei dinamice reduse a supapei, rezultă modelul dinamic A6, model care se aplică în cadrul analizei dinamice, (figura 4.6).
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1209.26s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=80 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=30 [mm]
hs=4 [mm]
hT=4 [mm]
i=1;=4.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A6 amax=5500
s max=3.59
amin= -2500
Fig. 4.6. Analiza dinamică, utilizând modelul dinamic A6
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=800, raza cercului de bază, r0=13 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=4 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30
[mm]. Randamentul mecanic este , =4.9%. Profilul sinus utilizat, se poate vedea în figura 4.7.
-1 5
-1 0
-5
0
5
1 0
1 5
2 0
-20 -10 0 10 2 0
P rofil camã-sens rotat ie orar-dec i profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul c las ic C.
S upo rtã o turatie
n=5 50 0 [ro t/m in]
u= c=8 0[grad ]
r0=1 3 [m m ]
hT= 4 [m m ]
= 4.9%
le gea :s in
y=x-sin(2 x)/(2 )
0
50
1 00
1 50
2 00
2 50
3 00
3 50
0 1 2 3
W D [s -1 ]
ω [s-1
]
φ [rad ]
Fig. 4.7. Profilul Sin, corespunzător
diagramei dinamice din fig. 4.6. Fig. 4.8. Diagrama de variaţie a
lui , viteza unghiulară a
camei, pt. fig. 4.6.
107
Viteza unghiulară variabilă a camei (a arborelui de
distribuţie), , pentru situaţia dată, poate fi urmărită în figura 4.8.
4.7. Analiza dinamică, cu ajutorul relaţiilor (3.186-3.187), pentru modelul dinamic cu integrare,
fără considerarea masei m1 a camei
Utilizând relaţiile (3.186) şi (3.187), obţinute din modelul dinamic cu integrare, cu amortizare internă a sistemului variabilă, fără considerarea masei m1 a camei, rezultă modelul dinamic A7.
Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5500 [rot/min], unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele,
u=c=750, raza cercului de bază, r0=16 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=30
[mm]. Randamentul mecanic este , =7.4%. Vezi diagrama dinamică din fig. 4.9.:
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1246.67s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=16 [mm]
x0=30 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=7.4%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A7 am ax=8670
s max =5.56
amin= -4800
Fig. 4.9. Analiza dinamică, pentru legea SINus,
utilizând modelul dinamic cu integrare, A7.
108
4.8. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), cu rezolvarea normală a ecuaţiei de gr. II, (3.198, 3.200)
Utilizând relaţiile (3.196), (3.198) şi (3.200), obţinute din modelul dinamic cu integrare directă, rezultă modelul dinamic A8. De data aceasta s-a procedat prin integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale de ordinul II, o singură dată, obţinându-se o ecuaţie mamă, ecuaţie diferenţială de ordinul I, care se poate rezolva uşor prin diferite metode.
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1317.04s*k[mm] k=
n=5200[rot/min]
u=75 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=15 [mm]
x0=20 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.1%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A8amax=9400
s max =5.68
amin= -3000
Fig. 4.10. Analiza dinamică a legii sin, u=75 [grad],
pentru n=5200 [rot/min], cu modelul dinamic A8
Prin utilizarea ipotezei statice, x’ se înlocuieşte cu C.y’, iar ecuaţia diferenţială de ordinul I, se transformă într-o banală
ecuaţie de gradul II, în X (3.196). Rezolvând direct ecuaţia cu dat de (3.198), obţinem singura soluţie viabilă (din punct de vedere fizic), (3.200). În figura 4.10. se prezintă dinamica rezultată cu acest model fizico-matematic (A8). Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5200 [rot/min], unghiurile de urcare şi
coborâre egale între ele, u=c=750, raza cercului de bază, r0=15 [mm]. Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o
109
constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul
mecanic este , =8.1%.
4.9. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), rezolvând ecuaţia de
gr. II, prin diferenţe finite (3.204, 3.205)
Utilizând relaţiile (3.196), (3.203), (3.204) şi (3.205), obţinute din modelul dinamic cu integrare directă, prin utilizarea diferenţelor finite, rezultă modelul dinamic A9. În figura 4.11. se prezintă dinamica rezultată cu acest model fizico-matematic (A9). Se utilizează legea SINus, turaţia motorului, n=5200 [rot/min],
unghiurile de urcare şi coborâre egale între ele, u=c=750, raza cercului de bază, r0=15 [mm].
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1037.56s*k[mm] k=
n=5200[rot/min]
u=75 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=15 [mm]
x0=20 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.1%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A9amax=7400s max =5.68
amin= -3000
Fig. 4.11. Analiza dinamică a legii sin, u=75 [grad],
pentru n=5200 [rot/min], cu modelul dinamic A9
Pentru cursa maximă a tachetului, hT, egală cu cea a supapei, hS (i=1), se ia valoarea de h=6 [mm]. Se adoptă o constantă elastică a resortului, k=50 [N/mm], pentru o prestrângere a arcului supapei de, x0=20 [mm]. Randamentul
mecanic este , =8.1%.
110
Observaţie: Vârfurile pozitive ale acceleraţiei coboară de la circa 10000 [m/s2] (modelul dinamic anterior, A8), la aproximativ 7000 [m/s2], fiind mai apropiate de determinările experimentale, care utilizează legi clasice şi care pentru condiţii similare generează acceleraţii maxime de circa 6000-7000 [m/s2]. E drept că în aceste determinări experimentale (vezi[R6], p.1.197), şi maximul negativ nu trece de 2000 [m/s2], în vreme ce în modelele A8 şi A9 el atinge 3000 [m/s2]. Corecţia necesară se face cu modelul A10.
4.10. Analiza dinamică, cu ecuaţia mamă, obţinută prin ipoteza statică (3.196), prin diferenţe finite cu relaţiile (3.203, 3.206)
Modelul dinamic A10, corespunde foarte bine cu cel experimental (vezi diagramele experimentale de la pag. 1.197 lucrarea [R6]). Acest model dinamic utilizează pentru aflarea
directă a lui X relaţia (3.203).
În continuare se vor urmări diagramele dinamice, trasate cu modelul A10, pentru turaţiile motorului de 5000, 5600 şi respectiv 5900 [rot/min].
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
673.05s*k[mm] k=
n=5000[rot/min]
u=75 [grad]
k=20 [N/mm]
r0=14 [mm]
x0=40 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A10amax=4900
s max =5.78
amin= -1400
4.12. Analiza dinamică a legii sin, u=75 [grad],
pentru n=5000 [rot/min], cu modelul dinamic A10
111
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1027.71s*k[mm] k=
n=5600[rot/min]
u=75 [grad]
k=20 [N/mm]
r0=14 [mm]
x0=40 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A10 amax=7400
s max =5.78
amin= -1750
4.13. Analiza dinamică a legii sin, u=75 [grad],
pentru n=5600 [rot/min], cu modelul dinamic A10
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
1284.44s*k[mm] k=
n=5900[rot/min]
u=75 [grad]
k=20 [N/mm]
r0=14 [mm]
x0=40 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.9%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A10 amax=9300
s max =5.78
amin= -2000
4.14. Analiza dinamică a legii sin, u=75 [grad],
pentru n=5900 [rot/min], cu modelul dinamic A10
Se va aplica acest model dinamic, pentru studierea legii C4, sintetizată de autor. Analiza dinamică a legii C4P, cu ajutorul modelului A10 (net superior celorlalte modele dinamice), arată că pentru un unghi de fază scăzut la 45 grade, nu putem depăşi 10000 ori 15000 [rot/min], cu un randament bun, dar cu o cursă maximă efectivă smax de numai 4.1 [mm], (fig. 4.15).
112
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
0 20 40 60 80 100a[m/s2]
7531.65s*k[mm] k=
n=10000[rot/min]
u=45 [grad]
k=200 [N/mm]
r0=17 [mm]
x0=50 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=15.7%
legea:C4P1-1
y=2x-x2
yc=1-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A10
amax=39000
s max =4.10
amin= -8000
4.15. Analiza dinamică a legii C4P pentru u=45 [grad],
n=10000 [rot/min], cu modelul dinamic A10
-20000
0
20000
40000
60000
80000
100000
0 50 100 150 200a[m/s2]
14220.35s*k[mm] k=
n=20000[rot/min]
u=80 [grad]
k=200 [N/mm]
r0=18 [mm]
x0=50 [mm]
hs=7 [mm]
hT=7 [mm]
i=1;=7.2%
legea:C4P2-0
y=2x-x2
yc=1-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant plat - A10amax=89000
s max =4.99
amin= -8100
4.16. Analiza dinamică a legii C4P pentru u=80 [grad],
n=20000 [rot/min], cu modelul dinamic A10
Dacă ridicăm faza de urcare la 80 grade, se poate ajunge până la n=20000 [rot/min], dar cu un randament scăzut la jumătate şi cu o acceleraţie maximă dublată, însă cu o ridicare maximă a supapei ceva mai mare, smax=4.99, (un minus reprezentându-l faza care acum este foarte mare, fig. 4.16).
Cursa maximă efectivă este scăzută, ca şi randamentul, în timp ce vârfurile acceleraţiilor sunt mai ridicate.
113
CAP. 5
DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE
CU TACHET DE TRANSLAŢIE CU ROLĂ (MODUL B)
În cadrul capitolului 5 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuţie, cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă (Modul B); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].
5.1. Prezentare generală
Mecanismele cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă (Modul B), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunţit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod normal acest tip de mecanism se studiază aproximativ, considerându-se, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, suficient un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta (vezi fig. 5.1.) prezintă însă o mare deficienţă datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt ce conduce la un studiu dinamic inadecvat.
Un studiu precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre
camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul Ar
având lungimea (modulul) rA şi unghiul de poziţie A.
La fel se defineşte poziţia punctului B (centrul rolei), prin
vectorul Br , care se poziţionează la rândul său prin, unghiul B şi
are lungimea rB.
114
0A
A
B
A-
Fn, vn
Fm, vm
Fa, va
Fi, viFn, vn
Fu, v2
B
B0
A0
A
O
x
e
s0
rb
r0
rA
rB
s
n
C
rb
Fig. 5.1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă
Între cei doi vectori prezentaţi ( BA rsir ) se formează un
unghi .
Unghiul 0 defineşte poziţia, de bază, a vectorului 0Br ,
în triunghiul dreptunghic OCB0, astfel încât putem scrie relaţiile (5.1-5.4):
bB rrr 00 (5.1)
22
0 0ers B (5.2)
0
0cosBr
e (5.3)
0
0
0sinBr
s (5.4)
115
Unghiul de presiune , care apare între normala n dusă prin punctul de contact A şi o verticală, are mărimea cunoscută dată de relaţiile (5.5-5.7):
22
0
0
)'()(cos
esss
ss
(5.5)
22
0 )'()(
'sin
esss
es
(5.6)
ss
estg
0
' (5.7)
Vectorul Ar se poate determina direct cu relaţiile (5.8-
5.9):
2
0
22 )cos()sin( bbA rssrer (5.8)
2
0
2 )cos()sin( bbA rssrer (5.9)
Putem determina direct şi unghiul A (5.10-5.11):
A
b
Ar
re
sincos
(5.10)
A
b
Ar
rss
cossin 0
(5.11)
5.2. Relaţiile pentru trasarea profilului camei
Se poate acum trasa direct profilul camei cu ajutorul
coordonatelor polare rA (cunoscută, vezi relaţia 5.9) şi A (care se determină cu relaţiile 5.12-5.17):
0 A (5.12)
116
00 sinsincoscoscos AA (5.13)
00 sincoscossinsin AA (5.14)
A (5.15)
sinsincoscoscos A (5.16)
cossincossinsin A (5.17)
5.3. Cinematica exactă la modulul B
Se determină în continuare câteva relaţii de calcul, necesare obţinerii cinematicii precise pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă.
Din triunghiul OCB (fig. 5.1.) se determină lungimea rB
(OB) şi unghiurile complementare B şi (unde unghiul B este
unghiul COB, iar unghiul complementar este de fapt unghiul CBO; aceste două unghiuri intuitive nu au mai fost trecute pe desenul din fig. 5.1. pentru a nu o încărca prea mult):
2
0
22 )( sserB (5.18)
2
BB rr (5.19)
B
Br
e sincos (5.20)
B
Br
ss 0cossin (5.21)
Din triunghiul oarecare OAB, la care se cunosc laturile OB şi AB şi unghiul dintre ele B (unghiul ABO), care reprezintă
suma unghiurilor şi , putem determina lungimea OA şi unghiul
(unghiul AOB):
sinsincoscos)cos( (5.22)
117
)cos(2222 BbbBA rrrrr (5.23)
BA
bBA
rr
rrr
2cos
222
(5.24)
cossincossin)sin( (5.25)
)sin(sin A
b
r
r (5.26)
Cu B şi putem acum să determinăm A:
BA (5.27)
Relaţia (5.27) o derivăm în raport cu timpul şi obţinem
A :
BA (5.28)
Se derivează expresia (5.20) şi se obţine B (5.32):
2
sinB
B
BBr
re
(5.29)
2
0 )( B
BB
Brss
rre
(5.30)
Pentru a afla Br se derivează expresia (5.18):
sssrr
sssrr
BB
BB
)(
)(22
0
0 (5.31)
Acum B se scrie sub forma (5.32):
22
0
0
)(
)(
BB
Br
se
rss
ssse
(5.32)
Expresia lui este ceva mai dificilă, pentru obţinerea ei
derivăm în raport cu timpul relaţia (5.24) şi obţinem expresia (5.33):
118
BBAABA
BABA
rrrrrr
rrrr
22sin2
cos2cos2
(5.33)
Din (5.33) se explicitează (5.38), care se poate
determina dacă obţinem mai întâi Ar prin derivarea expresiei
(5.23):
)()sin(2
)cos(222
Bb
BbBBAA
rr
rrrrrr (5.34)
Pentru rezolvarea expresiei (5.34) sunt necesare
derivatele şi .
Se derivează (5.7) şi se obţine (5.35 şi 5.36):
22
0
0
)'()(
)'(')('''
esss
essess
(5.35)
' (5.36)
Se observă faptul că este complementarul lui B, astfel încât vitezele lor (derivatele lor în raport cu timpul) sunt egale dar de semne contrare, astfel încât există relaţia:
2
B
Br
se
(5.37)
Acum putem calcula :
sin
coscos
BA
BBAABABA
rr
rrrrrrrr (5.38)
Se poate determina acum A (5.28) şi A (5.39):
AA (5.39)
În continuare reexprimăm funcţiile trigonometrice de
bază (sin şi cos) de unghiul A în alt mod decât prin relaţiile (5.10-5.11), pe baza calculelor anterioare:
119
22
0
22
0
)'()(
)'()'()(cos
esssr
esressse
A
b
A
(5.40)
22
0
22
00
)'()(
])'()([)(sin
esssr
resssss
A
b
A
(5.41)
Putem să obţinem acum expresia cos(A-):
cos'
)'()(
')()cos(
22
0
0
AA
Ar
s
esssr
sss (5.42)
Produsul cos(A-).cos se exprimă acum sub forma simplificată:
2cos'
cos)cos( A
Ar
s (5.43)
Putem scrie următoarele forţe şi viteze:
La intrare avem Fm şi vm perpendiculare pe vectorul rA. Ele se descompun în Fa (respectiv va), forţa şi viteza de alunecare dintre profile, şi în Fn (respectiv vn) forţa şi viteza normale la profil, care trec prin punctul B şi se descompun la rândul lor în două componente; forţa Fi (respectiv viteza vi), forţa şi viteza de încovoiere a tachetului (produc vibraţii, oscilaţii laterale) şi forţa Fu (respectiv viteza v2), adică forţa utilă care deplasează tachetul efectiv şi viteza sa de deplasare v2. În plus forţa Fa dă naştere la un moment Fa.rb care face ca rola să se rotească.
Scriem următoarele relaţii de forţe şi viteze:
)sin(
)sin(
Ama
Ama
FF
vv (5.44)
)cos(
)cos(
Amn
Amn
FF
vv (5.45)
sin
sin
ni
ni
FF
vv (5.46)
120
cos)cos(cos
cos)cos(cos2
Amnu
Amn
FFF
vvv (5.47)
5.4. Determinarea coeficientului TF la modulul B
Se determină în continuare coeficientul TF al mecanismului (coeficientul de transmitere a forţei, sau randamentul mecanic).
Puterea utilă se scrie:
22
2 cos)(cos Ammuu vFvFP (5.48)
Puterea consumată este:
mmc vFP (5.49)
Se determină coeficientul TF instantaneu:
4
2
222
222
22
cos'
]cos'
[
]cos)[cos(cos)(cos
cos)(cos
AA
AA
mm
Amm
c
u
i
r
s
r
s
vF
vF
P
P
(5.50)
5.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B
Se determină funcţia de transmitere a mişcării la modulul B, adică funcţia notată cu D.
121
Se reia viteza tachetului din expresia (5.47) şi se scrie sub forma (5.51):
22
22
2
cos'cos'
cos'
cos'
cos)cos(cos
ss
r
sr
r
sv
vvv
I
AA
A
AA
A
m
Amn
(5.51)
Pe de altă parte se cunoaşte pentru viteza tachetului expresia (5.52):
Dsv '2 (5.52)
Din egalarea celor două relaţii (5.51 şi 5.52) se identifică expresia lui D (5.53):
2cos I
AD (5.53)
Expresia lui cos2 se cunoaşte (5.54):
22
0
2
02
)'()(
)(cos
esss
ss
(5.54)
Expresia lui ’A este ceva mai dificilă având forma din relaţia (5.55):
]}')[(2)'()(
])/{[(])'()/[(
/]})'()()'(')(''[
)'()(])'(){[(
])'()(')[(
22
0
22
0
222
0
22
0
22
00
22
0
22
0
22
0
22
0
seessresss
ressesss
esssesssssr
esssesss
esssrseess
b
b
b
b
I
A
(5.55)
Se dau în continuare şi expresiile lui :
22
0
22
0
22
0
22
0
)'()(
]')[()'()(])[(
cos
esssrr
seessresssess
BA
b
(5.56)
122
22
0
0
)'()(
')(sin
esssrr
sssr
BA
b
(5.57)
5.6. Dinamica modulului B
Se utilizează pentru dinamica modulului B relaţia (3.203) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcţie de câţiva parametri de intrare. Relaţia solicită doar funcţia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obţinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraţiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X. Dacă dorim scrierea exactă a ecuaţiilor de viteze şi acceleraţii funcţia D trebuie derivată de două ori.
Relaţia dinamică utilizată fost notată cu (5.58 şi 5.59):
][2
'
])(
[2
)(
2
0
2
2**
2
2
02
2
2
kK
kxs
ykK
mmkK
K
skK
kxs
kK
kKk
X
TS
(5.58)
][2
)'(
])(
[2
)(
2
0
2
2**
2
2
02
2
2
kK
kxs
sDkK
mmkK
K
skK
kxs
kK
kKk
X
TS
(5.59)
Cunoscându-l pe X îl putem determina imediat pe X cu relaţia (5.60):
XsX (5.60)
123
5.7. Analiza dinamică la modulul B
În continuare se prezintă analiza dinamică a modulului B, pentru câteva legi de mişcare cunoscute.
Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 5.2.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât
şi la tachet, h=5 [mm]. Unghiul de fază este, u=c=65 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].
Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm].
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
0 50 100 150
a[m/s2]
1041.06s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=65 [grad]
k=30 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=20 [mm]
hs=5 [mm]
hT=5 [mm]
i=1;=9.8%
rb=20 [mm]
e=0 [mm]
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=6200
smax=4.82
amin= -2400
Fig. 5.2. Analiza dinamică la modulul B. Legea SIN, n=5500 [rot/min]
u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].
Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este,
e=0 [mm]. Randamentul are o valoare ridicată, =9.8%; reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=20 [mm].
124
Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 65 grade atingem aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade.
În figura 5.3. se poate urmări profilul aferent, trasat invers decât cele de la modulul C, adică cu profilul de ridicare în partea stângă şi cu cel de revenire în dreapta, (deoarece sensul de rotaţie a camei a fost şi el inversat, din orar în trigonometric).
Pentru legea cos vibraţiile sunt mai liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se vedea diagrama dinamică din figura 5.4.).
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-20 -10 0 10 20
yC [mm]
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u= 65[grad]
c= 65[grad]
r0= 13[mm]
rb = 20[mm]
e= 0[mm]
hT= 5[mm]
Legea SIN
Suportã o turatie n=5500[rot/min]
Fig. 5.3. Profilul SIN la modulul B. n=5500 [rot/min]
u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].
125
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
0 50 100 150
a[m/s2]
577.42s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=65 [grad]
k=30 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=30 [mm]
hs=5 [mm]
hT=5 [mm]
i=1;=8.7%
rb=20 [mm]
e=0 [mm]
legea: cos-0
y=.5-.5cos(x)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=3400
smax=4.75
amin= -1600
Fig. 5.4. Analiza dinamică la modulul B. Legea COS, n=5500
[rot/min], u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].
Turaţia aleasă este de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=5 [mm].
Unghiul de fază este, u=c=65 [grad];
Raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].
Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm].
Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm].
Un studiu dinamic arată că ce se câştigă la randament în una din faze (urcare sau coborâre) datorită excentricităţii, e, se pierde în faza cealaltă, astfel încât, e, poate regla o fază şi în acelaşi timp o dereglează pe cealaltă.
Iată un motiv serios ca valoarea adoptată a lui e să fie zero.
Randamentul mecanismului are o valoare ridicată (mai
mare decât cea de la modulul clasic, C), =8.7%, dar mai redusă cu un procent comparativ cu legea sin.
126
Reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=30 [mm]. Profilul COS (pentru modulul dinamic B), corespunzător diagramei dinamice din figura 5.4., este trasat în figura 5.5. Profilul de ridicare, sau de urcare, sau de atac, este cel din stânga, iar cel de revenire (sau coborâre), este situat în dreapta. Ca o primă observaţie aceste profiluri sunt mai rotunjite şi mai pline, comparativ cu cele de la modulul clasic, C.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-20 -10 0 10 20
yC [mm]
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u= 65[grad]
c= 65[grad]
r0= 13[mm]
rb = 20[mm]
e= 0[mm]
hT= 5[mm]
Legea COS
Suportã o turatie n=5500[rot/min]
Fig. 5.5. Profilul COS la modulul B. n=5500 [rot/min]
u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=20 [mm], hT=5 [mm].
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
0 50 100 150 200 a[m/s2]
1920,48s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=80 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=50 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.3%
rb=3 [mm]
e=0 [mm]
legea: C4P1-0
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=13000
smax=5.37
amin= -600
Fig. 5.6. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-0,
n=5500 [rot/min], u=80 [grad], r0=13 [mm], rb=3 [mm], hT=6 [mm].
127
În figura 5.6. se analizează dinamic legea C4P, sintetizată de autor, pornind de la o turaţie n=5500 [rot/min].
Vârfurile negative ale acceleraţiilor sunt foarte reduse (funcţionare normală, cu zgomote şi vibraţii scăzute). Ridicarea efectivă a supapei este suficient de mare, smax=5.37 [mm], comparativ cu h impus de 6 [mm]. Randamentul se
păstrează în limite normale, =8.3%. În figura 5.7. se prezintă profilul corespunzător.
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-20 -10 0 10 20
yC [mm]
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u= 80[grad]
c= 80[grad]
r0= 13[mm]
rb = 3[mm]
e= 0[mm]
hT= 6[mm]
Legea C4P1-0
Suportã o turatie n=5500[rot/min]
Fig. 5.7. Profilul C4P la modulul B.
Pentru această lege sintetizată se observă faptul că modulul B păstrează o rezervă de turaţie şi randament.
128
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 50 100 150 200 a[m/s2]
7874,63s*k[mm] k=
n=10000[rot/min]
u=80 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=50 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.3%
rb=3 [mm]
e=0 [mm]
legea: C4P1-1
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolã
amax=50000
smax=5.37
amin= -1700
Fig. 5.8. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-1, n=10000 [rot/min].
În figura 5.8. turaţia a crescut până la 10000 [rot/min], iar în fig. 5.9. ea a atins 15000 [rot/min], pentru ca în diagrama dinamică din figura 5.10. turaţia motorului să devină 20000 [rot/min].
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
6719,04s*k[mm] k=
n=15000[rot/min]
u=80 [grad]
k=150 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=80 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.3%
rb=3 [mm]
e=0 [mm]
legea: C4P1-2
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=33000
smax=3.91
amin= -3800
Fig. 5.9. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-2, n=15000 [rot/min].
129
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
0 50 100 150 200a[m/s2]
14229,64s*k[mm] k=
n=20000[rot/min]
u=80 [grad]
k=150 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=80 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=8.3%
rb=3 [mm]
e=0 [mm]
legea: C4P1-3
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=69000
smax=3.91
amin= -6400
Fig. 5.10. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-3, n=20000 [rot/min].
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
10103,95s*k[mm] k=
n=30000[rot/min]
u=80 [grad]
k=400 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=150 [mm]
hs=10 [mm]
hT=10 [mm]
i=1;=12.7%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
legea: C4P1-4
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=49000
smax=3.88
amin= -19000
Fig. 5.11. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-4, n=30000 [rot/min].
130
-40000
-20000
0
20000
40000
60000
80000
100000
120000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
19963,94s*k[mm] k=
n=40000[rot/min]
u=80 [grad]
k=400 [N/mm]
r0=13 [mm]
x0=150 [mm]
hs=10 [mm]
hT=10 [mm]
i=1;=12.7%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
legea: C4P1-5
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolã
amax=97000
smax=3.88
amin= -33000
Fig. 5.12. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-5, n=40000 [rot/min].
În diagramele din figurile 5.11. şi 5.12. turaţia creşte până la 30000 şi respectiv 40000 [rot/min], în vreme ce randamentul creşte şi el, în detrimentul lui smax care abia mai atinge valoarea de 3.88 [mm].
Se poate vorbi în mod evident de un avantaj al tachetului cu rolă, sau bilă, (Modul B), faţă de tachetul clasic cu talpă, (Modul C).
Se pot obţine aşadar turaţii ridicate, dar şi randamente superioare, cu ajutorul modulului B, fapt care relansează cursa pentru construirea unui motor compact.
În figura 5.13. este prezentată dinamica modulului B pentru legea arctangent.
Turaţia aleasă este de n=20000 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=10 [mm].
Unghiul de fază este, u=c=80 [grad];
Raza cercului de bază are valoarea, r0=6 [mm].
Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=6 [mm].
131
Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm].
Randamentul mecanismului are o valoare foarte ridicată,
=24.8%.
Reglajele resortului sunt, k=250 [N/mm] şi x0=100 [mm].
Profilul corespunzător poate fi urmărit în figura 5.14.
-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0
20000
40000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
3172.40s*k[mm] k=
n=20000[rot/min]
u=80 [grad]
k=250 [N/mm]
r0=6 [mm]
x0=100 [mm]
hs=10 [mm]
hT=10 [mm]
i=1;=24.8%
rb=6 [mm]
e=0 [mm]
legea: ATAN-1
y=arctg(x/a)
a=0.642
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=23000
smax=5.88
amin= -99000
Fig. 5.13. Analiza dinamică la modulul B. Legea ATAN, n=20000 [rot/min].
Aşa cum se poate observa raza cercului de bază este mult mai mică decât în mod normal, ajungând egală sau chiar mai mică decât ridicarea teoretică, h.
Este o proprietate importantă, a unor legi (cum ar fi legile logaritm, radical, putere, e la x, arctangent, arcsin, etc…), care trebuie exploatată în mod corespunzător, astfel încât pe baza reducerii razei de bază, r0, în raport cu înălţimea, h, să obţinem un randament superior şi o ridicare suficientă, în condiţiile creşterii turaţiei motorului. Proprietatea acestor legi este valabilă în toate
132
sistemele dinamice (pentru toate modulele), dar poate fi exploatată în mod special în unele dintre ele, printre care şi modulul B, modulul care utilizează tachetul de translaţie cu rolă (sau cu bilă). Dezavantajul tuturor acestor legi este apariţia unui şoc la trecerea de la ridicare la coborâre, care mai poate fi atenuat parţial printr-o racordare optimă în zona de vârf a camei. Fără acest şoc legile ar fi fost extraordinare. Oricum ele sunt de preferat legilor clasice, dar cea mai bună lege este până la urmă polinomiala particulară de gradul II, C4P - net superioară faţă de legile prezentate (studiate) până acum.
În acest caz sunt necesare racordări suplimentare pe profil, la ridicare, la revenire, dar şi (mai ales) la vârf (la conexiunea dintre cele două profile urcare-coborâre).
-10
-5
0
5
10
15
-15 -10 -5 0 5 10
Series1
u= 80[grad]
c= 80[grad]
r0= 6[mm]
rb = 6[mm]
e= 0[mm]
hT= 6[mm]
Legea ATAN-1
Fig. 5.14. Profilul ATAN la modulul B.
133
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
448,64s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=200 [N/mm]
r0=5 [mm]
x0=30 [mm]
hs=6 [mm]
hT=6 [mm]
i=1;=22.9%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
y=(ex-e
-x)/a
a=2.35040238
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolã amax=2400smax=4.31
amin= -12500
Fig. 5.15. Analiza dinamică la modulul B. Legea y=(ex-e-x)/a, n=5500 [rot/min].
Legea a
eey
xx acţionează asemănător cu legea
atan, putând genera turaţii mari şi mai ales randamente ridicate,
pe seama scăderii raportului h
r0. În figura 5.15. se urmăreşte
analiza dinamică la modulul B, pentru legea elax, iar în fig. 5.16. se poate vedea profilul corespunzător.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
Series1
u= 75[grad]
c= 75[grad]
r0= 5[mm]
rb = 2[mm]
e= 0[mm]
hT= 6[mm]
Legea
y=(ex -e
-x)/a
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
Fig. 5.16. Profilul y=(ex-e-x)/a, la modulul B.
134
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
448,76s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=85 [grad]
k=80 [N/mm]
r0=6 [mm]
x0=40 [mm]
hs=8 [mm]
hT=8 [mm]
i=1;=21.%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
legea:Putere-0
y=2x-1
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolã amax=3900smax=6.99
amin= -14800
Fig. 5.17. Analiza dinamică la modulul B. Legea Putere, n=5500 [rot/min].
În figura 5.17. se prezintă analiza dinamică a legii Putere, iar în fig. 5.18. se poate urmări profilul corespunzător.
-10
-5
0
5
10
15
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Series1
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u=
85[grad]
c=
85[grad]
r0= 6[mm]
rb = 2[mm]
e= 0[mm]
hT= 8[mm]
Legea
Fig. 5.18. Profilul Putere, la modulul B.
135
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
397,98s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=80 [N/mm]
r0=8 [mm]
x0=60 [mm]
hs=10 [mm]
hT=10 [mm]
i=1;=13.3%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
legea: Rad-0
a=0.001;b=0.5
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=4300 smax=8.75
amin= -10000
y=((x+a)b-ab)/((a+1)b-ab)
Fig. 5.19. Analiza dinamică la modulul B. Legea Radical, a=0.001.
În figura 5.19. se prezintă analiza dinamică a legii Radical, unde b=0.5, iar parametrul a ia valoarea 0.001; Vârfurile acceleraţiilor sunt în limite acceptabile (pentru asemenea tipuri de legi), dar randamentul nu mai ia valori de peste 20%, ci doar circa 13.3%. În fig. 5.20. se poate urmări profilul corespunzător.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series1
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u= 75[grad]
c= 75[grad]
r0= 8[mm]
rb = 2[mm]
e= 0[mm]
hT= 10[mm]
Legea RAD-0
a=0.001;b=0.5
Fig. 5.20. Profilul Radical, cu a=0.001, (la modulul B).
136
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
705.59s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=75 [grad]
k=80 [N/mm]
r0=8 [mm]
x0=60 [mm]
hs=10 [mm]
hT=10 [mm]
i=1;=22.2%
rb=3 [mm]
e=0 [mm]
legea: Rad-1
a=1;b=0.5
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolãamax=7700
smax=8.71
amin= -16000
y=((x+a)b-ab)/((a+1)b-ab)
Fig. 5.21. Analiza dinamică la modulul B. Legea Radical, a=1.
În figura 5.21. se prezintă analiza dinamică a legii Radical, unde b=0.5, iar parametrul a ia valoarea 1; Vârfurile acceleraţiilor sunt în limite acceptabile (pentru asemenea tipuri de legi) şi în plus randamentul ia valori de peste 20%, mai exact 22%. În fig. 5.22. se poate urmări profilul corespunzător.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-15 -10 -5 0 5 10
Series1
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolãu= 75[grad]
c= 75[grad]
r0= 8[mm]
rb = 3[mm]
e= 0[mm]
hT= 10[mm]
Legea RAD-1
a=1;b=0.5
Fig. 5.22. Profilul Radical, cu a=1, (la modulul B).
137
-35000
-30000
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0 50 100 150
a[m/s2]
902,62s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=55 [grad]
k=120 [N/mm]
r0=8 [mm]
x0=60 [mm]
hs=12 [mm]
hT=12 [mm]
i=1;=24.3%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
legea:Log-0
a=1
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolã amax=11000smax=10.00
amin= -32000
y=(ln(x+a)-ln(a))/(ln(a+1)-ln(a))
Fig. 5.23. Analiza dinamică la modulul B. Legea Logaritm
natural, u=55[grad].
În figura 5.23. se prezintă analiza dinamică la modulul B, pentru legea Logaritm (natural), cu faza de urcare şi coborâre de 55 grade fiecare. Această fază scurtă forţează creşterea randamentului la valori de circa 30%, dar vârful negativ este ridicat. Profilul corespunzător se poate urmări în figura 5.24.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
Series1
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u= 55[grad]
c= 55[grad]
r0= 8[mm]
rb = 2[mm]
e= 0[mm]
hT= 12[mm]
Legea LOG-0
a=1
Fig. 5.24. Profilul Logaritm, cu u=55[grad] (la modulul B).
138
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
937,35s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=85 [grad]
k=80 [N/mm]
r0=8 [mm]
x0=40 [mm]
hs=12 [mm]
hT=12 [mm]
i=1;=19.5%
rb=2 [mm]
e=0 [mm]
legea:Log-1
a=1
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
translant cu rolã amax=12900
smax=11.00
amin= -13000
y=(ln(x+a)-ln(a))/(ln(a+1)-ln(a))
Fig. 5.25. Analiza dinamică la modulul B. Legea Logaritm
natural, u=85[grad].
În figura 5.25. se vede cum relaxând faza de la 55 la 85 grade, vârfurile negative scad, dar din păcate scade de asemenea şi randamentul mecanismului, de la circa 24% la aproximativ 20%. Profilul corespunzător poate fi urmărit în figura 5.26.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-15 -10 -5 0 5 10
Series1
PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã
u= 85[grad]
c= 85[grad]
r0= 8[mm]
rb =2[mm]
e= 0[mm]
hT= 12[mm]
Legea LOG-1
a=1
Fig. 5.26. Profilul Logaritm, cu u=85[grad] (la modulul B).
139
CAP. 6
DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE
CU TACHET BALANSIER CU ROLĂ (MODUL F)
În cadrul capitolului 6 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuţie, cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].
6.1. Prezentare generală
Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F), (fig. 6.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care ne obligă la un studiu mai amănunţit dacă dorim să determinăm cu precizie cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod obişnuit studiul acestui tip de mecanism se face aproximativ, (vezi figura 6.1.) considerându-se suficient, atât pentru cinematică cât şi pentru cinetostatică, un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea aceasta prezintă însă o mare deficienţă, datorită faptului că se neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt care conduce la un studiu dinamic inadecvat.
Un studiu foarte precis (exact), este posibil doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre camă şi rola tachetului).
Punctul A este definit de vectorul Ar având lungimea
(modulul) rA şi unghiul de poziţie A măsurat de la axa OX.
În calculele care vor fi prezentate vectorul Ar va mai fi
poziţionat şi prin unghiul A, care în loc să plece de la axa OX se măsoară de la axa OD.
140
0
A
A
2B
B
B0
A0
x
rb
r0
rA
rB
A
OD
0
d
b
b
B
Fig. 6.1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă
La fel se defineşte poziţia punctului B (centrul rolei), prin
vectorul Br , care se poziţionează la rândul său prin, unghiul B
faţă de axa OX şi prin unghiul B faţă de axa OD şi are lungimea rB.
Între cei doi vectori prezentaţi ( BA rsir ) se formează un
unghi .
Unghiul 0 defineşte poziţia, de bază (iniţială), a
vectorului 0Br , în triunghiul dreptunghic ODB0, fiind măsurat de
la axa OD.
Rotaţia camei (arborelui de distribuţie), dată de unghiul
, se măsoară de la axa OX până la vectorul 0Br . Această rotaţie
reprezintă unghiul, , cu care s-a rotit arborele cu came din
poziţia iniţială (dată de vectorul 0Br , vector ce coincide cu axa
OX în poziţia iniţială), până în poziţia curentă, când axa OX ocupă o nouă poziţie (vezi fig. 6.1.); deşi rotaţia arborelui de
141
distribuţie este orară, sensul de construcţie al profilului camei este
cel trigonometric, fapt pentru care vom inscripţiona unghiul invers, de la axa OX, în poziţia curentă până la poziţia ei iniţială,
care coincide cu vectorul 0Br .
În timp ce arborele cu came se roteşte cu unghiul ,
vectorul Ar , se roteşte cu unghiul A, iar între cele două unghiuri
A şi apare un defazaj notat pe figura 6.1. cu .
Defazajul , apare şi între unghiurile A şi 0, fapt care ne ajută la determinarea exactă a valorii lui.
Raza tachetului, DB, egală cu b, în poziţia iniţială DB0,
face cu axa OD unghiul 0, constant care poate fi determinat cu uşurinţă din triunghiul ODB0, ale cărui laturi au lungimi cunoscute: OD=d, DB0=b, OB0=r0+rb, unde r0 este raza cercului de bază (al camei) iar rb reprezintă raza rolei tachetului (care poate fi un bolţ, o rotiţă, o rolă, un rulment, sau o bilă).
2
B
Brb
rA
rB
A
OD
d
b
B2
Fig. 6.2. Determinarea unghiului B la mecanismul
cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.
142
Din poziţia iniţială şi până în poziţia curentă, tachetul se
roteşte în jurul lui D cu un unghi cunoscut, . Acest unghi, , este dat de legea de mişcare a tachetului şi este o funcţie de
unghiul ; el este cunoscut împreună şi cu derivatele sale: ’, ’’,
’’’, etc.
În general este mai uşor de exprimat mişcarea tachetului
faţă de axa OD, astfel încât apare unghiul 2=0+. Derivatele
lui 2, sunt egale cu cele cunoscute, ale lui , deoarece unghiul 0
este o constantă (deci nu variază nici cu unghiul de intrare ).
Din triunghiul ODB, în care se cunosc lungimile OD=d,
DB=b şi unghiul 2, se determină lungimea OB=rB, unghiul
DOB=B şi unghiul OBD=2.
În continuare se determină unghiul OBA=B, aparţinând triunghiului OBA (vezi figura 6.2.). Unghiul B căutat, împreună
cu unghiurile 2 şi însumează 1800. Unghiul de transmitere
este complementul unghiului de presiune , care se va determina în cadrul paragrafului următor. Putem scrie relaţia (6.1):
22
22
9090180
)90(180180
B (6.1)
În triunghiul OAB (vezi figurile 6.1. şi 6.2.) se cunosc acum lungimile elementelor AB=rb şi OB=rB, cât şi mărimea unghiului B (vezi relaţia 6.1).
Putem determina în continuare lungimea OA=rA,
mărimea unghiului AOB= şi mărimea unghiului OAB (vezi figura 6.2.).
Cu relaţia (6.2) obţinem valoarea unghiului A:
BA (6.2)
Acum putem să-l determinăm pe cu relaţia (6.3):
0 A (6.3)
În continuare se determină unghiul A cu relaţia (6.4):
A (6.4)
143
Cu coordonatele polare rA şi A, acum deja cunoscute, se poate sintetiza profilul camei.
Pentru o trasare mai rapidă se preferă coordonatele carteziene, xA şi yA:
AAA
AAA
ry
rx
sin
cos (6.5)
În continuare se stabilesc forţele şi vitezele care acţionează în mecanism, în cuplele lui, cât şi pe elementele sale. Astfel se determină randamentul mecanic, al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă, cinematica precisă a mecanismului (funcţia de transmitere a mişcării, de la camă la tachet, la acest tip de mecanism - Modul F) şi putem trece în final la studiul dinamic al mecanismului (odată determinată funcţia sa de transmitere a mişcării).
Pentru a demara toate aceste calcule (anticipate) este
necesar mai întâi să determinăm unghiul de presiune, , pe care mecanismul îl face între forţa utilă (perpendiculară pe tachet în punctul B) şi forţa normală (care este în lungul normalei n-n, normală ce trece prin punctele A şi B, constituind normala comună între profilul camei şi cel al rolei tachetului, în punctul A).
6.2. Determinarea unghiului de presiune,
Determinarea unghiului de presiune, , la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F),
(fig. 6.3.), se face în modul următor. Unghiul de presiune, , apare între direcţia n-n şi dreapta t-t. Dreapta n-n trece prin B şi este normală la cele două profile în contact (cel al camei şi cel al rolei tachetului). Dreapta t-t este perpendiculară în B pe segmentul DB.
Se construieşte la scară, triunghiul vitezelor rotite cu 900 (vezi figura 6.3.); viteza camei în B (vB1) apare în lungul lui BO de
144
la B la O, viteza redusă a tachetului în B, (vB2) apare în lungul lui BD de la B la b2, iar viteza de alunecare dintre profile în punctul B (vB2B1) apare în lungul lui n-n de la O la b2. Se alege polul
vitezelor rabătute, Pv, în B şi scara vitezelor kv=kl.1.
(BO)=(Pvb1)=vB1/[kl.1]; (Bb2)=(Pvb2)=vB2/[kl.1];
(Ob2)=(b1b2)=vB2B1/[kl.1].
Se pot exprima lungimile reale de pe desen; sistemul (6.6) şi relaţia (6.7):
bbd
bbdDbCDCb
bbDb
dOCdCD
bv
BbbDBB
'cos
)'(cos
'
sin;cos
';
2
222
2
22
1
22
(6.6)
2
B
rB
O D
d
b
C
b2
n
n
t
t
Fig. 6.3. Determinarea unghiului de presiune, , la
mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.
145
Din triunghiul oarecare ODb2 se exprimă lungimea Ob2, (relaţia 6.7):
2
22
2
cos)'(2)'(
bbdbbd
RADOb (6.7)
Se pot determina acum funcţiile trigonometrice sin, cos şi
tg, ale unghiului de presiune , (vezi relaţiile 6.8-6.10):
RAD
bbd
bbdbbd
bbd
'cos
cos)'(2)'(
'cossin
2
2
22
2
(6.8)
RAD
d
bbdbbd
d
2
2
22
2
sin
cos)'(2)'(
sincos
(6.9)
2
2
sin
'cos
d
bbdtg (6.10)
6.3. Determinarea unghiului de presiune
suplimentar (intermediar),
În continuare se determină unghiul de presiune-
suplimentar, , la mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) cu rolă (Modul F). Acest unghi apare între direcţia n-n şi segmentul de dreaptă AA’, perpendicular în A pe OA (vezi figura 6.4.).
146
2
BrbA
OD
d
b
B 2
AA’
n
n
rA
Fig. 6.4. Determinarea unghiului de presiune-suplimentar, ,
la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.
Din triunghiul oarecare OAB s-a exprimat şi unghiul OAB (vezi figura 6.4.). Din unghiul OAB scădem 900 şi obţinem
direct unghiul de presiune suplimentar, . Este una din multiplele
modalităţi prin care se poate determina unghiul , dar probabil şi cea mai simplă (cea mai rapidă şi mai directă). Relaţiile de calcul sunt următoarele:
90OAB (6.11)
)cos()90sin(
)90sin(sin
OABOAB
OAB
(6.12)
B
r
rOAB
OABOAB
A
B sin)sin(
)90cos()90cos(cos
(6.13)
B
Br
bd 2coscos
(6.14)
147
B
Br
b 2sinsin
(6.15)
RAD
bbd
'cossin 2
(6.16)
RAD
d 2sincos
(6.17)
RAD
bd
RAD
d
RAD
bbd
)'1(cos
sinsincos
'cos
cossincossin)sin(
2
22
2
2
222
(6.18)
RAD
b
RAD
bbdd
)'1(sin
sinsin'sincoscossin
sinsincoscos)cos(
2
222222
222
(6.19)
B
BBB
B
B
BB
r
bB
r
b
r
b
RAD
d
RADr
bd
RADr
bdb
RADr
bbd
B
cos'sin
cos''sin'sin
)'1(sin)'1(sincos
)'1(cossinsin
cos)cos(sin)sin(sin
22
222
2
22
2
2
22
(6.20)
cos'
cos
cos'cos'sincos
A
ABA
B
A
B
r
b
r
b
r
b
r
rB
r
r
(6.21)
148
Am reuşit astfel să-l exprimăm pe cos într-o formă simplificată (vezi formula 6.21), care ne va permite determinarea directă a randamentului mecanismului, determinarea directă a funcţiei de transmitere a mişcării şi mai departe cu ajutorul acesteia realizarea directă a dinamicii mecanismului.
6.4. Cinematica de bază la Modulul F
În continuare se determină câţiva parametri cinematici (care constituie baza acestui mecanism) ai mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.
db
rrdb b
2
)(cos
2
0
22
0 (6.22)
02 (6.23)
2
222 cos)'1(2)'1( dbbdRAD (6.24)
RAD
bbd
'cossin 2
(6.25)
RAD
d 2sincos
(6.26)
2
2
sin
'cos
d
bbdtg (6.27)
2
2
22 cossin
'cos'sin'''
d
tgddb (6.28)
2
222 cos2 dbdbrB (6.29)
2
BB rr (6.30)
149
B
I
Br
dbr
'sin 2 (6.31)
B
B
Brd
brd
2cos
222
(6.32)
B
Br
b 2sinsin
(6.33)
'2 2
222
B
BI
Br
rbd (6.34)
RAD
bd )'1(cos
cossincossin)sin(
2
222
(6.35)
RAD
b )'1(sin
sinsincoscos)cos(
2
222
(6.36)
RADr
bdbd
B
B
BB
)'2(cos)'1(
)cos(sincos)sin(cos
2
22
22
(6.37)
cos'
cos)cos(
sin)sin(sin
2
2
B
B
B
r
b
B
(6.38)
Brrrrr BbbBA cos2222 (6.39)
2
AA rr (6.40)
BA
bBA
rr
rrr
2cos
222
(6.41)
150
Br
r
A
b sinsin (6.42)
'''' BB (6.43)
A
BbBbBB
Ar
BBrrBrrrrr
'sincos''
' (6.44)
)sin'(coscos
''
A
A
A
b
r
rBBB
r
r
(6.45)
BA (6.46)
''' BA (6.47)
sinsincoscoscos BBA (6.48)
sincoscossinsin BBA (6.49)
2A (6.50)
AA
A
cos)cos(sin)sin(
)cos(cos
22
2
(6.51)
cos'
cos
Ar
b (6.52)
2cos'
coscos
Ar
b (6.53)
A (6.54)
0 A (6.55)
AA (6.56)
'' 1 AA (6.57)
151
6.5. Relaţiile pentru trasarea profilului camei, la Modulul F
În continuare se determină câţiva parametri cinematici cu ajutorul cărora se poate trasa direct profilul camei, pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă.
drr
bdrr
b
b
)(2
)(cos
0
222
0
0 (6.58)
brr
b
0
0
0
sinsin
(6.59)
00 sinsincoscoscos AA (6.60)
AA cossincossinsin 00 (6.61)
sinsincoscoscos A (6.62)
cossincossinsin A (6.63)
AAA rx cos (6.64)
AAA ry sin (6.65)
6.6. Determinarea coeficientului TF la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier
cu rolă, ( Modul F)
În continuare se determină coeficientul TF al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F).
Forţele şi vitezele transmise de mecanism se pot urmări în figura 6.5.
152
0
A
A
2
B
Fn, vn
Fm, vmFa, va
Fc, vc
Fn, vn
Fu, vu
B
B0
A0
x
rb
r0
rA
rB
A
B
OD
0
d
b
b
Fig. 6.5. Forţele şi vitezele la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă. Determinarea coeficientului TF al
mecanismului.
Putem scrie următoarele forţe şi viteze (sistemul 6.66):
mmc
mmuu
mnu
mnu
nc
nc
mn
mn
ma
ma
vFP
vFvFP
vvv
FFF
vv
FF
vv
FF
vv
FF
22
2 coscos
coscoscos
coscoscos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
(6.66)
153
Unde Fm şi vm reprezintă forţa de intrare şi respectiv viteza de intrare, ambele perpendiculare pe OA în A.
Forţa Fm se descompune în două componente: Fa şi Fn.
Componenta Fa este o forţă de alunecare între profile, tangentă la cele două profile în contact în punctul A, ea producând alunecarea dintre cele două profile (cel al camei şi cel al rolei tachetului). Această componentă dă şi un moment faţă de centrul rolei B, (M=Fa.rb), moment care poate produce rostogolirea rolei (acest lucru este avantajos, deoarece se schimbă mereu punctul de contact de pe rolă, uzura acesteia fiind astfel redusă şi uniformizată pe toată suprafaţa rolei).
Componenta Fn, este cea principală, care se transmite rolei şi apoi tachetului. Ea este perpendiculară pe Fa şi tangentă la dreapta n-n care trece prin punctele A şi B. Când tachetul urcă (ca în figura 6.5.) forţa Fn apasă pe rolă, deci este îndreptată de la A la B. Forţa Fn se transmite radial până în centrul rolei unde se descompune în două componente, pe două direcţii: o direcţie este în lungul tachetului de la B la D, iar cealaltă direcţie este perpendiculară pe tachet (pe DB) în B. Componenta Fc apasă tachetul în lungul lui, comprimându-l, iar componenta Fu perpendiculară în B pe DB, produce rotaţia tachetului în jurul articulaţiei D, ea fiind până la urmă singura componentă utilă.
Viteza de intrare vm, se descompune într-o viteză de alunecare între profile, va, sau de rostogolire a rolei în raport cu cama în jurul articulaţiei B, cât şi într-o viteză normală (sau radială), vn.
Componenta normală (radială), vn, se descompune la rândul ei în alte două componente: vc şi vu. Viteza vu fiind singura componentă utilă, care roteşte tachetul efectiv în jurul articulaţiei fixe D.
Relaţiile de legătură între forţe, cât şi cele dintre viteze, se dau în sistemul (6.66). Aşa cum se poate observa există două
unghiuri de presiune, şi .
Coeficientul TF instantaneu al mecanismului (vezi relaţia 6.67), este raportul dintre puterea utilă şi cea consumată, astfel încât utilizând ultimele două relaţii din sistemul (6.66), obţinem expresia coeficientului TF instantaneu al mecanismului (6.67),
154
222 )cos(coscoscos i , adică, tocmai
produsul cosinusurilor celor două unghiuri de presiune, ridicat la pătrat. Utilizând relaţia (6.53), obţinem forma finală a expresiei coeficientului TF (vezi relaţia 6.67), în care unghiul de presiune
intermediar, , (suplimentar), este eliminat.
4
2
2222
222
cos'
)cos'
(
)cos(coscoscos
AA
c
ui
r
b
r
b
P
P
(6.67)
6.7. Determinarea funcţiei de transmitere a mişcării, la mecanismul cu camă rotativă şi
tachet balansier cu rolă, ( Modul F)
În continuare se determină funcţia de transmitere a mişcării la mecanismul cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă (Modul F), funcţie notată cu D.
Cum am arătat în capitolele precedente, între viteza utilă şi viteza cunoscută v2 a tachetului apare o diferenţă pe care o înglobăm în coeficientul de transmitere D, sau funcţia de transmitere, D.
Scriem viteza redusă a tachetului vB2r sub forma cunoscută (6.68):
'22
b
vv B
rB (6.68)
Viteza absolută a tachetului în B, se obţine înmulţind
viteza redusă cu (6.69):
'2 bvB (6.69)
O să scriem însă această viteză sub forma (6.70), împreună cu un coeficient de tansmitere a mişcării, D:
155
Dbv '2 (6.70)
Viteza utilă obţinută din figura (6.5.) şi a cărei expresie se regăseşte în sistemul (6.66), o rescriem în relaţia (6.71), unde
introducem pentru produsul coscos valoarea obţinută în expresia (6.53):
2cos'
coscos
A
mmur
bvvv (6.71)
Pentru viteza de intrare vm luăm în varianta (1), convenabilă din punct de vedere dinamic, valoarea dată de expresia (6.72):
'
AAAAm rrv (6.72)
Cu relaţia (6.72) expresia (6.71) capătă forma (6.73):
)cos('cos' 2'2'
A
A
AAu br
brv (6.73)
Comparând expresiile (6.70) şi (6.73) identificăm coeficientul D sub forma (6.74):
2' cos AD (6.74)
În varianta (2), clasică şi raţională, viteza de intrare vm este dată de relaţia (6.75):
Am rv (6.75)
Caz în care funcţia de transmitere D ia forma simplificată (6.76):
2cosD (6.76)
Pentru calculul dinamic, se va utiliza pentru funcţia de transmitere a mişcării, D, expresia completă (6.74), care convine din punct de vedere al rezultatelor, adepţii mecanicii clasice
156
putând lua expresia (6.76), sau putând considera tot calculele
dinamice dezvoltate pentru varianta (1), însă cu 1' A .
6.8. Dinamica la Modulul F
Pentru calculul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier cu rolă se utilizează tot aceeaşi relaţie dinamică prezentată la capitolele anterioare (6.77), (6.78), (6.79):
Se utilizează pentru dinamica modulului F relaţia finală (3.203) de la cap. 3 şi un program de calcul care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcţie de câţiva parametri de intrare. Relaţia solicită doar funcţia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obţinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraţiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X. Dacă dorim scrierea exactă a ecuaţiilor de viteze şi acceleraţii funcţia D trebuie derivată de două ori.
][2
'
])(
[2
)(
2
0
2
2**
2
2
02
2
2
kK
kxs
ykK
mmkK
K
skK
kxs
kK
kKk
X
TS
(6.77)
][2
)'(
])(
[2
)(
2
0
2
2**
2
2
02
2
2
kK
kxs
sDkK
mmkK
K
skK
kxs
kK
kKk
X
TS
(6.78)
Cunoscându-l pe X îl putem determina imediat pe X cu relaţia (6.79):
XsX (6.79)
Deplasarea supapei, s, se obţine la Modulul F, înmulţind l
cu (vezi figura 6.6.). Cum i este dat de raportul b/l, iar i şi b se cunosc, se poate determina l ca fiind raportul dintre b şi i
157
cunoscute (vezi relaţia 6.80), iar s şi derivatele lui se pot exprima cu grupul de relaţii (6.81)
i
bl (6.80)
O
D
bB
d
l
F
Fig. 6.6. Transformarea mişcării de rotaţie a tachetului,
în mişcare de translaţie a supapei. Schemă simplificată.
'
'''''
''''
''
i
bs
i
bs
i
bs
i
bs
(6.81)
158
6.9. Analiza dinamică a modulului F
Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 6.7.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât
şi la tachet, h=10 [mm]. Unghiul de fază este, u=c=60 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=24 [mm].
Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=20 [mm]; b=20[mm]; d=50[mm];
Coeficientul TF are o valoare ridicată, =12.0%; reglajele resortului sunt: k=60 [N/mm] şi x0=30 [mm].
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
0 50 100 150
a[m/s2]
1051.14s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=60 [grad]
k=60 [N/mm]
r0=24 [mm]
rb=20 [mm]
b=20 [mm]
d=50 [mm]
x0=30 [mm]
i=1;=12.0%
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
balansier cu rolã (Modul F) - A12
amax=13000s max =9.9
amin= -5300
Fig. 6.7. Analiza dinamică la modulul F. Legea SIN, n=5500 [rot/min]
u=60 [grad], r0=24 [mm], rb=20 [mm].
159
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 -20 0 20 40
Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul F.Suportã o turatie
n=5500[rot/min]
u=c=60[grad]
r0=24 [mm]
rb=20 [mm]
b=20 [mm]
d=50 [mm]
i=1 l=b/i
legea:sin
y=x-sin(2x)/(2)
Fig. 6.8. Profilul SIN la modulul F. n=5500 [rot/min]
u=60 [grad], r0=24 [mm], rb=20 [mm].
Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a Modulului clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 60 grade se ating aceleaşi vârfuri de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80 grade. În plus şi deplasarea maximă a tachetului (cursa), hT, este mai mare (aproape dublă). În figura 6.8. se poate urmări profilul aferent. Pentru legea cos ridicarea este mai mare comparativ cu legea sin, (a se vedea diagrama dinamică din figura 6.9.).
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 50 100 150
a[m/s2]
951.35s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=60 [grad]
k=60 [N/mm]
r0=24 [mm]
rb=20 [mm]
b=25 [mm]
d=50 [mm]
x0=30 [mm]
i=1;=14.1%
legea: cos-0
y=.5-.5cos(x)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
balansier cu rolã (Modul F) - A12
amax=14800
s max =12.48
amin= -8600
Fig. 6.9. Analiza dinamică la modulul F. Legea COS, n=5500 [rot/min]
160
Profilul COS, corespunzător poate fi urmărit în figura 6.10.
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
-40 -20 0 20 40
Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul F.Suportã o turatie
n=5500[rot/min]
u=c=60[grad]
r0=24 [mm]
rb=20 [mm]
b=25 [mm]
d=50 [mm]
i=1 l=b/i
legea:cos-0
y=.5-.5cos(x)
Fig. 6.10. Profilul COS la modulul F. n=5500 [rot/min]
u=60 [grad], r0=24 [mm], rb=8 [mm], hT=13 [mm].
În figura 6.11. se poate urmări dinamica pentru legea C4P1-0, iar în fig. 6.12. profilul aferent; utilizat astfel nu este interesant (vibraţii mari şi zone concave); se măreşte unghiul de urcare de la 45 la 85 [grad] şi rezultă profilul C4P3, care racordat, suportă o turaţie de 40000 [rot/min].
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 20 40 60 80 100a[m/s2]
4894,11s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=45 [grad]
k=50 [N/mm]
r0=6 [mm]
rb=3 [mm]
b=8 [mm]
d=15 [mm]
x0=50 [mm]
i=1;=22%
legea: C4P1-0
y=2x-x2
yc=1-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
balansier cu rolã (Modul F) - A12
amax=22000
s max =3.6
amin= -1200
Fig. 6.11. Analiza dinamică la modulul F. Legea C4P1-0, n=5500 [rot/min]
161
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-10 -5 0 5 10
Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul F.Suportã o turatie
n=5500[rot/min]
u=c=45[grad]
r0=6 [mm]
rb=3 [mm]
b=8 [mm]
d=15 [mm]
i=1 l=b/i
legea:C4P1-0
y=2x-x2
Se pot face racordãri
Fig. 6.12. Profilul C4P1-0 la modulul F. n=5500 [rot/min]
u=45 [grad], r0=10 [mm], rb=3 [mm], hT=6.28 [mm].
În figura 6.13. se poate urmări dinamica pentru legea C4P3-2, iar în fig. 6.14. profilul corespunzător (la care trebuiesc făcute racordările la urcare şi la revenire).
-60000
-40000
-20000
0
20000
40000
60000
80000
100000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
15044,81s*k[mm] k=
n=40000[rot/min]
u=85 [grad]
k=800 [N/mm]
r0=10 [mm]
rb=3 [mm]
b=30 [mm]
d=30 [mm]
x0=200 [mm]
i=1;=16.5%
legea: C4P3-2
y=2x-x2
yc=1-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
balansier cu rolã (Modul F) - A12amax=80600
s max=4.28
amin= -40600
hT=15.70 [mm]
Fig. 6.13. Analiza dinamică la modulul F. Legea C4P3-2, n=40000 [rot/min]
162
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-20 -10 0 10 20
Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul F.Suportã o turatie
n=40000[rot/min]
u=c=85[grad]
r0=10 [mm]
rb=3 [mm]
b=30 [mm]
d=30 [mm]
hT=15.70 [mm]
i=1 l=b/i
legea:C4P3-2
y=2x-x2
Fig. 6.14. Profilul C4P3-2 la modulul F. n=40000 [rot/min]
u=85 [grad], r0=10 [mm], rb=3 [mm], hT=15.70 [mm].
163
CAP. 7
DINAMICA, MECANISMULUI DE DISTRIBUŢIE CU TACHET BALANSIER
PLAT (MODUL H)
În cadrul capitolului 7 se va prezenta pe scurt mecanismul de distribuţie, cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H); a se vedea şi lucrările [P21], [P22], [P24], [P25], [P26], [P27], [P28], [P29], [P31], [P32-P38].
7.1. Prezentare generală
Mecanismele cu camă rotativă şi tachet rotativ (balansier) plat (Modul H), (fig. 7.1.), au o cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului (a se urmări schema cinematică din figura 7.1).
Relaţiile de calcul vor fi prezentate în continuare pe scurt.
Pentru uzul general se introduc relaţiile cinematice 7.1-7.4:
'1
']sin)(cos)([ 0
20
2
brbrdAH (7.1)
sin)(cos)( 20
20 brdbrbOH (7.2)
222 OHAHr (7.3)
22
2
2
22sin;sin
OHAH
AH
r
AH
r
AH
(7.4)
164
Forţele, vitezele şi puterile, se determină cu relaţiile 7.5.;
sincos;sincos mmnmmn vvvFFF (7.5)
CTF instantaneu, se determină cu relaţia 7.6.
22
22
2
sinsin
OHAH
AH
vF
vF
vF
vF
P
P
mm
mm
mm
nn
c
ni
(7.6)
r0
G
B
O D
d
A
A0
B0
H
I
l
b
G0
l.’
.’r
M
m
x
1
2
Fig. 7.1. Schema cinematică a mecanismului
cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H).
În figura 7.2 sunt prezentate forţele şi vitezele din cuplă.
165
r0
G
B
O D
d
A
A0
B0
H
I
l
b
G0
l.’
.’r
M
m
x
1
2
A
Fn; vn
Fm; vm
Fa; va
Fig. 7.2. Distribuţia forţelor şi a vitezelor la mecanismul
cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H).
7.2. Dinamica la Modulul H
Pentru calculul dinamic al mecanismului cu camă rotativă şi tachet balansier plat se utilizează relaţiile dinamice deja prezentate în cadrul cap. 3 (7.7), (7.8), (7.9):
Se utilizează pentru dinamica modulului H relaţia finală (3.203) de la cap. 3 care genera direct valoarea deplasării dinamice a supapei, X, în funcţie de câţiva parametri de intrare. Relaţia solicită doar funcţia de transmitere D, fără derivatele ei, iar pentru obţinerea vitezei reduse X’, cât şi a acceleraţiei reduse, X’’ folosim derivarea numerică a deplasării supapei, X.
166
][2
'
])(
[2
)(
2
0
2
2**
2
2
02
2
2
kK
kxs
ykK
mmkK
K
skK
kxs
kK
kKk
X
TS
(7.7)
][2
)'(
])(
[2
)(
2
0
2
2**
2
2
02
2
2
kK
kxs
sDkK
mmkK
K
skK
kxs
kK
kKk
X
TS
(7.8)
Cunoscându-l pe X îl putem determina imediat pe X cu relaţia (6.79):
XsX (7.9)
7.3. Analiza dinamică a modulului H
Se prezintă legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 7.3.), pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică atât la supapă cât şi la tachet,
h=8.72 [mm]. Unghiul de fază este, u=c=80 [grad]; raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].
Coeficientul TF are o valoare ridicată, =12.9%; reglajele resortului sunt: k=60 [N/mm] şi x0=40 [mm]. În figura 7.4 este trasat profilul corespunzător (Modul H – legea SIN).
Pentru legea C4P, cu reglajele şi racordările corespunzătoare, se poate ajunge până la o turaţie a motorului de 30000 [rot/min], însă randamentul şi deplasarea sunt mici, deoarece a crescut r0; a se urmări analiza dinamică din fig. 7.5. şi profilul corespunzător din fig. 7.6.
167
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
0 50 100 150 200
a[m/s2]
702.96s*k[mm] k=
n=5500[rot/min]
u=80 [grad]k=60 [N/mm]r0=13 [mm]ls=50 [mm]b=5 [mm]d=45 [mm]x0=40 [mm]
=12.9%h=8.72 [mm]
legea: sin-0
y=x-sin(2x)/(2)
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
balansier plat cu dezaxare (Modul H)-A13amax=7400
smax=8.42
amin= -3000
Fig. 7.3. Analiza dinamică la mec. cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H). Legea SIN; n=5500 r/m. Coeficientul
TF =13%.
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
-15 -10 -5 0 5 10 15
Series1
Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul H.
Suportã o turatie
n=5500[rot/min]
u=c=80[grad]
r0=13 [mm]
ls=50 [mm]
b=5 [mm]
d=45 [mm]
=12.9%
legea:sin
y=x-sin(2x)/(2)
Fig. 7.4. Trasarea profilului SIN al camei rotative cu tachet balansier plat (Modul H).
168
-150000
-100000
-50000
0
50000
100000
150000
0 50 100 150
a[m/s2]
35959,78s*k[mm] k=
n=30000[rot/min]
ju=70 [grad]
k=800 [N/mm]
r0=20 [mm]
ls=50 [mm]
b=3 [mm]
d=30 [mm]
x0=150 [mm]
h=3.7%
s=3 [mm]
legea: C4P
y=2x-x2
Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet
balansier plat cu dezaxare (Modul H)-A13amax=133000s max =3.0
amin= -94000
Fig. 7.5. Analiza dinamică la mec. cu camă rotativă şi tachet balansier plat (Modul H). Legea C4P; n=30000 [rot/min].
Coeficientul TF =3.7%.
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-30 -20 -10 0 10 20 30
Series1
Profil camã-sens rotatie orar-deci profilul din dreapta
este cel de urcare. Modul H.Suportã o turatie
n=30000[rot/min]
ju=jc=70[grad]
r0=20 [mm]
ls=50 [mm]
b=3 [mm]
d=30 [mm]
h=3.7%
legea:C4P
y=2x-x2
Fig. 7.6. Trasarea profilului C4P al camei rotative cu tachet balansier plat (Modul H).
169
B
B i b l i o g r a f i e
1.-A1. ANTONESCU P., Mecanisme - Calculul structural si cinematic. I.P.B., Bucuresti, 1979.
2.-A2. ANTONESCU P., Cinetostatica si dinamica mecanismelor. I.P.B.,Bucuresti, 1980.
3.-A3. ANTONESCU P., Sinteza mecanismelor. I.P.B.,Bucuresti, 1983.
4.-A4. ANTONESCU P., COMANESCU A.,GRECU B., Indrumar de proiect la mecanisme. Partea a I-a, I.P.B., Bucuresti, 1987.
5.-A5. ALEXANDRU P., DUTA FL.,JULA A., Mecanismele directiei autovehiculelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1977.
6.-A6. ARTOBOLEVSKI I., Teoria mehanizov, Izd. Nauka, Moskva, 1965.
7.-A7. ANTONESCU P., DRANGA M., TEMPEA I., Asigurarea preciziei cinematice a preselor de vulcanizat camere de aer. In revista Constructia de masini, nr.8., Bucuresti, 1978.
8.-A8. ATANASIU M., Mecanica. Ed. Did. Ped., Bucuresti, 1973.
9.-A9. ATTILA H., DRAGULESCU D., Probleme de mecanicã - dinamicã. Editura Helicon, Timisoara, 1993.
10.-A10. ANTONESCU P., Sinteza mecanismului cu camã rotativã si tachet translant. In al V-lea Simpozion national de mecanisme si transmisii mecanice, Cluj-Napoca, 20-22 octombrie 1988.
11.-A11. ANTONESCU P., PETRESCU FL., Metodã analiticã de sintezã a mecanismului cu camã si tachet plat. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
12.-A12. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Contributii la sinteza mecanismului cu camã oscilantã si tachet plat oscilant. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
13.-A13. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., La projection de la came oscillante chez les mechanismes a distribution variable. In a
170
V-a Conferintã de motoare, automobile, tractoare si masini agricole, Vol. I-motoare si automobile, Brasov, noiembrie 1985.
14.-A14. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Proiectarea profilului Kurz al camei rotative ce actioneazã tachetul plat oscilant cu dezaxare. In al III-lea Siopozion national de proiectare asistatã de calculator în domeniul mecanismelor si organelor de masini-PRASIC’86, Brasov, decembrie 1986.
15.-A15. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Analiza dinamicã a mecanismelor de distributie cu came. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale, Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.
16.-A16. ANTONESCU P., OPREAN M., PETRESCU FL., Sinteza analiticã a profilului Kurz, la cama cu tachet plat rotativ. In revista Constructia de masini, nr. 2., Bucuresti, 1988.
17.-A17. ANTONESCU P., PETRESCU FL., Contributii la analiza cinetoelastodinamicã a mecanismelor de distributie. In SYROM’89, Bucuresti, iulie 1989.
18.-A18. ANTONESCU P., PETRESCU FL., ANTONESCU O., Contributii la sinteza mecanismului cu camã rotativã si tachet balansier cu vârf. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.
19.-A19. AUTORENKOLLEKTIV (J. VOLMER COORDONATOR), Getriebetechnik-VEB, Verlag technik, pp. 345-390, Berlin, 1968.
20.-A20. ANGELAS J., LOPEZ-CAJUN C., Optimal synthesis of cam mechanisms with oscillating flat-face followers. Mechanism and Machine Theory 23,(1988), Nr. 1., pp. 1-6., 1988.
21.-A21. ARAMA C., SERBANESCU A., Economia de combustibil la automobile. Editura tehnicã, Bucuresti, 1974.
22.-A22. ALLAIS D.C., Cycloidal vs modified trapezoid cams. Machine Design 35(3), 31 Jan. 1963, pp. 92-96.
23.-A23. ANDERSON D.G., Cam dynamics. Prod. Engineering, 24(10), 1953, pp. 170-176.
24.-A24. ASTROP A.W., Automatic high-speed inspection of variable pitch cams for zoom lenses. Machinery (London), 1967, 110(2849), pp. 1360-1364.
25.-A25. AOYAGI Y., s.a., Hino Motors, Ltd. Japan, Swirl Formation Process in Four Valve Diesel Engines. (945011), In XXV FISITA Congres, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 99-105.
171
26.-A26. ANTONESCU P., sa., Contributions to the synthesis of the oscillating cam profile in the variable distribution mechanisms, Eighth World Congress on TMM, Praga, vol. 5, 1991.
27.-A27. ANTONESCU P., PETRESCU FL., ANTONESCU D., Geometrical synthesis of the rotary cam and balance tappet mechanism. SYROM’97, Vol. 3, pp. 23, Bucuresti, august 1997.
28.-A28. ANTONESCU P., Mecanisme şi Manipulatoare, aplicaţii-teme de proiect, Printech, Buc., 2000.
29.-A29. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O. Contributions to the Synthesis of The Rotary Disc-Cam Profile, In VIII-th International Conference on the Theory of Machines and Mechanisms, Liberec, Czech Republic, pp. 51-56, 2000.
30.-A30. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O., Synthesis of the Rotary Cam Profile with Balance Follower, In the 8-th Symposium on Mechanisms and Mechanical Transmissions, Timişoara, Vol. 1, pp. 39-44, 2000.
31.-A31. ANTONESCU, P., PETRESCU, F., ANTONESCU, O. Contributions to the synthesis of mechanisms with rotary disc-cam. In The Eigth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM'2001, Bucharest, ROMANIA, 2001, Vol. III, p. 31-36.
32.-A32. ANTONESCU P., OCNARESCU C., ANTONESCU O., Mecanisme şi Manipulatoare-îndrumar de laborator, Ed. Printech, Bucuresti, 2002.
33.-A33. ANTONESCU P., Sinteza unitară geometro-cinematică a profilului camei-disc rotative, Rev. Mecanisme şi Manipulatoare, I, 2, 2002.
34.-A34. ANTONESCU P., sa., Geometric and Kinematic Synthesis of Mechanisms with Rotary Disc-Cam, Proceedings of the 11th World Congress in Mechanism and Machine Science, Tianjin, 2003.
35.-A35. ANTONESCU P., Mecanisme, Printech, Bucuresti, 2003.
36.-A36. ANTONESCU P., Mechanism and Machine Science, Printech Press, Bucharest, Romania, 2005.
37.-A37. ANTONESCU P., ANTONESCU O., Aplicaţii de mecanică tehnică, mecanisme şi manipulatoare, Printech, 2007.
38.-B1. BUZDUGAN GH., Teoria vibratiilor si aplicatiile ei în constructia de masini. Editura tehnicã, Bucuresti, 1958.
39.-B2. BUZDUGAN GH., Rezistenta materialelor. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1964.
172
40.-B3. BOGDAN R., LARIONESCU D., CONONOVICI S., Sinteza mecanismelor plane articulate. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1977.
41.-B4. BOGDAN R., LARIONESCU D., Analiza armonicã complexã si mecano-electricã a mecanismelor plane. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1968.
42.-B5. BALAN ST., Probleme de mecanicã. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1977.
43.-B6. BUZDUGAN GH., FETCU L., RADES M., Vibratii mecanice. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1979.
44.-B7. BUZDUGAN GH., MIHAILESCU E., RADES M., Mãsurarea vibratiilor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1979.
45.-B8. BOBANCU S., Consideratii cinetoelastice asupra variabilei “excentricitate” a mecanismelor plane cu camã având tachet oscilant plat. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
46.-B9. BARSAN A., Algoritm de sintezã asistatã de calculator, a mecanismelor plane cu camã de rotatie si tachet plat. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.
47.-B10. BARSAN A., Algoritm de sintezã asistatã de calculator a mecanismelor cu camã cilindricã. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.
48.-B11. BOGDAN R., S.A., Algoritm si program pentru analiza cinematicã si dinamicã a mecanismelor diferentiale complexe. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.
49.-B12. BUGAEVSKI E., Contributii la studiul cinematic si dinamic al mecanismelor cu trenuri diferentiale. Tezã de doctorat, I.P.B., 1971.
50.-B13. BOIANGIU D., s.a., Elemente elastice ale masinilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1967.
51.-B14. BUZDUGAN GH., Izolarea antivibratorie a masinilor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1980.
52.-B15. BLOOM D., and RADCLIFFE C.W., The effect of camshaft elasticity on the response of cam driven systems, ASME paper 64-mech 41.
53.-B16. BARTON P., REESJONES J., The dynamic effects of functional clearance and motor characteristics on the performance of a Geneva
173
mechanism. IFTOMM International Symp. on Linkages and Computer Design Methods, Bucharest, 1973.
54.-B17. BARABYI J.S., Cams, dynamics and design. Design News, 1969, 24, pp. 108.
55.-B18. BARKAN P., Calculation of high-speed valve motion with flexible overhead linkage. Trans. SAE, 1953, 61,pp. 687-700.
56.-B19. BEARD C.A., Problems în valve gear design and instrumentation. SAE Technical Progress Series, 1963, pp. 58-84.
57.-B20. BEARD C.A., Cam mechanism design problems-an engine designer’s view point. In, Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974, pp.49-53.
58.-B21. BARKAN P., s.a., A spring-actuated, cam follower system; Design theory and experimental result. Journal Engineering, Trans. ASME, 1965,(87 B), pp. 279-286.
59.-B22. BAUMGARTEN J.R., Preload force necessary to prevent separation of follower from cam. Trans. 7 th. Conf. on Mech., Purdue University, 1962.
60.-B23. BENEDICT C.A., s.a., Dynamic responses of a mechanical system containing a coulomb friction force. The 3 rd. Appl. Mech. Conf. Paper, Nr. 44., Oklahoma State University, 1973.
61.-B24. BAXTER M.L., Qurvature-acceleration relation for plane cams. Trans. ASME 70,1948, pp.483-489.
62.-B25. BISHOP J.L.H., An analytical approach to automobile valve gear design. Inst. of Mech. Engrs. Auto-Division Proc. 4, 1950-51, pp. 150-160.
63.-B26. BUHAYAR E.S., Computerized cam design and plate cam manufacture. Paper Nr. 66-MECH-2, ASME Mechanisms Conference, Lafayette, Ind., Oct. 1966.
64.-B27. BARBULESCU N., Bazele fizice ale relativitãtii Einsteiniene. In E.S.E., Bucuresti, 1979.
65.-B28. BACKLUND O., s.a., Volvo’s MEP and PCP Engines: Combining Environmental Benefit with High Performance. In Fifth Autotechnologies Conference Proceedings, SAE, (910010), pp. 238.
66.-C1. CHIRIACESCU S., Proiectarea automatã a camelor folosite la masina de ascutit pânze de fierãstrãu. In al IV-lea Simpozion international de teoria si practica mecanismelor, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
174
67.-C2. CIONCA O., Studiul mecanismelor camã-tachet ca sisteme oscilante autoexcitante. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
68.-C3. COMANESCU D., COMANESCU A.,S.A., Sinteza profilelor zonelor de contact ale elementelor cinematice din mecanismele perforatoarelor de bandã. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
69.-C4. COMANESCU A., COMANESCU D., Aplicarea sistemelor modulare de calcul cinetodinamic la instruirea si comanda mecanismelor multimobile. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale, Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.
70.-C5. CONSTANTINESCU G., Teoria sonicitãtii. Ed. Academiei R.S.R., Bucuresti, 1985.
71.-C6. CRUDU M., Contributii la studiul mecanismelor cu conexiuni dinamice. Tezã de doctorat, I.P.B., 1971.
72.-C7. CECCARELLI M., GARCIA-LOMAS J., On the dynamics of two-link manipulators. Al VI-lea SYROM, Vol. II.,Bucuresti, iunie 1993.
73.-C8. CHEN F.Y., Kinematic synthesis of cam profiles for prescribed acceleration by a finite integration method. Trans. ASME, J. Engng., 1973, Ind. 95B, pp. 519-524.
74.-C9. CHURCHILL F.T. and HANSEN R.S., Theory of envelopes provide new cam-design equations. J. Engng., 1962, 35, pp. 45-55.
75.-C10. CROSSLEY F.R.E., How to modify positioning cams. Machine Design, 1960, pp. 121-126.
76.-C11. CRUTCHER D.E.G., The dynamics of valve mechanisms. Prod. Instr. mech. Engr., 1967-68, 1, 182, Part 3L, 129.
77.-C12. CHENEY R.E., Production of very accurate high-speed master cams. Machinery (London), 1962, 100(2570), pp. 380-386.
78.-C13. CLAYTON J.C., Cast Iron Camshafts in Car Production. Design and Components in Engineering. April 1971, 16.
79.-C14. ***, Combustion effects of asymmetric valve strategies. In Automotive Engineering, Decembrie 1993, pp. 49-53.
80.-C15. CHOI J.K., KIM S.C., Hyundai Motor Co. Korea, An Experimental Study on the Frictional Characteristics in the Valve Train System. (945046), In FISITA CONGRESS, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 374-380.
81.-C16. ***, Chrysler’s Vlo light-truck engine. In revista Automotive Engineering, Decembrie 1993, pp. 55-57.
175
82.-C17. COMĂNESCU Adr., COMĂNESCU D., GEORGESCU L., Bazele analizei şi sintezei mecanismelor cu memorie rigidă, Edit. Politehnica Press, Bucureşti, 175 pag., 2008.
83.-D1. DRANGA M., Contributii la analiza dinamicã a mecanismelor cu unul si cu mai multe grade de mobilitate. Tezã de doctorat. I.P.B., Bucuresti, 1975.
84.-D2. DUDITA FL., Teoria mecanismelor. Universitatea Brasov, 1979.
85.-D3. DEMIAN T., s.a., Mecanisme de mecanicã finã. Editura Didacticã si Pedagogicã, Bucuresti, 1982.
86.-D4. DRANGA M., Mecanisme si organe de masini, partea I. Transmisii mecanice. I.P.B., Bucuresti, 1983.
87.-D5. DARABONT AL., s.a., Socuri si vibratii- Aplicatii în tehnicã. Editura tehnicã, Bucuresti, 1988.
88.-D6. DARABONT AL., VAITEANU D., Combaterea poluãrii sonore si a vibratiilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1975.
89.-D7. DECIU E.,s.a., Probleme de vibratii mecanice. I.P.B.,Bucuresti, 1978.
90.-D8. DODESCU GH., Metode numerice în algebrã. Editura tehnicã, Bucuresti, 1979.
91.-D9. DRANGA M., Asupra echilibrãrii unei structuri de robot 6R. In al VI-lea SYROM’93, Vol. II., Bucuresti, iunie 1993.
92.-D10. DRANGA M., Metodã de echilibrare a unui lant cinematic plan articulat. In al IV-lea SYROM’85. Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
93.-D11. DUCA C., Sinteza mecanismelor cu came în functie de raza de curburã a profilului. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
94.-D12. DRAGHICI I., s.a., Suspensii si amortizoare. E.T. , Bucuresti, 1970.
95.-D13. DUDLEY W.M., New Methods in Valve Cam Design. Trans. SAE, January 1948, 2, pp. 19-33.
96.-D14. DRUCE G., Research in cam mechanisms. I. Mech. E. Discussion on Mechanisms, 1971, 4-13.
97.-E1. ERMAN A.G., SANDOR G.N., Kineto-elastodynamic- a review of the state of the art and rends. Mechanism and Machine Theory nr.1., 1972.
176
98.-E2. EISS N.S., Vibration of cams having tow degrees-of-fredom. Trans. ASME, J. Engng., Ind. 86B, 1964, pp. 343-350.
99.-E3. ERISMAN R.J., Automotive cam profile synthesis and valve gear dynamic from domensionless analysis. Trans. SAE, 75, 1967, pp. 128-147.
100.-F1. FAWCETT G.F., FAWCETT J.N., Comparison of polydyne and non polydyne cams. In, Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONED, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974.
101.-F2. FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Cercetãri privind transmisibilitatea vibratiilor motorului la cadrul si caroseria automobilului. In, CONAT, Brasov, 1982.
102.-F3. FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Contributii privind ameliorarea suspensiei grupului motopropulsor. Buletinul Universitãtii Brasov, 1986.
103.-F4. FENTON R.G., Determining minimum cam size. In Machine Design, 1966, 38(2), pp. 155-158.
104.-F5. FENTON R.G., Cam design-determining of the minimum base radius for disc cams with reciprocating flat faced followers. In Automobile Enginer, 3, 1967, pp. 184-187.
105.-G1. GRECU B., CANDREA A., COLTOFEANU N., Determinarea reactiunilor dinamice în cuplele cinematice la mecanismele plane cu ajutorul modulelor de calcul. In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, octombrie 1987.
106.-G2. GHITA E., Proiectarea camelor bilaterale poliracordate. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.
107.-G3. GRUNWALD B., Teoria,calculul si constructia motoarelor pentru autovehicule rutiere. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1980.
108.-G4. GIORDANA F., s.a., On the influence of measurement errors in the Kinematic analysis of cam. Mechanism and Machine Theory 14 (1979), nr. 5., pp, 327-340, 1979.
109.-G5. GRADU M., Stadiul actual al cercetãrilor în domeniul mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã. Referat I pentru doctorat, I.P.B., Bucuresti, 1991.
110.-G6. GRUMAZESCU M., s.a., Combaterea zgomotului si vibratiilor. E.T., Bucuresti, 1964.
111.-G7. GAGNE A.F., Design high speed cams. In Machine Design, 25, 1953, pp. 121-135.
112.-G8. GRANT B., s.a., Cam design survey. Design Technology Transfer, ASME, 1974, pp. 177-219.
177
113.-G9. GRODZINSKI P., Production of cam profiles by positive mechanisms. Machinery (London), 1959, 88(2269), pp. 683-688.
114.-G10. GOODMAN T.P., Linkages vs cams. Machine Design, 1958, 30(17), pp. 102-109.
115.-G11. GRECU B., PETRESCU, F., s.a., Mecanisme Plane – lucrãri pentru laborator si proiect. Editura BREN, Bucuresti, ISBN 978-973-648-697-5, 191 pag., 2007.
116.-H1. HANDRA-LUCA V., Organe de masini si mecanisme. Editura Did. si pedagogicã, Bucuresti, 1975.
117.-H2. HANDRA-LUCA V.,STOICA A., Introducere în teoria mecanismelor. Vol. II., Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1983.
118.-H3. HERRMANN R., DELANGE J., LOURDOUR G., Evolution du trasee des cames. Ingenieurs de l’automobile, nr. 11, 1969.
119.-H4. HAIN K., Optimization of a cam mechanism to give goode transmissibility maximal output angle of swing and minimal acceleration. Journal of Mechanisms 6 (1971), Nr. 4., pp.419-434.
120.-H5. HARRIS M.C., CREDE E.C., Socuri si vibratii. Vol. I-III., E.T., Bucuresti, 1968-69.
121.-H6. HEBELER C.B., Design equation and graphs for finding the dynamic response of cycloidal-motion cam systems. Machine Design, Feb. 1961, pp. 102-107.
122.-H7. HRONES J.A., An analysis of Dynamic Forces in a Cam-Driver System, Trans. ASME, 1948, 70, PP. 473-482.
123.-H8. HIRSCHHORN J., Disc-cam curvature. In Machine Design 31(3), 1959, pp. 125-129.
124.-H9. HALE F.W., Cam machining without master former. Tool Engineer, 1955, 35(6), pp. 82-87.
125.-H10. HOSAKA T., and HAMAZAKI M., Development of the Variable Valve Timing and Lift (VTEC) Engine for the Honda NSX, (910008), Fifth Auto-technologies Conference Proceedings, SAE,pp. 238.
126.-H11. HOORFAR, M., NAJJARAN, H., CLEGHORN, W.L, Software demonstration of disc cam mechanisms for mechanical engineering education, Journal: The International Journal of Mechanical Engineering Education, ISSN: 0306-4190, Volume 35 Issue 2, April 2007, pp. 166-180.
127.-I1. IACOB C., Mecanica teoreticã. E.D.P., Bucuresti, 1971.
178
128.-I2. IUDIN E., s.a., Issledovanie suma ventileatornîh ustanovok I metodov borbî s nim. Oborongiz, Moskva, 1958.
129.-J1. JIANG QI , XU ZENG-YIN, Compounding of mechanism and analysis and synthesis of complex mechanisms. In al IV-lea SYROM’85, Vol. III-1., Bucuresti, iulie 1985.
130.-J2. JONES J.R., REEVE J.E., Dynamic response of cam curves based on sinusoidal segments. In Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974.
131.-J3. JACOBSEN and AYRE R., Engineering Vibration. Mc Graw- Hill Book Co. Inc., 1958.
132.-J4. JENSEN P.W., Cam Design and Manufacture. Industrial Press., New York, 1965.
133.-J5. JOHNSON R.C., A rapid method for developing cam profiles having desired acceleration characteristics. In Machine Design 27(12), 1965, pp. 129-132.
134.-J6. JELLING W., Precision machines assure cam accuracy. In Iron Age, 1954, 173(15), pp. 140-142.
135.-J7. JASSEN B., Kraftschlub bei Kurventrieben. Ind. Anz., 1966, 88, Part. I: 1906-1907; part. II: 2193-2196.
136.-K1. KOVACS FR., PERJU D., CRUDU M., Mecanisme. Partea I-a. Analiza mecanismelor. I.P.”Traian Vuia” din Timisoara, 1978.
137.-K2. KOVACS FR., PERJU D., Mecanisme. I.P. “Traian Vuia” din Timisoara, 1977.
138.-K3. KOSTER M.P., The effects of backlash and shaft flexibility on the dynamic behaviour of a cam mechanism. In, Cams and cam mechanisms, 1974, pp. 141-146.
139.-K4. KWAKERNAAK H., Minimum Vibration Cam Profiles, J. Mech. Eng. Sci., 1968, 10, pp. 219-227.
140.-K5. KLOOMOK M., s.a., Plate cam design-evaluating dynamic loads. Prod. Engng., 27(1), 1956, pp. 178-182.
141.-K6. KLOOMOK M., MUFFLEY R.V., Plate cam design-pressure angle analysis. In Product Engineering, 1955, 26(5), pp. 155-160.
142.-K7. KERLE H., How effective is the method of finite differences as regards simple cam mechanisms. Cams and cam mechanisms, 1974, pp. 131-135.
143.-L1. LOWN G., s.a., Survey of Investigations in to the Dynamic Behaviour of Mechanisms Contsining Links with Distributed Mass and Elasticity. Mech. and Mach. Th., 7, 1972.
179
144.-L2. LEDERER P., Dynamische synthese der ubertragungs-funktion eines Kurvengetriebes. In, Mech. Mach. Theory ,Vol. 28., Nr.1., pp. 23-29, Printed in Great Britain, 1993.
145.-M1. MANOLESCU N.I., KOVACS FR., ORANESCU A., Teoria mecanismelor si a masinilor. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1972.
146.-M2. MANOLESCU N.I., MAROS D., Teoria mecanismelor si a masinilor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1958.
147.-M3. MANOLESCU N.I., s.a., Probleme de teoria mecanismelor si a masinilor. Vol. II., E.D.P., Bucuresti, 1968.
148.-M4. MAROS D., Mecanisme. Vol. I., I.P. Cluj-Napoca, 1980.
149.-M5. MERTICARU V., Mecanisme si organe de masini. I.P.Iasi, 1979.
150.-M6. MANGERON D., IRIMICIUC N., Mecanica rigidelor cu aplicatii în inginerie. Vol. I,II si III. Editura tehnicã, Bucuresti, 1981.
151.-M7. MARUSTER ST., Metode numerice în rezolvarea ecuatiilor neliniare. Ed. Tehn., Bucuresti, 1981.
152.-M8. MARINA M., Contributii la studiul optimizãrii distributiei motoarelor cu ardere internã în 4 timpi. Rezumatul tezei de doctorat, Timisoara, 1978.
153.-M9. MANEA GH., Organe de masini. Editura Tehnicã, Bucuresti, 1970.
154.-M10. MITSI S., TSIAFIS J., Optimal synthesis of cam mechanisms. In SYROM’93, Vol. III., pp. 155-162., Bucuresti, iunie 1993.
155.-M11. MARINA M., Consideration on the functional compatibility of the engine distribution mechanism springs. SYROM’97, Vol. 3., pp. 313, Bucuresti, august 1997.
156.-M12. MERCER S., Dynamic characteristics of cam forms calculated by the digital computer. Trans. ASME, Nov. 1958, 80, pp. 1695-1705.
157.-M13. MARINCAS D., FRATILA G., PETRESCU FL., s.a., Rezultatele experimentale privind îmbunãtãtirea izolatiei fonice a cabinei autoutilitarei TV-14. In CONAT, Brasov, 1982.
158.-M14. MOLIAN S., The Design of Cam Mechanisms and Linkages. Elsevier, New York, 1968.
180
159.-M15. MOISE V., SIMIONESCU I., ENE M., NEACŞA M., TABĂRĂ I., Analiza mecanismelor aplicate, Editura Printech, ISBN 978-973-718-891-5, Bucureşti, 216 pag., 2008.
160.-N1. NEKLUTIN C.N., Designing cams for controlled inertia and vibration. In Machine Design, June 1952, pp. 143-153.
161.-N2. NAKANISHI F., On cam from which induce no surging in valve springs. Report of the Aeronautical Research Institute, 220, TOKYO Imperial University, 1941, pp. 271-280.
162.-O1. OPREAN M., Studiul interactiunii camã-arc de supapã la motoarele, cu aprindere prin scânteie, de turatie ridicatã. Tezã de doctorat, I.P.B., Bucuresti, 1984.
163.-O2. OPRISAN C., POPOVICI GH., O analizã a variatiei unghiului de presiune la mecanismele cu camã si tachet de translatie. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.
164.-O3. OHRNBERGER G., MANN M., AUDI A.G., Germany, The Audi 5- Valve Cylinder Head Concept.(945004), In XXV FISITA CONGRESS, 17-21 October 1994, Beijing, pp. 36-44.
165.-P1. PELECUDI CHR., DRANGA M., Dinamica masinilor. I.P.B., Bucuresti, 1980.
166.-P2. PELECUDI CHR., Bazele analizei mecanismelor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1967.
167.-P3. PELECUDI CHR., Precizia mecanismelor. Editura Academiei R.S.R., Bucuresti, 1975.
168.-P4. PELECUDI CHR., MAROS D., MERTICARU V., PANDREA N., SIMIONESCU I., Mecanisme. E.D.P., Bucuresti, 1985.
169.-P5. PELECUDI CHR., s.a., Proiectarea mecanismelor. I.P.B., Bucuresti, 1981.
170.-P6. PELECUDI CHR., s.a., Probleme de mecanisme. Editura didacticã si pedagogicã, Bucuresti, 1982.
171.-P7. PELECUDI CHR., s.a., Algoritmi si programe pentru analiza mecanismelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1982.
172.-P8. PELECUDI CHR., SIMIONESCU I., ENE M., CANDREA A., STOENESCU M., MOISE V., Mecanisme cu cuple superioare: came si roti. I.P.B., Bucuresti, 1982.
173.-P9. POPESCU I., Proiectarea mecanismelor plane. Editura Scrisul Românesc din Craiova, 1977.
174.-P10. PANDREA N., MUNTEANU M., Curs de vibratii. Vol. I. si II., I.P.B., Bucuresti, 1979.
181
175.-P11. PELECUDI CHR., SAVA I., Studiul experimental al dinamicii mecanismelor cu came. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 3., Bucuresti, 1970.
176.-P12. PELECUDI CHR., SAVA I., MATHEESCU A., Optimizarea legilor de functionare ale mecanismelor de distributie. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 3., Bucuresti, 1968.
177.-P13. PFISTER F., FAYET M., Linearization of dynamic models. In al VI-lea SYROM’93, Vol. II., Bucuresti, iunie 1993.
178.-P14 PELECUDI CHR., BOGDAN R., Sinteza mecanismelor cu came la prescrierea valorilor arcelor de curbã. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 6., Bucuresti, 1962.
179.-P15. PELECUDI CHR., MATHEESCU A., Analiza armonicã a legilor de miscare la mecanismele cu camã. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 1., Bucuresti, 1969.
180.-P16. PELECUDI CHR., SAVA I., Asupra analizei si sintezei mecanismelor cu came. In revista Constructia de masini, nr. 8-9., Bucuresti, 1967.
181.-P17. PANDREA N., HARA V., POPA D., Sinteza dimensionalã a mecanismelor de distributie cu admisie adaptivã pentru optimizarea legii de deplasare a supapei de admisie. In PRASIC’94, Brasov, dec. 1994.
182.-P18. POPOVICI GH., Sinteza profilului camei cu tachet de translatie. In PRASIC’94, Brasov, decembrie 1994.
183.-P19. POPOVICI GH., LEOHCHI D., CIAUSU V., Sinteza profilului camei cu tachet oscilant. In PRASIC’94, Brasov, dec. 1994.
184.-P20. PELECUDI CHR., SAVA I., Optimizãri în sinteza numericã a miscãrii mecanismelor cu came. In revista Studii si cercetãri de mecanicã aplicatã, nr. 5., Bucuresti, 1971.
185.-P21. PETRESCU F., PETRESCU R., Contributii la optimizarea legilor polinomiale de miscare a tachetului de la mecanismul de distributie al motoarelor cu ardere internã. In E.S.F.A.’95, Vol. 1.,pp. 249-256., Bucuresti, mai 1995.
186.-P22. PETRESCU F., PETRESCU R., Contributii la sinteza mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã. In E.S.F.A.’95, Vol. 1., pp. 257-264., Bucuresti, mai 1995.
187.-P23. PETRESCU F., PETRESCU V., Dinamica mecanismelor cu came (exemplificatã pe mecanismul clasic de distributie). SYROM’97, Vol. 3., pp. 353-358., Bucuresti, august 1997.
182
188.-P24. PETRESCU F., PETRESCU V., Contributii la sinteza mecanismelor de distributie ale motoarelor cu ardere internã cu metoda coordonatelor carteziene. SYROM’97, Vol. 3., pp. 359-364., Bucuresti, august 1997.
189.-P25. PETRESCU F., PETRESCU V., Contributii la maximizarea legilor polinomiale pentru cursa activã a mecanismului de distributie de la motoarele cu ardere internã. SYROM’97, Vol. 3., pp. 365-370., Bucuresti, august 1997.
190.-P26. PETRESCU F.,PETRESCU V., Sinteza mecanismelor de distributie prin metoda coordonatelor rectangulare (carteziene). In Conferinta “Grafica-2000”, Universitatea din Craiova, Craiova, 2000.
191.-P27. PETRESCU F., PETRESCU V., Designul (sinteza) mecanismelor cu came prin metoda coordonatelor polare (metoda triunghiurilor). In Conferinta “Grafica-2000”, Universitatea din Craiova, Craiova, 2000.
192.-P28. PETRESCU F., PETRESCU V., Legi de mişcare pentru
mecanismele cu came. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare
Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 321-326.
193.-P29. PETRESCU, F., PETRESCU, R. Elemente de dinamica
mecanismelor cu came. In al VII-lea Simpozion Naţional cu Participare
Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 327-332.
194.-P30. PETRESCU, V., PETRESCU, I., ANTONESCU,
O. Randamentul cuplei superioare de la angrenajele cu roţi dinţate cu axe fixe. In al
VII-lea Simpozion Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea
Asistată de Calculator, PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 333-338.
195.-P31. PETRESCU, I., PETRESCU, V., OCNĂRESCU, C. The Cam Synthesis With Maximal Efficiency. In al VII-lea Simpozion
Naţional cu Participare Internaţională Proiectarea Asistată de Calculator,
PRASIC'02, Braşov, 2002, Vol. I, p. 339-344.
196.-P32. PETRESCU, F., PETRESCU, R. Câteva elemente privind îmbunătăţirea designului mecanismului motor. În al VIII-lea Simpozion Naţional, de Geometrie Descriptivă, Grafică Tehnică şi Design, GTD 2003, Braşov, iunie 2003, Vol. I, p. 353-358.
197.-P33. PETRESCU, F., PETRESCU, R. The cam design for a better efficiency. In the International Conference on Engineering Graphics and Design, ICEGD 2005, Bucharest, 2005, Vol. I, p. 245-248.
198.-P34. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. Contributions at the dynamics of cams. In the Ninth IFToMM International Symposium on
183
Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 123-128.
199.-P35. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. Determining the dynamic efficiency of cams. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 129-134.
200.-P36. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V. An original internal combustion engine. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 135-140.
201.-P37. PETRESCU, R.V., PETRESCU, F.I. Determining the mechanical efficiency of Otto engine’s mechanism. In the Ninth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 141-146.
202.-P38. PETRESCU, F.I., PETRESCU, R.V., POPESCU N., The efficiency of cams. In the Second International Conference “Mechanics and Machine Elements”, Technical University of Sofia, November 4-6, 2005, Sofia, Bulgaria, Vol. II, p. 237-243.
203.-R1. RADOI M., DECIU E., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1973.
204.-R2. RADOI M., DECIU E., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1977.
205.-R3. RAO A., Optimum Elastodynamic Synthesis of a Cam-Follower Train Using Stochastic-Geometric Programming. Mech. and Mach. Theory, Vol. 15., 1980.
206.-R4. RAICU A., Consideratii privind nedeterminarea din ecuatia de miscare a masinii. In PRASIC, Brasov, decembrie 1994.
207.-R5. REES JONES J., Analog simulation of SCCA cam motion. In Mech. Eng. Deptl. Report, 1974, Liverpool Polytechnic.
208.-R6. ROSKILLY M., s.a., Valve gear design analysis. In XXII FISITA CONGRESS (865027), PP. 1.193-1.200.
209.-R7. ***, Revue Technique, aprilie 1991, pp. 22.
210.-S1. SILAS GH., Mecanicã-vibratii mecanice, E.D.P., Bucuresti, 1968.
211.-S2. SILAS GH., s.a., Culegere de probleme de vibratii mecanice. Editura tehnicã, Bucuresti, 1967.
184
212.-S3. SARSTEN A.,VALLEND H., Computer aided design of valve cams. Internal Combustion Engines conference, Bucharest, Paper II-19, 1967.
213.-S4. SAVA I., Stadiul actual în dinamica mecanismelor cu came. I-II., Rev. S.C.M.A., Nr. 5., 1969.
214.-S5. SAVA I., Contributii la dinamica si sinteza optimalã a mecanismelor cu came. Tezã de doctorat, I.P.B., 1970.
215.-S6. SAVA I., Cu privire la functionarea in regim dinamic a supapei mecanismului distributiei motoarelor cu ardere interna. In revista C.M. Nr.12.,Bucuresti, 1971.
216.-S7. SAVIUC S., Optimizarea duratei de deschidere simultanã a supapelor la motoarele cu aprindere prin scânteie. Tezã de doctorat, I.P.B., 1979.
217.-S8. SIRETEANU T., GRUNDISCH O., PARAIAN S., Vibratiile aleatoare ale automobilelor. E.T., Bucuresti, 1981.
218.-S9. STOICESCU A., Dinamica autovehiculelor. Vol. I-II., I.P.B., Bucuresti, 1980-82.
219.-S10. STOICESCU A., Dinamica autovehiculelor pe roti. E.D.P., Bucuresti, 1981.
220.-S11. SONO H., UMIYAMA H., Honda RDCo., Ltd. Japan, A study of Combustion Stability of Non-Throttling S.I. Engine with Early Intake Valve Closing Mechanism. (945009), In XXV FISITA CONGRES, October 1994, Beijing, pp. 78-87.
221.-T1. TEMPEA I., POPA GH., Mecanisme plane articulate. I.P.B., Bucuresti, 1978.
222.-T2. TEMPEA I., MARTINEAC A., Organe de masini, teoria mecanismelor si prelucrãrii prin aschiere. Partea I , mecanisme, I.P.B., Bucuresti, 1983.
223.-T3. TEMPEA I., BALESCU C., ADIR G., Mecanism de presare destinat mecanizãrii operatiei de formare în rame (pãrtile I si II). In al VII-lea Simpozion national de roboti industriali si mecanisme spatiale. Vol. 3., Bucuresti, 1987.
224.-T4. TEMPEA I., GRADU M., Sinteza camei de translatie cu tachet cu rolã, cu ajutorul functiilor spline. In lucrãrile simpozionului de R.I., Timisoara, 1992.
225.-T5. TUTUNARU D., Mecanisme plane rectiliniare si inversoare. Editura tehnicã, Bucuresti, 1969.
185
226.-T6. TORAZZA G., A variable lift and event control device piston engine valve operation. In FISITA XIV Congres,Paper II / 10, London, 1972.
227.-T7. TESAR D., MATTHEW G.K., The design of modelled cam sistems. In Cams and cam mechanisms, 1974.
228.-T8. TERME D., Besondere Merkmalebeider Nutzung des Pressungwinkels fur kurvengetriebeanalyse und-Synthese. In SYROM’85,Vol. III-2, pp. 489-504, Bucuresti, iulie 1985.
229.-T9. TEMPEA I., DUGĂEŞESCU I., NEACŞA M., Mecanisme. Noţiuni teoretice şi teme de proiect rezolvate, Ed. Printech, ISBN (10) 973-718-560-9, 2006.
230.-T10. D. Taraza, N.A. Henein, W. Bryzik, "The Frequency Analysis of the Crankshaft's Speed Variation: A reliable Tool for Diesel Engine Diagnosis," ASME Journal for Gas Turbines and Power 123(2), 428-432, 2001 231.-T11. D. Taraza, "Accuracy Limits of IMEP Determination from Crankshaft Speed Measurements," SAE Transactions, Journal of Engines 111, 689-697, 2002.
232.-T12. D. Taraza, "Statistical Correlation Between the Crankshaft's Speed Variation and Engine Performance, Part I: Theoretical Model," ASME Journal of Engineering for Gas Turbines and Power 125(3), 791-796, 2003.
233.-T13. D. Taraza, "Statistical Correlation Between the Crankshaft's Speed Variation and Engine Performance, Part II: Detection of Deficient Cylinders and MIP Calculation," ASME journal of Engineering for Gas Turbines and Power 125(3), 797-803, 2003.
234.-U1. ULF A., WILLIAM S., A Simple Procedure for Modifying High-Speed Cam Profiles for Vibration Reduction, Journal of Mechanical Design - November 2004 - Volume 126, Issue 6, pp. 1105-1108.
235.-V1. VOINEA R., VOICULESCU D., CEAUSU V., Mecanica. E.D.P., Bucuresti, 1975.
236.-V2. VOINEA R., ATANASIU M., Metode analitice noi în teoria mecanismelor. Editura tehnicã, Bucuresti, 1964.
237.-V3. Van de Straete, H.J., De Schutter, J., Hybrid cam mechanisms, Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on Volume 1, Issue 4, Dec. 1996 Page(s):284 - 289
238.-W1. WIEDERRICH J.L., ROTH B., Design of low vibration cam profiles. In Cams and cam mechanisms, Edited by J. REES JONES, MEP, London and Birmingham, Alabama, 1974.
186
239.-W2. WIEDERRICH J.L., ROTH B., Dynamic Synthesis of Cams Using Finite Trigonometric Series, Trans. ASME, 1974.
240.-Y1. YOUNG V.C., Considerations în valve gear design. Trans. SAE, 1, 1947, pp. 359-365.
241.-Z1. ZHANG J.L., LI Z., Research on the dynamics of a RSCR spatial mechanisms considering bearing clearances. In al VI-lea SYROM, Vol. II, Bucuresti, iunie 1993.
Goodbye. See you soon!…
187
188