03 cinematic a mecanismelor plane

MECANISME

2. CINEMATICA MECANISMELOR PLANE

Se pleaca de la schema cinematica a mecanismului, care este la scara. Cinematica, în general, studiaza legile de transmitere ale mecanismului: traiectoriile, vitezele, acceleratiile, etc., ale oricarui element condus, ca functii de unghiul de rotatie al elementului conducator, care în prima instanta se poate considera ca variaza constant în raport cu timpul.

Partea din cinematica care studiaza proprietatile geometrice ale miscarilor este cinematica geometrica.

2.1. Cinematica geometrica.

2.1.1. Miscarea relativa plana a doua elemente.

Elementul 1 efectueaza o rotatie finita din pozitia A’B’ în pozitia A’’B’’ (fig. 17). Se cauta punctul P, care este polul rotatiei relative sau centrul relativ de rotatie.

A’a aA’’; B’b bB’’; aP A’A’’; bPB’B’’.

Fig. 17.

Locul geometric al lui I într-un plan solidar cu elementul mobil 1 este centroida mobila C10 (deci I10 genereaza C10) – fig. 18.

Locul geometric al lui I într-un plan solidar cu elementul fix 0 este centroida fixa C01 (I01 genereaza C01).

Pentru ca I genereaza punct cu punct cele doua curbe C10 si C01 înseamna ca:

a) C10 si C01 sunt permanent tangente;b) C10 si C01 au o miscare relativa de rostogolire (în care viteza

tangentiala a unei curbe fata de cealalta este nula), denumita miscare centroidala.

- 14 -

MECANISME Capitolul 2 – CINEMATICA MECANISMELOR PLANE

Daca A’A’’ 0 si B’B’’ 0 atunci:A’ A’’ a A si B’ B’’ b B; aP (nn)A si bP (nn)B;(nn)A (nn)B I CIR;I10 1;I01 0.

Fig. 18.

Teorema lui Chalses: miscarea relativa a doua elemente (de exemplu 2 si 4) este reprodusa de rostogolirea centroidelor lor

(adica C24 si C42) – exemplu în fig. 19.

Fig. 19.

2.1.2. Metodologia stabilirii configuratiei centrelor de rotatie ale vitezelor.

În cadrul orelor de aplicatii la un mecanism plan format din doua grupe cinematice, se vor determina grafic toate centrele de rotatie ale vitezelor si apoi se vor calcula toate vitezele unghiulare absolute precum

- 15 -


si viteza liniara a elementului condus final, în functie de viteza unghiulara a elementului conducator.

Centrul de rotatie al vitezelor a doua elemente ce au o miscare de rotatie în raport cu al treilea element, este constituit din doua puncte distincte mecanic dar suprapuse geometric, apartinând primelor doua elemente, cu proprietatea ca au aceeasi viteza liniara în raport cu al treilea element. Daca se considera miscarea unui element mobil în raport cu baza (elementul de închidere fix), centrul de rotatie al vitezelor este acel punct al elementului mobil care are viteza nula (viteza liniara) la un moment considerat; se poate spune atunci ca, vitezele liniare ale tuturor punctelor elementului mobil se rotesc instantaneu în jurul acestui punct (de unde si denumirea de centru de rotatie al vitezelor CRV sau centru instantaneu de rotatie CIR). Relatia lui Euler referitoare la vectorii viteze unghiulare este

sau , stiut fiind ca . Relatia care leaga vitezele unghiulare relative cu distantele dintre centrele de rotatie ale vitezelor este, pentru elementele 1, 2 si 3:

.

- 16 -


Fig. 20.

Punctele I12, I23 si I31 se afla pe dreapta de coliniaritate 123. Când viteza unghiulara se considera în raport cu baza (fixa si notata de obicei cu cifra zero), atunci ea nu mai este relativa ci absoluta. În cazul mecanismelor, centrele de rotatie sunt de doua tipuri: permanente si sunt constituite fie din cuplele de rotatie pura

fie din puncte de la infinit determinate de fascicule de paralele fixe ca directie;

instantanee si sunt situate fie în planul finit, fie sunt puncte de la infinit – în acest ultim caz sunt determinate sau fascicule de paralele sau de drepte de directie variabila (fig. 20, 21 – baza a fost notata cu cifra 1).

- 17 -


Fig. 21.

Relatia dintre vitezele unghiulare si segmentele de dreapta determinate de cele trei centre de rotatie ale unei drepte de coliniaritate poate servi, pe lânga determinarea valorii unei viteze unghiulare în raport cu alta, si la determinarea sensului acestei viteze unghiulare. În acest scop, dupa explicitarea modulului vitezei unghiulare, se aranjeaza raportul segmentelor astfel încât, atât la numarator cât si la numitor, primul centru I sa fie cel comun; de exemplu:

.

Daca cele doua segmente si (considerate orientate) au acelasi sens, vitezele unghiulare si au si ele acelasi sens; daca segmentele au sens opus si vitezele unghiulare sunt de sens opus. Când centrul de rotatie comun segmentelor este un punct de la infinit, relatia cantitativa conduce la o nedeterminare de tipul infinit/infinit.

Fig. 22.

- 18 -

MARIMEA DE PE DESEN


Calculul vitezei liniare a axei unei cuple de rotatie ce leaga un element aflat în rotatie instantanee cu unul aflat în miscare de translatie pura, se face considerând doar rotatia si utilizând relatia (fig. 22).

Când utilizarea relatiei nu este posibila, se procedeaza la descompunerea vitezei liniare conform relatiei lui Euler. În disciplina Mecanisme, în cadrul calculelor grafice, constructiile se fac la scara (care are dimensiune). Cantitativ si dimensional, scara se determina din urmatoarea relatie:

Valoarea scarii se scrie lânga desenul la scara ca o fractie zecimala dimensionala; de exemplu:

sau

2.1.3. Miscarea relativa plana a trei elemente – demonstratia geometrica.

Miscarea elementului 1 fata de 3 rostogolirea centroidei C13 fata de centroida C31.



Elementul 1 are viteza unghiulara absoluta .Elementul 2 are viteza unghiulara absoluta .Elementul 3 are viteza unghiulara absoluta .

Conform teoremei lui Euler: .

Deci:

- 19 -

X SCARA = MARIMEA REALA


a) Adunând a doua relatie cu a treia rezulta ca:

b) Miscarea fiind plana, adica II II , rezulta ca si II II , ca fiind combinatii liniare ale lui , , .

Din (a) si (b) rezulta ca , , sunt si coplanari. Planul acestor vectori intersectat cu planul miscarii determina dreapta de coliniaritate, care contine centrele de rotatie I13, I23 si I21 (în aceste puncte înteapa planul miscarii, vectorii , , ).

Din se obtine

Rezulta teorema coliniaritatii (a celor 3 centre de rotatie ale vitezelor CRV sau a celor 3 centre instantanee de rotatie CIR) – Kennedy-Arnhold:

Trei elemente în miscare plana relativa determina trei centre de rotatie ale vitezelor coliniare, apartinând deci dreptei de coliniaritate.

Daca elementele sunt a, b si c, atunci relatia între unghiurile relative si distantele determinate de CRV este:

.

Se da: , (fig. 23)Se cere:

Din asemanarea triunghiurilor dreptunghice hasurate sau din legea

pârghiilor si din relatiile rezulta .

- 20 -


Fig. 23. 2.1.4. Miscarea relativa plana a trei elemente –

demonstratia vectoriala.

- 21 -


Se cauta doua puncte, apartinând celor doua elemente 1 si 2, suprapuse geometric dar distincte mecanic, care sa aiba aceeasi viteza liniara în raport cu elementul 3 (fig. 24). Punctul în care se suprapun cele doua puncte este I12 I21.

Fig. 24.

; II

Vectorii si sunt coliniari, pentru ca numai astfel, diferenta a doi vectori (amplificati fiecare cu câte un scalar) poate fi nula.

Rezulta teorema coliniaritatii: ;

I12, I23, I13: CIR sau CRV

2.1.5. Consideratii la determinarea centrelor de rotatieale vitezelor la mecanisme plane.

Se refera la mecanisme plane continând cuple de rotatie si translatie. Se poate imagina (fig. 23) pe baza coliniaritatii celor 3 centre

- 22 -


de rotatie implicate de 4 elemente, o procedura geometrica de determinare a celui de-al treilea centru de rotatie si a vitezei unghiulare aferente, când se cunosc 2 centre si viteze unghiulare.

Fiecare dreapta a centrelor (dreapta de coliniaritate) este implicata de câte 3 indici de elemente. Pentru a determina un centru de rotatie necunoscut, trebuie gasite si intersectate doua drepte ale centrelor cunoscute. Deci la determinarea unui centru de rotatie vor concura alte 2 + 2 = 4 centre de rotatie distincte cunoscute, fiecare doua centre determinând câte o dreapta a centrelor cunoscuta.

Pe graful asociat mecanismului (poligon stelat), vârfurile (nodurile), aranjate pe circumferinta unui cerc, corespund elementelor. Muchiile, ce unesc câte 2 vârfuri, corespund centrelor de rotatie. Fiecare triunghi format din muchii corespunde câte unei drepte a centrelor.

Se analizeaza acum pe graf situatiile pe care le implica 4 elemente ce determina 4 centre de rotatie cunoscute si 2 necunoscute. Se formeaza un patrulater în care cele 6 muchii constituie 4 laturi si 2 diagonale. Se demonstreaza ca:

Propozitia 1 – fig. 25: Determinarea a doua centre de rotatie necunoscute este posibila daca pe subgraful cu 4 vârfuri exista un circuit hamiltonian (cerc topologic) deja determinat. Pot exista 2 asemenea situatii:

a) se cunosc 4 laturi determinându-se cele 2 diagonale;b) se cunosc 2 laturi opuse si cele 2 diagonale determinându-

se celelelte 2 laturi opuse.

Fig. 25. Fig. 26.

Propozitia 2 – fig. 26: Exista 2 situatii în care determinarea centrelor de rotatie nu este posibila: când se cunosc 2 laturi alaturate si cele doua diagonale sau când se cunosc 3 laturi si o diagonala.

La un mecanism complex problema cea mai importanta este stabilirea succesiunii determinarii (a ordinii) centrelor de rotatie si apoi a dreptelor centrelor ce concura la determinari. Aceasta problema se rezolva usor, pe graful asociat întregului mecanism. Se porneste de la prima grupa cinematica cu elementele (elementul) sale conducatoare, depistând subgrafele cu 4 vârfuri ce îndeplinesc conditia din propozitia 1 s.a.m.d. Se considera apoi mecanismul format prin adaugarea celei de-a doua grupa cinematica etc.

În continuare, pentru comoditatea scrierii, centrul de rotatie Iij s-a notat doar cu perechea de indici ij.

- 23 -


Se propune ca, pe graf, muchia corespunzatoare unui centru de rotatie de la infinit, sa figureze cu linie întrerupta. Se observa ca 2 centre de la infinit având un indice comun ca de exemplu xy si yz implica zx . În consecinta daca într-un subgraf cu 3 vârfuri, 2 muchii cunoscute concurente într-un vârf sunt figurate cu linii întrerupte, atunci si cea de-a treia care închide triunghiul se va trasa tot cu linie întrerupta, implicând un nou centru de la infinit. Acest nou centru va fi însa caracterizat de o directie care se determina cu ajutorul a 2 centre de rotatie cunoscute în planul finit, ce pe graf au deci muchiile figurate cu linie continua si sprijinindu-se pe muchia cu linie întrerupta (formeaza un triunghi cu o singura latura trasata cu linie întrerupta).

La un mecanism continând cea mai simpla triada (fig. 27) succesiunea determinarilor este:

14 (a se întelege I14) sau 56 (cazul b propozitia 1) din patrulaterul 1456;

13 sau 24 din patrulaterul 1234 (cazul a propozitia 1) si 25, 26, 35, 36.

Fig. 27.

La un mecanism continând o tetrada (fig. 28), succesiunea determinarilor este: 36 sau 54; 13 sau 26; 14, 15, 24, 25.Metodologia propusa prin propozitia 1 (fig. 25) conduce imediat si la

stabilirea celor doua drepte ale centrelor care intersectate determina un centru de rotatie necunoscut. Daca se considera elementele xyzk (îndeplinind pe graf conditia din propozitia 1), pentru determinarea spre exemplu a centrului yk se foloseste intersectia dreptelor kxy si kzy. Aceasta determinare se poate simboliza si prin x(yk)z.

- 24 -


Fig. 28.

În baza rationamentului ca, la mecanismele cuprinzând si cuple de translatie, drepte paralele intersecteaza fascicule de drepte concurente, se poate enunta:

Propozitia 3: Centrele de rotatie din planul finit ce determina centre de rotatie de la infinit, formeaza figuri omotetice având polul omotetiei implicat de indicii comuni.

Fig. 29.

Spre exemplu, la mecanismul din figura 29, figurile hasurate, adica 21, 24, 25, 26 si 31, 34, 35, 36 sunt omotetice în raport cu polul 23.

Pe graf, regula de determinare a figurilor omotetice si a polului omotetiei este:

Propozitia 4 – fig 30: În orice subgraf cu 4 vârfuri în care 3 laturi si doua diagonale ale patrulaterului format reprezinta centre din planul finit (trasate în consecinta cu linii continui) si o latura reprezinta un centru de rotatie de la infinit (fiind trasata cu linie întrerupta), latura opusa celei cu linie întrerupta este polul omotetiei, iar figurile (segmentele) omotetice sunt reprezentate respectiv de catre latura si diagonala concurente la vârf ce se sprijina pe latura cu linie întrerupta.

- 25 -


Fig. 30.

Proprietatea din propozitia 4 poate servi la determinarea completa a centrelor de rotatie omotetice, când în prealabil au fost determinate:

polul omotetiei; raportul omotetiei; jumatate din punctele (indiferent care) care formeaza cele doua

figuri omotetice.La o determinare concreta, în prealabil, cu ajutorul propozitiei 4, se

stabilesc pe graf figurile omotetice si polul omotetiei. Pentru determinarea raportului trebuiesc cunoscute pe mecanism 2 centre de rotatie corespondente.

Tinând cont de propozitiile 1 si 4, metoda grafica pentru determinarea centrelor de rotatie ale vitezelor, se poate transpune într-o metoda apta computerizarii.

2.1.6. Teorema coliniaritatii aplicata la mecanisme.

Cazul general: n elemente mobile implica:

n CIR (CRV) absolute si CIR (CRV) relative

Numarul total al dreptelor (care implica câte 3 elemente) este:

,

prin fiecare CIR (CRV) trecând (n – 2) drepte.

- 26 -


Exemplu:Elementul (0=baza) + {1,2,3,4,5} elemente mobile (fig. 30),

determina urmatoarele CRV (CIR):

I01 I02 I03 I04 I05

I12 I13 I14 I15

I23 I24 I25

I34 I35

I45

Fig. 31.

Un CIR se poate determina ca intersectia a doua drepte.Spre exemplu:

I35 345 235 I35 3y5 z35 cu z y si z,y {1,2, … , n} \ {3,5}

CIR (CRV) se afla la intersectia acelor drepte ce îi contin indicii.

Când se scrie teorema celor trei CIR referitor la doua viteze unghiulare, la numitorul ambelor viteze unghiulare, se trece mai întâi CIR-ul cu indice comun, considerându-se apoi numitorii ca niste segmente orientate si rezultând astfel sensul unei viteze unghiulare (necunoscute), când se cunoaste cealalta viteza unghiulara.

Cazuri particulare de pozitionare a CRV (CIR).

a. b.

Fig. 32.

- 27 -

b.


a – elemente legate prin cupla de translatie; b – elemente legate prin cupla superioara plana

Exemple de mecanisme.

a.

c.

Fig. 33.

- 28 -

03 cinematic a mecanismelor plane

Documents