MAKALAH

PENGGUNAAN TURUNAN DALAM BIDANG KESEHATAN DAN

FARMASI

Dibuat untuk memenuhi tugas Matematika

Dosen: Andes Safarandes, S,Pd. M.Pd

Disusun Oleh:

Kelompok 2

Siti Hufi Hutami

Eni Nuraeni

Dewanta Arya

Deni Supriatna

Viqi Eka

Fauzi Akbar

Rozak

Maretsa

PROGRAM STUDI FARMASI

FAKULTAS TEKNIK DAN ILMU KOMUNIKASI

UNIVERSITS BUANA PERJUANGAN KARAWANG

TAHUN AJARAN 2015-2016

KATA PENGANTAR

1

Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, atas rahmat dan karunianya kami

dapat menyelesaikan makalah ini dengan sebaik mungkin. Tidak lupa dukungan

semua pihak dalam pembuatan makalah ini.

Bila menghubungkan matematika dan semua bidang memang tidak ada

habisnya selalu ada penerapannya dengan kata lain bahwa matematika bisa

dikatakan “Mother Of Unit” sehubungan karena kami adalah mahasiswa

kesehatan khususnya bidang farmasi, disini kami akan memaparkan hasil yang

telah kami lakukan pencarian dengan sumber text book maupun journal penelitian

dari orang-orang diatas kami.

Pada makalah tentang “Penggunaan Turunan Dalam Bidang Kesehatan

dan Farmasi” akan dipaparkan pada bagian apa saja turunan ini digunakan serta

contoh perhitungannya.

Demikian yang bisa kami sampaikan, semoga makalah ini menjadi

manfaat yan tadinya tidak tahu menjadi tahu. Kritik dan saran yang membangun

akan kami terima dengan senang hati.

Karawang, November 2015

Kelompok 2

2

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................. 1KATA PENGANTAR ............................................................................... 2DAFTAR ISI ............................................................................................. 3BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ..................................................................................... 41.2 Tujuan ................................................................................................... 41.3 Manfaat ................................................................................................ 41.4 Rumusan Masalah…………………………………………………… 5

1.4.1 Maksimum dan Minimum 1.4.2 Kemonotonan dan Kecekungan 1.4.3 maksumum dan Minumum Lokal1.4.4 Limit di Ketidakhinggaan, Limit Tak Terhingga1.4.5 Penggambaran Grafik Canggih1.4.6 Teorema Nilai Rata-Rata1.4.7 Penerapan Dalam Bidang Farmasi1.4.8 Contoh Perhitungan Diferensial Dalam Bidang Farmasi.

BAB II PEMBAHASAN2.1 Maksimum dan Minimum............................................................ 62.2 Kemonotonan dan Kecekungan................................................... 82.3 Maksumum dan Minumum Lokal……………………………… 112.4 Limit di Ketidakhinggaan, Limit Tak Terhingga…………….… 142.5 Penggambaran Grafik Canggih………………………………… 152.6 Teorema Nilai Rata-Rata………………….…………………… 172.7 Penerapan Dalam Bidang Farmasi………………….......……… 182.8 Contoh Perhitungan Diferensial Dalam Bidang Farmasi………. 25

BAB III PENUTUP3.1 Kesimpulan……………………............................................................ 263.2 Saran………………………………………………………………….. 26DAFTAR PUSTAKA ............................................................................... 27

3

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Matematika merupakan cabang yang digunakan dalam perhitungan semua

bidang, hampir semua menggunakan perhitungan secara matematis. Matematika

merupakan ilmu pasti yang tidak dapat berubah lagi, hampir semua bidang

menggunakan perhitungan matematika sehingga bisa disebut bahwa matematika

adalah “Mother of Unit”. Ilmu Sosial maupun Ilmu Alam tak luput dari

perhitungan matematik untuk menentukan berapa nilai atau berapa hasil yang

dibutuhkan pada bidang tersebut.

Dalam bidang kesehatan perhitungan matematik sangat diperlukan dalam

menentukan banyak hal, salah satunya adalah Farmasi. Ahli farmasi adalah

seseorang yang bertugas untuk memberikan obat kepada pasien sesuai dengan

resep dokter atau praktisi kesehatan lainnya dan memberikan informasi kepada

pasien tentang penggunaan obat tersebut.

Ahli farmasi banyak melakukan perhitungan terutama yang berhubungan

dengan pembuatan sediaan obat, tingkat konsentrasi obat dan kebutuhan dosis.

Perhitungan itu dilakukakan untuk menguji efektivitas obat yang diberikan

melalui uji Bioavailabilitas. Bioavailabilitas adalah sebagai laju dan jumlah

relative zat aktif yang mencapai sistem peredaran darah dan seberapa cepat zat

tersebut terarbsorpsi. Dalam hal seperti ini seorang farmasi membutuhkan teori

diferensial atau turunan dalam menentukan laju perubahan banyaknya obat yang

terabsorbsi dalam tubuh juga waktu yang dibutuhkan obat tersebut terabsorbsi

dalam tubuh.

1.2 TUJUAN

Ada pun tujuan dalam pembuatan makalah ini adalah untuk:

1. Mengetahui teori tentang penggunaan turunan

2. Mengethaui penggunaan turunan dalam bidang farmasi dan kesehatan

3. Mengetahui contoh perhitungannya.

4

1.3 RUMUSAN MASALAH

1 Maksimum dan Minimum

2 Kemonotonan dan Kecekungan

3 Maksumum dan Minimum Lokal

4 Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

5 Penggambaran Grafik Canggih

6 Teorema Nilai Rata-Rata.

7 Penerapan Dalam Bidang Farmasi

8 Contoh Perhitungan Diferensial Dalam Farmasi.

1.4 MANFAAT

Manfaat dibuatnya makalah ini adalah sebagai pengetahuan yang tidak tahu

menjadi tahu tentang apa saja penerapan turunan dalam kehidupan sehari-hari

terutama pada bidang farmasi dan kesehatan.

5

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM

Dalam hidup, seringkali menghapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik

untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh seorang farmasi akan menentukan dosis

obat yang terkecil untuk menyembuhan suatu penyakit. Kadangkala salah satu

dari masalah tersebut dapat dirumuskan sehingga akan melibatkan

memaksimumkan dan meminimumkan fungsi tersebut.

Andaikan diketahui fungsi f dna domain S seperti pada

Gambar I. Yang pertama adalah menentukan apakah f

memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap

bahwa nilai-nilai tersebut ada, kita ingin mengetahui lebih

lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu berada. Akhirnya, kita

dapat menentukan nilai maksimum dan minimum.

n

Pertanyaan eksistensi apakah f mempunyai nilai maksimum atau minimum pada S? jawabnya tergantung pertama-tama pada himpunan S tersebut. Ambillah f(x) = 1/x pada S = (0,∞ ¿; fungsi ini tidak mempunyai nilai maksimum ataupun minimum (Gambar 2) sebaliknya fungsi yang sama pada S = [1,3] mempunyai

nilai maksimum f(1) = 1 dan nilai minimum f (3) = 13

. Pada S = (1,3), f tidak

mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum f (3) = 13

.

6

Definisi

andaikan S, daerah asal f , memuat titik c. Kita katakana bahwa:

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S;

(ii) f(c) adalah nilai minimumnya f pada S jika f(c) ≤ untuk semua x di S;

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimu atau minimum.

Jawaban juga tergantung pada tipe fungsi. Ambilah fungsi tak kontinu g (Gambar 3) yang di definisikan oleh

g ( x )={x jika 1 ≤ x<2

{x−2 jika 1≤ x≤ 3

Pada S = [1,3] g tidak mempunyai nilai maksimum (menjadi cukup dekat ke 2 tetapi tidak pernah mencapainya). Tetapi, g mempunyai nilai minimum g(2) = 0

Terdapat teorema bagus yang menjawab pertanyaan eksistensi untuk beberapa masalah yang muncul

dalam prektek. Walaupun secara intuisi ini jelas, bukti yang teliti sangat sukar;

Dimana terjadinya nilai-nilai ekstrim?Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung (Gambar 4)

Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0 kita sebut titik c titik stationer. Nama itu diturunkan dari fakta bahwa pada titik stationer, grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-titik stationer (Gambar 5).Akhirnya jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, kita sebut c titik singular. Ini merupakan titik

dimana grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikel, atau mungkin berupa lompatan. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular (Gambar 6) walaupun dalam masalah-masalah praktis hal ini sangat langka.

7

Teorema A

(Teorema eksistensi Mask-Min) jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.

2.2 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN

8

Teorema B

(Teorema Titik Kritis) andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis yakni c berupa salah satu:

(i) Titik ujung dari I;(ii) Titik stationer dari f(f’(c) = 0)(iii) Titik singular dari f(f’(c) tidak ada).

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka,tertutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa(i) f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1<x 2 →f (x1)< f (x2)

Turunan pertama dan kemonotnonan, ingat kembali bahwa turunan f’(x) memberi kita kemiringan dari garis singgung pada grafik f dititik x. kemudian jika f’(x) > 0 garis singgung naik ke kanan (Gambar 2). Serupa jika f’(x) < 0, garis singgung jatuh ke kanan. Fakta-fakta ini membuat teorema berikut secara intuisi jelas.

Turunan kedua dan kecekungan. Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap

mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar 6). Untuk menganalisis

goyangan, kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita

bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika garis singgung berliku secara

tetap berlawanan arah putaran jarum jam kita katakana bahwa grafik cekung ke

9

Teorema A

(teorema kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

(i) Jika f’(x)> 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua titik dalam x ari I, maka f turun pada I

atas, jika garis singgung berliku searah putaran jarum jam, grafik cekung ke

bawah. Kedua definisi lebih baik dinyatakan dalam istilah fungsi dan turunannya.

Titik balik. Andaikan f kontinu di c. kita sebut (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik

f, jika f cekung ke atas pada suatu sisi dan cekung ke bawah pada sisi yang

lainnya dari c. grafik dalam Gambar 12 menunjukkan sejumlah kemungkinan.

10

Teorema B

(teorema kecekungan). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b)

(iii) Jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)

(iv) Jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)

Seperti yang mungkin diterka, titik-titik dimana f”(x) = 0 atau f”(x) tidak ada merupakan calon-calon untuk titik balik. Gunakan kata calon dengan sengaja. Sama halnya seperti calon untuk jabatan yang gagal terpilih sehingga misalnya titik dimana f”(x) = 0 mungkin gagal menjadi suatu titik balik. Pandang f(x) = x4 yang mempunyai grafik diperlihatkan dalam

Gambar 13. Benar bahwa f”(0) = 0; tetapi titik asal bukan titik balik. Tetapi dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali titik-titik dengan f”(x) = 0. (dan dimana f”(x) tidak ada). Kemudian kita memeriksa apakah mereka benar-benar merupakan titik-titik balik.

11

2.3 MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL

Kembali pada 4.1 bahwa nilai maksimum (jika ada ) suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar yang di capai pada keseluruhan himpunan S. Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global, atau nilai maksimum absolut dari f. jadi untuk fungsi f dengan daerah asal S = [a,b] yang grafiknya dalam

Gambar I , f(a) adalah nilai maksimum global. Tetapi bagian mana tentang f(c)? Kita sebut f(c) suatu nilai maksimum local atau nilai maksimum relative. Tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksimum local. Gambar 2 hanyalah yang terbesar diantara nilai-nilai maksimum lokal. Serupa, nilai minimum global adalah yang terkecil diantara nilai-nilai minimum lokal.

Berikut definisi foral dari maksimum dan minimum lokal.

12

Definisi

Andaikan S daerah asal f memuat titik c.D dikatakan bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;

Dimana Nilai-nilai Ekstrim Lokal Terjadi, teorema Titik Kritis berlaku

sebagaimana dinyatakan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim

lokal, bukti pada dasarnya sama. Jadi titik-titik kritis (titik ujung, titik stationer,

dan titik singular) adalah calon untuk titik empat kemungkinan terjadinya ekstrim

lokal. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik kritis dan

negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.

13

(ii) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (c,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S;

(iii) f (c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Teorema A

Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal. Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memeuat titik kritis c

(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f;

Uji Turunan Kedua. Terdapat uji lain untuk maksimum dan minimum lokal

yang kadang-kadang lebih mudah diterapkan daripada Uji Turunan Pertama. Ia

menyangkut perhitungan turunan kedua pada titik-titik stationer. Ia tidak

berperilaku pada titik singular.

Bukti (i) mengatakan bahwa karena f”(c) < 0, f adalah cekung ke bawah dekat c

dan menyatakan bahwa ini membuktikan (i). tetapi, agar yakin bahwa f cekung ke

bawah di lingkungan c, kita memerlukan f”(x0 < 0 dilingkungan tersebut (tidak

hanya di c), dan tidak dalam hipotesis yang menjamin itu. Dari definisi dan

hipotesis,

F”(c) = lim ¿ x→ cf ' ( x )−f ' (c )

x−c=¿ lim ¿x → c

f ' ( x )−0x−c

<0¿

Sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat selang (α ,β ¿ mungkin pendek

disekitar c dimana

f '(x )x−c

<0 , x ≠ c

Kedua ketaksamaan ini menunjukan bahwa f’(x) > 0 untuk

α <x<c dan f ' (x )<0 untuk c<x<β . Jadi Uji Turunan Pertama, f(c) a adalah nilai

maksimum lokal. Bukti (ii) serupa.

14

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

(i) Jika f”(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f(ii) Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

2.4 Limit di Takhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi-Definisi Cermat Limit Bila x-> ± ∞

15

Definisi

(Limit bila x ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞] untuk suatu

bilangan c. dapat dikatakan bahwa limx−→ ∞

f (x )=L jika untuk masing-

masing ε>0 terdapat bilangan m yang berpadanan sedemikian sehingga

X > M |f(x) – L| < ε

Definisi

(Limit-Limit Tak Hingga). Kita katakana bahwa lim f ( x )

x−→ c+¿¿∞¿

jika

untuk tiap bilangan positif M berpadanan suatu δ >0sedemikian sehinnga

0 < x – C < δ f(x) > M

2.5 Penggambaran Grafik Canggih

Kalkulus menyediakan alat untuk menganalisis struktur grafik secara baik,

khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan ciri-ciri grafik.

Dapat ditempatkan titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum lokal, dan titik-

titik balik; dapat menentukan secara persis dimana grafik naik atau dimana cekung

ke atas. Pengikutsertaan gagasan-gagasan ini dalam prosedur penggambaran

grafik dalam bab ini.

POLINOM. Polinom derajat 1 atau 2 jelas unuk di gambar grafiknya;

yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya misalnya 3

sampai 6 dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.

f(x) =

3 x 5 – 20 x332

Fungsi Rasional. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom,

lebih rumit untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya, dapat diharapkan

perilaku yang dramatis dimana pun penyebut nol.

Ringkasan Metode. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat

pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat

membantu.

Lankah I buat analisis pendahuluan sebagai berikut.

(a) Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada di

daerah di bidang yang dikecualikan.

16

(b) Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal.

(c) Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

(d) Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kristis dan untuk

mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.

(e) Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum lokal.

(f) Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke

atas dan cekung ke bawah untuk melokasikan titik-titik balik.

(g) Cari asimtot-asimtotnya.

Langkah 2. Gambarkan beberapa titik (termasuk titik kritis dan titik balik)

Langkah 3. Sketsakan grafik.

2.6 Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus, tidak begitu penting

namun membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti.

Dalam bahsasa Geometri, Teorema Nilai Rata-rata mudah dinyatakan dan

dipahami. Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu

mempunyai garis singgung tak vertical pada setiap titik antara A dan B, maka

terdapat paling sedikit suatu titik C pada grafik antara A dan B, maka terdapat

paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di

titik C sejajar talibusur AB. Dalam Gambar I, halnya terdapat satu titik C yang

demikian; dalam Gambar 2, terdapat beberapa.

17

Teorema Dibuktikan. Pertama nyatakan teorema dalam bahasa fungsi. Kemudian

buktikan.

Bukti pembuktian bersandar pada analisis seksama dari fungsi s(x) = f(x) – g(x),

yang diperkenalkan dalam Gambar 3. Disini y = g(x) adalah persamaan garis yang

melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)). Karena garis ini mempunyai kemiringan [f(b) –

f(a)]/(b – a) dan melalui (a,f(a)), bentuk titik kemiringan untuk persamaannya

adalah

g ( x )= f (b )−f (a )b−a

(x−a)

kemudian ini menghasilkan rumus untuk s(x), yaitu

s ( x )=f ( x )−f (a )− f (b )−f (a )b−a

(x−a)

Perhatikan dengan segera bahwa s(b) = s(a) = 0dan

bahwa untuk x dalam (a,b)

s' (x )=f ' ( x )−f (b )−f (a)

b−a

18

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-Rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f (h )−f (a)b−a

=f '(c)

Atau secara setara dimana

f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Sekarang buat suatu pengamatan penting. Jika diketahui bahwa terdapat

suatu bilangan c dalam (a,b) yang memenuhi s’(c) = 0 akan selesai. Karena

persamaan yang terakhir akan mengatakan

0=f ' (c )−f (b )−f (a)

b−a

Yang setara terhadap kesimpulan teorema tersebut.

Untuk melihat bahwa s’(c) = 0 untuk suatu c dalam (a,b) alasannya

sebagai berkut. Jelas s kontinu pada [a,b] karena merupakan selisih dua fungsi

kontinu. Jadi menurut Teorema Eksistensi Maks-Min. s harus mencapai baik nilai

maksimum atau pun nilai minimum pada [a,b]. jika kedua nilai ini kebetulan

adalah 0, maka s(x) secara identic adalah 0 pada [a,b], akibatnya s’(x) = 0 untuk

semua x dalam (a,b), jauh lebih banyak daripada yang kita perlukan.

Jika salah satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan 0,

maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam c, karena s(a) = s(b) = 0.

Sekarang s mempunyai turunan di setiap titik dari (a,b), sehingga menurut

Teorema Titik Kritis s’(c) = 0. Itulah semua yang harus diketahui.

19

Teorema B

Jika f’(x) = G(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

Untuk semua x dalam (a,b)

2.7 Penerapan Diferensial Pada Bidang Farmasi

a. Farmakokinetika

Menurut Prof. Dr. Fauzi Sjuib seorang Guru Besar Departemen Farmasi ITB,

nasib obat sesudah diminum adalah didistribusikan ke seluruh tubuh oleh cairan

tubuh (darah), tetapi kita tidak dapat mengetahui dengan pasti kemana dan berapa

jumlahnya pada jaringan penerima distribusi.Untuk mengirakan hal tersebut,

maka secara farmakokinetika dibuatlah model-model yang melihat tubuh sebagai

kompartemen. Sebagai bapak dari model kompartemen adalah Teorell yang

mengatakan tujuan farmakokinetika adalah menurunkan persamaan matematika

yang memungkinkan kita menerangkan kinetika dan distribusi obat dalam tubuh.

Dikemukakan model satu kompartemen dan model multi kompartemen (yang

terbanyak dua kompartemen dari model multi kompartemen), yang dapat

digambarkan sebagai berikut :

A. 1. Xoka

2 XA

Model satu kompartemen

A.1. Pemberian suntikan IV dengan dosis Xo

2. Pemberian yang harus melewati membran (misal: oral) untuk sampai ke kompartemen dengan jumlah obat tersedia untuk diabsorbsi (Xa) dan tetapan kecepatan absorbsi Ka.

K= tetapan kecepatan eksresi obat dari kompartemen.

20

XXE

K

B. 1. XoKA

2 XA

Model dua kompartemen

Pemberian obat dari segi farmakokinetika dapat dibagi dua , yang pertama

adalah pemberian secara langsung ke kompartemen yang mendistribusikan obat

seperti pemberian suntikan intra vena seperti pada A1 dan B1, yang kedua adalah

pemberian obat yang harus melewati membran sebelum mencapai kompartemen

pendistribusi seperti A2 dan B2. Dari model tersebut diturunkan persamaan

farmakokinetikanya :

A1. dxdt

=−K .x

x = xo e –Kt x = VC C = Co e – Kt

A2. dxdt

=¿ka.xa – K.x

X= Ka. F . Xo

Ka−K ( e −Kt - e ka t )

C =Ka . F . XoV (Ka−K ) ( e Kt − - e ka t )

B.1 dXcdt

= k21 Xp – k12 Xc – k10 Xc

C = A e −α t - B e −β t

21

Kompartemen pusat

K12

K21

Kompartemen Derivat

K10

Dimana: α + β = k12 + k21 + k10

α β = k21 k10

A =Xo (α−K 21 )

Vc (α−β )

B = Xo ( K 21−β )Vc (α−β )

B2. dXcdt

= ka XA – k12 Xc – k10 Xc

Cc = L e −α t + M e −β t + N e –kat

L = Ka F Xo ( K 21−α )Vc(Ka−α)(β−α)

M =Ka F Xo ( K 21−β )Vc(Ka−β)(α−β )

N= Ka F Xo ( K 21−Ka )Vc(α−Ka)(β−Ka)

Persamaan di atas diturunkan berdasarkan asumsi bahwa proses yang

terjadi mengikuti kinetika orde pertama. Proses-proses ini bisa juga orde nol atau

kinetika enzimatis. Persamaan kinetika disesuaikan dengan proses yang terjadi.

Dengan memberikan obat secara suntikan intra vena, kemudian

ditentukan kadar obat dalam darah pada waktu-waktu tertentu, akan didapat

parameter farmakokinetika V dan K pada model satu kompartemen serta Vc, k12,

k21 dan k10 pada model dua kompartemen. Harga ka dan F didapat dari

pemberian obat yang harus melewati membran untuk sampai ke kompartemen

pusat. Dengan mengetahui harga parameter farmakokinetika dan model

kompartemen berapa yang diikuti oleh obat, maka dapatlah dihitung berapa dosis

obat dan berapa selang waktu pemberian obat pada pemakian ganda. Obat akan

bekerja dengan manjur dan aman jika kadarnya berada di atas konsentrasi

minimum efektif (MEC) tetapi di bawah konsentrasi maksimum yang dapat

22

menimbulkan gejala keracunan (MTC). Makin dekat jarak antara MEC dan MTC,

maka perhitungan farmakokinetika dilakukan dengan teliti.

Grafik konsentrasi plasma terhadap waktu setelah pemberian obat

secara intravena (---) dan oral (-) pada mode satu kompartemen.

Grafik diatas menunjukkan perubahan konsentrasi obat terhadap waktu

secara dinamis pada model satu kompartemen. Garis putus – putus menunjukkan

perubahan konsentrasi setelah pemberian obat dengan injeksi intravena dan garis

sambung menunjukkan perubahan konsentrasi setelah pemberian obat dengan

oral. Karena pemberian obat dengan injeksi intravena tidak memiliki tahap

resorpsi, maka grafik yang ditunjukkan linear. Sedangkan untuk pemberian obat

dengan cara oral, konsentrasi obat pada darah secara perlahan mencapai

konsentrasi puncak karena proses resorpsi oleh tubuh.

Menurut Xiaoling Li di dalam bukunya Design of controlled release drug

delivery systems, persamaan deferensial dan solusinya dari pemodelan di atas

adalah sebagai berikut:

d (C p)dt

= Ka (Cabsorb) K(Cp)

Cp = (F ) (S ) (dosis )(Ka)

Vd( Ka−K ) (e –kt-e- ka(t))

dimana Ka adalah ratio absorpsi per satuan waktu, K adalah ratio eliminasi per

satuan waktu, Vd adalah volume distribusi, F adalah banyak bagian dari dosis

23

yang diberikan yang masuk ke dalam sistem sirkulasi, dan S adalah formulasi

faktor salt. Vd dapat dihitung dengan persamaan (Xiaoling Li, 2006):

Vd = ( F ) (S )(dosis)

( AUC 0→ ∞)(K )

yang merupakan persamaan yang sama dengan Vd(area) pada model dua

kompartemen. Pada model satu kompartemen, Vd(area) diturunkan menjadi Vd. Dua

parameter, Cpmax dan tmax, yang menunjukkan konsentrasi maksimal obat yang

dapat dicapai dan waktu dimana konsentrasi maksimal obat mencapai titik

maksimal, dapat dihitung dengan persamaan berikut(Xiaoling Li, 2006):

tmax = ln ( Ka

K)

Ka−K

Cpmax = (F ) (S ) (dosis )(Ka)

Vd( Ka−K ) (e –k(tmax

)-e- ka(tmax

))

b. Persamaan Matematika Konsentrasi Obat Dan Waktu Paruh

Menurut Raina Robeva seorang professor matematika sains, secara umum

dan sederhana, kecepatan dari eliminasi obat dalam peredaran darah proporsional

dengan jumlah yang ada dalam peredaran darah saat itu. Oleh karena itu, jika C(t)

adalah konsentrasi obat pada waktu t, maka fakta bahwa obat dieliminasi dari

peredaran darah pada kecepatan yang proporsional dengan jumlah yang ada saat

itu bisa dirumuskan sebagai berikut:

dC (t)dt

=−rC (t ) , dimana r>0

Dan solusi dari persamaan diferensial diatas adalah

C(t) = C(0)e-rt

24

Tanda negative pada persamaan diatas mengindikasikan konsentrasi obat

dalam darah berkurang. Nilai konstan r, disebut kecepatan eliminasi konstan,

mengontrol kecepatan obat akan dikeluarkan dari dalam darah. Semakin besar

nilai r, maka semakin cepat proses eliminasinya.

Hal ini berhubungan dekat dengan waktu-paruh dari obat, yang

didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan untuk mengurangi konsentrasi obat

dalam darah menjadi setengahnya. Dalam konsep matematika dengan

menggunakan solusi persamaan differensial untuk konsentrasi obat di atas, maka

akan didapat waktu-paruh (t½) obat adalah:

t½ = ¿(2)

r

2.8 Contoh Perhitungan Diferensial Dalam Bidang Farmasi

(dari Turunan diatas dapat dicari untuk menentukan suatu yang perlu

dicari)

25

Suatu obat diberikan melalui infus IV dengan kecepatan tetap 50

mg/jam kepada subyek selama 4 jam. Dari pustaka diketahui waktu

paruh = 8 jam dan volume distribusi obat = 5 L. Berapa kadar obat

dalam darah 4 jam sejak pemberian infus C(4)? (dr. Ave Olivia

Rahman, M.Sc Bagian Farmakologi FKIK UNJA)

Jawab:

K=0,6938

=0,086jam-1

C(4) = 50

0,086.5 (1-e-0,086.4)

C(4) = 47,79 mg/l

26

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dari uraian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa penggunaan turunan

dalam farmasi sangat dibutuhkan dalam pencarian kadar-kadar tertentu khususnya

bidang Farmakokinetika.

3.2 Saran

Semoga makalah ini bermanfaat, jika banyak kesalahan atau kekurangan

mohon bimbingannya karena pengajaran kefarmasian belum sampai pada titik ini.

27

DAFTAR PUSTAKA

Purcell J Edwin; Kalkulus dan Geometri Analitis 5;Erlangga;Jakarta;2015

Xiaoling Li;Design of controlled release drug delivery system;2006(E-book)

Raina Robeva; Mathematical Concepts and Methods in Modern Biology;2013(E-

book)

Prof. Dr. Fauzi Sjui; Departemen Farmasi ITB; FARMAKOKINETIKA DAN BIOFARMASI

SEBAGAI JEMBATANANTARA DOKTER dDAN APOTEKER.

dr. Ave Olivia Rahman, M.Sc;Farmakokinetik Kumulatif; Bagian Farmakologi FKIK

UNJA; Slide

28