DIFERENSIALDIFERENSIAL

PAYUNGAN HASIBUANPAYUNGAN HASIBUAN

1. Pengertian1. Pengertian

Diferensial adalah hitungan matematikaDiferensial adalah hitungan matematika

tentang perubahan-perubahan. Dalamtentang perubahan-perubahan. Dalam

Ekonomi banyak sekali perubahanEkonomi banyak sekali perubahan

-perubahan seperti : biaya, pendapatan,-perubahan seperti : biaya, pendapatan,

rencana dan lain-lain. Diferen artinyarencana dan lain-lain. Diferen artinya

perbandingan, jadi diferensial adalahperbandingan, jadi diferensial adalah

perbandingan perobahan dua variabel.perbandingan perobahan dua variabel.

Perbandingan antara perubahan variabel Y Perbandingan antara perubahan variabel Y dan X. dan X.

Perubahan kecepatan , jarak Perubahan kecepatan , jarak dengan waktu. dengan waktu.

a.a. Perubahan Tetap.Perubahan Tetap. Jarak S = 2t meter dengan waktu t detik.Jarak S = 2t meter dengan waktu t detik.

1) t = 0 sampai t = 21) t = 0 sampai t = 2 2) t = 2 sampai t = 42) t = 2 sampai t = 4

t=0 t=2 t=0 t=2 t=4t=4 ._______._____________.._______._____________. 1) V= 1) V= 2.2 – 2.02.2 – 2.0 = = 44 = 2 m/ detik = 2 m/ detik

2 – 0 22 – 0 22) V= 2) V= 2.4 – 2.22.4 – 2.2 = = 8 – 48 – 4 = 2 m/detik = 2 m/detik

4 – 2 2 4 – 2 2

b. Kecepatan berubah-ubahb. Kecepatan berubah-ubah Jarak S = 2tJarak S = 2t 2 2 + 2 meter ditempuh + 2 meter ditempuh

selamaselama t detik. Hitunglah kecepatan :t detik. Hitunglah kecepatan :

1) t=0 sampai t=21) t=0 sampai t=2 2) t=2 sampai t=42) t=2 sampai t=4

Jawab,Jawab, V =V = 2.2 2.222-2.0-2.022= = 8 – 08 – 0 = 4 m/dtk = 4 m/dtk 2 – 0 2 2 – 0 2 V= V= 2.42-2.222.42-2.22= = 32 – 832 – 8 = 12/dtk = 12/dtk 4 – 24 – 2 2 2

c. Kecepatan sesaat.c. Kecepatan sesaat.

Jarak S= 2tJarak S= 2t22+2 ditempuh selama t +2 ditempuh selama t detik.detik.

Hitunglah kecepatan saat t=(2+h)Hitunglah kecepatan saat t=(2+h)

t=0t=0 t=2 (t=2+h) t=2 (t=2+h)

.________________.__..________________.__.

V = limit V = limit f(t+h)-f(t)f(t+h)-f(t) V=limit V=limit f(t+h)-f(t)f(t+h)-f(t)

h->0 (t+h)-t h-> hh->0 (t+h)-t h-> h

V= limit V= limit f(t+h)-f(t)f(t+h)-f(t) = = (2(t+h)(2(t+h)22+2)-(2t+2)-(2t22+2)+2)

hh00 h h h h

= limit = limit (2(t(2(t22+2th+h+2th+h22)+2)-(2t)+2)-(2t22+2)+2)

hh0 h0 h

= = (2t(2t22+4th +h+4th +h²)+2²)+2)-(2t)-(2t22+2)+2)

hh

= = 4th + h4th + h²²=4t +h= 4t + 0=4.2=8 =4t +h= 4t + 0=4.2=8 m/dtkm/dtk

h h

Rumus –Rumus DiferensialRumus –Rumus Diferensial

f(x+f(x+∆∆x)x)

∆∆yy

f(x)f(x)

∆∆xx

______________________

x (x+x (x+∆∆x)x)

DyDy= = ∆∆yy = f’(x) = = f’(x) = limit f(x+limit f(x+∆∆x)-f(x)x)-f(x)

Dx Dx ∆∆x x ∆x∆x00 ∆ ∆x x

1.1. f(x) = c 4. f(x)=U ,g(x)=Vf(x) = c 4. f(x)=U ,g(x)=V f’(x)= 0f’(x)= 0 f.(x)= U’+V’ f.(x)= U’+V’

2. f(x)= x2. f(x)= xn-1n-1 5. Y = UV5. Y = UV f(x)=n.Xf(x)=n.X n-1n-1 y’=U’V+UV’y’=U’V+UV’

3. f(x)= 3. f(x)= k k xxnn 6. Y =6. Y =UU

f’(x)= f’(x)= n.k n.k xxn-1n-1 V V Y’ = Y’ = U’V –V’UU’V –V’U

VV22

7. Y= U7. Y= Un, n, U fungsi xU fungsi x

Y’ = n.UY’ = n.Un-1n-1U’ U’

Contoh : Y=(2xContoh : Y=(2x22+x)+x)44

Y’= 4(2xY’= 4(2x22+x)+x)33(4x+1) (4x+1)

Soal-soalSoal-soalTentukan turunan :Tentukan turunan :1.1. y=2xy=2x22+8x+8x 9.9. 2 2 +8=x + +8=x +22

-1-12.2. Y=16 + 4x-xY=16 + 4x-x22 x x22 y y3.3. 2x2x22+2y=x+20+2y=x+204.4. Y=xY=x33-7,5x-7,5x22-30-305.5. Y=xY=x33+4,5x+4,5x22+12x+12x6.6. Y=45+3xY=45+3x22-x-x33

7.7. 3x3x22-6x+24=-6x+24=2y2y x-2x-28.(x-2)(y-8)=108.(x-2)(y-8)=10

2. Diferensial pada Elastisitas2. Diferensial pada Elastisitas Elastisitas adalah alat ukur persentaseElastisitas adalah alat ukur persentase perubahan suatu sisi ekonomi, perubahan suatu sisi ekonomi,

dibandingdibanding dengan persentase perubahan dengan persentase perubahan

lainnya.lainnya. 2.1. Elastitas Permintaan (Ed)2.1. Elastitas Permintaan (Ed)

Ed= Ed= dx/xdx/x dp/pdp/p

x= jumlah barangx= jumlah barang p= hargap= harga

Harga dan jumlah barangHarga dan jumlah barang

WaktuWaktu PP dPdP XX dXdX

II

IIII

IIIIII

IVIV

VV

VIVI

5555

6060

7070

6060

7070

6868

--

+5+5

+10+10

-10-10

+10+10

-2-2

100100

9393

8080

100100

8888

9696

--

-7-7

-13-13

+20+20

-12-12

+8+8

P=harga, X= jumlah unit barang, P=harga, X= jumlah unit barang, dP=perobahandP=perobahan

harga, dX=perobahan jumlah.harga, dX=perobahan jumlah.

Jika harga turun, berarti tanda perobahan Jika harga turun, berarti tanda perobahan hargaharga

dP negatif, harga naik perobahan harga dPdP negatif, harga naik perobahan harga dP

positif. Demikian juga barang yang positif. Demikian juga barang yang dikonsumsi,dikonsumsi,

jika turun maka dX negatif , jika naik maka dXjika turun maka dX negatif , jika naik maka dX

positif. Perobaahan harga dan permintaan positif. Perobaahan harga dan permintaan

berlawanan.berlawanan.

dx dx = -1= -1

dpdp

PP

PoPo

P1P1

DD

____________________________________ xoxo x1 x1 XX

dx/xdx/x dx dx dP dP dXdX pp

Ed=- dp/pEd=- dp/p =- x : P = - x .dpx=- x : P = - x .dpx

Ed= Ed= -dX-dX . . PP

dP XdP X

Besar kecilnya nilai elastisitas, memberiakanBesar kecilnya nilai elastisitas, memberiakanArti yang berbeda, Seperti :Arti yang berbeda, Seperti :1.1. Jika Ed > 1, permintaan barang tersebutJika Ed > 1, permintaan barang tersebut

elastis.Maksudnya jika harga turun sebesar elastis.Maksudnya jika harga turun sebesar “t” persen, maka permintaan akan segera “t” persen, maka permintaan akan segera meeningkat lebih besar “t”meeningkat lebih besar “t”

persen.persen.2. Jika Ed < 1, permintaan terhadap barang itu2. Jika Ed < 1, permintaan terhadap barang itu inelastis. Persentase perobahan permintaaninelastis. Persentase perobahan permintaan lebih kecil dari persentase perobahan harga.lebih kecil dari persentase perobahan harga.3. Jika Ed=1, permintaan terhadap barang di-3. Jika Ed=1, permintaan terhadap barang di- sebut unitary elastis. Persentase perubahansebut unitary elastis. Persentase perubahan permintaan sama dengan persentase permintaan sama dengan persentase

perubahanperubahan harga. harga.

Contoh:Contoh:F.Permintaan Dx: p=100-5x, harga turun 5%F.Permintaan Dx: p=100-5x, harga turun 5%Sehingga P=50 . Berapa elastistias permintaanSehingga P=50 . Berapa elastistias permintaanDan berapa persentase perubahan permintaan.Dan berapa persentase perubahan permintaan.Jawab: Jawab: dX dX = -1 , maka dX= -dP= -1 , maka dX= -dP dPdP

Harga turun 5%, Harga turun 5%, dPdP=-0,05 =-0,05 dP dP =-0,05=-0,05 PP 50 50

dP=-2,5. Dari dX=-dp, maka dX=-2,5dP=-2,5. Dari dX=-dp, maka dX=-2,5 P=100-5x, maka 50=100-5x atau 5x=100-P=100-5x, maka 50=100-5x atau 5x=100-

5050 x=10 Jadi Ed= x=10 Jadi Ed= 2,5 2,5 . . 50 50 = 5= 5 -2,5 10-2,5 10

2. Elastisitas Penawaran ( Es)2. Elastisitas Penawaran ( Es)

Es = Es = dX/XdX/X

dP/PdP/P

3.Diferensial pada 3.Diferensial pada Pendapatan Pendapatan

Pendapatan merupakan penerimaan pengusaha,Pendapatan merupakan penerimaan pengusaha,

Diperoleh dari hasil kegiatan produksi(output) Diperoleh dari hasil kegiatan produksi(output)

Yaitu barang atau jasa yang di jual ke pasar.Yaitu barang atau jasa yang di jual ke pasar.

Pendapatan= jumlah barang/jasa jg dijual xPendapatan= jumlah barang/jasa jg dijual x

harga.harga.

Pendapatan dinotasikan “R”Pendapatan dinotasikan “R”

R = x.pR = x.p R= pendapatanR= pendapatan

x= jumlah produksix= jumlah produksi

p= harga barang per p= harga barang per unit unit

Pendapatan rata-rataPendapatan rata-rata

R = RR = R

xx

Pendapatan marginal adalah Pendapatan marginal adalah pertambahanpertambahan

Pendapatan dengan bertambahnya Pendapatan dengan bertambahnya satu unitsatu unit

Output yang terjual. Dinotasikan dgn Output yang terjual. Dinotasikan dgn “MR”“MR”

Contoh :Contoh :Fungsi permintaan D: P=16-2x, selidikilahFungsi permintaan D: P=16-2x, selidikilah

Pendapatan maksimum ?Pendapatan maksimum ?

Penyelesaian : R= xp = x(16-2x)=16x-2xPenyelesaian : R= xp = x(16-2x)=16x-2x²²

R’=16-4x R’’=-4R’=16-4x R’’=-4

R’>0, 16-4x=0, 4x=16R’>0, 16-4x=0, 4x=16

x=4x=4

Jadi R=xp=x(16-2x)=16x-Jadi R=xp=x(16-2x)=16x-2x2x22

R= 16(4)-2.4²=32R= 16(4)-2.4²=32

p=16-2x=16-2.4=16-8=8p=16-2x=16-2.4=16-8=8

Grafik R=16x-2xGrafik R=16x-2x²²

16x-2x16x-2x²²=0=0

X(16-2x)=0, xX(16-2x)=0, x11=0 dan x=0 dan x22=8 (0,0) dan =8 (0,0) dan (8,0)(8,0)

R=0, (0,0)R=0, (0,0)

Titik maksimim R’=0 , 16-4x=0, x=4Titik maksimim R’=0 , 16-4x=0, x=4

Maka R=64-2.16=42 , (4,32)Maka R=64-2.16=42 , (4,32)

RR

3232

______________________x______________________x 0 4 80 4 8