diagrama de interaccion

CURSODISEÑO ESTRUCTURAL EN

CONCRETO

Construcción de Diagrama de Interacción, Condiciones Nominales y Ultimas.- Verificación

de Diseño.

Ing. Omart Tello Malpartida

Datos:

Concreto Armado I Ing. Omart Tello Malpartida

h = 0.50 m

b =0.30 mPu

6.25 6.25

Pu

Mu

fc’=210 k/cm2

fy= 4200 k/cm2

As= 4 φ 1” =4(5.1)=20.40 cm2

ρ=As/b.h= 20.4/30x50=0.0136=1.36 %

d’= r + [φ 1”]/2 + [φ 3/8”]

d’= 4 + 1.25 + 1 = 6.25 cm

d = 50 - 6.25 = 43.75 cm

¿Construir el Diagrama de Interacción de la columna?

Planta

Elevación

1.- Compresión Pura (Mn=0)


0.85f’c

Cc

Para la condicion:

Cs = (Ast/2)( fy)

h

Ast/2 Ast/2b

Cs

( )( ) ( )( )o

o c y

o

o

o

o o

Pn = Cc+2Cs

Pn = 0.85.fc' A + Ast f

Pn = 0.85.(210)(30x50)+(20.40)(4200)Pn = 267750+85680 = 353,430 = 353.43 t0.8Pn = 0.8(353.43)= 282.74 t

Pu = φ.Pn = 0.7(353.43)= 247.40 t

(Limite)

(columna estribada ACI )0.8Pu

∑Fv = 0

o = 0.8(247.40)= 197 (L.9 im2 t ite)

Cs

2.- Falla Balanceada (εs =εy ; εc= εcu =0.003 )


0.85f’c

ab

Cc Cs

Cb

T = As.fy

εs =εy

ab/2

h

As As’bC.P

h/2

ε’s

εs

6

1

4200 0.0021 0.0032 10

0.003. .0.003 0.0021

50 6.25 43.7525.73 . 0.85(25.73) 21.87

'

' .

yy cu

s

cub

cu y

b b b

s cu

s cu

f;

E x

c d d

d cmc cm ; a c cm

'c d c

c

ε ε

εε ε

β

ε ε

ε ε

= = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠= − == = = =

=−

−=

b

s

Calculo de C :

Calculo de f ' :

6

' 25.73 6.250.003.25.73

' 0.00227 '

' ' . (0.0021)(2 10 ) 4200s y s y

2s s

dc

fs E x k/cm

ε ε ε ε

ε

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ≤ ∴ =

= = =d

2.- Falla Balanceada


0.85f’c

ab

Cc Cs

Cb

T = As.fy

εs =εy

εcu = 0.003

ab/2

h

As As’bC.P

h/2

ε’s

εs

.

'. ' 4200(10.20) 42,840 42.840.85 '. . 0.85(210)(30)(21.87) 117,113.85 117.11

4200(10.20) 42,840 42.84

42.84 117.11 42.84117.11

.

y s

b

b

b

b

Cs fs As kg tCc fc b a kg tT f A kg t

Pn Cs Cc TPnPn tPu Pφ

= = = == = = =

= = = =

= + −= + −==

∑

Fuerzas :

Fv = 0

( ) ( ) ( )21.822

0.70(117.11) 81.98

'2 2 2 2

42.84 25 6.25 117.11 25 42.84 43.75 253253.65 32.53. 0.70(32.53) 22.77

b

b

b

b

b b

n t

h h a hMn Cs d Cc T d

MnMn t-cm t-mMu Mn t-mφ

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + − + −

= == = =

∑ Mc.p = 0

( )

( )1

1

6 12

11

'

'' .

. '' .

. '' . ' 2 10 0.003

. '' 6000 . ' 0.85(6.25) 5.31

'. ' 10

cu s

s cu

s cu

s s s

s

c c dc d a; c

ca d

aa dkgf E x

cm aa df ; d

a

Cs As fs

ε ε

ε εβ

βε ε

βε

β β

=−

−= =

−=

⎛ − ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= =

sCalculo de f ' :

Calculo de Fuerzas :

( )

1

2

. '.20 6000

0.85 '. . 0.85(210)( )(30). . 10.20(4200)

05.3161200 5355 42480 0

61200 5.31 5355

a da

Cc fc a b aT As fs As fy

Pn Cs Cc Ta a

aa a

β⎡ − ⎤⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦= = =

= = = =

= + − =

−

⎛ ⎞

⎛ ⎞ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

− + −

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

a - 5.3161200a

5355a42480

Para Flexion Pura Fv = 0

2

42480 0

5355 18360 325125 06.264

a

a aa cm

=

+ − ==

3.- Flexión Pura (Pn=0)

Concreto Armado I

0.85f’c

a

Cc Cs

T = As.fy

C

εs =εy

εcu = 0.003

a/2

h

As As’bC.P

h/2

ε’s

εs

3.- Flexión Pura


0.85f’c

a

Cc Cs

T = As.fy

C

εs =εy

εcu = 0.003

a/2

h

As As’bC.P

h/2

ε’s

εs

( )

5.3161200 9296.27 9.30

5355 33543.73 33.5442480 42.84

09.30 33.54 42.84 0

'2 2 2 2

9.30 25 6.25 33.54

aCs ta

Cc a tT t

Pn Cs Cc TPn


Mn

−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = == =

= + − == + − =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − +

∑

∑

Reemplazando :

Fv = 0

Mc.p = 0

( )6.2525 42.84 43.75 252

1711.14 17.11. 0.90(17.11) 15.40

Mn t-cm t-mMu Mn t-mφ

⎛ ⎞− + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= == = =

4.- Falla por Tensión (c < cb=25.73 cm)

Concreto Armado I

0.85f’c

a

Cc Cs

c

T = As.fy

εs >εy

εc = 0.003

a/2

h

As As’bC.P

h/2

Asumimos: c= 12.5 cm < cb ; a=β1.c =0.85(12.5)= 10.63 cm

6 )

''

' '' . ' . (2 10 (0.003)

'' 6000

12.5 6.25' 6000 300012.5

'. ' 10.20(3000) 30, 600 30.600.85

s cu

s s s cu

y

2y

c dc

c d c dfs E E xc c

c dfs fc

fs kg/cm f

Cs As fs tCc

ε ε

ε ε

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= = ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = ==

Calculo fs' :

Fuerzas :

' . . 0.85(210)(10.63)(30) 56, 923.65 56.924. 10.20(4200) 42,840 42.84

30.60 56.92 42.8444.68

. 0.70(44.68) 31.28

'2 2 2 2

y

fc a b tT As f t

Pn Cs Cc TPnPn tPu Pn t


φ

= = == = = =

= + −= + −== = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

Fv = 0

Mc.p = 0

( ) ( ) ( )10.63230.60 25 6.25 56.92 25 42.84 43.75 25

2497.47 24.97. 0.70(24.97) 17.48

MnMn t-cm t -mMu Mn t -mφ

= − + − + −

= == = =

ε’s

εs


0.85f’c

a

Cc Cs

c

T = As.fs

εs<εy

εc = 0.003

a/2

h

As As’bC.P

h/2

5.- Falla por Compresión (c > cb=25.73 cm)Asumimos: c= 45 cm > cb ; a=β1.c =0.85(45) =38.25 cm

ε’s

εs

c

εs<εy

εcuε’s

εs

d’

d

Calculo de fs’:

cu s

s cu

c d cd c

c

ε ε

ε ε

=−

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

6.

6

(2 10 )

2 10 0.003 6000

43.75 456000 166.6745

166.67

s s s

s y

s

2

d cf E x cuc

d c d cf x fc c

f

fs k/cm

ε ε⎛ − ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ − ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠−⎛ ⎞= = −⎜ ⎟

⎝ ⎠= −

Concreto Armado I

0.85f’c

a

Cc Cs

c

T = As.fs

εs<εy

εcu = 0.003

a/2

h

As As’bC.P

h/2

5.- Falla por Compresión (c > cb=25.73 cm)

ε’s

εs

6 )

''

' '' . ' . (2 10 (0.003)

' 45 6.25' 6000 6000 516745

' 4200

'. ' 10.20(4200) 42,840 42.84

s cu

s s s cu

2y

2

c dc

c d c dfs E E xc c

c dfs kg/cm fc

fs kg/cm

Cs As fs tCc

ε ε

ε ε

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

= = = =

Calculo fs' :

Fuerzas :

0.85 '. . 0.85(210)(38.25)(30) 204,828.75 204.83. 10.20(167) 1, 703.4 1.70

42.84 204.83 1.70249.37

. 0.70(249.37) 174.56

'2 2 2

fc a b tT As fs t

Pn Cs Cc TPnPn tPu Pn t

h h aMn Cs d Cc T d

φ

= = = == = = =

= + −= + −== = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

Fv = 0

M c.p = 0

( ) ( ) ( )38.252

242.84 25 6.25 204.83 25 ( 1.70) 43.75 251974.75 19.75

. 0.70(19.75) 13.83

h

MnMn t-cm t -mMu Mn t -mφ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + − + − −

= == = =

Asumimos: c= 45 cm > cb ; a=β1.c =0.85(45) =38.25 cm

Diagrama de Interacción


1

2

3

4

5

Cuadro Resumen


P M

Pn Pu Mn Mu1

Compresión Pura

2Estado Balanceado

3Flexión Pura

4Falla Tensión

5Falla Compresión

353.43282.74

247.40197.92

--

--

117.11 81.98 32.53 22.77

- - 17.11 15.40

44.68 31.28 24.97 17.48

249.37 174.56 19.75 13.83

Ptrans= 0.1fc’.Ag=0.1(210 k/cm2)(30x50 cm2)=31,500kg=31.5 t

17; 0

25; 45

33; 117

20; 249

0; 353

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 10 20 30 40Mn (Ton-m)

Pn (T

on)

0.8 Pn0 =282.74

Condiciones Nominales (Pn,Mn)

1

2

3

4

5

Condiciones Ultimas (Pu,Mu)

15; 0

17; 31

23; 82

14; 175

0; 247

0

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40Mu (Ton-m)

Pu

(Ton

)

0.1.fc’.Ag=31.5 t

0.8 Pu0 =197.92

1

2

3

4

5

Diagrama de Interacción


Diagrama de Interacción de cargas Ultimas y cargas Nominales

Verificación del Diseño:El diseño debe cumplir:


n u

n u

M MP P

φφ

≥

≥

Combinaciones de carga:1.-

2.-

3.-

4.-

Pu Mu

1234

170 8185 20

90 10155 15

Del análisis Estructural:

CURSODISEÑO ESTRUCTURAL EN CONCRETO

Diagramas de Interacción ACI

Ing. Omart Tello Malpartida

g = 0.8

g = 0.9

diagrama de interaccion

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