desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en

Desarrollo de habilidades del

pensamiento espacial en estudiantes

de grado 4° a través del dibujo artístico

Maryury Santamaría Linares

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia

2021

Desarrollo de habilidades del

pensamiento espacial en estudiantes

de grado 4° a través del dibujo artístico

Maryury Santamaría Linares

Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:

MAGISTER EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Director:

José Reinaldo Montañez Puentes

Profesor Departamento de Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia

2021

Contenido III

DEDICATORIA

A Dios artífice de mis sueños,

A mi mamá por su paciencia y comprensión,

y a mis hijos por ser la motivación de cada día.

Agradecimientos

Agradezco a Dios por darme la oportunidad de seguir adelante en mi formación docente.

Agradezco a mi familia por la paciencia y apoyo brindado; a mis compañeros de universidad por

los momentos compartidos.

Un agradecimiento muy especial al profesor José Reinaldo Montañez Puentes por su valiosa

colaboración y aportes en el desarrollo del trabajo, su paciencia y constancia fueron claves para

conseguir este logro.

Resumen y abstract V

Resumen

En este trabajo se presenta una propuesta didáctica dirigida a estudiantes de grado cuarto de

educación básica primaria que permite el desarrollo de habilidades del pensamiento espacial,

utilizando como estrategia el dibujo artístico, para favorecer el aprendizaje de conceptos

geométricos. Se resalta la importancia de entrelazar las habilidades del pensamiento espacial

con el conocimiento para alcanzar las competencias matemáticas.

Palabras clave: Habilidades del pensamiento espacial, dibujo artístico, Niveles de Van

Hiele, situación didáctica, GeoGebra, CAD, polígonos, transformaciones geométricas.

Resumen y abstract VI

Abstract

This work presents a didactic proposal to students from fourth grade that lets develop skills related

to spatial thinking, using the artistic drawing as a strategy to improve learning about geometric

concepts. It emphisizes the importante to merger spacial thinking skills and knowledge to reach

mathematics competences.

Key words: Spatial thinking skills, artistic drawing, Van Hiele levels, didactic situation,

GeoGebra, CAD, polygon, geometrical transformations.

.

Lista de figuras VII

Tabla de contenido Introducción ................................................................................................................ 12

1 Historia de la geometría ..................................................................................... 18

1.1 La geometría en Babilonia ........................................................................................... 18

1.2 La geometría en Egipto ................................................................................................. 20 1.3 La geometría en Grecia ................................................................................................. 20

1.3.1 Thales de Mileto (624 a.C -546 a.C) ................................................................. 21

1.3.2 Pitágoras. (Isla de Samos 572 a.C- 497 a.C) .................................................. 23

1.3.3 Platón y la escuela ateniense (427- 347 a.C) .................................................. 25

1.3.4 Eudoxo (390 -337 a.C) ........................................................................................ 26

1.3.5 Euclides (330- 275 a.C)....................................................................................... 28

1.3.6 Arquímedes (287-212 a.C) ................................................................................. 30

1.3.7 Apolonio (Perge 262 a.C- Alejandría 190 a.C) ................................................ 34

1.4 La geometría en la India................................................................................................ 36

1.4.1 Sulvasutra .............................................................................................................. 36

1.4.2 Aryabhata (476-550, Pataliputra) ...................................................................... 38

1.4.3 Brahmagupta (590-670, Ujjain) .......................................................................... 38

1.5 Geometría proyectiva .................................................................................................... 39

2 Aspectos disciplinares ....................................................................................... 42

2.1 Acerca de los términos no definidos. ....................................................................... 42 2.2 Primeros postulados. .................................................................................................... 43

2.3 Segmento, rayo, rayos opuestos y ángulo. ............................................................. 44 2.4 Polígonos .......................................................................................................................... 47

2.4.1 Definición ............................................................................................................... 47

2.4.2 Construcción de un polígono regular ................................................................ 50

2.4.3 Triángulos .............................................................................................................. 51

2.4.4 Cuadriláteros ......................................................................................................... 54

2.5 Transformaciones geométricas en el plano ............................................................ 56

2.6 Sistema de coordenadas cartesianas ....................................................................... 62

3 Aspectos didácticos ........................................................................................... 64

3.1 Lineamientos Curriculares ........................................................................................... 64

3.2 Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas ...................................... 68 3.3 Derechos Básicos de Aprendizaje ............................................................................. 69

3.4 Los Niveles de Van Hiele .............................................................................................. 70 3.5 Habilidades del Pensamiento Espacial. ................................................................... 73

3.6 El dibujo artístico............................................................................................................ 75 3.6.1 Historia del dibujo artístico .................................................................................. 75

Lista de figuras VIII

3.6.2 Procesos del dibujo artístico............................................................................... 77

3.6.3 Elementos del dibujo artístico ............................................................................ 78

3.7 La tecnología en el aula ................................................................................................ 79

3.8 Una propuesta didáctica para el desarrollo de las habilidades del pensamiento espacial para estudiantes de grado cuarto haciendo uso del dibujo artístico ................................................................................................................ 80

3.9 Propuesta de Actividades ............................................................................................ 83 161

4 Conclusiones y recomendaciones .................................................................. 163

4.1 Conclusiones ................................................................................................................. 163 4.2 Recomendaciones ........................................................................................................ 164

Contenido IX

Lista de figuras

Figura 1.1 Tablilla YBC 7289. _________________________________________________________________ 19 Figura 1.2 Ángulo inscrito en una circunferencia. ________________________________________________ 22 Figura 1.3 Números triangulares. _____________________________________________________________ 23 Figura 1.4 Números cuadrados. _______________________________________________________________ 23 Figura 1.5 Solidos platónicos. _________________________________________________________________ 25 Figura 1.6 Proposición realizada por Eudoxo. ___________________________________________________ 26 Figura 1.7 Inscripción de polígonos en una circunferencia. _______________________________________ 27 Figura 1.8 Segmentos conmensurables. _______________________________________________________ 28 Figura 1.9 Postulado de las paralelas. _________________________________________________________ 30 Figura 1.10 Espiral de Arquímedes. ___________________________________________________________ 31 Figura 1.11 Trisección del ángulo. _____________________________________________________________ 32 Figura 1.12 Equivalencia del área de un cilindro circular recto y un rectángulo. _____________________ 33 Figura 1.13 Esfera con uno de sus círculos máximos. ___________________________________________ 33 Figura 1.14 Secciones cónicas. _______________________________________________________________ 34 Figura 1.15 Secciones determinadas __________________________________________________________ 35 Figura 1.16 Secciones en una razón dada. _____________________________________________________ 35 Figura 1.17 Rectángulos y sus diagonales. ____________________________________________________ 37 Figura 1.18 División de un triángulo en triángulos congruentes. ___________________________________ 37 Figura 1.19 Leonardo Da Vinci. _______________________________________________________________ 39 Figura 1.20 Dibujo realizado por Marco Vitrubio Polion___________________________________________ 40 Figura 1.21 Teorema de Desargues. ___________________________________________________________ 40 Figura 2.1 Representación gráfica de un rayo. __________________________________________________ 44 Figura 2.2 Representación gráfica de dos rayos geométricos opuestos. ___________________________ 44 Figura 2.3 Ángulo. __________________________________________________________________________ 45 Figura 2.4 Ángulo central. ____________________________________________________________________ 45 Figura 2.5 Rectas perpendiculares. ____________________________________________________________ 46 Figura 2.6 Rectas paralelas. __________________________________________________________________ 46 Figura 2.7 Ángulos opuestos por el vértice. _____________________________________________________ 47 Figura 2.8 Polígono. _________________________________________________________________________ 47 Figura 2.9 Elementos de un polígono. _________________________________________________________ 48 Figura 2.10 Polígono regular. _________________________________________________________________ 49 Figura 2.11 División de un polígono en triángulos. _______________________________________________ 49 Figura 2.12 Ángulos interiores de un polígono regular de 9 lados. _________________________________ 50 Figura 2.13 Polígono inscrito en una circunferencia. _____________________________________________ 51 Figura 2.14 Triángulo. _______________________________________________________________________ 51 Figura 2.15 Alturas de un triángulo. ____________________________________________________________ 51 Figura 2.16 Clasificación de triángulos según la medida de sus lados. _____________________________ 52 Figura 2.17 Clasificación de triángulos según sus ángulos. _______________________________________ 53 Figura 2.18 Congruencia de triángulos _________________________________________________________ 53 Figura 2.19 Cuadrilátero. _____________________________________________________________________ 55 Figura 2.20 Trapecio. ________________________________________________________________________ 55 Figura 2.21 Cuadrado, rectángulo y paralelogramo. _____________________________________________ 55 Figura 2.22 isometrías en un plano. ___________________________________________________________ 57 Figura 2.23 Paralelogramo PP´QQ´ ____________________________________________________________ 58 Figura 2.24 Rotación del punto P. _____________________________________________________________ 59 Figura 2.25 Rotación. ________________________________________________________________________ 59 Figura 2.26 Hombre de Vitrubio. ______________________________________________________________ 59

https://d.docs.live.net/fb8ea0d4eec33c1b/Documentos/Final%20work%20in%20progress%20(3).docx#_Toc65679968


Lista de figuras X

Figura 2.27 Simetría central con respecto al punto P. ____________________________________________ 60 Figura 2.28 Simetría central. __________________________________________________________________ 60 Figura 2.29 Simetría Axial. ___________________________________________________________________ 61 Figura 2.30 Composición de isometrías. _______________________________________________________ 62 Figura 2.31 Plano Cartesiano. ________________________________________________________________ 63 Figura 3.1 Techo de la cueva de Altamira ______________________________________________________ 76 Figura 3.2 Representación de un punto ________________________________________________________ 78 Figura 3.3 Líneas trazadas ___________________________________________________________________ 78





Lista de tablas XI

Lista de tablas

Tabla 1.1 Representantes de la geometría proyectiva y sus aportes. .............................................................. 41 Tabla 2.1 Medida de un ángulo interior según el número de lados de un polígono regular. ........................ 50 Tabla 3.1 Estándares Básicos de Competencias del pensamiento espacial para grado 4° y 5°. ............... 69 Tabla 3.2: Derechos básicos de aprendizaje para grado cuarto. ...................................................................... 70

12 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico

Introducción

▪ Hacia la construcción de la propuesta didáctica

El conocimiento matemático es el producto del trabajo intelectual de muchas personas. Al revisar

la historia de la matemática se observa que desde siempre el hombre ha sido curioso, ha

cuestionado lo que observa y ante la presencia de dificultades ha utilizado su razonamiento para

resolver muchas situaciones de su vida diaria. Se sabe por ejemplo que los egipcios tenían que

recalcular los linderos de sus tierras cada año por la inundación del rio Nilo e ingeniaron métodos

para el cálculo de áreas, este episodio muestra como la civilización comienza a construir

conceptos geométricos, otro episodio interesante es registrado por Lord Kelvin (1893) el de la

Reina Dido de Cartago(470 a.C), en la que el rey Jarbas le promete la tierra que pudiera rodear

con una piel de toro, ella corta la piel de toro en tiras delgadas, las cose y ata sus extremos

rodeando el terreno más extenso posible, aquí nuevamente el ingenio matemático hace gala al

resolver esta situación de manera favorable para intereses propios.

El hombre ha usado la geometría para modelar el mundo, cada cosa, objeto elemento que hay

en el entorno tiene una connotación geométrica, una de las características importantes en la

construcción del saber matemático es la observación, esto ha llevado al hombre a establecer

patrones y relaciones entre los elementos de estudio. Los conceptos geométricos que

conocemos hoy en día han pasado a lo largo de la historia por una evolución de ideas

comenzando en la prehistoria, cada civilización ha hecho aportes para su consolidación, cada

matemático ha partido desde un conocimiento previo, los más inquietos planteando nuevas

preguntas de investigación; por ejemplo en la tablillas babilónicas y en los papiros se han

encontrado figuras semejantes con dimensiones proporcionales y algunos historiadores afirman

que Thales uso este hecho para hallar la altura de la pirámide de Keops, como se sabe Thales

viajo a Egipto porque quería indagar sobre nuevos saberes matemáticos.(Kline,1972).

Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico

13

Pero la evolución de los conceptos matemáticos en general ha sido influenciada también por

aspectos propios de la época, un hecho a resaltar es el nacimiento de la geometría proyectiva

motivada por artistas que plasmaron es sus cuadros figuras con espacio y profundidad, algunos

de ellos también se desempeñaban como matemáticos, un momento decisivo que llamo la

atención de la comunidad matemática para dar inicio a otra forma de ver la geometría, ya no

una geometría estrictamente plana sino una geometría tridimensional (Kline,1997,p. 237).

De esta manera la matemática no se puede aislar de la cultura y de los procesos sociales, está

inmersa en todas las dimensiones del hombre, y precisamente el Ministerio de Educación

Nacional hacia 1994, realiza una reflexión de la forma como se venía impartiendo la educación

en Colombia y analiza el proceso histórico, concepciones filosóficas aspectos didácticos de las

matemáticas concluyendo en el documento de Lineamientos curriculares de la Matemáticas

que en la escuela se deben tener en cuenta las condiciones culturales, sociales e individuales

para promover la construcción de conocimientos.

Esta nueva concepción de la matemáticas abre las puertas para que los docentes reflexionen

sobre su labor en el aula e incluyan dentro de su práctica pedagógica todas las herramientas

necesarias para que el conocimiento se construya, en este caso la enseñanza de la geometría

no se debe tomar a la ligera dando a conocer solamente conceptos ya elaborados, si no que a

semejanza de la historia, el aula debe ser una comunidad científica que permita experimentar,

observar, validar y comunicar los nuevos saberes, es importante resaltar que el conocimiento

matemático a nivel curricular se ha clasificado en pensamientos y son los siguientes:

pensamiento numérico, variacional, métrico, aleatorio y espacial; el Ministerio de Educación

Nacional ha definido el pensamiento Espacial como un: “Conjunto de procesos cognitivos

mediante los cuales se construye y se manipulan las representaciones mentales de los objetos

espacio y las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones a

representaciones materiales”.

Según Howard Gardner quien hablo de la teoría de las inteligencias múltiples, considera que las

personas que tienen desarrollado en un alto grado su pensamiento espacial, resuelven con

mayor facilidad problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios y lo considera


propio de aquellas que personas que se desempeñan en profesiones como la ingeniería,

arquitectura, arte, etc. Las habilidades del pensamiento espacial están en primera instancia

relacionadas con la percepción de figuras u objetos como un todo, así mismo la capacidad de

observar este objeto desde otro punto de vista o al girarlo; el desarrollo del pensamiento espacial,

acompañado de la interpretación y comprensión del mundo físico permite desarrollar el

pensamiento matemático y mejora estructuras conceptuales y destrezas numéricas, por esta

razón es importante trabajar en la escuela no solo en la construcción de conceptos matemáticos,

sino en el desarrollo de habilidades que promuevan a su vez la comprensión de estos. (Araya,

2014).

La Real Academia de la lengua define habilidad como: “la capacidad que tiene alguien para

desempeñar de manera correcta una actividad o tarea”. Todas las habilidades necesitan ser

ejercitadas para dar mayor fruto, en el caso de las habilidades del pensamiento espacial sucede

de igual manera, el entrenamiento es importante, pero no es un entrenamiento solo mecánico

sino que debe llevar a la comprensión, es importante recordar lo que dice Howard Gardner(1999)

en la teoría de las inteligencias múltiples, las habilidades se presenta en diferente grado de

desarrollo en los individuos; en mi experiencia docente lo he evidenciado cuando algunos niños

comprenden una temática mucho más rápido que otros, pero esto no quiere decir que las

personas que no posean una habilidad no la puedan desarrollar, muchos niños están dotados de

muchas habilidades pero no lo saben, entonces el papel del docente además de propiciar un

ambiente donde se estimule el desarrollo de habilidades, exige también descubrir y potenciar.

El Ministerio de Educación Nacional en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas reconoce

la importancia de trabajar el pensamiento espacial, y menciona que hace parte del pensamiento

científico. Cuando un individuo tiene una mejor visualización y comprensión de su entorno, posee

mayor capacidad de analizar y dar solución a problemas que involucren situaciones espaciales,

numéricas, etc. Partiendo de esta afirmación, la tarea del docente es diseñar estrategias de

enseñanza teniendo en cuenta las características socioculturales y cognitivas del estudiante,

utilizando recursos adecuados para lograr el desarrollo de habilidades del pensamiento espacial.

Según estudios realizados por Piaget(1988) los niños a la edad de los cinco años tienen nociones

intuitivas del espacio, es por eso que en el grado preescolar se trabaja nociones de arriba-abajo,

izquierda-derecha y adentro-afuera, pero a medida que el niño avanza en su crecimiento, estas

nociones se dejan de trabajar, en la edad escolar se hace énfasis en la geometría plana, dejando

atrás las nociones intuitivas relacionadas con el espacio; lo que he percibido en mi experiencia


15

docente es que los temas relacionadas con geometría, casi siempre se dejan para el último

periodo escolar, realizando a lo largo del año mayor trabajo en el pensamiento numérico.

Por esta razón es importante trabajar a lo largo del año escolar, el pensamiento espacial. En los

Lineamientos Curriculares se señala la importancia de la representación bidimensional y

tridimensional de objetos físicos, igualmente en los Estándares Básicos de Competencias se

hace referencia a la adquisición de competencias relacionadas con la comparación y clasificación

de objetos tridimensionales y bidimensionales y en los Derechos Básicos de Aprendizaje, se

menciona que el niño debe describir, representar figuras bidimensionales y tridimensionales e

identificar los movimientos en el plano.

El presente trabajo se centra en diseñar una propuesta dirigida a los niños de grado 4° de la IED

Hernán Venegas Carrillo del municipio de Tocaima para que desarrollen habilidades del

pensamiento espacial. Tales habilidades son la visualización espacial, la orientación y las

relaciones espaciales que tienen que ver con los elementos invariantes al mover un objeto. El

desarrollo de estas habilidades facilita en el niño la comprensión de los conceptos geométricos

en los niveles básicos al desarrollar en los niños la capacidad de observar, explorar y manipular

objetos del espacio.

Ahora bien, con esta idea en mente se propone el uso del dibujo artístico por estar muy

relacionado con la geometría. El dibujo es algo inherente a la persona, los niños gustan de

dibujar, utilizan elementos geométricos, la observación y la memoria visual.

• El dibujo artístico y las habilidades del pensamiento espacial.

Al ser la matemática una ciencia que tiene demasiadas aplicaciones en muchas situaciones

cotidianas, es importante identificar e integrar asignaturas que se pueden trabajar juntas sin

quitarle la esencia una a la otra, el dibujo artístico es una forma de expresión de hechos y

sentimientos, por medio de él se representan objetos tangibles o imágenes usando figuras;

siempre desde niños hemos dibujado, pero el dibujo además de ser un pasatiempo puede

convertirse en una estrategia para agudizar el sentido de la observación, se necesita recuperar

en los niños el observar, no el mirar. Un buen dibujante realiza la representación de espacios y

objetos reales, a través de colores, trazos, texturas y formas; la observación, memorización de


todos los detalles de un objeto o paisaje, así como también dibujarlo desde diferentes puntos de

vista son habilidades que le ayudan a obtener una obra de mayor valoración. Giorgio Vasari

historiador de la pintura del renacimiento realiza un comentario acerca de cómo Leonardo Da

Vinci adquirió sus habilidades de memorización “Leonardo al observar una cabeza o barba

extraña seguía a la persona hasta memorizar todos los detalles”. (Lives of the Artists,1957,

p.148).

Así como los artistas recurren a diferentes formas de ejercitarse para adquirir las habilidades

antes mencionadas, igualmente es necesario buscar elementos comunes en otras diciplinas

como el dibujo artístico que permitan a los estudiantes desarrollar sus habilidades del

pensamiento espacial.

El dibujo al igual que la matemática ha tenido representaciones desde la antigüedad, el hombre

prehistórico realizaba dibujos en las paredes de las cavernas de animales y de situaciones que

observaba, los egipcios un poco más refinados dibujaban a sus dioses y escenas de situaciones

algunas veces imaginarias.

El dibujo artístico tiene elementos comunes con la geometría: por ejemplo el punto y la línea, que

no se definen en geometría y son de carácter intuitivo, en el dibujo se definen a través de su

representación. En el dibujo es muy importante la observación, además de la memoria y el

sentido de ubicación espacial, cuando por ejemplo se realiza un boceto de algún objeto se

requiere primero identificar una forma general que es representada por medio de líneas y puntos,

la posición del objeto depende del punto de observación estos elementos están relacionados con

las habilidades de pensamiento espacial.

El dibujo artístico hace parte del currículo escolar y en la actualidad se enseña de manera aislada,

al igual que la geometría, pero la historia revela momentos donde estas dos disciplinas se han

encontrado y complementando. Teniendo en cuenta todos los puntos en común que tienen la

geometría y el dibujo artístico como la representación de objetos de la naturaleza o imágenes a

través de figuras, se propone este último como un recurso metodológico para el desarrollo de

habilidades del pensamiento espacial, además de incluir en la propuesta el uso de softwares

geométricos y de diseño como el GeoGebra y el CAD que complementen la enseñanza, ya que

el uso de herramientas tecnológicas puede ayudar a observar procesos no tan evidentes,

relacionados con la variación, por ejemplo si se construye un triángulo en GeoGebra, se puede


17

observar que pasa con el área de la figura al mover sus vértices, permitiendo que el estudiante

reflexione, establezca conjeturas e infiera posibles soluciones.

Sobre el desarrollo del trabajo

Para el desarrollo del trabajo se consideraron los aspectos históricos, disciplinares y didácticos

relacionados con la temática a desarrollar; en el primer capítulo concerniente a la historia se

destacan los representantes de cada escuela matemática con sus respectivos aportes; en el

segundo se tratan los aspectos disciplinares de los contenidos geométricos a trabajar; el tercero

contiene los aspectos didácticos y se relacionan los documentos curriculares del Ministerio de

Educación Nacional: Lineamientos, Estándares Básicos de Competencia y Derechos Básicos

de Aprendizaje, así como también una breve reseña de los niveles de Van Hiele, las habilidades

del pensamiento espacial, elementos del dibujo artístico y una corta historia del dibujo artístico,

el uso de la tecnología en el aula, también se presenta la propuesta didáctica para el desarrollo

de las habilidades del pensamiento espacial dirigida a estudiantes de grado cuarto de educación

básica haciendo uso del dibujo artístico. En el cuarto capítulo se presentan las conclusiones y

recomendaciones derivadas del estudio de esta propuesta. Finalmente, se relacionan las

referencias, que consideramos pertinentes, para el desarrollo del trabajo


1 Historia de la geometría

En matemáticas se emplea el razonamiento simbólico y el visual, el primero tuvo origen en la

notación numeral y a partir de él se desarrolló el algebra representando por medio de símbolos

los números abstractos. En la edad media el uso de los símbolos fue más frecuente, y de

manera simultánea se emplean diagramas lo que permite el desarrollo del razonamiento visual

considerado por algunos matemáticos algo informal carente de rigurosidad, ya que una imagen

se puede interpretar de diferentes maneras a diferencia de una expresión en la que sí se puede

generalizar una situación, si por ejemplo dibujamos un cuadrilátero, un cuadrado no representa

todas las características de un cuadrilátero (trapecio, trapezoide, rombo, etc.) .

Sin embargo, las imágenes son muy importante en la historia de las matemáticas, tanto así que

después del concepto del número se ha incluido el concepto de la forma.

1.1 La geometría en Babilonia

La cultura Babilónica, se estableció en la llanura de Mesopotamia rodeada por los ríos Tigris y

Éufrates, considerada por los historiadores, el pueblo más antiguo.

La escritura usada por los babilónicos consistía en símbolos cuneiformes (en forma de cuña),

escribían en tablillas temas matemáticos. En la tablilla llamada YBC 7289 se realiza una

aproximación a √2 , se observa un cuadrado y dos diagonales, los lados del cuadrado están

marcados con numerales cuneiformes (Boyer,1989, p. 39).


19

Figura 1.1 Tablilla YBC 7289.

Imagen tomada de: https://dguinstation.files.wordpress.com/2012/05/image.png?w=640

Usaron la geometría para resolver problemas prácticos: calcular el área de terrenos, volúmenes

de edificios y graneros; construcción de canales de riego etc., es así como se empieza a deducir

el área de figuras planas usando reglas y fórmulas, sin embargo, los dibujos encontrados no son

muy claros y no se distingue si los trazos corresponden a triángulos rectángulos o cuadrilíteros.

(Boyer, 1989)

Para medir el volumen usaron como unidad un ladrillo que tenía por base la unidad que utilizaban

para medir superficies y por altura la unidad que empleaban para medir alturas, procedimiento

que dificultaba el cálculo.

Los babilonios tenían conocimiento sobre relaciones de proporcionalidad en lados

correspondientes de triángulos semejantes y de la relación pitagórica.

El invento de la rueda hacia el año 3600 a.C dirige el interés de los babilonios hacia las

propiedades de la circunferencia, estudiando así la relación entre el diámetro y el radio,

calculaban el área de un círculo usando la expresión 𝐴 = 𝑐2/12, siendo 𝑐 la longitud de la

circunferencia (Kline, 1972).

Los babilonios tenían conocimientos de astronomía, dividieron la circunferencia en 360 partes

iguales en relación con los 360 días del año, conocían sobre el período de algunos planetas y

utilizaban los eclipses como base de ese cálculo, sin embargo, no hubo ningún esquema

geométrico del movimiento lunar. Las matemáticas usadas por los babilonios eran totalmente

prácticas, resolvieron problemas algebraicos y geométricos de alto grado de dificultad, usaban

https://dguinstation.files.wordpress.com/2012/05/image.png?w=640


signos y términos especiales en la escritura de expresiones, en algunos casos describían los

pasos a seguir para resolver un problema prescindiendo de los símbolos, se habla de que usaron

el ensayo y error para obtener la solución de problemas.

1.2 La geometría en Egipto

La geometría de los egipcios fue utilizada para resolver problemas prácticos. Por las

inundaciones del río Nilo que ocurría anualmente las construcciones se afectaban por esta razón

tenían que nuevamente tomar medidas para realizar las construcciones.

Se habla de los anudadores cuyo oficio era realizar mediciones de terrenos con cuerdas,

realizando nudos a una misma distancia, de esta manera descubrieron algunas relaciones entre

los triángulos.

Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, están las de superficie del cuadrado a partir del

triángulo, rectángulo y trapecio y rombo.

El papiro Rhind también llamado papiro Ahmes, es un soporte escrito que contiene problemas

matemáticos, mide aproximadamente 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho, se elaboró

a partir de la pulpa de una planta acuática (Cyperus papyrus) muy común en el rio Nilo. Su

contenido data de 2000 a.n.e al 1800 a.n.e; escrito por Ahnes aproximadamente hacia 1650 a.n.e

a partir de escritos de doscientos años de antigüedad según lo afirma Ahnes al inicio del texto.

Fue encontrado en el siglo XIX en las ruinas de una edificación de Luxon adquiriéndolo Henry

Rhind en 1858, actualmente se encuentra exhibido en el Museo Británico de Londres.

En este documento se encuentra que los egipcios conocían tres cuerpos geométricos. El cilindro,

el tronco de la pirámide y la pirámide, el cálculo de volúmenes era utilizado para encontrar el

número de ladrillos necesarios para una construcción.

1.3 La geometría en Grecia

Los griegos obtuvieron sus conocimientos geométricos de los egipcios y convirtieron la geometría

en una ciencia deductiva, obteniendo explicaciones racionales y generalidades

Se reconoce a Thales de Mileto como uno de los siete sabios griegos el cual funda la Escuela

Jónica cuna de filósofos y sabios. Otros matemáticos griegos que se destacan son: Pitágoras y

la escuela de los pitagóricos, Platón, Eudoxo, Euclides, Arquímedes y Apolonio.


21

1.3.1 Thales de Mileto (624 a.C -546 a.C)

Considerado por algunos historiadores como el primer matemático que demostró teoremas, su

interés por la ciencia se originó por los continuos viajes realizados a Egipto, adquiriendo

conocimientos matemáticos de egipcios y babilonios.

Se sabe que Thales calculó la altura de la Gran Pirámide de Gizeh, teniendo en cuenta la longitud

de la sombra que proyectaba. Como suele pasar con un hecho tan importante en las matemáticas

han surgido varias versiones que se han sintetizado en tres que a continuación se enuncian:

▪ La más antigua de todas relatada por Jerónimo discípulo de Aristóteles, Jerónimo dice:

Thales midió la altura de la pirámide observando la longitud de la sombra en el instante en

que su sombra era igual a su altura”.

▪ Plinio en su Historia Natural comenta algo similar “Thales calcula la altura de las pirámides y

objetos similares, midiendo la sombra del objeto cuando esta tiene la misma longitud del

objeto.

▪ El relato de Plutarco añade otro personaje, Amasis emperador de Egipto que gobernó

entre el 569 y 525 a.C , quien le solicita a Thales de Mileto calcular la altura de la pirámide,

él queda asombrado al observar cómo Thales sin ningún instrumento más que su bastón

soluciona su petición de esta manera: coloca su bastón verticalmente en el extremo de la

sombra proyectada por la pirámide observa los dos triángulos formados por los rayos del

sol, y deduce que la altura de la pirámide y la altura del bastón están en la misma proporción

que la altura de sus sombras.

Teniendo en cuenta el ultimo relato, Thales habría establecido una relación entre los lados

correspondientes de dos triángulos semejantes, como se dijo anteriormente Thales estuvo en

contacto con la cultura egipcia y babilónica y en las tablillas y papiros se han encontrado figuras

semejantes de dimensiones proporcionales, es decir Thales usó este conocimiento para hallar la

altura de la pirámide.


Estas culturas se caracterizaban por realizar cálculos prácticos para sus construcciones, fueron

los griegos los que comenzaron a realizar deducciones de estos procedimientos mecánicos.

A Thales de Mileto se le atribuyen cinco teoremas que se enuncian a continuación:

▪ Cualquier diámetro divide a una circunferencia en partes iguales: Este teorema se encuentra

en un comentario de Proclo, para que Thales llegara a esta conclusión al parecer tuvo que

haber dibujado varios círculos, trazar 2, 4, y 6 diámetros de manera conveniente y observar

que se obtenían sectores circulares iguales.

▪ Los ángulos opuestos a los lados de un triángulo isósceles son iguales: Algunos historiadores

afirman que Thales no utilizó la palabra “igual” si no “semejante” ya que no concebía la

amplitud de un ángulo como una magnitud si no como una figura geométrica. Este teorema

se encuentra como la proposición V del libro I de los Elementos de Euclides.

▪ Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: Aunque este teorema se le atribuye a

Thales se sabe que no realizó su demostración, es de anotar que Euclides lo expone en la

Proposición XV del libro I de los Elementos.

▪ Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente congruentes

entonces los triángulos son congruentes, este teorema y su demostración se encuentran en

la Proposición XXVI del libro I de Euclides.

▪ Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Figura 1.2 Ángulo inscrito en una circunferencia.


23

1.3.2 Pitágoras. (Isla de Samos 572 a.C- 497 a.C)

Fue discípulo de Thales de Mileto fundó un culto de carácter místico, sus seguidores conocidos

como pitagóricos, reconocían los objetos matemáticos, números y figuras geométricas como

abstracciones de la mente y distintas a los objetos físicos. La filosofía de la escuela Pitagórica

tuvo gran influencia en Aristóteles, Platón y en el desarrollo de la matemática griega.

Se dice que Pitágoras adquirió sus múltiples conocimientos al acompañar a su padre

Mnesarchus, a sus viajes ya que este era comerciante. Pitágoras visitó Arabia, Egipto, Babilonia

e India. Es difícil identificar si los aportes matemáticos vinieron directamente de él o de su escuela

pitagórica.

• Los pitagóricos:

Los pitagóricos representaban los números usando piedras y los clasifican según las formas

obtenidas por la distribución, en números triangulares, aquellos que se pueden recomponer en

forma de un triángulo equilátero y los números cuadrados que son el resultado de disponer en

forma de cuadrado un número por sí mismo.

Figura 1.3 Números triangulares.

Figura 1.4 Números cuadrados.


Los pitagóricos se inquietaron por buscar ternas de números enteros que pudieran ser lados de

un triángulo rectángulo. Para ellos cualquier cantidad se podía expresar utilizando fracciones y

las usaban en el comercio para representar partes de una unidad monetaria. Descubrieron que

la razón entre la diagonal de un cuadrado y su lado no era un número racional; así mismo en la

construcción de las ternas pitagóricas aparecieron números con características muy diferentes a

los números racionales. Llamaron a las razones que se podían representar como cocientes de

números enteros, conmensurables y a las que no, inconmensurables, estas últimas se le

atribuyen a Hipaso de Metaponto (siglo V a,C).

La demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado fue planteada por los

Pitagóricos por el método de reducción al absurdo, ellos consideraron que si la diagonal de un

cuadrado fuera conmensurable con el cateto esta a su vez tenía que ser un número par e impar

y se encuentra en la proposición 117 del libro X de los Elementos de Euclides. El descubrimiento

de los inconmensurables trajo consigo conflictos entre lo continuo y lo discreto, los números

enteros representaban objetos discretos, las razones entre longitudes con un múltiplo en común

se denominaron magnitudes conmensurables.

Otro de los aportes más reconocidos es el Teorema de Pitágoras que dice: “La suma de los

cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”, en la

proposición 47 del libro I de Los Elementos de Euclides se encuentra una demostración sin

recurrir al uso de figuras semejantes, los historiadores consideran que fue realizado por Euclides.

(Kline,1972).

Cabe anotar que los griegos conocían el Teorema de Pitágoras de la siguiente forma: “si el

triángulo tiene un ángulo recto, entonces el área del cuadrado más grande, A, es la misma que

la de otros dos, B y C juntos.” (Stewart, 2008).

También trabajaron problemas de área que consistían en construir una figura de la misma área

a partir de un segmento dado en una figura inicial. Indudablemente el aporte más significativo de

la escuela Pitagórica es el establecimiento de las demostraciones para cada resultado

matemático y se les atribuye a los pitagóricos tardíos.


25

1.3.3 Platón y la escuela ateniense (427- 347 a.C)

Platón y su escuela trabajaron sobre la geometría del espacio, estudiaron las propiedades del

cono, prisma, cilindro, pirámide y establecieron que solo puede haber cinco poliedros regulares:

cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, denominados solidos platónicos. Esta

denominación se debe a que la escuela platónica atribuyo una correspondencia mística entre el

tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, con los cuatro elementos naturales: tierra, fuego,

aire y agua; en cuanto al dodecaedro, lo consideraron como la forma que envuelve la totalidad

del universo (Castillo, 1993).

Figura 1.5 Solidos platónicos.

Tomada de: https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.s8ZrfMy48kGB7SlfjU3mgHaDT&pid=Api

Es muy famosa su obra “Los diálogos platónicos”, llamada así por ser un conjunto de textos de

carácter pedagógico donde se utilizan preguntas que llevan al estudiante a descubrir la verdad a

través de la argumentación. En uno de sus diálogos Theatetus escrito en memoria de su amigo

quien muere en una batalla en el 369 a.C, trata el tema de las magnitudes inconmensurables,

haciendo eco al descubrimiento de la irracionalidad de √2 .

El dialogo transcurre años antes y en el aparece otro de sus grandes amigos Theodorus, de

quien Theatetus fue discípulo; Platón dice que el profesor Theodorus de Cirene fue el primero en

probar la irracionalidad de las raíces no cuadradas de números enteros del 3 a 17, pero no se

sabe cómo la realizo. Su trabajo fue incorporado en el libro X de Los Elementos de Euclides

(Boyer,1989, p. 85).

Otro de los aportes importantes fue el de las secciones cónicas realizado por Menecmo miembro

de la academia de Platón. Menecmo introdujo las secciones cónicas utilizando tres tipos de cono,

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con ángulos en el vértice recto, agudo y obtuso cortando cada uno de ellos con plano

perpendicular a una generatriz.

1.3.4 Eudoxo (390 -337 a.C)

Eudoxo considera a los irracionales, superficies, ángulos y volúmenes como magnitudes

continuas. Define la razón entre dos magnitudes y utiliza el concepto de proporciones para

comparar razones de magnitudes, estos dos conceptos razón y proporción se convierten en

herramientas muy útiles en geometría. Su aporte fue muy valioso y en libro V de los Elementos

se encuentra una definición que se le atribuye “Dos magnitudes tienen razón entre sí, cuando

una puede ser multiplicada en modo de superar la otra”. (Definición 4, libro V).

Casi cien años después Arquímedes de Siracusa hace uso de esta definición y la enuncia de

esta manera. “Dados dos números positivos 𝑎 𝑦 𝑏 existen números naturales 𝑚𝑦 𝑛 tales que:

𝑛𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑚𝑏 > 𝑎

Relacionado con lo anterior en el libro X se encuentra la proposición 1 que dice: “Dadas dos

magnitudes distintas si de la mayor se sustrae una magnitud mayor que su mitad, del resto se

sustrae una magnitud mayor que su mitad, y si este proceso se repite continuamente quedara

una magnitud más pequeña que la menor de las magnitudes dadas inicialmente”. (Proposición

1, Libro X).

A continuación, se muestra un ejemplo de este hecho:

Figura 1.6 Proposición realizada por Eudoxo.

Dados los segmentos 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅𝑦 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅ , y 𝑂 punto medio de 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ por definición de punto medio se

tiene:


27

𝐴𝑂 ≅ 𝑂𝐵 , ahora se divide 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝑃 >𝐴𝑂, se repite el procedimiento con 𝑃𝐵, siendo 𝑇

punto medio de 𝑃𝐵, se cumple: 𝑃𝑇 ≅ 𝑇𝐵 y 𝑃𝑈 > 𝑃𝑇,

nuevamente se tiene, donde 𝑍 punto medio de 𝑈𝐵 se cumple; 𝑈𝑍 ≅ 𝑍𝐵 y 𝑈𝑋 >𝑈𝑍, repitiendo

este proceso indefinidamente se obtendrá un segmento W tal que W < 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅.

Este hecho se asocia con la propiedad Arquimediana de los números Reales:

“Si 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 es un número real arbitrario, existe un entero positivo 𝑛 tal que 𝑛𝑥 >

𝑦". (Apóstol,1976, p 32).

Esto quiere decir que por más pequeño que sea 𝑥 si se considera la sucesión 𝑛𝑥, 𝑛1𝑥, 𝑛2𝑥 … ,

llegará un momento que se sobrepasará a 𝑦 .

La proposición 1 tiene dos aplicaciones en la geometría, la primera hace referencia a hallar el

perímetro de una circunferencia de radio unitario inscribiendo y circunscribiendo polígonos y

aumentando cada vez el número de lados.

Figura 1.7 Inscripción de polígonos en una circunferencia.

Antifón (430 a.C) lo usó para calcular el área del círculo, inscribiendo triángulos cada vez más

pequeños en el hasta completar su área.

Para la segunda aplicación se usará la siguiente definición: Dos segmentos de recta son

conmensurables si existe una unidad (tercer segmento) que quepa un número n entero de veces

en el primer segmento y un número entero m de veces en el segundo.


Figura 1.8 Segmentos conmensurables.

En la figura se observa que el segmento 𝐴 cabe exactamente tres veces en el segmento 𝐵 y dos

veces en el segmento 𝐶, de lo cual se concluye que los segmentos son conmensurables.

Por otra parte, se habla de segmentos inconmensurables, cuando el segmento usado como

unidad de medida no cabe exactamente un número entero de veces en dicho el segmento.

Un ejemplo de esto hecho este dado por el teorema que relaciona el lado de un cuadrado y su

diagonal y se enuncia de la siguiente manera: “El lado y la diagonal de un cuadrado cualquiera

son inconmensurables”.

Usando el método de exhaución Eudoxo demostró:

▪ Las áreas de dos círculos son entre sí como el cuadrado de sus radios.

▪ Los volúmenes de dos esferas son entre sí como el cubo de sus radios.

▪ El volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y

altura.

▪ El volumen de un cono es un tercio del cilindro correspondiente.

1.3.5 Euclides (330- 275 a.C)

Euclides escribió las demostraciones de los griegos de manera clara y sencilla y están

contenidos en su obra Elementos, en la antigüedad este libro se difundió como manuscrito, pero

cuando surgió la imprenta se publicaron múltiples ediciones.

A través del esquema propuesto en los libros de Euclides se sistematiza el conocimiento de los

griegos precisando cuatro tipos de proposiciones matemáticas: definiciones, axiomas, teoremas

y postulados, cabe resaltar que el diseño metodológico de su sistema fue influenciado por


29

Aristóteles, ya que en la obra Analíticos posteriores se encontraba esta estructura, pero fue

Platón el que influyó en la naturaleza del conocimiento matemático.

Las definiciones designan objetos matemáticos, los axiomas son proposiciones evidentes que no

necesitan ser demostradas, por el contrario, los postulados son proposiciones que no son tan

evidentes, pero se aceptan al no derivarse de ningún otro principio y finalmente los teoremas que

a diferencia de los postulados necesitan ser demostrados para ser evidentes.

En los Elementos, Euclides desarrolla su método axiomático que hasta el día de hoy se toma

como referencia para el estudio de la geometría plana.

La obra está compuesta por trece libros:

En el libro I se encuentran 48 proposiciones construidas a partir de 23 definiciones tales como

punto, línea, superficie; además de 5 postulados y cinco axiomas.

El libro quinto trata de las proporciones y el sexto de las magnitudes inconmensurables, del

séptimo al noveno de la Aritmética de los números racionales, el décimo de la aritmética de los

irracionales y del decimoprimero al décimo tercero habla sobre la geometría del espacio.

El postulado de las paralelas o quinto postulado es el postulado número 5 del libro I de Euclides

Elementos y expresado de forma sencilla dice:

¨Si una línea recta corta a otras dos líneas rectas de modo que esta forme dos ángulos interiores

menores a dos rectos, si se extienden indefinidamente estas líneas se encontrarán”.

(Boyer,1989, p.106).

En un lenguaje moderno el postulado expresaría: “Por un punto exterior a una recta pasa una

única paralela”, siendo la unicidad la forma estricta del postulado (Moise,1986, p.238).


Figura 1.9 Postulado de las paralelas.

Este postulado no es intuitivo y por esta razón se dudó de su naturaleza como postulado y

muchos matemáticos intentaron deducirlo de los otro cuatro, pero hasta ahora no se ha

demostrado su veracidad o falsedad. Otros prescindieron de él y crearon otras geometrías la

hiperbólica y la elíptica.

1.3.6 Arquímedes (287-212 a.C)

Arquímedes fue un matemático griego, físico, inventor, astrónomo es considerado uno de los

matemáticos más importantes en la antigüedad, fue capaz de deducir la ley de las palancas a

través de experimentos y con base en razonamientos geométricos tal como lo relata su tratado

Sobre el equilibrio de los planos donde a diferencia de Aristóteles su trabajo no es en cierto modo

especulativo y contiene desarrollos matemáticos, Arquímedes desarrolló su trabajo de manera

similar a la geometría de Euclides, a través de unos postulados iniciales logró deducir grandes

conclusiones, sin duda fue el primero en establecer una relación entre la matemática y la física.

Antes de Arquímedes ya se conocía que al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre la

medida de su diámetro el resultado obtenido era una constante, de igual manera al dividir el área

de un círculo entre el cuadrado de su radio el valor obtenido era constante, pero lo que se

ignoraba es que estos valores eran iguales y esto lo demostró Arquímedes inscribiendo y

circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia para calcular el perímetro de la

circunferencia, cada vez duplicando el número de lados, comenzando con un hexágono regular.

Con este procedimiento Arquímedes obtuvo una aproximación mejor al número 𝜋 que la

realizada por los babilonios y egipcios, expresada en la siguiente desigualdad:


31

310

71< 𝜋 < 3

10

70

Arquímedes también realizó aportes sobre los problemas clásicos de la geometría de los griegos,

que se mencionan a continuación:

▪ Duplicación del cubo: Dado un cubo de arista 𝑎, construir con regla y compás la arista 𝑚 de

un cubo cuyo volumen sea el doble del cubo dado.

▪ Trisección del ángulo: Dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales, usando solamente regla

y compás.

▪ Cuadratura del círculo: Dado un círculo de radio 𝑟, construir con regla y compás el lado de

un cuadrado cuya área sea igual al área del circulo dado.

En su libro de las espirales describió la espiral aritmética o espiral de Arquímedes en honor a su

nombre la cual provee, la solución de dos de los problemas mencionados. Al respecto hacemos

notar que no son las soluciones exigidas.

La espiral se define como el lugar geométrico plano de un punto que, comenzando desde el

punto final de un rayo o media línea, se mueve uniformemente a lo largo de este rayo mientras

que el rayo a su vez gira uniformemente sobre su punto final. La ecuación en coordenadas

polares 𝑟, 𝜃 es: 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝜃, con 𝑎 𝑦 𝑏 números Reales, si 𝑎 cambia la espiral se desplaza por

el eje 𝑋 mientras que 𝑏 controla la distancia con giros sucesivos.

Figura 1.10 Espiral de Arquímedes.

Imagen tomada de:https://i.ytimg.com/vi/4_CFifpCxDo/sddefault.jpg

Arquímedes usa su espiral para demostrar la trisección del ángulo sin hacer uso de la regla y el

compás que era el requisito primordial para solucionar este problema.

https://i.ytimg.com/vi/4_CFifpCxDo/sddefault.jpg


La forma de trisecar el ángulo según la espiral de Arquímedes consiste en: Hacer coincidir el

vértice del ángulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto

de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y a continuación

trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral. (Boyer,1989, p. 129).

Figura 1.11 Trisección del ángulo.

Imagen tomada de:https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.4eIqgMrAu4gd2bHL_vMQOgAAAA&pid=Api

El problema de la cuadratura del círculo también se resolvió utilizando la espiral.

En su obra sobre el equilibrio de los planos Arquímedes explica la ley de la palanca afirmando lo

siguiente: “Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus

pesos” (Boyer, 1989, p.121).

En esta misma obra halla los centros de gravedad del triángulo, trapezoide y el segmento

parabólico, el centro de gravedad de este último se encuentra en su diámetro y lo divide en

segmentos en proporción 3

2 . (Boyer, 1989, p.122).

Arquímedes fue el único matemático de su tiempo que se interesó por buscar aplicaciones de la

matemática a la física de esta manera relaciona la estática con la cinemática haciendo grandes

aportes a las dos disciplinas.

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33

Los trabajos de Arquímedes incluyen el cálculo de áreas y volúmenes por el método de

aproximaciones sucesivas, también escribe sobre la esfera y el cilindro, considera un primer

axioma que, entre todas las líneas curvas, la línea recta es la más corta, esto lo lleva a comparar

perímetros de polígonos inscritos y circunscritos con el perímetro del círculo (Kline, 1972).

En el libro 1 se encuentran las proposiciones donde se relaciona el volumen y área de esferas y

cilindros, a continuación, se nombrarán algunas de ellas:

▪ La superficie de cualquier cilindro circular recto sin incluir las bases es igual a [el área de] un

círculo cuya base es media proporcional entre el lado [una generatriz] y el diámetro de su

base (Kline,1972, p. 151).

Figura 1.12 Equivalencia del área de un cilindro circular recto y un rectángulo.

Imagen tomada de: http://neetescuela.org/wp-content/uploads/2013/02/cilindro.png

▪ La superficie de una esfera es cuatro veces el área de sus círculos máximos. (Kline, 1972).

Figura 1.13 Esfera con uno de sus círculos máximos.

http://neetescuela.org/wp-content/uploads/2013/02/cilindro.png


▪ Todo el cilindro cuya base es un círculo máximo de una esfera y cuya altura es igual al

diámetro de la esfera es 3

2 del volumen de la esfera y su superficie junto con sus bases es

3

2

de la superficie de la esfera. (Kline,1972).

Arquímedes realiza un estudio sobre conoides y esferoides identificando sus propiedades: ▪ Esferoide alargado: dado por la rotación de la elipse alrededor del eje mayor.

▪ Esferoide achatado: dado por la rotación de la elipse alrededor del eje menor.

▪ Conoide obtusángulo: dado por la rotación de una rama de la hipérbola alrededor de su eje

transversal.

▪ Conoide rectangular: dado por la rotación de la parábola alrededor de su eje.

1.3.7 Apolonio (Perge 262 a.C- Alejandría 190 a.C)

Nace en Perga al sureste de Asia Menor, pero es educado en Alejandría. En su tratado Las

cónicas trata sobre las propiedades fundamentales de estas curvas, sus diámetros, tangentes,

tipos de conos, tipos de corte de los conos, y semejanza entre cónicas, consta de 8 libros (Carl

Boyer, p 145).

A diferencia de Euclides y Arquímedes que realizaron el estudio de cónicas haciendo cortes

perpendiculares a un cono recto, agudo u obtuso, Apolonio estudia las secciones de las cónicas

generadas al realizar cortes con diferentes planos obteniendo los lugares geométricos que hoy

conocemos: parábola, hipérbola, y elipse.

▪ Parábola. El plano de corte es paralelo a una sola generatriz.

▪ Elipse: El plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz.

▪ Hipérbola: El plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices

Figura 1.14 Secciones cónicas.

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35

Otros de sus trabajos:

▪ Secciones en un área dada similar a la división de segmentos, pero aquí los segmentos

determinados por las intersecciones deben formar rectángulos de la misma área.

▪ Secciones determinadas: Se dan 4 puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 sobre una recta, el problema consiste

en hallar un quinto punto 𝐸, tal que el rectángulo construido sobre 𝐸𝐴 𝑦 𝐸𝐶 este en una

razón dada (x) con el rectángulo construido sobre 𝐸𝐵 𝑦𝐸𝐷. Apolonio reduce este problema

a una ecuación cuadrática.

Figura 1.15 Secciones determinadas

▪ Secciones en una razón dada: consiste en trazar una recta que pasa por un punto dado y

que corte a otras dos rectas en segmentos que estén en una razón dada.

Se tiene un punto 𝐴 y dos rectas 𝑓 𝑦 𝑚 que pasan por los puntos 𝐵 𝑦 𝐸, a continuación, se traza

una recta que pase por 𝐴 tal que 𝐵𝐺

𝐺𝐻= 𝛼, con 𝛼 dada inicialmente.

Figura 1.16 Secciones en una razón dada.

▪ Clasificación de las curvas en tres categorías: lugares planos (líneas rectas y círculos);

lugares solidos (secciones cónicas) y lugares lineales (el resto de las curvas). (Boyer, 1989,

p.148).


▪ Inclinaciones: Dado un círculo se debe trazar una cuerda con una longitud dada y cercana a

un punto dado. (Boyer,1989, p.143).

▪ Tangencias: En esta obra Apolonio propone: “dadas tres cosas, las cuales pueden ser

circulo, punto y línea, dibujar una circunferencia tangente a cada uno de ellas”. (Boyer, 1989,

p.142).

▪ Comparación entre el dodecaedro e icosaedro: Comparación de poliedros regulares inscritos

en una esfera: Las caras pentagonales del dodecaedro están a una misma distancia del

centro de una esfera circunscrita como las caras triangulares de un icosaedro inscrito en la

misma esfera. (Boyer,1989, p.143).

1.4 La geometría en la India

Los conocimientos geométricos son contemporáneos con los de Babilonia o derivados de ellos.

1.4.1 Sulvasutra

Es el documento geométrico de origen indio más antiguo que se conoce, en él se encuentran

métodos de geometría para construir altares y templos, habla del uso triángulos rectángulos de

lados enteros a partir de un rectángulo de lados proporcionales a 3 y 4 cuyas secciones tenían

forma de trapecios isósceles, el área de los trapecios se calculaba transponiendo dos triángulos

rectángulos.

Los esquemas de templos se llamaron Mandalas. En la elaboración del Sulvasutra se destacan

matemáticos como: Baudhayana, Apastamba, Hiranyakesin, Manava, Varaha y Vadhula, siendo

Apastamba el más reconocido.

Los postulados que se encuentran en el Sulva están relacionados con la división de figuras tales

como líneas rectas, rectángulos, círculos y triángulos (Suarez, 2016).

A continuación, se anotan los postulados usando un lenguaje actualizado de geometría

▪ Un segmento se puede dividir en cualquier número de segmentos congruentes.


37

▪ Un círculo se puede dividir en cualquier número de arcos congruentes.

▪ Las diagonales de un rectángulo se bisecan entre sí.

Figura 1.17 Rectángulos y sus diagonales.

▪ Las diagonales de un rombo se bisecan entre sí formando ángulos rectos.

▪ Un triángulo se puede dividir en triángulos congruentes dividiendo sus lados en igual número

de segmentos congruentes.

Figura 1.18 División de un triángulo en triángulos congruentes.

▪ Tomando como base el segmento comprendido entre dos ángulos congruente de un triángulo

isósceles, la altura sobre dicha base determina dos triángulos congruentes.

▪ El área de un triángulo cuyos vértices son dos vértices consecutivos de un cuadrado y el

punto medio del lado opuesto es igual a la mitad del área del cuadrado.


▪ Un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un cuadrado tiene un

área igual a la mitad del área del cuadrado.

▪ Un paralelogramo y un rectángulo cuyas bases son iguales y están sobre rectas paralelas

tienen igual área.

▪ De todos los cuadriláteros que pueden inscribirse en una circunferencia el cuadrado es el de

mayor área.

1.4.2 Aryabhata (476-550, Pataliputra)

Astrónomo y matemático indio, el único documento que sobrevive es el Aryabhatiya, que contiene

una serie de reglas astronómicas y matemáticas escritas en sanscrito, la tercera parte describe

fórmulas para calcular raíces cuadradas y cúbicas de números enteros, así como también reglas

para el cálculo de áreas, pero muchas de ellas son erróneas, dentro de las correctas están por

ejemplo: el cálculo del área de un triángulo, círculo, trapecio, volumen de la pirámide y en los

desaciertos hay que considerar que el área de cualquier figura plana se halla multiplicando dos

de sus lados. Un hecho interesante es la forma como hallan un número cercano a 𝜋 dando las

siguientes instrucciones: “suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000, el resultado

aproximado es la circunferencia de un círculo cuyo radio es 10.000”. (Clark, 1920, p 26).

1.4.3 Brahmagupta (590-670, Ujjain)

Astrónomo y matemático indio, fue el más grande de su época. Calculó el área de un triángulo

isósceles multiplicando la mitad de la base por uno de los lados iguales y el área de un triángulo

escaleno multiplicando la mitad de base por la media aritmética de los otros dos lados, hace una

generalización de la fórmula de Heron para hallar el área de un cuadrilátero:

𝐾 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)(𝑠 − 𝑑)

Con 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 lados del cuadrilátero y 𝑠 su semiperímetro, pero solo se cumple para

cuadriláteros cíclicos, para cualquier cuadrilátero se emplea la expresión:

𝐾 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)(𝑠 − 𝑑) − 𝑎𝑏𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃

siendo 𝜃 la semisuma de los ángulos opuestos del cuadrilátero. (Boyer, 1991, p .219).


39

1.5 Geometría proyectiva

Los griegos y egipcios hicieron aportes muy valiosos a la geometría, y hasta el siglo XV la

geometría de Euclides prevalecía, pero gracias a los pintores renacentistas la geometría

adquirió una mirada con dimensiones, en sus obras dibujaban objetos tridimensionales

basándose en el principio de proyección, así lo que veía un observador dependía de la posición

en el que este se encontraba. Es importante señalar que muchos de estos artistas eran

arquitectos , ingenieros y algunos matemáticos, es el caso de Leonardo Da Vinci, su obra más

conocida el Hombre de Vitrubio muestra una simetría ideal del cuerpo humano inspirada en una

obra descubierta en 1414 del arquitecto romano Marco Vitrubio titulada De arquitectura quien

había escrito “para que un edificio fuera hermoso tendría que tener una simetría y proporciones

perfectas “, para Leonardo Da Vinci el edificio fue el cuerpo humano.

Figura 1.19 Leonardo Da Vinci.

Imagen tomada de:https://www.elperiodico-digital.com/wpcontent/uploads/2020/07/113226504_da-vinci-arriba.jpg

https://www.elperiodico-digital.com/wpcontent/uploads/2020/07/113226504_da-vinci-arriba.jpg


Figura 1.20 Dibujo realizado por Marco Vitrubio Polión

Imagen tomada de: https://ichef.bbci.co.uk/news/410/cpsprodpb/162CC/production/_110882809_1024px-thumbnail.jpg

Gerard Desargues en 1639 realiza una publicación de “Tratados sobre las secciones cónicas”

con conceptos e ideas de la geometría proyectiva aplicados a la arquitectura, pero tuvo poca

difusión, sin embargo, este pensamiento influyo en Blaise Pascal y otros matemáticos.

Desargues desarrolla la idea de que las secciones cónicas (círculo, elipse, la parábola e hipérbola

son una curva única observada desde diferentes puntos de vista y no como los antiguos que

observaban diferentes curvas.

Brevemente se enunciará el teorema de Desargues que establece lo siguiente: “Si dos triángulos

están es perspectiva desde un punto y sus pares de lados se cortan, entonces los tres puntos de

intersección están alineados” (Kline, 1972).

Figura 1.21 Teorema de Desargues.

Imagen tomada de: http://1.bp.blogspot.com/-WbU-K3Gnek4/UmkuH0STqpI/AAAAAAAAAFE/LFljai9ZFEQ/s1600/1.jpg

https://ichef.bbci.co.uk/news/410/cpsprodpb/162CC/production/_110882809_1024px-thumbnail.jpg

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41

Esta nueva geometría que surgía fue opacada por el nacimiento de la geometría analítica, se

considera al fundador de la geometría proyectiva al francés Gaspard Monje a partir de la

publicación de sus obras surgieron geómetras franceses que dieron continuidad a sus ideas

dándole un nuevo estatus a esta geometría que prescindía de un método analítico pero que

igualmente obtenía resultados muy importantes. A continuación, algunos representantes.

Tabla 1.1 Representantes de la geometría proyectiva y sus aportes.

Matemático Aporte

José Diaz Gergonne (1771-1.859).

Publicó trabajos sobre la aplicación del principio de

dualidad a los teoremas de la geometría Euclidiana sobre

el punto y la recta, ideo un procedimiento basado en la

teoría de la polaridad para solucionar el problema de la

circunferencia tangente a otras tres de Apolonio

Carlos Julio Brlanchon (1785-1864).

Realiza la demostración de hexágono inscrito en una

cónica.

Trabaja sobre la circunferencia de los nueve puntos de

Euler

Victor Poncelet (1.788-1867) Definió los conceptos de figura, propiedad y operación

proyectiva.

Jacobo Steiner (1.790-1.863) Demostró que las construcciones euclídeas se pueden

hacer con una regla y una única circunferencia.

A.F. Mobius (1.790-1868)

Expuso un trabajo sobre las coordenadas homogéneas

en su obra Baryscentrische, creador de la superficie de

una sola cara “la cinta de Mobius.

Carlos Wilhein Feuerbach (1.800-1.834)

Creador del sistema de coordenadas homogéneas

Julius Plucker (1801-1868). Estudio de las curvas como lugares geométricos de un

punto móvil o una recta envolvente.

Arturo Cayley 1.821-1895) Realizo trabajo sobre transformaciones lineales y

matrices aplicadas a la geometría proyectiva.


2 Aspectos disciplinares

Conceptos básicos de Geometría

A continuación, se abordarán los conceptos básicos de geometría elemental que consideramos

básicos para el desarrollo del trabajo. Es de anotar que esta sección toma como referencia el

texto de Moise y Downs, Geometría Moderna. Ahora bien, el texto trata de mostrar cómo se

desarrolla un sistema axiomático, sin embargo, para poder considerar las temáticas básicas de

geometría plana y del espacio el texto considera dos temáticas que no estaban en la antigüedad

en el surgimiento de la geometría a saber los números reales y los conjuntos.

2.1 Acerca de los términos no definidos.

Los objetos físicos sugieren las ideas de punto, recta y plano; el espacio se considera como el

conjunto de todos los puntos. En particular el punto hace referencia a la huella dejada por la

punta de un lápiz en una hoja de papel, mientras más este afilada la punta la representación será

más fidedigna. El dibujo será una aproximación, por más pequeña que sea la huella siempre

tendrá un área. Un hilo tenso o el borde del tablero extendidos indefinidamente nos dan idea de

recta. Una superficie lisa que se extiende en todas las direcciones sugiere la idea de plano.

Finalmente, nuestro universo sugiere la idea de espacio. En cualquier caso, estos objetos serán

conjuntos de puntos.


43

2.2 Primeros postulados.

Los primeros postulados describen las propiedades elementales de rectas y planos que no se

pueden demostrar y que parecen naturales e intuitivos.

Considérese una recta contenida en un plano, si dos puntos están a lado opuesto de la recta el

segmento que los une interseca a la recta y forman parte de semiplanos opuestos, por otra parte,

si los puntos están a lado y lado de la recta el segmento que los une no interseca a la recta es

decir hacen parte de un mismo semiplano.

De igual manera un plano divide al espacio en dos semiespacios, si dos puntos se encuentran

en un mismo semiespacio el segmento que los une no interseca al plano, pero si el segmento

que une dos puntos interseca al plano, los puntos están ubicados en semiespacios opuestos.

Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.

Dados tres puntos, existe al menos un plano que los contiene y dados tres puntos no colineales

existe un único plano que los contiene.

En un plano, dados una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta paralela a la recta

dada que pasa por el punto dado.

Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los números reales y los puntos de

una recta, de tal manera que a cada punto de la recta le corresponde un número real y

viceversa y la distancia entre cada par de puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia

entre los números reales correspondientes.

Esta correspondencia se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un

punto de la recta se llama la coordenada del punto. (Moise, 1989, p. 34).

Las siguientes definiciones se enuncian teniendo en cuenta los términos no definidos.


2.3 Segmento, rayo, rayos opuestos y ángulo.

La distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 la notamos 𝐴𝐵 .

Dados dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵 se dice que un punto 𝐶 esta entre 𝐴 𝑦 𝐵 si 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵, siendo 𝐴𝐵 la

longitud del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . El conjunto formado por 𝐴 𝑦 𝐵 y todos los puntos 𝐶 que están entre

𝐴𝑦 𝐵 se llama el segmento 𝐴𝐵 y se nota 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , y los puntos 𝐴𝑦 𝐵 se llaman los extremos del

segmento. Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.

Dados dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵, el rayo 𝐴𝐵, que se simboliza 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , es el conjunto formado por la reunión

del segmento 𝐴𝐵 y todos los puntos 𝐶 para los cuales se verifica que 𝐵 está entre 𝐴 𝑦 𝐶.

Figura 2.1 Representación gráfica de un rayo.

Si A esta entre B y C entonces 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (1) y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (2) se llaman rayos opuestos. Figura 2.2 Representación gráfica de dos rayos geométricos opuestos.

Dos rayos que no están en la misma recta y tienen el mismo origen conforman un ángulo, cada

uno de ellos se llama lado del ángulo y el extremo común se llama vértice. Si los rayos son 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

y 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, entonces el ángulo se indica de las siguientes maneras:


45

< 𝐵𝐶𝐴 o < 𝐴𝐶𝐵 o < 𝐶 cuando no haya lugar a confusión como se verá más adelante en

algunas figuras geométricas.

Figura 2.3 Ángulo.

Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la

circunferencia (Moise, 1986).

Figura 2.4 Ángulo central.

Sea 𝐶 una circunferencia con centro 𝑃 y sean 𝐴 𝑦 𝐵 dos puntos que están en 𝐶, pero que no son

los extremos de un diámetro. Entonces, el arco menor 𝐴�̂� es la reunión de 𝐴, 𝐵 y todos los

puntos 𝐶 que están en el interior del ∡𝐴𝑃𝐵. El arco mayor 𝐴�̂� es la reunión de 𝐴, 𝐵 y todos los

puntos 𝐶 que están en el exterior de ∡𝐴𝑃𝐵. 𝐴 𝑦 𝐵 son los extremos del arco 𝐴�̂�. (Moise, 1986,

p.439).

Un grado es la medida de un ángulo central que intercepta un arco cuya longitud es 1/360 de la

longitud de la circunferencia.

La medida de un ángulo es el número de grados, si 𝑧 es la cantidad de grados de un ángulo se

escribe 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑧.

Se dice que dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.


Un ángulo es agudo si su medida es menor de 90° y obtuso si su medida es mayor de 90°. Un

ángulo es denominado recto si su medida es 90°.

Si dos rayos 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se intersecan formando un ángulo de 90°, se dice que

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ son perpendiculares denotándose 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . De forma similar se definen

rectas y segmentos perpendiculares

Figura 2.5 Rectas perpendiculares.

Si dos rectas 𝑙 𝑦 𝑝 están en un mismo plano y no se intersecan se dice que son paralelas y

se escribe 𝑙 ∥ 𝑝 .

Figura 2.6 Rectas paralelas.

Las anteriores definiciones se tienen en cuenta también para rectas, rayos y segmentos.

Dos ángulos son opuestos por el vértice, si sus lados forman dos pares de rayos opuestos

(Moise,1986).

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.


47

Figura 2.7 Ángulos opuestos por el vértice.

A continuación, se realizará la demostración.

En la figura el ∡1 y el ∡3 son opuestos por el vértice, por definición 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son rayos

opuestos al igual que 𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , luego:

los ∡1 y ∡2 forman un par lineal al igual que ∡1 y ∡4 , ∡1 ≅ ∡1 ; el ∡2 𝑦 ∡4 al ser

complementos de ángulos congruentes también son congruentes ∡2 ≅ ∡4 . (Moise,1986,

p.83).

2.4 Polígonos

2.4.1 Definición

Sea 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 …𝐴𝑛 una sucesión de puntos de un plano con n≥ 3.

El polígono 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 …𝐴𝑛𝐴1 se obtiene por la unión de los segmentos 𝐴1𝐴2, 𝐴2𝐴3 …𝐴𝑛𝐴1. Estos

segmentos no se cruzan y se tocan solo en los extremos.

Figura 2.8 Polígono.


Los puntos 𝐴1, 𝐴2,𝐴3 … ,𝐴𝑛 son los vértices del polígono y sus ángulos ∡𝐴𝑛 𝐴1𝐴2 ; ∡𝐴1𝐴2𝐴3 y

así sucesivamente.

En los polígonos se distinguen los siguientes elementos que se pueden observar en la

Figura 2.9.

▪ Diagonal: Es un segmento que une dos vértices no consecutivos 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ .

▪ Ángulo interior: formado por dos lados que comparten un vértice ∡𝐸𝐴𝐷 = 𝛽 .

▪ Ángulo exterior: formado por un lado del polígono y la prolongación del lado adyacente.

En la figura uno de los ángulos exteriores es 𝛼 formado por 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y la prolongación de

𝐸𝐷̅̅ ̅̅ .

Figura 2.9 Elementos de un polígono.

Se definirá congruencia de polígonos, polígono convexo y polígono regular. Se dice que dos polígonos son congruentes cuando tiene sus lados y ángulos correspondientes

congruentes.

Polígono convexo: Un polígono es convexo cuando al trazar sus diagonales están en el interior

del polígono o también un polígono es convexo si ningún par de sus puntos está a lados opuestos

de una recta que contenga un lado del polígono. (Moise 1986, p.514)


49

Polígono regular: Un polígono es regular cuando es convexo y todos sus ángulos y lados son

congruentes.

Figura 2.10 Polígono regular.

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐹𝐴̅̅ ̅̅ ∡𝐴 ≅ ∡𝐵 ≅ ∡𝐶 ≅ ∡𝐷 ≅ ∡𝐸 ≅ ∡ 𝐹

Un polígono regular de tres lados es un triángulo equilátero, uno de cuatro lados es un cuadrado,

según el número de lados recibe un nombre teniendo en cuenta los prefijos griegos: 5 lados

penta, 6 lados hexa, 7 lados hepta añadiendo en la mayoría de los casos el sufijo “ono”, un

polígono regular de ocho lados recibe el nombre de octágono.

Suma de ángulos interiores de un polígono convexo

Dado un polígono convexo de n lados, desde cada uno de sus vértices se pueden trazar (𝑛 − 3)

diagonales obteniéndose (𝑛 − 2) triángulos y la suma de los ángulos interiores será (𝑛 − 2)180°.

Figura 2.11 División de un polígono en triángulos.


Si el polígono es regular y tiene n lados, la medida de cada uno de sus ángulos interiores es:

(𝑛 − 2) ∙ 180

𝑛

Veamos cómo se ilustra este hecho en la siguiente figura: Figura 2.12 Ángulos interiores de un polígono regular de 9 lados.

En la Tabla 2 se encuentra la medida del ángulo interior y la suma de los ángulos interiores para

polígonos regulares de 5 a 10 lados.

Tabla 2.1 Medida de un ángulo interior según el número de lados de un polígono regular.

Numero de lados Ángulo interior Suma de los ángulos interiores

5 108° 540°

6 120° 720°

7 180° 1260°

8 135° 1080°

9 140° 1260°

10 144° 1440°

2.4.2 Construcción de un polígono regular

Teóricamente todo polígono regular puede considerarse inscrito en una circunferencia; si se

divide una circunferencia de centro 𝐶 y radio 𝑟 en 𝑛 arcos congruentes cada uno medirá 360

𝑛

para cada arco se traza una cuerda obteniéndose un polígono con vértices 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛.

Ahora al trazar los radios desde 𝐶 a cada vértice se obtienen triángulos isósceles, los 𝑛 triángulos

obtenidos son todos congruentes de esta manera los ángulos del polígono son congruentes y en

consecuencia el polígono inscrito es un polígono regular.


51

Figura 2.13 Polígono inscrito en una circunferencia.

2.4.3 Triángulos

Dados tres puntos no colineales 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 la unión de los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ se llama

triángulo. Los puntos A, B y C son los vértices del triángulo, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ corresponden a sus

lados y < 𝐵𝐴𝐶, < 𝐶𝐵𝐴, < 𝐴𝐶𝐵 𝑎 sus ángulos.

Figura 2.14 Triángulo.

▪ Alturas de un triángulo:

Un segmento perpendicular que va de un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado

opuesto de este, se llama altura, en particular un triángulo tiene tres alturas.

Figura 2.15 Alturas de un triángulo.


En la figura se observan las alturas ℎ1, ℎ2, ℎ3, trazadas desde los vértices 𝐺, 𝐿 𝑦 𝐻 a los lados

opuestos 𝑔, 𝑙 𝑦 ℎ.

ℎ1, ℎ3, caen por fuera del triángulo △ 𝐿𝐻𝐺 haciendo necesario la prolongación del segmento

𝐻𝐿̅̅ ̅̅ y 𝐺𝐿̅̅̅̅ respectivamente.

▪ Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados y según la medida de sus

ángulos.

Según la medida de sus lados:

▪ Equilátero: Sus tres lados son congruentes.

▪ Isósceles: si tiene al menos dos lados congruentes.

▪ Escaleno: Ningún par de lados son congruentes.

Figura 2.16 Clasificación de triángulos según la medida de sus lados.

▪ Equiángulo: sus tres ángulos son congruentes.

▪ Acutángulo: Sus tres ángulos son menores a 90°.

▪ Rectángulo: Uno de sus ángulos es recto.

▪ Obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es mayor a 90° (ángulo obtuso) y los otros dos

son agudos (menores a 90°).


53

Figura 2.17 Clasificación de triángulos según sus ángulos.

Algunos resultados relacionados con los triángulos se enuncian a continuación:

▪ Si un triángulo tiene dos lados congruentes, los ángulos opuestos a estos lados son

congruentes y recíprocamente

▪ Un triángulo es equilátero, si y solo si, es equiángulo.

Congruencia de triángulos

Sean 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 una correspondencia entre los vértices de dos triángulos.

Si los pares de lados correspondientes son congruentes y así mismo los pares de ángulos

correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 se llama

congruencia de triángulos. (Moise, 1989, p.113)

Si ΔABC es congruente con ΔDEF, escribimos Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 y en tal caso se deduce lo

siguiente:

Figura 2.18 Congruencia de triángulos


𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ �̅�𝐹; 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶.̅̅ ̅̅̅

∡𝐴 ≅ ∡𝐷; ∡𝐵 ≅ ∡𝐸; ∡𝐶 ≅ ∡𝐹

Los siguientes son criterios que permiten determinar la congruencia entre dos triángulos.

Criterio ALA (ángulo-lado -ángulo)

Dados los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐷𝐸𝐹. Si ∡𝐴 ≅ ∡𝐷 , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ y ∡𝐵 ≅ ∡𝐸.

Entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.

Es decir, si un triángulo tiene dos ángulos y el lado comprendido entre ellos congruentes con

las partes correspondientes de un segundo triangulo, entonces los dos triángulos son

congruentes.

Criterio LAL (lado-ángulo-lado)

Si, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ; ∡𝐵 ≅ ∡𝐸 y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ . Entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.

Esto es, si un triángulo tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos congruentes con las

partes correspondientes de un segundo triangulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

Criterio LLL (lado-lado-lado)

Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ . Entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.

Los lados de un triángulo son congruentes con los lados correspondientes de un segundo

triangulo.

2.4.4 Cuadriláteros

Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están alineados, y

los segmentos se intersecan tan solo en sus extremos, entonces la reunión de los cuatro

segmentos se llama cuadrilátero.


55

▪ Los puntos A, B, C y D se llaman vértices.

▪ Los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ son los lados.

▪ Los ángulos del cuadrilátero son: ∢ 𝐴, ∢𝐵, ∢𝐶 𝑦 ∢𝐷.

A continuación, se definen algunos cuadriláteros.

• Trapecio: Es un cuadrilátero que tiene 2 lados paralelos.

Figura 2.20 Trapecio.

.

• Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.

• Rombo: Es un paralelogramo con sus lados congruentes.

• Rectángulo: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.

• Cuadrado: Es un rectángulo cuyos lados son congruentes.

Figura 2.21 Cuadrado, rectángulo y paralelogramo.

Figura 2.19 Cuadrilátero.


2.5 Transformaciones geométricas en el plano

En esta sección se estudian algunos movimientos rígidos en el plano, de otro modo funciones

del plano en el plano denominadas transformaciones geométricas.

La idea que nos ocupa, en este caso, es estudiar cómo cambian las figuras a través de una

transformación geométrica, así que al respecto nos preguntamos, entre otros, si la

transformación dada, preserva distancias, áreas, congruencia y semejanza.

Dado un plano 𝐸, una transformación geométrica 𝑓 en 𝐸 es una función biyectiva que asigna a

cada punto 𝑥 de 𝐸 un punto 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 𝐸 .

𝑓: 𝐸 → 𝐸

Ahora bien, en esta parte, el interés del trabajo se centra en las transformaciones que preservan

distancias, En particular se estudiaran las translaciones, rotaciones y simetrías; que

corresponden a una clase general de transformaciones geométricas llamadas isometrías.

De manera más formal, si notamos 𝑑(𝐴 𝐵) a la distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 , una función

𝑓: 𝐸 → 𝐸 es una isometría si para todo par de puntos 𝐴 y 𝐵 de 𝐸, se tiene que 𝑑(𝐴 𝐵) =

𝑑(𝑓(𝐴), 𝑓(𝐵)).

Las isometrías son usadas en el dibujo de perspectiva dándole un carácter técnico al emplear

elementos geométricos en su realización, también son usadas en la representación de objetos

tridimensionales como objetos bidimensionales; en el presente trabajo se han planteado

actividades para el desarrollo de habilidades de pensamiento espacial que aplican este concepto.

Dado un plano 𝐸, la composición de isometrías se define como la composición usual de

funciones, esta operación es asociativa. En particular la función identidad de 𝐼: 𝐸 → 𝐸 es una

isometría. Ahora bien, si 𝑓 es una isometría, entonces 𝑓 ∘ 𝐼 = 𝐼 ∘ 𝑓 = 𝑓. Dada una isometría

𝑓 , puesto que 𝑓 es biyectiva, existe una función usualmente notada 𝑓−1 inversa de 𝑓 tal que 𝑓 ∙

𝑓−1 = 𝑓−1 ∙ 𝑓 = 𝐼. De estos hechos, se sigue que las isometrías en 𝐸 junto con la operación de

composición tienen estructura de grupo. Es de anotar que en general la composición de

isometrías no es conmutativa, lo cual se ilustra al final de esta sección.

Un hecho que se resalta es entonces que las isometrías envían figuras en figuras congruentes.

En particular se ilustra este hecho con figuras como triángulos y circunferencias.


57

Dado un triángulo, veamos que su imagen por una isometría es un triángulo congruente con el

triángulo inicial. En efecto, sean 𝐸 un plano, 𝐴𝐵𝐶 un triángulo en 𝐸 y 𝑓: 𝐸 → 𝐸 una isometría.

Notando 𝑓(𝐴) = 𝐴´, 𝑓(𝐵) = 𝐵´ 𝑦 𝑓(𝐶) = 𝐶´, se tiene que 𝐴𝐵 = 𝐴´𝐵´, 𝐴𝐶 = 𝐴´𝐶´ y 𝐵𝐶 = 𝐵´𝐶´ por

lo tanto ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´.

Figura 2.22 isometrías en un plano.

Una circunferencia 𝐶 es congruente con su imagen 𝐶´ al aplicar una isometría 𝑓. En efecto, sean

𝐶 una circunferencia de centro 𝑃 en un plano 𝐸 y 𝑓 una isometría. Sea 𝐴 un punto de 𝐶 . Al

aplicar 𝑓 a los puntos 𝑃 y 𝐴 se obtienen los puntos 𝑃´𝑦 𝐴´ con 𝑃𝐴 = 𝑃´𝐴´ . De igual manera si

𝐵 es otro punto de 𝐶 , al aplicar 𝑓 se obtiene un punto 𝐵´ con 𝑃𝐵 = 𝑃´𝐵´. En tal caso, 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵

= 𝑃´𝐴´ = 𝑃´𝐵´. Por lo tanto, se determina por medio de 𝑓 una circunferencia 𝐶´ de centro 𝑃´ y

radio 𝑃´𝐴´ = 𝑃𝐴, resultando 𝐶 congruente con 𝐶´.

A continuación, se estudian algunas isometrías que consideramos necesarias para el desarrollo

del trabajo.

▪ Translaciones

Cuando se habla de translación se hace referencia a trasladar un objeto en línea recta dada

una distancia y un sentido determinado.

Para definir una translación es necesario primero definir lo que es un vector. Dados dos puntos

𝐴 𝑦 𝐵, notado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, el vector 𝐴𝐵, es el segmento dirigido de origen 𝐴 y punto final 𝐵.

La magnitud del vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es la longitud del segmento 𝐴𝐵, su dirección corresponde a la recta

que pasa por 𝐴𝐵 y el sentido del vector 𝐴𝐵 es intuitivamente la orientación. Se dice que dos

vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud, dirección y sentido.


Una translación en un plano 𝐸 con vector de dirección 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es una función 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ que asigna a

cada punto 𝑃 de 𝐸 un punto 𝑃´, esto es 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (𝑃) = 𝑃´, tal que 𝑃𝑃´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es un vector equivalente con

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ .

La translación 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es una isometría. En efecto, sean 𝑃𝑦 𝑄 puntos distintos de 𝐴 𝑦 𝐵 como

ilustra la figura 2-23. Sean 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑃) =𝑃´ y 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑄) = 𝑄´, puesto que 𝑃𝑃´̅̅ ̅̅ ̅ es equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y

𝑄𝑄´⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , se tiene que 𝑃𝑃´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es equivalente a 𝑄𝑄´⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ , entonces, el cuadrilátero

𝑃𝑃´𝑄´𝑄, tiene dos lados paralelos y congruentes y por lo tanto es un paralelogramo, de donde

𝑃𝑄 = 𝑃´𝑄´. Los otros casos se pueden verificar fácilmente. Por lo tanto 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es una

transformación que preserva distancias, de donde 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es una isometría.

Figura 2.23 Paralelogramo PP´QQ´

,

▪ Rotaciones

Una rotación es una transformación que traslada los puntos de un plano haciendo uso de arcos

de circunferencia.

Sean un ángulo Φ 𝑐𝑜𝑛 0° < Φ < 360° y un punto fijo 𝐶 en un plano 𝐸. Una rotación en 𝐸 de

centro 𝐶 y ángulo Φ es una función:

𝑅(𝐶,𝜙): 𝐸 → 𝐸

que asigna al punto 𝐶 el punto 𝑅(𝐶,𝜙)(𝐶) = 𝐶 y a cada punto 𝑃 distinto de 𝐶 en 𝐸, el punto

𝑅(𝐶,𝜙)(𝑃) = 𝑃´, tal que 𝐶𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝑃´̅̅ ̅̅̅ y ∡𝑃𝐶𝑃´ = Φ y el giro se realiza en sentido contrario a como

giran las manecillas del reloj. Es de anotar que este es el tipo de rotaciones que consideraremos.

Si el giro se realiza en el sentido a como giran las manecillas del reloj, la rotación que se define

se nota:

𝑅(𝐶,−𝜙): 𝐸 → 𝐸


59

Figura 2.24 Rotación del punto P.

Veamos que 𝑅(𝐶,𝜙) es una isometría, en efecto, sean 𝐴 y 𝐵 puntos de 𝐸 diferentes de 𝐶 como lo

ilustra la figura 2.25. Sean 𝑅(𝐶,𝜙)(𝐴) = 𝐴´ y 𝑅(𝐶,𝜙)(𝐵) = 𝐵´. Entonces, 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐴´̅̅ ̅̅̅ , 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵´̅̅ ̅̅ ̅

𝑦 ∡𝐴𝐶𝐴´ = Φ, y ∡𝐵𝐶𝐵´. Ahora bien ∡𝐴𝐶𝐵 = Φ + ∡𝐴´𝐶𝐵 y ∡𝐴´𝐶𝐵´ = Φ + ∡𝐴´𝐶𝐵 luego ∡𝐴𝐶𝐵 ≅

∡𝐴´𝐶𝐵´ entonces por 𝐿𝐴𝐿 los △ 𝐴𝐶𝐵 ≅△ 𝐴´𝐶𝐵´ y se obtiene que 𝐴𝐵 ≅ 𝐴´𝐵´. Si 𝐴 es el punto

𝐶 y 𝐵 es diferente de 𝐶, entonces 𝐶𝐵 = 𝐶𝐵´. Si 𝐴 y 𝐵 son iguales a 𝐶, entonces 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶´. Los

otros casos son fácilmente verificables. Por lo tanto 𝑅(𝐶,𝜙) es una transformación que preserva

distancias, de donde R(C,ϕ) es una isometría.

Figura 2.25 Rotación.

▪ Simetrías

Simetría, se deriva del latín symetria, es la correspondencia en tamaño, forma y posición de dos

puntos u objetos. Definir una obra de arte en la cual se puede apreciar la belleza de las simetrías

es el hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci que representa un cuerpo humano perfectamente

simétrico.

Figura 2.26 Hombre de Vitrubio.

Imagen tomada de: https://elartedelaimaginacion.wordpress.com/files/2009/11/uomo-di-vitruvio.jpg

https://elartedelaimaginacion.wordpress.com/files/2009/11/uomo-di-vitruvio.jpg


A continuación, se definirán la simetría central y axial.

Sean 𝐸 un plano y 𝑃 un punto de 𝐸. La simetría central con respecto a 𝑃 es una función

𝑆(𝑃): 𝐸 → 𝐸 que asigna a un punto 𝑄 diferente de 𝑃 en 𝐸 otro punto 𝑄´ en 𝐸, 𝑆(𝑃)(𝑄) = 𝑄´ tal

que 𝑃 es el punto medio de 𝑄𝑄´̅̅ ̅̅ ̅ y a 𝑃 le asigna el mismo 𝑃, esto es 𝑆(𝑃)(𝑃) = 𝑃. El punto 𝑃

recibe el nombre de centro de simetría y 𝑄´ es el simétrico de 𝑄 respecto a 𝑃 cuando 𝑄 es

distinto de 𝑃.

Veamos que 𝑆(𝑃) es una isometría. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 puntos de 𝐸 distintos de 𝑃 como lo ilustra la

figura 2-28. Sean 𝑆(𝑃)(𝐴) = 𝐴´ y 𝑆(𝑃)(𝐵) = 𝐵´. Entonces 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴´𝑃̅̅ ̅̅ ̅ y 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵´𝑃̅̅ ̅̅ ̅ .

Ahora ∡ 𝐴𝑃𝐵 ≅ ∡ 𝐴´𝑃𝐵´ por ser opuestos por el vértice.

Por lo tanto, por el criterio 𝐿𝐴𝐿 △ 𝐴𝑃𝐵 ≅ △ 𝐴´𝑃𝐵´, luego 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ . que era lo que se quería

demostrar. Los otros casos son fácilmente verificables. De esta manera hemos probado que 𝑆(𝑃)

preserva distancias y por lo tanto es una isometría.

Figura 2.28 Simetría central.

Figura 2-1: Punto representación gráfica

Figura 2.27 Simetría central con respecto al punto P.


61

Nótese que una rotación de centro 𝑃 con un ángulo de 180° corresponde a una simetría central

de centro 𝑃, esto es las transformaciones 𝑅(𝑃,180°) y 𝑆(𝑃) son iguales. Una transformación como

esta se acostumbra a llamar Semigiro.

Para hablar de simetría axial se considera un plano 𝐸 y una recta 𝑙 fija en 𝐸, la simetría axial

con respecto a la recta 𝑙 es una función 𝑆(𝑙): 𝐸 → 𝐸 que asigna a cada punto 𝑃 de 𝐸,

estando 𝑃 fuera de 𝑙, otro punto 𝑃´ 𝑒𝑛 𝐸, 𝑆(𝑙)(𝑃) = 𝑃´ , tal que 𝑙 es la mediatriz del segmento

𝑃𝑃´̅̅ ̅̅ ̅, si 𝑃 es un punto de 𝑙, se define 𝑆(𝑙)(𝑃) = 𝑃. (Guerrero, 2006).

Veamos que 𝑆𝑙 es una isometría. Sean 𝑃 𝑦 𝑄 puntos de 𝐸 , con 𝑃 𝑦 𝑄 fuera de 𝑙, como ilustra

la gráfica 2-29. Supongamos que 𝑆𝑙(𝑃) = 𝑃´ y 𝑆𝑙(𝑄) = 𝑄´. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 los puntos medios de

𝑃𝑃´̅̅ ̅̅ ̅ y 𝑄𝑄̅̅ ̅̅ ´ respectivamente. Entonces ∆𝐵𝐴𝑃 ≅ ∆𝐵𝐴𝑃´ por el criterio 𝐿𝐴𝐿.

Por lo tanto 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃´𝐵̅̅ ̅̅ ̅ y < 𝑃𝐵𝐴 ≅< 𝑃´𝐵𝐴 de donde < 𝑃𝐵𝑄 ≅< 𝑃´𝐵𝑄´. Entonces ∆ 𝑃𝐵𝑄 ≅

∆𝑃´𝐵𝑄´, por el criterio 𝐿𝐴𝐿 y por tanto 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃´𝑄´̅̅ ̅̅ ̅̅ , de donde 𝑃𝑄 = 𝑃𝑄. Los otros casos se pueden

verificar fácilmente. Se ha demostrado que 𝑆𝑙 preserva distancias y por lo tanto 𝑆𝑙 es una

isometría.

Figura 2.29 Simetría Axial.

Observación:

Sean 𝑙1 y 𝑙2 rectas contenidas en un plano 𝐸. Supongamos que 𝑙1 es perpendicular a 𝑙2 y que

estas rectas se interceptan en el punto 𝑂. Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 puntos de 𝐸 diferentes de 𝑂, tales que 𝐴

es un punto de 𝑙1 y 𝐵 y 𝐶 puntos de 𝑙2 en lados opuestos de 𝑙1, con 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶, como ilustra

la figura.


Consideremos la rotación 𝑅(𝑂,90°) y la simetría axial 𝑆𝑙1. Entonces (𝑆𝑙1 ∘ 𝑅(𝑂,90°))(𝐴) = 𝐶 y

(𝑅(𝑂,90°) ∘ 𝑆𝑙1)(𝐴) = 𝐵. Por lo tanto, en general la composición de isometrías no es isometría.

Figura 2.30 Composición de isometrías.

2.6 Sistema de coordenadas cartesianas

Las situaciones problema de geometría se pueden representar gráficamente, esto permite

comprenderlas mejor y visualizar todos los elementos que participan en una situación particular.

Existen muchas formas de representar gráficamente una misma situación, pero es importante

identificar cual es la más conveniente.

Como lo menciona el postulado que se encuentra en la página 43 de este trabajo, existe una

correspondencia biyectiva entre los números reales y los puntos de una recta. Esta

correspondencia se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un punto de

la recta se llama la coordenada del punto. (Moise,1986, p. 373). Esta idea se extiende a un plano

y al espacio, en particular nos referiremos a las coordenadas en un plano.


63

El sistema de coordenadas cartesianas permite representar un polígono mediante parejas de

números reales, estas parejas reciben el nombre de coordenadas. Rene Descartes, matemático

y filosofo (1596-1650) se considera como el creador del sistema de coordenadas cartesianas.

El plano de coordenadas cartesianas se determina trazando una recta numérica 𝑋 a la cual se le

asigna un sistema de coordenadas llamándola eje 𝑋 o eje de las abscisas, a continuación, se

traza una recta perpendicular a esta, llamada 𝑌, fijando también un sistema de coordenadas

recibiendo el nombre de eje 𝑌 o eje de las ordenadas. El punto de intersección de las rectas es

considerado el origen de las coordenadas y habitualmente corresponde a la pareja (0,0).

La dirección de los ejes se elige de tal modo que el semieje positivo 𝑋 coincida con el semieje

positivo 𝑌 al hacerlo girar 90° en sentido antihorario.

Una vez conformado el sistema de coordenadas cartesianas, se puede representar cualquier

punto 𝑃 por medio de una pareja de números (𝑎, 𝑏) que se obtienen al trazar rectas

perpendiculares al eje 𝑋 y 𝑌, como lo ilustra la figura.

Figura 2.31 Plano Cartesiano.


3 Aspectos didácticos

En este capítulo se describen los elementos de carácter didáctico que consideramos necesarios

para el desarrollo de la propuesta. En primer lugar, se referencian algunos documentos

propuestos por el MEN como: Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Competencias

en Matemáticas EBC, Derechos Básicos de Aprendizaje DBA. En segundo lugar, se presentan

los niveles de Van Hiele que proponen un método para la enseñanza y aprendizaje de la

geometría. En tercer lugar, se mencionan algunos aspectos de la tecnología en el aula, en cuarto

lugar, se consideran algunos elementos del dibujo artístico por ser esta la herramienta que

consideramos central en el desarrollo de la propuesta, en quinto lugar, se hablara de las

habilidades de pensamiento espacial, en sexto lugar el dibujo artístico, en séptimo lugar la

tecnología en el aula, la propuesta didáctica y finalmente las actividades.

3.1 Lineamientos Curriculares

Los Lineamientos Curriculares son una serie de documentos diseñados por el Ministerio de

Educación Nacional para brindar apoyo y orientación a la comunidad educativa y los considera

como: “un conjunto de conocimientos, planes de estudio, programas metodologías y procesos

que contribuyen a la formación integral y a la construcción nacional, regional y local…” (Ley

115,1994, Articulo76).

Este documento llama la atención al lector de la necesidad de descubrir cual concepción de la

matemática prevalece en cada uno de nosotros y en el entorno, ayudándose con preguntas

orientadoras que permitan dar respuesta a esta inquietud inicial. Parece natural que de acuerdo

con cómo se conciba las matemáticas se generan propuestas didácticas. (Santos, 1993).


65

De acuerdo con lo acontecido en la historia acerca de la evolución de ideas y pensamiento de la

naturaleza de las matemáticas concluye que se debe considerar las matemáticas como parte

activa de la cultura y de la sociedad al respecto se identifican algunas de sus características

como: el carácter empírico, evolución de conceptos matemáticos en las diferentes culturas, la

matemática como un sistema cultural con características comunes a otros sistemas.

Así las cosas, se habla de la transposición didáctica como la manera de llevar el conocimiento a

niños y jóvenes respondiendo a las necesidades culturales en un entorno local y global que les

ayuden a solucionar problemas y que favorezcan el desarrollo de habilidades que puedan ser

utilizadas en determinado momento de su historia particular.

Teniendo en cuenta la relación existente entre matemáticas y cultura hay una nueva mirada del

quehacer matemático que debe considerar varios aspectos tales como: el conocimiento

matemático no es algo acabado, está en continua transformación, la consolidación de un

conocimiento es un proceso que en muchas ocasiones puede tomar mucho tiempo y está

influenciado no solo por el carácter cognitivo del individuo sino también por elementos culturales.

El docente debe tener en cuenta estos aspectos en su práctica educativa para el diseño de un

currículo que en verdad sea eficiente y puede favorecer el pensamiento matemático.

De acuerdo con lo anteriormente expuesto los lineamientos curriculares consideran una serie de

elementos para el diseño del currículo a continuación se hará una breve exposición de ellos:

▪ Procesos generales: “Tienen que ver con el aprendizaje y son el razonamiento, resolución

y planteamiento de problemas, comunicación, modelación, elaboración, comparación y

ejercitación de procedimientos”. (MEN ,1998).

▪ Conocimientos básicos: “Procesos específicos que desarrollan el pensamiento matemático

con sistemas propios de las matemáticas”. (MEN ,1998).

▪ El contexto: “Relacionado con los ambientes que rodean al estudiante y le dan sentido a las

matemáticas que aprende”. (MEN ,1998).


Se tiene en cuenta las variables sociales y culturales a nivel global y local, tipo de relaciones,

factores económicos, costumbres y creencias de la comunidad en particular.

Ahora se hablará de los conocimientos básicos considerados en matemáticas:

1. Pensamiento y sistemas numéricos.

2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos.

3. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.

4. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.

En el caso particular se abordará lo concerniente al pensamiento espacial y sistemas

geométricos.

▪ Pensamiento espacial y sistemas geométricos

El Ministerio de Educación Nacional en su propuesta habla de recuperar en las aulas de clase el

carácter intuitivo de la matemática que se había dejado al incluir por un largo tiempo en el

currículo la matemática moderna.

En esta nueva mirada de la educación se habla de la inteligencia espacial que hace parte de la

Teoría de las inteligencias múltiples propuesta por Gardner (1994) considerada por el como una

habilidad para el desarrollo del pensamiento científico, el autor considera que las personas que

poseen esta inteligencia se desempeñan eficientemente en profesiones como arquitectura,

ingeniería y en general actividades científicas.

El paso hacia lo que se ha denominado una geometría activa permite al individuo realizar una

exploración del espacio tridimensional.

Uno de los objetivos planteados al trabajar los sistemas geométricos es precisamente el

desarrollo del pensamiento espacial “considerado como el conjunto de procesos cognitivos

mediante las cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos

del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones a

representaciones materiales”. (MEN, 1998).


67

La exploración es una de las actividades principales para consolidar la construcción de los

sistemas geométricos como proceso cognitivo requiere de una serie de etapas que inicia en una

fase intuitiva más practica donde se puedan observar, manipular, localizar objetos, realizar

cálculos y llegar posteriormente a una fase abstracta para hacer representaciones mentales de

objetos y establecer características y relaciones del espacio tridimensional. (MEN, 1998).

Los aspectos inherentes al individuo cognitivos, sociales, culturales influencian el trabajo de la

geometría activa en la escuela, por esta razón debe ser tenidos en cuenta para la puesta en

marcha de actividades propias del individuo como dibujar, trazar, pintar, colorear que permitan

construir representaciones mentales de objetos y en un determinado momento la formalización

de conceptos matemáticos.

Los lineamientos hablan de tres aspectos fundamentales para tener en cuenta:

▪ El desarrollo del pensamiento geométrico

Expone brevemente acerca de los Niveles de Van Hiele como una herramienta ideal para

trabajar el pensamiento geométrico partiendo de un nivel inicial (la intuición) para seguir

avanzando a un nivel más formal (deductivo) identificando las características de cada nivel y el

paso a paso para ir de un nivel a otro.

▪ Representación bidimensional del espacio tridimensional

Hace énfasis en la necesidad de que el individuo representa objetos tridimensionales por medio

de representaciones planas que contengan las características y relaciones de los objetos. Narra

el hecho de que en la enseñanza de las matemáticas se usan muy pocas representaciones

tridimensionales a pesar de estar inmersos en un mundo tridimensional (Lapan y Winter).

Al respecto plantea el dibujo en perspectiva para realizar proyecciones de objetos

tridimensionales usado también en la educación artística o estética, se busca promover la

utilización de herramientas que favorezcan el manejo del espacio y la comprensión de este.


▪ Las transformaciones

La propuesta del MEN busca una matemática más activa en el aula de clase que permita al

estudiante visualizar el movimiento de figuras y objetos geométricos, partiendo de experiencias

concretas al trasladar y mover objetos materiales de esta manera se trabaja intuitivamente las

traslaciones y rotaciones, se trata que el niño comprenda las características inherentes a ellas

para después llegar a la formalización de estos conceptos, cabe aclarar que las reflexiones no

se pueden representar de manera concreta solo se logra por medio de representaciones

mentales por esta razón se aconseja inicialmente trabajar lúdicamente con reflexiones y

rotaciones.

3.2 Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas

Los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas “son un conjunto de parámetros que

establecen lo que un niño y joven debe saber y saber hacer para alcanzar el nivel de calidad en

el sistema educativo en cada área del conocimiento y están especificados por grupos de grado

(1° a 3°, 4°a 5°, 6° a 7, 8° a 9°, 10° a 11°)”. (MEN, 2006).

El término calidad de la educación surge a partir de los años 70 a partir de una reflexión realizada

sobre la eficiencia del sistema educativo financiado por el estado, también se tiene en cuenta la

cobertura, para que la mayor parte de la población pueda adquirir habilidades en todas las

dimensiones del ser humano (social, intelectual, moral), y le permita desenvolverse en la

sociedad.

Los estándares se convierten en una guía para:

▪ La construcción de la malla curricular.

▪ Producción de textos escolares y ayudas educativas.

▪ Diseño de prácticas evaluativas en la institución.

▪ Programas y proyectos para la formación inicial de docentes en formación y de docentes en

ejercicio para cualificar su actividad.

Es importante anotar que el MEN les dio autonomía a las instituciones educativas para desarrollar

su PEI (Proyecto Educativo Institucional) de acuerdo con las características de su entorno, pero

igualmente debe haber unos referentes comunes, los EBC que permiten medir los alcances de


69

los planes institucionales y además son tenidos en cuenta en la realización de las pruebas

externas. El grado de interés en este trabajo es cuarto. A continuación, se detallan los estándares

básicos al terminar grado cuarto y quinto en lo referente al pensamiento geométrico.

Tabla 3.1 Estándares Básicos de Competencias del pensamiento espacial para grado 4° y 5°.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos. Matemáticas 𝟒° 𝒚 𝟓°

▪ Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras, lados)

y propiedades.

▪ Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos,

vértices) y características.

▪ Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas

y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas.

▪ Utilizo sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones

espaciales.

▪ Identifico y justifico relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.

▪ Construyo y descompongo figuras y sólidos a partir de condiciones dadas.

▪ Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para

construir diseños.

▪ Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y

puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura.

Tomado de: https://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340021_recurso_1.pdf

3.3 Derechos Básicos de Aprendizaje

Los Derechos Básicos de Aprendizaje DBA son un documento emanado por el MEN para

garantizar una educación de calidad para todos, a partir del desarrollo de conocimientos y

habilidades que favorecen una formación integral del individuo.

https://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340021_recurso_1.pdf


La organización de los DBA se realiza a partir de los Lineamientos de Matemáticas y los

Estándares Básicos de competencia EBC, son rutas de aprendizaje para tener en cuenta en cada

año escolar para adquirir los EBC. Los DBA tienen tres componentes: enunciado: aprendizaje

estructurante para el área; evidencia: indicadores que le permiten al maestro observar el alcance

del aprendizaje; ejemplo: acciones concretas para alcanzar el aprendizaje propuesto (MEN,

2016).

En la siguiente tabla se encuentran los DBA para grado cuarto.

Tabla 3.2: Derechos básicos de aprendizaje para grado cuarto.

Pensamiento Espacial y Sistemas geométricos

DBA

Evidencias de aprendizaje

▪ Identifica, describe y

representa figuras

bidimensionales y

tridimensionales, y establece

relaciones entre ellas.

▪ Arma, desarma y crea formas bidimensionales

y tridimensionales.

▪ Reconoce entre un conjunto de desarrollos

planos, los que corresponden a determinados

sólidos atendiendo a las relaciones entre la

posición de las diferentes caras y aristas.

▪ Identifica los movimientos

realizados a una figura en el

plano respecto a una

posición o eje (rotación,

traslación y simetría) y las

modificaciones que pueden

sufrir las formas (ampliación-

reducción)

▪ Aplica movimientos a figuras en el plano.

Diferencia los efectos de la ampliación y la

reducción.

▪ Elabora argumentos referentes a las

modificaciones que sufre una imagen al

ampliarla o reducirla.

▪ Representa elementos del entorno que sufren

modificaciones en su forma.

Tomado de http://aprende.colombiaaprende.edu.co/siemprediae/93226

3.4 Los Niveles de Van Hiele

Para el desarrollo del trabajo se consideró pertinente usar el modelo Van Hiele, una teoría de

enseñanza y aprendizaje de la geometría. Gutiérrez (1993) identifica dos aspectos en el modelo

de Van Hiele:

http://aprende.colombiaaprende.edu.co/siemprediae/93226


71

Descriptivo: Identifica formas de razonamiento geométrico de los estudiantes y se les da un

valor a sus progresos.

Instructivo: Da una serie de actividades que los profesores deben aplicar para que los

estudiantes avancen en el nivel de razonamiento geométrico en el que se encuentran.

En 1957 los esposos van Hiele, producto de las disertaciones doctorales dan origen al modelo

Van Hiele. El libro original donde se desarrolla la teoría es Structure and Insight: A theory of

mathematics education.

Las características de la teoría de Van Hiele se dan por niveles del 1 al 5 y a continuación, se

describirá cada uno.

▪ Nivel 1: Reconocimiento y visualización

El individuo reconoce las figuras geométricas por su forma como un todo, no diferencia partes ni

componentes de la figura. Produce una copia de una figura en particular y puede reconocerla.

No identifica propiedades de la figura. Las descripciones realizadas de las figuras son intuitivas

y las relaciona con objetos de su entorno. No utiliza un lenguaje formal para referirse a objetos

geométricos.

▪ Nivel 2: Análisis

El estudiante puede reconocer y analizar las partes y propiedades particulares de las figuras

geométricas, pero no establece relaciones o clasificaciones entre propiedades de distintas

familias de figuras. A través de la experimentación y manipulación puede establecer propiedades

de las figuras, pero todavía no puede construir definiciones formales.

▪ Nivel 3: Deducción informal y orden

El individuo tiene la capacidad de determinar las figuras por sus propiedades y reconoce la

relación entre algunas propiedades, relaciona figuras. Sabe cuáles son las condiciones

necesarias que debe cumplir una figura geométrica por esta razón puede construir definiciones

significativas de figuras. No realiza una secuencia lógica de sus razonamientos que lo lleven a

una demostración, Su razonamiento sigue basado en la manipulación.


▪ Nivel 4: Deducción

Realiza deducciones lógicas para demostrar proposiciones. Comprende y maneja relaciones

entre propiedades de figuras y formaliza en sistemas axiomáticos. Plantea como se puede llegar

a un mismo resultado partiendo de premisas o proposiciones distintas. En este nivel el individuo

desarrolla un proceso lógico de proposiciones para deducir propiedades y relaciones de figuras.

Pero aún falta el rigor en sus razonamientos.

▪ Nivel 5: Rigor

En este nivel el estudiante tiene la capacidad de analizar rigurosamente sistemas deductivos,

realizar comparaciones. Analizar la consistencia, independencia y completitud de los axiomas de

los fundamentos de la geometría. Se maneja un alto nivel de abstracción y algunos autores como

Gutiérrez (1993) afirman que es alcanzado por estudiantes universitarios avanzados en

geometría.

Las fases del modelo Van Hiele El modelo Van Hiele propone cinco fases que guían al docente para estructurar las actividades

de cada nivel, y permiten que el estudiante pase de un nivel a otro.

Las fases de los niveles de Van Hiele se describen a continuación:

▪ Fase 1: Información

Se comienza el estudio de un objeto, el docente debe identificar los conocimientos previos del

estudiante y da a conocer los procesos que se van a trabajar, los materiales que se van a utilizar

para construir los nuevos conocimientos.

▪ Fase 2: Orientación dirigida.

En esta fase el docente debe plantear una serie de actividades y problemas que lleven al

estudiante a adquirir un nuevo conocimiento, por esta razón debe ser muy crítico a la hora de

escogerlas, planear cada detalle y prever dificultades que se pueden presentar, así mismo debe


73

tener a la mano posibles soluciones, de esta manera el estudiante se sentirá más seguro y su

actitud hacia las matemáticas será más agradable.

▪ Fase 3: Explicitación

Los estudiantes comunican de manera verbal o escrita los conocimientos adquiridos utilizando

un vocabulario claro que permita que sus compañeros comprendan lo que se está trabajando,

aquí todavía no hay una consolidación de un conocimiento formal, pero se tiene un acercamiento

por medio de la descripción en palabras del objeto de estudio.

▪ Fase 4: Orientación libre

Aquí los estudiantes deben consolidar los conocimientos adquiridos en las anteriores fases, el

objetivo es que resuelvan problemas más complejos planteados por el docente que les permiten

explorar en su red de conocimientos una posible solución o soluciones o argumentar que no

tiene solución, la intervención del profesor debe ser mínima.

▪ Fase 5: Integración

En esta última fase los estudiantes tienen la oportunidad de entrelazar los conocimientos previos

con los adquiridos, realizar un resumen general que contenga las características del tema de

estudio, identificar la manera como estos nuevos aportes han contribuido a la comprensión de

este.

3.5 Habilidades del Pensamiento Espacial.

Habilidades de la geometría espacial

Son consideradas como la capacidad de los individuos para realizar tareas en un currículo

específico de trabajo y tiene en cuenta los conocimientos y habilidad de analizar una imagen

visual y la manera como se combina dentro de otras imágenes, representación y construcción de

figuras en 2D y 3D, cálculo de superficies y volúmenes (NCTM, 2000).


▪ Habilidades espaciales

▪ Visualización espacial: Habilidad de comprender los movimientos imaginarios en un

espacio de tres dimensiones o la capacidad de manipular objetos en la imaginación.

(NCTM, 2000).

▪ Orientación espacial: Capacidad de los estudiantes de permanecer sin confusión por el

cambio de orientación dada por una configuración espacial.

▪ Relaciones espaciales: Capacidad de rotar un objeto como un todo de forma correcta.

Pittalis & Christou (2010) consideran que:” el desarrollo de habilidades espaciales tiene un efecto

en el mejoramiento de habilidades geométricas de 3D como el razonamiento de medida, además

el razonamiento de la geometría tridimensional está estrechamente relacionado con la habilidad

del estudiante para calcular el área de la superficie y el volumen de un sólido”.

A partir de un trabajo realizado por el Consejo de Investigación Nacional de los Estados Unidos

cuyo objetivo era saber cómo beneficiaba la incorporación del pensamiento espacial en el

currículo de la educación escolar (K-12). Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

El pensamiento espacial, puede ser aprendido debido a los procesos:

▪ Conocimiento y conceptualización del espacio.

▪ Representación del espacio a través de diferentes proyecciones, perspectivas.

▪ Razonamiento del espacio: curvas de nivel, distancia más próxima en línea recta (González,

2015).

El pensamiento espacial cumple las siguientes funciones:

▪ Descriptiva: Localización de objetos sobre el espacio y las relaciones topológicas entre ellos.

▪ Analítica: Comprensión de las estructuras espaciales.

▪ Inferencial: Responder a preguntas sobre la función de las estructuras. (Gonzales, 2015).


75

3.6 El dibujo artístico

3.6.1 Historia del dibujo artístico

En los archivos arqueológicos la escultura precede al dibujo y la pintura. Se tiene evidencia que

en el periodo paleolítico el hombre primitivo dibujaba en las paredes de las cuevas formas de

animales usando pigmentos de minerales naturales rojos, amarillos y pardos de tierras ocre y

hematites, negro, marrón oscuro de diversos tipos de manganeso, las sustancias eran reducidas

a polvo y se aplicaban sobre las paredes y techos húmedos de piedras calizas de las cuevas.

Estos dibujos se encuentran en la parte más profunda de la cueva. El hombre primitivo usaba

pinceles de cerdas de animales y también sus dedos; primero delineaba figuras de animales y

posteriormente las rellenaba con los pigmentos, utilizaba como disolvente la grasa animal en

ocasiones mezclada con sangre, las protuberancias de las paredes eran aprovechadas para dar

la idea de volumen; en la cueva se protegía del peligro exterior, permanecía mucho tiempo en

ella y ocupaba la parte anterior de la caverna, de esta manera aprovechaba la luz natural y

además se sentía más cómodo porque era la parte más ancha.

Los dibujos se realizan de manera pausada, pero la representación de animales no es muy

similar al animal de la realidad, ya que toma solo algunos partes del cuerpo (patas, cuernos),

creando un patrón; lo mismo sucede con los niños cuando dibujan objetos de su cotidianidad

hacen más énfasis en algunos elementos, por ejemplo, al pintar un carro, resaltan las ruedas de

los demás elementos que componen el objeto. En algunos dibujos encontrados se observan

normas de composición artística como la simetría. En una de las cuevas de Puente de Viesgo

(Cantabria) se detallan dos cabezas de ciervo contrapuestas, también hay figuras en posición

horizontal a manera de friso y se repiten elementos como representación de velocidad y fuerza

(patas, cuernos).


Tomado de http://www.españaescultura.es/export/sites/cultura/multimedia/galerias/museos/mugran_techo_museo_altamira_c.jpg_1306973099.jpg

En un análisis realizado por Matilde Muzquiz Pérez del arte rupestre en las cuevas de Altamira

habla sobre la coherencia en las proporciones de las figuras y el buen trazo de las articulaciones

lo que ayuda a definir correctamente la postura de los animales, poniendo de manifiesto el

profundo conocimiento que tenía el hombre del paleolítico de la estructura ósea de los animales,

realiza un comentario acerca de la adecuada estructura de las cabezas permitiendo conocer la

especie animal (Muzquiz, 1994 ). Matilde Muzquiz concluye que el autor paleolítico refleja en

su pintura aquellos datos que quiere dar a conocer, los trazos y detalles son intencionales.

▪ La era egipcia

La cultura egipcia reconocía el dibujo como una expresión de arte. Pasaron de dibujar

composición de elementos a dibujos más complejos con muchos detalles y color, resaltando las

representaciones teológicas en templos y santuarios, dibujaban sus dioses en detalle.

La cultura griega se preocupaba por obtener una expresión perfecta del ser humano sin

connotaciones sobrenaturales dando armonía a sus lienzos.

En la edad media los dibujos poseen trazos que resaltan los detalles, con el invento del papel el

dibujo tiene mayor auge porque muchas personas ahora tienen la posibilidad de dibujar, también

aparece el dibujo a color.

Figura 3.1 Techo de la cueva de Altamira

http://www.españaescultura.es/export/sites/cultura/multimedia/galerias/museos/mugran_techo_museo_altamira_c.jpg_1306973099.jpg


77

▪ El Renacimiento

Lo más importante es reconocer la belleza y saber expresarla, es así que lo natural adquiere

mayor relevancia y surgen piezas de desnudo femenino, con el uso de nuevas técnicas y colores.

▪ La era digital

Con la aparición del software especializado, el dibujo ha pasado del papel a los dispositivos

digitales. Lo que hoy conocemos como pixeles tuvo inicio con Seurat quien invento la técnica del

puntillismo donde los dibujos se forman a partir de puntos no de líneas, entre más puntos tenga

un dibujo es mucho más definido, este el concepto que se maneja en la actualidad con los pixeles.

3.6.2 Procesos del dibujo artístico

El dibujo artístico es un lenguaje universal que permite la transmisión de ideas, descripciones y

sentimientos, es muy importante en los medios de comunicación ya que transmite de manera

inmediata cualquier información.

El dibujo artístico ayuda al desarrollo de habilidades y pone en marcha procedimientos para que

el estudiante puede representar la realidad e interpretarla con mayor libertad.

El dibujo artístico cuenta con una serie de procesos:

▪ Apunte: Usado para captar y recordar las características del dibujo.

▪ Boceto: Es un borrador que se hace en un papel antes de realizar el dibujo.

▪ Encajado: Son las líneas finales que quedaran en el papel definitivo.

▪ Línea: Contorno del dibujo.

▪ Color: Dado por acuarelas, tinta, lápiz de color etc.

▪ Valor: Se adquiere al sombrear las zonas más oscuras del dibujo y este sea la figura real.


▪ Proporción: Es la relación correcta en tamaño y volumen de todos los componentes del

dibujo

3.6.3 Elementos del dibujo artístico

A diferencia de la Geometría Elemental, en el dibujo artístico, las ideas de punto, recta y plano

son definidas.

▪ El punto

Figura 3.2 Representación de un punto

No se define desde la geometría; pero si en las artes plásticas, es el elemento más sencillo y

esencial y se considera como una huella dejada un lápiz, plumón, pincel o cualquier material que

se utilice.

▪ La línea

Figura 3.3 Líneas trazadas

Imagen tomada de: https://cbmjoseantonio.files.wordpress.com/2015/04/lines-in-the-blog.jpg

Es una sucesión de puntos que según la dirección se clasifica en línea recta o curva, si los puntos

van en una misma dirección se habla de línea recta y si van en diferente dirección se obtiene una

línea curva.

▪ Volumen

La línea permite da formas y volumen y construir espacios, se puede hablar del espacio que

ocupa un cuerpo y hace alusión a la magnitud física que considera tres dimensiones largo, ancho

y alto.

https://cbmjoseantonio.files.wordpress.com/2015/04/lines-in-the-blog.jpg


79

▪ Forma

Las líneas configuran contornos y superficies que en esencia son formas y se clasifican en

regulares, irregulares, naturales y artificiales.

▪ Textura

La textura hace referencia a las características de las superficies pudiendo ser real o sugerida,

es real cuando podemos interactuar con ella. Las texturas pueden ser lisas, blandas, rugosas,

duras, ásperas etc.

3.7 La tecnología en el aula

La sociedad actual demanda un ciudadano con nuevas habilidades laborales, más activo, mejor

informado, más participativo, esto genera un nuevo desafío en el ámbito educativo. El auge de

las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC) en diferentes aspectos de la vida, hace

necesario no solo un conocimiento superficial si no más profundo sobre la forma como se accede

la información a través videos, imágenes, sonidos etc. (Kellner, 2004).

El mundo tiene un carácter geométrico, la geometría constituye una herramienta muy eficiente

para modelar el entorno, el Ministerio de Educación Nacional en el documento de los

lineamientos curriculares de matemáticas habla de la geometría dinámica que lleva al estudiante

a la exploración de su medio ambiente, la representación del espacio, la observación de las

propiedades de los objetos geométricos al realizar transformaciones para que construya

conceptos más fortalecidos.

Los ambientes de aprendizaje en el aula son muy importantes para favorecer la enseñanza. El

docente crea las condiciones necesarias para los procesos de aprendizaje (Jaramillo et al.,2005).

Las estrategias didácticas usadas en el aula de clase deben tener en cuenta dos aspectos

fundamentales el desarrollo de habilidades espaciales y la comprensión de los conceptos

geométricos de manera significativa, por esta razón la inclusión de herramientas tecnológicas

constituye una herramienta que favorece el desarrollo de competencias y habilidades del


pensamiento geométrico. Hoy en día el mercado ofrece software de geometría dinámica como el

GeoGebra, Cabri entre otros. Estos softwares permiten al estudiante mover las figuras y

observar que pasa con algunas de sus propiedades, tomemos el caso de la suma de los ángulos

interiores de un triángulo, al mover uno de los ángulos el estudiante observara que esa suma no

varía, además de verificar los diferentes valores que va tomando cada uno de ellos, favoreciendo

la formación de conceptos más generales y comprendiendo las propiedades de los diferentes

objetos geométricos, además permite resolver problemas al mover el objeto que sería muy difícil

de solucionar al estar el objeto fijo , es decir permite poner en marcha la estrategia heurística

recomendada por Polya que consiste en encontrar la solución a un problema usando varios

métodos.

A continuación, se describirá los softwares que pueden ser utilizados en la práctica de aula.

GeoGebra: Es un programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en

todos sus niveles. Ofrece representaciones diversas de objetos geométricos desde diferentes

perspectivas, ayuda a visualizar propiedades de un objeto en movimiento, además ofrece la

posibilidad de realizar construcciones geométricas de manera fácil con un trazo exacto que se

relacione todas las propiedades del objeto dibujado.

CAD: Es un software de diseño usado por los ingenieros para el diseño de piezas y estructuras

en 2D Y 3D. Hace uso de la geometría de referencia o geometría de construcción definiendo la

forma de una superficie o sólido, incluye elementos como planos, sistemas de coordenadas,

puntos.

3.8 Una propuesta didáctica para el desarrollo de las habilidades del pensamiento espacial para estudiantes de grado cuarto haciendo uso del dibujo artístico

La enseñanza de las matemáticas en la antigüedad era considerada un arte, de acuerdo con la

historia, infiero que las personas que se dedicaban a esta labor mostraban pasión por lo que

hacían.


81

El panorama actual de la educación es muy diferente y exige en primera medida motivar a

aprender usando metodologías que cautiven la atención y que hagan parte del entorno del

estudiante.

La propuesta se realizó teniendo en cuenta la edad de los estudiantes niños de 9 a 10 años y un

contexto llamativo como lo es el dibujo artístico, ya que los niños a esta edad muestran un interés

por expresiones artísticas, además las matemáticas y el dibujo artístico tienen elementos

comunes para su desarrollo, como la observación, la memoria visual y la orientación espacial

entre otras.

El propósito de las actividades presentadas en este trabajo es motivar y desarrollar habilidades

del pensamiento espacial que sean complementarias para adquirir los conocimientos

matemáticos reglamentados por el Ministerio de Educación Nacional, específicamente en el

grado cuarto de básica primaria a través del dibujo artístico.

Las actividades están diseñadas usando el modelo de las situaciones didácticas de Guy

Brouseeau que tienen el propósito de que el estudiante construya un conocimiento matemático

a partir de una situación problema que requiere su uso.

La teoría de las situaciones didácticas comienza en Francia con uno de sus precursores Guy

Brousseau que ve la necesidad de abordar la enseñanza desde una visión científica teniendo en

cuenta como se da el proceso de aprendizaje identificando los factores favorables y no favorables

en el proceso de enseñanza. Esta teoría está sustentada en una visión constructivista que

Brouseeau la define de esta manera: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor

de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana.

este saber fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nueva que son la

prueba del aprendizaje” (Brouseeau,2007).

La forma como el estudiante interactúa con el conocimiento se da en lo que Brousseau llama

situación didáctica y contempla relaciones entre estudiante, entorno y docente.


Dada el nivel de escolaridad y la edad de los niños a quienes van dirigida la propuesta, en la

estructura de cada actividad se tuvo en cuenta los dos primeros niveles de Van Hiele:

El primero es el Reconocimiento y Visualización y el segundo Análisis; así mismo se consideran

las cinco fases contempladas para cada nivel.

La secuencia didáctica cuenta con cuatros momentos: situación acción, situación comunicación,

situación validación y desarrollo de competencias, este último momento busca fortalecer la

conexión del tema disciplinar y la habilidad del pensamiento espacial trabajado.

A continuación, se relaciona cada etapa de la secuencia didáctica con los niveles de Van Hiele:

▪ Situación acción: Aquí se propone una situación problema que el estudiante debe resolver

usando una habilidad del pensamiento espacial a través del dibujo artístico.

▪ Situación de comunicación: Se plantea una actividad donde se relacionan los conceptos

matemáticos y del dibujo artístico a través de una habilidad del pensamiento espacial.

▪ Estos dos momentos iniciales se relacionan con el primer nivel de Van Hiele: el niño tiene

la posibilidad de observar láminas, pinturas o elementos de su entorno y relacionarlos con

figuras geométricas haciendo descripciones sencillas.

▪ Situación de validación: El estudiante resuelve una situación de carácter disciplinar usando

la habilidad del pensamiento espacial.

▪ Desarrolla tus competencias: Contempla la profundización de los temas disciplinares

relacionados con la habilidad trabajada en cada actividad y una serie de ejercicios que

entrelazan la habilidad y el conocimiento disciplinar.

En estas dos últimas etapas se evidencia el segundo nivel de Van Hiele, el análisis de

propiedades presentes en las figuras o situaciones geométricas observadas. El alcance del tercer

nivel dependerá de las habilidades de cada estudiante.


83

Ahora se describirá la relación de cada fase de los niveles de Van Hiele con la secuencia

didáctica.

Nivel de Reconocimiento y visualización

▪ En la situación acción: Al iniciar la actividad el docente informa a los estudiantes los

elementos del dibujo artístico que se van a trabajar (estos han sido vistos con anterioridad),

da las orientaciones necesarias para la realización de la actividad.

▪ En la situación comunicación: una vez terminada la actividad los estudiantes pueden

comunicar los resultados obtenidos, el docente puede plantear nuevas situaciones dando la

oportunidad al estudiante de resolver libremente dicha situación y por último motivar a

relacionar la actividad trabajada con los conocimientos previos, integrando los saberes.

Nivel de Análisis ▪ En la situación validación el docente informa al estudiante sobre la habilidad del

pensamiento espacial que se va a utilizar en la actividad, da las orientaciones e instrucciones

para resolverla, el estudiante comunica a los compañeros los argumentos matemáticos

tenidos en cuenta para la solución de las actividades. En la sección de desarrollo de

competencias el estudiante resuelve libremente los ejercicios planteados, integrando los

conocimientos previos con los nuevos e identificando la relación entre la habilidad del

pensamiento espacial con el tema disciplinar.

3.9 Propuesta de Actividades

A continuación, se detallará la estructura de cada actividad.

▪ Actividad 1: Veo, veo ¿Qué ves?

1. Habilidad: Reconocimiento de la figura aislándola de su contexto.

2. Temas: Líneas perpendiculares, paralelas y polígonos.


3. Elementos del dibujo artístico: Boceto.

4. Materiales: Lápiz, borrador, tajalápiz, regla, colores.

5. Objetivos:

▪ Realizar dibujos utilizando elementos geométricos.

▪ Percibir los detalles del espacio exterior para construir el concepto de línea abierta, cerrada

y polígonos.

6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran

actividades que están relacionadas con la Identificación de polígonos, líneas paralelas y

perpendiculares, y clasificación de polígonos convexos y no convexos.

▪ Actividad 2: Se parece, pero no es igual.

1. Habilidad: Discriminación visual

2. Temas: Clasificación de polígonos.

3. Elementos del dibujo artístico: Boceto.

4. Materiales: Lápiz, borrador, tajalápiz, regla, colores, figuras geométricas de diversos

tamaños y formas elaboradas en cartulina.

5. Objetivos:

▪ Comparar figuras bidimensionales

▪ Desarrollar el sentido de la observación.

▪ Realizar la clasificación de polígonos según sus características.


actividades de identificación y clasificación de triángulos y cuadriláteros.

▪ Actividad 3: Inventando el espacio

1. Habilidad: Memoria visual y ubicación espacial

2. Temas: Sistema de coordenadas cartesianas.

3. Elementos del dibujo artístico: Dibujo de memoria

4. Materiales: Lápiz, borrador, tajalápiz, regla, colores.

5. Objetivos:

▪ Recordar información que se ha obtenido visualmente.

▪ Fortalecer el sentido de orientación.

▪ Representar figuras geométricas usando el plano cartesianas.


85


actividades de ubicar figuras en el plano cartesiano.

▪ Actividad 4: Muévete, muévete

1. Habilidad: Relaciones espaciales

2. Temas: Movimientos rígidos en el plano: translación y simetría.

3. Elementos del dibujo artístico: Bodegón.

4. Materiales: Lápiz, regla, colores, borrador

5. Objetivos:

▪ Identificar los elementos invariantes de un objeto al moverse en el plano.

▪ Hallar el simétrico de una figura dado un eje de simetría.

▪ Observar los cambios de posición de los objetos de un conjunto.

▪ Representar los cambios de posición de objetos que hacen parte de un conjunto


actividades de trasladar figuras geométricas en el plano cartesiano y de obtener objetos

simétricos a otro.

▪ Actividad 5: Rotando, ando

1. Habilidad: Memoria visual y ubicación espacial.

2. Tema: Movimientos rígidos en el plano: rotación.

3. Elementos del dibujo artístico: Perspectiva, punto de fuga.

4. Materiales: Lápiz, regla, colores, borrador.

5. Objetivos:

▪ Fortalecer el sentido de orientación.

▪ Realizar movimientos en el plano.

▪ Identificar los movimientos en el plano realizados a una figura.

▪ Identificar las características de los objetos al moverse en el plano


actividades de rotación de figuras.


▪ Actividad 6: En busca del tesoro

1. Habilidad: Modelos y mapas.

2. Temas: Movimiento rígidos en el plano: traslaciones.

3. Dibujo artístico: Interpretación de información en un gráfico.

4. Materiales: Lápiz, borrador, hojas blancas, colores, plantillas de pentominós.

5. Objetivos:

▪ Utilizar sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones

espaciales.

▪ Trazar una ruta dada desde un punto inicial a un punto final.

▪ Realizar movimientos de traslación en el plano.


actividades de traslación de objetos en el plano cartesiano.

▪ Actividad 7: Construyendo con GeoGebra


2. Temas: Traslación y simetría

3. Objetivos:

▪ Identificar las herramientas del software GeoGebra para graficar polígonos y realizar

movimientos en el plano.

▪ Realizar traslaciones y simetrías de objetos utilizando las herramientas que brinda el

software.

▪ Dinamizar el aprendizaje de conceptos geométricos por medio de la exploración y

descubrimiento al interactuar con la interfaz.

▪ Actividad 8: Diseña tu espacio


2. Tema: Líneas y Polígonos

3. Objetivos:

▪ Identificar las herramientas del software CAD para diseñar objetos y espacios reales

▪ Realizar el diseño de espacios utilizando las herramientas de dibujo y de medida

▪ Visualizar espacios tridimensionales.


87

Imagen tomada de: https://tse1.mm.bing.net/th?id=OIP.barm5yyPvFQ9H6I-5tkUjwDsEI&pid=Api

1. ¿A qué personaje corresponde el boceto?

2. ¿Qué te llama la atención?

3. Teniendo en cuenta los detalles que se resaltan en el boceto, colócale un nombre a la

imagen.

Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo

Actividad 1 Veo, Veo ¿Qué ves?

Área de Matemáticas

Grado cuarto

Situación acción

Situación acción

https://tse1.mm.bing.net/th?id=OIP.barm5yyPvFQ9H6I-5tkUjwDsEI&pid=Api


Imagen tomada de: https://i.pinimg.com/originals/c4/aa/fe/c4f52afc.jpg

1. ¿Qué observas en la imagen?

2. ¿Qué te llama la atención?

3. Teniendo en cuenta los detalles que se resaltan en el boceto, colócale un

nombre a la imagen.

https://i.pinimg.com/originals/c4/aa/fe/c4f52afc.jpg


89

Observa la foto del centro de Tocaima. Encierra 4 lugares, escoge uno de ellos y realiza un

boceto.

Mi dibujo

Situación de comunicación



1. ¿Qué clase de líneas usaste en el boceto?

___________________________________________________________________________

2. Haz la lista de las figuras geométricas que usaste en el boceto

▪ ____________________

▪ ____________________

▪ ____________________

▪ ____________________

3. Relaciona cada parte de tu dibujo con una figura geométrica o una clase de línea y

regístralo en la siguiente tabla.

Parte del dibujo Figura geométrica


91

Realiza un dibujo:

Usando solo líneas curvas

Usando polígonos

Situación de validación



Desarrolla tus competencias

1. Cuenta el número de lados de cada polígono y escribe su nombre.

2. Identifica los lados paralelos y los lados perpendiculares de cada polígono y resáltalos

con colores.


93

3. Observa la recta y traza:

Una recta paralela de color rojo.

Una recta perpendicular de color verde

Una recta secante no perpendicular de color azul

4. Observa las rectas y con ayuda de la escuadra, completa:

▪ a y b son rectas

_______________________

▪ d y e son rectas

________________________

▪ a y d son rectas

________________________

▪ b y e son rectas

________________________


5. Recordemos las definiciones de polígono convexo y no convexo.

5. Encierra los polígonos convexos.

6. La siguiente imagen es la obra Paisaje Mediterráneo, realizada por Pablo Picasso.

Obsérvala e identifica en ella figuras geométricas, líneas paralelas y perpendiculares,

resáltalas con colores. Realiza un dibujo con las mismas figuras geométricas que

encontraste en esta obra.

Imagen tomada de: https://i.ytimg.com/vi/8Kb2wRNLjRA/hqdefault.jpg

Un polígono convexo es aquel en el cual toda diagonal, excepto sus extremos, queda en el interior del polígono. Un polígono no convexo es aquel que tiene por lo menos una diagonal, excepto sus extremos, que queda por fuera del polígono.

Un polígono convexo es aquel en el cual toda diagonal, excepto sus extremos, queda en el interior del polígono. Un polígono no convexo es aquel que tiene una diagonal, excepto sus extremos, queda por fuera del polígono.

https://i.ytimg.com/vi/8Kb2wRNLjRA/hqdefault.jpg


95

Mi dibujo Mi dibujo


1. Observa cada imagen detalladamente y a continuación escribe las diferencias.

Imagen tomada de:

http://4.bp.blogspot.com/3xB77Dfx0IY/UWIxtoaJTI/AAAAAAAAHJs/dIPNUb4XJPU/s1600/diferencias5.png


Actividad 2 Se parece, pero no es igual


Grado cuarto

Diferencias

Situación de acción


http://4.bp.blogspot.com/3xB77Dfx0IY/UWIxtoaJTI/AAAAAAAAHJs/dIPNUb4XJPU/s1600/diferencias5.png


97

Tomado de: http://4.bp.blogspot.com/-7_V4TRw4sWg/VeQsFD_FPsI/AAAAAAAAAIM/2hwkH4kzjkw/s1600/diferencias.jpg

Diferencias

http://4.bp.blogspot.com/-7_V4TRw4sWg/VeQsFD_FPsI/AAAAAAAAAIM/2hwkH4kzjkw/s1600/diferencias.jpg


Observa la imagen y dibújala en tu cuaderno copiando todos los detalles posibles. Después de dibujarla, compárala con la imagen original identificando las diferencias.

Imagen tomada de: https://tse1.mm.bing.net/th?id=OIP.JxUIutTBy-VZ2ZvVxet2ZgHaEK&pid=Api

Mi dibujo



https://tse1.mm.bing.net/th?id=OIP.JxUIutTBy-VZ2ZvVxet2ZgHaEK&pid=Api


99

Se realizan grupos de 4 estudiantes y cada grupo recibe un conjunto variado de figuras geométricas en tamaño y color elaboradas en cartulina. A. Clasifica los polígonos según el número de lados y dibújalos.

Tres lados Cuatro lados Cinco lados Mas de 5 lados




B. Forma grupos de polígonos que tengan una misma característica y dibújalos.

Característica_____________________ Nombra cada categoría. (Por ejemplo, en el ejercicio

anterior la característica fue el número de lados y sus categorías fueron el número de lados

específico).

C. Observa los siguientes triángulos, con la regla mide cada uno de sus lados y anota su medida.

1 2 3 4 5

Longitud (cm)

𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴C


101

▪ Un triángulo que tiene dos lados de igual longitud se llama Isósceles.

▪ Un triángulo que tiene tres lados de igual longitud se llama equilátero.

▪ Un triángulo que tiene sus tres lados de diferente medida se llama escaleno

Longitud (cm)


Longitud (cm)



D. Ahora mide la longitud de los lados de los cuadriláteros y anota su medida.

Longitud (cm)

𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷

Longitud (cm)



103

Longitud (cm)


Longitud (cm)



▪ Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos

de 90°.

▪ Un trapecio es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.

▪ Un trapecio isósceles es un trapecio que tiene al menos un par de lados opuestos no

paralelos e iguales.

▪ Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene todos sus ángulos de 90° y sus pares de lados

opuestos tienen igual medida.

▪ Un rombo es un cuadrilátero que tiene todos sus lados iguales.


105


1. Nombra los diferentes polígonos que aparecen en la figura.


2. Identifica los triángulos que hay en la figura y colorea según las instrucciones:

▪ De rojo los triángulos rectángulos

▪ De verde los triángulos isósceles

▪ De azul los triángulos escalenos

3. Observa cada una de las figuras geométricas que aparecen en el dibujo de la parte superior

derecha, identifícalas y construye con ellas la figura central de color blanco.

A.

.


107

B.

C.


4. Ayuda a Mateo a encontrar su mochila, esta tiene pintada un cuadrilátero con las siguientes

características:

Tiene dos ángulos agudos y dos ángulos obtusos, sus cuatro lados tienen la misma longitud y

dos pares de lados paralelos.

¿Cuál de los siguientes cuadriláteros corresponde a la descripción del polígono dibujado en la

maleta de Mateo?

5. Dibuja un cuadrilátero que corresponda a las características dadas.

A. un cuadrilátero en el que solamente un par de lados tengan la misma longitud.

A

A

B

B

C

C


109

B. Un cuadrilátero con todos los lados de diferente longitud.

C. Un cuadrilátero en el que solamente un

par de lados sean paralelos.


Observa la imagen por 5 minutos, memorízala, cúbrela y sin mirarla, dibújala en tu cuaderno de

la misma manera, incluyendo el mayor número de detalles posibles.

Después de dibujarla en tu cuaderno compárala con el dibujo dado inicialmente.


Actividad 3

Inventando el espacio


Grado cuarto




111

Observa cada una de las cuadrículas, memorízalas, cúbrelas y si mirarlas, dibújalas en tu cuaderno de la misma manera. Después de dibujarlas en tu cuaderno compáralas con las cuadriculas dadas inicialmente en la guía de trabajo.

.

Mi dibujo


Observa la imagen del centro de Tocaima. En una hoja blanca diseña una ruta que te lleve del

colegio a la iglesia. Incluye lugares conocidos y dibújalos anotando sus nombres. Incluye las

calles y carreras principales, y dibújalas anotando sus direcciones.




113

Esta es mi ruta



1. Observa atentamente, encuentra la regularidad y completa la secuencia


115

2. Observa los puntos ubicados en el plano y ubica los siguientes

puntos (1,1); (3,5); (5,2); (3,4).


3. Ubica los puntos en el plano y únelos en el

orden dado para descubrir la figura escondida.

(2,1); (6,1); (7,2); (7,4); (5,6); (2,6); (3,4). 4. Ubica los vértices de cada figura en el plano

cartesiano.

▪ Cuadrado: 𝐴(4,3); 𝐵(4,7); 𝐶(6,7). Halla el vértice 𝐷(____, _____).


117

▪ Pentágono: 𝐷(1,3); 𝐸(3,5); 𝐹(6,5); 𝐺(7,2). Halla el vértice 𝐻(____, ____).

▪ Hexágono: 𝑀(3,3);𝑁(4,5); 𝑂(7,5); 𝑃(10,4); 𝑄(7,2). Halla el vértice 𝑅(____, ____).


5. ¿Cuántos caminos posibles hay para llegar del punto (2,1) al punto (4,5), solo se permiten

desplazamientos hacia la derecha y hacia arriba.

Dibuja tres de los caminos posibles,

cada uno con diferente color.

6. Representa las figuras en el plano cartesiano. Halla su perímetro y área sabiendo que

cada cuadrado tiene de lado 1 𝑐𝑚.

a) Vértices de un cuadrado:

𝑀(2,2);𝑁(6,2); 𝑂(10,6); 𝑃(2,6)

Área_____________________

Perímetro_______________


119

b) Vértices de un rectángulo. 𝐴(1, 1); 𝐵(7,1); 𝐶(7,3); 𝐷(1,3).

Área_____________________

Perímetro________________

c) Vértices de un triángulo:

𝐶(2,2); 𝐷(5,2); 𝐸(2,5)

Área_____________________

Perímetro________________


d) Vértices trapecio 𝐴(1,2); 𝐵(3,4); 𝐶(6,4); 𝐷(7,2).

Área _____________________

Perímetro _________________


121

Se dispondrá sobre la mesa del salón varios elementos para que los niños los dibujen, deben

copiar todos los detalles posibles.

Después de 20 minutos se hará un cambio en la posición de los objetos y nuevamente los

estudiantes realizarán el dibujo.

Institución Educativa Departamental Hernán

Venegas Carrillo

Actividad 4

Muévete, muévete

Área de

Matemáticas

Grado cuarto



Observa el siguiente cuadro

Contesta las siguientes preguntas: ¿Dónde se encuentra la piña con respecto a la maleta?

¿Dónde se encuentra el libro con respecto a las flores? ¿Dónde se encuentra el lápiz con respecto al libro?


123

Dibuja sobre una mesa: una maleta, un lápiz, un libro, una piña, flores de acuerdo con las

siguientes instrucciones:

La maleta está detrás de todos los objetos, la piña está a la izquierda del libro, las flores están

detrás del libro y el lápiz está a la derecha de la piña.

MI DIBUJO


A. Colorea los objetos que están a la derecha del rallador.

B. Colorea los objetos que están a la izquierda del carrete de hilo.

Situación de comunicación.


125

C. Colorea los objetos que están a la izquierda del lápiz y a la derecha del exprimidor.

D. Colorea los objetos que están arriba del gancho de colgar y debajo de la aspiradora.


E. Colorea los objetos que estén arriba de la regla, debajo de la aspiradora y a la derecha de

la pinza de ropa.

Se realizarán grupos de cuatro estudiantes y a cada grupo se le entrega un plano del colegio IED

Hernán Venegas Carrillo, pero sin algunos detalles, cada grupo deberá completar este plano

incluyendo los elementos que hagan falta, para ello harán un recorrido por las instalaciones del

colegio partiendo de algunos puntos de referencia dados en el plano inicial.




127

Plano de la IED Hernán Venegas Carrillo

Zona verde

Zona verde

Cancha

Cancha

Aula múltiple

Aula múltiple

Coordinación

Coordinación

Comedor

Comedor

Sección primaria

Sección primaria

Sección

secundaria

Sección

secundaria


Desarrollo de competencias

1. Observa detenidamente encuentra la regularidad y completa la secuencia.


129

2. Rotando y trasladando objetos

En cada caso completa la figura de la derecha para que sea la simétrica de la figura de la

izquierda.


3. Dibuja la estrella simétrica con respecto a la recta �⃗⃗�

4. Observa la figura

▪ Halla las coordenadas de los vértices del triángulo negro.

▪ Dibuja con rojo el simétrico del triángulo negro con respecto a la recta roja.

▪ Halla las coordenadas de los vértices del triángulo rojo.

▪ Halla el área del triángulo negro, y el triángulo rojo.


131

4. Observa la figura

▪ Halla las coordenadas del rectángulo azul.

▪ Dibuja con color morado el simétrico del rectángulo azul con respecto a la recta verde.

▪ Halla las coordenadas de los vértices del rectángulo morado.

▪ Halla el área del rectángulo azul, y el rectángulo morado.


Observa la imagen: Dibuja los globos proporcionalmente más pequeños a medida que se vayan alejando en el

horizonte. Completa la hilera de árboles y dibuja los detalles que creas necesarios en el paisaje.

Imagen tomada de: https://i2.wp.com/webdelmaestro.com/wp-content/uploads/2017/02/Perspectiva-para-primaria-1.jpg?resize=600%2C800&ssl=1


Actividad 5

Rotando, ando


Grado

cuarto

Situación acción

Situación acción

https://i2.wp.com/webdelmaestro.com/wp-content/uploads/2017/02/Perspectiva-para-primaria-1.jpg?resize=600%2C800&ssl=1


133

Dibuja más vagones del tren

Imagen tomada de:https://i1.wp.com/webdelmaestro.com/wp-content/uploads/2017/02/Perspectiva-para-completar.jpg?resize=768%2C533&ssl=1

María y Juan observan la regadera:

https://i1.wp.com/webdelmaestro.com/wp-content/uploads/2017/02/Perspectiva-para-completar.jpg?resize=768%2C533&ssl=1


Observa a Bart

Dibuja como ve María la regadera

Dibuja como ve Juan la regadera


135

Dibuja a Bart de espalda

Mi dibujo

Dibuja las vistas de la figura de la derecha. Colorea del mismo color cada cara de la perspectiva

y su vista correspondiente.



137



1. Observa el reloj

Teniendo en cuenta el primer reloj que ángulo se roto en:

▪ El reloj 1 _______________

▪ El reloj 2 ________________

▪ El reloj 3________________

1

1

2

3

3


139

2. Rota cada figura alrededor del punto indicado.

90° hacia la derecha 180° hacia la izquierda

3. Gira 90 la figura para completar la serie.

?


4. Relaciona con una línea la figura de la izquierda con la figura que se obtiene al realizar

la rotación indicada.

Rota 180°a la derecha

Rota 90° a la izquierda

Rota 180°a la izquierda

Rota 90° a la derecha


141

5. Utiliza el transportador y verifica que ángulo giro cada insecto .

.


Observa el mapa de Tocaima e identifica los lugares señalados con las estrellas.

Imagen tomada de: https://maps.google.com/

▪ _____________________

▪ _____________________

▪ _______________________


Actividad 6 En busca del tesoro


Grado cuarto

Situación acción

Situación acción

https://maps.google.com/


143

Se realizan 5 grupos de estudiantes y a cada grupo se le asigna un lugar particular del colegio

(Cancha deportiva, cafetería, aula múltiple, área de Administración, Comedor).

Cada grupo conoce solamente cuál es su lugar asignado y no sabe qué lugares les

correspondieron a los otros grupos.

Cada grupo debe esconder en el sitio asignado un objeto, realizar un mapa del colegio con los

lugares característicos escribiendo su nombre en todos los lugares excepto en el lugar donde

escondió el objeto y colocando allí una estrella. Los demás grupos deben encontrar el objeto

escondido.




Pentominós:Un pentominó es una poliforma que consiste en una figura geométrica compuesta

por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentominós diferentes, que se nombran

con diferentes letras del abecedario

. Imagen tomada de: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Pentominos.svg/1200px-Pentominos.svg.png



https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Pentominos.svg/1200px-Pentominos.svg.png


145

1. Observa cada una de las figuras, colorea de forma que los pentominós encajen.


2. Recorta los 12 pentominós y arma las figuras que encuentras a continuación, recuerda que

puedes girar y voltear las piezas.

Una vez armada cada figura dibuja la solución en el cuaderno.


147


149


151

Desarrolla tus competencias Realiza la translación a cada figura:

1. Traslada el murciélago 2 unidades hacia abajo.


2. Traslada la nave espacial 3 unidades hacia la derecha y una hacia abajo.

3. Traslada la enfermera 4 unidades hacia la derecha


153

4. Traslada el caracol 3 unidades hacia abajo y 2 hacia la derecha.

5. Describe la translación realizada a la figura de color verde.


6. Describe la translación realizada a la figura roja.


155

Ejercicio 1: Traslada con GeoGebra

Utilizaras geogebra para realizar una construccion, sigue los pasos:

a) Identifica en la barra, la herramienta poligono, construye un cuadrado.

Institución Educativa Departamental Hernán

Venegas Carrillo

Actividad 7 Construye con GeoGebra


Grado cuarto

b) A continuación, construye un triángulo sobre cada lado del

cuadrado como se ilustra en la figura.

b) A continuación, construye un triángulo sobre cada lado del

cuadrado como se ilustra en la figura.


c) Con la herramienta punto, dibuja cada vértice de la figura moviéndolo

seis unidades hacia la derecha y unidad hacia arriba.

c) Con la herramienta punto, dibuja cada vértice de la figura moviéndolo

seis unidades hacia la derecha y unidad hacia arriba.

d)Con la herramienta polígono

une los vértices y forma la

figura.

d)Con la herramienta polígono

une los vértices y forma la

figura.


157

Ahora construye nuevamente la figura inicial y utiliza la herramienta traslación.

Escoge la herramienta traslación, da clic sobre el objeto, elige un vértice y a continuación

traza el vector. (seis unidades hacia la derecha y una hacia arriba).

Escoge la herramienta traslación, da clic sobre el objeto, elige un vértice y a continuación

traza el vector. (seis unidades hacia la derecha y una hacia arriba).


Ejercicio 2: Al derecho y al revés. Sigue los siguientes pasos:

a) Con la herramienta polígono construye la siguiente figura.

a) Con la herramienta polígono construye la siguiente figura.

b) A partir del vértice K cuenta dos

unidades hacia la derecha y traza una recta

vertical.

b) A partir del vértice K cuenta dos

unidades hacia la derecha y traza una recta

vertical.


159

d) Con la herramienta polígono une los

vértices de la figura.

d) Con la herramienta polígono une los

vértices de la figura.

c) Mueve cada vértice de la figura dos

unidades hacia la derecha a parir de la

línea que trazaste.

c) Mueve cada vértice de la figura dos

unidades hacia la derecha a parir de la

línea que trazaste.


Ahora nuevamente construye la figura inicial y con la herramienta simetría axial:

Da clic en la figura y a continuación en la recta.

Obtendrás una figura simétrica al lado derecho.

Da clic en la figura y a continuación en la recta.

Obtendrás una figura simétrica al lado derecho.


161


Actividad 8 Diseña tu espacio


Grado cuarto

Identificar en la barra: herramientas de dibujo, de modificación, anotación.

Identificar en la barra: herramientas de dibujo, de modificación, anotación.

Escoger la

escala del

dibujo


Se realiza el diseño de una cancha de fútbol reglamentaria ubicando las líneas de demarcación: laterales, medio campo, círculo central, áreas, arcos y esquinas. Para ello se utiliza una escala de 1: 10.

Imagen tomada de: https://designscad.com/wp-content/uploads/2017/01/football_field_atle_dwg_plan_for_autocad_38766.gif Se realizarán diseños de objetos como: ▪ Sillas

▪ Tornillos

▪ Muebles

Imagen tomada de: http://1.bp.blogspot.com/-_7XcfQmpeAU/VDVT8x7kV5I/AAAAAAAAJPg/xsh9PsN7DN0/s1600/portada.PNG

I Imagen tomada de: https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.hNf6XpyfCTj2GE5zXtHx2gHaDt&pid=Api

https://designscad.com/wp-content/uploads/2017/01/football_field_atle_dwg_plan_for_autocad_38766.gif

http://1.bp.blogspot.com/-_7XcfQmpeAU/VDVT8x7kV5I/AAAAAAAAJPg/xsh9PsN7DN0/s1600/portada.PNG

https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.hNf6XpyfCTj2GE5zXtHx2gHaDt&pid=Api


163

4 Conclusiones y recomendaciones

A continuación, se señalan algunas conclusiones y recomendaciones derivadas de la

realización de este trabajo.

Es de anotar que las actividades propuestas no se pudieron aplicar a causa de la

pandemia del COVID 19 del año 2020, además de problemas logísticos como la

conectividad en el municipio de Tocaima. Por lo tanto, no se tienen observaciones del

trabajo de los estudiantes.

4.1 Conclusiones

La historia de la matemática nos muestra cómo evolucionan los conceptos matemáticos.

A través de la historia aprendemos que las matemáticas son una construcción social;

además, nos brinda elementos que pueden ser usados en el proceso de enseñanza -

aprendizaje.

La enseñanza de la geometría no debe limitarse a los contenidos convencionales, es

necesario también fortalecer las habilidades del pensamiento espacial que

complementen el aprendizaje. El desarrollo del pensamiento espacial y el conocimiento

se entretejen para alcanzar una competencia intelectual.

Es importante identificar elementos comunes de la geometría con otras disciplinas e

integrarlas para diseñar actividades que enriquezcan el contexto de enseñanza.

Además, la estrategia de enseñanza debe estar acorde con las edades de los

estudiantes, debe ser llamativa para lograr motivar e iniciar el proceso de aprendizaje.

En particular el dibujo artístico ofrece la posibilidad de desarrollar las habilidades del

pensamiento espacial; el dibujo es una forma de expresión y el hombre lo ha utilizado

desde la edad prehistórica para comunicar situaciones y hechos de su cotidianidad, la


realización de un dibujo requiere además de un sentido agudo de observación, reconocer

formas, usar adecuadamente el espacio para las representaciones de objetos, memoria

visual, entre otras. Los niños gustan de dibujar, sus dibujos representan además de sus

emociones y sentimientos la percepción de la realidad, por esta razón se considera

importante utilizarlo para mejorar no solo las habilidades del pensamiento espacial, sino

también la estética de sus representaciones reconociendo que para obtener algo bello

se requiere de un uso consciente del conocimiento geométrico.

La construcción del conocimiento no debe ser estática, ante todo debe permitir al

estudiante expresarse y dar solución a problemas propuestos en el aula, el docente en

su rol de orientador debe tener claros los objetivos a lograr con cada uno de los temas a

tratar eligiendo la estrategia adecuada que permita el aprendizaje.

Históricamente la geometría ha requerido de los dibujos para la representación y ha sido

un elemento útil para la comprensión. Ahora bien, en particular en el Renacimiento con

el nacimiento de la geometría proyectiva aparecen las conexiones entre el arte y la

matemática, viéndose reflejadas en las obras artísticas.

Herramientas tecnológicas modernas como por ejemplo el GeoGebra permiten explorar

regularidades y patrones como insumos para establecer conjeturas y llegar a resultados

matemáticos, que a veces no son visibles en los niveles escolares.

Otras herramientas como el CAD, usadas en el dibujo artístico permiten crear espacios

reales que contribuyen al desarrollo de las habilidades del pensamiento espacial.

4.2 Recomendaciones

Es recomendable relacionar la habilidad que se quiere desarrollar con los elementos del

dibujo artístico y de las temáticas en matemáticas a las cuales se quiere aproximar al

estudiante para el diseño de las actividades.

Cada actividad propicia el desarrollo de ciertas habilidades que permiten aproximar al

estudiante al aprendizaje de la geometría, pero una vez desarrolladas es pertinente


165

complementarlas proponiendo a los estudiantes problemas que involucren un mayor

nivel de complejidad.

El centro de atención del trabajo es el desarrollo de habilidades del pensamiento espacial

y las actividades se proponen para tal fin. En este sentido aparecen temas de

investigación acerca de otras formas, además del dibujo artístico, que permitan

desarrollar las habilidades en mención.

Es importante analizar las soluciones que los estudiantes dan a cada una de las

situaciones planteadas para identificar cuáles son las principales dificultades y diseñar

actividades que favorezcan el desarrollo de una habilidad en particular.

El docente debe conocer el entorno en el que se desarrollan los estudiantes y diseñar

estrategias de enseñanza que respondan a sus necesidades reales.


Bibliografía

1. Boyer,C.(1986).A History of Mathematics. Estados Unidos: Wiley.

2. Efland, A. (2004). Arte y cognición. La integración de las artes visuales en el currículum.

Barcelona: Octaedro.

3. Gardner. (1999). Estructuras de la mente La teoría de las inteligencias múltiples. México.

Fondo de Cultura Económica.

4. Gutiérrez, A & Jaime, A. (1988). On the assessment of the Van Hiele levels of

reasoning. Focus on Learning Problems in Mathematics. 20(2, 3), 27-46.

5. Gutierrez, A. (1993). Procesos y habilidades en visualización espacial, en Memorias del

Tercer Simposio Internacional sobre Investigación en Educación Matemática: Geometria

(pp. 44-59) México: CINVESTAV.

6. Kline, M. (1972). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. España:

Alianza Editorial.

7. Lafaid, E. (2018). La geometría para la vida y su enseñanza. Aibi Revista de investigación,

administración e ingeniería. 6 (2).

8. Ministerio de Educación Nacional. (2016) Derechos Básicos de Aprendizaje.V.2.

Matemáticas. Recuperado de: www.colombiaprende.com.

9. Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos curriculares Matemáticas.

Recuperado de: www.mineducación.gov.co.

http://www.colombiaprende.com/

http://www.mineducación.gov.co/


167

10. Moise, E & Downs, F. (1986). Geometría Moderna. Estados Unidos: Addison –Wesley

Iberoamericana.

11. Murcia, M y Henao, J. (2015). Educación matemática en Colombia, una perspectiva

evolucionaria. Entre Ciencia e Ingeniería, Año 9 (18), 23 – 30.

12. Piaget, J. (1988). Psicología evolutiva de Jean Piaget. Cuarta edición. México. Paidós

Mexicana, S. A.

13. Pittalis, M y Christou, C. (2010). Types of reasoning in 3D geometry thinking and their

relation whit spatial ability.Educ Stud Math,75, 191-212. DOI: 10.1007/S10649-010-9251-8.

14. Principles and Standars for School Mathematics. (2000). NCTM.

15. Sánchez, J. (1999). Geometría descriptiva. México Alfa Omega.

16. Santos, L. (1993). La naturaleza de las matemáticas y sus implicaciones didácticas.

Revista Mathesis. Vol. (9)

17. Stewart I. Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Recuperado de

www.librosmaravillosos.com por Patricio Barros.

http://www.librosmaravillosos.com/

desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en

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