CRITERIO DE KELLY APLICADO A LA SELECCIN DE PORTAFOLIOPaula Andrea Rojas

RESUMENEste trabajo explica de manera simple la estructura del criterio de Kelly y como se ha adaptado con el paso del tiempo de manera que no slo es aplicable al universo de las apuestas. En segundo lugar, se muestra a travs de un ejemplo corto y sencillo la utilidad e importancia de este modelo al momento de realizar seleccin de portafolio de manera ptima.PALABRAS CLAVE: criterio de Kelly, Optimizacin, Seleccin de Portafolio, diversificacin.

ABSTRACTThis paper works on explain in a simple way the structure of the Kelly criterion and how this model has been adapted to be applied not only in the gambling universe. Secondly, it shows trhough an short and easy example how useful and important is this model when we are doing optimal portfolio selection.KEY WORDS: Kelly Criterion, Optimization, Portfolio selection, Diversification.

INTRODUCCINHarry Markowitz, hacia 1952, fue el primero en interesarse por la diversificacin de los portafolios, pues anterior a su trabajo, los inversionistas se inclinaban por la maximizacin de los retornos, invirtiendo la totalidad de su capital en el activo que contara con la mayor rentabilidad esperada.Su aporte demostr que los inversionistas deben poner su capital en portafolios de activos minimizando su exposicin al riesgo no sistemtico, y manteniendo a su vez un nivel esperado de rentabilidad, conformando a su vez estos portafolios con activos cuyo comportamiento est poco correlacionado. Simplific su modelo a travs del anlisis de tres elementos: el retorno, la varianza y la covarianza. Estableci que puede haber mltiples combinaciones eficientes de activos, que al combinarse generan la conocida frontera eficiente, donde no existe algn portafolio que genere mayores rendimiento dado un nivel de riesgo, o alguno que contemple menos riesgo dada una rentabilidad.Figura 1: Frontera Eficiente. (Garca Gmez, 2012)De esta se teora se desprendieron nuevos modelos cuyas contribuciones ms representativas para la teora financiera moderna se dieron por parte de autores como Sharpe, Tobin, Modigliani y Miller.Otra muestra de ello es el criterio de Kelly, formulado por John Kelly en 1956 (Kim & Jung, 2013)y sobre el cual se han hecho diversas generalizaciones y extensiones por varios investigadores como Rothstein, Thorp, Bellman,Brieman, entre otros; criterio a travs del cual es posible estimar el tamao ptimo de cada posicin en el portafolio dado el capital y garantizando la viabilidad del sistema de inversin en un horizonte amplio de tiempo. Este documento se encuentra fundamentado en las contribuciones de Kim y Jung.

EL CRITERIO DE KELLYEl principal objetivo del criterio de Kelly es determinar la proporcin ptima de capital a invertir a travs de la maximizacin de la tasa de crecimiento de los rendimientos de la inversin. Incorpora algunos supuestos (Kim & Jung, 2013): El retorno esperado debe ser mayor a cero. Debe ser posible reinvertir los flujos obtenidos. Los flujos de efectivo deben seguir procesos de Bernoulli. Los flujos finales deben ser independientes. El horizonte de inversin es largo. Debe ser posible dividir infinitesimalmente la inversin de capital.Dado lo anterior, de manera general, su frmula est dada por:(1)

Ahora bien, las prdidas o ganancias que se deriven de una inversin/apuesta, se pueden expresar de la siguiente manera:(2)

Al repetir la apuesta N veces, entendiendo , el capital acumulado ser:(3)

Despus de realizar la apuesta durante un amplio horizonte de tiempo, se tiene la siguiente expresin para la tasa de retorno:(4)

La fraccin ptima que maximiza la tasa de crecimiento del rendimiento sera:

(5)

Finalmente, la mxima tasa de crecimiento del rendimiento se denotara:(6)

APLICACIN DEL CRITERIO DE KELLY A LA SELECCIN DE PORTAFOLIOAl aplicar el modelo a las inversiones con acciones, este no es vlido en su forma general, por lo que se requiere reexpresarlo:

(7)

Y,(8)

Entonces:(9)

(10)

(11)

Para determinar cmo se puede construir un portafolio ptimo a travs del criterio de Kelly a partir de datos reales, se tomaron los datos diarios de cuatro de las empresas colombianas que cotizan en la bolsa de NY: Bancolombia, Ecopetrol, Sura e Isagen desde febrero de 2012 hasta noviembre de 2014.Tabla 1: Informacin y parmetros para la aplicacin del criterio de Kelly.ActivoRetorno diario promediopWin ratioLoss ratioW/L

ISAGEN 0,001305 0,0196940,8181821,2222220,669421

SURA 0,000072 0,0131290,4615382,1666670,213018

ECOPETROL 0,001828 0,5032821,0222220,9782611,044938

BANCOLOMBIA 0,000418 0,4682710,8879671,1261680,788485

ActivoRetorno diario promediopWin ratioLoss ratioW/Lf*g(f*)

ISAGEN 0,001305 0,0196940,8181821,2222220,669421-1,4447151,358796

SURA 0,000072 0,0131290,4615382,1666670,213018-4,6196812,306668

ECOPETROL 0,001828 0,5032821,0222220,9782611,0449380,0279260,801543

BANCOLOMBIA 0,000418 0,4682710,8879671,1261680,788485-0,2060960,846134

Este sencillo ejercicio sugiere que el inversionista debe poner una pequea porcin de su capital en Ecopetrol, y la participacin restante, en activos libres de riesgo, esto teniendo en cuenta que Ecopetrol es la nica de las acciones observadas que reporta un mayor nmero de momentos en los que report ganancias versus el nmero de prdidas en el intervalo de tiempo observado.

CONCLUSINEn general, el criterio de Kelly es un mtodo que permite maximizar las ganancias y reducir las probabilidades de perder, es aplicable a los mercados financieros, facilitando que la gente se lucre de ellos, como se ha demostrado en toda la literatura que trata el asunto. Sin embargo, es importante tener en cuenta, que este modelo no es efectivo cuando se habla de pocas apuestas y cuando las probabilidades son estocsticas.khkhk(Ravipati, 2012)BIBLIOGRAFA

Garca Gmez, E. (2012). Seleccin de portafolios eficientes de inversin a travs de carteras colectivas.Kim, G., & Jung, S. (2013). The Construction of the Optimal Investment Portfolio Using the Kelly Criterion. World Journal of Social Sciences, 3(6), 1526.Ravipati, A. (2012). Markowitzs portfolio selection model and related problems.