Maturín, Febrero del 2017

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

EXTENSIÓN MATURÍN

CONTROLADORES Y ACCIONES DE CONTROL.

Autor: Jeickson A. Sulbaran M.

Tutora: Ing. Mariangela Pollonais

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ÍNDICE GENERAL:

Pág.

INTRODUCCIÓN………………………………………………………………….. 03

ESQUEMA DE UN SISTEMA DE CONTROL…………………………….….…. 04

DEFINICIÓN DE CONTROLADOR…………..………………………………….. 05

COMPENSACIÓN EN ADELANTO……………………………………………… 06

COMPENSACIÓN EN ATRASO…………….…………………………………… 06

TIPOS DE CONTROLADORES Y EL MODELO MATEMÁTICO QUE DEFINE

A CADA UNO………………………….…………………………………………...

07

ACCIONES DE CONTROL EN LA RESPUESTA DEL SISTEMA………….….. 09

EJEMPLO PRÁCTICO…………………………………………………….………. 11

CONCLUSIÓN…………………………………………………………………….. 12

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………….………………….. 13

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INTRODUCCIÓN:

Un sistema de control, es un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de una

serie de elementos que permiten influir en el funcionamiento del sistema. La finalidad es

conseguir, mediante la manipulación de las variables de control, un dominio sobre las

variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores prefijados (consigna). Además,

la dinámica del esquema de un sistema de control, se puede representar por su diagrama en

bloques y su función de transferencia. Cuando se habla de un sistema de control, esto

involucra varios elementos, dependiendo de la configuración; pero, el más importante es el

llamado controlador o compensador, cuya razón de ser, es la de modificar el comportamiento

libre del sistema y obligarlo a que siga un comportamiento controlado específico. Teniendo

en cuenta que, la palabra compensador indica que su acción sobre el sistema es tal que,

compensa las fallas que tiene éste para alcanzar el comportamiento deseado.

Aunado a ello, un controlador tiene como tarea la de mantener la variable controlada

en correspondencia muy próxima con la señal de referencia, eliminando la influencia de las

perturbaciones que tienden a cambiar el valor de la variable controlada. La acción de control

de un controlador, se define como la relación entre el error en la señal de salida (𝑒(𝑡)) y la

señal actuante (𝑢(𝑡)). En tal sentido, se aborda el esquema de un sistema de control, ¿Qué es

un controlador o regulador?, compensación en adelanto y en atraso, tipos de controladores

con su respectivo modelo matemático que lo define, acciones de control de acuerdo a los

controladores industriales y un ejemplo práctico.

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ESQUEMA DE UN SISTEMA DE CONTROL:

Los elementos básicos que forman parte del esquema de un sistema de control y

permiten su manipulación son los siguientes: Sensores: Permiten conocer los valores de las

variables medidas del sistema. Controlador: Utilizando los valores determinados por los

sensores y la consigna impuesta, calcula la acción que debe aplicarse para modificar las

variables de control en base a cierta estrategia. Actuador: Es el mecanismo que ejecuta la

acción calculada por el controlador y que modifica las variables de control.

En la siguiente figura ilustra el esquema de funcionamiento de un sistema de control

genérico.

Figura 1: Esquema general de un sistema de control.

A continuación, un ejemplo conocido como, el regulador de Watt, también llamado

regulador centrífugo, fue un invento de James Watt en 1788, donde permitía que

las máquinas de vapor pudieran mantener una velocidad constante. Entonces, en el sistema

de control de velocidad, donde el principio básico del regulador de velocidad de Watt para

una máquina se ilustra en el diagrama esquemático de la Figura 2. La cantidad de combustible

que se admite en la máquina se ajusta de acuerdo con la diferencia entre la velocidad de la

máquina que se pretende y la velocidad real.

En este sistema de control de velocidad, la planta (el sistema controlado) es la

máquina y la variable controlada es la velocidad de la misma. La diferencia entre la velocidad

deseada y la velocidad real es la señal de error. La señal de control (la cantidad de

combustible) que se va a aplicar a la planta (la máquina) es la señal de actuación. La entrada

externa que se aplica para alterar la variable controlada es la perturbación. Un cambio

inesperado en la carga es una perturbación.

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Figura 2: Regulador centrífugo de Watt para el control de velocidad de una máquina de

vapor y su esquema como sistema de control.

DEFINICIÓN DE CONTROLADOR:

El término controlador en un sistema de control con retroalimentación, a menudo está

asociado con los elementos de la trayectoria directa entre la señal actuante (error) 𝑒 y la

variable de control 𝑢. Entonces, es un dispositivo operado digitalmente, que usa una memoria

para el almacenamiento interno de instrucciones con el fin de implementar funciones

específicas, tales como lógica, secuenciación, registro y control de tiempos, conteo y

operaciones aritméticas, para controlar a través de entradas y de salidas digitales o analógicas,

varios tipos de máquinas o procesos. Por otro lado, se concibe como una computadora

utilizada en la ingeniería automática o automatización industrial, para automatizar

procesos electromecánicos, tales como el control de la maquinaria de la fábrica en líneas de

montaje o atracciones mecánicas.

Figura 3: Controlador o regulador.

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COMPENSACIÓN EN ADELANTO:

Un compensador de adelanto de fase hará descender la ganancia de baja frecuencia y

elevará el ángulo de fase de la frecuencia media total, relativas a la frecuencia de corte

determinada por la constante de tiempo T. Normalmente se utiliza para mejorar el margen de

fase. Es decir, puede mejorar la estabilidad relativa del sistema. Para compensar la pérdida

de ganancia, es común aplicar una compensación de ganancia. El efecto combinado de estos

dos compensadores se puede utilizar para incrementar el ancho de banda del sistema y, por

ende, la velocidad de respuesta. Veamos la función de transferencia (F.T):

𝐺𝑐(𝑠) =𝑟(1 + 𝑇𝑠)

1 + 𝑟𝑇𝑠; 𝑟 < 1

Figura 4: Respuesta en Frecuencia.

COMPENSACIÓN EN ATRASO:

El efecto principal de la compensación en atraso es reducir la ganancia de alta

frecuencia (acrecentar la atenuación) en tanto que el ángulo de fase decrece en la región de

frecuencia baja a media (aumenta el atraso de fase). Asimismo, un compensador de atraso

puede hacer que disminuya el ancho de banda del sistema y/o los márgenes de ganancia, y

en general puede ocasionar que un sistema sea más lento. Generalmente se utiliza para

mejorar el comportamiento en estado estacionario (el error permisible o la precisión del

sistema). Veamos la función de transferencia (F.T):

𝐺𝑐(𝑠) =1 + 𝑇𝑠

1 +1

𝑟𝑇𝑠

; 1

𝑟> 1

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Figura 5: Respuesta en Frecuencia.

TIPOS DE CONTROLADORES Y EL MODELO MATEMÁTICO QUE

DEFINE A CADA UNO:

Los controladores industriales se clasifican, de acuerdo con sus acciones de control,

como:

Controlador de dos posiciones o de encendido y apagado (Controlador ON/OFF):

Son los sistemas de control más básicos. Estos envían una señal de activación (si, encendido

o 1) cuando la señal de entrada es menor que un nivel de referencia (definido previamente),

y desactivan la señal de salida (no, apagado o 0) cuando la señal de entrada es mayor que la

señal de referencia. Si tenemos una señal de salida del controlador 𝑢(𝑡) y una señal de error

𝑒(𝑡), en el control de dos posiciones, la señal 𝑢(𝑡) permanece en un valor ya sea máximo o

mínimo, dependiendo si la señal de error es positiva o negativa.

Modelo Matemático: 𝑢(𝑡) = 𝑈1; 𝑒(𝑡) > 0 y 𝑢(𝑡) = 𝑈2; 𝑒(𝑡) < 0

Donde, 𝑈1 y 𝑈2 son constantes.

Controlador proporcional (Controlador P): Es una de las acciones de control

empleadas en los lazos de regulación automática. Entonces, consiste en la multiplicación

entre la señal de error actuante y la sensibilidad proporcional o ganancia como para que hagan

que el error en estado estacionario sea casi nulo.

Modelo Matemático: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡)

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Función de Transferencia: 𝐶𝑃(𝑠) = 𝐾𝑝

Donde:

𝑢(𝑡): Salida del controlador proporcional.

𝐾𝑝: Ganancia proporcional.

𝑒(𝑡): Error de proceso instantáneo en el tiempo t. 𝑒(𝑡) = 𝑆𝑃 − 𝑃𝑉

𝑆𝑃: Punto establecido.

𝑃𝑉: Proceso variable.

Controlador integral (Controlador I): Es la acción de control donde el valor de la

salida varía proporcionalmente a la señal de error actuante. Esta da una salida del controlador

que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

Es decir, el inconveniente del controlador integral es que la respuesta inicial es muy lenta, y,

el controlador no empieza a ser efectivo hasta haber transcurrido un cierto tiempo. En

cambio, anula el error remanente que presenta el controlador proporcional.

𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥𝐨 𝐌𝐚𝐭𝐞𝐦á𝐭𝐢𝐜𝐨: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0

𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚: 𝐶𝐼(𝑠) =𝐾𝑖

𝑠

La señal de control 𝑢(𝑡) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error 𝑒(𝑡)

es cero. Por lo que se concluye que, dada una referencia constante, o perturbaciones, el error

en régimen permanente es cero.

Controlador proporcional-integral (Controlador PI): Con un control proporcional,

es necesario que exista error para tener una acción de control distinta de cero. Con acción

integral, un error pequeño positivo siempre nos dará una acción de control creciente, y si

fuera negativo la señal de control será decreciente. Este razonamiento sencillo nos muestra

que el error en régimen permanente será siempre cero. Para contrarrestar este efecto, la

acción integral se utiliza generalmente en conjunción con acción proporcional que constituye

el regulador PI.

𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥𝐨 𝐌𝐚𝐭𝐞𝐦á𝐭𝐢𝐜𝐨: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) +𝐾𝑃

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡

𝑡

0

𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚: 𝐶𝑃𝐼(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +1

𝑇𝑖𝑠)

Donde, 𝑇𝑖 se denomina tiempo integral y es quien ajusta la acción integral.

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Controlador proporcional-derivativo (Controlador PD): Esta acción tiene carácter

de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la desventaja

importante que amplifica las señales de ruido y puede provocar saturación en el actuador. La

acción de control derivativa nunca se utiliza por sí sola, debido a que sólo es eficaz durante

períodos transitorios. Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador

proporcional, permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir, que responde a la

velocidad del cambio del error y produce una corrección significativa antes de que la

magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no afecta en

forma directa al error (𝐸𝐴) estado estacionario, añade amortiguamiento al sistema y, por

tanto, permite un valor más grande que la ganancia 𝐾, lo cual provoca una mejora en la

precision en estado estable.

𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥𝐨 𝐌𝐚𝐭𝐞𝐦á𝐭𝐢𝐜𝐨: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡

𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚: 𝐶𝑃𝐷(𝑠) = 𝐾𝑝 + 𝑠𝐾𝑝𝑇𝑑

Donde, 𝑇𝑑 es una constante denominada tiempo derivativo.

Controlador proporcional-integral-derivativo (Controlador PID): Esta acción

combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales.

Entonces, es un bucle de control de mecanismo de retroalimentación (controlador) que se

utiliza comúnmente en los sistemas de control industriales. Un control PID calcula

continuamente un valor de error 𝑒(𝑡) como la diferencia entre un deseado punto de ajuste y

una medida variable de proceso y aplica una corrección basada en proporcionales, integrables

y derivadas términos a veces denotado P, I, y D, respectivamente, que dan su nombre al tipo

de controlador.

𝐌𝐨𝐝𝐞𝐥𝐨 𝐦𝐚𝐭𝐞𝐦á𝐭𝐢𝐜𝐨: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) +𝐾𝑃

𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑

𝑑𝑒(𝑡)

𝑑𝑡

𝑡

0

𝐅𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚: 𝐶𝑃𝐼𝐷(𝑠) = 𝐾𝑝 (1 +1

𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠)

Donde, 𝐾𝑝, 𝐾𝑖 y 𝐾𝑑, todos los no-negativo, indican los coeficientes de las

proporcionales, integrales y derivadas términos, respectivamente (a veces denotado P, I y D).

ACCIONES DE CONTROL EN LA RESPUESTA DEL SISTEMA:

Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la

entrada de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de

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control que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el

controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.

Acción de control encendido-apagado (ON/OFF): Para esta acción de control el

elemento de actuación sólo tiene dos posiciones fijas que en la mayoría de los casos son

encendido y apagado. Este control es relativamente simple y barato, por el cual su uso es

muy extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.

Acción de control proporcional (P): El controlador proporcional, es en realidad un

amplificador con ganancia ajustable. Este control reduce el tiempo de subida, incrementa el

sobretiro y reduce el error de estado estable.

Acción de control integral (I): Se denomina control de reajuste (reset). En estos

reguladores el valor de la acción de control es proporcional a la integral de la señal de error,

por el cual, en este tipo de control la acción varía en función de la desviación de la salida y

del tiempo en el que se mantiene esta desviación.

Acción de control proporcional-integral (PI): En realidad no existen controladores

que actúen únicamente con acción integral, siempre actúan en combinación con reguladores

de una acción proporcional, complementándose los dos tipos de reguladores, primero entra

en acción el regulador proporcional (instantáneamente); mientras que, la acción integral actúa

durante un intervalo de tiempo. En este sentido, decrementa el tiempo de subida, incrementa

el sobre-impulso y el tiempo de estabilización, tiene el efecto de eliminar el error de estado

estable.

Acción de control proporcional-derivativo (PD): El controlador derivativo se opone

a desviaciones de la señal de entrada, con una respuesta que es proporcional a la rapidez con

que se producen éstas. Además, reduce el sobre-impulso y el tiempo de estabilización, por el

cual tendrá el efecto de incrementar la estabilidad del sistema mejorando la respuesta de

dicho sistema.

Acción de control proporcional-integral-derivativo (PID): Es un sistema de

regulación que trata de aprovechar las ventajas de cada uno de las acciones de controles

básicas, de manera que, si la señal de error varía lentamente en el tiempo, predomina la acción

proporcional e integral y, mientras que, si la señal de error varía rápidamente, predomina la

acción derivativa. Tiene la ventaja de ofrecer una respuesta muy rápida y una compensación

de la señal de error inmediata en el caso de perturbaciones.

Nota: El modelo matemático de cada acción de control, ya fueron definidas en la

sección anterior.

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EJEMPLO PRÁCTICO:

Ejercicio propuesto en el Libro de Ingeniería de Control de Katsuhiko Ogata.

Considere el sistema de la Figura 6(a). El error en estado estacionario para una entrada rampa

es 𝑒𝑠𝑠 = 2𝜁/𝜔𝑛. Demuestre que el error en estado estacionario se elimina para seguir una

entrada rampa si la entrada se incorpora al sistema a través de una acción de control

proporcional-derivativo, como se observa en la Figura 6(b), y el valor de 𝑘 se establece en

forma proporcional. Observe que el error 𝑒(𝑡) se obtiene mediante 𝑟(𝑡) – 𝑐(𝑡).

Figura 6: (a) Sistema de control; (b) Sistema de control con filtro de entrada (PD).

Solución: La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de la Figura 6(b)

es:

𝐶(𝑠)

𝑅(𝑠)=

(1 + 𝑘𝑠)𝜔𝑛2

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

⇒ 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) = (𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2𝑘𝑠

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

) 𝑅(𝑠)

Si la entrada es una rampa unitaria, el error en estado estacionario es:

𝑒(∞) = 𝑟(∞) − 𝑐(∞) = Lím𝑠→0

𝑠 (𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛

2𝑘𝑠

𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2

)1

𝑠2=

2𝜁𝜔𝑛 − 𝜔𝑛2𝑘

𝜔𝑛2

Por tanto, si se selecciona 𝑘 como:

𝑘 =2𝜁

𝜔𝑛

El error en estado estacionario después de una entrada rampa es igual a cero. Observe

que, si existen variaciones en los valores de 𝜁 y/o 𝜔𝑛 debido a los cambios ambientales o al

envejecimiento, puede producir un error en estado estacionario diferente de cero para una

respuesta rampa.

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CONCLUSIÓN:

Las acciones de control han desempeñado un papel vital en el avance de la ingeniería

y la ciencia. Por su parte, los sistemas de control se han convertido en una parte importante

e integral en los sistemas de vehículos espaciales, en los sistemas robóticos, en los procesos

modernos de fabricación y en cualquier operación industrial que requiera el control de

temperatura, presión, humedad, flujo, entre otros. Por lo tanto, es deseable que la mayoría de

los ingenieros y científicos estén familiarizados con la teoría y la práctica de la teoría de

control. Donde, la teoría de control moderna simplificó el diseño de los sistemas de control

porque se basa en un modelo del sistema real que se quiere controlar. Sin embargo, la

estabilidad del sistema depende del error entre el sistema real y su modelo. Esto significa que

cuando el controlador diseñado basado en un modelo se aplica al sistema real, éste no puede

ser estable.

Así pues, el controlador significa medir el valor de la variable controlada del sistema

y aplicar la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para

corregir o limitar la desviación del valor medido respecto del valor deseado. Por tal motivo,

fue de gran relevancia estudiar acerca de los controles (PID) básicos, ya que el controlador

(PID) tiene tres parámetros: ganancia proporcional, ganancia integral y ganancia derivativa.

Donde, en los sistemas de controles industriales más de la mitad de los controladores

empleados son controladores (PID); debido a que, el controlador (P) ofrece rápida respuesta

proporcional al error; mientras que, el controlador (I) tiene un reajuste automático desde la

parte integral elimina el error en estado estable; y el controlador (D), permite que el

controlador responda rápidamente a cambios en el error.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

OGATA, Katsuhiko. “INGENIERÍA DE CONTROL MODERNA”. Editorial Pearson.

Quinta edición. España, 2010.

Esquema de un sistema de control. Disponible en:

https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/3330/34059-5.pdf?sequence=5

Controlador. Disponible en:

https://www.slideshare.net/dorissaravia/controlador-lgico-programable

Compensación en adelanto. Disponible en:

http://www.el.bqto.unexpo.edu.ve/etperez/apuntes/adelanto.htm

Compensación en atraso. Disponible en:

http://www.el.bqto.unexpo.edu.ve/etperez/apuntes/atraso.htm

Tipos de controladores y el modelo matemático que lo define a cada uno. Disponible

en:

http://www.eng.newcastle.edu.au/~jhb519/teaching/caut1/Apuntes/PID.pdf

Acciones de control en la respuesta del sistema. Disponible en:

http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lep/nunez_e_f/capitulo1.pdf