control discretizacion de controladores y plantas

7/23/2019 Control Discretizacion de Controladores y Plantas

1/30

Control Automtico

Discretizacin de reguladores y plantas


2/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Contenido

Discretizacin a partir de la funcin de

transferencia en tiempo continuo Por respuesta invariante al impulso

Por retenedor de orden cero (ZOH)

Por Tustin o transformacin bilineal

Por mapeo de polos (solo para SISO)

Ejemplos

Ejercicios


3/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Esquema de un control digital

Computador

y(t)


4/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Escogencia del periodo de

muestreo

El periodo de muestreo Ts debe ser escogido

para que sea menor que una dcima parte dela constante de tiempo dominante, del

sistema que se espera en lazo cerrado

.10

1doms TT q

= en dom.

analgico = s

en el dom. discreto.


19/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Por mapeo de polos y cerosLa ganancia K se calcula como

Se satisface exactamente la relacin

11

)1(

11

)()1(

)(

==

=

+

=

z

Tz

Tp

q

i

iqn

n

i

i

B

e

e

zz

z

KK

=

=

=

== n

i

i

q

i

i

B

p

z

KsGKs

1

1

0)(

sTez=


20/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 4: Discretizacin de

una planta por mapeo z = esT

Encuentre el modelo en tiempo discreto para

la planta P(s) mostrada, con T = 0.1s

Los datos del sistema continuo son:

P = [-4 -1 ]

n = 2; q = 0

KB = P(0) = 1

)4)(1(

4)(

++=

sssP


21/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 4: cont.

Evaluamos las frmulas

)e)(zez

zzP

.*-.*-

--

101104

)102(

(

)1()(

+=

)(*)( 1 zPKzP =

0.1sT,)90480)(67030(

)1(0156870)( ==

.z-.z-

z+.zP

7486.63)1( =P 7486.63/11 =K


22/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta al impulso

Se puedeobservar que

solamente la

forma

invariante alimpulso

conserva este

tipo de

respuesta

0 1 2 3 4 5 6 7

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched


23/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta al escaln

Todas lasformas

conservan la

respuesta ante

un escalnexcepto la

invariante al

impulso, que lo

hace solo si es

escalada por T

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Step Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pzoh

Ptustin

Pmatched


24/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Respuesta ante rampa

Todas lasformas

conservan la

respuesta ante

una rampaexcepto la

invariante al

impulso.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Respuesta ante rampa

Time (sec)

Amplitude

P

Pzoh

PTustin

Pmatched


25/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejemplo 5: Discretizacin del

regulador PID

El PID ideal se puede discretizar por los

mtodos de

La aproximacin trapezoidal a la integral y la

aproximacin de Euler a la derivada

Transformacin bilineal o mtodo de Tustin

(s z kT)


26/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Discretizacin del PID por

aproximaciones a la I y D

Partimos de la expresin para el PID en el

dominio del tiempo continuo

Obtenemos la forma posicional del algoritmo

del PID

[ ]0.

)1()(

2

)1()(()()( m

T

kekeKInt

TkekeKkeKkm

s

dprevs

iP ++

+++=

0

0

)()()()( mtedt

dKdeKteKtm D

t

IP +++=


27/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Discretizacin del PID por

transformacin bilineal

Partimos de la expresin para el PID en el

dominio de la frecuencia compleja

Sustituimos

y obtenemos la forma de velocidad del

algoritmo del PID

[ ] [ ])2()1(2)()()1()()1()( ++++= kekekeT

TKke

T

TKkekeKkmkm

s

dP

i

sPP

dP

i

PPPID TKs

sT

KKsK ++=)(

)1(

)1(2

+

z

z

Ts

ImpulseResponse


28/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

La forma de velocidad del PID

discreto

La forma de velocidad del PID se puede

simplificar a

donde las constantes A, B y C dependen de

KP, Ti, Td y del tiempo de muestreo TS

Tambin se puede llegar a esta forma si

restamos la forma posicional del PID

evaluada en k y en k-1 Esta forma es menos propensa al windup

)2()1()()1()( +++= keCkeBkeAkmkm

ImpulseResponse


29/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Impulse Response

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Ejercicios

Obtenga y compare los modelos discretos,

con el periodo de muestreo T dado para lasfunciones G(s), F(s) y H(s); por los cuatro

mtodos vistos en clase.

0.05sT;

)9(

)3)(4.0()( =

+

++=

ss

sssF

0.1sT;)1(

)3()(

2 =

+

+=

ss

ssH

0.2sT;)2)(1(

*3)(4.0*

=++

=

ssesG

s

0 7Impulse Response


30/30

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Time (sec)

Amplitude

P

Pimp

Pzoh

Ptustin

Pmatched

Referencias Bollinger, John G., Duffie, Neil A.. Computer Control of

Machines and Processes, Addison-Wesley, USA, 1988.

Kuo, Benjamin C.. Sistemas de Control Automtico, Ed. 7,Prentice Hall, 1996, Mxico.

control discretizacion de controladores y plantas

Documents