DOSSIER - DEBATE

Mariela Orozco HormazaUniversidad del ValleColombia

COMENTARIO AL ARTÍCULO"RAZON AMIENTO

LOGICO-MATEMÁ TICOEN CONTEXTOSOCIOS CULTURALES"

De Analúcia D. Schliemann

Antes de discutir el texto de Analucia Schliemann, quiero hacer doscomentarios sobre la trayectoria general de su trabajo y posterior-mente, articularlos con la reflexión que su artículo me ha suscitado.

1. Ella, conjuntamente con Teresinha Numes y David Carraher instau-ran una tradición de estudios sobre la matemática de los niños de la calle yen 1988 publican el libro "Na Vida Dez, na Escola Zero" (Carraher, T.,Schlie-mann, A., Carraher, D., 1988). En los estudios que incluyen en este texto,presentan los resultados de investigaciones cuya temática general es la cons-trucción del conocimiento matemático ligada con las prácticas en contextosespecíficos, por ejemplo la calle, el mercado, etc. Las características del trabajoy el tipo de análisis adoptado, les permite presentar la "riqueza" y comple-jidad de los procedimientos que estos niños, antes llamados "underprivíle-ged" y marginales, utilizan para resolver situaciones cotidianas de venta.

En uno de estos estudios, Schliemann señala algunos puntos dignos demencionar; que posteriormente utilizaré en mi argumentación. Por ejemplo,que los vendedores de dulces no utilizan la multiplicación para resolver losproblemas que los entrevistadores les presentan sobre transacciones que dehecho se realizan o que aparentan realizar. Los niños resuelven estos problemasutilizando "agrupamientos de adiciones sucesivas" (Schliemann, 1988,p. 70). Alanalizar la adición repetida -con valores numéricos en el rango de lO-lOO,p. e.: 15 x 50 -encuentran que cuando el objetivo es alcanzado "la cantidadcorrespondiente al multiplicador de adición a un número adecuado 1 deveces ... Objetos concretos o los dedos pueden ser utilizados en este procesode adiciones sucesivas. Sin embargo, su utilización no vuelve el cómputo

l. El subrayado es mío.

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más concreto porque undedo -tiene un valor de 50-diferente de uno" (Carra-her, Carraher, Schliemann,1988, p. 61). A pesar de de-clararse sorprendídos conla "heurística de los agru-pamientos repetidos", noexaminan este procedi-miento detenidamente, puesno describen en qué consiste"el número adecuado deveces".

Otro hallazgo muy in-teresante de estos estudioses que en las pruebas for-males, los niños presentanmás errores al resolver lasoperaciones aritméticasaisladas, que en el contextode la solución de proble-mas. De sus estudios con-cluyen que aquellos niñosque cometen errores absur-dos en la escuela, sabenmuy bien la matemáticaque les permite sobreviviry que la situación social enla cuál se encuentran influ-ye en sus objetivos y reper-cute en la: organización desus acciones, de tal forma,que el comportamiento delos sujetos puede ser dife-rente cuando resuelvenproblemas en situacionessociales diferenciadas.

2. Continuando su tra-bajo de investigación den-tro de la tradición sociocul-tural, esta autora comienzaa publicar sus estudios so-bre la matemática de suje-tos adultos en contextos co-tidianos, por ejemplo, mu-jeres en la compra y la coci-na, (Schliemann, Pereira deMagalháes, 1990).

La comparación de losresultados que obtiene conlos niños que asisten a la es-cuela y los de la calle y elgrado de concreción delpensamiento matemáticode los adultos, lleva a la au-tora a señalar las limitacio-nes del conocimiento encontextos y las limitaciones

de los modelos de análisisque se utilizan para inferirel significado de las pro-ducciones de los sujetosdesde la perspectiva de laconstrucción individual delconocimiento.

He compartido con laautora, el primer compo-nente de su reflexión y du-rante nuestro encuentro enel PME, en Lisboa, cuandolas investigaciones sobre lamatemática en contextosestaba en su apogeo (Lave,1988, Saxe, 1990), plantea-mos que era necesario con-frontar una interpretaciónde tipo ideológico, que enese momento se aplicaba alos hallazgos de sus inves-tigaciones con los niños dela calle; argumento, que entérminos generales se ubi-caba en el siguiente tipo delógica: qué necesidad tie-nen ellos de aprender losprocedimientos de la mate-mática tradicional, si susprocedimientos son tan sor-prendentes. Propuse con-traargumentar tan difundi-da opinión, preguntando alos investigadores del "pri-mer mundo", que por su-puesto dominan en talesconferencias, si ellos acep-tarían que los niños de sucultura mantengan susprocedimientos intuitivosy no avancen en el tipo deprocedimiento que utilizanpara resolver problemasmatemáticos. Ya se imagi-nará el lector que esta pre-gunta resultaba un buen ar-gumento para contrarres-tar tal opinión.

En este artículo, la au-tora trata precisamente deresponder el segundo com-ponente de su reflexión,pues en este texto, reorientael análisis hacia un modeloque abarca no solo los as-pectos socioculturales y si-tuacionales del aprendiza-je; sino, la construcción indi-

vidual del conocimientomatemático, específica-mente, cómo se pasa de las"herramientas" que permi-ten resolver problemas ensituaciones específicas a lasestructuras lógico-matemá-ticas generales. Para estoSchliemann utiliza las tesisde Piaget -del "cuarto Pia-get" (Pascual-Leone, 1987)-sobre la lógica de las signifi-caciones y adaptándola,plantea que 11el conocimien-to lógico matemático tienesu fundamentación en unalógica de significados, ínti-mamente vinculada con laspropiedades específicas delos objetos y situacionesque los niños manejan, poroposición a una lógica ex-tensional que sería generale independiente de las pro-piedades específicas delcontenido. Esta lógica designificados implica lazosinferenciales que, con la ac-tividad creciente, puedellegar a ser general, sistémi-ca y estructural. Sin embar-go, inicialmente los lazosinferenciales son locales yespecíficos" .

Propone entonces, unarelación de similitud entrela tesis de Piaget y los ha-llazgos de la investigaciónsobre la matemáticas que seaprende y se utiliza en lasprácticas cotidianas y adap-ta la tesis Piagetiana paraanalizar el conocimientomatemático que se desarro-lla en contextos cotidianosde trabajo, reanalizando, apartir de esta nueva con-ceptualización, datos sobrela comprensión de la pro-porcionalidad de los niñosal resolver las tareas deventa y la atribución de sig-nificación por un sujetoadulto que intenta enten-der gráficos sobre los avan-ces de su candidato preferi-do en el proceso electoraldel Brasil.

La traducción y lecturade este trabajo ha suscitadoreflexiones de dos tipos:conceptuales y metodoló-gicas. Las primeras, se ar-ticulan con la diferencia-ción entre el significado delos enunciados y el signifi-cado de las operaciones.Las metodológicas, con lanecesidad de diferenciar,en el nivel del análisis obje-tivo de las tareas, la maneracomo el entrevistador pue-de influir en las respuestasdel sujeto y distinguir, en elnivel del análisis subjetivo,la respuesta del "sujetoideal", del análisis de laproducción del sujeto real.

Como el trabajo de es-tos autores nos ha enseña-do, la situación social en laque el sujeto se encuentreinfluye en los objetivos quelos sujetos se formulan yenlas acciones que efectiva-mente llevan a cabo pararesolver la situación pro-blema; sin embargo, unavez efectúan una acción uoperación dada, el análisislógico o normativo al queuna y otra se pueden some-ter, es elmismo, sin importarla situación en la cuál se apli-quen. El modelo de análisis,que Schliemann y sus cole-gas utilizan, no incluye ladescripción del carácter delas operaciones que cual-quier sujeto, inclusive los ni-ños vendedores deben reali-zar para obtener resultadosnuméricos, establecer razoneso compararlas.

En mi trabajo he estadoparticularmente interesadaen identificar y analizar losprocesos mentales que per-miten a los niños establecerrelaciones y realizar cóm-putos. En las situaciones delaboratorio -tan criticadaspor los enfoques sociocul-turales (Lave, 1988)- desdeel "como si", el niño debeigualmente proponerse ob-

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jetivos matemáticos que asu vez generan cómputos,operaciones y relaciones.Supongo que a pesar de lasdiferencias entre uno y otrocontexto, es posible compa-rar las operaciones y proce-sos mentales que les permi-ten resolver los objetivospropiamente matemáticosque en uno u otro tipo depráctica, ellos se debenplantear.

Desde esta perspecti-va, entonces, el problemafundamental es determinarsi los procesos subyacentesa estos cómputos, relacio-nes y operaciones son dife-rentes en una u otra situa-ción. Es bastante probableque las situaciones prácti-cas generan en los niñosvendedores objetivos ma-temáticos más avanzadosque los de los niños que noson vendedores, pero losprocesos mentales que sub-yacen a las operaciones queutilizan para resolverlos nodeben variar.

Otra lectura del textode Piaget, que fundamentael análisis de Schliemann,me permite señalar quepara este autor "los enun-ciados de los problemas selimitan a .formular verbal-mente un conjunto de ope-raciones cuyas implicacio-nes constituyen la fuenteverdadera e indispensablede lo que los enunciados tra-ducen en el plano de la co-municación" (Piaget, 1987/1989, p. 47), distinguiendode esta manera la significa-ción de los enunciados de lade las operaciones.

En relación con el sig-nificado de las operacionesal resolver aditivamenteproblemas multiplicativos,he señalado el papel quejuega la operación de reite-ración y su parámetro decontar -"el número ade-cuado de veces" que se rei-

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tera el mismo número- enel paso de la adición repeti-da a la operación propia-mente multiplicativa. (Oroz-co, 1996).Inicialmente, cuan-do los sujetos reiteran sucesi-vamente la adición, el conta-dory el número que sirve decota o límite a las veces quereitera no funcionan o fun-cionan de manera indiferen-ciada; consecuentemente laprincipal fuente de error esla tendencia a reiterar unavez más omenos (por ejem-plo, en este tipo de proble-mas) el valor del precio;posteriormente, el conta-dor y la cota funcionan demanera diferenciada e im-plícita y ponen límite al nú-mero de veces que reiteranel mismo número; final-mente, los niños son capa-ces de explicitar las vecesque reiteran y solo enton-ces pueden transformarsus procedimientos aditi-vos en multiplicativos.

En otras, palabras, yadoptando la tesis de Piagetsobre la transformación dela significación de las opera-ciones- que según este autordepende de la formación designificaciones diversas perocon caracteres comunes y de"la naturaleza de las impli-caciones significantes ... im-plicaciones entre acciones yoperaciones" (Piaget, 1987/1989, p.17) - el paso de laoperación aditiva a la mul-tiplicativa es posible cuan-do la reiteración y su pará-metro de contar, que ini-cialmente o no intervieneno intervienen de maneraimplícita" adquieren la sig-nificación de operaciones"(Piaget y García, 1987/1989, p. 57) Y su explicita-ción, permite la síntesis enun nuevo operador, estavez multiplicativo, posibi-litando la conversión de laoperación aditiva en opera-ción multiplicativa.

En relación con el aná-lisis objetivo de la tarea, yaes bien sabido que cual-quier modificación de lamisma, genera modos dife-renciados de procesamien-to en el sujeto que la resuel-ve. En general, el análisisobjetivo revela la dificultadreal de la tarea para el suje-to que la resuelve. Esto mepermite decir que la formacomo el entrevistador for-mula al sujeto adulto laspreguntas en relación consu candidato de preferen-cia, facilita la tarea y poresto el entrevistado la re-suelve. En otras palabras, elinterrogatorio disminuyela dificultad que la inter-pretación del gráfico con-lleva. Para comparar los re-sultados de los dos candi-datos, el sujeto debe mane-jar simultáneamente lasdos líneas que describen elproceso de las respectivasvotaciones. Sin embargo,Zefinha solamente manejauna y las sugerencias delentrevistador la llevan amanejar las dos y compa-rarlas. De esta manera laentrevistadora facilita la ta-rea, pues su intervención,disminuye las exigenciasdela misma.

El análisis subjetivoigualmente exige diferen-ciar los procedimientosideales, "la manera comoun sujeto ideal resuelve latarea" (Pascual - Leone,1995a), de las estrategias oprocedimientos que los su-jetos reales utilizan para re-solverla. Quisiera señalarque el modelo de Vergnaud(1983) del operador escalary funcional describe "el su-jeto ideal" pero no describe"los sujetos reales", comolos niños de la calle, en lasinvestigaciones de Schlie-mann. La aplicación deotro modelo de análisis -alas progresiones aritméti-

cas que las producción delos niños de la calle revelan,al resolver las tareas deproporción- me permiteilustrar esta diferenciación.Para esto propongo un mo-delo de análisis que utilizopara analizar produccionesde niños al resolver tareasde multiplicación que re-suelven en "situaciones delaboratorio". Orozco, 1991)

Tomemos la produc-ción de Andrés, el vende-dor de "palomitas de maíz"de 12 años. En su modelo,Vergnaud propone que elsujeto trabaja con el opera-dor escalar '3, que no tienedimensiones y que aplica enlos dos espacios de medida(Vergnaud, 1983/ 1987);sinembargo, los sujetos realesque resuelven aditivamentelas tareas multiplicativas,aplican en cada espacio demedida un escalar" de tipoaditivo" (+ 10 Y + 3) Y al ha-cerlo, igualmente trabajancon la relación funcional 10-3 (VerFigura 1).

10 ~ 3+10 +3

20 ~ 6

+10 +330 ~ 9

Figura 1.Esquema de la figu-ra que Andrés dice utilizar.

Finalmente, sorprendeel carácter aditivo de losprocedimientos que suje-tos de diferentes edadesutilizan para resolver si-tuaciones problema de tipomultiplicativo (como las decompra-venta). Resnickpropone como hipótesisque los "únicos conceptosfáciles de adquirir y queparece se adquieren uni-versalmente, son los basa-dos en la composición aditi-va" (Resnick, 1986, p. 189).

MARIELA OROZCO HORMAZA COMENTARIO

Este es un supuesto queeste tipo de investigacióndeberia confirmar.

Como el lector puedeapreciar la riqueza del textode Sch1iemann es induda-ble. No solo correspondecon una reorientación de sumodelo de análisis recupe-rando el significado que elindividuo tiene en la cons-trucción del conocimiento,sino que se ubica en el grandebate de la psicología ac-tual-conocimiento generalversus conocimiento espe-cífico- logrando una des-cripción de la manera comolos conocimientos específi-cos tienden progresiva-mente a transformarse enestructuras de conocimien-to, mas generales \t'

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