COLGIO PEDRO II - CAMPUS SO CRISTVO III APROFUNDAMENTO DE MATEMTICA 2014

PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU

AULA 6: Funes: Afim e Quadrtica

FUNO AFIM - RESUMO

Definio: Uma funo chamada de funo Afim se sua sentena for dada por f(x) = ax + b, sendo a e b

constantes reais com a 0, onde x a varivel independente e y = f(x) a varivel que dependente de x. Grfico da funo Afim: O grfico de uma funo Afim f(x) = ax + b a reta que passa pelo ponto (0, b) e

corta o eixo X no ponto

0,

a

b. A funo ser crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.

OBS: 1) A constante a chamada de coeficiente angular e representa a variao de y correspondente a um aumento do valor de x;

2) A constante b chamada de coeficiente linear e representa, no grfico, o ponto de interseco da reta com o eixo Y;

3) Se uma reta paralela ao eixo Y, ela no representa uma funo.

- Zero da funo: o valor de x para qual a funo se anula: f(x) = 0 x = a

b ;

Exemplo. Analisar a funo f(x) = x + 2. - A funo decrescente, pois a < 0; - Coeficiente angular a = -1; - Coeficiente linear b = 2; - Zero da funo 2, pois x + 2 = 0 => -x = - 2.(-1) => x = 2.

f(x) < 0 {x R | x > 2}

f(x) = 0 {x R | x = 2}

f(x) > 0 {x R | x < 2}

Caso Particular: A funo constante, pois a = 0, com isso, no h inclinao;

- Coeficiente angular 0, pois a = 0; - Coeficiente linear b = 4; - No temos Zero da funo:

FUNO QUADRTICA RESUMO

Dados os nmeros reais a e b, com a 0, chama-se funo quadrtica a funo IRIR:f , definida por: y = ax2 + bx + c ou f(x) = ax2 + bx + c.

Zeros (ou razes) de uma funo quadrtica: Denominam-se zeros de uma funo quadrtica os valores de x que anulam a funo, ou seja, que tornam f(x) = 0. Em termos de representao grfica, so as abscissas dos pontos onde a parbola corta o eixo X. Para encontrar esses zeros, resolve-se a equao f(x) = 0. Isto , ax2 + bx + c = 0 que nada mais que

resolver a equao do 2 grau, utilizando a frmula resolutiva: a

bx

2

, onde ac4b

2 .

a2

ac4bbx

a2

ac4b

a2

bx

a2

ac4b

a2

bx

a2

ac4b

a2

bx

a2

ac4b

a2

bx

a2

ac4b

a2

bx

a4

ac4b

a2

bx

a4

ac4b

a2

bx

a4

ac4b

a2

bx

a

c

a4

b

a2

bx0

a

c

a4

b

a4

bx

a

bx0

a

cx

a

bx

a0cbxax

222

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

22

2

2

2

222

2

Se 0 a equao tem razes reais,

0

0; Se 0 a equao no tem razes reais.

Soma e produto dos zeros da Funo Quadrtica

a

c

a4

ac4

a4

ac4bb

a4

ac4bbx.x

a4a4

b

a2a2

b.

a2a2

bx.x:odutoPr

2

b

a2

b2

a2

b

a2

bxx:Soma

a2

bx

a2

bx

a2

ac4bbx

ac4b

22

22

2

22

21

22

2

21

21

2

12

2

Forma fatorada da Funo Quadrtica

21121

2121

2

2121

2

21

21

22

xx.xx.axx.xxx.xa)x(f

x.xx.xx.xxax.xxxxxa)x(f

x.xa

c

xxa

b

a

cx

a

bxa)x(fcbxax)x(f

Grfico da funo quadrtica: O grfico de uma funo quadrtica uma curva denominada parbola. Seu domnio o conjunto dos nmeros reais e sua imagem um subconjunto dos nmeros reais.

Ou seja, D(f) = IR e Im(f) IR. Concavidade: O sinal de a (coeficiente de x2) determina a concavidade da parbola. Assim:

i) Se a > 0, a concavidade voltada para cima. ii) Se a < 0 (a negativo), a concavidade voltada para baixo.

Vrtice da Parbola: Toda parbola tem um ponto de ordenada mxima ou um ponto de ordenada mnima. A esse ponto chamaremos vrtice da parbola e o representaremos por V(xv,yv) onde:

a4y e

a2

bx vv

. Assim:

a4,

a2

bV . Resultados obtidos da Forma Cannica.

Forma cannica da Funo Quadrtica

);Xeixodoabaixogrfico(Mximoa4

,a2

b:Vrtice0

a40a

);Xeixodoacimagrfico(Mnimoa4

,a2

b:Vrtice0

a40a

:0)3

Mximoa4

,a2

b:Vrtice0

a40a

Mnimoa4

,a2

b:Vrtice0

a40a

:0)2

a4a4.a

a4a2

b

a2

b.a)x(f

a2

bx)1

:SOBSERVAE

a4a2

bx.a

a2a2

bx.

a2a2

bx.a)x(f

a2a2

bx.

a2a2

bx.a

a2

bx.

a2

bx.axx..xx.a)x(f

22

2

2

2

21

Observe os sinais da funo no intervalo entre as razes e fora das razes. Essa informao til na resoluo de inequaes do 2 grau.

Observao: De acordo com o valor de a na funo f(x) = ax2 + bx + c, as ordenadas do vrtice recebem as denominaes de valor mximo ou valor mnimo.

Este conceito importante na resoluo de exerccios onde os resultados so os maiores ou os menores possveis.

QUESTES

1. (UERJ) O reservatrio A perde gua a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatrio B ganha gua a uma taxa constante de 12 litros por hora. No grfico, esto representados, no eixo y, os volumes, em litros, da gua contida em cada um dos reservatrios, em funo do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x0, em horas, indicado no grfico.

2. (UERJ) No grfico, esto indicados os pontos A(1,0), B(2,1) e C(0,1), que so fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C at A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A at B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P igual ordenada de Q. Determine a medida da maior rea que o tringulo PAQ pode assumir.

3. (UERJ) A promoo de uma mercadoria em um supermercado est representada, no grfico, por 6 pontos de uma mesma reta.

Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoo, pagar por unidade, em reais, o equivalente a:

a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00

4. (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, esto representadas as funes f(x) = 4x 4 e g(x) = 2x2 12x + 10. As coordenadas do ponto P so:

a) (6, 20) b) (7, 24) c) (7, 26) d) (6, 26)

5. (UERJ) Os grficos 1 e 2 representam a posio S de dois corpos em funo do tempo t. No grfico 1, a funo horria definida pela

equao t2

12S . Assim, a equao que

define o movimento representado pelo grfico 2 corresponde a:

a) t2S b) t22S

c) t3

42S d) t

5

62S

6. (UERJ) Admita os seguintes dados sobre as condies ambientais de uma comunidade, com uma populao p, em milhares de habitantes:

C, a taxa mdia diria de monxido de carbono no ar, corresponde a C(p) = 0,5p + 1; em partes por milho.

em um determinado tempo t, em anos, p ser igual a p(t) = 10 + 0,1t2.

Em relao taxa C, calcule em quantos anos essa taxa ser de 13,2 partes por milho.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

7. (UERJ) O grfico abaixo representa a indicao da velocidade de um carro em movimento, em funo do tempo. Sabendo-se que, em t = 2s, a velocidade de 6m/s, a ordenada do ponto A :

a) 3,5 b) 3,0 c) 2,5 d) 2,0

8. (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de sua safra anual, vende cada fruta por R$ 2,00. A partir da, o preo de cada fruta decresce R$ 0,02 por dia. Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no primeiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia. O dia da colheita de maior ganho para o fruticultor foi:

a) 11 b) 9 c) 7 d) 15

9. (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Choro" chutou a bola em direo ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parbola e quando comeou a cair da altura mxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Aps o chute de "Choro", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representao grfica do lance em um plano cartesiano est sugerida na figura. A equao da parbola era

do tipo: c36

xS

2

. O ponto onde a bola tocou pela primeira

vez foi:

a) na baliza b) atrs do gol c) dentro do gol d) antes da linha do gol 10. (UERJ) Os grficos I e II representam as posies S de dois corpos em funo do tempo t.

No grfico I, a funo horria definida pela equao

tbtaS 12

1 .

No grfico II, definida por

tbtaS 22

2 .

Admita que V1 e V2 so, respectivamente, os vrtices das curvas traadas nos

grficos I e II.a razo

2

1

a

a :

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 11. (UERJ) Uma bola de beisebol lanada de um ponto 0 e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no sistema de eixos ortogonais. Durante sua trajetria, a bola descreve duas parbolas com vrtices C e D. A equao de uma dessas

parbolas 5

x2

75

xy

2

.

Se a abscissa de D 35m, a distncia do ponto 0 ao ponto B, em metros, igual a:

a) 38 b) 40 c) 45 d) 50

12. (UERJ) O grfico abaixo mostra o segmento de reta AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A at B(3,0). O produto das distncias do ponto C aos eixos coordenados varivel e tem valor mximo igual a 4,5. O comprimento do segmento AB corresponde a:

a) 5 b) 6 c) 53 d) 26

Respostas: 1) 30; 2) 4

1; 3) a; 4) b; 5) c; 6) c; 7) d; 8) a; 9) c; 10) c; 11) b; 12) c.