funÇÃo afim - questões resolvidas
TRANSCRIPT
Questões Resolvidas
FUNÇÃO AFIM: RAIZ, COEFICIENTES E SINAL
𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+3𝑓 (1 )=−2 .1+3¿−2+3¿1
𝑓 (𝑥 )=4 𝑥+5𝑒 𝑓 (𝑥 )=7⇒ 4 𝑥+5=74 𝑥=7−54 𝑥=2∴𝑥=
24𝑜𝑢 𝑥=
12
𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏= y𝑓 (1 )=𝑎 .1+𝑏=5𝑓 (−3 )=𝑎 . (−3 )+𝑏=−7
𝑎+𝑏=5−3 𝑎+𝑏=−7× (−1 )
𝑎+𝑏=53𝑎−𝑏=74𝑎¿12∴𝑎=3
3+𝑏=5𝑏=5−3∴𝑏=2
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (𝑥 )=3 𝑥+2
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (1 )=1
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑥=
12
𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏= y
𝑓 (−1 )=𝑎 .(−1)+𝑏=7𝑓 (2 )=𝑎 .2+𝑏=1
−𝑎+𝑏=72𝑎+𝑏=1
× (−1 )
𝑎−𝑏=−72𝑎+𝑏=13𝑎¿−6∴𝑎=−2
− (−2 )+𝑏=7𝑏=7−2∴𝑏=5
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+5
𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+𝑏= y
𝑓 (1 )=𝑎 .1+𝑏=5𝑓 (−2 )=𝑎 . (−2 )+𝑏=−4
𝑎+𝑏=5−2𝑎+𝑏=−4× (−1 )
𝑎+𝑏=52𝑎−𝑏=43𝑎¿9∴𝑎=3
3+𝑏=5𝑏=5−3∴𝑏=2
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (𝑥 )=3 𝑥+2
𝑦= 𝑓 (𝑥 )𝑜𝑢𝑝= 𝑓 (𝑡 )→𝑜𝑝𝑟𝑒 ç𝑜 (𝑝 ) ,𝑒𝑚𝑅𝑒𝑎𝑖𝑠é𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜𝑑𝑜𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑡 ) ,𝑒𝑚𝑎𝑛𝑜𝑠
𝑝=𝑎 . 𝑡+𝑏𝑃𝑎𝑟𝑎𝑡=0 ,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠𝑝=7500⇒7500=𝑎 .0+𝑏
0∴𝑏=7500
𝑃𝑎𝑟𝑎𝑡=6 ,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠𝑝=1200⇒1200=𝑎 .6+𝑏𝑜𝑢1200=6𝑎+75001200−7500=6 𝑎−6300=6𝑎∴𝑎=−1050𝑝=−1050 .𝑡+7500
𝐴𝑝ó 𝑠 4 𝑎𝑛𝑜𝑠𝑑𝑒𝑢𝑠𝑜 , 𝑡=4∴𝑝=?⇒𝑝= 𝑓 (4 )=−1050 .4+7500¿−4200+7500¿3300
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑂𝑝𝑟𝑒ç 𝑜𝑠𝑒𝑟 á𝑅 $3.300,00
𝑎 ¿𝑎=5 (𝑎>0 )∴𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜 é𝐶𝑅𝐸𝑆𝐶𝐸𝑁𝑇𝐸
𝑏¿ 𝑓 (𝑥 )=0𝑜𝑢5𝑥−3=0⇒5 𝑥=3∴𝑥=35
𝑐 ¿𝑥=0⇒ 𝑦= 𝑓 (0 )𝑓 (0 )=−3𝑜𝑢 𝑦=−3∴𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (0 ,−3 )
𝑥
𝑦
𝑂●
●
Raiz: abscissa do ponto em que a reta corta Ox
Ordenada do ponto em que a reta corta Oy = b
𝐸𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜𝑑𝑜𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 :
𝑅𝑎𝑖𝑧 :𝑥=35∴ 𝑦=0𝑝𝑎𝑟𝑎𝑥=
35
𝐹𝑢𝑛 çã𝑜𝐶𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒∴{𝑦>0𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥> 35
𝑒
𝑦<0𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥<35
𝑦=5 𝑥−3𝑜𝑢 𝑓 (𝑥 )=5𝑥−3
𝐹𝑢𝑛 çã𝑜 𝐴𝑓𝑖𝑚 :𝑦=𝑎𝑥+𝑏
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (−2 ,−63 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã 𝑜⇒−63=𝑎 . (−2 )+𝑏
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (5 ,0 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜⇒ 0=𝑎 . (5 )+𝑏
−2𝑎+𝑏=−635𝑎+𝑏=0
× (−1 ) 2𝑎−𝑏=635𝑎+𝑏=0
⇒
7𝑎¿63∴𝑎=9
5 .9+𝑏=0∴𝑏=−45
⇒ 𝑦=9𝑥−45𝑜𝑢 𝑓 (𝑥 )=9 𝑥−45
𝑓 (16 )=9 .16−45¿144−45¿99 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :
e
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (−8 ,0 )⇒ −8 0𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (0 ,4 )⇒ 0 4
𝑎 ¿Vemos que, à medida que os valores de x aumentam, os de y também aumentam, o que caracteriza uma Função Afim CRESCENTE.
𝑏¿Se o ponto pertence ao gráfico da função, isto significa que a função se anula ( ) para , ou seja, é a raiz ou o zero da Função Afim.
𝑑¿ 𝑦=𝑎𝑥+𝑏Se o ponto pertence ao gráfico da função, isto significa que a reta intercepta o eixo no ponto de ordenada , ou seja, o coeficiente linear é
𝑦=𝑎𝑥+4(−8 ,0 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜⇒0=𝑎 . (−8 )+4⇒ 8𝑎=4∴𝑎=
12
𝑦= 𝑓 (𝑥 )=12𝑥+4⇒ 𝑓 (−1 )=− 1
2+4∴ 𝑓 (−1 )=7
2𝑜𝑢3,5
𝑐 ¿
𝑥
𝑦
𝑂●
●
𝑓 (𝑥 )=12𝑥+4
●
●
Ponto de coordenadas
2 𝑥+5=−2𝑥+54 𝑥=0∴𝑥=0
Coordenadas do ponto de interseção:
𝑔 (𝑥 )= 𝑓 (𝑥 )
⇒ 𝑦= 𝑓 (0 )=𝑔 (0 )=5
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜: (0 ,5 )
Raízes:
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑓 :−2 𝑥+5=05=2 𝑥∴𝑥=
52
⇒𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜( 52 ,0)∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓
𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎𝑔 :2 𝑥+5=02 𝑥=−5∴𝑥=−
52
⇒𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜(− 52 ,0)∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎𝑔
𝑥
𝑦
𝑂
●
Ponto e
●
Ponto
𝑓 (𝑥 )=−2 𝑥+5
●
Ponto
𝑔 (𝑥 )=2 𝑥+5
𝑎 ¿𝐿= 𝑓 (𝑥 )=5𝑥−230
𝑏¿5 𝑥−230<05 𝑥<230∴𝑥<46
Se forem vendidas menos de 46 unidades, o lucro será negativo, ou seja, haverá prejuízo.
𝑐 ¿5𝑥−230=3155 𝑥=545∴𝑥=109
Se forem vendidas 109 unidades, o lucro será de R$ 315,00.
𝑑¿5 𝑥−230>2805 𝑥>510∴𝑥>102
É preciso que sejam vendidas mais de 102 unidades para que o lucro seja maior que R$ 280,00.
𝑎 ¿ 𝑓 (1 )=−2 .1+3∴ 𝑓 (1 )=1
𝑏¿ 𝑓 (0 )=−2 .0+3∴ 𝑓 (0 )=3
𝑐 ¿ 𝑓 ( 13 )=−2 . 13+3¿ −2+93 ¿73
𝑓 ( 𝑓 ( 13 ))= 𝑓 ( 73 )=−2. 73 +3¿−14+93
∴ 𝑓 ( 𝑓 ( 13 ))=− 53𝑑¿ 𝑓 (− 12 )=−2 .(− 12 )+3¿1+3∴ 𝑓 (− 12 )=4
𝑎 ¿2𝑥+3=12 𝑥=−2∴𝑥=−1
𝑏¿2 𝑥+3=02 𝑥=−3∴𝑥=−
32
𝑐 ¿2𝑥+3=13
2 𝑥=13−3
∴𝑥=−43
¿1−93
2 𝑥=−83
4
𝑎 ¿𝐶= 𝑓 (𝑥 )=0,50 𝑥+8
𝑏¿ 𝑥=100⇒𝐶=0,50 .100+8𝐶=50+8∴𝐶=𝑅 $58,00
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (1 ,6 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎 𝑓 (𝑥 )=𝑎𝑥+4⇒ 6=𝑎 .1+46=𝑎+4∴𝑎=2
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (1 ,6 )∈𝑎𝑜𝑔𝑟 á 𝑓𝑖𝑐𝑜𝑑𝑎𝑔 (𝑥 )=𝑏𝑥+1⇒ 6=𝑏 .1+16=𝑏+1∴𝑏=5
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑎=2𝑒𝑏=5
Retas paralelas têm mesma inclinação, ou seja, têm mesmo Coeficiente Angular.
𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑒 𝑓 (𝑥 ) :𝑦=−4 𝑥+1
𝑅𝑒𝑡𝑎 𝑠𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑑𝑒𝑔 (𝑥 ): 𝑦=𝑎𝑥+𝑏
𝑟 ∥𝑠∴𝑎=4⇒𝑔 (𝑥 ) :𝑦=4 𝑥+𝑏
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜 (1 ,−1 )∈𝑠 : 𝑦=4 𝑥+𝑏⇒−1=4 .1+𝑏−1=4+𝑏∴𝑏=−5
⇒ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :
𝑔 (𝑥 )=4 𝑥−5
𝑓 (0 )=6⇒𝑥=0
𝑓 (𝑥+1 )=2 . 𝑓 (𝑥 )−5⇒ 𝑓 (0+1 )=2. 𝑓 (0 )−5
𝑓 (1) 6¿2 . −5¿12−5∴ 𝑓 (1 )=7
𝑓 (1 )=7⇒𝑥=1
𝑓 (𝑥+1 )=2 . 𝑓 (𝑥 )−5⇒ 𝑓 (1+1 )=2 . 𝑓 (1 )−5
𝑓 (2) 7¿2 . −5¿14−5∴ 𝑓 (2 )=9
𝑅𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎 :𝑓 (2 )=9
ISERJ – 2012 Professora Telma Castro Silva