lista função afim 2
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4. Funo
O objeto fundamental do clculo so as funes. Assim, num curso de Pr-Clculo importante estudar as idias bsicas concernentes s funes e seus grficos, bem como as formas de combin-los e transform-los.
Ao estudar algum fenmeno de qualquer natureza, sempre se procura estabelecer relaes entre as grandezas envolvidas. Se duas grandezas x e y esto relacionadas de tal maneira que a cada valor atribudo a x existe, em correspondncia, um nico valor associado a y, ento se diz que y uma funo de x. Por exemplo, a distncia percorrida por um carro em um determinado perodo de tempo uma funo de sua velocidade, a rea de uma circunferncia uma funo de seu raio, a rea de um quadrado uma funo de seu lado, a populao de um determinado pas uma funo do tempo, dentre muitos outros exemplos.
Definio: Uma funo f uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um nico elemento de um conjunto B. f: A -> B x f(x) Se x A ento o elemento de B que f associa a x denotado f(x).
O conjunto A chamado domnio da funo. O conjunto B chamado de contradomnio da funo. O conjunto que compreende todos os valores assumidos por y=f(x) quando x toma todos os possveis valores em seu domnio chamado de imagem da funo f.
OBS: 1. x denominada varivel independente da funo (varia sem depender de nenhuma
outra varivel). 2. y chamada varivel dependente da funo (como y=f(x), temos que y depende da
variao da varivel x) .
Uma funo de uma varivel real a valores reais uma funo f: A B, onde A e B so subconjuntos de IR. Seja f: A B uma funo. O conjunto Gf={ (x, f(x)) / xA }denomina-se grfico de f. Assim, o grfico de f um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de nmeros reias. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, o grfico de f pode ento ser pensado como o lugar geomtrico descrito pelo ponto (x,f(x)) quando x percorre o domnio de f.
Domnio
Para determinarmos o domnio (leia o maior domnio) de uma funo, estaremos procurando qual o maior conjunto possvel A IR que satisfaa a lei de correspondncia definida (lembremo-nos de que, para termos uma funo, todos os elementos do conjunto A tm que estar associados a um elemento em B). Graficamente, o domnio da funo a projeo do grfico de f, sobre o eixo das abscissas.
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Problemas de domnio
usual representar uma funo f de uma varivel real a valores reais e com domnio A, simplesmente por y=f(x), xA
Exemplo 1: Seja y=f(x)=x2. Tem-se: a) Df = IR b) f(2)=22=4 (o valor que f assume em 2 4) c) f(-1)=(-1) 2=1 d) f(0)=02=0 e) f(t)=t2 f) f(x+1)=(x+1) 2 g) Grfico de f = {(x,y)/ y=x2, xIR}
Exemplo 2:
Seja f: A IR B IR uma funo. Vamos determinar o (maior) domnio das seguintes leis de correspondncia:
a) f(x)=7x
b) f(x)=y=42
1+x
c) f(x)= 8x
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d) f(x)=xx +2
2
e) f(x)=2
1x
f) f(x)= xx + 11
Exemplo 3: Dada a funo f(x)=-x2+2x , simplifique:
a)1
)1()(
x
fxf
b) h
xfhxf )()( +
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Exerccios:
1) Calcule:
a) g(0), g(2) e g( 2 ) sendo g(x)=12 x
x
b) 0)(sen,)()( 2 =+ abexxfdoab
bafbaf
2) Simplifique )()()( pxpx
pfxf
sendo dados:
a) f(x)=x2 e p=1 b) f(x)=x3 e p=2 c) f(x)=x3 e p qualquer d) f(x)=5 e p=2 e) f(x)=
x
1 e p=1
f) f(x)=x2-3x e p=-2
Exerccios propostos:
1) Determine o domnio de cada uma das seguintes funes: a) y= 3 1+x b) y= 13123 ++ xx c) y=
41
62 ++
xxx
x
d) y=1312
+
x
x
e) y=3
1x
2)
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Respostas: 1) a) IR b) {xIR/x-1/3}ou [-1/3, +[ c){ xIR /x-4 e x-2 e x-3}ou ]- ,-4[ U ]-4,-3[ U ]-3,-2[ U ]-2,+ [ d) { xIR /x>1/3} e){ xIR /x0} 2)
Imagem e contradomnio
O conjunto que compreende todos os valores assumidos por y=f(x) quando x toma todos os possveis valores em seu domnio chamado de imagem da funo f. Graficamente, o conjunto imagem da funo a projeo do grfico de f sobre o eixo das ordenadas.
3)
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Razes ou zeros
Chama-se raiz ou zero de uma funo o nmero r do seu domnio tal que f(r)=0.
Taxa de variao
Sejam x1 e x2 dois elementos distintos do domnio de uma funo f. Chama-se taxa de variao mdia de f entre x1 e x2 a razo:
2121
21,
)()(xx
xx
xfxf
Exerccio 1) Dada a funo f(x)= ,12 x responda:
a) Qual o seu domnio? b) Qual a imagem de x=5? c) Qual o valor de x que possui imagem 5?
OBS: Uma funo f com valores em IR s est bem definida quando sabemos seu (maior) domnio e sua lei de correspondncia.
Igualdade de funes
Sejam f e g duas funes definidas, respectivamente em D1 e D2. Dizemos que f e g so iguais quando D1=D2 e f(x)=g(x), para todo x D1.
Exemplos:
1) f: IR IR e g: IR IR so iguais, pois |x|= 2x , x IR. x |x| x 2x
2) ) f: IR + IR e g: IR + IR so iguais, pois |x|=x, x IR + . x |x| x x
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3) f: IR IR e g: IR IR so diferentes para valores de x negativos. x |x| x x
Exemplo: se x = -5, f(-5) = | 5 | = 5 e g(-5) = -5.
Funo polinmio
Definio: Um polinmio ou funo polinomial P, na varivel x, toda expresso do tipo:
P(x)=a 012211 ... axaxaxax nnnn ++++ , onde nIN, niai ,...,1,0, = so nmeros reais chamados coeficientes e as parcelas nixa ii ,...,1, = , termos do polinmio. Cada termo denominado monmio.
Grfico: A representao grfica de um polinmio pode ser feita por pontos. No entanto, para a representao grfica de uma funo polinmio de grau n>2, num intervalo dado, devemos tomar o cuidado de considerar um nmero suficientemente grande de pontos do referido intervalo a fim de evitar erros grosseiros de representao.
Os polinmios so usados comumente para modelar diversas quantidades que ocorrem em cincias sociais e naturais. Por exemplo, os economistas frequentemente usam uma funo polinomial para representar o custo da produo de x unidades de um produto.
4.1 Funo afim ou funo polinomial do 1o grau
Denomina-se funo afim ou funo polinomial do 1o grau a funo que associa a todo nmero real x, outro nmero real y, tal que:
y=f(x)=ax+b, onde a e b so constantes reais (a0).
Domnio: O domnio da funo afim IR. Imagem: IR Grfico: Reta no paralela aos eixos x e y. Interseo da reta com o eixo 0y: (0,b). Assim, o nmero b chama-se coeficiente linear. Interseo da reta com o eixo 0x: (-b/a,0). Graficamente, a interseo da reta com o eixo 0x o zero de uma funo do 1o grau.
O valor b/a a raiz dessa funo. A taxa de variao de uma funo do 1o grau constante e igual ao coeficiente a.
x1,x2 IR, x1x2.
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O nmero real a denominado coeficiente angular ou declividade da reta.
Graficamente:
Funes crescentes e decrescentes:
A funo afim crescente se, e somente se, o coeficiente angular for positivo, isto , se, e somente se, a>0. A funo afim decrescente se, e somente se, o coeficiente angular for negativo, isto , se, e somente se, a
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4.1.2 Funo identidade
Seja f(x)=ax+b. Se a=1 e b=0 , teremos f(x)=x e f chamada funo identidade.
Domnio: IR Imagem: IR Grfico: reta que contm as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes.
4.1.3 Funo linear
Seja f(x)=ax+b. Se a0 e b=0, a funo polinomial do 1o grau se torna f(x)=ax e chamada funo linear.
Domnio: IR. Imagem: IR. Grfico: reta que passa pela origem. Para esboarmos seu grfico, basta determinar outro ponto alm de (0,0).
OBS: A funo identidade um caso particular da funo linear, onde a=1.
Sinais de uma funo
Seja f: A IR B IR. Para que valores de x temos f(x)>0, f(x)=0 e f(x)0, temos que determinar os valores de x, onde y>0, ou seja,
os valores de x em que o grfico est acima do eixo x. Para saber quando f(x)=0, devemos determinar as razes da funo, ou seja, os
valores de x onde o grfico corta esse eixo. Para saber quando f(x)
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No caso da funo afim, como o zero da funo (f(x)=0) x=-b/a, podemos verificar que:
Exerccios
1) Determine o domnio, imagem e esboce o grfico de cada uma das funes seguintes:
a) f(x)=y= -8 b) f(x)=y=-3x c) f(x)=y=3x-6
2) Dada a funo f(x)=3x-1, calcule:
a) f(4) b) f(2x+1)
3) Seja f(2x+7)=-4x+9. Determinar f(-5).
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4) Determinar a equao da reta que passa pelo ponto (2;1) e tem coeficiente angular igual a 3.
5) Determine p para que a funo f(x)=(2p+3)x+2 seja decrescente.
6) Estudar o sinal da funo f(x)=y=4x-5
7) Estudar o sinal da funo f(x)=y=-4x+5
10) (UNIRIO) O grfico da funo y=mx+n, onde me n so constantes, passa pelos pontos A(1,6) e B(3,2). A taxa de variao mdia da funo :
(A) -2 (B) -1/2 (C)1/2 (D)2 (E) 4
8)
9)
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Exerccios propostos
3)
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7) (UNIRIO) Sejam f e g funes tais que f(x)= 5x+2 e g(x)=-6x+7. Determine a lei que define a funo afim h, sabendo que h(-5)=1 e que o grfico de h passa pelo ponto de interseo dos grficos de f com g.
8) Determine o domnio, imagem e esboce o grfico de cada uma das funes seguintes:
a) f(x)=y= pi b) f(x)=y= x/3 c) f(x)=y=-3x+1
4)
5)
6)
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9)
10)
d)
c)
a) a) b)
12)
13)
14)
a)
b)
c)
a) b)
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Respostas: 1) D 2)a)y=1,25x-22500 b)x=18000 unidades 3) a)-6 b)-9 c)5 2 -6 d)5x+29 e)15x-26 f)(6/5;0) g) (7/5;1) 4)A 5) a)$12,90 b)21km 6) a) firma 3 b) 20 dias
7)h(x)=(3/5)x+4 8) a) D=IR, Im={pi} b)D=IR, Im=IR c) D=Im=IR 9) a)[0,50] b) 180 kwh 10)a)57/8 b)-1 c) (2x+29)/3 d) (10x+89)/3 11)y=-5x-2 12) a e d so
crescentes e b e c so decrescentes 13)p>7/5 14) a) y=-x/7 + 4/7 D(f)=Im(f)=IR c) y=-3x-6; D(f)=Im(f)=IR c) y=1; D(f)=IR, Im(f)={1} 15)a) y=-
3x+11;D(f)=Im(f)=IR b) y=-4x-20; D(f)=Im(f)=IR c) y=-4; D(f)=IR, Im(f)={-4}
Inequaes simultneas
A dupla desigualdade f(x)
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Exerccios
Exerccios propostos:
1) Resolva as inequaes em IR:
2) Resolver os sistemas de inequaes em IR:
Inequaes produto
Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes f(x).g(x)>0, f(x).g(x)0
1o.) Faremos inicialmente o estudo dos sinais das funes f(x) =2x-1 e g(x)=x+4
2o.) Faremos um quadro-produto, no qual figuram os sinais dos fatores e sinal do produto.
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Dentre as inequaes produto, so importantes as inequaes: [f(x)] n >0, [f(x)] n 0
2) (3x+1)30
Exerccio: 1) Determine os valores de x que verificam cada uma das seguintes desigualdades :
a) (-3x+2)(x+1)
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2) Obtenha o domnio da funo f(x)= ).21)(4)(53( xxx ++
3) Resolva as inequaes:
Exerccios propostos
Inequao quociente
Sendo f(x) e g(x) duas funes na varivel x, as inequaes:
0)()(0)(
)(,0)(
)(,0)(
)( xgxf
exgxf
xgxf
xgxf
so denominadas inequaes quociente.
As regras de sinais do produto e do quociente de nmeros reais so anlogas. Na resoluo de inequaoes quociente, podemos, portanto, usar o quadro de sinais.
Exemplo:
Resolva a inequao .0)2()1)(3(
+
x
xx
b)
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3)
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