Variable Aleatoria Discreta.Principales DistribucionesDefinicin de v. a. discretaFuncin de ProbabilidadFuncin de DistribucinCaractersticas de las v.a. discretasPrincipales Distribuciones discretasEjercicios

Definicin de variable aleatoriaEl resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numrica.

En estos casos aparece la nocin de variable aleatoriaFuncin que asigna a cada suceso un nmero.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas (como en el primer tema del curso).

En las siguientes transparencias vamos a recordar conceptos de temas anteriores, junto con su nueva designacin. Los nombres son nuevos. Los conceptos no.

Definicin de v. a. discretaSea (, (), P) un espacio de probabilidad. Una funcin X: X() es una variable aleatoria. Una variable aleatoria es una funcin que asocia un nmero real y slo uno, a cada suceso elemental del espacio muestral () de un experimento aleatorio.Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzar una moneda al aire dos vecesEspacio muestral: = {CC, CX, XC, XX}Sucesos elementales: {CC}, {CX}, {XC}, {XX}Se define la variable X: N de caras obtenidasAsignacin de nmeros reales: (CC, 2); (CX, 1); (XC, 1); (XX, 0)Por tanto, la variable X viene definida por los valores: 0, 1, 2En el ejemplo anterior, X = {0, 1, 2}

Las variables aleatorias discretas son aquellas que slo pueden tomar un nmero de valores finito o infinito numerable. X: X() = xSe representan mediante letras maysculas y pueden tomar n posibles valores:X = { x1, x2, ... , xi , ... , xn }

Funcin de Probabilidad: f(x)Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad.Recuerda los conceptos de frecuencia relativa y diagrama de barras.

EjemploNmero de caras al lanzar 3 monedas.

Funcin de Probabilidad: f(x)Sea (, (), P) un espacio de probabilidad, X una v. a. discreta y {xi} i = 1 .. los valores que toma.

Se llama funcin de probabilidad, f(x), a la funcin que indica la probabilidad de cada posible valor de la v. a. d. X, es decir: f: N [0, 1] xi f(xi) = P(X = xi) = pi =P[{} t.q. X()=xi] i=1, ..,y que verifica:(i) 0 f(xi) 1 f(xi) = 1

Grficamente se representa mediante barras. Con los datos del ejemplo anterior

X012f(xi)0,250,500,25

Funcin de Distribucin, F(x)Sea (, (), P) un espacio de probabilidad, X v. a. discreta, {xi} i = 1 .. los valores que toma y {pi} i = 1 .. la funcin de probabilidad de X.

Se llama funcin de distribucin (acumulativa) de la v.a.d. X, F(x), a la probabilidad de que X sea menor o igual que x; es decir: F: N [0, 1] xi F(xi) = P(X xi) = P[{} t.q. X() xi] =Que cumple las siguientes propiedades: (i) F(- ) = 0 (ii) F(xmin) = f(x1)(iii) F(xmax) = 1(iv) F() = 1 (v) F es montona no decreciente, es decir, si xi xj entonces F(xi) F(xj) (vi) F es continua a derecha, tiene lmites a izquierda y es constante en [xi-1, xi), donde toma el valor

(vii) P(X > x) = 1 - P(X x) = 1 - F(x) (viii) P(xi X xj) = F(xj) - F(xi-1)

Funcin de Distribucin, F(x)Grficamente resulta en la funcin escalera:

Continuando con el ejemplo anterior:F

X012F(xi)0,250,751,00

Caractersticas de las v.a. discretasSe trata de resumir la informacin de una variable aleatoria en un conjunto de medidas (nmeros).

Esperanza: Sea X una v. a. d. El valor esperado o esperanza matemtica de X, denotada por E(X) o por , se define como:

E(X) es un valor fijo que depende de la distribucin de probabilidad de X. Est medida en las mismas unidades que X.

Propiedades de la esperanza: (i) Si C es una constante, entonces E(C) = C. (ii) Linealidad: E(aX + b) = aE(X) + b, a, b (iii) Si g(X) es una funcin de X, entonces:

(iv) Si g(X), h(X) son funciones de X, entonces E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)] (v) |E[g(X)]| E[|g(X)|]

Caractersticas de las v.a. discretasVarianza:Sea X una v. a. d. La varianza de X se denota con Var(X), V(X) o 2 y se define como

La raz cuadrada positiva de la varianza se llama desviacin tpica y se denota con . Tanto la varianza como la desviacin tpica miden la dispersin de la v.a. respecto a su media. Observaciones: - La varianza y la desviacin tpica son cantidades positivas. - La desviacin tpica est medida en las mismas unidades que la v.a.

Propiedades de la varianza: (i) Si C es una constante, V(C)=0 (ii) V(X) = E(X2) - E2(X) (iii) Si a y b son constantes: V(aX+b) = a2 V(X) La desviacin media se define como la esperanza de |X-|.

Principales DistribucionesEn la prctica, la funcin de probabilidad de la mayora de las variables discretas se ajusta a un modelo terico expresado mediante una frmula concreta. Veremos los ms habituales.

Principales DistribucionesDistribucin de Bernouilli Be(p)Tenemos un experimento de Bernoulli si al realizar un experimentos slo son posibles dos resultados:X=1 (xito, con probabilidad p)X=0 (fracaso, con probabilidad q=1-p)Al haber nicamente dos soluciones se trata de sucesos complementarios, verificndose que:p + q = 1Adems E(X) = p, Var(X) = p q

Ejemplos:Lanzar una moneda y que salga cara.p=1/2Elegir una persona de la poblacin y que est enfermo.p=1/1000 = prevalencia de la enfermedadComo se aprecia, en experimentos donde el resultado es dicotmico, la variable queda perfectamente determinada conociendo el parmetro p.

Principales DistribucionesDistribucin Binomial B(n,p)Funcin de probabilidad

Problemas de clculo si n es grande y/o p cercano a 0 o 1.

Media: = n pVarianza: 2 = n p q

Si se repite un nmero fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parmetro p, el nmero de xitos sigue una distribucin binomial de parmetros (n,p).

Lanzar una moneda 10 veces y contar las caras.B(n=10,p=1/2)

Principales DistribucionesDistribucin Binomial B(n,p)Se aplica cuando se realizan un nmero n de veces el experimento de Bernouilli, siendo cada ensayo independiente del anterior. Definimos la v.a.: X=Nmero de xitos obtenidos en las n realizaciones que puede tomar los valores k=0,1,,n con probabilidades:E(X) = n.pVar(X) = n.p.(1-p) = n.p.qEjemplo: Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?La frmula quedara:Luego P (X = 6) = 0,205 20,5% de probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda.

Principales DistribucionesNo siempre es necesario aplicar la frmula para obtener la funcin de probabilidad asociada a un valor de la variable. Existen tablas donde se puede consultar el valor de f(xi). La tabla de la Binomial tiene la siguiente estructura:Dado X B (x; n; p), para buscar una f (x):1 columna: valor de n2 columna: posibles valores de X: 0, 1, , n3 columna: valor de f(x) bajo diferentes valores de p Nota: Cuando n > 17, f(xi) puede aproximarse mediante el modelo normal

Ejemplo:P(X = 1) = 0,02 bajo X B (x; 2; 0,01)

Principales DistribucionesDistribucin de Poisson P()Esta distribucin aparece en algunos procesos que tienen una dimensin temporal o espacial. En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por unidad de rea, tiempo, pieza, etc,:- n de aviones que aterrizan en un aeropuerto por da, hora, minuto, etc, etc.- n de bacterias por cm2 de cultivo- n de llamadas telefnicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- n de llegadas de embarcaciones a un puerto por da, mes, etc, etc.

X= Nmero de xitos obtenidos por unidad de tiempo o de espacio

Para determinar la probabilidad de que ocurran k xitos por unidad de tiempo, rea, o producto, la frmula a utilizar sera: E(X)=

Var(X)=

Principales DistribucionesHay que hacer notar que en esta distribucin el nmero de xitos que ocurren por unidad de tiempo, rea o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, as como cada rea es independiente de otra rea dada y cada producto es independiente de otro producto dado. En estas condiciones el proceso de Poisson, que mide el nmero de xitos en un intervalo de tiempo t, en lugar de por unidad de tiempo, vendra dado porA se le llama tasa de emisin (por unidad de tiempo).

Principales DistribucionesEjemplo:Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por da, cules son las probabilidades de que reciba:a) cuatro cheques sin fondo en un da dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos das consecutivos?

a)X = N de cheques sin fondo que llegan al banco en un da cualquiera X= 0, 1, 2, 3, ....., etc = 6 cheques sin fondo por da b) X= N de cheques sin fondo que llegan al banco en dos das consecutivosX = 0, 1, 2, 3, ......, etc = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo (dos das)

Nota: siempre debe de estar en funcin de X siempre o dicho de otra forma, debe hablar de lo mismo que X.

Principales DistribucionesEjemplo:En la inspeccin de hojalata producida por un proceso electroltico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar a) una imperfeccin en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) cuando ms una imperfeccin en 15 minutos.

a) X = N de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutosX = 0, 1, 2, 3, ...., etc. = 0.2 x 3 = 0.6 imperfecciones (3 minutos) b) X = N de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos X = 0, 1, 2, 3, ...., etc = 0.2 x 5 =1 imperfeccin (5 minutos) = 1 - (0.367918 + 0.367918) = 0.26416

Principales Distribucionesc) X = N de imperfecciones en la hojalata por cada 15 minutosX = 0, 1, 2, 3, ....., etc. = 0.2 x 15 = 3 imperfecciones (15 minutos) = 0.0498026 + 0.149408 = 0.1992106

Tambin se puede considerar esta distribucin como una aproximacin de la binomial cuando n y p, pero el producto n.p permanece constante. Al igual que ocurra con la binomial, los valores acumulados de la distribucin de Poisson se encuentran tabulados para que resulte ms fcil su manejo.

Principales DistribucionesEjemplo:En una concurrida interseccin de trfico, la probabilidad de que un automvil tenga un accidente de trfico es muy escasa, digamos de 0,0001. Sin embargo, durante cierta parte del da (entre las 4:00 pm y las 6:00 pm) un gran nmero de automviles pasa por esa interseccin, digamos unos 1000. En dichas condiciones, cual es la probabilidad de que dos o ms accidentes ocurran durante ese perodo?

X= n accidentes en 1000 coches XB(1000, 0.0001)

Como la probabilidad p es menor que 0,1, y el producto n.p es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribucin de Poisson y podramos aproximar por X P(0.1)

P(X 2) = 1 P(X < 2) = 1 P(X 1) = 1 0.9953 = 0.0047

Principales DistribucionesDistribucin Geomtrica G(p) Realizamos el experimento de forma independiente hasta que obtenemos el primer xito, y definimos la v.a.: X=Nmero de experimentos hasta obtener el primer xito que toma los valores k=1,2,3, con probabilidades: donde se tiene que E(X)=1/p y Var(X)=(1-p)/p2.Ejemplo: Una va de una ciudad tiene seis cruces regulados por semforos. La probabilidad de que al pasar un vehculo un semforo est verde es de 0.60. Cul es la probabilidad de atravesar dicha va en verde, encontrndose rojo solamente el ltimo semforo? Se supone que la regulacin de los semforos es tal que estos son independientes entre s.X = n de semforos que debemos atravesar hasta encontrar el primero rojo X G(0.4)P(X=6) = 0.65 * 0.4 = 0.0311

Principales DistribucionesDistribucin Binomial Negativa BN (n,p)Realizamos el experimento de forma independiente hasta obtener n xitos y definimos la v.a.: X = Nmero de fracasos antes del n-simo xito que puede tomar los valores k=0,1,2, Adems E(X)=n(1-p)/p y Var(X)=n(1-p)/p2. Ejemplo:En los play-off de la NBA americana, el vencedor de cada eliminatoria final es el equipo que logre primero la 4 victoria en un total de 7 confrontaciones. Cul es la probabilidad de que un equipo dispute como mucho 6 partidos, si su porcentaje de partidos ganados es del 60%?P = probabilidad de xito = 0.6X= n fracasos hasta obtener la 4 victoria X BN(4,0.6)P(X 2)=P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0.1296 + 0.20736 + 0.20736 = 0.54432

Principales DistribucionesDistribucin Hipergeomtrica H(N,D,n)La distribucin hipergeomtrica es el modelo que se aplica en experimentos donde, al igual que en la distribucin binomial, en cada ensayo hay tan slo dos posibles resultados: xito o fracaso. Pero se diferencia de la distribucin binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre s (no hay reemplazamiento).Supongamos que tenemos un lote de N piezas de las cuales D son del tipo considerada xito (D N). Extraigo una muestra de n piezas (sin reemplazamiento) y defino la v. a.: X = Nmero de xitos en n intentosque puede tomar los valores k = max{0,n+D-N},1,,min{D,n}Adems E(X)= nD/N y Var(X)=np(1-p)[(N-n)/(N-1)] con p=D/N=proporcin de xitos.

Principales DistribucionesEjemplo: En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas Cul es la probabilidad de que 3 sean blancas?Entonces:N = 12; N-D = 5; D = 7; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:Por lo tanto, P (X = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

Principales DistribucionesDistribucin Multinomial La distribucin multinomial es similar a la distribucin binomial, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber mltiples resultados:con n = x1 + x2 + x3 +

Ejemplo:En una fiesta, el 20% de los asistentes son espaoles, el 30% franceses, el 40% italianos y el 10% portugueses. En un pequeo grupo se han reunido 4 invitados: cual es la probabilidad de que 2 sean espaoles y 2 italianos?Aplicamos el modelo:Luego P = 0,0384 3.84% de probabilidad

Principales DistribucionesDistribucion Multihipergeomtrica La distribucin multihipergeomtrica es similar a la distribucin hipergeomtrica, con la diferencia de que en lugar de dos posibles resultados en cada ensayo, puede haber mltiples resultados (en la urna, en lugar de haber nicamente bolas de dos colores, hay bolas de diferentes colores).Ejemplo:En una caja de lpices hay 10 de color amarillo, 3 de color azul y 4 de color rojo. Se extraen 7 lpices, cual es la probabilidad de que 5 sean amarillos y 2 rojos?Luego P = 0,0777 7,77% de prob.

EjerciciosEjercicio 3.1En una determinada especie animal, en cada parto hay igual probabilidad de macho que de hembra (un slo descendiente por parto). Cuando de una pareja nace una hembra, esta no tiene ms descendencia. El mayor nmero de partos posibles es 4 y el menor es 1. Se quiere estudiar la variable aleatoria X = N de descendientes varones de la pareja.

Construir el espacio muestral correspondiente y determinar las probabilidades de los sucesos elementales. Obtener y dibujar la funcin de probabilidad de la v. a. X. Idem con la funcin de distribucin. Calcular E[X], V(X) y (X). Calcular P(X>0), P(0 < X < 3) y P(X >1). Sea la v.a. Y = N de descendientes. Calcular f(Y), E[Y] y V(Y).

EjerciciosEjercicio 3.2Un embarque de 7 televisores contiene 2 aparatos defectuosos. Un hotel realiza una compra aleatoria de 3 de ellos. Si X es el n de unidades defectuosas que se compran:a) Encuentre la distribucin de probabilidad de X.b) Representarla grficamente.c) Encuentre la distribucin acumulada de X.d) Representarla grficamente.e) Utilizando F(x) encuentre P(X=1) y P(0 < X 2).f) Calcule Varianza y Media de X.Ejercicio 3.3Determinar el valor de k para que la funcin P(x) = k/x, x = 1,2,3,4, sea la funcin de probabilidad de X . Determinar P(1 X 3).

EjerciciosEjercicio 3.4La probabilidad de que un paciente se recupere de una extraa enfermedad de la sangre es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contrado esa enfermedad, Cul es la probabilidad de que:a)al menos 10 sobrevivan.b)sobrevivan entre 3 y 8 personas.c)sobrevivan exactamente 5 personas?.

Ejercicios Ejercicio 3.5Considrese un fabricante de automviles que compra los motores a una compaa donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar 8, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene 2 motores con serios defectos, Cal es la probabilidad de que sea aceptado?.Ejercicio 3.6Un lepidopterista desea capturar un ejemplar de una clase de mariposas que se encuentra con un porcentaje del 15%. Hallar la probabilidad de que tenga que cazar 10 mariposas de la clase no deseada antes de encontrar:a)Un ejemplar de la clase deseada.b)Tres ejemplares de la clase deseada

EjerciciosEjercicio 3.7Una empresa ha medido el nmero de errores que cometen las secretarias recin contratadas a lo largo de los ltimos tres aos (X), encontrando que stas cometen hasta cinco errores en una pgina de 20 lneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente funcin de probabilidad:

Calcule:a)La representacin grfica de la funcin de probabilidad y la funcin de distribucinb)El valor esperado de Xc)La varianza de Xd)La media y la varianza en el caso de que cada error se pondere por 1/5

EjerciciosEjercicio 3.8La variable X = nmero de plizas vendidas por un agente de una empresa de seguros tiene la siguiente distribucin de probabilidad:

Calcule:a)Calcule el valor esperado de Xb)Calcule la varianza de Xc)Cul es la probabilidad de que el agente venda ms de una pliza?d)y la de que venda menos de 3?e)y entre 1 y 4 plizas (ambas inclusive)?

En el supuesto de que el director de la empresa premie con 100 puntos cada producto vendido;f)Qu representa Y? Cul es su distribucin de probabilidad?g) Calcule el valor esperado y varianza de Y

EjerciciosEjercicio 3.9Sea X una variable aleatoria discreta tal que:P (X = a) = 1/10; con a = 2, 3, ... , 11a)Calcule la funcin de distribucin de Xb)P (X > 7)c)P (X 5)d)P (3 X 8)

Ejercicio 3.10Un psiclogo cognitivo realiza un experimento en el que presenta a cinco sujetos un par de estmulos luminosos. La tarea consiste en que cada sujeto debe indicar si ambos estmulos son iguales o no en intensidad. Obtener la funcin de probabilidad asociada al nmero de aciertos de los sujetos, suponiendo que stos han respondido al azar. Representar grficamente el resultado de dicha distribucin.

EjerciciosEjercicio 3.11De una poblacin de 300 pacientes con depresin, de los cuales el 30 por 100 sufre alteraciones somticas, un psiclogo clnico extrae una muestra aleatoria simple de 16 sujetos. Segn esto: Cul es la probabilidad de que haya como mnimo 10 sujetos que sufran alteraciones somticas en esta muestra?

Ejercicio 3.12Suponiendo que segn los ltimos datos del I.N.E. (Instituto Nacional de Estadstica) la probabilidad de nacimiento de nias en la poblacin espaola es 0,51, averiguar la probabilidad de que una familia de seis hijos tenga:a) como mnimo una nia; b) como mnimo un nio.

EjerciciosEjercicio 3.13En un sondeo sobre la actitud hacia la donacin de rganos se encuentra que en una determinada poblacin hay un 80% de sujetos que estn a favor. Si se extrae una muestra aleatoria de 10 sujetos obtenga lo siguiente:a)Probabilidad de que 4 personas estn a favorb)Probabilidad de que ms de 4 personas estn a favorc)Probabilidad de que menos de 4 personas estn a favord)Probabilidad de que como mximo 4 personas estn a favore)Probabilidad de que como mnimo haya 7 personas a favorf)Probabilidad de que estn a favor al menos el valor esperado de sujetos que estn a favorg)Qu puntuacin le corresponde al percentil 89?h)Probabilidad de que estn en contra 4 o ms personas