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8/20/2019 CLASE 3 MATEMATIVAS JUAN BAILON G (Autoguardado).docx

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HIPÉRBOLA

Es un lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal

manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos

jos del blanco, llamados focos; es siempre igual a una cantidad constante,

positivo y menor

que la distancia

entre los focos.

| FP|−| F ' P|=2a

√ ( x−c )2+ y2−√ ( x+c )2+ y

2=2a

(√ ( x−c )2+ y2 )

2

=(2 a+√ ( x+ c )2+ y2 )

2

( x−c )2+ y

2=4 a2+4 a√ ( x+c )

2+ y

2+( x+c )2+ y

2

( x−c )2−( x+c )

2−4a

2=4a√ ( x+c )2+ y

2

−4 xc−4a2=4 a√ ( x+c )

2+ y

2

(− xc−a2 )2=(a√ ( x+c )2+ y

2 )2



x2

c2+2a

2 xc+a

4=a2 [ ( x+c )2+ y

2 ]

x2

c2+2a

2 xc+a

4=a2 x

2+2a2 xc+a

2c2+a

2 y

2

x2

c2−a

2 x

2+a4−a

2c2−a

2 y

2=0

x2 (c2−a

2 )−a2 ( c

2−a2 )−a

2 y

2=0

x2 (c2−a

2 )−a2 y

2=a2 ( c

2−a2 )

x2 (c2−a

2)a2 ( c

2−a2 )−

a2

y2

a2 (c2−a

2 )=

a2 ( c

2−a2 )

a2 ( c

2−a2 )

x2

a2− y

2

(c2−a2 )=1

(Paralela al eje x) b2 ¿ c

2−a2

DETERMINAR EL VALOR DE Y

x2

a2

− y2

b2

=1

x2

a2−1= y

2

b2

x2−a

2

a2 = y

2

b2

b2

( x2

−a2

)=a2

y2

√ y2=√b

2

a2 ( x2−a

2 )

y=± b

a√ ( x2−a

2)

√ x2−a2

x2−a

2≥0

x2

≥ a2



√ 4− x2

−2≥ x≤2 [−2,2 ]

√ x2−4

−2≤ x ≥2 ¿U ¿

Excentricidad

c

ae>1

Deducir la ecuación rdinaria y

2

a2−

x2

b2=1 ! a "ar#e de$arrllar una

di$cu$ión de la ecuación rdinaria%

| FP|−| F ' P|=2a

√ x2+( y−c )2−√ x2+( y+c )

2=2a

(√ x2+ ( y−c )2 )2

=(2 a+√ x2+ ( y+ c )2 )

2

x2+( y−c )2=4 a

2+4 a√ x2+( y+c )2+ x2+( y+c )2

( y−c )2− ( y+c )2−4 a2=4a√ x2+( y+c )2

−4 yc−4 a2=4 a√ x2+ ( y+c )

2

(− yc−a2 )2=(a√ x

2+ ( y+c )2)2

y2

c2+2 a

2 yc+a

4=a2 [ x2+ ( y+c )2 ]



y2

c2+2a

2 yc+a

4=a2 x

2+a2 y

2+2a2

yc+a2

c2

y2

c2−a

2 y

2+a4−a

2c2−a

2 x

2=0

y2 ( c2−a2 )−a2 (c2−a2 )−a2 x2=0

y2 ( c

2−a2 )−a

2 x

2=a2 ( c

2−a2 ) b

2 ¿c2−a

2

y2 (c2−a

2 )a

2 ( c2−a

2 )−

a2 x

2

a2 ( c

2−a2 )=

a2 (c2−a

2 )a2 (c2−a

2 )

y2

a2−

x2

(c2−a2 )=1

y2

a2− x

2

b2=1

y2

a2−1= x

2

b2



y2−a

2

a2 =

x2

b2

b2 ( y2−a

2 )=a2 x

2

√ x2=√b

2

a2 ( y 2−a

2 )

x=± b

a √ ( y2−a

2)

E&ER'I'IO EN 'LAE

9 x2−4 y2=36

9 x2

36 −

4 y2

36 =

36

36

x2

4 − y

2

9 =1

y2

9 = x

2

4 −1

y2

9 =

x2−4

4

4 y2=9 ( x2−4 )

√ y2

=

√ 9

4 ( x2

−4 )

y=± 3

2√ ( x2−4 )

V(2,0)

v (± a ,0)

V’(-2,0)

F (± c ,0)

F( 13,0√ ¿¿

13,0−√ ¿ F ' ¿

Dini

√ x2−4

x2−4≥0

x2

≥ 4

−2≤ x ≥2

¿U ¿



L$ *+r#ice$ de una ,i"+r-la! $n * (.!/)0 *1 (2.!/) 3 $u$ 4c$ 4(5!/)! 46 (25!/)% Hallar la ecuación 3 la excen#ricidad%

a=2a2=4b=3b

2=9

b2=c

2−a2

b2=9−4=5



b=√ 5

x2

a2− y

2

b2=1

x2

4 − y

2

5 =1

Excen#ricidadc

a=3

2

Hallar el lu7ar 7e+#ric de l$ "un#$ cu3 "rduc# de

di$#ancia$ a la$ rec#a$ 8x2539::;/

3 8x9539<;/! $ea i7ual a :88=.<%

L1 4 x−3 y+11=0

x

−11

4

+ y

11

3

=1

L2:4 x+3 y+5=0

x

−5

4

+ y

−5

3

=1



4 x−3 y+11

4 x+3 y+5

16 x2−12 xy+44 x

! " 12 xy+0−9 y2+33 y

0+0+20 x+0−15 y+55

16 x2+0+64 x−9 y

2+18 y+55

16 x2+64 x−9 y

2+18 y+55=144

16 x2+64 x−9 y

2+18 y−89=0

(16 x2+64 x )+ (−9 y

2+18 y )=89

16 ( x2+4 x+4 )−9 ( y2−2 y+1 )=89+64−9

16 ( x+2 )2−9 ( y−1 )2=144

( x+2 )2

9 −

( y−1 )2

16 =1

b2=c

2−a2

c2=b

2+a2

c=√ 9+16

c=5

O ( h ,k ) O (−2,1)

F (h ± c , k ) V (h ± a , k )

F (−2±5,1) V (−2 ± 4,1)

F 1 (−7,1 ) V 1 (−6,1)

F 2 (3,1) V 2 (2,1)

Hallar el lu7ar 7e+#ric de l$ "un#$ P(>! Y) cu3a "rduc# dela$ "endien#e$ de la$ rec#a$ ?ue l$ unen cn l$ "un#$ @j$ (2.!:)3 (8!<) e$ i7ual a 5%

m1m2=3 m=

y2− y1

x2− x2



( y−1

x+2 )( y−5

x−4 )=3

y2−5 y− y+5

x2−4 x+2 x−8=3

y2−6 y+5

x2−2 x−8

=3

y2−6 y+5=3( x2−2 x−8)

3 x2− y

2−6 x+6 y−29=0

3 x2− y

2−6 x+6 y=29

x

y(¿¿2−2 x+1)−1(¿¿2+6 y+9)=29+3−9

3¿¿

3 ( x−1 )2−1 ( y−3 )2=23

( x−1 )2

23

3

− ( y−3 )2

23 =1

b2=c

2−a2

c2=b

2+a2

c=√ 23

3 +23

c=√ 92

3

c= 2√ 69

3



O ( h ,k ) O (1,3 )

F (h ± c , k ) V ( h ± a , k )

F (1± 2√ 693

,3) V (1± 233

,3)

F 1(3+2√ 69

3 ,3) V 1(1+√ 23

3 ,3)

F 2( 3−2√ 69

3 , 3) V 2(1−√ 23

3 ,3)

'RVA PLANA DE ORDEN PERIOR#na curva algebraica es aquella que se puede representar por medio de un

polinomio en x i y $!. Las curvas que no se pueden representar de esta

forma se llaman curvas transcendentes.

Pr"iedade$ l7ar#ica$



LOCARICMOlog100=2

log 102=2

2=2

log 1000=3

log 103=3

3=3

log24=2

log2 22=2

E>PONEN'IALEe

x+ y=e x∗e

y

e x− y= e

x

e y

eln x

2

= x2

eln x

2

= x2



2=2 f ( x )=√ ( x−1 ) ( x−3 ) ( x−4 )

Dini de 4(x)

( x−1 ) ( x−3 ) ( x−4 )≥ 0

( x−1 ) ( x−3 ) ( x−4 )

0< x<1 2 2 2 i

1≤ x≤3 9 2 2 9

3< x<4 9 9 2 i

x≥4 9 9 9 9

%&'#()* L) +#*) x2 y−2 x

2−16 y=0

x2 y−2 x

2−16 y=0

x

y (¿¿ 2−16)=2 x2

¿



y= 2 x

2

x2−16

x2−16 ≠ 0

x ≠ ±4

Dom=(−∞ ,−4 ) U (−4,4 )U (4,+∞)

Rg= IR

*epresentar la curva x

3

− x

2

y+ y=0



x3− x

2 y+ y=0

x3= x

2 y− y

x3= y ( x2−1)

y= x3

x2−1

x2−1≠0

x≠ ±1

Dom= (−∞ ,−1 ) U (−1,1 ) U (1,+∞ )

Rg= I R

N'IN E>PONEN'IAL

%ibujar la funci-n y=

a x

. iendo una ) una constante positivay mayor que la unidad.



y=a x

a=1

Dom= IR

Rg=[1 ]

y=a x

y=4 x

> Y 1 /

0 1

2 /

/ 03

3 1!0/

/!4

5 126/

6 332

4 001//

1! 1!/63511 /14/2!/

10 155501 Dom= IR

Rg= IR

y=3 X

7 8

93!,!!/113

02

9/!,!102/3

6

92!,!25!25

!/



90!,111111

11

91!,222222

22

! 1

1 2

0 4

2 05

/ 61

3 0/2

504

Dom= IR

Rg= IR

y=3 X −1+1

7 8

931,!!1251

5/

9/1,!!/113

02

921,!102/3

6

901,!25!25

!/

911,111111

11

!1,222222

22

1 0

0 /

2 1!

/ 063 60

0// Dom= IR

Rg= IR



Re"re$en#ar La 4unción nral y=e− x

7 y

9/ e4=¿ 3/,3

461392 e

3=¿ 0!,!

633241

90 e2=¿ 5,26

4!3!491 e=¿ 0,51

6061606! 1

1 e−1=¿ !,2

5654//10 e

−2=¿ !,1

232230622 e

−3=¿ !,!

/4565!6

Dom : IR

Rg:(0,+∞ )

*epresentar La funci-n normal y=e− x

2

7 y

92

1

e9



90

1

e4

91

1

e

! 1

1

1

e

0

1

e4

2

1

e9

Dom : IR

Rg¿

PAE A LA ORMA E>PONEN'IAL

log3 ( x+2 )=535=( x+2 )

log2 (32 )=525

=32

logt = ! t !=

log (" )=# #="

DEPE&E T! ANDO loga

2 at /3=5

at /3=

5

2

loga

at /3

= L oga

5 /2

$=% act + D

$− D

% =a

ct

loga

( $− D

% )=loga

act

ct =loga

( $− D

% )

( $− D

% )

3 a4 t =10

a4 t =

10

3

loga a4 t =loga( 103 )

4 t =loga( 103 )loga

10



t

3=loga

5 /2

t =3loga5 /2

t =3 (loga 5−loga 2)

PAE A LA ORMA E>PONEN'IAL

&ogx=50

log10 x=50

1050= x

%eterminar el n:mero si es posible

log (0.0001 )= x

log

( 1

10000 )= x

log( 1104 )= x

log (10−4 )= x

log10 (10−4 )= x

x=−4

%eterminar el valor de e2+ln3

e2

eln 3=3e

2

ln ( '−2 )=1 /6

loge ( −2 )=1/6

eloge( −2 )=e

1/ 6

loge (" )=4+3 x

eloge( " )=e

4+3 x

= 4+3 x

ln (e−3 )= x

x=−3

e1+ln 5=5e

e1

eln 5=5 e

5e=5e



. .

.

F/

F///:::.:

.

:

F/G/

/

%eterminar el valor de 3log3 8

3log38=8

<raque la siguiente funci-n y determinar el dominio y el rangof ( x )=−log4 x

7 y

!∞

1=/ 1

/ 911=1 0

1 90

Dom(0,∞ )

Rg: IR

N'IN TRICONIMÉTRI'A

cot30(=a)y

o! =√ 3

c*c30(=h+!

o! =2

*ec 30 (= h+!

a)y =2√ 3

3

sin30 (= o!

h+!=

1

2

cos30 (= a)y

h+! =√ 3

2

tan30(= o!

a)y=√ 3

3

cot60 (= a)y

o! = √ 3

3

c*c 60 (= h+!

o! = 2√ 3

3

*ec60 (= h+!

a)y

=2

sin 60(= o!

h+!= √ 3

2

cos60 (= a)y

h+! = 1

2

tan60(= o!

a)y

=√ 3



4!

/3

/3

:

G/

./

:J/ / 5F/

" >?%?

+os @

ec @ >g @

+ot @

en @

+sc @9

&&

&&& &

sin0 (=0

cos0(=1

tan0(=0

c*c 0 (=∞

*ec0 (=1

cot 45(=a)y

o! =1

*ec45 (=h+!

a)y=√ 2

*ec45 (=h+!

a)y=√ 2

sin 45 (= o!

h+!= √ 2

2

cos 45(= a)y

h+! = √ 2

2

tan 45(= o!

a)y

=1

&



cot 30(=0

c*c= 1

*e-

*ec= 1

co*

tan=sin

cos

cot =cos

sin = 1

tan

sin2 +cos2=1

1+cot2 =c*c2

tan2

+1=*ec2

*e-2=2 *e-∗cos

cos2=cos2−*e-2

f ( x )= * e- x

x f ( x )

0

!.

2 1

. !

3 .

2 912.

!

Dom+-+oIR

Ra-go [−1,1 ]



f ( x )=cos x

x f ( x )

0

1.

2 !

. !

3 .

2 91

2.

1

Dom+-+oIR

Ra-go [−1,1 ]

f ( x )= tan x

x f ( x )

0

!.

2 ∞

. !

3 .

2 −∞

2.

!

Dom+-+o(−.

2 ,

.

2 ) Ra-goIR



f ( x )=|cos x|

x f ( x )

0

1.

2 !

. 1

3 .

2 !

2.

1

Dom+-+o Ɍ

Ra-go[ 0,1 ]

tan0 (=sin0 (

cos0 (=

0

1=0

tan90 (= sin 90 (

cos 90(=1

0=∞

tan 180 (=sin 180(

cos180(=

0

−1=0

tan 270 (=sin 270(

cos270(=−1

0 =−∞



tan 360 (=sin 360(

cos360(=

0

1 LKMITE DE NA N'IN

En la aplicaci-n de la denici-n de lAmites, se presenta usualmente en casos

como el siguiente.

e tiene una variable BvC y una funci-n dada BDC de BvC y se supone que la

variable BvC recibe valores tales que BvC cuando tienda a BlC.

i efectivamente existe una constante BaC tal que el lAmite D$a entonces se

expresa esta relaci-nlimv/ &

=a

lim x/ 5

f ( x )= x2+3 x+2/5

2+3 (5 )+2

lim x/ 5

f ( x )=42

De$#rar ?ue el li#e delim x/ 2

x2=4

lim x/ 2

x2= (2 )2

lim x/ 2

x2=4

De$#rar ?ue el li#e

lim /2

2−9

+2 =

−5

4

'=2

f (2 )=(2 )2−9

2+2 =

4−9

4 =

−5

4



N'IONE 'ONTINA Y DI'ONTINA

De#erine ellim x/ 2

x2+4 x

f (2 )= (2 )2+4 (2 )

f (2 )=4+8

f (2 )=12

e dice que una funci-n f ( x) es continua para x$a si el lAmite de la

funci-n, cuando B x C tiende acia a es igual al valor de la funci-n

para x=a .

lim x/ a

f ( x )=f (a)

En#nce$ f ( x ) e$ cn#inua "ara x=a %

e dice que es discontinua para x=a si no se satisface esta condici-n.

'a$ :

f ( x )= x2−4

x−2 0 !aa x=1

f (1 )=(1)2−4

1−2

f (1 )=1−4

−1 =3

lim x/ 1

x2−4

x−2 =3



'a$ .

i f ( x ) no estF denida para x=a pero el lAmite de f ( x )

x/ 2

=%

entonces f ( x ) serF continuo para x=a , si se toma como valor de

f ( x) para x=a , el valor '.

lim x/ 2

x2−4

x−2 =4

b1*ca &a fomaha*ta #1e*e haga4

f (2 )=(2)2−4

2−2 =

4−4

0 =0¿ G

f ( x )= x2−4

x−2 =

( x−2 ) ( x+2 )( x−2 )

=( x+2 )

f ( x )= ( x+2 )

lim x/ 2

( x+2 ) ¿4

f (2 )=2+2=4

ININITO

i el n:mero de una variable BvC llega a ser y permanecer mayor a

cualquier n:mero positivo asignado de antemano por grande que este

sea, decimos que * se vuelve innita si * solo toma valores

negativos sea ace innitamente positivo o nita positivamente.

i se toma valores positivos se ace innitamente negativo o nito

negativamente.

lim v=∞



lim v=+∞ lim v=−∞

lim x/ 0

1

x =∞

x/0−¿1

x=∞−¿

lim¿¿

x/0+¿ 1

x=∞+¿

lim¿

¿

Recrdar >odo n:mero que se divida por un innito es igual !

De$#rar ?ue el li#e

lim x / ∞

2 x3−3 x

2+4

5 x−6 x2−7 x

3=−2

7

2 x3−3 x

2+4

x3

5 x−6 x2−7 x

3

x3

=

2 x3

x3 −

3 x2

x3 +

4

x3

5 x

x3 −

6 x2

x3 −

7 x3

x3

=

2−3

x+ 4

x3

5

x2−

6

x−7

=

2− 3

∞ +

4

∞3

5

∞2− 6

∞−7

=−2

7

Deue$#re la$ $i7uien#e$ 4uncine$

lim x / ∞

4 x+52 x+3

=2

4 x x + 5

x

2 x

x + 3

x

=4+ 5

x

2+ 3

x

=4+ 5

∞

2+ 3

∞

= 4

2=2



limt /0

4 t +3 t +2

t 3+2 t −6

=−1

3

4(0)+3 (0)+2(0)3+2(0)−6

= 2

−6=−1

3

limh / 0

x2

h+3 x h3+h

3

2 xh+5 h2 = x

2

h( x2+3 x h2+h

2 )h (2 x+5h ) =

( x2+3 x (0)2+(0)2 )

(2 x+5(0)) =

x2

2 x=

x

2

lim x / ∞

a x4+b x

2+ c

)x5+ x

3+ fx=0

a x4

x5 + b x

2

x5 + c

x5

)x5

x5 + x3

x5 + fx

x5

=

a

x+ b

x3 + c

x5

)+ 1 x

2+ f

x4

=

a

∞+ b

∞3+ c

∞5

)+ 1∞

2+ f

∞4

= 0

)=0

lim x / ∞

a x4+b x

2+c

)x3+ x

2+ fx+g=∞

a x4

x4 + b x

2

x4 + c

x4

)x3

x4 + x

2

x4 + fx

x4 + g

x4

=a+ b

x2+ c

x4

)

x+ 1

x2+ f

x3 + g

x4

=a+ b

∞2+ c

∞4

)

x+ 1

∞2+ f

∞3+ g

x4

= a∞=∞



lim* /a

*4−a

4

*2−a

2=2a

2

*4−a

4

*2

−a2=

( *2−a

2 ) ( *2+a

2 )

( *2

−a2

)

=*2+a

2/ lim

*/ a

*2+a

2=2a2

lim* /a

a2+a

2=2a2

lim x/ 2

x2+ x−6

x2−4

= 5

4

x2+ x−6

x2−4

= ( x+3 ) ( x−2 )( x−2 ) ( x+2 )

=( x+3 )( x+2 )

lim x/ 2

( x+3 )( x+2 )

=2+32+2

=5

4

limh /0

√ x+h−√ x

h =

1

2√ x

√ x+h−√ x

h = √ x+h−√ x√ x+h−√ x

h√ x+h+√ x= x+h− x

h (√ x+h+√ x )= h

h(√ x+h+√ x )

¿ 1

√ x+h+√ x=

1

√ x+0+√ x=

1

√ x+√ x=

1

2√ x

lim x / ∞

6 x3

−5 x2

+32 x

3+4 x−7=3



6 x3

x3 −

5 x2

x3 +

3

x3

2 x3

x3 +

4 x

x3 −

7

x3

=6+

5

x+ 3

x3

2+ 4

x2+ 7

x3

=6+

5

∞+ 3

∞3

2+ 4

∞2+ 7

∞3

=6

2=3

limk / 0

(2 +3 k )3−4 k 2

2 (2 −k )2 =1

(2 +3(0))3−4 (0)2

2 (2 −(0))2 =

8

2 (4 2)=8

3

8 3=1

DERIVADA

DERIVADA DE NA N'IN DE NA VARIABLE

La derivada de una funci-n es el lAmite de la raD-n del incremento de lafunci-n al incremento de la variable independiente cuando este tiende a

B!C.

)y

)x= lim

3 x /0

4 y

4 x =

f ( x+3 x)−f ( x )3 x

y' =f

' ( x ) )y

)x !e-)+e-te)e &aectata-ge-te a &ac1v a

y'' =f

' ' ( x ) ,)

2 y

) x2 $ce&eac+5- (f6*+ca )

y'' ' = f

'' ' ( x ) ,)

3 y

) x3

!e-)+e-te )e &aecta ta-ge-te a &ac1eva(matem7t+ca* )

f1ea I-*ta-ta-ea)e ace&eac+5- y f1ea ce-t6!eta( f6*+ca)



Eje"l

f ( x )= x2

y= x2

y ' =2 x

La derivada de una constante es ! / )

)x (a )=0

f ( x )= x3

y= x3

f ( x+3 x )=( x+3 x )3

)y

)x=

( x+3 x )3− x3

3 x = x

3+3 x2

3 x+3 x 3 x2+3 x

3− x3

3 x

)y

)x=

3 x (3 x2+3 x 3 x+3 x

2)3 x

=3 x2+3 x 3 x+3 x

2=3 x2

f ( x )=( x+2 )

2

f ( x )= x2+4 x+4

f ' ( x )=

)y

)x ( x2 )+ )y

)x (4 x )+

)y

)x (4 )

f ( x+3 x )=( x+3 x )2

)y

)x=

( x+3 x )2− x2

3 x

x2+2 x 3 x+3 x

2− x2

3 x

3 x (2 x+3 x )

=2 x+3 x=2 x

f ( x )=ax2+bx+c

f ' ( x )=

)y

)x=

)y

)x (a x

2 )+ )y

)x (bx )+

)y

)x ( c )

' x =2 a x+b / e-)+e-te)e &a ecta ta- e-te



f ' ( x )=2 x+4

f ( x )=2√ x

f ' ( x )=

)y

)x (2√ x )=

)y

)x(2 x

1

2)=)y

)x (2 1

2 x

1

2−1) )y

)x( x

−1

2 )

f ' ( x )= 1

√ x

f ( x )=2√ x+1

x

f ' ( x )=

)y

)x (2√ x )+

)y

)x ( 1 x )=)y

)x(2 x

1

2 )+ )y

)x ( 1 x )=)y

)x (2 1

2 x

1

2−1)+ )y

)x ( 1 x )

f ' ( x )= )y

)x( x

−1

2 )− 1

x2



f ' ( x )=

1

√ x− 1

x2 PROPIEDADE DE DERIVADA

) ( x-)=-x-−1

) (1v )=-1-−1∗)1

)

a

x-=−a-

x-+1

)

( a

1-

)=−a

-

1-+1∗)1

) (1+v )=)1+)v

) (1∗v )=1∗)v+v∗)1

) (1∗v∗ )=1v∗)+1∗)v+v∗)1

) ( 1

v )= v∗)1−1∗)v

v2

DERIVADA DE MLTIPLI'A'ION

M+#d :

y,=( x+2)) ( x+5 )+( x+5 ) )( x+2)

y,= ( x+2)∗1+ ( x+5 )∗1

y,=2 x+7

E&ER'I'IO

M+#d .

y $ Hx " 0G Hx " 3G

y,=2 x

2+7 x+10

y,=) ( x2 )+) (7 x )+) (10)



y $ x

2+5( x2+5 )¿ G

y,= ( x2+2 ) ) ( x2+5 )+ ( x2+5 ) ) ( x2+2)

y,=( x2+2 ) (2 x )+( x2+5)(2 x )

y,=2 x ( x2+2+ x

2+5)

y,=2 x (2 x

2+7 )

y,=4 x

3+14 x

y $ (3 x+2 ) ( x2+5 )

y,= (3 x+2 ) (2 x )+( x2+5)(2 x)

y,=6 x

2+4 x+3 x2+15

y,=9 x

2+4 x+15

y $ ( 3

x+2)(2 x

3+5)

y

,=( 3 x +2) (6 x2 )+(2 x

3+5)(−3

x2 )

y ,=18 x+12 x2−6 x− 15 x

2

y

,=12 x2+12 x−

15

x2

y $

(3

x

+2)(√ x+5)



y,=( 3 x +2)( 1√ x )+(2√ x+5)(

−3

x2 )

y

,= 32

√ x3

+ 2

√ x− 6

2

√ x3

− 15

x2

y,=

−32√ x3

+ 2

√ x−

15

x2

y= x+2

x+50 x ≠5

y,=

( x+5 ) 81− ( x+2 ) 81

( x+5)2

y

,= x+5− x−2

( x+5)2

y,=

3

( x+5)2

y= x

2+2 x+5

y,=

( x+5 ) (2 x )−( x2+2)( x+5)2

y

,

=

2 x2+10 x− x

2−2

( x+5)2

y,=

x2+10 x−2

( x+5)2



3 ; x

2−4

x+2

y,=

( x+2)( x−2)( x+2)

y,=( x−2)

y,=1

3 ; x2−4

x+2

y,=

( x+2 ) (2 x )−( x2−4 )

( x+2)2

y,=

2 x2+4 x− x

2−4

( x+2)2

y

,= x

2+4 x+4

( x+2)2

y,=

( x+2)2

( x+2)2

y,=1

E$#e ejercici $e"uede re$l*er "r .



• y $( x3−a

3)( x−a)

x−a¿¿¿

y,=

( x−a) (3 x2 )−( x3−a

3)¿

y,=( x−a) [3 x

2

−( x2

+ax+a2

)]( x−a)2

y,=

( x−a) [3 x2− x

2−ax−a2 ]

( x−a)2

y,=

( x−a)(2 x2−ax−a

2)( x−a)2

y,=

( x−a)(2 x2−ax−a

2)

( x−a)2

y,=

2 x2−ax−a

2

( x−a)

y,=

(2 x+a)( x−a)( x−a)

y,=

(2 x+a)( x−a)( x−a)

y,

; .x 9 a

( x3−a

3 ¿ ; (x a)Q(

x2+ax+a

2¿



3 ;(3 x

2+5)( x+2)

y,

=

( x+2 ) (6 x )−(3 x2+5)

( x+2)2

y,=

6 x2+12 x−3 x

2−5

( x+2)2

x+2¿¿¿

y,=

3 x2+12 x−5

¿

3 ;3

3√ x+5

√ x

√ x¿¿¿

y,=

√ x ( 13√ x2 )−(3 3√ x+5 ) ( 12√ x )¿

y,=

3 x1

3

x

1

2

+ 5

x

1

2

y

,=3 x1

3 x−1

2 + 5

x1

2

y,=3 x

−1

6 + 5

x

1

2

y

,= 3

x1

6

+ 5

x1

2

y

,=−1

2 x7

6

− 5

2 x3

2

METODO DE LA 'ADENA

) ( x3) ;



3 ; ( x+2)2

y,= x

2+4 x+4

y,

=2 x+4

3 ; ( x2+a)2

y,=2 ( x2+a ) ) ( x2+a)

y,=2( x2+a)(2 x )

y,=4 x ( x2+a)

3 ; ( x+2

x−2 )3

y,=3(

x+2 x−2 )

2

) ( x+2 x−2 )

y

,=3( x+2 x−2 )

2

( x−2− x−2

( x−2 )2 )

y

,=3( x+2 x−2 )2

( −4

( x−2 )2 )

y

,=−12( x+2)2

( x−2)4

3 ; [ ( x+2)( x+3)( x−2) ]

4

y,=4 [ ( x+2)( x+3)

( x−2) ]3

) (( x+2)( x+3)( x−2) )

y

,

=4

[( x+2)( x+3)

( x−2)

]3

( ( x−2 ) [ ) ( x+2 )+) ( x+3)]− [ ( x+2 ) ( x+3 )∗) ( x−2)]

( x−2)2

)



y,=4 [ ( x+2)( x+3)

( x−2) ]3

( x−2− x2−3 x−2 x−6

( x−2)2 )

y,=4

[( x+2)( x+3)

( x−2)

]

3

(− x

2−5 x−8

( x−2)2

)

( x−2) (2 x+5 )− x2−5 x−8

x−29¿¿¿

y,=

4( x+2)3( x+3)3[¿ ]

¿

y,=

4( x+2)3( x+3)3 [2 x2+ x−10− x

2−5 x−8 ]( x−2)5

y,=

4( x+2)3( x+3)3( x2−4 x−18)( x−2)5

3 ; [ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2) ]4

y,=4

[[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2)

]]

3

∗)

[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2)

]

y,=4

[[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2) ]]3

∗( x−2 ) [) ( x+2 )+) ( x+3)2 ]− [ ( x+2 )+( x+3)2∗)( x−2) ]

( x−2)2

y

,

=4

[[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2) ]]3

∗( x−2) [1+2 ( x+3) ]− [ x+2+ x2+6 x+9 ]

( x−2)2

y

,=4[[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2) ]]3

∗( x−2 ) [ 1+2 x+6 ]− [ x2+7 x+11]

( x−2)2

y

,=4[[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2) ]]3

∗ x+2 x2+6 x−2−4 x−12− x

2−7 x−11

( x−2)

2



y

,=4[[ ( x+2 )+( x+3)2

( x−2) ]]3

∗ x2−4 x−25

( x−2)2

y,=

4 ( x+2)3

+( x+3)6

( x−2)3 ∗ x2−4 x−25

( x−2)2

y,=

4( x+2)3+( x+3)6( x2−4 x−25)

( x−2)5

3 ;√ x+2

x−2

y,=

( x−2 )( 1

2√ x+2 )−( 1

2√ x+2 )( x−2)2

y,=

x−2

2√ x+2− 1

2√ x+2

( x−2)2

y,

=

x−1

2√ x+2

( x−2)2

x+2√ ¿¿

( x−2)( 1

2√ x+2 )−¿

y,=¿

y ,=

x−2−2(√ x+2)(√ x+2)

2√ x+2( x−2)2

y,=

x−2−2( x+2)2√ x+2

( x−2)2

y,=

x−2−2 x−4

2√ x+2

( x−2)2

) √ x+2= x+21

2 1 ( x+2)

−1

2



y,=

(3 x3+2)( 1

2√ x2+5 )−(√ x2+5 )(9 x2 )

(3 x3+2 )2

y,=

3 x4+2 x

√ x2+5

−9 x2√ x2+5

(3 x3+2)2

y,=

3 x4+2 x−9 x

4−45 x2

√ x2+5

(3 x3+2)2

y,=

−6 x4+2 x−45 x

2

√ x2+5

(3 x3+2)2

y,=

−6 x4−45 x

2+2

√ x2+5(3 x3+2)2

DERIVADA DE LOCARITMO

x

ln ¿¿

) ¿

1

ln ¿¿

) ¿

3 ; ln x2

y,=

)( x2)

x2

√ x2+5) ¿ ) ;

( x2

+5)

1

2

01

2 ( x2

+5)

−1

2

0 1

2√ x2+5



3 ; ln ( x+2)2

x+2¿

¿¿2)¿

y,=¿

y,=

2 ( x+2 )( x+2)

( x+2)2

y,=

2( x+2)

( x+2)2

y,

= 2

x+2

3 ; ln x3+

3

x2

y,=

)( ln x3)

x3 +

) (3)

x2

y,=

3 x2

x3

+

(−6

x3

) y

,=3 x2

x3 − 6

x3

y,=

3

x− 6

x3

3 ; ln √ x2+3 x

y,=

)( x2+3 x)12

( x2+3 x)1

2

y,=

1

2( x2+3 x)

−1

2 (2 x+3)

( x2+3 x )1

2



y,=

2 x+3

2√ x2+3 x

√ x2+3 x

y

,

=

2 x+3

( x2+3)

y,=

2 x+3

2 x2+6

3 ; √ ln ( x2+4 x )

x2+4 x

ln ¿¿¿

y,=

)√ ln ( x2+4 x)¿

x¿

(¿2¿+4 x)ln ¿√ ¿

y

,

=

1

2 [ln( x2

+4 x )]

−1

2

) ¿

x

) ln (¿¿2+4 x )

2√ ln x2+4 x

y,=¿

y,=

2 x+4

x2+4 x

2√ ln x2+4 x

y

,= 2 x+4

2√ ln x2+4 x∗( x2+4)

x2+4

2√ ln x2+4 x∗¿

y ,=2 ( x+2 )

¿



x2+4

√ ln x2+4 x∗¿

y ,=( x+2 )¿

3 ; √ ln x2

x

y,=( ln x

2

x )1

2

y

,= 1

2

√

ln x2

x

∗) ( ln x2

x )

y

,=

1

2√ ln x2

x

∗2−ln x2

x2

x2

2− ln¿¿

x

1

2

¿ y

,=¿

y

,= 2−ln x

2

2√ x3√ ln x

2

y,= 2− ln x

2

2√ x3 ln x2

3 ; ln 1

x

y,=ln x

−1

y,=−1-x

y,=−) ln x

y,=−1

x

) ln x

2

x =

x) ln x2−ln x

2

x2 0

2 x

x2 : 2

x



3 ; ln 1

x2

y,=ln x

−2

y

,

=−2 ln x

y,=−2

x

3 ; ln 1

√ x+2

y

,=ln 1

( x+2)−1

2

y,=−1

2 ln ( 1 x+2 )

y,=

−1

2 ∗1

x+2

y,= −1

2 x+4

3 ;

x

ln ¿¿¿

ln ¿

y,=

) ln x

ln x

y

,

=

1

x

ln x

y,=

1

x ln x

y,=

1

x ln x

3 ; ln √ ln x



y,=

)√ ln x

√ ln x

y,=

) ln x

2√ ln x

√ ln x

y,=

ln x

2ln x

y,=

1

x

2ln x

y,=

1

2 x ln x

:%2 De#erine el *alr de la "endien#e de larec#a #an7en#e a la cur*a cuand x e$ i7ual a:%

y,=ln√

x2+1

x2−1

y,=ln( x

2+1

x2−1 )

1

2

y,=

)( x2+1

x2−1 )

1

2∗) ( x2+1

x2−1 )

( x2+1

x2−1 )

1

2

y

,

=

1

2

( x2+1

x2−1 )

−1

2 ∗2 x

2 x

( x2+1

x2−1 )

12

y,=

1

2√ x

2+1

x2−1

∗) ( x2+1

x2−1 )

( x2+1

x2−1 )

1

2



y,=

)( x2+1

x2−1 )

2( x2+1

x2−1 )

y

,=

( x2−1 ) (2 x )−( x2+1)(2 x)

( x2−1)2

2( x2+1

x2−1 )

y

,=

2 x3−2 x−2 x

3−2 x

( x2−1)2

2

( x

2+1

x2

−1

)

y,=

−4 x

( x2−1)2

2( x2+1

x2−1 )

y,=

−4 x ( x2−1)2( x2−1)( x2+1)

x(¿¿ 2−1)( x2+1)

y,=

−2 x¿

y,= −2 x

x4−1



ln √ 5

3

fH0G $ ln √ 5

3

fH0G $ ln 5

3

1

2

>angente de la recta

BxC $ reemplaDa a y,

y,=

−2(2)

(2)4−1

y,=−4

15

P (. 0 /%.<)

%emostrar quelim x/ 2

x2=4

f ( x )= x2

lim x/ 2

x2 ¿22

f ( 2 )=4

clase 3 matemativas juan bailon g (autoguardado).docx

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