chương 2: ÔtÔmÁt hỮu hẠn vÀ biỂu thỨc chÍnh quy

Chương 2:ÔTÔMÁT HỮU HẠN VÀ BIỂU

THỨC CHÍNH QUY

Nội dung

I. Biểu thức chính quyII. Ôtômat hữu hạn

Ôtômat hữu hạn tiền định Ôtômat hữu hạn không tiền định Sự tương đương giữa ô tô mát hữu hạn tiền định và

không tiền địnhIII. Sự tương đương giữa ô tô mát và biểu thức chính quyIV. Văn phạm chính quyV. Các ngôn ngữ chính quy

Các tính chất đóng của các ngôn ngữ chính quy Định lý “đùn”

I. Biểu thức chính quy (BTCQ)

Định nghĩa: Cho bộ chữ là một BTCQ ε là một BTCQ a thì a là một BTCQ , là các BTCQ(+), (.), (*) là các BTCQ

Chú ý: Trong BTCQ chỉ có 3 phép toán và thứ tự ưu tiên là *,.,+ Toán tử ghép tiếp “.” có thể viết:

Giá trị của BTCQ

Một BTCQ trên biểu diễn một ngôn ngữ trên L()= ; L(ε)= {ε} L(a)={a} với a L((+))=L()L() L(())=L().L() L((*))=(L())*

Ta gọi ngôn ngữ chính quy là mọi ngôn ngữ có thể được chỉ định bởi một biểu thức chính quy.

Ví dụ về BTCQ và giá trị

Ví dụ:

BTCQ Giá trị

00 {00}

(0+1)* {0,1}*

(0+1)*00(0+1)* {x|x{0,1}* và x chứa 2 con 0 liên tiếp}

(1+10)* {x|x {0,1}* x có con 1 ở đầu và không có hai con 0 liên tiếp}

Tính chất của BTCQ Cho r, s, t là các BTCQ:

(1) r+s=s+r

(2) r+(s+t)=(r+s)+t

(3) r(s+t)=rs+rt

(4) rε= εr=r

(5) r+=r

(6) (ε+r)*=r*

(7) (r*)*=r*

(8) r+r=r

(9) r(st)=(rs)t

(10) (r+s)t=rt+st

(11) r=r=

(12) *= ε

(13) r+r*=r*

(14) (r*s*)*=(r+s)*

Ví dụ

Hãy mô tả bằng lời các tập hợp chỉ định bởi các biểu thức chính quy sau: (11+0)*(00+1)* (1+01+001)*(ε+0+00)* [00+11+(01+10)(00+11)*(01+10)]*

Cấu tạo của OHT Cấu tạo:

Một băng vào: chứa xâu cần xử lý (xâu vào), mỗi ô chứa một kí tự

Một đầu đọc: tại mỗi thời điểm trỏ vào một ô của băng vào và cho phép đọc kí hiệu trong ô đó

Cái điều khiển (bộ chuyển trạng thái): tại mỗi thời điểm có một trạng thái:

Các trạng thái là hữu hạn Có một trạng thái đầu và các trạng thái thừa nhận

Một hàm dịch chuyển: cho phép xác định trạng thái tiếp theo dựa và trạng thái và kí hiệu đọc được hiện tại

II. Ôtômát hữu hạn

Là máy đoán nhận ngôn ngữ Có hai loại:

Ôtômát hữu hạn tiền định (đơn định)(ÔHT) Ôtômát hữu hạn không tiền định(ÔHK)

Cấu tạo của OHT

1 0 0 1 1 1 0

q Cái điều khiển

Đầu đọc

Hình. Ôtômát hữu hạn tiền định

Băng vào

Nguyên lý hoạt động Ban đầu: OHT ở trạng thái đầu, đầu đọc trỏ vào kí hiệu đầu tiên

của xâu vào Lặp:

ÔHT đọc kí hiệu trên băng, xác định trạng thái tiếp theo dựa vào hàm dịch chuyển, đẩy đầu đọc sang phải một ô

OHT dừng khi đọc hết xâu vào, nếu trạng thái cuối là trạng thái thừa nhận thì xâu và được thừa nhận (thuộc ngôn ngữ mà ôtômát mô tả)

Ôtômát hữu hạn tiền định

Ví dụ: Cho ôtômát tiền định M, trong đó: Bộ chữ vào ={0,1} Q={q0, q1, q2, q}, q0 là trạng

thái đầu F={q0} là tập trạng thái kết

thúc Hàm dịch chuyển : Q×

Q, cho bởi bảng bên Xâu vào: 1001 , 11, 0110

0 1

q0 q2 q1

q1 q3 q0

q2 q0 q3

q3 q1 q2

Định nghĩa OHT

Định nghĩa: OHT là một bộ năm M=(,Q,,q0,F) trong đó: - tập hữu hạn các kí hiệu (bộ chữ vào) Q – tập hữu hạn các trạng thái, Q= :Q× Q là hàm dịch chuyển q0 Q là trạng thái đầu FQ là các trạng thái thừa nhận (trạng thái cuối)

Ôtômát tiền định

Hệ viết lại ngầm định của ôtômát M là W=(V,P), trong đó: V=Q P: tập các sản xuất được xây dựng như sau:

Nếu (q,a)=p thì qap là một quy tắc trong P Ngôn ngữ đoán nhận bởi M là:

L(M)={| *, q0*qF}

Biểu diễn đồ thị của OHT

Biểu diễn OHT bằng đồ thị: Mỗi nút biểu diễn một trạng thái cụ thể: Mỗi nút là một vòng tròn có tên trạng thái Có bao nhiêu trạng thái thì có bấy nhiêu nút Mỗi cung là một mũi tên chỉ hướng chuyển có kèm

kí hiệu gây ra sự chuyển Nút trạng thái đầu có mũi tên chỉ vào Nút trạng thái cuối vẽ bằng nét kép

Biểu diễn đồ thị của OHT

Ví dụ: M=(,Q,,q0,F)

={0,1}; Q={q0, q1, q2}; F={q1} được cho bởi:

(q0, 0)=q0, (q0, 1)=q1

(q1, 0)=q0, (q1, 1)=q2

(q2, 0)=q2, (q2, 1)=q1

ĐỒ thị chuyển trạng

thái tương ứng:

Ôtômát hữu hạn không tiền định

Định nghĩa: OHK là bộ 5 M=(,Q,,q0,F) trong đó: - bộ chữ vào Q – tập hữu hạn các trạng thái, Q= :Q×({ε})(Q) là hàm dịch chuyển q0 Q là trạng thái đầu FQ là các trạng thái thừa (trạng thái cuối)


Ví dụ: Sơ đồ chuyển trạng thái của một OHK


OHK khác OHT: Từ một trạng thái gặp một kí hiệu được đọc vào có

thể chuyển sang một số trạng thái tiếp theo (hàm chuyển là hàm đa trị)

Từ một trạng thái có thể không cần kí hiệu vào OHK cũng chuyển trạng thái (dịch chuyển ε)

Sự tương đương giữa OHT và OHK

Ta gọi: L(OHT) là lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi

OHT L(OHK) là lớp các ngôn ngữ được đoán nhận bởi

OHK Ta chứng minh: L(OHT)=L(OHK) (tức là ngôn ngữ L

được đoán nhận bởi OHT L cũng được đoán nhận bởi một OHK)


L được đoán nhận bởi OHT thì cũng được đoán nhận bởi một OHK: Thêm một số trạng thái qi và một số bước chuyển sao cho:

Các qi không thể đến được đích F Phá vỡ tính tiền định Như vậy, OHT trở thành OHK và cũng đoán nhận ngôn ngữ L

L được đoán nhận bởi OHK thì cũng được đoán nhận bởi một OHT: Loại bỏ dịch chuyển Loại bỏ các đặc tính không tiền định


Loại bỏ dịch chuyển –ε: Định lý II.1: Nếu một ngôn ngữ được thừa nhận

bởi một ô tô mát hữu hạn thì nó cũng sẽ được thừa nhận bởi một ô tô mát hữu hạn không có dịch chuyển ε

(CM:Lý thuyết ngôn ngữ và tính toán – Nguyễn Văn Ba)

Loại bỏ dịch chuyển Cho OHK M= (, Q, , q0, F), dựng OH

M’=(’, Q’, ’, q0’, F’) không còn dc- E(s)={qQ|s=>*q nhờ toàn dc - } (sQ, sE(s)) ’= ; Q’=Q; q0’= q0

’: p’(q,a)rE(q) sao cho p(r,a) F’=F{s Q|E(s)F}

Loại bỏ dịch chuyển

Ví dụ: cho OHK có sơ đồ dịch chuyển sau:

Tìm OH tương đương với OHK đã cho

Ví dụ

Loại bỏ dịch chuyển-ε: OHK đã cho: M=(,Q,,p,F)

={0,1,2} Q={p,q,r} p- trạng thái đầu F={r}

Ta cần tìm M’ =(,Q,’,p,F’) không còn dịch chuyển - ε

Ví dụ

Tính E(s) cho mọi trạng thái s: E(p)={p,q,r}; E(q)={q,r}; E(r)={r}

Tính F’: F’={r} {sQ|rE(s)}={r} {p,q,r}={p,q,r}

Hàm ’:0 1 2

p {p} {q} {r}

q {q} {r}

r {r}

Ví dụ

Ô tô mát hữu hạn không còn dịch chuyển tương đương:


Loại bỏ tính không tiền định: Định lý II.2: Nếu một ngôn ngữ được thừa nhận

bởi một ô tô mát hữu hạn không có dịch chuyển ε thì nó cũng được thừa nhận bởi một ô tô mát hữu hạn tiền định.


Loại bỏ tính không tiền định

Cho OHK M= (, Q, , q0, F) không còn dc- , dựng OHT M’=(’, Q’, ’, q0’, F’)

’= ; q0’= q0

Q’=(Q) ( tập các tập con của Q) ’: ’(S,a)=U (s, a) với mọi SQ’, sS, a F’= {S Q’|SF}


Ví dụ: Cho ôtômat hữu hạn M={,Q,,q0,F} như sau:

Tìm Otomat hữu hạn tiền định tương đương


Loại bỏ tính không tiền định OHK đã cho: M=(,Q,,p,F)

={0,1} Q={p,q,r} p- trạng thái đầu F={r}


Ta cần tìm M’ =(,(Q),’,{p},F’) trong đó: (S,a)=U(s,a) với S(Q), a

F’={S (Q)|SF}

Sự tương đương giữa OHT và OHK Hàm dịch chuyển ’

được biểu diễn như sau:

(Q) 0 1

Đầu {p} {p,q} {p}

{q} {r} Cuối {r}

{p,q} {p,q,r} {p}

Cuối {p,r} {p,q} {p}

Cuối {q,r} {r} Cuối {p,q,r} {p,q,r}


Ôtômat tiền định tương đương:


Định lý II.3: Một ngôn ngữ được thừa nhận bởi một ô tô mát

hữu hạn khi và chỉ khi nó được thừa nhận bởi một ô tô mát tiền định


III. Sự tương đương giữa ô tô mát hữu hạn và BTCQ

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu hạn Từ ô tô mát hữu hạn tới ngôn ngữ chính quy

Từ biểu thức chính quy đến Ô tô mat hữu hạn

Định lý II.4 Mọi ngôn ngữ chính quy trên đều là ngôn ngữ

trạng thái hữu hạn trên (ngôn ngữ được đoán nhận bởi OH)

Chứng minh: Giả sử có một ngôn ngữ được chỉ định bởi một

biểu thức chính quy Ta đi xây dựng một ô tô mát hữu hạn không tiền

định thừa nhận ngôn ngữ đó.


Thiết lập các ô tô mát tương ứng với các biểu thức chính quy: được đoán nhận bởi: ( trạng thái đầu) ε được đoán nhận bởi: ( trạng thái cuối) a được đoán nhận bởi:


1, 2 lần lượt được đoán nhận bởi hai ô tô mát hữu hạn M1 và M2:

Thì 1.2 được đoán nhận bởi:


1* được đoán nhận bởi ô tô mát:


1 +2

Từ ô tô mát hữu hạn tới ngôn ngữ chính quy

Định lý II.5(Kleene) Mọi ngôn ngữ trạng thái hữu hạn đều có thể phân

tích được thành các ngôn ngữ thành phần sao cho khi kết hợp các ngôn ngữ thành phần đó lại bằng các phép toán: hợp, ghép tiếp, ghép lặp(*).



Cho Ô tô mát hữu hạn M=(, {q1, q2, …, qn},, q1, F). Gọi L(M) là ngôn ngữ được đoán nhận bởi M:

Đặt Rijk là tập các xâu trên cho phép M dịch chuyển từ

trạng thái qi đến qj mà chỉ đi qua các trạng thái ql (l≤k, i,j có thể >k) (qix=>*qj): Hoặc là M không đi qua qk=> xRk-1

ij

Hoặc là M đi qua qk(một số lần) Như vậy Rn

1j chính là ngôn ngữ L (qj F)


Nếu M đi qua trạng thái qk, x có thể cắt thành các xâu con: Một xâu dẫn M từ qi đến qk đầu tiên (Rk-1

ik) Một xâu dẫn M từ qk đến qk tiếp theo (Rk-1

kk) (có thể không có hoặc có nhiều xâu này)

Một xâu dẫn M từ qk cuối đến qj (Rk-1kj)

Như vậy: Rkij=Rk-1

ijRk-1ik(Rk-1

kk)*Rk-1kj

Sự tương đương giữa ô tô mát hữu hạn và BTCQ

Định lý II.6: Mọi ngôn ngữ trạng thái hữu hạn trên bộ chữ

đều là ngôn ngữ chính quy trên

Từ định lý II.4 và II.6 ta có Định lý II.7: Một ngôn ngữ trên bộ chữ là một ngôn ngữ trạng

thái hữu hạn khi và chỉ khi nó là một ngôn ngữ chính quy

Văn phạm chính quy

Văn phạm chính quy là văn phạm tuyến tính (trái hoặc phải)

Văn phạm chính quy sinh ra ngôn ngữ chính quy Ngôn ngữ chính quy có thể được ký hiệu đơn giản bằng

một biểu thức chính quy Tập hợp các chuỗi được ký hiệu bởi một biểu thức

chính quy được gọi là tập hợp chính quy

Sự tương đương giữa VPTT và OH

Định lý II.8Cho văn phạm tuyến tính phải G. Tồn tại một văn phạm

tuyến tính phải đơn G’ tương đương với G. Định lý II.9

Mọi ngôn ngữ chính quy đều có thể được sản sinh bởi một văn phạm tuyến tính phải

Định lý II.10Mọi ngôn ngữ sản sinh từ văn phạm tuyến tính phải là

ngôn ngữ chính quy Định lý II.11

Mọi ngôn ngữ được sản sinh bởi một văn phạm tuyến tính phải khi và chỉ khi nó là chính quy

48

Sự tương đương giữa VPTT phải đơn và FA

Định lý II.9:

Mọi ngôn ngữ chính quy đều có thể được sản sinh bởi một văn phạm tuyến tính phải.

Chứng minh: Cho một ngôn ngữ chính quy L được

thừa nhận bởi một Ô tô mát hữu hạn tiền định M=(,Q,,q0,F).

Ta xây dựng văn phạm G=(,,S,P).

49


Xây dựng văn phạm G=(,,S,P) trong đó: =Q; q0 là kí hiệu đầu (tiên đề); P gồm:

qap nếu (q,a)=p; q nếu qF.

50


Ví dụ 2: Cho DFA như sau:

Y/c: Tìm văn pham tuyến tính phải tương đương với DFA đã cho.

51


DFA đã cho:

M=({0,1},{p, r},,p, {r}) trong đó gồm:

(p,1)=p; (p,0)=r; (r,0)=r. Văn phạm tương đương với DFA:

G=({0, 1}, {p, r}, p, P) trong đó P gồm:

p1p; p0r ; r0r; r.

52


Định lý II.10:

Mọi ngôn ngữ sinh từ văn phạm tuyến tính phải đều là ngôn ngữ chính quy:

Chứng minh: Cho L là một ngôn ngữ sinh bởi một văn phạm

tuyến tính phải (giả sử G đơn); Ta lập một ô tô mát không tiền định M tương

đương với G thừa nhận L.

53


Xây dựng NFA:

M=(, {f}, , S, {f}) Trong đó:

f ; (A,a)={B|(B và AaBP) hay (B=f và AaP)}

( với mọi a{} và với mọi A)

54


Ví dụ 3: Cho Văn phạm:

S|aS|bT|b

TbT|b Y/c: Tìm Ô tô mát hữu hạn tương đương với văn

phạm đã cho.

55


Ô tô mát hữu hạn tương đương:

M=({a,b}, {S, T, f}, , S, {f}) trong đó gồm:

(S,)=f (S,a)=S (S,b)=T

(S,b)=f (T,b)=T (T,b)=f Sơ đồ dịch chuyển của Ô tô mát:

56


Định lý II.11:

Một ngôn ngữ được sản sinh bởi một văn phạm tuyến tính phải khi và chỉ khi nó là chính quy.

Chứng minh:

Định lý là hệ quả trực tiếp từ các Định lý II.9 và II.10

V. Các ngôn ngữ chính quy

Các phương tiện xác định ngôn ngữ chính quy: Biểu thức chính quy Các ô tô mát hữu hạn tiền định Các ô tôt mát hữu hạn không tiền định Các văn phạm tuyến tính phải

Các tính chất đóng của NNCQ

L1, L2 là các ngôn ngữ chính quy thì: L1L2 là ngôn ngữ chính quy

L1 L2 là ngôn ngữ chính quy

L1 . L2 là ngôn ngữ chính quy

L1* là ngôn ngữ chính quy

L1 =*-L1 là ngôn ngữ chính quy

Các bài toán quyết định trên NNCQ

Bài toán từ: Cho L là NNCQ và một từ x*. Phải chăng xL

Bài toán ngôn ngữ rỗng: Cho L là NNCQ. Phải chăng L=

Bài toán ngôn ngữ đầy: Cho L là NNCQ. Phải chăng L=*

Bài toán bao hàm ngôn ngữ: L1 L2 là NNCQ. Phải chăng L1 L2

Bài toán ngôn ngữ bằng nhau: L1 L2 là NNCQ. Phải chăng L1 =L2

Định lý Đùn (Bổ đề Bơm)

Cho L là ngôn ngữ chính quy vô hạn và một xâu wL sao cho w#Q (Q là tập các trạng thái của một ô tô mát hữu hạn tiền định thừa nhận L). Khi đó tồn tại x,u,y sao cho w=xuy (uε và |xu|#Q) và xuny L

Định lý đùn là điều kiện cần đối với các ngôn ngữ chính quy, mọi ngôn ngữ không thỏa định lý đùn thì không thể là ngôn ngữ chính quy

Một số ví dụ

L=an bn không là ngôn ngữ chính quy vì không thể tìm thấy xâu xuy sao cho xunyanbn

L=an2 không là ngôn ngữ chính quy.

chương 2: ÔtÔmÁt hỮu hẠn vÀ biỂu thỨc chÍnh quy

Documents