khảo sát nhiệt mặt đường bê tông bằng phần tử hữu hạn
TRANSCRIPT
KHẢO SÁT TRẠNG THÁI NHIỆT CỦA MẶT ĐƯỜNG BÊ TÔNG XI MĂNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
PGS.TS Trịnh Văn Quang. ThS Trần Đăng Khoát
Tóm tắt: Bài báo trình bày cách sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để đánh giá trạng thái nhiệt của mặt đường bê tông xi măng dưới tác động của thay đổi nhiệt độ không khí và bức xạ măt trời.
Abstract: The paper presents the way to use the finite element method to study thermal state of the concrete surface of the road under impact of the varying air temperature and solar radiation.
I. ĐẶT VẤN ĐỀ : Bài toán trạng thái nhiệt mặt đường đến nay đã có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [1],[2],[3]...Việc khảo sát trạng thái nhiệt mặt đường về bản chất là giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định một chiều với điều kiện biên phức hợp. Với mục đích mở rộng các phương pháp tính nhiệt, bài viết trình bày cách sử dụng phương pháp (pp) phần tử hữu hạn (PTHH) trong tính nhiệt, để xác định nhiệt độ tại từng điểm trong tấm bê tông (BT) thay đổi theo thời gian. Từ đó cho phép đưa ra những nhận định về tình trạng biến dạng của tấm BT dưới tác động của các yếu tố khí hậu thay đổi.
II. PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT
2.1. Giới hạn bài toán , dữ liệu ban đầu + Khảo sát tấm BT được đặt trên nền đường là đất gia cố xi măng nghèo đầm kỹ, mặt trên tiếp xúc với không khí có nhiệt độ thay đổi liên tục, ban ngày bị chiếu nắng. Tấm bê tông có kích thước và các thông số nhiệt: dày L=0,3m, bề dài và rộng 7,5m. Hệ số dẫn nhiệt k=1,265W/m0C; khối lượng riêng =2200kg/m3; nhiệt dung riêng c=1215J/kg0C; hệ số hấp thụ tia mặt trời = 0,65; hệ số toả nhiệt tại mặt trên với không khí, tính theo phương trình tiêu chuẩn Nu=0,032Re0,8, là h=7,89W/m2 0C. Nền đường được coi có tính chất nhiệt tương tự nền đất phía dưới [2] có các tính chất nhiệt: kN=0,52W/m0C; N=2050kg/m3; cN=1840J/kgđộ. Ở độ sâu đủ lớn nền đất có nhiệt độ không đổi là
. Nhiệt độ không khí TK, bức xạ mặt trời E trong ngày tháng 6 thay đổi, theo số liệu của ngành khí tượng [4], bảng 1, tốc độ gió trung bình w = 2,4 m/s.Bảng 1
Giờ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1626,3 26,5 27,2 27,7 28,5 29,4 30,1 30,7 31,3 31,8 32,0 31,7
0 34,89 209,3 407,0 610,5 779,2 895,5 930,4 872,2 744,3 593,1 401,2
Giờ 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 431,3 30,2 29,6 28,8 28,4 28,2 27,6 27,2 27,0 26,8 26,5 26,4
203,5 58,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tấm BT có bề rộng lớn hơn rất nhiều bề dày nên truyền nhiệt được coi là theo một chiều bề dày của tấm, đặt là hướng x, và được mô tả bởi phương trình vi phân chủ đạo:
. (2.1)
Điều kiện biên toả nhiệt và bức xạ tại mặt trên, x=0, biểu thị bởi:
(2.2)
Với T, Tm và TK tương ứng là nhiệt độ trong tấm bê tông, bề mặt và không khí, là thời gian (s), là khối lượng riêng, c là nhiệt dung riêng, k là hệ số dẫn nhiệt BT, h là hệ số toả nhiệt tại bề mặt tấm BT, x là chiều sâu kể từ mặt tấm (m), q dòng bức xạ mặt trời (W/m2).
2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn 1- Rời rạc miền nghiệm: Bề dày tấm bê tông được rời rạc thành 12 phần tử (PT), mỗi PT dài là l = 0,3m/12 = 0,025m, ký hiệu ,,, ...và 13 nút ký hiệu 1,2,3,…,13. Ngoài ra nền đất chọn một phần tử thứ 13, dài l và nút 14, hình 1.
1
Hình 1. Sơ đồ rời rạc lớp bê tông thành các PTHH
2- Chọn hàm nội suy Hàm nội suy N là hàm số biểu thị quan hệ của nhiệt độ bên trong một phần tử với nhiệt độ tại các nút, có thể chọn là bậc nhất hoặc bậc hai, ở đây chọn N là bậc nhất. Một PT có hai nút ký hiệu là ‘1’ và ‘2’. Nhiệt độ T và hàm N là :
(2.3)
(2.4)
Với l là chiều dài của 1 phần tử, x là toạ độ kể từ nút đầu trong phần tử. T và Ti là nhiệt độ trong PT và tại các nút. Đạo hàm của hàm nội suy [B], gradient nhiệt độ [g] :
(2.4)
(2.5)
3-Thiết lập phương trình đặc trưng của phần tử Phương trình đặc trưng của phần tử là phương trình biểu thị mối quan hệ giữa nhiệt độ các nút với các phụ tải nhiệt, biến đổi năng lượng của phần tử, viết dưới dạng ma trận:
(2.6) Ở đây [C]{T/} biểu thị thay đổi nội năng của phần tử,[C] là ma trận nhiệt dung, biểu thị nhiệt dung khối, [K] là ma trận độ cứng, biểu thị khả năng dẫn nhiệt, {T} là véc tơ nhiệt độ tại các nút, {f} là véc tơ phụ tại nhiệt của 1 phần tử. Một số phương pháp thường được sử dụng để xác định Phương trình đặc trưng là: Tích phân cân bằng nhiệt (Ritz), Biến phân (Rayleigh Ritz), Số dư trọng số: Áp đặt (Collocation), Miền nhỏ (Sub-domain), Galerkin, Bình phương nhỏ nhất [10]. Trong tính nhiệt thì hai pp Biến phân và pp Galerkin là quan trọng nhất vì chúng cho kết quả chính xác nhất và như nhau [9]. Ở đây sử dụng pp số dư trọng số Galerkin.
Phương pháp Galerkin. Phương pháp Galerkin chọn hàm nội suy Ni làm hàm trọng số, yêu cầu (2.1) thoả :
(2.7)Lấy tích phân từng phần số hạng đầu của (2.7)
(2.8) S là diện tích mặt ngoài có đối lưu, bức xạĐiều kiện toả nhiệt và bức xạ tại biên giới (2.2) trở thành:
(2.9) Thay (2.9) vào (2.8) rồi thay vào (2.11) sắp xếp lại sẽ được :
2
(2.10)Viết dạng ma trận của (2.10) là
(2.11)
Viết gọn lại: (2.12)
trong đó: ; ;
. (2.12) là phương trình đặc trưng của phần tử đã rời rạc theo không gian, ta cần phải rời rạc theo thời gian. Có thể rời rạc bằng pp Sai phân hữu hạn (SPHH) hoặc pp PTHH.
4 - Rời rạc theo thời gian
a. Rời rạc theo thời gian bằng pp SPHH:
Gọi p và p+1 là hai thời điểm liên tiếp với bước thời gian , theo SPHH: .
Còn lại [T] và {f} trong (2.12) có thể viết ở thời điểm p hay p+1, hoặc thời điểm nào đó trong khoảng trên thông qua thông số , với = 01. Theo đó thì , và . Thay {T/},
và vào (2.12), sắp xếp lại sẽ được:
(2.13) - Nếu = 0 thì (2.13a) gọi là sơ đồ hiển thị hoàn toàn.
- Nếu = 1 thì (2.13b) gọi là sơ đồ ẩn hoàn toàn.- Nếu =0,5 thì (2.13c) nửa ẩn (Crank-Nicolson). Nếu sử dụng sơ đồ (2.13a) hoặc (2.13c) phải chọn đủ nhỏ để nghiệm hội tụ, còn (2.13b) không cần điều kiện chọn nên dùng thuận tiện hơn.
b. Rời rạc theo thời gian bằng pp PTHHCó thể dùng các pp số dư trọng số khác nhau, ở đây dùng Galerkin. Nhiệt độ tại trong khoảng từ p đến p+1 được nội suy từ nhiệt độ tại hai thời điểm Tp và Tp+1 qua hàm nội suy thời gian N : , tức là
(2.14)
Đạo hàm nhiệt độ theo thời gian:
(2.15) Phương pháp Galerkin lấy hàm trọng số là hàm nội suy thời gian N nên yêu cầu (2.12) thoả:
3
(2.16) Sau khi thay nhiệt độ và đạo hàm, biến đổi rồi lấy tích phân được
(2.17)
Giải ra:
(2.18) Nếu sử dùng (2.18) cũng phải chọn đủ nhỏ để nghiệm hội tụ.
5 - Tính các số hạng trong phương trình ma trận đặc trưng của phần tử một chiều
a. Ma trận nhiệt dung phần tử
- Bê tông: 12 phần tử, có =2200;c=1215;k=1,265; l= 0,025; A=1. Tính được :
- Nền đất: PT 13, có =2050;c=1840;k=0,52;l=0,025. Tính được :
b. Ma trận độ cứng phần tử : + Ma trận độ cứng của phần tử 1: thay số k= 1,265; h= 7,89; A=1
(2.19) + Ma trận độ cứng của các phần tử còn lại của bê tông từ PT 2 đến 12 không có số hạng toả nhiệt, nên
(2.20) + Ma trận độ cứng của các phần tử 13 nền đất, k=0,52; l=0,025; A=1
(2.21) c. Tính véc tơ phụ tải nhiệt Do bức xạ và đối lưu chỉ có tại nút 1 phần tử 1
(2.22)
Trong đó h= 7,89; TK là nhiệt độ tương đương tổng của không khí
+ Các phần tử còn lại từ 213 không có toả nhiệt đối lưu nên (2.23)
6 - Lắp ghép các phần tử
- Ma trận nhiệt dung toàn hệ:
4
(2.24)
- Ma trận độ cứng toàn hệ [K], véc tơ phụ tải tổng {f}, do thay T14 =28,8 nên trở thành sau khi áp đặt điều kiện biên tại lớp nền có TN =T14= 28,8 sẽ được
(2.25)
(2.26)
7- Giải hệ phương trình
Có thể chọn (2.13a),(2.13b),(2.13c) hoặc (2.14) để giải bằng các pp Gauss, Gauss-Seidel, Gauss-Jordan hoặc pp ma trận nghịch đảo. Vì số liệu cho theo giờ (bảng 1), tức = 1h= 3600s, nên dùng (2.13b) là thuận tiện hơn cả: (2.27)Giải (2.27) bằng pp ma trận nghịch đảo như sau: đặt , thì
(2.28) Với a-1 là ma trận nghich đảo của a. Lấy nhiệt độ ban đầu của tấm là {T}p=0 =28,80C, (2.28) được lập trình, giải trên Matlap, tính qua 192 thời điểm. Kết quả được lập thành bảng và đồ thị.
III. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN VÀ CÁC NHẬN XÉT
3.1. Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 thời điểm Diễn biến và thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 thời điểm thể hiện trên đồ thị 3.1, 3.2. Từ đó rút ra các nhận xét:
1. Thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại 14 nút là 14 đường dao động, gồm 8 chu kỳ tương ứng 8 ngày đêm. Từ chu kỳ 5 trở đi, dao động trong các chu kỳ tuân theo cùng một quy luật, nhiệt độ tại mỗi nút ở cùng thời điểm tương ứng trong ngày tiến tới giá trị ổn định. Nói cách khác, nghiệm đã hội tụ đến giá trị nhất định. 2. Từ chu kỳ thứ năm trở đi, có thể chọn nhiệt độ tại 24 thời điểm liên tiếp để đại diện cho thay đổi nhiệt độ của tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình mùa hè. Ở đây chọn từ thời điểm 154 đến 177. 3. Dao động nhiệt độ ở các lớp bề mặt tấm BT có biên độ lớn, càng vào sâu trong biên độ dao động càng giảm dần.
Hình 3.1. Toàn cảnh diến biến nhiệt độ sau 192 giờ Hình 3.2. Thay đổi nhiệt độ tại 14 nút sau 192 giờ
5
3.2. Đặc tính thay đổi nhiệt độ trong tấm bê tông qua một ngày đêm điển hình tháng 6. Biểu thị đặc tính thay đổi nhiệt độ trên hình 3.3, 3.4 có thể rút ra nhận xét sau
Hình 3.3. Thay đổi nhiệt độ tại 14 điểm nútcủa tấm bê tông trong 1ngày đêm
Hình 3.4. Phân bố nhiệt độ tại các thời điểmtrong 1 ngày đêm của tấm bê tông
1. Thay đổi nhiệt độ tại mặt trên cùng mặt đường bê tông là hàm chu kỳ, nhưng rô ràng không phải là hàm điều hoà, nghĩa là không thể biểu thị bởi hàm số cosin của thời gian , nhưng càng vào sâu trong tấm BT, dạng dao động nhiệt độ càng tiến tới hình sin2. Thời điểm nhiệt độ đạt trị số cực đại chậm dần từ mặt trên cùng qua các lớp giữa. Mặt dưới cùng nhiệt độ đạt cực đại muộn nhất. 3. Phân bố nhiệt độ tại các thời điểm trong ngày đều là đường cong, hình 3.4.
3.3. Trao đổi nhiệt của tấm bê tông Trao đổi nhiệt của tấm bê tông với môi trường trong một ngày đêm điển hình có thể xác định theo dòng nhiệt tại bề mặt trên của tấm của phần tử 1 tại mỗi thời điểm trong ngày:
(3.1)
Kết quả tính toán thể hiện trong bảng 2, đồ thị hình 3.5. Từ đồ thị hình 3.5 rút ra nhận xét sau :Bảng 2
Giờ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16q(W/m2) -29.3328 42.8076 124.7543 208.2797 277.2172 329.3200 330.0284 300.8878 244.0387 177.1911 94.7080 11.7190
Giờ 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4q(W/m2) -51.7992 -76.3048 -72.1556 -71.3814 -66.6301 -63.9432 -60.9578 -57.4563 -54.2887 -51.9308 -48.9960-46.2686
1. Trong một ngày đêm 24 tiếng, có 11 tiếng từ 7h sáng đến 17 h chiều tấm BT nhận nhiệt, có q > 0. Còn lại 13 tiếng từ 18h đến 6h sáng hôm sau, tấm BT nguội toả nhiệt vào môi trường, tương ứng với q < 0. 2. Lượng nhiệt nhận tăng nhanh từ 8 h đến 10h. Sau đó chậm hơn. Lượng nhiệt nhận rất lớn trong khoảng 11h đến 13 h, và lớn nhất lúc 11,12 h. Từ sau 13h lượng nhiệt nhận giảm dần và giảm đều. 3. Quá trình toả nhiệt từ mặt đường ra môi trường từ 19 giờ đến 6 giờ hôm sau khá đồng đều.
6
Hình 3.5. Lượng nhiệt tấm BT trao đổi với môi trường trong một ngày đêm
Hình 3.6. Sự xuất hiện miền bị kéo, nén khi phân bố nhiệt độ là đường cong
3.4. Nhận định về biến dạng nhiệt cục bộ của tấm BT a. Biến dạng nhiệt cục bộ .Biến dạng nhiệt là sự thay đổi kích thước của vật liệu do thay đổi nhiệt độ. Theo lý thuyết biến dạng nhiệt, [5],[6], khi phân bố nhiệt độ là đường cong, thì trong vật liệu sẽ xuất hiện ứng suất nhiệt riêng T, do biến dạng nhiệt cục bộ T gây nên. Chúng có thể gây rạn nứt, phá huỷ vật liệu, nếu T (hoặc T) lớn hơn giới hạn cho phép [] (hoặc Kth, biến dạng kéo tới hạn). Biến dạng nhiệt cục bộ xác định bởi T= TT, còn ứng suất nhiệt riêng bởi T=TET. Trong đó T là hệ số giãn nở nhiệt, E là mô đun đàn hồi của vật liệu, T là chênh lệch nhiệt độ cục bộ. T có vai trò hết sức quan trọng và quyết định tới biến dạng nhiệt cục bộ T(x) = TTB(x) – T(x) (3.2)T(x) là nhiệt độ thực, có phân bố là đường cong, TTB(x) là đường nhiệt độ trung bình tuyến tính, đó là đường thẳng song song với thiết diện phẳng sau biến dạng [3],[5],[6], hình 3.6, xác định bởi
(3.3)
trong đó: ; ; ;
Tm1 , Tm2 là trị số nhiệt độ trung bình tuyến tính tại mặt 1 và 2 của tấm BT, S T là diện tích bị kéo- nén nằm dưới đường cong nhiệt độ thực, e là toạ độ trọng tâm của diện tích ST, L bề dày tấm BT, xi=l chiều dài PT. Từ (3.2) thấy, khu vực có TTB(x) – T(x) > 0, sẽ bị kéo, vì vật liệu lẽ ra chỉ giãn nở đến nhiệt độ thực của nó là T(x), nhưng do có liên kết xung quanh nên phải giãn nở tới TTB > T(x) nên bị kéo. Ngược lại, khu vực có TTB(x)– T(x) < 0 khu vực sẽ bị nén, hình 3.6.
b. Đặc điểm các miền bị kéo và bị nén xuất hiện trong tấm bê tông. Phân bố nhiệt độ trong tấm BT ở bất kỳ thời điểm nào trong ngày cũng là đường cong, hình 3.4, bởi vậy trong tấm BT luôn xuất hiện các miền bị kéo và bị nén. Một số kết quả tính toán được thể hiện trên đồ thị, hình 3.7 3.11. Có thể rút ra các nhận xét :1. Các miền bị kéo và nén đã bộc lộ rõ khi thể hiện cả hai đường nhiệt thực và nhiệt độ trung bình tuyến tính trên một đồ thị. Giao điểm của hai đường trên có T=0 là nơi phân cách miền bị kéo và bị nén. Vị trí này thay đổi liên tục, nghĩa là miền bị kéo và nén trong tấm BT trong ngày biến đổi liên tục và luân phiên nhau.2. Từ 7h sáng đến 13h chiều, lớp mặt trên dày 5cm tấm BT bị nén do nhận nhiệt rất mạnh từ môi trường làm T<0. lớp kế tiếp dày 15-20cm bị kéo do T>0 , lớp dưới cùng dày 5cm bị nén. 3. Từ 13h chiều, phần trên tấm BT bị kéo nhẹ do tốc độ nhận nhiệt giảm. Sau 16h miền bị kéo thu hẹp lại còn khoảng 5cm tại mặt trên cho đến 4h sáng, sau đó chuyển sang bị nén. Các lớp kế tiếp bị nén từ sau 18h đến 6h sáng hôm sau.
7
Đường nhiệt độ trung bình tuyến tính TTB
Miền bị nénMiền bị kéo
Đường cong nhiệt độ thực T
Thiết diện phẳngtrước biến dạng
Thiết diện phẳngsau biến dạng
Tm1
Tm2
L
H×nh 3.7. Thêi ®iÓm 6 giê
H×nh 3.8. Thêi ®iÓm 10 giê
H×nh 3.9. Thêi ®iÓm 12 giê
H×nh 3.11. Thêi ®iÓm 20 giê
d. Biến dạng nhiệt cục bộ trong tấm bê tông - Biến dạng nhiệt cục bộ (BDcb) tại các vị trí trong tấm BT theo thời gian trong ngày, với T = 10-5 [6], được thể hiện trên các đồ thị hình 3.13 hình 3.24. - Biến dạng kéo tới hạn Kth phụ thuộc vào nhiều yếu tố và loại bê tông, ở đây lấy giả định theo [7], bê tông mác 200 có Kth = 2,4.10-4. Từ các đồ thị có thể rút ra các nhận xét sau :1. Các lớp trong tấm BT luôn bị kéo, nén luân phiên thay đổi liên tục trong một ngày đêm, có thể gây nên hiện tượng mỏi nhiệt.2. Biến dạng nhiệt cục bộ do bị kéo lớn nhất tại bề mặt T = 0,5467.10-4 vào lúc 18h nhỏ hơn biến dạng kéo tới hạn, hình 3.19, nên không gây rạn nứt phá huỷ, nhưng do bị mỏi nhiệt lâu dần rất dễ bị rạn nứt.
Hình 3.13. BDcb lúc 6 h Hình 3.14. BDcb lúc 8 h Hình 3.15. BDcb lúc 10 h Hình 3.16. BDcb lúc 12 h
Hình 3.17. BDcb lúc 14 h Hình 3.18. BDcb lúc 16 h Hình 3.19. BDcb lúc 18 h Hình 3.20 BDcb lúc 20 h
Hình 3.21. BDcb lúc 22 h Hình 3.22. BDcb lúc 24 h Hình.3.23. BDcb lúc 2 h Hình 3.24. BDcb lúc 4 h sáng
IV. KẾT LUẬN
Từ việc khảo sát trạng thái nhiệt tấm bêtông dày bằng pp PTHH, cho phép rút ra kết luận sau:- Với cùng bước thời gian, kích thước hình học phần tử của cùng một bài toán [3], khảo sát bằng PP PTHH cho các kết quả chính xác như pp SPHH, các nhận định hoàn toàn phù hợp nhau . - PP PTHH có ưu điểm không phải tính thể tích, diện tích phân tố như pp SPHH.- PP PTHH có thể áp dụng cho các vật thể có hình dạng bất quy tắc nên khả năng tính toán mở rộng hơn pp SPHH.
8
- PP PTHH cũng có nhược điểm ở chỗ, trong khi pp SPHH chỉ dùng một ma trận hệ số nhiệt độ trong phương trình [aij]{T}= {C}, để giải ra {T}, [5],[8],[9], thì phương trình đặc trưng trong PTHH có hai ma trận [C],[K] nên có thể gây sai số nhiều hơn.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Quang Chiêu. Mặt đường bê tông xi măng, NXB Xây dựng, 1985[2] Trần Đình Bửu, Nguyễn Quang Chiêu. Khai thác và sửa chữa đường ô tô, NXB ĐH-THCN 1984[3] Trịnh Văn Quang. Kết quả tính toán trạng thái nhiệt của tấm bêtông dưới tác động của điều kiện khí hậu thay
đổi. Tạp chí Cầu Đường Việt nam. Số 11,12, 2001. [4] Phạm Ngọc Đăng. Nhiệt và khí hậu xây dựng, NXB Xây dựng, 1981.[5] Trịnh Văn Quang. Kỹ thuật nhiệt dành cho sinh viên ngành Công trình, NXB KHKT 2007.[6] С.А.Фрид.температурные напряжения в бетонных и железобетонных конструкциях
гидротехнических сооружений государствнное. Энергетическое издтелЬство. Москва 1959.[7] Lê Văn Cung. Khống chế nhiệt độ đập bê tông Thác bà. Báo cáo khoa học Hội nghị KHXD 1985[8] Frank P. Dewit. Fundametals of Heat and Mass Transfer. John Wiley & Sons. New York .1996[9] Trịnh Văn Quang. Lý thuyết truyền nhiệt, Ch 2, Phần B. Phương pháp PTHH. Bài giảng cao học Cơ khí,2009.[10]. RW Lewis, P.Nithiharasu and Seetharamu. Fundametals of The Finite Element Method for heat and fluid flow. John Wiley & Sons, Ltd. 2004.
9