1 | P a g e

CHƯƠNG 1. TOÁN CHO TÀI CHÍNH

1. Lãi suất

1.1 Dãy số, chuỗi số

1.1.1 Dãy số

Khái niệm. Một dãy số là một danh sách các số được viết theo một trật tự nhất định.

1 2 3 4, , , a ..., ,..na a a a

Ta gọi: a1 là số hạng thứ nhất, a2 là số hạng thứ hai, …, an là số hạng thứ n của dãy số.

Với mọi số nguyên dương n, có một mối quan hệ hàm số giữa n và an, Do đó, dãy số có

thể được định nghĩa như là một hàm số với tập xác định là các số nguyên dương. Khi ấy

ta có: na f n .

Người ta gọi na là số hạng tổng quát của dãy số, và dãy số được hoàn toàn xác định khi

biết công thức biểu diễn số hạng tổng quát na .

Ta thường ký hiệu dãy số 1 2 3 4, , , a ..., ,..na a a a như sau:

1n n n

a hay a

Ví dụ 1.1. Dãy số có thể được xác định theo công thức của số hạng tổng quát na . Ví dụ

sau định nghĩa dãy số theo cả 3 cách:

a) 1

1 2 3 4, , , , ..., ,...

1 1 2 3 4 5 1n

n

n n na

n n n

b)

1

1 1 1 1 1 12 3 4 5, , , , ..., ,...

3 3 3 9 27 81 3

n n n

n

n

n n na

n n n

c) 3

3 3, 3 0,1, 2, 3, ..., 3,...nn

n a n n n

d) 0

3 1cos cos , 0 1, , ,0, ...,cos ,...

6 6 2 2 6n

n

n n na n

Chú ý. n không nhất thiết phải bắt đầu từ 1

Ví dụ 1.2. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số sau:

2 | P a g e

3 4 5 6 7, , , , , ...

5 25 125 625 3125

Giải.

Ta có: 1 2 3 4 5

3 4 5 6 7, , , ,

5 25 125 625 3125a a a a a

Nhận xét.

Tử số tăng dần, mỗi lần tăng một đơn vị. Số hạng đầu tiên là 3, số hạng thứ 2 là 4 … nên

tổng quát sẽ là 2n .

Mẫu số là lũy thừa của 5 nên có dạng tổng quát là 5n .

Dấu của phân số đan xen nhau nên ta cần nhân với lũy thừa của (-1). Do số hạng đầu tiên

mang dấu dương nên ta nhân với 1

1n

Như vậy, số hạng tổng quát có dạng sau: 1 2

15

n

n n

na

Ví dụ 1.3. Một số dãy số không có được công thức của số hạng tổng quát đơn giản.

a) Dãy số np trong đó np là dân số của thế giới vào ngày 1/1 năm thứ n.

b) Gọi nb là số thập phân thứ n của số e. Khi này ta có dãy sau: 7,1,8,2,8,1,8,2,8,4,5,...

c) Dãy Fibonacci được xác định bởi công thức truy hồi, mỗi số hạng được xác định bởi

hai số hạng ngay trước đó.

1 2 1 21, 1, 3n n nf f f f f n

Một vài số hạng ban đầu của dãy là: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

Ví dụ 1.4. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:

)3,6,9,12,... )1, 2,4, 8,...a b

1.1.2 Chuỗi số

Khái niệm. Cho dãy số thực 1 2 3, , ,..., ,...

nu u u u . Biểu thức

1 2 3... ...

nu u u u

được gọi là một chuỗi số. Các số 1 2 3, , ,..., ,...

nu u u u được gọi là các số hạng của chuỗi số.

3 | P a g e

Số nu được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi .

Nếu dãy số hữu hạn ta có chuỗi số hữu hạn, ngược lại, nếu dãy số vô hạn ta có chuỗi số

vô hạn.

Chuỗi số thường được biểu diễn dưới dạng ngắn gọn dưới dạng tổng sigma như sau :

4 62 2 2 2 2 2

0 3

) 0 1 2 3 4 ) 4 1 13 17 21 25k k

a k b k

Các số hạng bên phải của chuỗi thu được từ biểu diễn bên trái khi thay chỉ số k trong tổng

bởi các số nguyên, bắt đầu với số hạng đầu tiên dưới ký hiệu tổng ∑ và kết thúc với số

phía trên ký hiệu ∑. Chỉ số đại diện có thể được biểu diễn bằng ký tự khác thay vì k và có

thể được bắt đầu bằng bắt cứ số nguyên nào và kết thúc với số nguyên bất kỳ lớn hơn

hoặc bằng số bắt đầu.

Nếu ta có dãy số vô hạn sau: 1 1 1 1, , ,...,2 4 8 2n

Thì chuối số tương ứng là: 1

1 1 1 1 1...

2 4 8 2 2

n

n jj

Trong trường hợp trên ta dùng ký tự j để thể hiện chỉ số trong tổng.

Ví dụ 1.5. Hãy viết chuỗi 5

21 1k

k

k thành dạng tổng các số hạng. Không cần tính tổng.

Ta có : 5

2 2 2 2 2 21

1 2 3 4 5

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1k

k

k

Hay 5

21

1 2 3 4 5

2 5 10 17 261k

k

k

Nếu các số hạng trong chuỗi số đan dấu với nhau, ta gọi chuỗi số là chuỗi đan dấu.

Ví dụ 1.6. Hãy viết chuỗi đan dấu sau đây dạng tổng sigma với :

1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12

a) Chỉ số tổng là k bắt đầu từ 1.

b) Chỉ số là j và bắt đầu từ 0.

4 | P a g e

Giải.

a) Ta có :

16

1

11 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 2

k

k k

b) Ta có : 5

0

11 1 1 1 1 1

2 4 6 8 10 12 2 1

j

j j

1.1.3 Cấp số cộng và cấp số nhân

Định nghĩa. Một dãy số 1 2 3, , ,..., ,...

na a a a được gọi là cấp số cộng (arithmetic sequence)

nếu tồn tại hằng số k, gọi là công sai, sao cho: 1n n

a a d

Có nghĩa là: 1

1n na a d n

Định nghĩa. Một dãy số 1 2 3, , ,..., ,...

na a a a được gọi là cấp số nhân (geometric sequence)

nếu tồn tại hằng số r khác 0, gọi là công bội, sao cho:

1

n

n

ar

a

Có nghĩa là: 1

. 1n na r a n

Ví dụ 1.7. Trong các dãy số sau đây, dãy nào có thể bao gồm 4 số hạng đầu tiên của một

cấp số cộng ? Hoặc một cấp số nhân ?

)1,2, 3,5,... ) 1, 3, 9,27,...

)3, 3, 3, 3,... )10, 8.5, 7, 5.5,...

a b

c d

Công thức số hạng thứ n (số hạng tổng quát)

Số hạng tổng quát của một cấp số cộng : 1

1 1na a n d n

Số hạng tổng quát của một cấp số nhân : 1

11n

na a r n

Ví dụ 1.8.

a) Giả sử số hạng thứ nhất và số hạng thứ 100 của một cấp số cộng là 3 và 30. Hãy tìm số

hạng thứ 40 của dãy số này.

b) Giả sử số hạng thứ nhất và số hạng thứ 100 của một cấp số nhân là 3 và 30. Hãy tìm số

hạng thứ 40 của dãy số này.

5 | P a g e

Tổng thứ n của cấp số cộng.

Cho cấp số cộng 1 2 3, , ,..., ,...

na a a a với công sai là d. Khi đó:

1 2 3...

n nS a a a a gọi là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số.

Ta có: 12 12n

nS a n d hay

12n n

nS a a

Tổng thứ n của cấp số cộng.

Cho cấp số nhân 1 2 3, , ,..., ,...

na a a a với công bội là r. Khi đó:

1 2 3...

n nS a a a a gọi là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số.

Ta có: 1

11

1

n

n

a rS r

r hay 1 1

1n

n

ra aS r

r

Tổng vô hạn của cấp số nhân.

Khi công bội r thỏa mãn 1 1r ta có: 1 11

aS r

r

Trường hợp 1r hay 1r thì cấp số nhân không có tổng vô hạn.

Ví dụ 1.9. Một người mượn 3600$ và đồng ý trả nợ khoản vay hàng tháng trong vòng 3

năm. Thỏa thuận là phải trả 100$ mỗi tháng cộng thêm 1% số dư chưa thanh toán. Tổng

chi phí của khoản vay trong vòng 3 năm là bao nhiêu ?

Giải.

Ta lập sơ đồ như sau :

Tổng chi phí của khoản vay là : 1+2+3+…+35+36

Đây là tổng của một cấp số cộng hữu hạn với n=36, a1=1 và d=1

Vậy : 1

361 36 666

2 2n n

nS a a ($)

6 | P a g e

Ví dụ 1.10. Chính phủ đã quyết định một chương trình giảm thuế nhằm kích thích nền

kinh tế. Giả sử bạn nhận được 1.200 đô la và bạn chi tiêu 80% số tiền này, và mỗi người

nhận được số tiền bạn chi tiêu cũng chi tiêu 80% số tiền họ nhận được, và giả sử quá

trình này tiếp tục mà không có kết thúc. Theo nguyên tắc nhân trong kinh tế, tác động của

việc giảm cho bạn 1.200 USD tiền thuế đối với nền kinh tế được nhân lên gấp nhiều lần.

Tổng số tiền chi tiêu là bao nhiêu nếu quá trình này tiếp tục như đã nêu?

Giải.

Ta cần tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu tiên (số tiền chi tiêu ban

đầu) là 10.8 *1200 960a và công bội là 0.8r .

Sử dụng công thức trên ta có: 960

4.800 $1 0.8

S

Như vậy nếu quá trình chi tiêu tiếp diễn như trên thì giảm 1200$ tiền thuế sẽ mang về

4800$ tổng chi tiêu trong nền kinh tế.

1.2 Lãi đơn, lãi gộp

1.2.1 Các khái niệm về lãi

a. Lãi tức (tiền lời) (Interest)

Trong lĩnh vực tín dụng, lãi là số tiền mà người sử dụng vốn (người vay) phải trả cho

người chủ sở hữu vốn (người cho vay) để được sử dụng vốn trong một thời gian nhất

định. Trong hoạt động sản xuất kinh doanh, lãi là số tiền chênh lệch dương giữa giá trị

thu được và vốn đầu tư ban đầu.

Lãi chỉ xuất hiện sau một thời gian đầu tư nhất định. Nói cách khác, lãi là kết quả tài

chính cuối cùng của quá trình đầu tư.

Số tiền lãi phụ thuộc vào: số vốn gốc; thời gian đầu tư; lãi suất; rủi ro.

b. Lãi suất

Khi lãi tức biểu thị theo tỷ lệ phần trăm đối với số vốn ban đầu cho một đơn vị thời gian

thì được gọi là lãi suất.

7 | P a g e

Lãi suất thể hiện quan hệ tỷ lệ giữa lãi tức trong một đơn vị thời gian với vốn gốc trong

thời gian đó. Lãi suất là suất thu lợi của vốn trong một đơn vị thời gian.

Ví dụ 1.11. Đầu tư 100 triệu đồng sau một năm thu được 112 triệu đồng. Như vậy sau 1

năm nhà đầu tư lãi là 12 triệu đồng và lãi suất là 12%/năm.

12.000.00012% .100%

100.000.000

c. Sự tương đương

Từ lãi suất chúng ta có thể thiết lập khái niệm tương đương. Đó là những số tiền khác

nhau ở các thời điểm khác nhau có thể bằng nhau về giá trị kinh tế.

Ví dụ 1.12. Nếu lãi suất là 12%/năm thì 1 triệu đồng hôm nay sẽ tương đương với 1,12

triệu đồng sau một năm.

d. Lãi đơn (Simple Interest)

Khi lãi tức chỉ tính theo số vốn gốc ban đầu trong suốt thời hạn vay ta gọi là lãi đơn. Nói

khác đi, số lãi tính theo tỷ lệ phần trăm trên vốn gốc chính là lãi đơn.

Trong khái niệm này, chỉ có vốn sinh lời còn lãi không sinh lợi.

Lãi đơn thường được áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính ngắn hạn.

e. Lãi ghép (Compound Interest)

Việc tính lãi tức bằng cách lấy lãi của kỳ trước nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau đó là

phương pháp tính theo lãi kép. Số tiền lãi thu được theo phương pháp này gọi là lãi kép.

Đặc điểm của lãi kép là chẳng những vốn sinh ra lãi mà lãi cũng sinh ra lãi (lãi mẹ đẻ lãi

con).

Lãi kép thường áp dụng trong các nghiệp vụ tài chính dài hạn.

f. Lãi suất thực trả và lãi suất danh nghĩa

Thông thường giá trị lãi suất là tiền lãi trong thời đoạn 1 năm hay còn gọi là thời đoạn

phát biểu lãi là 1 năm. Trên thực tế, thời đoạn phát biểu lãi có thể ít hơn 1 năm.

Ví dụ 1.13. Lãi suất 12%/năm, ghép lãi theo quý, 6 tháng tính lãi 1 lần.

+ Thời đoạn phát biểu lãi: 1 năm

8 | P a g e

+ Thời đoạn ghép lãi: quý

+ Thời đoạn trả lãi: 6 tháng

Khi thời đoạn phát biểu lãi phù hợp với thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất thực. Nếu thời

đoạn phát biểu lãi khác thời đoạn ghép lãi thì đó là lãi suất danh nghĩa.

Lãi suất danh nghĩa trong một thời kỳ = Lãi suất danh nghĩa trong một thời đoạn x Số

thời đoạn trong thời kỳ.

Ví dụ 1.14.

a) Lãi suất danh nghĩa 3%/quý thì lãi suất danh nghĩa theo năm là: 3% x 4=12%/năm

b) Lãi suất i=12%/quý thì lãi suất thực là 12% ghép lãi theo quý

c) Lãi suất i=20%/năm, ghép lãi theo quý. Đây là lãi suất danh nghĩa vì thời đoạn ghép lãi

là quý. Lãi suất thực là 5%/quý.

1.2.2 Lãi đơn

Công thức tính lãi đơn: . .I P r t

Trong đó:

I: lãi tức đơn (Interest)

P: giá trị hiện tại hay vốn gốc (Principal Value)

r: lãi suất tính theo thời đoạn (năm, quý, tháng …) (Interest Rate)

t: số thời đoạn vay

Ví dụ 1.15. Một người vay 1 triệu đồng với lãi suất đơn 4%/tháng và sẽ trả cả vốn lẫn lãi

sau 6 tháng. Hỏi anh ta phải trả bao nhiêu tiền?

Giải.

Số tiền lời trong 6 tháng: . . 1000000 0,04 6 240.000I P r t (đồng)

Số tiền phải trả: 1.240.000F P I (đồng)

Chú ý:

F là số tiền tương lai (Future Value) hay giá trị đạt được.

Dễ thấy 1 .F P I P r t

Ví dụ 1.16. a) Gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo phương thức gửi có kỳ hạn 6 tháng với

lãi suất 1%/tháng. Xác định giá trị đạt được và số lãi vào cuối đợt đầu tư 6 tháng?

9 | P a g e

b) Đầu tư 100 triệu, lãi suất 12%/năm (tính theo lãi đơn), sau một thời gian thu được cả

vốn lẫn lời 118 triệu vào cuối đợt đầu tư. Hỏi thời gian đầu tư bao lâu?

Giải.

a) 1 . 100 1 1%.6 106F P r t (triệu)

Lãi tức trong 6 tháng là: . . 100.1%.6 6I P r t (triệu)

b) 1 . 118 100 1 0,12. 1,5F P r t t t (năm)

1.2.3 Lãi kép (lãi gộp)

Công thức cơ bản

Gọi P là vốn gốc và r là lãi suất tính theo năm, ghép lãi theo năm. Ta có tổng vốn tích

lũy:

Đến cuối năm thứ 1: 1 . 1P P r

Đến cuối năm thứ 2: 2

2 1. 1 . 1P P r P r

Đến cuối năm thứ 3: 3

3 2. 1 . 1P P r P r

………………………………………………………..

Đến cuối năm thứ n: 1. 1 1n

n nP P r P r

Vậy giá trị tương lai của số vốn gốc P sau n năm là: 1n

F P r

Ví dụ 1.17. Nếu số tiền 1000$ được đầu tư với lãi suất là 8%/năm, ghép lãi theo năm thì

sau 5 năm tổng vốn tích lũy gồm cả vốn lẫn lãi sẽ là bao nhiêu?

Giải.

Nếu tính theo lãi kép: 5

1 1000. 1 0,08 1469,33 $n

F P r

Nếu tính theo lãi đơn: 1 . 1000 1 0,08.5 1400 $F P r t

Một số công thức:

a. Tính vốn gốc: 1n

P F r

b. Tính thời gian đầu tư:

log /

log 1

F Pn

r

c. Tính lãi suất đầu tư: 1nF

rP

10 | P a g e

Ví dụ 1.18.

a) Đầu tư một khoản tiền với lãi suất 10%/năm. Sau 4 năm thu được cả vốn lẫn lời là

146,41 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi vốn đầu tư ban đầu là bao nhiêu?

b) Đầu tư một khoản 100 triệu đồng với lãi suất 10%/năm. Sau một thời gian thu được cả

vốn lẫn lời là 161,051 triệu đồng (tính theo lãi kép). Hỏi thời gian đầu tư là bao lâu?

c) Đầu tư một khoản tiền 100 triệu với lãi suất 10%/năm. Sau 8 năm thu được cả vốn lẫn

lời là 214,358881 triệu (tính theo lãi kép). Hỏi lãi suất đầu tư (tỷ lệ sinh lời của đầu tư) là

bao nhiêu?

Giải

a) Áp dụng công thức: 4

1 146,41 1 0,1 100n

P F r

(triệu)

b) Áp dụng công thức:

log / log 161,051/1005

log 1 log 1 0,1

F Pr

r

(năm)

c) Ta có: 8214,358881

1 1 10%100

nF

rP

Ví dụ 1.19. So sánh lãi đơn và lãi kép.

Đầu tư 200 triệu đồng theo lãi suất thực 12%/năm. Hãy tính :

a) Lãi đơn và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm.

b) Lãi kép và giá trị đạt được sau khoảng thời gian: 6 tháng; 1 năm; 3 năm

c) Vẽ đồ thị của các lãi suất.

Giải.

a) Theo cách tính lãi đơn:

+ Sau 6 tháng: 6

1 . 200 1 12%. 212 1212

F P r t I F P

+ Sau 1 năm: 1 . 200 1 12%.1 224 24F P r t I F P

+ Sau 3 năm: 1 . 200 1 12%.3 272 72F P r t I F P

b) Theo cách tính lãi kép:

+ Sau 6 tháng: 1/2

1 200 1 12% 211,66 11,66n

F P r I F P

11 | P a g e

+ Sau 1 năm: 1

1 200 1 12% 224 24n

F P r I F P

+ Sau 3 năm: 3

1 200 1 12% 280,9856 80,9856n

F P r I F P

c) Vẽ đồ thị

P

Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy, với cùng một vốn đầu tư:

- Nếu thời gian đầu tư nhỏ hơn 1 đơn vị thời gian tính lãi thì đầu tư theo lãi đơn cho mức

lãi cao hơn đầu tư theo lãi kép

- Nếu thời gian đầu tư lớn hơn 1 đơn vị thời gian tính lãi thì đầu tư theo lãi kép cho mức

lãi cao hơn đầu tư theo lãi đơn

- Nếu thời gian đầu tư bằng đúng 1 đơn vị thời gian tính lãi thì đầu tư theo lãi đơn hay

đầu tư theo lãi kép đều cho mức lãi như nhau.

1.2.4 Lãi suất ngang giá (tương đương)

Hai lãi suất tương ứng với 2 thời đoạn khác nhau được gọi là tương đương nhau khi cùng

một số vốn, đầu tư trong cùng một thời gian thì cho cùng mức lãi như nhau (giá trị đạt

được bằng nhau).

Gọi 1i là lãi suất thực trả ở thời đoạn ngắn (ví dụ: tháng)

Gọi 2i là lãi suất thực trả ở thời đoạn dài (ví dụ: năm)

Lãi đơn

Lãi kép F

0 Số kỳ ghép lãi

P

1

P(1+r)

12 | P a g e

Gọi m là số thời đoạn ngắn có trong thời đoạn dài (ví dụ: 12)

P là vốn gốc, sau 1 thời đoạn dài hay m thời đoạn ngắn ta có:

Tính theo lãi đơn: 21 2 1 2 11 . 1 .1 ; .

iP i m P i i i m i

m

Tính theo lãi kép: 1

1 2 1 2 2 11 1 1 1; 1 1m m

mP i P i i i i i

Ví dụ 1.20. Đầu tư 20 triệu trong vòng 9 tháng với lãi suất 12%/năm theo phương thức

lãi đơn. Kết thúc đợt đầu tư, giá trị đạt được là:

- Nếu tính lãi suất tương đương hàng tháng: 21

12%1%

12

ii

m

. . 20. 1 9.1% 21,8F P i t (triệu)

- Hoặc giữ nguyên lãi suất hàng năm:

9. . 20. 1 12%. 21,8

12F P i t

(triệu)

Ví dụ 1.21.

a) Đầu tư 100 triệu (tính theo lãi đơn), sau 6 tháng thu được tổng số tiền là 105,6 triệu.

Hỏi lãi suất đầu tư là bao nhiêu một năm?

b) Đầu tư 100 triệu với lãi suất 12%/năm. Sau một thời gian rút hết ra thu được 106 triệu.

Hỏi thời gian đầu tư mất bao lâu?

c) Với lãi suất 12%/năm thì phải bỏ số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 28,4 triệu

trong 3 năm 6 tháng (tính theo lãi đơn)?

Đáp số: a) 11,2%/năm; b) 6 tháng; c) 20 triệu

Ví dụ 1.22. Ông A gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo lãi suất 6%/6 tháng. Ông B cũng

gửi ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 12,36%/năm. Hãy tính số tiền lãi mà ông A và

ông B nhận được sau 1 năm gửi theo phương pháp lãi kép. Cho nhận xét.

Giải.

Số tiền lãi mà ông A và ông B nhận được sau 1 năm gửi:

2100 1 0,06 100 12,36

100 1 0,1236 100 12,36

A

B

I

I

13 | P a g e

Nhận xét. Hai ông A và B cùng gửi những số tiền bằng nhau theo các mức lãi suất khác

nhau. Trong cùng thời gian là 1 năm, hai ông nhận được số tiền lãi bằng nhau. Điều này

chứng tỏ rằng hai lãi suất 6%/6 tháng và 12,36%/1 năm là tương đương nhau.

Theo công thức ta có:

22

2

1 12,36% 1 6%

1 6% 1 12,36%

i

i

1.2.5 Tỷ suất lợi tức bình quân (Lãi suất bình quân)

Khái niệm. Trong quá trình đầu tư có thể thực hiện đầu tư với những mức lãi suất khác

nhau trong những thời gian hoàn toàn khác nhau. Do đó cần phải tính chỉ tiêu tỷ suất lợi

tức bình quân để xác định giá trị đạt được một cách nhanh chóng nhất.

Công thức tính lãi suất bình quân:

Đối với lãi đơn: 1

1

.rk

j j

j

k

j

j

t

r

t

Đối với lãi kép: 1 2

1 21 1 ... 1 1knn n

nkr r r r

Ví dụ 1.23. Một doanh nghiệp vay với lãi đơn 100 triệu đồng với lãi suất thay đổi như

sau: 8%/năm trong 6 tháng đầu; 10%/năm trong 3 tháng tiếp theo và 12%/năm trong 4

tháng cuối cùng. Tính:

a) Lãi suất trung bình của số vốn vay.

b) Tính tổng số tiền doanh nghiệp phải trả khi đáo hạn

Giải

a) Ta có: 8%.6 /12 10%.3 /12 12%.4 /12

9,696 /12 3 /12 4 /12

r

(%/năm)

b) 13

1 . 100. 1 .9,69% 110,497512

F P r t

(triệu)

Ví dụ 1.24. Người ta đầu tư 150 triệu đồng tính lãi kép với lãi suất lũy tiến: 8%/năm

trong vòng 2 năm đầu tiên; 9%/năm trong vòng 3 năm tiếp theo và 11%/năm trong vòng

4 năm cuối.

14 | P a g e

a) Vào cuối năm thứ 9 tổng lãi là bao nhiêu?

b) Lãi suất trung bình hàng năm là bao nhiêu?

Giải.

a) Ta sử dụng công thức tính lãi kép. 1n

F P r

Trong vòng 2 năm giá trị đạt được là: 2

2 150 1 0,08 174,96P (triệu)

Đến cuối năm thứ 5, giá trị đạt được là: 3

5 174,96 1 0,09 222,578P (triệu)

Cuối năm thứ 9 ta có: 4

9 222,578 1 0,11 343,962F P (triệu)

Như vậy đầu tư 150 triệu đầu tư, sau 9 năm ta thu lãi là: 343,963 150 193,962 (triệu)

b) Gọi lãi suất trung bình hàng năm là r

Để đạt được mức 343,962 triệu sau 9 năm thì:

9 9

9150 1 343,962 1 2,29308 2,29308 1 9,66%F r r r

Chú ý. Ta có thể áp dụng nhanh công thức tính lãi suất trung bình theo lãi kép như sau:

1 22 3 49

1 21 0,08 1 0,09 1 0,11 1 1 1 ... 1 1 9,66%knn n

nkr r r r

1.2.6. Lãi kép liên tục

Ví dụ 1.25. So sánh lãi kép trong các kỳ ghép lãi

Đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất 8%/năm, tính theo lãi kép. Hãy tính lãi thu

được nếu ghép lãi theo:

a) Năm b) Nửa năm c) Quý d)Tháng

Giải.

a) Ta có: 5

1 1000. 1 0,08 1.469,33 $n

F P r

b) Ta có: 10

0,081 1000. 1 1.480,24 $

2

nF P r

c) Ta có: 20

0,081 1000. 1 1.485,95 $

4

nF P r

15 | P a g e

d) Ta có: 20

0,081 1000. 1 1.485,95 $

4

nF P r

Trong ví dụ trên ta xem xét lãi suất khi đầu tư 1000$ trong 5 năm với mức lãi suất

8%/năm. Giá trị đạt được sau 5 năm khác nhau theo từng thời đoạn ghép lãi: năm, nửa

năm, quý, tháng. Điều gì sẽ xảy ra nếu ta ghép lãi với thời đoạn nhỏ hơn như: ngày, phút,

giây …

Trong ví dụ trên ta thấy khi tăng số lần ghép lãi trong năm (thời gian ghép lãi nhỏ hơn)

thì giá trị đạt được tăng lên nhưng mức tăng ngày càng giảm đi.

Với r là lãi suất theo năm và n là số năm đầu tư. Gọi t là số lần ghép lãi trong năm ta có:

.n . . / . /

1 11 1 1 1

/ /

n rt n t r r t r

n rF P r P P P

t t r t r

Cho thời đoạn ghép lãi nhỏ đi tùy ý, tức là số lần ghép lãi t tăng lên vô cùng ta có:

.

/

.1lim lim 1 .

/

n rt r

n r

t tF P P e

t r

Trường hợp trên ta gọi là lãi kép liên tục hay ghép lãi liên tục. Có nghĩa là tính lãi kép

với số lần ghép lãi trong năm tăng lên vô hạn.

Trong ví dụ trên nếu ta ghép lãi liên tục thì: . 5.0,08. 1000. 1.491,8247 $n rF P e e

Như vậy bất kể với thời gian ghép lãi như thế nào, số lượng tiền thu về sau 5 năm sẽ

không bao giờ vượt quá 1.491,8247 ($). Do đó, số tiền lãi thu về không bao giờ vượt quá

491,83 ($). Hình vẽ minh họa:

16 | P a g e

Định lý. Nếu P là số vốn đầu tư ban đầu với lãi suất theo năm là r và tính lãi kép liên tục

thì giá trị đạt được khi đầu tư số vốn P sau n năm là: .. n rF P e

Ví dụ 1.26. Tính giá trị tương lai của số tiền 5000$ đầu tư 2 năm với mức lãi suất

8%/năm theo phương thức lãi kép và thời gian ghép lãi:

a) Theo ngày b) Liên tục

Đáp số: a) 5.867,45 ($) b) 5.867,55 ($)

Ví dụ 1.27. Bạn cần đầu tư bao nhiêu để mua một chiếc xe hơi sau 5 năm. Giả sử giá của

chiếc là 8.000$ và lãi suất hàng năm là 10%, tính theo lãi kép với thời gian ghép lãi:

a) Hàng quý b) Ghép lãi liên tục

Đáp số: a) 4.882,17 b) 4.852,25

1.3 Khấu hao

1.3.1 Giá trị hiện tại của một niên kim

Ví dụ 1.28. Bạn cần phải gửi bao nhiêu tiền vào tài khoản với lãi gộp 6%/năm, ghép lãi 6

tháng 1 lần, để có thể rút 1000$ mỗi 6 tháng trong vòng 3 năm? (Sau lần rút cuối cùng thì

cũng hết tiền trong tài khoản)

Trên thực tế, ta quan tâm đến giá trị hiện tại của mỗi khoản tiền 1000$ được trả trong

suốt 3 năm. Ta có thể tính toán như sau:

. 11

n

n

FVFV PV i PV

i

Lãi suất 6%/năm hay 3%/6 tháng nên ta có: 0,03i

Giá trị hiện tại của khoản 1000$ đầu tiên là: 11000 1,03

Giá trị hiện tại của khoản 1000$ rút lần 2 là: 21000 1,03

Ta có sơ đồ sau:

17 | P a g e

Vậy giá trị hiện tại của tất cả các khoản tiền rút trong tương lai:

2 3 4 5 6

1000 1000 1000 1000 1000 10005.417,19

1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03 1 0,03PV

Tổng quát. Nếu bạn muốn gửi một khoản tiền hiện tại là PV với mức lãi suất i sao cho

trong n kỳ tiếp theo, mỗi kỳ bạn thu về được một khoản tiền là PMT thì:

1 1n

iPV PMT

i

Trong đó:

PV: giá trị hiện tại (Present Value)

PMT: khoản trả định kỳ (payment)

i: lãi suất một kỳ

n: số kỳ , thanh toán cuối kỳ

Ví dụ 1.29. Giá trị hiện tại của một dòng tiền 200$ hàng tháng trong 5 năm là bao nhiêu

nếu lãi suất là 6%/năm và ghép lãi hàng tháng?

Giải.

Ta có: 0,06

200; 0,005; 5.12 6012

PMT i n

60

1 1 1 1 0,005200. 10.345,11$

0,005

ni

PV PMTi

18 | P a g e

Ví dụ 1.30. Bài toán nghỉ hưu

Lincoln Benefit Life đề nghị một khoản niên kim với lãi suất 6,5%/năm. Một người lên

kế hoạch tích lũy tiền vào tài khoản trong 25 năm để đến khi nghỉ hưu sẽ rút ra mỗi năm

25.000$ trong vòng 20 năm sau đó. Như vậy hàng năm anh ta cần cho vào tài khoản bao

nhiêu tiền để có thể rút như vậy. Lãi suất tổng cộng trong quá trình 45 năm đó là bao

nhiêu?

Giải.

Ta có hình vẽ sau:

Giá trị hiện tại của tổng số tiền rút trong tương lai:

Ta có: PMT=25.000; i=0,065; n=20 do đó:

20

1 1 1 1 0,06525.000. 275.462,68$

0,065

ni

PV PMTi

Như vậy tài khoản hiện tại phải có 275.462,68$ thì ta mới có thể rút mỗi năm 25.000

trong vòng 20 năm tới. Điều đó có nghĩa là ta phải góp được 275.462,68 $ trong 25 năm.

Để tìm giá trị tiền góp trong 25 năm ta áp dụng công thức sau:

25

0,065275.462,68. 4.677,76$

1 1 1 1 0,065n

iPMT PV

i

1.3.2 Khấu hao

Công thức tính giá trị hiện tại của một khoản niên kim có nhiều ứng dụng quan trọng. Giả

sử bạn vay 5.000 đô la từ một ngân hàng để mua một chiếc ô tô và đồng ý hoàn trả khoản

vay với 36 khoản thanh toán hàng tháng bằng nhau, bao gồm tất cả các khoản lãi phải trả.

Nếu ngân hàng tính phí 1% mỗi tháng trên số dư chưa thanh toán (12% mỗi năm cộng

dồn hàng tháng), thì mỗi khoản thanh toán phải trả bao nhiêu để trả hết nợ, kể cả lãi trong

19 | P a g e

36 tháng?

Trên thực tế, ngân hàng đã mua một niên kim từ bạn. Câu hỏi đặt ra là: nếu ngân hàng trả

cho bạn $ 5.000 (giá trị hiện tại) cho một khoản tiền hằng năm trả cho họ $PMT mỗi

tháng trong 36 tháng với lãi suất 12% hàng tháng, thì số tiền trả hàng tháng (PMT) là bao

nhiêu? (Lưu ý rằng giá trị của niên kim vào cuối 36 tháng là bằng không?)

Để tìm PMT, chúng ta chỉ sử dụng công thức trên với PV = $ 5,000, i = 0.01, và n = 36:

1 1

1 1

n

n

i iPV PMT PMT PV

i i

Vậy

36

0,015000 166,07 $

1 1 0,01PMT

Với mức giá $ 166.07 mỗi tháng, chiếc xe sẽ là của bạn sau 36 tháng. Nghĩa là, bạn đã

thanh toán khoản nợ bằng 36 khoản tiền bằng nhau hàng tháng. Hay bạn đã khấu hao

khoản nợ trong 36 tháng.

Nói chung, khấu hao một khoản nợ có nghĩa là thanh toán khoản nợ này trong một

khoảng thời gian nhất định bằng các khoản thanh toán định kỳ với lãi kép.

Ta quan tâm đến các khoản thanh toán định kỳ bằng nhau. Từ công thức giá trị hiện tại ta

có công thức khấu hao sau:

1 1n

iPMT PV

i

Ví dụ 1.31. Giả sử bạn mua một chiếc ti vi trị giá 800$ và đồng ý trả trong vòng 18

tháng với các khoản thanh toán bằng nhau. Giả sử lãi suất là 1,5%/tháng đối với khoản nợ

còn lại.

a) Hàng tháng bạn phải trả bao nhiêu tiền?

b) Khoản tiền lãi bạn phải trả tổng cộng là bao nhiêu?

Giải.

a) Theo bài ta có: PV=800$; i=0,015 và n=18. Ta có:

18

0,015800. 51,04 $

1 1,0151 1n

iPMT PV PMT

i

20 | P a g e

b) Tổng tiền lãi phải trả: 18 51,05 800 118,72 $

1.3.3 Lịch trình khấu hao (Amortization Schedules)

Khái niệm. Lịch trình khấu hao là bảng kế hoạch thể hiện từng khoản thanh toán cho

khoản vốn vay và khoản lãi suất trong toàn bộ thời gian vay. Lịch trình khấu hao cũng thể

hiện khoản dư nợ được giảm dần cho đến khi bằng 0.

Ví dụ 1.32. Giả sử bạn vay 500$ và đồng ý trả góp trong vòng 6 tháng với số tiền góp

bằng nhau. Lãi suất là 1% mỗi tháng trên số tiền chưa trả. Hãy lập kế hoạch trả nợ dần

cho khoản vay?

Giải.

Số tiền phải trả hàng tháng:

6

0,01500. 86,27 $

1 1,011 1n

iPMT PV

i

Ở cuối tháng thứ nhất, số tiền lãi phải trả là: 0,01 500 5 $

Như vậy số tiền thanh toán 86,27$ ở tháng 1 gồm 2 phần: 5$ tiền lãi và 81,27$ tiền vốn

gốc.

Khoản dư nợ ở tháng thứ 2 là: 500 - 81,27=418,73 ($)

Trong tháng thứ 2, số tiền lãi: 0,01 418,73 4,19 $

Cuối tháng thứ 2 ta thanh toán 86,27$, khoản tiền này gồm 4,19$ tiền lãi và 82,08$ tiền

vốn gốc.

Quá trình này tiếp tục cho đến khi nào dư nợ còn lại là 0. Bảng tính toán được thể hiện

dưới đây gọi là lịch trình khấu hao (bảng khấu hao).

Thứ tự

thanh toán

Khoản

thanh toán Khoản lãi Giảm dư nợ Dư nợ

0 500

1 86,27 5,00 81,27 418,73

2 86,27 4,19 82,08 336,65

3 86,27 3,37 82,90 253,75

4 86,27 2,54 83,73 170,02

5 86,27 1,70 84,57 85,45

6 86,30 0,85 85,45 0,00

Tổng cộng 517,65 17,65 500

Ví dụ 1.33. Lập bảng khấu hao cho khoản vay 1000$, trả góp hàng tháng, trong vòng 6

tháng với lãi suất 1,25%/tháng trên dư nợ.

1.4 Giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ (NPV và IRR)

21 | P a g e

1.4.1 Giá trị hiện tại và giá trị tương lai của tiền

Ví dụ 1.34. Gửi 100$ vào ngân hàng với lãi suất tiền gửi là 10%/năm. Sau 1 năm bạn có

110$, gồm 100$ tiền gốc và 10$ tiền lãi. Chúng ta nói rằng 110$ là giá trị tương lai của

100$ được đầu tư trong một năm với mức lãi suất 10% một năm.

Định nghĩa.

Giá trị tương lai của tiền tệ là giá trị tại một thời điểm nhất định trong tương lai của một

khoản đầu tư ở hiện tại với một mức lãi suất cho trước.

Giá trị hiện tại của tiền tệ là giá trị tính đổi về thời điểm hiện tại của dòng tiền tệ tương

lai.

a. Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn

Giá trị tương lai của một khoản tiền đơn (khoản tiền duy nhất): là giá trị của số tiền

này ở thời điểm hiện tại cộng với số tiền lãi mà nó sinh ra trong khoảng thời gian từ hiện

tại cho đến một thời điểm trong tương lai.

Công thức: 1n

FV PV i

Trong đó:

FV ( Future Value) : Giá trị tương lai của khoản tiền đơn

PV (Present Value) : Giá trị hiện tại

i : lãi suất yêu cầu

n : kỳ hạn (thường là năm)

Ví dụ 1.35. Giả sử một người cha đã mở tài khoản tiết kiệm 5 triệu VNĐ cho con trai của

ông ta vào ngày đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền vào đại học. Lãi suất hàng

năm là 6%. Vậy số tiền mà người con trai sẽ nhận được khi vào đại học là bao nhiêu?

Giải

Áp dụng công thức trên ta có số tiền người con trai sẽ nhận được khi vào đại học là:

18

5.000.000 1 6% 14.271.6951n

FV PV i

Ví dụ 1.36. Một người muốn để dành tiền cho tuổi già bằng cách gửi tiết kiệm vào ngân

hàng, lãi suất ngân hàng là 13%/năm. Người đó phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu tiền ở

thời điểm hiện tại, để 20 năm sau nhận được số tiền 20 triệu VNĐ?

Giải

22 | P a g e

Ta có:

20

20.000.0001.736.000

1 1 0,13n

FVPV

i

b. Giá trị tương lai của nhiều khoản tiền

Ví dụ 1.37. Một người lập 1 sổ tiết kiệm gửi đầu tiên 1 triệu đồng. Sau 4 năm gửi 3 triệu

đồng, sau 6 năm gửi 1,5 triệu đồng. Lãi suất là 12%/năm, ghép lãi nửa năm 1 lần. Hỏi sau

10 năm người đó có được bao nhiêu tiền?

Giải. Ta có mô hình:

Để cho tiện ta sẽ tính, lãi suất thực tương đương của 1 năm là:

20,12

1 1 0,12362

i

Ta có: 10 6 4

1. 1 0,1236 3. 1 0,1236 1,5. 1 0,1236 11,634FV (triệu)

Ví dụ 1.38. Tính số tiền tích lũy được trong một sổ tiết kiệm sau 12 tháng nếu sơ đồ gửi

tiền như hình sau. Giả sử ngân hàng trả lãi 6%/năm, ghép lãi 6 tháng 1 lần và trả lãi đơn

cho các khoản ở giữa kỳ.

23 | P a g e

Giải.

Lãi suất thực trong 6 tháng đầu là: 3%.

Vì lãi suất ở những tháng giữa kỳ không được tính theo lãi kép nên ta phải quy đổi về

cuối tháng 6 và cuối tháng 12.

Với 6 tháng đầu ta có: 6

5 3100 1 .0,03 90 1 .0,03 80 273,85

6 6F

Với 6 tháng cuối ta có: 12

5 3 175 1 .0,03 85 1 .0,03 70 1 .0,03 233,93

6 6 6F

Như vậy số tiền tích lũy được sau 12 tháng: 6 121 0,03 515,9955FV F F

1.4.2 Giá trị tương lai của một dòng tiền đều.

Vấn đề: Cho A tìm F=???

Ta có:

1 2 1 2 1

1 1 ... 1 1 1 1 ... 1n n

FV A A i A i A i A i i i

Theo công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ta có: 1 1

1

n

n

u qS

q

Vậy

1 1 1 1.

1 1

n ni i

FV A Ai i

Giá trị tương lai của một dòng tiền đều sau n năm chính là tổng giá trị tương lai của

từng khoản tiền xảy ra ở từng thời điểm khác nhau trong n năm.

Công thức: (1 ) 1

.n

n

iFVA A

i

Trong đó:

FVA( Future Value of Annuity): giá trị tương lai của dòng tiền thông thường

A=CF (Cash Flow): dòng tiền cấu thành

24 | P a g e

i : lãi suất yêu cầu

n : kỳ hạn ( thường là năm)

Ví dụ 1.39. một người có một khoản thu nhập cố định vào cuối mỗi năm là 100 triệu

VND, trong khoản thời gian 5 năm, lãi suất ước tính là 10%/ năm. Tính giá trị tương lai

của dòng tiền tệ đó sau 5 năm.

Áp dụng công thức

5

5

(1 10%) 1100. 610,51

10%FVA

(triệu)

Ví dụ 1.40. Một công ty ước tính sẽ thay thế một thiết bị sau 5 năm với giá 1000$. Để có

được số tiền này sau 5 năm, một quỹ vốn được thiết lập bằng cách hàng tháng gửi đều

một số tiền A vào ngân hàng vỡi lãi suất 6%/năm ghép lãi theo tháng. Hỏi số tiền A là

bao nhiêu?

Giải.

Ta có:

.

1 1

(1 ) 1. n

n

n

n

FVA iA

i

iFVA A

i

Trong đó: i=0,06/12=0,005; n=12*5=60 và FVA=1000. Từ đó tính được: A=143,33$

1.4.3 Giá trị hiện tại của một dòng tiền đều.

Ta có: 1

(1 ) 1. n n

n

n

FVAPVA

i

iFVA A

i

Vậy

1 111

1

n

n n

A iAPVA

i ii

25 | P a g e

Giá trị hiện tại của một dòng tiền sau n năm chính là tổng giá trị hiện tại của các dòng

tiền cấu thành. Công thức:

1 1.

n

n

iPVA A

i

Trong đó:

PVA( Future Value of Annuity): giá trị hiện tại của dòng tiền thông thường

i : lãi suất yêu cầu

n : kỳ hạn ( thường là năm)

Ví dụ 1.41. Tính giá trị của một thiết bị sản xuất nếu nó được bán trả góp với lãi suất

12%/năm và thời gian là 5 năm, mỗi năm trả 50 triệu VNĐ. Biết rằng việc trả tiển được

tiến hành vào cuối năm.

Giải.

5

5

1 1 1 1 0,1250.000.000 180.240.000

0,12.

ni

PVA Ai

(đồng)

Ví dụ 1.42. Tìm giá trị hiện tại của dòng tiền phân bố đều có giá trị là 200$ mỗi tháng,

kéo dài trong 5 năm với lãi suất 6%/năm, ghép lãi theo tháng? Đ.S: PVA=10.345,11$

1.4.2 Giá trị hiện tại ròng

Ví dụ 1.43. Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại 100 triệu đồng và sẽ đem lại 150

triệu đồng sau 3 năm. Với lãi suất thịnh hành 8% một năm, ta thử đánh giá xem có nên

thực hiện dự án đó hay không

Giải

Giá trị tương lai sau 3 năm của khoản chi phí 100 triệu đồng bỏ ra hôm nay là:

3100(1 0,08) 125,971FV ( triệu đồng ).

Con số này nhỏ hơn 150 triệu sẽ thu về, tức là việc tiến hành dự án có lợi hơn là đem tiền

cho vay.

Thông thường ta hay quy các giá trị về giá trị hiện tại để tiện so sánh. Khi này ta sử dụng

khái niệm giá trị hiện tại ròng NPV (Net Present Value).

Định nghĩa 1. Giá trị hiện tại ròng của một dự án đầu tư là hiệu số của giá trị hiện tại của

khoản tiền sẽ thu về trong tương lai và chi phí chi phí triển khai dự án.

(1 ) nNPV FV i C

26 | P a g e

Trong đó:

C là khoản chi phí hiện tại,

FV là khoản do dự án đem lại sau n năm,

i là lãi suất năm và

NPV (Net Present Value) là giá trị hiện tại ròng của dự án.

Quay trở lại ví dụ trên ta có:

3(1 ) 150(1 0,08) 100 119,0748 100 19,0748nNPV FV i C

Định nghĩa 2. Giá trị hiện tại ròng là tổng các giá trị hiện tại riêng lẻ sau khi đã chiết

khấu, theo nghĩa trên.

0

(1 )n

t

t t

t

NPV CI CO i

Trong đó:

n: số năm hoạt động của dự án

t: năm bắt đầu thực hiện dự án được coi là năm gốc

CIt :giá trị luồng tiền thu tại năm t

COt : giá trị luồng tiền chi tại năm t

Ví dụ 1.44. Một công ty có thể mua 1 máy với giá hiện tại là 10.000 $. Kế toán của công

ty ước tính rằng máy có thể mang lại một khoản lợi nhuận 2500$ mỗi năm trong vòng 5

năm sau khi mua máy. Sau đó máy được bán thanh lý với giá 500$. Hãy xác định NPV

của máy nếu lãi suất là 5% cho mỗi kỳ. (giả sử rằng dòng tiền thu được tính vào cuối mỗi

năm)

Giải

Ta có bảng tính như sau:

Sau năm

t

Tổng dòng tiền năm t

t tCI CO

Hệ số chiết khấu

(1 ) ti

Giá trị hiện tại năm t

(1 ) t

t tCI CO i

0 -10.000 0

1 0,05

-10.000

1 2.500 1

1 0,05

2.380

2 2.500 2

1 0,05

2.267,50

27 | P a g e

3 2.500 3

1 0,05

2.160

4 2.500 4

1 0,05

2.057,50

5 3.000 5

1 0,05

2.352

Giá trị hiện tại ròng (NPV) 1.217

Vậy ta có: 5

0

(1 ) 1.217 $t

t t

t

NPV CI CO i

Ghi chú: Hệ số chiết khấu của năm thứ n được tính: 1n

i

Nếu NPV>0 có nghĩa là việc đầu tư mang lại nhiều lợi nhuận hơn so với giá trị tương lai

của vốn gốc 10.000 $ ở mức lãi suất 5%. Trên thực tế, bạn cần đầu tư 1.217 $ tại mức lãi

suất 5% để phát sinh được dòng tiền thu như trên. Như vậy, ta nên đầu tư mua máy.

Ví dụ 1.45. Hãy đánh giá NPV của các dự án tiềm năng sau:

Sau năm t Dự án A

i=6%

Dự án B

i=8%

0 -35 -55

1 -10 0

2 20 15

3 30 25

4 40 35

Ghi chú: i là lãi suất và dấu – thể hiện dòng tiền chi, dấu + hoặc không dấu thể hiện dòng

tiền thu.

Giải.

Ta có bảng sau:

Sau năm

t

Dự án A

t tCI CO

Hệ số chiết khấu

(1 ) ti

PV

(1 ) t

t tCI CO i

0 -35 0

1 0,06

-35

1 -10 1

1 0,06

-9,43

2 20 2

1 0,06

17,80

3 30 3

1 0,06

25,20

4 40 4

1 0,06

31,68

Giá trị hiện tại ròng (NPV) 30,25

28 | P a g e

Tương tự:

Sau năm

t

Dự án B

t tCI CO

Hệ số chiết khấu

(1 ) ti

PV

(1 ) t

t tCI CO i

0 -55 0

1 0,08

-55

1 0 1

1 0,08

0

2 15 2

1 0,08

12,86

3 25 3

1 0,08

19,85

4 35 4

1 0,08

25,73

Giá trị hiện tại ròng (NPV) 3,44

Cả hai dự án đều có NPV>0 nên cả hai dự án đều đáng để thực hiện. Ở đây ta nên chọn

dự án A vì có NPV cao hơn.

1.4.3 Tỷ lệ hoàn vốn nội bộ

Định nghĩa. IRR – Internal Rate of Return (tỷ suất hoàn vốn nội bộ): mức lãi suất mà dự

án có thể đạt được đảm bảo cho tổng các khoản thu của dự án cân bằng với các khoản

chi. Nói cách khác IRR là mức lãi suất chiết khấu làm cho NPV=0.

Công thức: 0 0

1 1n n

t t

t t

t t

CI i CO i

IRR có được bằng phương pháp thử sai như sau:

- Tìm mức chiết khấu sao cho NPV nhỏ và dương;

- Tìm mức chiết khấu lớn hơn sao cho NPV nhỏ và âm

- Sử dụng nội suy tuyến tính giữa hai giá trị trên để tìm mức chiết khấu sao cho NPV=0

Ví dụ 1.46. Hãy xác định IRR của dự án sau: (đơn vị: ngàn $)

Thời gian 0 1 2 3 4

Dòng tiền -80 40 30 20 5

Giải.

Ta chọn thử mức lãi suất 5% một cách ngẫu nhiên. Vì mức lãi suất 5% làm cho NPV

dương nên ta chọn thử mức lãi suất 10% với hi vọng NPV sẽ âm. Ta có bảng tính như

sau:

29 | P a g e

Thời gian Tổng dòng

tiền

PV (5%) PV (10%)

0 -80 -80 -80

1 40 38,095 36,364

2 30 27,211 24,793

3 20 17,277 15,026

4 5 4,114 3,415

NPV 6,697 -0,402

Để xác định được IRR ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc nội suy.

Theo phương pháp nội suy ta có: 1 1

2 1 1 2

IRR R NPV

R R NPV NPV

11 2 1

1 2

6,6975% 10% 5% 9,7%

6,697 0,402

NPVIRR R R R

NPV NPV

Ví dụ 1.47. Hãy xác định IRR của dự án sau: (đơn vị: ngàn $)

Thời gian 0 1 2 3

Dòng tiền -100 50 50 20

Giải.

Ta có bảng tính sau:

Thời gian Tổng dòng tiền PV (5%) PV (10%)

0 -200 -100 -100

1 50 47,619 43,478

2 50 45,351 37,807

30 | P a g e

3 20 17,277 13,150

NPV 10,247 - 5,565

Để xác định được IRR ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc nội suy.

Theo phương pháp nội suy ta có:

11 2 1

1 2

10,2475% 15% 5% 11,5%

10,247 5,565

NPVIRR R R R

NPV NPV

1.5 Niên kim, các khoản cho vay và thế chấp

1.5.1 Khái niệm dòng tiền

1.5.2 Niên kim (annuity, dòng tiền đều)

Khái niệm. Niên kim hay dòng niên kim là dòng tiền bao gồm các khoản tiền bằng nhau

được phân bố đều đặn theo thời gian.

Dòng niên kim còn được phân chia thành 3 loại :

(1) Dòng niên kim thông thường (ordinary annuity) – xảy ra vào cuối kỳ

(2) Dòng niên kim đầu kỳ ( annuity due) – xảy ra vào đầu kỳ

(3) Dòng niên kim vĩnh cửu (perpetuity) – xảy ra cuối kỳ và không bao giờ chấm dứt

Ví dụ 1.48. Chẳng hạn một cửa hàng cung cấp dịch vụ cho thuê nhà trong 5 năm với giá

cho thuê là 24 triệu đồng mỗi năm, thời gian thanh toán vào ngày 31/12 hằng năm Thu

nhập từ việc cho thuê nhà là một dòng tiền đều thông thường bao gồm 5 khoản tiền bằng

nhau trong 5 năm

0 1 2 3 4 5

5triệu 5triệu 5triệu 5triệu 5triệu

- Bây giờ, thay vì tiền thuê nhà được trả vào cuối năm, cửa hàng yêu cầu người thuê phải

trả vào đầu năm, tức là vào ngày 1/1 hàng năm Thu nhập lúc này là một dòng tiền đều

đầu kỳ 0 1 2 3 4 5

5triệu 5triệu 5triệu 5triệu 5triệu

31 | P a g e

- Hoặc theo cách khác, thay vì bỏ tiền ra mua nhà và cho thuê, người chủ sử dụng số tiền

đó để mua cổ phiếu ưu đãi của một công ty cổ phần và hằng năm hưởng mức cổ tức cố

định 20 triệu đồng. Giả giữ công ty này tồn tại vĩnh viễn, khi đó thu nhập từ mua cổ

phiếu là một dòng tiền đều vĩnh cửu.

0 1 2 ……. n ………

20 triệu 20triệu …….. 20triệu ……..

1.5.3 Các khoản cho vay và thế chấp (loans and mortgages)

Chúng ta đều biết rằng, có nhiều cách để trả lại khoản vay khi một tài sản được mang ra

thế chấp trong một số năm. Ở đây ta tập trung vào các cách trả nợ thế chấp.

Các đặc điểm của trả nợ thế chấp là:

Một khoản tiền nhất định, M, được vay để được hoàn trả trong n năm;

Lãi suất được cộng vào khoản vay hồi tố vào cuối mỗi năm;

Một khoản tiền không đổi, P, được trả lại mỗi năm bởi người đi vay, thông thường

các khoản tiền hàng tháng bằng nhau.

Nhìn từ quan điểm của người cho vay, một thế chấp trả nợ là một dòng niên kim. Người

cho vay trả số tiền ban đầu (M) và đổi lại nhận được một loạt các khoản thanh toán hàng

năm liên tục (P) trong n năm. Ta có thể xem M là giá trị hiện tại của dòng niên kim đó.

Ví dụ 1.49.

a) Một khoản thế chấp 30.000 $ được đảm bảo trên một tài sản với lãi suất 12% trong 25

năm. Hàng tháng khoản hoàn trả là bao nhiêu?

b) Sau khi thế chấp 2 năm, lãi suất tăng lên 14%. Hãy tính toán lại khoản hoàn trả hàng

tháng

Giải.

a) Ta cân bằng giá trị hiện tại:

25

1 1 30.00030.000 7,843139 3.825 $

0,12 0,12.1,12 7,843139P P P

Vậy hàng năm khoản hoàn trả là 3.825 ($) và hàng tháng là 318,75($).

32 | P a g e

b) Sau hai năm, sau khi đã hoàn trả 2 lần, khoản thế chấp bây giờ còn lại:

230.000 1,12 3.825 1,12 3.825 29.523 ($)

Khi này thời gian thế chấp là 23 năm và lãi suất là 14% do đó ta có:

23

1 1 29.52329.523 6,792056 4.346,70 $

0,14 0,14.1,14 6,792056P P P

Ta cần hoàn trả 4.346,70 ($) hàng năm hay 362,33 ($) hàng tháng.

Ví dụ 1.50. Một tài sản được mang đi thế chấp hơn 20 năm với lãi suất 8%/năm. Nếu

khoản thế chấp là 70.000$, mức hoàn trả hàng năm là bao nhiêu? Nếu sau 5 năm lãi suất

giảm xuống còn 7,5% thì khoản hoàn trả hàng năm giảm xuống như thế nào.

Giải

Ta cân bằng giá trị hiện tại:

20

1 1 70.00070.000 9,818147 7.129,65 $

0,08 0,08.1,08 9,818147P P P

Khoản hoàn trả là: 7129,65 ($) một năm.

Sau khi hoàn trả 5 lần, giá trị sở hữu còn lại:

5 2 3 470.000 1,08 7.129,65 1 1,08 1,08 1,08 1,08 61.026,16 ($)

Tại mức lãi suất 7,5% trong 15 năm còn lại, ta cân bằng giá trị như sau:

15

1 161.026,16 6.913,49 $

0,075 0,075.1,075P P

1.6 Mối liên hệ giữa lãi suất và giá của trái phiếu

1.6.1. Một số khái niệm và thuật ngữ

33 | P a g e

Trái phiếu : Là một chứng từ có giá trị, một công cụ của nợ dài hạn. Nó quy định

người phát hành trái phiếu (Chính phủ hay Doanh nghiệp) phải thanh toán cho người giữ

trái phiếu (trái chủ) hàng năm một khoản lãi xác định cho đến khi trái phiếu hết hạn. Trái

phiếu được thanh toán theo mệnh giá khi đến kỳ đáo hạn (hoàn trái).

Mệnh giá (M) : Giá ghi trên trái phiếu, là số tiền mà công ty phát hành trái

phiếu hoàn trả lại cho trái chủ vào thời điểm đáo hạn.

Ngày đáo hạn : Là ngày trái phiếu hết hạn, đến kỳ thanh toán

Lãi suất huy động (kD ) hay còn gọi là lãi suất coupon : Là lãi suất mà công ty

phát hành trái phiếu hứa thanh toán cho các trái chủ. Lãi suất huy động vốn thường giữ

nguyên không đổi cho tới ngày đáo hạn (trừ các loại trái phiếu được gọi là thanh toán

trước hạn). Lãi suất này được xác định theo tỷ lệ % so với mệnh giá.

Giá trái phiếu (Vb): là giá khi nhà đầu tư mua trái phiếu, nó có thể bằng, thấp hơn

hoặc cao hơn mệnh giá.

Lãi suất thị trường (kDM): là mức lãi mà thị trường đòi hỏi đối với một khoản vay

cụ thể, tuỳ thuộc vào thời điểm vay và thời hạn vay. Thông thường khi phát hành trái

phiếu, người phát hành sẽ ấn định mức lãi suất coupon bằng với mức mà thị trường đòi

hỏi, khi đó trái phiếu sẽ được bán theo mệnh giá.

1.6.2. Phân loại trái phiếu :

Có rất nhiều cách phân loại trái phiếu nhưng ở đây chúng ta quan tâm đến việc phân loại

trái phiếu dựa vào lãi suất coupon, gồm có 2 loại :

Trái phiếu chiết khấu là loại trái phiếu mà người nắm giữ nó không được trả lãi

(coupon) định kì, thay vào đó trái phiếu chiết khấu được bán ở mức giá chiết khấu (thấp

hơn mệnh giá). Đáo hạn, trái chủ được hoàn trả lại số tiền bằng mệnh giá. Mặc dù không

được nhận lãi định kỳ nhưng nhà đầu tư vẫn mua trái phiếu này vì họ vẫn nhận được lợi

tức, chính là phần chênh lệch giữa giá mua gốc của trái phiếu với mệnh giá của nó.

Trái phiếu có lãi trả hàng kỳ: Là loại trái phiếu mà trái chủ được trả lợi tức hàng kì

đã ấn định trước và trả gốc (bằng mệnh giá) khi đáo hạn.

34 | P a g e

1.6.3. Phương pháp định giá trái phiếu

a. Định giá trái phiếu vô hạn

Trái phiếu vô hạn là trái phiếu không bao giờ đáo hạn. Giá trị của loại trái phiếu

này được xác định bằng giá trị hiện tại của toàn bộ lãi hàng năm vô hạn mà trái phiếu này

mang lại.

Công thức: Db

DM DM

Lai M k

k kV

Ví dụ 1.51. Chính phủ Anh phát hành trái phiếu vô hạn có mệnh giá 1.000 bảng Anh. Lãi

suất huy động 12%/năm. Nếu lãi suất theo yêu cầu của nhà đầu tư là 10%/năm thì giá trái

phiếu này được bán trên thị trường là:

1.000 12%1.200

10%

Db

DM DM

Lai M k

k kV

(bảng Anh)

b. Định giá trái phiếu có lãi trả hàng kỳ

Khi mua loại trái phiếu này, nhà đầu tư đựơc hưởng lãi định kỳ theo lãi công bố

tính trên mệnh giá và được thu hồi lại vốn gốc bằng mệnh giá khi trái phiếu đáo hạn. Giá

của trái phiếu bằng giá trị hiện tại của toàn bộ dòng thu nhập của trái phiếu trong tương

lai.

Để dễ hình dung, ta biểu diễn bằng hình vẽ sau nếu gọi I là tiền lãi hàng kỳ

0 1 2 ….. n

Vb=? I I …. I

M

Vào thời điểm đáo hạn (năm n), ngoài tiền lãi hàng kỳ được nhận, nhà đầu tư còn nhận lại

vốn gốc bằng mệnh giá.

Công thức định giá trái phiếu trường hợp này là :

2...

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )b n n

DM DM DM DM

I I I M

k k k kV

KDM

35 | P a g e

Ví dụ 1.52. Một doanh nghiệp cổ phần phát hành ra trái phiếu có mệnh giá 1.000.000

đồng, thời hạn 5 năm và lãi suất huy động là 12%/năm, mỗi năm trả lãi 1 lần nhưng trái

phiếu đã phát hành cách đây 2 năm nên thời hạn còn lại của trái phiếu là 3 năm. Xác định

giá bán của trái phiếu trên thị trường, nếu lãi suất theo thị trường là 10%.

Giải:

Tiền lãi nhận hàng năm: 1.000.000 0,12 120.000DMI M k

Giá bán của trái phiếu này trên thị trường là:

2 3 3

120.000 120.000 120.000 1.000.000V 1.049.737

1,1 1,1 1,1 1,1b

c. Định giá trái phiếu chiết khấu

Phương pháp định giá loại trái phiếu này cũng tương tự như đối với trái phiếu có lãi trả

hàng kỳ, chỉ khác ở chỗ lãi hàng kỳ bằng 0, chỉ có mệnh giá thu được vào ngày đáo hạn.

Công thức: (1 )

b n

DM

M

kV

d. Định giá trái phiếu khi lãi được thanh toán nhiều lần trong năm

Bây giờ ta xét trái phiếu khi lãi được thanh toán không phải 1 lần trong năm mà là (m)

lần trong năm.

Đối với trường hợp này thì việc định giá trái phiếu về nguyên tắc cũng giống như định

giá trái phiếu khi lãi được thanh toán 1 lần trong năm, chỉ khác ở chỗ là các khoản thu

nhập cố định hàng năm sẽ được chia làm (m) lần, vì vậy số lần ghép lãi bây giờ không

phải (n) lần mà là (m x n) lần.

Công thức:

11 1

DMmxn

b t M nt DM DM

k MMm

k k

m m

V

Ví dụ 1.53. Hãy định giá của trái phiếu có mệnh giá là 1000$, lãi suất huy động vốn là

8%/năm, thanh toán lãi nửa năm một lần. Trái phiếu đáo hạn trong 6 năm. Giả sử lãi suất

thị trường tại thời điểm phát hành trái phiếu là 10%.

36 | P a g e

Đáp số:

Số tiền trả lãi hàng kỳ: 1000 0.08

402

DMM kI

m

Giá của trái phiếu: 12

121 1

40 1000911,367

1.04 1.041 1

DMmxn

b t M n tt tDM DM

k MMm

k k

m m

V

Lưu ý : Chúng ta không những có thể định giá trái phiếu tại thời điểm hiện tại mà còn có

thể định giá ở bất cứ thời điểm nào trong thời gian hoạt động của trái phiếu

Ví dụ 1.54. Một trái phiếu có mệnh giá 1 triệu đồng, đáo hạn sau 5 năm lãnh lãi định kỳ 1

lần /năm. Lãi suất huy động vốn là 10%/năm. Lãi suất thị trường tại thời điểm phát hành

trái phiếu là 10%. Sau 2 năm phát hành. Lãi suất thị trường vốn biến động mạnh, giảm

chỉ còn 8% và giữ nguyên không đổi cho tới kỳ đáo hạn. Hãy tính giá trái phiếu tại thời

điểm lãi suất thị trường biến động (t=2) và tại thời điểm t = 0?

Giải. Chúng ta minh hoạ sau :

0 1 2 3 4 5

0,1 0,1 0,1 0,1 0,1

Vb0=? Vb2=? 1000

Số tiền lãi trả hàng kỳ: 1000 0,1 100I (ngàn)

Giá trái phiếu tại thời điểm t=2: 2 1 2 3 3

100 100 100 10001.051,542

1.08 1.08 1.08 1.08bV (ngàn)

Giá trái phiếu tại thời điểm t=0: 0 1 2 2

100 100 1.051,5421.042,597

1.1 1.1 1.1bV (ngàn)

1.7 Số chỉ số và năm cơ sở

1.7.1 Định nghĩa. Nếu một dãy các giá trị có liên quan đến các thời điểm khác nhau và

tất cả được diễn tả bởi tỷ lệ phần trăm của giá trị với một thời điểm cụ thể, chúng được

gọi là chỉ số với thời gian là cơ sở.

10% 8%

37 | P a g e

100Valueinany given year

IndexnumberValueinbase year

Chúng ta thường nói năm tuy nhiên các số liệu hàng tháng cũng có thể có tháng cơ sở.

Do đó, để chặt chẽ ta sẽ dùng thuật ngữ “thởi điểm” thay vì “năm”.

Ví dụ 1.55. Hãy thể hiện các dãy giá trị dưới đây với năm 1995 là cơ sở

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

Giá trị 46 52 62 69 74

Giải

Ta cần thể hiện các giá trị của mỗi năm sau theo tỷ lệ phần trăm với giá trị của năm cơ sở

là 1995. Do đó, ta cần chia các giá trị cho 46 (giá trị của năm cơ sở 1995) và nhân với

100. Kết quả:

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

Giá trị 100 113 135 150 161

Ghi chú:

- Năm cơ sở không nhất thiết là năm đầu tiên trong chuỗi giá trị. Ta có thể chọn bất

cứ năm nào

- Biểu diễn “1995=100” có nghĩa là các giá trị tương ứng đều là chỉ số so với cơ sở

là năm 1995. Chỉ số của năm cơ sở (trong trường hợp này là năm 1995) luôn luôn

là 100.

- Kết quả ở trên được làm tròn cho tiện hình dung. Trong thực tế bạn có thể tính

toán đến bất cứ độ chính xác nào nếu cần thiết

Giải thích các số chỉ số

Chỉ số 113 cho ta thấy rằng có sự gia tăng 13% so với năm cơ bản

Từ ví dụ trên ta thấy giá trị tăng lên 13% từ năm 1995 tới năm 1996, từ 1995 đến 1997

tăng lên 35% và tăng 50% trong 3 năm từ 1995 đến 1998, và 61% trong 4 năm từ 1995

đến 1999

Những thay đổi về tỷ lệ phải luôn so sánh với năm cơ sở ban đầu. Ta không thể đơn giản

trừ các chỉ số đề có được phần trăm thay đổi giữa các năm khác nhau.

Ví dụ 1.56. Tìm tỷ lệ % thay đổi từ năm 1998 đến năm 1999 trong dữ liệu cho ở trên

Giải.

38 | P a g e

161100 107.3

150

Như vậy có sự gia tăng 7,3%

Nếu chúng ta chỉ đơn thuần trừ đi chỉ số tương ứng của 2 năm thì giá trị tìm được là 161

– 150 =11 không tương ứng với mức độ gia tăng 11%.

Để có được phần trăm thay đổi giữa hai năm A và B, cách dễ nhất là tìm chỉ số của B với

năm cơ sở là năm A sau đó trừ đi 100.

Nếu giá trị giảm đi thì chỉ số tương ứng sẽ nhỏ hơn 100. Khi này, kết quả sau khi trừ đi

100 sẽ mang dấu âm. Điều này giải thích sự giảm đi của số liệu.

Ví dụ 1.57.

Năm 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

Giá trị 1.2 1.5 1.8 1.9 1.6 1.5 1.7

a) Hãy xác định chỉ số của các giá trị lợi nhuận ở bảng trên với:

a. Năm cơ sở là năm 1991

b. Năm cơ sở là năm 1994

b) Hãy giải thích ý nghĩa của chỉ số tương ứng của năm 1995 trong cả hai trường hợp

c) Tìm mức độ phần trăm tăng lên từ năm 1996 đến năm 1997

d) Hãy giải thích ý nghĩa của chỉ số 2500 biết chỉ số của năm 1989 là 100.

1.7.2 Vấn đề lựa chọn năm cơ sở

Mặc dù một năm cơ sở cụ thể có thể phù hợp trong nhiều năm, tuy nhiên khi thời gian

trôi đi càng ngày nó càng mất ý nghĩa và cuối cùng ta thấy tất yếu phải chọn một năm cơ

sở mới, điều này gọi là rebasing.

Yêu cầu duy nhất để chọn năm cơ sở đó là nó phải là một năm rất điển hình. Ví dụ ta cần

chọn năm cơ sở cho quan sát về giá thì năm được chọn phải có giá không quá thấp hoặc

quá cao bất thường. Thứ hai năm cơ sở được chọn phải đủ gần đây để mọi so sánh với

năm cơ sở này mang đến nhiều ý nghĩa. Ví dụ nếu ta kết luận rằng sản xuất đã thay đổi

với một tỷ lệ nào đó trong vòng 2 năm, 4 năm, hoặc 10 năm so với năm cơ sở thì tạm

được. Tuy nhiên nếu ta nói là có sự thay đổi so với 50 năm trước thì điều này không

mang lại nhiều ý nghĩa.

39 | P a g e

Cũng như trong trường hợp, chúng ta sẽ thấy ngay đây, các chỉ số thể hiện các loại hàng

hóa mà khách hàng thực sự mua rất khác biệt giữa hiện này và khoảng 20 – 30 năm về

trước. Do đó năm cơ sở cần phải di chuyển để phù hơp với các chỉ số.

1.7.3 Thay đổi năm cơ sở

Ta hoàn toàn có thể quay lại dữ liệu gốc để tính toán các chỉ số với năm cơ sở mới. Tuy

nhiên các chỉ số hiện tại có thể được dùng như là dữ liệu gốc (tất nhiên nếu các chỉ số này

đã được làm tròn thì sẽ có một số vấn đề phát sinh). Ví dụ sau đây cho thấy, thay đổi năm

cơ sở bằng cách sử dụng chỉ số thay vì sử dụng dữ liệu gốc mang lại kết quả khá tốt.

Ví dụ 1.58.

a) Đưa các giá trị sau về dạng chỉ số với năm cơ sở là năm 1990

b) Sử dụng dữ liệu gốc đưa năm cơ sở về năm 1995

c) Sử dụng các chỉ số tìm được ở câu a) như các dữ liệu gốc và đưa năm cơ sở về

năm 1995. So sánh kết quả với câu b).

Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân.

Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Giá trị 8 9 9 12 20 22 24 25 27

Giải

Năm 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Năm cơ sở 1990 100,0 112,5 112,5 150,0 300,0 275,0 300,0 312,5 337,5

Năm cơ sở 1995 36,4 40,9 40,9 54,5 90,9 100,0 109,1 113,6 122,7

Năm cơ sở 1995 36,4 40,9 40,9 54,5 90,9 100,0 109,1 113,6 122,7

Chú ý

Hàng 2 các chỉ số được tính trên số liệu gốc. Ta lấy số liệu gốc chia cho 22 và nhân với

100

Hàng 3 các chỉ số được tính trên các chỉ số hàng 1. Ta lấy các chỉ số chia cho 275 và

nhân với 100

Kết quả tìm được sau khi đã làm tròn 1 chữ số thập phân là như nhau.

Ví dụ 1.59. Các chỉ số dưới đây được tính với năm cơ sở là 1989. Hãy tính toán lại với

năm cơ sở mới là 1996

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

1989=100 129,0 140,3 148,5 155,1 163,2

40 | P a g e

Hãy giải thích ý nghĩa 2 chỉ số của năm 1999 tương ứng với hai năm cơ sở là 1989 và

1996

Giải

Ta chia cho 140,3 và nhân với 100. Bảng chỉ số mới

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

1996=100 91,9 100 105,8 110,5 116,3

Chỉ số 163,2 cho thấy giá trị của năm 1999 tăng lên 63,2 % so với năm 1989

Còn chỉ số 116,3 cho thấy giá trị của năm 1999 tăng lên 16,3% so với năm 1996

1.8 Ghép các dãy số chỉ số

Khi một dãy chỉ số bị phụ thuộc vào sự thay đổi của năm cơ sở hoặc một thay đổi nhỏ

nào đó của sự hợp thành, bạn sẽ tìm thấy trong chuỗi có 1 năm với 2 chỉ số khác nhau, và

sự thay đổi chỉ số được thể hiện luôn trong chuỗi. Kỹ thuật kết hợp 2 chuỗi thành 1 chuỗi

duy nhất gọi là “nối các chuỗi với nhau”

Ví dụ 1.60. Chỉ số giá dưới đây thay đổi cơ sở sang năm 1983 sau nhiều năm tính với cơ

sở 1970. Hãy tính toán lại chỉ số của dãy với năm cơ sở 1983. Từ 1981 đến 1985 giá đã

tăng bao nhiêu phần trăm.

Năm Chỉ số giá

1980

(1970=100)

263

1981 271

1982 277

1983 280

(1983=100)

1984 104

1985 107

Chỉ số của năm 1983 đã là 100 do đó ta cần thay đổi năm cơ sở của chuỗi giá trị ban đầu.

Trong chuỗi này giá trị của 1983 là 280 nên ta sẽ chia các chỉ số của các năm 1980 đến

1982 cho 280 và nhân với 100.

Kết quả thể hiện ở bảng sau:

Năm Chỉ số giá

(1970=100)

Chỉ số giá

(1980=100)

1980 263 94

1981 271 97

1982 277 99

41 | P a g e

1983 280

(1983=100)

100

1984 104 104

1985 107 107

Giờ ta có một chuỗi đơn trải dài từ 1981 đến 1985. Do đó, ta có thể so sánh giữa hai năm

này: 107

100 11097

. Do đó giá đã tăng lên 10% từ năm 1981 đến năm 1985.

Ví dụ 1.61. Chỉ số giá dưới đây đã thay đổi năm cơ sở sang 1990. Hợp nhất hai chuỗi với

nhau sang năm cơ sở 1990 và sau đó chuyển năm cơ sở sang 1989.

Năm Chỉ số giá

(1980=100)

1987 141

1988 148

1989 155

1990 163

(1990=100)

1991 106

1992 110

1993 116

Đáp án

Năm Chỉ số giá

(1980=100)

Chỉ số giá

(1990=100)

Chỉ số giá

(1989=100)

1987 141 86,5 91

1988 148 90,8 95

1989 155 95,1 100

1990 163

(1990=100)

100 105

1991 106 106 111

1992 110 110 116

1993 116 116 122

Chỉ số định gốc và chỉ số liên hoàn

Phần trước chúng ta đã là việc với các chỉ số có cùng năm cơ sở. Các chỉ số này được gọi

là chỉ số định gốc (fixed – base index numbers), trừ phi được thông báo ngược lại, ta xem

các chỉ số có được là chỉ số định gốc. Tuy nhiên, người ta quan tâm hơn đến mức độ gia

tăng hàng năm nên chỉ số liên hoàn (chain – base index numbers) được tính đến. Chỉ số

42 | P a g e

liên hoàn thể hiện giá trị của mỗi năm dưới dạng phần trăm so với giá trị của năm ngay

trước đó.

Ví dụ 1.62. Biểu diễn chuỗi sau dưới dạng chỉ số liên hoàn.

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

Giá trị 46 52 62 69 74

Đáp án

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

Giá trị 46 52 62 69 74

Chỉ số n/a 113,0 119,2 111,3 107,2

Ta không tính được chỉ số cho năm 1995 tại vì không có số liệu của năm 1994.

Đối với các chỉ số dạng này ta có thể dễ dàng giải nghĩa chúng như đối với các chỉ số

định gốc. Chẳng hạn, giá trị đã tăng 13% từ năm 1995 đến năm 1996; tăng 7,2% từ năm

1998 đến năm 1999.

Chỉ số định gốc có thể dễ dàng chuyển đổi sang chỉ số liên hoàn bằng cách đưa chúng về

dữ liệu gốc rồi chuyển đổi tiếp. Vấn đề duy nhất ở đây là độ chính xác chỉ là tương đối do

các chỉ số đã được làm tròn.

Ví dụ 1.63. Chuyển các chỉ số định gốc dưới đây sang chỉ số liên hoàn và giải thích ý

nghĩa của chúng.

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

1989=100 129,0 140,3 148,5 155,1 163,2

Giải

Ta chỉ cần lấy chỉ số tương ứng của năm và chia cho chỉ số của năm ngay trước nó. Tất

nhiên chỉ số của năm 1995 không tính được. Kết quả như sau:

Năm 1995 1996 1997 1998 1999

1989=100 n/a 109 106 104 105

Trong suốt giai đoạn từ 1995 đến 1999, các mức tăng hàng năm là 9%; 6%; 4% và 5%.

Để chuyển đổi chỉ số liên hoàn về chỉ số định gốc thì hơi khó khăn. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.64. Hãy đưa các chỉ số liên hoàn sau về chỉ số định gốc với năm cơ sở là 1990.

Năm 1990 1991 1992 1993 1994

Chỉ số liên hoàn 105,4 105,0 104,5 104,1 103,9

Đáp án

Năm 1990 1991 1992 1993 1994

Chỉ số liên hoàn 105,4 105,0 104,5 104,1 103,9

1990=100 100 105,0 109,725 114,224 118,7

43 | P a g e

Đầu tiên chỉ số của năm 1990 là 100 vì đây là năm gốc. Chỉ số của năm 1991 so với 1990

vẫn là 105,0. Để tính chỉ số cho năm 1992 ta lấy chỉ số của năm 1991 nhân với 104,5 (tức

là chỉ số của năm 1992 tăng so với 1991 là 4,5%). Đối với các năm sau ta làm tương tự.

Sau khi làm tròn ta được kết quả sau:

Năm 1990 1991 1992 1993 1994

1990=100 100 105,0 109,7 114,2 118,7

Nếu muốn chuyển đổi một chỉ số liên hoàn sang chỉ số định gốc với năm cơ sở ở giữa, tốt

nhất là chuyển nó sang dạng năm cơ sở là năm đầu tiên rồi mới tiếp tục.

Ví dụ 1.65. Chuyển đổi các chỉ số liên hoàn sang chỉ số định gốc biết:

Năm 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Chỉ số liên hoàn 106,1 103,7 103,6 104,2 105,7 108,1

a) Năm cơ sở là 1986 b) Năm cơ sở là 1988

Giải.

Năm 1986 1987 1988 1989 1990 1991

Chỉ số liên hoàn 106,1 103,7 103,6 104,2 105,7 108,1

1986=100 100 103,7 107,4 111,9 118,3 127,9

1988=100 93 97 100 104 110 119

Các chỉ số ứng với năm gốc là 1986 tính tương tự như ở ví dụ trên.

Đối với năm gốc 1988 ta tính các chỉ số bằng cách lấy các chỉ số tương ứng năm gốc

1986 chia cho 107,4 (chỉ số của năm 1988).

1.9 Số chỉ số hỗn hợp (Composite index number)

Trong thực hành, các chỉ số giá thường chứa rất nhiều giá trị. Do đó ta có 2 cách để xây

dựng chỉ số. Một là tạo chỉ số so sánh giá trị hiện tại với giá trị tại một năm cơ sở nào đó.

Hai là kết hợp các hoặc tính trung bình các giá trị đó theo một nghĩa nào đó

Công thức trung bình có trọng số: w

w

w

xeighted average

Trong đó w là trọng số và x là các giá trị cần tính trung bình.

Ví dụ 1.66. Tính trung bình bài thi, biết điểm các bài thi lần lượt là 40, 55 và 58 với trọng

số tương ứng là 2:2:1

Ta có: 2.40 2.55 1.58 248

49,62 2 1 5

weighted average

Trọng số là độ đo mức độ quan trọng ta gán cho các giá trị thành phần. Trong ví dụ trên

hai bài thi đầu tiên được xác định là quan trọng gấp đôi so với bài thi thứ ba. Trong khi

tính trung bình số học, thì trọng số được xác định như tần suất xuất hiện của giá trị. Đối

với chỉ số giá trung bình, ta áp dụng cách tương tự để xác định các trọng số.

44 | P a g e

Ví dụ 1.67. Ba loại bánh mì được bán trong cửa hàng có chỉ số giá lần lượt là 107,0;

103,6 và 102,9 so với năm ngoái. Tìm trung bình trọng số của chỉ số giá bánh mì, biết

trọng số là số lượng bán được với tỷ lệ là 10:2:1

Giải

Ta có: 10.107,0 2.103,6 1.102,9 1308,1

106,210 2 1 13

weighted average

Do loại bánh mì đầu tiên có trọng số lớn nên chỉ số của nó chiếm vai trò quan trọng trong

việc tăng giá trị của chỉ số hỗn hợp.

1.9.1 Chỉ số giá (Price Index)

Khi xây dựng các chỉ số ta thường sử dụng các chỉ số dưới 0 và 1 để ký hiệu cho năm cơ

sở và năm đang xem xét (năm hiện tại).

P0: giá trong năm cơ sở

Q0: lượng trong năm cơ sở

V0=P0.Q0: giá trị trong năm cơ sở

P1: giá trong năm hiện tại

Q1: lượng trong năm hiện tại

V1=P1.Q1: giá trị trong năm hiện tại

Trong đó giá trị ở trên có nghĩa là tổng chi phí của năm đang xét, trọng số vẫn hiểu theo

nghĩa thông thường

Ta thường dùng 2 loại chỉ số giá: chỉ số giá tương đối và chỉ số giá phức hợp.

a. Chỉ số giá tương đối: 0/

100iw P P

relative price indexw

b. Chỉ số giá phức hợp:

1

0

..100%

.

w Paggregative priceindex

w P

Các trọng số w có thể là số lượng 0Q hoặc giá trị 0 0P Q của năm cơ sở hoặc số lượng

1Q hay giá trị 1 1PQ của năm hiện tại hoặc đơn giản nó được xác định dựa vào một

nguyên tắc nào đó. Chẳng hạn như trọng số của điểm các bài kiểm tra.

Các chỉ số sẽ được gọi là chỉ số với trọng số cơ sở hay chỉ số với trọng số hiện tại tùy

thuộc vào nó sử dụng trọng số của năm nào. Để thuận tiện ta gọi là chỉ số hiện tại và chỉ

số cơ sở.

45 | P a g e

Ví dụ 1.68. Một cửa hàng tạp hóa muốn tính chỉ số giá của bốn loại trà khác nhau, với

năm cơ sở là năm 1990 và năm hiện tại là 1995. Các thông tin có sẵn như sau:

1990 1995

Loại trà Giá (bảng)

Lượng

(thùng) Giá (bảng)

Lượng

(thùng)

P0 Q0 P1 Q1

A 0,89 65 1,03 69

B 1,43 23 1,69 28

C 1,29 37 1,49 42

D 0,49 153 0,89 157

Tính toán chỉ số giá cơ sở tương đối với so với năm cơ sở trong đó trọng số sử dụng như

là:

a) Khối lượng

b) Giá trị (doanh thu cho từng loại trà)

Giải

Loại trà Giá tương đối

(Rel)

Lượng của

năm cơ sở

(Q0)

Giá trị của

năm cơ sở

(V0)

Rel x Q0 Rel x V0

A 1,157 65 57,85 75,22 66,95

B 1,182 23 32,89 27,19 38,88

C 1,155 37 47,73 42,74 55,13

D 1,816 153 74,97 277,85 136,15

Tổng 278 213,44 423,00 297,11

Các chỉ số tương đối so với năm cơ sở:

a) Trọng số là số lượng: 423

100 .100 152,2278

0

0

Rel Q

Q

b) Trọng số là giá trị: 297,11

100 .100 139,2213,44

0

0

Rel V

V

Chỉ số đầu tiên có nghĩa là giá đã tăng trung bình 52%; chỉ số thứ 2 nói rằng giá đã tăng

lên 39%. Tại sao lại thế?

46 | P a g e

Thực tế giá của loại trà D tăng nhiều nhất, mức tăng là 82%. Kích thước của chỉ số bị ảnh

hưởng lớn bởi trọng số của D. Trong trường hợp đầu tiên, lượng trà D bán ra là 153 lớn

hơn tổng lượng các loại trà còn lại. Trọng số của D nhiều hơn nửa tổng tất cả trọng số và

do đó chỉ số chung bị ảnh hưởng lớn. Tuy nhiên khi ta lấy giá trị làm trọng số, giá trị của

D chỉ khoảng một phần ba của tổng các trọng số do giá thấp. Do đó chỉ số giá chung nhỏ

hơn.

Trong ví dụ sau sau ta dùng cả lượng và giá trị để làm trọng số.

Ví dụ 1.69. Với các số liệu trong ví dụ trên, hãy tính chỉ số giá hiện tại tương đối trong

đó trọng số là:

a) Lượng trà bán b)Giá trị trà bán

Giải.

Giống như ví dụ trên, trước hết ta cần tính giá tương đối. Lần này, chúng cần được nhân

với Q1 và sau đó nhân với lượng Q1.P1

Bảng tính toán thể hiện như sau:

Loại trà Q1 Giá tương đối

(Rel=P1/P0)

Giá trị của

năm cơ sở

(V1=P1.Q1)

Q1 x Rel V1 x Rel

A 69 1,157 71,07 79,85 82,25

B 28 1,182 47,32 33,09 55,92

C 42 1,155 62,58 48,51 72,28

D 157 1,816 139,73 285,16 253,80

Tổng 296 320,70 446,61 464,25

a) Sử dụng Q1 là trọng số, chỉ số giá là: 1

1

446,61100 .100 150,9

296

Rel Q

Q

b) Sử dụng V1 là trọng số, chỉ số giá là: 1

1

464,25100 .100 144,8

320,7

Rel V

V

Bạn có thể giải thích ý nghĩa các chỉ số sau đây, tùy theo trọng số mà ta sử dụng? Ta có

thể đưa các trọng số về bảng sau:

Trọng số cơ sở

(Base-weighted)

Trọng số hiện tại

(current-weighted)

Trọng số là số lượng 152,2 150,9

Trọng số là giá trị 139,2 144,8

47 | P a g e

Mặc dù sản lượng của D đã giảm xuống một chút, có lẽ vì giá D tăng cao, nó vẫn là

thương hiệu giá rẻ nhất và phổ biến nhất. Trong thực tế, sử dụng số lượng, nhưng trọng

số của D vẫn chiếm hơn một nửa tổng trọng số. Vì vậy, chỉ số giá vẫn tiếp tục ở mức cao,

mặc dù hơi nhỏ hơn so với trọng số cơ sở.

Điều ngược lại đã xảy ra với các giá trị. Mặc dù sản lượng mua D đã giảm, điều này

nhiều hơn phần bù vào do tăng giá và do đó đã làm tăng tỷ lệ của D trong tổng giá trị (từ

35 lên 44%). Do đó, chỉ số current-value-weighted tăng phản ánh giá của D tăng và lớn

hơn chỉ số base-value-weighted.

Ví dụ 1.70. Tính chỉ số giá phức hợp của dữ liệu dưới đây, sử dụng trọng số tương

ứng:

P0 P1 W

A 35 36 2

B 23 27 3

C 15 21 5

Giải

w.P0 w.P1 W

A 70 72 2

B 69 81 3

C 75 105 5

Tổng 214 258

Chỉ số giá phức hợp

1

0

. 258.100% .100% 120,6%

. 214

w P

w P

Ví dụ 1.71. Một công ty mua 3 loại nguyên liệu thô và người quản lý mong muốn tính

toán một chỉ số có thể phản ánh được giá trung bình của cả 3 loại nguyên liệu này. Hãy

tính toán chỉ số giá phức hợp với năm gốc là năm 1 sử dụng trọng số như bảng sau:

Giá trung bình ($/tấn) Trọng số

Năm 1 Năm 4

Nguyên liệu X 2,50 3,00 200

Nguyên liệu Y 2,20 2,90 200

Nguyên liệu Z 2,00 2,05 400

Giải

Ta có bảng sau:

48 | P a g e

P0 P1 w P0.w P1.w

Nguyên liệu X 2,50 3,00 200 500 600

Nguyên liệu Y 2,20 2,90 200 440 580

Nguyên liệu Z 2,00 2,05 400 800 820

Tổng cộng 1740 2000

Chỉ số giá phức hợp

1

0

. 2000.100% .100% 114,9%

. 1740

w P

w P

Giá trung bình của công ty đã tăng lên 14,9%.

Chọn chỉ số theo năm gốc hay theo năm hiện tại

- Nói chung ta thường chọn chỉ số theo năm hiện tại hơn vì nó cập nhật hơn;

- Chỉ số với trọng số năm hiện tại phản ánh sự dịch chuyển của các hàng hóa có giá tăng

cao.

- Các chỉ số chọn trọng số theo năm cơ sở không phản ánh được như trên nên thông

thường phóng đại tỷ lệ lạm phát.

- Tuy nhiên, lượng hiện tại có thể khó tính toán được (thông thường phải đợi đến cuối

năm công ty mới thống kê được chính xác lượng bán ra) do đó lượng của năm gốc được

sử dụng với giả thiết ổn định trong suốt thời kỳ tính chỉ số.

1.9.2 Chỉ số lượng (Quantity Index)

Mặc dù giá là tiêu chí thường gặp và quan trọng nhưng đây không phải là tiêu chí duy

nhất được đo lường thông qua chỉ số. Các chỉ số về lượng thuộc về một nhóm khác.

Chúng cho ta thấy khối lượng hàng hóa thay đổi qua thời gian và không gian. Các chỉ số

về lượng rất quan trọng khi xem xét sự thay đổi về doanh số bán hàng, khối lượng bán

hàng …

Khi tính toán các chỉ số giá, ta xem lượng là trọng số. Và ngược lại, khi tính toán các chỉ

số lượng thì giá lại đóng vai trò trọng số. Như vậy

a. Chỉ số lượng tương đối: 1 0. /

.100%w Q Q

w

b. Chỉ số lượng phức hợp:

1

0

..100%

.

w Q

w Q

Trong cả 2 trường hợp trên, trọng số w có thể là giá, của năm gốc hoặc năm hiện tại, hoặc

giá trị hoặc một thước đo nào đó cho mức độ quan trọng của đối tượng.

49 | P a g e

Việc tính toán các chỉ số lượng và ứng dụng của chúng không quá phức tạp và khó hiểu.

Ta xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1.72. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Doanh số bán hàng (ngàn sản

phẩm) trong vòng 3 năm gần đây như sau:

A B

1993 386 533

1994 397 542

1995 404 550

Trọng số 22 19

Sử dụng năm gốc là năm 1993, hãy tính toán chỉ số phức hợp với trọng số như trên. Giải

thích ý nghĩa kết quả tìm được.

Giải.

Để tính chỉ số cho năm 1994 với năm gốc là 1993 ta có:

Sản phẩm A Q0=386 Q1=397 W=22

Sản phẩm B Q0=533 Q1=542 W=19

Như vậy chỉ số của năm 1994 là:

1

0

. 397.22 542.19.100% .100% 102,22%

. 386.22 533.19

wQ

wQ

Tương tự ta tính được chỉ số của năm 1995 là: 103,86%

Ý nghĩa: so với năm 1993 thì lượng hàng bán của năm 1994 và 1995 tăng lên 2,22% và

3,86%.

Ví dụ 1.73. Một công ty sản xuất 3 loại sản phẩ A, B và C và lượng hàng bán vào năm

1998 và 1999 như sau:

A B C

1998 7 12 25

1999 10 15 25

Trọng số 85 68 45

Tìm chỉ số bán hàng của năm 1999 so với năm 1998 với trọng số đã cho bằng phương

pháp:

a) Phức hợp b) Tương đối

50 | P a g e

Giải.

a) Ta có:

A B C Tổng

wQ0 595 816 1125 2536

wQ1 850 1020 1125 2995

Ta có: Chỉ số phức hợp

1

0

. 2995.100% .100% 118,1%

. 2536

wQ

wQ

b)

A B C Tổng

Q1/Q0 1,4286 1,25 1

W 85 68 45 198

w.(Q1/Q0) 121,4 85 45 251,4

Ta có: Chỉ số tương đối 1 0. / 251,4

.100% .100% 127,0%198w

w Q Q

Theo chỉ số phức hợp, lượng hàng bán đã tăng 18% còn theo chỉ số tương đối lượng hàng

bán tăng 27%. Như vậy, việc chọn phương pháp tính chỉ số và cách chọn trọng số ảnh

hưởng rất lớn đến giá trị của chỉ số.

1.10 Các chỉ số thông dụng CPI, RPI...

1.10.1 Chỉ số giá tiêu dùng (CPI)

Chỉ số giá tiêu dùng đo lường sự biến động của giá tiêu dùng, nó là một chỉ tiêu kinh tế

quan trọng , thường được sử dụng trong phân tích kinh tế, đánh giá tình hình lạm phát,

quan hệ cung cầu, sức mua của dân cư, là cơ sở tham khảo cho việc điều chỉnh lãi suất

ngân hàng, tiền lương, tính toán điều chỉnh tiền công trong các hợp đồng sản xuất kinh

doanh.

Cán xác định rõ giá tiêu dùng là giá mà người tiêu dùng mua hàng hóa hoặc chi trả cho

các dịch vụ phục vụ trực tiếp cho đời sống hàng ngày. Giá tiêu dùng được thể hiện bằng

giá bán lẻ hàng hóa trên thị trường và giá dịch vụ phục vụ sinh hoạt đời sống, không bao

gồm giá đất đai, giá hàng hóa bán cho sản xuất và các công việc có tính chất sản xuất

kinh doanh.

Phương pháp tính chỉ số giá tiêu dùng:

- Thu thập giá của các mặt hàng và các dịch vụ đại diện, phổ biến tiêu dùng của dân cư.

Các mặt hàng và dịch vụ này được xác định theo một danh mục mà người ta thường gọi

51 | P a g e

một cách hình ảnh là “rổ hàng hóa, dịch vụ” (bao gồm một số nhóm cơ bản là thực phẩm,

nhà ở, quần áo, giao thông, dịch vụ y tế, giải trí … mà được cụ thể hóa thành hàng trăm

mặt hàng). Các hàng hóa trong rổ này có thể được thay đổi qua thời gian để theo kịp thói

quen tiêu dùng của xã hội và sự xuất hiện của những sản phẩm hoặc dịch vụ mới. Chỉ số

giá tiêu dùng được tính từ giá bán lẻ hàng hóa và giá dịch vụ tiêu dùng của rổ hàng hóa

và dịch vụ này với quyền số là cơ cấu chi tiêu của các hộ gia đình.

Chỉ số giá tiêu dùng tính được sẽ phản ánh xu hướng và mức độ biến động giá của “rổ”

hàng hóa và dịch vụ tiêu dùng đại diện nói trên, khi giá của các mặt hàng, nhóm hàng

trong “rổ” có thay đổi.

Trong điều kiện về vật chất, kỹ thuật, nguồn kinh phí và cũng phù hợp với phương pháp

của nhiều nước, chỉ số giá tiêu dùng ở nước ta hiện nay được tính theo công thức

Laspeyres.

Công thức tổng quát: 2000

2000 2000

.100%t

p

q pI

q p

Trong đó:

Ip: chỉ số giá tiêu dùng; pt là giá kỳ báo cáo; p2000 là giá năm 2000; q2000 là cơ cấu chi

tiêu của các hộ gia đình năm 2000

Hiện nay cơ cấu chi tiêu của các hộ gia đình năm 2000 được chọn làm quyền số để tính

Chỉ số giá tiêu dùng, nó được xác định từ cơ cấu chi tiêu của hộ gia đình với các nguồn

số liệu sau đây:

Kết quả “Điều tra mức sống dân cư Việt Nam 1997-1998” do Tổng cục Thống kê thực

hiện trong năm 1998.

Kết quả “Điều tra bổ sung về chi tiêu hộ gia đình tại 10 tỉnh năm 1999” do Tổng cục

Thống kê thực hiện trong năm 1999.

Cần chú ý khi hiểu ý nghĩa của chỉ số giá tiêu dùng là nó không phản ánh mức giá, mà nó

đo lường mức độ biến động giá giữa hai khoảng thời gian.

Ví dụ 1.74. Chỉ số giá tháng 4/2003 so với tháng 3/2003 của nhóm hàng “Thiết bị đồ

dùng gia đình” là 100,5% và Chỉ số giá nhóm hàng “Dược phẩm y tế” là 101,3% không

có nghĩa là trong tháng 4 “hàng y tế” đắt hơn “thiết bị đồ dùng gia đình” mà chỉ là so với

tháng 3, trong tháng 4 giá các mặt hàng y tế mạnh hơn giá các mặt hàng thiết bị đồ dùng

gia đình.

1.10.2 Chỉ số chứng khoán VN-Index

Công thức tính:

52 | P a g e

Trong công thức này ta chú ý khái niệm “cơ sở”. Ngày được chọn làm ngày cơ sở là ngày

28/7/2000 hay được gọi là kỳ gốc, và tại ngày này bạn đọc dễ dàng hình dung được ngay

giá trị của VN-Index cơ sở là 100% mà người ta hay gọi ngắn gọn là 100 điểm.

Giả sử kết quả phiên giao dịch trên thị trường chứng khoán Việt Nam vào ngày

28/7/2000 được liệt kê như sau:

Tên cổ phiếu Giá thực hiện Số lượng CP niêm yết Giá trị thị trường (đồng)

REE 16.000 15.000.000 240.000.000.000

SAM 17.000 12.000.000 204.000.000.000

Tổng 444.000.000.000

Vậy chỉ số VN-Index được tính cho ngày này là:

444.000.000.000.100% 100%

444.000.000.000VN Index hay ta nói VN-Index là 100 điểm

Sau đó, vào ngày 2/8/2000 kết quả giao dịch như sau:

Tên cổ phiếu Giá thực hiện Số lượng CP niêm yết Giá trị thị trường (đồng)

REE 16.600 15.000.000 249.000.000.000

SAM 17.500 12.000.000 210.000.000.000

Tổng 459.000.000.000

Ta tính chỉ số giá chứng khoán cho phiên giao dịch hiện tại là ngày 2 tháng 8 năm 2000.

Công thức như sau: 459.000.000.000

.100% 103,38%444.000.000.000

VN Index

Kết quả này nói lên một điều rằng, giá cả 2 loại cổ phiếu nói trên ở ngày 2/8 đã tăng

3,38% so với ngày giao dịch đầu tiên, do giá tăng mà tổng giá trị thị trường tăng 459 –

444=15 tỷ đồng.

Chú ý. Từ hai bảng số liệu về tình hình giao dịch trên thị trường ở trên chúng ta tập hợp

lại thành một bảng tổng hợp giá cả và số lượng trong đó giá và lượng kỳ gốc (ngày 28/7)

ý hiệu là p0 và q0. Còn kỳ nghiên cứu (ngày 02/8) kí hiệu là p1 và q1.

53 | P a g e

Tên

cổ

phiếu

Giá thực hiện Số lượng CP niêm yết Giá trị thị trường (đồng)

Kỳ gốc

(p0)

Kỳ n/c

(p1)

Kỳ gốc

(q0)

Kỳ n/c

(q1)

p1q0 p0q0

REE 16.000 16.600 15.000 15.000.000 249.000.000.000 240.000.000.000

SAM 17.000 17.500 12.000 12.000.000 210.000.000.000 204.000.000.000

Tổng 459.000.000.000 444.000.000.000

Áp dụng phương pháp tính chỉ số giá theo Laspeyres đã biết, ta được:

1 0

0 0

459.000.000.000.100% .100% 103,38%

444.000.000.000p

p qI

p q

Như vậy có thể thấy phương pháp tính chỉ số giá chứng khoán VN-Index giống phương

pháp tính Chỉ số giá Laspeyres trong tình huống đơn giản nhất là cơ cấu số cổ phiếu niêm

yết không thay đổi. Tuy nhiên, trên thực tế thường xảy ra tình huống làm thay đổi cơ cấu

số cổ phiếu niêm yết như: thêm, bớt cổ phiếu giao dịch vào cơ cấu tính toán. Điều này sẽ

làm phát sinh tính không liên tục của chỉ số do số lượng cổ phiếu (mà bản chất của

phương pháp Laspeyres cho biết nó là quyền số) cấu thành tử số đã khác so với số lượng

cổ phiếu cấu thành mẫu số của công thức tính VN-Index. Do đó, số chia (mẫu số) trong

công thức tính chỉ số VN-Index phải được điều chỉnh nhằm duy trì tính liên tục cần có

của chỉ số. Nguyên tắc điều chỉnh được tính như sau:

Ví dụ 1.75. Ngày 4/8/2000 có thêm 2 loại cổ phiếu HAP và TMS được đưa vào giao

dịch, do đó ta phải tìm số chia mới trước khi tính vào VN-Index. Xem bảng tổng hợp như

sau:

Tên cổ phiếu Giá thực hiện Số lượng CP niêm yết Giá trị thị trường (đồng)

REE 16.900 15.000.000 253.500.000.000

SAM 17.800 12.000.000 213.600.000.000

HAP 16.000 1.008.000 16.128.000.000

TMS 14.000 2.200.000 30.800.000.000

Tổng 514.028.000.000

Gọi số chia điều chỉnh là A. Ta có:

514.028.000.000444.000.000.000 488.607.219.010

253.500.000.000 213.600.000.000A

54 | P a g e

Chỉ số VN-Index ngày 4/8/2000 là:

514.028.000.000.100% 105,2

488.607.219.010A

Trong thời gian đầu, chỉ số chứng khoán nước ta được tính toán sẽ đại diện cho tất cả các

cổ phiếu được niêm yết và giao dịch trên thị trường chứng khoán vì số lượng chứng

khoán được giao dịch trên sàn chưa nhiều. Một chỉ số chứng khoán của nước ngoài chỉ

liệt kê một số loại chứng khoán tiêu biểu, ví dụ chỉ số Dow Jones là chỉ số giá chung của

65 chứng khoán đại diện, thuộc nhóm hàng đầu trong các chứng khoán được niêm yết tại

Sở giao dịch chứng khoán NewYork.

Chỉ số chứng khoán VN-Index được tính toán và công bố dưới dạng đơn vị tính là điểm

chứ không phải đơn vị tính là %.

Khi phân tích thông tin về chỉ số chứng khoán bạn đọc luôn nhớ chỉ số giá cổ phiếu là

thông tin thể hiện giá chứng khoán bình quân hiện tại so với giá bình quân thời kỳ gốc đã

chọn được lấy là 100. Ví dụ ta phân tích dòng thông báo “ … Chỉ số chứng khoán Việt

Nam trong phiên giao dịch ngày 25/4/2007 đã phục hồi trở lại, đạt 923,89 điểm, tăng

18,36 điểm (tương đương 2%)…” như sau:

Thông báo này đề cập đến chỉ số VN-Index ngày 25/4/2007 là 923,89 điểm tức là ngụ ý

nói rằng về cơ bản giá cổ phiếu trên sàn giao dịch của ngày 25/4/2007 so với ngày gốc đã

chọn đã tăng 9,2389 lần .

Đã phục hồi trở lại chứng tỏ chỉ số chứng khoán ngày kế trước (ngày 24/4/2007) phải

thấp hơn. Cụ thể nó sẽ là 923,89-18,36=905,53 điểm

Mức tăng tuyệt đối này được quy đổi sang mức tăng tương đối là:

923,89 905,53.100% 2,02%

905,53

1.10.3. Chỉ số giá bán lẻ (RPI)

a. Khái niệm.

Chỉ số RPI được tính toán và công bố hàng tháng. Nó là một chỉ số tương đối với chi tiêu

là trọng số. Trên báo chí ta thấy chỉ số này gia tăng và dường như chỉ so sánh giữa năm

trước và năm xuất bản nhưng thực tế nó là một chỉ số với năm cơ sở cố định (hiện nay

năm cơ sở là 01/1987). Hàng tháng có khoảng 130.000 báo giá được lấy từ một mẫu đại

diện của các điểm bán lẻ. Tính đại diện của nó thể hiện ở vị trí địa lý, loại và kích thước

cửa hàng và thời gian bán hàng trong tháng. Có khoảng 600 loại hàng hóa và dịch vụ

được lựa chọn để khảo sát, ta gọi đó là các chỉ số giá.

55 | P a g e

Việc lựa chọn các mục hàng hóa, dịch vụ để đưa vào tính chỉ số và gán trọng số cho mỗi

mục được xác định rộng rãi bởi một cuộc điều tra quy mô lớn của chính phủ gọi là Điều

tra chi tiêu gia đình (FES). Hàng năm, một mẫu đại diện các hộ gia đình được yêu cầu ghi

nhật ký mua sắm trong 2 tuần. Họ được phỏng vấn về các mục chính như dịch vụ và nhà

ở. Việc quyết định thông tin các hạng mục như chỉ số giá, trọng số đều căn cứ vào kết

quả của FES. Trọng số chính là chi tiêu của năm trước. Các hạng mục trong chỉ số RPI

bao gồm khoảng 80 lĩnh vực như áo khoác nam, giá vé tàu, … Sau đó được đưa vào 5

nhóm lớn trước khi tính trung bình trọng số. Các nhóm như sau:

- Thực phẩm và ăn uống;

- Rượu và thuốc lá;

- Chi tiêu nhà ở và hộ gia đình;

- Chi tiêu cá nhân;

- Du lịch và giải trí.

Chỉ số RPI có một số thiếu sót khá quan trọng. Đó là nghiên cứu FES không bao gồm

những người siêu giàu (chiếm 4%) và những người sống nhờ vào lợi ích của nhà nước.

Cụ thể là có một chỉ số riêng biệt dùng để theo dõi giá các hàng hóa mà người hưu trí

mua. Các mục như: bảo hiểm nhân thọ, đóng góp hưu trí, yếu tố vốn của việc hoàn trả thế

chấp và thuế cũng không nằm trong FES. Có một chỉ số khác bao gồm thuế trong đó.

b. Ứng dụng.

Chỉ số RPI được sử dụng rất rộng rãi và xem như thước đo của lạm phát. Khi ta nói lạm

phát đã tăng 3% thì có nghĩa là trong suốt 12 tháng giá trị của RPI đã tăng lên 3%.

Ví dụ 1.76. Thời điểm đầu năm, RPI là 340. Tại thời điểm đó, lương hưu của một người

là 4200$ một năm và người đó đã đầu tư 360$ vào trái phiếu. Tại thời điểm đầu năm tiếp

theo, chỉ số RPI tăng lên 360. Khi này, lương hưu và trái phiếu đã tăng lên bao nhiêu?

Giải.

Trước hết, chỉ số RPI tăng lên 20 từ 340 lên 360. Tỷ lệ tăng lên là: 20

.100 5,88%340

Lương hưu và khoản đầu tư cũng tăng lên với cùng tỷ lệ.

Khi đó, lương hưu tăng 5,55% lên 4447$ và khoản tiền đầu tư tăng lên thành 381,17$.

Ví dụ 1.77. Sử dụng dữ liệu dưới đây để so sánh thu nhập trung bình từ năm 1978 đến

năm 1981.

56 | P a g e

Thu nhập trung bình tuần

(nam, trên 21 tuổi, làm việc tay chân)

RPI

(tháng 01/1974 là năm gốc)

10/1978 83,50 201,1

10/1979 96,94 235,6

10/1980 113,06 271,9

10/1981 125,58 303,7

Giá trị của RPI năm 1978 là 201,1 chứng tỏ so với năm 1974 giá trung bình đã tăng lên

2,011 lần. Do đó giá trị của thu nhập sẽ giảm đi với hệ số tương ứng. Vào năm 1978, mức

thu nhập 83,50 $ một tuần sẽ tương ứng với: 83,50/2,011=41,52 $ so với năm 1978.

Giá trị trên gọi là thu nhập thực tế so với thời điểm 1974. Áp dụng cách trên ta có bảng

sau:

Thu nhập trung bình/tuần Thu nhập thực tế

10/1978 83,50 41,52

10/1979 96,94 41,15

10/1980 113,06 41,58

10/1981 125,58 41,35

Mức thu nhập trung bình của xã hội không thay đổi đáng kể trong điều kiện thực tế trong

khoảng thời gian này. Sự tăng lên rõ rệt trong thu nhập hầu như đã bị san bằng bởi các

mức tăng giá tương tự.

Ví dụ 1.78. Số liệu dưới đây là mức lương hàng năm của một kế toán trong giai đoạn từ

1988 – 1993, các chỉ số RPI được tính toán với năm gốc (năm cơ sở) là 1997

Lương/năm RPI

1988 18100 106,9

1989 18600 115,2

1990 19200 126,1

1991 19700 133,5

1992 20300 138,5

1993 20900 140,7

a) Xác định mức lương so với thời điểm 1988.

b) Tính chỉ số của các kết quả trên với năm cơ sở 1988.

c) Nhận xét về kết quả tìm được.

Giải.

a) Ta lấy lương của mỗi năm nhân với RPI của năm 1988 và chia cho RPI năm tương ứng

57 | P a g e

b) Để xác định chỉ số ta lấy kết quả câu a) chia cho lương năm 1988 và nhân với 100%.

Ta có bảng tổng hợp sau:

Năm Lương/năm RPI Lương tại thời điểm 1988 Chỉ số với năm gốc là 1988

1988 18100 106,9 18100 100

1989 18600 115,2 17260 95

1990 19200 126,1 16277 90

1991 19700 133,5 15775 87

1992 20300 138,5 15668 87

1993 20900 140,7 15879 88

c) Tiền lương thực trả cho các học viên, cho chúng ta biết họ có thể mua gì với mức

lương của họ, đã giảm đều đặn cho đến năm 1993 khi nó tăng lên chút ít. Sự sụt giảm

trong toàn bộ thời gian 5 năm là 12 phần trăm.

RPI không phải là chỉ số duy nhất được sử dụng trong giảm phát, đặc biệt nếu có một chỉ

số phù hợp hơn. Ví dụ, một công ty xuất khẩu quan tâm đến mức độ thực tế của nó có thể

làm giảm đi những con số lợi nhuận thực tế của nó bằng một chỉ số giá xuất khẩu.

58 | P a g e

CHƯƠNG 2. ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

2.1 Hệ số góc của đường cong và đạo hàm

2.1.1 Đường thẳng và hệ số góc của đường thẳng

a. Phương trình của đường thẳng

Dạng tổng quát: Ax By C

Là phương trình bậc nhất theo x và y. Trong đó A, B, C là các hằng số.

Dạng thông dụng: y ax b

Trong đó:

a: hệ số góc (độ dốc, slope)

b: tung độ gốc (intercept). Khi 0x thì y b

b. Hệ số góc

Gọi a là hệ số góc của đường thẳng (D). Ta có: 2 1

2 1

tany y y

ax x x

Ý nghĩa của hệ số góc: khi x thay đổi một đơn vị thì y thay đổi a đơn vị.

Nhận xét:

59 | P a g e

Đường thẳng (D) Dạng đồ thị Hệ số góc

+ Đi lên (đồng biến)

0a

+ Đi xuống (nghịch biến)

0a

+ Nằm ngang 0y

0a

+ Thẳng đứng 0x

a

2.1.2 Hệ số góc của đường cong

a. Biến thiên trung bình và biến thiên tức thời

Giả sử bạn đang chạy trên đường cao tốc, bạn vượt qua km số 120 vào lúc 9 giờ và vượt

qua km 250 vào lúc 11 giờ. Khi này, tốc độ biến đổi trung bình (vận tốc trung bình) của

bạn từ 9 giờ đến 11 giờ là:

250 120 13065 ( / )

11 9 2km h

Tất nhiên, tốc độ này chỉ là tốc độ trung bình. Theo đồng hồ đo tốc độ của bạn, tốc độ

thay đổi tức thời, có khả năng bạn đạt vận tốc 75 km/h vào một thời điểm nào đó trong

khoảng từ 9 giờ đến 11 giờ.

60 | P a g e

Định nghĩa. Tốc độ biến thiên trung bình

Cho hàm số y f x tốc độ biến thiên trung bình của hàm số từ x a đến x a h là:

0

f a h f a f a h f a fh

a h a h x

Định nghĩa. Tốc độ biến thiên tức thời

Cho hàm số y f x , tốc độ thay đổi tức thời tại x a là:

0 0

lim limh x

f a h f a f

h x

nếu giới hạn này tồn tại.

Ví dụ 2.1. Doanh thu ($) khi bán x sản phẩm được cho bởi hàm số sau:

220 0,02 0 1000R x x x x

a) Doanh thu biến thiên bao nhiêu khi số sản phẩm thay đổi từ 100 lên 400?

b) Tính trung bình mức thay đổi của doanh thu

Ví dụ 2.2. Một quả cầu rơi xuống từ đỉnh tháp với tốc độ y (m) trong x (giây) được xấp

xỉ bởi phương trình sau: 216y f x x

a) Tìm tốc độ trung bình trong khoảng 2 đến 3 giây?

b. Hệ số góc của tiếp tuyến

Trong hình học, một đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm được gọi là cát tuyến. Còn

đường thẳng chỉ cắt đường tròn tại 1 điểm gọi là tiếp tuyến.

Nếu điểm Q trong hình trên di chuyển càng gần điểm P thì góc tạo bởi đường thẳng PQ

và tiếp tuyến tại điểm P càng nhỏ.

61 | P a g e

Hệ số góc của cát tuyến

Một đường thẳng đi qua hai điểm trên một đồ thị hàm số được gọi là đường cát tuyến.

Nếu ;a f a và ;a h f a h là hai điểm trên đồ thị hàm số y f x thì ta có thể

viết phương trình cát tuyến và tính được hệ số góc của cát tuyến qua các điểm này.

Hệ số góc của cát tuyến

2 1

2 1

f a h f a f a h f ay y

x x a h a h

Ví dụ 2.3. Cho hàm số 2f x x

a) Tìm hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h=2 và 1. Vẽ đồ thị f(x) và hai cát tuyến trên.

b) Tìm và biểu diễn hệ số góc của cát tuyến với a=1 và h khác 0 bất kỳ.

c) Tìm giới hạn của biểu thức trong câu b và giải thích ý nghĩa.

Giải.

a) Với a=1 và h=2 , cát tuyến cần tìm đi qua 2 điểm 1; 1 1;1f và 3; 3 3;9f .

Hệ số góc cát tuyến: 1 2 1 9 1

42 2

f f

Với a=1 và h=1 , cát tuyến cần tìm đi qua 2 điểm 1; 1 1;1f và 2; 2 2;4f .

62 | P a g e

Hệ số góc cát tuyến: 1 1 1 4 1

31 1

f f

b) Với a=1 và 0h , cát tuyến cần tìm đi qua 2 điểm 1; 1 1;1f và

21 h; 1 1 h; 1f h h .

Hệ số góc cát tuyến:

2 21 1 1 1 22

f h f h h hh

h h h

c) Dễ dàng tìm được giới hạn trên:

0 0

1 1lim lim 2 2h h

f h fh

h

Ta thấy giới hạn hệ số góc của cát tuyến đi qua điểm (1;f(1)) là 2. Nếu ta vẽ đường

thẳng có hệ số góc 2 đi qua điểm (1;f(1)) thì đường thẳng này chính là giới hạn của

đường cát tuyến.

Hệ số góc tìm được bằng cách lấy giới hạn hệ số góc của cát tuyến tại điểm

(1;f(1)) được gọi là hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm x=1. Đường thẳng đi qua điểm

(1; f(1)) với hệ số góc 2 được gọi là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x=1.

Đồ thị hàm số và 2 cát tuyến

Đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại x=1

63 | P a g e

Định nghĩa. Cho hàm số y=f(x), hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm ;a f a được

cho bởi:

0limh

f a h f a

h

nếu giới hạn này tồn tại. Khi đó, đường tiếp tuyến của đồ

thị hàm số chỉnh là đường thẳng đi qua điểm ;a f a với hệ số góc cho bởi công thức

trên.

2.1.2 Đạo hàm

Định nghĩa. Cho hàm số y f x , ta định nghĩa đạo hàm của f tại điểm x, ký hiệu

'f x như sau:

0' lim

h

f x h f xf x

h

nếu giới hạn này tồn tại.

Nếu 'f x tồn tại với mọi điểm ,x a b thì ta nói hàm số f khả vi trên (a,b).

Nếu giới hạn

0' lim

h

f x h f xf x

h

không tồn tại thì ta nói hàm số f không

có đạo hàm tại x hay không khả vi tại x.

Chú ý.

Đạo hàm của hàm số f là một hàm số mới, ký hiệu là f’. Tập xác định của f’ là tập hợp

con của tập xác định của f. Đạo hàm có nhiều ứng dụng và nhiều cách hiểu khác nhau.

- Hệ số góc của tiếp tuyến.

- Tốc độ biến thiên tức thời.

- Tốc độ

Ví dụ 2.4. Tổng doanh thu của một công ty (đơn vị triệu $) trong t tháng được cho bởi

công thức sau: 2S t t .

a) Cho biết ý nghĩa của S(25) và S’(25)

b) Sử dụng kết quả câu a để ước lượng tổng doanh thu sau 26 tháng; sau 27 tháng.

Giải.

a) Ta có: 1

25 25 2 7 ' 25 0,12 25

S S

64 | P a g e

Như vậy, sau 25 tháng kể từ bây giờ tổng doanh thu sẽ là 7 triệu $ và sẽ tăng với tốc độ

0,1 triệu $ mỗi tháng. Nếu tốc độ biến thiên tức thời của doanh thu vẫn không đổi thì

doanh thu sau 26 tháng sẽ là 7,1 triệu $ và sau 27 tháng sẽ là 7,2 triệu $.

b) Do S’(t) không là hàm hằng trong trường hợp này nên ta có thể dùng các giá trị trên để

ước lượng tương đối tốt cho tổng doanh thu.

Ví dụ 2.5. Một hãng sản xuất vải với chiều rộng mỗi cây vải là cố định. Chi phí sản xuất

x (mét) vải là C f x ($)

a) Cho biết ý nghĩa và đơn vị của f x ?

b) Trong thực tế, khi nói 1000 9f thì nó cho biết điều gì?

Giải.

a) Vì f x là tốc độ biến thiên tức thời của C đối với x nên nó cho biết tốc độ thay đổi

của chi phí sản xuất C ứng với số mét vải được sản xuất (kinh tế học gọi đó là chi phí

biên hay marginal cost). Vì 0

limx

Cf x

x

nên đơn vị của f x là ($/mét).

b) Đẳng thức 1000 9f cho biết khi x=1000 thì C tăng nhanh gấp 9 lần x. Vậy khi

sản xuất được 1000 mét vảo thì tốc độ tăng của chi phí là 9 ($/mét). Hơn nữa nếu chọn

1x thì x rất nhỏ so với x=1000 nên ta có xấp xỉ sau:

0 0

1000 1000 1001 10001000 lim lim 1001 1000

1x x

f x f f fCf f f

x x

Vậy 1001 1000 9f f nên có thể nói chi phí sản xuất mét vải thứ 1001 vào khoảng

9 $.

Ví dụ 2.6. Gọi D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời điểm t. Bảng dưới đây cho ta con số

xấp xỉ giá trị của hàm này vào cuối mỗi năm theo đơn vị triệu $ kể từ năm 1980 đến năm

2000. Giải thích và ước lượng giá trị của ' 1990D

t 1980 1985 1990 1995 2000

D(t) 930,2 1945,9 3233,3 4974,0 5674,2

Giải.

Đạo hàm ' 1990D cho biết tốc độ gia tăng của nợ quốc gia vào năm 1990. Theo định

nghĩa đạo hàm ta có:

65 | P a g e

1990

19901990 lim

1990t

D t DD

t

Từ dữ liệu đã có ta lập bảng tỷ số sai phân (tức là tốc độ biến thiên trung bình) như bảng

sau:

t 1980 1985 1995 2000

1990

1990

D t D

t

230,31 257,48 348,14 244,09

Dựa vào bảng trên ta có thể nhận thấy tiền nợ không dao động nhiều trong khoảng thời

gian 1980 – 2000. Hơn nữa ' 1990D nằm trong khoảng từ 257,48 đến 348,14 triệu

đô/năm nên có thể dùng trung bình của hai con số này đề ước lượng ' 1990D . Vậy

' 1990 303D (triệu đô/năm)

2.1.3 Một số tính chất cơ bản của đạo hàm

a. Ký hiệu đạo hàm

Cho hàm số y f x thì các ký hiệu sau ' ; ';dy

f x ydx

đều biểu thị đạo hàm của hàm số

f tại x.

b. Các quy tắc tính đạo hàm:

b1. Đạo hàm của hàm hằng:

Cho hàm số y f x C khi đó: ' 0f x

Ta cũng ghi: ' 0y hay / 0dy dx

Chú ý. Khi ta viết ' 0C hoặc 0d

Cdx

điều đó có nghĩa là ' 0dy

ydx

khi y C

b2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số.

Nếu các hàm số ( )u u x , ( )v v x có đạo hàm tại điểm 0( , )x a b thì tại điểm đó các

hàm số , ,u v u v ku (k là hằng số),uv cũng có đạo hàm tại 0( , )x a b và

i) ' ' '

0 0 0( )( ) ( ) ( )u v x u x v x

ii) ' '

0 0( )( ) ( )ku x ku x

66 | P a g e

iii) ' ' '

0 0 0 0 0( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )uv x u x v x u x v x

iv) Ngoài ra, nếu 0( ) 0v x thì hàm số

u

v có đạo hàm tại

0x và

' ' '

0 0 0 00 2

0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

u x v x u x v xux

v v x

c. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

1

2 2

22

ln

1 1log ln sin cos

ln1 1

cos sin cotcos sin

1 1arcsin

11

x x x x

a

x x a a a e e

x x x xx a x

x x tgx gxx x

x arctgxxx

d. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số ( )u u x có đạo hàm tại điểm 0x và hàm số ( )y f u có đạo hàm tại điểm

tương ứng 0 0

( )u u x thì hàm hợp ( ) ( )y x f u x có đạo hàm tại điểm 0x và đạo hàm

của hàm hợp (đạo hàm của y theo x) được tính theo công thức:

' ' '

0 0 0( ) ( ). ( )y x f u u x

Công thức trên có thể viết dưới dạng: ' ' '.x u xy y u

Ví dụ 2.7

Tính đạo hàm của hàm số 5siny x ,

sin xy e

hàm số 5siny x là hàm hợp của hai hàm cơ bản

5y u và sinu x . Theo quy tắc

nói trên ta có

'' 5 ' 4( ) (sin ) 5 .cosy x u x u x 45sin .cosx x

67 | P a g e

tương tự '

' sin sin '( ) (sin )x xy x e e x sin .cosxe x

Bảng đạo hàm của hàm hợp:

1

2 2

22

. ln . .

log ln sin cos .ln

cos sin . cotcos sin

arcsin11

u u u u

a

u u u a a a u e e u

u uu u u u u

u a uu u

u u u tgu guu u

u uu arctgx

uu

e. Đạo hàm của hàm ngược

Giả sử hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0x và là hàm ngược của ( )f x . Khi đó, nếu '

0( ) 0f x

và ( )g x liên tục tại điểm 0 0

( )y f x thì ( )g x có đạo hàm tại 0y và '

0 '

0

1( )

( )g y

f x

Ví dụ 2.8

Xét hàm số ( ) sinf x x , ,2 2

x

Ta có hàm ngược ( ) arcsing y y , ( 1,1)y . Rõ ràng các hàm số ( ), ( )f x g y thỏa mãn

các điều kiện đã nêu ở trên nên

' '

'

1 1( ) (arcsin )

cos( )g y y

xf x

2 2

1 1

1 sin 1x y

Vậy '

2

1(arcsin )

1t

t, ( 1,1)t

2.1.4 Vi phân

a. Số gia

Cho hàm số 3y f x x . Ta nghiên cứu sự thay đổi của y khi x thay đổi một khoảng

rất nhỏ.

Khi x biến thiên từ 2 lên 2,1 thì y sẽ biến thiên từ 2 8y f lên 2,1 9,261y f

68 | P a g e

Sự biến thiên (sự thay đổi) của x gọi là số gia của x và ký hiệu là x (đọc là delta x)

Tương tự sự biến thiên của y gọi là số gia của y và ký hiệu là y .

Trong ví dụ trên ta có:

3 22,1 2 0,1 2,1 2 2,1 2 1,261x y f f

Định nghĩa. Cho y f x và 2 1x x x ta có: 2 1 1 1y y y f x x f x

y biểu thị sự biến thiên của y tương ứng với sự biến thiên x của biến x.

Số gia x có thể âm hoặc dương

y phụ thuộc vào hàm số f, giá trị 1x và số gia x

Chú ý. Trong công thức tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x ta có:

0 0 0' lim lim lim

h x x

f x h f x f x x f x yf x

h x x

b. Vi phân

Giả sử giới hạn 0

' limx

yf x

x

tồn tại. Khi đó với x nhỏ thì

y

x

có thể xấp xỉ khá tốt

giá trị 'f x và ngược lại 'f x có thể dùng để xấp xỉ cho y

x

.

Ta có thể viết như sau: 'y

f xx

khi 0x và x nhỏ.

69 | P a g e

Từ đó ta có: ' .y f x x khi 0x và x nhỏ.

Như vậy ' .f x x có thể dùng để ước lượng cho y khi 0x và x nhỏ.

Vì tính chất quan trọng của ' .f x x nên người ta đặt tên cho biểu thức này là vi phân

và ký hiệu là: dy hay df .

Như vậy: ' . ' .dy f x x df f x x

Ví dụ 2.9. 3 3 22 2 '. 6 . ; '.d x x x x x d x x x x

Định nghĩa vi phân. Cho hàm số khả vi y f x khi này vi phân của hàm số, ký hiệu

dy hay df xác định bởi:

' . ' .dy f x dx hay df f x dx trong đó dx x .

Chú ý. Vi phân dy hay df là một hàm số bao gồm 2 biến độc lập đó là x và dx

Tính xấp xỉ bằng vi phân.

Ta có: 'y

f xx

và ' .dy f x x . Do đó: y dy

Như vậy ta có thể sử dụng vi phân dy để xấp xỉ cho số gia. Minh họa như sau:

70 | P a g e

Ví dụ 2.10. Xét hàm số 26y f x x x

Khi x=2 ta có:

2

2 2 2 ; ' 2 6 2.2 2y f x f x x dy f dx x x

Bảng so sánh vi phân và số gia tại x=2

x y dy

0,1 0,19 0,2

0,2 0,36 0,4

0,3 0,51 0,6

Điều này cho thấy khi số gia của x càng nhỏ thì sự khác biệt giữa số gia và vi phân của y

càng nhỏ. Ta có thể sử dụng vi phân để xấp xỉ cho số gia của y.

Ví dụ 2.11. Một công ty sản xuất và bán x sản phẩm một tuần. Giả sử chi phí và doanh

thu hàng tuần của công ty là:

2

5000 2 10 0 80001000

xC x x R x x x

Hãy sử dụng vi phân để xấp xỉ cho sự biến thiên của doanh thu và lợi nhuận khi sản

lượng tăng từ 2000 lên 2010 sản phẩm một tuần.

Giải

Ta sẽ xấp xỉ ,R P bởi ,dR dP tương ứng với 2000; 2010 2000 10x dx

2

2

10 ' 101000 500

8 5000 ' 81000 5000

x xR x x R x

x xP x R x C x x P x

Vậy ' ' 2000 .10 60; ' ' 2000 .10 40dR R x dx R dP P x dx P

2.2 Ứng dụng của đạo hàm, hàm cận biên, hàm bình quân

2.2.1 Phân tích cận biên trong kinh tế và kinh doanh

Một ứng dụng quan trọng của giải tích vào kinh tế và kinh doanh đó là phân tích cận

biên. Trong kinh tế, từ cận biên đề cập đến tốc độ biến thiên, nghĩa là đạo hàm. Do đó,

nếu C(x) là hàm tổng chi phí cho x đơn vị sản phẩm thì C’(x) chính là chi phí cận biên

(chi phí biên) và thể hiện tốc độ biến thiên tức thời của hàm tổng chi phí theo số lượng

71 | P a g e

sản phẩm. Tương tự ta có các khái niệm như doanh thu cận biên là đạo hàm của hàm tổng

doanh thu và lợi nhuận cận biên là đạo hàm của hàm tổng lợi nhuận.

Định nghĩa. Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra trong một khoảng thời gian.

Khi đó, ta có các hàm kinh tế sau:

Tổng chi phí: C(x) Chi phí cận biên: C’(x)

Tổng doanh thu: R(x) Doanh thu cận biên: R’(x)

Tổng lợi nhuận: P(x)=R(x)-C(x) Lợi nhuận cận biên: P’(x)=R’(x)-C’(x)

Chi phí cận biên (doanh thu cận biên, lợi nhuận cận biên) chính là tốc độ biến thiên tức

thời của chi phí (doanh thu, lợi nhuận) theo sản phẩm tại một mức sản xuất cho trước.

Xét hàm chi phí C(x). Chú ý C(x) chính là tổng chi phí để sản xuất ra x sản phẩm, không

phải là chi phí để sản xuất ra 1 sản phẩm. Để tìm chi phí sản xuất ra 1 sản phẩm ta có thể

sử dụng 2 giá trị của hàm chi phí như sau:

Tổng chi phí sản xuất ra (x+1) sản phẩm: C(x+1)

Tổng chi phí sản xuất ra x sản phẩm: C(x)

Chi phí sản xuất ra sản phẩm thứ (x+1): C(x+1) – C(x)

Ví dụ 2.12. (Phân tích chi phí) Một công ty sản xuất bình nhiên liệu cho xe hơi. Tổng chi

phí hàng tuần ($) để sản xuất ra x bình được cho bởi:

210000 90 0,05C x x x

a) Tìm hàm chi phí cận biên

b) Tìm chi phí cận biên tại mức sản xuất 500 bình một tuần và giải thích ý nghĩa

c) Tìm chi phí chính xác để sản xuất ra sản phẩm thứ 501.

Giải

a) Ta có: ' 90 0,1C x x

b) ' 500 90 0,1.500 40C

Tại mức sản xuất 500 bình một tuần, tổng chi phí sẽ tăng một lượng 40 $ mỗi bình.

c) Ta có:

2

2

501 10000 90.501 0,05.501 42.539,95

500 10000 90.500 0,05.500 42.500

C

C

72 | P a g e

Vậy chi phí chính xác khi sản xuất sản phẩm (bình) thứ 501 là:

501 500 42.539,95 42.500 39,95C C ($)

Định lý. Nếu C(x) là hàm tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm, thì hàm chi phí cận biên

xấp xỉ với chi phí chính xác để sản xuất ra sản phẩm thứ (x+1)

' 1

Marginal Cost Exact Cost

C x C x C x

Một cách tương tự, ta có thể đưa ra các phát biểu đối với hàm lợi nhuận và hàm doanh

thu.

Ví dụ 2.13. Tổng chi phí sản xuất ra x chiếc xe đạp được cho bởi hàm số sau:

210000 150 0,2C x x x

a) Tìm chi phí khi sản xuất chiếc xe đạp thứ 121?

b) Sử dụng chi phí cận biên để xấp xỉ chi phí sản xuất chiếc xe đạp thứ 121?

Giải.

a) Chi phí sản xuất ra 121 chiếc xe đạp là:

2121 10000 150.121 0,2.121 25.221,80C

Chi phí sản xuất ra 120 chiếc xe đạp là:

2120 10000 150.120 0,2.120 25.120C

Vậy chi phí chính xác khi sản xuất chiếc xe đạp thứ 121 là:

121 120 25.221,80 25.120 101,80C C

b) Theo chú ý trên, hàm chi phí cận biên tại x=120 có thể xấp xỉ cho chi phí sản xuất ra

chiếc xe đạp thứ 121. Ta có:

' 150 0,4 ' 120 150 0,4.120 102C x x C

Như vậy, chi phí cận biên tại mức sản lượng 120 là 102 ($) có thể xấp xỉ khá tốt cho chi

phí chính xác để sản xuất ra chiếc xe thứ 121 là 101,80 ($)

Ví dụ 2.14. Bộ phận nghiên cứu thị trường của một công ty đề xuất việc sản xuất và tiếp

thị cho một loại tai nghe headphone mới cho điện thoại. Sau khi kiểm tra công tác tiếp

thị, bộ phận nghiên cứu đưa ra hàm cầu sản phẩm như sau: 10.000 1.000x p

73 | P a g e

Trong đó x là mức cầu sản phẩm tại mức giá p

Trong hàm cầu trên, nhu cầu x được cho bởi một hàm số theo mức giá p. Ta có thể tính

được giá theo nhu cầu sản phẩm như sau: 10 0,001p x (gọi là hàm cầu đảo)

Bộ phận tài chính đưa ra hàm chi phí như sau: 7000 2C x x

Trong đó 7000 $ là mức chi phí cố định (dành cho công cụ và chi phí chung) và 2 $ là

ước lượng của chi phí biến đổi trên mỗi sản phẩm (nguyên liệu, lao động, tiếp thị, vận

chuyển, lưu trữ …)

a) Tìm tập xác định của hàm số xác định bởi hàm cầu trên?

b) Tìm và giải thích ý nghĩa của C’(x)

c) Tìm hàm doanh thu theo x và tập xác định của nó

d) Tìm doanh thu cận biên tại x=2000; 5000 và 7000. Giải thích ý nghĩa các kết quả này.

e) Vẽ đồ thị hàm doanh thu và hàm chi phí trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm giao điểm

của hai đồ thị này và giải thích ý nghĩa.

f) Tìm hàm lợi nhuận và miền giá trị và vẽ đồ thị hàm này

g) Tìm lợi nhuận cận biên tại mức sản xuất 1000; 4000 và 6000. Giải thích ý nghĩa kết

quả tìm được

Giải.

a) Vì giá p và nhu cầu sản phẩm x không thể âm nên ta có hệ sau:

0 00 10.000

0 10 0,001 0

x xx

p x

b) Chi phí cận biên C’(x)=2. Điều này có nghĩa là chi phí tăng thêm 2 $ cho mỗi sản

phẩm tại bất kỳ mức sản xuất nào.

c) Doanh thu là lượng tiền R nhận được khi công ty sản xuất và bán x headphone tại mức

giá p và được cho bởi công thức sau:

R=(số head phone bán ra) x (giá của một head phone)=x.p

Nói chung, doanh thu R có thể được mô tả bởi một hàm số theo p hoặc theo x. Như đã đề

cập, khi sử dụng hàm cận biên, ta luôn sử dụng số sản phẩm x như là biến độc lập. Do đó

hàm doanh thu có dạng sau:

2. . 10 0,001 10 0,001R x x p x x x x

74 | P a g e

Dễ thấy tập xác định của hàm doanh thu cũng là [0; 10.000]

d) Doanh thu cận biên là: ' 10 0,002R x x

Tại mức sản lượng 2000; 5000 và 7000 ta có: ' 2000 6 ' 5000 0 ' 7000 4R R R

Điều này có nghĩa là tại các mức sản lượng 2000; 5000 và 7000 sự thay đổi tương đối của

doanh thu trên mỗi sản phẩm là 6 $; 0 $ và -4 $. Có nghĩa là:

Tại mức sản lượng 2000, nếu tăng sản lượng sản xuất thì doanh thu tăng theo

Tại mức sản lượng 5000, nếu tăng sản lượng sản xuất rất ít thì doanh thu hầu như

không đổi

Tại mức sản lượng 7000, nếu tăng sản lượng sản xuất thì doanh thu sẽ giảm

e) Đồ thị của R(x) và C(x) được vẽ ở hình dưới. Giao điểm của 2 đồ thị được gọi là điểm

hòa vốn (break-even points) bởi vì khi này doanh thu bằng với chi phí tại các mức sản

lượng. Công ty không lãi cũng không lỗ mà chỉ hòa vốn.

Để tìm điểm hòa vốn ta giải phương trình: R(x)=C(x)

2 21000

7000 2 10 0,001 8.000 7.000.000 07000

xR x C x x x x x x

x

Ta có: 1000 1000 9000 7000 7000 21000R C R C

Như vậy có 2 điểm hòa vốn là 1.000;9.000 và 7.000; 21.000 .

75 | P a g e

Nhận xét. Từ đồ thị ta thấy công ty có lãi khi mức sản lượng từ 1000 đến 7000. Phần còn

lại công ty bị lỗ.

f) Công thức hàm lợi nhuận: 20,001 8 7000P x R x C x x x

Đồ thị hàm lợi nhuận:

g) Lợi nhuận cận biên: ' 0,002 8P x x

Ta có: ' 1000 6 ' 4000 0 ' 6000 4P P P

Điều này có nghĩa là tại các mức sản lượng 1000; 4000 và 6000 sự thay đổi tương đối của

lợi nhuận trên mỗi sản phẩm là 6 $; 0 $ và -4 $. Có nghĩa là:

Tại mức sản lượng 1000, nếu tăng sản lượng sản xuất thì lợi nhuận tăng theo

Tại mức sản lượng 4000, nếu tăng sản lượng sản xuất rất ít thì lợi nhuận hầu như

không đổi

Tại mức sản lượng 6000, nếu tăng sản lượng sản xuất thì lợi nhuận sẽ giảm

2.2.1 Hàm bình quân và hàm bình quân cận biên

Định nghĩa. Gọi x là số lượng sản phẩm được sản xuất ra trong một khoảng thời gian.

Khi đó, ta có các hàm kinh tế sau:

Chi phí Doanh thu Lợi nhuận

Tổng Tổng chi phí Tổng doanh thu Tổng lợi nhuận

76 | P a g e

TC C x TR R x TP P x

Cận biên Chi phí cận biên

'MC C x

Doanh thu cận biên

'MR R x

Lợi nhuận cận biên

'MP P x

Bình quân (trung bình)

Chi phí trung bình

C xAC C x

x

Doanh thu trung

bình

R xAR R x

x

Lợi nhuận trung

bình

P xAP P x

x

Trung bình cận biên

Chi phí trung bình

cận biên

'MAC C x

Doanh thu trung

bình cận biên

'MAR R x

Lợi nhuận trung

bình cận biên

'MAP P x

Ví dụ 2.15. Một cửa hàng sản xuất nhỏ sản xuất các mũi khoan được sử dụng trong

ngành công nghiệp dầu khí. Giám đốc ước tính rằng tổng chi phí hàng ngày ($) để sản

xuất x mũi khoan là: 21.000 25 0,1C x x x

a) Tìm C x và 'C x ?

b) Tính giá trị 10C và ' 10C . Giải thích ý nghĩa?

c) Sử dụng kết quả câu b) ước lượng chi phí trung bình cho mỗi mũi khoan tại mức sản

lượng 11 mũi khoan một ngày.

Giải.

a) Ta có:

2

1000 100025 0,1 ; ' 0,1

C x dC x x C x C x

x x dx x

b) Ta có: 2

1000 100010 25 0,1.10 124 ; ' 10 0,1 10,1

10 10C C

Tại mức sản lượng 10 mũi khoan một ngày, chi phí trung bình cho một mũi khoan là 124

$. Mức chi phí này giảm đi 10,1 $ cho mỗi mũi khoan.

c) Nếu sản lượng tăng lên 1 thì chi phí trung bình sẽ giảm khoảng 10,1 $. Do đó, chi phí

trung bình cho mỗi mũi khoan tại mức sản lượng 11 mũi một ngày xấp xỉ: 124-

10,1=113,9 $.

2.3 Tối ưu hàm một biến, các điểm cực trị

2.3.1 Khảo sát sự biến thiên của hàm số

77 | P a g e

Định lý. Giả sử hàm số ( )y f x khả vi trên ( , )a b

i) nếu '( ) 0, ( , )f x x a b thì ( )f x hàm hằng trên ( , )a b

ii) nếu ' '( ) 0 ( ) 0 , ( , )f x f x x a b thì ( )f x đơn điệu tăng (đơn điệu giảm)

trên ( , )a b

Định lý trên cho phép ta xác định các khoảng tăng, giảm của hàm số ( )f x thông qua việc

xét dấu của đạo hàm '( )f x

Ví dụ 2.16. Xét hàm số ( ) ln(1 )f x x x với 1x

Ta có ' 1( ) 1

1 1

xf x

x x

và '( ) 0 0f x x

Dễ dàng thấy rằng '( ) 0, ( 1,0)f x x và '( ) 0, (0, )f x x

Suy ra hàm số ( )f x giảm trong khoảng ( 1,0) , tăng trong khoảng (0, ) .

2.3.2 Cực trị của hàm số

Theo định lý Fermat hàm số ( )f x chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo

hàm triệt tiêu (gọi là điểm dừng) hoặc tại các điểm mà tại đó hàm số ( )f x liên tục nhưng

không có đạo hàm.

Các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo

hàm được gọi là điểm tới hạn của hàm số. Như vậy, để tìm các điểm cực trị của hàm số

trước hết ta tìm các điểm tới hạn của hàm số sau đó dùng điều kiện đủ để kiểm tra cho

từng điểm tới hạn đã tìm được.

Điều kiện đủ của cực trị

Định lý. Giả sử 0

x là điểm tới hạn của hàm số ( )f x và ( )f x có đạo hàm '( )f x

mang dấu xác định trong mỗi khoảng 0 0 0 0, và ,x x x x . Khi đó,

Nếu '( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0

x thì ( )f x đạt cực tiểu tại 0

x

Nếu '( )f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0

x thì ( )f x đạt cực đại tại 0

x

Nếu '( )f x không đổi dấu khi x đi qua 0

x thì ( )f x không đạt cực trị tại 0

x

78 | P a g e

Định lý. Giả sử hàm số ( )f x khả vi đến cấp n ( 2)n trên ( , )a b và 0

x là điểm

dừng của ( )f x sao cho ' '' ( 1)

0 0 0( ) ( ) ..... ( ) 0nf x f x f x và

( )

0( ) 0nf x . Khi đó,

Nếu n là số chẵn thì ( )f x đạt cực trị tại 0

x , cụ thể

o ( )f x đạt cực đại tại 0

x nếu ( )

0( ) 0nf x

o ( )f x đạt cực tiểu tại 0

x nếu ( )

0( ) 0nf x

Nếu n là số lẻ thì ( )f x không đạt cực trị tại 0

x .

2.3.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ , ]a b , khả vi trên khoảng ( , )a b thì ( )f x đạt

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [ , ]a b . Sau đây là quy tắc tìm

Tính các giá trị ( ), ( )f a f b

Tinh các giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , )a b

So sánh giá trị của ( )f x tại các điểm tới hạn trong ( , )a b và ( ), ( )f a f b để tìm

ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

2.3.4 Khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đường cong

Giả sử hàm số ( )y f x khả vi trên khoảng ( , )a b . Đường cong ( )y f x được

gọi là lồi (lõm) trên khoảng ( , )a b nếu mọi điểm của đường cong nằm trên (dưới) tiếp

tuyến bất kỳ của đường cong trên khoảng này.

Điểm 0 0, ( )x f x gọi là điểm uốn của đường cong nếu đường cong lồi (lõm) trên

khoảng 0 0,x x và lõm (lồi) trên khoảng 0 0

,x x với 0 nào đó.

Định lý. Giả sử hàm số ( )y f x có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( , )a b .

Hàm số ( )y f x lồi trên ( , )a b khi và chỉ khi ''( ) 0 , ( , )f x x a b

Hàm số ( )y f x lõm trên ( , )a b khi và chỉ khi ''( ) 0 , ( , )f x x a b

2.4 Ứng dụng kinh tế

2.4.1 Tìm mức sử dụng lao động L để sản lượng hoặc lợi nhuận tối đa

79 | P a g e

Ví dụ 2.17. Cho hàm sản xuất 2 3120 ( 0).Q L L L Hãy xác định mức sản lượng lao

động để sản lượng tối đa

Giải

2 3 2

2

120 ( 0) 240 3 ; 240 6 ;

0 240 3 0 80( 0)

Q L L L Q L L Q L

Q L L L doL

Lập bảng biến thiên ta có Q đạt giá trị tối đa tại L=80

Ví dụ 2.18. Cho hàm sản xuất ngắn hạn 5 3100 ( 0)Q L L và giá của sản phẩm là

5 ;p USD giá thuê lao động là 3 .Lp USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi

nhuận tối đa

Giải

5 3

5 3

2/3 2/3

500 , 0

3

500 3 , 0

300 3; 0 100 100000

L

TR pQ L L

TC p L L

TR TC L L L

L L L

Lập bảng biến thiên ta có đạt giá trị tối đa tại 100000L

2.4.2 Tìm mức sản lượng Q để chi phí tối thiểu, doanh thu, lợi nhuận tối đa

Ví dụ 2.19. Cho hàm chi phí 3 2130 12 ( 0)TC Q Q Q Q . Hãy xác định mức sản

lượng Q để chi phí bình quân nhỏ nhất.

Giải

3 2 2130 12 130 12

2 130

0 65

TC Q Q Q AC Q Q

AC Q

AC Q

Lập bảng biến thiên ta có AC đạt giá trị nhỏ nhất khi 65Q

Ví dụ 2.20. Cho hàm chi phí 3 28 57 2( 0)TC Q Q Q Q và hàm cầu đảo là

45 0,5p Q . Hãy xác định mức sản lượng Q cho lợi nhuận cực đại.

Giải

Ta có 245 0,5 45 0,5 45 0,5p Q TR pQ Q Q Q Q . Do đó

2 3 2 3 245 0,5 8 57 2 7,5 12 2TR TC Q Q Q Q Q Q Q Q

80 | P a g e

12

2

13 15 12 0

4

QQ Q

Q

Lập bảng biến thiên ta có tại mức sản lượng Q =4 hàm lợi nhuận đạt cực đại

2.4.3. Giá trị cận biên của chi phí

Cho hàm chi phí ( )C C Q . Khi đó ta gọi MC(Q) là giá trị cận biên của chi phí. Giá trị

này có thể coi là lượng thay đổi của chi phí khi Q tăng lên một đơn vị.

Ví dụ 2.21. Cho chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là

2 5000,0001 0,02 5C Q Q

Q

Tìm giá trị cận biên của chi phí đối với Q. Áp dụng với 50Q

Giải

Hàm tổng chi phí sản xuất Q đơn vị sản phẩm: 3 2. 0,0001 0,02 5 500C Q C Q Q Q

Từ đó giá trị cận biên của chi phí là: 2( ) 0,0003 0,04 5dC

MC Q Q QdQ

Khi 50Q thì (50) 3,75MC . Như vậy nếu Q tăng lên một đơn vị từ 50 đến 51 thì chi

phí tăng lên khoảng 3,75 đơn vị.

2.4.4. Giá trị cận biên của doanh thu

Cho hàm doanh thu ( )R R Q . Khi đó ta gọi MR(Q) là giá trị cận biên của doanh thu.

Ví dụ 2.22.

Số vé bán được Q và giá vé P của một hãng xe bus có quan hệ 10000 125Q P . Tìm

doanh thu cận biên khi 30, 42P P .

Giải

Ta có doanh thu (10000 )

125

Q QR QP

Suy ra 10000 2

( )125

QMR Q

30 thì 6250 (6250) 20

42 thì 4750 (6250) 4

P Q MR

P Q MR

81 | P a g e

2.4.5. Xu hướng tiêu dùng và tiết kiệm cận biên

Cho hàm tiêu dùng ( )C C I , trong đó I là tổng thu nhập quốc dân.

Xu hướng tiêu dùng cận biên ( )MC I là tốc độ thay đổi của tiêu dùng theo thu nhập

( )dC

MC IdI

Ta gọi S I C là hàm tiết kiệm. Khi đó xu hướng tiết kiệm cận biên là

( ) 1 1 ( )dS dC

MS I MC IdI dI

Ví dụ 2.23. Cho hàm tiêu dùng là 35 2 3

10

IC

I

Xác định xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết kiệm cận biên khi 100I

Giải

Ta có

3 3

2 2

5 ( 10)3 2 3 5 30 3( )

10 10

I I I I IMC I

I I

Từ đó 1297

(100) 5. 0,53612100

MC ; (100) 1 (100) 0,464MS MC

2.5 Độ cong và ứng dụng

2.6 Hệ số co dãn

2.6.1. Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối

Khi đại lượng x tăng thêm (giảm đi) một lượng x thì ta gọi x là độ thay đổi tuyệt đối

của x. Tỉ số .(100%)x

x

gọi là độ thay đổi tương đối của x.

Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng. Nếu tăng thêm 1 triệu thì độ thay đổi tuyệt đối

là 1 triệu, độ thay đổi tương đối là 1

.100% 0,5%200

.

Rõ ràng, độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vị tính và nó cho ta thấy ngay

mức độ thay đổi.

82 | P a g e

2.6.2. Hệ số co dãn

Để đo mức độ phản ứng của biến y khi biến x thay đổi, người ta đưa vào khái niệm hệ số

co dãn.

Hệ số co dãn của đại lượng y theo đại lượng x là tỉ số giữa độ thay đổi tương đối của y và

độ thay đổi tương đối của x, ký hiệu là yx

hay y

x .

Ta có .yx

y

y xy

x x y

x

Từ đó, với x khá bé, ta có 0

lim . '( ).yx

x

y x xy x

x y y

Ý nghĩa

Tại0x , khi đối số x thay đối 1% thì giá trị của hàm số ( )y f x thay đổi một lượng xấp

xỉ là 0( ) %y

x x

Ví dụ 2.24. Cho hàm cầu 230 4Q P P . Tìm hệ số co dãn tại điểm 3P

Giải

Ta có

2 2

2 (2 )( 4 2 ).

30 4 30 4QP

P P PP

P P P P

Tại 10

3 3,33

QPP

Điều này có ý nghĩa là với mức giá 3P thì khi giá tăng 1% lượng cầu Q sẽ giảm 3,3%.

Ví dụ 2.25. Xét hàm cầu của một loại hàng hóa ( )D D p , tại mức giá 0p :

0

0 0

0

( )( )

( )

y

x

D pp p

D p

(Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá

0p )

Áp dụng với hàm cầu 26D p p tại mức giá 0 4p và giải thích ý nghĩa của kết quả

nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 2% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào?

Giải

83 | P a g e

Ta có:

( ) 6 2 (4) 2; (4) 8

(4) 2.4 .4 1

(4) 8

D

p

D p p D D

D

D

Ý nghĩa: Tại mức giá 0 4p , nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 1%. Còn

nếu giá tăng 2% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 2.1%=2%.

Ví dụ 2.26. Một nhà môi giới cổ phiếu đề nghị bạn mua 2 loại cổ phiếu SBT và AGR.

Nhà môi giới ước lượng rằng giá cổ phiếu SBT sẽ tăng 2 $ mỗi năm trong những năm tới

và giá cổ phiếu AGR chỉ tăng 1 $ mỗi năm. Câu hỏi đặt ra là bạn đã có đủ thông tin để

tiến hành lựa chọn giữa hai loại cổ phiếu này chưa? Bạn cần thêm thông tin gì để có thể

quyết định?

Ta thấy giá cổ phiếu SBT có mức tăng gấp đôi giá cổ phiếu AGR nhưng điều này chưa

đủ để khẳng định SBT là cổ phiếu đáng mua hơn. Thông tin cần thêm ở đây là giá hiện

tại của mỗi cổ phiếu là bao nhiêu? Nếu một cổ phiếu SBT có giá 100$ và 1 cổ phiếu

AGR có giá 25$ thì bạn sẽ chọn mua cổ phiếu nào? Để trả lời câu hỏi này ta tìm hiểu hai

khái niệm: độ biến thiên tương đối và phần trăm của độ biến thiên.

Định nghĩa.

Độ biến thiên tương đối của hàm số f(x) là

'f x

f x hay dạng tương đương là ln

df x

dx

Phần trăm biến thiên tương đối của hàm số f(x) là:

'100.

f x

f x hay 100. ln

df x

dx

Quay lại ví dụ trên ta thấy cổ phiếu AGR đáng mua hơn. Thông tin chi tiết như sau:

Độ thay đổi tương đối Phần trăm biến thiên

Cổ phiếu SBT 2/100=0,02 2%

Cổ phiếu AGR 1/25=0,04 4%

Ví dụ 2.27. Bảng sau đây cho thấy GDP (tỷ $) và dân số Mỹ từ năm 2000 đến năm

2012. Một mô hình cho GDP như sau: 209,5 11,361f t t

Trong đó t là số năm tính từ năm 2000. Hãy tìm phần trăm thay đổi và vẽ đồ thị của f(t)

với 0 12t

Năm GDP thực (tỷ $) Dân số (triệu người)

84 | P a g e

2000 11,226 282,2

2004 12,264 292,9

2008 13,312 304,1

2012 13,367 313,9

Giải.

Gọi p(t) là phần trăm thay đổi của f(t) ta có:

20.950100. ln 100. ln 209,5 11,361

209,5 11,361

d dp t f t t

dt dt t

Đồ thị của p(t) như sau:

Chú ý rằng của p(t) giảm mặc dù GDP tăng.

Độ co giãn của cầu

Định nghĩa. Cho p là giá và x là cầu của một sản phẩm và có liên hệ thông qua hàm cầu

dạng x=f(p). Khi này, độ co giãn của cầu tại mức giá p được ký hiệu và xác định như sau:

thay doi tuong doi cua cau

thay doi tuong doi cua gia

E p

Ta có:

ln'

.

ln

df p

f pdpE p p

d f pp

dp

Định lý. Độ co giãn của cầu

Nếu giá và cầu được biểu diễn dạng x=f(p) thì độ co giãn của cầu được cho bởi:

85 | P a g e

'.

f pE p p

f p

Ví dụ 2.28. Giá p và lượng cầu x cho một sản phẩm có mỗi quan hệ như sau:

500 10.000x p

Tìm độ co giãn của cầu, E(p) và giải thích ý nghĩa trong các trường hợp sau:

E(4); E(16); E(10)

Giải

Ta có:

' 50010.000 500

10.000 500 20

f p p px p f p E p p

f p p p

a) 4

4 0,254 20

E

. Tại mức giá 4$, nếu giá tăng 1% thì cầu giảm 0,25%.

b) 16

16 416 20

E

. Tại mức giá 16$, nếu giá tăng 1% thì cầu giảm 4%.

a) 10

10 110 20

E

. Tại mức giá 10$, nếu giá tăng 1% thì cầu giảm 1%.

86 | P a g e

CHƯƠNG 3: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

3.0 Khái niệm cơ bản.

3.0.1 Hàm hai biến.

Định nghĩa: Hàm số hai biến f là một quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số thực có thứ tự

(x,y) trong tập 2D R với một số thực duy nhất được ký hiệu là ,f x y . Tập D là miền

xác định (domain) và tập , ,T f x y x y D là miền giá trị (range) của hàm f.

Ký hiệu hàm hai biến: ,z f x y với x,y là các biến độc lập và z là biến phụ thuộc.

Ví dụ 3.1. Với 2D và 3 2( , ) .f x y x x xy

Miền xác định của hàm số là cả không gian 2.

Ứng với cặp số ( , ) (2, 1)x y D , ta có 3 2(2, 1) 2 ( 1) 2.( 1) 5z f

Ứng với cặp số ( , ) (3,2) ,x y D ta có 3 2(3,2) 3 2 3.2 29.z f

Ví dụ 3.2. Với mỗi hàm số sau, tìm f(3,2) và miền xác định.

a) 1

,1

x yf x y

x

b) 2, lnf x y x y x

87 | P a g e

Giải.

a) Ta có: 3 2 1 6

3,23 1 2

f

Tập xác định: , 1 0, 1D x y x y x

b) Ta có: 23,2 3ln 2 3 0f

Tập xác định: 2,D x y x y

Ví dụ 3.3. Tìm miền xác định và miền giá trị của: 2 2, 9g x y x y

Giải.

Miền xác định của hàm số g:

2 2 2 2, 9 0 , 9D x y x y x y x y

D chính là đĩa tròn có tâm (0,0) và bán kính bằng

3.

Miền giá trị của g là đoạn [0,3] vì:

2 20 9 3x y

Đồ thị.

Định nghĩa. Nếu f là hàm hai biến với miền xác định D thì đồ thị của f là tập hợp tất cả

các điểm 3, , zx y R sao cho ,z f x y và ,x y D .

88 | P a g e

Hàm số ba biến và hàm nhiều biến

Hàm số ba biến f là một qui tắc cho tương ứng mỗi bộ số có thứ tự , ,x y z thuộc miền

xác định 3D R với một số thực duy nhất được ký hiệu là , ,f x y z .

Ví dụ 3.4. Tìm miền xác định của: 2 2, , 9 lnf x y z x y x z

Hàm số n biến f là một qui tắc cho tương ứng mỗi bộ số có thứ tự 1 2, ,..., nx x x thuộc

miền xác định nD R với một số thực duy nhất được ký hiệu là 1 2, ,..., nz f x x x .

Ví dụ 3.5. Một công ty cần sử dụng n loại nguyên liệu khác nhau để chế biến một loại

thực phẩm. Nếu ci là chi phí trên một đơn vị sản phẩm và xi là số đơn vị sản phẩm được

sử dụng của nguyên liệu thứ i thì tổng chi phí C dùng cho nguyên liệu là một hàm n biến.

1 2 1 1 2 2, ,..., ...n n nC f x x x c x c x c x

Một số hàm quan trọng trong phân tích kinh tế

a) Hàm sản xuất

Hàm sản xuất là hàm ( , ),Q Q K L trong đó K là vốn, L là lao động.

Hàm Cobb-Douglas là hàm sản xuất ,Q aK L trong đó , ,a là hằng số dương.

b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng lợi nhuận

Hàm tổng chi phí là hàm ( ),TC TC Q nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì

0K LTC W K W L C trong đó KW là giá thuế một đơn vị vốn, LW là giá thuế đơn vị lao

động, 0C là chi phí cố định.

Hàm tổng doanh thu là hàm ( , ),TR PQ PQ K L trong đó P là giá thị trường của sản

phẩm.

Hàm tổng lợi nhuận là hàm TT TR TC

89 | P a g e

c) Hàm lợi ích

Người ta dùng biến lợi ích u để biểu diễn mức độ ưa thích của người tiêu dùng đối với

mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Mỗi tổ hợp hàng hóa gọi là một giỏ hàng.

Giả sử cơ cấu của người tiêu dùng có 3 mặt hàng thì mỗi giỏ hàng là một bộ ba số thực

( , , )x y z . Hàm lợi ích cho tương ứng mỗi giỏ hàng với một giá trị duy nhất ( , , ).u u x y z

d) Hàm cung, hàm cầu

Giả sử thị trường có n loại hàng hóa với giá trị tương ứng là 1 2, , , .nP P P Khi đó

Hàm cung 1 2( , , , )iS i nQ S P P P

Hàm cầu 1 2( , , , )iD i nQ D P P P

Giới hạn và liên tục

Định nghĩa. Cho f là hàm hai biến có miền xác định D chứa các điểm gần (a,b). Giới hạn

của f(x,y) khi (x,y) tiến về gần (a,b) là L nếu với mỗi số 0 tồn tại số 0 sao cho với

,x y D và 2 2

0 x a y b thì ,f x y L .

Ta viết:

, ,lim ,

x y a bf x y L

hay lim ,

x ay b

f x y L

hay ,f x y L khi , ,x y a b .

Tập 2 22, R :D x y x a y b gọi là đĩa tròn tâm (a,b) bán kính .

Ví dụ 3.6. Chứng minh rằng

2

2 2, 0,0

3lim 0

x y

x y

x y

Giải.

Với 0 ta cần tìm 0 sao cho:

90 | P a g e

Nếu 2 20 x y thì 2

2 2

30

x y

x y

Ta có: 2

2 2

2 2

30 3 3

x yy x y

x y

, do đó ta chọn 0

3

Khi đó: 2 20 x y thì 2

2 2

2 2

30 3 3 3.

3

x yy x y

x y

Vậy

2

2 2, 0,0

3lim 0

x y

x y

x y

Chú ý. Nếu 1,f x y L khi , ,x y a b theo đường C1 và 2,f x y L khi

, ,x y a b theo đường C2 và 1 2L L thì không tồn tại

, ,lim ,

x y a bf x y

.

Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng giới hạn

2 2

2 2, 0,0lim

x y

x y

x y

không tồn tại.

Giải.

Cho , 0,0x y dọc theo trục Ox thì: 2 2 2 2

2 2 2 2

0, 1, 0

0

x y xf x y x

x y x

Do đó , 1f x y khi , 0,0x y dọc theo trục Ox

Cho , 0,0x y dọc theo trục Oy thì: 2 2 2 2

2 2 2 2

0, 1, 0

0

x y yf x y y

x y y

Do đó , 1f x y khi , 0,0x y dọc theo trục Ox

Vậy giới hạn đã cho không tồn tại.

Ví dụ 3.8. Cho 2

2 4,

xyf x y

x y

, giới hạn

, 0,0lim ,

x yf x y

có tồn tại không?

Giải.

Cho , 0,0x y dọc theo đường thẳng x y thì:

2

2 4 2

., , 0

1

x x xf x y f x x

x x x

91 | P a g e

Cho , 0,0x y dọc theo parabol 2x y thì:

2 2

2

4 4

.y 1, y , y

2

yf x y f

y y

Do đó giới hạn đã cho không tồn tại.

Liên tục

Định nghĩa. Hàm số hai biến f liên tục tại (a,b) nếu

, ,lim , ,

x y a bf x y f a b

Hàm số f liên tục trên D nếu liên tục tại mọi điểm (a,b) trên D.

Chú ý.

Hàm đa thức hai biến là một tổng các số hạng có dạng n m

kc x y với ck là hằng số, n, m là

các số nguyên dương và x, y là hai biến.

Ví dụ 3.9: 2 3 5 3 6, y 3 2 4f x x y x y x y

Hàm hữu tỉ là tỉ số của các hàm đa thức. Ví dụ: 2 3 5 3 6

2

3 2 4, y

2 3

x y x y x yg x

x xy

Chú ý:

- Các hàm đa thức liên tục trên 2R , các hàm hữu tỉ liên tục trên miền xác định của nó.

- Nếu , yf x liên tục trên D, g(t) liên tục trên miền giá trị của f thì h=g(f(x,y)) liên tục

trên D.

Ví dụ 3.10. Tính

2 3 2

, 1,2lim 2

x yx y x y xy

Giải. Vì 2 3 2, 2f x y x y x y xy là hàm đa thức nên liên tục trên 2R . Do đó:

2 3 2 2 3 2

, 1,2lim 2 1,2 1 .2 1 .2 2.1.2 4

x yx y x y xy f

Ví dụ 3.11. Hàm số 2 2

2 2,

x yf x y

x y

liên tục trên miền nào?

Giải.

Hàm 2 2

2 2,

x yf x y

x y

là hàm hữu tỷ liên tục trên miền xác định D của nó, với:

92 | P a g e

, , 0,0D x y x y

Ví dụ 3.12. Hàm số

2 2

2 2, , 0,0

,

0 , , 0,0

x yx y

x yg x y

x y

liên tục trên miền nào?

Giải.

Hàm g(x,y) xác định tại điểm (0,0) nhưng hàm không liên tục tại điểm (0,0) vì giới hạn

, 0,0lim ,

x yg x y

không tồn tại.

Do đó, hàm g(x,y) liên tục trên D với , , 0,0D x y x y

3.1 Đạo hàm riêng

3.1.1 Đạo hàm riêng của hàm hai biến:

Cho hàm hai biến f(x,y), giả sử chỉ biến x thay đối và cố định biến y (y=b). Khi đó hàm f

trở thành hàm một biến. Đặt g(x)=f(x,b), nếu g có đạo hàm tại a, ta gọi nó là đạo hàm

riêng của f đối với x tại (a,b) và ký hiệu là ,xf a b .

Do đó: , 'xf a b g a với ,g x f x b .

Vì:

0 0

, ,' lim lim

h h

g a h g a f a h b f a bg a

h h

nên ta có:

0

, ,, limx

h

f a h b f a bf a b

h

Tương tự ta có đạo hàm riêng của hàm số theo biến y tại điểm (a,b):

0

, ,, limy

h

f a b h f a bf a b

h

Nếu f là hàm hai biến, đạo hàm riêng của nó là các hàm ,x yf f được xác định bởi:

0 0

, , , ,, lim ; , limx y

h h

f x h y f x y f x y h f x yf x y f x y

h h

Ký hiệu đạo hàm riêng. Nếu ,z f x y thì:

, ,x x x

f zf x y f f x y D f

x x x

, ,y y y

f zf x y f f x y D f

y y y

93 | P a g e

Quy tắc tìm đạo hàm riêng của hàm số ,z f x y .

1. Để tìm xf ta xem y như hằng số và tìm đạo hàm của ,z f x y theo biến x.

2. Để tìm yf ta xem x như hằng số và tìm đạo hàm của ,z f x y theo biến y.

Ví dụ 3.13. Tính đạo hàm riêng của hàm số 3 4( , ) sinf x y x y x y y

Giải

Ta có 2 3 3( , ) 3 sin , ( , ) cos 4f f

x y x y y x y x x y yx y

Ví dụ 3.14. Cho 3 2 3 2, 2f x y x x y y . Tìm 2,1 ; 2,1x yf f

Giải.

Xem y là hằng số và lấy đạo hàm theo biến x ta có:

2 3 2 3, 3 2 2,1 3.2 2.2.1 16x xf x y x xy f

Xem x là hằng số và lấy đạo hàm theo biến y ta có:

2 2 2 2, 3 4 2,1 3.2 .1 4.1 8y yf x y x y y f

Ví dụ 3.15. Cho , sin1

xf x y

y

. Tìm ;

f f

x y

Giải. Ta có:

2

1cos . cos .

1 1 1 1

cos . cos .1 1 1 1

f x x x

x y x y y y

f x x x x

x y y y y y

Ví dụ 3.16. Tìm ;z z

x y

trong đó z là hàm ẩn được cho bởi phương trình:

3 3 3 6 1x y z xyz

Giải.

Xem y như hằng số, lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo x :

Ta có: 2 2

2 2

2 2

3 6 23 3 . 6 6 0

3 6 2

z z z x yz x yzx z yz xy

x x x z xy z xy

94 | P a g e

Tương tự ta có: 2 2

2 2

3 6 2

3 6 2

z y xz y xz

y z xy z xy

3.1.2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều hơn hai biến

Cho f là hàm số ba biến x, y, và z thì đạo hàm riêng đối với biến x được xác định bởi:

0

, , , ,limxh

f x h y z f x y zf

h

Tương tự ta cũng có công thức đạo hàm riêng đối với y và z.

Tổng quát nếu u là hàm n biến, 1 2, ,..., nu f x x x thì đạo hàm riêng của hàm u đối với

biến thứ i, xi là:

1 1

0

,..., ,..., ,..., ,...,lim

i

i n i n

xh

i

f x x h x f x x xuu

x h

Ví dụ 3.17. Tìm các đạo hàm riêng , ,x y zf f f với , , lnxyf x y z e z

Giải.

Ta có: 1

ln lnxy xy xy

x y zf ye z f xe z f ez

3.1.3 Đạo hàm riêng cấp cao

Nếu f là hàm hai biến, các đạo hàm riêng của nó là ,x yf f cũng là các hàm hai biến. Ta có

thể xét các đạo hàm riêng ; ;x x yx y xf f f và y y

f . Đây được gọi là các đạo hàm

riêng cấp 2 của hàm f. Nếu ,z f x y ta sử dụng các ký hiệu sau đây:

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

x xx x xyx y

y yx y yyx y

z f z z f zf f f f

x x x x y x x y x y

z f z z f zf f f f

x y y x y x y y y y

Ví dụ 3.18. Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số: 3 2 3 2, 2f x y x x y y

Giải.

Ta có: 2 3 2 23 2 3 4x yf x xy f x y y

Từ đó ta có:

95 | P a g e

3 2 2 26 2 6 6 6 4xx xy yx xxf x y f xy f xy f x y

Định lý Clairaut. Giả sử hàm f được xác định trên đĩa D chứa điểm (a.b). Nếu các hàm

số xyf và

yxf liên tục trên D thì: yx, ,xyf a b f a b

Ma trận Hessian (Ma trận Hess)

Giả sử hàm số n biến số 1 2( , , , )nf x x x

có

2n đạo hàm riêng cấp 2 ( , 1,2, , ).i jx xf i j n

Khi đó, ma trận vuông cấp n sau đây:

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

n

n

n n n n

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

f f f

f f fH

f f f

gọi là ma trận Hess của hàm số 1 2( , , , )nf x x x . Nếu hàm số

1 2( , , , )nf x x x có các đạo

hàm riêng cấp 2 liên tục thì ma trận Hess là ma trận đối xứng.

Ví dụ 3.19.

Ma trận Hess của hàm 3 biến 3 4 5( , , )f x y z x y z là ma trận

2 4 5 2 3 5 2 4 4

2 3 5 3 2 5 3 3 4

2 4 4 3 3 4 3 4 3

6 12 15

12 12 20

15 20 20

x y z x y z x y z

H x y z x y z x y z

x y z x y z x y z

3.1.4 Hàm khả vi

Nếu hàm hai biến f có các đạo hàm riêng liên tục. Ta có phương trình mặt phẳng tiếp xúc

với mặt z=f(x,y) tại điểm 0 0 0, , zP x y là:

0 0 0 0 0 0 0, ,x yz z f x y x x f x y y y

96 | P a g e

Khi x thay đổi từ 0x đến

0x x và y thay đổi từ 0y đến

0y y thì z sẽ thay đổi từ

0 0,f x y đến 0 0, yf x x y .

Do đó: 0 0 0 0, y , yz f x x y f x

Tại các điểm nằm trên mặt phẳng tiếp xúc, nếu càng gần tiếp điểm P thì khoảng cách từ

điểm đó đến mặt ,z f x y càng nhỏ. Ta có ước lượng sau, gọi là xấp xỉ tuyến tính của

hàm ,z f x y tại điểm 0 0,x y .

0 0 0 0, ,x yz f x y x f x y y

Định nghĩa. Hàm ,z f x y gọi là khả vi tại (a,b) nếu z được biểu diễn dưới dạng:

1 2a,b a,bx yz f x f y x y

Trong đó: 1 20, 0 khi 0, 0x y .

Định lý. Nếu các đạo hàm riêng ,x yf f tồn tại gần điểm (a,b) và liên tục tại điểm (a,b) thì

hàm f khả vi tại điểm (a,b).

Ví dụ 3.20. Chứng minh rằng hàm số sau , xyf x y xe khả vi tại điểm (1,0) và tìm

phương trình mặt phẳng tiếp xúc của đồ thị f tại điểm đó. Dùng phương trình vừa tìm

được ước lượng giá trị của hàm số tại điểm (1,1; -0,1) hay f(1,1; -0,1)

Giải.

Các đạo hàm riêng là: 21 1,0 1 1,0 1xy xy

x x y yf y e f f x e f

Do cả hai đạo hàm riêng đều liên tục tại điểm (1,0) nên hàm , xyf x y xe khả vi tại điểm

(1,0).

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc tại điểm (1,0):

0 1,0 1,0 1 1,0 0x yz z z f f x f y hay z x y .

Xấp xỉ tuyến tính tương ứng: xyxe x y .

Vậy 1,1; 0,1 1,1 0,1 1f

3.1.5 Vi phân hàm nhiều biến

97 | P a g e

Cho hàm hai biến khả vi ,z f x y , ta định nghĩa các vi phân dx và dy là các biến độc

lập (có thể nhận bất kỳ giá trị nào). Khi đó vi phân toàn phần (total differential) dz được

định nghĩa như sau:

, ,x y

z zdz f x y dx f x y dy dx dy

x y

Ví dụ 3.21. Cho hàm hai biến 2 2, 3z f x y x xy y

a) Tìm dz

b) Khi x thay đổi từ 2 đến 2,05 và y thay đổi từ 3 đến 2,96, hãy so sánh giá trị của z và

dz .

Giải.

a) 2 3 3 2z z

dz dx dy x y dx x y dyx y

b) Đặt 2, 0,05; 3, 0,04x dx x y dy y ta có:

2 2 3 3 0,05 3 2 2 2 0,04 0,65dz

Ta có: 2,05; 2,96 2; 3 0,6449z f f

3.1.6 Vi phân cấp cao

Giả sử hàm số n biến số 1 2( , , , )nf x x x có các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 liên tục trên tập

nD . Vi phân toàn phần của hàm số 1 2( , , , )nf x x x tại điểm

1 2( , , , )nX x x x D là

1 2

1 2

( ) ( ) ( ) n

n

f f fdf X dx X dx X dx

x x x

Để đơn giản ta có thể sử dụng ký hiệu i

f

x

thay cho ( ) , 1,2, ,

i

fX i n

x

Như vậy 1 2

1 2

n

n

f f fdf dx dx dx

x x x

Rõ ràng df cũng là một hàm theo n biến số 1 2, , , nx x x . Nếu hàm số này lại có vi phân

tại điểm 1 2( , , , )nX x x x D thì ta gọi vi phân của nó ( )d df là vi phân cấp 2 của hàm số

1 2( , , , )nf x x x tại điểm 1 2( , , , )nX x x x và ký hiệu là 2d f ,

nghĩa là 2( )d df d f .

98 | P a g e

Như vậy, vi phân cấp 2 của hàm n biến số 1 2( , , , )nf x x x được tính theo công thức

22

1 1

n n

i k

i k i k

fd f dx dx

x x

Công thức tính vi phân cấp 2 của hàm n biến số 1 2( , , , )nf x x x có thể được viết theo

cách như sau

2

2

1 2

1 2

n

n

d f dx dx dx fx x x

Biểu thức vi phân toàn phần cấp 2 2d f là một dạng toàn phương của n biến số

1 2, , , ndx dx dx với hệ số của i kdx dx là

2

( , 1,2, , ).i k

fi k n

x x

Ma trận của dạng toàn

phương 2d f là ma trận Hess của hàm số 1 2( , ,..., )nf x x x .

Tổng quát

Nếu hàm số 1 2( , , , )nf x x x có các đạo hàm riêng cho tới cấp ( 1)m m liên tục thì

ta có thể lấy vi phân toàn phần của nó tới cấp m. Vi phân toàn phần cấp m của hàm số

1 2( , , , )nf x x x tại điểm 1 2( , , , )nX x x x D là vi phân toàn phần của vi phân toàn

phần cấp ( 1)m của nó tại điểm 1 2( , , , )nX x x x và được ký hiệu là .md f Như vậy

1( )m md f d d f

Vi phân toàn phần cấp m của hàm số 1 2( , , , )nf x x x tại 1 2( , , , )nX x x x được tính theo

công thức

1 2

1 2

m

m

n

n

d f dx dx dx fx x x

3.1.7 Quy tắc dây chuyền và đạo hàm hàm ẩn

Qui tắc dây chuyền 1. Giả sử ,z f x y là hàm khả vi theo biến x, y với x g t ,

y h t là các hàm khả vi theo biến t thì z là hàm khả vi theo biến t và:

. . . .z f x f y z z x z y

hayt x t y t t x t y t

99 | P a g e

Ví dụ 3.22. Cho hàm hai biến 2 43z x y xy với sin 2x t và cosy t . Tính t

dzz

dt khi

t=0.

Giải.

Ta có: 4 2 3. . 2 3 2cos 2 12 sinz z x z y

xy y t x xy tt x t y t

Khi t=0 ta có x=sin0=0 và y=cos0=1. Vậy 0

6t

z

t

Qui tắc dây chuyền 2. Giả sử ,z f x y là hàm khả vi theo biến x, y với ,x g s t ,

,y h s t là các hàm khả vi theo biến t thì z là hàm khả vi theo biến t và s thì:

. . ; . .z f x f y z z x z y

t x t y t s x s y s

Ví dụ 3.23. Cho hàm hai biến sinxz e y với 2x st và 2y s t . Tính ;z z

s t

.

Giải. Ta có:

2

2

2 2 2

2 2 2

. . sin cos 2 .sin 2 .cos

. . sin 2 cos 2 .sin .cos

x x st

x x st

z z x z ye y t e y st te t s t s s t

s x s y s

z z x z ye y st e y s se t s t s s t

t x t y t

Qui tắc dây chuyền tổng quát. Giả sử u là hàm khả vi theo n biến 1 2, ,..., nx x x với ix là

các hàm khả vi theo m biến 1 2, ,..., mt t t . Khi đó u là một hàm theo các biến 1 2, ,..., mt t t và:

1 2

1 2

. . ... . n

i i i n i

xx xz z z z

t x t x t x t

Ví dụ 3.24. Cho 4 2 3u x y y z với 2 2, , sint tx rse y rs e z r s t .

Tính giá trị của u

s

khi 2, 1, 0r s t .

Giải. Ta có:

3 4 3 2 2 2. . . 4 . 2 . 2 3 . sint tu u x u y u zx y re x yz rse y z r t

s x s y s z s

100 | P a g e

Khi 2, 1, 0 2, 2, 0 192u

r s t x y zs

3.1.8 Đạo hàm của hàm ẩn.

Cho y f x là hàm khả vi theo biến x và cho phương trình dạng , 0F x y . Theo quy

tắc dây chuyền, ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo biến x:

. . 0

F

F x F y y xFx x y x x

y

nếu 0F

y

Hay ta có: x

y

Fdy

dx F

Cho ,z f x y là hàm khả vi theo biến x và cho phương trình dạng , , 0F x y z . Theo

quy tắc dây chuyền, ta lấy đạo hàm hai vế của phương trình theo biến x:

. . . 0F x F y F z

x x y x z x

Vì 1, 0x y

x x

nên ta có: . 0

F

F F z z xFx z x x

z

nếu 0F

z

Tương tự ta có: . 0

F

F F z z y

Fy z y y

z

Do đó: ,yx

z z

FFdz dz

dx F dy F

Ví dụ 3.25. Tìm y biết 3 3 6x y xy

Giải. Phương trình đã cho được viết lại là: 3 3, 6 0F x y x y xy

Vậy 2

2

3 6

3 6

x

y

Fdy x y

dx F y x

3.2 Áp dụng của đạo hàm riêng

101 | P a g e

3.2.1. Đạo hàm riêng và giá trị cận biên trong kinh tế học

Xét mô hình hàm kinh tế 1 2( , ,..., )nw f x x x trong đó

1 2, , ,..., nw x x x là các biến số kinh tế.

Đạo hàm riêng của hàm w theo biến ix tại điểm 0 0 0

0 1 2, ,...., nM x x x được gọi là giá trị w –

cận biên theo ix tại điểm đó, nghĩa là 0( )

i

wM

x

biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w

khi giá trị ix thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay

đổi.

*Hàm sản xuất ( , )Q f K L

Các đạo hàm riêng ( , ) ; ( , )K L

f fQ K L Q K L

K L

được gọi tương ứng là hàm sản phẩm

cận biên của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) tại điểm

( , )K L .

*Ý nghĩa : ( , )K

fQ K L

K

biễu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng

thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao động. Tương tự, ( , )L

fQ K L

L

biễu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động

và giữ nguyên mức sử dụng tư bản.

Ví dụ 3.26. Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là 1 3

4 420Q K L trong đó K, L, Q là

mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp

đó đang sử dụng 16 đơn vị sản phẩm và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức là

16; 81K L . Xác định sản lượng cận biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải

thích ý nghĩa.

Giải

Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động lần lượt là

3 3 1 1

4 4 4 4( , ) 5 ; ( , ) 15K L

f fQ K L K L Q K L K L

K L

Sản lượng cận biên của tư bản và của lao động tại 16; 81K L tương ứng là

3 3

4 4135

(16,81) (16,81) 5 16 81 1,698

K

fQ

K

102 | P a g e

1 1

4 4(16,81) (16,81) 15 16 81 10L

fQ

L

Nghĩa là nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng tư bản K từ 16 lên 17 đơn vị và giữ nguyên

lao động 81L trong 1 ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 1,69 đơn vị sản phẩm.

Tương tự, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng lao động L từ 81 lên 82 đơn vị và giữ

nguyên tư bản 16K trong 1 ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 10 đơn vị sản phẩm.

* Hàm lợi ích 1 2( , ,..., )nU U x x x

Đạo hàm riêng của hàm lợi ích đối với các biến độc lập là ( 1, )i

i

UMU i n

x

iMU được gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.

* Ý nghĩa : Đạo hàm riêng iMU tại điểm 0 0 0

0 1 2, ,...., nM x x x biễu diễn xấp xỉ lợi ích tăng

thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị các

hàng hóa khác không thay đổi.

Ví dụ. Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa

là 3 1

2 21 22U x x . Trong đó

1 2,x x là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U là lợi ích của

người tiêu dùng hàng ngày. Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và

25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa tại điểm

đó và giải thích ý nghĩa.

Giải

Lợi ích cận biên của hàng hóa 1 và hàng hóa 2 đối với người tiêu dùng tương ứng :

1 1 3 1

2 2 2 21 1 2 2 1 23 ;MU x x MU x x

Lợi ích cận biên của hàng hóa 1 và hàng hóa 2 đối với người tiêu dùng tại

1 264 ; 25x x tương ứng là :

1 2(64,25) 60 ; (64,25) 102,4MU MU

Nghĩa là nếu người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hóa 1 thêm một đơn vị (từ 64 lên

65) và giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 2 trong một ngày thì lợi ích tăng thêm khoảng

60 đơn vị. Tương tự, nếu giữ nguyên mức sử dụng hàng hóa 1 và tăng mức sử dụng hàng

hóa 2 thêm một đơn vị (từ 25 lên 26) trong một ngày thì lợi ích tăng thêm khoảng 102,4

đơn vị.

3.2.2. Hệ số co giãn riêng

103 | P a g e

Cho hàm kinh tế 1 2( , ,..., )nw f x x x . Hệ số co giãn của của hàm w theo biến

ix tại điểm

0 0 0

0 1 2, ,...., nM x x x là số đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi ix thay đổi 1%

trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác không đổi, được ký hiệu và xác định như

sau :

0 0 0 01 2

0 0 0

1 2

, ,....,.

, ,....,i

nf ix

i n

f x x x x

x f x x x

Ví dụ 3.27. Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai hàng hóa có liên quan có

dạng 2 2

1 1 2

56300 2

3dQ p p , trong đó

1 2,p p tương ứng là giá của hàng hóa 1, 2. Xác

định hệ số co giãn của cầu theo giá 1p đối với giá của hàng hóa đó tại

1 2( , )p p và xác

định hệ số co giãn của cầu theo giá 1p đối với giá của hàng hóa thứ hai 2p tại 1 2( , )p p .

Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá 1p ,

2p và cho biết ý nghĩa của tại điểm

1 2( , ) (20,30)p p .

Giải

Hệ số co giãn của cầu theo giá 1p đối với giá của hàng hóa đó tại 1 2( , )p p

1

1

11

2 2

1 2

4 .5

6300 23

dQ

p

pp

p p

Hệ số co giãn của cầu theo giá 1p đối với giá của hàng hóa thứ hai 2p tại 1 2( , )p p

1

2

22

2 2

1 2

10.

536300 2

3

dQ

p

pp

p p

Tại điểm (20,30) ta có 1 1

1 20,4 ; 0,75d dQ Q

p p . Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở

mức giá 20 và hàng hóa 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá hàng hóa

2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1

không đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm

0,75%.

3.2.3. Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Xét hàm kinh tế hai biến số ( , )z f x y

+ ( , )z f

x yx x

là hàm cận biên của hàm kinh tế trên theo biến x.

104 | P a g e

+ ( , )z f

x yy y

là hàm cận biên của hàm kinh tế trên theo biến y.

Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng : giá trị z – cận biên của

biến x giảm dần khi x tăng và y không đổi. Tương tự, giá trị z – cận biên của biến y giảm

dần khi y tăng và x không đổi (chú ý : chúng ta xét trong điều kiện giá trị của các biến x, y

đủ lớn).

Cơ sở toán học :

+ ( , )z f

x yx x

là hàm số giảm khi

2 2

2 2( , ) 0

z fx y

x x

+ ( , )z f

x yy y

là hàm số giảm khi

2 2

2 2( , ) 0

z fx y

y y

Ví dụ 3.28. Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas như sau :

( , , 0)Q aK L a

Tìm điều kiện của , để hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

Giải

Hàm sản phẩm cận biên của tư bản 1Qa K L

K

Hàm sản phẩm cận biên của lao động 1Qa K L

L

Biểu hiện của quy luật lợi ích cận biên giảm dần

22

2

21

2

( 1) 01

1( 1) 0

Qa K L

K

Qa K L

L

Vậy điều kiện là 0 1

0 1

Áp dụng cho bài toán cụ thể với hàm sản xuất 1 3

4 420Q K L trong đó K, L, Q là mức sử

dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Hàm này thỏa mãn quy luật

lợi ích cận biên giảm dần.

3.2.4. Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả theo quy mô sản xuất

a) Khái niệm hàm thuần nhất

105 | P a g e

Hàm số ( , )z f x y được gọi là hàm thuần nhất cấp k ( 0)k nếu với 0t ta có

( , ) ( , )kf tx ty t f x y

Ví dụ 3.29. Q aK L là hàm thuần nhất cấp ( ) vì 0t

( , ) ( ) ( ) ( , )Q tK tL a tK tL t aK L t Q K L

Ví dụ 3.30. Hàm 0,5 0,51 4 4

9 9 9Q K K L L là hàm thuần nhất cấp 1.

Ví dụ 3.31. Hàm 2 2

2xyz

x y

là hàm thuần nhất cấp 0.

b) Tính chất

i) Giả sử 1 2( , ,...., )nw f x x x có các đạo hàm riêng liên tục. Khi đó

f là thuần nhất bậc k 1 2

1 2

....... .n

n

f f fx x x k f

x x x

ii) Nếu f là hàm thuần nhất bậc k, g là hàm thuần nhất bậc m thì f.g là hàm thuần nhất bậc

k m , nf là hàm thuấn nhất bậc kn, f

g là hàm thuần nhất bậc k m (nếu k m ).

c) Vấn đề hiệu quả theo quy mô

Xét hàm sản xuất ( , )Q f K L trong đó ,K L là yếu tố đầu vào, Q là yếu tố đầu ra. Bài

toán đặt ra là : Nếu các yếu tố đầu vào ,K L tăng gấp m lần thì đầu ra Q có tăng gấp m lần

hay không ?

+ Nếu ( , ) ( , )Q mK mL mQ K L thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo

quy mô.

+ Nếu ( , ) ( , )Q mK mL mQ K L thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo

quy mô.

+ Nếu ( , ) ( , )Q mK mL mQ K L thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả không đổi

theo quy mô.

d) Liên hệ hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất

Giả sử hàm sản xuất ( , )Q f K L là hàm thuần nhất cấp k.

+ Nếu 1k thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.

+ Nếu 1k thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.

+ Nếu 1k thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.

106 | P a g e

Ví dụ 3.32. Hàm sản xuất 0,5 0,51 4 4

9 9 9Q K K L L là hàm thuần nhất cấp 1 nên nó có

hiệu quả không đổi theo quy mô.

Ví dụ 3.33. Hàm sản xuất Q aK L là hàm thuần nhất cấp ( ) nên

+ Nếu 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.

+ Nếu 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.

+ Nếu 1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.

3.2.5. Phương trình đường bàn quan và đường đồng lượng

- Cho hàm sản xuất ( , , 0)Q aK L a . Giả sử 0 0,K K L L ; sản lượng khi đó

là 0 0 0Q aK L . Phương trình 0 0Q Q aK L Q được gọi là phương trình đường

đồng lượng tại điểm 0 0( , )K L .

- Cho hàm lợi ích ( , , 0)U ax y a . Giả sử 0 0,x x y y ; lợi ích khi đó là

0 0 0U ax y . Phương trình 0 0U U ax y U được gọi là phương trình đường bàng

quan tại điểm 0 0( , )x y . Hệ số góc (hoặc độ dốc) của đường đó tại điểm 0 0( , )x y bằng :

0 0

0 0

0 0

( , )

( , )

( , )

Ux y

dy xx yUdx

x yy

Ví dụ 3.34. Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa như sau :

0,4 0,4( , ) 5U x y x y (x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2 ; 0, 0x y )

Tại điểm 0 0( , ) (32,32)x y viết phương trình đường bàng quan, xác định hệ số góc của

đường đó và nêu ý nghĩa.

Giải

Tại điểm 0 0( , ) (32,32)x y thì 0,4 0,4

0 532 32 80U . Phương trình đường bàng quan tại

điểm 0 0( , )x y : 0,4 0,4

0 16 0U U x y

Hệ số góc của đường bàng quan : '

x

Udy yxy

Udx x

y

Tại điểm 0 0( , )x y : ' 32

132

xy

107 | P a g e

Ý nghĩa : Tại 0 0( , )x y khi tăng số đơn vị hàng hóa 1 lên 1 đơn vị thì phải giảm số đơn vị

hàng hóa 2 xuống 1 đơn vị để lợi ích tiêu dùng không đổi.

3.2.7. Hệ số tăng trưởng

Cho hàm số kinh tế 1 2( , ,..., , )nw f x x x t , trong đó t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng

của f, ký hiệu là f được xác định bởi công thức f

f

t

f

Thông thường f được tính theo tỉ lệ %.

Tính chất

i) Cho ( ) , ( )U U t V V t

+ Nếu .Y U V thì Y U V

+ Nếu U

YV

thì Y U V

+ Nếu Y U V thì Y U V

U V

U V U V

+ Nếu Y U V thì Y U V

U V

U V U V

ii) Cho hàm 1 2( , ,..., )nw f x x x trong đó 1 1 2 2( ), ( ),...., ( )n nx x t x x t x x t .

Khi đó hệ số tăng trưởng của f được tính theo hệ số co giãn riêng của f theo ( )i

f

i xx và

hệ số tăng trưởng của ii xx như sau :

1

.i i

nf

f x x

i

Ví dụ 3.35. Cho hàm sản xuất 1 3

4 420Q K L trong đó K là vốn, L là lao động, Q là sản

lượng. Cho biết vốn và lao động phụ thuộc theo t (tháng) : 1 1

2 ; 34 6

K t L t

a) Xác định hệ số tăng trưởng của vốn và lao động.

b) Xác định hệ số tăng trưởng của sản lượng tại 0 2t

Giải

a) Hệ số tăng trưởng của vốn là

1' 14

1 82

4

K

K

K tt

108 | P a g e

Hệ số tăng trưởng của vốn là

1' 16

1 183

6

L

L

L tt

b) Hệ số tăng trưởng của sản lượng là 1 1 3 1

. . . .4 8 4 18

Q Q

Q K K L Lt t

Tại 0

1 1 3 1 12 : . .

4 8 2 4 18 2 16Qt

3.3 Tối ưu không điều kiện (Cực trị không điều kiện)

3.3.1. Cực trị không có điều kiện ràng buộc

a) Định nghĩa

Cho hàm số 1 2( , , , )nf x x x xác định trên tập nD

1 2( , , , ) : ; , ; 1,2, ,n

n i i i i iD X x x x a x b a b i n

Ta nói hàm số 1 2( , , , )nf x x x đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) tại điểm

1 2( , ,...., )nX x x x D nếu tồn tại một lân cận ( , )S X r D ( 0r đủ nhỏ) sao cho

1 2 1 2 1 2 1 2( , , , ) ( , ,...., ) ( , , , ) ( , ,...., )n n n nf x x x f x x x f x x x f x x x với mọi

1 2( , , , ) ( , )nX x x x S X r , trong đó

2 2 2

1 2 1 2( , ) ( , ,..., ) ....n

n nS X r X x x x X X x x x x x x r

Điểm 1 2( , ,...., )nX x x x mà tại đó hàm số 1 2( , , , )nf x x x đạt cực đại địa phương (cực tiểu

địa phương) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của nó. Điểm cực đại, điểm cực

tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

b) Điều kiện cần để có cực trị

Định lý

Nếu hàm số 1 2( , , , )nf x x x xác định và có các đạo hàm riêng theo tất cả các biến độc lập

trong D và đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm 1 2( , ,...., )nX x x x D thì

1 2( , ,...., ) 0 , 1,2, ,n

i

fx x x i n

x

Đó là điều kiện cần để có cực trị. Điểm 1 2( , ,...., )nX x x x thỏa mãn điều kiện (3.4) được gọi

là điểm dừng của hàm số 1 2( , , , ).nf x x x

109 | P a g e

Từ định lý trên ta thấy rằng hàm số 1 2( , , , )nf x x x chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm

dừng. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần, chưa phải là điều kiện đủ. Điều kiện đủ dưới

đây sẽ giúp ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có cực trị hay không.

c) Điều kiện đủ để có cực trị

Giả sử 1 2( , ,...., )nX x x x là điểm dừng của hàm số 1 2( , , , )nf x x x và tại điểm đó hàm số có

tất cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục.

Đặt 2

1 2( , ,...., ) ( , 1,2, , )ij n

i j

fa x x x i j n

x x

Khi đó ma trận Hess của hàm số 1 2( , , , )nf x x x tại 1 2( , ,...., )nX x x x là ma trận đối xứng,

tức là ( , 1,2, , )ij jia a i j n

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aH

a a a

Ma trận H có n định thức con chính

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 211 12

1 11 2

21 2

1 2 1 2

, , , , ,

k n

k n

k n

k k kk n n nn

a a a a a a

a a a a a aa aD a D D D

a a

a a a a a a

Định lý.

i) Nếu 1 20, 0, , 0nD D D thì 1 2( , ,...., )nX x x x là điểm cực tiểu của hàm số

1 2( , , , ).nf x x x

ii) Nếu 1 20, 0, ,( 1) 0n

nD D D thì 1 2( , ,...., )nX x x x là điểm cực đại của hàm số

1 2( , , , ).nf x x x

iii) Nếu 1 20, 0, , 0nD D D và tồn tại 1,2, ,i n sao cho 0iD hoặc

1 20, 0, ,( 1) 0n

nD D D và tồn tại 1,2, ,i n sao cho 0iD thì chưa thể kết

luận về cực trị địa phương của hàm số 1 2( , , , )nf x x x tại 1 2( , ,...., )nX x x x . Hàm số

1 2( , , , )nf x x x có thể đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại điểm 1 2( , ,...., )nX x x x . Muốn

có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác.

110 | P a g e

iv) Trong các trường hợp khác thì 1 2( , ,...., )nX x x x không phải là điểm cực trị.

Hệ quả

Giả sử hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại 0 0 0( , )M x y và điểm

0 0 0( , )M x y là điểm dừng của hàm số ( , )f x y . Ta đặt

2 2 22

0 0 0 0 0 02 2( , ), ( , ), ( , ), .

A Bf f fA x y B x y C x y AC B

B Cx x y y

Khi đó

i) Nếu 0

0

A

thì 0 0 0( , )M x y là điểm cực tiểu của hàm số ( , )f x y

ii) Nếu 0

0

A

thì 0 0 0( , )M x y là điểm cực đại của hàm số ( , )f x y

iii) Nếu 0 thì 0 0 0( , )M x y không là điểm cực trị của hàm số ( , )f x y

iv) Nếu 0 thì chưa có kết luận.

Ví dụ 3.36. Tìm cực trị của hàm số 3 3( , ) 3f x y x y xy

Giải

Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của ( , )f x y

2 2

2 2 2

2 2

3 3 , 3 3

6 , 3, 6 .

f fx y y x

x y

f f fx y

x x y y

Điểm dừng của hàm số ( , )f x y là nghiệm của hệ phương trình

2

2

03 3 0 0 1

0 13 3 00

f

x y x xx

f y yy x

y

Ta được hai điểm dừng 0 1(0,0), (1,1)M M

+ Tại 0 (0,0)M , ta có

20, 3, 0 9 0.A B C AC B Vậy hàm số ( , )f x y không đạt cực trị tại

0(0,0).M

+ Tại 1(1,1)M , ta có

111 | P a g e

26, 3, 6 27 0.A B C AC B Vậy hàm số ( , )f x y đạt cực tiểu tại

1(1,1)M và (1,1) 1.CTf f

Ví dụ 3.37. Tìm cực trị của hàm số 3 2 2( , , ) 2 2 3 1.f x y z x xy y xz z y

Giải

Điểm dừng của hàm số ( , , )f x y z là nghiệm của hệ phương trình

23 2 0

2 3 0

2 4 0

fx y z

x

fx y

y

fx z

z

Giải hệ phương trình trên ta có hai điểm dừng 1 2

1 1 5 1(1, 2, ), ( , , ).

2 2 4 4M M

Các đạo hàm

riêng cấp 2 của hàm số ( , , )f x y z

2 2 2

2

2 2 2

2 2

6 , 1, 2

2, 0, 4

f f fx

x x y x z

f f f

y y z z

+ Tại 1

1(1, 2, )

2M

Ma trận Hess của hàm số ( , , )f x y z là

6 1 2

1 2 0

2 0 4

H

1 2 3

6 1 26 1

6 0, 11 0, 1 2 0 36 01 2

2 0 4

D D D

Suy ra ( , , )f x y z đạt cực tiểu tại 1

1(1, 2, )

2M và

1 91, 2,

2 2CTf f

+ Tại 2

1 5 1( , , )

2 4 4M

112 | P a g e

Ma trận Hess của hàm số ( , , )f x y z là

3 1 2

1 2 0

2 0 4

H

1 2 3

3 1 23 1

3 0, 7 0, 1 2 0 36 01 2

2 0 4

D D D

Suy ra ( , , )f x y z không đạt cực trị tại 2

1 5 1( , , ).

2 4 4M

3.3.2. Cực trị không điều kiện của hàm kinh tế nhiều biến số

Ví dụ 3.38. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu về 2 loại

sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian là

1 2 1 21 2

1230 5 1350 3,

14 14

P P P PQ Q

và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời

gian là 2 2

1 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q QQ Q . Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

Giải

Giả sử 1 2,Q Q là sản lượng của sản phẩm thứ nhất và thứ hai của xí nghiệp. Để bán hết số

sản phẩn trên xí nghiệp phải bán với giá 1 2,P P sao cho:

1 2 1 1 1 2

1 2 2 2 1 2

5 1230 14 360 3

3 14 1350 570 5

P P Q P Q Q

P P Q P Q Q

Doanh thu:

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

(360 3 ) (570 5 )

3 5 2 360 570

R PQ P Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

Lợi nhuận:

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 2

1 2 1 2 1 2

( 3 5 2 360 570 ) ( )

4 6 3 360 570

R C Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q

Điểm dừng là nghiệm của hệ phương trình

1 1 2 1

1 2 2

2

08 3 360 0 30

3 12 570 0 400

Q Q Q Q

Q Q Q

Q

điểm dừng (30,40)M

113 | P a g e

Ta có:

2 2 2

2 2

1 1 2 2

8 ; 3 ; 12 8; 3; 12A B CQ Q Q Q

2 2( 8).( 12) ( 3) 87 0

8 0

AC B

A

Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại 1 2, (30,40)Q Q

Ví dụ 3.39. Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là

R C PQ wL rK

trong đó là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương cho

một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản phẩm. Giả sử Q là

hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng 1 / 3 1 / 3Q L K . Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối

đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3. Khi đó ta có hàm hai biến với các đạo hàm riêng

1/3 1/3

2/3 1/3 1/3 2/3

2 2 25/3 1/3 2/3 2/3 1/3 5/3

2 2

3 0,02

1 , 0,02

2 1 2, ,

3 3 3

L K L K

L K L KL K

L K L K L KL KL K

Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ ' '0, 0L K ta được L = 50, K = 2500. Xét các đạo hàm

riêng cấp hai tại điểm dừng 0 0( , ) (50,2500)L K ta có

1 1 1 10 , , , 0

75 7500 187500 18750000

A BA B C

B C

Vậy lợi nhuận đạt tối đa khi L = 50, K = 2500 với max 50 .

3.4 Tối ưu có điều kiện và nhân tử Lagrange

3.4.1 Cực trị có điều kiện ràng buộc

a) Cực trị có điều kiện ràng buộc với hai biến chọn và một phương trình ràng buộc.

Trong 3.3.1 ta đã xét bài toán tìm cực trị của hàm ( , )z f x y trong đó các biến số ,x y

không có điều kiện ràng buộc. Ta gọi đó là cực trị tự do hay cực trị không điều kiện. Ở

mục này ta sẽ xét bài toán tìm cực trị của hàm 2 biến ( , )z f x y khi ,x y bị ràng buộc

với nhau với một điều kiện nào đó.

Định nghĩa. Cho hàm số ( , ) , ( , )z f x y x y xác định trên tập

114 | P a g e

2 2( , ) : , ; , , , .D M x y a x b c y d a b c d

Ta nói hàm số ( , )z f x y đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) tại điểm

0 0 0( , )M x y với điều kiện ( , ) 0x y nếu tồn tại lân cận 0( , )S M r D ( 0r đủ nhỏ)

sao cho 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y f x y f x y f x y với mọi điểm 0( , ) ( , )M x y S M r và

( ) ( , ) 0.M x y

Thông thường phương trình ( , ) 0x y cho ta một đường cong ( )C nào đó. Như vậy ta

chỉ so sánh0 0( , )f x y với ( , )f x y khi điểm ( , )M x y nằm trên ( )C mà thôi.

Điều kiện cần để có cực trị

Định lý.

Giả sử 0 0 0( , )M x y là điểm cực trị của hàm số ( , )z f x y với điều kiện ( , ) 0x y trong

đó ( , ), ( , )f x y x y là các hàm số có đạo hàm riêng liên tục trong một lân cận của điểm

0 0 0( , )M x y và 0 0( , ) 0.x y

y

Khi đó tồn tại sao cho

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

fx y x y

x x

fx y x y

y y

x y

Số được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số ( , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y được gọi là hàm

số Lagrange.

Như vậy, hệ phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng

0 0

0 0

0 0

( , ) 0

( , ) 0

( , ) 0

Lx y

x

Lx y

y

Lx y

Điều kiện đủ để có cực trị

Giả sử 0 0( , , )x y là điểm dừng của hàm số Lagrange ( , )L x y , tức là một nghiệm của hệ

phương trình (3.6) với giả thiết các hàm số ( , ), ( , )f x y x y có đạo hàm riêng cấp 2 liên

115 | P a g e

tục tại điểm 0 0 0( , )M x y . Khi đó, hàm số ( , )L x y cũng có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

tại điểm 0 0 0( , )M x y . Ta xét định thức

1 2

1 11 12

2 21 22

0

D L L

L L

Trong đó:

1 0 0 2 0 0

2 2 2

11 0 0 12 0 0 0 0 212

2

22 0 02

( , ) , ( , )

( , , ) , ( , , ) ( , , )

( , , )

x y x yx y

L L LL x y L x y x y L

x x y y x

LL x y

y

Định lý 3.9

Nếu 0D thì điểm 0 0 0( , )M x y là điểm cực đại có điều kiện của hàm số ( , ).f x y

Nếu 0D thì điểm 0 0 0( , )M x y là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số ( , ).f x y

Nếu 0D thì chưa có kết luận gì về điểm 0 0 0( , )M x y đang xét.

Ví dụ 3.40. Tìm cực trị của hàm số ( , ) 6 4 3f x y x y với điều kiện 2 2 1.x y

Giải

Hàm Lagrange 2 2( , ) 6 4 3 ( 1).L x y x y x y

Giải hệ

1 2

1 2

2 21 2

4 42 4 0

5 5

3 32 3 0

5 5

5 51 0

2 2

Lx x x

x

Ly y y

y

Lx y

Ta tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số 2 2( , ) 1x y x y và các đạo hàm riêng

cấp 2 của ( , )L x y

116 | P a g e

2 2 2 2

11 12 21 222 2

1 2

2 2 2 2

2 , 0 , 2 ,

2 , 2

0 2 2

2 2 0 8 8 8 ( ).

2 0 2

L L L LL L L L

x x y y x y

x yx y

x y

D x y x x y

y

+ Tại 1

4 3( , )5 5

M và 1

5

2 thì 20 0D nên 1

4 3( , )5 5

M là điểm cực tiểu và

4 3, 1

5 5CTf f

+ Tại 2

4 3( , )

5 5M

và 2

5

2

thì 20 0D nên 2

4 3( , )

5 5M

là điểm cực đại và

4 3, 11

5 5CDf f

b) Cực trị có điều kiện ràng buộc với n biến chọn và một phương trình

ràng buộc

Định nghĩa

Cho hàm số 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )n nf x x x x x x xác định trên tập

1 2( , , , ) : ; , ; 1,2, ,n

n i i i i iD X x x x a x b a b i n

Ta nói hàm số 1 2( , , , )nf x x x đạt cực đại địa phương (cực tiểu địa phương) tại điểm

1 2( , ,...., )nX x x x D với điều kiện 1 2( , , , ) 0nx x x nếu tồn tại lân cận ( , )S X r D

( 0r đủ nhỏ) sao cho 1 2 1 2( , , , ) ( , ,...., )n nf x x x f x x x

1 2 1 2( , , , ) ( , ,...., )n nf x x x f x x x với mọi điểm 1 2( , ,..., ) ( , )nX x x x S X r và

1 2( ) ( , , , ) 0nX x x x

Điều kiện cần để có cực trị

Định lý

Giả sử 1 2( , ,...., )nX x x x là điểm cực trị của hàm số 1 2( , , , )nf x x x với điều kiện

1 2( , , , ) 0nx x x trong đó 1 2 1 2( , ,..., ) , ( , ,..., )n nf x x x x x x là các hàm số có đạo hàm riêng

117 | P a g e

liên tục trong một lân cận của điểm 1 2( , ,...., )nX x x x và tại X có ít nhất một trong các đạo

hàm riêng của 1 2( , , , )nx x x khác 0. Khi đó tồn tại sao cho

1 2 1 2

1 2

( , ,...., ) ( , ,...., ) 0

( 1,2, , )

( , ,...., ) 0

n n

i i

n

fx x x x x x

x x

i n

x x x

Số được gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số

1 2 1 2 1 2( , , , , ) ( , , , ) ( , , , )n n nL x x x f x x x x x x được gọi là hàm số Lagrange. Như

vậy, hệ phương trình trên có thể được viết lại

1 2

1 2

( , ,...., ) 0 ; 1,2, ,

( , ,...., ) 0

n

i

n

Lx x x i n

x

Lx x x

Điều kiện đủ để có cực trị

Giả sử 1 2( , ,...., , )nx x x là điểm dừng của hàm số

1 2( , , , , )nL x x x , tức là một nghiệm của hệ

trên với giả thiết các hàm số 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )n nf x x x x x x có các đạo hàm riêng cấp 2 liên

tục tại điểm 1 2( , ,...., )nX x x x . Khi đó hàm số 1 2( , , , , )nL x x x

cũng có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại điểm 1 2( , ,...., )nX x x x .

Ta lập ma trận

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0 n

n

n

n n n nn

L L L

H L L L

L L L

Trong đó

1 2

2

1 2

( , ,...., ) ; 1, 2, ,

( , ,...., , ) ; , 1, 2, ,

k n

k

ij n

i j

x x x k nx

LL x x x i j n

x x

Ta xét các định thức

118 | P a g e

1 2

1 11 12 1

2 21 22 2

1 2

0

( 2,3, , )

k

k

k k

k k k kk

L L L

D L L L k n

L L L

Định lý

Nếu 2 30, 0, ,( 1) 0n

nD D D thì 1 2( , ,...., )nX x x x là điểm cực đại có điều kiện của

hàm số 1 2( , , , )nf x x x

Nếu 2 30, 0, , 0nD D D thì 1 2( , ,...., )nX x x x là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm số

1 2( , , , )nf x x x

3.4.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập đóng, bị chặn

Cho D là tập đóng, bị chặn trong n có biên D cho bởi phương trình 1 2( , x ,..., x ) 0nx .

Giả sử 1 2( , x ,..., x )nf x là hàm số liên tục trên D. Sau đây là quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất của 1 2( , x ,..., x )nf x trên D.

- Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị của 1 2( , x ,..., x )nf x với điều kiện 1 2( , x ,..., x ) 0nx

- Tìm các điểm dừng của 1 2( , x ,..., x )nf x thuộc D.

Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của 1 2( , x ,..., x )nf x trên D là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong

các giá trị của hàm tại các điểm tìm được ở trên.

Ví dụ 3.41. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm 2 2( , ) x 2f x y y x trong miền

2 2: x 1D y

Giải

Ta có 2 1 ; 4f f

x yx y

. Do đó ( , )f x y có điểm dừng duy nhất là

1

2

0

x

y

điểm này

thuộc D.

Đặt 2 2 2 2( , ) x 2 (x 1)L x y y x y

Giải hệ

2 2

2 1 2 0

4 2 0

x 1 0

x

y

z

L x x

L y y

L y

119 | P a g e

Ta có các điểm nghi ngờ là 1 3 1 3

1,0 , 1,0 , , , ,2 2 2 2

Tính giá trị của ( , )f x y tại các điểm này ta có

1 1 1 3 9min ,0 ; max ,

2 4 2 2 4D Df f f f

3.4.4 Ứng dụng cực trị có điều kiện đối với các hàm kinh tế

3.4.4.1. Tối đa hóa hàm lợi ích

Ví dụ 3.42. Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa 0,4 0,6( , )U x y x y (x là số

đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2 ; 0, 0x y ). Giả sử giá các mặt hàng

tương ứng là 2USD, 3USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là 130USD. Hãy xác

định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa.

Giải

+ Bước 1 : Tìm cực đại hàm số U với điều kiện 2 3 130x y

+ Bước 2 : Lập hàm số Lagrange 0,4 0,6( , , ) (2 3 130)L x y x y x y

+ Bước 3 : Giải hệ phương trình

0,6 0,6

0,4 0,4

05 26

0 5 26

2 3 130 1

0 5

L

x x y xL

x y yy

x yL

; điểm dừng 1

26,26,5

M

+ Bước 4 : Kiểm tra điều kiện đủ

1 2

21,6 0,6 1

112

20,4 1,4 1

222

2 20,6 0,4 1

21 12

2 ; 3

0,24 0,24.26 0

0,24 0,24.26 0

0,24 0,24.26 0

x y

Lx y L

x

Lx y L

y

L Lx y L L

x y y x

120 | P a g e

Vì định thức 11 12

21 22

0 2 3

2 0

3

D L L

L L

nên M là điểm cực đại của hàm số.

+ Bước 5 : Kết luận

Người tiêu dùng cần mua các mặt hàng với số lượng tương ứng là 40 và 60 để thu được

lợi ích tối đa là (26,26) 26U

Ví dụ 3.43. Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo

trên đài phát thanh (x phút) và trên đài truyền hình (y phút). Hàm doanh thu

2 2320 2 3 5 540 2000R x x xy y y

Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là

4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là 180B triệu đồng.

a) Tìm x, y để cực đại doanh thu.

b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại tăng lên bao

nhiêu ?

Giải

a) + Bước 1 : bài toán đưa về tìm cực trị có điều kiện của hàm số

2 2( , ) 320 2 3 5 540 2000R x y x x xy y y với 4 180x y

+ Bước 2 : xét hàm Lagrange

2 2( , , ) 320 2 3 5 540 2000 ( 4 180)L x y x x xy y y x y

Tính các đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2 của hàm L

2 2 2 2

2 2

320 4 3 ; 540 3 10 ; 4 180

4 ; 10 ; 3

L L Lx y x y x y

x y

L L L L

x y x y y x

+ Bước 3 : Giải hệ phương trình

0

4 3 320 52

0 3 10 4 540 32

4 180 16

0

L

x x y xL

x y yy

x yL

; điểm dừng 52,32, 16M

+ Bước 4 : Kiểm tra điều kiện đủ

121 | P a g e

1 2

11 22 12 21

1 ; 4

4 ; 10 ; 3

x y

L L L L

Vì định thức

0 1 4

1 4 3 0

1 3 10

D

nên M là điểm cực đại của hàm số.

Vậy doanh thu cực đại tại (52,32) .

b) Gọi maxR là doanh thu đạt giá trị cực đại. Khi đó max 16R

B

Vậy khi tăng ngân sách chi cho quảng cáo lên 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại tăng lên

16 triệu đồng.

3.4.4.2. Bài toán tối đa hóa lợi ích

Giả sử 1 2,P P là giá của các mặt hàng ,x y mà một người tiêu dùng cần mua với tổng số

tiền là .m Giả sử ( , )u x y là lợi ích khi sử dụng hai mặt hàng này. Bài toán tối đa hóa lợi

ích có nội dung như sau:

Chọn ( , )x y để hàm lợi ích ( , )u x y đạt cực đại với điều kiện 1 2Px P y m

Ta sẽ xem xét bài toán tối đa hóa lợi ích với giả thiết rằng hàm lợi ích có các đạo hàm

riêng cấp 1 và cấp 2 liên tục trong miền ( , ) : 0, 0 .x y x y Để cho gọn, ta ký hiệu các

đạo hàm riêng như sau:

1 2

2 2 2 2

11 12 21 222 2

,

, ,

u uu u

x y

u u u uu u u u

x x y y x y

Lập hàm Lagrange 1 2( , , ) ( , )L x y u x y Px P y m

Điều kiện cần để ( , )x y cho lợi ích tối đa là:

1 1 1 2

1 22 2

1 21 2

0

0

0

x

y

z

L u P u u

P PL u P

Px P y mL Px P y m

(3.9)

122 | P a g e

Gọi 0 0( , )x y là nghiệm của hệ phương trình (3.9), giá trị tương ứng của nhân tử Lagrange

được xác định theo công thức

1 0 0 2 0 0

1 2

( , ) ( , )u x y u x y

P P

Để xét điều kiện đủ (đối với điểm dừng của hàm số Lagrange) ta tính các đạo hàm riêng

của hàm số

1 2( , )x y Px P y và các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số ( , , )L x y .

Ta có

1 0 0 1 2 0 0 2

2 2

11 0 0 0 0 112 2

2 2

12 0 0 0 0 12

2 2

21 0 0 0 0 21

2 2

22 0 0 0 0 222 2

( , ) , ( , )

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

( , , ) ( , )

x y P x y Px y

L uL x y x y u

x x

L uL x y x y u

x y x y

L uL x y x y u

y x y x

L uL x y x y u

y y

Ta lập ma trận

1 2 1 2

1 11 12 1 11 12

2 21 22 2 21 22

0 0 P P

H L L P u u

L L P u u

Điều kiện đủ để hàm lợi ích đạt cực đại là

2 2

1 2 12 1 22 2 11det 2 0.D H PP u P u P u

3.4.4.3. Bài toán tối thiểu hóa chi phí

Khi quyết định mua sắm hàng hóa và dịch vụ, không phải người tiêu dùng nào cũng sử

dụng toàn bộ thu nhập để hưởng lợi ích tối đa. Một xu hướng lựa chọn khác là người ta

đặt ra một mức lợi ích 0u nhất định và thực hiện lợi ích đó với chi phí nhỏ nhất. Bài toán

về sự lựa chọn của người tiêu dùng trong trường hợp này được đặt ra như sau:

123 | P a g e

Chọn ( , )x y để chi phí tiêu dùng 1 2Px P y C đạt giá trị cực tiểu với điều kiện

0( , ) .u x y u Bài toán này được gọi là bài toán tối thiểu hóa chi phí người tiêu dùng.

Lập hàm Lagrange 1 2 0( , , ) ( , )L x y Px P y u x y u

Điều kiện trong trường hợp này là

1 1

1 2

1 22 2

0

0

0

1

0 (3.10)

( , )

( , ) 0

LP u

x u uL

P PP uy

u x y uL

u x y u

Gọi 0 0( , )x y là nghiệm của hệ phương trình (3.10), giá trị tương ứng của nhân tử

Lagrange được tính theo công thức

1 2

1 0 0 2 0 0( , ) ( , )

P P

u x y u x y

Điều kiện đủ để hàm chi phí 1 2C Px P y với điều kiện

0( , )u x y u đạt giá trị cực tiểu

tại điểm 0 0( , , )x y là

1 2

2 2

1 11 12 1 2 12 1 2 21 2 11 1 22

2 21 22

0

( ) 0

u u

D u u u u u u u u u u u u u

u u u

124 | P a g e

CHƯƠNG 4. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

4.1 Nguyên hàm, tích phân

4.1.1. Định nghĩa

Cho hàm số ( )f x xác định trên khoảng ( , )a b . Ta gọi ( )F x là một nguyên hàm

của ( )f x trên ( , )a b nếu '( ) ( ) , ( , )F x f x x a b .

Định lý 4.1. Nếu trên khoảng ( , )a b nào đó, ( )f x có một nguyên hàm ( )F x thì nó có vô

số nguyên hàm khác và tất cả những nguyên hàm này chỉ sai khác nhau một hằng số

cộng.

Thật vậy, nếu ( )F x là nguyên hàm của ( )f x thì ( )F x C (với C là hằng số tùy

ý) cũng là nguyên hàm của ( )f x vì '( ) ( ) ' ( )F x F x C f x

Ngược lại, nếu 1 2( ), ( )F x F x đều là nguyên hàm của ( )f x thì

1 2' ( ) ' ( ) ( )F x F x f x

Từ đó 1 2( ) ( ) ' 0F x F x hay

1 2( ) ( )F x F x C (với C là hằng số tùy ý) trên khoảng

( , )a b , tức là 1 2( ) ( ) , ( , )F x F x C x a b .

Ta ký hiệu tập hợp tất cả các nguyên hàm của ( )f x là ( )f x dx và gọi nó là tích

phân bất định của ( )f x . Hàm số ( )f x đuộc gọi là hàm số dưới dấu tich phân.

Như vậy, nguyên hàm và tích phân bất định là 2 thuật ngữ chỉ cùng một nội dung

và ta có,

'( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x dx F x C

Đặc biệt, do [ ( )]' ( )f x f x nên '( ) ( )f x dx f x C

Ví dụ 4.1

a) vì (sin ) ' cosx x nên cos sinxdx x C

b) vì 2( ) ' 2x x nên 22xdx x C

c) Vì 2

1arctan '

1x

x

nên 2

1arctan

1dx x C

x

125 | P a g e

4.1.2 Các công thức tính tích phân cơ bản

1

2 2

22

'

2 2

1

, 1 ln1

ln

sin cos cos sin

cotcos sin

arcsin11

1, 0 ln

sin cos

x

x x x

a

x dxx dx C x C

x

aa dx C e dx e C

a

xdx x C xdx x C

dx dxtgx C gx C

x x

dx dxx C arctgx C

xx

f xdx xarctg C a dx f x C

a x a a f x

axdx

1

1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2

2 2

, 0 cos sin , 0

1, 0 ln , 0

2

ln , 0

ln , 0

1arcsin , 0

2 2

1ln

2 2

1

2

a

ax ax

a

ax c a axdx ax c a

dx a xe dx e c a C a

a x a a x

dxx x a C a

x a

dxx x a C a

x a

a xa x dx x a x C a

a

ax a dx x x a x x a C

x a dx

2

2 2 2 2ln2

ax x a x x a C

Ví dụ 4.2 Tính các tích phân sau đây

3

3 2 4 3 21 1 2

)4 3 3

a x x x dx x x x C

2 2 2

2

2

2 2

2 1 2 1)

1 1 1

( 1) ' 1 ln 1

1 1

x xc dx dx dx

x x x

xdx dx x arctgx C

x x

126 | P a g e

( 1 )) 1

1 1 1

ln 11

x x x

x x x

x

x

x

dx e e ed dx dx

e e e

edx dx x e C

e

4.2 Các tính chất

4.2.1. Tính chất

Nếu ( ),f x g x là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng ( , )a b thì các hàm

, f g x cf x c cũng có nguyên hàm và

i f x g x dx f x dx g x dx

ii cf x dx c f x dx

';

'

iii f x dx f x C d f x dx f x

iv dF x dx F x dx F x C

4.2.2. Các phương pháp tính tích phân

4.2.2.1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 4.2.

Nếu ( ) ( )f x dx F x C thì ( ) '( ) ( )f t t dt F t C , với ( )t là hàm số có đạo

hàm liên tục.

Phương pháp đổi biến số được sử dụng ở 2 dạng sau đây:

a) Giả sử ta đã biết nguyên hàm của ( )f x

( ) ( )f x dx F x C

và ta cần tính ( )g x dx . Giả sử tích phân này có thể biểu diển dưới dạng

( ) ( ) '( )g x dx f x x dx

khi đó, theo định lý 2 ta được

( ) ( )g x dx F x C

127 | P a g e

Nói cách khác, khi có ( ) ( ) '( )g x dx f x x dx và muốn tính ( )g x dx thì ta đặt

( )u x suy ra '( )du x dx . Do đó, ta có ( ) ( ) ( )g x dx f u du F u C

Thay ( )u x ta được kết quả cần tìm ( ) ( )g x dx F x C

b) Khi đặt ( )x t với ( )t là hàm số có đạo hàm liên tục và có hàm ngược ( )t x , ta

có thể biểu diễn tích phân dưới dạng

( ) ( ) '( )f x dx f t t dt

Nếu nguyên hàm của ( ) '( )f t t là ( )G t thì

( ) ( ) ( )f x dx G t C G x C

Ví dụ 4.3.

a) Tính 3sin cosI x xdx

vì sin cosd x xdx nên ta đặt sin cosu x du xdx

khi đó 4 4

3 sin

4 4

u xI u du C C

b) Tính 31

dxK

x x

đặt 6x t thì 3 23,x t x t và 56dx t dt

khi đó 2

6 6

2 2

66 6( ) 6

1 1

t dtK dt dt t arctgt C x arctg x C

t t

4.2.2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lý 4.3.

Cho ( ), ( )u x v x là hai hàm số có đạo hàm '( ), '( )u x v x liên tục trên khoảng ( , )a b và

'( ). ( )u x v x có nguyên hàm. Khi đó, ( ). '( )u x v x cũng có nguyên hàm và

( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( )u x v x dx u x v x u x v x dx

Vì '( ) , '( )du u x dx dv v x dx nên (2.3) thường được viết dưới dạng

128 | P a g e

udv uv vdu

Công thức trên được gọi là công thức tích phân từng phần. Nó được sử dụng khi tích

phân ở vế trái khó lấy tích phân nhưng ở vế phải dễ lấy tích phân.

Ví dụ 4.4.

a) Tính I arctgxdx

đặt 21

dxu arctgx du

x

, dv dx v x

suy ra 2

2

1ln 1

1 2

xI xarctgx dx xarctgx x C

x

b) Tính cosI x xdx

đặt u x du dx , cos sindv xdx v x

suy ra sin sin sin cosI x x xdx x x x C

c) Tính lnI x xdx

đặt lndx

u x dux

, 21

2dv xdx v x

suy ra 2 2 21 1 1ln ln

2 2 2 4

xI x x dx x x x C

Nhận xét

Các tích phân dạng ln , sin , cos ,k k k k axx xdx x axdx x axdx x e dx có thể tính được nhờ

tích phân từng phần nhiều lần, do đó các tích phân dạng ( )lnP x xdx ,

( )sin , ( )cos , ( ) axP x axdx P x axdx P x e dx ,… trong đó ( )P x là đa thức, có thể tính

được nhờ tích phân từng phần.

4.3. Tích phân của hàm mũ exp

Một số công thức tích phân cho hàm số mũ exp

129 | P a g e

) )ln

xx x x a

i e dx e C ii a dx Ca

Ví dụ. Tính tích phân sau 3 2x xe dx

Ta có: 2

3 2 3 2 3ln 2

xx x x x xe dx e dx dx e C

Ví dụ 4.5. Tính tích phân sau:

a) 2xe dx

a) 4 2xe dx

Giải.

a) Ta có: 2 2 2 2 2. 'x x x x xe dx e e dx e e dx e e C e C

b) Ta có:

4 4 24 2 4 2 2 4 2

4. '

4ln

xx

xx x

e ee dx e e dx e e dx e C C

e

Tổng quát ta có công thức sau:

1 1) )

ln

ax b ax b cx d cx diii e dx e C iv a dx a Ca c a

Một vài trường hợp đặc biệt:

a) 'x xe f x f x dx e f x C

b)

2 2

cos sincos

ax

axe a bx c b bx c

e bx c dx Ca b

c) Tích phân dạng: x x

x x

ae bedx

ce de

ta cố gắng thêm bớt để đưa về dạng sau:

ln

x xx xx x

x x x x

d ce deae bedx dx x ce de C

ce de ce de

Ví dụ 4.6. Tính các tích phân sau:

) cos sin sinx xa e x x dx e x C

130 | P a g e

a 1x 2x kx 1kx

A

B

O x

y

2 2

2

2 2

2cos 5 3 5sin 5 3 2cos 5 3 5sin 5 3) cos 5 3

2 5 29

x x

xe x x e x x

b e x dx C C

c) Tính tích phân. 2 3

5

x x

x x

e edx

e e

Ta viết: 7 /10

2 3 5 513 /10

x x x x x xe e e e e e

Vậy: 2 3 7 13

ln 55 10 10

x xx x

x x

e e xdx e e C

e e

4.4. Diện tích dưới một đường

4.4.1. Khái niệm tích phân xác định

4.4.1.1. Bài toán diện tích hình thang cong

Để minh họa cho khái niệm tích xác định, trước hết ta xét một bài toán hình học:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn phía trên bởi đường cong liên tục ( )y f x , phía dưới

là trục Ox và 2 bên là 2 đường thẳng ,x a x b . Ta gọi hình phẳng loại này là hình

thang cong.

Để tính diện tích hình thang cong aABb , ta chia đoạn [ , ]a b một cách tùy ý thành n

đoạn nhỏ bởi các điểm chia:

( )kf

x O

y

kx k 1kx

131 | P a g e

0 1 2 1.... ....

k k na x x x x x x b

Qua các điểm chia đó ta kẻ các đoạn thẳng song song với Oy. Như vậy, ta đã chia hình

thang cong aABb thành n hình thang cong nhỏ với đáy là 1,

k kx x

Vì hàm số ( )f x liên tục trên [ , ]a b nên giá trị của ( )f x trên từng đoạn nhỏ 1,

k kx x

khác nhau rất ít khi độ dài của đoạn thẳng này là 1k k k

x x x

đủ bé. Do đó, ta có thể

coi giá trị của ( )f x trên 1,

k kx x

bằng giá trị của ( )f x tại một điểm

k nào đó thuộc

1,

k kx x

với sai số càng bé khi

kx càng nhỏ. Về mặt hình học, điều này có nghĩa là ta

thay hình thang cong nhỏ bởi hình chữ nhật có đáy 1,

k kx x

và chiều cao k

f .

Khi đó, diện tích hình thang cong nhỏ gần bằng 1. .

k k k k kf x x f x

Diện tích cả hình thang cong aABb : 1

0

.n

k k

k

S f x

Sai số của 1

0

.n

k k

k

S f x

tiến về 0 khi tất cả các độ dài 0k

x .

Nếu đặt 0 1max

kk n

d x

thì diện tích của hình thang cong aABb được định nghĩa là:

1

00

lim .n

k kd

k

S f x

Trong toán học, giới hạn trên được gọi là tích phân xác định của hàm số ( )f x trên

đoạn [ , ]a b .

4.4.1.2. Định nghĩa tích phân xác định

Bài toán diện tích hình thang cong là một trong các bài toán cơ bản dẫn đến khái

niệm tích phân xác định. Trong bài toán diện tích hình thang cong, ( )f x là hàm số liên

tục và không âm trên [ , ]a b . Bây giờ, ta sẽ đề cập đến khái niệm tích phân xác định của

hàm số ( )f x bất kỳ, xác định trên [ , ]a b .

Cho hàm số ( )f x xác định trên [ , ]a b . Chia [ , ]a b một cách tùy ý thành n đoạn

nhỏ bởi các điểm chia 0 1 2 1

.... ....k k n

a x x x x x x b

.

132 | P a g e

Đặt 0 1max

kk n

d x

, với 1k k k

x x x

0,1,...., 1k n

Trên mỗi đoạn nhỏ 1,

k kx x

, lấy điểm tùy ý

kx và lập tổng

1

0

.n

k k

k

f x

. Nếu

tồn tại giới hạn 1

0 00

lim lim .n

k kd d

k

I f x

và giới hạn đó không phụ thuộc vào cách

chia đoạn [ , ]a b và cách chọn điểm k thì hàm số ( )f x được gọi là hàm khả tích trên

[ , ]a b và số I được gọi là tích phân xác định của hàm số ( )f x trên [ , ]a b , ký hiệu

( )

b

a

I f x dx .

Các số ,a b tương ứng là cận dưới, cận trên của tích phân. Tổng được gọi là tổng tích

phân của hàm số ( )f x .

Ví dụ 4.7. Tính ( )

b

a

f x dx với ( )f x c (với c là hằng số)

Với mọi cách chia đoạn [ , ]a b và mọi cách chọn các điểm 1,

k k kx x

, ta có:

1 1

0 0

. . .( )n n

k k k

k k

f x c c b a

theo định nghĩa tích phân, ta có 0 0

lim lim .( ) .( )d d

c b a c b a

0 1max

kk n

d x

Vậy ( ) .( )

b b

a a

f x dx cdx c b a

Lưu ý

1) Tích phân xác định của hàm số ( )f x khả tích trên [ , ]a b là một số xác định (trong khi

tích phân bất định của ( )f x là hàm số của biến số x. Do đó, tích phân xác định ( )

b

a

f x dx

chỉ phụ thuộc các cận ,a b và hàm số lấy tích phân ( )f x mà không phụ thuộc biến số tích

phân, tức là ( ) ( ) ( ) ....

b b b

a a a

f x dx f t dt f u du

133 | P a g e

2) Khi định nghĩa tích phân xác định, ta xét hàm số ( )f x trên [ , ]a b , tức là ta đã giả thiết

a b . Trường hợp và a b a b , khái niệm tích phân được hiểu theo quy ước sau đây:

( ) 0

( ) ( )

a

a

b a

a b

f x dx

f x dx f x dx a b

4.4.1.3. Điều kiện khả tích

Định lý 4.4. Nếu hàm số ( )f x khả tích trên [ , ]a b thì nó bị chặn trên đoạn đó.

Định lý 4.5. Nếu hàm số ( )f x xác định trên [ , ]a b , ( )f x khả tích trên [ , ]a b nếu nó thỏa

mãn một trong các điều kiện dưới đây:

( )f x liên tục trên [ , ]a b ;

( )f x đơn điệu và bị chặn trên [ , ]a b ;

( )f x bị chặn và chỉ có hữu hạn điểm gián điểm trên [ , ]a b .

Chú ý. Khi hàm số ( )f x đã khả tích trên [ , ]a b thì giới hạn tổng Riemann không phụ

thuộc cách chia đoạn [ , ]a b và cách chọn điểm k . Ta có thể chia đều đoạn [ , ]a b và chọn

k là đầu mút trái, đầu mút phải hoặc là trung điểm của đoạn 1

,k k

x x

.

Ví dụ 4.8. Tính

1

0

xdx

Vì ( )f x x liên tục trên [0,1] nên ( )f x liên tục trên [0,1] .

để tính

1

0

xdx ta chia đoạn [0,1] ra thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài bằng

1

n. Trên mỗi đoạn 1

,k k

x x ta chọn 1

0,1,..., 1k k

x k n

.

Khi đó, 0 1 2

1 20 , , ,...., 1

n

nx x x x

n n n

1

1 1, , 0,1,..., 1

k k k

kf f x x k n

n n

134 | P a g e

1 1

0 0

1 1 1 1 2 1. . . ....

2

n n

n k k

k k

k n nS f x

n n n n n n n

Theo định nghĩa, ta có

1

0

1 1lim lim

2 2n

n n

nxdx S

n

4.4.1.4. Tính chất của tích phân xác định

Giả sử các hàm số ( ), ( )f x g x khả tích trên [ , ]a b . Khi đó, ta có các tính chất sau đây:

1) ( ) ( )

b b

a a

cf x dx c f x dx (c là hằng số)

2) ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

3) ( ) ( ) ( ) , [ , ]

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx c a b

4) Nếu ( ) 0 ( ) 0 [ , ]f x f x x a b thì ( ) 0 ( ) 0

b b

a a

f x dx f x dx

5) Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ]f x g x f x g x x a b thì

( ) ( ) ( ) ( )

b b b b

a a a a

f x dx g x dx f x dx g x dx

6) ( ) ( ) ( )

b b

a a

f x dx f x dx a b

7) Nếu ( ) [ , ]m f x M x a b thì ( ) ( ) ( )

b

a

m b a f x dx M b a

8) Nếu ( )f x liên tục trên [ , ]a b thì tồn tại [ , ]c a b sao cho

( ) ( ).( )

b

a

f x dx f c b a

135 | P a g e

4.4.2. Công thức cơ bản của phép tính tích phân

4.4.2.1. Tích phân với cận trên thay đổi

Giả sử hàm số ( )f x liên tục trên [ , ]a b nên ( )f x liên tục và do đó khả tích trên mọi

đoạn [ , ] [ , ] , [ , ]a x a b x a b . Khi đó, tích phân ( ) ( )

x

a

x f x dx tồn tại với mọi

[ , ]x a b .Như vậy, ( )x là hàm số theo biến số x . Hàm số này có tính chấ sau đây:

Định lý 4.6. Nếu hàm số ( )f x liên tục trên [ , ]a b thì tại mọi điểm ta có:

'

'( ) ( ) ( )

x

a

x f x dx f x

4.4.2.2. Công thức Newton – Leibnitz

Định lý 4.7. Nếu hàm số ( )f x liên tục trên [ , ]a b và ( )F x là một nguyên hàm bất kỳ của

nó thì: ( ) ( ) ( ) ( )

bb

a

a

f x dx F x F b F a

Công thức Newton – Leibnitz vẫn đúng trong trường hợp ( )f x khả tích trên [ , ]a b . Công

thức này cho phép ta tính tích phân xác định của hàm số thông qua nguyên hàm của nó.

Ví dụ 4.9.

a) Tính

1

3

0

I x dx

ta có

11

3 4

00

1 1 10

4 4 4I x dx x

b) Tính 1

(0 )

b

a

J dx a bx

ta có 1

ln ln ln

bb

aa

J dx x b ax

4.4.3. Các phương pháp tính tích phân

4.4.3.1. Phương pháp đổi biến số

Định lý 4.8.

136 | P a g e

Xét tích phân ( )

b

a

f x dx với ( )f x liên tục trên [ , ]a b . Giả sử phép đổi biến số:

( )x t thỏa mãn các điều kiện

i) ( )t có đạo hàm liên tục trên [ , ] nào đó

ii) ( ) , ( )a b

iii) khi t biến thiên trên [ , ] thì x biến thiên trên [ , ]a b .

Khi đó, ( ) ( ) '( )

b

a

f x dx f t t dt

Nhận xét. Thuận lợi của công thức (2.9) là sau khi đổi biến số ta không cần phải trở về

biến số cũ.

Ví dụ 4.10. Tính

7

2

2

2I x x dx

đặt 2 2 22 2t x t x tdt xdx

đổi cận: 2 2x t

7 3x t

Vậy

33

2

22

1 9 4 5

2 2 2 2I tdt t

Định lý 4.9.

Xét tích phân ( )

b

a

f x dx với ( )f x liên tục trên [ , ]a b . Giả sử phép đổi biến số ( )t x

thỏa mãn các điều kiện

i) ( )x đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên [ , ]a b .

ii) ( )f x dx trở thành ( )g t dt với ( )g t là hàm số liên tục trên ( ), ( )a b

Khi đó,

( )

( )

( ) ( )

bb

a a

f x dx g t dt

137 | P a g e

Nhận xét. Khi sử dụng công thức (2.10) cần chú ý rằng hàm số ( )t x phải đơn điệu

trên [ , ]a b vì nếu không thì có thể xảy ra trường hợp ( ) ( )a b với a b . Lúc đó tích

phân ở vế phải của (2.10) bằng không còn tích phân ở vế trái có thể khác không nên

(2.10) không còn đúng nữa.

4.4.3.2. Phương pháp tích phân từng phần

Định lý 4.10.

Nếu các hàm số ( ), ( )u x v x có đạo hàm liên tục trên [ , ]a b thì

( ). '( ) ( ). ( ) ( ). ( ) '( ). ( )

b b

a a

u x v x dx u b v b u a v a u x v x dx

Công thức tích phân từng phần thường được viết dưới dạng

b bb

a

a a

udv uv vdu

Ví dụ 4.11. Tính

ln 2

0

. xI x e dx

đặt u x du dx

x xdv e dx v e

ln 2

ln 2 ln 2 ln 2

0 0 00

. .x x x xI x e e dx x e e

ln 2 ln 2 ln 2 1ln 2. 1

2 2e e

4.5 Thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất

Cho hàm cầu ( )dQ D p hoặc hàm cầu đảo 1( )dp D Q . Giả sử tại điểm cân bằng của

thị thường là 0 0( ;p Q và lượng hàng hóa được bán với giá

0p . Khi đó thặng dư của người

tiêu dùng được tính bới công thức:

0

1

0 0

0

( )

Q

CS D Q dQ p Q

138 | P a g e

Cho hàm cầu ( )sQ S p hoặc hàm cầu đảo 1( )sp S Q . Nếu hàng hóa được bán ở mức

giá cân bằng 0p thì thặng dư của nhà sản xuất được tính bới công thức:

0

1

0 0

0

( )

Q

PS p Q S Q dQ

Ví dụ 4.12. Cho các hàm cung và hàm cầu 2; 43 2.S DQ p Q p Hãy tính thặng

dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.

Giải

Sản lượng cân bằng 0Q là nghiệm dương của phương trình

01 1

0

3( ) ( )

18

QD Q S Q

p

Thặng dư của nhà sản suất :

3

2

0

18.3 1 2 27PS Q dQ

Thặng dư tiêu dùng

3

2

0

43 2 18.3CS Q dQ

4.6 Giải phương trình vi phân bậc 1

4.6.1 Giới thiệu phương trình vi phân

Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm

(hay vi phân) của nó gọi chung là phương trình vi phân.

Ví dụ 4.13. Các phương trình sau đây là các phương trình vi phân

2' ' 0 ; 2dy

y y x x y xydx

Phân loại phương trình vi phân

Phương trình vi phân thường: là phương trình vi phân mà hàm phải tìm chỉ

phụ thuộc một biến số độc lập.

Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát như sau: , , ', ,..., 0n

F x y y y y

trong đó, x là biến số độc lập;y là hàm cần tìm; ', ,...,n

y y y là đạo hàm các cấp của hàm

số đó.

Phương trình đạo hàm riêng: là phương trình mà hàm phải tìm phụ thuộc từ

139 | P a g e

hai biến số độc lập trở lên.

4.6.2. Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình.

- Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

, , ' 0 ' ,F x y y hay y f x y

- Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:

, , , 0 , ,F x y y y hay y f x y y

- Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:

, , , ,..., 0n

F x y y y y

Ví dụ 4.14.

a) 2' ' 0y y x x y là phương trình vi phân cấp 1.

b) 24 2y xy xy là phương trình vi phân cấp 2.

c) 22 1 1 0x dx x y dy là phương trình vi phân cấp 1.

4.6.3. Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình vi phân là hàm số y x sao cho khi ta thay

; ;...n n

y x y x y x

vào phương trình thì được đẳng thức đúng, nghĩa là

, , ' ,..., 0n

F x x x x

Đối với phương trình vi phân cấp n ta thường tìm nghiệm dưới dạng

1 2, , ,...,

ny x C C C

Với ( 1,2,..., )iC i n là các hằng số tùy ý.

Ví dụ 4.15.

a) Phương trình ' 2y y có nghiệm là hàm 2

1. xy C e xác định trên

(1C là hằng số tùy ý).

b) Phương trình 2' 1y y có nghiệm là hàm y tgx xác định trong khoảng ;

2 2

140 | P a g e

4.6.4 Một số phương trình vi phân thường gặp trong kinh tế.

Ví dụ 4.16. Giả sử hàm chi phí biên để sản xuất x đơn vị sản phẩm cho bởi:

2' 0,3 2C x x x . Biết chi phí cố định là 2000$. Hãy tìm hàm chi phí C(x) và tính chi

phí để sản xuất ra 20 sản phẩm.

Giải.

Ta có: 2 2 3 2' 0,3 2 0,3 2 0,1C x x x C x x x dx x x C

Do chi phí cố định là 2000$ nên 0 2000C C

Vậy 3 20,1 2000C x x x và 20 3200C

Ví dụ 4.17 Một đài phát thanh vệ tinh đang đưa ra một chiến dịch quảng cáo tích cực để tăng số

lượng người nghe hàng ngày. Hiện tại đài phát thanh có 27.000 người nghe 1 ngày và nhà quản

lý mong muốn số lượng người nghe, S(t), tăng lên với tốc độ tăng trưởng là: ' 60S t t người

mỗi ngày. Trong đó t là số lượng của ngày kể từ khi bắt đầu chiến dịch. Chiến dịch kết thúc khi

nào biết rằng đài phát thanh muốn số lượng người nghe hàng ngày tăng lên đến 41.000 người.

Ví dụ 4.18. Bộ phận nghiên cứu thị trường của một chuỗi siêu thị xác định rằng, đối với

một cửa hàng, giá biên tế p’(x) ứng với nhu cầu x tuýp kem đánh răng mỗi tuần cho bởi: 0,01' 0, 015 xp x e

a) Hãy tìm phương trình đường cầu biết rằng khi giá là 4,35$/tuýp thì nhu cầu hàng tuần

là 50 tuýp.

b) Hãy xác định nhu cầu khi giá của một tuýp là 3,89$

4.7 Phương trình vi phân cho tăng trưởng giới hạn và tăng trưởng không giới hạn

4.7.1 Phương trình vi phân cho tăng trưởng không giới hạn

Bài toán lãi kép liên tục

• Gọi P là số tiền đầu tư ban đầu

• A là số tiền có được sau thời gian t

• Giả sử tốc độ tăng trưởng của số tiền A tại thời điểm t bất kỳ tỷ lệ thuận với số tiền

hiện tại trong khoảng thời gian đó.

• Ta có mô hình: . 0 , 0dA

r A A P A Pdt

r là hằng số phù hợp

• Giải phương trình trên ta được:

1 1.

1ln .rt C

dA dA dAr A r dt rdt

dt A dt A dt

dA rt A rt C A t e eA

Mặt khác: 00 .r CA e e P nên . rtA t P e

141 | P a g e

Từ đây ta có công thức tính lãi kép liên tục với lãi suất r là t là thời gian đầu tư.

Phương trình trên gọi là phương trình vi phân cho tăng trưởng không giới hạn.

Quy luật tăng trưởng không giới hạn theo hàm mũ.

Ta thường gặp mô hình tăng trưởng không giới hạn trong các bài toán tăng trưởng ngắn

hạn (người, vi khuẩn) hoặc tăng trưởng của tiền khi tính lãi liên tục

Giả thiết của mô hình: Tốc độ biến thiên của hàm số tỷ lệ với giá trị hàm số tại thời điểm

hiện tại

Định lý 4.11. Nếu dQ

rQdt

và 0

0Q Q thì 0

rtQ t Q e

Trong đó:

0Q là giá trị hàm Q(t) tại thời điểm t=0

r>0: tốc độ tăng trưởng tương đối

t: biên số (thời gian)

Q hay Q(t): giá trị hàm số tại thời điểm t

Chú ý. Nếu r<0 ta có luật phân rã theo hàm mũ

(Phân rã phóng xạ) Năm 1946, Willard Libby (người sau này nhận được giải Nobel Hóa

học) nhận thấy rằng nếu cây hoặc động vật còn sống, chất phóng xạ cacbon-14 vẫn được

giữ ở mức không đổi trong mô của nó. Tuy nhiên, khi thực vật hoặc động vật chết,

carbon-14 sẽ giảm đi do sự phân rã phóng xạ với tỷ lệ tương ứng với lượng hiện có. Tốc

độ phân rã là 0,0001238

Ví dụ 4.19. Một mảnh xương người được tìm thấy tại một địa điểm khảo cổ ở Châu Phi.

Nếu 10% lượng chất phóng xạ cacbon-14 ban đầu có mặt, hãy ước lượng tuổi của xương

(làm tròn đến 100 năm).

4.7.2 Phương trình vi phân cho tăng trưởng giới hạn

Ta thường gặp mô hình tăng trưởng giới hạn trong các trường hợp như bán hàng thời

trang, khấu hao thiết bị, tăng trưởng công ty hay tăng trưởng trong học tập. Điều kiện

chung của mô hình là tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với hiệu của lượng hiện tại và một giá trị

cố định.

142 | P a g e

Chẳng hạn, trong học tập kỹ năng (bơi, đánh máy …) ta luôn giả sử có một mức kỹ năng

tối đa có thể đạt được M. Tốc độ phát triển kỹ năng y tỷ lệ thuận với hiệu của mức kỹ

năng đã đạt được y và mức tối đa M.

Ta có mô hình: 0 0dy

k M y ydt

. Giải phương trình trên tương tự như đối

với bài toán tăng trưởng không giới hạn ta có: 1 kty M e

Định lý 4.12. Nếu ; , 0dy

k M y k tdt

và 0 0y thì 1 kty M e

Ví dụ 4.20. Đối với một người học bơi, khoảng cách (m) mà người đó có thể bơi trong 1 phút

sau t giờ luyện tập được xấp xỉ bởi: 0,0450 1 ty e

Vậy tốc độ phát triển sau 10 giờ luyện tập là?

Đ/S: 1,34m cho mỗi giờ luyện tập

4.7.3 Phương trình vi phân cho tăng trưởng logistic

Trong mô hình tăng trưởng logistic thì tốc độ tăng trưởng tỷ lệ với lượng hiện tại và hiệu

của lượng hiện tại và một giá trị cố định.

Gọi lượng hiện tại là y và giá trị cố định là M, ta có mô hình sau:

; , 0dy

ky M y k tdt

Định lý 4.13. Nếu ; , 0dy

ky M y k tdt

và 01

My

c thì

1 kMt

My

ce

Ví dụ 4.21. Nhà xã hội học phát hiện rằng tin đồn có xu hướng lan truyền với tốc độ tỷ lệ

với số người đã nghe tin đồn x và số người chưa nghe tin đồn (P-x). Trong đó P là tổng

số người. Một một sinh viên trong kí túc xá có 400 sinh viên nghe được tin đồn rằng có

bệnh lao ở trường thì P=400 và: 0,001 400 0 1dx

x x xdt

Gọi t là thời gian tính theo phút.

A) Tìm công thức x(t)

B) Sau 5 phút có bao nhiêu người đã nghe được tin đồn.

C) Tìm giới hạn: limt

x t

143 | P a g e

CHƯƠNG 5. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

5.1 Quy hoạch tuyến tính 2 biến

5.1.1. Định nghĩa

Bài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) tổng quát có dạng:

Tìm xj, j=1,2,…,n sao cho: f= min1

j

n

j

j xc (max) (1)

Với hệ ràng buộc: i

n

j

jij bxa

1

, i=1,2,…,m (2)

tùyý

x j 0

0

, j=1,2,…,n (3)

(1) được gọi là hàm mục tiêu, nó có thể là cực tiểu (min) hay cực đại (max).

(2) được gọi là các ràng buộc chung hay ràng buộc hàm, nó có thể có dạng bất

đẳng thức (≤ hay ≥) hoặc có dạng đẳng thức (=).

(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nó có thể không âm (≥0), không

dương (≤0) hay tùy ý.

Như vậy, bài toán QHTT là bài toán có các biểu thức xác định hàm mục tiêu và

các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính.

Véctơ x=(x1, x2,…,xn)T được gọi là phương án (pa) hay lời giải chấp nhận được

của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán.

Phương án x*=( T

nxxx ),...,, **

2

*

1 được gọi là phương án tối ưu (patư) hay lời giải tối

ưu, nghiệm tối ưu của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt nhất.

144 | P a g e

Tức là: f(x*)= j

n

j

jj

n

j

j xcxfxc

1

*

1

)( là giá trị hàm mục tiêu tại phương án

x=(x1,x2,…,xn)T bất kỳ. (Dấu ≤ ứng với bài toán cực tiểu. Dấu ≥ ứng với bài toán cực

đại).

Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).

Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập

hợp các phương án tối ưu.

Mệnh đề: (Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu)

(Trong đó: X là tập hợp các phương án)

Tức là: nếu đổi dấu hàm mục tiêu và đổi loại hàm mục tiêu thì ta được bài toán tương

đương. Vì lí do này mà khi nghiên cứu cách giải bài toán qhtt, người ta chỉ xét bài toán

có loại hàm mục tiêu là cực tiểu (hay chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực đại)

5.1.2 Phương pháp hình học giải bài toán qui hoạch tuyến tính 2 biến

Bài toán có dạng: tìm x=(x1,x2)T sao cho f(x)=c1x1+c2x2 min (max)

Với hệ ràng buộc: ai1x1+ai2x2≥bi, i=1,2,…,m

Chú ý:

- Ràng buộc chung có dạng: a≤b, ta đưa về dạng tương đương là: -a≥-b.

- Ràng buộc chung có dạng: a = b thì tương đương với: a≥b và –a≥-b.

- Còn các ràng buộc biến có thể xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc

chung.

Như vậy, hệ ràng buộc của bài toán QHTT có 2 biến luôn luôn có thể giả thiết là

có dạng: ai1x1+ai2x2≥bi; i=l, 2..., m

f (x) max g(x) f (x) min(1) (2)

x X x X

145 | P a g e

5.1.2.1 Xác định miền phương án

Đưa các điểm (x1,x2) lên hệ trục tọa độ vuông góc. Ta xác định được các điểm

thỏa mãn phương trình: ai1x1+ai2x2=b, hình thành nên một đường thẳng chia mặt phẳng

tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng (mp). Một nửa mp bao gồm các điểm (x1, x2) thỏa mãn bất

phương trình: ai1x1+ai2x2≥bi, và nửa kia bao gồm các điểm (x1, x2) thỏa mãn bất phương

trình: ai1x1+ai2x2≤bi.

Trong thực hành, để xác định nửa mp nào ứng với bất phương trình: ai1x1+ai2x2≥bi.

Ta thường lấy một điểm đặc biệt như (0,0); (0,1); (1,0);… thay vào bất phương tình, nếu

nó thỏa mãn thì nửa mp chứa điểm đặc biệt đó là nửa mp phải tìm; còn nếu nó không

thỏa mãn thì nửa mp phải tìm là nửa mp không chứa điểm đặc biệt đó.

Các điểm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là các điểm thuộc miền giao của các

nửa mp xác định các bất phương trình tương ứng, nó tạo nên một hình đa giác lồi có thể

bị giới nội hay không bị giới nội; hoặc miền giao là rỗng ứng với trường hợp hệ ràng

buộc không tương thích. Trường hợp miễn phương án X không rỗng ta thực hiện tiếp

bước sau.

5.1.2.2. Xác định phương án tối ưu

Một điểm x=(x1,x2)T bất kỳ nằm trong mp tọa độ sẽ cho ta giá trị hàm mục tiêu là:

c1x1+c2x2 =f.

Tập hợp tất cả các điểm có cùng giá trị hàm mục tiêu là f hình thành nên một

đường thẳng vuông góc với véctơ OC với C=(c1,c2)T. Đường thẳng này được gọi là

đường thẳng mục tiêu có mức là f.

Đặc điểm của các đường thẳng mục tiêu là: nếu tịnh tiến đường thẳng mục tiêu

theo cùng hướng vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ tăng lên. Còn nếu tịnh tiến theo

hướng ngược với vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ giảm đi.

Phương án cực biên (pacb) của bài toán qhtt dạng chính tắc là phương án đồng

thời là nghiệm cơ sở của hệ các ràng buộc chung.

146 | P a g e

Định lý (điều kiện tồn tại pacb): bài toán qhtt có patư khi và chỉ khi nó có phương

án và hàm mục tiêu bị chặn dưới đối với bài toán cực tiểu (hay bị chặn trên đối với bài

toán cực đại) trên tập phương án. Nếu bài toán qhtt dạng chính tắc có patư thì sẽ có 1

pacb là patư

TÓM TẮT

Giải bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đồ thị:

Xét bài toán quy hoach tuyến tính :

2

1

j j

j

f x c x

với các ràng buộc i

j

jij bxa

2

1

- Biểu diễn các ràng buộc lên đồ thị Oxy.

- Xác định phần được giới hạn bởi các ràng buộc là tập phương án.

- Xác định các điểm cực biên (đỉnh) của tập phương án thỏa mãn các ràng buộc.

- Xác định giá trị của xf tại các điểm cực biên.

- Suy ra phương án tối ưu

Ví dụ 5.1. Giải bài toán QHTT sau: -x1 + x2 min

1 2

1 2

1 2

1 2

-2x x 2 1

x - x 2 2

x x 5 3

x 0 , x 0

Biểu diễn đồ thị các bất đẳng thức lên hệ trục tọa độ ta được miền các phương án

là hình ngũ giác ABCDE. Các điểm có tọa độ như sau A(0,0); B(0,2); C(1,4); D(4,1);

E(2,0) là các điểm cực biên. lầm lược thay các cực biên vào hàm mục tiêu ta có f(A) = 0;

f(B) = 2; f(C) = 3; f(D) = -3; f(E) = -2.

Vậy phương án tối ưu x*=(4,1) tại đó hàm mục tiêu đạt giá trị Min

Ví dụ 5.2. Lập mô hình toán học các bài toán sau:

D

C

A

B

E

147 | P a g e

a. Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu 100 mã lực và 50 mã lực. Trong

xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch. Thợ rèn có 2000 công, thợ sắt có

3000 công, thợ mộc có 1500 công. Định mức lao động của mỗi loại tàu được cho trong bản:

100 mã lực

50 mã lực

Thợ sắt (3000)

Thợ rèn (2000)

Thợ mộc (1500)

150

120

80

70

50

40

Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao nhất?

Giải

Gọi x1, x2 lần lượt là số tàu 100 mã lực và 50 mã lực cần đóng

f(x)=100x1+50x2 max

Điều kiện:

0x,0x

1500x40x80

2000x50x120

3000x70x150

21

21

21

21

b. Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện, 150 giờ

máy mài để chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, C. Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần 9 giờ máy

cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sản phẩm B cần 3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; 1

đơn vị sản phẩm C cần 5 giờ máy cán. 3 giờ máy tiện, 2 giờ máy mài. Mỗi sản phẩm A trị giá 48

ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng, mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng.

Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cấn chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng giá trị

sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không dùng quá số giờ hiện có của mỗi

loại máy.

Giải

Loại sp

Thiết bị A (48) B (16) C (27)

Máy cán (510) 9 3 5

Máy tiện (360) 5 4 3

Máy mài (150) 3 0 2

148 | P a g e

Gọi x1, x2, x3 là số đơn vị sản phẩm loại A, B, C

f(x)= 48x1+16x2+27x3 max

Điều kiện:

3,2,1j,0x

150x2x3

360x3x4x5

510x5x3x9

j

31

321

321

c. Một xí nghiệp điện cơ sản xuất quạt điện các loại. Cần cắt từ một tấm tôn các cánh

quạt điện theo 3 kiểu A, B, C. Có 6 mẫu cắt khác nhau theo bảng sau:

Kiểu cánh

quạt

Mẫu cắt

1 2 3 4 5 6

A

B

C

2

0

0

1

1

0

1

0

1

0

2

0

0

1

2

0

0

3

Chỉ tiêu sản lượng sản phẩm của xí nghiệp phải hoàn thành ít nhất 4000 cánh quạt kiểu

A, 5000 cánh quạt kiểu B, 3000 cánh quạt kiểu C. Hỏi xí nghiệp có phương án cắt như thế nào để

có phế liệu ít nhất?

Giải

Gọi xj là số tấm tôn cắt theo mẫu j

f(x)= 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 + 3x6 min

Điều kiện:

6,5,4,3,2,1j,0x

3000x3x2x

5000xx2x

4000xxx2

j

653

542

321

Ví dụ 5.3. Dùng phương pháp hình học giải các qui hoạch tuyến tính 2 biến sau:

a. F(x) = - x1 + x2 max Điều kiện:

0,0

93

623

1

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

149 | P a g e

Giải

Miền ràng buộc: OAB

Phương án tối ưu: A(0,1)

Trị tối ưu: fmax=1

b. f(x) = 5x1 + 4x2 max

Điều kiện:

0,0

1223

42

82

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Giải

Miền ràng buộc: OABC

Phương án tối ưu: B (2,3)

Trị tối ưu: fmax = 22

c. f(x) = 5x1 + 3x2 max

Điều kiện:

0,0

02

0

62

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Giải

150 | P a g e

Miền ràng buộc: OAB

Phương án tối ưu: B(3/2,3)

Trị tối ưu: fmax = 33/2

d. f(x) = -4x1+3x2 min

Điều kiện:

0,0

2

632

6

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Giải

Miền ràng buộc: ABCD

Phương án tối ưu: B (4,2)

Trị tối ưu: fmin= -10

5.2 Ma trận

5.2.1 Khái niệm cơ bản về ma trận

Ma trận cấp m n

Một ma trận A cấp m n là một bảng gồm .m n số 1, ; 1,ija i m j n được sắp

thành m hàng, n cột dạng :

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

151 | P a g e

Số ija gọi là các phần tử của ma trận A. Cụ thể,

ija là phần tử nằm trên dòng i và cột j

của ma trận A; i là chỉ số dòng, j là chỉ số cột của phần tử ija đó.

Phần tử nằm ở dòng i và cột j của ma trận A còn được kí hiệu là ( )ijA .

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu A B nếu chúng có cùng cấp m n

và ( ) ( ) 1, ; 1,ij ijA B i m j n . Khi ấy A và B có các phần tử hoàn toàn như nhau ở

mọi vị trí.

Ví dụ 5.4

2 0 1

4 8 9A

là ma trận cấp 2 3, có 13 22( ) 1,( ) 8.A A

1 2 3

4 6 3

5 3 7

B

là ma trận cấp 3 3 có 12 21 32( ) 2,( ) 4,( ) 3.B B B

Khi 1m , A gọi là ma trận dòng.

Khi 1n , A gọi là ma trận cột.

Một số dạng ma trận

Ma trận chuyển vị. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu tA là ma trận có được từ A

bằng cách chuyển các dòng của A thành các cột tương ứng của tA .

Cho ij( )m nA a là ma trận cấp .m n Khi đó tA là ma trận cấp .n m

Ví dụ 5.5

1 2 62 4 1 3 5 2

2 0 1 3 4 7, 0 8 , , 2 4 2 3

4 8 9 5 2 91 9 6 7 9 10

2 3 10

t tA A B B

Chú ý: ( )t tA A

Ma trận không. Ma trận không cấp m n , kí hiệu m nO hoặc O khi cấp ma trận đã

được chỉ rõ là ma trận cấp m n mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0.

Ví dụ 5.6

152 | P a g e

2 3 3 4

0 0 0 00 0 0

, 0 0 0 0 .0 0 0

0 0 0 0

O O

Ma trận vuông. Khi m n , ma trận A có số dòng và số cột bằng nhau bằng n gọi là

ma trận vuông cấp n. Kí hiệu ij( ) .nA a

Nếu A là ma trận vuông cấp n, đường chứa các phần tử 11 22, , , nna a a gọi là đường

chéo chính của A, đường chứa các phần tử 1 2,n-1 1, , ,n na a a gọi là đường chéo phụ .

Ví dụ 5.7

1 3 5 7

2 4 6 8

3 6 7 8

3 4 2 1

A

Ma trận tam giác. Ma trận A vuông cấp n gọi là ma trận tam giác trên (dưới) nếu

tất cả các phần tử nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0.

Ví dụ 5.8

1 4 6 71 4 5

0 1 8 50 2 6 ;

0 0 2 00 0 3

0 0 0 5

A B

là các ma trận tam giác trên

3 0 03 0

; 0 6 01 7

2 4 7

C D

là các ma trận tam giác dưới.

Ma trận chéo. Ma trận A vuông cấp n gọi là ma trận chéo nếu tất cả các phần tử

nằm ngoài đường chéo chính đều bằng không.

Ví dụ 5.9

1 0 02 0

, 0 3 00 7

0 0 5

A B

là các ma trận chéo.

Đường chéo phụ

Đường chéo chính

153 | P a g e

Ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị cấp n, kí hiệu nI hoặc I là ma trận vuông cấp n có

tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1, các phần tử còn lại đều bằng 0.

Ví dụ 5.10

2 3

1 0 01 0

, 0 1 00 1

0 0 1

I I

5.2.2 Các phép toán cơ bản của ma trận

5.2.2.1. Phép cộng hai ma trận

Cho hai ma trận cùng cấp m n ij ij( ) , ( ) .m n m nA a B b Tổng của A và B, kí hiệu

A B là ma trận có cấp m n xác định bởi

ij ij ij ij ij( ) ( ) ( )A B A B a b với 1, , ; 1, ,i m j n .

Ví dụ 5.11

1 2 3 7 8 9 1 7 2 8 3 9 8 10 12

4 5 6 10 11 12 4 10 5 11 6 12 14 16 18

Ví dụ 5.12

Cho

4 6 2 4

3 5 ; 11 13

7 1 8 6

A B

. Tính A B

Giải

4 6 2 4 6 10

3 5 11 13 8 18 .

7 1 8 6 1 5

A B

Chú ý: Hai ma trận chỉ cộng được với nhau khi chúng có cùng cấp.

5.2.2.2. Phép nhân một số thực với một ma trận

Cho ij( )m nA a cấp m n và số thực . Tích của và A, kí hiệu A là ma trận cấp

m n xác định bởi ij ij ij( ) ( )A A a với 1, , ; 1, ,i m j n

Ví dụ 5.13

154 | P a g e

3 4 6 81 2 3 3 6 9

2. 2 6 4 12 ; 3.4 5 6 12 15 18

1 5 2 10

3 4 3 4

1. 2 6 2 6

1 5 1 5

Lưu ý: Khi 1 thay cho ( 1)A , ta sẽ viết A và gọi là ma trận đối của A.

Ta định nghĩa ( )A B A B và gọi A B là A trừ B.

5.2.2.3. Phép nhân hai ma trận

Cho ma trận A cấp m n , ma trận B cấp n p . Khi đó tích của A với B, kí hiệu AB là

ma trận có cấp m p xác định bởi

ij

1

( ) ( ) ( ) , 1, , ; 1, ,n

ik kj

k

AB A B i m j p

Ví dụ 5.14

Cho

1 31 2 1

, 2 13 1 2

3 1

A B

.Ta có

1.1 2.2 ( 1).3 1.3 2.1 ( 1)( 1) 2 6

3.1 1.2 2.3 3.3 1.1 2.( 1) 11 8AB

Chú ý

- Để tích AB xác định thì số cột của A phải bằng số dòng của B.

- Phần tử ij( )AB bằng tổng các tích từng phần tử trên dòng i của A với phần tử tương

ứng ở cột j của B.

Dòng i

Cột j

155 | P a g e

- Nói chung, khi AB xác định có thể BA không xác định. Ngay cả khi AB, BA cùng

xác định thì nói chung AB BA .

Ví dụ 5.15

Cho hai ma trận A, B ở ví dụ 11 và ma trận 2 1

1 0C

Ta có

1.2 3.1 1.( 1) 3.0 5 1 10 5 5

2.2 1.1 2.( 1) 1.0 5 2 , 5 5 0

3.2 ( 1).1 3.( 1) ( 1).0 5 3 0 5 5

BC BA

AC và CB không xác định, AB BA

5.2.2.4. Lũy thừa của ma trận vuông

Với mỗi ma trận A vuông cấp n và mỗi số tụ nhiên p, ta định nghĩa:

0

1. ( 1)

n

p p

A I

A A A p

Ta cũng gọi ( )pA p là lũy thừa bậc p của A

Ví dụ 5.16

Cho ma trận 1 2

0 1A

. Khi đó

2

3 2

1 2 1 2 1 4;

0 1 0 1 0 1

1 4 1 2 1 6. .

0 1 0 1 0 1

A

A A A

5.3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử

5.3.1. Khái niệm cơ bản

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính (n ẩn, m phương trình) là hệ có dạng

156 | P a g e

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(1)

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Trong đó ij, ( 1,..., ; 1,..., )ia b i m j n là các số thực cho trước.

1 2, , , nx x x gọi là các ẩn số.

ij( 1, , ; 1, , )a i m j n gọi là các hệ số.

( 1, , )ib i m gọi là các hệ số tự do.

Ma trận

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

gọi là ma trận hệ số của hệ (1).

Ma trận

1

2

m

b

bB

b

gọi là ma trận hệ số tự do hay cột tự do của hệ (1).

Ma trận

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA A B

a a a b

gọi là ma trận hệ số bổ sung hay ma trận

mở rộng của hệ (1).

Ma trận

1

2

n

x

xX

x

gọi là ma trận ẩn số hay cột ẩn số.

Hệ (1) có thể viết dưới dạng ma trận AX .B

Bộ n số 1 2( , , , )nx x x gọi là nghiệm của hệ (1) nếu như khi ta thay chúng vào hệ (1) ta

được các đẳng thức đúng.

157 | P a g e

Ví dụ 5.17. Cho hệ phương trình tuyến tính

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3

2 1

3 2

2 5 2 1

x x x x

x x x

x x x

Ta có

1

2

3

4

11 1 2 1

1 0 3 1 , 2 ,

2 5 2 0 1

x

xA B X

x

x

5.3.2. Điều kiện tồn tại nghiệm

Định lý Kronecker-Capelli

Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ).rank A rank A

Hơn nữa giả sử ( ) ( ) (0 min{ , }).rank A rank A r r m n Khi đó

- Nếu r n (n là số ẩn) thì hệ (1) có nghiệm duy nhất.

- Nếu r n thì hệ (1) có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số

Ví dụ 5.18

Các hệ phương trình sau đây có nghiệm hay không

2 3 1 2 3 4

1 3 1 2 3 4

1 2 3 1 2 3 4

2 1 2 4 2

) 2 ) 2 1

2 2 2 1 7 4 11 5

x x x x x x

a x x b x x x x

x x x x x x x

Giải

Ta tìm hạng của các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng tương ứng

a) Ta có

1 2

0 1 2 1 1 0 1 2

1 0 1 2 0 1 2 1

2 2 2 1 2 2 2 1

d dA A B

158 | P a g e

3 3 1 3 3 22 2

1 0 1 2 1 0 1 2

0 1 2 1 0 1 2 1

0 2 4 3 0 0 0 1

d d d d d d

Vậy ( ) 2 ( ) 3r A r A nên hệ đã cho vô nghiệm.

b)

3 3 22 2 1

3 3 1

2

1 2 1 4 2

2 1 1 1 1

1 7 4 11 5

1 2 1 4 2 1 2 1 4 2

0 5 3 7 3 0 5 3 7 3

0 5 3 7 3 0 0 0 0 0

d d dd d d

d d d

A A B

Vậy ( ) ( ) 2r A r A hệ đã cho có nghiệm.

5.3.3. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử

Phương pháp giải hệ tổng quát

Lập ma trận A . Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa A về dạng bậc thang

Nếu trong quá trình biến đổi xuất hiện một dòng bên trái bằng 0, bên phải khác 0. Hệ

vô nghiệm

Nếu đưa A về dạng bậc thang thì các ẩn ứng với các cột chứa phần tử đánh dấu giữ lại

làm ẩn, các ẩn ứng với các cột không chứa phần tử đánh dấu chuyển sang bên phải làm

tham số, sau đó giải phương trình ngược từ dòng dưới cùng đến dòng 1.

Ví dụ 5.19

Giải hệ

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1

2 3

3 2 2 2 4

1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

Giải

Lập ma trận A

159 | P a g e

1 1 1 1 1

2 1 1 1 3

3 2 2 2 4

0 1 1 1 1

A

Biến đổi A

2 2 1

3 3 1

3 3 2

4 4 2

2

3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 3 0 1 1 11

3 2 2 2 4 0 1 1 11

0 1 1 1 1 0 1 1 11

1 1 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

d d d

d d d

d d d

d d d

A

Từ đây ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho:

1 2 3 4

2 3 4

1

1

x x x x

x x x

1 2,x x giữ lại làm ẩn chính,3 4,x x chuyển qua phải làm tham số. Ta có

1 2 3 4

2 3 4

1

2 3 4

1

1

2

1

x x x x

x x x

x

x x x

Vậy nghiệm của hệ

1

2

3

4

2

1( , )

x

x a ba b R

x a

x b

Ví dụ 5.20

Giải hệ phương trình

160 | P a g e

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

0

3 2 5

5 4

7 3 10

x x x x

x x x x

x x x

x x x x

Giải

Ma trận hệ số mở rộng

1 1 1 1 0

3 1 1 2 5

5 1 1 0 6

7 1 1 3 10

A

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng A về ma trận bậc thang

2 2 1

3 3 1

4 4 1

3 3 2

4 4 2

3

57

2

1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

3 1 1 2 5 0 4 4 5 5

5 1 1 0 6 0 4 4 5 6

7 1 1 3 10 0 8 8 10 10

1 1 1 1 0

0 4 4 5 5

0 0 0 0 1

0 0 0 0 0

d d d

d d dd d d

d d d

d d d

A

Suy ra ( ) 2 3 ( ).rank A rank A Do đó hệ vô nghiệm.

5.4 Định thức

5.4.1. Định thức của ma trận vuông

Định thức cấp 1

Cho 11A a là ma trận vuông cấp 1. Định thức của ma trận A, kí hiệu A

haydet A , được gọi là định thức cấp 1, là một số xác định như sau 11det .A a

Ví dụ 21

Cho 4 , 7 .A B Khi đó det 4 , det 7A B

Định thức cấp 2

161 | P a g e

Cho 11 12

21 22

a aA

a a

là ma trận vuông cấp 2. Định thức của ma trận A, kí hiệu A

haydet Ađược gọi là định thức cấp 2, là một số xác định như sau:

11 12

11 22 12 21

21 22

deta a

A a a a aa a

Ví dụ 5.21

2 3 4 72.5 4.3 2; 4.3 7.( 3) 33

4 5 3 3

Định thức cấp 3

Cho

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

là ma trận vuông cấp 3. Định thức của ma trận A, kí hiệu

A haydet A

được gọi là định thức cấp 3, là một số xác định như sau:

11 12 13

11 22 33 12 23 31 13 21 32

21 22 23

11 23 32 12 21 33 13 22 31

31 32 33

( )det

( )

a a aa a a a a a a a a

A a a aa a a a a a a a a

a a a

Để nhớ công thức trên người ta thường dùng quy tắc Sarrus

Quy tắc Sarrus

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

Dấu (+) Dấu (-)

Ví dụ 5.22

162 | P a g e

2 4 8

1 1 3 2.( 1).7 4.3.5 1.4.8 (8.( 1).5 1.4.7 4.3.2) 66

5 4 7

6 2 8

1 2 3 6.2.5 ( 2).3.5 ( 1).4.8 (8.2.5 4.3.6 ( 1).( 2).5) 164.

5 4 5

Định thức cấp n

Phần bù đại số

Cho A là ma trận vuông cấp n.

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

Gọi ijM là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j.

Số ij( 1) deti j M gọi là phần bù đại số của phần tử ija , kí hiệu là

ijA

Định thức của ma trận A được gọi là định thức cấp n, được tính bởi công thức

1 1 2 2

1

det (1)n

i i i i in in ij ij

j

A a A a A a A a A

Hoặc

1 1 2 2

1

det (2)n

j j j j nj nj ij ij

i

A a A a A a A a A

Công thức (1) gọi là công thức khai triển định thức theo dòng i.

Công thức (2) gọi là công thức khai triển định thức theo cột j.

Ví dụ 5.23. Tính định thức của ma trận

2 4 8

1 1 3

5 4 7

M

Khai triển theo dòng 2:

163 | P a g e

2 1 2 2 2 34 8 2 8 2 4

det 1.( 1) ( 1).( 1) 3.( 1)4 7 5 7 5 4

=(-1).(-4)+(-1).(-26)+3.(-1)(-12)=66

M

Khai triển theo cột 3

1 3 2 3 3 31 1 2 4 2 4

det 8.( 1) 3.( 1) 7.( 1)5 4 5 4 1 1

=8.9+(-1).3.(-12)+7.(-6)=66

M

5.4.2. Các tính chất của định thức.

(1) det det tA A

(2) Định thức sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong những điều kiện sau:

- Có một dòng (hoặc một cột) bằng 0

- Có hai dòng (hoặc hai cột) giống nhau hoặc tỷ lệ với nhau

Ví dụ 5.24

1 4 7

13 5 9 0

2 8 14

(dòng 1 và dòng 3 tỷ lệ)

(3) Nếu ta đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột) của định thức cho nhau thì định thức đổi dấu.

Ví dụ 5.25

3 6 7 1 5 2

1 5 2 3 6 7

4 8 10 4 8 10

(đổi chỗ dòng 1 và dòng 2 cho nhau)

(4) Nếu ta nhân một dòng (một cột) của định thức với số thì định thức cũng nhân với

. det( ) detnA A

Ví dụ 5.26

3 6 7 3 6 7

3 1 5 2 3 15 6

4 8 10 4 8 10

(nhân dòng 2 với 3)

Nói cách khác: Thừa số chung của một dòng (hoặc một cột) có thể đưa ra ngoài định thức

164 | P a g e

(5) Nếu định thức có một dòng (hoặc một cột) phân tích được thành tổng của hai dòng

(hoặc 2 cột) thì định thức cũng phân tích được thành tổng hai định thức tương ứng.

Ví dụ 5.27

3 6 7 1 ( 2) 5 1 7 0 1 5 7 2 1 0

1 5 2 1 5 2 1 5 2 1 5 2

4 8 10 4 8 10 4 8 10 4 8 10

(7) Nếu ta nhân một dòng (hoặc một cột) của định thức với số bất kì rồi cộng vào dòng

khác (cột khác) thì định thức không thay đổi.

Ví dụ 5.28

3 6 7 1 16 11

1 5 2 1 5 2

4 8 10 4 8 10

(Nhân dòng 2 với 2 rồi cộng vào dòng 1)

(8) Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det( ) det .detAB A B

Chú ý: det( ) (det )n nA A

5.4.3. Một số phương pháp tính định thức

Phương pháp biến đổi đưa định thức về dạng tam giác.

Dùng các tính chất của định thức đưa định thức về dạng tam giác. Định thức sẽ bằng

tích các số trên đường chéo chính.

Ví dụ 5.29

Tính

2 4 8

1 1 3

5 4 7

M

Giải

Biến đổi đưa M về dạng tam giác

2 2 1

3 3 1

2 4 8 1 2 4 1 2 4

1 1 3 2 1 1 3 2 0 3 15

5 4 7 5 4 7 0 6 13

d d dM

d d d

165 | P a g e

3 3 2

1 2 4

2 2 0 3 1 2.1.( 3).( 11) 66

0 0 11

d d d

Ví dụ 5.30

Tính

1 0 2 0

2 1 3 1

3 1 0 2

2 1 0 3

N

Giải

3 3 1

4 4 2

1 0 2 0 1 0 2 0

32 1 3 1 2 1 3 1

3 1 0 2 0 1 6 2

2 1 0 3 0 0 3 4

d d dN

d d d

2 2 1 3 3 2

1 0 2 0 1 0 2 0

0 1 1 1 0 1 1 12

0 1 6 2 0 0 7 3

0 0 3 4 0 0 3 4

d d d d d d

4 4 3

1 0 2 0

0 1 1 13 37

1.( 1).( 7). 370 0 7 37 7

370 0 0

7

d d d

Phương pháp khai triển định thức theo dòng hoặc cột

Ví dụ 5.31

Tính

1 0 2 0

2 1 3 1

3 1 0 2

2 1 0 3

N

Giải

Khai triển theo dòng 1:

166 | P a g e

1 1 1 2 1 3

1 4

1 3 1 2 3 1 2 1 1

1.( 1) 1 0 2 0.( 1) 3 0 2 2.( 1) 3 1 2

1 0 3 2 0 3 2 1 3

2 1 3

0.( 1) 3 1 0

2 1 0

N

Chú ý: Khai triển trên dòng hay cột nào có nhiều số 0.

Định thức của ma trận tích

Nếu A, B là hai ma trận vuông cấp n thì det( ) det .detAB A B

Ví dụ 5.32

Tính định thức

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

1 1 1

1 1 1,( 2)

1 1 1

n

n

n n n n

x y x y x y

x y x y x yA n

x y x y x y

Giải

Ta có

1

1 2

2

1 1 11 0 0

1 0 00 0 0

1 0 00 0 0

n

n

xy y y

xA

x

Do đó

1

1 2

2

2 1 2 1

1 1 11 0 0

1 0 0 0, , 2det 0 0 0

( )( ) , 2

1 0 00 0 0

n

n

xy y y

x nA

x x y y n

x

5.5 Ma trận nghịch đảo và phân tích input/output

167 | P a g e

5.5.1. Ma trận nghịch đảo

5.5.1.1. Khái niệm

Cho A là một ma trận vuông cấp n. Ma trận B vuông cấp n gọi là ma trận nghịch

đảo của A nếu

.nAB BA I

Ma trận nghịch đảo của A kí hiệu là 1A .

Ví dụ 5.33

Cho ma trận 1 2 3 2

;1 3 1 1

A B

. Khi đó ta có 2AB BA I nên 1.B A

Tính chất

Nếu ma trận vuông A và B có ma trận nghịch đảo thì

1 1 1 1 1 1 1( ) ; ( ) ( ) ; ( ) .t tA A A A AB B A

5.5.1.2. Điều kiện tồn tại và duy nhất

Định lý

Ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo khi và chỉ khi det 0A .

Ma trận A có ma trận nghịch đảo ta gọi là ma trận khả nghịch (khả đảo)

Ma trận A có det 0A gọi là ma trận không suy biến.

Ví dụ 5.34

Ma trận 1 2

1 3A

khả nghịch (theo ví dụ 1) và ta thấy det 1 0A

Ma trận nghịch đảo của A nếu có thì duy nhất.

Thật vậy : Giả sử B và B là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A, tức là

;n nAB BA I AB B A I

Ta có ( ) ( ) .n nB B I B AB B A B I B B

5.5.1.3. Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

* Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng định thức

Định lý

168 | P a g e

Cho ij( )nA a là ma trận vuông cấp n. Nếu A khả đảo thì 1 1

detAA P

A

Trong đó

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

A

n n nn

A A A

A A AP

A A A

với ijA là phân bù đại số của

ij.a

PA gọi là ma trận phụ hợp của A.

Ví dụ 5.35

Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận 1 3

2 5A

.

Giải

Tính detA: 1 3

det 1.5 3.2 1 0.2 5

A Do đó A khả đảo. Tìm AP

1 1 1 2

11 12

1 2 2 2

21 22

( 1) det 5 5 ( 1) det 2 2

( 1) det 3 3 ( 1) det 1 1

5 3

2 1A

A A

A A

P

15 3 5 31

2 1 2 1( 1)A

Ví dụ 5.36

Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

1 2 3

2 5 3

1 0 8

A

Giải

Tính detA

det 1.5.8 2.3.1 2.0.3 (1.3.5 2.2.8 0.3.1) 1A . Do đó A khả đảo.

Tìm AP

169 | P a g e

1 1 1 2 1 3

11 12 13

2 1 2 2 2 3

21 22 23

3 1 3 2 3 3

31 32 33

5 3 2 3 2 5( 1) 40; ( 1) 13; ( 1) 5

0 8 1 8 1 0

2 3 1 3 1 2( 1) 16; ( 1) 5; ( 1) 2

0 8 1 8 1 0

2 3 1 3 1 2( 1) 9; ( 1) 3; ( 1) 1

5 3 2 3 2 5

40 16 9

13 5 3

5 2 1

A

A A A

A A A

A A A

P

Do đó

1

40 16 9 40 16 91 1

. 13 5 3 13 5 3det 1

5 2 1 5 2 1

AA PA

Ví dụ 5.37

Tìm ma trận nghịch đảo của

1 2 3

1 7 11

1 3 5

B

Giải

Tính detB

2 2 1

3 3 1

1 2 3 1 2 3

det 1 7 11 0 5 8 0

1 3 5 0 5 8

d d dB

d d d

(định thức cuối có dòng 2 và dòng 3 giống

nhau). Vậy B không khả nghịch.

* Tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dùng các phép biến đổi sơ cấp

Cho A là ma trận vuông cấp n. Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta thực hiện các bước

như sau :

- Bước 1: Lập ma trận nA I bằng cách ghép thêm vào bên phải A ma trân đơn vị .nI

- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa nA I về dạng .nI B

170 | P a g e

Nếu làm được như thế thì A khả nghịch và 1 .A B

Chú ý:

Trong quá trình biến đổi nếu ở khối bên trái xuất hiện một dòng 0 thì A không khả

nghịch.

Dùng phương pháp thứ hai không cần kiểm tra điều kiện khả đảo.

Ví dụ 5.38

Tìm ma tra trận nghịch đảo (nếu có) của

1 2 2 3) )

3 7 4 6a A b B

Giải

a) Lập ma trận

2

1 2 1 0

3 7 0 1A I

Biến đổi sơ cấp trên dòng của 2A I

2 2 1 1 1 23 2

2

1 2 1 0 1 0 7 2

0 1 3 1 0 1 3 1

d d d d d dA I

Ma trận sau cùng có dạng 2 ,I B do đó A khả nghịc và 1

7 2

3 1A

b) Lập ma trận

2

2 3 1 0

4 6 0 1B I

Biến đổi sơ cấp trên dòng của 2B I

2 2 12

2

2 3 1 0

0 0 2 1

d d dB I

Do khối bên trái xuất hiện dòng không nên B không khả nghịch.

Ví dụ 5.39

171 | P a g e

Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của

1 2 3

2 5 3

1 0 8

A

Giải

Lập ma trận 3A I . Ta có

3

1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0

1 0 8 0 0 1

A I

Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa 3A I về dạng 3I B

2 2 1

3 3 1

2

3

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0

2 5 3 0 1 0 0 1 3 2 1 0

1 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 1

d d d

d d dA I

3 3 2 1 1 3

2 2 3

2 3

3

1 2 3 1 0 0 1 2 0 14 6 3

0 1 3 2 1 0 0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1

d d d d d d

d d d

3 31 1 22

1 0 0 40 16 9 1 0 0 40 16 9

0 1 0 13 5 3 0 1 0 13 5 3

0 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1

d dd d d

Do đó A khả nghịch và

1

40 16 9

13 5 3

5 2 1

A

5.5.2. Mô hình cân đối liên ngành (Mô hình Input-Output Leontief)

Mô hình này còn được gọi là mô hình I/O. Nó đề cập đến việc xác định mức tổng cầu

đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. Trong khuôn khổ

của mô hình, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy sản xuất. Các giả thiết

sau được đặt ra:

172 | P a g e

1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng

hóa phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng

hóa theo tỉ lệ cố định đó là một mặt hàng.

2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ

cố định.

Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:

- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất

- Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất

khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hang xuất khẩu.

Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành: ngành 1, ngành 2, …, ngành n và ngoài

ra còn có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành kinh tế mở), nó không sản xuất

hàng hóa như n ngành trên mà chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành kinh tế này. Để thuận

tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu của tất cả các

hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giả thiết thị trường ổn định). Tổng cầu về

sản phẩm hàng hóa của ngành i được tính theo công thức:

1 2 (1); 1,2, ,i i i in ix x x x b i n

Trong đó

ix là tổng cầu hàng hóa của ngành i;

ikx là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu

trung gian);

ib là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng);

Biến đổi (1)

1 21 2

1 2

; 1,2, ,i i ini n i

n

x x xx x x x b i n

x x x

Đặt , 1,2, , (2)ikik

k

xa i k n

x

Ta được hệ phương trình (mô hình Input-Output Liontief hay phương trình sản xuất):

173 | P a g e

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n n nn n n

x a x a x a x b

x a x a x a x b

x a x a x a x b

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

(1 )

(1 )(3)

(1 )

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Dạng ma trận của chúng là X AX B hay ( ) (3 )I A X B

Với

1 111 12 1

21 22 2 2 2

1 2

; ;

n

n

n n nn n n

x xa a a

a a a x xA X B

a a a x x

A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật

X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)

B là ma trận cuối cùng

Từ công thức (2), phần tử ika của A là tỷ phần chi phí của ngành k trả cho việc mua hàng

hóa của ngành i tính trên một đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k (chi phí yếu tố đầu vào

của sản xuất).

Ví dụ 5.40. 0,2ika nghĩa là để sản xuất ra 1$ giá trị hàng hóa của mình (tính bình

quân), ngành k phải mua 0,2$ hàng hóa của ngành i.

Theo giả thiết 2 ta có ika không đổi. Ta gọi ika là hệ số chi phí cho các yếu tố sản xuất

hay hệ số kĩ thuật, do đó 0 1ika

Trong ma trận A, các phần tử của dòng i là hệ số giá trị hàng hóa của ngành i bán cho

tất cả các ngành làm hàng hóa trung gian (kể cả ngành i), còn cột k là hệ số giá trị hàng

hóa của ngành k mua của các ngành để sử dụng cho mình sản xuất hàng hóa của mình (kể

cả ngành k). Tổng tất cả các phần tử của cột k là mức chi phí của ngành k phải trả cho

174 | P a g e

việc mua các yếu tố sản xuất trên 1$ giá trị hàng hóa của mình và ngoài ra ngành còn sử

dụng giá trị hàng hóa để tiêu dùng, do đó:

1 2 1; 1,2, ,k k nka a a k n

Phương trình (3’) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các

ngành sản xuất, điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất đảm

bảo cho nền kinh tế vận hành trôi chảy, tránh dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa

Định lý

Giả sử A là ma trận hệ số đầu vào của một nền kinh tế và B là cầu cuối cùng. Nếu các

phần tử của A và B không âm và tổng các phần tử trên mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thì

1( )I A tồn tại và ma trận tổng cầu 1( )X I A B

Ma trận I A gọi là ma trận Liontief hay ma trận hệ số công nghệ

Ví dụ 5.41

Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma

trận hệ số kĩ thuật

0,2 0,3 0,2

0,4 0,1 0,2

0,1 0,3 0,2

a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6

triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

Giải

a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất

1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2

b) Ta có

0,8 0,3 0,2

0,4 0,9 0,2

0,1 0,3 0,8

I A

175 | P a g e

1

0,66 0,30 0,241

0,34 0,62 0,240,384

0,21 0,27 0,60

I A

Ma trận tổng cầu

1

10 24,840,66 0,30 0,241

0,34 0,62 0,24 5 20,680,384

0,21 0,27 0,60 6 18,36

X I A B

Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là

20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)

5.6 Tự tương quan và hồi qui tuyến tính đơn biến

5.6.1 Khái niệm chung

Ví dụ 5.42. Để nghiên cứu về chiều cao và sức nặng của các em học sinh trong một

trường, chúng ta lấy mẫu ngẫu nhiên gồm n học sinh và thu thập các số liệu về chiều cao

và sức nặng của n học sinh. Gọi X là biến ngẫu nhiên để đo chiều cao của học sinh và Y

là biến ngẫu nhiên chỉ sức nặng của học sinh. Với n học sinh ta có n cặp giá trị (Yi , Xi).

X(m x1 x2 x3 ..... xi ....... xn

Y(kg) y1 y2 y3 .......... yi .......... yn

Mục tiêu của phần này là nghiên cứu sự liên hệ giữa biến Y và X bằng sự phân tích

tương quan và hồi qui.

Trong phân tích tương quan người ta đề cập đề cường độ của mối quan hệ giữa hai biến

Y và X, đánh giá xem hai biến Y và X có quan hệ với nhau hay không.

Trong phân tích hồi qui người ta lại xác định quan hệ giữa hai biến Y và X dưới dạng

phương trình toán học, từ đó ta có thể dự đoán được biến Y (biến phụ thuộc, dependent

variable) dựa vào biến X (biến độc lập, independent variable)

Trong phần này, ta giới hạn chỉ nghiên cứu tương quan và hồi qui đơn biến và tuyến

tính, nghĩa là chỉ nghiên cứu trường hợp biến Y chỉ phụ thuộc vào 1 biến X và dạng

phương trình hồi qui là phương trình đường thẳng (khác với các tương quan và hồi qui

bội và phi tuyến).

176 | P a g e

5.6.2 Tương quan tuyến tính (linear correlation)

Khái niệm. Hai biến được nói là có tương quan nếu chúng có quan hệ với nhau, chính

xác hơn, sự thay đổi của biến này có ảnh hưởng đến thay đổi của biến còn lại.

• Ký hiệu (x,y) là cặp giá trị quan sát được của hai biến X, Y.

• Ta có thể vẽ đồ thị của các quan sát thông qua biểu đồ phân tán (scatter diagram)

Đồ thị phân tán (Scatter Diagram)

Đồ thị phân tán của biến Y đối với biến X là tập hợp các điểm M(xi , yi) trong hệ tọa độ

vuông góc. Dựa vào đồ thị phân tán ta có thể xác định được dạng quan hệ giữa 2 biến Y

và X.

Ví dụ 5.43. Một công ty nghiên cứu ảnh hưởng của quảng cáo tới doanh số bán hàng. Dữ liệu

quảng cáo và doanh thu từng tháng được thu thập như sau:

Chi phí quảng cáo 1,3 0,9 1,8 2,1 1,5

Tổng doanh số tháng tới 151,6 100,1 199,3 221,2 170,0

Hãy vẽ biểu đồ phân tán scatter plot?

Y

X X

Y

X

Y

(D)

177 | P a g e

Tương quan tuyến tính (Linear Correlation)

Trong đồ thị phân tán, nếu các điểm M(xi , yi) qui tụ xung quanh một đường thẳng (D) ta

nói hai biến ngẫu Y và X có một sự tương quan tuyến tính. Đường thẳng (D) được gọi là

đường hồi qui tuyến tính (đường hòa hợp thẳng).

Hệ số tương quan Pearson

,

2 22 2

. .

..

X Y

X Y

n xy x y xy x yr

n x x n y y

Trong đó:

2

2 2 2

1 221 2 1 1......

n n

i in

n i iX

x x xx x x x x xx x xx

n n n n

Tính chất

-1 r 1

r được dùng để đo độ mạnh của mối quan hệ giữa X,Y: r càng lớn thì tương quan

giữa X và Y càng chặt

178 | P a g e

r > 0.8 tương quan mạnh

r = 0.4 - 0.8 tương quan trung bình

r < 0.4 tương quan yếu.

r được dùng để xác định hướng mối quan hệ giữa X,Y.

r > 0 hướng TN - ĐB, r < 0 hướng TB - ĐN

0 < r 1 : gọi là tương quan tuyến tính thuận (X, Y)

-1 r < 0 : gọi là tương quan tuyến tính nghịch (X, Y)

r = + 1 : X, Y tương quan tuyến tính dương tuyệt đối

r = - 1 : X, Y tương quan tuyến tính âm tuyệt đối

r = 0 : X, Y không tương quan tuyến tính.

Ví dụ 5.44. Tính hệ số tương quan giữa 2 biến X, Y cho bởi bảng tương quan sau:

X 0 1 2 3 4

Y 6 7 8 9 4

Giải:

Số phần tử của mẫu n = 5

xi yi (xi - x ) (yi - y ) (xi - x )2 (yi - y )2 (xi - x )(yi- y )

0

1

2

3

4

6

5

7

8

4

-2

-1

0

1

2

0

-1

1

2

-2

4

1

0

1

4

0

1

1

4

4

0

1

0

2

-4

10 30 10 10 -1

10

25

x 30

65

y n = 5

10

1010

1

yyxx

yyxx

r

25

1i

i

25

1i

i

i

5

1i

i

.

)()(

)()(

r = -0.1 tương quan yếu.

Ví dụ 5.45. Hãy tính hệ số tương quan Pearson giữa chi phí quảng cáo và doanh số trong

ví dụ sau.

179 | P a g e

Chi phí quảng cáo 1,3 0,9 1,8 2,1 1,5

Tổng doanh số tháng tới 151,6 100,1 199,3 221,2 170,0

Giải.

X Y X2 Y2 XY

1,3 151,6 1,69 22.982,56 197,08

0,9 100,1 0,81 10.020,01 90,09

1,8 199,3 3,24 39.720,49 358,74

2,1 221,2 4,41 48.929,44 464,52

1,5 170,0 2,25 28.900,00 255,00

7,6 842,2 12,40 150.552,50 1.365,43

Ta có : 7,6 842,2

5 1,52 168,445 5

n x y

Hệ số tương quan :

5.6.3 Hồi qui tuyến tính đơn giản (simple linear regression)

Ví dụ 5.46. Một công ty muốn ước lượng hàm chi phí cho một sản phẩm. Giá trị của hàm chi phí

được xác định tại một vài mức sản xuất như sau.

Mặc dù những điểm quan sát không cùng nằm trên một đường thẳng nhưng tương quan

tuyến tính rất mạnh

180 | P a g e

Do đó, công ty muốn xấp xỉ hàm chi phí bằng một hàm tuyến tính: .y a x b

Ta cần xác định các hệ số a, b sao cho đường thẳng trên xấp xỉ tốt nhất cho hàm chi phí.

Thặng dư (Residual) : sai số giữa giá trị quan sát và giá trị xấp xỉ.

Ta cần xác định a, b sao cho tổng bình phương thặng dư nhỏ nhất.

Tổng bình phương thặng dư : 2 2 2 2

, 4 2 6 5 7 6 8 9F a b a b a b a b a b

Ta có : 304 292 44 50 44 8a bF a b F a b

2 2

292 44 8

292 * 8 44 0aa ab bb

A F B F C F

AC B

Dễ thấy điểm dừng của hàm số trên là M(0,58; 3,06) và do đó hàm số F(a,b) đạt cực tiểu tại

M(0,58; 3,06)

Vậy phương trình cần tìm là : 0,58 3,06y x

181 | P a g e

Khái niệm cơ bản về hồi qui tuyến tính đơn giản

Để mô hình hóa quan hệ tuyến tính trong đó diễn tả sự thay đổi của biến Y theo biến X

cho trước người ta sử dụng mô hình hồi qui tuyến tính đơn giản.

Mô hình hồi qui tuyến tính đơn giản có dạng sau:

Yi = A + BXi + ei (mô hình hồi qui tuyến đơn giản Y theo X)

Yi : Giá trị của biến phụ thuộc Y trong lần quan sát thứ i.

Xi : Giá trị của biến độc lập X trong lần quan sát thứ i .

ei : Giá trị đối với sự dao động ngẫu nhiên hay sai số trong lần quan sát thứ i.

A : là thông số diễn tả tung độ gốc của đường hồi qui của tổng thể, hay A là

giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc lập X thay đổi 1 đơn vị.

B : là thông số diễn tả độ dốc của đường hồi qui của tổng thể, hay B diễn tả

sự thay đổi của giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc lập X thay

đổi 1 đơn vị.

Phương trình hồi qui tuyến tính đơn giản của tổng thể (Population Simple Linear

Regression Equation)

Là phương trình diễn tả giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y theo biến độc lập X đã

biết.

Y/ X = A + BX

182 | P a g e

Xác định dốc và tung độ gốc của đường hồi qui tuyến tính

Chúng ta có thể ước lượng các tham số (A,B) của phương trình hồi qui tuyến tính đơn

giản của tập hợp chính bằng cách sử dụng số liệu của mẫu ngẫu nhiên thu thập được. Dựa

vào số liệu của mẫu ta có phương trình hồi qui tuyến tính đơn giản của mẫu.

Y ax b

Trong đó:

Y

là ước lượng của giá trị trung bình của Y đối với biến X đã biết

a: là ước lượng của A

b: là ước lượng của B

Ghi chú

Phương trình hồi qui của Y theo X khác phương trình hồi qui của X theo Y

Nếu X đổi mà Y không đổi => Y và X không có tương quan

Y

X

Dựa vào phương trình hồi qui ta có thể tự đoán Y khi biết X

Y

b

iY

1

Yi êi = Yi - Y

i

a

Xi X

183 | P a g e

Dựa vào số hiệu của mẫu ta có phương trình hồi qui có dạng: Y a bX

Trong thống kê, để xác định tung độ gốc a và độ dốc b người ta thường sử dụng phương

pháp bình phương tối thiểu (least squared method)

2 2

2

1 1 1

( )n n n

i i i

i i ii

e Y Y Y a bX

Trong phương pháp bình phương tối thiểu ta có: 2

1

n

i

i

Min e

Để tìm cực tiểu ta cần giải hệ phương trình:

2

1

2

1

0

( ) 0

n

i i

i

n

i i

i

Y a bXa

Y a bXb

Giải hệ phương trình ta có:

1 1

222

1 1

;

n n

i i i i

i i

n n

i ii i

x x y y x y nx y

b a y bx

x x x nx

Đường thẳng Y

= a + bX được gọi là đường hồi qui thực nghiệm

Ví dụ 5.47

Tìm đường hồi qui thực nghiệm của y theo x cho bời bảng tương quan sau:

xi 1 2 3 4 5

yi 2 5 4 3 6

Giải

Gọi phương trình đường hồi qui là y = a + bx => xác định a, b.

xi yi xì2 xiyi

1

2

3

4

5

2

5

4

3

6

1

4

9

16

25

2

10

12

12

30

184 | P a g e

Tổng 15 20 55 66

n = 2 15

35

x 20

45

y

5

1

222

1

66 5*3*4 60.6; 4 0.6*3 2.2

55 5*3 10

i i

i

n

i

i

x y nxy

b a y bx

x nx

Phương trình đường hồi qui thực nghiệm là : y = 0.6x + 2.2

Ví dụ 5.48 Số liệu về doanh số và số lượng nhân viên kinh doanh trong các khu vực của công ty

X như sau:

Khu vực Doanh số Số nhân viên kinh doanh

A 236 11

B 234 12

C 298 18

D 250 15

E 246 13

F 202 10

Hãy tìm mô hình tuyến tính dự đoán doanh số theo số nhân viên kinh doanh

185 | P a g e

CHƯƠNG 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

6.1 Giới thiệu phương trình vi phân

6.1.1. Phương trình vi phân

Phương trình mà trong đó có xuất hiện biến số độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm

(hay vi phân) của nó gọi chung là phương trình vi phân.

Ví dụ 6.1. Các phương trình sau đây là các phương trình vi phân

2' ' 0 ; 2dy

y y x x y xydx

Phân loại phương trình vi phân

Phương trình vi phân thường: là phương trình vi phân mà hàm phải tìm chỉ

phụ thuộc một biến số độc lập.

Phương trình vi phân thường có dạng tổng quát như sau

, , ', ,..., 0n

F x y y y y

trong đó, x là biến số độc lập;y là hàm cần tìm; ', ,...,n

y y y là đạo hàm các cấp của hàm

số đó.

Phương trình đạo hàm riêng: là phương trình mà hàm phải tìm phụ thuộc từ

hai biến số độc lập trở lên.

6.1.2. Cấp của phương trình vi phân

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình.

- Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

, , ' 0 ' ,F x y y hay y f x y

- Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:

, , , 0 , ,F x y y y hay y f x y y

- Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:

, , , ,..., 0n

F x y y y y

Ví dụ 6.2.

a) 2' ' 0y y x x y là phương trình vi phân cấp 1.

186 | P a g e

b) 24 2y xy xy là phương trình vi phân cấp 2.

c) 22 1 1 0x dx x y dy là phương trình vi phân cấp 1.

6.1.3. Nghiệm của phương trình vi phân

Nghiệm của phương trình vi phân là hàm số y x sao cho khi ta thay

; ;...n n

y x y x y x

vào phương trình thì được đẳng thức đúng, nghĩa là

, , ' ,..., 0n

F x x x x

Đối với phương trình vi phân cấp n ta thường tìm nghiệm dưới dạng

1 2, , ,...,

ny x C C C

Với ( 1,2,..., )iC i n là các hằng số tùy ý.

Ví dụ 6.3

a) Phương trình ' 2y y có nghiệm là hàm 2

1. xy C e xác định trên

(1C là hằng số tùy ý).

b) Phương trình 2' 1y y có nghiệm là hàm y tgx xác định trong khoảng ;

2 2

c) Nghiệm của phương trình vi phân cấp 2: 2xy e là 2

1 2

1.

4xy e C x C .

6.2 Giải phương trình vi phân bậc 1

6.2.1. Phương trình vi phân cấp 1

Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng:

, , ' 0 , , 0dy

F x y y hay F x ydx

(6.1)

trong đó, hàm F xác định trong miền 3G , x là biến độc lập, y là hàm cần tìm, y là

đạo hàm của y theo x.

Nếu trong miền G , từ phương trình (6.1) ta giải được y

187 | P a g e

' ,y f x y (6.2)

thì ta có phương trình vi phân cấp 1 đã giải ra với đạo hàm.

Định lý tồn tại duy nhất nghiệm Cauchy – Peano

Cho phương trình (6.2) ' ,y f x y và điểm 2

0 0,x y D

Định lý

Nếu ,f x y liên tục trong miền D thì tồn tại ít nhất một nghiệm y y x xác định trong

lân cận của 0x sao cho

0 0y x y . Ngoài ra, nếu ,

yf x y liên tục trên D thì nghiệm

y y x đó tồn tại duy nhất.

Điều kiện 0 0

y x y gọi là điều kiện đầu. Bài toán tìm nghiệm của phương trình (6.2)

thỏa mãn điều kiện đầu gọi là bài toán Cauchy.

Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1

Nghiệm tổng quát

Hàm ,y x C trong đó C là hằng số tùy ý, được gọi là nghiệm tổng quát của

phương trình vi phân trong miền D nếu

a) Hàm ,y x C thỏa mãn phương trình vi phân với mọi giá trị của C.

b) Với mọi điểm 0 0,x y D , ta có thể tìm được giá trị

0C C sao cho

0 0 0,x C y

Nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn

Hệ thức , , 0x y C hay ,x y C gọi là nghiệm tổng quát (hay tích phân tổng

quát) của phương trình vi phân trong miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát

,y x C của phương trình trong D.

Nghiệm riêng

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với hằng số 0

C C xác định được gọi là

nghiệm riêng.

Nghiệm riêng: 0

,y x C

Tích phân riêng: 0

, , 0x y C

188 | P a g e

Nghiệm kỳ dị

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào

của C .

Ví dụ 6.4.. Xét phương trình: 2y y

Giả sử 0y , chia hai vế của phương trình cho 2 y ta có:

1y y x C x C

Do đó trong miền 0

xD

y phương trình có nghiệm tổng quát là

2,y x C x C

Cho 0C , ta có một nghiệm riêng là: 2, 0y x x . Ngoài ra ta thấy 0y x

cũng là nghiệm của phương trình. Nghiệm này gọi là nghiệm kì dị của phương trình vì nó

không nhận được từ nghiệm tổng quát với bất kì giá trị nào của C.

6.2.2. Các phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

6.2.2.1. Phương trình biến số phân li

Phương trình vi phân cấp 1 có biến số phân li là phương trình có dạng

g y dy f x dx (6.3)

trong đó dy

ydx

, g là hàm chỉ phụ thuộc biến y ; f là hàm chỉ phụ thuộc biến x và

( ), ( )f x g y là các hàm số liên tục trên khoảng ( , )a b nào đó.

Phương pháp giải phương trình có biến số phân li là lấy tích phân bất định 2 vế của

phương trình (6.3).

Phương trình (6.3) có dạng

.g y y x dx f x dx

Lấy tích phân hai vế theo biến x ta có

g y x y x dx f x dx g y dy f x dx G y F x C

Ví dụ 6.5. Giải phương trình 2

2

1

xydy dx

x

189 | P a g e

Giải. Lấy tích phân 2 vế của phương trình ta có

2

2 2 2

2

2ln 1 2ln 1 2

21

x yydy dx x C y x C

x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

2 2

2ln 1 2y x C (C là hằng số tùy ý)

Chú ý. Vì hằng số cộng được chọn tùy ý nên trong bài trên ta có thể làm như sau

2

2 2 2

2

2ln 1 2ln 1

2 21

x y Cydy dx x y x C

x

và nghiệm tổng quát là: 2 2

2ln 1y x C

hay một cách khác

2

22 2 2

2

2 lnln 1 ln 1 0

2 21

x y Cydy dx x y C x C

x

Trong trường hợp này nghiệm tổng quát: 2

2 2

ln 1 0y C x C

Do đó, nếu hằng số cộng được chọn một cách hợp lý thì nghiệm tổng quát sẽ được biểu

diễn đơn giản và gọn hơn nhiều.

6.2.2.2. Phương trình vi phân biến số phân li được

a) Xét phương trình vi phân có dạng

1 1 2 2f x g y dy g y f x dx (6.4)

trong đó 1 2 1 2, , ,f f g g là các hàm liên tục trên miền đang xét.

* Phương pháp giải

Giả sử 1 2. 0f x g y . Phương trình này có thể đưa về dạng biến số phân li bằng cách

chia 2 vế của (6.4) cho 1 2. 0f x g y . Khi đó, (6.4) trở thành

1 2

2 1

g y f xdy dx

g y f x

Chú ý.

+ Nếu y a là nghiệm của phương trình 2

0g y thì ta thay y a và phương

trình (6.4) ta suy ra y a cũng là nghiệm của (6.4).

190 | P a g e

+ Nếu trong (6.4) ta có thể thay đổi vai trò của y và x thì phương trình còn có

nghiệm x b , trong đó b là nghiệm của phương trình 1

0f x .

Ví dụ 6.6. Giải phương trình: 2 31 1 1 0x y dx x y dy

Giải

Với 31 0, 1 0y x phương trình có thể viết:

2 2

3 3

3

1 10

1 11 1

1ln 1 2 ln 13

y yx xdx dy dx dy C

y yx x

x y y C

Thay trực tiếp 1; 1y x vào phương trình ta cũng có 1; 1y x là nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm:

+ Tích phân tổng quát: 31ln 1 2ln 1

3

x y y C .

+ Nghiệm 1y .

+ Nghiệm 1x .

b) Xét phương trình vi phân có dạng

y f ax by (6.5)

Đặt z ax by và xem z là hàm số của x ta có:z a by

Phương trình trở thành: z a bf z . Đây là phương trình biến số phân li.

Ví dụ 6.7. Giải phương trình: 3y x y

Giải.

Đặt 3 3 3z x y z y y z

Thay vào ta được

3 3 ln 3 ln3

dzz z z z dx z x C

z 0C

Do đó: 1

3xCe

z hay

1

3 3xCe

x y. Đây là nghiệm tổng quát của phương trình

đã cho.

191 | P a g e

6.2.2.3. Phương trình đẳng cấp cấp 1

Phương trình đẳng cấp cấp 1 là phương trình dạng: y

y f

x

* Phương pháp giải

Đặt y

tx

và xem t là hàm của x. Ta có: .y tx y t x t

Thay vào phương trình, ta có: .t x t f t xt f t t

Ta có dạng phương trình biến số phân li.

Ví dụ 6.8. Giải phương trình 2 2

2

x yy

xy

Giải.

Ta biến đổi:

2

1

2

y

xy

y

x

Vậy phương trình đã cho là phương trình đẳng cấp.

Đặt . .y

t y t x y t x tx

. Thay thế vào phương trình ta có:

2 21 1.

2 2

t tt x t t x

t t

Giải phương trình trên với biến số phân li: 2 2

2 20

1 1

tdt dx dx tdt

x xt t

Lấy tích phân tổng quát của phương trình này ta được

2 21 1

ln ln 1 ln 1x t C x t C C

Hay 2

2 21 12

1y

x C y x C xx

6.2.2.4. Phương trình tuyến tính cấp 1

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng

y p x y q x (6.7)

192 | P a g e

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) nào đó.

Nếu 0,q x x thì (6.7) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần

nhất.

Nếu 0q x thì (6.7) gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần

nhất.

* Phương pháp giải.

Giải phương trình thuần nhất: 0y p x y (6.8)

Phương trình thuần nhất được viết lại là

dyp x y

dx

Nếu 0y .Chia hai vế (6.8) cho y

dyp x dx

y

Lấy tích phân hai vế phương trình trên ta được

1 1

ln ln , 0y p x dx C C

1 1, 0

p x dx

y C e C

Hay

, 0p x dx

y Ce C

Ta thấy 0y là một nghiệm của phương trình (6.9). Nghiệm này có thể nhận được từ

(6.9) nếu trong (6.9) ta lấy cả giá trị 0C .

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (6.8) có dạng

( )( )

p x dxy Ce C (6.10)

Giải phương trình không thuần nhất (phương pháp biến thiên hằng số)

0y p x y q x q x (6.11)

Bước 1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: p x dx

y Ce

Bước 2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (6.11) dưới dạng

p x dxy C x e

193 | P a g e

Ở đây, hằng số C được xem như hàm số của biến x. Ta có:

p x dx p x dxy C x e C x p x e (6.12)

Thay vào phương trình (6.11) ta có:

p x dx p x dx p x dxC x e C x p x e C x p x e q x

Hay p x dx

C x q x e

Do đó ta có: p x dx

C x q x e dx T

với T là một hằng số tùy ý.

Bước 3. Lập nghiệm tổng quát của (6.11)

p x dx p x dxy e q x e dx T ( )T

Hay p x dx p x dx

y e q x e dx C ( )C

(6.13)

Ví dụ 6.9. Giải phương trình:1

2y y xx

.

Tìm nghiệm riêng thỏa mãn 1 1y

Giải.

Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với 1; 2p x q x xx

Áp dụng công thức nghiệm (6.13) , ta có

ln ln2 2 2 2dx dx

x xx xy xe dx C e xe dx C e dx C x x C x

Vậy 22y x Cx .

Với điều kiện đầu 1 1y , ta tìm được 3C .

Vậy nghiệm riêng cần tìm là: 22 3y x x

Ví dụ 6.10. Giải phương trình:2

2 xy xy xe

Giải.

194 | P a g e

Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 với 2

2 , xp x x q x xe . Áp dụng công thức

nghiệm ta có

2 2 22 2 2. . 2xdx xdxx x xy x e e dx C e xdx C e x C e

Vậy nghiệm cần tìm là 22 xy x C e

6.2.2.5. Phương trình Bernoulli

Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng

y p x y q x y (6.14)

với p(x), q(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a,b) nào đó và 0, 1 .

* Phương pháp giải

Giả sử 0y , nhân 2 vế phương trình (6.14) cho y ta được

1y y p x y q x (6.15)

Đặt 1z y là hàm theo biến x, ta có: 1

1

zz y y hay y y . Thay

vào phương trình (6.15) ta có phương trình tuyến tính cấp 1 dạng

1 1z p x z q x

Chú ý.

+ Ta thấy 0y cũng là nghiệm của phương trình (6.15) khi 0 .

+ Khi 1 thì 0y là nghiệm riêng.

+ Khi 0 1 thì 0y là nghiệm kì dị.

Ví dụ 6.11. Giải phương trình 2y xy y

Giải

Ta có: 2

2 y yy xy y y

x x

Phương trình cuối là phương trình Bernoulli với 2 . Giả sử 0y , nhân 2 vế của

phương trình cuối với 2y và đặt

1z y ta có phương trình tuyến tính cấp 1 sau

1 1z zx x

195 | P a g e

Giải phương trình này ta được nghiệm tổng quát 1

z x Cx

. Do đó nghiệm tổng quát

của phương trình đã cho là x

yx C

. Ngoài ra nó còn có nghiệm 0y .

Như vậy phương trình có các nghiệm là

0

xyx C

y

6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1

6.3.1 Biến động của giá trên thị trường

Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho bởi

;d sQ p Q p

Điểm cân bằng thị trường (tức d sQ Q ) là , , 0M x y dx N x y dy p

Nếu giá ban đầu là (0)p p thì thị trường luôn cân bằng. Nếu (0)p p thì giá sẽ đạt p

sau một quá trình điều chỉnh nào đó. Trong quá trình này , ,d sQ Q p đều thay đổi theo thời

gian t.

Giả sử theo thời gian t, giá ( )p t tại thời điểm t luôn tỉ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và

cung tại thời điểm đó, tức là '( ) . ( ) ( )d sp t k Q t Q t , k là hằng số dương.

Từ đó ta có .( )dp

k p pdt

( ) ( )

( )

( )( )

k k p

k p

k p p

Suy ra

0 0

( )

ln ln , ( )

dpk dt

p p

p p k t C k k

Từ đó 0k tp p Ce

Vì (0)p p C nên (0)C p p và 0( (0) )k t

p p p p e

196 | P a g e

Do 0 0k nên lim ( )t

p t p

Vậy theo thời gian, giá cả có xu hướng trở về giá trị cân bằng. Ta nói điểm cân bằng có

tính chất ổn định động.

Ví dụ 6.12. Cho 2

1 2 ; 2 3 ; 0,2 ; (0)5

d sQ p Q p k p . Tìm thời gian t sao

cho 1%p p

Giải

Ta có 0

3( ) 1 ;

5k k p

Từ đó 0( (0) )k t

p p p p e2 3

5 5

te

1

ln(5 ) ln 20 35

tp p e t

Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu trên.

6.3.2. Dự đoán biến động giá

Xét hàm giá theo thời gian ( )p p t

Nếu 0dp

dt thì giá tăng; 0

dp

dt thì giá giảm.

Nếu 2

20

d p

dt thì giá thay đổi ngày càng nhanh,

2

20

d p

dt thì giá thay đổi ngày càng

chậm.

Để bao quát hết tình hình đó, ta coi hàm cầu, hàm cung không chỉ phụ thuộc p mà còn

phụ thuộc cả ', ''p p , tức là ( , ', '') , ( , ', '')d sQ D p p p Q S p p p

Thông thường giá tăng thì cầu giảm, giá tăng thì cung tăng: 0 ; 0d sQ Q

p p

Ví dụ 6.13

a) Cho 15 2 4 ' '' , 3 4 3 'd sQ p p p Q p p

(0) 6 ; '(0) 4p p . Tìm sự biến động của giá p theo thời gian (giả thiết cung, cầu cân

bằng tại mọi thời điểm).

Giải

Ta có 15 2 4 ' '' 3 4 3 'p p p p p

197 | P a g e

'' ' 6 18p p p

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: 2 3

1 2

x xC e C e

Một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là 3, do đó

2 3

1 23 x xp C e C e

Cho (0) 6 ; '(0) 4p p ta được

1 2 1

1 2 2

3 6 1

2 3 4 2

C C C

C C C

Vậy 2 33 2x xp e e

Vì lim ( )t

p t nên 3p là điểm cân bằng không ổn định động

b) Cho 40 2 ' 2 '' , 5 4 ''d sQ p p p Q p p

(0) 12 ; '(0) 1p p . Tìm sự biến động của giá p theo thời gian (giả thiết cung, cầu cân

bằng tại mọi thời điểm).

Giải

Ta có 40 2 ' 2 '' 5 4 ''p p p p p

1 2

'' 2 ' 5 45

9 cos2 sin 2t

p p p

p e C t C t

Vì (0) 12 ; '(0) 1p p nên

1 1

1 2 2

9 12 3

2 1 2

C C

C C C

Vậy 9 3cos2 2sin 2tp e t t

Vì lim ( ) 9t

p t nên 9p là điểm cân bằng ổn định động

198 | P a g e

CHƯƠNG 7 CHUỐI SỐ THỜI GIAN

7.1 Thành phần và mô hình chuỗi thời gian

Có rất nhiều tình huống trong đó không có các biến độc lập đáng tin cậy hoặc có sẵn mà

từ đó một biến phụ thuộc có thể được dự báo. Trong những trường hợp như vậy, các

phương pháp tiếp cận thay thế cho hồi quy phải được thông qua. Một trong số đó là sử

dụng các giá trị trong quá khứ của biến được dự báo, được gọi là chuỗi thời gian và tìm

kiếm các mẫu trong đó. Những mô hình này sau đó được cho là tiếp tục trong tương lai,

do đó một dự báo ngoại suy được tạo ra. Đầu tiên ta thảo luận về các dạng khác nhau của

dữ liệu chuỗi thời gian.

Có được coi là bốn thành phần của biến thể trong chuỗi thời gian:

● Thành phần xu hướng, T;

● Thành phần theo mùa, S;

● Thành phần chu kỳ, C; và

● Thành phần thặng dư (hoặc bất thường hoặc ngẫu nhiên), R.

Thành phần xu hướng trong chuỗi thời gian nói chung là các chuyển động của biến quan

sát, với các chuyển động bất thường đã được loại bỏ. Nó thường được gọi là xu hướng cơ

bản, và các thành phần còn lại được xem là xảy ra xung quanh xu hướng này. Có một số

mô hình xu hướng cơ bản mà các biến kinh tế có khuynh hướng tuân theo, chẳng hạn: xu

hướng tuyến tính, xu hướng logistic và xu hướng tăng trưởng theo hàm mũ (xu hướng lãi

kép) …

Thành phần theo mùa quan sát các biến động thường xuyên của các biến số vào các thời

điểm khác nhau trong năm. Do đó, một công ty sản xuất kem mới thành lập có thể có

doanh số bán hàng theo xu hướng tăng. Tuy nhiên, xung quanh đó, doanh số bán hàng sẽ

có xu hướng có đỉnh điểm vào những tháng hè và xuống đáy trong những tháng mùa

đông. Những đỉnh và đáy xung quanh xu hướng được giải thích bởi các thành phần theo

mùa. Nói chung, nếu một biến được ghi lại hàng tuần, hàng tháng hoặc hàng quý, nó sẽ

có xu hướng hiển thị biến động theo mùa, trong khi dữ liệu được ghi lại hàng năm sẽ

không.

Thành phần theo chu kỳ thường giải thích nhiều sự thay đổi dài hạn do chu kỳ kinh doanh

gây ra. Ví dụ, khi nền kinh tế của một quốc gia rơi vào suy thoái, hầu hết các biến kinh tế

sẽ bị giảm giá trị, trong khi đó, khi một xu hướng tăng tổng thể xảy ra, các biến số như

199 | P a g e

doanh số và lợi nhuận sẽ có xu hướng tăng lên. Những biến đổi theo chu kỳ này xảy ra

nhiều năm và do đó có một ít ảnh hưởng trong ngắn hạn.

Thành phần còn lại không thể giải thích được bằng các yếu tố đã đề cập ở trên. Nó được

gây ra bởi sự biến động ngẫu nhiên và các sự kiện không thể dự đoán được hay sự kiện

lạ, chẳng hạn như một vụ cháy lớn trong một nhà máy sản xuất. Nếu ba thành phần đầu

tiên được giải thích tốt bởi hành vi, chẳng hạn như tai nạn hiếm gặp, thì thành phần sau

cùng sẽ có ít ảnh hưởng.

Bốn thành phần của các biến động được cho là kết hợp để tạo ra biến quan sát theo một

trong hai cách: vì vậy chúng ta có hai mô hình toán học của biến.

Mô hình đầu tiên là mô hình cộng tính: Y T S C R

Mô hình thứ hai có dạng: Y T S C R gọi là mô hình nhân hay mô hình

multiplicative

Ví dụ 7.1. Do đó, theo mô hình cộng tính, một khoản doanh thu hàng tháng là 21.109

bảng Anh có thể được giải thích như sau:

● Yếu tố xu hướng có thể là 20.000 bảng Anh;

● Yếu tố mùa vụ: 1.500 bảng Anh (tháng được đề cập là một tháng buôn bán tốt, do đó

doanh thu dự kiến được 1.500 bảng so với xu hướng);

● Yếu tố chu kỳ: £ 800 (đã có kinh nghiệm rằng tháng này thường sụt giảm doanh thu,

chẳng hạn 800 bảng);

● Yếu tố ngẫu nhiên: 409 bảng Anh (do biến động ngẫu nhiên không dự đoán được)

Từ mô hình ta có: 21.109 20.000 1500 800 409Y T S C R hay

Theo mô hình nhân, ta có thể giải thích như sau:

● Yếu tố xu hướng: 20.000 bảng;

● Yếu tố mùa vụ: 1,1 (tháng được đề cập là một tháng buôn bán tốt, do đó doanh thu dự

kiến tăng 10%);

● Yếu tố chu kỳ: 0,95 (tháng này doanh thu giảm 5%);

● Yếu tố ngẫu nhiên: 1,01 bảng Anh (do biến động ngẫu nhiên nên tăng 1%)

Từ mô hình ta có: 21.109 20.000 1,1 0,95 1,01Y T S C R hay

Chú ý rằng, trong mô hình cộng tính tất cả các thành phần đều có cùng đơn vị với biến

quan sát còn trong mô hình nhân chỉ có yếu tố xu hướng có cùng đơn vị. Các yếu tố khác

không có đơn vị.

200 | P a g e

7.2 Dự báo xu hướng tuyến tính

Có nhiều cách để dự báo các biến số chuỗi thời gian. Để thuận tiện cho việc dự báo ngoại

suy chúng ta sẽ tập trung ở đây chỉ một phương pháp. Phương pháp dự báo sẽ nghiên cứu

thành phần một cách riêng biệt, và sau đó kết hợp chúng thông qua một trong các mô

hình để tạo thành dự báo về chính biến đó. Chúng ta bắt đầu với xu hướng đơn giản nhất

của xu hướng tuyến tính. Trong trường hợp này, không cần bất kỳ lý thuyết mới vì chúng

ta có thể tìm thấy xu hướng như một đường hồi qui tuyến tính.

Ví dụ 7.2. Bảng sau cho số liệu doanh thu của một công ty hàng quý trong 3 năm. Hãy

dự đoán xu hướng của các giá trị tiếp theo trong chuỗi.

Năm 1992 Năm 1993 Năm 1994

Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4 Q1 Q2 Q3 Q4

42 41 52 39 45 48 61 46 52 51 60 46

t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7 t=8 t=9 t=10 t=11 t=12

Giải

Đồ thị của các dữ liệu này, đồ thị

chuỗi thời gian, được biểu diễn trong

hình bên.

Điều này cho thấy rằng doanh số bán

hàng của công ty đang theo xu hướng

tăng lên, có hình dạng tuyến tính nhiều

hay ít, và có một mô hình theo mùa

không rõ ràng: mỗi quý thứ ba là đỉnh

và mỗi quý thứ tư là một đáy. Cách tiếp

cận và mô hình được sử dụng ở đây là

thích hợp.

Chú ý rằng, việc đánh số các quý quan sát từ 1 đến 12 để dễ tham khảo và tạo điều kiện

thuận lợi để tìm phương trình hồi quy. Dễ dàng thấy được phương trình hồi quy là:

T=42+1,01t

Trong đó T là xu hướng của doanh thu (giả sử xu hướng là tuyến tính) và t là số thứ tự

tương ứng của quý quan sát.

Ví dụ 7.3. Quan sát doanh thu hàng quý từ năm 1993 đến 1996 ta có bảng sau:

201 | P a g e

Q1 Q2 Q3 Q4

1993 24.8 36.3 38.1 47.5

1994 31.2 42.0 43.4 55.9

1995 40.0 48.8 54.0 69.1

1996 54.7 57.8 60.3 68.9

a) Kiểu xu hướng và mùa nào sẽ phù hợp khi phân tích các số liệu trên? Vẽ biểu đồ số

liệu?

b) Đánh số quý đầu tiên năm 1993 là 1 và tương ứng quý cuối cùng năm 1996 là 16. Hãy

tìm phương trình đường hồi quy của xu hướng T?

Giải.

a) Hàng quý, hàng năm cho thấy doanh thu gia tăng, do đó ta có thể dự đoán xu hướng

tăng. Ngoài ra có một kiểu mẫu theo mùa với việc gia tăng ổn định từ quý 1 đến quý 4.

b) Ta dễ dàng tìm được: T=28,54+2,3244t

Ta tính toán lại doanh thu năm 1995 theo đường hồi quy vừa tìm.

Q1 Q2 Q3 Q4 Ký hiệu

1995 55,1 56,1 57,2 58,2

1995 40.0 48.8 54.0 69.1 T

Ta dùng ký hiệu (số liệu tính toán dựa theo đường hồi quy) để phân biệt với T, số liệu

quan sát được từ thực tế.

Dự đoán doanh thu cho năm 1997.

Q1 Q2 Q3 Q4 Ký

hiệu

1997 68.0548 70.3792 72.7036 75.028

17 18 19 20 t

7.3 Dự báo thành phần theo mùa

Trong dự báo xu hướng tuyến tính ta không gặp trở ngại trong việc lựa chọn mô hình tuy

nhiên vì thành phần theo mùa rất khác biệt trong 2 mô hình nên để dự báo thành phần

theo mùa ta cần cân nhắc mô hình: nhân hoặc cộng tính. Thông thường mô hình nhân

thường được sử dụng hơn do nó cho thấy tỷ lệ của các biến động theo mùa trong doanh

số. Còn theo mô hình cộng tính lại giả sử rằng các biến động theo mùa là một lượng cố

định. Và do đó sẽ làm giảm đi phần nào đó của thành phần xu hướng. Nói chung không

202 | P a g e

có lý do để tin rằng mùa vụ trở thành yếu tố ít quan trọng hơn, do đó mô hình nhân được

áp dụng thường xuyên hơn.

Giả sử ta xét mô hình đơn giản, biến quan sát chỉ gồm hai thành phần là T (thành phần xu

hướng) và S (thành phần theo mùa):

Ta có:

YY T S S

T

Như vậy thành phần theo mùa chính là tỷ lệ giữa giá trị thực của biến quan sát và thành

phần xu hướng. Thông thường ta tính thành phần theo mùa bằng cách lấy trung bình các

giá trị có sẵn để tận dụng được nhiều thông tin nhất. Với các mục đích dự báo, mức độ

mùa vụ tương tự được giả định là tiếp tục trong tương lai, và do đó, các thành phần theo

lịch sử theo mùa chỉ đơn giản được dự đoán không thay đổi trong tương lai.

Ví dụ 7.4. Hãy tính toán thành phần theo mùa đối với dữ liệu trong ví dụ 7.2 trên.

Giải

Đầu tiên ta tính toán tỷ lệ giữa doanh thu và xu hướng đối với mỗi quý trong 12 năm.

Ta có:

421 42 1,01 1 43,01 0,9765

43,01

..............................................................................................

4612 42 1,01 12 54,12 0,8500

54,12

Yt T S

T

Yt T S

T

Ta có bảng tổng hợp sau:

Khi sắp xếp như thế này, rất thuận lợi để ta tính trung bình cho từng quý. Các giá trị kết

quả tạo thành thành phần theo mùa trung bình cho từng quý từ dữ liệu: chúng cho thấy,

trung bình trong quá khứ, quý 1 doanh thu đã được 98 phần trăm (xấp xỉ) của xu hướng,

quý 2 doanh số bán hàng 97 phần trăm của xu hướng, …

Các giá trị này bây giờ được xem như các thành phần theo mùa (được biểu thị là S).

Trong trường hợp này, các dự báo cho bốn quý của năm 1995 là như sau:

0,9836 0,9697 1,1759 0,8719

203 | P a g e

Ta tính toán thêm như sau:

Thêm vào đó:

Từ đây ta có các thành phần theo mùa: 0,9833 0,9694 1,1756 0,8716

Trong trường hợp này, việc điều chỉnh hầu như không có hiệu quả và do đó có thể bỏ

qua. Trong thực tế, dữ liệu gốc dường như đã được làm tròn 3 chữ số thập phân và do đó

đưa ra các thành phần theo mùa đến bốn chữ số thập phân có thể không thực sự được phù

hợp. Ta sẽ được làm tròn tốt hơn để được 0,98, 0,97, 1,18 và 0,87

Ta đã sử dụng trung bình số học để tìm ra sự biến đổi theo mùa trung bình và để điều

chỉnh trung bình để các thành phần ước tính của chúng ta thêm vào 4. Một phương pháp

thay thế có tính toán học chính xác hơn là sử dụng các phương tiện hình học và điều

chỉnh các tỷ lệ trung bình để chúng nhân lên đến 1. Tuy nhiên, trong thực tế nó làm cho

hầu như không có sự khác biệt và số học trung bình là dễ dàng hơn.

Ví dụ 7.5. Sử dụng dữ liệu và đường hồi qui được tính trong ví dụ 7.3 để xác định thành

phần theo mùa (S) như là số học trung bình của Y=T cho từng quý, trong đó Y biểu thị

doanh thu thực tế và T xu hướng được đưa ra bởi phương trình hồi qui. Điều chỉnh các

biến thể theo mùa trung bình của bạn để chúng thêm vào 4.

Đáp số: Các thành phần theo mùa là 0.83; 0.99; 1.00; 1.18

204 | P a g e