TÍNH DẦM DÀI HỮU HẠN TRÊN NỀN ĐÀN HỒI

Lớp: Cầu đường bộ A-k49Nhóm: III

Xét một dầm dài có độ cứng EJx không đổi đặt trên nền đàn hồi. Tùy theo sự phân bố tải

trọng và liên kết, ta chia dầm thành nhiều đoạn.

Ta sẽ đi thiết lập công thức tổng quát của đường đàn hồi, góc

quay, mômen uốn và lực cắt → Phương pháp:

THÔNG SỐ BAN ĐẦU

f ai

vai vi

vi-1

vi

qai

Mai Qai

Doan i-1 Doan i

• Công thức tổng quát của đường đàn hồi viết dưới dạng truy hồi như sau:

vi = vi-1 + ∆vi

Trong đó: vi - hàm đường đàn hồi đoạn thứ i vi-1 - hàm đường đàn hồi đoạn thứ i-1 ∆vi - hàm số gia đường đàn hồi của đoạn thứ i so với đoạn

thứ i-1. Hàm số gia đường đàn hồi lấy đối số (z-ai), với ai là tọa độ đầu đoạn thứ i

Ta có phương trình vi phân:

viIV + 4m4

.v i = -q

iEJ

x (a)

v i-1

IV + 4m4

v i-1 = - q

i-1

EJ x (b)

Trừ 2 phương trình với nhau ta được:

∆v iIV + 4m4

∆v i = - ∆q

iEJ

x (*)

Với : ∆q i = q

i - q i-1 là hàm số gia của tải trọng phân bố giữa đoạn thứ i vào

đoạn thứ i-1 Nghiệm của phương trình (*) có dạng:

∆v i = e

m(z-a i)

[C 1 cos m(z-a

i) + C 2 sin m(z-a

i )] +

+ e-m(z-a i)

[C 3 cos m(z-a

i) + C 4 sin m(z-a

i )] - ∆q

ik (c)

Để đơn giản việc tính toán tiếp theo và cũng phù hợp với thực tế kỹ thuật, ở đây ta han chế tải trọng phân bố là bậc nhất. Khi đó: ∆q

i = ∆q a

i + ∆q’

a

i (z - a

i) (d) Trong đó: ∆q’

a

i -số gia của độ dốc tải trọng phân bố đoạn thứ i so với độ dốc tải

trọng phân bố đoạn thứ i-1

Nếu thay : em(z-a i)

= chm(z - a i) + shm(z - a

i) e-m(z-a

i) = chm(z - a

i) - shm(z - a i)

và định nghĩa các hàm có đối số mz gọi là hàm Crưlốp như sau: A

mz = chmz cosmz

B mz = 12 (sin mz chmz + cos mz shmz)

C mz = 12 (shmz sin mz)

D mz = 14 (sin mz chmz - cosmz shmz)

thì (c) được viết dưới một dạng mới:

∆v i = G

1 A m(z-a

i) +G

2 A m(z-a

i) + G

3 A m(z-a

i) + G

4 A m(z-a

i) - 1k [∆q

a i + ∆q’

a

i (z - a

i )]

trong đó G

1, G 2, G

3, G 4 là những hằng số tích phân của nghiệm viết theo

dạng mới. Ta có quan hệ: A’

mz = -4mD mz ; B’

mz = mA mz ;

C’

mz = mB

mz ; D’

mz = mC

mz ;

Khi đối số của các hàm Crưlốp bằng 0 thì ta có: A

0 = 1, B 0 = C

0 = D 0 = 0 (h)

Giá trị các hàm Crưlốp thường được tính thành bảng trong các sổ tay hoặc có thể tính trực tiếp bằng máy tính. Ta sẽ xác định các hằng số tích phân theo các thông số ban đầu:

∆v’ i = ∆φ

i = -4mG 1D

m(z-a i) + mG

2A m(z-a

i) + mG

3B m(z-a

i) + mG

4C m(z-a

i) - 1k∆q’

a i ;

∆M

i = -EJ x∆v’’

i = EJ x4m2

G 1C

m(z-a i) + EJ

x4m2 G

2D m(z-a

i) - EJ

xm2 G

3A m(z-a

i) +

- EJ xm2

G 4B

m(z-a i) ;

∆Q

i = -EJ x∆v

i’’’= EJ x4m3

G 1B

m(z-a i)+EJ

x4m3 G

2C m(z-a

i)+EJ

x4m3 G

3D m(z-a

i)-

-EJ xm3

G 4A

m(z-a i) ;

Thay z=a i vào các biểu thức trên và chú ý tới (h), ta được:

∆v a

i = G

1 - 1k ∆q

a i ;

∆φ a

i = mG

2 - 1k ∆q’

a i ;

∆M

a i = -EJ

xm2 G

3 ; ∆Q

a i = -EJ

xm3 G

4 ; Trong đó: ∆v

a i ,∆φ

a i ,∆M

a i ,∆Q

a i là những số gia về độ võng, góc quay,mômen

uốn và lực cắt ở đầu đoạn thứ i. Giải hệ phương trình trên ta rút ra hằng số tích phân tính theo các số gia:

G 1 = ∆v

a i +

∆q a

i

k ; G 2 =

∆φ a

i

m + ∆q’

a i

k ;

G 3 =

∆M a

i

EJ xm2

; G

4 = ∆Q

a i

EJ xm3

;

Thay các giá trị này vào biểu thức của ∆v i ta được:

∆v i =

∆v a

i+

∆q a

i

k A

m(z-a i) +

∆φ

a i

m +∆q’

a i

mkB m(z-a

i) -

∆M

a i

EJ xm2

C

m(z-a i)

-

- ∆Q

a i

EJ xm3

D

m(z-a i) - 1k [∆q

a i + ∆q’

a i(z-a

i)] ;

∆φ i =

∆φ a

i+

∆q’ a

i

k A

m(z-a i) -

∆M a

i

EJ xm

B m(z-a

i) -

∆Q a

i

EJ xm2

C

m(z-a i) -

- 4m

∆v a

i+

∆q a

i

k D

m(z-a i) -

∆q’ a

i

k ;

∆M i = ∆M

a i A

m(z-a i) +

∆Q a

i

m B m(z-a

i) + 1

m2

k∆v a

i+∆q

a i C

m(z-a i) +

1m3

k∆φ a

i+∆q’

a i D

m(z-a i) ;

∆Q i = ∆Q

a i A

m(z-a i) + 1

m

k∆v a

i+∆q

a i B

m(z-a i) + 1

m2

k∆φ a

i+∆q’

a i C

m(z-a i) -

- 4m∆M a

i D

m(z-a i) ;

Từ các hàm số gia này và công thức tổng quát của đường đàn hồi : v

i = v i-1 + ∆v

i ta có thể dễ dàng viết được hàm độ võng, góc quay, … của đoạn thứ i cho toàn bộ dầm Từ các hàm độ võng, góc quay, lực cắt, … và các thông số ban đầu của dầm, ta có thể xác định được các thông số ẩn, từ đó ta viết được hàm độ võng, góc quay, lực cắt, mômen cho toàn bộ dầm. Sau khi đã biết các hàm độ võng, góc quay,…. ta có thể vẽ được biểu đồ chuyển vị và nội lực của dầm.

Cũng như trình tự tính dầm thông thường bằng phương pháp thông số ban đầu, đối với dầm trên nền đàn hồi, trình tự giải bài toán cũng tương tự:

1. Lập bảng thông số ở đầu dầm và mỗi đoạn, trong đó có thông số chưa biết (ẩn) và thông số đã biết.

2. Lần lượt viết các hàm độ võng, góc quay, mômen uốn và lưc cắt từ đoạn 1 đến đọa cuối bằng phương pháp truy hồi theo các công thức ở trên. Cần chú ý rằng, tùy theo sự cần thiết đẻ giải các ẩn, không nhất thiết phải viết tất cả các hàm nói trên.

3. Xác định các điều kiện để giải ra các thông số ẩn. Với các thông số đã giải ra, bài toán coi như đã giải quyết.

Ví dụ: tìm hàm độ võng cho đoạn dầm bên Với k = 520 daN/cm2 EJ

x = 1.05 1011 daN/cm2

Giải:

m = 4 k

EJ x =1.8758 .10-2 (1/cm)

Ta có thể tính được 1 số giá trị của hàm Crưlốp ứng với z= 0;100 (SGK trang 203) 1. Lập bảng thông số ban đầu:

z=0 z = 100v0 = 0 ∆v2 = 0

φ0 = 0 ∆φ2 = 0

M0 = ? ∆M2 = 100

Q0 = ? ∆Q2 = -100

q0 = 0 ∆q2 = 100

2. Viết biểu thức v, M cho 2 đoạn dầm: Đoạn 1: (0 ≤ z ≤ 100):

v 1 = - M

0

EJ xm2

C

mz - Q

0

EJ xm3

D

mz

M 1 = M

0 A mz + Q

0

m B mz

Đoạn 2 (100 ≤ z ≤ 200):

v 2 = v

1 - 100k A

m(z-100) - 100

EJ xm2

C

m(z-100) - 100

EJ xm3

D

m(z-100) ;

M 2 = M

1 + 100A m(z-100) + 100

m B m(z-100) -

100m2

C

m(z-100)

3. Tính các thông số ẩn: Ta có 2 thông số chưa biết là M

0 & Q 0 . Các thông số này được xác

định dựa vào 2 điều kiện sau: v

c = 0 & M c = 0 ;

Từ 2 điều kiện trên ta xác định được M

0 & Q 0

Xác định được hàm độ võng