các h th c c ơ b n c n nh · nguy n qu c qu n – giáo viên tr ưng thpt chuyên nguy n quang...

Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

Trang: 1/32

Các hệ thức cơ bản cần nhớ

sin2x + cos

2x = 1 ;

x

xx

cos

sintan = ; cotx =

x

x

sin

cos

tanx.cotx = 1 ; xx

2

2tan1

cos

1+= ; x

x

2

2cot1

sin

1+=

• a2 + b

2 = (a+b)

2 –2ab (a –b)

2 = (a+b)

2 –4ab a

3 + b

3 = (a+b)

3 –3ab(a+b)

• 2 [a2 +b2] = (a + b)2 + (a –b)2 4ab = (a + b)2 –(a –b)2

I.Công thức cộng.

* cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (1 ) * cos( a+b) = cosa.cosb – sina.sinb (2)

* sin ( a–b) = sina.cosb – cosa.sinb (3) * sin( a+b) = sina.cosb + cosa.sinb (4 )

* ( )ba

baba

tan.tan1

tantantan

+

−=− (5) * ( )

ba

baba

tan.tan1

tantantan

−

+=+ (6)

II.Công thức nhân.

a/ Công thức nhân đôi. * sin2a = 2sinacosa

* cos2a = cos2a – sin

2a = 1 – 2sin

2a = 2cos

2a – 1

b/ Công thức nhân ba

* cos3a = 4cos3a – 3cosa * sin3a = – 4sin

3a + 3sina

III. Công thức hạ bậc.

*

+

−=

−=

+=

a

aa

aa

aa

2cos1

2cos1tan;

2

2cos1sin;

2

2cos1cos

222

* 4

3coscos3cos

3 aaa

+= ;

4

3sinsin3sin

3 aaa

−=

IV.Công thức tính sina,cosa,tana theo t = tan2a

222

2

1

2tan;

1

2sin;

1

1cos

t

ta

t

ta

t

ta

−=

+=

+

−=

V. Công thức biến đổi 1/ Biến đổi tích thành tổng

[ ])sin()sin(21cos.sin bababa −++= [ ])cos()cos(

21cos.cos bababa −++=

[ ])cos()cos(21sin.sin bababa +−−=

2/ Biến đổi tổng thánh tích

* 2

cos2

sin2sinsin bababa

−+=+ *

2sin

2cos2sinsin baba

ba−+

=−

* 2

cos2

cos2coscos bababa

−+=+ *

2sin

2sin2coscos baba

ba−+

−=−

* ( )

ba

baba

coscos

sintantan

±=±

Cách nhớ:

Tích thành tổng: sin.cos = 21

[sin + + sin –] * cos.cos = 21

[ cos + + cos – ]


Trang: 2/32

sin.sin = 21

[ cos – – cos +]

Tổng thành tích sin + sin = 2sincos ; sin – sin = 2 cos.sin

cos + cos = 2 cos.cos ; cos – cos = –2sin.sin

Phương trình lượng giác cơ bản I.Phương trình: sinu = m. Điều kiện có nghiệm: – 1 ≤ m ≤ 1

* Tìm a để sina = m

+−=

+=⇔=

ππ

π

2

2sinsin

kau

kauau

“Nếu a là góc không đặc biệt, ta viết : sinu = m ⇔

+−=

+=

ππ

π

2arcsin

2arcsin

kmu

kmu”

• Trường hợp riêng:

sinu =1 ⇔ u = 2

π + k2π ; sinu = –1 ⇔ u =

2

π− + k2π ; sinu = 0 ⇔ u = kπ

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1/ 2sinx – 1 = 0 , 2/ sin( 2x + 150 ) = 1 . 3/

−

π=

π− x

3sin

4x3sin

4/ sin4x + sin2x = 0 5/ sin4x + cos2x = 0 6/ 4cos2x – 1 = 0

II. Phương trình: cosu = m Điều kiện có nghiệm: – 1 ≤ m ≤ 1

Tìm a để cosa = m . π2coscos kauau +±=⇔= “Nếu a là góc không đặc biệt ta viết : cosu = m ⇔ u = ± arccos(m) + k2π”

• Trường hợp riêng:

cosu = 0 ⇔ u = 2

π + kπ ; cosu = 1⇔ u = k2π ; cosu = – 1 ⇔ u = π + k2π

Ví dụ: Giải các phương trình sau.

1/ xx cos4

32cos =

+

π 2/ ( )

4

330cos 02

=−x 3/ 013

2cos2 =+

−

πx

III. Phương trình: tanu = m . Tìm a để tana = m

tanu = tana ⇔ u = a + kπ “tanu = m ⇔ u = arctan (m) + kπ”

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1/ tan( 2x– 750 ) = 3− 2/

+=

−

122tan

3tan

ππxx

IV. Phương trình cotu = m ( cách giải như phương trình tanu = m )

cotu = cota ⇔ u = a + kπ (cotu = m ⇔ u = arccot(m) + kπ

Vídụ: Giải các phương trình sau:

1/ cot4x = 3 ; 2/ ( )3

1302cot 0

−=−x ; cot( x +3

π ) = 2

Chú ý:

• Với – 1 ≤ m ≤ 1 . Ký hiệu: a = arcsin(m) là góc có sina = m (22

ππ≤≤− a )

• Với – 1 ≤ m ≤ 1 . Ký hiệu: a = arccos(m) là góc có cosa = m (0 ≤ a ≤ π)

• Với m ∈ R. Ký hiệu: a = arctan(m) là góc có tana = m (22

ππ<<− a )

• Với m ∈ R. Ký hiệu: a = arccot(m) là góc có cota = m (0 < a < π)


Trang: 3/32

Ví dụ: π23

1arccos

3

1cos kxx +±=⇔=

2

2arctan2

12arctan222tan

ππ kxkxx +=⇔+=⇔=

Ôn tập lượng giác

“Mỗi ngày làm một câu hoặc một tuần làm bảy câu hoặc nửa tháng mười lăm câu và không có phương án khác”

1/ Giải phương trình: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

2/ Giải phương trình: 2cossin34

2sin2 ++=

+ xxx

π

3/ Giải phương trình: 32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx

4/ Giải phương trình: cos2x + cos3x –sinx – cos4x = sin6x

5/ Giải phương trình: xxx cottan6

2cos4 +=

−

π

6/ Giải phương trình: xxxx 2cot4

sin4tan2cos32 2+

−=−

π

7/ Giải phương trình ( ) 5cos1sin822

3cos

2

5cos4 =−+ xx

xx

8/ Giải phương trình 1sin12

5cos22 =

− xx

π

9/ Giải phương trình: sin3x –3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx –2 = 0

10/ Giải phương trình: 23

2cos

3coscos34

3sin

3sinsin4 =

+

+−

−

+

ππππxxxxxx

11/ Giải phương trình. ( )xxxxx sin3cos31cossin32sin2 2+=++

12 Giải phương trình. ( ) xxxxx 3cos3sin32cos4

coscos2 2=++

−

π

13/ Giải phương trình. 2sin2x –cos2x = 7sinx + 2cosx –4

14/ Tìm các nghiệm trong khoảng ( )π2;0 của phương trình: xxx

xx2cos2sin

2cos1

sin3sin+=

−

−

15/ Giải phương trình. ( ) 3cossin3cos2 =+ xxx

16/ Giải phương trình. ( )( )xxxxx 2tantancos3cos3sin2 2++=

17/ Giải phương trình. 12cos3

1

4cos

4cos −=

−+

+ xxx

ππ

18/ Giải phương trình. x

xx

sin

2cos32cot4

+=−

19/ Giải phương trình. 23cos2coscos6cos4cos2cos +=++ xxxxxx


Trang: 4/32

20/ Giải phương trình. ( ) 5cossin222sin =+− xxx

21/ Giải phương trình. 24

3sin4

3cos22cos2

=

−

+−

ππxxx

22/ Giải phương trình. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0

23/ Giải phương trình. xxx

xx 2sin

2

1sin

tan1

2cos1cot 2

−++

=−

24/ Giải phương trình. ( )

01sin2

33cos2cossin3sin2=

−

−−+

x

xxxx

25/ Giaûi phöông trình. 8

13coscos3sinsin 33

=+ xxxx

26/ Giải phương trình x

xx

2cos

2sin12tan1

2

−=+

27/ Giải phương trình.

−−=− xx

x

4cos232cos3

2sin4 22 π


14cos4cossincos 22

=−− xxxx

29/ Giải phương trình. xxxxx 6sin4cossin3cos2cos =−−+

30/ Tìm nghiệm trong khoảng

2

3;

2

ππ của phương trình xx

x

xx2sin2cos

2cos1

sin3sin+=

−

−

31/ Giải phương trình 23cos2coscos6cos4cos2cos +=++ xxxxxx

32/ Giải phương trình: ( ) xxxx 3cot22

5sin2sin5cos2

+=+−

ππ

33/ Giải phương trình: ( )

+=++

42cos322sin13cos3cos2

2 πxxxx

34/ Giải phương trình: ( ) xxxxx 4sin2

22sin2cossinsin2

2−=+

35/ Giải phương trình: 0cos2cossin2 3=+− xxx

36/ Giải phương trình: ( ) xxxxx 3cos3sin2cos34

coscos2 2=++

−

π

37/ Giải phương trình: 02cos3sin4

2sin2 =+−−

+ xxx

π

38/ Giải phương trình:

++=+

+

122sin20cossin3216

2

172sin 2 ππ x

xxx

39/ Giải phương trình: ( ) 2cos2cossin2sin3 =−++ xxxx


2cos4 +=

−

π


sin244cos4sin −

+=+

πxxx


++=+

4sin22sincossin 33 π

xxxx

43/ Giải phương trình: ( ) 033cos2cossin3sin2 =−−+ xxxx


Trang: 5/32

44/ Giải phương trình: ( ) 01sin41sincos2sin4 3=+−−− xxxx

45/Giải phương trình:

−=−+

32cos44sin32sin2 2 π

xxx


−=−+

24cos2sin

2cossin

2sin1 22 x

xx

xx π


sin3

3sincos24cos 2=

−+

−++

ππxxxx

48/ Giải phương trình: xxx

x

x

xcottan

sin

2cos

cos

2sin−=+


2cos2 ++=

− xxx

π

50/ Giải phương trình. ( )x

xxxx

cos

1sin2cos1tancos1

−++=+

51/ Giải phương trình: xxxxxxx cossin2coscossincos2sin ++=+

52/ Tìm nghiệm

∈

2;0π

x của phương trình: 13

sin3

3sincos24cos 2=

−+

−++

ππxxxx


coscos2 2=++

−

π

54/ Giải phương trình : x

xxx

xxx cos

3cos

6sin

2tansincos

cos

12

−+

−

=

+−

ππ

55/ Giải phương trình: ( ) 1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx


( )( )3

sin1sin21

cossin21=

−+

−

xx

xx

57/ Tìm nghiệm ( )π;0∈x của phương trình:

−+=−

4

3cos212cos3

2sin4 22 π

xxx

58/ Giải phương trình: ( ) 2cos3sin3sin =+ xxx

59/ Giải phương trình: ( )( )xxx

xxxsin1cos12

1cos

2sincos2cos2 3

−+=−

−−


1cot

sincos2

2cottan

1

−

−=

+ x

xx

xx

61/ Giải phương trình: xx

xxx

xxx2cot

2

2cos12cos2cot

2cos1

2sincossin 22244

++

=−−

++

62/ Giải phương trình: ( )xxx 5cos23coscos +=+ π

63/ Giải phương trình : 32tan24

tan.sin

cossin12

2

+=

−

−+x

x

x

xx π

64/ Giải phương trình: 0tan2sin2

1sin3 2

=−+ xxx


Trang: 6/32

65/ Giải phương trình: xxxx 2cot4cottan6

sin8 =++

+

π

66/ Giải phương trình: xxxx

2sin2

1cos2

2cos

2sin3 33

+=

−

67/ Giải phương trình: 01cossin2sinsin2 2=−++− xxxx

68/ Giải phương trình: ( )1sin

cos2

cos

3tan1sin2

−+=−

x

x

xxx

69/ Giải phương trình : ( )xxx sin12

1

3

2cos

3cos 22

+=

++

+

ππ

70/ Giải phương trình: 01sin46

2sin2 =++

− xx

π

71/ Giải phương trình: 4sin3x + sin5x –2sinxcos2x = 0



sin4tan2cos32 2+

−=−

π

74/ Giải phương trình: 32tan24

tansin

cossin12

2

+=

−

−+x

x

x

xx π

75/ Giải phương trình: ( ) ( )

+−

+−−=−

42sin

42cos1sin41sin22

ππxxxx

76/ Giải phương trình: x

xxx2sin

12sin22cottan2 +=+

77/ Giải phương trình: 1cos21

6cos3sin353

sinsin4

=−

+++

+

x

xxxxπ

78/ Giải phương trình: ( )xxxx 2sin4sin6

1tan2tan +=+

79/ Giải phương trình: ( ) xx

xxx tancos

1cos2sin23sin =

−−


+=−

−

32cos59

6

5sin4

ππxx

81/ Giải phương trình: 312sin2cos2

4sin2cos2

=−+

−

xx

xx


+=+

3sin324sincos3sin2coscos4 2 π

xxxxxx


33cos

3sin8 3

=

−−

+

ππxx


( )xxx

xxsin12

cossin

1coscos2

+=+

−


3cos

3sin8 3

=

−−

+ xx

ππ

86/ Giải phương trình: ( ) xxxxx 4cos1cossin42cos24sin +=+++


Trang: 7/32

87/ Giải phương trình: ( ) xxx

xxxx cossin

cos

3sintan2cos2sin +=+−

88/ Giải phương trình: xxx22 sin3cos4cos +=


cos42sin3 2−+=

++ xxxx

π


5cos22 =

− xx

π

91/ Giải phương trình: 2sin2x –sin2x + sinx + cosx –1 = 0

92/ Giải phương trình: 2cos3x + cos2x + 4sinx –3 = 0


sin244cos4sin −

+=+

πxxx


xxx

2

24

tan1

tan124sin

4cos8

+

−=+

+

π

95/ Giải phương trình: xxx tan2sin2

1sin3 2

=+


xxx2sin

12sin22cottan2 +=+

97/ Giải phương trình: 042cossin222sin2 =+−+ xxx


sincos32

cos24

cossin 2 xx

xxx −=+

99/ Giải phương trình: 1cos.2cos =xx

Hướng dẫn giải 1/ Giải phương trình: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

Giải. Sin2x.cosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx ⇔ sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx

⇔ cos2x(sinx –1) + cosx(sinx –1) = 0 ⇔ (sinx –1)(2cos2x + cosx –1) = 0


2sin2 ++=

+ xxx

π

Giải

2cossin34

2sin2 ++=

+ xxx

π ⇔ 2cossin32cos2sin ++=+ xxxx ⇔

2cossin31cos2cossin2 2++=−+ xxxxx ⇔ ( ) 03cos2cos3cos23cos2sin 2

=−+−+− xxxxx ⇔

( )( ) 01cossin3cos2 =++− xxx ⇔

−=

+

−=

2

1

4sin

2

3cos

πx

x



Trang: 8/32

Giải

32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx ⇔ ( ) 3cossin21cos23cos5cos4 2+=−− xxxxx

⇔ xxxxx cossin2cos32cos5cos4 2=− ⇔ ( ) 0sincos35cos2cos2 =−− xxxx ⇔

+=

=

xxx

x

sincos35cos2

0cos ⇔

−=

=

6cos5cos

0cos

πxx

x

4/ Giải phương trình: cos2x + cos3x –sinx – cos4x = sin6x

Giải. cos2x + cos3x –sinx – cos4x = sin6x ⇔ 2sin3xsinx + cos3x –sinx –2sin3xcos3x = 0 ⇔

sinx(2sin3x –1) – cos3x(2sin3x –1) = 0 ⇔ (2sin3x –1)(sinx – cos3x) = 0 ⇔

−=

=

xx

x

32

sinsin

2

13sin

π


2cos4 +=

−

π

Giải Điều kiện: 02sin ≠x

xxx cottan6

2cos4 +=

−

π ⇔ ( )

xxx

2sin

22sin2cos32 =+ ⇔

2

14cos

2

1

2

3.4sin =− xx


sin4tan2cos32 2+

−=−

π

Giải Điều kiện. 02sin ≠x

xxxx 2cot4

sin4tan2cos32 2+

−=−

π⇔

xxxx 2cottan2

2cos122cos32 ++

−−=

π ⇔

xx

xxx

2sincos

cos2sin222cos32 +−= ⇔

12sin22sin22cos2sin32 2+−= xxxx ⇔ xxx 2sin24cos4sin3 =+

7/ Giải phương trình ( ) 5cos1sin822

3cos

2

5cos4 =−+ xx

xx

Giải

( ) 5cos1sin822

3cos

2

5cos4 =−+ xx

xx ⇔ ( ) 5cos22sin8cos4cos2 =−++ xxxx ⇔

( ) 52sin82sin212 2=+− xx ⇔ 032sin82sin4 2

=+− xx

8/ Giải phương trình 1sin12

5cos22 =

− xx

π

Giải

1sin12

5cos22 =

− xx

π ⇔ 1

12

5sin

12

52sin2 =

+

−

ππx ⇔

12

5sin

4sin

12

52sin

πππ−=

−x


Trang: 9/32

−=

−=−

12sin

12sin

3cos2

12

5sin

4sin

πππππ

−=

−

12sin

12

52sin

ππx

9/ Giải phương trình: sin3x –3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx –2 = 0

Giải sin3x +sinx –3sin2x – cos2x + 2sinx + 3cosx –2 = 0 ⇔

2sin2xcosx –2sin2x –2cos2x – sin2x +2sinx + 3cosx –1 = 0 ⇔

2sin2x(cosx –1) –(cosx –1)(2cosx –1) – 2sinx(cosx –1) = 0 ⇔

( ) ( )[ ] 01cossin22sin21cos =++−− xxxx ⇔ ( )[ ] ( )

=++−−+

=

01cossin21cossin2

1cos

2xxxx

x

⇔ ( ) ( )

=−+−+

=

01cossin2cossin2

1cos

2xxxx

x


2cos

3coscos34

3sin

3sinsin4 =

+

+−

−

+

ππππxxxxxx

Giải

23

2cos

3coscos34

3sin

3sinsin4 =

+

+−

−

+

ππππxxxxxx ⇔

( ) 23

cos2coscos323

2cos2cossin2 =

++−

−

ππ

πxxxx ⇔

2cos32coscos32sin2cossin2 =−++ xxxxxx ⇔

( ) 2cos3cos3cos3sinsin3sin =−+++− xxxxxx ⇔ 23cos33sin =+ xx ⇔

13

3sin =

+

πx

11/ Giải phương trình. ( )xxxxx sin3cos31cossin32sin2 2+=++

Giải

( )xxxxx sin3cos31cossin32sin2 2+=++ ⇔ ( )xxxx sin3cos322cos2sin3 +=+− ⇔

+=+− xxxx cos

2

1

2

3sin312cos

2

1

2

32sin ⇔

+=+

−

6sin31

62sin

ππxx ⇔

−=+

− xx

3cos31

3

22cos

ππ ⇔

−=

−

3cos3

3cos2 2 ππ

xx ⇔

( )

=

−

=

−

lx

x

2

3

3cos

03

cos

π

π

12/ Giải phương trình. ( ) xxxxx 3cos3sin32cos4

coscos2 2=++

−

π

Giải

( ) xxxxx 3cos3sin32cos4

coscos2 2=++

−

π ⇔

( ) ( ) xxxxx 3cos3sin32cos2sin1cos =+++ ⇔


Trang: 10/32

xxxxxxx 3cos3sin2coscos2sinsin3cos =+++ ⇔ xxxx 3sin3cos3sin3cos −=+ ⇔

xxxx 3sin2

1

2

33cossin

2

3

2

1cos −=+ ⇔

+=

−

63cos

3cos

ππxx

13/ Giải phương trình. 2sin2x –cos2x = 7sinx + 2cosx –4

Giải 2sin2x –cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ⇔ 4sinxcosx –(1 –2sin

2x) = 7sinx + 2cosx –4 ⇔

2cosx(2sinx –1) + 2sin2x –7sinx + 3 = 0 ⇔ 2cosx(2sinx –1) + (2sinx –1)(sinx –3) = 0 ⇔

(2sinx –1)(2cosx +sinx –3) = 0 ⇔

( )

=−+

=

vnxx

x

03cos2sin

2

1sin

14/ Tìm các nghiệm trong khoảng ( )π2;0 phương trình: xxx

xx2cos2sin

2cos1

sin3sin+=

−

−

Giải

xxx

xx2cos2sin

2cos1

sin3sin+=

−

− ⇔ xx

x

xx2cos2sin

sin2

sin2cos2+= ⇔

−=

42cos

sin

sin2cos πx

x

xx

• Xét ( )π;0∈x

• Xét ( )ππ 2;∈x

15/ Giải phương trình. ( ) 3cossin3cos2 =+ xxx

Giải

( ) 3cossin3cos2 =+ xxx ⇔ 22cos2sin3 =+ xx ⇔ 12cos2

1

2

32sin =+ xx

16/ Giải phương trình. ( )( )xxxxx 2tantancos3cos3sin2 2++=

Giải Điều kiện: 0cos ≠x và 02cos ≠x

( )( )xxxxx 2tantancos3cos3sin2 2++= ⇔

xx

xxxxxxx

2coscos

cos2sin2cossincos2cos23sin2

2

22+

= ⇔

xxxxxx 22 cos2sin2cossincos3sin +=

⇔ ( ) xxxxxxxxx 22 cos2sin2cossincossin2coscos2sin +=+ ⇔

xxxxxxxxx222

cos2sin2cossinsincos2coscos2sin +=+ ⇔

xxx 2sinsincos = ⇔ ( )

=

=

lxx

x

sincos

0sin

17/ Giải phương trình. 12cos3

1

4cos

4cos −=

−+

+ xxx

ππ

Giải

12cos3

1

4cos

4cos −=

−+

+ xxx

ππ ⇔ ( ) 11cos2

3

1

4cos.cos2

2−−= xx

π ⇔

4cos2cos23 2−= xx


xx

sin

2cos32cot4

+=−

Giải Điều kiện:sinx ≠ 0


Trang: 11/32

xxx 2cos3sin2cos4 +=− ⇔ ( ) ( )( )xxxxxxxx sincossincos3sincossincos3 +−+=++−

( ) ( )( ) 03sincossincossincossincos3 =−+++−−− xxxxxxxx ⇔

( ) ( )[ ] 03sincossincos3sincos =−+++−− xxxxxx ⇔ ( )( ) 01sincos3sincos =−−−+ xxxx

19/ Giải phương trình. 23cos2coscos6cos4cos2cos +=++ xxxxxx

Giải 23cos2coscos6cos4cos2cos +=++ xxxxxx ⇔

( ) 43coscos3cos6cos24cos22cos2 ++=++ xxxxxx

⇔ 4cos3cos3cos6cos24cos22cos2 2++=++ xxxxxx

⇔ 82cos4cos6cos16cos44cos42cos4 ++++=++ xxxxxx

⇔ 96cos34cos32cos3 =++ xxx ⇔ 33sin212sin21sin21 222=−+−+− xxx

⇔ 03sin2sinsin222

=++ xxx ⇔

=

=

=

0sin

02sin

03sin

x

x

x

20/ Giải phương trình. ( ) 5cossin222sin =+− xxx

Giải

( ) 5cossin222sin =+− xxx ⇔ ( ) ( ) 06cossin22cossin2

=−+−+ xxxx ⇔

−=+

=+

2cossin

23cossin

xx

xx


3sin4

3cos22cos2

=

−

+−

ππxxx

Giải

24

3sin4

3cos22cos2

=

−

+−

ππxxx ⇔ ( ) 22sin

24sin2cos2

=−−

+− π

πxxx ⇔

22sin4cos2cos2=+− xxx ⇔ ( ) 22sin2sin212sin1 22

=+−−− xxx

22/ Giải phương trình. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0

Giải

(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0 ⇔ ( ) 0sincossin22cos2cos 2=−++ xxxxx ⇔

( ) ( ) 01cos2sin2cos2cos 2=−++ xxxx ⇔ ( ) 02cossin2cos =++ xxx

23/ Giải phương trình. xxx

xx 2sin

2

1sin

tan1

2cos1cot 2

−++

=−

Giải Điều kiện: sinx ≠ 0 , cosx ≠ 0 và tanx ≠ –1

xxx

xx 2sin

2

1sin

tan1

2cos1cot 2

−++

=− ⇔ xxxx

xx

x

xx2sin

2

1sin

sincos

cos2cos

sin

sincos 2−+

+=

− ⇔

( ) xxxxxx

xx2sin

2

1sincossincos

sin

sincos 2−+−=

−⇔ xx

x

xx2sin

2

12sin

2

11

sin

sincos−−=

−⇔

( )xxxx 2sin1sinsincos −=− ⇔ ( )2sincossinsincos xxxxx −=− ⇔

( )( ) 0sincossin1sincos 2=−−− xxxxx ⇔

=−

−−

=−

02

2cos12sin

2

11

0sincos

xx

xx


Trang: 12/32

24/ Giải phương trình. ( )

01sin2

33cos2cossin3sin2=

−

−−+

x

xxxx

Giải

Điều kiện: 2

1sin ≠x

( )0

1sin2

33cos2cossin3sin2=

−

−−+

x

xxxx⇔ ( ) 033cos22sin2cos13 =−−+− xxx ⇔

xxx 3cos22cos32sin =− ⇔

−=

− xx 3

2sin

32sin

ππ


13coscos3sinsin 33

=+ xxxx

Giải

8

13coscos3sinsin 33

=+ xxxx ⇔ 8

1cos3coscossin3sinsin 22

=+ xxxxxx ⇔

( ) ( )4

12cos4cos

2

2cos14cos2cos

2

2cos1=+

++−

−xx

xxx

x ⇔

2

12cos2cos4cos2cos4cos2cos4cos2cos4cos2cos 22

=+++++−− xxxxxxxxxx ⇔

2

12cos22cos4cos2 =+ xxx ⇔ ( )

2

12cos22cos12cos22 2

=+− xxx ⇔ 8

12cos3

=x


xx

2cos

2sin12tan1

2

−=+

Giải Điều kiện: cos2x ≠ 0

x

xx

2cos

2sin12tan1

2

−=+ ⇔ xxxx 2sin12cos2sin2cos2

−=+ ⇔ xxxx 2sin2cos2sin2sin 2−=+− ⇔

( ) 012cos2sin2sin =−+ xxx

27/ Giải phương trình.

−−=− xx

x

4cos232cos3

2sin4 22 π

Giải

−−=− xx

x

4cos232cos3

2sin4 22 π

⇔ ( )

−−−=−− xxx 2

2cos132cos3cos12

π ⇔

xxx cos22cos32sin =− ⇔

−=

− xx

2sin

62sin

ππ

28/ Giải phương trình: cos2x –sinxcos4x –cos

24x =

4

1 .

cos2x –sinxcos4x –cos

24x =

4

1 ⇔

2

18cos13sin5sin2cos1 =−−+−+ xxxx

⇔ 018cos23sin25sin22cos2 =−−+− xxxx

⇔ ( ) 013sin25sin22cos8cos2 =+−+− xxxx

⇔ 03sin215sin23sin5sin4 =−++− xxxx

⇔ ( ) 03sin213sin215sin2 =−+− xxx ⇔ ( )( ) 015sin23sin21 =−− xx


Trang: 13/32

ĐS: 3

2

18

ππk+ ;

5

2

30

7 ππk+ ;

5

2

30

ππk+− ;

3

2

18

5 ππk+

29/ Giải phương trình. xxxxx 6sin4cossin3cos2cos =−−+

xxxxx 6sin4cossin3cos2cos =−−+ ⇔ 03cos3sin23cossin4cos2cos =−+−− xxxxxx

⇔ ( ) 03sin213cossinsin3sin2 =−+− xxxxx ⇔ ( ) ( ) 03sin213cos13sin2sin =−+− xxxx

⇔ ( ) 03cos2

cos13sin2 =

+

−− xxx

π⇔

+=

=

xx

x

2cos3cos

2

13sin

π

30/ Tìm nghiệm trong khoảng

2

3;

2

ππ của phương trình xx

x

xx2sin2cos

2cos1

sin3sin+=

−

−

Điều kiện: πkx ≠

xxx

xx2sin2cos

2cos1

sin3sin+=

−

−⇔

−= x

x

xx2

4cos2

sin2

sin2cos2 π

•

∈ π

π;

2x phương trình trở thành

−= xx 2

4cos2cos

π

•

∈

2

3;

ππx phương trình trở thành

−−= xx 2

4cos2cos

π⇔

−=

4

32cos2cos

πxx

31/ Giải phương trình 23cos2coscos6cos4cos2cos +=++ xxxxxx

23cos2coscos6cos4cos2cos +=++ xxxxxx ⇔

( ) 22cos2cos4cos2

16cos4cos2cos ++=++ xxxxxx

⇔ 42cos2cos4cos6cos24cos22cos2 2++=++ xxxxxx

⇔ 84cos12cos6cos6cos44cos42cos4 ++++=++ xxxxxx

⇔ 94cos32cos36cos3 =++ xxx ⇔ 34cos2cos6cos =++ xxx

⇔ 0sin2sin3sin 222=++ xxx


5sin2sin5cos2

+=+−

ππ

Điều kiện: 3

πkx ≠

( ) xxxx 3cot22

5sin2sin5cos2

+=+−

ππ ⇔

x

xxxx

3sin

3cos2cos2sin5cos2 =+

⇔ xxxxxx 3cos2cos2sin3sin5cos3sin2 =+ ⇔ 05cos5cos3sin2 =− xxx

⇔ ( ) 013sin25cos =−xx


+=++

42cos322sin13cos3cos2 2 π

xxxx

( )

+=++

42cos322sin13cos3cos2 2 π

xxxx

⇔ ( )

++=+++

24cos132sin132cos4cos

πxxxx

⇔ ( ) ( )xxxx 4sin132sin132cos4cos −=+++


Trang: 14/32

⇔ 02sin32cos4sin34cos =+++ xxxx ⇔ 06

2cos6

4cos =

++

+

ππxx

⇔ 0cos6

3cos2 =

+ xx

π

34/ Giải phương trình: ( ) xxxxx 4sin2

22sin2cossinsin2 2

−=+

( ) xxxxx 4sin2

22sin2cossinsin2 2

−=+ ⇔ ( ) ( )xxxxx 2cos12sin2cossinsin2 2−=+

⇔ ( ) xxxxx22 sin2sin22cossinsin2 =+ ⇔ ( ) 02sin2cossinsin2 2

=++ xxxx

⇔ 02sin4

sinsin 2=

+

+ xxx

π

35/ Giải phương trình: 0cos2cossin2 3=+− xxx

0cos2cossin2 3=+− xxx ⇔ 0cos1sin2sin2 23

=+−+ xxx ⇔ ( )( ) ( ) 0cos1sin1cos12 2=−−+− xxx

⇔ ( )( ) 0cossin2cos2sin21cos1 =+++− xxxxx

⇔ ( ) ( ) ( )[ ] 0cossincossin2cos12

=+++− xxxxx

⇔ ( )( )( ) 0cossin2cossincos1 =+++− xxxxx

36/ Giải phương trình ( ) xxxxx 3cos3sin2cos34

coscos2 2=++

−

π


coscos2 2=++

−

π

⇔ ( ) xxxxx 3cos3sin2cos32

2cos1cos =++

−+

π

⇔ ( ) ( ) xxxxx 3cos3sin2cos32sin1cos =+++

⇔ ( ) xxxxxxx 3cos3sin3sin2coscos2sincos =+++

⇔ xxxx 3sin3cos3sin3cos −=+ ⇔

+=

−

63cos

3cos

ππxx

37/ Giải phương trình 02cos3sin4

2sin2 =+−−

+ xxx

π

02cos3sin4

2sin2 =+−−

+ xxx

π ⇔ 02cos3sin2cos2sin =+−−+ xxxx

⇔ 01cos3cos2sincossin2 2=+−+− xxxxx

⇔ ( ) ( )( ) 01cos21cos1cos2sin =−−+− xxxx ⇔ ( )( ) 01cossin1cos2 =−+− xxx

⇔

=

+

=

2

1

4sin

2

1cos

πx

x

38/ Giải phương trình

++=+

+

122sin20cossin3216

2

172sin 2 ππ x

xxx


Trang: 15/32

++=+

+

122sin20cossin3216

2

172sin 2 ππ x

xxx

⇔

+−+=+

6cos1102sin3162cos

πxxx

⇔

+−=+−

6cos110162sin32cos

πxxx

⇔

+−=+

+

6cos558

32cos

ππxx ⇔

+−=+

+

6cos557

6cos2 2 ππ

xx

⇔ 026

cos56

cos2 2=+

+−

+

ππxx ⇔

=

+

=

+

2

1

6cos

26

cos

π

π

x

x

39 /Giải phương trình: ( ) 2cos2cossin2sin3 =−++ xxxx

Giải

( ) 2cos2cossin2sin3 =−++ xxxx ⇔ 2cossin32cos2sin3 =−++ xxxx

⇔ 1cos2

1

2

3sin2cos

2

1

2

32sin =−++ xxxx ⇔ 1

6sin

62sin =

−+

+

ππxx

⇔ 16

sin23

cos =

−+

−

ππxx ⇔ 1

6sin

32cos =

−+

−

ππxx

⇔ 16

sin6

sin21 2=

−+

−−

ππxx ⇔ 0

6sin

6sin2 2

=

−−

−

ππxx

⇔

=

−

=

−

2

1

6sin

06

sin

π

π

x

x


2cos4 +=

−

π

Giải

Điều kiện: 2

02sinπ

kxx ≠⇔≠

xxx cottan6

2cos4 +=

−

π ⇔

xxx

2sin

2

6sin2sin

6cos2cos4 =

+

ππ

⇔ x

xx2sin

22sin22cos3 =+ ⇔

xx

2sin

222cot3

2=+ ⇔ xx 2cot2222cot3 2

+=+

⇔

=

=

32cot

02cot

x

x ⇔

+=

+=

212

24

ππ

ππ

kx

kx


Trang: 16/32


sin244cos4sin −

+=+

πxxx

Giải. 14

sin244cos4sin −

+=+

πxxx ⇔ 1

4sin2412cos22cos2sin2 2

−

+=−+

πxxxx

⇔

+=+

4sin222cos2cos2sin 2 π

xxxx ⇔ ( )

+=+

4sin222cos2sin2cos

πxxxx

⇔ ( )( )

+=

++−

4sin22

42sin2sincossincos

ππxxxxxx

⇔

+=

+

+

+

4sin22

42sin2

4sin2

4cos2

ππππxxxx

⇔

+=

+

+

+

4sin

42sin

4sin

4cos

ππππxxxx

⇔ 014

2sin4

cos4

cos =

−

+

+

+

πππxxx ⇔

( )

=

+

+

=

+

114

2sin4

cos

04

cos

ππ

π

xx

x

( )

−=

+

−=

+

=

+

=

+

⇔

14

cos

14

2sin

14

cos

14

2sin

1

π

π

π

π

x

x

x

x

+=

−=

++

+−=

=

++−

⇔

ππ

ππ

π

ππ

ππ

π

24

3

14

42

3sin

24

14

42

sin

kx

k

kx

k

( )vn

kx

kx

+=

−=

+−=

=

−

⇔

ππ

π

ππ

π

24

3

14

7sin

24

14

sin

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ππ

24

kx +=


++=+

4sin22sincossin 33 π

xxxx

Giải

xxxxx cossin2sincossin 33++=+ ⇔ 0coscossinsin2sin 33

=−+−+ xxxxx

⇔ 0sincoscossin2sin 22=++ xxxxx ⇔ 0sin2sincos2sin2sin2 =++ xxxxx

⇔ ( ) 02cossin2sin =++ xxx ⇔ 024

sin22sin =

+

+

πxx ⇔

( )

−=

+

=

vnx

x

24

sin

02sin

π

⇔ 2

πkx =

43/ Giải phương trình: ( ) 033cos2cossin3sin2 =−−+ xxxx

Giải

( ) 033cos2cossin3sin2 =−−+ xxxx ⇔ 033cos22sinsin32 2=−−+ xxx ⇔


Trang: 17/32

( ) 033cos22sin2cos13 =−−+− xxx ⇔ xxx 3cos22cos32sin =− ⇔

xxx 3cos2cos2

3

2

12sin =− ⇔

−=

+ xx 3

2sin

32sin

ππ⇔

++=+

+−=+

πππ

πππ

2323

2

2323

2

kxx

kxx

⇔

+−=

+=

ππ

ππ

26

5

2

30

kx

kx

44/ Giải phương trình: ( ) 01sin41sincos2sin4 3=+−−− xxxx

Giải

( ) 01sin41sincos2sin4 3=+−−− xxxx ⇔ ( ) 01cos2cossin2sin1sin4 2

=++−−− xxxxx

⇔ 01cos22sincossin4 2=++−− xxxx ⇔ 01cos22sincos2sin2 =++−− xxxx

⇔ ( ) 01cos21cos22sin =+++− xxx ⇔ ( )( ) 02sin11cos2 =−+ xx


−=−+


xxx

Giải

−=−+


xxx ⇔

−=−++

32cos52cos2cos2sin322sin3 22 π

xxxxx

⇔ ( ) 053

2cos2cos2sin32

=−

−−+

πxxx ⇔ 05

32cos2sin

2

3

2

12cos4

2

=−

−−

+

πxxx

⇔ 053

2cos3

2cos4 2=−

−−

−

ππxx ⇔

( )

=

−

−=

−

vnx

x

4

5

32cos

13

2cos

π

π

⇔ ππ

kx +=3

2


−=−+

24cos2sin

2cossin

2sin1 22 x

xx

xx π

−=−+

24cos2sin

2cossin

2sin1 22 x

xx

xx π

⇔

−+=−+ xx

xx

x

2cos1sin

2cossin

2sin1 2 π

⇔ xxx

xx

sinsin2

cossin2

sin 2=− ⇔ 01

2cos

2sin2

2sinsin 2

=

−−

xxxx

⇔ 0112

cos22

sinsin 2=

−

−−

xxx ⇔ 01

2sin21

2sinsin 2

=

−

−−

xxx

⇔ 012

sin2

sin2sin 3=

−−

xxx


sin3

3sincos24cos 2=

−+

−++

ππxxxx

13

sin3

3sincos4cos 2=

−+

−++

ππxxxx ⇔ 0cos

32sin22cos4cos =

−++ xxxx

π


Trang: 18/32

0cos3

2sin2cos3cos2 =

−+ xxxx

π⇔

−=

−

=

32sin3

2sin

0cos

ππxx

x

48/ Giải phương trình: xxx

x

x

xcottan

sin

2cos

cos

2sin−=+

Giải. Điều kiện: sinxcosx ≠ 0

xxx

x

x

xcottan

sin

2cos

cos

2sin−=+ ⇔ xxxxxx

22 cossin2coscos2sinsin −=+

⇔

( )

=

−=

⇔=−−

2

1cos

1cos

01coscos2 2

x

lx

xx ⇔ ππ

23

kx +±=


2cos2 ++=

− xxx

π

Giải

2cossin34

2cos2 ++=

− xxx

π ⇔ 2cossin32sin2cos ++=− xxxx

⇔ 2cossin3cossin21cos2 2++=−− xxxxx ⇔ 0sin3cossin23coscos2 2

=−−−− xxxxx

( ) ( ) 03cos2sin2

3cos1cos2 =+−

++⇔ xxxx ⇔ ( )( ) 01cos3cos2 =++ xx ⇔ 1cos −=x

⇔ ππ 2kx +=

50/ Giải phương trình. ( )x

xxxx

cos

1sin2cos1tancos1

−++=+

Giải. Điều kiện: ππ

kx +≠2

( )x

xxxx

cos

1sin2cos1tancos1

−++=+ ⇔ ( ) 1sin2coscossincos1 2

−++=+ xxxxx

⇔ xxxxxx sin2sincoscossinsin 2+−=+ ⇔ xxxxx sinsincoscossin 2

+−=−

⇔ ( ) ( ) 01sinsin1sincos =−+− xxxx ⇔ ( )( ) 0sincos1sin =+− xxx

⇔( )

ππ

kxx

lx+−=⇔

−=

=

41tan

1sin

51/ Giải phương trình: xxxxxxx cossin2coscossincos.2sin ++=+

Giải xxxxxxx cossin2coscossincos2sin ++=+

⇔ xxxxxxx cossin1cos2cossincossin2 22++−=+

⇔ ( ) ( ) xxxxxx sin11cos2cos1cos2cossin +−+=+

⇔ ( ) ( ) 0sin11cos2cos1cos2cossin =−++−+ xxxxxx

⇔ ( )( ) ( ) 01sin1sin1cos2cos =−−−+ xxxx ⇔ ( )( ) 01coscos21sin 2=−+− xxx


Trang: 19/32

⇔

=

−=

=

2

1cos

1cos

1sin

x

x

x

52/ Tìm nghiệm

∈

2;0π

x của phương trình: 13

sin3

3sincos24cos 2=

−+

−++

ππxxxx

Giải

13

sin3

3sincos24cos 2=

−+

−++

ππxxxx ⇔ 0

3sin

33sin2cos4cos =

−+

−++

ππxxxx

⇔ 0cos3

2sin2cos3cos2 =

−+ xxxx

π ⇔ 0

32sin3coscos2 =

−+

πxxx

⇔

−=

−

=

xx

x

23

sin32

sin

0cos

ππ ⇔

++=−

+−=−

+=

πππ

πππ

ππ

226

32

223

32

2

kxx

kxx

kx

⇔

+=

+=

+=

5

2

15

26

2

ππ

ππ

ππ

kx

kx

kx

Với ππ

22

kx += không tồn tại k

Với ππ

26

kx += .

∈

2;0π

x suy ra: 2

26

0π

ππ

<+< k ⇔ 6

1

12

1<<− k được k = 0 nghiệm

6

π=x

Với 5

2

15

ππ kx += .

∈

2;0π

x suy ra: 25

2

150

πππ<+<

k⇔ 151220 <+< k ⇔

12

13

6

1<<− k

Được { }1;0∈k . Phương trình đã cho có các nghiệm


coscos2 2=++

−

π

Giải


coscos2 2=++

−

π

⇔ ( ) xxxxx 3cos3sin2cos32

2cos1cos =++

−+

π

⇔ ( ) ( ) xxxxx 3cos3sin2cos32sin1cos =+++

⇔ xxxxxxx 3cos3sin3sin2coscos2sincos =+++

⇔ xxxx 3cos3sin33sincos =++ ⇔ xxxx 3sin3cos3sin3cos −=+

⇔ xxxx 3sin2

1

2

33cossin

2

3

2

1cos −=+ ⇔

+=

−

63cos

3cos

ππxx

⇔

+−−=−

++=−

πππ

πππ

26

33

26

33

kxx

kxx


Trang: 20/32

54/ Giải phương trình : x

xxx

xxx cos

3cos

6sin

2tansincos

cos

12

−+

−

=

+−

ππ

Giải Điều kiện

x

xxx

xxx cos

3cos

6sin

2tansincos

cos

12

−+

−

=

+−

ππ

⇔ x

xx

x

x

xxx

x cos

3cos

3

2cos

2cos

2sin

2cos

2sin2cos

cos

12

−+

−

=

+−

ππ

⇔ x

xx

xx cos

2cos

6cos2

2sin2cos

cos

1 2

2

−

=

+−

ππ

⇔ ( )x

xxx

x cos

sin3cos1cos

cos

12

=−+− ⇔ x

x

x cos

sin31

cos

12

=− ⇔ xx tan3tan 2=

⇔

=

=

3tan

0tan

x

x

55/ Giải phương trình: ( ) 1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx

Giải

( ) 1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx ⇔ 1sin3cos2sin3cos2 2+−=+ xxxx

⇔ xxxx sin3cos2sin32cos −=+ ⇔

+=

−

3cos

32cos

ππxx


( )( )3

sin1sin21

cossin21=

−+

−

xx

xx

Giải Điều kiện:

( )

( )( )3

sin1sin21

cossin21=

−+

−

xx

xx ⇔ xxxx sin3cos2cos32sin −=+

57/ Tìm nghiệm ( )π;0∈x của phương trình:

−+=−

4

3cos212cos3

2sin4 22 π

xxx

Giải

−+=−

4

3cos212cos3

2sin4 22 π

xxx

⇔ ( )

−++=−−

2

32cos112cos3cos12

πxxx

⇔ 2

3sin2sin

2

3cos2cos22cos3cos22

ππxxxx ++=−−

⇔ xxx 2sin2cos3cos2 −=−− ⇔ xxx cos22cos32sin =− ⇔ xxx cos2cos2

3

2

12sin =−


Trang: 21/32

⇔

−=

− xx

2sin

32sin

ππ ⇔

++=−

+−=−

πππ

πππ

223

2

223

2

kxx

kxx

⇔

+=

+=

ππ

ππ

26

5

3

2

18

5

kx

kx

Với 3

2

18

5 ππ kx += ⇒ π

ππ<+<

3

2

18

50

k⇔ 18650 <+< k ⇔ 3

6

5<<− k

Suy ra { }2;1;0∈k suy ra nghiệm x

Với ππ

26

5kx += ⇒ ππ

π<+< 2

60 k ⇔ 61210 <+< k ⇔

2

11 <<− k

Suy ra k = 0 suy ra nghiệm x

58/ Giải phương trình: ( ) 2cos3sin3sin =+ xxx

Giải

( ) 2cos3sin3sin =+ xxx ⇔ 4cos3sin3sin3sin =+ xxxx ⇔

22sin34sin34cos2cos =++− xxxx ⇔ 24sin2

3

2

14cos2sin

2

3

2

12cos =+−+ xxxx

⇔

−=

+

=

−

⇔=

+−

−

13

4cos

13

2cos

23

4cos3

2cosπ

π

ππ

x

x

xx ⇔

−=

+

+=

13

4cos

23

2

π

ππ

x

kx

⇔

−=

++

+=

đúngk

kx

13

43

2cos

23

2

ππ

π

ππ

nghiệm bất phương trình: ππ

kx +=6

59/Giải phương trình: ( )( )xxx

xxxsin1cos12

1cos

2sincos2cos2 3

++=−

−−⇔ sinx(1 + sinx)(cosx –sinx) = 0


( )( )xxx

xxxsin1cos12

1cos

2sincos2cos23

−+=−

−−

⇔ ( )( )xxx

xxxxsin1cos1

1cos

cossincoscos3

−+=−

−− ⇔

( ) ( )( )( )xxxxxx sin1cos11cossin1coscos 2−+−=−− ⇔ ( ) ( )xxxxx sin1sinsinsincos 22

−=+

⇔ ( ) ( )[ ] 0sin1sin1sincossin =+−+ xxxxx ⇔ ( )( ) 0sincossin1sin =−+ xxxx


1cot

sincos2

2cottan

1

−

−=

+ x

xx

xx

Giải Điều kiện: 02cos2sincos.sin ≠xxxx và 1cot ≠x

Ta có: xxx

x

xx

xxxx

x

x

x

xxx

2sin

1

cos2sin

cos

cos2sin

cos2cossin2sin

2sin

2cos

cos

sin2cottan ==

+=+=+


Trang: 22/32

x

xx

x

xx

sin

sincos1

sin

cos1cot

−=−=−

( )

1cot

sincos2

2cottan

1

−

−=

+ x

xx

xx⇔ xx sin22sin = ⇔ ( ) 02cos2sin =−xx

⇔

( )

=

=

2

2cos

0sin

x

lx

⇔

( )

+−=

+=

ππ

ππ

24

24

kx

lkx

⇔ ππ

24

kx +−=

61/ Giải phương trình: xx

xxx

xxx2cot

2

2cos12cos2cot

2cos1

2sincossin 22244

++

=−−

++

Giải

Điều kiện: 2

02sinπ

kxx ≠⇔≠

xx

xxx

xxx2cot

2

2cos12cos2cot

2cos1

2sincossin 22244

++

=−−

++

⇔ ( )

( )xxx

x

x2cos12cot

2

2cos1

2cos12

2sin2 22

+++

=−

+ ⇔

( )( )( )

2

2cot212cos1

2cos12

2sin2 22xx

x

x ++=

−

+

⇔ ( )xxx 2cot214sin2sin2 222+=+ ⇔

x

xxxxx

2sin

2cos2cos2sin84sin2sin2

2

22222

+=+

⇔ xxx 2cos84sin2sin2 422+=+

62/ Giải phương trình: ( )xxx 5cos23coscos +=+ π

Giải ( )xxx 5cos23coscos +=+ π ⇔ xxx 5cos23coscos −=+ ⇔ 03cos5coscos5cos =+++ xxxx

⇔ 0cos4cos22cos3cos2 =+ xxxx ⇔ ( ) 0cos4cos2coscos3cos4 3=+− xxxxx

⇔ ( )[ ] ( ) 0cos12cos22cos3cos4cos 22=−+− xxxxx

⇔ ( )[ ] ( ) 0cos12cos22cos32cos12cos 2=−+−+ xxxxx

⇔ [ ] 012cos22cos32cos22cos2cos 22=−+−+ xxxxx

⇔

=−−

=

012cos2cos4

0cos

2xx

x

63/ Giải phương trình : 32tan24

tan.sin

cossin12

2

+=

−

−+x

x

x

xx π


32tan24

tan.sin

cossin12

2

+=

−

−+x

x

x

xx π ⇔ 32tan

24cos

24sin

.sin

sinsin2

2

+=

−

−

+x

x

x

x

xx

π

π

⇔ 32tan

2cos

2sin

2cos

2sin

.sin

sin1+=

+

−+

− xxx

xx

x

x ⇔ 32tan

2cos

2sin

2cos

2sin

.sin

2sin

2cos

2

+=

+

−

+

− xxx

xx

x

xx


Trang: 23/32

⇔ 32tancot += xx

64/ Giải phương trình: 0tan2sin2

1sin3 2

=−+ xxx

Giải

Điều kiện: ππ

kx +≠2

0tan2sin2

1sin3 2

=−+ xxx ⇔ 0cos

sincossinsin3 2

=−+x

xxxx

⇔ 0cos

1cossin3sin =

−+

xxxx ⇔

( )

( )

=−+

=

20cos

1cossin3

10sin

xxx

x

( ) πkx =⇔1

πkx ≠ ( ) ( ) 0tan11tan32 2=+−+⇔ xx ⇔ π

πkx

x

x+=⇔

=

=

33tan

0tan

65/ Giải phương trình: xxxx 2cot4cottan6

sin8 =++

+

π

Giải

Điều kiện: 2

02sinπ

kxx ≠⇔≠

xxxx 2cot4cottan6

sin8 =++

+

π ⇔

x

x

xx

2sin

2cos4

2sin

2

6sin8 =+

+

π

⇔ 02cos216

sin2sin4 =−+

+ xxx

π ⇔ 0

3cos2cos2

6sin2sin4 =

−−

+

ππxxx

⇔ 06

sin6

sin26

sin2sin2 =

−

+−

+

πππxxxx ⇔ 0

6sin2sin

6sin =

−−

+

ππxxx

66/ Giải phương trình: xxxx

2sin2

1cos2)

2cos

2(sin3

33+=−

PT tương đương

x2sin2

1xcos2)

2

xcos

2

x(sin3

33+=− ( ) xcosxsin2

2

xcos2

xsin1

2

xcos

2

xsin3 +=

+

−⇔

( )

+

−+=

+

−⇔

2

xsin

2

xcos

2

xsin

2

xcosxsin2xsin

2

11

2

xcos

2

xsin3

02

3

2cos

2sin

2sin

2cos =

++

−⇔

xxxx

67/ Giải phương trình: 01cossin2sinsin2 2=−++− xxxx

Giải

01cossin2sinsin2 2=−++− xxxx ⇔ ( ) 01cossincos21sin2 2

=−+−+ xxxx (1)

( ) ( ) ( )2223cos29cos12cos41cos8cos21 −=+−=−−−=∆ xxxxx


Trang: 24/32

( )

−=−+−

=

=+−−

=

⇔

1cos4

3cos21cos2sin

2

1

4

3cos21cos2sin

1

xxx

x

xxx

⇔

=

+

=

14

cos2

2

1sin

πx

x

68/ Giải phương trình: ( )1sin

cos2

cos

3tan1sin2

−+=−

x

x

xxx

Giải


kx +≠2

( )1sin

cos2

cos

3tan1sin2

−+=−

x

x

xxx ⇔ ( )

( )( )( )xx

xx

xxx

sin1sin1

sin1cos2

cos

3tan1sin2

+−

+−=−

⇔ ( )( )

x

x

xx

xx

cos

sin12

cos

3

cos

sin1sin2

+−=− ⇔ xxx sin223sinsin2 2

−−=−

⇔ 01sinsin2 2=−+ xx ⇔

( )

−=

=

lx

x

1sin

2

1sin

⇔

+=

+=

ππ

ππ

26

5

26

kx

kx

69/ Giải phương trình : ( )xxx sin12

13

2cos

3cos 22

+=

++

+

ππ

2

2 41 2cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 sin 2cos(2 ).cos sin 1

3 3 3

51 cos 2 sin 0 2sin sin 0 2 ; 2 ;

6 6

x x x x x

x x x x x k x k hayx k

π π ππ

π ππ π π

⇔ + + + + + = + ⇔ + = −

⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = + = + =


2sin2 =++

− xx

π

Ta cã : 01sin46

2sin2 =++

− xx

π

⇔ 01sin42cos2sin3 =++− xxx ⇔ 3 sin2x + 2sin2x + 4 sinx = 0

⇔ ( ) 02sincos3sin =++ xxx

71/ Giải phương trình: 4sin3x + sin5x –2sinxcos2x = 0

Giải 4sin3x + sin5x –2sinxcos2x = 0 ⇔ 4sin3x + sin5x –sin3x + sinx = 0

⇔ 3sin3x + sin5x + sinx = 0 ⇔ 3sin3x + 2sin3xcos2x = 0 ⇔ sin3x(3 + 2cos2x) = 0


Giải

32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx ⇔ ( ) 3cossin21cos23cos5cos42

+=−− xxxxx

⇔ xxxxx cossin2cos32cos5cos42

=− ⇔ ( ) 0sincos35cos2cos2 =−− xxxx ⇔

+=

=

xxx

x

sincos35cos2

0cos ⇔

−=

=

6cos5cos

0cos

πxx

x


Trang: 25/32


sin4tan2cos32 2+

−=−

π

Giải Điều kiện. 02sin ≠x

xxxx 2cot4

sin4tan2cos322

+

−=−

π⇔

xxxx 2cottan2

2cos122cos32 ++

−−=

π ⇔

xx

xxx

2sincos

cos2sin222cos32 +−= ⇔

12sin22sin22cos2sin322

+−= xxxx ⇔ xxx 2sin24cos4sin3 =+

⇔ xxx 2sin2

14cos

2

34sin =+ ⇔ xx 2sin

64sin =

+

π

74/ Giải phương trình: 32tan24

tansin

cossin12

2

+=

−

−+x

x

x

xx π

Giải

Điều kiện: 024

cos02sin ≠

−≠

xvàx

π

32tan24

tansin

cossin12

2

+=

−

−+x

x

x

xx π ⇔ 32tan

42cos

42sin

.sin

sinsin2

2

+=

−

−

+− x

x

x

x

xx

π

π

⇔ 32tan

2sin

2cos

2cos

2sin

.sin

sin1+=

+

−+

− xxx

xx

x

x ⇔ 32tan

2sin

2cos

2cos

2sin

.sin

2sin

2cos

2

+=

+

−

+

− xxx

xx

x

xx

⇔ 32tan.sin

2cos

2sin

2sin

2cos

+=

−

+

− xx

xxxx

⇔ 32tancot =− xx

⇔ 32cos

sin

sin

cos=−

x

x

x

x ⇔ 3cot =x ⇔ π

πkx +=

6

Giải phương trình: ( ) ( )

+−

+−−=−

42sin

42cos1sin41sin22

ππxxxx

Giải

( ) ( )

+−

+−−=−

42sin

42cos1sin41sin22

ππxxxx

⇔ ( ) ( ) xxx 2cos21sin41sin22 −−=− ⇔ ( ) ( ) ( )1sin4sin2121sin22 2−=−+− xxx

⇔ ( )1sin22sin211sin2 2−=−+− xxx ⇔ ( ) ( )1sin22sin1sin2 −=− xxx

⇔ ( ) ( ) 01sin2sin1sin =−−− xxx ⇔ ( )( ) 02sinsin1 =+− xx ⇔ sinx = 1


xxx2sin

12sin22cottan2 +=+

Giải


Trang: 26/32

Điều kiện: 2

πkx ≠

xxxx

2sin

12sin22cottan2 +=+ ⇔

xx

x

x

x

x

2sin

12sin2

2sin

2cos

cos

sin2 +=+

⇔ 12sin22cossin4 22+=+ xxx ⇔ ( ) ( ) 12cos122cos2cos12 2

+−=+− xxx

⇔ 012cos2cos2 2=−− xx ⇔

−=

=−

2

12cos

012cos

x

x

⇔

( )

+±=

=

ππ

kx

lx

3

02sin

77/ Giải phương trình: 1cos21

6cos3sin353

sinsin4

=−

+++

+

x

xxxxπ

Giải


23

kx +±≠

1cos21

6cos3sin353

sinsin4

=−

+++

+

x

xxxxπ

⇔ xxxx cos216cos3sin353

2cos23

cos2 −=+++

+−

ππ

⇔ ( ) 06cossin356

sin4 2=+++

+ xxx

π

⇔ 04cos2

1

2

3sin10

6sin4 2

=+

++

+ xxx

π

⇔ 046

sin106

sin4 2=+

++

+

ππxx ⇔

( )

−=

+

−=

+

lx

x

26

sin

2

1

6sin

π

π

⇔

+=

+−=

ππ

ππ

23

2

23

kx

kx

78/ Giải phương trình: ( )xxxx 2sin4sin6

1tan2tan +=+

Giải

Điều kiện: 24

ππkx +≠ và π

πkx +≠

2

( )xxxx 2sin4sin6

1tan2tan +=+ ⇔ ( )xxxxx cos3sincos2cossin3 =

⇔ ( )xxxxx 22 sin43sincos2cossin3 −= ⇔ ( )xxx

xx 2cos21sin2

2cos12cossin3 +

+=

⇔ ( )( )[ ] 02cos212cos2cos6sin 2=++− xxxx

⇔ ( ) 02cos22cos2cos22cos6sin 322=−−−− xxxxx

⇔ ( ) 062cos2cos32cos2sin 23=−++ xxxx

⇔ ( )( ) 062cos52cos212cossin 2=++− xxxx ⇔

=

=

12cos

0sin

x

x ⇔ πkx =


Trang: 27/32

79/ Giải phương trình: ( ) xx

xxx tancos

1cos2sin23sin =

−−

Giải


kx +≠2

( ) xx

xxx tancos

1cos2sin23sin =

−− ⇔ ( )( ) xxxx sin1cos2sin23sin 2

=−−

⇔ ( )( ) xxxx sin1cos2sinsin4 23=−+− ⇔ ( )( ) xxxx sinsin1cos21sin4 22

=−+−

⇔ ( ) xxxx sinsin2cos12cos2 =− ⇔ ( ) xxxx sinsin2cos2cos2 2=−

⇔ ( ) 0sin12cos2cos2 2=−− xxx ⇔

=−−

=

012cos2cos2

0sin

2xx

x

πkxx =⇔= 0sin

( )

−=

=

=−−

2

12cos

12cos

012cos2cos2 2

x

lx

xx ⇔ ππ

kx +±=3


+=−

−

32cos59

6

5sin4

ππxx

Giải

+=−

−

32cos59

6

5sin4

ππxx ⇔

+=−

−−

62cos59

6

5sin4

πππ xx

⇔

+−=−

+

6sin2159

6sin4 2 ππ

xx ⇔ 0146

sin46

sin10 2=−

++

+

ππxx

⇔

( )

−=

+

=

+

vnx

x

5

7

6sin

16

sin

π

π

⇔ ππ

23

2kx +=

81/ Giải phương trình: 312sin2cos2

4sin2cos2

=−+

−

xx

xx

Giải

312sin2cos2

4sin2cos2

=−+

−

xx

xx ⇔ 3

12sin2sin2

4sin2cos2

=++−

−

xx

xx

Điều kiện:

−≠

≠

⇔≠++−

2

12sin

12sin

012sin2sin2 2

x

x

xx

312sin2sin2

4sin2cos2

=++−

−

xx

xx ⇔ ( )xxxx 4cos2sin34sin2cos +=− ⇔

xxxx 4sin4cos32sin32cos +=− ⇔

−=

+

64cos

32cos

ππxx ⇔

++−=+

+−=+

πππ

πππ

26

43

2

26

43

2

kxx

kxx


Trang: 28/32

⇔

( )

+−=

+=

312

4

ππ

ππ

kx

lkx


+=+


xxxxxx

Giải

+=+


xxxxxx

⇔

+=+

3sin324sincos3sin2cos2sin2

πxxxxxx

⇔

+=+

3sin324sincos3sin4sin

πxxxxx

⇔ ( )

+=+

3sin32cos3sin4sin

πxxxx ⇔

+=

+

3sin3cos

2

3

2

1.sin4sin

πxxxx

⇔

+=

+

3sin3

3sin.4sin

ππxxx ⇔

( )

=

=

+

vnx

x

34sin

03

sinπ

⇔ ππ

kx +−=3


33cos

3sin8 3

=

−−

+

ππxx

Giải

02

33cos

3sin8 3

=

−−

+

ππxx ⇔ 0

23cos

3sin8 3

=

+−

+

ππxx

⇔ 03sin3

sin8 3=+

+ xx

π

Đặt: 3

π+= xt phương trình trở thành: ( ) 03sinsin8 3

=−+ πtt ⇔ 03sinsin8 3=− tt

⇔ 0sin3sin12 3=− tt ⇔ 03

2

2cos14sin3 =

−

− xt ⇔ ( ) 012cos2sin =−− tt ⇔

−=

=

2

12cos

0sin

t

t

84/ Giải phương trình:( )

( )xxx

xxsin12

cossin

1coscos2

+=+

−

Giải

Điều kiện: sinx + cosx ≠ 0

( )( )x

xx

xxsin12

cossin

1coscos2

+=+

− ⇔ ( )( ) ( )( )xxxxx cos2sin2sin11cossin1 2

++=−−

⇔⇔⇔⇔ ( )( ) 0cossinsincos1sin1 =++++ xxxxx ⇔⇔⇔⇔ ( )( ) 0cos1sin1 =++ xx


3cos

3sin8 3

=

−−

+ xx

ππ


Trang: 29/32

Giải

Đặt 3

π+= xt suy ra

3

π−= tx . Phương trình trở thành 03

2

3cossin8 3

=

+−− π

πtt

⇔ 032

5cossin8 3

=

−− tt

π⇔ 03

2cossin8 3

=

−− tt

π ⇔ 03sinsin8 3

=− tt

⇔ 0sin3sin12 3=− tt ⇔ ( ) 01sin4sin 2

=−tt ⇔ ( ) 02cos21sin =− tt

86/ Giải phương trình: ( ) xxxxx 4cos1cossin42cos24sin +=+++

Giải ( ) xxxxx 4cos1cossin42cos24sin +=+++

⇔ ( ) xxxxxx 2cos2cossin42cos22cos2sin2 2=+++

⇔ ( ) 0cossin22cos2cos2cos2sin 2=++−+ xxxxxx

⇔ ( ) ( ) 0cossin22cos12sin2cos =++−+ xxxxx

⇔ ( ) ( ) 0cossin2sin2cossin22cos 2=+++ xxxxxx

⇔ ( ) ( ) 0cossinsincossin2cos =+++ xxxxxx ⇔ ( ) ( )[ ] 01sinsin21cossin 2=+−+ xxxx

⇔ ( )( ) 01sinsin2cossin 3=−−+ xxxx ⇔ ( )( )( ) 01sin2sin21sincossin 2

=++−+ xxxxx

87/ Giải phương trình: ( ) xxx

xxxx cossin

cos

3sintan2cos2sin +=+−

Giải


kx +≠2

( ) xxx

xxxx cossin

cos

3sintan2cos2sin +=+− ⇔ ( ) ( )xxxxxxx cossincos3sinsin2cos2sin +=+−

⇔ ( )xxxxxxxxxxx cossincossin2coscos2sinsin2cos2sinsin +=++−

⇔ ( )xxxxxxx cossincoscos2sin2sinsin +=+ ⇔ ( ) ( )xxxxxxx cossincoscossincossin2 +=+

⇔ ( ) ( )0coscossincossinsin2 ≠+=+ xvìxxxxx

⇔

=

+

=

04

sin

0sin

πx

x

88/ Giải phương trình: xxx 22 sin3cos4cos +=

Giải

xxx22 sin3cos4cos += ⇔ ( ) xxx 2cos16cos112cos22 2

−++=−

⇔ xxxx 2cos2cos32cos4222cos4 32−−+=− ⇔ 042cos42cos42cos4 23

=+−− xxx

⇔ ( ) ( ) 012cos12cos2cos2=−−− xxx ⇔ ( )( ) 012cos12cos 2

=−− xx ⇔ 02sinsin =xx

⇔ 02sin =x ⇔ 2

πkx =


cos42sin3 2−+=

++ xxxx

π

Giải

4cos3sin102

cos42sin3 2−+=

++ xxxx

π ⇔ 4cos3sin10sin4cossin6 2

−+=+ xxxxx


Trang: 30/32

⇔ 0cos3cossin64sin10sin4 2=−++− xxxxx ⇔ ( ) ( ) 01sin2cos32sin

2

1sin4 =−+−

− xxxx

⇔ ( )( ) 04cos3sin21sin2 =−+− xxx ⇔

( )

<+=+

=

222 432:4cos3sin2

2

1sin

vìvnxx

x

⇔

+=

+=

ππ

ππ

26

5

6

kx

kx


5cos22 =

− xx

π

Giải

1sin12

5cos22 =

− xx

π⇔ 1

12

52sin

12

5sin2 =

−+

ππx ⇔

12

5sin

4sin

12

52sin

πππ−=

−x

⇔ 12

sin3

2cos2

12

52sin

πππ=

−x ⇔

−=

−

12

5sin

12

52sin

ππx


5sin2sin5cos2

+=+−

ππ

Giải

Điều kiện: 03sin ≠x ⇔ 3

πkx ≠

( ) xxxx 3cot22

5sin2sin5cos2

+=+−

ππ ⇔ xxxx 3cot2cos2sin5cos2 =+

⇔ xxxxxx 3cos2cos3sin.2sin3sin.5cos2 =+ ⇔ 05cos3sin.5cos2 =− xxx

⇔ ( )013sin25cos =−xx ⇔

=

=

4sin3sin

05cos

πx

x

92/ Giải phương trình: 2sin2x –sin2x + sinx + cosx –1 = 0

Giải 2sin

2x –sin2x + sinx + cosx –1 = 0 ⇔ 2sin

2x –2sinx cosx + sinx + cosx –1 = 0

⇔ 2sin2x + (1 –2cosx)sinx + cosx –1 = 0

∆ = (1 –2cosx)2 –8(cosx –1) = 4cos

2x –12cosx + 9 = (2cosx –3)

2

2sin2x + (1 –2cosx)sinx + cosx –1 = 0 ⇔

=+−−

=

−=−+−

=

2

1

4

3cos21cos2sin

1cos4

3cos21cos2sin

xxx

xx

x

93/ Giải phương trình: 2cos3x + cos2x + 4sinx –3 = 0

Giải 2cos

3x + cos2x + 4sinx –3 = 0 ⇔ 2cos

3x + 2cos

2x + 4sinx –4 = 0

⇔ 2cos2x(cosx + 1) + 4(sinx –1) = 0 ⇔ (1 –sinx)(1 + sinx)(cosx + 1) + 2(sinx –1) = 0

⇔ (1 –sinx)(cosx + 1 + sinxcosx + sinx –2) = 0 ⇔(1 –sinx)(cosx + sinx + sinxcosx –1) = 0


Trang: 31/32


sin244cos4sin −

+=+

πxxx

Giải

14

sin244cos4sin −

+=+

πxxx ⇔ sin4x + cos4x = 4(sinx + cosx) –1

⇔ 2sin2x cos2x + 2cos22x –1 = 4(sinx + cosx) –1⇔ sin2x cos2x + cos

22x = 2(sinx + cosx)

⇔ cos2x (sin2x + cos2x) –2(sinx + cosx) = 0

⇔ (cosx –sinx)(cosx + sinx)(sin2x + cos2x) –2(sinx + cosx) = 0

⇔ (cosx +sinx)(sin2xcosx + cos2xcosx –sin2xsinx –sinxcos2x –2) = 0

⇔ (cosx +sinx)(sinx + cos3x –2) = 0


xxx

2

24

tan1

tan124sin

4cos8

+

−=+

+

π

Giải


kx +≠2

x

xxx

2

24

tan1

tan124sin

4cos8

+

−=+

+

π ⇔ ( ) xxxxx 2cos22cos2sin2sincos

2

18

4

=+

−

⇔ (cosx –sinx)4 –2cos2x(1 –sin2x) = 0 ⇔ (cosx –sinx)

4 –2(cosx –sinx)(cosx + sinx)(cosx –sinx)

2 = 0

⇔ (cosx –sinx)4 –2(cosx + sinx)(cosx –sinx)

3 = 0


xxx2sin

12sin22cottan2 +=+

Giải

Điều kiện: 2

02sinπ

kxx ≠⇔≠

xxxx

2sin

12sin22cottan2 +=+ ⇔

x

x

xxx

2sin

2cos

2sin

12sin2tan2 −+=

⇔ x

xxx

2sin

2cos12sin2tan2

−+= ⇔

xx

xxx

cossin2

sin22sin2tan2

2

+=

⇔ xxx tan2sin2tan2 += ⇔ xxx

xcossin4

cos

sin= ⇔ ( )0sin1cos4 2

≠= xdox

⇔ ( ) 12cos12 =+ x ⇔ ππ

kxx +±=⇔−=32

12cos

97/ Giải phương trình: 042cossin222sin2 =+−+ xxx

Giải

042cossin222sin2 =+−+ xxx ⇔ 04sin21sin222sin2 2=++−+ xxx

⇔ 022sin21sin22sin2 2=++++ xxx ⇔ ( ) ( ) 012sin21sin2

2

=+++ xx

⇔

=+

=+

01sin2

012sin

x

x⇔

=+

+−

+−=

014

sin2

4

ππ

ππ

k

kx

⇔ Zmmx ∈+−= ππ

24


sincos32

cos24

cossin 2 xx

xxx −=+


Trang: 32/32

Giải

4sincos3

2cos2

4cossin 2 x

xxx

x −=+ ⇔ 22

cos214

sincos4

cossin 2=+++

xxx

xx

⇔ 2cos4

5sin =+ x

x ⇔

=

=

14

5sin

1cos

x

x

⇔

=

=

12

5sin

2

π

π

k

kx

⇔ ( )

=

−+

=

12

15

2sin

2

ππ

π

k

kx

Đúng khi: mk

22

15=

− ⇔

5

1

5

14 mm

mk

−+=

+= ( Zmk ∈, ) ⇔ lm 51 =− ( )Zl ∈

Khi đó: lllk 4151 −=+−=

Nghiệm phương trình đã cho: ( ) ( )Znnx ∈+= π82

99/ Giải phương trình: 1cos.2cos =xx

Giải

Cách 1/ 1cos.2cos =xx ⇔ ( ) 1cos1cos2 2=− xx ⇔ 01coscos2 3

=−− xx ⇔

( )( ) 01cos2cos21cos 2=++− xxx ⇔ 1cos =x ⇔ π2kx =

Cách 2/ 1cos.2cos =xx ⇔

−=

−=

=

=

12cos

1cos

12cos

1cos

x

x

x

x

⇔

=

−=

=

=

0cos

1cos

1cos

1cos

2

2

x

x

x

x

⇔ 1cos =x

Cách 1 sẽ trở nên khó khăn nếu ta gặp phương trình dạng: 1coscos =nxmx hoặc 1cossin =nxmx hoặc

1sinsin =nxmx với m, n không đặc biệt

các h th c c ơ b n c n nh · nguy n qu c qu n – giáo viên tr ưng thpt chuyên nguy n quang...

Documents