cap 12 - teoria do portfólio

Finanças Corporativas e Valor – ASSAF NETOFinanças Corporativas e Valor – ASSAF NETO

Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio

IntroduçãIntroduçãoo

Seleção de carteiras:Seleção de carteiras: procura identificar

a melhor combinação possível de ativos,

obedecendo às preferências do investidor

Análise de carteiras:Análise de carteiras: envolve as projeções de retorno

esperado e risco conjunto de ativos considerado

Análise dos títulos:Análise dos títulos: trata dos fundamentos de avaliação

aplicados ao desempenho esperado dos títulos

Fases de estudo da avaliação de Fases de estudo da avaliação de carteirascarteiras


Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira

O risco de uma carteira depende da forma como seus seus

elementos se relacionamelementos se relacionam

A redução do riscoredução do risco de uma carteira pode

ser promovida pela seleção de ativos que

mantenham relação inversa entre sirelação inversa entre si

O risco de um ativo mantido fora de uma carteira é

diferente de seu risco quando incluído na carteiradiferente de seu risco quando incluído na carteira



Risco de uma carteira composta de dois ativos (X e Y):Risco de uma carteira composta de dois ativos (X e Y):

2/1,

2222 2 YXYXYYXXp COVWWWW

XW

YW

2X

2Y

YXCOV ,

participação do ativo X no portfólio







Correlação de dois ativos (X e Correlação de dois ativos (X e Y):Y):

YX

YXYX

COV

,

,

Com base nessa expressão, tem-se:Com base nessa expressão, tem-se:

YXYXYXCOV ,,



Substituindo a fórmula de COVx, y na identidade de cálculo do

risco do portfólio para dois ativos, pode-se desenvolver a

seguinte expressão bastante adotada

2/1,

2222 2 YXYXYXYYXXp WWWW

O desvio-padrão de uma carteira de dois ativos (X, Y) é função do:O desvio-padrão de uma carteira de dois ativos (X, Y) é função do:

a) desvio-padrão de cada ativo;

b) percentual da carreira aplicado no ativo X (Wx) e no ativo Y (Wy);

c) coeficiente de correlação dos ativos X e Y (Px, y).



Expressão geral de cálculo (Markowitz) do desvio-padrão de

uma carteira de n ativos

2/1,

1 1

21

1

2

jiji

N

i

N

jji

N

iXp WWW



Exemplo ilustrativoExemplo ilustrativo RETORNO RISCO

Ação A

Ação B

12%

24%

18%

27%

CARTEIRAS RISCO DA CARTEIRA

AÇÃO A AÇÃO B

Retorno CORRELAÇÃO PERFEITA POSITIVA

CORRELAÇÃO PERFEITA NEGATIVA

100%

80%

60%

40%

20%

0%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

12,0%

14,4%

16,8%

19,2%

21,6%

24,0%

18,0%

19,8%

21,6%

23,4%

25,2%

27,0%

18,0%

13,5%

0,0

9,0%

18,0%

27,0%

Retorno Retorno esperado da esperado da carteira carteira formada com formada com diferentes diferentes participações participações das ações A e das ações A e B e correlação B e correlação extremasextremas



Calculando o risco da carteira de acordo com o modelo de Markowitz, que leva em consideração o risco de cada ativo, sua participação na carteira e a correlação, temos para WA = 80%, WB = 20% e correlação perfeita positiva:

2/12222 27,018,0120,080,0227,020,018,080,0 p

2/1 015552,0002916,0020736,0 p

2/1 039204,0p

%8,19198,0 p



Estudos mostram que a diversificação é capaz de

reduzir pela metade o riscoreduzir pela metade o risco da carteira

A diversificação deve observar as correlações dos

retornos dos ativos, estabelecendo-se a melhor

composição possível de uma carteira’

A diversificação de Markowitz permite a redução ou

até eliminação total do risco não sistemático

12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira



Exemplo Exemplo ilustrativilustrativoo

ESTADO DE

NATUREZA

PROBABI-LIDADE

RETORNO DO ATIVO

X

RETORNO DO ATIVO

YRecessão

MédioBom

Excelente

10%35%45%10%

– 5%10%25%50%

2%10%15%20%

%25,19XR %45,12YR

PROPORÇÃO DO ATIVO X NO

PORTFÓLIO (WX)

PROPORÇÃO DO ATIVO Y NO

PORTFÓLIO (WY)

RETORNO ESPERADO DO PORTFÓLIO

RISCO DOPORTFÓLIO

0% 25% 50% 75%100%

100% 75% 50% 25% 0%

12,45%14,15%15,85%17,55%19,25%

13,40%15,08%22,12%31,05%40,65%


Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.2 12.2 Ativos com Correlação NulaAtivos com Correlação Nula

Se os retornos esperados de dois ativos forem independentes,

ou seja, apresentarem correlação nula (rA, B = 0), o percentual

de cada ativo a ser aplicado na carteira considerada de mais

baixo risco deve obedecer à seguinte expressão de cálculo:

22

2

BA

BAW

22

2

BA

AW

Bou

A proporção do ativo B é de (1- )AW



Ilustrativamente, admita dois ativos (A e B) com correlação

nula entre seus retornos esperados, ou seja: A, B = 0

O desvio-padrão do ativo A é de 15% e o do ativo B, de 12%.

12.2 12.2 Ativos com Correlação NulaAtivos com Correlação Nula

12,015,0

12,022

2

AW

0369,0

0144,0AW

O risco risco da carteira atinge seu nível nível

mínimomínimo quando a participação do participação do

ativo ativo AA for de 39,0%, for de 39,0%, e B, em

conseqüência, de 61,0%

%3939,0 AW


Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de

CarteirasCarteiras

CARTEIRA PARTICIPAÇÃO DO ATIVO

X(WX)

PARTICIPAÇÃO DO ATIVO

Y(WY)

RETORNO ESPERADO E (Rr) = Rr

RISCO(sr)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0%

10%

15%

25%

50%

75%

85%

90%

100%

100%

90%

85%

75%

50%

25%

15%

10%

0%

12,45%

13,13%

13,47%

14,15%

15,85%

17,55%

18,23%

18,57%

19,25%

13,40%

13,16%

13,52%

15,08%

22,12%

31,05%

34,80%

36,70%

40,65%

Combinações das participações dos ativos X e Y em carteiras ilustrativas



CarteirasCarteiras

Linha do conjunto de combinações

E R( )=(Retorno esperado)

R

Z

X,Y = –1

M

K Y (ativo )

X,Y = +1

–1 < X,Y < +1

W X(ativo )

Desvio-padrăo ( )



Para dois ativos (A e B) a carteira de variância mínima pode

ser determinada a partir da seguinte expressão:

O ponto M representa uma carteira de ativos que apresenta

o menor risco possível (carteira de variância mínima)

A reta KWZ indica uma correlação perfeitamente

negativa entre os ativos, caso de difícil verificação prática

BABABABABABAW ,22

,2 2/

12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de CarteirasCarteiras



Exemplo ilustrativoExemplo ilustrativo

12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de CarteirasCarteiras

CARTEIRAPARTICIPAÇÃ

O DA AÇÃO A

PARTICIPAÇÃ

O DA AÇÃO B

RETORN

O

ESPERAD

O

DESVIO-

PADRÃO

A

B

C

D

E

F

0%

20%

40%

60%

80%

100

%

100

%

80%

60%

40%

20%

0%

12,0%

13,6%

15,2%

16,8%

18,4%

20,0%

22,0%

20,3%

21,4%

24,9%

29,9%

36,0%

Sabe-se que o coeficiente de correlação dos dois ativos é de 0,20Sabe-se que o coeficiente de correlação dos dois ativos é de 0,20



CarteirasCarteiras

BABABABABABAW ,22

,2 2/

%25,222225,0

031680,01780,0

0322560,0

22,036,020,0222,036,0

22,036,020,022,022

2

AW

A carteira A carteira MM, de variância mínima, é composta de:, de variância mínima, é composta de:

Participação do Ativo A (WA) = 22,25% e do Ativo B (WB) = 77,75%

O retorno esperado e o risco dessa carteira atingem os valores seguintes:

E (R) = R = (20% x 0,2225) + (12% x 0,7775) = 13,78%

= [(0,362x0,22252)+(0,222x0,77752)+(2x0,2225x0,7775x0,20x0,36x0,22)]1/2

= 20,2%

Carteira de Variância Mínima



CarteirasCarteiras

Representação gráfica do conjunto de combinações

As oportunidades de investimentos a serem consideradas estão localizadas sobre a curva MF - fronteira eficiente

E R( )=(Retornoesperado)

R

12%22% 36% (Desvio-padrăo

dos retornos)

MB

CD

20%

EF

A


Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.4 12.4 Fronteira Fronteira

EficienteEficiente

O segmento MW, conhecido com fronteira eficiente, insere todas as carteiras possíveis de serem construídas

A escolha da melhor carteira é determinada pelo risco/retorno presente na avaliação de investimentos


R

Desvio-padrăo ( )

A

M

W

32

45

6

7

1



Exemplo IlustrativoExemplo Ilustrativo

Ao comparar-se a carteira A, situada sobre a fronteira

eficiente, com a carteira 2, localizada dentro da área

sombreada, verifica-se que o risco de A é menor,

apresentando ambas as carteiras o mesmo nível de retorno.

Assim, qualquer carteira situada à direita dessa linha MW

(conjunto eficiente) produz maior risco para o mesmo

retorno esperado, ou o mesmo nível de risco para um

menor retorno esperado.

12.4 12.4 Fronteira Fronteira EficienteEficiente


Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.4 12.4 Fronteira Fronteira

EficienteEficiente

Preferências de dois investidores (A e B) diante de carteiras dispostas em fronteira eficiente:

As curvas de indiferença traçadas refletem diferentes posturas dos investidores perante o

risco


R

Desvio-padrăo ( )

Investidor A

G

Investidor B

W

M



Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO

A covariância positiva (COV > 0) indica que o retorno de

dois títulos apresentam comportamento de mesma tendência A covariância é negativa (COV < 0) quando dois ativos

apresentam relações inversas Não se verificando associação alguma entre os

títulos, a

covariância é dita nula (COV = 0)

Identifica como determinados valores se inter-relacionam

COVARIÂNCIACOVARIÂNCIA

n

RRRRCOV

n

k

BBAA

BA

1

,




Exemplo Exemplo IlustrativoIlustrativo

Admitindo o desempenho esperado de dois títulos (A e B) diante de três cenários econômicos, temos:

Recessão – 15%

20%

Estabilidade

35%

– 15%

SITUAÇÃO DA

ECONOMIA

RETORNO DOTÍTULO A

RETORNO DOTÍTULO B

Crescimento 55%

10%

– 15% 35% 55%

RA = 25%

– 40% 10%

30%

20% – 15%

10% RB = 5%

15% –

20%

5%

– 6%

–

2%

1,5%

– 6,5%

BABA RRRR BABBAA R R R R R R

COV = -6,5%/3 = -2,17%. COV = -6,5%/3 = -2,17%. A covariância é negativa, A covariância é negativa, indicando associação inversa entre os dois títulosindicando associação inversa entre os dois títulos




Explica o grau de relacionamento verificado no comportamento

de duas ou mais variáveis

A quantificação desse relacionamento é medida pelo

coeficiente de correlaçãocoeficiente de correlação, que varia de +1 a -1

Variáveis negativamente correlacionadas = -1

Variáveis positivamente correlacionadas = +1

Variáveis sem relação alguma = 0

CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO

11 , yx



Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃOCoeficiente de correlaçãoCoeficiente de correlação

Valor do coeficiente de correlação para diferentes associações de valoresValor do coeficiente de correlação para diferentes associações de valores

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Correlação PositivaCorrelação Positiva Correlação Perfeita Correlação Perfeita PositivaPositiva

Correlação NegativaCorrelação Negativa

Correlação Perfeita Correlação Perfeita NegativaNegativa

Correlação NulaCorrelação Nula




PREÇO DE VENDA

(VARIÁVEL X)

DEMANDA(VARIÁVEL Y)

$ 40$ 48$ 52$ 36$ 32

10 unidades 8 unidades 7 unidades11 unidades12 unidades

Exemplo Exemplo IlustrativoIlustrativo

Admitindo os seguintes Admitindo os seguintes valores para a demanda valores para a demanda e o preço de venda dos e o preço de venda dos bens de consumo:bens de consumo:

As variáveis preço e demanda apresentam um movimento conjunto proporcional. Um aumento de $ 8 no preço de venda determina a redução de 20% no número de unidades demandadas. Existe uma correlação perfeita negativa (igual a –1)




Regressão LinearRegressão Linear

Expressão matemática que permite identificar a relação das

variáveis e realizar projeções futuras

A expressão da reta ajustada, em que os valores de X

explicarão os de Y, é definida por

Onde: Y = variável dependente

X = variável explicativa

a = coeficiente linear

b = coeficiente angular

bXaY




Função linear das variáveis de estoques (Y) e vendas (X) de uma empresa referentes aos períodos de 19X1 a 19X7

XVendas($000)

1.000 2.000 3.000 4.000 5.000

5

10

15

20

25

30

Estoques ($000)

Y a bX = +

Y X = 03813 + 0,00655




XbYa

n

XX

n

YXX

b2

2

X

YX

VAR

COVb ,

Os parâmetros constantes a e b são obtidos de acordo com as seguintes expressões de cálculo:

ou




O parâmetro linear a revela que o estoque alcança $ 0,3813

mil quando as vendas forem nulas (X = 0)

A inclinação da reta indica as alterações dos valores dos

estoques dadas as variações no montante de vendas

Logo, a ocorrência de um aumento de $ 1.000 nas vendas

implica alteração de $ 6,55 nos estoques, e assim por

diante.



BibliografiBibliografia a

DAMODARAN, Aswath. Corporate finance. 2. Ed. New York: John Wiley, 2001.

FARRELL JR., James L. Portfolio management. 2. Ed. New York: McGraw-Hill, 1997.

GRINBLATT, Mark; TITMAN, Sheridan. Financial markets and cosporate strategy. New York: MacGraw-Hill, 1998

SÁ, Geraldo Tosta de. Administração de investimentos: teoria de carteiras e gerenciamento de risco. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1999.

SHARPE, Willian F.; ALEXANDER, Gordon J.: BAILEY, Jeffrey V. Investments, 6. Ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1999.

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