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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio
IntroduçãIntroduçãoo
Seleção de carteiras:Seleção de carteiras: procura identificar
a melhor combinação possível de ativos,
obedecendo às preferências do investidor
Análise de carteiras:Análise de carteiras: envolve as projeções de retorno
esperado e risco conjunto de ativos considerado
Análise dos títulos:Análise dos títulos: trata dos fundamentos de avaliação
aplicados ao desempenho esperado dos títulos
Fases de estudo da avaliação de Fases de estudo da avaliação de carteirascarteiras
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
O risco de uma carteira depende da forma como seus seus
elementos se relacionamelementos se relacionam
A redução do riscoredução do risco de uma carteira pode
ser promovida pela seleção de ativos que
mantenham relação inversa entre sirelação inversa entre si
O risco de um ativo mantido fora de uma carteira é
diferente de seu risco quando incluído na carteiradiferente de seu risco quando incluído na carteira
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Risco de uma carteira composta de dois ativos (X e Y):Risco de uma carteira composta de dois ativos (X e Y):
2/1,
2222 2 YXYXYYXXp COVWWWW
XW
YW
2X
2Y
YXCOV ,
participação do ativo X no portfólio
participação do ativo X no portfólio
participação do ativo X no portfólio
participação do ativo X no portfólio
participação do ativo X no portfólio
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Correlação de dois ativos (X e Correlação de dois ativos (X e Y):Y):
YX
YXYX
COV
,
,
Com base nessa expressão, tem-se:Com base nessa expressão, tem-se:
YXYXYXCOV ,,
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Substituindo a fórmula de COVx, y na identidade de cálculo do
risco do portfólio para dois ativos, pode-se desenvolver a
seguinte expressão bastante adotada
2/1,
2222 2 YXYXYXYYXXp WWWW
O desvio-padrão de uma carteira de dois ativos (X, Y) é função do:O desvio-padrão de uma carteira de dois ativos (X, Y) é função do:
a) desvio-padrão de cada ativo;
b) percentual da carreira aplicado no ativo X (Wx) e no ativo Y (Wy);
c) coeficiente de correlação dos ativos X e Y (Px, y).
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Expressão geral de cálculo (Markowitz) do desvio-padrão de
uma carteira de n ativos
2/1,
1 1
21
1
2
jiji
N
i
N
jji
N
iXp WWW
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Exemplo ilustrativoExemplo ilustrativo RETORNO RISCO
Ação A
Ação B
12%
24%
18%
27%
CARTEIRAS RISCO DA CARTEIRA
AÇÃO A AÇÃO B
Retorno CORRELAÇÃO PERFEITA POSITIVA
CORRELAÇÃO PERFEITA NEGATIVA
100%
80%
60%
40%
20%
0%
0%
20%
40%
60%
80%
100%
12,0%
14,4%
16,8%
19,2%
21,6%
24,0%
18,0%
19,8%
21,6%
23,4%
25,2%
27,0%
18,0%
13,5%
0,0
9,0%
18,0%
27,0%
Retorno Retorno esperado da esperado da carteira carteira formada com formada com diferentes diferentes participações participações das ações A e das ações A e B e correlação B e correlação extremasextremas
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Calculando o risco da carteira de acordo com o modelo de Markowitz, que leva em consideração o risco de cada ativo, sua participação na carteira e a correlação, temos para WA = 80%, WB = 20% e correlação perfeita positiva:
2/12222 27,018,0120,080,0227,020,018,080,0 p
2/1 015552,0002916,0020736,0 p
2/1 039204,0p
%8,19198,0 p
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Estudos mostram que a diversificação é capaz de
reduzir pela metade o riscoreduzir pela metade o risco da carteira
A diversificação deve observar as correlações dos
retornos dos ativos, estabelecendo-se a melhor
composição possível de uma carteira’
A diversificação de Markowitz permite a redução ou
até eliminação total do risco não sistemático
12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.1 12.1 Risco de uma CarteiraRisco de uma Carteira
Exemplo Exemplo ilustrativilustrativoo
ESTADO DE
NATUREZA
PROBABI-LIDADE
RETORNO DO ATIVO
X
RETORNO DO ATIVO
YRecessão
MédioBom
Excelente
10%35%45%10%
– 5%10%25%50%
2%10%15%20%
%25,19XR %45,12YR
PROPORÇÃO DO ATIVO X NO
PORTFÓLIO (WX)
PROPORÇÃO DO ATIVO Y NO
PORTFÓLIO (WY)
RETORNO ESPERADO DO PORTFÓLIO
RISCO DOPORTFÓLIO
0% 25% 50% 75%100%
100% 75% 50% 25% 0%
12,45%14,15%15,85%17,55%19,25%
13,40%15,08%22,12%31,05%40,65%
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.2 12.2 Ativos com Correlação NulaAtivos com Correlação Nula
Se os retornos esperados de dois ativos forem independentes,
ou seja, apresentarem correlação nula (rA, B = 0), o percentual
de cada ativo a ser aplicado na carteira considerada de mais
baixo risco deve obedecer à seguinte expressão de cálculo:
22
2
BA
BAW
22
2
BA
AW
Bou
A proporção do ativo B é de (1- )AW
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Ilustrativamente, admita dois ativos (A e B) com correlação
nula entre seus retornos esperados, ou seja: A, B = 0
O desvio-padrão do ativo A é de 15% e o do ativo B, de 12%.
12.2 12.2 Ativos com Correlação NulaAtivos com Correlação Nula
12,015,0
12,022
2
AW
0369,0
0144,0AW
O risco risco da carteira atinge seu nível nível
mínimomínimo quando a participação do participação do
ativo ativo AA for de 39,0%, for de 39,0%, e B, em
conseqüência, de 61,0%
%3939,0 AW
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de
CarteirasCarteiras
CARTEIRA PARTICIPAÇÃO DO ATIVO
X(WX)
PARTICIPAÇÃO DO ATIVO
Y(WY)
RETORNO ESPERADO E (Rr) = Rr
RISCO(sr)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0%
10%
15%
25%
50%
75%
85%
90%
100%
100%
90%
85%
75%
50%
25%
15%
10%
0%
12,45%
13,13%
13,47%
14,15%
15,85%
17,55%
18,23%
18,57%
19,25%
13,40%
13,16%
13,52%
15,08%
22,12%
31,05%
34,80%
36,70%
40,65%
Combinações das participações dos ativos X e Y em carteiras ilustrativas
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de
CarteirasCarteiras
Linha do conjunto de combinações
E R( )=(Retorno esperado)
R
Z
X,Y = –1
M
K Y (ativo )
X,Y = +1
–1 < X,Y < +1
W X(ativo )
Desvio-padrăo ( )
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Para dois ativos (A e B) a carteira de variância mínima pode
ser determinada a partir da seguinte expressão:
O ponto M representa uma carteira de ativos que apresenta
o menor risco possível (carteira de variância mínima)
A reta KWZ indica uma correlação perfeitamente
negativa entre os ativos, caso de difícil verificação prática
BABABABABABAW ,22
,2 2/
12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de CarteirasCarteiras
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Exemplo ilustrativoExemplo ilustrativo
12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de CarteirasCarteiras
CARTEIRAPARTICIPAÇÃ
O DA AÇÃO A
PARTICIPAÇÃ
O DA AÇÃO B
RETORN
O
ESPERAD
O
DESVIO-
PADRÃO
A
B
C
D
E
F
0%
20%
40%
60%
80%
100
%
100
%
80%
60%
40%
20%
0%
12,0%
13,6%
15,2%
16,8%
18,4%
20,0%
22,0%
20,3%
21,4%
24,9%
29,9%
36,0%
Sabe-se que o coeficiente de correlação dos dois ativos é de 0,20Sabe-se que o coeficiente de correlação dos dois ativos é de 0,20
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de
CarteirasCarteiras
BABABABABABAW ,22
,2 2/
%25,222225,0
031680,01780,0
0322560,0
22,036,020,0222,036,0
22,036,020,022,022
2
AW
A carteira A carteira MM, de variância mínima, é composta de:, de variância mínima, é composta de:
Participação do Ativo A (WA) = 22,25% e do Ativo B (WB) = 77,75%
O retorno esperado e o risco dessa carteira atingem os valores seguintes:
E (R) = R = (20% x 0,2225) + (12% x 0,7775) = 13,78%
= [(0,362x0,22252)+(0,222x0,77752)+(2x0,2225x0,7775x0,20x0,36x0,22)]1/2
= 20,2%
Carteira de Variância Mínima
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.3 12.3 Conjunto de Combinações de Conjunto de Combinações de
CarteirasCarteiras
Representação gráfica do conjunto de combinações
As oportunidades de investimentos a serem consideradas estão localizadas sobre a curva MF - fronteira eficiente
E R( )=(Retornoesperado)
R
12%22% 36% (Desvio-padrăo
dos retornos)
MB
CD
20%
EF
A
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.4 12.4 Fronteira Fronteira
EficienteEficiente
O segmento MW, conhecido com fronteira eficiente, insere todas as carteiras possíveis de serem construídas
A escolha da melhor carteira é determinada pelo risco/retorno presente na avaliação de investimentos
E R( )=(Retornoesperado)
R
Desvio-padrăo ( )
A
M
W
32
45
6
7
1
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Exemplo IlustrativoExemplo Ilustrativo
Ao comparar-se a carteira A, situada sobre a fronteira
eficiente, com a carteira 2, localizada dentro da área
sombreada, verifica-se que o risco de A é menor,
apresentando ambas as carteiras o mesmo nível de retorno.
Assim, qualquer carteira situada à direita dessa linha MW
(conjunto eficiente) produz maior risco para o mesmo
retorno esperado, ou o mesmo nível de risco para um
menor retorno esperado.
12.4 12.4 Fronteira Fronteira EficienteEficiente
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Capítulo 12 – Teoria do Capítulo 12 – Teoria do PortfólioPortfólio12.4 12.4 Fronteira Fronteira
EficienteEficiente
Preferências de dois investidores (A e B) diante de carteiras dispostas em fronteira eficiente:
As curvas de indiferença traçadas refletem diferentes posturas dos investidores perante o
risco
E R( )=(Retornoesperado)
R
Desvio-padrăo ( )
Investidor A
G
Investidor B
W
M
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
A covariância positiva (COV > 0) indica que o retorno de
dois títulos apresentam comportamento de mesma tendência A covariância é negativa (COV < 0) quando dois ativos
apresentam relações inversas Não se verificando associação alguma entre os
títulos, a
covariância é dita nula (COV = 0)
Identifica como determinados valores se inter-relacionam
COVARIÂNCIACOVARIÂNCIA
n
RRRRCOV
n
k
BBAA
BA
1
,
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
Exemplo Exemplo IlustrativoIlustrativo
Admitindo o desempenho esperado de dois títulos (A e B) diante de três cenários econômicos, temos:
Recessão – 15%
20%
Estabilidade
35%
– 15%
SITUAÇÃO DA
ECONOMIA
RETORNO DOTÍTULO A
RETORNO DOTÍTULO B
Crescimento 55%
10%
– 15% 35% 55%
RA = 25%
– 40% 10%
30%
20% – 15%
10% RB = 5%
15% –
20%
5%
– 6%
–
2%
1,5%
– 6,5%
BABA RRRR BABBAA R R R R R R
COV = -6,5%/3 = -2,17%. COV = -6,5%/3 = -2,17%. A covariância é negativa, A covariância é negativa, indicando associação inversa entre os dois títulosindicando associação inversa entre os dois títulos
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
Explica o grau de relacionamento verificado no comportamento
de duas ou mais variáveis
A quantificação desse relacionamento é medida pelo
coeficiente de correlaçãocoeficiente de correlação, que varia de +1 a -1
Variáveis negativamente correlacionadas = -1
Variáveis positivamente correlacionadas = +1
Variáveis sem relação alguma = 0
CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
11 , yx
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃOCoeficiente de correlaçãoCoeficiente de correlação
Valor do coeficiente de correlação para diferentes associações de valoresValor do coeficiente de correlação para diferentes associações de valores
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Correlação PositivaCorrelação Positiva Correlação Perfeita Correlação Perfeita PositivaPositiva
Correlação NegativaCorrelação Negativa
Correlação Perfeita Correlação Perfeita NegativaNegativa
Correlação NulaCorrelação Nula
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
PREÇO DE VENDA
(VARIÁVEL X)
DEMANDA(VARIÁVEL Y)
$ 40$ 48$ 52$ 36$ 32
10 unidades 8 unidades 7 unidades11 unidades12 unidades
Exemplo Exemplo IlustrativoIlustrativo
Admitindo os seguintes Admitindo os seguintes valores para a demanda valores para a demanda e o preço de venda dos e o preço de venda dos bens de consumo:bens de consumo:
As variáveis preço e demanda apresentam um movimento conjunto proporcional. Um aumento de $ 8 no preço de venda determina a redução de 20% no número de unidades demandadas. Existe uma correlação perfeita negativa (igual a –1)
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
Regressão LinearRegressão Linear
Expressão matemática que permite identificar a relação das
variáveis e realizar projeções futuras
A expressão da reta ajustada, em que os valores de X
explicarão os de Y, é definida por
Onde: Y = variável dependente
X = variável explicativa
a = coeficiente linear
b = coeficiente angular
bXaY
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
Função linear das variáveis de estoques (Y) e vendas (X) de uma empresa referentes aos períodos de 19X1 a 19X7
XVendas($000)
1.000 2.000 3.000 4.000 5.000
5
10
15
20
25
30
Estoques ($000)
Y a bX = +
Y X = 03813 + 0,00655
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
XbYa
n
XX
n
YXX
b2
2
X
YX
VAR
COVb ,
Os parâmetros constantes a e b são obtidos de acordo com as seguintes expressões de cálculo:
ou
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Apêndice: COVARIÂNCIA E Apêndice: COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃOCORRELAÇÃO
O parâmetro linear a revela que o estoque alcança $ 0,3813
mil quando as vendas forem nulas (X = 0)
A inclinação da reta indica as alterações dos valores dos
estoques dadas as variações no montante de vendas
Logo, a ocorrência de um aumento de $ 1.000 nas vendas
implica alteração de $ 6,55 nos estoques, e assim por
diante.
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BibliografiBibliografia a
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FARRELL JR., James L. Portfolio management. 2. Ed. New York: McGraw-Hill, 1997.
GRINBLATT, Mark; TITMAN, Sheridan. Financial markets and cosporate strategy. New York: MacGraw-Hill, 1998
SÁ, Geraldo Tosta de. Administração de investimentos: teoria de carteiras e gerenciamento de risco. Rio de Janeiro: Qualitymark, 1999.
SHARPE, Willian F.; ALEXANDER, Gordon J.: BAILEY, Jeffrey V. Investments, 6. Ed. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1999.