teoria sistemelor Şi reglare automatĂ cap 1-4automation.ucv.ro/romana/cursuri/sab32/tsra_ lectii...

Constantin MARIN Dan POPESCU

TEORIA SISTEMELOR ŞI REGLARE AUTOMATĂ CAP 1-4

LECTII CURS

CRAIOVA 2007

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE GENERALE ALESISTEMELOR

1.1. Introducere

Teoria sistemelor sau ßtiinta sistemelor, reprezintá o discipliná de sinestátátoare care are ca scop studiul comportárii diferitelor tipuri ßi forme desisteme íntr-un cadru unitar de noþiuni creat pe o bazá abstractá comuná.

Ín acest context, teoria sistemelor reprezintá un ansamblu de metodegenerale, de tehnici ßi algoritmi speciali pentru rezolvarea problemelor de analizá,sintezá, identificare, optimizare etc., indiferent dacá sistemul la care se aplicá esteelectric, mecanic, economic, militar, chimic.

Ín teoria sistemelor prezintá importanþá structura matematicá a sistemului,nu ßi forma sa fizicá sau domeniul de aplicare.

Existá mai multe definiþii ale noþiunii de sistem, fiecare cáutånd sá aibá ocåt mai largá generalitate. Se poate menþiona definiþia datá de Webster: "Prinsistem se ínþelege o mulþime de obiecte fizice sau entitáþi abstracte unite prinanumite forme de interacþiune sau interdependenþá astfel íncät sá formeze uníntreg".

Intuitiv, se pot da numeroase exemple de sisteme: sistemul nostru planetar,sistemul de direcþie al unui autovehicul, sistemul nervos al unei fiinþe, un sistemde ecuaþii algebrice sau diferenþiale, sistemul economic al unei þári etc.

O categorie particulará de sisteme o constituie aßa numitele sisteme fizice,a cáror definiþie, izvorätá din termodinamicá, este urmátoarea: Prin sistem fizic seínþelege orice porþiune din univers pentru care se poate delimita un "interior" ßiun "exterior", din punct de vedere funcþional. Legat de aceastá definiþie, ínparagrafele urmátoare, vor fi date numeroase exemple.

Teoria sistemelor stá la baza ßtiintei conducerii, care se ocupá cu activitateaconßtientá desfáßuratá íntr-un sistem ín vederea índeplinirii unui anumit scop, íncondiþiile influenþei unor sisteme exterioare sistemului condus. Ín cadrul ßtiinteiconducerii se evidenþiazá trei ramuri distincte: automatica, cibernetica ßiinformatica.

Automatica, bazatá pe teoria sistemelor automate, este o ramurá a ßtiinþeiconducerii corelatá cu celelalte ramuri ßi se ocupá de sistemele automate.

Prin sistem automat se ínþelege un ansamblu de obiecte interconectateíntr-o structurá astfel realizatá íncåt permite efectuarea unor decizii de comandá ßiconducere pe baza informaþiilor culese cu mijloace proprii.

Automatizarea reprezintá aplicarea ín parcticá a automaticii. Prinautomatizare se ínþelege un complex de operaþii ce constá ín introducerea ßiutilizarea unor dispozitive ßi legáturi pentru a realiza operaþii de comandá ßi

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.1. Introducere GENERALE ALE SISTEMELOR

1

conducere ín procesele tehnologice ßi economice fárá intervenþia directá a omuluisau cu participarea sa ca observator, cu scopul de a ímbunátáþi calitateaproduselor de conducere tehnologicá ßi economicá.

Automatica fiind o parte componentá a ßtiintei sistemelor, teoria sistemelorautomate beneficiazá de conceptele fundamentale ale teoriei sistemelor.

Ín acest curs, din íntreaga teorie a sistemelor, se vor dezvolta douá aspectefundamentale:

a) Bazele teoriei sistemelor, ín care se vor preciza noþiunile ßi conceptelefundamentale ca: sistem dinamic, stare, liniaritate, invarianþá, echivalenþá,stabilitate, controlabilitate, observabilitate;

b) Metode, tehnici ßi algoritmi pentru analiza, sinteza, identificarea ßioptimizarea sistemelor.

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.1. Introducere GENERALE ALE SISTEMELOR

2

1.2. Sisteme abstracte. Sisteme orientate. Exemple

1.2.1. Definþia noþiunii de sistem orientat cauzal

Orice sistem fizic (sau obiect fizic), ca element al lumii reale, nu este unelement izolat; el face parte integrantá dintr-un context mai general, interacþiuneasa cu exteriorul realizåndu-se prin schimb de informaþie, energie, substanþá, caredeterminá modificarea ín timp ßi spaþiu a unor márimi caracteristice, atribute aleobiectului respectiv.

O astfel de reprezentare este prezentatá ín Fig.1.2.1.

Informaþie

Energie

Materie

INTERIOR

EXTERIOR

Figura nr.1.2.1. Figura nr.1.2.2.

Legátura sistemului (obiectului) fizic cu exteriorul se realizeazá sub formáde semnale prin aßa-numitele variabile terminale.

Ín teoria sistemelor prezintá interes relaþiile matematice dintre variabileleterminale. Toate aceste relaþii matematice definesc modelul matematic alsistemelui (obiectului) fizic.

Prin sistem abstract sau, pe scurt, sistem se ínþelege fie modelul matematical unui sistem (obiect) fizic, fie rezultatul unui complex de relaþii de sintezá.

Prin sistem abstract fizic-realizabil (sistem cauzal) se ínþelege sistemulabstract, obþinut prin operaþii de sintezá, care poate fi materializat printr-un modelfizic. Ín caz contrar, sistemul este fizic nerealizabil.

Prin sistem (fizic sau abstract) orientat se ínþelege sistemul la carevariabilele terminale sunt ordonate dupá criterii de cauzalitate (cauzá-efect). La unsistem orientat, variabilele terminale se ímpart ín douá categori: márimi de intrareßi márimi de ießire.

Márimile de intrare (sau intrárile) reprezintá cauzele prin care exteriorulafecteazá interiorul.

Márimile de ießire (sau ießirile) exprimá efectele cauzelor exterioare ßiinterioare prin care interiorul influenþeazá sau informeazá exteriorul. Márimile deießire nu influenþeazá márimile de intrare. Aceasta este o proprietate direcþionaláa sistemului: ießirile sunt influenþate de intrári ßi nu invers.

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.2.Sisteme abstracte. Sisteme orientate. GENERALE ALE SISTEMELOR Exemple

3

Cänd se defineßte un sistem abstract orientat pornind de la un obiect fizic,se definesc mai íntäi márimile de ießire, care reprezintá acele atribute aleobiectului fizic care intereseazá, avänd ín vedere scopul pentru care se defineßtesistemul abstract.

Márimile de intrare ale acestui sistem abstract sunt reprezentate de toatecauzele care, la nivelul obiectului fizic, influenþeazá márimile de ießire alese.Practic, se reþin numai acele cauze care determiná influenþe sesizabile, íntr-unanumit context de exigenþá, asupra ießirilor alese.

Definirea ießirilor ßi intrárilor corespunzátoare ilustreazá precizarea, dinpunct de vedere funcþional, a acelui interior ßi exterior al sistemului menþionat índefiniþie.

De obicei, o márime de intrare se noteazá cu litera u, iar dacá sistemul arep intrári, prin litere indexate inferior constituind vectorul de intrare u,u1 u2 … up

definit prin vectorul coloaná .u = [u1 u2 …up ]T

Pentru ießire se foloseßte litera y sau literele dacá sistemul are ry1 y2 … yr

ießiri, care constituie vectorul de ießire definit prin vectorul coloaná. y = [y1 y2 …yr ]T

Pe tot parcursul cursului márimile scalare ßi vectoriale se vor reprezentapractic la fel, distincþia dintre ele rezultånd din context dacá nu se precizeazá ínmod explicit.

Íntr-o schemá bloc, un obiect abstract orientat se reprezintá grafic printr-undreptunghi la care márimile de intrare sunt reprezentate prin segmente de dreaptáorientate prin ságeþi spre dreptunghi, perpendiculare pe laturi, iar márimile deießire, prin segmente de dreaptá orientate prin ságeþi dinspre dreptunghi,Fig.1.2.2. Ságeþile indicá sensul de transmitere a informaþiilor.

Ín interiorul dreptunghiului se precizeazá tipul sistemului printr-o anumitácaracteristicá: denumire, funcþie de transfer, ráspuns la semnal treaptá etc.

Dacá sistemul are mai multe intrári sau mai multe ießiri este denumituneori sistem multivariabil.

Ín general, existá trei tipuri de reprezentári grafice ale sistemelor:1. Schema fizicá sau schema constructivá. Aceasta poate fi un desen al obiectului

fizic sau o schiþá ce evidenþiazá modul ín care este construit obiectul sau cumar trebui sá fie construit.

2. Schema de principiu sau schema funcþionalá, este o reprezentare graficá asistemului fizic utilizänd normele ßi simbolurile specifice domeniului cáruia íiaparþine sistemul fizic respectiv, reprezentatá ín aßa fel íncät funcþionarea(comportarea) sistemului sá poatá fi ínþeleasá.

3. Schema bloc este o reprezentare graficá a relaþiilor matematice dintrevariabilele ce descriu comportarea sistemului. Ín principiu, schema bloc,ilustreazá sistemul abstract corespunzátor. Reprezentarea efectivá se realizeazáfolosind fie dreptunghiuri, fie grafe de fluenþá.


4

1.2.2. Exemplu de precizare a unor sisteme orientate la un motorelectric de curent continuu

Considerám un motor de curent continuu cu excitaþie separatá cuplat la oinstalaþie mecanicá.

Privit ca obiect fizic, acesta are o serie de atribute geometrice, mecanice,electrice, economice. El poate fi reprezentat printr-o schemá ca cea din Fig.1.2.3.

Aceasta reprezintá o schemá fizicá ßi orice persoaná avizatá (calificatá) varecunoaßte cá este vorba de un motor de c.c.

Din punct de vedere al teoriei sistemelor, acest motor poate fi privit ca unobiect orientat pentru care se poate defini un interior ßi un exterior.

Made inCraiova

EP Tip MCC3

ω Cr

UrUe Ir

UrUe

CrωS1

θext

UrUe

Cr S2θext

θint

Ir

Figura nr.1.2.3. Figura nr.1.2.4. Figura nr.1.2.5.

1. Considerám cá, íntr-un anumit context, la acest motor intereseazá numai vitezade rotaþie a axului sáu. Rezultá cá, se poate preciza un sistem orientat avånd caωmárime de ießire viteza , iar ca márimi de intrare toate cauzele care modificáωaceastá vitezá (íntr-un domeniu de precizie specificat): tensiunea rotoricá Ur,tensiunea de excitaþie Ue, cuplul rezistent Cr, temperatura mediului extern .θext

Sistemul orientat corespunzátor este reprezentat ín Fig.1.2.4. Relaþiile matematicedintre ßi Ur, Ue, Cr, sunt notate prin care exprimá ín fapt sistemulω θext S1

abstract. Acest sistem abstract reprezintá modelul matematic asociat obiectuluifizic (sau sistemului) orientat aßa cum a fost definit mai sus.

2. Considerám acum cá, la motorul de c.c. intereseazá douá márimi (atribute):curentul rotoric Ir ßi temperatura interná . Atunci, aceste douá variabile suntθ int

alese ca márimi de ießire. Intrárile sunt aceleaßi din cazul anterior: Ur, Ue, ,C r

. Sistemul orientat corespunzátor este reprezentat ín Fig.1.2.5. Sistemulθext

abstract, pentru acest caz, este notat cu . S2

Avänd ín vedere cá ßi se referá la acelaßi obiect fizic, din cele deS1 S2

mai sus se desprinde urmátoarea concluzie: Pentru un acelaßi obiect (sistem) fizic pot fi ataßate sisteme abstracte

diferite, aceasta depinzänd de ceea ce se urmáreßte ín legáturá cu acel obiect(sistem).


5

1.2.3. Reprezentarea sistemicá a unui circuit electric RC simplu Considerám un circuit electric reprezentat printr-o schemá de principiu ca

cea prezentatá ín Fig.1.2.6.

ii =0R

iCα0

24 6 8

volþi

Generator comandat

u1 = xuC u2=yìZi=

K2

iC

Amplificator de tensiune de tensiune u=α y= u2

1S

1S

Tx + x = K u y = K x

.1

2

Figura nr.1.2.6. Figura nr.1.2.7.Se vede cá acest circuit este alcátuit dintr-un circuit RC ce funcþioneazá ín

gol deoarece ießirea acestuia este conectatá la un amplificator cu impedanþade intrare infinitá ßi un factor de amplificare . Analizänd aceastá schemá deK2

principiu, comportarea acesui obiect fizic este foarte clará. Presupunem cá pentru acest circuit intereseazá numai tensiunea au2

amplificatorului de tensiune, aßa íncät aceasta va fi aleasá drept márime de ießireßi va fi notatá cu . Singura cauzá care afecteazá sensibil tensiunea estey = u2 u2

poziþia a butonului generatorului de tensiune care va reprezenta márimea deαintrare ßi va fi notatá prin . u = α

Schema bloc corespunzátoare acestui obiect orientat, ce evidenþiazávariabilá de ießire ßi de intrare este reprezentatá ín Fig.1.2.7.y = u2 u = α

Sistemul abstract ataßat acestui obiect fizic orientat, notat cu , esteS1

exprimat prin relaþiile matematice dintre ßi . Folosind cunoßtintey = u2 u = αelementare de la "Bazele electrotehnicii", pentru circuitul din Fig.1.2.6 se se potscrie urmátoarele relaþii:x = uc; iC = C ⋅ x. ;−u1 + Ri + x = 0; u1 = K1α = K1u ; i = iC ; y = K2x ; T = RCde unde rezultá

(1.2.1)S1 :

T ⋅ x. + x = K1 ⋅ uy = K2x

Ín (1.2.1) sistemul abstract este exprimat prin aßa-numitele "ecuaþii destare". Variabila x, la momentul de timp t, notatá x(t), reprezintá stareasistemului la acel moment t.

Prima ecuaþie este ecuaþia de stare propriu-zisá, iar cea de-a doua estedenumitá ecuaþia ießirii.

Modelul matematic poate fi exprimat ßi printr-o singurá relaþieS1

matematicá, mai exact, printr-o ecuaþie diferenþialá íntre y ßi u de forma: (1.2.2)S1 : T ⋅ y. + y = K1K2 ⋅ u

Relaþia (1.2.2) reprezintá o relaþie intrare-ießire ßi poate fi rescrisá sub forma: (1.2.3)S1 : R(u, y) = 0 unde R(u, y) = T ⋅ y. + y − K1K2 ⋅ u

Aceste trei forme de reprezentare a sistemului abstract se numesc formeimplicite de reprezentare sau reprezentare prin ecuaþii.


6

Evoluþiile ín timp ale variabilelor sistemului sunt soluþiile acestor ecuaþiipornind, la momentul , din condiþii iniþiale date, pentru .t0 ∀t ≥ t0

Evoluþia ín timp a tensiunii pe condensator x(t) poate fi obþinutá integrändprima ecuaþie din (1.2.1) pentru ßi , rezultänd:t ≥ t0 x(t0) = x0

. (1.2.4)x(t) = e−t−t0

T ⋅ x0 + K1

T⋅ ∫

t0

t

e− t−τT ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Se observá cá valoarea lui x la un moment de timp t, notatá x(t), depindede patru elemente:1. Timpul (momentul) curent t la care se exprimá valoarea lui x.2. Momentul iniþial de la care se considerá evoluþia lui x.t0

3. O valoare iniþialá care este, de fapt, valoarea lui x(t) pentru . Aceastax0 t = t0

se numeßte stare iniþialá.4. Toate valorile intrárii u(t) pe intervalul de timp , numit interval de[t0 , t ]

observare, ce pot fi exprimate prin aßa-numitul segment de intrare unde, u[t 0,t]

. (1.2.5)u[t 0 ,t] = (τ, u(τ) ∀τ ∈ [t0, t]

Punänd ín evidenþá aceste patru elemente, orice relaþie de forma (1.2.4)poate fi scrisá íntr-o formá concentratá, astfel

(1.2.6)x(t) = ϕ(t, t0, x0, u[t0 ,t])

numitá relaþie intrare-stare iniþialá-stare, sau pe scurt relaþie i-si-s.De asemenea, substituind (1.2.4) ín relaþia ießirii din (1.2.1) se obþine

expresia evoluþiei ín timp a ießirii,

(1.2.7)y(t) = K2 ⋅ e−t−t 0

T ⋅ x0 + K1K2

T⋅ ∫

t 0

t

e− t−τT ⋅ u(τ) ⋅ dτ

care, de asemenea, depinde de cele patru elemente menþionate ßi poate fiexprimatá íntr-o formá concentratá, prin:

(1.2.8)y(t) = η(t, t0, x0, u[t0 ,t])

Aceasta este aßa-numita relaþie intrare-stare iniþialá-ießire, sau pe scurt relaþiei-si-e.

Evoluþia ín timp a intrárii este exprimatá printr-o funcþie

. (1.2.9)u : T → U , t → u(t)

Astfel, segmentul de intrare este graficul restricþiei funcþiei u peu[t 0 ,t]

intervalul de observare . Ín cazul nostru, mulþimea U a valorilor intrárii[t0 , t ]poate fi, de exemplu, intervalul [0, 10] volþi.

Cineva, care administreazá obiectul fizic reprezentat prin schema sa deprincipiu trebuie sá ßtie cá existá anumite restricþii asupra formei de evoluþie íntimp a funcþiei u.


7

De exemplu, pot fi admise funcþii continue pe porþiuni sau numai funcþiicontinue ßi derivabile.

Vom nota prin mulþimea intrárilor admise,Ω

(1.2.10)Ω = u u : T → U , admise afiaplicate sistemului

Sistemul este bine definit, specificänd trei elemente: mulþimea ßiS1 Ωcele douá relaþii ßi ,ϕ η

(1.2.11)S1 = Ω , ϕ , η

Aceasta este o aßa-numitá formá explicitá a reprezentárilor sistemuluiabstract sau reprezentarea prin soluþii.

O formá explicitá poate fi reprezentatá ßi ín domeniul complex s prinaplicarea transformárii Laplace ecuaþiei diferenþiale, dacá aceasta este liniará ßi cucoeficienþi constanþi ín timp, ca cea din (1.2.2):

LT ⋅ y. (t) + y(t) = LK1K2u(t) ⇔ T[sY(s) − y(0) + Y(s) = K1K2U(s)

Rezultá

(1.2.12)Y(s) = K1K2

Ts + 1⋅ U(s) + T

Ts + 1⋅ y(0)

Se poate observa cá ecuaþia diferenþialá (1.2.2) a fost transformatá íntr-oecuaþie algebricá, ußor de manipulat.

Dar, ca ín orice transformatá Laplace, valorile iniþiale sunt precizate pentrumomentul ßi nu pentru aßa cum s-a considerat. t = 0 t = t0

Acest impediment poate fi ußor depáßit consideränd cá variabila timp t ín(1.2.2) se ínlocuießte prin . t − t0

Avänd ín minte aceasta, transformarea Laplace inversá a lui (1.2.12) ne vaconduce la relaþia (1.2.7) unde

ßi . y(0) = K2 ⋅ x(0) = K2 ⋅ x0 t → t − t0

Din (1.2.12) se poate deduce,

(1.2.13)H(s) = K1 ⋅ K2

Ts + 1care este aßa-numita funcþie de transfer a sistemului.

Ín general, funcþia de transfer poate fi definitá ca raportul dintretransformata Laplace a ießirii Y(s) ßi transformata Laplace a intrárii U(s) íncondiþii iniþiale nule:

(1.2.14)H(s) =Y(s)U(s) y(0)=0

Sistemul poate fi reprezentat de asemenea prin funcþia de transfer H(s).S1


8

Uneori, o formá explicitá se obþine utilizänd aßa-numiþii operatoriintegratori-derivatori.

Notänd prin operatorul de derivare, ecuaþia diferenþialá (1.2.2) seD = d/dtexprimá prin

, T ⋅ Dy(t) + y(t) = K1K2 ⋅ u(t)

de unde, formal, se obþine:

(1.2.15)y(t) = K1K2

TD + 1u(t) ⇔ y(t) = S(D)u(t) unde S(D) = K1K2

TD + 1Astfel, sistemul poate fi reprezentat printr-un operatorS1

integrator-derivator, notat S(D).

Considerám acum cá, íntr-un alt context, pentru circuitul electricreprezentat prin schema din Fig.1.2.6 intereseazá curentul i.

Ießirea este acum , iar intrarea, consideränd aceleaßi condiþiiy(t) = i(t)experimentale, este de asemenea . u(t) = α(t)

Sistemul orientat corespunzátor este reprezentat ín Fig.1.2.8.

u=α y= i2S 2S

.Tx + x = K u1

y = 1Rx R1K+ u

Figura nr.1.2.8.

Modelul matematic asociat acestui sistem orientat este acum sistemulabstract reprezentat, de exemplu, prin ecuaþiile de stare prezentate ín Fig.1.2.8.S2

Desigur, exact ca ßi ín cazul sistemului discutat mai sus, poate fi folositáS1

orice formá de reprezentare.

Deoarece , din nou, putem formula urmátoarea concluzie: S1 ≠ S2

"Pentru acelaßi obiect fizic este posibil sá se defineascá, ín funcþie descopul urmárit, sisteme abstracte diferite".


9

1.2.4. Reprezentarea sistemicá a unui dispozitiv mecanic simplu Se considerá un sistem mecanic, format dintr-un resort elastic ßi un

dispozitiv cu frecare väscoasá (amortizor), reprezentat prin schema de principiudin Fig.1.2.9.

Dispozitiv cuA

B

KVKPx

y

fResort

frecare väscoasá

1S

1S

Tx + x = K u y = K x

.1

2

u= f y


Dacá asupra capátului principal A se aplicá o forþá , acesta se vaf ≠ 0deplasa cu o distanþá x faþá de o poziþie de referinþá (consideratá, de exemplu,pentru f = 0). Prin intermediul pärghiei, deplasarea x determiná o deplasare y acapátului secundar B ( ). y = K2 ⋅ x

Datoritá deplasárii x, resortul dezvoltá o forþá de rezistenþá proporþionalá cux, printr-un factor , iar amortizorul o forþá de rezistenþá proporþionalá cuKP

derivata lui x, printr-un factor .KV

Presupunänd cá intereseazá deplasarea y a punctului B, atunci se alegeaceasta ca márime de ießire. Evident, singura cauzá care afecteazá ießirea aleasáeste forþa f care devine astfel márime de intrare (u = f) ín sistemul orientat astfeldefinit.

Sistemul orientat cu intrarea ßi ießirea definite mai sus este reprezentat ínFig.1.2.10., unde este un descriptor al sistemului abstract. S1

Din ecuaþia de echilibru a forþelor se obþine:

.KP ⋅ x + KV ⋅ x.

= f ; y = K2 ⋅ x

Ímpárþind prima ecuaþie prin ßi notänd , , ,KP T = KV/KP K1 = 1/KP u = fse obþine modelul matematic sub forma ecuaþiilor de stare, astfel:

(1.2.16)S1 :

T ⋅ x. + x = K1 ⋅ uy = K2 ⋅ x

Aceste ecuaþii exprimá obiectul abstract ataßat sistemului mecanic. Formal, din (1.2.16) este identic cu din (1.2.1) corespunzátorS1 S1

exemplului anterior.Rezultá cá, chiar dacá cele douá obiecte fizice sunt de naturá diferitá,

acestea sunt caracterizate (ín funcþie de ießirile alese) prin acelaßi sistem abstract. Orice dezvoltare care se efectueazá asupra sistemului electric, adicá asupra

relaþiilor (1.2.2) (1.2.15), este valabilá ßi pentru sistemul mecanic. ÷Deci, un sistem abstract reprezintá o bazá comuná pentru diferite sisteme fizice.


10

Cele prezentate mai sus constituie cadrul unitar de noþiuni care au fostmenþionate ín definiþia teoriei sistemelor.

Astfel, aplicänd sistemului abstract, exprimat prin una din formele (1.2.2)÷(1.2.15), metode specifice, se obþin anumite rezultate.

Aceste rezultate pot fi aplicate deopotrivá atät sistemului electric, cät ßisistemului mecanic. Desigur, ín primul caz, x reprezintá tensiunea pecondensator, iar ín al doilea caz x reprezintá deplasarea punctului principal A.

Un astfel de studiu, se numeßte studiu bazat pe model. Putem spune cá sistemul mecanic este un model pentru sistemul electric ßi

vice versa, deoarece acestea sunt legate printr-un acelaßi sistem abstract.

1.2.5. Forme ale bazei abstracte comuneScopul acestui exemplu este de a prelucra din punct de vedere matematic

sistemul abstract (1.2.1) sau echivalent (1.2.16) folosind un element al bazeiabstracte comune, transformarea Laplace sau, pe scurt, TL. Ín final, se vor obþinesoluþiile (1.2.4) ßi (1.2.7).

Rescriem, mai íntäi, relaþia (1.2.1) punänd ín evidenþá variabila timp t,astfel

(1.2.17)T ⋅ x.(t) + x(t) = K1 ⋅ u(t) , t ≥ t0 , x(t0) = x0

. (1.2.18)y(t) = K2 ⋅ x(t)

Principala problemá constá ín a gási expresia lui x(t), deoarece y(t) seobþine printr-o simplá substituþie.

Se ßtie cá, ín transformarea Laplace unilateralá, íntotdeauna se utilizeazá camoment iniþial , dar trebuie sá se obþiná (1.2.4) care depinde de un momentt0 = 0iniþial oarecare. t0

Se presupune cá toate funcþiile restricþionate la sunt funcþii original. t ≥ 0Se noteazá prin

X(s) = Lx(t), U(s) = Lu(t)transformatele Laplace ale lui ßi respectiv . x(t) u(t)

Reamintim cá transformata Laplace a derivatei unei funcþii, admiþänd cáaceasta este o funcþie original, este

Lx.(t) = s ⋅ X(s) − x(0+)

unde . x(0+) = x(t) t=0+ = lim

t→0 ; t >0x(t)

Dacá este o funcþie continuá pentru , ín loc de , se poatex(t) t = 0 x(0+)scrie simplu, . x(0)

Totußi, se poate demonstra cá, starea unui sistem diferenþial comandat prinintrári márginite este íntotdeauna o funcþie continuá.


11

Astfel, aplicänd TL relaþiei (1.2.17) se obþine

,T ⋅ [s ⋅ X(s) − x(0)] + X(s) = K1 ⋅ U(s)

de unde,

, (1.2.19)X(s) = K1

Ts + 1⋅ U(s) + T

Ts + 1⋅ x(0)

care reprezintá expresia stárii sistemului ín domeniul complex s, dar cu stareainiþialá din momentul . t = 0 Se reaminteßte teorema produsului de convoluþie ín domeniul complex s: Dacá

; , F1(s) = Lf1 (t) F2(s) = Lf2(t)atunci, transformata Laplace a produsului de convoluþie este egal cu produsulalgebric al transformatelor,

,F1(s) ⋅ F2(s) = L ∫0t f1(t − τ)f2(τ) ⋅ dτ = L ∫0

t f1(τ)f2(t − τ) ⋅ dτ

care ín forma sa inversá este,

. (1.2.20)L−1F1(s) ⋅ F2(s) = ∫0t f1(t − τ)f2(τ) ⋅ dτ = ∫0

t f1(τ)f2(t − τ) ⋅ dτ

Aplicänd transformata Laplace inversá relaþiei (1.2.19) se obþine,

. (1.2.21)x(t) = L−1 K1

Ts + 1⋅ U(s) + L−1 T

Ts + 1 ⋅ x(0)

Din tabele, se ßtie cá , pentru (1.2.22)L−1 T

Ts + 1 = e− t

T t ≥ 0

, pentru (1.2.23)L−1 K1

Ts + 1 = K1

T⋅ e− t

T t ≥ 0

Notänd acum prin

F1(s) = K1

Ts + 1⇔ f1(t) = K1

T⋅ e− t

T ⇒ f1(t − τ) = K1

T⋅ e− t−τ

T

F2(s) = U(s) ⇔ f2(t) = u(t) ⇒ f2(τ) = u(τ)

din (1.2.21), dupá ínlocuirea lui (1.2.22) ßi (1.2.23), utilizänd (1.2.20), se obþine

x(t) = ∫0

t[ K1

T⋅ e− t−τ

T ] ⋅ u(τ) ⋅ dτ + e− tT ⋅ x(0), ∀t ≥ 0

care se rescrie ,

.x(t) = e− tT ⋅ x(0) + K1

T⋅ ∫0

te− t−τ

T ⋅ u(τ) ⋅ dτ∆= ϕ(t, 0, x(0), u[0,t]), ∀t ≥ 0

(1.2.24)Aceasta reprezintá evoluþia stárii, plecänd la momentul iniþial , dint = 0

starea iniþialá ßi are forma relaþiei intrare-stare iniþialá-stare (i-si-s). x(0)Pentru , din (1.2.24) se obþine,t = t0

.x(t0) = e−t0T ⋅ x(0) + K1

T⋅ ∫0

t 0 e−t 0 −τ

T ⋅ u(τ) ⋅ dτ∆= ϕ(t0 , 0, x(0), u [0,t0 ])

(1.2.25)


12

Ínlocuind din (1.2.25) dat de,x(0)

,x(0) = et0T ⋅ x(t0) − K1

T⋅ ∫0

t 0 eτT ⋅ u(τ) ⋅ dτ

ín (1.2.24), se obþine

x(t) = e− tT ⋅

e

t 0T x(t0) − K1

T⋅ ∫ 0

t 0 eτTu(τ)dτ

+

+K1

T⋅ ∫0

t 0 e− t−τT u(τ)dτ + K1

T⋅ ∫ t0

te− t−τ

T u(τ)dτ

sau

, (1.2.26)x(t) = e−t−t0

T ⋅ x(t0) + K1

T⋅ ∫ t0

te− t−τ

T u(τ) ⋅ dτ∆= ϕ(t, t0, x(t0), u[t 0 ,t])

care este identicá cu (1.2.4), dacá se þine cont cá .x(t0) = x0

Din (1.2.24), (1.2.25) ßi (1.2.26) se observá cá

, (1.2.27)x(t) = ϕ(t, 0, x(0), u[0,t]) ≡ ϕ(t, t0, ϕ(t 0, 0, x(0), u[0,t0 ]), u[t0 ,t])

x(t0)care reprezintá aßa-numita proprietate de tranziþie a stárii corespunzátoare relaþieii-si-s.

Corespunzátor acestei proprietáþi, starea la moment t, , ca rezultat alx(t)evoluþiei dintr-o stare iniþialá la momentul cu o intrare este aceeaßix(0) t = 0 u[0,t]

cu starea obþinutá cänd evoluþia sistemului íncepe la un moment intermediaroarecare dar pornind dintr-o stare iniþialá cu o intrare , dacát = t0 x(t0) u[t 0,t]

starea intermediará este rezultatul evoluþiei din aceeaßi stare iniþialá lax(t0) x(0)momentul cu intrarea . t = 0 u[0,t 0 ]

Trebuie precizat cá,

(1.2.28)u[0,t] = u[0,t 0 ] ∪ u[t0 ,t]

Din acest exemplu pot fi desprinse douá concluzii:1. Orice stare intermediará reprezintá o stare iniþialá pentru o evoluþie

viitoare.

2. O stare iniþialá la un moment conþine toate informaþiile esenþialex0 t0

din evoluþia anterioará, capabilá sá asigure evoluþia viitoare pentru o intrareprecizatá (datá) pornind (evoluänd) din acel moment de timp .t0

Pentru a obþine relaþia (1.2.7), trebuie ca ín (1.2.26) sá se facá substituþia ; dacá se noteazá , se obþine, x = y/K2 x(t0) = x0

.y(t) = K2 ⋅ e−t−t 0

T ⋅ x0 + K1K2

T⋅ ∫ t 0

te− t−τ

T ⋅ u(τ) ⋅ dτ∆= η(t, t0, x(t0), u[t 0,t] )

(1.2.29)Aceasta reprezintá o relaþie intrare-stare iniþialá-ießire (i-si-e).


13

1.3. Intrári. Ießiri. Relaþii intrare-ießire

1.3.1. Intrári. IeßiriDomeniul timp , sau domeniul de observare, este domeniul de definiþieT

al funcþiilor ce descriu evoluþia (ín timp) a márimilor caracteristice ale unuisistem (intrare, ießire, stare, parametri).

Dacá domeniul timp este un interval din , funcþiile ce au domeniul deT Rdefiniþie , se numesc funcþii continuale. T ⊆ R

Dacá domeniul timp este o mulþime de puncte izolate, ín particular T ⊆ Zsau funcþiile cu acest domeniu se numesc funcþii discrete ín timp, ínT ⊆ Nparticular ßiruri de numere.

Sistemele care prelucreazá, transformá, sau opereazá numai asuprafuncþiilor continuale se numesc sisteme continue ín timp.

Sistemele care prelucreazá funcþii discrete ín timp se numesc sistemediscrete ín timp. Ín particular sistemele ce prelucreazá numai ßiruri de numere senumesc ßi sisteme numerice.

Variabila timp, elementul generic al mulþimii , se noteazá cu litera T tpentru sistemele continue respectiv variabila íntreagá pentru sistemele discrete.kUneori ßi pentru sistemele discrete variabila timp se noteazá tot cu litera ,tprecizänd cá .t ∈ Z

Variabila (márimea) de intrare este funcþia

(1.3.1)u : T → U; t → u(t)

unde este mulþimea valorilor pe care le poate lua intrarea (sau mulþimea tuturorUintrárilor). Dacá existá p intrári reale (exprimate prin numere reale), atunci

.U ⊆ Rp

Mulþimea intrárilor admise reprezintá mulþimea funcþiilor , de formaΩ u(1.3.1), care se pot aplica unui sistem orientat.

Segmentul de intrare pe un interval , numit interval de[t0, t1] ⊆ Tobservare, este graficul funcþiei pe acest interval. Se noteazá , unde,u u[t 0,t 1 ]

. (1.3.2)u[t 0 ,t1 ] = (t, u(t) ), ∀t ∈ [t0, t 1]

Cänd se spune cá unui sistem i s-a aplicat o intrare pe un interval ,[t0, t1]trebuie sá se ínþeleagá faptul cá intrarea s-a modificat ín timp corespunzátor unuigrafic dat , adicá corespunzátor unui segment de intrare. u[t 0 ,t1 ]

Uneori, ín funcþie de context, pentru variabila vom ínþelege urmátoarele:u- o funcþie de forma (1.3.1).u- un segment de forma (1.3.2) pe un intervalul de observare precizat.u[t 0 ,t1 ]

- o lege de corespondenþá corespunzátoare funcþiei (1.3.1).u(t)

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.3. Intrári. Ießiri. Relaþii intrare-ießire GENERALE ALE SISTEMELOR

14

Variabila poate de asemenea fi privitá ca legea de corespondenþáu(t)corespunzátoare funcþiei (1.3.1) sau valoarea acestei funcþii la un moment de timpspecificat t.

Menþionám cá toate aceste convenþii vor fi íntälnite ßi utilizate pentru toatecelelalte variabile.

Variabila (márimea) de ießire este funcþia

, (1.3.3)y : T → Y; t → y(t)unde este mulþimea valorilor pe care le poate lua ießirea (sau mulþimea tuturorYießirilor). Dacá existá r ießiri reale exprimate prin numere reale, atunci .Y ⊆ R r

Mulþimea ießirilor posibile reprezintá mulþimea funcþiilor , de formay(1.3.3), care pot fi obþinute de la un sistem atunci cänd la intrare se aplicá intrárilece aparþin lui .Ω

Pereche intrare-ießire. Dacá unui sistem fizic i se aplicá o intrare ,u[t 0,t 1 ]

ráspunsul la ießire are o variaþie ín timp care se exprimá prin segmentul de ießire, unde y[t 0 ,t1 ]

, (1.3.4)y[t 0 ,t1 ] = (t, y(t) ), ∀t ∈ [t0, t 1]

ceea ce ínseamná cá unei intrári íi corespunde o ießire .u[t 0 ,t1 ] y[t 0,t 1 ]

Perechea segmentelor

(1.3.5)[u[t 0 ,t1 ] ; y[t 0 ,t 1 ]] = (u, y)

observatá la un sistem fizic constituie o pereche intrare-ießire a sistemuluirespectiv.

Este posibil ca pentru o aceeaßi intrare , sá se obþiná o altá ießireu[t 0,t 1 ]

, ceea ce ínseamná cá perechea este de asemenea oy[t 0 ,t1 ]a [u[t 0 ,t1 ] ; y[t 0 ,t 1]

a ] = (u, y a)pereche intrare-ießire a acelui sistem aßa cum se observá ín Fig.1.3.1.

y

u

t

t

[ , ]u t1t0

[ , ]y t1t0

t0

t0

t1

t1

[ , ]y t1t0a

(u,y)

(u,y )a

Figura nr.1.3.1.


15

De exemplu, pentru circuitul electric din ¨1.2.3. sau pentru sistemulmecanic din ¨1.2.4., soluþia ecuaþiei diferenþiale (1.2.2) pentru ßi t ≥ t0 x(t0) = x0

este datá de relaþia (1.2.7),

.y(t) = e−t−t0

T ⋅ x0 + K1K2

T⋅ ∫

t0

t

e− t−τT ⋅ u(τ) ⋅ dτ = η(t, t0, x0, u[t 0,t])

Pentru aceeaßi intrare , ießirea depinde, de asemenea, de valoarea ,u[t 0 ,t1 ] x0

care repreziná tensiunea la terminalele condensatorului C ín exemplulx0 = x(t 0)din ¨1.2.3. sau poziþia braþului principal (punctul A) ín exemplul din ¨1.2.4., lamomentul .t0

1.3.2. Relaþii intrare-ießire Totalitatea perechilor intrare-ießire care descriu comportarea unui obiect

fizic reprezintá sistemul abstract. Ín locul listei specifice a funcþiilor de intrare ßi a funcþiilor corespunzátoare

de ießire, sistemul abstract este, de regulá, caracterizat ca o clasá a tuturorfuncþiilor de timp care satisfac o mulþime de ecuaþii matematice.

Practic, un sistem abstract este reprezentat prin aßa-numita relaþieintrare-ießire care poate avea forma unei ecuaþii sau unui sistem de ecuaþiidiferenþiale sau cu diferenþe, a unui graf, tabel sau scheme funcþionale.

O relaþie implicitá, exprimatá prin R(u, y) = 0

sau o relaþie explicitá, exprimatá printr-un operator ,Sy = Su

reprezintá o relaþie intrare-ießire pentru un sistem orientat dacá:

1. Orice pereche intrare-ießire observatá la acel sistem verificá aceastá(u, y)relaþie.

2. Orice pereche care verificá aceastá relaþie este o pereche(u, y)intrare-ießire a acelui sistem orientat.

Trebuie menþionat cá prin notaþia operatorialá scrisá sau chiary = Susub forma , se ínþelege cá operatorul se aplicá intrárii (funcþiei) ßi, cay = Su S urezultat, se obþine ießirea (funcþia) .y

De exemplu, dacá ín ecuaþia diferenþialá (1.2.1) T ⋅ x

.+ x = K1 ⋅ u

din ¨1.2.3., se face substituþia , se obþine:x = y/K2

, T.y +y = K1K2 ⋅ u ⇔ R(u, y) = 0

(1.3.6)R(u, y) = T.y +y − K1K2 ⋅ u

care reprezintá o relaþie intrare-ießire ín formá implicitá.


16

Notänd cu , operatorul de derivare ín raport cu timpul, , seD = ddt

Dy = y.

obþine T ⋅ Dy(t) + y(t) − K1K2 ⋅ u(t) = 0 ⇔ (T ⋅ D + 1)y(t) − K1K2 ⋅ u(t) = 0 ⇔

(1.3.7)y(t) = K1K2

TD + 1⋅ u(t) ⇔ y(t) = Su(t) , S = K1K2

TD + 1Aici reprezintá o relaþie intrare-ießire ín formá explicitáy(t) = Su(t)

printr-un operator integrator-derivator . SAceastá relaþie este exprimatá ín domeniul timp, dar ea poate fi exprimatá

ín orice domeniu dacá íntre acestea existá o corespondenþá biunivocá.

De exemplu, aplicänd transformarea Laplace relaþiei (1.3.6), aceasta sepoate exprima ín domeniul complex s astfel,

(1.3.8)Y(s) = K1K2

Ts + 1⋅ U(s) + T

Ts + 1⋅ x(0)

de unde se poate defini un alt operator numit funcþie de transfer,H(s)

. (1.3.9)H(s) =Y(s)U(s) x(0)=0

= K1K2

Ts + 1

Relaþia dintre transformata Laplace a ießirii ßi transformata Laplace aY(s)intrárii , consideränd condiþiile iniþiale nule,U(s)

, (1.3.10)Y(s) = H(s) ⋅ U(s)

este o altá formá a relaþiei explicite intrare-ießire.


17

1.3.3. Modelul matematic (sistemul abstract) al unui circuit electricRC dublu

Se considerá un circuit electric format prin conectarea fizicá ín serie, unuldupá altul, a douá circuite RC simple, a cárui schemá de principiu estereprezentatá ín Fig.1.3.2.

C 1

1A1i

1A' 1B'

1B

1C

1R

2A' 2B'

2A 2i 2B2R

2Cu =x C 2u =xu

Ci 1Ci 2

y

i=0

1 2u y

S


Presupunem cá al doilea circuit RC funcþioneazá ín gol, iar primul estecomandat printr-o tensiune aplicatá la bornele . u A1, A1

Sá considerám cá intereseazá tensiunea la bornele care va fiy B2, B2márimea de ießire a acestui sistem fizic.

Deoarece singura márime care afecteazá ießirea y este tensiunea u, rezultácá sistemul orientat corespunzátor poate fi reprezentat ca ín Fig.1.3.2.

Sistemul abstract, notat cu , va fi definit stabilind relaþiile matematiceSdintre u ßi y.

Pentru aceasta, din schema de principiu, se observá mai íntíi cá existá 8variabile ce se modificá ín timp:

.u, y, i1, uC1 = x1, iC1 , i2, uC2 = x2 , iC2

Celelalte variabile sunt constante ín timp ßi reprezintáR1, R2, C1, C2

parametrii circuitului.Deoarece u este o cauzá (o intrare) ea este o variabilá liberá ßi atunci vom

cáuta numai 7 ecuaþii independente. Aceste ecuaþii pot fi scrise folosind teoremelelui Kirchhoff ßi legea lui Ohm.

Cu notaþiile din figurá se obþin:

1. 2. 3. 4. iC1 = i1 − i2 iC2 = i2 iC1 = C1 ⋅ x.

1 iC2 = C2 ⋅ x.

2

5. 6. 7. .i1 = 1R1

(−x1 + u) i2 = 1R2

(x1 − x2) y = x2

Se observá cá douá variabile ßi anume ßi apar prin derivata lor dex1 x2

ordinul unu. Din aceastá cauzæ, eliminänd toate variabilele intermediare pentru aobþine o relaþie íntre u ßi y, aceasta va avea forma unei ecuaþii diferenþiale deordinul doi.


18

Pentru ínceput, utilizám variabilele ßi precum ßi derivatele lor. x1 x2

Notänd cu

; T1 = R1 ⋅ C1 T2 = R2 ⋅ C2

cele douá constante de timp, dupá cäteva substituþii se obþin,

(1.3.11)T1 ⋅ x. 1 = −[1 + R1

R2] ⋅ x1 + R1

R2⋅ x2 + u

(1.3.12)T2 ⋅ x.

2 = x1 − x2

(1.3.13)y = x2

care, dupá ímpárþire cu ßi respectiv , rezultá forma finalá,T1 T2

(1.3.14)x. 1 = − 1T1

⋅ [1 + R1

R2] ⋅ x1 + 1

T1

R1

R2⋅ x2 + 1

T1⋅ u(t)

S: (1.3.15)x. 2 = 1T2

⋅ x1 − 1T2

⋅ x2

(1.3.16)y = x2

Ecuaþiile (1.3.14), (1.3.15), (1.3.16) reprezintá ecuaþiile de starecorespunzátoare sistemului orientat din Fig.1.3.3 ßi ele constituie sistemul abstract

reprezentat sub forma ecuaþiilor de stare. SAceste ecuaþii pot fi rescrise íntr-o formá concentratá matriceal-vectorialá,

astfel, x

.= A ⋅ x + b ⋅ u

S: (1.3.17) y = cT ⋅ x + d ⋅ u

unde,

; ; ; ; , (1.3.18)x =

x1

x2

A =

− 1T 1

(1 + R1

R2) 1

T 1⋅ R1

R21

T 2− 1

T 2

b =

1T 1

0

c =

01

d = 0

De regulá, aceste matrici se numesc:A - matricea sistemuluib - vectorul de comandác - vectorul de ießired - factorul pentru legátura directá intrare-ießire.

Relaþia intrare-ießire , menþionatá mai sus, poate fi exprimatáR(u, y) = 0printr-o singurá ecuaþie diferenþialá íntre u ßi y.

Pentru aceasta, se pot folosi, de exemplu, relaþiile (1.3.14), (1.3.15),(1.3.16) sau, mai simplu, (1.3.11), (1.3.12), (1.3.13).

Ínlocuind din (1.3.13) ín (1.3.12) ßi ínmulþind prin , se obþine x2 T1

. (1.3.19)T1T2 ⋅ y.

= T1 ⋅ x1 − T1 ⋅ y ⇒ T1 ⋅ x1 = T1T2 ⋅ y.

+ T1 ⋅ y


19

Derivänd (1.3.19) ín raport cu timpul ßi ínlocuind apoi din (1.3.11) ßiT1x.

1

x1 = T2 ⋅ y.

+ y

tot din (1.3.19), dupá cäteva calcule simple obþinem,

T1T2 ⋅ y + T1 ⋅ y. = −(1 + R1

R2) ⋅ (T2y. + y) + R1

R2⋅ y + u

care, ín final, conduce la

. (1.3.20)[T1T2] ⋅ y + [ T1 + (1 + R1

R2)T2] ⋅ y. + y = u

Aceasta este ecuaþia diferenþialá ce exprimá modelul matematic (sistemulabstract) ataßat sistemului orientat.

Acest sistem orientat poate fi prezentat ca o relaþie intrare-ießire (i-e):

R(u, y) = 0

unde

. (1.3.21)R(u, y) = [T1T2] ⋅ y + [ T1 + (1 + R1

R2)T2] ⋅ y. + y − u

Dacá se notezá , relaþia i-e se poate exprima sub o formá explicitá,ddt

= D

ca ßi scriere simbolicá folosind operatorul de derivare , D

(1.3.22)y(t) = 1[T1T2]D2 + [ T1 + (1 + R1

R2)T2]D + 1

u(t)

adicá,

y(t) = S(D)u(t) ⇔ y = S(D)u

unde se constituie ca un operator integro-diferenþial. S(D)

Pentru a manipula ín continuare expresii mai simple, se consideráurmátoarele valori particulare ale parametrilor

R1 = R, R2 = 2 ⋅ R, C1 = C, C2 = C/2

astfel cá cele douá constante de timp ßi sunt egale, avänd o valoare comunáT1 T2

,T

,T = RC = T1 = T2

Ín acest caz particular, ecuaþia diferenþialá (1.3.20) devine, (1.3.23)T2 ⋅ y + 2.5T ⋅ y

.+ y = u

Relaþia i-e se poate exprima ßi ín domeniul complex s, utilizändtransformarea Laplace (TL).


20

Aplicarea transformárii Laplace relaþiei (1.3.23), datoritá proprietáþii deliniaritate a acesteia, conduce la

,T2 ⋅ Ly(t) + 2.5 T ⋅ Ly.(t) + Ly(t) = Lu(t)

ín care se substituie, Ly(t) = Y(s), Lu(t) = U(s)

,Ly.(t) = s ⋅ Y(s) − y(0+)

.Ly(t) = s2 ⋅ Y(s) − s ⋅ y(0+) − y.(0+)

Se obþine astfel o ecuaþie algebricá ín care necunoscuta este expresia Y(s)de variabilá complexá ,s

,T2 ⋅ [s2Y(s) − sy(0+) − y.(0+)] + 2.5T ⋅ [sY(s) − y(0+)] + Y(s) = U(s)

din care se extrage expresia transformatei Laplace a márimii de ießire,

.Y(s) = 1T2s2 + 2.5Ts + 1

U(s) + T2s + 2.5TT2s2 + 2.5Ts + 1

y(0+) + T2

T2s2 + 2.5Ts + 1y. (0+)

(1.3.24)Se noteazá prin polinomul comun de la numitorul acestor expresii,L(s)

denumit ßi polinom caracteristic,

. (1.3.25)L(s) = T2s2 + 2.5Ts + 1

Transformata Laplace a márimii de ießire , denumitá pe scurt ßiY(s)ießirea ín domeniul complex s, este deci,

(1.3.26)Y(s) = 1L(s)

⋅ U(s) + T2s + 2.5TL(s)

⋅ y(0+) + T2

L(s)⋅ y. (0+)

Aßa cum se poate vedea, transformata Laplace a ießirii , depinde deY(s)transformata Laplace a intrárii , precum ßi de douá condiþii iniþiale: -U(s) y(0+)valoarea ießirii ßi - valoarea derivatei ín timp a ießirii la momentuly

.(0+)

.t = 0+ ⇔t→0, t>0

lim t

Definim prin,H(s)

(1.3.27)H(s) = 1L(s)

=Y(s)U(s) conditii initiale nule

unde reprezintá funcþia de transfer a sistemului.H(s)

Funcþia de transfer a unui sistem este raportul dintre transformataLaplace a ießirii ßi transformata Laplace a intrárii care a produs (determinat) aceaießire, ín condiþii iniþiale nule, dacá ßi numai dacá acest raport este acelaßi oricarear fi intrarea admisá .u ∈ Ω


21

Ráspunsul (ießirea) sistemului ín domeniul timp se poate obþine utilizändtransformarea Laplace inversá aplicatá relaþiei (1.3.24) respectiv (1.3.26).

Pentru a putea evalua acest ráspuns folosind formula cu reziduuri

,y(t) = L−1Y(s) = ΣPolii fc Y(s)

RezY(s) ⋅ est

trebuie calculaþi polii funcþiei . Y(s)Polii unei expresii raþionalá sunt rádácinile polinomului de la numitor, care

este chiar polinomul caracteristic dacá raþionala este ireductibilá.Ecuaþia caracteristicá, obþinutá prin condiþia de anulare a plinomului

caracteristic, ín cazul de faþá (1.3.25),,L(s) = T2s2 + 2.5Ts + 1 = T2 ⋅ (s − λ1) ⋅ (s − λ2) = 0

are rádácinile

(1.3.28)λ1,2 =−2.5T± (2.5T)2 −4T 2

2T 2= −5 ± 3

4Tastfel cá, polinomul caracteristic se scrie sub formaL(s)

. (1.3.29)L(s) = T2 ⋅ (s − λ1) ⋅ (s − λ2) , λ1 = − 12T

, λ2 = − 2T

Ín afará de formula cu reziduuri, o metodá de a calcula TL inversá constáín descompunerea íntr-o sumá de fracþii simple a funcþiei raþionale (1.3.26) cereprezintá ráspunsul sistemului.

Ín acest scop se descompun ín sumá de fracþii simple cele trei fracþii din(1.3.24).

Deoarece funcþia de transfer este strict proprie (are gradul numitoruluiH(s)mai mare decät al numárátorului), se anticipeazá cá pentru oricare intraremárginitá , atät cät ßi sunt funcþii continue ín punctul astfel cá, u(t) y(t) y

.(t) t = 0

.y(0+) = y(0), y.(0+) = y

.(0)

Se obþin relaþiile,

H(s) = 1T2(s − λ1)(s − λ2)

= As − λ1

+ Bs − λ2

⇒ A = 23T

; B = − 23T

T2s + 2.5TT2(s − λ1)(s − λ2 )

= A1

s − λ1+ B1

s − λ2⇒ A1 = 4

3; B1 = −1

3

T2

T2(s − λ1)(s − λ2 )= A2

s − λ1+ B2

s − λ2⇒ A2 = 2T

3; B2 = −2T

3

Y(s) = 23T

1s − λ1

− 1s − λ2

⋅ U(s)+

+13

4s − λ1

− 1s − λ2

⋅ y(0) + 2T3

1s − λ1

− 1s − λ2

⋅ y. (0)


22

Se cunosc sau se calculeazá TL inverse, notate α 1(t), α 2(t)

, L−1 1s − λ1

= eλ1 t = α 1(t)

.L−1 1s − λ2

= eλ2 t = α 2(t)

Aplicänd formula de convoluþie (1.2.20) se exprimá

L−1 1s − λ1

⋅ U(s) = ∫0

tα 1(t − τ)u(τ) ⋅ dτ

L−1 1s − λ2

⋅ U(s) = ∫0

tα 2(t − τ)u(τ) ⋅ dτ

y(t) = 13

[4α 1(t) − α 2(t)] ⋅ y(0) + 2T3

[α 1(t) − α 2(t)] ⋅ y. (0) +

(1.3.30)+ 23T ∫0

t[α 1(t − τ) − α 2(t − τ)] ⋅ u(τ) ⋅ dτ

unde

(1.3.31)α 1(t) = eλ1 t = e− t2T

. (1.3.32)α 2(t) = eλ2 t = e− tT/2

Folosind aceeaßi procedurá cá ßi ín cazul circuitului RC simplu, prezentat ínexemplul din ¨1.2.3., se poate exprima aceastá relaþie ßi ín funcþie de un momentiniþial oarecare. t0

Se obþine expresia general a ráspunsului,

y(t) = 13

[4α 1(t − t0) − α 2(t − t0)] ⋅ y(t0) + 2T3

[α 1(t − t0) − α 2(t − t0)] ⋅ y.(t0) +

(1.3.33)+ 23T ∫ t 0

t[α 1(t − τ) − α 2(t − τ)] ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Se poate observa cá ráspunsul general al sistemului depinde de: , stareat, t0

iniþialá ßi intrarea , unde vectorul de stare este definit prinx0 u[t 0 ,t]

. (1.3.34)x1(t0) = y(t0) ; x2(t 0) = y.(t0) ⇒ x(t0) = [x1(t0) x2(t0)]T = x0

Relaþia (1.3.33) reprezintá o relaþie intrare-stare iniþialá-ießire de forma

(1.3.35)y(t) = η(t, t0, x0, u[t0 ,t])


23

1.3.4. Modelul matematic (sistemul abstract) al unui circuit cu releuelectromagnetic

Se considerá un obiect fizic reprezentat prin schema de principiu dinFig.1.3.4. Acesta este un circuit logic realizat pe baza unui releu electromagneticßi realizeazá funcþia de memorie RS.

x

x

xa

b

c

d

L

y

+ E

i

Releu

SB

RB

Figura nr.1.3.4.

Aici, SB reprezintá un buton normal-deschis (set-button), iar RB un butonnormal-ínchis (reset-button). Prin normal se ínþelege "neapásat (neacþionat)").

Cänd butonul SB este apásat, íntre terminalele a-b circulá curent, iar cändbutonul RB este apásat, íntre terminalele c-d nu mai circulá curent.

Cu x s-a notat poziþia normal-deschisá a contactelor releului. Stareanormalá a releului este consideratá starea ín care curentul prin bobiná este zero. Leste un bec care lumineazá atunci cänd releul este activat.

Funcþionarea acestui circuit este urmátoarea: Dacá butonul RB este liber, prin apásarea butonului SB, un curent i va

activa releul ale cárui contacte x vor scurtcircuita terminalele a-b ßi becul se vaaprinde. Chiar dacá butonul SB este lásat liber, becul va continua sá lumineze.

Dacá butonul RB este apásat, curentul i se íntrerupe, releul se dezactiveazáßi becul L se stinge.

Variabilelor íntälnite ín aceastá descriere SB, RB, i, x, y li se asociazávariabilele numite variabile logice. Acestea reprezintá valorile des t , rt , xt , yt

adevár, la momentul t, al urmátoarelor propoziþii:

: "Butonul SB este apásat" "Prin terminalele a-b poate circula curent".s t ⇔: "Butonul RB este apásat" "Prin terminalele c-d nu poate circula curent". rt ⇔: "Prin releu circulá curentul i".it

: "Releul este activat" "Contactele releului normal-deschise sunt conectate".xt ⇔: "Becul lumineazá".yt


24

Aceste variabile logice pot lua numai douá valori, de obicei, notate cusimbolurile 0 ßi 1 íntr-o mulþime care reprezintá valorile fals ßiB = 0 ; 1 adevárat.

Mulþimea B este organizatá ca o algebrá Booleaná. Íntr-o algebrá Booleanásunt definite trei operaþii binare fundamentale: conjuncþia " ", disjuncþia " "∧ ∨ßi negaþia " ".¬

Considerám cá pentru acest circuit intereseazá starea becului, astfel íncätdrept márime de ießire se alege

.y(t) = yt

Ießirea aleasá depinde numai de starea butoanelor SB, RB (se considerá cátensiunea de alimentare E este continuu aplicatá), deci márimea de intrare estevectorul

.u(t) = [s t rt ]T

Sistemul orientat astfel definit este reprezentat ín Fig.1.3.5.

Srt

ytst

=0xt0 =1xt0

S0 S1

S0 S1S= ∪


Relaþiile matematice dintre u(t) ßi y(t), ce definesc sistemul abstract S suntexprimate prin ecuaþii logice.

Valoarea variabilei logice este datá de it

. (1.3.44)it = (s t ∨ xt) ∧ rt

Datoritá inerþiei mecanice, starea releului se schimbá dupá un interval detimp foarte mic , ideal , la valoarea corespunzátoare lui , adicáε ε → 0 it

. (1.3.45)xt+ε = it

Evident cá starea becului este aceeaßi cu starea releului, deci (1.3.46)yt = xt

Relaþia (1.3.46) ímpreuná (1.3.45) ín care se ínlocuießte (1.3.44) constituiesistemul abstract S:

(1.3.47)xt+ε = (s t ∨ xt) ∧ rt

S: (1.3.48)yt = xt


25

Pentru a determina ießirea acestui sistem, ín afara celor douá intrári ßi ,s t rt

avem nevoie ßi de alte informaþii referitoare la valoarea lui , deci a stáriixt

releului: 1 - dacá releul este activat ßi0 - dacá releul nu este activat.

Nu are importanþá cum se noteazá aceste informaþii A (sau off) pentru 0 ßiB (sau on) pentru 1.

Dacá se ßtie cá starea releului este A, cunoscänd intrárile, se poatedetermina evoluþia ießirii.

Dacá cu acest sistem fizic se fac experimente pe un interval de timp [t0, t1]cu arbitrare, pot fi observate o mulþime S de perechi intrare-ießiret0, t 1

:(u, y) = (u[t 0 ,t1 ], y[t 0 ,t1 ])

(1.3.49)S = (u[t 0 ,t 1 ], y[t 0 ,t 1] ) observate, ∀t0, t1 ∈ R, ∀u[t 0,t 1 ] ∈ Ω

Mulþimea S poate descrie sistemul abstract. Ea poate fi descompusá ín douá submulþimi, dupá cum o pereche (u, y)

este obþinutá avänd egal cu 0 sau cu 1:xt 0

S0 = (u, y) ∈S if xt 0 = 0 = (u, y) ∈S if xt 0 = A = (u, y) ∈S if xt 0 = off (1.3.50)

S1 = (u, y) ∈S if xt 0 = 1 = (u, y) ∈S if xt 0 = B = (u, y) ∈S if xt 0 = on

(1.3.51)Se poate demonstra cá

, (1.3.52)S0 ∨ S1 = S ; S0 ∧ S1 = ∅

cum reiese ßi din Fig.1.3.6.

De asemenea, ín cadrul fiecárei submulþimi intrarea determiná ín modS i

unic ießirea

(1.3.53)∀(u, ya) ∈ S i, ∀(u, yb) ∈ S i ⇒ ya ≡ yb, i = 0; 1

Din aceasta se ínþelege cá starea iniþialá este o etichetá care parametrizezásubmulþimile ca ín (1.3.53).S i ⊆ S


26

1.3.5. Exemplu de sistem dinamic cu douá stáriPresupunem cá cineva a primit ca "jucárie" o cutie al cárei conþinut intern

nu se poate vedea (black-box), dar ea se poate conecta prin intermediul bornelornotate A-B la o sursá de tensiune reglabilá.

De asemenea, la bornele A-B, respectiv C-D se pot conecta ßi douávoltmetre care másoará tensiunile u(t), respectiv y(t), aßa cum se vede ínFig.1.3.7.

V y(t)R

R RX

VAlimentator

reglabil u(t)

A

B

C

D

Figura nr.1.3.7.

"Jucändu-ne" cu aceastá cutie neagrá, ínregistrám evoluþia intrárii u(t) ßi aießirii rezultate y(t).

Suntem surprinßi cá uneori obþinem perechea intrare-ießire

, (1.3.54)(u[t 0 ,t1 ], y[t 0 ,t1 ] = 12

u[t 0 ,t 1] ) ⇒ y(τ) = 12

u(τ) ∀τ

iar alteori obþinem perechea intrare-ießire

. (1.3.55)(u[t 0 ,t1 ], y[t 0 ,t1 ] = 23

u[t 0 ,t 1] ) ⇒ y(τ) = 23

u(τ) ∀τ

Fácänd toate experimentele posibile, obþinem o colecþie de perechiintrare-ießire care constituie o mulþime S de tipul (1.3.49). Aceastá colecþie S vadeterminá comportarea cutiei negre.

Pentru o aceeaßi intrare aplicatá u(t) se pot obþine douá ießiri y(t) = 12

u(t)

sau . y(t) = 23

u(t)

Mulþimea perechilor intrare-ießire poate fi ímpárþitá ín douá submulþimi:, dacá acestea corespund relaþiei (1.3.54) ßi S0

, dacá corespund relaþiei (1.3.55). S1

Este clar cá:

. S0 ∨ S1 = S ; S0 ∧ S1 = ∅

Dacá cineva ne indicá o intrare noi nu putem preciza exact ießireau[t 0 ,t1 ]

corespunzátoare, deoarece nu avem nici o idee din ce submulþime face parte, S0

sau , pentru a selecta perechea corectá. Anumite informaþii ne sunt ascunse.S1


27

Presupunem cá interiorul cutiei aratá ca ín Fig.1.3.7. Acum, putem ínþelegede ce se obþin cele douá mulþimi de perechi intrare-ießire (1.3.54) ßi (1.3.55).

Cutia se poate afla ín douá stári care depind de starea íntrerupátorului:deschis sau ínchis.

Putem defini starea cutiei prin variabila x care ia douá valori notate: off ; on sau 0 ; 1 sau A ; B.

Submulþimea poate fi etichetatá cu unul din markerele: "off", "0", "A",S0

iar submulþimea cu: "on", "1", "B". S1

Nu are importanþá cum este notatá (etichetatá) poziþia íntrerupátorului.Poziþia acestuia va determina starea cutiei negre.

Starea se exprimá echivalent prin una din urmátoarele variabile:

.x ∈ off ; on sau x ∈ 0 ;1 sau x∼ ∈ A; B

Dacá cineva ne indicá o intrare ßi o informaþie suplimentaráu[t 0 ,t1 ]

formulatá sub forma: "starea este on" ceea ce ínseamná x = on sau sub forma"starea este B", ceea ce ínseamná etc., atunci putem determina cux∼ = B

exactitate (univoc) ießirea selectänd-o din submulþimea .y(t) = 23

u(t) S1

Prin acest exemplu, intenþia a fost de a sublinia faptul cá starea sistemuluipoate fi consideratá ca un procedeu de parametrizare a submulþimilor perechilorde intrare-ießire ín cadrul cárora o singurá intrare determiná ín mod unic o singuráießire.

De asemenea, s-a dorit sá se sublinieze faptul cá starea poate fireprezentatá ín diferite forme, aceeaßi comportare intrare-iaßire putänd aveadescrieri de stare diferite.

Ín acest exemplu, starea sistemului nu poate fi modificatá prin intermediulintrárii, un astfel de sistem fiind numit sistem necontrolabil.


28

1.3.6. Exemplu de sistem cu timp mort; Elementul de íntärziere puráSistemele cu íntärziere, denumite ßi sisteme cu timp mort, sunt sisteme ín

care existá cel puþin o márime care se transmite cu vitezá finitá. Aceasta ínsemaná cá pentru o variabilá, de exemplu , se foloseßte lay(t)

momentul de timp prezent valoarea pe care a avut-o aceasta cu secunde mait τdevreme, adicá valoarea .y(t − τ)

Cel mai simplu sistem cu timp mort este elementul de íntärziere purá cu ointrare ßi o ießire , caracterizat prin relaþia intrare ießire de forma,u(t) y(t)

, (1.3.56)y(t) = u(t − τ)

care ínsemná cá ießirea la momentul prezent este egalá cu valoarea pe care aavut-o intrarea cu secunde mai devreme. Aceastá relaþie reprezintá o aßa-numitáτecuaþie funcþionalá.

Ín Fig.1.3.8. este ilustratá o astfel de dependenþá intrare ießire.

u(t);y(t)

t

y(t)u(t)

t10

y(t1)t1−τu( )

t1−τ

y(t)=u(t- )τ

U(s) Y(s)−τse

u(t) y(t)intarziere puraElement de

Figura nr.1.3.8.

Un exemplu simplu de obiect fizic ce se comportá ca un element deíntärziere purá íl reprezintá un transportor cu bandá care transportá de exemplu uncombustibil sub formá de praf de cárbune utilizat íntr-un sistem de íncálzire. Unastfel de obiect fizic este reprezentat prin schema de principiu din Fig.1.3.9.

d

u(t)

viteza v

Grosimea Grosimeay(t)

A B

Clapeta de comandaCombustibil (carbune)

Transportor cu banda

Figura nr.1.3.9.


29

Se considerá cá banda se deplaseazá cu viteza constantá v. Grosimeastratului de combustibil transportat este controlatá prin intermediul unei clapetemobile.

Considerám cá intereseazá grosimea stratului de combustibil transportat ínpunctul B de la capátul benzii, exprimatá prin variabila y(t). Aceastá variabilá vareprezenta ießirea sistemului orientat definit ca ín Fig.1.3.8.

Márimea de intrare este grosimea stratului de combustibil realizatá prinpoziþia clapetei ín punctul A ßi va fi notatá prin variabila u(t).

Distanþa dintre punctele A ßi B este d. Un eßantion de combustibil ajungedin A ín B dupá un interval de timp .τ = d

vConsiderám acum cá este datá o intare . Se pun urmátoarele íntrebári: u[t 0 ,t]

Putem determina ießirea y(t) pentru orice ? t ≥ t0

Ce trebuie fácut ín plus pentru aceasta? Privind schema de principiu din Fig.1.3.9. sau relaþia (1.3.56), ínþelegem

cá ín plus, trebuie sá cunoaßtem grosimea stratului de combustibil de-a lungulbenzii íntre punctele A ßi B sau, cu alte cuvinte, toate valorile pe care le-a avutintrarea u(t) pe durata intervalului de timp . [t0 − τ , t0)

Aceastá colecþie de informaþii constituie starea sistemului la momentul detimp ßi va fi notatá cu . t0 x0

Astfel, starea la momentul , , notatá pe scurt estet0 (t0 , x0) x0 = x(t0) = xt 0

o mulþime care conþine un numár infinit de elemente,

(1.3.57)x0 = xt 0 = x(t 0) = u(θ), θ ∈ [t0 − τ , t0) = u [t0 −τ , t 0)

Datoritá acestui fapt, acest sistem este de dimensiune infinitá. Pentru oricare moment de timp t, starea sistemului este definitá(t , x) = x(t)

prin

(1.3.58)x(t) = u(θ), θ ∈ [t − τ , t) = u[t−τ, t)

Toate aceste observaþii intuitive pot avea ßi un suport matematic aplicändtransformarea Laplace relaþiei intrare-ießire (1.3.56).

Reamintim cá

, (1.3.59)Lu(t − τ) = Lu(t − τ)1(t) = e−τs ⋅

U(s) + ∫

−τ

0u(t) ⋅ e−stdt

astfel cá transformata Laplace a ießirii va fi

(1.3.60)Y(s) = e−τs ⋅ U(s) + e−τs ⋅ ∫−τ

0u(t) ⋅ e−st ⋅ dt = Yf(s) + Yl(s)

unde (1.3.61)Yf(s) = e−τs ⋅ U(s) ⇒ yf(t) = η(t, 0, 0, u[0,t])

reprezintá componenta forþatá a ráspunsului ce depinde numai de intrarea u(t).


30

Evident, ín acest caz, ín domeniul complex s, componenta forþatá depindealgebric de transformata Laplace a intrárii, , care conþine de fapt valorileU(s)intrárii pentru oricare . Simplitatea utilizárii transformárii Laplace s-au(θ) θ ≥ 0plátit, consideränd .t0 = 0

Termenul

(1.3.62)Yl(s) = e−τs ∫−τ

0u(t)e−stdt

reprezintá componenta liberá a ráspunsului, adicá ráspunsul sistemului cändintrarea este nulá denumit ßi ráspunsul la intrare nulá.

Prin intrare nulá se ínþelege o funcþie , nulá pe intervalul deu : R → Rp

observare , decit ≥ t0

, (1.3.63)u(t) ≡ 0, ∀t ≥ t0 = 0 ⇔ U(s) ≡ 0, ∀s

pe domeniul de convergenþá al lui U(s). Ráspunsul liber depinde numai de starea iniþialá (ín acest caz, la momentul

iniþial ) ßi, aßa cum se vede din (1.3.62), el depinde de toate valorilet0 = 0

, (1.3.64)u(θ) , ∀θ ∈ [−τ , 0) ⇔ u[−τ , 0)

íncät apare firesc sá se aleagá starea iniþialá de forma (1.3.57), .x0 = x(0) = u[−τ, 0)

Ráspunsul liber dat de (1.3.62) se poate interpreta ca fiind

. (1.3.65)yl(t) = η(t, 0, x0, 0[0,t))

Din (1.3.61), (1.3.65) rezultá cá ráspunsul general ín domeniul timp, adicáimaginea ín domeniul timp a relaþiei (1.3.60), poate fi exprimat ca o relaþieintrare-stare iniþialá-ießire,

.y(t) = yf(t) + yl(t) = η(t, 0, 0, u[0,t]) + η(t, 0, x0, 0[0,t)) = η(t, 0, x0, u [0,t))

(1.3.66)


31

1.4. Conceptul de stare. Sisteme dinamice

1.4.1. Aspecte generaleAßa cum s-a vázut ín exemplele anterioare, pentru a determina ießirea ín

mod univoc, pe längá intrare trebuie cunoscute o serie de condiþii iniþiale. De exemplu, ín cazul circuitului RC simplu trebuie cunoscutá tensiunea la

bornele condensatorului; ín cazul sistemului mecanic, poziþia iniþialá a braþuluiprincipal; ín cazul circuitului RC dublu, tensiunile la bornele celor douácondensatoare; pentru circuitul cu releu, starea iniþialá a releului etc.

Toate aceste informaþii definesc starea sistemului ín momentul din careintrarea va afecta ießirea.

Prin starea unui sistem la un moment de timp se ínþelege mulþimeainformaþiilor suplimentare necesare pentru ca, cunoscänd intrarea din acelmoment, sá se poatá determina ín mod univoc ießirea.

Starea unui sistem abstract este o colecþie de elemente (aceste elemente potfi numere) care, ímpreuná cu intrarea u(t) pentru orice , determiná univoct ≥ t0

ießirea y(t) pentru orice .t ≥ t0

Starea este ráspunsul la íntrebarea: "Dändu-se u(t) pentru ßi relaþiat ≥ t0

matematicá dintre intrare ßi ießire (sistemul abstract), ce informaþie suplimentaráeste necesará pentru a determina complet ießirea y(t) pentru ? ".t ≥ t0

Starea sistemului, la un moment de timp, ínglobeazá toatá informaþiaesenþialá din evoluþia anterioará a acestuia, pentru a determina, íncepänd cu acelmoment, ießirea, cänd se cunoaßte intrarea.

O variabilá de stare notatá cu x(t), scalará sau vectorialá, este o funcþie detimp ale cárei valori la orice moment de timp precizat reprezintá starea sistemuluila acel moment.

Starea poate fi o mulþime ce conþine o infinitate de numere ßi ín acest cazvariabila de stare este o colecþie infinitá de funcþii de timp.

De obicei, ín majoritatea cazurilor considerate, starea este o mulþime de nnumere, iar x(t) este un vector n-dimensional ce conþine n funcþii de timp.

Spaþiul stárilor, notat cu X, este mulþimea tuturor valorilor x(t).

Reprezentarea de stare nu este unicá. Pot exista numeroase posibilitáþi de aexprima relaþiile de legáturá dintre ießire ßi intrare.

De exemplu, ín cazul cutiei negre sau a circuitului logic, starea poate fidefinitá prin off , on, A, B etc. Pentru circuitul RC dublu o reprezentare destare ínseamná valoarea ießirii ßi valoarea derivatei ín timp a ießirii .y(t0) y

.(t0)

Starea unui sistem este legatá de un moment de timp. De exemplu, starea la un moment de timp se noteazá cu .x0 t0 (x0, t0)

∆= x(t0)

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.4. Conceptul de stare. Sisteme dinamice GENERALE ALE SISTEMELOR

32

Sistemele din ¨1.2.3 ßi ¨1.2.4 sunt de ordinul unu deoarece este suficient sáse cunoascá un singur element pentru a determina ráspunsul la ießire, aßa cumx0

se poate vedea ín relaþia (1.2.7).Sistemul abstract (1.3.17), (1.3.18) sau (1.3.20) din ¨1.3.1. este de ordinul

doi deoarece, aßa cum se observá ín relaþia (1.3.33), ráspunsul y(t) este univocdeterminat, pentru o intrare datá , dacá se cunosc douá condiþii iniþiale u[t 0 ,t] y(t0)ßi adicá ießirea ßi derivata ei la momentul .y

.(t0) t0

Se poate formula urmátoarea concluzie importantá: O aceeaßi comportareintrare-ießire a unui sistem orientat se poate obþine avänd definit vectorul de stareín diferite moduri.

Dacá x este vectorul de stare ataßat unui sistem ßi o matrice pátratá T estenesingulará, , atunci vectorul det(T) ≠ 0

, (1.4.1)x = T ⋅ x, det(T) ≠ 0este de asemenea un vector de stare pentru acel sistem ßi determiná aceeaßicomportare intrare-ießire ca ßi x.

De exemplu, ín cazul circuitului logic din ¨1.3.4. sau al cutiei negre din¨1.3.5. valorile de stare se pot defini sub forma off, on, A, B etc., aßa cums-a menþionat mai sus.

Dacá mulþimea numerelor care definesc starea este finitá, starea sedefineßte ca un vector coloaná,

. (1.4.2)x = [x1 ⋅ ⋅xi ⋅ ⋅xn ]T

Numárul minim de elemente ale acestui vector pentru care se asigurádeterminarea univocá a ießirii, cänd se cunoaßte intrarea, reprezintá ordinulsistemului sau dimensiunea sistemului.

Cänd mulþimea numerelor strict necesare este infinitá (se poate spune cávectorul x are o infinitate de elemente) atunci ordinul sistemului este infinit sausistemul este infinit-dimensional.

1.4.2. Variabila de stare ßi relaþia ei de evoluþie ín timp Variabila de stare este o funcþie

, (1.4.3)x : T → X; t → x(t)

unde X reprezintá spaþiul stárilor, ce exprimá evoluþia ín timp a stárii sistemului.Starea nu este o constantá. Ea se poate modifica pe durata evoluþiei

sistemului, deci funcþia x(t) poate sá nu fie o constantá. Graficul acestei funcþii pe un interval , notat cu[t0, t1]

(1.4.4)x[t 0 , t1 ] = (t, x(t)), ∀t ∈ [t0, t1]

se numeßte traiectorie de stare pe intervalul . [t0, t1]Variabila de stare x(t) este o funcþie explicitá de timp, dar depinde implicit

ßi de momentul iniþial , de starea iniþialá ßi de intrarea .t0 x(t0)=x0 u(τ), τ ∈ [t0 , t]


33

Aceastá dependenþá funcþionalá numitá relaþie intrare-stare iniþialá-stare(relaþie i-si-s) sau traiectorie (mai exact traiectorie ín timp) se poate scrie subforma

. (1.4.5)x(t) = ϕ(t, t0, x0, u[t0 ,t]), x0 = x(t0)

O relaþie de forma (1.4.5) reprezintá o relaþie intrare-stare iniþialá-stare ßiexprimá evoluþia stárii unui sistem dacá sunt satisfácute urmátoarele patru condiþii1. Condiþia de unicitate

Pentru o stare iniþialá datá , la momentul ßi o intrare binex(t0) = x0 t0 u[t 0 , t]

precizatá, traiectoria de stare este unicá. Aceasta poate fi exprimatá prin:"Dändu-se starea la momentul ßi o intrare realá u(t), pentru , existá ox0 t0 t ≥ t0

unicá traiectorie pentru toþi ".ϕ(t, t0, x0 , u[t 0 ,t]) t > t0

2. Condiþia de consistenþáPentru , relaþia (1.4.5) trebuie sá verifice condiþia: t = t0

. (1.4.6)x(t) t=t 0 = x(t0) = ϕ(t0, t0, x0, u[t 0 ,t0 ]) = x0

De asemenea, , (1.4.7)∀ t1 ≥ t0 ,

t→t 1,t>t 1lim ϕ(t, t1, x(t1), u[t 1 ,t]) = x(t1)

ceea ce ínseamná cá din fiecare stare pleacá o traiectorie unicá.3. Condiþia de tranziþie a stárilor

Orice stare intermediará a unei traiectorii de stare constituie o stare iniþialápentru evoluþia viitoare a stárii.Pentru orice , o intrare face ca starea sá evolueze ín ,t2 ≥ t0 u[t 0 ,t2 ] x(t0) x(t2)

x(t2) = ϕ(t2 , t0, x(t0), u[t 0,t 2 ])dar, pentru orice moment intermediar cu , aplicänd intrarea , ot1 t0 ≤ t1 ≤ t2 u[t 0,t 1 ]

submulþime a segmentului ceea ce ínseamná cáu[t 0 ,t2 ]

, (1.4.8)u[t 0 ,t2 ] = u[t0 ,t 1 ] ∪ u[t 1 ,t 2 ]

se obþine starea intermediará ,x(t1).x(t1) = ϕ(t1 , t0, x(t0), u[t 0,t 1 ])

Aceasta va acþiona ca stare iniþialá, din momentul , ßi va determinat1

aceeaßi valoare x(t2) x(t1)

. (1.4.9)x(t2) = ϕ[t2 , t0, x(t0), u[t 0,t 2 ]] = ϕ[t2 , t1, ϕ(t1, t0, x(t0) , u[t 1 ,t 2])]Corespunzátor acestei proprietáþi, putem spune cá intrarea (sau )u[t 0,t] u

transportá sistemul dintr-o stare íntr-o stare iar dacá o(t0, x0) = x(t0) (t, x) = x(t)stare se aflá pe acea traiectorie, atunci segmentul de intrare(t1, x1) = x(t1)corespunzátor va transporta sistemul din ín .x(t1) x(t)4. Condiþia de cauzalitate

Starea x(t) la orice moment t sau traiectoriile nu depind deϕ(t, t 0, x0, u[t 0 ,t])intrárile viitoare pentru . u(τ) τ > t

Aceastá condiþie asigurá cauzalitatea sistemului abstract care trebuie sácorespundá cauzalitáþii sistemului fizic original orientat.


34

Mai sus, s-a precizat, ca o regulá generalá, cá intrarea afecteazá starea, iarstarea influenþeazá ießirea. Cu toate acestea, existá sisteme la care intrárile nuinfluenþeazá starea sau anumite componente ale vectorului de stare.

Reciproc, existá sisteme la care ießirile sau anumite ießiri nu suntinfluenþate prin stare.

Astfel de sisteme se numesc necontrolabile ßi, respectiv, neobservabile ßivor fi analizate mai tärziu.

Ín exemplul din ¨1.3.5. sistemul cutie-neagrá, obiectul fizic estenecontrolabil deoarece intrárile admise nu pot face ca íntrerupátorul sá-ßi schimbepoziþia. Dacá, de exemplu, firul spre ießire ar fi rupt, atunci un astfel de sistem arfi neobservabil.

O stare care este atät necontrolabilá cät ßi neobservabilá nu poate fidetectatá prin nici un experiment ßi nu are semnificaþie fizicá.

1.4.3. Traiectorii ín spaþiul stárilor

1.4.3.1. Definiþia traiectoriilor ín spaþiul stárilorRelaþia intrare-stare iniþialá-stare (i-si-s)

(1.4.10)x(t) = ϕ(t, t0, x0, u[t0 ,t])

care exprimá traiectoria ín timp a stárii este o funcþie explicitá de timp. Dacá vectorul x este n-dimensional, existá n traiectorii ín timp, cäte una

pentru fiecare componentá

. (1.4.11)xi(t) = ϕ i(t, t0, x0, u[t 0,t]) , i = 1, ..., n

Aceste traiectorii pot fi reprezentate grafic íntr-un spaþiu (n+1)-dimensionalconsiseränd t ca parametru implicit, crescänd de la , sau ca n grafice separate,t0

. xi(t), t ≥ t0 , i = 1, ⋅⋅, nDeseori acest grafic poate fi obþinut prin eliminarea variabilei t din soluþiile

(1.4.11) ale ecuaþiilor de stare, ceea ce reprezintá o traiectorie ín spaþiul stárilor.Dacá notám , relaþia i-si-s (1.4.11) se scrie sub forma,xi = xi(t), i = 1, ⋅⋅, n

x1 = ϕ1 (t, t0, x0, u[t 0,t]) (1.4.12)xi = ϕ i(t, t0, x0, u[t 0 ,t])

,xn = ϕn (t, t0, x0, u[t 0,t])ßi eliminänd t din cele n relaþii anterioare se determiná o traiectorie ín spaþiulstárilor, exprimatá implicit prin ecuaþia

(1.4.13)F[x1, ⋅⋅⋅, xi , ⋅⋅⋅, xn, t0, x(t0 )] = 0

unde s-a considerat o intrare datá (cunoscutá). Cele mai simple expresii sunt obþinute dacá intrarea este constantá pentru

orice t.


35

Dacá componentele vectorului de stare sunt ießirea ßi primele (n-1) derivateale acesteia ín raport cu timpul, spaþiul stárilor se numeßte spaþiul fazelor, iartraiectoria din spaþiul fazelor se numeßte traiectorie de fazá.

Traiectoria din spaþiul stárilor poate fi obþinutá ußor direct din ecuaþiile destare, exprimate printr-un sistem de ecuaþii diferenþiale de ordinul unu.

Pentru , graficul poate fi exploatat eficient ín planul stárilor sau planuln = 2fazelor.

Pentru o stare iniþiala datá , notatá , se obþine o singurá(t0, x0) x0 = x(t0)traiectorie.

Pentru condiþii iniþiale diferite se va obþine o familie de traiectorii destare sau fazá ce alcátuiesc portretul de stare respectiv portretul de fazá.

Deoarece relaþia i-si-s satisface condiþia de unicitate, pentru o intrare u[t 0,t]

datá, o traiectorie ßi numai una va trece prin fiecare punct din spaþiul stárilor ßiexistá pentru toate momentele finite. t ≥ t0

O consecinþá a acestei observaþii este aceea cá traiectoriile de stare nu seintersecteazá una pe cealaltá.

1.4.3.2. Traiectoriile de stare ale unui sistem de ordinul doiSe considerá un sistem simplu de ordinul doi,

(1.4.14)

x. 1 = λ1 ⋅ x1 + ux.

2 = λ2 ⋅ x2 + u⇔

x. 1(t) = λ1 ⋅ x1(t) + u(t)x.

2(t) = λ2 ⋅ x2(t) + u(t)

Pentru simplitate, presupunem

. (1.4.15)u(t) ≡ 0 , ∀t ⇔ 0[t 0 ,t] = (τ, u(τ)) = 0, ∀τ ∈ [t0, t]

Ín ipoteza (1.4.15) relaþia i-si-s se obþine prin integrarea sistemului (1.4.14)

(1.4.16)

x1(t) = eλ1 (t−t 0) ⋅ x1(t0) = ϕ1(t, t0, x1(t0), 0 [t0 ,t])x2(t) = eλ2 (t−t 0) ⋅ x2(t0) = ϕ2(t, t0, x2(t0), 0 [t0 ,t])

Consideränd cá ßi , evoluþiile ín timp ale cele douáλ1 < 0 λ2 < 0componente ale traiectoriilor ßi , sunt reprezentate ín Fig.1.4.1.x1(t) x2(t)

Eliminänd timpul t íntre cele douá componente din (1.4.16) se obþineecuaþia (1.4.17), care exprimá traiectoria de stare reprezentatá grafic ín Fig.1.4.2.

; x1

x1(t0 ) = eλ1 (t−t 0) x2

x2(t0) = eλ2(t−t 0 ) ⇒

x1

x1 (t0)

λ2

=

x2

x2(t0)

λ1

⇔

(1.4.17)x2 = x20 ⋅

x1x10

λ2 /λ1⇔ F(x1, x2, x0) = 0


36

a'2a'1

a''1a''2

10x'

10x'' 1x (t)

2t0t 1t t

1λ <0 2λ <0 1λ2λ <

1λ=−1/T1

tb'2

b'1b''1

b''2

20x'

20x'' x (t)2

2t0t 1t

λ2=−1/T2

a'2 a'1 a''1a''2 10x'10x''

1x 2t

2t

0t0t

1t

1t

1λ <0 2λ <0

20x''

x 2

b'2

b'1

b''1

b''2

20x'1λ2λ <


O aceeaßi expresie pentru (1.4.17), ín ipoteza (1.4.15), poate fi obþinutádirect ímpárþind ecuaþiile diferenþiale (1.4.14) astfel cá se eliminá diferenþiala ,dt

(1.4.18)dx2

dtdx1

dt

= λ2 ⋅ x2

λ1 ⋅ x1⇒ dx2

dx1= λ2

λ1⋅ x2

x1

Se interpreteazá relaþia (1.4.18) ca o ecuaþie diferenþialá ín care apare cax1

ßi variabilá independentá pentru funcþia necunoscutá deci o funcþie de formax2

. Ín acest exemplu aceastá ecuaþie diferenþialá este cu variabile separabile,x2(x1)

(1.4.19)dx2x2

= λ2

λ1⋅ dx1

x1

ßi poate fi integratá din condiþia iniþialá (iniþialá ín raport cu variabila ei(x10 , x20)independentá ), decix1

(1.4.20)x2(x10) = x20

unde,. (1.4.21)x10 = x1 (t0) ; x20 = x2(t0)

Primitiva ecuaþiei (1.4.19) cu condiþia (1.4.20) este de forma,ln( x2 ) = (λ2

λ1) ⋅ ln( x1 ) + C

ln( x20 ) = (λ2

λ1) ⋅ ln( x10 ) + C


37

din care, prin eliminarea constantei se obþine exact expresia (1.4.17),C

(1.4.22)x2 = x20

x1x10

λ2/λ1

⇔ x2 = x2(t0 )

x1

x1(t0)

λ2/λ1

Ín Fig.1.4.3 este prezentat portretul de stare pentru cazul ßi .λ1 < 0 λ2 > 0

Figura nr.1.4.3.

1.4.4. Variabila de ießire ßi relaþia ei de evoluþie ín timp La modul cel mai general, o variabilá de ießire a unui sistem, definitá íny

¨1.3.3., evolueazá ín timp si are o valoare la momentul curent de timp ,y(t) tdependentá de momentul de timp iniþial , de starea la acel moment iniþialt0

, denumitá pe scurt stare iniþialá, ßi de toate valorile márimii de intrarex(t0) = x0

de la momentul iniþial päná la momentul curent deci de segmentul .t0 t u[t 0,t]

Aceastá dependenþá este denumitá ßi relaþia intrare-stare iniþialá-ießire(relaþia i-si-e), ßi are forma unei relaþii de tip funcþionalá,

. (1.4.23)y(t) = η(t, t0, x0, u[t0 ,t])

Relaþia (1.2.7), ín cazul exemplului din ¨1.2.3., sau relaþia (1.2.29) din ¨1.2.3.,

y(t) = K2 ⋅ e−t−t 0

T x0 + K 1K 2

T ⋅ ∫ t 0

te− t−τ

T ⋅ u(τ) ⋅ dτ

este o relaþie relaþie intrare-stare iniþialá-ießire (i-si-e). Deoarece aceasta nu satisface proprietatea de consistenþá

, y(t0) = η(t0 , t0, x0, u[t 0,t 0 ]) = K2 ⋅ x0 ≠ x0

deci ea nu poate fi o relaþie intrare-stare iniþialá-stare (i-si-s).Pentru , avänd ín vedere cá relaþia funcþionalá (1.4.23)t0 = t u[t,t] = u(t)

devine o relaþie de tip funcþie punctualá(1.4.24)y(t) = g(x(t), u(t), t)

Aceasta este o relaþie algebricá ßi se numeßte ín acest caz relaþie de ießiresau ecuaþia ießirii.

a

b

10x'1x

0t1t

x 2

20x'

1λ <0 2λ >0

a

b

t

t

1 / 1λ10x'

2t

2t

0t

0t

1t

1t

20x'

1x (t)

x 2(t)


38

1.4.5. Noþiunea de sistem dinamicPrin sistem dinamic se ínþelege o mulþime S de trei elemente

sau (1.4.25)S = Ω, ϕ, η S = Ω, ϕ, g a cáror semnificaþie,

- mulþimea intrárilor admiseΩ - relaþia intrare-stare iniþialá-stareϕ - relaþia intrare-stare iniþialá-ießireη - relaþia ießirii,g

este cea prezentatá anterior pe larg ímpreuná cu toate atributele lor.Aceasta reprezintá forma explicitá a unui sistem dinamic, exprimatá prin

relaþii (soluþii) sau traiectorii.O altá formá de reprezentare a unui sistem dinamic o constituie forma

implicitá exprimatá prin ecuaþii de stare , (1.4.26)S = Ω, f, g

ín care elementele reprezintá funcþiile prin care se precizeazá ecuaþia de staref, grespectiv relaþia de ießire.

Soluþiile acestor ecuaþii sunt traiectoriile exprimate prin (1.4.25), unde feste o funcþie vectorialá ce defineßte o categorie largá de ecuaþii (diferenþiale, cudiferenþe, logice, funcþionale), iar este o funcþie vectorialá algebricá.g

Soluþia ecuaþiilor definite prin , cu o stare iniþiala datá este tocmaif (t0, x0)relaþia funcþionalá .ϕ

De exemplu, sistemul de ordinul unu din ¨1.2.3 sau din ¨1.2.4., poate fireprezentat astfel: Forma explicitá, prin relaþii (funcþii) sau traiectorii de stare este:

(1.4.27)S :

u ⊂ Ω

x(t) = e−t−t 0

T ⋅ x(t0) + K 1

T ⋅ ∫t 0

t e− t−τT u(τ) ⋅ dτ

y(t) = K2 ⋅ x(t)

(Ω)(ϕ)(g)

Forma implicitá, prin ecuaþii de stare este:

(1.4.28)S :

u ∈ Ωx. = −1

T ⋅ x + K 1

T ⋅ u, t ≥ t0, x(t0) = x0

y = K2 ⋅ x

(Ω)(f)(g)

Frecvent, ecuaþiile de stare ale unui sistem dinamic sunt compuse din:1. Ecuaþia de stare propriu-zisá definitá prin , a cárei soluþie este traiectoria defstare , exprimatá prin .x(t), t ≥ t0 ϕ2. Relaþia de ießire sau mai precis relaþia ießirii datá de .g

Ín general, spunem cá un sistem este dinamic, dacá dependenþaintrare-ießire nu este una univocá, dar univocitatea poate fi restabilitá princunoaßterea stárii (adicá a cätorva informaþii suplimentare) la momentul iniþial.


39

1.5. Exemple de sisteme dinamice

1.5.1. Sisteme diferenþiale cu parametri concentraþiAceste sisteme sunt sisteme continue ín timp. Atät intrarea u cät ßi ießirea

y sunt vectori de funcþii continuale de timp

u ⊆ Ω , u estevector (p × 1), u = [u1, u2 , ... up ]T

(1.5.1)y ⊆ Γ, y este vector (r × 1), y = [y1, y2 , ... yr]T

Relaþia intrare-ießire (i-e) este constituitá dintr-un set de ecuaþii diferenþiale

(1.5.2)F i(y, y(1), ..., y(n i ), u, ..., u(mi ), t) = 0, i = 1 : r

Dimensiunea sau ordinul sistemului este . n ≤ Σi=1

rni

Forma standard a ecuaþiilor de stare ale acestui sistem se obþinetransformänd sistemul de ecuaþii diferenþiale de ordinul n íntr-un sistemechivalent de n ecuaþii diferenþiale de ordinul I (forma normalá Cauchy) care nuconþin derivatele ín raport cu timpul ale intrárii,

, (1.5.3)x.

= f( x, u, t ), t ≥ t0, x(t0) = x0; u ⊆ Ω

(1.5.4)y = g( x, u, t )Aceasta constituie forma implicitá a sistemului dinamic

sau , (1.5.5)S = Ω, f, g S = Ω, f, g , x

unde este o funcþie care exprimá o ecuaþie diferenþialá, exprimá o relaþief galgebricá, iar este un n-vector. x

Ecuaþia diferenþialá (1.5.3) reprezintá ecuaþia de stare propriu-zisá, iarrelaþia (1.5.4) reprezintá relaþia (ecuaþia) de ießire.

Vectorul de funcþii

(1.5.6)x = [x1 ⋅ ⋅xi ⋅ ⋅xn ]T

reprezintá vectorul de stare al sistemului, pe scurt starea sistemului a cárui valoare, la un moment de timp , este vectorul de numere,x(t) t

. (1.5.7)x(t) = [x1(t) ⋅ ⋅xi(t) ⋅ ⋅xn(t) ]T

Numárul n de elemente ale acestui vector reprezintá dimensiunea sauordinul sistemului.

Este clar cá ßi sunt funcþii vectoriale,f g(1.5.8)f( x, u, t ) = [f1( x, u, t ) ⋅ ⋅fi( x, u, t ) ⋅ ⋅fn( x, u, t) ]T

. (1.5.9)g( x, u, t ) = [g1( x, u, t ) ⋅ ⋅gi( x, u, t ) ⋅ ⋅gr( x, u, t) ]T

Dimensiunea vectorului de stare nu are nici o legáturá cu numárul alx pintrárilor ßi numárul al ießirilor. r

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.5. Exemple de sisteme dinamice GENERALE ALE SISTEMELOR

40

Dacá funcþia índeplineßte condiþiile Lipschitz ín raport cuf( x, u, t )variabila , atunci soluþia existá ßi este unicá pentru orice ßi verificáx x(t) t ≥ t0

relaþiile(1.5.10)x

.(t) = f( x(t), u(t), t ), t ≥ t0, x(t0) = x0; u ⊆ Ω

. (1.5.11)y(t) = g( x(t), u(t), t )

De multe ori ecuaþiile de stare (1.5.3), (1.5.4) ín care prin sex, x., u, y

ínþeleg funcþii de variabila , se perezintá ßi sub forma (1.5.10), (1.5.11) ín caretprin se ínþeleg fie valorile acestor funcþii ín momentul de timpx(t), x

.(t), u(t), y(t)

, fie expresiile funcþiilor respective.t

Sistemul se numeßte sistem invariant ín timp sau sistem autonom dacávariabila timp nu apare explicit ín ecuaþiile de stare (ín funcþiile ßi ), iar formaf gacestora este,

(1.5.12)x.

= f( x, u), t ≥ t0 , x(t 0) = x0; u ⊆ Ω(1.5.13)y = g( x, u)

respectiv sub forma,

(1.5.14)x.(t) = f( x(t), u(t) ), t ≥ t 0, x(t0) = x0; u ⊆ Ω

. (1.5.15)y(t) = g( x(t), u(t) )

Dacá funcþiile f ßi g sunt liniare ín raport cu argumentele ßi , sistemul sex unumeßte sistem liniar continuu ín timp pe scurt sistem liniar.

Ecuaþiile de stare corespunzátoare unui sistem liniar sunt

(1.5.16)S :

x. (t) = A(t) ⋅ x(t) + B(t) ⋅ u(t)y(t) = C(t) ⋅ x(t) + D(t) ⋅ u(t)

Deoarece matricele A, B, C, D, numite ßi matrici de descriere, depindexplicit de variabila timp, un astfel de sistem se numeßte sistem liniar variant íntimp (SLVT).

El este denumit ßi sistem multivariabil dacá are mai multe intrári(p-intrári) ßi mai multe ießiri (r-ießiri), mai precis ßi/sau . Se maip ≥ 2 r ≥ 2numeßte ßi MIMO ( Multi Input Multi Output).

Dacá ßi sistemul se numeßte sistem monovariabil sau SISOp = 1 r = 1(Single Input Single Output).

Matricele de descriere au urmátoarele denumiri:A(t), (nxn) - matricea sistemului; B(t), (nxp) - matricea de comandá (de intrare); C(t), (rxn) - matricea de ießire; D(t), (rxp) - matricea auxiliará sau

matricea de legáturá directá intrare-ießire.


41

Ecuaþiile de stare ale unui sistem liniar monovariabil sau sistem cu osingurá intrare (p =1) ßi o singurá ießire (r =1) sunt,

(1.5.17)S :

x. (t) = A(t) ⋅ x(t) + b(t) ⋅ u(t)y(t) = cT(t) ⋅ x(t) + d(t) ⋅ u(t)

Ín acest caz u(t) ßi y(t) sunt scalari, matricea B(t) degenerezá íntr-un vectorcoloaná notat b(t), matricea C(t) degenerezá íntr-un vector linie notat , iarcT(t)matricea D(t) degenerezá íntr-un scalar notat d(t).

Dacá toate aceste matrici nu depind de timp (au toate elementeleconstante), sistemul se numeßte sistem (dinamic) liniar invariant ín timp(SLIT), avänd pentru MIMO forma,

, (1.5.18)S :

x. = A ⋅ x + B ⋅ uy = C ⋅ x + D ⋅ u

⇔

x. (t) = A ⋅ x(t) + B ⋅ u(t)y(t) = C ⋅ x(t) + D ⋅ u(t)

ßi pentru SISO

. (1.5.19)S :

x. = A ⋅ x + b ⋅ uy = cT ⋅ x + d ⋅ u

⇔

x. (t) = A ⋅ x(t) + b ⋅ u(t)y(t) = cT ⋅ x(t) + d ⋅ u(t)

Se observá cá ín oricare dintre formele ecuaþiilor de stare, nu aparderivatele ín raport cu timpul ale intrárii.

Dacá , sau , intrarea nu afecteazá ín mod direct ießirea ci numaiD = 0 d = 0prin intermediul stárii . x

Astfel de sisteme se numesc sisteme liniare strict proprii.


42

1.5.2. Sisteme cu íntärziere (Sisteme cu timp mort)Sistemele cu íntärziere, denumite ßi sisteme cu timp mort, sunt sisteme ín

care existá cel puþin o márime care se transmite cu vitezá finitá. Aceasta ínseamaná cá pentru o variabilá, de exemplu , se foloseßte lay(t)

momentul de timp prezent valoarea pe care a avut-o aceasta cu secunde mait τdevreme, adicá valoarea .y(t − τ)

Cel mai simplu sistem cu timp mort este elementul de íntärziere purá cu ointrare ßi o ießire , caracterizat prin relaþia intrare ießire de forma,u(t) y(t)

, (1.5.20)y(t) = u(t − τ)

care ínseamná cá ießirea la momentul prezent este egalá cu valoarea pe care aavut-o intrarea cu secunde mai devreme. Aceastá relaþie reprezintá o aßa-numitáτecuaþie funcþionalá. Ín ¨1.3.6. s-a prezentat pe larg elementul de íntärziere puráímpreuná cu un sistem fizic ce are aceastá comportare.

Funcþia de transfer a elementului de íntärziere purá, obþinutá aplicändD(s)transformata Laplace relaþiei (1.5.20) ín condiþii iniþiale nule (c.i.n.), adicá

, (1.5.21)u(t) = 0, ∀t ∈ [t0 − τ, t0) , t0 = 0este

. (1.5.22)D(s) = Y(s)U(s) c.i.n. = e−τs

Timpul mort poate apare pe oricare dintre componentele vectorului destare, ale intrárii sau ießirii.

Ecuaþiile de stare ale unui sistem cu timp mort conþin pe längá valorileactuale ale acestor márimi ßi componentele ínärziate ca ßi noi variabile.

De exemplu, dacá starea este íntärziatá, ecuaþile de stare au forma(1.5.23)x

.(t) = f(x(t), x(t − τ), u(t), t) , t ≥ t0

. (1.5.24)y(t) = g(x(t), x(t − τ), u(t), t)Dacá numai intrarea aplicatá este íntärziatá atunci ín ecuaþiile de stareu(t)

(5.1.10), (5.1.11), ín loc de apare o nouá variabilá . u(t) w(t) = u(t − τ)Ín particular sistemul liniar monovariabil (1.5.19) cu intrarea íntärziatá este

, (1.5.25)

x. (t) = A ⋅ x(t) + b ⋅ u(t − τ)y(t) = cT ⋅ x(t) + d ⋅ u(t − τ)

Dacá sistemul (1.5.19) are funcþia de transfer (1.5.26)H(s) = Y(s)

U(s) c.i.n. = cT ⋅ (sI − A)−1 ⋅ b + datunci sistemul cu intrare íntärziatá (1.5.25) are funcþia de transfer

. (1.5.27)Hτ(s) = H(s) ⋅ e−τs

Dacá ießirea sistemului (1.5.19) este íntärziatá, sistemul cu timp mort arefuncþia de transfer

, (1.5.28)Hτ(s) = e−τs ⋅ H(s)Ordinul sistemelor cu íntärziere este infinit ßi nu are nici o legáturá cu

numárul elementelor vectorului x.


43

1.5.3. Sisteme discrete ín timpSisteme discrete ín timp, ín particular sistemele numerice, sunt sisteme ín

care toate variabilele: de intrare, ießire ßi stare sunt ßiruri de numere, ale cárorvalori sunt operate ín algebra definitá pe , unde q este p, r, respectiv n.Rq

Ecuaþiile de stare care descriu aceste sisteme sunt exprimate prin ecuaþii cudiferenþe, intrarea , ießirea ßi starea fiind ßiruri de numere.uk yk xk

Forma generalá a ecuaþiilor de stare este: (1.5.29)xk+1 = f(xk , uk, k )

(1.5.30)yk = g(xk, uk, k)

unde reprezintá pasul curent, iar - pasul urmátor.k k + 1

Dacá funcþiile f ßi g sunt liniare ín raport cu x ßi u, ecuaþiile de starecorespunzátoare sunt:

(1.5.31)xk+1 = Ak ⋅ xk + Bk ⋅ uk

(1.5.32)yk = Ck ⋅ xk + Dk ⋅ uk

ßi reprezintá un sistem liniar discret variant ín timp. Matricele A, B, C, D au aceleaßi denumiri ca ín cazul sistemelor

diferenþiale.Dacá matricele A, B, C, D au toate elementele constante ín raport cu

variabila k, atunci sistemul se numeßte sistem liniar discret invariant ín timp.Ecuaþiile de stare ale unui sistem liniar discret monovariabil variant ín timp

sau sistem cu o singurá intrare ßi o singurá ießire sunt, (1.5.33)xk+1 = Ak ⋅ xk + bk ⋅ uk

(1.5.34)yk = ckT ⋅ xk + dk ⋅ uk

Ín acest caz ßi sunt scalari, matricea degenerezá íntr-un vectoruk yk Bk

coloaná notat , matricea degenerezá íntr-un vector linie notat , iarbk Ck ckT

matricea degenerezá íntr-un scalar notat .Dk dk


44

1.5.4. Alte tipuri de sisteme

Sisteme cu parametri distribuiþi Sunt descrise prin ecuaþii diferenþiale cu derivate parþiale, ín care pe längá

variabila timp t, apare ßi o variabilá spaþialá z: (1.5.35)F

∂x∂t , ∂x

∂z, x, u(t, z), t, z = 0

Traiectoria de stare este o funcþie dependentá de intrarea ßi dex(t, z) u(t, z)condiþiile iniþiale ßi pe frontierá.

Acestea sunt sisteme infinit-dimensionale.

Sisteme cu numár finit de stáriSistemele cu numár finit de stári, denumite ßi sisteme logice sau automate

finite, sunt sisteme la care márimile caracteristice (intrári, ießiri, variabile destare, parametri) pot lua numai un numár finit de valori.

Ín general, se descriu prin ecuaþii discrete ín timp, iar funcþiile f ßi g suntexprimate prin operaþii specifice.

Ín cazul bivalent u, y ßi x sunt variabile logice bivalente, iar f ßi g suntfuncþii logice definite íntr-o algebrá bivalentá.

Dacá variabilele logice pot lua o infinitate de valori de exemplu ínintervalul sistemele se numesc sisteme ín logicá fuzzy.[0, 1]

Sisteme stochasticeToate sistemele de mai sus se numesc sisteme deterministe (ín orice

moment de timp, orice variabilá este bine definitá). Sistemele stochastice sunt sisteme ín care márimile de intrare, ießire, stare

ßi parametri sunt exprimate printr-o serie de caracteristici probabilistice ßistatistice, pentru care se construiesc o serie de operatori matematici specifici.

Studiul acestor sisteme se bazeazá pe teoria probabilitáþilor.


45

1.6. Proprietáþile generale ale sistemelor dinamiceSistemele dinamice sunt caracterizate printr-o serie de proprietáþi generale

din care se prezintá:

1.6.1. Proprietatea de echivalenþá

1.6.1.1. Stári echivalente ßi sisteme echivalente intrare-ießireSe considerá un sistem dinamic

(1.6.1)S = S(Ω, f, g) = S(Ω, f, g, x)

ín care s-a prezentat ßi vectorul de stare x.Douá stári ale acestui sistem sunt echivalente la momentulxa, xb ∈ S

dacá evoluþiile ießirii pornind din aceste stári iniþiale, pentru o aceeaßi intraret = t0

aplicatá, sunt identice,

, (1.6.2)xa(t0) = (xa, t0) ≈ (xb, t0) = xb(t0) ⇔

(1.6.3)ϕ(t, t0, xa , u[t 0 ,t]) ≡ ϕ(t, t0, xb, u [t o ,t])

(1.6.4)η(t, t0, xa , u[t 0 ,t]) ≡ η(t, t0, xb, u [t0 ,t])

Dacá douá stári sunt echivalente la un moment , ele rámän echivalentet0

:∀t ≥ t0

. (1.6.5)xa(t0) ≈ xb(t0) ⇒ xa(t) ≈ xb(t) ∀t ≥ t0

Dacá íntr-un sistem existá stári echivalente ínseamná cá sistemul, respectivvectorul de stare x, nu este ín formá redusá, adicá are o dimensiune mai maredecät este necesar pentru determinarea univocá a ießirii cänd se cunoaßte intrarea.

Douá sisteme ßi , unde S S ßi (1.6.6)S = S(Ω, f, g, x) S = S(Ω, f, g, x)

sunt echivalente intrare-ießire (i-e), , dacá pentru orice stare existá oS ≈ S x ∈ Sstare astfel íncät aplicänd celor douá sisteme aceeaßi intrare, iarx ∈ S (x = x(x))starea iniþialá este x pentru sistemul ßi pentru sistemul , ießirile celor douáS x Ssisteme sunt identice, adicá,

. (1.6.7)y(t)∆= η(t, t0 , x, u[t 0,t] ) ≡

∧η (t, t0,

∧x, u[t 0,t])

∆=

∧y (t), ∀u[t 0 ,t] ∈ Ω

Dacá pentru sistemele diferenþiale liniare invariante ín timp (SLIT) definiteprin:

(1.6.8)x. = Ax + Buy = Cx + Du

, S = S(A, B, C, D, x)

(1.6.9)

.∧x= Ax + Buy = Cx + Du

, S = S(A, B, C, D, x)

existá o matrice pátratá nesingulará T, , íncät det(T) ≠ 0

1. DESCRIEREA §I PROPRIETÁÞILE 1.6. Proprietáþile generale ale sistemelor GENERALE ALE SISTEMELOR

46

ßi , (1.6.10)x = Tx A = TAT−1 , B = TB , C = CT−1 , D = Datunci cele douá sisteme sunt echivalente i-e ( ).S ≈ S

Pentru sisteme cu o singurá intrare ßi o singurá ießire (SISO) avem,(1.6.11)A = TAT−1 , b = Tb , cT = c TT−1 , d = d

1.6.1.2. Exemplu de deducere a ecuaþiilor de stare echivalente pentru un

circuit RLC serieSe considerá un circuit RLC serie comandat prin tensiunea u cu schema de

principiu din Fig.1.6.1.

a

a '

i R L C

u uCuLuR

Figura nr.1.6.1.

Presupunem cá la acest circuit intereseazá , care vor fi alese,i, uR, uL, uC

desemnate, ca ßi márimi de ießire. Din structura fizicá a acestui circuit rezultá cá singura cauzá care afecteazá

variabilele alese ca márimi de ießire este tensiunea , íntre bornele ßi .u a aSe precizeazá astfel un sistem orientat cu o singurá intrare, , ßi patrup = 1

ießiri deci, , constituite ín vectorul coloaná unde,r = 4 y

(1.6.12)y = [i uR uL uC]T

Pentru determinarea modelului matematic sub forma ecuaþiilor de stare, seaplicá teoremele lui Kirchhoff, ßi legea lui Ohm astfel cá se obþin ecuaþiile,

(1.6.13)

uC = 1Cq

uR = Rq.

uL = LquR + uL + uC = u

ín care este sarcina electricá din condensatorul de capacitate , astfel cá, q C

(1.6.14)q. = i ; q = didt

Deducerea modelului matematic ínseamná de fapt exprimarea variabilelorde ießire ín funcþie de variabilele de intrare, ín cazul de faþá numai tensiunea ,ufolosind toate relaþiile care descriu comportarea sistemului orientat precizat.

Aceasta se face prin eliminarea variabilelor intermediare, ínsá nu pot fieliminate toate variabilele intermediare; se eliminá numai acele variabileintermediare care intrá ín ecuaþii numai prin relaþii algebrice.

Varibilele care apar ßi prin derivatele lor fie nu se eliminá fie sunt


47

exprimate prin derivatele márimilor de ießire astfel íncät sá apará maxim derivatade ordinul unu.

Dupá efectuarea tuturor eliminárilor posibile, variabilele care intervin prinderivatele lor, deci numai de ordinul unu, vor fi alese ca ßi variabile de starenumai dacá íntre ele nu existá o relaþie algebricá.

Variabilele de stare apar ca ßi variabile intermediare sau variabile interne,ín dependnþa intrare-ießire.

O posibilitate de a reprezenta sistemul (1.6.13) prin derivate maxim deordinul unu este sá se aleagá ßi sá se noteze,

, (1.6.15)x1 = q; x2 = q.

prin care se exprimá toate márimile ce apar derivate ín (1.6.13), deci,

. (1.6.16)q = x1 ; i = x.

1 ; q.

= x2 ; q = x.

2

Se exprimá (1.6.13) ín aceste variabile ßi se obþine

(1.6.17)

x. 1 = x2

x.

2 = − 1LC ⋅ x1 − R

L ⋅ x2 + 1L ⋅ u

y1 = x2

y2 = Rx2

y3 = −1C

⋅ x1 − R ⋅ x2 + u

y4 = 1C ⋅ x1

Acestea sunt ecuaþiile de stare corespunzátoare cazului ín carecomponentele de stare sunt sarcina electricá q ßi curentul i.

Ele pot fi scrise íntr-o formá condensatá matriceal-vectorialá, astfel:

, (1.6.18)x =

x1

x2

x. = A ⋅ x + b ⋅ uy = C ⋅ x + d ⋅ u

(1.6.19)A =

0 1− 1

LC −RL

, b =

01L

, C =

0 10 R

−1C

−R1C 0

, d =

0010

Observaþie Nu se pot alege ca ßi variabile de stare (componente ale vectorului de stare)

variabilele deoarece , adicá íntre ele existá o relaþiex1 = i ; x2 = uR uR = R ⋅ ialgebricá.

Se pot alege ínsá, de exemplu, ca variabile de stare,

(1.6.20)

x1 = uC

x2 = uR

Ecuaþiile de stare corespunzátoare acestui caz sunt,


48

(1.6.21)

ddt

x1 = 1RC ⋅ x2

ddt

x2 = −RL ⋅ x1 − R

L ⋅ x2 + RL ⋅ u

y1 = 1R ⋅ x2

y2 = x2

y3 = −x1 − x2 + uy4 = x1

Aceasta constituie o altá reprezentare prin ecuaþii de stare a sistemului orientatanalizat

(1.6.22)x =

x1

x2

⇒ S =

.∧x= A ⋅ x + b ⋅ uy = C ⋅ x + d ⋅ u

unde

(1.6.23)A =

0 1RC

−RL −R

L

, b =

0RL

, C =

0 1R

0 1−1 −11 0

, d =

0010

S-au obþinut astfel, douá reprezentári de stare, relaþiile dintre acestea fiind,

, (1.6.24)S = S(A, b, C, d, x)S = S(A, b, C, d, x)

. (1.6.25)

x1 = 1C ⋅ x1

x2 = R ⋅ x2⇔ x = Tx , T =

1C 00 R

, det(T) = R

C≠ 0

Aceasta ínseamná cá cele douá sisteme abstracte sunt echivalente deoarecepentru oricare douá stári iniþiale echivalente se obþine o aceeaßi ießire.

Trecerea de la sistemul la sistemul se face prin intermediulS Surmátoarelor relatii:

; ; ; . (1.6.26)A = T ⋅ A ⋅ T−1 b = T ⋅ b C = C ⋅ T−1 d = dConsideränd pentru sistemul o stare iniþialá S

(1.6.27)(x0, t0) =

qi

=

510

CA

ßi o intrare se obþine ießirea .u[t 0 ,t] y[t 0 ,t]

Dacá , se considerá acum pentru sistemul o stareC = 5F ; R = 100Ω Siniþialá

, (1.6.28)(x0, t0) =

1C ⋅ 5

R ⋅ 10

=

11000

(V)(V)

Ießirea sistemului evoluänd din starea pentru o aceeaßi intrareS (x0, t0) este . u[t 0 ,t] y[t 0 ,t]

Pentru acest exemplu se poate aráta ußor prin calcul direct cá dacá are loc(1.6.25), atunci se verificá toate egalitáþile din (1.6.26) ßi cá este identicá cuy[t 0,t]

y[t 0 ,t]


49

1.6.2. Proprietatea de decompoziþieEvoluþia ießirii ßi a stárii oricárui sistem dinamic, datá de ráspunsul general

prin ießire , respectiv stare , este caracterizatá prin douá componente:y(t) x(t)

1. Componenta liberá (ráspunsul liber), notatá pentru ießire,yl(t)respectiv pentru stare, denumitá ßi ráspuns la intrare nulá, este determinatáxl(t)numai de starea iniþialá a sistemului.

Prin intrare nulá pe intervalul se ínþelege segmentul de intrare[t0, t]

. (1.6.29)u[t 0 ,t] = 0[t 0 ,t] = (τ, u(τ) = 0), τ ∈ [t0, t] ⊂ Ω

2. Componenta forþatá (ráspunsul forþat), notatá pentru ießire,yf(t)respectiv pentru stare, denumitá ßi ráspuns la stare nulá, este determinatáxf(t)numai de intrare, consideränd starea iniþialá nulá.

Prin stare nulá, notatá , se ínþelege starea de echilibru, deci starea carexnula

se automenþine, cänd intrarea este nulá, adicá,

. (1.6.30)xnula = ϕ(t, t0, xnula, 0[t0 ,t]) = 0, t ≥ t0

Un sistem S are proprietatea de decompoziþie ín raport cu ießirea sau ínraport cu starea, dacá ráspunsul sáu general prin ießire respectiv stare este sumadintre componenta liberá ßi cea forþatá, deci, au loc relaþiile,

, (1.6.31)y(t) = yl(t) + yf(t)

. (1.6.32)x(t) = xl(t) + xf(t)

1.6.3. Proprietatea de liniaritateUn sistem dinamic are proprietatea de liniaritate, (este liniar) dacá suntS

índeplinite douá condiþii (CL1) ßi (CL2):

(CL1): Mulþimile sunt organizate ca spaþii liniare pe o aceeaßiU, Y, X, Ωmulþime a scalarilor . G

(CL2): Ecuaþiile de stare au proprietatea de aditivitate ßi omogenitate ín raport cuperechea pentru forma explicitá, sau cu perechea .(x0, u[t 0,t]) (x(t) , u(t) )

Considerám cá pentru un sistem dinamic se realizeazá douá evoluþiiSexprimate simbolic prin implicaþiile,

. (1.6.33)(xa, t0), u[t 0,t]

a ⇒ x a(t), ya(t)(xb, t0 ), u[t 0 ,t]

b ⇒ xb(t), yb(t)

Sistemul índeplineßte (CL2) dacá este adeváratá implicaþia,S ∀α, β ∈ G


50

(1.6.34)(x, t0) = (α ⋅ xa + β ⋅ xb, t0)u[t0 ,t] = α ⋅ ua + β ⋅ ub ⇒

x(t) = α ⋅ xa(t) + β ⋅ xb(t)y(t) = α ⋅ ya(t) + β ⋅ yb(t)

Dacá sistemul este exprimat íntr-o formá implicitá, prin ecuaþii de stare, elíndeplineßte (CL2) dacá cele douá funcþii implicate ín aceste ecuaþii sunt liniare ínraport cu cele douá variabile x ßi u.

Sistemele (1.5.16), (1.5.17), (1.5.18), (1.5.19) índeplinesc (CL2) ßi suntliniare dacá se asigurá ßi (CL1).

Ráspunsul unui sistem liniar din stare iniþialá nulá ßi la intrare nulá esteráspunsul nul (zero). Aceasta este o condiþie necesará de liniaritate.

Orice sistem liniar are proprietatea de decompoziþie.

Exemplu de sistem care nu índeplineßte condiþia de liniaritate (CL2).

Sistemul,

(1.6.35)y(t) = 2 ⋅ u(t) + 4

cu intrarea si ießirea nu índeplineßte condiþia de liniaritate (CL2) deci nu esteu yliniar deßi dependenþa dintre ßi , este o dreaptá (o "linie"), .u y y = 2 ⋅ u + 4

Pentru a demonstra aceasta, considerám douá intrári , care determináua, ub

ießirile , conform ya, yb

; . ya = 2 ⋅ ua + 4 yb = 2 ⋅ ub + 4Pentru o intrare, , ießirea este, u = α ⋅ ua + β ⋅ ub

y = 2 ⋅ (α ⋅ ua + β ⋅ ub) + 4 ≠ α ⋅ ya + β ⋅ yb

deci nu satisface (CL2).Relaþia (1.6.35) se numeßte relaþie afiná.

Se observá ca pentru intrare nulá ießirea este nenulá deci nu este índeplinitácondiþia necesará de liniaritate.

1.6.5. Proprietatea de invarianþá ín timpUn sistem este invariant ín timp dacá ráspunsurile sale prin stare ßi ießire

nu depind de momentul iniþial de la care sunt determinate aceste ráspunsuri.Consideränd aceeaßi stare iniþialá, ráspunsurile unui sistem invariant sunt

aceleaßi, indiferent de momentul iniþial, dacá intrarea aplicatá sistemului esteaceeaßi, dar translatatá conform momentului iniþial corespunzátor.

Un sistem este invariant ín timp dacá ín ecuaþiile de stare, variabila timp tnu apare explicit. Dacá un sistem este invariant ín timp, íntotdeauna momentuliniþial apare prin binomul . t − t0


51

1.6.6. Proprietatea de controlabilitateFie S un sistem dinamic. O stare la momentul , estex0 t0 (x0, t0)

controlabilá ín starea dacá existá o intrare admisibilá care(x1, t1) u[t 0,t 1 ] ⊂ Ωtransferá starea ín starea . (x0, t0) (x1, t1)

Dacá aceastá proprietate are loc pentru orice , sistemul se numeßtex0 ∈ Xcomplet controlabil.

Dacá, ín plus, aceastá proprietate are loc pentru orice interval [t0, t1]márginit, sistemul se numeßte total controlabil.

Ín funcþie de tipul sistemului se definesc aßa numitele criterii decontrolabilitate, care conþin condiþiile necesare ßi suficiente pentru aceastáproprietate.

Pentru un sistem liniar invariant ín timp de forma (1.5.18), criteriulfundamental de controlabilitate se prezintá astfel:

Sistemul , sau perechea este complet controlabil dacá ßi numaiS (A, B)dacá matricea de controlabilitate ,(n × n ⋅ p) P

(1.6.36)P = [B AB ⋅ ⋅⋅ An−1B] are rang maxim deci

(1.6.37)rang(P) = n ⇔ det(P ⋅ PT) ≠ 0

1.6.6. Proprietatea de observabilitateFie S un sistem dinamic. Se spune cá starea la momentul estex0 t0

observabilá la un moment dacá aceastá stare poate fi unic determinatát1 ≥ t0

cunoscänd intrarea ßi ießirea , determinate de aceastá stare iniþialá. u[t 0 ,t1 ] y[t 0 ,t1 ]

Dacá aceastá proprietate are loc pentru orice , sistemul se numeßtex0 ∈ Xcomplet observabil.

Dacá, ín plus, aceastá proprietate are loc pentru orice interval [t0, t1]márginit, sistemul se numeßte total observabil. Existá o mulþime de criteriipentru exprimarea ßi testarea acestei proprietáþi.

Pentru un sistem liniar invariant ín timp de forma (1.5.18), criteriulfundamental de observabilitate se prezintá astfel:

Sistemul , sau perechea este complet observabilá dacá ßi numaiS (A, C)dacá matricea de observabilitate , (n × n ⋅ r) Q

(1.6.38)Q = [CT (AT)CT ⋅ ⋅⋅ (AT)n−1CT]

are rang maxim deci

(1.6.39)rang(Q) = n ⇔ det(Q ⋅ QT) ≠ 0

1.6.7. Proprietatea de stabilitateEste una dintre cele mai importante proprietáþi generale ale unui sistem

dinamic ßi care va fi studiatá ín detaliu íntr-un capitol ulterior.


52

2. SISTEME DIFERENÞIALE LINIARE INVARIANTE ÍN TIMP(SLIT)

¡Sistemele diferenþiale liniare invariante ín timp, pe scurt SLIT, sunt cele

mai amánunþit studiate sisteme ín teoria sistemelor, ín primul ränd, datoritáfacilitáþilor de dezvoltare ßi aplicare a aparatului matematic.

Deßi ín naturá majoritatea sistemelor sunt neliniare, comportarea acestora,ín anumite condiþii (de exemplu, ín jurul unui punct de funcþionare, sau pentruperturbaþii mici), poate fi descrisá suficient de bine prin sisteme liniare. Ín plussistemele LIT beneficiazá pentru studiu de transformarea Laplace care transformáoperaþiile complicate de analizá ßi sintezá, descrise prin ecuaþii diferenþiale ínoperaþii algebrice simple efectuate ín domeniul complex. Totußi, o serie deproprietáþi (controlabilitate, observabilitate, optimalitate), chiar pentru sistemeLIT, sunt mai bine interpretate ín domeniul timp, prin ecuaþii de stare ßi mai ußorde exploatat ín practicá prin metode ßi tehnici implementate pe calculatoarelenumerice.

Ín principiu, Sistemele diferenþiale Liniare Invariante ín Timp (SLIT) suntsisteme descrise prin ecuaþii diferenþiale liniare ordinare cu coeficienþi constanþi.Uneori, acestea sunt denumite ßi sisteme continue ín timp. Vom distinge douácategorii de sisteme liniare invariante ín timp:

Sisteme LIT cu o Singurá Intrare ßi o Singurá Ießire - SISO;Sisteme LIT cu mai Multe Intrári ßi mai Multe Ießiri - MIMO.

2.1. Descrierea intrare-ießire a SLIT-SISO

2.1.1. Noþiunea de funcþie de transferConsiderám un sistem invariant ín timp cu o singurá intrare ßi o singurá

ießire (sistem monovariabil). Sistemul abstract corespunzátor se poate exprima fie printr-o relaþie

intrare-ießire, fie sub forma unei ecuaþii diferenþiale, sau prin ecuaþii de stare. Cele douá forme depind de aspectul fizic, de cunoßtinþele noastre despre

sistemul fizic, de gradul de calificare ßi de abilitatea noastrá de a-i deducemodelul matematic corespunzátor.

Schema bloc a unui astfel de sistem este prezentatá ín Fig.2.1.1.

u(t) y(t)H(s)

U(s) Y(s)Figura nr.2.1.1.

Se considerá intrarea unde este mulþimea tuturor funcþiiloru ∈ Ω Ωscalare care admit transformatá Laplace.

2. SISTEME DIFERENÞIALE LINIARE 2.1. Descrierea intrare-ießire a unui SLIT-SISO INVARIANTE ÍN TIMP (SLIT)

53

Ießirea este o funcþie scalará , unde , pentru aceste sisteme, va fi oy ∈ Γ Γmulþime de funcþii care, de asemenea, admit transformatá Laplace.

Relaþia intrare-ießire (i-e) este exprimatá prin ecuaþia diferenþialá liniará cucoeficienþi constanþi de ordinul n:

(2.1.1)Σk=0

n

aky(k)(t) = Σk=0

m

bku(k)(t) , an ≠ 0

unde s-a notat,

.y(k)(t) =dky(t)

dtk; u (k)(t) =

dku(t)dtk

Ordinul maxim al derivatei ießirii va determina ordinul sistemului.Ín funcþie de raportul dintre m ßi n se deosebesc urmátoarele tipuri de

sisteme:1. Dacá m < n : sistemul se numeßte strict propriu (cauzal).2. Dacá m = n : sistemul se numeßte propriu.3. Dacá m > n : sistemul se numeßte impropriu.

Sistemele impropri sunt fizic nerealizabile; ele pot reprezenta o comportarematematicá idealá, doritá, a unor obiecte fizice, ínsá fárá a putea fi obþinutá ínmod real. De exemplu, sistemul descris prin relaþia i-e,

, y(t) =du(t)

dtceea ce ínseamná:

,n = 0, m = 1, a0 = 1, b0 = 0, b1 = 1

reprezintá un element derivator. El nu poate prelucra orice intrare din care poate conþine ßi funcþiiΩ

discontinue ín timp sau nederivabile. O tratare matematicá mai riguroasá a acestor sisteme se efectueazá

utilizänd teoria distribuþiilor, ínsá acele rezultate nu sunt esenþiale pentru scopulprezentului curs.

Din aceastá cauzá, atenþia va fi concentratá asupra sistemelor proprii ßistrict proprii.

Relaþia i-e (2.1.1) se va scrie sub forma:

(2.1.2)Σk=0

n

aky(k)(t) = Σk=0

n

bku(k)(t) , an ≠ 0

Dacá se menþioneazá bn = 0, ínseamná cá sistemul este strict propriu. Deasemenea, dacá m < n, se va considera cá bn = 0,..., bm+1= 0.


54

Relaþia intrare-ießire (2.1.2) poate fi ußor exprimatá ín domeniul complexs, aplicänd acesteia transformarea Laplace.

Reamintim cá

(2.1.3)Ly(k)(t) = sk Y(s) − Σi=0

k−1

y(k−i−1)(0+)s i , k ≥ 1

(2.1.4)Lu(k)(t) = sk U(s) − Σi=0

k−1

u(k−i−1)(0+)s i , k ≥ 1

unde s-au notat cu

(2.1.5)Y(s) = L y(t) , U(s) = L u(t)

transformatele Laplace ale ießirii ßi ale intrárii. Pentru moment, abscisele deconvergenþá nu sunt precizate.

Menþionám cá ín (2.1.3), (2.1.4) condiþiile iniþiale sunt definite ca limite ladreapta: . y(k−i−1)(0+) , u(k−i−1)(0+)

Pentru simplitate acestea vor fi notate cu . y(k−i−1)(0) , u(k−i−1)(0)Se obþine Σ

k=0

naksk

⋅ Y(s) − Σk=1

n Σ

i=0

k−1y(k−i−1)(0)s i

=

Σk=0

nb ksk

⋅ U(s) − Σk=1

n Σ

i=0

k−1u(k−i−1)(0)s i

de unde Y(s) se deduce sub forma:

Σk=0

naksk

⋅ Y(s) =

Σ

k=0

nbksk

⋅ U(s) + I(s)

(2.1.6)Y(s) =M(s)L(s)

U(s) +I(s)L(s)

Yf(s) Yl(s)unde s-a notat:

(2.1.7)M(s) = Σk=0

nbksk = bnsn + bn−1sn−1 + ... + b1s + b0

(2.1.8) L(s) = Σk=0

naksk = ansn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0

(2.1.9)I(s) = Σk=1

nak

Σi=0

k−1y(k−i−1)(0)s i

− Σ

k=1

nbk

Σi=0

k−1u(k−i−1)(0)s i

Din relaþia (2.1.6) se observá cá ießirea apare descompusá ca suma a douácomponente numite componenta forþatá a ráspunsului , determinatá numaiyf(t)de intrare ßi componenta liberá a ráspunsului , determinatá numai deyl(t)condiþiile iniþiale.


55

Ín domeniul complex s, aceasta ínseamná:

(2.1.10)Y(s) = Yf(s) + Yl(s)

unde

(2.1.11)Yf(s) =M(s)L(s)

⋅ U(s) = H(s) ⋅ U(s)

este transformata Laplace a ráspunsului forþat care depinde numai de intrare, ßi

(2.1.12)Yl(s) =I(s)L(s)

este transformata Laplace a ráspunsului liber care depinde numai de condiþiileiniþiale.

Dacá condiþiile iniþiale sunt nule atunci ßi . I(s) = 0 Y(s) = Yf(s)

Dacá intrarea , atunci ßi . u(t) ≡ 0, ∀t ≥ 0 U(s) = 0 Y(s) = Yl(s)

Acestea exprimá proprietatea de decompoziþie. Orice sistem liniar areproprietatea de decompoziþie.

Ráspunsul forþat exprimá comportarea intrare-ießire a sistemuluiYf(s)(ráspunsul i-e) care nu depinde de starea sistemului (deoarece se presupune cáaceasta este zero) sau de modul cum este organizatá descrierea interná asistemului (cum este definitá starea sistemului).

Ráspunsul liber exprimá comportarea stare iniþialá-ießire a sistemuluiYl(s)(ráspunsul si-e) care nu depinde de intrare (deoarece se presupune cá aceasta estezero), dar depinde de modul cum este organizatá descrierea interná a sistemului(cum este definitá starea sistemului).

Putem acum defini o noþiune foarte importantá ßi anume, noþiunea defuncþie de transfer (FT).

Funcþia de transfer (FT) a unui sistem, notatá cu H(s), este raportul dintretransformata Laplace a ießirii ßi transformata Laplace a intrárii care a determinatacea ießire, ín condiþii iniþiale nule (c.i.n.), dacá acest raport se pástreazá pentruorice variaþie a intrárii:

, acelaßi pentru (2.1.13)H(s) =Y(s)U(s) c.i.n.

∀U(s)

Din (2.1.6) - (2.1.11), se observá cá ín cazul SLIT-SISO, funcþia detransfer este íntotdeauna o funcþie raþionalá (raportul a douá polinoame):

. (2.1.14)H(s) = M(s)L(s)

= bnsn + bn−1sn−1 + ... + b1s + b 0

ansn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0

Uneori un SLIT-SISO se noteazá sub forma

(2.1.15)S = FTM, N ⇔ FT


56

Existá ßi sisteme pentru care se poate defini o funcþie de transfer, daraceasta nu este o funcþie raþionalá (este cazul sistemelor cu íntärziere sausistemelor descrise prin ecuaþii cu derivate parþiale).

Dacá polinoamele L(s) ßi M(s) nu au factori comuni (sunt polinoamecoprime) raportul acestora exprimá o aßa-numitá funcþie de transfer ireductibilá(FTI).

Funcþia de transfer exprimá numai comportarea intrare-ießire (i-e) asistemului sau ráspunsul forþat, adicá ráspunsul sistemului ín condiþii iniþiale nule.

Dacá numárátorul M(s) ßi numitorul L(s) au un factor comun, adicá

, (2.1.16)M(s) = M (s) ⋅ P(s) ; L(s) = L (s) ⋅ P(s)

atunci,

. (2.1.17)H(s) = M (s) ⋅ P(s)L (s) ⋅ P(s)

⇒ H(s) = M (s)L (s)

Aceasta ínseamná cá o aceeaßi comportare intrare-ießire poate fi asiguratáde o íntreagá familie de funcþii de transfer.

Dacá cele douá polinoame ßi (s) sunt coprime, adicá M (s) L (s)

, cmmdcM (s), L (s) = 1

atunci ultima expresie a lui H(s) reprezintá funcþia de transfer ín forma redusá(FTR).

Ín cazul ín care M(s) ßi L(s) au factori comuni, anumite proprietáþi ca, deexemplu, controlabilitatea sau/ßi observabilitatea nu mai sunt satisfácute.

Ordinul unui sistem se exprimá prin gradul polinomului de la numitorulfuncþiei de transfer, adicá n = gradL(s).

Rezultá cá

, (2.1.18)gradL (s) = n < n = gradL(s)

íncät sistemele pot avea ordine diferite pentru descrierea lor interná, dar toate voravea acelaßi ráspuns forþat.

Dacá íntr-o funcþie de transfer apar simplificári de factori, comportareaintrare-ießire (componenta forþatá), poate fi descrisá printr-un sistem abstract deordin mai mic, ordinul minim fiind gradul de la numitorul funcþiei de transfer(dupá simplificare), (funcþie de transfer minimalá) ínsá comportarea stareiniþialá-ießire (componenta liberá) rámäne de un ordin egal cu cel avut de funcþiade transfer ínainte de simplificare.


57

2.1.2. Exemplu de descriere intrare-ießire a unui sistem de ordinul doiSe considerá un sistem propriu cu , descris prin ecuaþian = 2 m = 2

diferenþialá,

(2.1.19)y + 7y.

+ 12y = u + 4u.

+ 3u

a cárei transformatá Laplace ín c.i.n. este

,s2Y(s) + 7sY(s) + 12Y(s) = s2U(s) + 4sU(s) + 3U(s)

din care se obþine urmátoarea funcþie de transfer (FT),

.H(s) =Y(s)U(s) c.i.n.

= s2 + 4s + 3s2 + 7s + 12

=M(s)L(s)

⇒ n = 2

Putem deci considera sistemul

S = FTM, N = FTs2 + 4s + 3, s2 + 7s + 12 =

= FT(s + 1)(s + 3), (s + 4)(s + 3)

Se observá ínsá cá

(2.1.20)H(s) = (s + 1)(s + 3)(s + 4)(s + 3)

= s + 1s + 4

= M (s)L (s)

, n = 1(ordinul = 1)

FTNFuncþia de transfer corespunde ráspunsului forþat undeYf(s) = H(s) ⋅ U(s)

.Yf(s) =(s + 1)(s + 3)(s + 4)(s + 3)

U(s) ⇒ Yf(s) = s + 1s + 4

U(s)

Comportarea i-e este deci de ordinul unu, chiar dacá ecuaþia diferentialá(2.1.19) este de ordinul doi. Desigur, soluþia sistemului exprimatá prin ecuaþiadiferentialá (2.1.19) depinde de douá condiþii iniþiale. Din acest punct de vedere,sistemul este de ordinul doi.

Comportarea interná a sistemului este reprezentatá prin douá variabile destare. Dacá aceastá ecuaþie diferenþialá este reprezentatá prin ecuaþii de stare,aceasta va fi de ordinul doi.

Totußi, expresia echivalentá ín domeniul timp a FTN

H(s) = s + 1s + 4

=M (s)L (s)

=Y(s)U(s) c.i.n.

este o ecuaþie diferenþialá de ordinul unu,

y.(t) + 4y(t) = u

.(t) + u(t)

care descrie numai o parte a sistemului dat prin (2.1.19).


58

Sá considerám acum un alt sistem descris prin ecuaþie diferenþialá,

, (2.1.21)y.(t) + 4y(t) = u

.(t) + u(t)

a cárei transformatá Laplace ín c.i.n. este

.sY(s) + 4Y(s) = sU(s) + U(s)

din care se obþine urmátoarea funcþie de transfer (FT):

.H(s) = s + 1s + 4

=M (s)L (s)

, n = 1(ordinul = 1)

Acest sistem poate fi notat sub forma

,S = FTM , L = FT(s + 1), (s + 4)

care fiind de ordinul unu, soluþia sa generalá va depinde de o singurá condiþieiniþialá.

Ráspunsul forþat corespunzátor lui este,S

Yf(s) = s + 1s + 4

⋅ U(s)

identic cu ráspunsul forþat corespunzátor lui . SSe poate spune cá sistemul exprimá numai anumite aspecte aleS

comportárii interne a lui , aceasta ínsemnänd numai modurile (componentele)Scare sunt dependente de intrare ßi care afecteazá ießirea.

Aceasta reprezintá partea complet controlabilá ßi complet observabilá asistemulu S.

Dacá M(s) ßi L(s) sunt prime unul faþa de celálalt, atunci comportareainterná a sistemului este complet determinatá de comportarea intrare-ießire aacestuia, adicá de funcþia de transfer.


59

2.2. Descrierea SLIT-SISO ín spaþiul stárilor

Uneori, sistemul abstract asociat unui sistem orientat, ca cel din Fig.2.1.1,poate fi direct determinat, folosind diferite metode, sub forma ecuaþiilor de stare(ES), cu urmátoarea formá matriceal-vectorialá,

(2.2.1)x.

= A ⋅ x + b ⋅ u

(2.2.2)y = cT ⋅ x + d ⋅ u

unde dimensiunile ßi numele matricelor ßi vectorilor de descriere sunt:x , (nx1) : vectorul (coloaná) de stare, x = [x1, x2, .... , xn]T

A , (nxn), : matricea sistemuluib , (nx1), : vectorul (coloaná) de comandác , (nx1), : vectorul (coloaná) de ießired , (1x1) : coeficientul conexiunii directe intrare-ießire.

Relaþia (2.2.1) se numeßte ecuaþia de stare propriu-zisá, iar relaþia (2.2.2)se numeßte ecuaþia (relaþia) ießirii.

Pentru circuitul RLC analizat ín exemplul anterior, ecuaþiile de stare au fostdeduse direct prin exprimarea tuturor relaþiilor matematice dintre variabile íntr-oformá normalá Cauchy (un sistem de ecuaþii diferenþiale de ordinul unu).

O astfel de reprezentare a unui sistem poate fi notatá sub forma

(2.2.3)S = SA, b, c, d, x

prin care se ínþelege o reprezentare descrisá prin ecuaþiile (2.2.1) ßi (2.2.2). Deasemenea, variabilele trebuie interpretate ca funcþii de timp de formax, u, y

care admit transformatá Laplace. x(t), u(t), y(t)Ín (2.2.3) s-a menþionat ßi litera x, numai cu scopul de a vedea cum a fost

notat vectorul de stare. Deoarece un sistem de forma (2.2.1) ßi (2.2.2) este descriscomplet numai prin matricele A, b, c, d, sistemul S din (2.2.3), uneori, se noteazáßi sub forma:

. (2.2.4)S = ESA, b, c, d ⇔ ESS

Sistemul abstract (2.2.3) poate fi obþinut nu numai printr-o procedurá demodelare matematicá a unui sistem fizic orientat, ci, de asemenea, ca rezultat alunei proceduri de sintezá.

Aceste forme, descrise prin (2.2.1) ßi (2.2.2) sau (2.2.3), exprimá totuldespre comportarea sistemului: atät comportarea interná, cät ßi cea externá.

Unui sistem de ordin n dat, descris prin ecuaþii de stare (ES) (2.2.1),(2.2.2) sau (2.2.3), i se poate ataßa o singurá funcþie de transfer (FT) datá de:

, (2.2.5)H(s) = cT[sI − A]−1b + d =M(s)L(s)

2. SISTEME DIFERENÞIALE LINIARE 2.2. Descrierea SLIT-SISO ín spaþiul stárilor INVARIANTE ÍN TIMP (SLIT)

60

care se obþine prin aplicarea transformárii Laplace relaþiilor (2.2.1) ßi (2.2.2) ínc.i.n. Gradul polinomului L(s) este n.

Dacá , atunci , sistemul este propriu.d ≠ 0 gradM(s) = gradL(s) = n

Dacá , atunci , sistemul este strict propriu.d = 0 gradM(s) < gradL(s) = n

Unui sistem descris prin ecuaþia diferenþialá (2.1.2) sau funcþia de transfer(TF) (2.1.14), de ordin n, i se pot asocia o infinitate de descrieri prin ecuaþii destare (ES) de forma (2.2.1) ßi (2.2.2) sau (2.2.3).

Deßi, TF (2.1.14) depinde de maximum 2n+2 coeficienþi, dintre aceßtia,datoritá raportului, numai 2n+1 sunt semnificativi.

Ecuaþiile de stare (ES) de forma (2.2.1) ßi (2.2.2) sau (2.2.3) depind prinmatricele A,b,c,d, respectiv de coeficienþi.n ⋅ n + n + n + 1 = n2 + 2n + 1 > 2n + 2

Procedura de trecere de la ecuaþia diferenþialá sau funcþia de transfer laecuaþiile de stare (ES) se numeßte realizarea sistemului prin ecuaþii de stare ßiconstá ín determinarea a variabile necunoscute din n2 + 2n + 1 (n + 1) + (n + 1)ecuaþii obþinute prin intermediul a douá identitáþi ín s.

2. SISTEME DIFERENÞIALE LINIARE 2.2. Descrierea SLIT-SISO ín spaþiul stárilor INVARIANTE ÍN TIMP (SLIT)

61

2.3. Descrierea intrare-ießire a unui SLIT-MIMO 2.3.1. Noþiunea de matrice de transfer

Aßa cum s-a menþionat, SLIT-MIMO ínseamná Sisteme diferenþialeLiniare Invariante ín Timp cu mai Multe Intrári ßi mai Multe Ießiri (MultiInput-Multi Output), sau, mai scurt, "sisteme multivariabile". Acestea suntdescrise printr-un sistem de ecuaþii diferenþiale liniare ordinare cu coeficienþiconstanþi.

Íntr-o schemá bloc, un astfel de sistem, notat cu S, cu p-intrári ßiu1, ... , up

r-ießiri , se reprezintá fie cu precizarea tuturor componentelor márimilory1, ... , yr

de intrare ßi de ießire, fie consideränd o singurá intrare reprezentatá prinp-vectorul coloaná u ßi o singurá ießire reprezentatá prin r-vectorul coloaná y,unde

, , (2.3.1)u = [u1, ... , up ]T y = [y1, ... , yr]T

aßa cum se vede ín Fig.2.3.1.

uuu1

2

p yyy1

2

ru y

u y(r×1)vector(p×1)vector

S S

Figura nr. 2.3.1.De regulá, dacá nu se creazæ confuzii, vectorii u, y, x, sunt notaþi simplu cu

u, y, x, adicá fárá caractere íngroßate (bold-face fonts).Relaþia intrare-ießire (i-e) corespunzátoare se exprimá printr-un sistem de r

ecuaþii diferenþiale liniare ordinare cu coeficienþi constanþi, de forma:

(2.3.2)Σi=1

r Σk=0

n i,j

ak,ij ⋅ yi

(k)(t)

= Σi=1

p Σk=0

mi,j

bk,ij ⋅ ui

(k)(t)

, j = 1, ... , r

Acest sistem de ecuaþii diferenþiale poate fi exprimat ßi ín domeniul complex s,aplicänd relaþiei (2.3.2) transformarea Laplace. Pentru simplitate, ín acest caz,vom considera condiþii iniþiale nule (c.i.n.).

Σi=1

r Σk=0

n i,j

ak,ij s k

⋅ Yi(s) = Σ

i=1

p Σk=0

mi,j

bk,ij sk

⋅ Ui(s) ⇒

Lj,i(s) Mj,i(s)

(2.3.3)Σi=1

r

Lj,i(s)Yi(s) = Σi=1

p

Mj,i(s) ⋅ Ui(s) , j = 1, ... , r

Se pot defini vectorii: (2.3.4)Y(s) = [Y1(s), ..., Yr(s)]T

, (2.3.5)U(s) = [U1(s), ..., Up (s)]T

2. SISTEME DIFERENÞIALE LINIARE 2.3.Descrierea intrare-ießire a unuiSLIT-MIMO INVARIANTE ÍN TIMP (SLIT)

62

astfel cá relaþia (2.3.3) se poate scrie matricial sub forma,

(2.3.6)L(s) ⋅ Y(s) = M(s) ⋅ U(s)

unde, (2.3.7)

(r×r)L(s) = Lj,i(s) 1≤j≤r

1≤i≤r

, (2.3.8)(r×p)

M(s) = Mj,i(s) 1≤j≤r1≤i≤p

iar ßi se numesc matrice polinomiale. Oricare dintre elementeleL(s) M(s)acestor matrice este un polinom.

Comportarea intrare-ießire (i-e) a unui sistem multivariabil ín c.i.n. esteexprimatá prin

(2.3.9)Y(s) = H(s) ⋅ U(s)unde

, (2.3.10)H(s) = L−1(s) ⋅ M(s)

se numeßte matrice de transfer, (MT).

(2.3.11)H(s) =

H11(s)...H1i(s)...H1p (s)...............

Hj1(s)...Hji(s)...Hjp (s)...............

Hr1(s)...Hri(s)...Hrp (s)

Componenta cu indicele j a ießirii este datá de:

(2.3.12)Yj(s) = Σi=1

p

Hji(s) ⋅ Ui(s)

H(s) este o matrice raþionalá. Fiecare componentá a sa este o funcþie raþionalá.Oricare din componentele acestei matrice raþionale, de exemplu Hji, poate fiinterpretatá ca o funcþie de transfer íntre intarea Ui ßi ießirea Yj , definitá prin:

(2.3.13)Hji(s) =Yj(s)Ui(s) conditii initiale nule

U k (s)≡0 ∀s daca k≠i

Aceastá matrice raþionalá este un operator dacá rámäne aceeaßi pentru oriceexpresie a lui U(s). Matricea de transfer este o caracteristicá de sistem ßi nudepinde de intrarea aplicatá atäta timp cät este valabil modelul matematic liniar.


63

2.3.2. Exemplu de descriere intrare-ießire a unui sistem cu 2 intrári ßi2 ießiri

Se considerá sistemul dat prin douá ecuaþii diferenþiale, cu douá intrári, ßi douá ießiri , u1, u2 (p = 2) y1, y2 (r = 2)

2y1(4) + 3y1 + 6y2

(1) + 3y2 = 3u1(3) + u1

(1) + 5u2 (j = 1)3y1

(2) + 2y1(1) + 5y1 + 8y2 = 2u1

(1) + 5u1 + 3u2(2) + 4u2

(1) + 5u2 (j = 2)

a cáror transformatá Laplace ín c.i.n. este,

(2s4 + 3)Y1(s) + (6s + 3)Y2(s) = (3s3 + s)U1(s) + 5U2(s)(3s2 + 2s + 5)Y1(s) + 8Y2(s) = (2s + 5)U1(s) + (3s2 + 4s + 5)U2(s)

Se obþin,

,L(s) =

2s4 + 3 6s + 33s2 + 2s + 5 8

M(s) =

3s3 + s 52s + 5 3s2 + 4s + 5

din care rezultá urmátoarea matrice de transfer (MT)

H(s) = L−1(s) ⋅ M(s)

Pentru sistemul multivariabil descris prin relaþia intrare-ießire (2.3.2),prelucränd relaþiile matematice dintre variabilele sistemului, se pot obþine direct,ecuaþiile de stare (ES), sub forma:

(2.3.14)x.

= Ax + Bu

S: (2.3.15)y = Cx + Du

unde dimensiunile ßi numele matricelor ßi vectorilor de descriere sunt:x , (n 1) : vectorul (coloaná) de stare, × x = [x1, x2,..., xn]T

A , (n n), : matricea sistemului×B , (n p), : matricea de comandá×C , (r n), : matricea de ießire×D , (r p) : matricea conexiunii directe intrare-ießire.×

Ordinul sistemului este n, adicá tocmai numárul componentelor vectoruluide stare x.

Sistemul S se scrie sub forma:

. (2.3.16)S = ES(A, B, C, D)

Dacá se cunosc ecuaþiile de stare (ES), atunci matricea de transfer (MT),este unic determinatá utilizänd relaþia,

(2.3.17)H(s) = C ⋅ [sI − A]−1 ⋅ B + D

Aceastá relaþie exprimá transformarea . ES → MT


64

Transformarea inversá, , adicá realizarea de stare a matricei deMT → EStransfer, este posibilá, dar mult mai dificil.

Precizám cá ordinul n al sistemului nu are nici o legáturá cu numárul p alintrárilor ßi numárul r al ießirilor. El reprezintá numai structura interná asistemului.

Un sistem LIT-SISO este un caz particular al sistemelor SLIT-MIMO.Dacá un SLIT-MIMO are o singurá intrare (p = 1) ßi o singurá ießire (r = 1),atunci matricile din (2.3.14), (2.3.15) se noteazá cu:

A → AB → b

(2.3.18)C → cT

D → dde unde rezultá cá un SLIT-SISO este un caz particular al lui (2.3.16):

. (2.3.19)S = ES(A, B, C, D) = ES(A, b, cT , d)


65

2.4. Ráspunsul sistemelor liniare invariante ín timp

2.4.1. Expresia vectorului de stare ßi a vectorului de ießire índomeniul complex s

Se considerá un sistem LIT

(2.4.1)S = ES(A, B, C, D, x) , u ∈ Ω

pentru care este precizat, iar starea este vectorul coloaná . Ω x = [x1, ... , xn]T

Ecuaþiile de stare corespunzátoare sunt:

(2.4.2)x.

= A ⋅ x + B ⋅ u

(2.4.3)y = C ⋅ x + D ⋅ u

Ordinul n al sistemului nu depinde de numárul p al intrárilor ßi nici denumárul r al ießirilor.

Comportarea sistemului poate fi exprimatá ín domeniul complex s aplicändstárii transformarea Laplace. x(t)

Se ßtie cá transformata Laplace a unui vector (matrice) este vectorul(matricea) transformatelor Laplace ale componentelor acestora,

(2.4.4)Lx(t) = X(s) = [X1(s), ... , Xn(s)]T , Lxi(t) = Xi(s)

ßi

, unde . (2.4.5)Lx.(t) = sX(s) − x(0) x(0) =

t→ 0, t > 0lim x(t)

Utilizänd (2.4.5) ßi (2.4.4) ín (2.4.2) ßi notänd

,Lu(t) = U(s) = [U1(s), ... , Uj(s)... , Up (s)]T

transformata Laplace a vectorului de intrare, se obþine:

s ⋅ X(s) − x(0) = AX(s) + B ⋅ U(s)

(sI − A) ⋅ X(s) = x(0) + B ⋅ U(s)

(2.4.6)X(s) = (sI − A)−1 ⋅ x(0) + (sI − A)−1B ⋅ U(s)

Dacá se noteazá

, (2.4.7)Φ (s) = (sI − A)−1

atunci expresia vectorului de stare ín domeniul complex s este:

. (2.4.8)X(s) = Φ (s) ⋅ x(0) + Φ (s) ⋅ B ⋅ U(s)

este transformata Laplace a aßa numitei matricea de tranziþie Φ (s) Φ(t)sau matricea de tranziþie a stárilor, unde

; . (2.4.9)Φ (s) = (sI − A)−1 = LΦ(t) Φ(t) = eAt

2. SISTEME DIFERENÞIALE LINIARE 2.4.RáspunsulSLIT ín domeniul timp INVARIANTE ÍN TIMP (SLIT)

66

Din (2.4.8) se observá cá ráspunsul prin stare are douá componente: Ráspunsul liber al stárii , unde• Xl(s)

(2.4.10)Xl(s) = Φ (s) ⋅ x(0)

Ráspunsul forþat al stárii , unde• Xf(s)

, (2.4.11)Xf(s) = Φ (s) ⋅ B ⋅ U(s)

care satisface proprietatea de decompoziþie,

. (2.4.12)X(s) = Xl(s) + Xf(s)

Expresia ießirii, ín domeniul complex s, se obþine ínlocuind (2.4.8) íntransformata Laplace a relaþiei (2.4.3),

(2.4.13)Y(s) = C ⋅ X(s) + D ⋅ U(s)

adicá (2.4.14)Y(s) = C ⋅ Φ (s) ⋅ x(0) + [C ⋅ Φ (s) ⋅ B + D] ⋅ U(s)

Se vede cá ßi ießirea este suma a douá componente,

(2.4.15)Y(s) = Yl(s) + Yf(s)

Ráspunsul liber al ießirii•

(2.4.16)Yl(s) = C ⋅ Φ (s) ⋅ x(0) = Ψ(s) ⋅ x(0)

Ráspunsul forþat al ießirii•

(2.4.17)Yf(s) = [C ⋅ Φ (s) ⋅ B + D] ⋅ U(s) = H(s) ⋅ Us)

care relevá proprietatea de decompoziþie.Se noteazá cu , undeΨ(s)

(2.4.18)Ψ(s) = C ⋅ Φ (s)

este matricea funcþiilor de bazá ín domeniul complex s, iar , unde H(s)

(2.4.19)H(s) = [C ⋅ Φ (s) ⋅ B + D] = [C ⋅ (sI − A)−1 ⋅ B + D]

este matricea de transfer a sistemului. Matricea de transfer este univoc determinatá din ecuaþiile de stare.

Pentru sistemele LIT-SISO, matricea de transfer devine funcþia detransfer

(2.4.20H(s) = [cT ⋅ Φ (s) ⋅ b + d] = [cT ⋅ (sI − A)−1 ⋅ b + d]


67

2.4.2. Ráspunsul ín timp al sistemelor LIT consideränd momentuliniþial zero

Ráspunsul ín timp al unui sistem LIT consideränd momentul iniþial zero,, poate fi ußor determinat utilizänd teorema de convoluþie ín real at0 = 0

transformárii Laplace,

(2.4.21)L−1F1(s) ⋅ F2(s) = ∫0

t

f1(t − τ)f2(τ)dτ

unde

.F1(s) = Lf1 (t), F 2(s) = Lf2(t)

Relaþia (2.4.8) poate fi interpretatá ca

X(s) = Φ (s) ⋅ x(0) + Φ (s) ⋅ B ⋅ U(s) = Φ (s) ⋅ x(0) + F1(s) ⋅ F2(s)

cu

Φ(t) = L−1Φ (s) = L−1(sI − A)−1

astfel íncät, prin aplicarea teoremei de convoluþie ín real, se obþine,

, (2.4.22)x(t) = Φ(t) ⋅ x(0) + ∫0

t

Φ(t − τ) ⋅ B ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Acesta este ráspunsul prin stare al sistemului. Ínlocuind (2.4.22) ín (2.4.3)rezultá

, (2.4.23)y(t) = C ⋅ Φ(t) ⋅ x(0) + ∫0

t

C ⋅ Φ(t − τ) ⋅ B ⋅ u(τ) ⋅ dτ + D ⋅ u(t)

adicá ráspunsul prin ießire, ambele evoluänd din momentul iniþial . t0 = 0

2.4.3. Proprietáþi ale matricei de tranziþieFie o matrice patratá . Matricea de tranziþie ataßatá matricei A areA (n × n)

urmátoarele proprietáþi,1. Transformata Laplace a matricei de tranziþie.

Matricea de tranziþie definitá prin (2.4.24)Φ(t) = eAt , ∀t

are transformata Laplace . (2.4.25)LΦ(t) = LeAt = Φ (s) = (sI − A)−1

2. Proprietatea de identitate., unde, (2.4.26)Φ(0) = I Φ(0) = Φ(t) t=0

3. Proprietatea de tranziþie. (2.4.27)Φ(t1 + t2) = Φ(t1) ⋅ Φ(t2) = Φ(t2) ⋅ Φ(t1) , ∀t 1, t2


68

4. Proprietatea determinantului.Matricea de tranziþie este o matrice nesingulará,

.detΦ(t) ≠ 0, ∀t

5. Proprietatea de inversiune. (2.4.28)Φ(−t) = Φ −1(t)

6. Matricea de tranziþie este soluþia ecuaþiei diferenþiale matricialá (2.4.29)Φ

.(t) = A ⋅ Φ(t) , Φ(0) = I , Φ

.(0) = A

2.4.4. Calculul matricei de tranziþiePentru a calcula matricea de tranziþie se pot folosi diverse metode, dintre

care se prezintá numai douá mai importante.1. Metoda directá

Cunoscänd matricea A, se calculeazá ín mod direct prin inversiune dematrice

Φ (s) = (sI − A)−1

ßi apoi, pentru fiecare componentáse evalueazá tranformata Laplace inversá, (2.4.30)Φ(t) = L−1(sI − A)−1

2. Metoda formulei fundamentalá a funcþiilor de matriceSe calculeazá polinomul caracteristic al matricei pátrate A,

, (2.4.31)L(λ) = detλI − A

ßi se rezolvá ecuaþia caracteristicá,

, . (2.4.32)L(λ) = 0 ⇒ L(λ) = Πk=1

N(λ − λk)mk , λk ∈ C Σ

k=1

Nmk = n

Formula fundamentalá a funcþiilor de matrice ataßatá matricei A sedefineßte prin:

(2.4.33)f(A) = Σk=1

N

Σ

j=0

mk −1

f(j)(λ k) ⋅ Ekj

unde f(j)(λk) =

d jf(λ)dλ j

λ=λk

Matricele se numesc matricile spectrale ale matricei A. Orice matriceEkj

patratá are exact matrici spectrale care nu au nici-o legáturá cu(n × n) n Ekj

funcþia . Ele se determiná rezolvänd un sistem algebric matricial determinat,falcátuit prin alegerea a n funcþii arbitrare liniar independente . f(λ)

Dupá ce s-au calculat matricile se aplicá formula fundamentalá pentruEkj

funcþia f(λ) = eλt ⇒ f(A) = eAt = Φ(t) , f(j)(λk) = tj ⋅ eλk t

(2.4.34)eAt = Σk=1

N Σ

j=0

mk −1tj ⋅ eλkt ⋅ Ekj


69

2.4.5. Ráspunsul ín timp al sistemelor LIT consideränd momentuliniþial nenul

Cänd momentul iniþial este nenul, , ráspunsul ín timp al unui sistemt0 ≠ 0LIT se numeßte ráspuns general. Expresia acestuia se obþine utilizänd proprietateade tranziþie a matricei de tranziþie.

S-a vázut cá, utilizänd transformarea Laplace, ráspunsul prin stare este:

(2.4.35)x(t) = Φ(t) ⋅ x(0) + ∫0

t

Φ(t − τ) ⋅ B ⋅ u(τ) ⋅ dτ , ∀t ≥ 0

Ínlocuind ín (2.4.35), se obþinet = t0

. (2.4.36)x(t0) = Φ(t0 ) ⋅ x(0) + ∫0

t 0

Φ(t0 − τ) ⋅ B ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Þinänd cont de (2.4.27),

, (2.4.37)Φ(t0 − τ) = Φ(t0) ⋅ Φ(−τ)

ßi de (2.4.28),

(2.4.38)Φ(−t) = Φ −1(t)din (2.4.36), prin ínmulþirea acesteia la stänga cu , obþinem vectorul ,Φ −1(t0) x(0)sub forma,

.x(0) = Φ(−t0) ⋅ x(t0) − ∫0

t 0

Φ(−τ) ⋅ B ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Ínlocuind ín relaþia (2.4.35), se obþine:x(0)

x(t) = Φ(t − t0)x(t0) − Φ(t)∫0

t0

Φ(−τ)Bu(τ)dτ + ∫0

t 0

Φ(t − τ)Bu(τ)dτ + ∫t 0

t

Φ(t − τ)Bu(τ)dτ

de unde

(2.4.39)x(t) = Φ(t − t0) ⋅ x(t0) + ∫t 0

t

Φ(t − τ) ⋅ B ⋅ u(τ) ⋅ dτ

care reprezintá ráspunsul general ín timp prin vectorul de stare.

Ráspunsul general ín timp prin vectorul de ießire se obþine substituind (2.4.39) ín (2.4.3),

. (2.4.40)y(t) = C ⋅ Φ(t − t0) ⋅ x(t0) + ∫t 0

t

[C ⋅ Φ(t − τ) ⋅ B] ⋅ u(τ) ⋅ dτ + D ⋅ u(t)

Componenta , determinatá de legátura directá intrare-ießire, se poateD ⋅ u(t)introduce sub integralá, folosind relaþia,


70

, (2.4.41)D ⋅ u(t) = ∫t 0

t D ⋅ u(τ) ⋅ δ(t − τ) ⋅ dτ

astfel cá se exprimá ráspunsul general la ießire prin cele douá componente, liberáßi forþatá,

. (2.4.42)y(t) = C ⋅ Φ(t − t0) ⋅ x(t0) + ∫t 0

t

[C ⋅ Φ(t − τ) ⋅ B + D ⋅ δ(t − τ)] ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Se definesc:

Matricea de tranziþie a ießirii,, (2.4.43)Ψ(t) = C ⋅ Φ(t) = L−1C ⋅ Φ (s)

Matricea pondere(2.4.44)ℵ(t) = C ⋅ Φ(t) ⋅ B + D ⋅ δ(t)

adicá,

, (2.4.45)ℵ(t) = L−1C ⋅ Φ(s) ⋅ B + D = L−1H(s)

deci matricea pondere este transformata Laplace inversá a matricei de transfer.Cu aceste precizári, ráspunsul general al unui SLIT se exprimá sub forma

unei integrale de convoluþie,

. (2.4.46)y(t) = Ψ(t − t0) ⋅ x(t0) + ∫t 0

t

ℵ(t − τ) ⋅ u(τ) ⋅ dτ

Se observá cá valoarea ießirii , la momentul de timp curent , depindey(t) tde starea iniþialá ßi de toate valorile intrárii . x(t0) u(τ), τ ∈ [t 0, t]

Contribuþia valorii este ponderatá, ínmulþitá, cu valoarea au(τ) ℵ(t − τ)matricei pondere . Din aceastá cauzá matricea este denumitá matriceℵ(t) ℵ(t)pondere.

Dacá , deci dacá sistemul nu este strict propriu, existá componenteD ≠ 0ale matricei pondere care nu sunt funcþii ín sensul clasic deoarece conþin funcþiigeneralizate Dirac. Pentru a lucra numai cu funcþii clasice de multe ori matriceade transfer se exprimá ca o sumá dintre o componentá strict proprie ßiH(s) H

∼(s)

o matrice de numere ,D

, (2.4.47)H(s) = H∼

(s) + D; H∼

(s) = C ⋅ Φ(s) ⋅ B

astfel cá se defineßte matricea pondere strict proprie

(2.4.48)ℵ∼ (t) = L−1C ⋅ Φ(s) ⋅ B = L−1H∼

(s)

ßi ráspunsul general este de forma

. (2.4.49)y(t) = C ⋅ Φ(t − t0) ⋅ x(t0) + ∫t 0

t

ℵ∼ (t − τ) ⋅ u(τ) ⋅ dτ + D ⋅ u(t)


71

Pentru sisteme SISO, matricea pondere devine funcþia pondere, ßi estetransformata Laplace inversá a funcþiei de transfer

(2.4.50)h(t) = L−1H(s) = L−1cT ⋅ (sI − A)−1 ⋅ b + d

§i ín acest caz se poate evidenþia componenta strict proprie ,H∼

(s)

(2.4.51)H(s) = d + H∼

(s) ; H∼

(s) = cT ⋅ Φ(s) ⋅ b = c T ⋅ (sI − A)−1 ⋅ b

(2.4.52)h∼

(t) = L−1H∼

(s) = ΣPolii fc H

∼(s)

Rez(H∼

(s) ⋅ est

(2.4.53)y(t) = cT ⋅ Φ(t − t0) ⋅ x(t0) + ∫t 0

t

h∼

(t − τ) ⋅ u(τ) ⋅ dτ + d ⋅ u(t)

2.4.6. Ráspunsul SLIT la intrári tip

2.4.6.1. Ráspunsul la intrare impuls unitate (funcþia pondere) S-a arátat cá matricea de transfer a unui SLIT-MIMO, esteH(s)

transformata Laplace a unei matrici denumitá matrice pondere. ℵ(t)Matricea pondere este o matrice alcátuitá din p vectori coloaná ceℵ j(t)

corespund celor p componente ale vectorului de intrare ,U(s) , ℵ(t) = [ℵ1(t) . .. ℵ j(t) . .. ℵp (t)]

fiecare vector coloaná fiind alcátuit din r elemente ca ßi vectorul ℵ j(t) Y(s) .ℵ j(t) = [ℵ1

j (t) . .. ℵ ij(t) . .. ℵ r

j(t)]T

Vectorul coloaná este ráspunsul la ießire, ín condiþii iniþiale nuleℵ j(t)(stare iniþialá nulá) cänd componenta j a intrárii este impuls Dirac unitate iarcelelalte componente ale intrárii sunt nule,

.uj(t) = δ(t); uk(t) = 0, k ≠ j ⇔ U j(s) = 1; Uk(s) = 0, k ≠ j

Ráspunsul ín condiþii iniþiale nule pentru aceste intrári este,

(2.4.54)Yi(s) = Σk=1

pHik (s) ⋅ Uk(s) = Hij(s) ⋅ 1

Deoarece conform (2.4.45) rezultáℵ ij(t) = L−1H ij(s)

y(t) u j (t)=δ(t),uk(t)=0,k≠j,c.i.n. = ℵ j(t)

adicá ráspunsul forþat al sistemului la impuls unitate numai pe componenta j aintrárii este al j-lea vector coloaná din matrice pondere ßi deci, coloana j dinℵ(t)matricea de transfer este imaginea Laplace a acestui ráspuns. H(s)

Pentru sistemele SISO, matricea pondere se numeßte funcþie pondere saufuncþie ráspuns la impuls, si se noteazá

. (2.4.55)y(t) = h(t) = L−1H(s) ⋅ 1 = d ⋅ δ(t) + ΣPolii fc H

∼(s)

Rez(H∼

(s) ⋅ est

Funcþia pondere este identicá cu ráspunsul sistemului la intrare impuls unitate íncondiþii iniþiale nule. Formula de calcul (2.4.55) se extinde ßi pentru MIMO.


72

ExempluSe considerá o funcþie de transfer proprie care, prin ímpárþireaH(s)

polinoamelor, se descompune conform (2.4.51),H(s) = 3s + 1

s + 4= 3 + −11

s + 4⇒ d = 3; H

∼(s) = −11

s + 4. (2.4.56)y(t) = h(t) = 3 ⋅ δ(t) + Σ

s=−4Rez(−11

s+4 ⋅ est = 3 ⋅ δ(t) − 11 ⋅ e−4t

2.4.6.2. Ráspunsul la intrare treaptá unitate (funcþia indicialá)Ín practicá, pentru testarea ßi aprecierea calitáþii sistemului se aplicá intrári

sub formá de treaptá ßi se analizeazá ráspunsul acestuia denumit ßi ráspuns laintrare treaptá.

Funcþia indicialá, notatá , este ráspunsul sistemului la intrare treaptáh0(t)unitate ín condiþii iniþiale nule.

Pentru sisteme de tip SISO, cu p = 1, r = 1, ßi intrarea treaptá unitate,pentru,

(2.4.57)u(t) = 1(t) =

0 , t < 01 , t ≥ 0

, U(s) = 1s

rezultá Y(s) = H(s) ⋅ 1

s ⇒

(2.4.58)y(t) = h0(t) = L−1 H(s) ⋅ 1s = Σ

Polii fc H(s)s

RezH(s)

s ⋅ est

Se remarcá faptul cá formula cu reziduuri (2.4.58) se aplicá chiar dacá este funcþie proprie, deoarece expresiea este strict proprie ßi areH(s) H(s) ⋅ 1

spunct ordinar la infinit.

Deoarece uneori este greu de asigurat valoarea unitate a treptei, ín practicápentru testarea sistemelor se aplicá semnale treaptá cu o amplitudine oarecare deexemplu aplicate la un moment de timp oarecare . Datoritá liniaritáþii ßi∆u t = t0

invarianþei ín timp (se considerá ) se obþine ráspunsul t0 = 0

(2.4.59)y(t) = h0(t) ⋅ ∆u = L−1 H(s) ⋅ 1s ⋅ ∆u

Definiþia se extinde ßi pentru sisteme MIMO rezultänd matricea indicialá.

ExempluFie sistemul descris prin

. (2.4.60)H(s) = KTs + 1

Pentru , (2.4.60)U(s) = 1

s ⋅ ∆uutilizänd teorema reziduurilor pentru polii , obþinems = 0, s = −1/T


73

, (2.4.61)y(t) = h0(t) ⋅ ∆u = Σ Rez

K

Ts+1 ⋅ ∆us ⋅ est

= [K + K

T ⋅ 1−(1/T) ⋅ e− t

T] ⋅ ∆u

adicá, rezultatul analitic (teoretic), . (2.4.62)y(t) = K ⋅ [1 − e− t

T] ⋅ ∆uLa o testare praticá, ín timpul fizic , se ínregistreazá, monitorizeazá,ta

variabila de intrare ßi se obþine, ínregistreazá, variabila de ießire , aßaua(ta) ya(ta)cum este ilustrat ín Fig.2.4.1.

Se aplicá ínsá la momentul de timp fizic o variaþie a márimii intrareta = t0a

(2.4.63)u(t) = ∆u ⋅ 1(t) = ua(t + t0a) − Ust

a (t0a)

faþá de o valoare de regim staþionar anterior . Usta (t0

a)Se obþine, un ráspuns a cárui ínregistrare ín timpul fizicya(ta) = y a(t + t0

a), are forma din Fig.2.4.1.ta

U ( )sta0t

Y ( )sta0t

a0t

a0t

at

atat

a0t

att= -

a0t

att= -

y ( )a at

y ( )a at

a atu ( )

t

tt

0

0

0

0

u(t)

y(t)0

0

0

0

y(t)=L H(s)U(s)-1

T

BA y( )∝

u( )∝

.

∆u[

)

Figura nr. 2.4.1.

Ín aceastá diagramá, márimea reprezintá valoarea ießirii din momentuly(t) , másuratá faþa de valoarea staþionará , t = ta − t0

a Yst(t0a)

. (2.4.64)y(t) = ya(t + t0a) − Yst (t0

a)

Dacá se considerá un punct B al ráspunsului ya(t) al acestui sistem (sistemde ordinul 1) ßi se duce tangenta la curba ráspunsului, tangentá care intersecteazánoua valoare de regim staþionar a ráspunsului aßa cum se vede ín figurá, se obþineun interval de timp care este chiar constanta de timp T a sistemului.

De asemenea, pe acest ráspuns, se poate calcula aria A dintre ráspunsulsistemului ßi noua valoare staþionará a acestuia,

(2.4.65)A= ∫0

∞[y(∞) − y(t)] ⋅ dt

Sunt valabile relaþiile, utile pentru identificare experimentalá,

, . (2.4.66)T = Ay(∞) K =

y(∞)u(∞)


74

3. REPREZENTAREA GRAFICÁ A SISTEMELOR

3.1. Scheme de principiu ßi scheme blocSistemele dinamice sunt frecvent reprezentate, interpretate ßi prelucrate

utilizänd diferite metode ßi tehnici grafice. Existá trei tipuri fundamentale de reprezentare graficá a sistemelor:

1. - Scheme de principiu;2. - Scheme bloc;3. - Grafe de fluenþá.

3.1.1. Scheme de principiuSchema de principiu este o formá de reprezentare graficá a sistemelor

fizice, utilizänd norme ßi simboluri care aparþin domeniului sistemului fizic, astfelrealizatá íncät sá permitá ínþelegerea funcþionárii sistemului fizic.

Ele se mai numesc ßi diagrame schematice. Prin diagrame sunt descrisedoar obiectele fizice.

Ín aceste reprezentári nu existá modele matematice, dar ele conþin toatespecificaþiile sau descrierea configuraþiei acelui obiect (sistem) fizic. Acesteaprezintá toate componentele sale íntr-o formá corespunzátoare analizei, proiectáriißi evaluárii.

Pentru a ínþelege ßi interpreta o schemá de principiu, sunt necesarecunoßtinþe ßi competenþe asupra domeniului cáruia íi aparþine acel obiect.Acelaßisimbol poate avea ínþelesuri diferite ín funcþie de domeniul de aplicaþii.

De exemplu, simbolul reprezintá o rezistenþá pentru un inginerdin profilul electric ßi un resort pentru un inginer mecanic.

Pornind de la ßi utilizänd o schemá de principiu, poate fi specificat unsistem orientat (sau mai multe sisteme orientate) dacá variabilele de ießire (pescurt ießiri) sunt precizate. Dupá aceea, se poate determina modelul matematic,adicá sistemul abstract ataßat acelui sistem orientat.

3.1.2. Scheme blocSchema bloc, ín cadrul teoriei sistemelor, este o formá de reprezentare

graficá a relaþiilor matematice existente íntre variabilele ce caracterizeazá unsistem.

Mai precis, o schemá bloc reprezintá relaþia cauzá-efect íntre intrarea ßiießirea unui sistem orientat.

Astfel, o schemá bloc exprimá sistemul abstract corespunzátor unui sistemorientat. Schemele bloc constau din blocuri operaþionale unidirecþionale.

Dacá ín aceastá reprezentare este implicatá starea sistemului, incluzändstarea iniþialá, atunci schema bloc se numeßte diagramá de stare (DS).

Elementele fundamentale ale unei scheme bloc sunt:

3. REPREZENTAREA GRAFICÁ A 3.1. Scheme de principiu ßi scheme bloc A SISTEMELOR

75

1. Linii orientateLiniile orientate reprezintá variabilele implicate ín relaþiile matematice. Ele

sunt desenate prin linii drepte marcate cu ságeþi. Pe scurt o linie orientatá estenumitá "ságeatá".

Direcþia ságeþii subliniazá direcþia cauzá-efect ßi nu are nimic comun cudirecþia fluxului de variabile din schema de principiu. 2. Blocuri

Un bloc, desenat ín general ca un dreptunghi, reprezintá operatorulmatematic care leagá cauzele (variabile de intrare) ßi efectele (variabile de ießire).Ín interiorul dreptunghiului, reprezentänd un bloc, este marcat un simbol al aceluioperator. Totußi, anumiþi operatori speciali sunt reprezentaþi prin alte figurigeometrice (de exemplu, operatorul de ínsumare este reprezentat printr-un cerc).

Variabilele de intrare ale unui bloc sunt desenate prin ságeþi care intrá índreptunghiul (figura geometricá) reprezentänd acel bloc. Variabilele de ießire suntdesenate prin ságeþi care ies din dreptunghiul (figura geometricá) reprezentändacel bloc. O linie orientatá (ságeatá), adicá o variabilá, poate fi o variabilá deießire pentru un bloc ßi o variabilá de intrare pentru alt bloc.

De exemplu, o relaþie explicitá íntre variabila u ßi variabila y, unde u ßi ypot fi funcþii de timp, este de forma

(3.1.1)y = F(u)Simbolul definind un operator (poate fi o funcþie simplá) exprimá un sistemF( )orientat unde u este cauza iar y este efectul, adicá y este variabila de ießire iar ueste singura variabilá de intrare. Putem scrie (3.1.1) astfel

y = F(u) ⇔ y = Fu ⇔ y = Fußi schema bloc ataßatá se reprezintá ca ín Fig. 3.1.1.

u F y

Figura nr.3.1.1.3. Puncte de ramificaþie

Un punct de ramificaþie, numit ßi punct de culegere, ilustreazá grafic faptulcá aceeaßi variabilá, reprezentatá printr-o ságeatá, este transmisá (dispersatá) ínmai multe direcþii. Acesta este reprezentat printr-un punct. Reprezentárileurmátoare din Fig. 3.1.2 sunt echivalente.

y

y

y

yy

y y

y

y

y

y yy

yy

Figura nr.3.1.2.


76

4. Operatorul de ínsumareOperatorul de ínsumare se reprezintá cel mai simplu ßi frecvent printr-un

cerc la care márimile ce se insumeazá se ataßeazá unor ságeþi orientate spre cerc,marcate cu semnele pentru adunare, respectiv pentru scádere. Dacá” + ” ” − ”nu se marcheazá nici-un semn, se ínþelege semnul . ” + ”

Rezultatul operaþiei de ínsumare este ataßat unei ságeþi orientatá dinsprecercul respectiv.

De exemplu, operaþia de adunare respectiv scádere a douá márimi y = u1 + u2 ⇔ y(t) = u1(t) + u2(t) ⇔ Y(s) = U1(s) + U2 (s)

y = u1 − u2 ⇔ y(t) = u1(t) − u2(t) ⇔ Y(s) = U1(s) − U2 (s)

este reprezentatá ín Fig.3.1.3.a. respectiv Fig.3.1.3.b. Deoarece operaþia de ínsumare este o operaþie algebricá, reprezintarea este

aceeaßi atät ín domeniul timp cät ßi ín domeniul complex s, diferenþa de notaþierezultänd eventual din context, ín care se utilizeazá litere mari fárá argument, U1

ín loc de sau de , etc.U1(s) u1(t)Ambele variante (adunare sau scádere) se reprezintá ca ín Fig.3.1.3.c., ín

care apare semnul , consideränd ca este posibilá fie adunarea fie scáderea” ± ”sau invers, cu semnul , fie scáderea fie adunarea,” + ”

.y = u1 ± u2 ⇔ y(t) = u1(t) ± u2(t) ⇔ Y(s) = U1(s) ± U2 (s)

Y(s) YY

U 2U 2

U (s) 1

U (s) 2

y(t)u (t) 1

u (t) 2

U 1U 1

±

+ ++

+ -

a. b. c.

Figura nr.3.1.3. Dacá se ínsumeazá mai multe márimi se poate folosi un singur cerc ca ín

Fig.3.1.4.a. sau mai multe cercuri, ca rezultat al proprietáþii de asociativitate aadunárii, fiecare sumator avänd numai douá intrári, ca ín Fig.3.1.4.b. ßiFig.3.1.4.c., care se referá la succesiunea de expresii identice, de mai jos,

Y = ±U1 + U2 ± U3 = [±U1 + U2]± U3 = ±U1 + [U2 ± U3]

Y Y YU 1 U 1

U 1

U 2 U 2 U 2

U 3 U 3

U 3± ± ±

± ± ±+ + +

a. b. c.

Figura nr.3.1.4.


77

3.1.3. Schema bloc a unei relaþii algebriceSe considerá urmátoarea relaþie algebricá,

(3.1.2)R(x1, x2, x3) = 0

unde variabilele pot fi funcþii de timp, . Sá considerám cáx1, x2, x3 xi = xi(t)(3.1.2) este o relaþie liniará cu coeficienþi constanþi,

(3.1.3)a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + a3 ⋅ x3 = 0

Relaþiile (3.1.2), (3.1.3) reprezintá un sistem neorientat ßi nu pot fireprezentate printr-o schemá bloc.

Presupunänd cá suntem interesaþi de variabila , atunci aceasta poate fix1

exprimatá, dacá , astfela1 ≠ 0

x1 = −a2 /a1 ⋅ x2 − a3/a1 ⋅ x3 ; ⇔ x1 = f(x2, x3) ⇔

,x1 = F[x2 x3] ⇔ x1 = Fu, u = [x2 x3]T

ceea ce constituie un sistem orientat unde este ießirea, iar sunt intrári.x1 x2, x3

Schema bloc, reprezentänd acest sistem orientat este datá ín Fig.3.1.5. undesimbolurile operatorilor elementari implicaþi ín aceastá schemá bloc suntcunoscute.

x1

x2 a1a2/

x3 a3 a1/- +- x1

x2

x3 x1 =f( , ) x2 x3 Fx1

x2

x3

Figura nr.3.1.5.Oricare din variabilele sau din (3.1.2), (3.1.3) putea fi aleasá ca ix2 x3

variabilá de ießire. Fie acum relaþia (3.1.3) de forma,

(3.1.4)x1 = K ⋅ (b1 ⋅ x1 + b2 ⋅ x2 + b3 ⋅ x3)

unde,.a1 = 1 − K ⋅ b1, a2 = −K ⋅ b2 , a3 = −K ⋅ b3

Presupunem cá suntem interesaþi de , adicá este variabilá de ießire,x1 x1

iar sunt variabile de intrare. x2 , x3

Relaþia (3.1.4) nu reprezintá un operator unidirecþional deoarece depindex1

de ea ínsáßi. Din (3.1.4) putem defini mai mulþi operatori unidirecþionali (blocuri)introducänd cäteva noi variabile, ca de exemplu,

w1 = b2 ⋅ x2 + b3 ⋅ x3

w2 = b1 ⋅ x1

(3.1.5)w3 = w1 + w2

.x1 = K ⋅ w3


78

Fiecare relaþie din (3.1.5) reprezintá un operator unidirecþional care poate fireprezentat printr-un bloc. Toate relaþiile din (3.1.5), care reprezintá (3.1.4) pot fireprezentate prin mai multe blocuri interconectate ca ín Fig.3.1.6.

b1

b3

b2 w 3 w 1

w 2

x1

x2

x3 ++ +

+K

Figura nr.3.1.6.

Aceasta este o structurá cu reacþie conþinänd o buclá. Dacá ßi suntK b1

coeficienþi constanþi, aceastá buclá este o buclá algebricá care cauzeazá multedificultáþi ín implementárile numerice.

Desigur, prelucränd schema bloc din Fig.3.1.6. sau eliminänd variabileleintermediare din (3.1.5) sau explicitänd din (3.1.4) gásim sistemulw1, w2 , w3 x1

orientat, avänd ca variabilá de ießire ßi ca variabile de intrare,x1 x2, x3

caracterizat printr-o relaþie unidirecþionalá de forma

. (3.1.6)x1 = b 2

1 − Kb1⋅ x2 + b3

1 − Kb 1⋅ x3 = (−a2/a1) ⋅ x2 + (−a3/a1) ⋅ x3

Acum relaþia (3.1.6) poate fi reprezentatá printr-un bloc unidirecþional caín Fig. 3.1.5. Dacá

1 − K ⋅ b1 = 0 ⇔ a1 = 0

atunci relaþiile (3.1.3) ßi (3.1.4) sunt degenerate, adicá ele nu conþin variabila .x1

3.1.4. Direcþiile variabilelor ín schemele de principiu ßi schemele blocSe considerá un obiect fizic descris prin schema de principiu din Fig.3.1.7.

q2=u2

c)q2=u2

q1=u1

L=y

Rezervor cu apá

a)

Pompa P1

Pompa P2

q1=u1Rezervorul cu apá

L=yIntrare

IntrareIeßire

ca un sistemorientat

q2=u2

q1=u1

Rezervorulcu apá

fizic

Debit de intrare

Debit de ießireb)

ca un "bloc"

Figura nr.3.1.7.


79

Acesta reprezintá un rezervor cilindric de apá alimentat, prin pompa P1,cu apá cu debitul ßi din care se scoate apá, prin pompa P2, cu debitulq1 = u1

.q2 = u2

Dupá cum se observá, din punct de vedere fizic, reprezintá unq1 = u1

debit de intrare (care intrá), iar reprezitá un debit de ießire (care iese).q2 = u2

Presupunem cá suntem interesaþi de nivelul apei din rezervor, notat prin. Ín acest mod variabila , un atribut (o caracteristicá) a obiectului fizicL = y L = y

(rezervor de apá), este un efect de care suntem interesaþi. Toate cauzele care afecteazá aceastá ießire selectatá, sunt reprezentate prin

cele douá debite ßi . q1 = u1 q2 = u2

Astfel, ín sistemul orientat, ín care orientarea se face bazat pe principii decauzalitate, atät cät ßi sunt variabile de intrare. u1 u2

Schema bloc corespunzátoare va avea, ín ínþelesul teoriei sistemelor, L = yca ießire, iar ßi ca intrári. Aceasta este reprezentatá prin schema bloc dinu1 u2

Fig.3.1.7.c. sau una din schemele bloc din Fig.3.1.8.Relaþia matematicá íntre y ßi ín domeniul timp esteu1, u2

(3.1.7)y(t) = K ⋅ ∫t 0

t

[u1(t) − u2(t)] ⋅ dt + y(t0)

fiind reprezentatá ín Fig.3.1.8.a.Pentru a determina modelul matematic ín domeniul complex, definim

variabilele ín variaþii ín raport cu o stare staþionará, definitá prin,.Yss = y(0), U1

ss = u1(0) = 0, U2ss = u2(0) = 0

Notänd,

, Y(s) = Ly(t) − Yss U1(s) = Lu1(t) − U1ss, U2(s) = Lu2(t) − U2

ss

obþinem , (3.1.8)Y(s) = K

s ⋅ [U1 (s) − U2(s)]relaþia intrare-ießire pe componente, reprezentatá ín Fig. 3.1.8.b.

Ín forma matricialá, relaþia intrare-ießire este,

, . (3.1.9)Y(s) = H(s) ⋅

U1(s)U2(s)

= H(s) ⋅ U(s) H(s) = [ K

s − Ks ]

ceea ce ne permite sá reprezentám sistemul ca un íntreg ca ín Fig. 3.1.8.c.

+ ++K-

∫tt0

t0y( )

y(t)u2 (t)

u1 (t)

+-

U 1(s)

U 2(s)Ks

Y(s)U 1(s)

U 2(s)Y(s)H(s)

a) b) c)

Fig. 3.1.8.


80

3.1.5. Schema bloc a unui element integratorIntegratorul este un operator care se descrie ín domeniul timp astfel,

, (3.1.10)x(t) = x(t0) + ∫t 0

t

u(τ)dτ , x. (t) = u(t)

ßi a cárui schemá de principiu este datá ín Fig.3.1.9.a. Deoarece primul termendin (3.1.10) poate fi scris utilizänd impulsul Dirac, ráspunsul se poate scriex(t)printr-un singur termen sub semnul integralá,

x(t) = ∫t 0

t

x(t0) ⋅ δ(τ − t0) ⋅ dτ + ∫t 0

t

u(τ)dτ = ∫t 0

t

[u(τ) + x(t0) ⋅ δ(τ − t0)]dτ

astfel cá se poate reprezenta integratorul, ín domeniul timp, ca ín Fig.3.1.9.b.

x(t)

u(t)

x( ) t0

x(t).

∫

Ín domeniul timp

x(t).

x(t)u(t)

x( ) t0

∫

(t- ) t0δ

++

a) b)

1s

x(0)

X(s)U(s) ++

Ín domeniul complex

Lx(t)•


Se poate reprezenta comportarea integratorului ín domeniul complex sþinänd cont cá

(3.1.11)Lx.(t) = sX(s) − x(0)

Utilizarea transformárii Laplace este deosebit de comodá ßi utilá darpresupune cá, ín raport cu variabila ei independentá, care este timpul dintintegrala ce defineßte transformata Laplace, íntotdeauna momentul iniþial estezero.

Din aceastá cauzá, ínainte de aplicarea transformárii Laplace se presupunecá timpul fizic , cu un moment iniþial este translatat prin relaþia ta t0

a t = ta − t0a

astfel cá momentului iniþial fizic íi corespunde ín variabila un moment iniþialt0a t

zero.

Notänd obþinem,X(s) = Lx(t)

(3.1.12)X(s) = 1s ⋅ [Lx

.(t) + x(0)]

Utilizänd reprezentarea graficá a integratorului (prin scheme bloc sau grafede fluenþá) ímpreuná cu operatori de ínsumare ßi scalori putem reprezenta aßanumita diagramá de stare (DS) a unui sistem.


81

3.1.6. Reprezentarea graficá prin grafe de fluenþá Un graf de fluenþá al semnalelor, denumit pe scurt graf de fluenþá (GF),

este o reprezentare graficá a unui set de ecuaþii liniare simultane reprezentänd unsistem. Acesta exprimá grafic transmiterea semnalelor prin sisteme.

Ca ßi schemele bloc, grafele de fluenþá ilustreazá relaþiile cauzá-efect,ímpreuná cu cäteva reguli de operare matematicá. Ele apar ca o versiunesimplificatá a schemelor bloc fiind mai simplu de desenat ßi mai ußor de prelucratfaþá de schemele bloc.

Ín GF, variabilele sunt reprezentate prin aßa numitele noduri, desenate prinpuncte, iar operatorii prin transmitanþe, ataßate ín grafic unor arce elementare caresunt curbe orientate prin ságeþi ce unesc douá noduri.

Se definesc cáteva reguli de operare ßi noþiuni precum cale, buclá, bucláelementará care perimit transformarea echivalentá a unui graf ín forma sa redusá.

Forma redusá a unui graf exprimá dependenþa directá dintre variabileleprincipale ßi cele secundare, adicá, ín cazul sistemelor orientate a dependenþeidintre intrári ßi ießiri. De exemplu o relaþie algebricá de forma,

,x1 = t21 ⋅ x2 + t31 ⋅ x3 + t41 ⋅ x4

ín care este variabila principalá (necunoscuta) iar sunt variabilelex1 x2, x3, x4

secundare iar sunt operatorii liniari, sau transmitanþele, se reprezintát21, t31, t41

printr-un GF ca ín figura din stänga de mai jos.

x

x

x

t

tt1

2

3

x4

21

31

41 x1 x2

u2

u1

-21

- 4

-2

-1 1

6-5

Bucla proprieBucla proprie

Nod de intrare

Nod de intrare

Un sistem de douá ecuaþii algebrice cu coeficienþi numerici, ín care ,x1, x2

sunt variabile necunoscute (dependente), iar sunt variabile libereu1, u2

(independente).

3x1 + 4x2 = u1 − u2

2x1 − 5x2 = u1 − 5u2⇔

x1 = −2x1 − 4x2 + u1 − u2

x2 = −2x1 + 6x2 + u1 − 5u2

este reprezentat printr-un graf de fluenþá ca ín figura din dreapta de mai sus.

Reducerea unui graf ínseamná de fapt rezolvarea sistemului iniþial deecuaþii. Pentru reducerea grafelor deosebit de utilá este aßa numita formulá a luiMason.

Datoritá spaþiului limitat, nu se dezvoltá ín continuare acest subiect.


82

3.2. Diagrama de stare 3.2.1. Definiþia diagramei de stare

Diagrama de stare (DS) este o formá de reprezentare graficá a ecuaþiilorde stare atät ín domeniul timp, cät ßi ín domeniul complex, folosind pentruaceasta schemele bloc (SB) sau grafurile de fluenþá (GF).Diagrama de stare (DS) a sistemelor LIT conþine numai trei tipuri de simbolurigrafice: Elemente integratoare; Elemente sumatoare; Elemente proporþionale.

Elementele sumatoare ßi proporþionale, numite, pe scurt, sumatoare ßirespectiv, scaloare, au aceeaßi reprezentare graficá atät ín domeniul timp, cät ßi índomeniul complex.

Pentru elementele integratoare, numite, pe scurt, integratoare, frecvent seutilizeazá forma graficá din domeniul complex, iar variabilele corespunzátoaresunt notate, uneori ín domeniul timp, uneori cu forma lor ín complex, alteoriímpreuná.

Dacá un sistem descris prin matricea (funcþia) sa de transfer, poate fireprezentat printr-o schemá bloc (SB) sau un graf de fluenþá (GFS) care conþinnumai cele trei tipuri de simboluri: integratoare, sumatoare ßi scaloare, atunciacea schemá bloc sau acel graf de fluenþá poate fi interpretat ca reprezentänd odiagramá de stare (DS).

Bazändu-ne pe aceasta, putem scrie (deduce), foarte rapid, o realizare prinecuaþii de stare ataßatá acelei matrice (funcþii) de transfer.

3.2.2. Diagrame de stare reprezentate prin scheme bloc Pentru a desena o DS, iniþial se reprezintá integratoarele implicate ín

ecuaþiile de stare ßi apoi schema este completatá cu celelalte douá tipuri decomponente.

Sá considerám, de exemplu, un sistem ín timp continuu de ordinul íntäidescris prin ecuaþiile de stare (3.2.1),

(3.2.1)x. (t) = a(t) ⋅ x(t) + b(t) ⋅ u(t)y(t) = c(t) ⋅ x(t) + d(t) ⋅ u(t)

DS corespunzátoare, ín domeniul timp, este prezentatá ín Fig.3.2.1.

b(t) c(t)∫+

+++u(t) y(t)x(t) x(t)x(0).

d(t)

a(t)

Figura nr.3.2.1.

3. REPREZENTAREA GRAFICÁ A 3.2. Diagrama de stare A SISTEMELOR

83

Pentru sistemele liniare invariante ín timp toþi coeficienþii a, b, c, d auvalori constante, astfel íncät putem reprezenta ecuaþiile de stare (3.2.1) prin

. (3.2.2)x. (t) = a ⋅ x(t) + b ⋅ u(t)y(t) = c ⋅ x(t) + d ⋅ u(t)

DS ín domeniul timp a acestui sistem este identicá cu cea din Fig.3.2.1. cuexcepþia faptului cá are coeficienþii constanþi.

Diagrama de stare ín domeniul complex este identicá cu DS ín domeniultimp cu excepþia integratorului care este ínlocuit prin echivalentul sáu complexdin Fig.3.1.10., iar variabilele sunt notate prin echivalentele lor din domeniulcomplex, ca ín Fig.3.2.2.

Uneori, avänd integratorul reprezentat ín domeniul complex (deoarece íncomplex putem realiza operaþii algebrice) notám variabilele ín domeniul timp saußi ín domeniul timp ßi ín domeniul complex, fiecare oferind avantaje de la caz lacaz.

a

c

d

b +

+

++

++U(s) Y(s)X(s)

x(0)

1s

Lx(t)•x(t)• Forma integratorului

ín domeniul complex

u(t) y(t)x(t)

Figura nr.3.2.2.Ín aceste diagrame de stare, putem vedea íncá explicit derivata stárii, ín

plus faþá de starea iniþialá, sau imaginea sa complexá. Dacá nu suntem interesaþi de derivata stárii putem transforma bucla interná

sub forma unui bloc simplu. Pentru a face acest lucru, din DS de mai susobþinem,

Lx. (t) = sX(s) − x(0) = aX(s) + bU(s)

X(s) = 1s [aX(s) + x(0) + bU(s)]

. (3.2.3)X(s) = 1s − a ⋅ [x(0) + bU(s)]

Acum, ínlocuim bucla interná prin funcþia de transfer ßi un element1s − a

de ínsumare la intrarea sa ca ín Fig.3.2.3.

cb

d

+

++

+U(s) Y(s)X(s)x(0)1s-a

Figura nr.3.2.3.


84

Pe aceastá formá a DS putem observa foarte simplu dependenþa lui Y(s) ßiX(s) de U(s) ßi x(0).

Diagrama de stare a unui sistem poate fi trasatá, de asemenea, pentrusisteme nescalare, unde cel puþin un coeficient este o matrice, de forma generalá

, (3.2.4)x. = Ax + Buy = Cx + Du

unde matricele au dimensiunile: A-(nxn); B-(nxp); C-(rxn); D-(rxp).Deoarece

Lx. (t) = sX(s) − x(0) = [sX1(s) sX2(s) ... sXn(s)]T − [x1(0) x2(0)....xn(0)]T

obþinem

, (3.2.5)X(s) = [1s In] ⋅ [Lx. (t) + x(0)]

care este reprezentatá ca ín Fig.3.2.4. Uneori, pentru a sublinia faptul cá liniile orientate reprezintá vectori,acestea sunt desenate prin linii duble ca ín Fig.3.2.4.

U(s)

U(s)

B 1s In

X(s) Y(s)

x(0)

+

+

+

++

+

A

D

CLx(t)•

Figura nr.3.2.4.

3.2.3. Diagrama de stare a unui sistem de ordinul íntäi strict propriu Se considerá un sistem de ordinul íntäi strict propriu (element apriodic de

ordinul íntäi) cu intrarea , ießirea ßi funcþia de transfer,u1(t) y1(t)

. (3.2.6)H1(s) = K1

s + p1=

Y1(s)U1(s)

Ießirea ín domeniul complex s este,

. (3.2.7)Y1(s) = K1s + p1

⋅ U1(s)

Pentru a trasa diagrama de stare se deduce mai íntäi o reprezentare aacestui sistem prin ecuaþii de stare, deci o ecuaþie diferenþialá de ordinul íntäi caresá nu conþiná derivata intrárii.


85

Ín acest caz se poate alege ießirea ca ßi variabilá de stare deci,

. (3.2.8)x1(t) = y1 (t) ⇔ X1 (s) = Y1(s)

Ecuaþia (3.2.7) devine

. (3.2.9)X1(s) = K1

s + p1⋅ U1(s)

. (3.2.10)s ⋅ X1(s) + p1 ⋅ X1(s) = K1 ⋅ U1(s)

Ecuaþiile (3.2.9), (3.2.10) provin din funcþia de transfer deci exprimá ocomportare ín condiþii iniþiale nule.

Se ßtie cá ín condiþii iniþiale nule (c.i.n.)

(3.2.11)Lx.

1(t) = s ⋅ X1(s) ⇒ L−1s ⋅ X1(s) = x.

1(t)

deci produsului din domeniul complex s, íi corespunde ín domeniuls ⋅ X1 (s)timp, ín c.i.n., . x

.1(t)

Evident, expresiei din domeniul complex s, íi corespunde ínX1(s)domeniul timp, . x1(t)

Cu aceste precizári, trecänd ín domeniul timp expresia (3.2.10) ßi avänd ínvedere notaþia (3.2.8), se obþin ecuaþiile de stare

(3.2.12)

x. 1(t) = −p1x1(t) + K1 ⋅ u1(t)y1(t) = x1(t)

care sunt exact ecuaþiile (3.2.2), ín care ínsá(3.2.13)a = −p1; b = K1; c = 1; d = 0

astfel cá diagrama de stare din Fig.3.2.2. este reprezentatá acum ín Fig.3.2.5.a. iardiagrama concentratá din din Fig.3.2.3. este reprezentatá acum ín Fig.3.2.5.b.

++ 1

s+p1

1x1u

y 11K

1x (0)

1K

1-p

1s+ +

++ 1x•1x1u y 1

1x (0)

⇐⇒

a. b.Figura nr.3.2.5.

Relaþiile reprezentate prin diagrama de stare condensatá din Fig.3.2.5.b. sepot obþine aplicänd ecuaþiilor (3.2.12) transformata Laplace, acum ínsá ín condiþiiiniþiale nenule,

Lx.

1(t) = −p1 Lx1(t) + K1 ⋅ Lu1(t) ⇔

s ⋅ X1 (s) − x1(0) = −p1 ⋅ X1(s) + K1 ⋅ U1(s) ⇒

, (3.2.14)X1(s) = 1s + p1

⋅ [x1(0) + K1 ⋅ U1(s)]

. (3.2.15)Y1(s) = X1 (s)


86

3.2.4. Diagrama de stare a unui sistem de ordinul íntäi propriu

Se considerá un sistem de ordinul íntäi propriu (element cu un pol ßi unzerou, ambele reale) cu intrarea , o funcþie márginitá (deci posibilu2(t)nederivabilá) ßi ießirea , a cárui funcþie de transfer este y2(t)

. (3.2.16)H2(s) =K2 (s + z2)

s + p2=

Y2(s)U2(s)

Expresia ießirii ín condiþii iniþiale nule ín domeniul complex s este,

. (3.2.17)Y2(s) = H2 (s) ⋅ U2(s) ⇔ Y2(s) =K2(s + z2)

s + p2⋅ U2(s)

Pentru a trasa diagrama de stare se deduce mai íntäi o reprezentare aacestui sistem prin ecuaþii de stare, deci cu o ecuaþie diferenþialá de ordinul íntäicare sá nu conþiná derivata intrárii.

Dacá s-ar proceda ca ín cazul anterior pentru trecerea directá din domeniulcomplex ín domeniul timp, prin ínmulþirea mezilor ßi extremilor

, (3.2.18)s ⋅ Y2(s) + p2 ⋅ Y2(s) = K2 ⋅ s ⋅ U2(s) + K2 ⋅ z2 ⋅ U2(s)

s-ar obþine ecuaþia diferenþialá

, (3.2.19)y.

2(t) + p2 ⋅ y2(t) = K2 ⋅ u.

2(t) + K2 ⋅ z2 ⋅ u2(t)

care nu poate reprezenta sistemul deoarece s-a impus, s-a definit, intrarea cafiind o funcþie posibil nederivabilá.

Ecuaþiile de stare presupun introducerea unor variabile suplimentare(variabilele de stare) dar perimit evitarea apariþiei intrárii prin derivatele sale.

In cazul de faþá se descompune funcþia de transfer ca sumá dintre termenuldirect ßi componenta strict proprie conform (2.4.47), (2.4.5),

, (3.2.20)H2(s) = d2 + H∼

2(s)

eventual prin ímpárþirea polinoamelor de la numárátor ßi numitor,

(3.2.21)H2(s) = K2 +K2(z2 − p2)

s + p2

deci,

(3.2.22)d2 = K2 ; H∼

2(s) =K2(z2 − p2)

s + p2

Ráspunsul forþat (3.2.17) este acum,

(3.2.23)Y2(s) = d2 ⋅ U2(s) + H∼

2(s) ⋅ U2(s)

Ießirea din componenta strict proprie se poate alege ca ßi variabiláH∼

2(s)


87

suplimentará deci variabilá de stare,

, (3.2.24)X2(s) = H∼

2 (s) ⋅ U2(s) ⇔ X2(s) =K2(z2 − p 2)

s + p2⋅ U2 (s)

astfel cá ráspunsul (3.2.23) se exprimá sub forma,

. (3.2.25)Y2(s) = d2 ⋅ U2(s) + X2(s) ⇔ y2(t) = d 2 ⋅ u2(t) + x2(t)

Procedänd ca ín exemplul anterior, se transferá relaþia (3.2.24) dindomeniul complex ín domeniul timp ßi se obþine ecuaþia diferenþialá,

(3.2.26)x.

2(t) = −p2 ⋅ x2(t) + K2(z2 − p2) ⋅ u2(t)

ín care se observá ca nu apare derivata márimii de intrare.Relaþiile (3.2.26) si (3.2.25) prezentate grupat,

(3.2.27)

x. 2(t) = −p2 ⋅ x2(t) + K2(z2 − p2) ⋅ u2(t)y2(t) = x2(t) + K2 ⋅ u2(t)

reperezintá o variantá a ecuaþiilor de stare, deduse din funcþia de transfer (3.2.16),care sunt exact ecuaþiile (3.2.2), ín care ínsá

, (3.2.28)a = −p2; b = K2(z2 − p2); c = 1; d = K2

astfel cá diagrama de stare din Fig.3.2.2. este reprezentatá acum ín Fig.3.2.6.a. iardiagrama condensatá din Fig.3.2.3. este reprezentatá acum ín Fig.3.2.6.b.

⇐⇒

a. b.

2K

K (z -p )2 2 2

2-p

1s

+ +

++2u 2x•2x 2y

2x (0)2y1

s+p2

2K

K (z -p )2 2 2 +

+

++2u 2x

2x (0)

Figura nr.3.2.6.Relaþiile reprezentate prin diagrama de stare condensatá din Fig.3.2.6.b. se

pot obþine aplicänd ecuaþiilor (3.2.27) transformata Laplace, acum ínsá ín condiþiiiniþiale nenule,

Lx.

2(t) = −p2 Lx1(t) + K2(z2 − p2) ⋅ Lu2(t) ⇔

s ⋅ X2 (s) − x2(0) = −p2 ⋅ X2(s) + K2(z2 − p2) ⋅ U2(s) ⇒

, (3.2.29)X2(s) = 1s + p2

⋅ [x2(0) + K2(z2 − p2 ) ⋅ U2(s)]

. (3.2.30)Y2(s) = X2 (s) + K2 ⋅ U2(s)


88

4. CONEXIUNEA SISTEMELOR

4.1. Probleme de bazá ale conexiunilorFie , o mulþime de sisteme, unde I este o mulþime de indici, fiecareS i i ∈ I

fiind considerat un subsistem, S i

(4.1.1)S iD= S i(Ω i, f i, gi, xi)

ín care simbolurile utilizate exprimá: - mulþimea intrárilor admise; Ω i

- ecuaþia de stare propriu-zisá; fi

- relaþia de ießire; gi

- vectorul de stare. xi

Cunoscänd aceste elemente se poate deduce mulþimea a tuturor ießirilorΓ iposibile.

Aceste subsisteme pot fi dinamice sau nedinamice (scalori), continuale saudiscrete, logice, stochastice etc. ca, de exemplu:

4.1.1. Sistem continual neliniar (SCN)

S i :

x. i(t) = fi(xi(t), ui(t), t); xi(t0) = x0i , t ≥ t0 ∈ T ⊆ R

yi(t) = gi(xi(t), ui(t), t); Ω i = ui ui : T → Ui; T ⊆ R; uiadmise

(4.1.2)4.1.2. Sistem diferenþial liniar invariant ín timp (SLIT)

Este un caz particular al SCN.

S i :

x. i(t) = Aixi(t) + Biui(t); xi(t0) = x0i , t ≥ t0 ∈ T ⊆ R

yi(t) = C ixi(t) + Diui(t); Ω i = ui u i : T → Ui;T ⊆ R;u i admise

(4.1.3)4.1.3. Sistem neliniar discret (SND)

S i :

xk+1i = fi(xk

i , uki , k); xk0

i = x0i , k ≥ k0 ∈ T ⊆ Z

yki = g i(xk

i , uki , k); Ω i = uk

i uki : T → Ui;T ⊆ Z;uk

i admise (4.1.4)

4.1.4. Sistem liniar invariant ín timp discret (SLITD) Este un caz particular al SND.

S i :

xk+1i = Aixk

i + Biuki ; xk0

i = x0i , k ≥ k0 ∈ T ⊆ Z

yki = C ixk

i + Diuki ; Ω i = uk

i uki : T → Ui; T ⊆ Z; uk

i admise

(4.1.5)

3. CONEXIUNEA SISTEMELOR 4.1.Probleme de bazá ale conexiunilor

89

Se considerá cá o mulþime de subsisteme ca cele definite mai sus,constituie o familie de subsisteme, notatá ,F I

. (4.1.6)F I = S i , i ∈ I

Se spune cá un subsistem Si (sau, ín general, un sistem) este definit (sauprecizat sau existá), dacá sunt precizate elementele din care se(Ω i; fi; gi; xi)deduc sau se subínþeleg toate celelalte atribute, ca cele prezentare ín Cap.1 ßiCap.2. Aceste alte atribute pot fi:

- tipul sistemului (continual, discret, logic); - mulþimile etc.T i; Ui; Γi; Yi

O familie de subsisteme , formeazá o conexiune dacá, ín plus, pentruF I

elementele:

S iD= S i(Ω i, f i, gi, xi)

se definesc alte douá mulþimi ßi avänd urmátoarea semnificaþie:Rc Cc

1. = mulþimea relaþiilor de conexiune;Rc

2. = mulþimea condiþiilor de conexiune.Cc

reprezintá o mulþime de relaþii algebrice íntre márimile ui, yi, , ßi alteRc i ∈ Imárimi noi introduse prin aceste relaþii. Aceste márimi noi pot fi intrári noi(cauze), notate , , sau ießiri noi notate cu , unde I, Lvj j ∈ J wl , l ∈ Lreprezintá mulþimi de indici. reprezintá o mulþime de condiþii pe care trebuie sá le satisfacá márimile deCc

intrare ßi ießire , ale fiecárui subsistem, precum ßi márimile noi,(ui, yi), i ∈ I , introduse prin . vj, j ∈ J wl, l ∈ L Rc

Aceste condiþii se referá la:

Natura fizicá, precizändu-se dacá sistemele abstracte reprezintá modelematematice ale unor sisteme (obiecte) fizice orientate sau sunt sisteme abstractepure concepute (inventate) printr-o procedurá de sintezá teoreticá.

Numárul componentelor de intrare-ießire, adicá dacá variabilele de intrare ßiießire sunt vectori sau scalari.

Proprietáþile entitáþilor interpretate ca funcþii sau mulþimi de funcþii,Ω i; fi; gi

fiecare definite pe domeniul sáu de observare.Tripletul

(4.1.7)S = F I; Rc; Cc, F I = S i, i ∈ Iconstituie o conexiune corectá sau o conexiune posibilá, dacá are atributele unuiSsistem dinamic ín care sunt márimi de intrare, iar sunt márimivj, j ∈ J wl, l ∈ Lde ießire.

Sistemul reprezintá sistemul echivalent (sau sistemul interconectat) alSfamiliei subsistemelor , familie interconectatá prin perechea .F I Rc; Cc


90

Observaþia 1. Orice interconexiune de subsisteme se realizeazá numai prin márimile de

intrare ßi ießire ale fiecárui subsistem nu ßi prin variabilele de stare alesubsistemelor.

Mulþimea nu conþine relaþii ín care sá apará vectorul de stare Rc xi , i ∈ Isau componente ale vectorilor . xi , i ∈ I

Dacá, ín anumite exemple, ín relaþiile de interconexiune apar ßiRc

componente ale vectorilor de stare, trebuie ínþeles cá acestea reprezintácomponente ale vectorului de ießire al subsistemului respectiv yi, ínsá din motivede economie de scriere nu s-au mai utilizat simboluri diferite (de exemplu,

).yki = xk

i

Aceastá problemá este deosebit de importantá cänd un subsistem (abstract) este modelul matematic al unui sistem fizic orientat, pentru care anumiteS i

variabile de stare (anumite componente ale vectorului de stare), nu sunt accesibile(pentru másurátori sau pentru observare) sau chiar nu au existenþá fizicá(semnificaþie fizicá), ßi deci, nu pot fi considerate ca ßi componente ale vectoruluide ießire.

Observaþia 2. Dacá la sistemul echivalent interconectat S intereseazá numai comportarea

ín raport cu márimile de intrare (ráspunsul forþat), atunci fiecare subsistem Sipoate fi exprimat prin relaþia sa intrare-ießire.

Pentru sistemele LIT (continuale sau discrete) aceste relaþii intrare-ießiresunt reprezentate de matricile de transfer (pentru sistemele MIMO) sau funcþiilede transfer (ín cazul SISO) notate cu pentru sistemele continuale, respectivHi(s)

pentru sistemele discrete.Hi(z)

Reciproc, dacá íntr-o structurá interconectatá apar numai matrice (funcþii)de transfer trebuie ínþeles cá se doreßte sau este suficientá numai comportareaintrare-ießire (ráspunsul forþat) al sistemului echivalent.

Evident cá, dacá se cunoaßte sau s-a dedus (calculat) matricea (funcþia) detransfer a sistemului echivalent interconectat S funcþie de acestea, se pot apoideduce diverse forme ale ecuaþiilor de stare, care, evident, reprezintá diverserealizári de stare ale matricei (funcþiei) de transfer a sistemului echivalentinterconectat.

Dacá aceastá matrice (funcþie) de transfer este raþionalá ßi nominalá (adicá,nu existá factori comuni íntre numárátori ßi numitori), atunci toate aceste realizáriprin ecuaþii de stare exprimá ín mod cert numai partea complet controlabilá ßicomplet observabilá a sistemului dinamic interconectat S, ceea ce ínseamná cátoate componentele de stare ale acestor realizári sunt atät controlabile, cät ßiobservabile.


91

Nimeni nu garanteazá ínsá cá, dacá matricea (funcþia) de transfer nu esteraþionalá ßi nenominalá (adicá existá factori comuni íntre numárátori ßi numitori),ín aceaste realizári apar componente ale sistemului S, care sunt fie numainecontrolabile, fie numai neobservabile, fie atät necontrolabile, cät ßineobservabile.

Observaþia 3. Dacá la sistemul echivalent interconectat S intereseazá numai comportarea

ín regim staþionar, atunci fiecare subsistem Si se poate ínlocui prin modelul sáu ínregim staþionar (caracteristici statice).

De remarcat faptul cá modelul echivalent ín regim staþionar al sistemuluiinterconectat S, calculat din modelele ín regim staþionar ale elementelorcomponente Si, are sens numai dacá este posibil sá se obþiná un regim staþionarpentru sistemul interconectat, ín domeniul permis de valori al márimilor deintrare. Aceasta ínseamná cá sistemul interconectat S trebuie sá fie asimptoticstabil.

Modelul matematic, ín regim staþionar, al unui sistem interconectat poate fiobþinut folosind ßi metode grafo-analitice, atunci cänd, anumite subsisteme nusunt descrise analitic, ci grafic, prin caracteristici statice, deduse experimental.

Ín general, deducerea modelului matematic, de orice tip ar fi: complet (prinecuaþii de stare); intrare-ießire (ín particular, prin matrice de transfer), sau ínregim staþionar (prin caracteristici statice) al unui sistem interconectat se numeßterezolvarea conexiunii sau reducerea conexiunii (structurii) la o formá echivalentácompactá.

Rezolvarea unei conexiuni ínseamná, ín esenþá, eliminarea din sau dinRc

FI a tuturor márimilor intermediare introduse prin relaþii algebrice.

Se deosebesc trei tipuri fundamentale de conexiuni ßi anume:1: Conexiunea serie2: Conexiunea paralelá3: Conexiunea paralel-opusá (feedback),

prin intermediul cárora pot fi exprimate majoritatea conexiunilor practice.


92

4.2. Conexiunea serie

4.2.1. Conexiunea serie a douá subsistemePentru ínceput, se considerá conexiunea serie a douá subsisteme S1, S2 din

familia FI, reprezentate prin scheme bloc ca ín Fig.4.2.1.

s1

1u 1y s2

2u 2y su y⇐⇒

Figura nr.4.2.1.

Tripletul (4.2.1),

F I = S1 , S2, I = 1; 2

(4.2.1)Rc = u2 = y1, u1 = u; y = y2

Cc = Γ1 ⊆ Ω 2; Ω = Ω 1; Γ = Γ2

realizeazá o conexiune serie a celor douá subsisteme.La conexiunea serie a douá subsisteme, unul, aici S1, are atributul de

"amonte", iar celálalt, S2, de "aval". Intrarea sistemului din aval este identicá cuießirea sistemului din amonte.

Din relaþia de conexiune u2 = y1, se ínþelege cá funcþia

(u2 : T2 → U2) ∈ Ω 2

este identicá cu oricare funcþie

(y1 : T1 → Y1) ∈ Γ1

care apare la ießirea subsistemului S1. Din aceastá identitate se subínþeleg urmátoarele: - Mulþimile ßi au acelaßi numár de componente;Y1 U2

- ; Y1 ⊆ U2

- Variabilele au aceeaßi naturá (semnificaþie fizicá), dacá atät cät ßi S1 S2

exprimá sisteme fizice orientate;- ßi sunt vectori de aceeaßi dimensiune;u2 y1

- .T1 ≡ T2

Din condiþia de conexiune , se ínþelege faptul cá mulþimea , aΓ1 ⊆ Ω 2 Ω 2

funcþiilor admise sá reprezinte variabila de intrare ín ( este un elementu2 S2 Ω 2

definitoriu pentru ), trebuie sá conþiná toate funcþiile din mulþimea aS2 y1 Γ1

ießirilor posibile din . Evident, depinde atät de ecuaþiile careS1 Γ1 (f1, g1)definesc cät ßi de .S1 Ω 1

4. CONEXIUNEA SISTEMELOR 4.2. Conexiunea serie

93

De exemplu, dacá reprezintá o mulþime de funcþii continue ßiΩ 2

derivabile, iar din se pot obþine ießiri (funcþii) cu discontinuitáþi de prima speþá,S1

conexiunea nu este posibilá chiar dacá . T2 ≡ T1, Y1 ⊆ U2

Aici, noile litere pot fi interpretate numai ca simple notaþii pentruu, Ω , y, Γa exprima mai clar cá este vorba de intrarea, respectiv ießirea sistemuluiechivalent.

Dacá reprezintá simboluri pentru operatori, formal se poate scrieS1, S2 , S ,y = y2 = S2u2 = S2y1 = S2S 1u1 = S2 S1u1 = S2 S 1u = Su

(4.2.2)unde s-a notat:

S = S2 S 1 = S2S1

prin " " sau numai S2S1 ínþelegänd rezultatul compunerii a doi operatori.S2 S1

De multe ori, ín rezolvarea unor conexiuni se specificá numai , caF I, Rc

elemente strict necesare pentru rezolvarea formalá a conexiunii.

Mulþimea condiþiilor se evidenþiazá numai cänd trebuie demonstratáCc

existenþa conexiunii, altfel se presupune tacit cá aceste condiþii sunt índeplinite.

4.2.2. Conexiunea serie a douá sisteme neliniare continue (SNC)Se considerá douá sisteme diferenþiale de forma (4.1.2) conectate ín serie.

Vom determina sistemul complet, rezultat prin conexiunea serie, reprezentat prinecuaþii de stare.

Sunt date:

FI: S1: ; S2: (4.2.3)

x. 1 = f1(x1, u1, t)y1 = g1(x1, u1, t)

x. 2 = f1(x2, u2, t)y2 = g2(x2, u2, t)

x1(n1 × 1) ; u1(p1 × 1) ;y1(r1 × 1) x2(n2 × 1) ; u2(p2 × 1) ;y2(r2 × 1)

Rc: (4.2.4)u2 = y1 ⇒ (p2 = r1); u = u1 ⇒ (p = p1); y = y2 ⇒ (r = r2);

Evident, x1, y1, u1, x2, u2, y2 sunt vectori avänd componentele funcþii detimp.

Eliminänd márimile intermediare u2, y1 ßi folosind notaþiile u pentru u1,respectiv y pentru y2 ⇒

S

x. 1 = f1(x1, u, t)x. 2 = f2(x2, g1(x1, u, t), t)y = g2 (x2, g1(x1 , u, t), t)


94

NotändΨ 1(x, u, t) = Ψ∼ 1(x1, x2, u, t) = f1 (x1, u, t)

Ψ 2(x, u, t) = Ψ∼ 2(x1, x2, u, t) = f2 (x2, g1(x1 , u, t), t)

g(x, u, t) = g∼(x1, x2, u, t) = g2(x2, g1(x1, u, t), t)

,x =

x1x2

(n1 + n2) × 1

sistemul echivalent interconectat se exprimá prin ecuaþiile:

. (4.2.5)S

x. = f(x, u, t)y = g(x, u, t)

f(x, u, t) = Ψ 1(x, u, t)Ψ 2(x, u, t)

S = S2 S1

Se observá cá ordinul sistemului rezultat, care la sistemele diferenþiale estedeterminat de dimensiunea vectorului de stare, este .n = n1 + n2

4.2.3. Conexiunea serie a douá sisteme liniare continue invariante íntimp (SLIT). Reprezentarea completá

Se considerá douá sisteme LIT, sau pe scurt SLIT, interconectate ín serie.Se doreßte determinarea sistemului interconectat complet, reprezentat prin ecuaþiise stare.

: (4.2.6)F I S1 :

x. 1 = A1x1 + B1u1

y1 = C1x1 + D1u1 S2 :

x. 2 = A2x2 + B2u2

y2 = C2x2 + D2u2

x1(n1 × 1); u1(p 1 × 1); y1(r1 × 1) x2(n2 × 1); u2(p2 × 1); y2(r2 × 1)

(4.2.7)Rc : u2 = y1 ⇒ (p2 = r1); u = u1; y = y2; p = p1; r = r2

Eliminänd variabilele intermediate u2, y1 ⇒

x. 1 = A1x1 + B1ux. 2 = A2x2 + B2[C1x1 + D1u]y = C2x2 + D2[C1x1 + D1u]

⇒x. 1 = A1x1 + B1ux. 2 = B2C1x1 + A2x2 + B2D1 uy = D2C1x1 + C2x2 + D2D1u

Compunänd (concatenänd) cei doi vectori de stare íntr-un singurx1, x2

vector se obþine forma compactá a sistemului interconectat S, descrisx =

x1

x2

prin

S: , (4.2.8)x. = Ax + Buy = Cx + Du

n1 n2 p n1 n2

unde . A =

A1 0B2C1 A2

n1

n2B =

B1

B2D1

n1

n2C = r D1C1 C2 D = D2D1


95

4.2.4. Conexiunea serie a douá sisteme LIT. Reprezentareaintrare-ießire

Presupunem cá intereseazá numai comportarea intrare-ießire a sistemuluiinterconectat serie, reprezentat ín Fig.4.2.2.

Pentru sisteme neliniare ca cele prezentate ín paragraful 4.2.2, exprimareaexplicitá a ráspunsului forþat, íntr-o manierá generalá, este practic imposibilá,deoarece proprietatea de decompoziþie nu este valabilá pentru orice sistemneliniar. Ín schimb, pentru sistemele liniare din paragraful 4.2.3, se pot obþineußor matricele de transfer, astfel:

(4.2.9)H1(s) = C1 (sI − A1)−1B1 + D1

H2(s) = C2 (sI − A2)−1B2 + D2

Ráspunsurile forþate ale celor douá sisteme se exprimá prin: ,S1 : Y1(s) = H1(s)U1(s); S2 : Y2 (s) = H2(s)U2(s)

iar relaþiile de conexiune sunt:

.Rc : U2(s) ≡ Y1(s); U(s) ≡ U1 (s); Y(s) ≡ Y2(s). p1 = p; r2 = r; p2 = r1

H (s)1 H (s)2 H (s)1H (s)2U (s)

1 1Y (s) U (s)

2 2Y (s) ≡ U(s) Y(s)

11r xp )( 22r xp )( (rxp)

Figura nr. 4.2.2.Se deduc

Y(s) = Y2(s) = H2(s)U2(s) = H2(s)Y1(s) = H2(s)H1 (s)U1(s) = H(s)U(s) . (4.2.10)H(s) = H2(s) ⋅ H1(s)

Se poate verifica ußor faptul cá matricea de transfer (MT) a sistemuluicomplet (4.2.8), obþinut prin conexiunea serie, este identicá cu produsul matricilorde transfer din relaþia (4.1.10). Íntr-adevár, din (4.2.8) se obþine

H(s) = C[sI − A]−1B + D = D2 C1 C2 sI − A1 0−B2C1 sI − A2

−1

B1

B2D1

+ D2D1 =

= D2 C1 C2 ⋅

Φ 1(s) 0Φ 2(s)B2C1 Φ 1(s) Φ 2(s)

B1

B2D1

+ D2D1 =

= D2 C1Φ 1(s) − C2Φ 2(s)B2C1Φ 1(s) C2Φ 2(s)

B1

B2D1

H(s) = D2C1 Φ 1(s)B1 + C2Φ 2(s)B2C1Φ 1(s)B1 + C2 Φ 2(s)B2D1 + D2D1 =

= C2Φ 2(s)B2[C1Φ 1(s)B1 + D1] + D2 [C1Φ 1(s)B1 + D1]

H(s) = [C2Φ 2 (s)B2 + D2][C1Φ 1(s)B1 + D1] = H2(s) ⋅ H1(s)

Deci FT a conexiunii serie este produsul FT corespunzátoarecomponentelor conexiunii.


96

4.2.5. Controlabilitatea ßi observabilitatea conexiunii serieConexiunea serie a unei familii de sisteme conserváF I = S i, i ∈ I

cäteva proprietáþi comune ale sistemelor componente ca, de exemplu, proprietateade linearitate ßi proprietatea de stabilitate.

Alte proprietáþi, ca, de exemplu, proprietatea de controlabilitate ßiproprietatea de observabilitate pot dispare la sistemul rezultat, obþinut princonexiunea serie, chiar dacá fiecare componentá satisface aceste proprietáþi.

Ín cele ce urmeazæ vom analiza aceste aspecte utilizänd exemple concretecare se referá la conexiunea serie a douá sisteme LIT, fiecare dintre acestea fiindde ordinul unu.

4.2.5.1. Reprezentarea diagramelor de stareSe considerá o conexiune serie a douá sisteme LIT-SISO, de ordinul unu

pentru care, ín capitolul anterior, au fost deduse diagramele de stare.

(4.2.11)S1 : H1(s) = K1

s + p 1=

Y1(s)U1(s)

⇒

x. 1(t) = −p1x1(t) + K1u1 (t)y1(t) = x1(t)

S2 : H2(s) =K2(s + z2)

s + p2=

Y2(s)U(s)

⇒

x. 2(t) = −p2x2(t) + K2 (z2 − p2)u2(t)y2(t) = x2(t) + K2u2 (t)

(4.2.12)Rc : u2(t) ≡ y1(t), u(t) ≡ u1(t), y(t) ≡ y2(t)

(4.2.13)Cc : Γ1 ⊆ Ω 2, Ω = Ω 1, Γ = Γ2.

Conexiunea celor douá subsisteme, exprimatá prin relaþii intrare-ießire(funcþii de transfer) este reprezentatá ín schema bloc din Fig.4.2.3.

≡H (s)1 H (s)2

Y (s)1 U (s)2 Y (s)=Y(s)2U(s)=U (s)1 H(s)U(s) y(s)

H(s)=H (s)H (s)2 1

Figura nr.4.2.3.

Ín acest caz, scalar, funcþia de transfer echivalentá se poate prezentaprintr-o expresie algebricá (datoritá proprietáþii de comutativitate), sub forma:

H(s) = H2(s) ⋅ H1(s) = H1(s) ⋅ H2(s)

. (4.2.14)H(s) =K1K2 (s + z2)

(s + p1)(s + p2)

Se poate observa cá H(s) are ordinul .n1 + n2 = 1 + 1 = 2


97

Aceeaßi conexiune, exprimatá ínsá prin ecuaþii de stare, se poate reprezentafolosind diagramele de stare, ca ín Fig.4.2.4.

2K

2K (z - p )22

2-p

1s

+

+

+ + +

+

2x (0)•x 2

x2

y = y 2u=u 1

1K

1-p

1s

+

+ +

+1x (0)

•x1 x1

u = y 2 1

u 2u 1 y 2y 1

S1 Rc S2

DS corespunzatoare lui S2DS corespunzatoare lui S1

Figura nr.4.2.4.Bazändu-ne pe aceastá DS, se deduc ecuaþiile de stare ale sistemului

interconectat:

S: (4.2.15)x. = Ax + buy = cTx + du

, x = x1x2

unde,

.A =

−p1 0K2(z2 − p2) −p2

; b =

K1

0

; c =

K2

1

; d = 0

Deoarece

(4.2.15a)X(s) = Φ(s) ⋅ x(0) + Φ(s) ⋅ b ⋅ U(s); Φ(s) = [sI − A]−1

componentele cu indicii (ij) ale matricei de tranziþie , pot fi ußorΦ ij(s)determinate be baza relaþiei (4.2.15a).

Prin prelucrári adecvate asupra DS, se evitá operaþia de inversare amatricilor.

Pentru o mai mare comoditate DS din Fig.4.2.4 se transformá íntr-o DSechivalentá condensatá ca cea din Fig.4.2.5.

+

+

2x (0)x2 y = y 2u=u1 +

+

1x (0)1

s+p1

1s+p2

1x

y u 1 2

++

21

1K

2K

2K (z - p )22

Figura nr.4.2.5.


98

Din (4.2.15) se obþine:

(4.2.16)Φ ij(s) = Xi(s)xj(0) xk (0)=0, k≠j, U(s)≡0

deci,

Φ 11(s) =X1(s)x1(0)

= 1s + p1

; Φ 12(s) =X1(s)x2(0)

= 0;

Φ 21(s) = X2(s)x1(0)

=K2(z2 − p2)

(s + p1)(s + p2); Φ 22(s) = X2(s)x2(0)

= 1(s + p1)

ßi, ín final:

(4.2.17)Φ(s) =

1s + p1

0

K2(z2 − p2)(s + p1)(s + p2 )

1s + p2

Ráspunsul prin stare este

X(s) =

1s+p 1

0K2 (z 2 −p 2)

(s+p 1 )(s+p 2 )1

s+p 2

x1(0)x2(0)

+

1s+p 1

0K2 (z 2 −p 2)

(s+p 1 )(s+p 2 )1

s+p 2

K1

0

U(s)

cu (4.2.18)X1(s) = X1l(s) + X1f(s) = 1

s + p1x1(0) + K1

s + p1U(s)

X2(s) = X2l(s) + X2f(s) =K2(z2 − p2)

(s + p1)(s + p2)x1(0) + 1s + p2

x2(0)+

+K1K2(z2 − p2)(s + p1)(s + p2)U(s)

Se poate demonstra cá funcþia de transfer a conexiunii serie este:

H(s) = cTΦ(s)b + d =K1K2(s + z2)

(s + p1)(s + p2) = H1(s)H2 (s).

Expresia márimii de ießire, ín domeniul complex, este:

Y(s) = cTΦ(s)x(0) + (cTΦ(s)b + d)U(s) = Yl(s) + Yf(s)

Y(s) = K2X1l(s) + X2l(s) + H(s)U(s) = Yl(s) + Yf (s)unde

(4.2.19)Yl(s) = K2

(s + p1)x1(0) +K2(z2 − p2 )

(s + p1)(s + p2)x1(0) + 1(s + p2 )x2(0)

(4.2.20)Yf(s) =K1 K2(s + z2)

(s + p1)(s + p2)U(s)


99

Dacá se obþine:p1 ≠ p2

.(4.2.21)yl(t) = K2

p1 − z2p1 − p2

(x1(0)) e−p 1 t +

K2(z2 − p2 )(p1 − p2) x1(0) + x2(0)

e−p2 t

Dacá , transformarea Laplace inversá ne conduce la: p1 = p2

yl(t) = K2 e−p1 t ⋅ x1(0) + K2(z2 − p1)te−p 1 t ⋅ x1(0) + e−p 1 t ⋅ x2(0)

4.2.5.2. Controlabilitatea ßi observabilitatea conexiunii serie

Cazul 1: ßi .z2 ≠ p1 z2 ≠ p1

Dacá funcþia de transfer obþinutá ín urma conexiunii serie

(4.2.14*)H(s) =K1K2 (s + z2)

(s + p1)(s + p2)este ireductibilá, adicá ßi , atunci sistemul complet S, descris prinz2 ≠ p1 z2 ≠ p2

ecuaþiile de stare (4.2.15), obþinut prin conectarea serie a subsistemelor S1 ßi S2este complet controlabil ßi complet observabil.

Aceste proprietáþi, se pástreazá pentru oricare realizare prin ecuaþii de starea funcþiei de transfer ireductibile.

Pentru sistemul (4.2.15) se pot calcula matricile de controlabilitate P ßiobservabilitate Q, astfel:

,P = [b... Ab] =

K1 −K1p1

0 K1K2(z2 − p2)

; detP = K1

2K2(z2 − p2 )

(4.2.22)

.QT =

cT

cTA

=

K2 1−K2p1 + K2(z2 − p2) −p2

; detQ = K2(p1 − z2)

(4.2.23)Ín acest caz, se observá cá:

ceea ce ínseamná cá sistemul interconectat este complet controlabil;det(P) ≠ 0 ceea ce ínseamná cá sistemul interconectat este complet observabil.det(Q) ≠ 0

Cazul 2: .z2 ≠ p2

Dacá , sistemul este complet controlabil, oricare ar fi relaþiaz2 ≠ p2 , det P ≠ 0dintre z2 ßi p1. Calitativ, aceastá proprietate poate fi evidenþiatá ßi ín diagramele destare din Fig.4.2.4 sau, mai clar, din Fig.4.2.5, unde se observá cá intrarea u poatemodifica componenta x1 ßi, prin aceasta, dacá , ßi componenta x2 az2 ≠ p2

vectorului de stare. Menþionám cá numai observarea (inspectarea) diagramei de stare nu

garanteazá proprietatea de controlabilitate completá, ínsá, ín mod cert, se poateevidenþia situaþia cänd sistemul nu are proprietatea de controlabilitate.


100

Cazul 3: .z2 = p2

Ín acest caz ßi sistemul este necontrolabil. Dacá , índet(P) = 0 z2 = p2

mod sigur componenta x2 nu poate fi modificatá de cátre intrare, deci siguraceastá componentá de stare este necontrolabilá, ínsá componenta x1 poate ficontrolatá prin intrare.

Ín acest exemplu, dependenþa dintre x1 ßi u este datá de,

, X1(s) = K1

s + p1U(s)

care aratá cá este modificatá prin u.x1

Se spune cá un sistem este complet controlabil, , dacá ßi numaidet(P) ≠ 0dacá, toate componentele vectorului de stare sunt controlabile pentru orice valoriale acestor componente din spaþiul stárilor.

Aprecierea rangului matricei de controlabilitate P prin valoareadeterminantului sáu nu indicá care dintre componentele vectorului de stare suntcontrolabile ßi care componente nu sunt fi controlabile.

Mai exact, ín acest exemplu, aceasta ar ínsemna care din evoluþiile(modurile) generate de polii sau ar putea fi modificate prin(−p1) (−p2)intermediul intrárii.

Cänd funcþia de transfer a conexiunii serie este de ordinul íntäiz2 = p2

(4.2.24)H(s) = K1

(s + p1) ⋅K2(s + z2)

(s + p2) = K1K2

s + p 1chiar dacá sistemul rámäne ín continuare de ordinul doi; acest ordin doi este pusín evidenþá prin faptul cá ráspunsul liber al sistemului (4.2.21) pástreazádependenþa de cei doi poli care introduc douá moduri diferite, respectiv ßie−p 1t

.e−p 2 t

Cazul 4: .z2 ≠ p1

Dacá , sistemul este observabil oricare ar fi relaþia dintrez2 ≠ p1 , det Q ≠ 0 ßi . Examinarea vizualá (inspectarea) diagramei de stare, din Fig.4.2.5 nuz2 p2

evidenþiazá direct proprietatea de observabilitate.Nu trebuie sá se ínþeleleagá greßit cá dacá fiecare componentá a vectorului

de stare afecteazá (modificá) ießirea, atunci cu certitudine, sistemul esteobservabil.

Se reaminteßte cá proprietatea de observabilitate exprimá posibilitateadeterminárii stárii iniþiale care a existat la un moment t0 pe baza cunoaßterii ießiriißi a intrárii din acel moment iniþial t0.

Ín cazul SLIT este suficientá cunoaßterea numai a ießirii, indiferent demomentul iniþial t0. De aceea, pentru sistemele SLIT se spune: perechea (A, C)este observabilá.

Din Fig.4.2.5.,se observá cá, chiar dacá (ceea ce ínseamná cáz2 = p1

sistemul nu este observabil), atät x1 cät ßi x2 modificá (afecteazá) márimea deießire.


101

4.2.5.3. Ilustrarea proprietáþii de observabilitate ca posibilitate dedeterminare a stárii iniþiale dacá se cunosc ießirea ßi intrarea

Ín analiza de mai sus s-a vázut cá atunci cänd , sistemulz2 = p1

interconectat are ceea ce ínseamná cá el nu este observabil, deßidet(Q) = 0ießirea

y(t) = cTx(t) + du(t) = K2 ⋅ x1(t) + 1 ⋅ x2(t) + 0 ⋅ u(t)

depinde de ambele componente ale vectorului de stare.Vom aráta, printr-un exemplu, cá proprietatea de observabilitate ínseamná

posibilitatea de a determina starea iniþialá pe baza intrárii aplicate la un momentdat, considerat moment iniþial, ßi a ießirii observate íncepänd din acel momentiniþial.

Ín cazul sistemelor LIT aceastá proprietate depinde numai de ießire, caráspuns la acea stare iniþialá. Mai mult, pentru sistemele LIT aceastá proprietatenu depinde de intrare, confirmänd faptul cá observabilitatea este o proprietate asistemului, este o proprietate structuralá a sistemului.

Cu aceste observaþii, vom considera (nu este necesará o altáu(t) ≡ 0intrare sau este indiferent ce intrare se considerá), deci ießirea sistemului va firáspunsul liber, .y(t) = yl(t)

Expresia, ín domeniul timp, a ráspunsului liber se obþine aplicändtransformarea Laplace inversá relaþiei (4.2.19) evaluatá ín douá cazuri distincte:Cazul a: ßi Cazul b: .p1 ≠ p2 p1 = p2

Cazul a: .p1 ≠ p2

Expresia obþinutá ín (4.2.21) are forma:

(4.2.21*)yl(t) =

K2(p1 − z2)p1 − p2

x1(0)

e−p 1 t +

K2(z2 − p 2)p1 − p2

x1(0) + x2(0)

e−p2 t

sau, echivalent,

(4.2.25)yl(t) = K2p1 − p2

[(p1 − z2 )e−p1 t + (z2 − p2)e−p 2 t] ⋅ x1(0) + [e−p 2 t] ⋅ x2(0)

Íntrucät scopul nostru este acela de a determina vectorul de stare x(0), cucele douá componente ale sale ßi , vom construi un sistem cu douáx1(0) x2(0)ecuaþii, consideränd ín (4.2.21) douá momente de timp diferite :t1 ≠ t2

K 2p 1 −p2

[(p1 − z2)e−p 1 t 1 + (z2 − p2)e−p 2t 1 ] e−p 2 t 1

K 2p 1 −p2

[(p1 − z2)e−p 1 t 2 + (z2 − p2)e−p 2t 2 ] e−p 2 t 2

x1(0)x2(0)

=

yl(t1)yl(t2)

care poate fi scrisá íntr-o forma condensatá:


102

.G ⋅ x(0) =

yl(t1)yl(t2)

G =

K2p 1 −p 2

[(p1 − z2)e−p1 t 1 + (z2 − p2)e−p 2 t 1] e−p 2 t 1

K2p 1 −p 2

[(p1 − z2)e−p1 t 2 + (z2 − p2)e−p 2 t 2] e−p 2 t 2

Posibilitatea determinárii univoce a stárii iniþiale x(0) este asiguratá devaloarea determinantului matricei G:

.det G = K2p1 − p2

(p1 − z2) ⋅ e−p 1 t 1 ⋅ e−p 2 t2 ⋅ 1 − e−p1 (t 2 −t 1)

e−p2 (t 2 −t 1)

Deoarece ßi , p1 ≠ p2 t1 ≠ t2

det G ≠ 0 ⇔ p1 ≠ z2 ⇔ det Q = K2(p1 − z2) ≠ 0

x(0) = G−1 ⋅

yl(t1)yl(t2)

Cazul b: .p1 = p2

Analiza se realizeazá íntr-o manierá identicá, dar expresia ráspunsuluiliber, ín domeniul timp, dedusá din (4.2.19) este:

sauyl(t) = K2 e−p1 t ⋅ x1(0) + K2(z2 − p1)te−p 1 t ⋅ x1(0) + e−p 1 t ⋅ x2(0)

(4.2.26)yl(t) = [K2 (1 − (z2 − p1)t]e−p 1t ⋅ x1(0) + e−p1 t ⋅ x2(0)]

Matricea G are forma:

G =

K2[1 − (z2 − p1)t1]e−p2 t 1 e−p1 t 1

K2[1 − (z2 − p1)t2]e−p2 t 2 e−p 1 t 2

cu

det G = K2(p1 − z2)(t2 − t1)e−p1 (t 2 +t 1)

De asemenea, ín acest caz:

,z2 = p1 = p2 ⇔ det G = 0 ⇔ detQ = 0

ceea ce ínseamná cá sistemul nu este observabil atunci cänd .z2 = p1


103

4.2.5.4. Interpretarea ráspunsului liber ín domeniul timp al unui sistemneobservabil

Se considerá situaþia ín care , pentru care condiþia de observabilitatez2 = p1

nu este satisfácutá. Ín acest caz, ráspunsul liber al sistemului dat de (4.2.25),

yl(t) =

K2p1 − p 2

(p1 − z2) ⋅ x1(0)

⋅ e−p 1t + K2

(z2 − p2)p1 − p2

⋅ x1(0) + x2(0)

⋅ e−p 2 t

capátá forma:(4.2.27)yl(t) =

K2z2 − p2p1 − p2

x1(0) + x2(0) ⋅ e−p 2 t , p1 ≠ p2 , (z2 = p1)

iar, cel din (4.2.26) este:. (4.2.28)yl(t) = [K2 x1(0) + x2(0)] ⋅ e−p 2t , p1 = p 2, (z2 = p1 = p2)

Din (4.2.27) se observá cá ráspunsul liber al acestui sistem neobservabildepinde de ambele componente ale vectorului de stare ßi , dar ießireax1(0) x2(0)exprimá numai efectul polului , prin intermediul modului . −p2 e−p 2t

Ín acest caz nu se pot determina, pe baza ráspunsului, ín mod separat celedouá componente ßi , ci se poate determina numai o combinaþiex1(0) x2(0)liniará a acestora

. K2(z2 − p2)

p1 − p2x1(0) + x2(0)

Din (4.2.28)se vede cá aceastá structurá se menþine ßi ín cazul cänd p1 = p2

Deci, dacá íntr-o conexiune serie (4.2.13), subsistemul S2 din (4.2.12) areun zerou egal cu un pol al subsistemului S1 din (4.2.11), atuncis = −z2 s = −p1

sistemul interconectat continuá sá rámäná de ordinul doi, dar nu are proprietateade observabilitate.

Ráspunsul sáu forþat este de ordinul íntäi ßi depinde numai de polul s = −p2

avänd funcþia de transfer

. (4.2.29)H(s) = K1

(s + p1) ⋅K2(s + z2)

(s + p2) = K1K2

s + p 2

Ín funcþia de transfer a acestei conexiuni serie, apar doi factori comunicare, pentru realizarea prin ecuaþii de stare (4.2.15), determiná pierdereaproprietáþii de observabilitate a acestei realizári prin ecuaþii de stare.

Dacá ín aceeaßi funcþie de transfer, ar apare aceeaßi factori comuni, pentruo altá realizare prin ecuaþii de stare a aceleiaßi funcþii de transfer, este posibilsá se piardá fie proprietatea de controlabilitate a acestei realizári, fie proprietateade observabilitate, fie ambele proprietáþi de observabilitate ßi controlabilitate.

Ín general, existá realizári particulare prin ecuaþii de stare care ín modexplicit conservá proprietatea de controlabilitate, numite realizári controlabile(dar care nu garanteazá ßi proprietatea de observabilitate), precum ßi realizáriparticulare prin ecuaþii de stare care ín mod explicit conservá proprietatea deobservabilitate, numite realizári observabile (dar care nu garanteazá ßiproprietatea de controlabilitate).


104

4.2.6. Stabilizarea sistemelor prin conexiunea serie S-a vázut, prin exemplul prezentat anterior, cá prin intermediul conexiunii

serie este posibil ca un pol al funcþiei de transfer corespunzátoare unui subsistemsá fie simplificat (sá fi compensat serie) de un zerou al funcþiei de transfercorespunzátoare altui subsistem, astfel íncät ín funcþia de transfer interconectatánu mai apare polul simplificat.

Acest proces de eliminare a unor poli ai unor subsisteme prin simplificarecu zerouri din alte subsisteme se numeßte proces de compensare serie.

Evident, fiind vorba despre poli, zerouri, funcþii de transfer, este de aßteptatca aceste efecte sá se manifeste numai ín ráspunsul forþat al sistemului.

Ín particular, cel puþin teoretic, putem elimina ín felul acesta toþi poliiplasaþi ín semiplanul drept al planului complex, aceasta ínsemnänd cá un sistemcare era instabil (din cauza polilor din semiplanul drept) sá deviná stabil.

Acest proces se numeßte stabilizare prin conexiune serie sau stabilizareprin compensare serie.

Stabilizarea prin compensare serie asigurá numai stabilitatea externácunoscutá ßi sub numele de stabilitate intrare-ießire. Se reaminteßte cá existá maimulte concepte de stabilitate, unul dintre acestea fiind conceptul de stabilitateexterná.

O astfel de procedurá nu este recomandatá ín practicá. Susþinemaceastá recomandare printr-o analizá concretá efectuatá pe exemplul discutat maisus exprimat de relaþiile (4.2.11) - (4.2.15).

Considerám cazul ín care ßi adicá sistemul este instabil−p1 > 0 −p2 < 0 S1

iar este stabil. Considerám, ín plus, cá , deci este stabil fáráS2 −z2 = −p1 > 0 S2

minim de fazá.Ín aceste condiþii, comportarea intrare-ießire a sistemului interconectat serie

este stabilá (stabilitate externá) aßa cum rezultá ßi din funcþia de transfer (4.2.29):

(4.2.29)H(s) = K1

(s + p1) ⋅K2 (s + z2)

(s + p2 ) = K1K2

s + p2=

Y(s)U(s) c.i.n.

pentru care ráspunsul forþat este determinat de o funcþie de transfer de ordinulíntäi ce conþine numai polul stabil .s = −p2

Íntr-adevár, componenta forþatá a ießirii, ca ráspuns la o intrare u(t)yf(t)márginitá ce admite o valoare staþionará unde u(∞)

,u(∞) =s→0lim s ⋅ U(s)

evolueazá cátre o valoare staþionará márginitá datá de,yf(∞)

, t→∞lim yf(t) =

s→0lim s ⋅ Y(s) =

s→0lim s ⋅ K1K2

s + p2⋅ U(s) = K1K2

p2⋅ u(∞) = yf(∞)

deoarece funcþia de variabilá complexá


105

, s ⋅ H(s) = s ⋅ K1K2s + p2

este analiticá atät pe axa imaginará, cät ßi ín semiplanul drept. Aceasta exprimá stabilitatea externá, ín sensul intrare márginitá ießire

márginitá (IMEM).

Din (4.2.27) ßi (4.2.28) se observá ínsá cá, pentru cazul particular ßiz2 = p1

ráspunsul liber este márginit ßi tinde asimptotic cátre zero:

t→∞lim yl(t) =

t→∞lim

K2(z2 − p2)

p1 − p2x1(0) + x2(0)

⋅ e−p 2t =

pentru ,= K2(z2 − p2)

p1 − p2x1(0) + x2(0)

⋅ [

t→∞lim e−p 2 t]0 = [...] ⋅ 0 = 0 p1 ≠ p2

t→∞lim yl(t) =

t→∞lim [K2x1(0) + x2(0)] ⋅ e−p 2 t =

pentru ,= [K2x1(0) + x2(0)] ⋅ [t→∞lim e−p 2 t]0 = [...] ⋅ 0 = 0 p1 = p2

oricare ar fi starea iniþialá márginitá . x1(0) , x2(0)

Aceasta ínseamná cá stabilitatea interná este asiguratá. Trebuie totußimenþionat faptul cá, aceastá stabilitate interná apare numai pentru cá sistemulinterconectat serie este neobservabil avänd chiar modul instabil deconectat.e−p 2t

Formal, se poate spune cá, un sistem instabil , poate fi stabilizat externS1

(intrare-márginitá, ießire-márginitá - IMEM) prin compensare serie, realizatá princonectarea serie a acestuia cu un alt sistem care are un zerou egal cu polulS2

nedorit (acum instabil) al sistemului .S1

Aceastá modalitate de stabilizare prin compensare serie este interesantánumai teoretic, "numai pe härtie", deoarece:

1. Este deosebit de senzitivá;2. Sistemul rámäne intern instabil.

Dacá relaþia nu se realizeazá exact, ci va fi, de exemplu,z2 = p1

cu oricät de mic, ráspunsul y(t) tinde cátre infinit.z2 = p1 + ε ε

Din (4.2.25) rezultá:

(4.2.30)yl(t) = K2p1 − p2

ε e−p1 tx1(0) + K2(z2 − p2)

p1 − p2x1(0) + x2(0)

e−p 2 t

dacá t→∞lim yl(t) → ±∞ −p1 > 0


106

yf(t) = L−1 K1K2(s + z2)(s + p1)(s + p2)U(s) =

iΣ ri(t)eλi t +

K1K2U(−p1)p 1 − p2

ε e−p 1 t , −p1 > 0

(4.2.31)unde prin s-au notat reziduurile funcþiei ín polul ßi ín poliiri(t) Yf(s) −p2

tansformatei Laplace U(s) a intrárii. Polii funcþiei U(s) se aflá ín semiplanul stäng, deoarece u(t), este o funcþie

márginitá. Astfel,

.t→∞lim yf(t) = 0 ± ∞ = ±∞

Fiecare componentá a vectorului de stare devine nemárginitá, pentru cauzenenule (stare iniþialá nenulá sau intrare nenulá). Din (4.2.18), aplicänd transformarea Laplace inversá se obþine:

(4.2.32)x1(t) = e−p 1 tx1(0) + K1U(−p1)e−p 1 t+i

Σ ri(t)eλit

unde acum prin s-au notat reziduurile funcþiei ín polii li airi(t)K1U(s)s + p1

transformatei Laplace U(s), Re(λ i) < 0.Se poate exprima ca o sumá dintre o componentá instabilá x1(t) x1

I (t)generatá de polul instabil ßi o componentá stabilá generatá de polii−p1 > 0 x1

S(t), astfel: λ i

(4.2.33)x1(t) = x1I (t) + x1

S(t)

(4.2.34)x1I (t) = [x1 (0) + K1U(−p1)] ⋅ e−p 1t

(4.2.35)t→∞lim x1

I (t) = ±∞ ⇒t→∞lim x1(t) = ±∞

(4.2.36)x1S(t) =

iΣ ri(t)eλi t ,

t→∞lim x1

S(t) = 0

A doua relaþie din (4.2.18) conduce la:

(4.2.37)X2(s) =K2(z2 − p2 )

p2 − p1[x1(0) + K1U(s)] ⋅ 1

s + p1+

.+K2(z2 − p2)

p1 − p2[x1 (0) + K1U(s)] ⋅ 1

s + p2+ 1

s + p2x2(0)

Asemánátor se exprimá componenta instabilá , generatá de polulx2I (t)

ßi componenta stabilá generatá de polul ßi de polii ai(−p1 > 0) x2S(t) −p2 < 0 λ i

funcþiei .U(s) (4.2.38)x2(t) = x2

I (t) + x2S(t)

(4.2.39)x2I (t) =

K2(z2 − p 2)p2 − p1

[x1(0) + K1U(−p1)] ⋅ e−p 1 t =K2(z2 − p2)

p1 − p2x1

I (t)


107

Dacá ßi , pentru se obþine:−p1 > 0 z2 = p1 K2 > 0

x1I (t) → ±∞ ⇒ x2

I (t) = K2x1I → ±∞

Deoarece,

,x2S(t) = L−1 K2(z2 − p2)

p1 − p2[x1(0) + K1U(s)] ⋅ 1

s + p2+ 1

s + p2x2(0)

t→∞lim x2

S(t) = 0 ⇒

(4.2.40)lim x2(t) = −K2t→∞lim x1

I (t) + 0 = −K2(±∞)

Componenta este nemárginitá deoarece intrarea ínx2(t) u2 = y1 = x1

sistemul este nemárginitá.S2

Evident, ín sisteme fizice, astfel de situaþii nu pot apare. Íntr-un sistemfizic, un eventual model matematic liniar instabil este posibil numai íntr-undomeniu márginit de valori pentru intrári ßi ießiri. La capetele (marginile) acestordomenii poate apare un fenomen de saturaþie, unde nu mai este valabil modelulliniar.

Explicaþia fizicá a fenomenului de stabilizare realizat ín sistemul esteS2

urmátoarea: Componenta instabilá a primului sistem, , se transmite lax1I (t) = y1

I (t)ießirea lui pe douá cái, aßa cum se observá ßi ín Fig.4.2.5, astfel: S2

1. Pe calea legáturii directe prin factorul ßi K2

2. Pe calea legáturii dinamice prin componenta . x2

Sistemul stabilizeazá sistemul dacá are astfel de parametri íncätS2 S1 S2

componenta transmisá prin cele douá cái se anuleazá (compenseazá) reciproc.x1I

Íntr-adevár, .y2

I (t) = K2 x1I (t) + x2

I (t) = K2x1I (t) − K2

z2 − p2p1 − p2

x1I (t) = K2

1 −

z2 − p2p1 − p2

x1

I (t)

Dacá , atunciz2 = p1

y2I (t) = K2 x1

I (t) − K2p1 − p2p1 − p2

x1I (t) = K2x1

I (t) − K2x1I (t) = 0 ∀ t.

Practic, acest lucru nu este posibil deoarece ßix1I (t) → ±∞

,y2I (t) = K2 x1

I (t) − K2x1I (t) → K2(±∞) − K2(±∞) = ±(∞ − ∞)

adicá ießirea "stabilizatá" , este diferenþa a douá márimi foarte mari, care, lay2I (t)

limitá cänd , devine o nedeterminare de tipul . t → ∞ ∞ − ∞Soluþia teoreticá a acestei nedeterminári ne va asigurá o valoare finitá a

limitei .t→∞lim y2

I (t) = 0Aceastá limitá finitá va fi interpretatá ca fiind ießirea din sistemul S2

"stabilizatá" serie.


108

4.2.7. Conexiunea serie ín regim staþionar a douá subsistemeSe spune cá un sistem Si este ín starea de echilibru, notatá dacá starea saxe

i

xi este constantá pentru orice moment de timp, raportat la un moment iniþial.La sistemele continuale de forma (4.1.2),

(4.2.41)S i : x. i(t) = fi(xi(t), ui(t), t); yi(t) = gi(xi(t), ui(t), t);

aceasta ínseamná

(4.2.42)xi(t) = xei = const., ∀t ≥ t0 ⇔ x

. i(t) ≡ 0, ∀t ≥ t 0

Starea de echilibru este soluþia realá a ecuaþiei

, (4.2.43)fi(xei , ui(t), t) = 0 ⇒ xe

i = fi−1( ui(t), t) xe

i = const.

posibilá numai pentru anumite funcþii .ui(t) = uei (t)

Ießirea, ín starea de echilibru, este,

(4.2.44)yei (t) = gi(xe

i , uei (t), t)

Dacá sistemul este invariant ín timp, adicá

(4.2.45)S i : x. i(t) = fi(xi(t), ui(t)); yi(t) = g i(xi(t), ui(t));

o stare de echilibru,

(4.2.46)xei = fi

−1 (ui(t)) xei = const.

este posibilá numai dacá intrarea este o funcþie constantá ín timp:

(4.2.47) ui(t) = uei (t) = Ue

i ∈ Du , ∀t ≥ t0 ⇒ (4.2.48)xe

i = fi−1 (Ue

i ) xei = const. ∈ Rn

ßi un astfel de regim se numeßte regim staþionar. Ießirea, ín regim staþionar, este

. (4.2.49)Yei = gi(xe

i , Uei ) = gi(fi

−1(Uei ), Ue

i ) = Q i(Uei ) , Ue

i ∈ Du

Din motive de convenienþá, vom nota variabilele de intrare ßi de ießire, ínregim staþionar, cu

. (4.2.50)Yei = Yi , Ue

i = Ui

Relaþia intrare-ießire, ín regim staþionar, se numeßte caracteristicá staticá:

(4.2.51)Yi = Q i(Uei ) , Ue

i ∈ Du

Se spune cá un sistem se aflá ín regim staþionar, íncepänd din momentul t0,dacá toate variabile sistemului: stare, intrare, ießire sunt (funcþii) constante íntimp, . ∀t ≥ t0


109

Un sistem se numeßte static, dacá prezintá cel puþin o caracteristicáS istaticá (4.2.50).

Menþionám cá, este posibil ca un sistem sá aibá mai multe stári deechilibru ßi deci, mai multe caracteristici statice.

Pentru sisteme LIT-SISO de forma,

, (4.2.52)S i : x. i(t) = Aixi(t) + b iu i(t); yi(t) = c iTx i(t) + d iui(t)

caracteristica staticá este

. Yi = Q i(Uei ) = [−c i

TAi−1b i + d i] ⋅ Ui , ∀Ue

i ∈ R daca det(Ai) ≠ 0(4.2.53)

Dacá , ceea ce ínseamná cá sistemul are cel puþin o valoaredet(Ai) = 0proprie egalá cu zero, adicá sistemul este de tip integrator, atunci caracteristicastaticá existá numai pentru .Ui = 0

Pentru sisteme discrete ín timp de forma (4.1.4), discuþia este similará. Starea de echilibru este

(4.2.54)xk = xe = const., ∀k ≥ k0 ⇔ xk+1 ≡ xk, ∀k ≥ k0

datá de ecuaþia:

(4.2.55)xei = fi(xe

i , uki , k) ⇒ xe

i = ψ i−1( uk

i , k) xei = const.

Se considerá acum douá subsisteme neliniare descrise, ín regimS1, S2,staþionar, prin caracteristicile statice,

(4.2.56)S1 : Y1 = Q1(U1 )

(4.2.57)S2 : Y2 = Q2(U2 )

Ele sunt conectate ín serie prin urmátoarele relaþii de conexiune:

. Rc : U2 = Y1 , U = U1 , Y = Y2

Sistemul interconectat serie are o caracteristicá staticá,

Y = Q(U) = Q2[Q1(U)] = Q2 Q1(U)

obþinutá prin simpla compunere a celor douá funcþii. Aceastá compunere poate fi realizatá ßi pe cale grafo-analiticá.


110

4.2.8. Conexiunea serie a mai multor subsistemeToate aspectele discutate cu privire la conexiunea a douá sisteme pot fi

extinse, fárá dificultate, la cazul conexiunii serie a mai multor subsisteme, sápresupunem q.

Pentru q sisteme LIT descrise prin matricele de transfer Hi(s), i = 1 : q

(4.2.58)S i : Yi(s) = Hi(s) ⋅ Ui(s) , i = 1 : q

relaþiile de conexiune sunt urmátoarele,

(4.2.59)Rc : ui+1 = yi , i = 1 : (q − 1)

iar condiþiile de conxiune sunt urmátoarele: (4.2.60)Cc : Γi ⊆ Ω i+1 , i = 1 : (q − 1)

Matricea de transfer echivalentá intrare-ießire este,

(4.2.61)H(s) = Hq(s) ⋅ Hq−1(s) ⋅ ⋅H2 (s) ⋅ H1(s) = Πi=0

q−1Hq−i(s)

deoarece ; ,Yq(s) = Hq (s) ⋅ Uq (s) Yq−1(s) = Hq−1(s) ⋅ Uq−1 (s)

dar

Uq(s) = Yq−1 (s) ⇒

Yq(s) = Hq (s) ⋅ [Hq−1(s) ⋅ Uq−1 (s)] ⇒

,Yq(s) = [Hq (s) ⋅ Hq−1(s)] ⋅ Uq−1 (s)

ß.a.m.d.

Pentru sisteme LIT-SISO, ordinea funcþiilor de transfer ín produsulechivalent poate fi modificatá (ín cazul scalar, produsul este comutativ, pe cänd íncazul matriceal, nu).

De exemplu, conexiunea serie a q funcþii de transfer se poate scrieechivalent,

H(s) = Hq(s) ⋅ Hq−1(s) ⋅ ⋅H2(s) ⋅ H1(s) = H1(s) ⋅ H2(s) ⋅ ⋅Hq−1(s) ⋅ Hq(s) = Πi=1

qHi(s)

(4.2.62)Aceastá comutativitate este agreatá numai ín calculele analitice. De

exemplu nu are importanþá ordinea polilor pentru care se evalueazá ráspunsul íntimp.

Evident, pentru a sublinia succesiunea de interconectare a obiectelor fizicecare conduc la aceste funcþii de transfer ßi la aceastá conexiune, este recomandatsá se pástreze ordinea de ínmulþire datá de relaþia (4.2.61).


111

4.3. Conexiunea paralelá

Considerám q subsisteme LIT descrise prin matricele de transfer Hi(s)

(4.3.1)S i : Yi(s) = Hi(s) ⋅ Ui(s) , i = 1 : q

penru care se considerá urmátoarele relaþii de conexiune,

Rc : ; (4.3.2)

Ui(s) = U(s)

Y(s) = Σi=1

qYi(s)

, i = 1 : q

ßi urmátoarele condiþii de conexiune:

Cc : (4.3.3)

Ω i = ΩΓi ⊆ Γ

, i = 1 : q

Conform acestor douá mulþimi precizate, relaþia intrare-ießire a celor qsubsisteme interconectate este

S: . (4.3.4)Y(s) = Σi=1

q

Yi(s) = Σi=1

q

Hi(s) ⋅ U(s) =Σ

i=1

q

Hi(s) ⋅ U(s) = H(s) ⋅ U(s)

Schema bloc care ilustreazá aceastá conexiune este prezentatá ín Fig.4.3.1.

u

y

u yH2

22

u yHq

qq

u yH1

11

++

++

Figura nr.4.3.1.

Matricea de transfer echivalentá intrare-ießire a conexiunii paralele, estesuma matricilor de transfer componente,

. (4.3.5)H(s) = Σi=1

q

Hi(s)

4. CONEXIUNEA SISTEMELOR 4.3. Conexiunea paralelá

112

4.4. Conexiunea paralel-opusáConexiunea paralel-opusá a douá subsisteme, denumitá ßi conexiunea cu

reacþie sau feedback, constituie structura fundamentalá a oricárui sistem automat.Subsistemele interconectate sunt,

(4.4.1)S1 : Y1(s) = H1(s) ⋅ U1(s)

, vector Y1(s) = [Y11 (s) ⋅ ⋅Y1

i (s) ⋅ ⋅Y1r1 (s) ]T (r1 × 1)

, vector U1(s) = [U11 (s) ⋅ ⋅U1

j (s) ⋅ ⋅U1p 1 (s) ]T (p1 × 1)

, matrice H1(s) = H1ij(s) i=1:r1 ; j=1:p 1 (r1 × p1 )

(4.4.2)S2 : Y2(s) = H2(s) ⋅ U2(s), vector Y2(s) = [Y2

1 (s) ⋅ ⋅Y2i (s) ⋅ ⋅Y2

r2 (s) ]T (r2 × 1), vector U2(s) = [U2

1 (s) ⋅ ⋅U2j (s) ⋅ ⋅U2

p 2 (s) ]T (p2 × 1), matrice H2(s) = H2

ij(s) i=1:r2 ; j=1:p 2 (r2 × p2 )

Relaþiile de interconexiune :Rc

Márimea de intrare : (4.4.3)U = U1 ⇒ p = p1

Márimea de ießire : (4.4.4)Y = Y1 ⇒ r = r1

(4.4.5)E(s) = U(s) ± Y2(s) ⇒ r2 = p = p1

(4.4.6)U1(s) = E(s) ⇒ p1 = p = r2

(4.4.7)U2(s) = Y1 (s) ⇒ p2 = r1 = r

(4.4.8)Y1(s) = H1 (s) ⋅ U1(s) ⇒ H1 matrice (r × p)

(4.4.9)Y2(s) = H2 (s) ⋅ U2(s) ⇒ H2 matrice (p × r)

Mulþimea acestor relaþii poate fi transpusá ín schema bloc din Fig.4.4.1.

H1

H2

+

±

Y =Y(s)

Y

U(s) E=U 1

2

1

HY(s) U(s)⇔

Figura nr.4.4.1.Matricea de transfer echivalentá intrare-ießire, notatá , a conexiuniiH(s)

paralel-opusá, ce realizeazá dependenþa,

, (4.4.10)Y(s) = H(s) ⋅ U(s)

se obþine prin rezolvarea pe cale algebricá a sistemului de ecuaþii (4.4.2), ín douávariante.

Ín cazul matriceal se obþin douá forme diferite pentru matricea de transferechivalentá dar care ín esenþá, dezvoltate pe componente, sunt identice.H(s)

4. CONEXIUNEA SISTEMELOR 4.4. Conexiunea paralel-opusá

113

Varianta 1Ín aceastá variantá se eliminá de la ínceput variabila intermediará ßi seE(s)

expliciteazá legátura dintre ßi de forma (4.4.10), astfel:Y(s) U(s)Y(s) = H1(s) ⋅ [U(s) ± H2(s) ⋅ Y(s)]Y(s) = H1(s) ⋅ U(s) ± H1(s) ⋅ H2(s) ⋅ Y(s)

[I + H1(s) ⋅ H2(s)] ⋅ Y(s) = H1(s) ⋅ U(s)

Y(s) = [I + H1(s) ⋅ H2(s)]−1 ⋅ H1(s) ⋅ U(s)Rezultá:

(4.4.11)H(s) = [I + H1(s) ⋅ H2(s)]−1

Se observá ca ín aceastá variantá trebuie inversatá o matrice (r × r)deoarece . H1(s) ⋅ H2(s) ⇒ (r × p) ⋅ (p × r) = (r × r) Ín relaþia (4.4.11) prin se ínþelege matricea , adicá matricea unitate .I Ir (r × r)

Varianta 2Ín aceastá variantá se deduce mai íntäi márimea ín funcþie de intrareaE(s)

ßi apoi se substituie aceastá relaþie ín (4.4.6), (4.4.7) pentru a obþine relaþiaU(s)intrare-ießire (4.4.9).

E(s) = U(s) ± H2(s) ⋅ U2

E(s) = U(s) ± H2(s) ⋅ H1(s) ⋅ E(s)

[I + H2(s) ⋅ H2(s)] ⋅ E(s) = U(s)

(4.4.12)E(s) = [I + H1(s) ⋅ H2(s)]−1 ⋅ U(s)

Y(s) = H1(s) ⋅ E(s)Y(s) = H1(s) ⋅ [I + H1(s) ⋅ H2(s)]−1 ⋅ U(s)

Rezultá:

. (4.4.13)H(s) = H1(s) ⋅ [I + H2(s) ⋅ H1(s)]−1

Se observá ca ín aceastá variantá trebuie inversatá o matrice (p × p)deoarece . H2(s) ⋅ H1(s) ⇒ (p × r) ⋅ (r × p) = (p × p) Ín relaþia (4.4.13) prin se ínþelege matricea , adicá matricea unitate .I Ip (p × p)

Din relaþia (4.4.12) se deducde matricea de transfer a elementului decomparaþie ín circuit ínchis

, (4.4.14)HEC(s) = [I + H1(s) ⋅ H2(s)]−1

dacá prin se ínþelege eroarea sistemului, privit ca un sistem de reglareE(s)automatá.

Deci, matricea de transfer echivalentá intrare-ießire a conexiunii paralelopusá a douá subsisteme S1 ßi S2, notatá , are douá forme, care din punct deH(s)vedere algebric sunt identice, dar pentru care efortul de calcul este diferit.


114

Ín cazul sistemelor monovariabile, LIT-SISO, matricele de transfer devinfuncþiile de transfer ßi cele douá variante, datoritá comutativitáþii, sunt identice

(4.4.15)H(s) =H1(s)

1_+ H2 (s)H1(s)

=H1(s)

1_+ H1 (s)H2(s)

=Y(s)U(s)

Ramura ce conþine din schema bloc din Fig.4.4.1., se numeßte caleaH1

directá iar ramura ce conþine se numeßte calea de reacþie.H2

S-a vázut cá prin conexiuni serie ßi paralel se conservá proprietatea destabilitate adicá dacá toate componentele sunt stabile atunci ßi sistemulHi(s)interconectat serie respectiv paralel rámäne stabil.

Ín cazul conexiunii paralel opusá este posibil ca prin interconectarea a douásisteme stabile sá se obþiná un sistem instabil. Pot apare ßi situaþii ín care unsistem este instabil iar sistemul interconectat sá deviná stabil.

Aceste proprietáþi fac ca structura cu reacþie, corespunzátoare echivalentconexiunii poaralel opusá analizatá ín acest paragraf, sá fie conexiuneafundamentalá a oricárui sistem automat.

Dacá funcþiile de transfer sunt raþionale, deci raport deH1(s), H2(s)polinoame,

(4.4.16)H1(s) =M1(s)L1(s)

, H2(s) =M2(s)L2(s)

funcþia de transfer interconectatá (4.4.15), denumitá ßi funcþia de transfer íncircuit ínchis, este o raþionalá

(4.4.17)H(s) =M1(s) ⋅ L2 (s)

L1(s) ⋅ L2(s)_+ M1(s) ⋅ M2(s)

=M(s)L(s)

cu polinomul de la numárátor (4.4.18)M(s) = M1(s) ⋅ L2(s)

ßi polinomul de la numitor (4.4.19)L(s) = L1(s) ⋅ L2(s)

_+ M1(s) ⋅ M2(s)

Ín particular, dacá , atunci sistemul din Fig.1.4.1. se numeßteH2(s) ≡ 1sistem cu reacþie unitate sau cu reacþie directá, iar funcþia de transfer ín circuitínchis este

. (4.4.20)H(s) =H1(s)

1_+ H1 (s)

=M1 (s)

L1(s)_+ M1 (s)

Ín aceastá structurá este funcþia de transfer ín circuit deschis.H1(s)Radácinile numárátorului sunt zerourile sistemului iar rádácinile

numitorului sunt polii sistemului. Se observá cá prin reacþie directá nu semodificá zerourile sistemului, adicá zerourile sistemului ín circuit deschis suntidentice cu cele ale sistemului ín circuit ínchis. Nu acelaßi lucru se poate spunedespre poli deoarece polii sistemului ín circuit ínchis sunt rádácinile ecuaþiei

. (4.4.21)L(s) = L1(s)_+ M1(s) = 0

Prin reacþie directá nu se modificá excesul poli-zerouri, diferenþa dintre numárulde poli ßi numárul de zerouri este aceeaßi ín circuit ínchis ßi circuit deschis.


115

4.5. Reducerea sistemelor

4.5.1. Problema reducerii sistemelorUneori, sistemele complexe apar exprimate ca o conexiune de subsisteme

ín care se evidenþiazá anumite variabile intermediare.Prin reducerea unui astfel de sistem complex la o structurá echivalentá se

ínþelege determinarea expresiei modelului matematic intrare-ießire al aceluisistem complex ca o funcþie de modelele matematice ale subsistemelor. Aceastase poate realiza prin eliminarea tuturor variabilelor intermediare.

Ín cazul sistemelor LIT-SISO trebuie sá fie determinatá funcþia de transferechivalentá (pentru SLIT-MIMO matricea de transfer echivalentá).

Ín procesul de reducere, scopul nu este acela de a rezolva complet sistemulde ecuaþii ce caracterizeazá acea conexiune (adicá sá se determine toatevariabilele necunoscute: variabile intermediare ßi de ießire), ci numai de a eliminavariabilele intermediare ßi de a exprima o componentá (sau toate componentele)vectorului de ießire ín funcþie de vectorul de intrare.

Ín general se utilizeazá trei metode de reducere:1. Reducerea analiticá.2. Reducerea prin transformarea schemelor bloc.3. Reducerea prin utilizarea metodei grafelor de fluenþá.

4.5.2. Reducerea analiticáAceasta ínseamná sá se rezolve analitic, utilizänd diferite tehnici ßi metode,

setul (sistemul) de ecuaþii ce descriu sistemul dinamic. Aceasta prezintá avantajulcá poate fi aplicatá la o clasá mai largá de sisteme, nu numai sistemelor LIT.

Deoarece coeficienþii ecuaþiilor sunt expresii literale, ín particular funcþii detransfer ín variabilele s sau z, determinarea soluþiilor devine dificilá, mai alespentru sisteme cu un numár mare de ecuaþii. Ín astfel de cazuri, metodelenumerice implementabile pe calculatoare nu sunt aplicabile.

4. CONEXIUNEA SISTEMELOR 4.5. Reducerea sistemelor

116

4.5.3. Reducerea sistemelor prin transformári pe scheme blocDacá un sistem este reprezentat printr-o schemá bloc complexá, acesta

poate fi redus la o formá echivalentá simplá prin transformarea, prin prelucrarea,schemei bloc ín concordanþá cu anumite reguli.

Dacá sistemul complex este unul cu mai multe intrári ßi mai multe ießiri(LIT-MIMO) structura echivalentá va fi exprimatá printr-o matrice de transferechivalentá H(s).

Prin aceastá metodá este posibil sá se determine funcþia de transferechivalentá íntre o intrare ßi o ießire care reprezintá componentaUk(s) Yi(s)

a matricei de transfer H(s), consideränd relaþiile,Hik(s) (4.5.1)Y(s) = H(s) ⋅ U(s)

(4.5.2)Hik(s) = HU k

Yi (s) =Yi(s)Uk(s) U j (s)≡0 , ∀j≠k

. (4.5.3)H(s) =

H11 ... H1p

: Hik :Hr1 ... Hrp

, Yi(s) = Σk=1

n

HikUk

Pentru a determina o asemenea componentá trebuie sá ignorámHik(s)toate celelalte ießiri cu excepþia lui ßi sá considerám zero toate intrárile cuYi

excepþia lui . Uk

4.5.3.1. Transformári elementare efectuate ín scheme blocPentru prelucrarea schemei bloc pot fi utilizate anumite transformári

grafice. Ele sunt bazate pe identitatea relaþiilor algebrice intrare-ießireConsiderám toate relaþiile ín domeniul complex s sau z, dar pentru

simplitate aceste variabile vor fi omise ín continuare.

1. Conectarea blocurilor ín cascadá (serie)Relaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H2 ⋅ (H1U) Y = (H2H1) ⋅ U

H 2H 1U Y

H 2 H 1U Y

2. Conectarea blocurilor ín paralelRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H1 ⋅ U ± H2 ⋅ U Y = (H1 ± H2) ⋅ U

H 1

H 2

U Y±

+

U YH 1 H 2±


117

3. Eliminarea unui bloc de pe calea directáRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H1 ⋅ U ± H2 ⋅ U Y = (H1H2

−1 ± I) ⋅ H2 ⋅ U

H 1

H 2

U Y±

+

H 1 H 2−1

H 2U Y

±

+

4. Eliminarea unei cái inverse (de reacþie)Relaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.

a)Y = H1 ⋅ (U ± H2 ⋅ Y) Y = [(I_+ H1H2)−1H1] ⋅ U

b) Y = [H1(I_+ H2H1)−1] ⋅ U

Cazul scalar: Y = H1

1_+ H1H2

⋅ U = H1

1_+ H2H1

⋅ U

H 1

H 2

U Y Y

±

+

U YH 1H 1H 21-

+U YH 1

H 1H 21-+

Cazul scalara) b)

5. Eliminarea unui bloc de pe calea de reacþieRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.

a)Y = H1 ⋅ (U ± H2 ⋅ Y) Y = [(I_+ H1H2)−1H1H2] ⋅ [H2

−1U] b) Y = [H2

−1] ⋅ [H2H1(I_+ H2H1)−1] ⋅ U

Cazul scalar: H = H1

1_+ H1H2

= H1 H2

1_+ H1H2

⋅ 1H2

= 1H2

⋅ H2H1

1_+ H2H1

a) b)

H 1

H 2

U Y Y

±

+

H 1H 2U Y Y

±

+H 2

−1 H 1H 2U Y

±

+H 2

−1

6. Deplasarea unui punct de ramificaþie din aval ín amonteRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H ⋅ U Y = H ⋅ U

Y

YHU

Y

YHU

H


118

7. Deplasarea unui punct de ramificaþie din amonte ín avalRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H ⋅ U U = U Y = H ⋅ U U = [H−1H] ⋅ U

U

YHU YHU

U H-1

8. Deplasarea unui punct de ínsumare din aval ín amonteRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H ⋅ U1 ± U2 Y = H ⋅ [U1 ± H−1U2]

YH

U 2

U 1

±

+ YH

U 2

U 1

±

+

H-1

9. Deplasarea unui punct de ínsumare din amonte ín avalRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = H ⋅ [U1 ± U2] Y = [HU1] ± [HU2]

YH

U 2

U 1

±

+YH

HU 2

U 1

±

+

10. Rearanjarea punctelor de ínsumareRelaþia/schema originalá. Relaþia/schema echivalentá.Y = ±U1 + [U2 ± U3] Y = U2 + [±U1 ± U3]

YU 2

U 3

U 1

± ±

+ + YU 2

U 3

U 1

±

±

+

+

Exemplul 4.5.1. Reprezentári ale unui sumator cu mai multe intrári. Y(s) = U1(s) + U2(s) ± U3(s) Y(s) = (U1(s) + U2(s)) ± U3(s)

U (s)1

U (s)Y(s)

2

U (s)3

+

+

_+1U (s)

U (s)Y(s)

2

U (s)3

+

+

+_

+

Y(s) = (U1(s) ± U2(s)) ± U3(s) Y(s) = (U1(s) ± U3(s)) ± U2(s)

U (s)1

U (s) U (s)

Y(s)

2 3

+

+ ++

_ _Y(s)

U (s)2U (s)3

U (s)1 ++ +

+

_ _


119

Aßa cum am menþionat ín cazul sistemelor multivariable, pentru adetermina componenta a unei matrici de transfer H(s), trebuie sáHik(s)considerám zero toate componentele (intrári nule) ale vectorului U(s), cuUj(s)excepþia componentei ßi sá ignorám toate componentele vectorului de ießireUk(s)cu excepþia componentei Yi(s).

Cänd se aplicá aceastá regulá ßi un sumator are mai multe intrári printrecare existá intrári nule, acest operator de ínsumare va fi ínlocuit cu un element(bloc) exprimänd dependenþa ießirii operatorului de ínsumare de intrárile care nusunt considerate nule. Sá considerám un sistem cu douá intrári ßi o ießire, reprezentat ín Fig.4.5.1.a.Dorim sá determinám cele douá componente ale matricei de transferH11, H12

H(s) = [H11(s) H12 (s)]

utilizänd relaþia (4.5.2). Desigur, acesta este un exemplu foarte simplu, dar scopuleste doar de a ilustra modul ín care va fi transformat sumatorul.

G 1

G 2

Y+

-U 2

U 1 G 1

G 2

Y-

U 2

G 1YU 1 1 G 1

G 2

Y

U 2

-1

a) b) c) d)

Figura nr.4.5.1.

Cänd se determiná H11, U2 trebuie considerat zero ßi elementul de ínsumareva fi reprezentat ca ín Fig.4.5.1.b. printr-un bloc cu amplificarea 1.

Cänd se determiná H12, U1 trebuie considerat zero ßi elementul de ínsumareva fi reprezentat ca ín Fig.4.5.1.c. sau printr-un bloc cu amplificarea -1 ca ínFig.4.5.1.d.

4.5.3.2. Transformarea unei zone din schema bloc prin echivalare analiticáDacá ín anumite zone ale unei scheme bloc apar conexiuni nestandard,

pentru care nu putem realiza o reducere directá, atunci putem marca acea zoná,conþinänd conexiunile nedorite, printr-un contur ínchis specificänd ßi notänd, prinlitere suplimentare, toate liniile orientate care intrá ín sau ies din acel contur.

Liniile orientate spre contur vor fi considerate ca variabile de intrare, iarcele orientate dinspre contur vor fi considerate ca variabile de ießire ale conturuluiinterpretat ca un sistem orientat separat.

Pe acest sistem orientat (conturul nostru) putem realiza o analizá analiticáßi sá determinám expresia fiecárei variabile de ießire din contur ín funcþie devariabilele de intrare ín contur.

Apoi, aceste relaþii sunt reprezentate grafic ca o schemá bloc care vaínlocui zona marcatá din schema bloc originalá.


120

De exemplu, presupunem cá un contur delimiteazá o zoná cu douávariabile de intrare ín contur, notate ßi douá variabile de ießire din contur,a1, a2

notate , avänd transformatele Laplace .b1, b2 A1(s), A2(s), B1 (s), B2(s)Acest contur orientat este reprezentat ín Fig.4.5.2.a. ßi presupunem cá,

utilizänd metode analitice, putem exprima B1, B2 ín funcþie de A1, A2 ca ín(4.5.4), dacá dependenþa este una liniará.

G (s)12G (s)11

G (s)21 G (s)22

B (s)1

A (s)1

B (s)2

A (s)2

+ +

+ +

B (s)1

A (s)1

B (s)2

A (s)2

a) b)

Conexiuni nedorite

Figura nr.4.5.2. (4.5.4)B1(s) = G11 (s)A1(s) + G12(s)A2(s)

B2(s) = G21 (s)A1(s) + G22(s)A2(s)Aceste relaþii sunt apoi reprezentate printr-o schemá bloc ca ín Fig.4.5.2.b., careva ínlocui zona cu conexiuni nedorite.

4.5.3.3. Algoritm pentru reducerea schemelor bloc complicateÍn practicá schemele bloc sunt adesea foarte complicate, avänd mai multe

intrári ßi mai multe ießiri, incluzänd multe bucle directe sau cu reacþie.Ín cazul liniar sistemul redus este descris printr-o matrice de transfer H(s)

ale cárei componente sunt determinate separat.De exemplu, pentru a determina componenta

Hik(s) = HU k

Yi (s) =Yi(s)Uk(s) U j (s)≡0 , ∀j≠k

care leagá intrarea Uk de ießirea Yi , urmátoarele etape pot fi parcurse:1. Se ignorá toate ießirile cu excepþia lui Yi .2. Se considerá zero toate intrárile cu excepþia lui Uk. Uneori putem transforma

punctele de ínsumare corespunzátoare ca ín Fig.4.5.1.3.Se combiná ßi se ínlocuiesc prin echivalentele lor toate blocurile conectate ín

cascadá (conexiuni serie) utilizänd transformarea 1.4.Se combiná ßi se ínlocuiesc prin echivalentele lor toate blocurile conectate ín

paralel utilizänd transformarea 2.5.Se eliminá toate buclele cu reacþie utilizänd transformarea 4.6. Se aplicá transformárile grafice 3, 5:10 pentru a pune ín evidenþá cele trei

conexiuni standard de mai sus.7. Se rezolvá conexiunile complicate utilizänd echivalarea analiticá ca ín 4.5.3.2. 8. Se repetá etapele 3:7 ßi apoi se selecteazá o altá componentá a matricei de

transfer


121

4.5.4. Exemplu de reducerea unui sistem multivariabilSe considerá un sistem multivariabil descris printr-o schemá bloc (SB) ca

ín Fig.4.5.3. Ín acest exemplu vom urmári ín detaliu, din raþiuni didactice, toateetapele implicate ín reducerea sistemelor pe baza transformárilor pe scheme bloc.

Totußi, ín practicá ßi avänd o anumitá experienþá, multe din etapele ßidesenele de mai jos pot fi evitate. Pentru o prelucrare mai ußoará este recomandatsá se ataßeze variabile suplimentare ín fiecare punct de ramificaþie ßi la ießireafiecárui operator de ínsumare. Ín cazul nostru acestea sunt a0 : a8. Operatorii deínsumare sunt notaþi cu S1: S4.

Figura nr.4.5.3.

Se observá cá sistemul are douá intrári ßi douá ießiri

; ; (4.5.5)U(s) =

U1(s)U2(s)

Y(s) =

Y1(s)Y2(s)

cu schema bloc globalá (SB) din Fig.4.5.4., fiind descris prin matricea de transferH(s) avänd 4 componente

H(s) =

H11(s) H12(s)H21(s) H22(s)

; (4.5.6)H11(s) =Y1(s)U1(s) U2 =0

H12(s) =Y1(s)U2(s) U1 =0

; .H21(s) =Y2(s)U1(s) U2 =0

H22(s) =Y2(s)U2(s) U1 =0

U (s)1 Y (s)1

U (s)2 Y (s)2H(s)

Figura nr.4.5.4.


122

Acest sistem LIT este reprezentat de fapt printr-un set de 11 ecuaþiialgebrice simultane ca ín (4.5.7).

a0=H1a1; a1=U1-a7; a2=a0-a5; a3=U2+a6 a4=H3a3

a5=H5a4 a6=H2a2 a7=H7a8 a8=H4a3+H6a4 Y1=a8

Y2=a2 , (4.5.7)cu 13 variabile: a0 : a8, Y1, Y2, U1, U2 unde cele douá variabile de intrare U1, U2sunt independente (variabile libere ín sistemul algebric).

Coeficienþii H1: H7 reprezintá expresii de anumite funcþii complexe, pe carele vom denumi tot funcþii de transfer.

Pentru a reduce sistemul trebuie sá eliminám toate variabilele intermediarea0 : a8 exprimänd Y1, Y2 ín funcþie de U1 ßi U2.. Aceasta reprezintá o sarcinádestul de dificilá.

a). Determinarea componentei: H11(s) =Y1(s)U1(s) U2 =0

Pentru aceasta vom ignora Y2 ßi considerám U2=0 ca ín Fig.4.5.5, undeacum Y2 nu mai este desenat, ßi deoarece U2=0 avem a3=a6 ßi un bloc cuamplificarea 1va apárea ín locul punctului de ínsumare S3 .

Pentru a pune ín evidenþá cele trei conexiuni standard, intenþionám sámutám, ín Fig.4.5.5., punctul de ramificaþie a4 ínaintea blocului H3 (cum s-asubliniat prin ságeata punctatá) ßi sá aranjám acest nou punct de ramificaþieutilizänd echivalenþele din Fig.5.1.2.

H H H H

H

H

H

1U1 Y1

2 3

4

5

6

7

_ _+ +

+

+a1 a2 a3 a4

a5

a6

a7

a8a0

Deplasare ín amonte

S1 S2 S3

S4

1

Figura nr.4.5.5.

Dupá aceste operaþii, vor apárea foarte clar, marcate prin dreptunghiuripunctate, douá structuri: o conexiune cu reacþie standard (cu funcþia de transferechivalentá Ha) ßi o conexiune paralel (cu funcþia de transfer echivalentá Hb)notate ín Fig.4.5.6.


123

H H H H

H

H

H

1U1

Y12 3

4

5

6

7

_ _

H3H

H

a

b

+

+++ a1 a2a3 a3 a4

a5

a6

a7

a8

a0

S1 S2

S4

Figura nr.4.5.6.

Deplasarea punctului de ramificaþie reflectá urmátoarele relaþii de echivalenþá

(4.5.8)a5 = H5 a4; a4 = H3a3; ⇒ a5 = H5H3a3

Blocurile notate Ha, Hb sunt reduse la funcþiile de transfer echivalente,

; , (4.5.9)Ha = H2

1 + H2H5H3Hb = H4 + H3H6

astfel cá schema bloc din Fig.4.5.6. devine ca ín Fig.4.5.7., o simplá buclá cureacþie descrisá prin funcþia de transfer,

(4.5.10)H11(s) = H1HaHb

1 + H1HaHb H7

H

H1H11

U1 U1

U =02

Y1 Y1

7

_H Ha b

+ a1 a3

a7a8

a0S1

Figura nr.4.5.7.

Substituind (4.5.9) ín (4.5.10), ín final se obþine expresia lui H11(s)

. (4.5.11)H11(s) = H1H2H3H6 + H1H2H4

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6 H7 + H1H2H4H7


124

b). Determinarea componentei: H12(s) =Y1(s)U2(s) U1 =0

Pentru a evalua H12(s), ín SB iniþialá din Fig.4.5.3. , vom considera U1 = 0ßi se ignorá rezultänd o SB ca ín Fig.4.5.8. Y2

H H H H

H

H

H

1

Y1

U 2

2 3

4

5

6

7

_ _

++

++

+a1 a2 a3

a4

a5

a6

a7

a8

a0

S1 S2

S3 S4Deplasare ín amonte

Figura nr.4.5.8.

La fel ca mai sus vom muta, ín Fig.4.5.8., punctul de ramificaþie a4ínaintea blocului H3 . Deoarece acum

, U1 = 0; a1 = −a7; a2 = a0 − a5 = −H1a7 − a5

vom transfera semnul "- "de la S1 la intrarea lui S2 ca ín Fig.4.5.9.

Figura nr.4.5.9.Se poate observa cá acum au apárut douá conexiuni serie simple ßi

conexiunea paralel notatá cu Ha care este.Ha(s) = H4 + H3H6

H

H

H

H1

Y1

U2

2

5

7

_

_

H 3

Ha

.

.

+

+a2

a3

a5

a6a8

S2

S3

Deplasare ín aval

Figura nr.4.5.10.


125

Dupá ce punctul de ramificaþie a3 s-a deplasat dupá blocul Ha , SB aratá caín Fig.4.5.11.

H

H

H

H1

Y1

U2

2

5

7

H3

H a

.

. 1H a

Hc

- +

+

+

Figura nr.4.5.11.

A apárut o nouá conexiune paralel notatá Hc egalá cu

, (4.5.12)Hc(s) = H1 H7 + H5 H3

Hacare conduce la SB din Fig.4.5.12.

H

Y1 Y1H a

H2

U2

-

+

c

H12U 2

U =01

Figura nr.4.5.12.

Relaþia de echivalenþá din SB de mai sus reprezintá componenta H12(s):

H12(s) = Ha

1 + HaH2Hc= H4 + H3H6

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6H7 + H1H2H4H7 (4.5.13)


126

c). Determinarea componentei: H21(s) =Y2(s)U1(s) U2 =0

Pentru a determina funcþia de transfer H21(s) trebuie sá considerám U2= 0 ßisá ignorám ießirea Y1 .

Ín aceste condiþii, schema bloc iniþialá din Fig.4.5.3. aratá ca ín Fig.4.5.13.

H H H H

H

H

H

1

U1

Y2

2 3

4

5

6

7

_ _

++

+

+a1 a2 a3

a4

a5

a6

a7

a8a0

S1 S2

S3 S4

1

Deplasare ín amonte

Figura nr.4.5.13.Deoarece U2= 0, relaþia a3=U2+a6 din Fig.4.5.3. devine a3=a6 astfel cá

operatorul de ínsumare S3 este reprezentat acum printr-un bloc cu amplificarea 1,ßi mai tärziu acesta va fi ignorat. Deplasänd punctul de ramificaþie a4 ín faþablocului H3 gásim SB din Fig.4.5.14.

Figura nr.4.5.14.Noua conexiune paralel Ha este ínlocuitá prin astfel cáHa(s) = H4 + H3H6

se obþine SB din Fig.4.5.15.

Figura nr.4.5.15.


127

Redesenänd SB de mai sus, gásim forma din Fig.4.5.16.

H

H

1U1

_ _

H3

.

5

H 2

H H7 a

Y2

.

++ a1 a2

a3 a3

a5 a6

a7

a0S1 S2

Figura nr.4.5.16.

Deplasänd punctul de ramificaþie a6 ín faþa blocului H2 gásim SB dinFig.4.5.17., unde a apárut o nouá conexiune cu reacþie, notatá Hd ßi o conexiuneserie notatá He.

Figura nr.4.5.17.

Cele douá noi conexiuni sunt exprimate prin

; (4.5.14)He(s) = H2 H7Ha Hd(s) = 11 + H2H3H5

astfel cá structura finalá este o simplá conexiune cu reacþie

H1U1

_

Y2H d

He

+ U1 H21Y 2

U =02

Figura nr.4.5.18.de unde obþinem H21 (s) astfel,

. (4.5.15)H21(s) = H1Hc

1 + H1HcHb= H1

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6H7 + H1H2H4H7


128

d). Determinarea componentei: H22(s) =Y2(s)U2(s) U1 =0

Componenta H22(s) este evaluatá consideränd U1= 0 ßi ignoränd ießirea Y1astfel cá schema bloc iniþialá din Fig.4.5.3. aratá ca ín Fig.4.5.19.

H H H H

H

H

H

1

Y U2 2

2 3

4

5

6

7

_ _

+

+

+

+

+a1 a2 a3

a4

a5

a6

a7

a8

a0

S1 S2

S3 S4

Figura nr.4.5.19.Pentru a reduce aceastá schemá bloc punctul de ramificaþie a4 este deplasat

ín faþa blocului H3 ßi va rezulta structura din Fig.4.5.20.

Figura nr.4.5.20.Acum gásim echivalenþa conexiunii serie íntre H3 ßi H5 ßi a conexiunii

paralel Ha(s) = H4 + H3 H6 . Dupá aceste reduceri, o nouá conexiune serie íntreHa ßi H7 poate fi observatá ín Fig.4.5.21.

Figura nr.4.5.21.


129

Redesenänd SB de mai sus pentru a avea intrarea ín partea stängá ßi ießireaín partea dreaptá obþinem Fig.4.5.22.

H H

H H H

H

Y35

7 a

_

_

1

2

.

.

Hf

U+

+

22S1

Figura nr.4.5.22.

In interiorul acestei SB se observá o conexiune paralel, ßi o vom nota cuHf, avänd expresia,

(4.5.16)Hf = −(H3 H5 + H1H7Ha)

Ultima componentá a matricei de transfer poate fi obþinutá acum imediat,rezolvänd o buclá cu reacþie standard,

(4.5.17)H22(s) =Hf

1 − H2Hf= −H3H5 − H1H4H7 − H1H3H6H7

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6H7 + H1H2H4H7

Ín concluzie, cele patru componente ale matricei de transfer sunt:

(4.5.18)H11(s) = H1H2H3H6 + H1H2H4

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6 H7 + H1H2H4H7

(4.5.19)H12(s) = H4 + H3H6

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6 H7 + H1H2H4H7

(4.5.20)H21(s) = H1

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6 H7 + H1H2H4H7

. (4.5.21)H22(s) = −H3H5 − H1H4H7 − H1H3H6 H7

1 + H2H3H5 + H1H2H3H6 H7 + H1H2H4H7

Se poate observa cá toate acestea au acelaßi polinom la numitor. Acestpolinom, notat prin L(s)

(4.5.22)L(s) = 1 + H2H3H5 + H1H2H3H6H7 + H1H2H4H7

este determinantul sistemului (4.5.7).


130

teoria sistemelor Şi reglare automatĂ cap 1-4automation.ucv.ro/romana/cursuri/sab32/tsra_ lectii...

Documents