5o. Band R. CRAMARIUC : Betrachtungen zu dem von einem Rotationsvoltmeter erzeugten Strom 401 Heft 6 -- 1966

B e t r a c h t u n g e n z u d e m v o n e i n e m R o t a t i o n s v o l t m e t e r e r z e u g t e n S t r o m

Von

R. CRAMARIUC, Bukarest

U b e r s i c h t : Es wird der a t tgemeine A u s d r u c k fiir den y o n e inem R o t a t i o n s v o l t m e t e r e rzeug ten S t rom abgele i te t u n d besprochen , a l lerdings n u r ffir den Fall der G l e i c h s t r o m h o c h s p a n n u n g s m e s s u n g e n .

S u m m a r y : In th i s work one der ives and one ana lyses a genera l express ion of t he cu r r en t yie lded by a gene ra t i ng v o l t m e t e r in t he case of h i gh direct vol tage.

1. Einfiihrung

Das Rotat ionsvol tmeter hat eine groge Verbreitung in der HochspannungsmeBteehnik, dank seiner Einfaehheit, robusten Aufbauweise und der linearen Charakteristik zwisehen erzeugtem Strom und zu messender Spannung, gefunden. Die Arbeiten auf diesem Gebiete k6nnen im allgemeinen als das Resultat yon langwierigen experimentellen Arbeiten betrachtet werden. AuBer einigen Versuchen, eine ungeffihre Beziehung fiir den yon einem Rotations- vol tmeter gelieferten Strom abzuleiten [2, 4, 5, 6, 7], gi, bt es in der Li tera tur keinen allgemeinen Ausdruek daffir.

Die vorliegendeArbeit setzt sich als Ziel, den allgemeinenAusdruck ffir den yon einem Rota- t ionsvoltmeter erzeugten Strom zu finden. Als Anwendungsgebiet werden die Gleiehstrom- hochspannungsmesssungen verfolgt. Die abgeleitete Beziehung gilt fiir die am meisten ver- wendeten Voltmeter mit Sektoren [1--7] sowie fiir zylinderfSrmige Voltmeter des Typs ]~6NING-JARCZYK [9], B E L O T [ 8 ] .

2. Ableitung der integro-differentiellen Gleichung als Ausdruck des Stromes

In Bild 1 ist das Schema eines Rotat ionsvoltmeters mit Sektoren und folgenden Elementen skizziert.

2. Metallelektrode, an welche die zu messende Spannung gelegt wird,

2. Metallabschirmelektrode, (feststehend oder be- weglich) mit einer gewissen Zahl yon Schlitzen,

3. Der Anker als Metallelektrode (feststehend oder beweglich) bestehend aus einer gewissen Zahl von unter sich isolierten Metallsektoren mit einer best immten Form.

4. Eine geerdete lVIetallelektrode. Mit den in Bild z zu betrachtenden Kapazit~ten

erhfilt man fiir die im Anker induzierte Ladung den Ausdruck (Elektrode 3 aus Bild 1):

i

v~

3 4

Bild 1. Geometrisehes Schema eines Rotationsvoltmcters mit Sektoren.

wobei die Spannungen der Erde gegentiber mit U 1, U2, U3, U 4 bezeichnet sind (U 4 = o) und die Kapazit~ten folgende Bedeutung haben,

C13 -- Die Kapazit~it zwischen der Hochspannungselektrode und dem Anker, C~3 -- Die Kapazit~it zwischen der Absehirmung und Anker, C3~ -- Die Eigenkapazit~it des Ankers, C84 -- Die Kapazit~it zwischen Anker und geerdeter Elektrode.

402 R. CRAMARIUC: B e t r a c h t u n g e n zu dem yon e inem R o t a t i o n s v o l t m e t e r e rzeugten S t rom Archly fiir Elektrotechrdk

Aus (1) erh~ilt man leicht die integro-differentiale Gleichung als Beziehung fiir den Strom:

R ~33 ~ -~ 1 + R Caa -I- i a + ~ d33 f i:~ dt

( dr , c a v'2~ - - . CYl C13 -}- C13-ell -~ US C23 -Ju 33 dl ] ' (2)

d wobei �9 ~ ~d~ .

(dU1 dUe ) Bei Oleichstromhochspannungsmessungen \ ~ 7 - = o, d T = o mit einer sinusf6rmigen

Anderung der Kapazit{iten Ca, C~o. erh~ilt man anstat t (2) die G1. (3). (Der Fliigeldes Ankers hat die in Bild 2 wiedergegebene Form, welche durch den Ausdruck r = ~r~ + (R 2 -- r~) sin beschrieben wird [4]):

di~ ( C, C~ . ) ( R C ~ - - R C ~ s i n c o t ) ~ - + 1-}- c - - - - c S m ~ 1 7 6 1 7 6 1 7 6 i~- -

C 2 to c cos *o t ~ i a d t = -- (Ua C' -- U~ C") ~o cos o) t , (3)

wobei:

Ca = C' + C' sin o~ t C' -1 C3~ C" -- "s" =

C1 = C' + C" + Co, C~ = C" -- C' , Co = C34. (5)

~z= N~o (0 ~ u-~az/~.)

Bild 2. Anker mit sinusf6rmiger Nrtderung der Oberfliiche (N -- die Zahl der Scktoren des Ankers).

3. V e r a l l g e m e i n e r t e r A u s d r u c k f i ir den S t r o m

Fiir G1. (3) wurde bis jetzt keine L6sung angegeben, also gibt es auch keinen allgemein giiltigen Ausdruck far den yon einem Rotat ionsvoltmeter erzeugten Strom. Wir fanden eine genaue L6sung der G1. (3), also auch die allgemein giiltige Beziehung fiir den Strom. Die Ab- leitung wurde nach einer, auf der FouRIEl~transformation mit endlichen Grenzwerten beruhen- den operationellen Methode erhalten [lo]. Die allgemeine L6sung der homogenen Gleichung aus G1. (3) strebt nach Null, far ein Intervall (o, T) ~ lo -5, also verfolgen wir nur eine spezielle L6sung. Die Rechnung wurde bis zur 7-ten Harmonischen durchgeftihrt, um eine bessere Ge- nauigkeit zu erzielen. Folgend geben wir den Ausdruck fiir die ersten Drei (ftir einige parti- kul{ire F~itle wurden mehrere harmonische Schwingen berechnet) :

i~ = - o~, ( u ~ c ' - u~ c " ) c . 2 _ cos(o~t ~1) 1 + (o) R 61) 2

] {2~ ] [ raa : /2COS (0.) ~ - - 2 0r - - O~g -]- Ot i -11- ~'i) @ ~4 [ + a l r COS ((.0 i~ - - 3 i f , 1 - 20~ 2 1 + + if'f2) 2 2 k'q"

--{-- -34 aIl/2 l~ a18/2 cOS (1~0 t - - 2 0~, I - - 2 ~,,,~- (.~,~ @ i~,ll @ 2~,a2 @ (~:]

--]~6[~a3/2a3/2 COS (O) l ~ - - 4 0 t l - 3CX 2 @ 3~X i @ 30t~)

a a ~r a~/2 c o s ( ~ t - 3 ~ - 3 ~ - ~ , + 2 ~'~ + 3 ~,~ + ~) + 4 1 2

9 a , b _ a 3 b _ a a c o s ( o ~ t _ 2 a 1 - 3 a ~ - 2 a 3 + a ~ + 3 ~ x ] + 2 a ; ) 8 1 .2

50. Band R. 0RAMARIUC : Betrachtungen zu dem yon einem Rotationsvoltmeter erzeugten Strom 403 H e f t 6 - - 1966

+ ~-a*l/~ae a a a ~ / ~ c o s ( c o t - - 2 a l - - 2 a = - - 2 a a - - a ~ + a ' , - / 2 a ' 2 + 2 a ' a + a ' , ) ] + . . .}

@ 2 k all/2 c o s ( 2 co t - - ~x I - - O~ 2 -{- 0r

' " ' / ' cos (2 ~, t 2 c,~ + 2 ~q -7 ~,;) - ka 2- al % - - - - 2 %

+ </..,,/. (. o. t - -. - -7 < + < + <)]

' a~/" (2 co t 3 ~i 3 "~ - 7 3 a'~ + 2 a~) + k5 4 a2 c o s - -

1

-t- 9 a : l a a l e l 2 a a a : l a c o s ( 2 r o t - - ~ : - - 2 a ~ - - 2 a a - - a , @ a ~ @a.~ -7 2a~ @ a : ) ] -7 �9 �9 �9 i

+ . k~ 3_ al/~ a;/2 c o s (3 o t - ~ - ~,~ - aa + ~ i + ~';)

+ -[- (3 o R C~) 2

-- l # [ 3 a , % c o s ( 3 m t - - 2 a , - - 2 a . - - a a - 7 2 a ' , - 7 2 a ; ) L4

.__~9 a']" a~ a j ~- cos (3 (o t - - % - - 2 % - - 2 aa -7 ~', + 2 a'.,o -J- a'a)

' t -7 2 ~ (1~/2 a~/a a;/2 COS (3 g0 r - - 0r -- a 2 -- 2 0~ a - - a 4 @ 0r @ a{ 2 -7 0r a -7 0r

A a3/. ,~/ . ~os (3 o t - 3 o,~ - 3 o,~ - o,~ + 3 o,{ + 3 ~;) 8 1

t t a~ a 3/" a~/'- cos (3 c o t - - 2 % - - 3 a ~ - - 2 ~ a - 7 2 a , + 3 a . 5 + % )

+ k G

-7 9 4

27 + %-

27

l t t a']" a3,,/" % cos (3 (') t - a 1 - 3 ~ - 3 % + a~ + 3 %, + 2 %)

t t r t a~]" % a aa~/~ cos (3 m t -- % -- 2 % -- 3 ~a -- ~4 + % + 2 % + 2 % + %)

/ ! I ! @ --9r (~1 a2 a3~/2 a4/2 c o s ( 3 ( 0 t - - 2 o{ 1 - - 2 0{ 2 - - 2 o{ 3 - - 06 4 - F 2 o~ 1 @ 2 ~x o. @ o~ 3 @ 0~4)

-7 27 a~/2 , , , , , 2 * a~/" aa a4c~ (3 c o t - - a I - a a - 3 a a - - 2 a 4 - 7 a , - 7 a. 2 - 7 2 a a >- 2a4)

-7 45a1. /2a, /ea~/aala; /2cOs(3cOf-O~ 1--~x 2 - 2 0 r a - 2 ~ x 4 - 0 ~ 5 @ a 1 @0~ 2@~x a -72a~@or -7 . . . .

(6)

I n B e z i e h u n g (6) w u r d e n fo lgende A u s d r i i c k e v e r w e n d e t :

wobei"

@ ( f O R ) 2 1 ' =C-1 < 1 '

l C 1 + q ( i~R)~ a i . . . . a r c t g i 1 i 1, 2 , 3 . o R U '

o = N ~2 - - Die K r e i s f r e q u e n z des S t r o m e s , N - - Die Zah l der S e k t o r e n des A n k e r s , s - - \ V i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t des Moto r s s ind .

(7)

404 R, CRAMARIUC: B e t r a c h t u n g e n zn dem yon e inem R o t a t i o n s v o l t m e t e r e rzeug ten S t rom Archly for Elektrotechnik

In Anbetracht der Analyse yon (6) kann folgendes gesagt werden:

a) Die Amplitude des Stromes ist mit U1 C" -- U~ C'" proportional und symmetrisch gegen- iiber U l, U~. Daher ist es gleichgiiltig, ob die zu messende Spannung an die Etektrode 1, oder an die Elektrode 2 gelegt wird. Im letzten Fallist der Strom vielgr6Ber, da C" >~ C' ist, anderer- seits aber muB die Spannung nicht zu groB sein, da Elektrode 2 nicht so gut isoliert werden kann. Dieses Nachteils wegen wird diese Variante zur Messung von kleinen Spannungen be- niitzt.

b) Der Ausdruek des Stromes enth~ilt gradzahlige als auc!l ungradzahlige harmonische Sehwingungen.

e) Die Amplitude des Stromes h/ingt v o n d e r Kreisfrequenz ab

d) Die Amplituden der Harmonischen sind dem Faktor k i- t proportional, wobei ,,i" den Rang einer harmonischen Schwingung bedeutet . Da k < 1 ist, verkleinern sich die Amplituden sehr schnell.

e) Mit Hilfe der Parameter ~o, R, C, C 1, C 2 kSnnen die Amplituden der Harmonischen beein- flugt werden.

3.1. S o n d e r E i l l e .

3.1.I. U l = k o n s t . , U s = o , C = o o , R = o .

Aus (6) ergibt sich fiir den Strom i s der Ausdruck:

i s - -- - - ~9 C t U 1 c o s oJ t .

13eziehung (8) ist bekannt und wurde in der Li teratur beniitzt.

Us = konst. , C - o o , R = o . 3.1.2. U 1 = konst. ,

Aus (6) folgt" i~ = - ~ ( G C' - G C") cos < t .

(8)

(9)

Wenn U 1 C' = U 2 C" ist, wird i a null. Da C" >~ C' ist ergibt sich U~ ~ U~ und man kann den dureh die Hochspannung U i gegebenen Strom dutch eine Niederspannung kompensieren. Auf diese Weise kann man die Hochspannung durch eine Kompensat ionsmethode messen.

3.1.3. U t -- konst . , U 2 = konst . , C =/= oo , R = o .

Aus dem verallgemeinerten Ausdruck fiir den Strom wird fiir die Spannung am Konden- sator folgende Beziehung abgeleitet :

U ( u l c ' - u ~ c " ) { [ k~+k~ 5 k 6 + . . . ] s i n ~ o t _ [ 1 1 5 k ~ + . . . ] (c + q) 1 + 4- s + ~ v k~ + -~ k~ + 3 ~-

• c o s 2 ( o t - - 4 k ~ + ~ k ~ + ~ k ~ + . - . s i n 3 ~ o t + k~ +-g-

+ ~k~ + . . , s i n 5 c o l - - ~ k ~ + . . . c o s 6 t o t + . - . , (lo)

wobei : c2

k~ = c ~ c~ < 1 .

Aus (lo) geht hervor, dab die Amplitude der Spannung am Kondensator C unabh~ingig v o n d e r Kreisfrequenz m u n d folglich auch unabh~ngig von der Tourenzahl des Motors ist. Die M6glichkeit einer yon der Umdrehgeschwindigkeit /2 unabh/ingigen Anzeige wurde ex- perimentell dutch G. P. HAR~WECC und S. N. VOO~HIS angezeigt Eli.

50. Band R . CRAMARIUC: B e t r a c h t u n g e n zu d e m v o n e i n e m R o t a t i o n s v o l t m e t e r e r z e u g t e n S t r o m 405 Heft 6 -- x966

3.1.4. U L = konst . , U s -- kons t . , C = o c , R :/- o .

Dieser ist der am h~tufigsten in der Praxis angewendete Fall :

i3 = -- o (U1C' -- U~ C") [el {cos (o t -- o~)

~_ m~ eL e~ cos (o) t - 2 ~ - ~2) + m4 L4 e~ e~ cos ( o t - - 3 ~1 - - 2 ~2)

3 , , 0 @ J - - m 6 1 8 e :3 (o ) t 4 a l . - - - e~ ~ cos - - 3 ~2) + 4 e l e ; e a c o s ( o t 2 a t 2a~

+ 4"3 e~ e23 ea cos (oJ t - - 3 0~1 -- 3 a2 -- ~ + 8-9 el e2~ es ~ cos (o t - - 2 ~x L -- 3 ~x2 -- 2 %)

9 e ~ ~ - - - ~ x , ) ] + . - . } + 4 Le~ese 4 c o s ( ~ , ) t - 2 0 q 2 % 20~ 3

{ 8[ I e ~ e ~ c o s ( 2 0 t - - 2 ~ l - 2 a ~ ) + e ~ m e l C O S ( 2 O ~ t - ~ - ~ ) - m ;

- - - - - - e. 2 COS 3 ~ + T e ~ e ~ e 3 c ~ 1 7 6 ~ 2 ~ c~) + m ~ e~ ~ ( 2 ~ t - - 3 ~ )

~ ~ (2~o - 3 ~ - ~ ) • ~ e L ~ ~ (2o~ 3 ~ 2 ~ ) @ ~ - e ~ e ~ e 3COS t - - 2 O~L I 4 e ~ e s c o s t - - o~ 1 - - - -

@9~eLe"e'~e4c~176 -- ~162 - - 2 ~ - - 2 ~ -- ~162 @ ' ' " }

+ e~ m "~ - - e~ e~ cos (3 o ~ - ~L - - ~ - ~ ) - m~ - ~ e'~ e~ cos (3 ~') t - 2 ~x~ 2 ~ - ~3) L4

9 '2 9 - t- 4 e t e'2 e3 c o s (3 0 t -- a L - - 2 a2 - - 2 %) q - T eL e2 e3 e4 COS (3 (o ~ - - 0~ 1 - - a 2 - - 2 a 3 - - a4 )

+ m ~ v e ~ e ~ c ~ 1 7 6 1 7 7 ~ 4 1 g2 ea COS (3 ~o ~ - - 2 ~ - - 3 0~ -- 2 %)

27 ~ ~ ~'2 27 ,, + ~ - ~ % ~ c o s ( 3 o ~ - - c ~ L - 3 ~ - 3 % ) + ~ e~e~e~e, c o s ( 3 ~ o t - - a L - 2 ~ - 3 % - a ~ )

9 u ~ , . 27 + ~ - e~ e._; e~ e~ cos t3 o ~ - 2c~ - 2 ~ - 2 ~ - ~ ) + T e~ e~ e~ e] c o s (3 ~o t - ~ - ~ - 3 ~ - 2 ~,~)

+ T e L e ~ e a e ~ e ~ c o s ( 3 o t - - c h - a ~ - 2 ~ 3 - 2 ~ - a s ) + . . - + . . - . (11)

In ( 1 1 ) wurden folgende Bezeichnung beni i tz t :

gi = ~ . . . . . . . . . . " ' / ( 1 2 ) +( / toRch)2 ~ = a r c t g i o ) R C L.

m i t i - - l , 2 ,3 . Die Beziehung (~1) kann

3.1.4.1. (0 R C1) 2 ~ 1.

ftir zwei verschiedene F/ille bent i tz t werden :

Ftir diesen Fall gibt :

(03 R C l ) 2 @ 1 g 1 (cx i = o) . ( 1 3 )

der bisher gebau ten Ger~ite erfiillt.

(13) zugeordnet wird, erh~ilt man ftir den S t r o m :

+ m ~ - l T m 6 + - . . ] 4 ]

Diese Forde rung ist vom gr613ten Teil

Wenn Ausdruck (11) die Bedingung

i3 = - - 60 ( g 1 C ' - - g 2 C t ' ) 1 - - ~ - ~ / 2

• c o s ~ o t + m - - 2 m 3 - 1 - ~ m 5-t . . . . c o s 2 o t + m 2 - m ~ + ~ ~m 6 + - . . c o s 3 m t

ooo+ ]co 6ot§ I (14)

406 R. CRAMARIUC : B e t r a c h t u n g e n zu d e m yon e inem R o t a t i o n s v o l t m e t e r e rzeug ten S t r u m Archiv ffir lr

3.1.4.2. (co R C1) 2 >~ 1. Ftir diesen Fall gibt :

(ooRCI)2@ I ~ (ooRC1) ") (ai = ~ ) . (15)

Wenn Ausdruck 01) die Bedingung (15) zugeordnet wird, erhtilt man ftir den Strum:

i a . . . . (CqC'--U2C"){[~-~ 1 @4t~2 + 81 1#-1-64/~G ' L ' ' ' ] s i n e ) ~

- - 2 ~- 4 3 2 ~}-

-- d9k6

['. ] :; j 1 ] # @ . . . c o s 4 m t - } - 76 7- k 6 + . . . s i n 5 c o t -}- k a + 8

[: l } _ ~ / ~ 5 + . . . c o s 6 m ~ q . . . . , 06)

wobei k -- c2 ' C1

Die Beziehungen (16) und (lo) sind fast gleich unter sich. Somit h/itte man eine zweite M6glichkeit, ein Ger~it zu bauen, fiir welches die Amplitude des Stromes unabh~tngig yon ~(2 ist. Das elektrische Signal wird in diesem Falle an einem Widerstand und nicht an einem Konden- sator erhalten. Die Erftillung yon 05) ist m6glich, wenn auf C1, also auf die Geometrie des Ger/ites, eingewirkt wird. Die Vergr6gerung yon C 1 erh~ilt man durch vergr6Bern yon C o.

Der Spannungsabfall an R ist unabh/ingig yon R. Das Anwachsen yon C1 fiihrt zur Verkleinerung des Parameters k und deshalb zum Kleiner-

werden der Harmonischen, allerdings macht sich auch das Abfallen der Amplitude bemerkbar.

4. Zusammenfassung

Es wurde der allgemeingiiltige Ausdruck ftir den von einem Rotat ionsvoltmeter gegebenen Strum far den Fall der Oleichstromhoclaspannungsmessungen abgeleitet. Die L6sung der inte- gro-differentialen Gleichung fiir den Strum wurde mit HiKe einer auf der FoumERtransfor- mation mit endlichen Grenzwerten fugenden operationellen Methode erhalten. Der allgemeine Ausdruck hebt den EinfluB der verschiedenen durch die Konstruktion gegebenen Kapazit~iten, der zu messenden Spannung, der Frequenz, der Parameter des Ausgangskreises (R, C) und der an die Abschirmung gelegten Spannung auf den Strum hervor. In AbNingigkeit yon den Werten der Parameter welche in dem allgemeinen Ausdruck des Stromes vorkommen, wurden verschiedene Sonderf/ilIe behandelt. Nach zwei von diesen FtUIen k6nnen Rotationsvoltmeter, deren Anzeige nicht yon der Umlaufgeschwindigkeit abhtingt, gebaut werden.

L i t e r a t u r

[1j HARNVVGLL, G. P., 11. S. N. VOORHIS: Rev. Sci. Ins t r . 4 (1933) S. 54 ~ ~2~ VON ATTA, g . C., C. ~'I. ~qN'ORTHRU:P 1I. D. L. VAN DIE GRAAFF: Phys . Rev. 49 (1936) S. 761. I3] TRUMP, J. P., ]~. J. SAFFORD U. R. J. VAN DE G-RAAFF: Rev. Sci. Ins t r . ~1 (194o) S. 54. '_41 KRIJEK, ~iILON: Ceskolovensky Casopis pro Fisiku, Nr. 4 (1955) S. 4o6. [~SJ KIND, D.: E T Z - A 77 (1956) S. 14. ~6] ~{YLLAR, ]~., ]R, BOILEY U. J. L. W. CHURCHILL: J. Sci. Ins t r . 34 0957) S. 388. [7] KIVAUER, W . : Z. f. Angew. Plays. 9 B (1957) K. 3- [8] BELOT, F.: R6v. G6n. Electr . 66 (1957) S. 247. [9] B6NI~,'6, P. : ATM (1959) S. 88.

[lO] PUHOV, G. ]2;.: Das R e c h n e n m i t k o m p l e x e n Gr6Poen u n d seine A n w e n d u n g . Kiev 1961.

Eingega~gen am lo. j u n i 1965

Anschr i f t des Verfassers :

IRADU CRAM.~RIUC, H a u p t i n g e n i e u r a m A t o m p h y s i k i n s t i t u t , ]3ukares t R. V. IR.