BAB 8 TEKNIK PENGINTEGRALAN 8.1 Pengintegralan dengan penggantian 8.2 Beberapa Integral Trigonometri 8.3 Penggantian yang Merasionalkan 8.4 Pengintegralan Parsial 8.5 Pengintegralan fungsi Rasional 8.6 Soal-soal Ulangan Bab 8.1 Pengintegralan dengaN Penggantian Himpunan fungsi-fungsi yang ada pada kita sekarang terdiri atas apa yang dinamakan fungsi-fungsi elementer, yaitu fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi eksponen, fungsi trigonometri dan bahkan fungsi trigonometri kebalikan, berikut fungsi-fungsi yang diperoleh dengan penjumlahan, pengurangan, pengalian, pembagian dan komposisi.Jadi, )] sh sin[cos(co) 1 ln(3) () cos 1 ( ) (cosh2) (222 / 1 42xxx hx x gxe ex fx xx x+=+ ==+=Pendeferensialan suatu fungsi elementer dapat dilakukan langsung dengan aturan-aturan yang telah kita kenal.Hasilnya selalu fungsi elementer.Pengintegralan (atau anti deferensial) adalah persoalan yang berbeda sekali.Ia melebatkan sedikit teknik dan banyak sekali akal; lebih celaka lagi, hasilnya bukan selalu fungsi elementer, Misalnya, telah kita ketahui bahwa anti turunan dan (sinx)/x bukan fungsi-fungsi elementer. Dua teknik dasar pengintegralan adalah subsitusi (pasal 8.1, hingga 8,3) dan pengintegralan parsial (pasal 8.4).metode penggunaan telah kita perkenalkan dalam pasal 5.1.Metode ini telah kita gunakan bila perlu dalam bab-bab berikutnya.Didalam pasal ini metode itu kita ulangi dan kita gunakan dalam banyak hal yang berbeda-beda. Akhirnya dalam pasal 8.5 kita akan membahas pengintegralan fungsi rasional, yaitu hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).Kita akan tahu bahwa ini selalu mungkin dan hasilnya adalah suatu fungsi elementer. BENTUK BAKUUntuk dapat menggunakan metode penggantian dengan hasil yang memuaskan, kita harus mengetahui integral-integral sebanyak mungkin.Daftar demikian (terlalu panjang untuk diingat-ingat) tampak pada halaman-halaman terakhir buku ini.Daftar singkat disebelah buku ini perlu para pembaca ketahui dan sebaiknya dihapal. PENGGANTIAN DALAM INTEGRAL TAK-TENTUAndaikan anda menghadapi suatu integral tak tentu.Apabila ini bentuk baku, segera dapatlah ditulis hasilnya. Apabila tidak, carilah sebuah penggantian yang akan mengubahnya menjadi suatu bentuk baku.Apabila pada penggantian pertama, kita tidak berhasil memperoleh bentuk baku, kita mencoba dengan cara lain.Apabila kita berlatih cukup lama, kita akan menemukan penggantian yang tepat. KONSTANTA PANGKAT 1. 2. EKSPONEN 3. 4. FUNGSI TRIGONOMETRI 5.6. 7. 8. }+ = C ku kdu}= += ++=+-1 r ln-1 r 11C uCrudu urr}+ = C e du eu u}> = + = 0 a 1, a,lnCaadu auu}+ = C u udu cos sin}+ = C u udu sin cos}+ = C u udu tan sec2}+ = C u udu cot csc29.11. 10.12. FUNGSI ALJABAR 13.14. 15. }+ = C u udu u sec tan sec}+ = C u udu cos ln tan}+ = C u udu u csc cot csc}+ = C u udu sin ln cot}+|.|

\|=Cauu adu12 2sin}+|.|

\|=+Caua u adu12 2tan1CuaaCauaa u udu+||.|

\|= +||.|

\|= }1 12 2cos1sec1Teorema A (Penggantian). Untuk menentukan kita dapat mensubsitusi u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan.Apabila subsitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, makakita dapat mensubsitusi u = g(x), dengan g fungsi yang dapat diintegralkan.Apabila subsitusi itu mengubah f(x) dx menjadi h(u) du dan apabila H sebuah anti turunan h, maka }dx x f ) (} }+ = + = = C x g H C u H du u h dx x f )) ( ( ) ( ) ( ) (CONTOH 1Tentukan Penyelesaian : Perhatikanlah integral tersebut sejenak.Anda akan teringat pada bentuk bakuAndaikan u = x2, du = 2xdx.Maka,

}dxxx) ( cos2 2}udu2secC x C uudu xdxxdxxx+ = + == =} } }) tan(21tan21

sec212 .) ( cos121) ( cos222 2 2 2CONTOH 2Tentukanlah Penyelesaian : Ingatlah bentukAndaikan u = 3x.Maka du = 3dx.Sehingga

}dxx29 53}2 2u aduCxCuduudxx+ |.|

\|= + |.|

\|== } }53sin5sin519 531 12 2CONTOH 3Hitunglah Penyelesaian: Ingat

}dxxex2/ 16}.. du euAndaikan u = 1/x maka du = (-1/x2)dx sehinggaC e C edu e dxxe dxxex uu xx+ = + = =|.|

\| =} } }/ 12/ 12/ 16 6 6166CONTOH 4 Tentukan Penyelesaian : IngatAndaikan u = 3ex maka du = 3exdx.Sehingga, Tidak ada hokum yang mengharuskan adanya suatu penggantian.Apabila dapat dilakukan tanpa penggantian, lakukanlah.Dibawah ini ada dua contoh yang kita maksudkan.

}+dxeexx29 4}+duu a2 21CeCuduudx eedxeexxx xx+||.|

\|= +|.|

\|=+=+=+ } } }23tan612tan2131 4131) 3 (9 41319 41 12 2 2CONTOH 5TentukanlahPenyelesaian : Dalam ingatan, gantikanlah u = x4 + 11. Maka dx x x}+114 3C x x d xdx x x dx x x+ + = + + =+ = +}} }2 / 3 4 4 2 / 1 43 2 / 1 4 4 3) 11 (61) 11 ( ) 11 (41 ) 4 ( ) 11 (4111CONTOH 6Tentukanlah Penyelesaian: Dalam ingatan, gunakan penggantian u = tan }dttat2tancosCaat d atdt a dttatttt+ = ==}} }ln) (tan seccostantan2 tan2tanMENGUBAH-UBAH INTEGRANSebelum menggunakan sesuatu penggantian, kerapkali kita perlu menulis integran dalam bentuk yang lebih cocok. CONTOH 7Tentukan Penyelesaian: Suatu integran yang penyebutnya berbentuk suatu kuadrat kerap kali dapat dirubah menjadi bentuk baku setelah melengkapkannya menjadi sebuah kuadrat.Ingat bahwa x2 + bx menjadi suatu kuadrat dengan menambahkan (b/2)2. Dalam pikiran, kita gunakan penggantian u = x-3 }+ dxx x 25 672Cxx dxdxx xdxx x+|.|

\| =+ =+ + =+ }} }43tan47 ) 3 (4 ) 3 (17 16 9 6725 6712 22 2CONTOH 8 Tentukanlah Penyelesaian: Apabila integran hasil bagi dua suku banyak (yaitu suatu fungsi rasional) dan derajat pembilang sama atau melebihi derajat penyebut, lakukanlah pembagian pembilang oleh penyebut terlebih dahulu (gambar 1) Sehingga }+dxxx x1212212++ =+xxxx xC x xxx dxxxdxxdx x dxxx x+ + + =+++ =++ =+}} } }1 ln 2 22) 1 (112 22112 ) 2 (1222CONTOH 9Tentukan Penyelesaian : Perubahan-perubahan yang kita lakukan dalam integral pada contoh 7 dan 8 tampak masuk akal, dan dapat dipahami, tetapi contoh 9 ini agak lain, seperti yang terlihat di bawah ini. }xdx secC x xx x dx xdxx xx xdxx xx xx xdx+ + =++=+ + +=++=}}} }tan sec ln ) tan (sectan sec1

tan sectan sec sec

tan sectan secsec sec2PENGGANTIAN DALAM INTEGRAL TENTU Topik ini telah dibahas dalam pasal 5.8.Penggantian dalam integral tentu seperti penggantian dalam integral tak tentu, tetapi kita tidak boleh lupa untuk mengubah batas-batas pengintegralan seperlunya. CONTOH 10TentukanPenyelesaian : Andaikan u = t2 4 ,dengan demikian du = 2t dt; perhatikan bahwa u = 0 jika t = 2 dan u = 21 jika t = 5. jadi, dt t t}5224| | 08 , 32 ) 21 ( ) 2 ( ) 4 ( 42 / 3312102 / 3312102 / 121522 / 1 221522~ = == = }} }udu utdt t dt t tPENGGUNAAN DAFTAR INTEGRALDaftar bentuk baku kita sangat pendek (hanya 15 rumus); daftar yang ada pada halaman-halaman terakhir buku ini mengandung lebih banyak bentuk baku (113 rumus) dan lebih banyak manfaatnya.Perhatikan bahwa integral-integral disitu dikelompokan menurut berbagai jenis.Kita beri contoh penggunaan daftar itu. CONTOH 11TentukanPenyelesaian : Kita gunakan rumus 102 dengan a = 3 daftar integral baku yang lebih luas dapat ditemukan di perpustakaan.Salah satu yang terkenal ialah Standard Mathematical Tables yang diterbitkan oleh Chemical Rubber Company. dx x x dx x x2/202sin sin 6 x) (cos dan6 } }t( )1,55 1 sin2932sin295 - 33sin29623 6 sin sin 6 x cos1 1101 2102 2/20~ |.|

\| + =((

|.|

\| + = = } }uu uudu u u dx x xtSOAL-SOAL 8.11. 9. 17. 2. 10.18. 3. 11.19. 4. 12.20. 5. 13.21. 6. 14.22. 7. 15.23. 8. 16.24. dx x}4) 1 (dx x}2}+ dx x x4 2) 1 (}+ dx x x 22}+12xdxdxeexx} + 2 1dxxx}+12dxxx}+122}+ dt t t22 3}+ tdt1dzzz}costandzzez}secsindxxx}cos}41 xxdxdxxx}+2 /02sin 1costdxxx}2 / 3011 cosdxxx x}++122dxxx x}+222 3dxxx} 2sin 1tan}u uu ud e 2 coscos sin}xdx x ) 4 cos(ln2dxxx}) (ln csc2dxeexx}215dxxx}+1425.32. 39. 26.33. 40. 27.34. 41. 28.35. 42. 29.36. 43. 30.37. 44. 31.38. 45. dxeexx}2215dxxx}+143}10210 dx xx}6 /0sincos 2txdxx}dxxx xsincos sin} dttt) 1 4 ( sin 1) 1 4 sin(2} ++dzz zz) 3 4 cot(22}tdt 2 csc}dx e ex xsec}dx e ex x) ( sec2}+dxxe xxsecsecsin 3} dtt tt t t1 31 3 sin ) 1 6 (22}dttt t) 2 ( sin) 2 cos(3 23 2} +dxxx2 sin2 cos 12}dttt t) 2 ( sin) 2 ( cos3 23 2 2dttt}+ 2 cot 12 csc2dttet} +22 tan4 11} + dt e tt 5 2 12) 1 (}dyyy49 16dtyy}+ 2 tan 92 sec22}+dxxx x2sec 1tan sec46.53. 47.54. 48.55. 49.56. 50.57. 51.58. 52.59 }dxx24 95}dteett634}dtt tdt1 4 22}+2 /02cos 16sintdxxx} +102 22 2dxe ee ex xx x}+ +dxx x 5 212}+ dxx x 9 412}+ + 10 18 92x xdx} +26 16 x xdxdxx xx}+ + +10 18 912dxx xx} +26 163} 9 22t tdt}dxxx4 sectan2}dxxx4 sectan2Dalam soal 59-70, guna-kanlah daftar integral yang ada dibagian belaka-ng buku ini. Kemungkin-an terlebih dahulu harus digunakan penggantian seperlunya. 59.65.71. Tentukan panjang kurva y = In (Cos x) 60.66. antara X = 0 dan X =61.67.72. Buktikan kesamaan 62.68. dan gunakan ini untuk menghitung 63.69. 6470. }+ dx x x 2 3} dt t t 4 3 2}216 9 xdx}11 52xdx} dx x x2 22 9}dttt23 16}+23 5 xdx}+ dt t t2 25 3} + 3 22t tdt}+ +dxxx x13 22}+dttt t5 sin 3cos sin}dxx xxcos 4 5 cossin4 / txxxxxsin 1coscossinsec++ =}xdx sec8.2 Beberapa Integral Trigonometri Apabila kita menggunakan metode penggantian dan dibarengi dengan pemakaian kesamaan trigonometri yang tepat, maka kita dapat mengintegralkan banyak bentuk trigonometri.Kita perhatikan terlebih dahulu lima jenis integral yang sering muncul. 1. 2. 3. 4. 5. } }xdx xdxn ncos dansin}xdx xn mcos sin} }xdx xdxn ncot dantan} }xdx x xdx xn n mcsc cot dansec tanm} } }nxdx mx nxdx mx nxdx mx cos cos , sin sin , cos sinJENIS 1Perhatikan pertama apabila n bilangan bulat ganjil dan positif.Setelah kita mengeluarkan faktor sin x atau cos x, gunakan kemudian kesamaan CONTOH 1(n ganjil).TentukanPenyelesaian : Apabila n positif genap, kita gunakan rumus setengah sudut. } }xdx xdxn ncos dansin}xdx5sinC x x xx d x xxdx x xxdx xxdx x xdx+ + =+ =+ = ==}}}} }5513324 24 22 24 5cos cos cos) (cos ) cos cos 2 1 (sin ) cos cos 2 1 (sin ) cos 1 (sin sin sin22 cos 1cos,22 cos 1sin2 2xxxx+==CONTOH 2(n genap). TentukanPenyelesaian : } }xdx xdx4 2cos dansinC x xx xd dxdx x dxxdx x+ = = ==} }} }} }2 sin4121

) 2 ( 2 cos4121

) 2 )( 2 (cos4121

22 cos 1sin2C x x xx xd x d x dxdx x dx x dxdx x xdxxdx x+ + + =+ + =+ + + =+ + =|.|

\| =} } }} } }}} }4 sin3212 sin4183

) 4 ( 4 cos321) 2 ( ) 2 (cos4183

) 4 cos 1 (81) 2 )( 2 (cos4141

) 2 cos 2 cos 2 1 (41

22 cos 1cos224JENIS 2 Apabila m atau n ganjil positif sedangkan eksponen yang lain bilangan sebarang, kita keluarkan sin x atau cos x dan menggunakan kesamaan sin2 x + cos2 x = 1. CONTOH 3(m atau n ganjil). Tentukan Penyelesaian : Apabila m dan n positif, genap, kita gunakan rumus setengah sudut untuk mengurangi derajat integran.

}xdx xn mcos sin}xdx x4 3cos sinC x xCx xx d x xdx x x x xdx x+ =+((

= = = }} }sec sec31 1) (cos3) (cos ) (cos ) cos (cos ) )(sin )(cos cos 1 ( cos sin31 32 44 2 4 3CONTOH 4(m dan n genap). TentukanPenyelesaian : }xdx x4 2cos sinC x x xx d x x xd dxdx x x xdx x x x xdx x x xdxx xxdx x+((

+ =((

+ =((

+ =((

+ + = + =|.|

\| +|.|

\| =} } }}}}} }2 sin614 sin812181

2 (sin 2 sin21) 4 ( 4 cos812181

2 cos 2 sin 4 cos212181

2 cos ) 2 sin 1 ( ) 4 cos 1 (212 cos 181

) 2 cos 2 cos 2 cos 1 (81

22 cos 122 cos 1cos sin32223 224 2 JENIS 3 Dalam kasus tangen, keluarkan faktor tan2x = sec2x 1 ; dalam kasus kotangen, keluarkan faktor cot2 x = csc2 x 1 .

CONTOH 5Tentukan Penyelesaian : } }xdx xdxn ncot dantan}xdx4cotC x xdx x x xdxdx xdx xdx x x xdx+ + = = = =} }} }} }cot cot ) 1 (csc ) (cot cot cot csc cot ) 1 (csc cot cot3312 22 2 22 2 4CONTOH 6TentukanPenyelesaian : }xdx5tan1 sec tan tan tan tan sec tan ) 1 (sec tan tan2 33 2 32 3 5} }} }} } = = =dx ) x x( x) xd(xdx xdx xdx x x xdxC x x xdx x x xd x) xd(+ =+ =} } }cos ln tan tan tan ) (tan tan tan tan 2214413JENIS 4CONTOH 7(n genap, m sembarang). Tentukan Penyelesaian :

} }xdx x xdx xn n mcsc cot dansec tanm}xdx x4 2 / 3sec tanC x xxdx x xdx xxdx x x xdx x+ + =+ =+ =} }} }2 / 3322 / 12 2 / 1 22 / 32 22 / 34 2 / 3tan tan 2sec ) (tan sec ) (tansec ) tan 1 )( (tan sec tanCONTOH 8(m ganjil, n sembarang). Tentukan Penyelesaian : JENIS 5 Integral jenis ini digunakan dalam teori arus listrik bolak balik, teori perpindahan panas, dan bahan teori-teori yang menggunakan deret Fourier.Untuk menyelesaiakan integral tersebut kita gunakan kesamaan berikut.}xdx x2 / 1 3sec tanC x xx d x xdx xd xdx x x x x xdx x+ + = = == } }}} }2 / 1 2 / 3232 / 3 2 / 12 / 3 22 / 322 / 1 3sec 2 sec) (sec sec ) (sec sec) (sec sec ) 1 (sec) tan )(sec )(sec (tan sec tan} } }nxdx mx nxdx mx nxdx mx cos cos , sin sin , cos sin] ) cos( ) [cos( cos cos] ) cos( ) [cos( sin sin] ) sin( ) [sin( cos sin212121x n m x n m nx mxx n m x n m nx mxx n m x n m nx mx + + = + = + + = CONTOH 9TentukanPenyelesaian : CONTOH 10 Apabila m dan n bilangan positif buktikan bahwa Penyelesaian : Jika m n, Jika m = n

}xdx x 3 cos 2 sin| |C x xxdx x xddx x x xdx x+ + = = + =} }} }cos 5 cossin ) 5 ( 5 sin) sin( 5 sin 3 cos 2 sin211012110121}===ttt m n jikam n jika0sin sin nxdx mx0 ) sin(1) sin(121 ] ) cos( ) [cos(21sin sin=((

++ = + = } }ttttttx n mn mx n mn mdx x n m x n m dx nx mxt ttttttt= =((

= = } }] 2 [21 2 sin2121 ] 1 2 [cos21sin sinx mxmdx mx dx nx mxSOAL-SOAL 8.21.8.15. 2. 9.16. 3. 10.17. 4. 11.18. 5. 12.19. 6. 13.20. 7. 14.21. }xdx2cos}xdx 5 sin4}xdx3cos}xdx3sin}2 /05sinttdt}2 /06costtdt}ydy3tan}xdx 2 tan6}xdx x 3 cos 3 sin2 7}dt t t cos ) (sin3}u u u d2 3sin cos}u u u d3 2 / 1cos sin}tdt t 2 cos 2 sin4 4}tdt t2 6cos sin}ydy y 3 sec 3 tan3 3}|.|

\||.|

\|dww w2sin2cos2 4}xdx x3csc cot}xdx x2sec cot}tdt t2 3sec tan}tdt t2 / 3 5sec tan}ydy y 5 cos 4 sin22.29. 23.30. 24.31. Daerah yang dibatasi oleh grafiky = x + sin x, y = 0, x = , diputar mengeliLingi sumbu x, Tentukan volume benda ruang yang terbentuk. 25.26.32. Sebuah kurva ditentukan olehpersamaan parameter x = t sin t, y = 1 cos t , 27.Tentukan luas permukaan yang terbentuk apabila kurva tersebut 28. diputar mengelilingi sumbu x }ydy y 4 cos cos}xdx 2 cot4}ydy 3 csc4}xdx 7 sec4}wdw 4 cot6}xdx3cot}tdt t sin 3 sin}+ dx x x2) cot (tan}=2 /n m, cos costtnxdx mxt 2 0 s st8.3 Penggantian Yang merasionalkan Bentuk akar dalam integral sering kali menimbulkan kesulitan untuk memecahkan integral yang bersangkutan.Dengan suatu penggantian yang tepat bentuk akar itu dapat di rasionalkan. INTEGRAN YANG MEMUAT Apabila didalam integran ada bentuksubsitusi u =, dapat merasionalkan integran nb ax +nb ax +nb ax +CONTOH 1Tentukan Penyelesaian :Andaikanmaka u2 = x dan 2u du = dx.Sehingga CONTOH 2Tentukan Penyelesaian :Andaikan u = (x + 1)1/5, maka u5 = x + 1 dan 5u4 du = dx.sehingga } x xdxx u =C x C uu duduuduu uux xdx+ = + ====} } } }1 ln 2 1 ln 2) 1 (11211222dx x x}34( )C x xC u u udu u u du u u u dx x x+ + + =+ = = = +} } }5 / 7755 / 121257751275121256 11 4 2 555 / 2) 1 ( ) 1 (

) ( 5 5 . ) 1 ( 1CONTOH 3Tentukan Penyelesaian :Andaikanu = (x + 1)1/5, maka u5 = x + 1 dan 5u4 du = dx.sehingga ( ) dx x x}+521( )C x xC u u udu u u du u u u dx x x+ + + =+ = = = +} } }5 / 7755 / 121257751275121256 11 4 2 555 / 2) 1 ( ) 1 (

) ( 5 5 . ) 1 ( 1INTEGRAN YANG MENGANDUNGuntuk merasionalkan bentuk akar-akar tersebut kita gunakan masing-masing penggantian berikut. x = a sin t, x = a tan t, x = a sec t, Untuk melihat akibat penggantian tersebut, perhatikan bahwa 1. 2. 3. Apabila daerah asal kita batasi sedemikian rupa sehingga penggantian (1), (2), dan (3) memiliki balikan seperti pasal 7.6, maka1.2. 3. 2 2 2 2 2 2, , a x dan x a x a + ; cos ) sin 1 ( sin2 2 2 2 2 2 2 2 2t a t a t a a x a = = = ; sec ) tan 1 ( tan2 2 2 2 2 2 2 2 2t a t a t a a x a = + = + = +; tan ) 1 (sec sec2 2 2 2 2 2 2 2 2t a t a a t a a x = = = /2) t /2 - (sebab cos cos2 2t t s s = = t a t a x a/2) t /2 - (sebab sec sec2 2t t s s = = + t a t a x a/2) , t 0 (sebab tan tan2 2t t = s s = = t t a t a a xCONTOH 4Tentukan Penyelesaian : Kita gunakan subsitusix = sin t,, Maka dx = a cos t dt dansehingga } dx x a2 22 2t ts s t. cos2 2t a x a = }}}} } }+ + =+|.|

\| + =+ == = C t t taC t tadt tatdt a tdt a t a dx x a) cos sin (2 2 sin212 ) 2 cos 1 (2 cos cos . cos2222 2 2 2Oleh karena x = a sin t ekuivalen dengan x/a = sin t dan oleh karena selang t kita batasi sehingga sinus memiliki balikan, maka Juga dengan sebuah kesamaan pada akhir pasal 7.6 kita peroleh Ini dapat pula dilihat pada gambar 1.Sehingga Hasil yang kita peroleh dalam contoh 4 adalah penting.Khususnya, kita dapat menghitung integral tentu berikut.Integral itu menggambarkan luas daerah setengah lingkaran (gambar 2). |.|

\|=axt1sin2 222111 sin cos cos x aa axaxt = =((

|.|

\|=}+ +|.|

\|= C x axax adx x a2 2 122 22sin22 2 2 2 2sin2 22 2 122 2a ax axaxaadx x aaaaat t t=((

+ =((

+|.|

\|= }CONTOH 5Tentukan Penyelesaian : Andaikan x = 2 sin t,Makadx = 2 cos t dt dan Sehingga Oleh karena sin t = x/2, maka t = sin-1 (x/2) .Juga diperoleh (gambar 3) cot t = Sehingga,

dxxx}2242 2t ts s t. cos 2 42t x= C t tdt t tdtdt tttdxxx+ = = ==} }} }cot) 1 (csc cot) cos 2 (sin 4cos 2 42 22 22x x / 42Cxxxdxxx+|.|

\| =} }2sin4 41222CONTOH 6Tentukan Penyelesaian : Andaikan x = 3 tan t,Maka dx = 3 sec2 t dt dan Sehingga Langkah terakhir, yaitu pengintegralan sec t telah dibahas dalam contoh 9, pasal 8.1.Oleh karena tan t = x/3 yang dapat dilihat pada gambar 4, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa sec t =Sehingga }+29 xdx2 2t ts s t. sec 3 92t x= +C t ttdt dtttxdx+ + == =+} } }tan sec lnsecsec 3sec 3922. 3 / 92x +K x xC x xCx xxdx+ + + =+ + + =++ +=+}22229 ln3 ln 9 ln39ln9CONTOH 7HitunglahPenyelesaian : Andaikan x = 2 sec t, dengan 0 t /2selang t ini kita peroleh berhubung selang x adalah2 x 4.hal ini penting sebab kita dapat menghilangkan tanda nilai mutlak yang muncul apabila kita menyederhanakanDalam kasus kita. Didapatkan Sekarang kita gunakan teorema mengenai penggantian dalam integral tentu yang mengharuskan perubahan batas-batas integral.Jadi kita peroleh }4224dxxx2 2a x t t t t x tan 2 tan 2 tan 4 4 sec 4 42 2 2= = = = 37 , 1323 2 ] [tan 2) 1 (sec 2 tan 2tan sec 2sec 2tan 2 43 /03 /023 /023 /0422~ = = = ==} }} }ttt ttt tdt t tdttdt tttdxxxMELENGKAPKAN MENJADI KUADRAT Apabila sebuah bentuk kuadrat muncul dibawah akar dalam integran, kita dapat melengkapkannya menjadi kuadrat sebelum kita menggunakan penggantian trigonometri. CONTOH 8Tentukan Penyelesaian : Andaikan u = x + 1 dan du = dx.Maka Andaikan kemudian u = 5 tan t maka du = 5 sec2 tdt dan= maka } }+ + + + 26 22xdan26 22 2x x x xdx25 ) 1 ( 25 1 2 26 22 2 2+ + = + + + = + + x x x x x} }+=+ + 25du 26 22 2u x xdx2 2t ts s t252+ u t t sec 5 ) 1 (tan 252= + Untuk menyelesaikan integral yang kedua, kita tulis integral yang pertama pada ruas kanan dapat diselesaikan dengan subsitusi u = integral yang kedua telah kita hitung diatas.Kita peroleh K x x xC u uCu uC t ttdtttdtudu+ + + + + =+ + + =+ ++=+ + == =+} } }1 26 2 ln 5 ln 25 ln 5 525ln tan sec ln secsec 5sec 5

2522222} } }+ ++ + +=+ +dxx xdxx x x xx26 21226 22 2x dx 26 222 2 226 22+ + x xK x x x x x dxx xx+ + + + + + + =+ +}1 26 2 ln 2 26 2 226 222 22SOAL-SOAL 8.31. 8.15. 2. 9.16. 3. 10.17. 4. 11.18. 5. 12.19. 6. 13.20. 7. 14. }+ dx x x 3}+ dx x x34}+ 7 2ttdtdxxx x}++122}+412 2dx}+401dttt}+ dt t t2 / 3) 1 2 ( 7}+ dx x x2 / 3) 2 (}dxxx21}229 xdx x}+ 92x xdx}+2 / 3 2) 9 (xdx}85 2 216 x xdx}52324dttt}dttt24}+dttt92}dxxx243 2}++dxxx91 22}+2 / 3 23) 4 ( ydy y}2 / 5 22) 9 ( ydy yDalam soal 21-30, pertama lengkapkan menjadi kuadrat murni dan kemudian kalau perlu, gunakanlah penggantian trigonometri. 21.27. 22.28. 23.29. 24.30. 25. 26. }+ + 5 22x xdx}+ + 5 42x xdx}+ +dxx xx5 232dxx xx}+ + 5 41 22} dx x x24 5} +26 16 x xdx}24 x xdxdxx xx}24}+ + +dxx xx2 21 22}+ dxx xx18 61 2231.Daerah yang dibatasi oleh y = diputar mengelilingi sumbu x.Tentukan volume benda yangterjadi. 32.Daerah pada soal 31 diputar mengelilingi sumbu y.Tentukan volume yang terjadi. 33.Hitunglah dengan cara(a) Penggantian aljabar, (b) penggantian trigonometri.Kemudian cocokan jawaban anda. 34.Tentukandengan menggunakan penggantian u =35.Tentukan dengan menggunakan (a) subsitusi u =(b) subsitusi trigonometri.Cocokanlah dengan jawaban anda. ( ) 1 dan x 0 , 5 2 / 12= = + + y x x}+ 92xxdx}+30 239 xdx xxdx udu x u x 2 2 , 9 , 92 2 2= + = +}xx2424 x 8.4Pengintegralan Parsial Apabila pengintegralan dengan metode penggantian tidak berhasil, dengan menerapkan metode penggunaan ganda, yang lebih dikenal dengan pengintegralan parsial dapat memberikan hasil.Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan hasil kali dua fungsi. Andaikan u = f(x) dan v = g(x).Maka dengan mengintegralkan dua ruas persamaan tersebut, kita memperoleh atau ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( )] ( ) ( [ x f x g x g x f x g x f Dx+ =}+ = ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f x g x f} } = ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( x f x g x g x f dx x g x fPengintegralan Parsial Integral Tak Tentu Karena dv = g(x)dx dan du = f(x)dx, persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai berikut. Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu Sedangkan rumus untuk pengintegralan parsial integral tak tentu adalah. Pengintegralan Parsial Integral Tentu Rumus diatas memindahkan pengintegralan u dv pada pengintegralan v du.Kita dapat menghitungapabila dapat dicari.Pengintegralan terakhir ini tergantung pada pemilihan u dan dv yang tepat. } } = vdu uv udv} } =bababavdu uv udv ] [CONTOH-CONTOH SEDERHANA CONTOH 1Tentukan Penyelesaian : Kita ingin menulis x cosx dx sebagai u dv.Salah satu cara ialah memisalkan u = x dan dv = cosx dx. Jadi du = dx dan v =(kita dapat menghilangkan konstanta pengintegralan).Jadi kalau kita ringkaskan penggantian ganda tersebut, kita peroleh. u = xdv = cosx dx du = dxv = sinx Rumus pengintegralan parsial menjadi }xdx xcos C x x xdx x x x xdx xdv v v udvu+ + = =} }cos sin sin sin cos Pengendalian u dan dv diatas tanpak berhasil.Penggantian lain, misalnya sebagai berikut u =cosxdv = x dx du =-sinx dxv = Rumus pengintegralan parsial menghasilkan Pengandaian tersebut memang betul, akan tetapi dengan ini, integral pada ruas kanan menjadi lebih rumit.Oleh karena itu, penting sekali memilih u dan dv setepat mungkin.Yang pokok ialah bahwa integral kedua harus diusahakan menjadi lebih sederhana. 22x sin (2 2) (cos cos2 2} } = duv vudv uxx xx xdx xCONTOH 2Tentukan Penyelesaian : Kita gunakan penggantian ganda berikut u = lnxdv = dx du = dxv =x Sehingga, }exdx1ln|.|

\|x11 1 ] [ ln 1] ln [ ln11111= + = = = =} } }e e x exd e edxxx x x xdxeeeeeCONTOH 3Tentukan sin-1 xdxPenyelesaian : Kita ambil penggantian ganda sebagai berikut u= sin-1 x dv = dx du=dxv = x Maka, 211x C x x xC x x xxdx x x xdxxxx x xdx+ + =+ + = + = = }} }2 12 / 1 2 12 / 1 2 121 11 sin ) 1 ( 2 .21sin ) 2 ( ) 1 (21sin 1sin sinPENGINTEGRALAN PARSIAL BERULANGKerap kali perlu kita gunakan pengintegralan parsial beberapa kali. CONTOH 4Hitunglah Penyelesaian : Andaikanu = x2dv = sinx dx du = 2xdxv = -cosx Maka Dengan demikian tampak bahwa pangkat pada x dalam integral kedua berkurang ini berarti bahwa kita dapat menggunakan pengintegralan parsial lagi.Integral kedua ini telah kita hitung dalam contoh 1.dengan hasil yang kita peroleh disitu kita dapat menyelesaikan integral kita.Maka }xdx x sin2} }+ = xdx x x x xdx x cos 2 cos sin2 2K x x x x xC x x x x x xdx x+ + + =+ + + =}cos 2 sin 2 cos ) cos sin ( 2 cos sin22 2CONTOH 5Tentukan Penyelesaian :Andaikan u = exdv = sinx dx du = ex dx v = -cosx Maka Tampaknya tidak ada perbaikan.Akan tetapi dengan sekali lagi pengintegralan parsial pada integral kedua, yaitu andaikan u = exdv = cosx dx du = ex dx v = sinx Sehingga Dengan mengubah urutan suku akhir ke sebelah kiri dan mengumpulkan suku-sukunya, kita peroleh, Sehingga akhirnya, Cara diatas berhasil oleh karena integral yang hendak kita cari, muncul lagi diruas kanan.Dibawah ini, ada contoh lain yang juga menggunakan metode yang sama. }xdx exsin} }+ = xdx e x e xdx ex x xcos cos sin} } + = xdx e x e x e xdx ex x x xsin sin cos sinC x x e xdx ex x+ =}) cos (sin sin 221K x x e xdx ex x+ =}) cos (sin sin21CONTOH 6Tentukan Penyelesaian :Andaikan u= secdv = sec2ddu = sectand v = tan Sehingga, Dengan demikian, maka Integral terakhir menggunakan contoh 9 pasal 8.1.akhirnya kita peroleh }u ud3sec} }}} }+ = = =u u u u u uu u u u uu u u u u u ud ddd dsec sec tan sec ) 1 (sec sec tan sec tan sec tan sec sec322 3Cd d+ + + =+ =} }u u u uu u u u u utan sec ln tan sec sec tan sec sec 23K d + + + =}u u u u u u tan sec ln tan sec sec21213RUMUS REDUKSI Suatu rumus yang berbentuk dengan k < n dinamakan rumus reduksi oleh karena pangkat dari f berkurang.Rumus demikian diperoleh kerap kali dengan menggunakan pengintegralan parsial. CONTOH 7 Jabarkan suatu reduksi untuk Penyelesaian :Andaikan u= sinn-1x dv = sinx dx du = (n-1)sinn-2 x cosx dx dan v = -cosxmaka, Oleh karena , maka apabila cos2 x dalam integral diruas kanan diganti dengan 1- sin2 x, kita akhirnya memperoleh Dengan mengumpulkan integral pertama dengan integral yang terakhir, kita peroleh suatu rumus reduksi untuk yang berlaku untuk n 2. } }+ = dx x f x g dx x fk n) ( ) ( ) (}xdxnsin} } + = xdx x n x x xdxn n n 2 2 1cos sin ) 1 ( cos sin sin} } } + = xdx n xdx n x x xdxn n n nsin ) 1 ( sin ) 1 ( cos sin sin2 1} }+= xdxnnnx xxdxnnn 21sin1 cos sinsinCONTOH 8 Gunakan rumus reduksi diatas untuk menghitung Penyelesaian : Perhatikan terlebih dahulu bahwa Sehingga, }2 /08sintxdx} }+((

=2 /022 /012 /08sin1 cos sinsintttxdxnnnx xxdxnn}+ =2 /02sin10txdxnnntttttt t256352.21.43.65.87

121.43.65.87

sin43.65.87

sin65.87

sin87sin2 /02 /022 /042 /062 /08= =====}}}} }dxxdxxdxxdx xdxSOAL-SOAL 8.4 1. 8.15. 2. 9.16 3. 10.17. 4. 11.18. 5. 12.19. 6. 13.20. 7. 14.21. }dx xex}dx xex 3}xdx x 3 sin}xdx 3 ln}xdx1tan}+dx x x 1}tdt t 5 sec2}dt t) / 1 ( tan1}xdx x ln}zdz z ln3}xdx x1tan}tdt t 4 cos}wdw wln}xdx x x sin cos2}2 /6 /2cscttxdx x}2 /4 /3cscttxdx}dx xax14 soal hasil gunakansin ) cos 1 (sin : petunjuk sin23 3x xx xdx x=}}dx e xx 2}xdx2ln}tdt etcos22. 23. 24. 25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=lnx, sumbu xdan garis x=e 26. Tentukan volume benda ruang yang terjadi apabila daerah dalam soal 25 diputar mengelilingi sumbu x. 27. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=3xe-x/3, y=0 dan x=9.Gambar daerah tersebut. 28. Tentukan volume benda ruang yang terjadi apabila daerah dalam soal 27 diputar mengelilingi sumbu x. }xdx x cos2}dx x) sin(ln20 soal hasilgunakan: petunjuk) (ln3}dx x29. Buktikan rumus reduksi dibawah ini (lihat contoh 7) 30. Gunakan hasil soal 29 untuk membentuk rumus reduksi integral berikut. 31. Hitunglah(lihat contoh 7) 32. Hitunglah(lihat soal 31) 33. Buktikan rumus reduksi 34. Apabila p(x) sebuah suku banyak (polinom) derajat n dan G1, G2, Gn+1 masing-masing anti turunan yang berturut-turut darig, maka dengan pengintegralan parsial berulang-ulang diperoleh rumus } }+ = xdxnnnx xxdxnnn 21cos1 sin coscos}2 /0costxdxn}2 /07sintxdx}2 /06costxdxdx e x n e x dx e xx n x n x n} } =1( )C x G x p x G x px G x p x G x p dx x g x pnn n n+ + + =+}) ( ) ( ) 1 ( ... ) ( ) () ( ) ( ' ) ( ) ( 0 ( 0 (1 32 1Buktikan.Gunakan hasil diatas untuk menghitung. (a) (b) 35. Buktikan kesamaan. gunakan ini untuk menghitung (contoh 6) } dx e x xx) 2 (3}+ xdx x x sin ) 1 3 (2) tan (sec sec sec 23x x d xdx xdx + =}xdx3sec8.5 Pengintegralan Fungsi Rasional Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).Misalnya Fungsi f dan g dinamakan fungsi rasional sejati oleh karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut.Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati, misalnya, Hasil diatas kita peroleh dengan melakukan pembagian pembilang oleh penyebut, seperti dapat dilihat pada gambar 1.oleh karena fungsi suku banyak mudah diintegralkan, maka persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan mengintegralkan fungsi rasional sejati.Tetapi apakah fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan? Dalam teori jawabanya selalu dapat, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.Perhatikan kasus f dan g diatas. x xx x xx hx xxx gxx f51 2) ( ,8 42 2) ( ,) 1 (20 (33 52 3++ +=+ +=+x xxxx xx x xx h51 14351 2) (5233 5+++ =++ +=CONTOH 1Tentukan Penyelesaian :Gunakan penggantian u = x + 1.maka

CONTOH 2 Tentukan PenyelesaianPikirkan dahulu penggantian u = x2- 4x+8untuk du = (2x 4)dx kemudian anda tulis. }+dxx3) 1 (2CxCxx d x dxx++=++= + + =+} }2233) 1 (1

2) 1 ( 2) 1 ( ) 1 ( 2) 1 (2dxx xx}+ +8 42 22dxx xx xdxx xdxx xxdxx xx}} } }+ + + =+ ++ =+ +8 416 8 4 ln8 468 44 28 42 2222 2 2Dalam integral kedua, lengkapkanlah menjadi kuadrat murni, sebagai berikut. Sehingga akhirnya kita menyimpulkan bahwa Adalah fakta bahwa tiap fungsi rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah fungsi-fungsi rasional sejati yang sederhana seperti dalam contoh 1 dan 2.anda harus lebih teliti. Cxx dxdxxdxx xdxx x+|.|

\| = + =+ =+ + =+ }} } }22tan21) 2 (4 ) 2 (1

4 ) 2 (14 4 418 41122 2 2Kxx x dxx xx+|.|

\|+ + =+ +}21tan 3 8 4 ln8 42 21 22PENJABARAN MENJADI PECAHAN PARSIAL (FAKTOR LINEAR) Men- jumlahkan pecahan merupakan latihan baku aljabar.Misalnya untuk keperluan kita, hendaknya kita pelajari ialah pengerjaan yang sebaliknya.Kita perlihatkan penyebut dan mempelajari berbagai kasus. CONTOH 3(Faktor Linear yang berlainan).Jabarkan (3x 1)/(x2 x 6) menjadi pecahan parsial dan kemudian tentukan integralnya yang tak tentu. Penyelesaian : 11 5) 1 )( 1 (1 513122=+ =++ xxx xxx xOleh karena maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk(1).

Tugas kita sekarang ialah menentukan A dan B sehingga (1)menjadi suatu kesamaan untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita memperoleh. (2). Atau(3). Oleh karena (3) suatu kesamaan, jika dan hanya jika apabila koefisien pangkat yang sama diruas kiri dan ruas kanan sama, maka A + B = 3 -3A + 2B = -1 ) 3 )( 2 ( 62 + = x x x x3 2 ) 3 )( 2 (1 3++= +xBxAx xx) 2 ( ) 3 ( 1 3 + + = x B x A x( ) ( ) B A x B A x 2 3 1 3 + + + = Dari dua persamaan tersebut kita peroleh A= dan B= SehinggaJadi

Jika anda mengalami kesulitan untuk menentukan A dan B, kita tentukan nilainya melaluikekuatankasardengancarayangmudah.Olehkarena(2)harus merupakan suatu kesamaan, yang berarti bahwa (2) harus berlaku untuk semua x, maka kita dapat mengambil x = 3 dan x = -2.sehingga 8 = A . 0 + B . 5 -7 = A . (-5) + B . 0 Dari persamaan ini kita peroleh langsung A=dan B= PerhitunganAdanBdiatastampakmungkinaneh,tetapisecaramatematika, betul.Persamaan(1)ternyatasuatukesamaan(yangberlakuuntuksemuax kecualiuntukx=-2danx=3)jikadanhanyajikapersamaanyangekuivalen dengannya,yaitu(2),adalahbenartepatuntukx=-2danx=3.cobaanda terangkan mengapa demikian.Jadi ini tergantung pula pada fakta bahwa kedua ruaspersamaan(2),yangberbentuksukubanyaklinear,adalahidentikapabila mereka bernilai sama pada dua titik sembarang. 57583 2 ) 3 )( 2 (1 361 358572++= += x x x xxx xxC x xdxxdxxdxx xx+ + + =++= } } }3 ln582 ln57 3158215761 325758CONTOH 4(Faktor linear berbeda). TentukanPenyelesaian :Uraikan penyebut adalah x(x +1)(x - 3).Kita dapat menulis Kita berusaha menemukan A, B, C. Kita hilangkan pecahan-pecahan Jika kita subsitusikan nilai x = 0, x = -1, dan x = 0, kita peroleh atau A=-1, B= C=sehingga

dxx x xx} +3 23 52 33 1 ) 1 )( 1 (3 5+++ = + +xCxBxAx x xx) 1 )( ( ) 3 )( ( ) 3 )( 1 ( 3 5 + + + + = + x x C x x B x x A x) 12 ( 18) 4 ( 2) 3 ( 3 CBA== =21 23C x x xdxxdxxdxxdxx x xx+ + + =++ = +} } } }3 ln231 ln21ln 31231121 13 23 52 3CONTOH 5(Faktor linear yang berulang). Hitunglah Penyelesaian : Sekarang penjabaran menjadi pecahan parsial adalah Kita akan mencari A dan B.setelah penyebut-penyebut dihilangkan kita peroleh x = A(x - 3) + B Jika kita subsitusikan dengan nilai yang sesuai x = 3 dan nilai x lain sebarang, misalnya x = 0.kita peroleh B = 3 dan A = 1.Sehingga }dxxx2) 3 (2 2) 3 ( 2 ) 3 ( += xBxAxxCxxdxxdxxdxxx+ =+=} } }333 ln) 3 (13) 3 (1) 3 (2 2CONTOH 6(Ada beberapa faktor linear berbeda dan ada yang berulang).Tentukan Penyelesaian : Kita jabarkan pemecahan integran dengan cara berikut Setelah pecahan-pecahan dihilangkan kita peroleh Dengan subsitusi x = 1, x = -3 dan x = 0 kita memperoleh C = 2, A = 4, dan B = -1 sehingga Perhatikan bahwa ada dua pecahan yang berbentuk B/(x 1) dan C/(x 1)2 dalam penjabaran diatas.Aturan umumnya adalah sebagai berikut.Untuk tiap faktor (ax + b)k dalam penyebut, ada k suku dalam penjabaran pecahan parsial, yaitu. dxx xx x} ++ 22) 1 )( 3 (13 8 32 22) 1 ( 1 3 ) 1 )( 3 (13 8 3+++= ++ xCxBxAx xx x) 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 1 ( 13 8 32 2+ + + + = + x C x x B x A x xCxx xxdxxdxxdxdxx xx x+ + =++= ++ } } } }121 ln 3 ln 4 ) 1 (21 34) 1 )( 3 (13 8 32 22( ) ( ) ( )kkb axAb axAb axAb axA++ ++++++...3322 1PENJABARAN MENJADI PECAHAN PARSIAL (FAKTOR KUADRAT)Apabila dalam uraian penyebut suatu pecahan kemungkinan ada faktor kuadrat, misalnya x2 + 1, yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linear tanpa harus menggunakan bilangan kompleks. CONTOH 7(Faktor kuadrat yang berbeda).Jabarkan menjadi jumlahpecahan parsial, bentuk kemudian tentukan integralnya Penyelesaian : Kita tulis pecahan tersebut sebagai Untuk menentukan konstanta A, B, C kita kalikan ruas kiri dan ruas kanan denganSehingga kita memperoleh) 1 )( 1 4 (1 3 622+ ++ x xx x1 1 4 ) 1 )( 1 4 (1 3 62 22++++=+ ++ xC BxxAx xx x) 1 )( 1 4 (2+ + x x) 1 4 )( ( ) 1 ( 1 3 62 2+ + + + = + x C bx x A x xApabila kita ambilx = 0 dan x = 1, kita mendapat Maka 41 = x1 B1)5 - (B 4 4-1 C C 2 12 A ) ( 1161743166= + == + == = + + AC x x xxdxxxdxxdxdxxxdxxdxx xx x+ + + + =++++=+++=+ ++ } } }} } }1 22 22 22tan 1 ln211 4 ln21 1 12211 4421 111 42) 1 )( 1 4 (1 3 6CONTOH 8(Faktor kuadrat berulang).Tentukan Penyelesaian : Penjabaran disini adalah Setelah kita lakukan perhitungan seperlunya, kita akan memperoleh A = 1, B = -1 C = 3, D = -5, dan E = 0.sehingga}+ ++ dxx xx x2 22) 2 )( 3 (22 15 62 2 2 2 22) 2 ( 2 3 ) 2 )( 3 (22 15 6+++++++=+ ++ xE DxxC BxxAx xx xCxxx xxxdxxdxdxxxxdxdxxxdxxxxdxdxx xx x+++ |.|

\|+ + + =+++++=+++=+ ++ } } } }} } } }) 2 ( 252tan232 ln213 ln ) 2 (2252322213

) 2 (5233 ) 2 )( 3 (22 15 621 22 2 2 22 2 2 2 22IKHTISARUntuk menjabarkan sebuah fungsi rasional f(x) = p(x)/q(x) menjadi jumlah pecahan parsial, kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1Apabila f(x) tak sejati, yaitu apabila derajat p(x) paling sedikit sama dengan derajat q(x), bagilah terlebih dahulu p(x) dengan q(x).Kita akan memperoleh banyak + Langkah 2Uraikanlah D(x) menjadi hasil kali faktor-faktor linear dan kuadrat yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linear dengan koefisien riil.Menurut suatu teorema dalam aljabar hal ini selalu mungkin. Langkah 3 Untuk tiap faktor yang berbentuk (ax + b)k,penjabaran mungkin berbentuk suku x f = ) () () (x Dx N( ) ( ) ( )kkb axAb axAb axAb axA++ ++++++...3322 1 Langkah 4 Untuk tiap faktor yang berbentuk , penjabaran mungkin menjadi Langkah 5 Samakan N(x)/D(x) dengan jumlah semua suku yang diperoleh dalam langkah 3 dan 4.Banyaknya konstanta yang harus ditentukan harus sama dengan derajat penyebut yaitu, D(x) Langkah 6Kalikan ruas kiri dan kanan persamaan yang diperoleh dalam langkah 5 dengan D(x).Kemudian tentukan konstanta yang harus dicari . Ini dapat diperoleh dengan dua jalan : (1) Samakan koefisien dari suku yang derajatnya sama, (2) Subsitusikanlah nilai-nilai (yang sesuai) tertentu dalam peubah x.mm mc bx axC x Bc bx axC x Bc bx axC x B) (...) (2 2 22 221 1+ + ++ ++ + +++ ++SOAL-SOAL 8.51. 8.15. 2. 9.16. 3. 10.17. 4. 11.18. 5. 12.19. 6. 13.20. 7. 14.21. }+dxx x 222}dxx 122}+dxxx93 52}dxx xx262} +dxx xx4 3112} + dxx xx10 313 32} ++dxx xx5 9 221 22} +dxx xx2 33 172} +dxx x xx x24 22 32} + +dxx x xx x) 6 )( 1 2 (23 22 622} +dxx xx2323}+ +dxx xx x48 832 4}+dxxx2) 3 (1}+ + +dxx xx4 47 52}+ + dxx x xx x16 832 21 32 32}+ + +dxx xx x3 425 210 19}+ +dxx xx x48 232}+ dxx xx x) 9 )( 1 2 (36 3 222}+ + dxx x xx x) 1 )( 2 )( 3 (1 822 3}+ +dxx x xx) 5 4 )( 2 3 (11 202}+dxxx x2 23) 1 (422.petunjuk: untuk mengintegralkan andaikan x = 2 tan 23. Hitunglah 24. Hitunglah 25. Hukum aksi massa dalam ilmu kimia menghasilkan persamaan diferensial Dalam rumus itu, x adalah banyaknya zat pada saat t, yang dihasilkan oleh persenyawaan dua zat yang lain.Andaikan x = 0, pada saat t = 0. (a) Selesaikanlah persamaan diferensial itu apabila b>a }+ ++ +dxx x xx x x16 816 5 23 52 3}+ dx x2 2) 4 (dxx xx} +6421217dxx xx}+ + +51213 413 30 , 0 , 0) )( (> > > =b a kx b x a kdtdx(b) Buktikan bahwa xa apabila t(dalam hal b>a)(c) Andaikan a = 02 dan b = 4 dan andaikan dalam jangkawaktu 20 menit, dibentuk 1 gram zat tersebut.Berapagramkah dibentuk dalam 1 jam?(d) Selesaikan persamaan diferensial itu apabila a = b 26. Dalam banyak persoalan yang menyangkut pertumbuhan penduduk ada batas atas untuk pertumbuhan penduduk tersebut.Andaikan bumi tidak dapat dihuni oleh penduduk sebanyak 16 miliar andaikan dalam tahun 1925 ada 2 miliar penduduk dan dalam tahun 1975 ada 4 miliar.Apabila t tahun setelah 1925 penduduk bumi adalah y miliar, maka akan diperoleh persamaan diferensial. ) 16 ( y kydtdy =(a) Selesaikanlah persamaan diferensial itu. (b) Tentukan banyaknya penduduk dalam tahun 2015 (c) bila banyaknya penduduk 9 miliar (lihat pula soal 24dan 25 pasal 7.5) (d) Selesaikanlah soal 26 dengan batas atas penduduk bumisebanyak 10 miliar.8.6 Soal-soal Ulangan Bab KUIS BENAR-SALAH Nyatakanapakahpertanyaan-pertanyaandibawahinibenar atau salah.Anda harus siap memepertahankan jawaban anda 1.Untuk menentukan cobalah penggantian u = x2. 2. Untuk menentukancobalah penggantian u = x2 3. Untuk menentukancobalah penggantian u = x2 4. Untuk menentukan mulailah dengan melengkapkan kuadrat dalam penyebut.

}dx x x ) sin(2}+dxxx49}+dxxx439}+ dxx xx5 33 225. Untuk menentukanmulailah dengan melengkapkankuadrat dalam penyebut. 6. Untuk menentukan, cobalah penggantian u = 7.Untuk menghitung, gunakan pengintegralan parsial 8.Untuk menghitung, gunakan pengintegralan parsial 9. Untuk menghitung , gunakan rumus setengah sudut 10. Untuk menghitung, gunakan pengintegralan parsial 11. Untuk menghitung,gunakan penggantian trigonometri }+ dxx x 5 332}dxx25 41x 5}+dtt tt923}dttt124}xdx x2 6cos sin} +dxeexx1} +dxx xx42212. Untuk menentukan andaikan u = 13. Untuk menghitungtulislah integran sebagai 14. Untuk menghitung gunakan penggantian trigonometri 15. Untuk menentukan cobalah pengintegralan parsial 16. Untuk menentukan gunakan rumus setengah sudut 17. dapat ditulis sebagai 18.dapat ditulis sebagai

} dx x x322 332 3 x }xdx x5 2cos sinx x x cos ) sin 1 ( sin2 2 2}dxx x2 291}xdx x ln2}xdx x 4 cos 2 sin122 xx1 1 ++ xBxA) 1 (222+x xx1 1 +++xCxBxA19. dapat ditulis sebagai 20.dapat ditulis sebagai 21. Rumus pengintegralan parsial adalah bentuk integral dari aturan pendeferensialan untuk hasil kali fungsi-fungsi. 22. Untuk melengkapkan kuadrat dalam tambahkanlah (b/2)223. Tiap suku banyak dengan koefisien riil24. Dua suku banyak dalam x memiliki nilai yang sama untuk semua x apabila koefisien suku x yang pangkatnya sama, adlah sama. 25. Apabilamemiliki n + 1 jawaban, maka semua koefisien sama dengan nol.

( ) 1222+x xx12+++xC BxxA) 1 (222+x xx1 12+++xCxBxAbx ax +20 ...0 111= + + + +a x a x a x annnnSOAL-SOAL ANEKA RAGAM Dalam soal 1-42, hitunglah integral-integral yang diminta memakai metode yang benar. 1. 7.13. 2. 8.14. 3. 9.15. 4. 10.16. 5. 11.17. 6. 12.18. dttt}+40 29}u ud ) 2 ( cot2dx x ex}2 /0cossintdx x x}4 /02 sintdyyy y}++12}dt t) 2 ( sin3dyy yy}+ 2 4) 2 (2}+2 / 301 2ydydteett} 22}+dxxx xtancos sin} +dxx xdx22 4 16dx e xx}2}+dxydy23 2dwww} 231}dxxxcos lntan}133tdt}xdx sinhdyyy}5) (ln19. 27.35. 20.28.36. 21.29.37. 22.30.38. 23.31.39. 24.32.40. 25.33.41. 2634.42. }xdx x2cotdxxx}sindttt}2ln}+ dy y ) 9 ln(2dt t et}3 sin3 /dtt tt}++993}dxx x2cos23sin}|.|

\|dxx2cos4}xdx x 2 sec 2 tan3dxxx} + 1}xdx x4 2 / 3sec tan}+ ) 1 (6 / 1t tdt}yyedy e229}dx x x sin cos5dx ex}) cos 3 ln(dyyy}29} +dxeexx841dxxa x}+42 2dwww}+ 5}+ ttdtcos 1sin}+ +dyyy y4cos 9cos sin} 26 1 x xdxdxx xx x}++ +) 3 (6 3 42 22}+2 / 3 2) 16 ( xdx43. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x, kurva y =garis-garis x =dan x= 44. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva s = , s = 0, t = -6, dan t = 0 45. Tentukanlah volume benda yang terjadi apabila daerah diputar mengeliling sumbu x. gambarlah 46. Tentukan panjangnya kurva y = dari x = hingga x =) 9 /( 182 2+ x x33 3{)`s s+ s s 046, 1 3 : ) , (yx xx y x6 / t3 / t