bab 2-kalkulus-ok1
TRANSCRIPT
BAB IIKALKULUS
Tujuan
Setelah mengikuti praktikum ini, diharapkan mahasiswa dapat melakukan operasi-operasi hitung yang berkai-
tan dengan kalkulus menggunakan paket program Mathematica dengan baik, dan dapat mengembangkan untuk
operasi hitung yang lebih kompleks.
Sebagian besar pengertian-pengertian dalam kalkulus yang diberikan pada bab ini diambil dari Purcell & Varberg
(1987).
Kompetensi :
2.1 Fungsi
2.2 Grafik fungsi
2.3 Limit
2.4 Kekontinuan
2.5 Turunan Fungsi
2.6 Integral
2.7 Contoh Aplikasi
2.8 Latian Soal
Alokasi Waktu : 3 x 150 menit
MATERI PRAKTIKUM (PROSEDURE KERJA) :
2.1 Fungsi
Ÿ 2.1.1 Pendefinisian Fungsi
: = (SetDelay)
Lambang " : = " (SetDelay) menyatakan bahwa suku di sebelah kanannya tidak dievalusi saat pendefini-
sian, tetapi baru dievaluasi setiap saat suku di sebelah kirinya (fungsi f) dipanggil.
Contoh:
Fungsi f akan menghasilkan pangkat tiga dari argumennya
f@x_D := x3
f@2D
f@aD
f@-1D
= ( Set )
Contoh:
f@x_D = x2 + 2 x
f@2D
f@aD
Coba fikirkan apa beda penggunaan SetDelay dan Set ?
Clear
Seringkali definisi fungsi atau ekspresi mengalami modifikasi. Nilai maupun definisi fungsi atau ekspresi
sebelumnya dapat dihapus dari memori dengan menggunakan perintah Clear.
Contoh:
Perintah Clear[ f, x ] berikut akan menghapus nilai maupun definisi f dan x yang mungkin sudah pernah didefinisikan
sebelumnya.
Clear@f, xD
f@x_D := 2 x + 3
f@a + bD
f@1D
/ ; (Condition)
Simbul " / ; " dapat digunakan untuk menyatakan domain fungsi.
Contoh:
Berikut ini pendefinisian suatu fungsi susun beserta grafiknya.
f@x_D := x �; 0 £ x < 1
f@x_D := 1 �; 1 £ x < 2
f@x_D := 3 - x �; 2 £ x £ 3
Plot@f@xD, 8x, 0, 3<D
Ÿ 2.1.2 Fungsi Matematik
Berikut ini diberikan beberapa fungsi matematik yang penting.
Sqrt [ x ] : akar kuadrat ( x )
Exp [ x ] : eksponensial ( ex )
Log [ x ] : Logaritma asli ( loge x )
Log [ b, x ] : Logaritma basis b ( logbx )
Sin [ x ], Cos[ x ], Tan [ x ] : fungsi-fungsi trigonometri ( argumen dalam radian)
Round [ x ] : bilangan bulat terdekat ke x
Max [ x, y, ... ] , Min [ x, y, ... ] : maksimum / minimum dari x, y, ...
Floor [ x ] : bilangan bulat terbesar yang £ x
Ceiling [ x ] : bilangan bulat terkecil yang ³ x
Ÿ 2.1.3 Penyelesaian Persamaan
Mathematica menggunakan tanda " ==" (Equal) pada persamaan yang akan dicari penyelesaiannya.
Contoh-contoh:
25 Modul Komputasi Matematika bab 2 Kalkulus.nb
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
Solve@x^2 Š 9, xD
Solve@Sin@xD Š 1, xD
NSolve@x^2 Š 10, xD
NSolve@x^2 + x - 2 Š 0, xD
Coba fikirkan apa perbedaan penggunaan Solve dan NSolve ?
Solve juga dapat digunakan untuk menentukan solusi persamaan simultan. Perhatikan dua cara berikut:
Solve@8x Š 1 + 2 y, y Š 3 + 2 x<, 8x, y<D
pers = 8x Š 1 + 2 y, y Š 3 + 2 x<; Solve@pers, 8x, y<D
LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 nomor 1 s/d 3........ (3 POIN)
2.2 Grafik Fungsi
Ÿ 2.2.1 Grafik Dua Dimensi
Ÿ 2.2.1.1 Plot
Cara termudah untuk menampilkan grafik fungsi dalam dua dimensi adalah dengan perintah Plot. Perintah
berikut akan menghasilkan grafik fungsi f dengan domain ( xmin, xmax)
Plot@f@xD, 8x, xmin , xmax<D
Contoh :
Grafik fungsi f(x) = x2 dengan domain -1£x£1.
PlotAx2, 8x, -1, 1<E
Grafik 2 fungsi pada domain yang sama.
Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, -p, p<D
Ÿ 2.2.1.2 Opsi dan Gaya Tampilan
Opsi Grafik
Tampilan grafik dapat diatur sesuai dengan yang diinginkan, dengan memberikan opsi tertentu. Setiap opsi
dituliskan dalam sintaks:
Nama Option ® nilai
Jika terdapat lebih dari satu opsi, masing-masing opsi dipisahkan dengan tanda koma.
Contoh:
Grafik f(x) = x2dengan domain -1£x£1 berikut diberi label, garis grid dengan bingkai, dan juga interval tampilan x Î
(-2, 2) dan y Î (-1, 2). Untuk keempat keperluan tersebut, berturut-turut dinyatakan dengan opsi PlotLabel, Grid-
Lines, Frame,dan PlotRange.
PlotAx2, 8x, -1, 1<, PlotLabel ® "Grafik fHxL=x2",
GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotRange ® 88-2, 2<, 8-1, 2<<E
Gaya Tampilan Grafik
Opsi grafik yang digunakan untuk mengatur gaya tampilan grafik adalah PlotStyle. Dengan opsi ini, dapat
diatur mengenai warna ( RGBColor [ . . . ]), jenis garis ( Dashing[ . . . ]), ketebalan garis (Thickness[ . . . ]), dll.
Contoh:
Grafik sin(x) ditampilkan dengan ketebalan garis 1% dari lebar grafik, sedangkan grafik cos(x) ditampilkan dengan
garis terputus-putus dan panjang 2% dari lebar grafik. Kedua grafik tersebut ditampilkan pada domain -3 £ x £ 3.
bab 2 Kalkulus.nb 26
Plot@8Sin@xD, Cos@xD<, 8x, -3, 3<, PlotStyle ® [email protected], [email protected]<D<D;
Ada beberapa cara untuk memberikan efek warna. Perintah RGBColor[ r , g , b] menyatakan warna yang tersusun dari
r , g, dan b persen warna merah, hijau, dan biru. Misalnya: RGBColor[1,0,0] adalah warna merah, sedangkan RGBCol-
or[1,0,1] adalah warna ungu (campuran warna merah dan biru). Parameter r, g , dan b harus bernilai mulai dari 0
hingga 1.
Contoh:
Grafik x2, - x2, dan x digambarkan masing-masing dengan warna ungu, merah, dan hijau.
Plot@8x^2, -x^2, x<, 8x, -3, 3<,
PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 1D, RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 1, 0D<D;
Ÿ 2.2.2 Grafik Tiga Dimensi
Perintah untuk menampilkan grafik permukaan pada ruang berdimensi tiga menggunakan Plot3D. Argumen-
nya berupa fungsi dua variabel beserta masing-masing domainnya.
Contoh:
Berikut ini ditampilkan grafik fungsi z = sin( x2 + y2 ) dengan domain -p £ x £ p dan -p £ y £ p, dan meberikan
label x , y, dan z pada masing-masing sumbunya.
Plot3DBSinB x2 + y2 F, 8x, -p, p<, 8y, -p, p<, AxesLabel ® 8"x", "y", "z"<F
LATIHAN: Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 4...................(1 POIN)
2.3 Limit
Ÿ 2.3.1 Limit Fungsi
Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati nilai tertentu, misal x0, Mathematica menyedi-
akan perintah dengan sintaks:
Limit [ f , x ® x0]
Contoh:
Berikut ini plot fungsi x2 + 2 x - 3 yang diberi warna merah dengan domain -2 £ x £ 2, kemudian ditentukan nilai
limit fungsi tersebut untuk x ® 0 dan x ® 1
Clear@f, xD
PlotAx2 + 2 x - 3, 8x, -2, 2<, PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 0D<E
LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 0E
LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 1E
Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:
f@xD := x2 + 2 x - 3
Limit@f@xD, x ® 0D
Limit@f@xD, x ® 1D
Ÿ 2.3.2 Limit Kiri dan Limit Kanan
Untuk menentukan nilai limit suatu fungsi f jika x mendekati x0 dari arah bawah (kiri), digunakan sintaks:
Limit [ f , x ® x0 , Direction ® 1]
27 Modul Komputasi Matematika bab 2 Kalkulus.nb
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
Jika x mendekati x0 dari arah atas (kanan), digunakan sintaks:
Limit [ f , x ® x0 , Direction ® -1]
Contoh:
Fungsi f(x) = 1 � x ditentukan nilai limitnya untuk x mendekati x0= 0 dari kiri maupun kanan.
Limit@1 � x, x ® 0, Direction ® 1D
Limit@1 � x, x ® 0, Direction ® -1D
Jika di cek dengan melihat grafiknya, terlihat sebagai berikut:
Plot@1 � x, 8x, -3, 3<D
Terlihat nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan, menurut kuliah teori, apa kesimpulannya ?
Sekarang , jika fungsi f(x) = x2 + 2 x - 3 ditentukan limit kiri/ kanannya untuk x mendekati 1, sebagai berikut:
LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 1, Direction ® 1E
LimitAx2 + 2 x - 3, x ® 1, Direction ® -1E
Terlihat limit kiri = limit kanan , di dalam kuliah teori, diperoleh kesimpulan apa ?
Ÿ 2.4 KekontinuanDalam kehidupan sehari-hari, istilah kontinu digunakan untuk menjelaskan suatu proses yang berjalan tanpa
terputus oleh gangguan. Dalam matematika istilah kontinu mempunyai arti yang serupa dan didefinisikan sebagai
berikut.
Definisi: Kekontinuan fungsi di satu titik.
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a. Fungsi f dikatakan kontinu di a jika limx®a f(x) =
f(a).
Catatan: Jika fungsi f kontinu di a, maka grafik fungsi f merupakan suatu kurva yang tidak terputus di sekitar a.
Contoh:
Diketahui f(x) = | x+2 | x. Berikut ini diselidiki kekontinuan fungsi f di x = -2.
Clear@fD
f@x_D := Abs@x + 2D x
f@-2D
Diperoleh f (-2) = 0. Selanjutnya diselidiki nilai limitnya dengan melihat nilai limit kiri dan limit kanannya.
Limit@f@xD, x ® -2, Direction ® 1D
Limit@f@xD, x ® -2, Direction ® -1D
Terlihat nilai limit kiri = nilai limit kanan = 0, sehingga disimpulkan limx®-2 f(x) = 0. Dari hasil-hasil di atas, diper-
oleh limx®-2 f(x) = f(-2), sehingga menurut definisi di atas, f kontinu di x = -2.
Terlihat pada grafik, fungsi f tersambung di sekitar x = -2.
Plot@f@xD, 8x, -5, 3<D
Konsep kekontinuan di satu titik dapatdiperluas menjadi kekontinuan fungsi pada selang.
Definisi: Kekontinuan pada selang.
1. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka (a, b) jika fungsi f kontinu di setiap titik x Î (a, b).
bab 2 Kalkulus.nb 28
2. Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tertutup [a, b] jika fungsi f kontinu pada (a, b) dan limx®a+ f(x) = f(a) serta
limx®b-f(x) = f(b).
Contoh: Diketahui fungsi f(x) = x +2
x- 1 . Berikut ini ditentukan nilai-nilai x sehingga fungsi f kontinu.
Daerah definisi fungsi f, yaitu Df , adalah himpunan semua nilai x sehingga f(x0 bernilai real, yang dipenuhi jika x +
2
x- 1 ³ 0.
Dengan menggunakan Mathematica, dipanggil dulu paket program InequalitySolve pada folder Algebra.
<< Algebra`InequalitySolve`
InequalitySolveBx +2
x- 1 ³ 0, xF
Diperoleh Df = (0,¥). Selanjutnya dilihat nilai f(a) untuk setiap a Î (0,¥).
Clear@fD
f@x_D := x +2
x- 1
f@aD
Kemudian ditentukan nilai limit fungsi f(x) untuk x®a.
Limit@f@xD, x ® aD
Diperoleh limx®a f(x) = -1 + 2
a+ a = f(a). Jadi f kontinu pada selang (0, ¥).
Dari grafik terlihat fungsi f tersambung (kontinu) pada selang (0, ¥).
Plot@f@xD, 8x, 0, 10<D
LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 5b, 6, 7a dan 7b......................( 4 POIN)
Ÿ 2.5 Turunan FungsiUntuk menentukan turunan suatu fungsi, Mathematica menyediakan perintah dengan D
Contoh:
Berikut ini ditentukan turunan fungsi f(x) = x2+ 2x - 1 terhadap variabel x
DAx2 + 2 x - 1, xE
Cara lain menentukan turunan dapat menggunakan tanda '. Untuk cara ini, fungsi f perlu didefinisikan lebih dahulu.
Clear@f, xD
f@x_D := x2 + 2 x - 1
f'@xD
Dengan menggunakan perintah D, sebagai berikut:
D@f@xD, xD
Cara lain untuk menentukan turunan fungsi, dengan mengklik simbul ¶ƒ ƒ pada Palletes
¶x H2 x + 1L
29 Modul Komputasi Matematika bab 2 Kalkulus.nb
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
¶t It2 + 2 tM
Untuk menentukan turunan tingkat ke-n , digunakan perintah dengan sintaks : D [ f , {x , n}]
Clear@f, xD
f@x_D := x3 + 2 x2 - x
D@f@xD, xD
D@f@xD, 8x, 2<D
Ÿ 2.6 Integral Fungsi
Ÿ 2.6.1 Integral Tak Tentu
Untuk menentukan nilai integral tak tentu suatu fungsi f , Mathematica menyediakan perintah dengan sin-
taks:
Integrate [ f , x ]
Selain itu, juga dapat mengklik simbul Ù ƒ ⃠pada Palletes.
Contoh:
IntegrateAx2 + 2 x - 1, xE
à Ix2 + 2 x - 1M âx
Jika fungsi f didefinisikan lebih dahulu, langkahnya sebagai berikut:
f@x_D := x2 + 2 x - 1
Integrate@f@xD, xD
à f@xD âx
Ÿ 2.6.2 Integral Tertentu
Untuk menentukan nilai integral tertentu suatu fungsi f terhadap variabel x , dengan batas bawah integral
adalah xmin dan batas atas integral adalah xmax, digunakan sintaks:
Integrate [ f , {x , xmin , xmax}]
Selain itu juga dapat dengan cara mengklik simbul Ùƒƒƒ ⃠yang ada pada Palletes.
IntegrateA3 x2 - 2 x, 8x, 0, 1<E
à0
1
I3 x2 - 2 xM âx
LATIHAN : Kerjakan Soal Latihan 2.8 no. 8a, 9a, 9b.......................(3 POIN)
Ÿ 2.7 Contoh Aplikasi
Ÿ 2.7.1 Contoh Aplikasi Turunan
Keuntungan hasil penjualan komputer suatu pabrik (dalam ribu $) untuk waktu tertentu t (tahun) dapat
disajikan sebagai suatu fungsi f dengan f(t) = t3 - 9 � 2 t2 + 23 � 4 t - 15 � 8 . Akan ditentukan waktu kapan hasil
penjualan mencapai maksimum atau minimum serta berapa nilai keuntungan tersebut. Kemudian hasilnya di cek
dengan menunjukkan grafik fungsinya.
bab 2 Kalkulus.nb 30
Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:
Didefinisikan fungsi f terlebih dahulu
Clear@f, tD
f@t_D := t3 - 9 � 2 t2 + 23 � 4 t - 15 � 8
Selanjutnya ditentukan turunan pertama dari f
trn1 = D@f@tD, tD
Untuk menentukan titik-titik ekstrimnya (titik maksimum/ minimum) dilakukan dengan cara menyelesaikan turunan
pertama yang sama dengan nol
NSolve@trn1 Š 0, tD
Diperoleh titik ekstrim di t = 0.92265 dan t = 2.07735. Selanjutnya untuk menentukan apakah titik-titik ekstrim
tersebut merupakan titik maksimum atau minimum, ditentukan lebih dahulu turunan kedua dari fungsi f. Kemudian
titik-titik ekstrim tersebut disubstitusikan ke fungsi yang merupakan turunan kedua f. Jika diperoleh nilai yang positif,
maka berarti titik ekstrim tersebut merupakan titik minimum. Tetapi jika nilainya negatif, maka berarti titik ekstrim
tersebut merupakan titik maksimum.
trn2 = D@f@tD, 8t, 2<D
6 t - 9 �. t ® 0.92265
Karena pada t = 0.92265 nilai turunan keduanya adalah -3.4641 (yaitu negatif), maka titik t = 0.92265 adalah titik
maksimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai maksimum pada waktu t = 0.92265 (tahun). Hasil keuntungan
tersebut adalah nilai fungsi pada titik tersebut, ditentukan sebagai berikut:
Jadi hasil keuntungannya adalah 0.3849 ribu $.
6 t - 9 �. t ® 2.07735
Karena pada t = 2.07735 nilai turunan keduanya adalah 3.4641 (yaitu positif), maka titik t = 2.07735 adalah titik
minimum. Jadi keuntungan hasil penjualan mencapai minimum pada waktu t = 2.07735 (tahun). Hasil keuntungannya
adalah:
Jadi perusahaan mengalami kerugian sebesar 0.3849 ribu $ pada saat t = 2.07735 (tahun)
Selanjutnya di cek dengan melihat grafiknya.
Plot@f@tD, 8t, 0, 3<D
Ÿ 2.7.2 Contoh Aplikasi Integral
Salah satu aplikasi integral adalah untuk menghitung luas daerah yang dibatasi dua grafik fungsi. Pada contoh
ini akan ditentukan luas daerah yang terletak diantara grafik fungsi y1 = x2- 2 dan y2 = - x2+6 pada domain fungsi
-2 £ x £ 3.
Langkah-langkahnya sebagai berikut:
Diplot lebih dahulu grafik fungsi y1= x2-2 (dengan warna merah) , dan y2 = -x2+6 (dengan warna biru). Dengan
perintah FilledPlot, daerah antara grafik fungsi y1 dan fungsi y2 akan diwarnai dengan warna tertentu.Untuk menggu-
nakan perintah tersebut, perlu dipanggil lebih dahulu paket FilledPlot pada folder Graphics.
<< Graphics`FilledPlot`
FilledPlotA9x2 - 2, -x2 + 6=, 8x, -2, 3<, PlotStyle ® 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<E
31 Modul Komputasi Matematika bab 2 Kalkulus.nb
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
Selanjutnya ditentukan titik potong kedua grafik tersebut.
SolveAx2 - 2 Š -x2 + 6, xE
Ternyata titik potong kedua grafik pada x = -2 dan x = 2. Untuk menentukan luas daerah antara kedua grafik pada -2
£ x £ 3 , menggunakan rumus (dari kuliah teori) :
Luas daerah = Ù-2
2II-x2 + 6M - Ix2 - 2MM dx + Ù2
3IIx2 - 2M- I-x2 + 6MM dx
Dengan Mathematica, dilakukan sebagai berikut:
IntegrateAII-x2 + 6M - Ix2 - 2MM, 8x, -2, 2<E + IntegrateAIIx2 - 2M - I-x2 + 6MM, 8x, 2, 3<E
Jadi luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 dan y2 pada domain -2 £ x £ 3 adalah 26 (satuan luas).
LATIHAN: Kerjakan Soal latihan 2.8 no. 11 .........(1 POIN)
2.8 Soal-Soal Latihan
Kerjakan soal-soal berikut:
1. Definisikan fungsi f(x) = x3+ 2x2- 10 , kemudian tentukan f(5) dan f(-4).
2. Selesaikan persamaan 2 x2 - 4x + 2 = 0, berikan solusi eksak maupun numeriknya.
3. Gambarkan grafik f yang memenuhi f(x) = :x2 + 1 , untuk 0 £ x < 2
x + 3 , untuk 2 £ x £ 5
4. Gambarkan grafik y1 = 2 x2+ 4 dan grafik y2 = 6 - x2 pada domain 0 £ x £ 2 , dengan y1 dan y2 masing-masing
diberi warna merah dan biru , diberi bingkai dan label "Grafik Fungsi".
5. Tentukan nilai limit dari fungsi f(x) berikut untuk x ® 1, kemudian gambarkan fungsinya untuk domain -2 £ x £ 5 :
a. f(x) = x2+ 2x -1
b. f(x) = x3- 1
x - 1
6. Diketahui fungsi f(x) = x-3
x2-9
. Tentukan limit kiri maupun limit kanan fungsi f(x) untuk x ® 3. Apa kesimpulan
yang saudara peroleh ?
7. Apakah fungsi f berikut kontinu di x = 2 ? Jika tidak, jelaskan alasannya.
a. f(x) = 4x2- 2x + 12
b. f(x) = 8
x-2
Cek lah dengan menggambar grafik fungsinya.
8. Tentukan turunan pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut:
a. f(x) = 10x3+ 2x2- 5x
b. g(x) = 9 - x
c. h(x) = sin2(2x)
d. l(x) = sin ( cos 3x )
9. Tentukan nilai integral berikut:
a. Ù I4 x3 - 2 x2 + x - 5M â x
b. Ù0pHsin x + cos x L â x
c. Ù Iex + x M â x
bab 2 Kalkulus.nb 32
d. Ù12I
1
2x3 +
1
2 xM â x
10. Diketahui fungsi f(x) = -2x3+ 3x2
a. Tentukan titik-titik kritis f(x)
b. Tentukan titik maksimum/ minimumnya (gunakan turunan kedua)
11. Tentukan 2 bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan yang hasil kalinya maksimum.
12. Dono mempunyai 200m kawat duri yang ia rencanakan untuk memagari ladang berbentuk persegi panjang. Jika
diinginkan agar luas maksimum, berapa ukuran panjang dan lebarnya ?
13. Tentukan luas bidang datar yang dibatasi oleh kurva-kurva y = x4 dan y = 2x - x2. Gambarkan bidang datar
tersebut.
14. Tentukan luas daerah R di bawah kurva y = x4- 2 x3 + 2 antara x = -1 dan x = 2
15. Seorang manajer perusahaan komputer memperhitungkan bahwa penggunaan seperangkat peralatan akan meng-
hasilkan penghematan operasi pada perusahaan. Dari data yang lalu, untuk jangka waktu pemakaian sampai dengan 10
tahun, kecepatan penghematan operasi adalah f(x) dolar per tahun bila peralatan tersebut telah dipakai selama x tahun,
dengan f(x) = 4000x + 1000.
a. Berapa jumlah penghematan ongkos operasi dalam 5 tahun pertama ?
b. Jika harga peralatan tersebut $36.000, dalam berapa tahun harga peralatan tersebut kembali ?
33 Modul Komputasi Matematika bab 2 Kalkulus.nb
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
2.7 APLIKASI TURUNAN DAN INETGRAL
APLIKASI turunan, misalkan di bidang penjualan.
Suatu perusahaan komputer.keuntungan penjualan dituliskan dengan f t
t3 9
2t2
23
4t
15
8.. akan ditentukan waktu kapan penjualan tertinggi dan terendah,
dan berapa keuntungan yg bisa diperoleh pada saat itu?
penyelesaian :
berarti menggunakan konsep titik maksimum dan minimum.
1. mendefiniskan fungsi f(x)
2. mennetukan turunan pertama dari f.
3. cari peyelesaian turunan pertama.
4. mengecek apakah t merupakan titik maksimum atau minimum.(jika f'(t)>0--> titik balik minimum
dan sebaliknya)
maka :
Clearf, x
ft_ : t3 9
2t2
23
4t
15
8
trn1 Dft, t
23
4 9 t 3 t2
NSolve23
4 9 t 3 t2, t
t 0.92265, t 2.07735
trn2 D23
4 9 t 3 t2, t
9 6 t
maka dimasukkan untuk nilai : t0.92265,t2.07735 ke dalam trn2, diperoleh :
9 6 t . t 0.92265
3.4641
9 6 t . t 2.07735
3.4641
didapatkan nilai trn2 (0.92265) < 0, maka t = 0.92265 merupakan titik balik maksimum, atau pen-
jualan tertinggi pada tahun ke - 1. dan penjulan tertendah pada tahun ke - 2. di bulan bulan awal.
dengan keuntungan/kerugian :
f0.92265
0.3849
f2.07735
0.3849
perusahaan akan mencapai kerugian sebebsar $384,9dan dipresikai akan mencapai kerugian sebesar $384 di tahun
ke-2.
2.7 .2 APLIKASI INTEGRAL
diaplikasikan untuk menghitung luas daerah. misal,
tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y1 x2 2, y2 x2 6, domain 2 x 3
penyelesaian :
1. plot grafik y1 dan y2
2. tentukan titik potong kedua grafik
3.tentukan luas daerah
maka :
Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1, Filling 1 2
35 | 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nbModul Komputasi Matematika
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,
Filling 1 2, Epilog Blue, Text"y1x22", 2.5, 5, Text"y2x26", 2.5, 1,
Red, Text"Luas I", 0, 2, Text"Luas II", 2.4, 2
Solvex^2 2 x^2 6, x
x 2, x 2
maka luas
daerah : Luas I Luas II yaitu2
2
x^2 6 x^2 2 x 2
3
x^2 2 x^2 6 x
maka dengan mathematica:
LuasI 2
2
x^2 6 x^2 2 x
LuasII 2
3
x^2 2 x^2 6 x
64
3
14
3
luasdaerah LuasI LuasII
26
atau dengan cara langsung :
Integratex^2 6 x^2 2, x, 2, 2 Integratex^2 2 x^2 6, x, 2, 3
26
jadi luasan daerahnya adlah : 26 satuan
02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nb | 36
PlotSinx, x, 0, 2 Pi, Filling Axis, FillingStyle Red
1 2 3 4 5 6
1.0
0.5
0.5
1.0
ListLinePlot1, 3, 2, 5, 2, Filling Axis
Plotx2 2, x2 6, x, 2, 3, PlotStyle RGBColor1, 0, 0, RGBColor0, 0, 1,
Filling 1 2, Frame True, FillingStyle Orange
2 1 0 1 2 3
2
0
2
4
6
37 | 02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nbModul Komputasi Matematika
DIII Teknik Informatika FMIPA UNS
*** PEMROGRAMAN DENGAN MATHEMATICA(HOW TO SOLVE FUNCTION)
Clearp1, p2, d, e;
HEADING PROGRAM
Print""
Print"program latihan 03"
Print"mathematica programming"
Print"solusi"
Print""
MAIN PROGRAM
p1 Input"persamaan 1:"; Print"pers1", p1
p2 Input"persamaan 2:"; Print"pers2", p2
d Solvep1, p2, x, y;
e NSolvep1, p2, x, y;
hasilcetak PROGRAM
Print"penyelesainnya adalah adalah:", d
Print"penyelesainnya numerik adalah:", e
02 a hartatik_slide aplikasi D dan Integral 2013.nb | 38