bab 1 kalkulus proposisi baru
TRANSCRIPT
![Page 1: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/1.jpg)
BAB 1 KALKULUS PROPOSISI PROPOSISI :
Kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya
Kalimat terbuka
Dinyatakan dengan huruf-huruf kecil : p, q, r
Contoh kalimat-kalimat yang merupakan proposisi : 13 adalah bilangan ganjil T Soekarno adalah alumnus UGM F 1+1=2 T Hari ini adalah hari Senin F
Contoh kalimat-kalimat yang bukan merupakan proposisi : Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir ? Isilah gelas tersebut dengan air !
OPERATOR LOGIKA DASAR (UTAMA):
Digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
Not / Negation / Ingkaran / Bukan / Tidak notasi ~ p
And / Conjunction / Konjungsi / Dan notasi p q
Or / Disjunction / Disjungsi / Atau notasi p q
![Page 2: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/2.jpg)
NOT
p ~ p
T F
F T
CONJUNCTION
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
DISJUNCTION
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
TABEL KEBENARAN :
Tabel dari semua kemungkinan (interpretasi)
Jumlah interpretasi = 2jumlah proposisi
Proposisi = 1 21 = 2 Proposisi = 2 22 = 4 Dua pernyataan logika disebut ekivalen logis bila tabel kebenarannya identik
![Page 3: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/3.jpg)
Contoh Soal 1.1
Tentukan tabel kebenaran dari :
(p q) (~p r)
p q r (p q) ~p (~p r) (p q) (~p r)
T T T T F F T
T T F T F F T
T F T F F F F
F T T F T T T
F F T F T T T
F T F F T F F
T F F F F F F
F F F F T F F
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
p ~ p
T F
F TJawab :Proposisi = 3 23 = 8
![Page 4: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh Soal 1.1
Tentukan tabel kebenaran dari :
(p q) (~p r)
p q r (p q) ~p (~p r) (p q) (~p r)
T T T T F F T
T T F T F F T
T F T F F F F
F T T F T T T
F F T F T T T
F T F F T F F
T F F F F F F
F F F F T F F
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
![Page 5: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh Soal 1.2
Tunjukkan bahwa kedua pernyataan logika di bawah ini ekivalen logis
~(p q) ~p ~ q (Hukum de Morgan)
p q (p q) ~(p q) ~p ~q ~p ~q
T T T F F F F
T F F T F T T
F T F T T F T
F F F T T T T
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
Jawab :Proposisi = 2 22 = 4
![Page 6: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/6.jpg)
Contoh Soal 1.3
Tunjukkan bahwa kedua pernyataan logika di bawah ini ekivalen logis
~(p q) ~p ~ q (Hukum de Morgan)
p q (p q) ~(p q) ~p ~q ~p ~q
T T T F F F F
T F T F F T F
F T T F T F F
F F F T T T T
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
Jawab :Proposisi = 2 22 = 4
![Page 7: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/7.jpg)
HUKUM-HUKUM LOGIKA :
1. Hukum Identitas
2. Hukum Null/Dominasi
3. Hukum Negasi
4. Hukum Idempoten
5. Hukum Involusi (negasi ganda)
6. Hukum Penyerapan (Adsorpsi)
7. Hukum komutatif
8. Hukum Asosiatif
9. Hukum Distributif
10. Hukum De Morgan
![Page 8: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/8.jpg)
1. Hukum Identitas
p q = F p F
T F
F F
p q = T P T
T T
F T
p F p
p T p
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p q
T T T
T F T
F T T
F F F
![Page 9: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/9.jpg)
2. Hukum Null/Dominasi
p q = F p F
T F F
F F F
p q = T P T
T T T
F T T
p F F
p T T
![Page 10: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/10.jpg)
3. Hukum Negasi
p ~ p p ~p
T F F
F T F
p ~ p p ~p
T F T
F T T
p ~p F
p ~p T
![Page 11: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/11.jpg)
4. Hukum Idempoten
p p p p
T T T
F F F
p p p p
T T T
F F F
p p p
p p p
![Page 12: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/12.jpg)
5. Hukum Penyerapan(adsorpsi)
p (p r) p
p (p r) p
p q p q p (p q)
T T T T
T F F T
F T F F
F F F F
6. Hukum Involusi (negasi ganda)
~ (~ p) p
![Page 13: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/13.jpg)
7. Hukum Komutatif
p q q p
p q q p
8. Hukum Asosiatif
p (q r) (p q) r
p (q r) (p q) r
9. Hukum Distributif
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
10 Hukum De Morgan
~ (p q) ~p ~q
~ (p q) ~p ~q
![Page 14: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/14.jpg)
Soal Latihan 1.1
Di bawah ini adalah suatu rangkaian logika yang terbentuk dari gerbang-gerbang (gates) AND,OR dan NOT dengan dua input (p dan q) dan satu output (x).
Tentukan proposisi dari outputnya, kemudian tentukan tabel kebenarannya
p
q
x
Rangkaian Logika
![Page 15: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/15.jpg)
p q (p q) ~p ~q ~pq (pq)(~pq) = a ~p~q = b ab = x
T T T F F F T F T
T F F F T F F F F
F T F T F T T F T
F F F T T F F T T
Jawab :
x = [(p q) (~p q)] (~p ~q )
p
qp q
~p
~q
~p ~q = b
~p q
(p q) (~p q) = a
a b = x
Tabel kebenaran x
![Page 16: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/16.jpg)
p q x ~p ~ p q
T T T F T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
p
q
x
Rangkaian Logika
p
q ~p q
Rangkaian Logika
x = [(p q) (~p q)] (~p ~q ) ~p q
![Page 17: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/17.jpg)
Alternatif Pembuatan Tabel Kebenaran
p q ~ (p ~ q)
T T T T
T F T F
F T F T
F F F F
Langkah 1 1
Misalkan akan dibuat tabel kebenaran dari proposisi : ~ ( p ~ q )
![Page 18: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/18.jpg)
p q ~ (p ~ q)
T T T F T
T F T T F
F T F F T
F F F T F
Langkah 1 2 1
![Page 19: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/19.jpg)
p q ~ (p ~ q)
T T T F F T
T F T T T F
F T F F F T
F F F F T F
Langkah 1 3 2 1
![Page 20: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/20.jpg)
p q ~ (p ~ q)
T T T T F F T
T F F T T T F
F T T F F F T
F F T F F T F
Langkah 4 1 3 2 1
![Page 21: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/21.jpg)
Soal Latihan 1.2
Tentukan tabel kebenaran dari proposisi : [(p q) (~p q)] (~p ~q )
p q [(p q) (~ p q)] (~ p ~ q)
T T T T T T F T F T T F T F F T
T F T F F F F T F F F F T F T F
F T F F T T T F T T T T F F F T
F F F F F F T F F F T T F T T F
Langkah 1 3 1 4 2 1 3 1 5 2 1 3 2 1
Jawab :
![Page 22: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/22.jpg)
Soal Latihan 1.2
Tentukan tabel kebenaran dari proposisi : [(p q) (~p q)] (~p ~q )
p q [(p q) (~ p q)] (~ p ~ q)
T T T T T T F T F T T F T F F T
T F T F F F F T F F F F T F T F
F T F F T T T F T T T T F F F T
F F F F F F T F F F T T F T T F
Langkah 1 3 1 4 2 1 3 1 5 2 ! 3 2 1
![Page 23: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/23.jpg)
Contoh Soal 1.4
Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p (~p q)) dan ~p ~ q
Jawab : Identitas :
p F p
p T p
Negasi ganda :
~ (~ p) = p
Dominasi :
p F F
p T T
Komutatif :
p q = q pp q = q p
Idempoten :
p p p
p p p
Asosiatif
p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r
Negasi :
p ~p F
p ~p T
Distributif
p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)
Adsorpsi :
p (p r) p
p (p r) p
De Morgan :
~ (p q) ~p ~q
~ (p q) ~p ~q
~(p (~ p q))
~p ~(~p q) De Morgan 2
~p ~(~p) ~q De Morgan 2
~ p (p ~q) Negasi ganda
(~p p) (~p ~q) Distributif 1
F (~p ~q) Negasi 1
(~p ~q) F Komutatif 1
~p ~ q Identitas 1
![Page 24: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/24.jpg)
Soal Latihan 1.3
Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p q) (~ p q) dan ~ p
Jawab :
~(p q) (~ p q)
(~p ~q) (~ p q) De Morgan 2
~p (~q q) Distributiif 1
~p T Negasi 2
~ p Identitas 2
Identitas :
p F p
p T p
Negasi ganda :
~ (~ p) = p
Dominasi :
p F F
p T T
Komutatif :
p q = q pp q = q p
Idempoten :
p p p
p p p
Asosiatif
p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r
Negasi :
p ~p F
p ~p T
Distributif
p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)
Adsorpsi :
p (p r) p
p (p r) p
De Morgan :
~ (p q) ~p ~q
~ (p q) ~p ~q
![Page 25: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/25.jpg)
Soal Latihan 1.3
Dengan menggunakan hukum-hukum Logika (tanpa tabel kebenaran), tunjukkan bahwa kedua proposisi berikut ini adalah ekivalen logis ~(p q) (~ p q) dan ~ p
Jawab :
~(p q) (~ p q)
(~ p ~ q) (~ p q) De Morgan 2
~p (~q q) Distributif 1
~p T Negasi 2
~p Identitas 2
Identitas :
p F p
p T p
Negasi ganda :
~ (~ p) = p
Dominasi :
p F F
p T T
Komutatif :
p q = q pp q = q p
Idempoten :
p p p
p p p
Asosiatif
p (q r) (p q) rp (q r) (p q) r
Negasi :
p ~p F
p ~p T
Distributif
p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)
Adsorpsi :
p (p r) p
p (p r) p
De Morgan :
~ (p q) ~p ~q
~ (p q) ~p ~q
![Page 26: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/26.jpg)
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
Jika p, maka q if p, then q
proposisi p disebut hipotesis / antesenden / premis
proposisi q disebut konklusi / konsekuen
Variasi proposisi dengan :
Implikasi p q
Konvers (kebalikan) : q p
Invers : ~ p ~ q
Kontraposisi : ~ q ~ p
Contoh : Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari :
Jika Amir orang kaya (p), maka ia mempunyai mobil (q)
Konvers : Jika ia mempunyai mobil, maka Amir orang kaya
Invers : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil
Kontraposisi : Jika ia tidak mempunyai mobil, maka Amir bukan orang kaya
OPERATOR LOGIKA KONDISIONAL
![Page 27: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/27.jpg)
p q ~ p ~ q p q q p ~ p ~q ~ q ~ p
T T F F T T T T
T F F T F T T F
F T T F T F F T
F F T T T T T T
Tabel Kebenaran konvers, invers dan kontraposisi dari implikasi :
Tautologi 1 : p q ~ p q Tautologi 6 : (p q ) (p r ) p (q r )
Tautologi 2 : ~ (p q) p q Tautologi 7 : (p r) (q r) (p q) r
Tautologi 3 : p q ~ q ~ p Tautologi 8 : (p q) (p r) p (q r)
Tautologi 4 : p q ~p q Tautologi 9 : (p r) (q r) (p q) r
Tautologi 5 : p q ~ (p ~ q)
Hukum-hukum Logika yang melibatkan implikasi p q
![Page 28: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/28.jpg)
Biimplikasi p q
p jika dan hanya jika q p if and only if q p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
1 : p q (p q) (q p)
2 : p q ~ p ~ q
3 : p q (p q) (~ p ~ q)
4 : ~(p q) p ~ q
5 : p q q p
Hukum-hukum Logika yang melibatkan biimplikasi p q
![Page 29: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/29.jpg)
Urutan Prioritas dari Operator Logika
Operator Logika Notasi Prioritas
Kurung () Paling tinggi
Negasi ~
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi Paling rendah
![Page 30: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/30.jpg)
Contoh Soal 1.5 [UTS Logika Matematika 3 Desember 2007]
Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini :
a). (~q p) (p ~q)
b). [p (q r)] [(p q) r]
c). [(p q) (p r) (q r)] r
Jawab a) :
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
p q ~ q ~q p p ~q (~q p) (p ~q)
T T F T F F
T F T T T T
F T F T T T
F F T F T T
![Page 31: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/31.jpg)
Jawab b) : p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
p q r q r p q p (q r) (p q) r [p (q r)] [(p q) r]
T T T T T T T T
T T F F T F F T
T F T T F T T T
F T T T F T T T
F F T T F T T T
F T F F F T T T
T F F T F T T T
F F F T F T T T
![Page 32: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/32.jpg)
Jawab c) : p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
p q r p q p r q r (p q) (p r)= a
a (q r)]= b
b r
T T T T T T T T T
T T F T F F F F T
T F T T T T T T T
F T T T T T T T T
F F T F T T F F T
F T F T T F T F T
T F F T F T F F T
F F F F T T F F T
[(p q) (p r) (q r)] r
![Page 33: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/33.jpg)
Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi semuanya benar (T), maka proposisi tersebut disebut tautologi,
Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi semuanya salah (F), maka proposisi tersebut disebut kontradiksi
Bila kolom terakhir tabel kebenaran dari suatu proposisi ada yang benar (T) dan ada yang salah (F),maka proposisi tersebut disebut kontingensi
TAUTOLOGI, KONTRADIKTIF DAN KONTINGENSI :
![Page 34: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/34.jpg)
Contoh Soal 1.6
Tentukan apakah kalimat implikasi di bawah ini tautologi, kontradiksi atau kontigensi
a). a (b a b) b). a (b c) (a b) (a c)
a b a b b a b a (b a b)
T T T T T
T F T T T
F T T T T
F F F T T
Jawab a) :
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
![Page 35: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/35.jpg)
Jawab b) :
a b c b c a b a c a (b c)= x
(a b) (a c) = y
x y
T T T T T T T T T
T T F F T T T T T
T F T F T T T T T
F T T T T T T T T
F F T F F T F F T
F T F F T F F F T
T F F F T T T T T
F F F F F F F F T
a (b c) (a b) (a c)
p q p q
T T T
T F F
F T F
F F T
![Page 36: Bab 1 Kalkulus Proposisi Baru](https://reader031.vdocuments.mx/reader031/viewer/2022012304/5571f84549795991698d08bb/html5/thumbnails/36.jpg)
Soal Latihan 1.7 [UTS Logika Matematika 3 Desember 2007]
Tentukan tabel kebenaran dari setiap kalimat di bawah ini :
a). ~ (p q) (~q r)
b). ~(p q) (r ~p)
Jawab a) :
p q p q
T T T
T F F
F T T
F F T
p q ~ q ~q p p ~q (~q p) (p ~q)
T T F T F F
T F T T T T
F T F T T T
F F T F T T