matematika logika - kalkulus proposisi bagian 2 oleh yeni fatman, st
DESCRIPTION
Kalkulus Proposisi merupakan salah satu mata kuliah yang ada di Jurusan Teknik Informatika, untuk lebih lanjut silahkan kunjungi http://blogs.unpas.ac.id/anisamaulina/2012/11/24/jurusan-teknik-informatika/TRANSCRIPT
![Page 1: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika LogikaLogika Preposisi
Yenni Fatman, S.T.
@2012
Teknik Informatika -Unpas
![Page 2: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/2.jpg)
Ekivalensi Logis .. (1)
Negasi Ganda p p
Hukum Komutatif
(pq) (qp)
(pq) (qp)
(pq) (qp)
Hukum Asosiatif
(pq) r p (qr)
(pq) r p (qr)
Hukum Distributif
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
![Page 3: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/3.jpg)
Ekivalensi Logis .. (2)
HukumIdempoten
(pp) p
(pp) p
Hukum Identitas
(p0) p
(p1) 1
(p0) 0
(p1) p
Hukum Asosiatif
(p p) 1
(p p) 0
![Page 4: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/4.jpg)
Ekivalensi Logis .. (3)
Hukum de Morgan
(pq) p q
(pq) p q
(pq) (p q)
(pq) (p q)
Kontrapositif (p q) (q p)
Implikasi (p q) (p q)
(p q) (p q)
![Page 5: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/5.jpg)
Formula Valid dan Inkonsisten
Suatu formula
dikatakan validjika dan hanya jika formula tersebut
tautologiSuatu formula dikatakan invalid jika dan hanya jika tidak valid
Suatu formula dikatakan
inkonsisten jika
dan hanya jika formula tersebut
kontradiksiSuatu formula dikatakan konsisten jika dan hanya jika tidak konsisten
![Page 6: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/6.jpg)
Implikasi Validitas
Formula adalah
valid jika dan hanya jika
negasinya inkonsistenFormula adalah
inkonsisten jika dan hanya jika
negasinya valid
Formula adalah
invalid jika dan hanya jika ada interpretasi yang menyebabkannya salahFormula adalah
konsisten jika dan hanya jika ada interpretasi yang menyebabkannya benar
![Page 7: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/7.jpg)
Implikasi Validitas
Jika formula adalah valid, maka formula tersebut konsisten, tetapi tidak sebaliknya
Jika formula adalah inkonsisten, maka formula tersebut invalid, tetapi tidak sebaliknya
p p– Formula inkonsisten
– Formula invalid
p p– Formula valid
– Formula konsisten
p p– Formula invalid
– Formula konsisten
![Page 8: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/8.jpg)
Implikasi Validitas
p p p p
0 1 0
1 0 0
p p– Formula inkonsisten
– Formula invalid
p p– Formula valid
– Formula konsisten
p p– Formula invalid
– Formula konsisten
P P p p
0 1 1
1 0 1
p p p
p
0 1 1
1 0 0
![Page 9: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/9.jpg)
Bentuk Normal Formula
Formula dapat dibentuk dengan menggunakan kombinasi operator logika ,,,, dan
Formula yang hanya menggunakan kombinasi operator logika ,, dan
disebut Bentuk Normal– Bentuk Normal Konjungsi: dan
– Bentuk Normal Disjungsi: dan
![Page 10: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/10.jpg)
Transformasi Bentuk Normal
Eliminasi operator dan , dengan menggunakan aturan:
F G = (F G) (F G )
F G = F G
Gunakan Hukum Distributif (dan hukum lainnya)
Pindahkan operator ke tepat sebelum atom, dengan menggunakan aturan:
– ( F) = F
– De Morgan:
•(pq) p q
•(pq) p q
![Page 11: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/11.jpg)
Transformasi Bentuk Normal
Ubah (P (Q R)) S ke dalam bentuk normal konjungsi!
(P (Q R)) S = (P (Q R)) S
= (P (Q R)) S
= ( P (Q R)) S
= ( P (Q R)) S
= (( P Q) ( P R)) S
= ( P Q S ) ( P R S)
![Page 12: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/12.jpg)
Transformasi Bentuk Normal
Ubah (p q) r ke dalam bentuk normal disjungsi!
(p q) r = (p q) r
= ( p ( q)) r
= ( p q ) r
![Page 13: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/13.jpg)
Pembuktian Logika
Logika Proposisional adalah alat bantu untuk argumentasi berdasarkan fakta dan kesimpulan– Fakta
– Konklusi / Kesimpulan
– Argumentasi = fakta + konklusi
– Fakta + konklusi adalah benar DAN terdapat hubungan logis Argumentasi benar
– Faktar benar tapi konklusi salah Argumentasi salah
![Page 14: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/14.jpg)
Pembuktian Logika
Pembuktian Logika: proses membuktikan benar/salahnya suatu konklusi/kesimpulan secara logis
Menggunakan fakta-fakta atau argumentasi yang dinyatakan dalam bentuk preposisi yang diasumsikan benar
– Fakta disebut Premis (aksioma, postulat, hipotesa)
– Kesimpulan yang ditarik dari premis disebut konsekuensi logis
![Page 15: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/15.jpg)
Metode Pembuktian
Pembuktian Langsung
– Pembuktian dengan tautologi
Pembuktian Tidak Langsung
– Pembuktian dengan kontrapositif
– Pembuktian dengan kontrakdiksi
![Page 16: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/16.jpg)
Teknik Pembuktian
Tabel Kebenaran
Penyederhanaan / Normalisasi
Aturan Inferensi
![Page 17: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/17.jpg)
Tabel Kebenaran
Cara yang paling sederhana
Langkah-langkah:
– Tentukan formula dari presmi-premis yang ada
– Tentukan metodenya: langsung/tidak langsung
– Buat tabel kebenarannya
– Cek berdasarkan tabel, formula tautology / bukan
– Buat kesimpulan
![Page 18: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/18.jpg)
Tabel Kebenaran (Contoh)
Periksalah kesimpulan dari premis-premis berikut:
– Jika kucing di dalam rumah maka rumah tidak tenang
– Kucing tidak ada di dalam rumah
– Kesimpulan: rumah pasti tenang (Betulkah?)
![Page 19: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/19.jpg)
Tabel Kebenaran: Pembuktian
Langsung
Ubah premis ke dalam preposisi:– p: kucing di dalam rumah
– q: rumah tidak tenang
– p q: Jika kucing di dalam rumah, maka rumah tidak tenang (fakta)
– p: Kucing tidak ada di dalam rumah (fakta)
– q: Rumah pasti tenang (kesimpulan)Yang akan dibuktikan kebenarannya: fakta dan
kesimpulan, yaitu ((p q) p) q
![Page 20: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/20.jpg)
Tabel Kebenaran
p q p q
p (p q) p
q (p q) p q
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0 1
![Page 21: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/21.jpg)
Tabel Kebenaran:
Kesimpulan Pembuktian Langsung
Hasil dari Tabel Kebenaran: Formula bukan tautologi
Berarti “kesimpulan bahwa rumah pasti tenang adalah” salah
![Page 22: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/22.jpg)
Tabel Kebenaran:
Pembuktian tidak langsung
Menggunakan KontradiksiUbah premis ke dalam preposisi:– p: kucing di dalam rumah
– q: rumah tidak tenang
– p q: Jika kucing di dalam rumah, maka rumah tidak tenang (fakta)
– p: Kucing tidak ada di dalam rumah (fakta)
– q: Rumah pasti tenang (kesimpulan)
![Page 23: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/23.jpg)
Tabel Kebenaran:
Pembuktian tidak langsung
Kesimpulan q: Rumah pasti tenang
Pembuktian tidak langsung dengan
Kontradiksi menggunakan negasi dari kesimpulan, yaitu:
– Rumah pasti tidak tenang ( q) = q
Yang akan dibuktikan kebenarannya:
fakta dan kontradiksinya, yaitu ((p q) p) q
![Page 24: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/24.jpg)
Tabel Kebenaran:
Pembuktian tidak langsung
p q p q p (p q) p (p q) p q
0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0
![Page 25: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/25.jpg)
Tabel Kebenaran:
Kesimpulan pembuktian tidak
langsung
Hasil dari tabel kebenaran: Formula bukan kontradiksi
(p q) p q diharapkan inkonsisten
Berarti “kesimpulan bahwa rumah pasti tenang adalah” salah
![Page 26: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/26.jpg)
Tabel Kebenaran: Contoh Soal
Buktikan formula q r adalah kesimpulan dari premis p q dan p r
Solusi: periksa formula (p q) (p r) q r
Gunakan tabel kebenaran!
![Page 27: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/27.jpg)
Tabel Kebenaran: Solusi
p q r p q p r q r (p q) (p r) q r
0 0 0 0 1 0 1
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
![Page 28: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/28.jpg)
Tabel Kebenaran: Kesimpulan
Soal
Formula tersebut Tautology
Berarti formula tersebut Valid
Catatan: Pembuktikan dengan Tabel Kebenaran adalah mudah jika jumlah atom tidak banyak dan formula tidak rumit
![Page 29: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/29.jpg)
Penyederhanaan/Normalisasi
Adalah cara pembuktikan dengan
menyambungkan premis-premis dengan operator logika
Selanjutnya disederhanakan kembali ke
dalam bentuk normal konjungsi atau
disjungsiGunakan ekivalensi logis
Umumnya subtitusikan formula dengan formula lainnya yang ekivalen
![Page 30: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/30.jpg)
Normalisasi: Contoh
Harga saham turun apabila suku bunga naik. Banyak investor kecewa apabila harga saham turun. Pada saat ini suku bunga naik.
Kesimpulan: Investor kecewa (betulkah?)
![Page 31: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/31.jpg)
Normalisasi: Contoh 2
Harga saham turun apabila suku bunga naik. Banyak investor kecewa apabila harga saham turun. Pada saat ini investor kecewa
Kesimpulan: suku bunga naik (betulkah?)
![Page 32: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/32.jpg)
Normalisasi: Contoh
P1: Harga saham turun apabila suku bunga naik.
P2: Banyak investor kecewa apabila harga saham turun.
P3: Pada saat ini suku bunga naik.
C: Investor kecewa (betulkah?)
![Page 33: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/33.jpg)
Normalisasi: Contoh
Ubah ke dalam bentuk simbol-simbol:
– s: harga saham turun
– p: suku bunga naik.
– u: banyak investor kecewa
Maka:
– P1: p s
– P2: s u
– P3: p
– C: u
((p s) (s u) p)
Ubah ke dalam
bentuk normal
![Page 34: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/34.jpg)
Normalisasi: Contoh
((p s) (s u) p)((ps)(su)p)(p (ps)(su))((p p) (p s))(su)(0 (p s))(su)(p s)(su)(p s s) (p s u)(p 0) (p s u)0 (p s u)(p s u)
![Page 35: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/35.jpg)
Normalisasi: Kesimpulan
((p s) (s u) p)– Bernilai benar
(p s u)– Bernilai benar juga
– Karena itu u harus bernilai benar
Karena u benar Kesimpulan benar
![Page 36: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/36.jpg)
Aturan Inferensi
Asumsi terdapat himpunan preposisi yang terdiri dari sejumlah premis P1, P2, P3,.., Pn dan sebuah kesimpulan C.
Aturan inferensi digunakan untuk membuktikan kesimpulan C berdasarkan himpunan premis dalam bentuk rangkaian struktur pohon/tree
![Page 37: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/37.jpg)
Aturan Inferensi: Contoh
Jika Tommy rajin bekerja, maka ia mendapat reputasi kerja yang baik. Jika Tommy memiliki reputasi kerja yang baik, maka karirnya akan meningkat dengan cepat. Karir Tommy mandeg. Oleh karenanya Tommy tidak rajin bekerja (Benarkah?)
![Page 38: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/38.jpg)
Aturan Inferensi: Solusi
Definisikan:
– p: Tommy rajin bekerja
– q: mendapat reputasi kerja yang baik
– r: karirnya akan meningkat dengan cepat
Formula yang didapat:
– P1: p q
– P2: q r
– P3: r
![Page 39: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/39.jpg)
Aturan Inferensi: Langkah-langkah
Langkah Alasan
1 pq Premis P1
2 qr Premis P2
3 pr Langkah 1,2: silogisme hipotetikal
4 r Premis P3
5 p Langkah 3,4: modus tollens
![Page 40: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/40.jpg)
Aturan Inferensi: Langkah-langkah
Langkah Alasan
1 qr Premis P2
2 r Premis P3
3 q Langkah 1,2: modus tollens
4 p q Premis P1
5 p Langkah 3,4: modus tollens
![Page 41: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/41.jpg)
Aturan Inferensi: Kesimpulan
Berdasarkan pembuktian di atas,
terbukti bahwa kesimpulan Tommy tidak rajin bekerja adalah benar
![Page 42: Matematika Logika - Kalkulus Proposisi bagian 2 Oleh Yeni Fatman, ST](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022052215/5596c8561a28ab755a8b479b/html5/thumbnails/42.jpg)
Aturan Inferensi
Adisi P
P Q
Simplifikasi PQ
P
Modus Ponens
P
PQ
Q
Modus Tollens
PQ
Q
P
Silogisme Disjungtif
P Q
P
Q
Silogisme Hipotetikal
PQ
QR
PR
Konjungsi P
Q
P Q
Prinsip Resolusi
P Q
P R
Q R