bab 8 kalkulus 2a
TRANSCRIPT
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
1/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10)
Bab 8: Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
“Do maths and you see the world”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
http://find/http://goback/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
2/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk Tak Tentu?
Bentuk tak tentu? Bentuk apa?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
http://find/http://goback/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
3/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai“seolah-olah”:
0
0;∞∞ ; 0 · ∞;∞−∞; 0
0;∞0; 1∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
4/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Contoh:
limx →0
sin x
x
dan
limx →4
x −√ x − 2x − 4 ,
yang apabila kita substitusikan titik limitnya, kita peroleh nilai
0
0 .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
http://find/http://goback/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
5/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Pertanyaan:Berapakah nilai limit diatas?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
B t k t k t t 0/0
http://find/http://goback/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
6/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Bentuk tak tentu 0/0
Kita akan menghitung
limx
→c
f (x )
g (x ),
denganlimx →c
f (x ) = 0 = limx →c
g (x ).
Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x )/g (x )
(menguraikan pembilang dan penyebut; merasional bentukpecahan; menggunakan rumus trigonometri dll) sehinggasifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
7/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Contoh 1: hitunglah
limx →0
sin x x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
8/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Solusi:
limx →0sin x
x
= · · ·
(gunakan Matlab untuk ilustrasi)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
9/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Contoh 2: hitunglah
limx →4
x −√ x − 2x − 4
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
10/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Solusi:
limx →4
x −√ x − 2x
−4
= limx →4
(√ x − 2)(√ x + 1)(√
x − 2)(√ x + 2)= lim
x →4
√ x + 1√ x + 2
= 3/4
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
11/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
/Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Bentuk tak tentu ∞/∞
Misalkan kita akan menghitung
limx →∞
f (x )
g (x )
,
denganlim
x →∞|f (x )| = ∞ = lim
x →∞|g (x )|.
Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x )/g (x )(merasional bentuk pecahan; memunculkan bentuk 1/x n
dengan n bilangan asli dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapatdipakai.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/http://goback/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
12/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
/Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Contoh: hitunglah
limx →∞x
−√
x
−2
x − 4(Perhatikan bahwa jika kita substikan titik limitnya, kita dapatkannilai limit berbentuk tak hingga per tak hingga)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
13/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
/Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Solusi:
limx →∞
x −√ x − 2x − 4
= limx →∞
(√
x − 2)(√ x + 1)(√
x − 2)(√ x + 2)
= limx →∞ √ x + 1√ x + 2
= limx →∞
√ x (1 + 1√
x )
√ x (1 + 2√
x )
=1 +
limx →∞ 1
x
1 +
2 limx →∞1x
= 1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0/
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
14/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Bentuk tak tentu 0 · ∞Sekarang, pandang
limx →c
f (x )g (x ),
denganlimx
→c
f (x ) = 0; limx
→c
|g (x )
|=
∞.
Kita dapat menghitung limit diatas dengan cara mengubahbentuk f (x )g (x ) menjadi bentuk
f (x )
1/g (x )
sehingga diperoleh bentuk 0/0, atau menjadi bentuk
g (x )
1/f (x )
dengan bentuk ∞/∞.Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PBentuk tak tentu 0/0B k k /
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
15/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Contoh 1: hitunglah
limx →π
4
x − π
4
sec 2x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
P tBentuk tak tentu 0/0B t k t k t t /
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
16/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Solusi:
limx →π
4
x − π
4
sec 2x
= limx →π
4
x − π4
cos 2x
= · · ·= · · ·= −1/2
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
17/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Contoh 2: hitunglah
limx →∞
sin 1
x
x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
18/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Bentuk tak tentu ∞−∞
Unutk menyelesaikan limit berbentuk ∞−∞,
limx →∞ (f (x ) − g (x )),dengan
limx →∞
f (x ) = ∞; limx →∞
g (x ) = ∞,
caranya penyelesaiannya dengan mengubah menjadi bentuk∞/∞.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
19/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Contoh: hitunglah
limx →∞
x 2 + 2x − x
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
20/38
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Solusi: tuliskan x 2 + 2x − x =
x 2 + 2x − x ·
√ x 2 + 2x + x √ x 2 + 2x + x
=
x 2 + 2x
−x 2
√ x 2 + 2x + x =
2x x 2
1 + 2x
+ x
=
2x
x
1 + 2
x + 1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
21/38
gBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
/Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Jadi,
limx →∞
x 2 + 2x − x = 1
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
22/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
/Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Dapatkah anda menghitung
limx →−∞
x 2 − 3x + x
?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
23/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Solusi: 3/2
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarB k T k T
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞B k k 0
http://find/http://goback/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
24/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Latihan
Hitung
limx →∞ √ x
2
+ x 2x − 1
dan
limx →−∞
√ x 2 + x
2x
−1 .
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarB t k T k T t
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞B t k t k t t 0
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
25/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Limit diatas berbentuk
∞∞
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 ∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
26/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan
√ x 2 + x
2x − 1 = x 2 1 +
1x
x
2 − 1x
dan• untuk x → ∞ berlaku · · · sehingga · · ·
• untuk x
→ −∞ berlaku
· · · sehingga
· · ·
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Bentuk tak tentu 0/0Bentuk tak tentu ∞/∞Bentuk tak tentu 0 · ∞
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
27/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Bentuk tak tentu 0 · ∞Bentuk tak tentu ∞−∞Latihan
Jadi,
limx
→∞
x 2 + x
2x − 1 = 1/2
dan
limx →−∞
x 2 + x
2x − 1 = −1/2.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Integral Pada Selang HinggaS
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
28/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Integral Pada Selang Tak Hingga
Integral Pada Selang Hingga
Misalkan kita ingin menghitung 1√
x − 1 dx .
Kita dapat (dengan mudah) menyelesaikannya dengan memisalkany = x − 1 sehingga
1√
x − 1 dx
=
y −1/2 dy
= 2y 1/2 + C
= 2√
x − 1 + C
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Integral Pada Selang HinggaI l P d S l T k Hi
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
29/38
Bentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Integral Pada Selang Tak Hingga
Namun, bagaimana jika kita ingin menghitung integral tentu
5
1
1√ x − 1 dx ?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Integral Pada Selang HinggaI t l P d S l T k Hi
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
30/38
Integral Tak WajarIntegral Pada Selang Tak Hingga
Kita tahu bahwa fungsi f (x ) = 1√ x −1 kontinu pada selang (1, 5]
dengan
limx →1+ 1√ x − 1 = ∞.
Apabila kita menghitung integral pada selang [1, 5], maka tindakanyang dilakukan dikatakan sebagai perhitungan integral tak wajar.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
31/38
Integral Tak WajarIntegral Pada Selang Tak Hingga
Jadi,
51
1√ x
−1
dx
= limc →1+
5
1
1√ x − 1
= limc →1+
2√
x − 1
= 4
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak Tentu
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
32/38
Integral Tak WajarIntegral Pada Selang Tak Hingga
Integral Pada Selang Tak Hingga
Pada bagian sebelumnya, kita melihat salah satu bentuk integral
tak wajar dimana integran bernilai tak hingga. Sekarang kita lihatbentuk lain dimana integran kontinu dan terdefinisi di domainnya,namun integral yang kita hitung memiliki (salah satu) batas takhingga.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak TentuI l T k W j
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
33/38
Integral Tak WajarIntegral Pada Selang Tak Hingga
Contoh 1: hitunglah
0
−∞
1
1 + x 2 dx
yang mana kita tahu fungsi f (x ) = 11+x 2
kontinu dan terdefinisi diselang (−∞,∞).
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak TentuI t l T k W j
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
34/38
Integral Tak WajarIntegral Pada Selang Tak Hingga
Solusi: 0−∞
1
1 + x 2 dx
= lima→−∞ 0a
1
1 + x 2 dx
= lima→−∞
tan−1 x
0a
= lima
→−∞ −tan−1 a
= −(−π/2)
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
35/38
Integral Tak Wajarg g gg
Contoh 2: hitunglah
∞0
1√ x (x + 1)
dx
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
36/38
Integral Tak Wajarg g gg
Solusi:Perhatikan bahwa fungsi f (x ) = 1√
x (x +1) kontinu pada selang
(0,∞) denganlim
x →0+f (x ) =
∞.
Selain itu, integral tak tentunya
1√
x (x + 1) dx = 2 tan−1
√ x + C
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
37/38
Integral Tak Wajar
Jadi, ∞
0
1√ x (x + 1) dx = · · · = π.
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
PengantarBentuk Tak TentuIntegral Tak Wajar
Integral Pada Selang HinggaIntegral Pada Selang Tak Hingga
http://find/
-
8/16/2019 Bab 8 Kalkulus 2A
38/38
Integral Tak Wajar
Bagaimana dengan
∞0
sin x dx , ?
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu
http://find/