atnaujintas d. surgailio paskaitų konspektas

Donatas Surgailis

Finansų matematikaPaskaitų konspektas

Vilnius

2015 vasario 9

Turinys

1 Įvadas 1

2 Finansų rinka 3

2.1 Finansų rinkos struktūra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Opcionai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Pelno diagramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Viršutiniai ir apatiniai europietiškųjų opcionų kainų rėžiai . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Pardavimo–pirkimo opcionų pariteto lygybė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Opcionų dariniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.7 Ateities ir išankstiniai sandoriai. Trumpasis pardavimas . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.8 Klausimai ir uždaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Vieno periodo finansų rinkos modelis 15

3.1 Modelio aprašymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Dominuojančios strategijos ir tiesiniai kainų matai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Arbitražo strategijos ir rizikai neutralūs matai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22


4 Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnosios ir nepilnosios rinkos 31

4.1 Pasiekiami ieškiniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Pilnoji rinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Nepilnoji rinka ir nepasiekiamų ieškinių vertinimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


5 Rizika ir grąža 39

6 Kelių periodų finansų rinkos modelis 47

iii

iv TURINYS

7 Martingalai ir nearbitražinė rinka 55

7.1 Martingalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.2 Rizikai neutralūs matai ir nearbitražinė rinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3 Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnoji rinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Put–call pariteto lygybė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


8 Binominis (CRR) modelis 67

8.1 Modelio aprašymas ir rizikai neutralaus mato charakterizacija . . . . . . . . . . . . 67

8.2 Europietiškųjų opcionų vertės skaičiavimas CRR modelyje . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3 Hedžingo (replikuojančios) strategijos konstravimas CRR modelyje . . . . . . . . . 74

8.4 Ribinis perėjimas T → ∞. Black–Scholes formulės . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.5 Istorinis ir implikuotas kintamumai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Amerikietiškieji opcionai 85

9.1 Amerikietiškojo opciono vertė . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2 Amerikietiškojo opciono optimalusis vykdymo momentas . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.3 Amerikietiškojo opciono hedžingas. Doob’o dėstinys . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Literatūra 97

1 skyrius

Įvadas

Šis "Finansų matematikos" kurso konspektas apima diskretaus laiko ir diskrečių kainų modelius.

Toks supaprastinimas leidžia didele dalimi išvengti matematinių subtilybių (tarp jų, mato teori-

jos žinojimo). Panašūs kursai visame pasaulyje skaitomi verslo mokyklų ir kitų nematematinių

specialybių studentams, neturintiems specialaus matematinio pasiruošimo.

Finansų industrija užima milžinišką vietą šiuolaikiniame pasaulyje, o jos valdymas reikalauja

matematinių žinių ir teorinių principų supratimo. Šiuolaikinė vertybinių popierių rinkos teorija

paremta tolydaus laiko atsitiktinių procesų modeliais, mato teorija, martingalų teorija ir kitomis

pakankamai sudėtingomis matematinėmis disciplinomis. Diskretūs modeliai, dėstomi šiame kurse,

faktiškai yra įvadas į šiuolaikinę finansų matematiką. Kita vertus, jie leidžia suprasti visas pagrin-

dines finansų matematikos sąvokas. Be to, diskrečiais modeliais galima labai tiksliai aproksimuoti

tolydžius procesus.

Ruošdamas šį konspektą, autorius iš esmės naudojosi trimis literatūros šaltiniais: [7], [3] ir [5].

Pirmose dviejose knygose galima rasti daug papildomos medžiagos apie praktinius investavimo

aspektus, obligacijų rinką, investicijos rizikos valdymą, "graikiškąsias raides" ir kitus šiame kurse

beveik nepaliestus klausimus.

1

2 1 skyrius. Įvadas

2 skyrius

Finansų rinka

Pagrindinės sąvokos: Finansų rinka. Akcijos, obligacijos, opcionai, ateities sandoriai. Opcionų

dariniai. Trumpoji prekyba vertybiniais popieriais.

2.1 Finansų rinkos struktūra

Finansų rinką sudaro vertybiniai popieriai (VP), pinigai, brangieji metalai ir t.t. (prekybos ob-

jektai), o taip pat individai ir struktūros (investuotojai, kompanijos, bankai), kurie dalyvauja

prekyboje (perka, parduoda arba tarpininkauja). VP arba finansiniai aktyvai (financial assets)

faktiškai yra skolos rašteliai (vekseliai), kai viena pusė (VP emitentai) skolinasi pinigus, o kita pu-

sė (VP pirkėjai, arba investuotojai) – skolina pinigus, už juos įsigydami VP. VP emisiją ir prekybą

griežtai reglamentuoja įstatymai ir poįstatyminiai aktai.

VP rūšių yra labai daug (žr. [3]). Mažiausiai rizikingi yra pinigų rinkai priklausantys trum-

palaikiai (iki 1 metų) VP su fiksuotomis pajamomis (tokie kaip JAV iždo vekseliai ir depozitiniai

sertifikatai), tačiau jų vidutinis pelningumas yra palyginti nedidelis. Kapitalo rinkos įvairovė yra

daug didesnė. Jai priklauso akcijos, obligacijos ir išvestiniai VP (derivatyvai).

Populiariausios derivatyvų rūšys yra opcionai ir ateities sandoriai (futures). Iš viso derivatyvų

priskaičiuojama daugiau nei 1200 rūšių, jų rinka šiuo metu siekia trilijonus dolerių ir nuolat didė-

ja. Išvestiniais šie VP vadinami todėl, kad jų kaina priklauso nuo kitų finansinių aktyvų kainos.

Pvz., opcionas put, sudarytas Du Pont akcijai, opciono savininkui atneš naudos, jei šios akcijos

kaina nukris. Todėl Du Pont akcininkui yra prasmės pačiam įsigyti tokį opcioną norint apsidrausti

nuo galimų nuostolių dėl akcijos kainos kritimo. Tuo pačiu derivatyvai atlieka labai svarbią ap-

draudžiančiąją (hedžingo) funkciją finansiniame pasaulyje. Kita vertus, išvestiniai VP gali būti

naudojami grynai spekuliaciniais tikslais ir yra potencialiai labai rizikingi. Derivatyvai remiasi

“sverto principu” ir gali atnešti didelį pelną arba nuostolį investavus palyginti nedidelį kapitalą

arba netgi nieko neinvestavus.

3

4 2 skyrius. Finansų rinka

2.2 Opcionai

Opcionu vadinamas kontraktas, pagal kurį viena iš šalių (opciono pirkėjas) įgyja teisę pirkti arba

parduoti prekę fiksuota kaina per fiksuotą laiko tarpą, o kita šalis (opciono pardavėjas) įsipareigoja

tą prekę parduoti arba pirkti kontrakte nurodytomis sąlygomis. Žodis “teisė” pirkėjo atžvilgiu

reiškia, kad jis gali atsisakyti pasinaudoti įgyta teise (pirkti arba parduoti), jei tai jam nenaudinga.

Opciono pardavėjas privalo vykdyti kontrakto įsipareigojimus. Kadangi tokio sandorio sąlygos yra

naudingesnės pirkėjui, tai pirkėjas už jį turi sumokėti pardavėjui jo reikalaujamą pinigų sumą.

Opcionai būna dviejų rūšių – call (pirkimo) ir put (pardavimo). Call opciono atveju pirkėjas

įgyja teisę pirkti norimą prekę ateityje kontrakte numatytomis sąlygomis, o opciono pardavėjas

įsipareigoja tą prekę parduoti. Put opciono atveju pirkėjas įgyja teisę parduoti norimą prekę ateityje

kontrakte numatytomis sąlygomis, o opciono pardavėjas įsipareigoja tą prekę nupirkti.

Kaina, kurią opciono pirkėjas sumoka pardavėjui, vadinama opciono verte (opciono kaina). Ją

reikia skirti nuo opciono įvykdymo kainos (strike price, exercise price). Opciono vykdymo kai-

na – tai kontrakte fiksuota kaina, už kurią opciono savininkas gali ateityje pirkti arba parduoti

atitinkamą prekę.

Sakoma, kad opciono pirkėjas užima “ilgąją poziciją” (long position), o pardavėjas – “trumpąją

poziciją” (short position).“Ilgoji pozicija” reiškia, kad asmuo tikisi pelno ne dabar, o po tam laiko

(kai opcionas bus vykdomas). “Trumpoji pozicija” reiškia pajamas kontrakto sudarymo metu:

pardavėjas iš karto gauna pinigų sumą, lygią parduoto opciono vertei.

Dažniausiai opcioninio kontrakto prekė yra akcijos (shares). Vienas opcioninis kontraktas su-

daromas 100 akcijų. Taip pat sudaromi valiutų kursų (Forex), rinkos indeksų, obligacijų ir kt.

opcionai. Sudaryti opcioniniai kontraktai irgi yra prekė, kurią galima pirkti arba parduoti.

Skiriami europietiškieji ir amerikietiškieji opcionai (European and American options). Europie-

tiškojo opciono atveju kontraktas vykdomas tiksliai nustatytą dieną (maturity, expiration date).

Amerikietiškieji opcionai gali būti realizuojami bet kurią dieną iki jo galiojimo pabaigos. Dažniau-

siai opcionai būna trumpalaikiai (vieno ar kelių mėnesių trukmės), nes ilgesnio laikotarpio akcijų

kainų pokyčiai yra sunkiai prognozuojami ir tokiu atveju jų opcionai būtų labai rizikingi.

2.3. PELNO DIAGRAMOS 5

Calls($) Puts($)

Strike price($) June July Oct. June July Oct.

20,00 1,25 1,60 2,40 0,45 0,85 1,50

22,50 0,20 0,45 1,15 1,85 2,20 2,85

1 lentelė Intel kompanijos akcijų amerikietiškųjų opcionų kainos CBOE (=Chicago

Board Options Exchange) biržoje 2003 05 29. Vienos Intel akcijos kaina ta dieną buvo

20,83$. June opcionai baigia galioti 2003 06 21, July – 2003 07 19 ir October – 2003 10

18. Atkreipkite dėmesį, kad call kaina mažėja didėjant vykdymo kainai, o put kaina

elgiasi atvirkščiai, be to, abiejų rūšių opcionų kainos didėja ilgėjant terminui.

2.3 Pelno diagramos

Svarbu mokėti išreikšti opcioninio kontrakto galutinę išmoką (pelną arba nuostolį) per akcijos

kainą ir opcioną nusakančius parametrus. Toliau žymėsime:

T − opciono vykdymo data;

St − akcijos kaina momentu t ≤ T ;

K − opciono vykdymo kaina;

ct − europietiškojo call opciono vertė momentu t ≤ T ;

pt − europietiškojo put opciono vertė momentu t ≤ T .

Tada call opciono išmoka momentu T yra lygi

(ST − K)+ = max(ST − K, 0).

Iš tikrųjų, momentu T akcijos kaina ST gali būti tiek didesnė, tiek mažesnė už vykdymo kainą K.

Jei ST ≤ K, tai pirkimo opcionas nevykdomas (nėra prasmės akciją pirkti už kainą K, jei rinkoje

ji kainuoja ST – t.y. mažiau arba tiek pat), ir opciono išmoka lygi 0. Kita vertus, jei ST > K, tai

opcionas vykdomas: jo savininkas perka akciją už kainą K, ją tuoj pat parduoda rinkoje už kainą

ST ir pasiima skirtumą ST − K. Opciono pirkėjo pelnas gaunamas atėmus iš išmokos investuotą

kapitalą – t.y. opciono kainą c0 (jei opcionas pirktas momentu t = 0). Kitaip tariant, call pirkėjo

pelnas lygus

(ST − K)+ − c0. (2.1)

Panašiai samprotaujant, galima rasti put opciono išmoką momentu T

(K − ST )+ = max(K − ST , 0)

ir put pirkėjo pelną:

(K − ST )+ − p0. (2.2)


1 ir 2 paveiksluose pavaizduotos opcionų pirkėjo ir pardavėjo pelno diagramos. Atkreipkime dėmesį,

kad opcionų pirkėjai užima ilgąją poziciją, o pardavėjai – trumpąją poziciją. Aišku, kad parda-

vėjo pelnas yra atvirkščias pirkėjo pelnui, kitaip tariant, abiejų pelnų suma lygi nuliui. Opciono

pardavimas dar vadinamas opciono rašymu (option writing).

K

0ST

pelnas

pirkėjas

pardavėjasc0

−c0

1 pav. Call opciono pelno diagrama

pardavėjas

pirkėjas

K

p0

−p0

0ST

pelnas

2 pav. Put opciono pelno diagrama

Vienas didžiausių finansų matematikos pasiekimų yra vadinamoji Black–Scholes europietiškojo

opciono teisingosios vertės formulė. Ši formulė bus griežtai išvesta 8 skyriuje. Iš jos išplaukia, kad

call ir put opcionų kainos c0 ir p0 momentu t = 0 priklauso nuo 6 parametrų: 1) akcijos kainos

2.4. VIRŠUTINIAI IR APATINIAI EUROPIETIŠKŲJŲ OPCIONŲ KAINŲ RĖŽIAI 7

S0 momentu t = 0, 2) vykdymo kainos K, 3) termino T , 4) nerizikingų palūkanų normos r, 5)

dividendų už akciją per laiką T , ir 6) akcijos kintamumo (volatilumo) σ.

Šiame skyriuje mes panagrinėsime paprastesnius sąryšius, susijusius su opcionų kainomis. Iš

karto pastebėsime, kad pirkėjo ilgoji pozicija reiškia išmokas ateityje po tam tikro laiko, per kurį

būsimos išmokos paprastai nuvertėja. Todėl dabartinės opcionų vertės c0 ir p0 priklauso nuo

nerizikingų palūkanų normos1 r ≥ 0. Investavus kapitalą K už tokias palūkanas, po laiko T

investicijos vertė tampa lygi KerT . Atvirkščiai, jei K yra išmokos dydis momentu T , tai dabartinė

šios išmokos vertė yra lygi

Ke−rT .

Dauguma teorinių teiginių apie “teisingąsias” vertes remiasi arbitražo negalimybės principu (ne-

arbitražinės rinkos prielaida). Matematiškai griežtas arbitražo apibrėžimas bus duotas vėliau (2

skyriuje). Finansinėje literatūroje ir praktikoje arbitražas dažniausiai suprantamas kaip galimybė

gauti garantuotą arba nerizikingą pelną su nulinėmis investicijomis. Aišku, kad realiame gyvenime

arbitražo galimybė yra labai trumpalaikė ir todėl prielaida apie jo negalimumą yra realistiška.2

2.4 Viršutiniai ir apatiniai europietiškųjų opcionų kainų rė-

žiai

Call opcionas suteikia jo savininkui teisę nupirkti akciją ateityje už tam tikrą kainą. Tuo pačiu

tokio opciono vertė niekada negali viršyti akcijos kainos:

c0 ≤ S0. (2.3)

Iš tikrųjų, jei būtų priešingai, tai tuo pačiu metu pardavę šį opcioną ir už gautą sumą nusipirkę

akciją, gautume garantuotą pelną c0 − S0 > 0 (ir dar daugiau, jei tik akcija momentu T nebus

visiškai bevertė).

Put opcionas suteikia jo savininkui teisę parduoti akciją momentu T už kainą K. Tuo pačiu, tokio

opciono vertė negali viršyti dabartinės būsimosios išmokos K vertės:

p0 ≤ Ke−rT . (2.4)

1Vadinamoji tolydžiųjų sudėtinių palūkanų norma (continuously compounded rate). Praktikoje tai gali būti JAV

iždo vekselių grąža, LIBOR (London Interbank Offer Rate), eurodolerių ateities sandorių grąža arba jų išvestinė.2Finansų makleriai, kurių pagrindinis užsiėmimas – vykdyti arbitražą, vadinami arbitražininkais (arbitrageurs).

Paprasčiausias arbitražas gali būti įvykdytas pastebėjus, kad ta pati akcija kainuoja skirtingai skirtingose vietose

(pvz., 172 USD Niujorko biržoje ir 100 GBP Londono biržoje esant valiutų kursui GPB/USD = 1,75). Arbitraži-

ninkas gali nupirkti 100 akcijų Londone ir tuo pat metu parduoti 100 akcijų Niujorke, gaudamas garantuotą pelną

100 × [($1, 75) × 100 − $172] = $300 (atmetus transakcines išlaidas). Kadangi tokia atsivėrusia galimybe užsidirbti

skubėtų pasinaudoti ir kiti arbitražininkai, dėl padidėjusios paklausos Niujorke akcijos kaina pakiltų, o Londone

kristų, ir arbitražo galimybė greitai išnyktų.


Iš tikrųjų, jei būtų priešingai, tai tuo pačiu metu pardavę šį opcioną ir gautą sumą investavę į

nerizikigas palūkanas, momentu T gautume garantuotą pelną p0erT − K > 0 (ir dar daugiau, jei

tik akcija momentu T nebus visiškai bevertė).

Nesunku įrodyti apatines nelygybes:

c0 ≥ S0 − Ke−rT , p0 ≥ Ke−rT − S0. (2.5)

Jos įrodomos prieštaros būdu, konstruojant atitinkamą arbitražinį portfelį. Tarkime, kad pirmoji

(2.5) nelygybė negalioja. Panagrinėkime 2 portfelius:

Portfelis A : 1 europietiškasis call opcionas + nerizikinga investicija už Ke−rT ;

Portfelis B : 1 akcija.

Aišku, kad portfelio A vertė momentu T bus lygi (ST −K)+ +K = max(ST , K), o portfelio B vertė

momentu T lygi ST . Kitaip tariant, visais atvejais portfelio A vertė momentu T bus nemažesnė nei

portfelio B vertė. Iš arbitražo neegzistavimo išplaukia, kad tai turi galioti ir pradiniu momentu,3

t.y. vertėms momentu t = 0 turi galioti atitinkama nelygybė: vertėms momentu t = 0:

S0 ≤ c0 + Ke−rT .

Šis samprotavimas įrodo pirmąją (2.5) nelygybę. Antroji nelygybė įrodoma panašiai.

2.5 Pardavimo–pirkimo opcionų pariteto lygybė

Įrodysime lygybę (angliškai vadinamą put–call parity), kurią tenkina call ir put opcionų su vienoda

vykdymo kaina K ir tuo pačiu terminu T vertės momentu t = 0:

c0 + Ke−rT = p0 + S0. (2.6)

Tuo tikslu, panagrinėkime portfelius

Portfelis A : 1 europietiškasis call opcionas + nerizikinga investicija už Ke−rT ;

Portfelis C : 1 europietiškasis put opcionas + 1 akcija.

Portfelio A vertė momentu T bus lygi (ST −K)++K = max(ST , K), o portfelio C vertė momentu

T lygi (K − ST )+ + ST = max(K, ST ), t.y. jų vertės momentu T sutampa. Todėl turi sutapti ir

jų vertės momentu t = 0, t.y. turi galioti (2.6) lygybė.

Pastabos:3Faktiškai, čia mes pasinaudojome prielaida, kad neegzistuoja dominuojanti strategija (žr. 3 skyrių). Ši prielaida

yra silpnesnė nei prielaida apie arbitražo nebuvimą.

2.6. OPCIONŲ DARINIAI 9

2.1. (2.5) ir (2.6) formulės galioja, jei akcija nemoka dividendų.

2.2. Amerikietiškiesiems opcionams (2.5) ir (2.6) formulės negalioja, net kai akcija nemoka di-

videndų. Apskritai, amerikietiškųjų opcionų vertinimas yra sudėtingesnis nei europietiškųjų, nes

jis tampriai susijęs su optimalaus opciono vykdymo momento parinkimu. Vyrauja nuomonė, kad

amerikietiškąjį call opcioną vykdyti anksti (t.y., kai nuo jo pirkimo praėjo mažai laiko, bet akcijos

kaina jau garantuoja tam tikrą pelną) nėra geriausias sprendimas (žr. 2.4 uždavinį 2 skyriaus

pabaigoje).

2.3. Pelno formulės (2.1) ir diagramos, pateiktos 1 ir 2 paveiksluose, atitinka atvejį r = 0, t.y. jos

neatspindi piniginės laiko išraiškos. Faktiškai, visos išmokos momentu T turi būti diskontuotos

daugikliu e−rT .

2.6 Opcionų dariniai

1 ir 2 paveiksluose yra pateiktos paprasčiausios pelno diagramos, atitinkančios vieno atskiro opcio-

no pirkimą arba pardavimą. Kombinuojant kelis skirtingus opcionus tai pačiai akcijai arba opcionus

su akcija, galima suformuoti pačius įvairiausius portfelius ir investavimo strategijas. Panašiai kaip

aukšciau (žr. 2.3 pastabą), žemiau pateiktose opcionų darinių pelno diagramose paprastumo dėlei

ignoruojama laiko piniginė išraiška (diskontavimo efektas).

Panagrinėkime strategijas sudarytas iš 1 akcijos ir 1 opciono tai pačiai akcijai. Visos tokių

strategijų (nediskontuotos) išmokos užrašomos formulėmis

±ST ± (ST − K)+ arba ± ST ± (K − ST )+. (2.7)

Pirmoji formulė atitinka strategijas su call opcionu, antroji – strategijas su put opcionu. Ženklas

“+” (2.7) formulėse reiškia ilgąją poziciją, ženklas “−” – trumpąją poziciją. Dažniausiai naudojami

deriniai yra (long stock, short call), (short stock, long call), (long stock, long put) ir (short stock,

short put).

Panagrinėkime strategiją (long stock, long put) su išmoka ST + (K − ST )+. Tokiu atveju inves-

tuotojas vienu metu perka 1 akciją ir 1 put opcioną šiai akcijai. Strategijos pelno diagrama pateikta

3 paveiksle. Iš jos matosi, kad put opcionas apsaugo investuotoją nuo nuostolių dėl akcijos kai-

nos kritimo. Todėl tokia strategija dar vadinama saugojančia pardavimo strategija (protective put

strategy).

Atkreipkime dėmesį, kad derinio (long stock, long put) pelno diagrama 3 paveiksle sutampa su

long call pelno diagrama 1 paveiksle (žr. 2.6 uždavinį). Tas pats galioja ir likusiems trims aukščiau

išvardintiems 1 akcijos ir 1 opciono deriniams.


K

0 ST

pelnas longstock

longput

3 pav. Derinio (long stock, long put) pirkėjo pelno diagrama (ištisinė laužtė). Punktyrinėmis

laužtėmis pavaizduotos long stock ir long put pelno diagramos.

Labai daug investavimo strategijų galima gauti kombinuojant kelis skirtingus opcionus. Daugu-

ma tokio tipo strategijų turi pavadinimus, prasidedančius raide "s": spread, straddle, strip, strap,

strangle ir t.t. Spread tipo strategijos (jų yra kelios rūšys) sudaromos iš 2 ar daugiau vieno tipo

opcionų (t.y. ≥ 2 call opcionų arba ≥ 2 put opcionų).

Strategija bull spread sudaroma perkant 1 call su vykdymo kaina K1 ir parduodant 1 call su

didesne vykdymo kaina K2 > K1 (abu opcionai sudaromi tai pačiai akcijai ir turi vienodą terminą).

Bull spread išmoka yra

(ST − K1)+ − (ST − K2)+ =

K2 − K1, jei ST > K2 > K1;

ST − K1, jei K1 < ST ≤ K2;

0, jei ST ≤ K1.

(2.8)

o jo pelno diagrama pavaizduota 4 paveiksle. Iš jos matyti, kad bull spread strategija sumažina

ilgosios pozicijos (pirmojo opciono) riziką, jei ateityje kaina kristų. Rizikos sumažėjimas pasiekia-

mas apribojant ilgosios pozicijos “kilimo potencialą”, kadangi investuotojas tuo pat metu užima ir

trumpąją poziciją.

Bull spread strategijai reikalingos investicinės išlaidos (kodėl?). Daugiausia kainuoja konserva-

tyvi strategija, kai abu opcionai “yra piniguose” (in the money), t.y. kai akcijos pradinė kaina

S0 > K2. Agresyviausias bull spread tipas yra, kai abu opcionai “nėra piniguose” (out the money).

Tokiu atveju pradinė akcijos kaina S0 < K1, tikimybė kad antrasis opcionas bus vykdomas yra

nedidelė, pats sandoris gali kainuoti nedaug, o pelnas, palankiai susiklosčius aplinkybėms, gali būti

2.7. ATEITIES IR IŠANKSTINIAI SANDORIAI. TRUMPASIS PARDAVIMAS 11

K1

0 ST

pelnas

K2

4 pav. Opcionų derinio bull spread , sudaryto iš 2 call opcionų su vykdymo kainomis K1 ir K2,

pelno diagrama (ištisinė laužtė).

didelis.

2.7 Ateities ir išankstiniai sandoriai. Trumpasis pardavimas

Išankstiniu sandoriu (forward contract) vadinamas susitarimas dėl kontrakte numatyto aktyvo par-

davimo arba pirkimo ateityje sutartą dieną ir už sutartą kainą. Šalis, įsipareigojusi pirkti aktyvą,

užima ilgąją poziciją, o įsipareigojusi jį parduoti – trumpąją poziciją. Kontrakte nurodytas akty-

vas gali būti tiek materiali vertybė (commodity) (brangieji metalai, grūdai, nafta), tiek finansinis

aktyvas (financial asset) (valiuta, akcijos, kiti vertybiniai popieriai).

Iš esmės išankstinis sandoris yra pirkimo/pardavimo sandoris, kurio vykdymas nukeliamas į

ateitį (tik tuo jis ir skiriasi nuo sandorio, vykdomo šiuo metu (spot contract)). Išankstinis sandoris

skiriasi nuo opciono tuo, kad opciono galima nevykdyti, gi išankstinį sandorį vykdyti (uždaryti)

privaloma.

Labai populiarūs yra išankstiniai užsienio valiutos kontraktai. Daugelis bankų samdo spot traders

ir forward traders. Pirmieji prekiauja užsienio valiuta, kuri pristatoma praktiškai be pavėlavimo.

Antrieji sudaro kontraktus valiutos pristatymui ateityje (po 1, 3 arba 6 mėnesių). Išankstiniai

valiutos sandoriai atlieka svarbią apdraudžiančiąją (hedžingo) funkciją nuo valiutų kursų rizikos.

Panašią funkciją atlieka ateities ir išankstiniai sandoriai naftai.

Tegul ateities kontraktas bus vykdomas momentu T ; St – aktyvo kaina momentu t ≤ T , K –

sutarta kaina momentu T pirkti/parduoti aktyvą. Šio sandorio išmoka lygi

ST − K, (2.9)


kai turima ilgoji pozicija, ir

K − ST , (2.10)

kai turima trumpoji pozicija. Tegul

ft = išankstinio sandorio vertė (kaina) momentu 0 ≤ t ≤ T.

Kadangi sudarymo momentu t = 0 šalys jokių pinigų viena kitai nemoka, tai sandorio vertė

sudarymo metu lygi 0:

f0 = 0.

Lengva suprasti, kad tokiu atveju K dabartinė vertė turi būti lygi S0, kitaip tariant,

K = S0erT . (2.11)

Kaina K = F0 = S0erT vadinama kontrakto ateities kaina. Nesunku parodyti, kad jei K 6= F0, tai

egzistuoja arbitražo galimybė.

Iš tiesų, tegul K < S0erT . Panagrinėkime 2 portfelius:

Portfelis D : perkama 1 akcija ir tuo pat metu sudaromas išankstinis

kontraktas ją parduoti už K;

Portfelis E : nerizikinga investicija, lygi akcijos kainai S0.

Aišku, kad momentu t = 0 abiejų portfelių kaina vienoda (lygi S0), o momentu t = T portfelio

D išmoka bus lygi K, kai tuo tarpu portfelio E išmoka lygi S0erT > K, nepriklausomai nuo

jokių aplinkybių. Tokiu būdu, investuotojas momentu t = 0 pardavęs portfelį D ir už gautą sumą

nupirkęs portfelį E, momentu T gaus garantuotą pelną S0erT − K > 0, t.y. atliks arbitražą.

Panašiai samprotaujant, galima įsitikinti, kad arbitražas egzistuoja ir jei K > S0erT . Todėl,

atmetus arbitražo galimybę, turi galioti lygybė (2.11).

Aukščiau sukonstruota arbitražo strategija su nuline pradine investicija paremta investuotojo

galimybe parduoti jam nepriklausantį portfelį D, t.y. faktiškai pasiskolinti pinigų sumą S0 iš banko

už nerizingas palūkanas r. Investuotojui nepriklausančių aktyvų pardavimas vadinamas trumpuoju

pardavimu (short selling, arba shorting). Šiame kurse tariama, kad trumpas akcijų pardavimas ir

skolinimasis už nerizikingas palūkanas r yra galimas be apribojimų. Realiame gyvenime toks

skolimasis, aišku, nevisada galimas, be to, paskolai gauti reikia išpildyti būtinos garantinės maržos

reikalavimus.

Praėjus tam tikram laikui t nuo išankstinio kontrakto sudarymo, jo kaina ft apskritai jau nebus

lygi nuliui. Iš tikrųjų, momentu 0 < t < T akcijos ateities (momentu T ) kaina bus Ft = Ste(T −t)r,

t.y. skirtinga nei ateities kaina F0 = S0erT kontrakto sudarymo momentu t = 0. Pasinaudo-

jus arbitražo negalimumu panašiai kaip buvo daryta aukščiau, lengva patikrinti, kad išankstinio

kontrakto kaina momentu t turi būti lygi

ft = St − Ke−(T −t)r. (2.12)

2.8. KLAUSIMAI IR UŽDAVINIAI 13

Vėliau pamatysime, kad išankstinio sandorio “teisingoji” kaina (2.12), kaip ir daugelis kitų šiame

skyriuje išvestų formulių, išplaukia iš bendros teorijos.

Ateities kontraktai (futures contract) yra labai panašūs į išankstinius kontraktus, tačiau yra keli

skirtumai. Abiejų tipų sandoriai yra susitarimai pirkti arba parduoti aktyvą už iš anksto sutartą

kainą kažkokiu metu ateityje. Išankstinis kontraktas yra individualus dviejų pusių sandoris, suda-

romas ne biržoje (over-the-counter), tuo tarpu kai ateities sandoris yra standartizuotas kontraktas,

kuriuo prekiaujama biržoje, ir jame dalyvaujančios pusės dažnai viena kitos iš vis nežino. (Kont-

raktą išleidusi birža taip pat naudoja tam tikras priemones, kurios turi užtikrinti, kad abi kontrakte

dalyvaujančios šalys laikysis prisiimtų įsipareigojimų.) Svarbus skirtumas tarp šių sandorių yra

tai, kad išankstinis sandoris negali būti parduotas jam nepasibaigus ir turi būti uždaromas pasku-

tinę dieną, kada abi pusės tarpusavyje atsiskaito už pelną arba nuostolius. Ateities kontraktas gali

būti parduotas bet kokiu momentu jo terminui nepasibaigus. Faktiškai, dažniausiai taip ir įvyks-

ta, todėl ateities sandoriai įsigyjami ne siekiant užsitikrinti aktyvo pristatymą ateityje, bet norint

apsidrausti nuo kainos svyravimo parduodant ateities sandorį (jam dar nepasibaigus) tiesioginėje

(spot) rinkoje.

Panagrinėkime konkretų pavyzdį. Vokietijos kompanija ExportCo, ekportuotojanti į JAV, 2008

03 06 gauna žinią, kad per 4 mėnesius jai bus pervesta 30 milijonų USD už pateiktas prekes. Tą

dieną USD/EUR kursas buvo 0,6554. Norėdama apsidrausti nuo USD/EUR kurso svyravimų,

ExportCo pasirašo 4 mėnesių ateities kontraktą 30 mln. USD pardavimui už ateities kainą 0,6578.

Jei tuo metu, kai Vokietijos kompanija gaus pervedimą iš JAV, dolerio kursas nukris iki 0,6500,

kompanija parduos ateities sandorį ir tokiu būdu išvengs 30 × 106(0, 6578 − 0, 6500) = 234000$

nuostolių dėl dolerio kurso kritimo.

2.8 Klausimai ir uždaviniai

2.1. Jūs galite investuoti 10000$ į K-mart akcijas 3 būdais: (1) pirkdami akcijas, (2) pirkdami

opcioną put su vykdymo kaina 70 12 (3) pirkdami opcioną call su vykdymo kaina 69. Dabartinė

K-mart akcijos kaina yra 71$, visų opcionų terminas vienodas – balandžio mėnuo. Koks bus

jūsų pelnas ir investicijos grąža (%) esant tokiems K-mart akcijų kurso balandžio mėnesį

scenarijams: 1) 66$, 2) 68$, 3) 70$, 4) 72$, 5) 74$.

Calls($) Puts($)

Strike price($) Apr Apr

69,00 3,25 1,00

70,50 2,00 0,5

2.2. Identifikuokite pelno diagramas 1 ir 2 paveiksluose, atitinkančias angliškus terminus "long

call”, "short call", "long put", "short put".


2.3. Įrodykite antrąją (2.5) nelygybę. [Patarimas: sudarykite 2 portfelius C ir D iš 1 opciono

put, 1 akcijos ir nerizikingos investicijos už Ke−rT .]

2.4. Panagrinėkite amerikietiškąjį call opcioną nemokančiai dividendų akcijai, kurio vykdymo

kaina 40$, o terminas sueina po 1 mėnesio (opcionas buvo pirktas kažkada ankščiau). Dabar

akcijos kaina yra 50$. Sakoma, kad toks opcionas yra “giliai piniguose” (deep in the money),

ir jo savininkui gali kilti noras tuoj pat jį vykdyti. Tačiau tai nėra optimalus sprendimas

šioje situacijoje (žr. 2.2 pastabą). Kodėl? Panagrinėkite 2 situacijas: 1) opciono savininkas

vykdo opcioną ir nupirktą akciją laiko pats iki termino pabaigos; 2) opciono savininkas vykdo

opcioną ir nupirktą akciją tuoj pat parduoda rinkoje, uždirbdamas 10$.

2.5. Išveskite pardavimo–pirkimo pariteto lygybę europietiškiesiems opcionams tuo atveju, kai

akcija moka dividendus D laikotarpiu [0, T ].

2.6. Įrodykite, kad pelno diagramos 1 ir 3 paveiksluose sutampa, naudodamiesi nediskontuota

pardavimo–pirkimo pariteto lygybe (t.y. (2.6) formule su r = 0).

2.7. Straddle strategijos ilgoji pozicija reiškia 1 call pirkimą ir 1 put pirkimą vienu metu; abu

opcionai turi tą pačią vykdymo kainą K ir terminą T . Užrašykite “ilgojo” ir “trumpojo”

straddle išmokas ir nubrėžkite jų pelno diagramas. Paaiškinkite, kokias motyvais vadovaujasi

investuotojas, pirkdamas “ilgąjį” straddle.

2.8. Jūs pastebėjote, kad rinkoje parduodami ateities sandoriai, kurie netenkina ateities kainos

lygybės (2.11), ir norite atlikti arbitražą. Tuo tikslu, ateinante į banką ar brokerio kontorą,

neturėdami pinigų. Išsamiai aprašykite savo investicinius žingsnius šioje įstaigoje. [Atsa-

kymas: skolinamės 1 akciją iš brokerio ir ją trumpai parduodame, investuodami gautą už

akciją sumą S0 už nerizikingas palūkanas, bei pasirašome ateities kontraktą pirkti 1 akciją

už kainą K. Momentu T turėsime sumą S0erT banko sąskaitoje, sumokėsime K už akciją,

kurią grąžinsime brokeriui, ir mums dar liks S0erT − K.]

3 skyrius

Vieno periodo finansų rinkos modelis

3.1 Modelio aprašymas

Vieno periodo modeliai nėra realistiški, bet yra paprasčiausi, ir todėl naudojami kaip įvadas į

sudėtingesnius daugelio periodų ir tolydaus laiko finansų rinkos modelius. Vieno periodo modelį

sudaro tokie elementai:

• Laiko momentai t = 0 (pradžia) ir t = 1 (pabaiga). Prekyba vyksta tik šiais dviem laiko

momentais. Jokios informacijos apie tai, kas vyksta tarp šių momentu mes neturime;

• Baigtinė būsenų (“ekonominių scenarijų”) aibė Ω, sudaryta iš m < ∞ elementų:

Ω = ω1, . . . , ωm.

Scenarijus ω ∈ Ω apibūdina visai tai, kas įvyksta tarp momentų t = 0 ir t = 1. Momentu

t = 0 jis nėra žinomas ir paaiškėja tik momentu t = 1. Tai, kad scenarijų aibė laikoma

baigtine, yra dar vienas objektyvios realybės supaprastinimas;

• Tikimybinis matas P , apibrėžtas aibėje Ω ir tenkinantis sąlygą P (ω) > 0 su kiekvienu ω ∈ Ω;

• Nerizikingas aktyvas A0 ir jo kainų procesas S0 = S00 , S0

1, kurio kainos momentais t = 0 ir

t = 1 yra atitinkamai lygios

S00 = 1, S0

1 = 1 + r;

čia r ≥ 0 – nerizikingų palūkanų norma. Paprastumo dėlei šiame kurse r tarsime esant

neatsitiktine. Dažnai aktyvas A0 sutapatinamas su pinigais ir S0 vadinamas banko sąskaita

(banko sąskaitos procesu);

• d ≥ 1 rizikingų aktyvų A1, . . . , Ad ir jų kainų procesai Si = Sit, t = 0, 1, i = 1, . . . , d.

Aktyvų kainos Si0 > 0 momentu t = 0 yra investuotojui/jai žinomos ir yra neatsitiktinės

(nepriklauso nuo ω). Aktyvų kainos Si1 = Si

1(ω) ≥ 0 investicinio periodo pabaigoje yra

15

16 3 skyrius. Vieno periodo finansų rinkos modelis

investuotojui/jai nežinomos momentu t = 0 (t.y. tuo momentu kai sudaromas investicijų

portfelis) ir yra atsitiktinės (atsitiktiniai dydžiai), kurie priklauso nuo ekonominio scenarijaus

ω.

Apibrėšime pagrindines savokas, reikalingas tolimesniam dėstymui.

3.1 apibrėžimas Strategija arba portfeliu vadinsime bet kokį realių skaičių rinkinį H = (H0, H1,

. . . , Hd).

Šiame apibrėžime Hi reiškia kiekį vertybinių popierių Ai, įsigytų ir įtrauktų į portfelį momentu

t = 0. Atkreipkime dėmesį, kad Hi yra nebūtinai sveikas skaičius (galima pirkti bet kokias aktyvų

dalis) ir taip pat gali būti neigiamas: Hi < 0. Pastaruoju atveju, sakoma, kad sudarant portfelį,

akcijos Ai yra trumpai parduotos, o |Hi| = −Hi yra jų kiekis, kurį investuotojas pasiskolino

momentu t = 0 ir turės grąžinti momentu t = 1.

3.2 apibrėžimas Portfelio vertės procesu vadinsime procesą V (H) = Vt(H), t = 0, 1, čia

Vt(H) = H0S0t +

d∑

i=1

HiSit =

d∑

i=0

HiSit

– portfelio vertė momentu t, gaunama susumavus aktyvų vertes V it = HiSi

t (aktyvų kiekių ir jų

kainų sandaugas). Norėdami pabrėžti tą faktą, kad vertė momentu t = 1 yra atsitiktinis dydis, ją

žymėsime V1(ω).

3.3 apibrėžimas Pelno procesu vadinsime portfelio verčių skirtumą G(H) = V1(H) − V0(H).

Lengva matyti, kad

G(H) = H0r +d∑

i=1

Hi∆Si =d∑

i=0

Hi∆Si,

čia ∆Si = Si1 − Si

0 – aktyvo Ai kainos pokytis.

3.4 apibrėžimas Diskontuotas kainu procesas yra S=St = (S0t , S1

t , . . . , Sdt ), t = 0, 1, čia

Si0 = Si

0 (i = 0, 1, . . . , d), o

Si1 = Si

1/S01 = Si

1/(1 + r) (i = 0, 1, . . . , d).

yra aktyvo Ai diskontuota kaina momentu t = 1. Pastebėsime, kad nerizikingo aktyvo diskontuota

kaina lygi 1: S00 = S0

1 = 1.

3.5 apibrėžimas Diskontuotos portfelio vertės procesu vadinsime procesą V (H) = Vt(H), t =

0, 1, čia V0(H) = V0(H), V1(H) = V1(H)/(1 + r).

3.2. DOMINUOJANČIOS STRATEGIJOS IR TIESINIAI KAINŲ MATAI 17

3.6 apibrėžimas Diskontuotu pelno procesu vadinsime skirtumą G(H) = V1(H)−V0(H). Lengva

matyti, kad G(H) nepriklauso nuo H0 (=nerizikingo aktyvo akcijų kiekio):

G(H) =d∑

i=0

Hi(Si1 − Si

0) =d∑

i=1

Hi∆Si (nes ∆S0 = S01 − S0

0 = 1 − 1 = 0). (3.1)

3.1 pavyzdys Tegul m = 2, d = 1, r = 1/9, S10 = 5, S1

1(ω1) = 20/3, S11(ω2) = 40/9. Tada

S01 = 1 + r = 10/9, S1

1 (ω1) = 6, S11 (ω2) = 4. Bet kokiai strategijai H = (H0, H1) turime:

V0(H) = V0(H) = H0 + 5H1,

V1(H)(ω1) = (10/9)H0 + (20/3)H1, V1(H)(ω1) = H0 + 6H1,

V1(H)(ω2) = (10/9)H0 + (40/9)H1, V1(H)(ω2) = H0 + 4H1

ir

G(H)(ω1) = (1/9)H0 + (5/3)H1, G(H)(ω1) = H1,

G(H)(ω2) = (1/9)H0 − (5/9)H1, G(H)(ω2) = −H1.

3.2 pavyzdys Praplėskime 3.1 pavyzdį iki trijų būsenų: Ω = ω1, ω2, ω3, apibrėžda-

mi S11(ω3) = 30/9, o likusius dydžius palikdami tuos pačius kaip ir 3.1 pavyzdyje. Tada

S11(ω3) = 3. Skaitytojui siūloma pačiam rasti V1(H)(ω3), V1(H)(ω3), G(H)(ω3), G(H)(ω3).

Nors naujasis modelis atrodo nedidelis prieš tai buvusio pavyzdžio praplėtimas, vėliau paro-

dysime, kad jo charakteris ir savybės iš esmės pasikeičia, lyginant su 3.1 pavyzdžiu.

3.3 pavyzdys Panagrinėkime paprastą modelį su r = 1/9 ir 2 rizikingais VP ir 3 kainų

scenarijais (m = 3); kainos pateiktos lentelėje:

i Si0 Si

1(ω1) Si1(ω2) Si

1(ω3)

1 5 60/9 60/9 40/9

2 10 40/3 80/9 80/9

Diskontuotos šių VP kainos lygios

i Si0 Si

1(ω1) Si1(ω2) Si

1(ω3)

1 5 6 6 4

2 10 12 8 8

Likusius dydžius siūloma rasti skaitytojui.

3.2 Dominuojančios strategijos ir tiesiniai kainų matai

3.7 apibrėžimas Sakysime, kad strategija H yra dominuojanti, jei egzistuoja kita strategija H

tokia, kad V0(H) = V0(H) ir V1(H)(ω) > V1(H)(ω) su visais ω ∈ Ω. Kitaip tariant, abi strategijos


H ir H reikalauja vienodų investicijų, bet pirmoji strategija visais atvejais garantuoja didesnį

pelną.

Jei strategija H tenkina sąlygas V0(H) = 0 ir V1(H)(ω) > 0 visiems ω ∈ Ω, tai ji yra dominuo-

janti (dominuoja strategiją H = 0). Kita vertus, jei strategija H dominuoja strategiją H pagal

3.7 apibrėžimą, tai jų skirtumas H = H − H tenkina sąlygas V0(H) = V0(H) − V0(H) = 0 ir

V1(H)(ω) = V1(H)(ω) − V1(H)(ω) > 0 su kiekvienu ω ∈ Ω (tai akivaizdžiai išplaukia iš vertės

proceso tiesinės priklausomybės nuo strategijos).

3.1 teiginys

(a) Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja strategija H , tenkinanti

sąlygas V0(H) = 0 ir V1(H)(ω) > 0 su visais ω ∈ Ω.

(b) Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja strategija H , kuriai G(H)(ω) >

0 su visais ω ∈ Ω.

Įrodymas. (a) dalis buvo įrodyta aukščiau. Įrodysime (b). Jei H tenkina (a) sąlygas, akivaizdu,

kad ji tenkina ir (b) sąlygą. Atvirkščiai, tegul H tenkina (b) sąlygas. Apibrėšime naują strategiją

H∗ = (H∗0, H∗1, . . . , H∗d) lygybėmis: H∗i = Hi (i = 1, . . . , d), H∗0 = −∑di=1 HiSi

0. Atitinkamos

diskontuotos vertės yra V0(H∗) = H∗0 +∑d

i=1 HiSi0 = 0, V1(H∗)(ω) = V0(H∗) + G(H∗)(ω) =

G(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω). Todėl H∗ tenkina (a) sąlygas ir tuo pačiu dominuojanti strategija egzistuoja.

Strategija H , minima 3.1(a) teiginyje, leidžianti garantuotai uždirbti nieko neinvestuojant, yra

ekonomiškai nepagrįsta ir todėl negali egzistuoti realistiškame rinkos modelyje. Nenuostabu, kad

iš tokios H buvimo išplaukia galimybė gauti neneigiamą pelną investavus neigiamą sumą (žr.

žemiau).

3.2 teiginys Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja strategija H∗,

tenkinanti sąlygas V0(H∗) < 0 ir V1(H∗)(ω) ≥ 0 su visais ω ∈ Ω.

Įrodymas. Tegul egzistuoja dominuojanti strategija. Tada egzistuoja strategija H = (H0, H1, . . . , Hd),

tenkinanti 3.1 teiginio sąlygas. Tokias pat sąlygas tenkina ir diskontuotos vertės: V0(H) = 0

ir V1(H)(ω) > 0 su visais ω ∈ Ω. Iš čia išplaukia, kad diskontuotas pelnas G(H)(ω) =

V1(H)(ω) − V0(H) > 0 su visais ω ∈ Ω. Prisiminkime, kad G(H)(ω) priklauso tik nuo H1, . . . , Hd

(žr. pastabą po 3.6 apibrėžimo).

Apibrėžkime strategiją H∗ = (H∗0, H∗1, . . . , H∗d) lygybėmis: H∗i = Hi (i = 1, . . . , d),

H∗0 = −d∑

i=1

HiSi0 − δ, δ = min

ωG(H)(ω) > 0.


Iš apibrėžimo išplaukia, kad

V0(H∗) = H∗0 +d∑

i=1

H∗iSi0 = −δ < 0,

V1(H∗)(ω) = V0(H∗) + G(H∗)(ω) = −δ + G(H)(ω) ≥ 0 (∀ω ∈ Ω),

čia paskutinė nelygybė yra δ apibrėžimo pasekmė. Taigi, parodėme, kad norima strategija H∗ iš

tikro egzistuoja.

Atvirkščiai, tegul egzistuoja strategija H∗ = (H∗0, H∗1, . . . , H∗d), tenkinanti 3.2 teiginio sąlygas.

Tada G(H∗)(ω) = V1(H∗)(ω) − V0(H∗) > 0 su kiekvienu ω ∈ Ω. Apibrėžkime strategiją H =

(H0, H∗1, . . . , H∗d), čia

H0 = −d∑

i=1

H∗iSi0.

Lengva matyti, kad atitinkamos portfelio vertės yra

V0(H) = H0 +d∑

i=1

H∗iSi0 = 0,

V1(H)(ω) = V0(H) + G(H)(ω) = G(H∗)(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω),

t.y. H yra dominuojanti strategija, tenkinanti 3.1 teiginio sąlygas.

Kaip jau buvo minėta, dominuojančios strategijos buvimas yra nenatūralus ekonominiu požiūriu.

Iš tikrųjų, portfelio vertę momentu t = 0 natūralu sutapanti su jo kaina. Tada dominuojanti

strategija visada egzistuoja, jei tik egzistuoja 2 portfeliai H ir H , kurių išmokos momentu t = 1

pilnai sutampa, bet nepaisant to, šių portfelių kainos skiriasi.

Kad kainos būtų “logiškos”, užtenka pareikalauti, kad egzistuotų tiesinis kainų matas.

3.8 apibrėžimas Tiesiniu kainų matu vadinamas neneigiamas matas π 6= 0 aibėje Ω toks, kad

su kiekviena strategija H galioja lygybė:

V0(H) =∑

ω∈Ω

π(ω)V1(H)(ω) =1

1 + r

∑

ω∈Ω

π(ω)V1(H)(ω). (3.2)

Neneigiamas ir tapatingai nelygus nuliui matas yra ne kas kita, o bet koks vektorius π =

(π(ω1), . . . , π(ωm)) 6= 0 su neneigiamomis koordinatėmis π(ωj) ≥ 0 (j = 1, . . . , m). Aišku, kad

apskritai bet koks neneigiamas vektorius nėra tiesinis kainų matas, nes jis gali išvis netenkinti (3.2)

lygybės.

3.3 teiginys Matas π yra tiesinis kainų matas tada ir tik tada, kai jis yra tikimybinis matas

aibėje Ω, tenkinantis lygybę

Si0 =

∑

ω∈Ω

π(ω)Si1(ω) = EπSi

1 (i = 0, 1, . . . , d); (3.3)


čia Eπ žymi vidurkį mato π atžvilgiu: EπX =∑

ω∈Ω π(ω)X(ω).

Įrodymas. Jei π yra tiesinis kainų matas, tai pasinaudojus V1(H) apibrėžimu (3.2) lygybę galima

perrašyti taip:

H0 +d∑

j=1

HjSj0 =

∑

ω∈Ω

π(ω)

H0 +

d∑

j=1

HjSj1(ω)

. (3.4)

Ši lygybė galioja bet kokiai strategijai, kitaip tariant, bet kokiam vektoriui H = (H0, H1, . . . , Hd) ∈Rd. Paėmus vektorių H su H0 = 1, H1 = · · · = Hd = 0, (3.4) lygybė virsta 1 =

∑ω∈Ω π(ω),

kitaip tariant, π yra tikimybinis matas. Be to, (3.3) lygybė išplaukia iš (3.4), paėmus joje

Hj = 0 (j 6= i), Hi = 1.

Atvirkščiai, tegul π yra tikimybinis matas, tenkinantis (3.3). Padauginę šią lygybę iš Hi ir

susumavę gautas lygybes pagal i = 0, 1, . . . , d, gauname (3.4) arba (3.2).

Tiesinis kainų matas leidžia išreiksti kiekvienos akcijos kainą Si0 = Si

0 momentu t = 0 kaip

diskontuotų kainų (išmokų) momentu t = 1 vidurkį (3.3) atžvilgiu tikimybinio mato π. Analogiš-

kai, (3.2) formulė leidžia išreiksti bet kokio portfelio kainą V0(H) = V0(H) momentu t = 0 kaip

diskontuotų portfelio verčių (išmokų) momentu t = 1 vidurkį atžvilgiu mato π.

3.1 teorema Dominuojanti strategija egzistuoja tada ir tik tada, kai neegzistuoja tiesinis kainų

matas.

Įrodymas. Jei egzistuoja π tenkinantis 3.8 apibrėžimą, tai bet kokiai strategijai H su V1(H)(ω) > 0

visiems ω ∈ Ω turėsime, kad jos kaina momentu t = 0 yra griežtai teigiama:

V0(H) ≥ minω∈Ω

V1(ω)∑

ω∈Ω

π(ω) > 0,

ir tuo pačiu neegzistuoja dominuojanti strategija.

3.1 teoremos esmė yra atvirkščias teiginys – iš dominuojančios strategijos nebuvimo išplaukia

tiesinio kainų mato egzistencija. Šis teiginys įrodomas sudėtingiau, pasinaudojus iškilo tiesinio

programavimo dualumo teorema.

Tuo tikslu klausimą apie dominuojančios strategijos egzistavimą suformuluosime kitaip. Te-

gul Si0, Si

1(ωj), i = 0, 1, . . . , d, j = 1, . . . , m yra kažkoks neneigiamų skaičių rinkinys. Ieškosime

minimumo

mind∑

i=0

hiSi0 = min h(S0)′, (3.5)

kai h = (h0, h1, . . . , hd) ∈ Rd+1 prabėga visus (d + 1)−mačius vektorius, tenkinančius nelygybes

d+1∑

i=0

hiSi1(ωj) = h(S1(ωj))′ ≥ 0 (j = 1, . . . , m). (3.6)


(3.5) ir (3.6) formulėse brūkšnelis viršuje reiškia transponuotą vektorių (vektorių-stulpelį), t.y.

(S0)′ =

S00

S10

...

Sd0

,(

S1(ω))′

=

S01(ω)

S11(ω)...

Sd1 (ω)

o "daugyba" iš h ∈ Rd+1 – skaliarinę sandaugą. Tiesinė forma (skaliarinė sandauga) lygybėje (3.5)

vadinama tikslo funkcija, o jos minimizavimo uždavinys (3.5)–(3.6) vadinamas tiesinio programa-

vimo uždaviniu.

Pastebėsime, kad galioja dvi alternatyvos: arba 1) uždavinys (3.5)–(3.6) turi sprendinį h =

0 ∈ Rd+1 (ir tada tikslo funkcijos minimumas (3.5) lygus nuliui), arba 2) egzistuoja vektorius

h = (h0, h1, . . . , hd) ∈ Rd+1 tenkinantis nelygybę

d∑

i=0

hiSi0 = h (S0)′ < 0 (3.7)

bei nelygybes (3.6) (ir tokiu atveju tikslo funkcijos minimumas neegzistuoja, nes atitinkamas in-

fimumas lygus −∞.) Pastebėsime, kad jei dominuojanti strategija neegzistuoja, tai teisinga 1)

alternatyva. Iš tikrųjų, jei galiotų 2) alternatyva ir tuo pačiu egzistuotų vektorius h tenkinantis

(3.7) bei (3.6), tai, pažymėję H∗i = hi (0 ≤ i ≤ d), turėtume, kad H∗ = (H∗0, H∗1, . . . , H∗d) yra

strategija, tenkinanti 3.2 teiginio sąlygas (iš tiesų, tada suma (3.7) sutampa su V0(H∗), o sumos

(3.6) – su W1(H∗)(ωj)). Tokiu būdu, aukščiau suformuluota pastaba išplaukia iš 3.2 teiginio.

Iš tiesinio programavimo teorijos žinoma, kad minimizavimo uždavinys (3.5)–(3.6) yra dualus

kitam minimizavimo uždaviniui: rasti

minm∑

j=1

gj · 0 = min g 0′, (3.8)

kai g = (g1, . . . , gm) ∈ Rm prabėga visus m-mačius vektorius, tenkinančius nelygybes

m∑

j=1

gjSi1(ωj) = Si

0 (i = 0, 1, . . . , d), (3.9)

gj ≥ 0 (j = 1, . . . , m). (3.10)

Nepaisant to, kad minimizuojama tikslo funkcija g 0′ tapatingai lygi nuliui, (3.8)–(3.10) uždavinys

nėra trivialus ir suvedamas į bent vieno vektoriaus g, tenkinančio (3.9)–(3.10) sąlygas, radimą.

Tiesinio programavimo uždavinio dualumo teorema teigia, kad tiesioginis uždavinys (3.8)–(3.10) ir

dualus uždavinys (3.5)–(3.6) yra arba abu išsprendžiami, arba abu neišsprendžiami (neturi spren-

dinio). Aukščiau mes parodėme, kad jei neegzistuoja dominuojanti strategija, tai (3.5)–(3.6) užda-

vinys turi sprendinį h = 0. Todėl tiesioginis uždavinys irgi turi sprendinį, t.y. egzistuoja vektorius

g tenkinantis (3.9)–(3.10). Pažymėjus π(ωj) = gj (j = 1, . . . , m), belieka pastebėti, kad vektorius


π = (π(ω1), . . . , π(ωm)) tenkina (3.3) ir tuo pačiu yra tiesinis kainų matas. Teorema 3.1 įrodyta.

Apibendrinant aukščiau išsakytus samprotavimus, galima teigti, kad finansų rinkos modeliai,

kuriuose egzistuoja dominuojanti strategija, yra nelogiški (nepagrįsti). Modeliai, kuriuose domi-

nuojanti strategija neegzistuoja, yra pagrįsti ta prasme, kad juose portfelių kainas galima logiškai

apibrėžti tiesiniu kainų matu. Todėl šiame kurse pagrindinis dėmesys skiriamas pastariesiems

modeliams. Prieš juos nagrinėdami, trumpai aptarsime “dar blogesnės” rinkos galimybę.

3.9 apibrėžimas Sakysime, kad galioja vienos kainos dėsnis, jei neegzistuoja dviejų strategijų

H ir H tokių, kad V1(H)(ω) = V1(H)(ω) su visais ω ∈ Ω, ir V0(H) < V0(H).

3.4 teiginys Jei dominuojanti strategija neegzistuoja, tai galioja vienos kainos dėsnis.

Įrodymas. Užtenka parodyti, kad dominuojanti strategija egzistuoja, jei vienos kainos dėsnis ne-

galioja. Paskutinė prielaida reiškia, kad egzistuoja dvi strategijos H ir H tenkinančios 3.9

apibrėžimą. Akivaizdu, kad G(H)(ω) > G(H)(ω) su visais ω ∈ Ω. Apibrėžkime naują strategiją

H = (H0, H1, . . . , Hd), čia

Hi = Hi − Hi (i = 1, . . . , d), H0 = −d∑

i=1

HiSi0.

Iš šio apibrėžimo seka, kad V0(H) = H0 +∑d

i=1 HiSi0 = 0 ir V1(H)(ω) = V0(H) + G(H)(ω) =

G(H)(ω) − G(H)(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω). Kitaip tariant, H yra dominuojanti strategija (žr. 3.1 teiginį).

Ką tik įsitikinome, kad jei vienos kainos dėsnis negalioja, tai egzistuoja dominuojanti strategija.

Atvirkščias teiginys apskritai neteisingas (žr. 3.4 pavyzdį žemiau), t.y. dominuojanti strategija

gali egzistuoti ir kai vienos kainos dėsnis galioja. Tai reiškia, kad vienos kainos dėsnio nebuvimas

yra blogiau nei dominuojančios strategijos egzistavimas.

3.4 pavyzdys Tegul m = 2, d = 1, r = 1, S10 = 10, S1

1(ω1) = 12, S11(ω2) = 8. Tada bet kokiai

strategijai H = (H0, H1) turėsime

V0(H) = H0 + 10H1, V1(H)(ω1) = H0 + 6H1, V1(H)(ω2) = H0 + 4H1.

Kadangi iš dviejų paskutinių lygčių H0 ir H1 išreiškiamos vieninteliu būdu per V1(H)(ω1),

V1(H)(ω2), tai vienos kainos dėsnis galioja. Kita vertus, strategija H = (H0, H1) = (10, −1)

tenkina V0(H) = 0, V1(H)(ω1) = 4, V1(ω2) = 6 ir yra dominuojanti.

3.3 Arbitražo strategijos ir rizikai neutralūs matai

Kaip jau ne kartą buvo minėta, matematiniame rinkos modelyje neturi būti dominuojančių strate-

gijų, visais atvejais garantuojančių pelną su nulinėmis investicijomis. Silpnesnė už dominuojančios

3.3. ARBITRAŽO STRATEGIJOS IR RIZIKAI NEUTRALŪS MATAI 23

strategijos egzistavimo sąlygą yra arbitražinės galimybės sąlyga. Ši sąlyga reiškia, kad investuoto-

jas, pradėjęs nuo nulinės investicijos, momentu t = 1 yra garantuotas, kad neturės nuostolių ir su

teigiama tikimybe gaus pelno.

3.10 apibrėžimas Strategija H vadinama arbitražo strategija (arba arbitražo galimybe), jei

patenkintos trys žemiau išvardintos sąlygos:

(a) V0(H) = 0;

(b) V1(H)(ω) ≥ 0 visiems ω ∈ Ω;

(c) P (V1(H) > 0) > 0.

Kadangi scenarijų aibė Ω šiame kurse yra baigtinė ir kiekvieno scenarijaus tikimybė teigiama,

3.10 apibrėžimo sąlyga (c) yra ekvivalentiška teiginiui, kad egzistuoja bent vienas ω ∈ Ω toks,

kad V1(H)(ω) > 0, kitaip tariant, kad portfelio vertė momentu t = 1 nėra tapatingai lygi nuliui:

V1(H) 6≡ 0.

Aišku, kad dominuojančios strategijos egzistavimas implikuoja arbitražo galimybę. Žemiau pa-

teiktas pavyzdys rodo, kad atvirkščia implikacija neteisinga.

3.5 pavyzdys Tegul m = 2, d = 1, r = 0, S10 = 10, S1

1(ω1) = 12, S11(ω2) = 10. Tada bet

kokiai strategijai H = (H0, H1) turesime

V0(H) = H0 + 10H1, V1(H)(ω1) = H0 + 12H1, V1(H)(ω2) = H0 + 10H1.

Akivaizdu, kad H = (H0, H1) = (−10, 1) yra arbitražo strategija. Kita vertus, kadangi

V0(H) = V1(H)(ω2), tai dominuojanti strategija neegzistuoja.

Visai panašiai kaip 3.1(b) teiginys, įrodomas toks teiginys:

3.5 teiginys Arbitražo strategija egzistuoja tada ir tik tada, kei egzistuoja strategija H , kuriai

galioja G(H)(ω) ≥ 0 (∀ω ∈ Ω) ir G(H) 6≡ 0.

Ekonominiu požiūriu prasmingi yra tik tokie rinkos modeliai, kuriuose arbitražas yra neįmano-

mas. Deja, tiesiogiai iš apibrėžimo patikrinti ar konkrečiame rinkos modelyje arbitražo galimybė

egzistuoja nėra lengva, kai rizikingų aktyvų skaičius d > 1. Pasirodo, kad bearbitražes rinkas

galima charakterizuoti tam tikro “rizikai neutralaus” mato terminais, panašiai kaip buvo aukščiau

charakterizuotos rinkos be dominuojančių strategijų.

3.11 apibrėžimas Rizikai neutraliu matu vadinsime bet kokį tikimybinį matą P ∗ aibėje Ω,

tenkinantį žemiau išvardintas (a) ir (b) sąlygas:

(a) E∗∆Si = 0 (i = 1, . . . , d);

(b) P ∗(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω).


Čia ir žemiau E∗X = EP ∗ X =∑

ω∈Ω X(ω)P ∗(ω) žymime atsitiktinio dydžio X vidurkį mato

P ∗ atžvilgiu. Pastebėsime, kad (a) sąlyga (kuri teisinga ir kai i = 0) sutampa su tiesinio kainų

mato (3.3) sąlyga matui π = P ∗:

Si0 =

∑

ω∈Ω

P ∗(ω)Si1(ω) = E∗Si

1 (i = 0, 1, . . . , d). (3.11)

Todėl rizikai neutralus matas yra atskiras tiesinio mato atvejis. Vienintelis skirtumas tarp šių

matų glūdi (b) sąlygoje, kurios tiesinis kainų matas apskritai netenkina.

Žemiau suformuluota teorema yra svarbiausias šio skyriaus rezultatas.

3.2 teorema Arbitražo strategija neegzistuoja tada ir tik tada, kai egzistuoja rizikai neutralus

matas P ∗.

Prieš įrodinėjant šią teoremą, pravartu panagrinėti konkrečius pavyzdžius.

3.6 pavyzdys (3.1 pavyzdžio tęsinys) Lygčių sistema (3.11) suvedama į vieną lygtį:

5 = 6P ∗(ω1) + 4P ∗(ω2).

Be to, kadangi P ∗ yra tikimybinis matas, turi galioti

P ∗(ω1) + P ∗(ω2) = 1.

Lengva matyti, kad P ∗(ω1) = P ∗(ω2) = 1/2 > 0 tenkina abi lygtis ir yra rizikai neutralus

matas. Iš 3.2 teoremos seka, kad 3.1 pavyzdyje arbitražo galimybė neegzistuoja.

3.7 pavyzdys (3.2 pavyzdžio tęsinys) Panašiai kaip prieš tai pavyzdyje, iš (3.11) gauname

lygčių sistemą:

5 = 6P ∗(ω1) + 4P ∗(ω2) + 3P ∗(ω3),

1 = P ∗(ω1) + P ∗(ω2) + P ∗(ω3),

sudarytą iš 2 lygčių su 3 nežinomaisiais. Išreiškę du paskutinius nežinomuosius per pirmąjį,

gauname

P ∗(ω2) = 2 − 3P ∗(ω1), P ∗(ω3) = −1 + 2P ∗(ω1).

Lengva matyti, kad rastas sprendinys yra griežtai teigiamas tikimybinis matas tada ir tik tada,

jei 1/2 < P ∗(ω1) < 2/3. Kitaip tariant, visi galimi rizikai neutralūs matai šiame modelyje turi

pavidalą P ∗ = (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ), čia λ – bet koks skaičius iš intervalo (1/2, 2/3). Gavome,

kad šiame pavyzdyje egzistuoja be galo daug rizikai neutralių matų ir neegzistuoja arbitražo

galimybė.

3.8 pavyzdys (3.3 pavyzdžio tęsinys) Norint rasti matą P ∗, reikia išpręsti lygčių sistemą:

5 = 6P ∗(ω1) + 6P ∗(ω2) + 4P ∗(ω3),

10 = 12P ∗(ω1) + 8P ∗(ω2) + 8P ∗(ω3),

1 = P ∗(ω1) + P ∗(ω2) + P ∗(ω3).


Ši sistema turi vienintelį sprendinį P ∗(ω1) = P ∗(ω3) = 1/2, P ∗(ω2) = 0. Rastas sprendinys

yra tiesinis kainų matas, bet netenkina rizikai neutralaus mato apibrėžimo. Kadangi daugiau

sprendinių ši sistema neturi, tai 3.3 pavyzdyje egzistuoja arbitražo galimybė (norint ją surasti,

reikia įdėti šiek tiek pastangų).

3.6–3.8 pavyzdžiai iliustruoja tris atsirandančias galimybes: (1) egzistuoja vienintelis rizikai

neutralus matas, (2) egzistuoja be galo daug rizikai neutralių matų, ir (3) neegzistuoja rizikai

neutralaus mato. Verta atkreipti dėmesį į skirtumus tarp atvejų d = 1 ir d > 1. Atveju d = 1

rizikai neutralaus mato egzistavimą lengva patikrinti vien tik pažiūrėjus į kainų pokyčio ∆S1(ω)

ženklą. Kai d > 1, situacija keičiasi iš esmės. Grįžtant prie 3.3 ir 3.8 pavyzdžių, lengva patikrinti,

kad atskirai paimtiems rizikingiems VP egzistuoja teigiami matai P ∗1 ir P ∗

2 su EP ∗1

S11 = 5 =

S10 , EP ∗

2S2

1 = 10 = S20 . Kitaip tariant, sukurti arbitražinio portfelio panaudojus tik 2 aktyvus (A0

ir A1, arba A0 ir A2) neįmanoma. Kita vertus, arbitražinis portfelis, sudarytas iš visų 3 aktyvų,

egzistuoja. Tai rodo, kad rizikingi aktyvai gali tarpusavyje “sąveikauti”, sudarydami arbitražines

strategijas.

3.2 teoremos įrodymas. Teoremos sąlygų pakankamumas (tai, kad iš rizikai neutralaus mato eg-

zistavimo išplaukia arbitražo negalimumas) įrodomas paprastai (žr. žemiau).

Tarkime, priešingai, kad egzistuoja arbitražo strategija H . Parodysime, kad ši prielaida veda

į prieštarą. Iš tikrųjų, jei H yra arbitražo strategija, tai G(H)(ω) ≥ 0 (∀ω ∈ Ω) ir G(H)(ω) >

0 (∃ω ∈ Ω) (žr. 3.5 teiginį). Todėl kiekvienam teigiamam matui P ∗, E∗G(H) =∑

ω∈Ω G(ω)P ∗(ω) >

0.

Kita vertus, pasinaudoję rizikai neutralaus mato apibrėžimu ir G(H) išraiška (žr. (3.1)), turime

E∗G(H) =d∑

i=1

HiE∗∆Si = 0. (3.12)

Teoremos sąlygų būtinumo įrodymas sudėtingesnis ir remiasi žemiau suformuluota hiperplokštu-

mų atskyrimo teorema, kurios įrodymas nukeltas į skyriaus pabaigą (žr. 5 paveikslą, iliustruojantį

3.3 teoremą).

3.3 teorema (Hiperplokštumų atskyrimo teorema) Tarkime, B ⊂ Rm yra iškila, uždara ir aprėžta

aibė, L yra tiesinis Rm poerdvis (hiperplokštuma), aibės B ir L tarpusavyje nesikerta: B ∩ L = ∅.

Tada egzistuoja toks tiesinis funkcionalas λ : Rm → R, kad

(a) su visais x ∈ B λ(x) > 0

ir

(b) su visais x ∈ L λ(x) = 0.


B

L

λ

5 pav. Aibė B ir tiesė L yra horizontalioje plokštumoje (atvejis m = 2). Tiesinis funkcionalas λ

yra subrūkšniuota plokštuma trimatėje erdvėje, einanti per horizontalią tiesę L virš horizontalios

aibės B

.

Norėdami pasinaudoti 3.3 teorema, pastebėsime, kad kiekvienas atsitiktinis dydis X : Ω → R

gali būti sutapatintas su m-mačiu vektoriu (X(ω1), . . . , X(ωm)), kitaip tariant, visų atsitiktinių

dydžių aibė sudaro tiesinę erdvę Rm:

X : Ω → R = Rm. (3.13)

Visi pavidalo X = G(H), čia H – bet kokia strategija, atsitiktiniai dydžiai sudaro tiesinį poerdvį

L ⊂ Rm:

L =

X : Ω → R : X(ω) =

d∑

i=1

Hi∆Si1(ω), H − strategija

. (3.14)

Iš tikrųjų, jei Xj = G(Hj) ∈ L, j = 1, 2 tai bet kokia tiesinė kombinacija c1X1 + c2X2 = G(c1H1 +

c2H2) ∈ L. Tegul

B =

X : Ω → R : X(ω) ≥ 0,

∑

ω∈Ω

X(ω) = 1

(3.15)

yra visų tikimybinių matų, apibrėžtų aibėje Ω, aibė. Vėlgi, lengva patikrinti, kad B yra iškilas,

aprėžtas ir uždaras erdvės Rm poaibis. (Aibės B iškilumas reiškia, kad jei Xj ∈ B (j = 1, 2) yra

tikimybiniai matai, tai bet kokia jų iškila tiesinė kombinacija cX1 + (1 − c)X2, čia c ∈ (0, 1), yra

tikimybinis matas – tai akivaizdu.) Kadangi būtinumo įrodyme padarėme prielaidą apie arbitražo

nebuvimą, tai iš 3.5 teiginio turime, kad aukščiau apibrėžtos aibės L ir B nesikerta:

B ∩ L = ∅. (3.16)

(Iš tikrųjų, jei būtų priešingai, tai egzistuotų strategija H tokia, kad X = G(H) ≥ 0,∑

ω∈Ω X(ω) =

1, taigi X = G(H) 6≡ 0, ir tuo pačiu egzistuotų arbitražo galimybė – žr. 3.5 teiginį.) Todėl ai-

bės B ir L tenkina visas 3.3 teoremos sąlygas. Iš šios teoremos išplaukia, kad egzistuoja tiesinis


funkcionalas λ : Rm → R, kuriam

∑

ω∈Ω

λ(ω)X(ω) > 0 su visais X ∈ B (3.17)

ir∑

ω∈Ω

λ(ω)X(ω) = 0 su visais X = G(H) ∈ L. (3.18)

Kadangi (3.17) galioja bet kokiam X ∈ B, iš čia turime, kad λ(ω) > 0 su visais ω ∈ Ω. (Iš

tikrųjų, jei λ(ωj) = 0 kažkokiam ωj ∈ Ω, tai paėmę X(ω) = 1 kai ω = ωj ir X(ω) = 0 kitais

atvejais, iš (3.17) gautume prieštarą.) Apibrėžkime tikimybinį matą P ∗ lygybe

P ∗(ω) = λ(ω)/Λ (ω ∈ Ω), čia Λ =∑

ω∈Ω

λ(ω). (3.19)

Aišku, kad P ∗ yra tikimybinis matas, tenkinantis sąlygą P ∗(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω). Iš (3.18) turime

E∗d∑

i=1

Hi∆Si1 =

d∑

i=1

HiE∗∆Si1 = 0. (3.20)

Kadangi paskutinė lygybė teisinga bet kokiai strategijai H , tai

E∗∆Si1 = 0 (i = 1, . . . , d).

Parodėme, kad P ∗ (3.19) yra rizikai neutralus matas.

3.9 pavyzdys (3.3 ir 3.8 pavyzdžių tęsinys) Remiantis 3.2 teorema, aukščiau buvo parody-

ta, kad šiame pavyzdyje egzistuoja arbitražo galimybė. Arbitražo strategijas šiame uždavinyje

galima rasti iš apibrėžimo: tai yra tokios strategijos, kurių pradinė vertė V0(H) = 0 ir dis-

kontuotas pelnas V1(H)(ω) − V0(H) = G(H)(ω) ≥ 0 (∀ω ∈ Ω), G(H) 6≡ 0. Iš 3.3 pavyzdžio

lentelės gauname, kad

G(H)(ω1) = H1 + 2H2, G(H)(ω2) = H1 − 2H2, G(H)(ω3) = −H1 − 2H2.

Nelygybių sistema G(H)(ωi) ≥ 0 (i = 1, 2, 3) yra ekvivalenti tokiai: H1+2H2 = 0, H1−2H2 ≥0. Pastarosios sistemos bendras netrivialus sprendinys yra

H1 = W, H2 = −W/2,

čia W > 0 – bet koks. Įstatę rastas H1 ir H2 išraiskas į 0 = V0(H) = H0S00 +H1S1

0 +H2S20 =

H0 +5H1 +10H2 (žr. lentelę 3.3 pavyzdyje), gauname H0 = −5(W/2)+10(W/4) = 0. Tokiu

būdu, visos arbitražo strategijos šiame pavyzdyje turi pavidalą

H = (0, W, −W/2), čia W > 0 – bet koks.

Apibendrintai vieno periodo rinkos modelyje galiojantys sąryšiai pavaizduoti 6 paveiksle.


Nėra arbitražo galimybės ⇔ Egzistuoja rizikai neutralus matas

⇓Neegzistuoja dominuojanti strategija ⇔ Egzistuoja tiesinis kainų matas

⇓Galioja vienos kainos dėsnis

6 pav. Vieno periodo rinkoje galiojantys sąryšiai

3.3 teoremos įrodymas. Patikrinkime, kad kiekvienai iškilai ir uždarai aibei C ⊂ Rm, kuriai

nepriklauso koordinačių pradžia, 0 6∈ C, egzistuoja tiesinis funkcionalas λC : Rm → R toks, kad

λC(x) > 0 su visais x ∈ C. (3.21)

Iš tikrųjų, tegul x0 ∈ C – taškas, mažiausiai nutolęs nuo koordinačių pradžios:

‖x0‖ = inf‖x‖ : x ∈ C,

čia ‖x‖ – norma Rm. Iš aibės C iškilumo ir uždarumo turime, kad toks taškas x0 ∈ C egzistuoja

ir yra vienintelis (žr. 7 paveikslą).

x0

C

7 pav. Iškila aibė C ir atstumą iki jos minimizuojantis taškas x0.

Apibrėžkime tiesinį funkcionalą λC lygybe

λC(x) = 〈x, x0〉,

čia 〈·, ·〉 – skaliarinė sandauga, 〈x, x〉 = ‖x‖2. Iš aibės C iškilumo turime, kad kiekvienam x ∈ C,

iškila tiesinė kombinacija tx + (1 − t)x0 ∈ C visiems 0 < t < 1. Iš x0 apibrėžimo išplaukia, kad

‖tx + (1 − t)x0‖ ≥ ‖x0‖, arba

‖x0 + t(x − x0)‖2 ≥ ‖x0‖2.

Pasinaudoję normos savybe, iš čia turime, kad ‖x0‖2 + 2t〈x0, x − x0〉 + t2‖x − x0‖2 ≥ ‖x0‖2, arba

〈x0, x − x0〉 ≥ − t

2‖x − x0‖2. (3.22)

3.4. KLAUSIMAI IR UŽDAVINIAI 29

Perėję nelygybėje (3.22) prie ribos, kai t → 0, turime λC(x−x0) = 〈x0, x−x0〉 ≥ 0 su visais x ∈ C.

Nelygybė (3.21) dabar gaunama iš λC tiesiškumo savybės.

Grįžkime prie 3.3 teoremos įrodymo. Tegul B ir L yra aibės šios teoremos formulavime. Api-

brėžkime naują aibę C lygybe:

C = B − L = x = z − y : z ∈ B, y ∈ L . (3.23)

Įsitikinkime, kad aibė C (3.23) yra iškila, uždara ir 0 6∈ C. Iš tikrųjų, tegul xi = zi − yi ∈C, zi ∈ B, yi ∈ L (i = 1, 2), 0 < t < 1. Tada z ≡ tz1 + (1 − t)z2 ∈ B, y ≡ ty1 + (1 − t)y2 ∈ L

kadangi B ir L iškilos, ir todėl tiesinė kombinacija tx1 + (1 − t)x2 = tz − (1 − t)y ∈ C pagal

C apibrėžimą. Patikrinkime aibės C uždarumą. Tarkime, yra seka xn = zn − yn ∈ C(n =

1, 2, . . . , zn ∈ B, yn ∈ L), konverguojanti į kažkokį tašką x ∈ Rm: xn → x. Reikia patikrinti, ar

x ∈ C. Kadangi aibė B kompakti (t.y. uždara ir aprėžta), tai egzistuoja z ∈ B ir posekis znj → z.

Todėl ynj = znj − xnj → y ∈ L, nes poerdvis L yra uždara aibė. Taigi, x = z − y, z ∈ B, y ∈ L

tuo pačiu x ∈ C. Pagaliau, sąlyga 0 6∈ C pagal aibės C apibrėžimą ekvivalenti 3.3 teoremos sąlygai

B ∩ L = ∅.

Todėl aibei C galima taikyti aukščiau įrodytą tvirtinimą apie funcionalo λC ≡ λ egzistavimą:

egzistuoja tiesinis funkcionalas λ : Rm → R toks, kad

λ(x) > 0 visiems x ∈ C. (3.24)

Įstatykime į šią nelygybę x = y − αz ∈ C, čia y ∈ B, z ∈ L yra fiksuoti, o α ∈ R – bet koks

skaičius. Tada iš (3.24) seks, kad

λ(y) > αλ(z), (3.25)

ir paskutinė nelygybė turi galioti bet kokiam α ∈ R. Bet tada būtinai λ(y) > 0, λ(z) = 0 (jeigu

būtų kitaip, visada būtų galima parinkti α taip, kad (3.25) būtų neteisinga). Kadangi aukščiau

z ∈ L ir y ∈ B buvo bet kokie, tai 3.3 teorema įrodyta.


3.1. Užrašykite dydžius Vt(H), Vt(H) (t = 0, 1), G(H), G(H) 3.2 ir 3.3 pavyzdžiuose, panašiai kaip

3.1 pavyzdyje.

3.2. žemiau pateikta lentelė yra šiek tiek praplėstas 3.3 pavyzdys (r = 1/9 ir d = 2, m = 4 kaip ir

3.3 pavyzdyje):

i Si0 Si

1(ω1) Si1(ω2) Si

1(ω3) Si1(ω4)

1 5 6 6 4 2

2 10 12 8 8 12


Užrašykite dydžius Vt(H), Vt(H) (t = 0, 1), G(H), G(H) panašiai kaip 3.1 pavyzdyje.

3.3. Lentelėje duotos vieno periodo rinkos modelio su r = 0, m = 3, d = 2 VP kainos:

i Si0 Si

1(ω1) Si1(ω2) Si

1(ω3)

1 4 8 6 3

2 7 10 8 4

Parodykite, kad šiame modelyje egzistuoja dominuojanti strategija ir galioja vienos kainos dėsnis.

3.4 (3.2 uždavinio tęsinys). Šiame uždavinyje raskite arba visus rizikai neutralius matus, arba visas

arbitražo strategijas.

3.5 Patikrinkite, kad poerdvis L (3.14) 3.9 pavyzdyje yra

L = X = (X(ω1), X(ω2), X(ω3)) : X(ω1) + X(ω3) = 0 .

Raskite šio poerdvio išraišką 3.1, 3.2 pavyzdžiuose ir 3.2 uždavinyje.

4 skyrius

Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnosiosir nepilnosios rinkos

4.1 Pasiekiami ieškiniai

Finansiniu ieškiniu vieno periodo modelyje vadinamas bet koks atsitiktinis dydis X , kurio konkreti

reiškmė X(ω) priklauso nuo nežinomo momentu t = 0 scenarijaus ω ∈ Ω ir suprantama kaip

ieškinio išmoka momentu t = 1. Angliškas šio termino atitikmuo contingent claim yra tikslesnis

(žodis contingent žodyne verčiamas atsitiktinis, nenumatytas, galimas). Šia prasme, finansinis

ieškinys yra labai bendra sąvoka. Tai gali būti VP portfeliai, opcionai, opcionų dariniai, ateities

sandoriai ir įvairios jų kombinacijos.

Finansinių ieškinių vertinimas ("teisingosios" jų kainos arba vertės radimas) yra labai svarbus

finansų teorijai ir praktikai, ir galbūt pagrindinis finansų matematikos uždavinys. "Teisingoji"

kaina suprantama kaip tokia kaina, kuri tenkina tiek pirkėją, tiek pardavėją.

Iš pirmo žvilgsnio gali pasirodyti, kad ieškinio kaina yra grynai individualus pirkėjo ir pardavėjo

susitarimo reikalas ir priklauso tik nuo to, kaip viena ir kita pusė vertina sandorio riziką ir naudą.

Toks požiūris nėra teisingas. Pasirodo, kad daugeliu atveju, naudojantis arbitražiniais argumentais,

galima parodyti, kad egzistuoja vienintelė teisinga ieškinio kaina, kuri nepriklauso nuo pardavėjo

ir pirkėjo rizikos pasirinkimo.

4.1 apibrėžimas Finansinio ieškinio X replikuojančia strategija (replicating strategy) vadinsime

bet kokia strategiją H , kurios vertė momentu t = 1 sutampa su ieškiniu X . Kitaip tariant, visiems

ω ∈ Ω galioja V1(H)(ω) = X(ω).

4.2 apibrėžimas Finansinis ieškinys vadinamas pasiekiamu (attainable), jei egzistuoja jį repli-

kuojanti strategija.

Natūralu ieškinio X teisingąja verte V X0 vadinti šį ieškinį replikuojančios strategijos H vertę

31

32 4 skyrius. Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnosios ir nepilnosios rinkos

V0(H) momentu t = 0, t.y. apibrėžti

V X0 = V0(H). (4.1)

Tam, kad (4.1) apibrėžimas turėtų prasmę, reikia, kad būtų išpildytos dvi sąlygos: 1) replikuojanti

strategija H egzistuoja (t.y. X yra pasiekiamas ieškinys), ir 2) vertė V0(H) yra vienintelė (t.y.

neegzistuoja dviejų ieškinį X replikuojančių strategijų H ir H , tokių, kad V0(H) 6= V0(H).

Antroji sąlyga bus išpildyta, jei rinkoje galioja vienos kainos dėsnis.

Parodysime, kad jei šios sąlygos yra išpildytos, tai (4.1) lygybė turi galioti – priešingu atveju

galimas arbitražas. Iš tiesų, tegul V X0 > V0(H). Tada investuotojas momentu t = 0 gali parduoti

ieškinį X už kainą V X0 ir tuo pat metu įsigyti portfelį H , sumokėdamas už jį kainą V0(H) ir

taip "įsidėdamas į kišenę" skirtumą V X0 − V0(H) > 0. Šis skirtumas yra investuotojo nerizikingas

pelnas, kadangi momentu t = 1 ieškinio X išmoka tiksliai sutampa su portfelio H verte bet

kuriam ateities scenarijui ω. Panaši nerizikingo pelno galimybė egzistuoja ir kai V X0 < V0(H)

– tokiu atveju, investuotojas momentu t = 0 trumpai parduoda portfelį H , tuo pat metu perka

ieškinį X , "įsidėdamas į kišenę" skirtumą V0(H) − V X0 > 0.

Jei rinkoje nėra arbitražo galimybės, ieškinio teisingoji vertė gaunama tiesiogiai rizikai neutralaus

mato pagalba. Žemiau suformuluota teorema ir teisingosios vertės (4.2) formulė yra labai svarbios

("sensacingos") finansų matematikoje.

4.1 teorema Nearbitražinėje rinkoje pasiekiamo ieškinio X teisingoji vertė V X0 momentu t = 0

yra lygi diskontuoto ieškinio vidurkiui rizikai neutralaus mato atžvilgiu:

V X0 = E∗X =

∑

ω∈Ω

X(ω)1 + r

P ∗(ω); (4.2)

čia P ∗ – bet koks rizikai neutralus matas.

Įrodymas. Bet kokiai strategijai H ir bet kokiam rizikai neutraliam matui P ∗ galioja

V0(H) = V0(H) = E∗V0(H) = E∗(V1(H) − G(H)) = E∗V1(H),

nes E∗G(H) = 0 (žr. (3.12)). Gautoji lygybė, žinoma, yra teisinga ir ieškinį X replikuojančiai

strategijai H , kuriai galioja V1(H) = X = X/(1+r) ir V X0 = V0(H). Tuo (4.2) įrodymas pasibaigia.

Atkreipkime dėmesį į tai, kad nors rizikai neutralių matų gali būti daugiau nei vienas, tačiau

teisingoji ieškinio vertė (4.2) yra vienintelė ir nepriklauso nuo P ∗ pasirinkimo [kodėl?].

4.1 pavyzdys (3.1 ir 3.6 pavyzdžių tęsinys) Primename, kad šiame pavyzdyje m = 2, r =

1/9, d = 1 ir egzistuoja vienintelis rizikai neutralus matas su P ∗(ω1) = P ∗(ω2) = 1/2.

4.1. PASIEKIAMI IEŠKINIAI 33

Raskime teisingąją kainą ieškinio X su išmokomis X(ω1) = 7 ir X(ω2) = 2. Padarę prielaidą,

kad X yra pasiekiamas, ir pasinaudoję (4.2) formule, randame

V X0 = E∗X/(1 + r) = (1/2)(7)/(1 + 1

9) + (1/2)(2)/(1 + 1

9) = 4, 05.

Belieka patikrinti, kad mūsų prielaida yra teisinga. Tuo tikslu, ieškome H = (H0, H1) kad

galiotų V1(H)(ωj) = H0(1 + r) + H1S11(ωj) = X(ωj), j = 1, 2. Įstatę S1

1(ωj) reikšmes iš 3.1

pavyzdžio, gauname lygčių sistemą:

(10/9)H0 + (20/3)H1 = 7,

(10/9)H0 + (40/9)H1 = 2.

Jos sprendinys H0 = −7, 2, H1 = 2, 25. Taigi, X yra pasiekiamas ir V X0 apskaičiuota gerai.

4.2 pavyzdys (3.1 ir 3.6 pavyzdžių tęsinys). Raskime teisingąją vertę ieškinio

X = (S11 − 5)+.

X yra išmoka call opciono vienai A1 akcijai su vykdymo kaina K = 5. Randame X(ω1) =

5/3, X(ω2) = 0. Toliau, panašiai kaip 4.1 pavyzdyje, apskaičiuojame

V X0 = (1/2)(5/3)/(1 + 1

9) = 0, 75

prieš tai patikrinę, kad X yra pasiekiamas su replikuojančiąja strategija H0 = −3, H1 = 0, 75.

4.3 pavyzdys (3.2 ir 3.7 pavyzdžių tęsinys). Panagrinėkime bet kokį finansinį ieškinį X =

(X(ω1), X(ω2), X(ω3)). Norint rasti jo vertę V X0 , visų pirma reikia išsiaiškinti, ar X yra

pasiekiamas. Iš 4.2 apibrėžimo seka, kad tuo tikslu reikia išspresti 3 lygčių sistemą rasti

replikuojančiai strategijai (H0, H1) (lygčių skaičius lygus scenarijų ω skaičiui, kuris šiame

pavyzdyje yra 3):

(10/9)H0 + (20/3)H1 = X(ω1),

(10/9)H0 + (40/9)H1 = X(ω2),

(10/9)H0 + (30/9)H1 = X(ω3),

kuri apskritai gali ir neturėti sprendinio. Iš tikrųjų, iš trečiosios lygties išreiškę H0 ir įstatę į

dvi pirmasias, gauname dvi H1 išraiškas, kurios turi būti lygios. Taigi, ši lygčių sistema turi

sprendinį (H0, H1) tada ir tik tada, jei

X(ω1) − 3X(ω2) + 2X(ω3) = 0. (4.3)

Matome, kad ne visi ieškiniai yra pasiekiami ir turi teisingąją kainą. Tokia situacija yra tipiška

rinkoms, kuriose egzistuoja daug rizikai neutralių matų (žr. 3.7 pavyzdį ir sekantį skyrelį).


4.2 Pilnoji rinka

Rizikai neutralaus mato P ∗ egzistavimas apskritai negarantuoja, kad bet kokio ieškinio X teisingąją

kainą galima rasti naudojantis (4.2) formule. Problema, žinoma, yra ta, kad ne bet koks ieškinys

yra pasiekiamas. Kaip tai patikrinti? Praeito skyrelio 4.1–4.3 pavyzdžiuose tai buvo daroma

sprendžiant lygčių sistemą replikuojančiai strategijai rasti. Iš algebros kurso yra žinomi kriterijai,

kada tiesinių lygčių sistema arba turi sprendinį arba jo neturi. Tačiau naudotis šiais kriterijais

nevisada yra patogu. Egzistuoja ir kitas, patogesnis būdas tai patikrinti.

4.3 apibrėžimas Rinka vadinama pilnąja, jei bet kuris finansinis ieškinys yra pasiekiamas (kitaip

tariant, jam egzistuoja replikuojanti strategija). Priešingu atveju rinką vadinsime nepilnąja.

4.1 teiginys Nearbitražinė rinka yra pilnoji tada ir tik tada, kai būsenų skaičius m sutampa su

tiesiškai nepriklausomų vektorių skaičiumi rinkinyje

1 + r

1 + r...

1 + r

,

S11(ω1)

S11(ω2)

...

S11(ωm)

, . . . ,

Sd1 (ω1)

Sd1 (ω2)

...

Sd1 (ωm)

(todėl turi galioti d + 1 ≥ m).

Įrodymas. Apibrėžkime matricą A, turinčią m eilučių ir d + 1 stulpelį:

A =

1 + r S11(ω1) . . . Sd

1 (ω1)

1 + r S11(ω2) . . . Sd

1 (ω2)...

... . . ....

1 + r S11(ωm) . . . Sd

1 (ωm)

. (4.4)

Sakykime, y = (y0, y1, . . . , yd)′, x = (x1, . . . , xm)′. Pagal 4.3 apibrėžimą, nearbitražinė rinka yra

pilnoji, jei su visais x lygtis Ay = x turi sprendinį. Iš tiesinės algebros kurso žinome, kad pastaroji

lygtis su visais x turi sprendinį tada ir tik tada, kai matricos A rangas lygus m. Tai ir reiškia, kad

tiesiškai nepriklausomų matricos stulpelių skaičius lygus m.

4.4 pavyzdys (3.1, 3.6, 4.1 pavyzdžių tęsinys) šiame pavyzdyje matrica

A =

(10/9 20/3

10/9 40/9

)

turi rangą 2, kuris sutampa su būsenų skaičiu m = 2. Taigi, 3.1 pavyzdyje rinka yra pilnoji.

4.5 pavyzdys (3.2, 3.7, 4.3 pavyzdžių tęsinys). Šiame pavyzdyje matrica

A =

10/9 20/3

10/9 40/9

10/9 10/3

4.2. PILNOJI RINKA 35

turi rangą 2, o būsenų skaičius m = 3. Taigi, šio modelio rinka yra nepilnoji. 3.7 pavyzdyje

parodėme, kad visi rizikai neutralūs matai turi pavidalą P ∗ = (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ), čia 1/3 <

λ < 2/3 yra bet koks skaičius. Apskaičiuokime ieškinio X = X/(1 + r) = X(9/10) vidurkį P ∗

atžvilgiu:

E∗X = λ(9/10)X(ω1) + (2 − 3λ)(9/10)X(ω2) + (−1 + 2λ)(9/10)X(ω3).

Jei ieškinys X yra pasiekiamas, tai šis vidurkis nepriklauso nuo λ pasirinkimo, kadangi jis

turi sutapti su replikuojančios strategijos verte V0(H). Lengva matyti, kad λ šioje formulėje

suprastinama tada ir tik tada, kai galioja lygybė (4.3), reiškianti, kad X yra pasiekiamas

ieškinys (žr. 4.3 pavyzdį). Kaip matome, šiame pavyzdyje ieškinys X yra pasiekiamas tada ir

tik tada, kai E∗X nepriklauso nuo mato P ∗ pasirinkimo. Žemiau parodysime, kad šis faktas

galioja ir bendruoju atveju.

Tegul Q žymi visų rizikai neutralių matų aibę. Tuomet nearbitražinės rinkos prielaida ekvivalenti

sąlygai Q 6= ∅. Pilnąją rinką charakterizuoja žemiau suformuluota teorema.

4.2 teorema Tarkime, kad rinka nearbitražinė (t.y. Q 6= ∅). Tuomet rinka yra pilnoji tada ir

tik tada, kai aibė Q yra sudaryta iš lygiai vieno elemento.

Įrodymas. Tarkime priešingai, kad rinka yra pilnoji ir egzistuoja du skirtingi matai P ∗ ir P ∗∗,

priklausantys aibei Q. Tuo pačiu, egzistuoja būsena ω′ ∈ Ω tokia, kad P ∗(ω′) 6= P ∗∗(ω′′). Api-

brėžkime ieškinĮ X ′ lygybe

X ′(ω) =

1 + r, jei ω = ω′;

0, kitais atvejais.

Tada

E∗X ′ = E∗ X ′

1 + r= P ∗(ω′) 6= P ∗∗(ω′) = E∗∗ X ′

1 + r= E∗∗X ′.

Kadangi rinka yra pilnoji, tai X ′ yra pasiekiamas ir E∗X ′ = V X′0 = V0(H) nepriklauso nuo P ∗ ∈ Q

(žr. pastabą po 4.1 teoremos). Taigi, gavome prieštarą.

Atvirkščiai, tarkime, kad aibė Q sudaryta iš vieno elemento P ∗, o rinka yra nepilnoji, t.y.

egzistuoja nepasiekiamas ieškinys X . Parodysime, kad tada būtinai egzistuoja P ∗∗ 6= P ∗, P ∗∗ ∈ Q,

t.y. ši prielaida yra neteisinga. “Nepasiekimas X” reiškia, kad lygtis Ay = x neturi sprendinio,

kai x = (X(ω1), . . . , X(ωm))′, o matrica A apibrėžta (4.4). Iš 4.1 lemos žemiau seka, kad tokiu

atveju egzistuoja vektorius p = (p1, . . . , pm)′, kuriam

p′A = 0 ir p′x = 〈p, x〉 > 0.

Apibrėžkime naują matą P ∗∗ lygybe

P ∗∗(ωj) = P ∗(ωj) + λ(1 + r)pj (j = 1, . . . , m),


čia skaičius λ tenkina sąlygas: λ 6= 0 ir

− minj=1,m:pj>0

P ∗(ωj)(1 + r)pj

< λ < − maxj=1,m:pj<0

P ∗(ωj)(1 + r)pj

.

Nesunku įsitikinti, kad taip apibrėžtam matui P ∗∗(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω). Kadangi p′A = 0, tai

(1 + r)∑m

j=1 pj = 0 ir todėl

m∑

j=1

P ∗∗(ωj) =m∑

j=1

P ∗(ωj) + λ(1 + r)m∑

j=1

pj = 1.

Kitaip tariant, P ∗∗ yra tikimybinis matas. Kita vertus, kadangi p′A = 0, tai su visais i = 1, . . . , d

galioja∑m

j=1 pjSi1(ωj) = 0 ir todėl

E∗∗Si1 =

m∑

j=1

P ∗∗(ωj)Si(ωj)1 + r

=m∑

j=1

P ∗(ωj)Si(ωj)1 + r

+ λ

m∑

j=1

Si1(ωj)pj

= E∗Si1.

Kadangi P ∗ ∈ Q, tai E∗∗Si1 = E∗Si

1 = Si0. Vadinasi, P ∗∗ ∈ Q. Be to, P ∗∗ 6= P ∗, nes P ∗∗

apibrėžime λ 6= 0. Gavome prieštarą mūsų padarytai prielaidai, kad aibė Q yra sudaryta tik iš

vieno elemento.

4.2 teoremos įrodyme buvo panaudota tokia lema.

4.1 lema Tarkime, D yra m × n matrica, x ∈ Rm yra m-matis vektorius-stulpelis. Tegul lygtis

Dy = x neturi sprendinio. Tada egzistuoja toks m-matis vektorius-stulpelis p ∈ Rm, kad p′D = 0

ir p′x > 0.

Įrodymas. Pažymėkime poerdvį Im D := Dy : y ∈ Rn ⊂ Rm. Kadangi lygtis Dy = x neturi

sprendinio, tai x 6∈ Im D. Vadinasi, galima išskaidyti x = x0 + p, čia x0 ∈ Im D, p ⊥ Im D

ir p 6= 0, t.y. su visais y ∈ Rn turime p′(Dy) = (p′D)y = 0. Todėl p′D = 0. Be to,

p′x = p′x0 + p′p > 0 nes p 6= 0.

4.3 Nepilnoji rinka ir nepasiekiamų ieškinių vertinimas

Apibendrinant praeitą skyrelį, galima teigti, kad jei rinka yra pilnoji, tai mes žinome, kaip vertinti

bet kokį ieškinį. Jei rinka nepilnoji, tai žinome, kaip vertinti pasiekiamus ieškinius. Jei ieškinys

nepasiekiamas, jo vienintelės teisingosios vertės nustatyti neįmanoma. Tačiau, pasirodo, galima

nustatyti kainų intervalą, kuriam priklauso teisingoji vertė. Šį intervalą žymėsime [V X0 ] ⊂ (0, ∞).

Jis apibrėžiamas lygybe

[V X0 ] = [V X

− , V X+ ], (4.5)

4.3. NEPILNOJI RINKA IR NEPASIEKIAMŲ IEŠKINIŲ VERTINIMAS 37

čia

V X− = sup

E∗Y : Y ≤ X, Y − pasiekiamas ieškinys

,

V X+ = inf

E∗Y : Y ≥ X, Y − pasiekiamas ieškinys

– apatinysis ir viršutinysis teisingųjų kainų rėžiai; P ∗ ∈ Q – bet koks rizikai neutralus matas. Kaip

vėliau pamatysime, dydžiai V X− , V X

+ ir intervalas (4.5) nuo P ∗ parinkimo faktiškai nepriklauso.

Jei X – pasiekiamas ieškinys, lengva matyti, kad V X− = V X

+ = V X0 ir intervalas [V X

0 ] išsigimsta

į vieną tašką. V X+ galima interpretuoti kaip pigiausio portfelio, naudojamo apsidrausti nuo nuo-

stolių parduodant kontraktą X , kainą momentu t = 0. Panašiai, V X− galima interpretuoti kaip

kainą brangiausio parduodamo portfelio, nuo kurio nuostolių apsidrausti momentu t = 0 perkamas

kontraktas X .

Tarkime, kad ieškinio X kaina p momentu t = 0 nepatenka į intervalą (4.5), pvz. p > V X+ . Iš

V X+ apibrėžimo seka, kad tada egzistuoja strategija H , replikuojanti pasiekiamą ieškinį Y ≥ X ,

kuriam

V X+ ≤ E∗Y < p.

Momentu t = 0 pardavę kontraktą ieškiniui X už kainą p ir įsigiję portfelį H už kainą V0(H) =

E∗Y , gautume garantuotą pelną p − E∗Y > 0, nes momentu t = 1 išmokos pagal kontraktą X

visais atvejais neviršys portfelio vertės V1(H) = Y . Panaši arbitražo galimybė egzistuoja ir tada,

kai nepasiekiamo ieškinio X kaina p momentu t = 0 yra p < V X− .

Galima parodyti, kad kainų intervalą (4.5) galima rasti kitu būdu (paprasčiau), jei žinoma aibės

Q struktūra.

4.3 teorema Tarkime, kad rinka nearbitražinė (t.y. Q 6= ∅). Tada bet kuriam ieškiniui X

V X− = inf

E∗X : P ∗ ∈ Q

,

V X+ = sup

E∗X : P ∗ ∈ Q

.

Šios teoremos įrodymas remiasi tiesinio programavimo dualumo teorema ir mes jį praleisime.

4.6 pavyzdys (3.2, 3.7, 4.3, 4.5 pavyzdžių tęsinys) Pasiekiami ieškiniai šiame pavyz-

dyje su m = 3 būsenomis buvo charakterizuoti aukščiau (žr. 4.3 pavyzdį): tai yra visi

vektoriai X = (X(ω1), X(ω2), X(ω3)), kuriems

X(ω1) − 3X(ω2) + 2X(ω3) = 0.

Panagrinėkime ieškinį X = (10, 5, 10). Akivaizdu, kad jis yra nepasiekiamas. Ap-

skaičiuosime X teisingųjų kainų intervalą (4.5) ir surasime strategijas, replikuojančias

viršutinįjį ir apatinįjį pasiekiamus ieškinius.


Rizikai neutralių matų aibė šiame pavyzdyje buvo rasta ankščiau (žr. 3.7 pavyzdį):

Q =

P ∗ = (P ∗(ω1), P ∗(ω2), P ∗(ω3))

= (λ, 2 − 3λ, −1 + 2λ) : 1/2 < λ < 2/3

.

Kadangi r = 1/9, ieškiniui X gauname

E∗X = (10)(9/10)λ + (5)(9/10)(2 − 3λ) + (10)(9/10)(−1 + 2λ) = 27λ/2.

Pasinaudoję 4.3 teorema, randame

V X+ = sup 27λ/2 : 1/2 < λ < 2/3 = 9,

V X− = inf 27λ/2 : 1/2 < λ < 2/3 = 6 3

4 .

Taigi, šio ieškinio teisingųjų kainų intervalas yra [V X0 ] = [6 3

4 , 9].

Norėdami rasti pasiekiamą ieškinį Y , kuriam E∗Y = V X+ , turime spręsti lygčių sistemą:

Y (ω1) − 3Y (ω2) + 2Y (ω3) = 0,

P ∗(ω1)(9/10)Y (ω1) + P ∗(ω2)(9/10)Y (ω2) + P ∗(ω3)(9/10)Y (ω3) = 9.

Įstatę į šią sistemą P ∗ išraišką (čia λ suprastinama pirmos lygties dėka), gauname

Y (ω1) − 3Y (ω2) + 2Y (ω3) = 0,

2Y (ω2) − Y (ω3) = 10.

Bendrasis šios lygčių sistemos sprendinys yra

Y = (Y (ω1), Y (ω2), Y (ω3)) = (20 − y, y, 2y − 10) .

Sąlygą Y ≥ X = (10, 5, 10) tenkina tik ieškinys Y = (10, 10, 10).


4.1. 4.2 pavyzdyje raskite teisingąją kainą put opciono su vykdymo kaina K = 5, bei šį opcioną

replikuojančią strategiją.

4.2. 4.3 pavyzdyje panagrinėkite call opcioną X = (S11 − K)+ su vykdymo kaina K. Kokioms

K reikšmėms X yra pasiekiamas ir kam lygi jo teisingoji kaina V X0 ?

4.3. 4.6 pavyzdyje raskite:

(a) ieškinį Y =(

453 , 35

3 , 10)

replikuojančią strategiją;

(b) visus pasiekiamus ieškinius Y ≥ X , kuriems E∗Y = V X+ = 12;

(c) pasiekiamą ieškinį Y , kuriam E∗Y = V X− = 10 1

2 .

4.4. 4.3 pavyzdyje raskite teisingųjų kainų intervalą (4.5) opcionui X = (S11 − K)+.

5 skyrius

Rizika ir grąža

Pagrindinės sąvokos: grąža, tikėtina grąža, būsenų kainų tankis, ryšys su CAPM teorija, portfelių

efektyvi diversifikacija, portfelio beta koeficientas.

VP Ai grąža vadinamas santykis

Ri =Si

1 − Si0

Si0

,

kitaip tariant, grąža yra santykinis pelnas, gautas nupirkus tam tikrą kiekį akcijų Ai momentu

t = 0, ir pardavus jas momentu t = 1. Aišku, kad nerizikingos akcijos grąža

R0 =S0

1 − S00

S00

=(1 + r) − 1

1= r.

Panašiai, galima apibrėžti bet kokio portfelio H = (H0, H1, . . . , Hd) grąžą:

R(H) =V1(H) − V0(H)

V0(H).

Žinant portfelio grąžą R(H) ir pradinę vertę V0(H), galima rasti vertę V1(H) ir pelną G(H).

Portfelio ir jį sudarančių aktyvų grąžos yra tarpusavyje susijusios lygtimi

R(H) =H0

V0(H)r +

d∑

i=1

HiSi0

V0(H)Ri. (5.1)

Rizikai neutralaus mato 3.11 apibrėžimą galima lengvai performuluoti grąžų terminais.

5.1 teiginys Matas P ∗(ω), tenkinantis sąlygą P ∗(ω) > 0 ∀ω ∈ Ω, yra rizikai neutralus tada ir

tik tada, jei

E∗Ri = r (5.2)

kiekvienam i = 0, 1, . . . , d, ir/arba

E∗R(H) = r (5.3)

kiekvienam portfeliui H = (H0, . . . , Hd).

Įrodymas. Lygybė (5.2) yra ekvivalenti E∗(Si1 − Si

0) = rSi0, arba E∗Si

1 = Si0. Lygybė (5.3) lengvai

išplaukia iš (5.2) ir (5.1).

39

40 5 skyrius. Rizika ir grąža

Aišku, kad grąžų reikšmės priklauso nuo būsenos ω, kuri momentu t = 0 nežinoma: Ri =

Ri(ω), R(H) = R(H)(ω). Momentu t = 0 investuotojas gali žinoti (arba bent jau įvertinti) tikėtiną

grąžą:

µH = ER(H) =∑

ω∈Ω

R(H)(ω)P (ω)

bei tikėtiną riziką:

σH =√

E(R(H) − ER(H))2;

čia σ2H yra grąžos R(H) dispersija. Skirtumas

ERi − r

vadinamas VP Ai rizikos premija. Analogiškai apibrėžiama portfelio H rizikos premija ER(H) −r. Dažniausiai rizikos premija yra teigiama, nes investuotojas tikisi didesnio pelno iš rizikingos

investicijos, nei iš nerizikingos. Parodysime, kad bet kokio portfelio rizikos premija yra proporcinga

kovariacijai tarp portfelio grąžos ir tam tikro ieškinio D:

D(ω) =P ∗(ω)P (ω)

. (5.4)

Ieškinys D (5.4) vadinamas būsenų kainų tankiu (state price density). Šiame skyriuje paaiškinsime,

kaip šis rezultatas siejasi su garsiąja kapitalo aktyvų verčių teorija (capital asset pricing model –

sutrumpintai CAPM) ir portfelio beta koeficientu.

5.2 teiginys

ED = 1, (5.5)

ERi − r = −cov(Ri, D) ∀i = 0, 1, . . . , d, (5.6)

ER(H) − r = −cov(R(H), D) ∀H = (H0, . . . , Hd). (5.7)

Įrodymas. (5.5) seka iš apibrėžimo:

ED =∑

ω∈Ω

D(ω)P (ω) =∑

ω∈Ω

P ∗(ω)P (ω)

P (ω) =∑

ω∈Ω

P ∗(ω) = 1.

Toliau, pasinaudoję (5.5) ir 4.1 teiginiu, gauname

cov(R(H), D) = E[R(H)D] − ER(H)ED

=∑

ω∈Ω

R(H)(ω)P ∗(ω)P (ω)

P (ω) − ER(H)

=∑

ω∈Ω

R(H)(ω)P ∗(ω) − ER(H)

= E∗R(H) − ER(H)

= r − ER(H),

41

t.y. gavome (5.7). Lygybė (5.6) įrodoma analogiškai.

5.3 teiginys Tarkime, P ∗ ∈ Q 6= ∅, a, b – realūs skaičiai, b 6= 0 ir D – pasiekiamas ieškinys. Tada

bet kurio portfelio H rizikos premija lygi

ER(H) − r =cov(R(H), R(H))

σ2

H

(ER(H) − r), (5.8)

čia H yra portfelį a + bD replikuojanti strategija.

Įrodymas. Kadangi a + bD = V1(H) = V0(H)(1 + R(H)), tai, pasinaudoję žinomomis kovariacijos

savybėmis, gauname

cov(R(H), D) = cov

(R(H),

V0(H)(1 + R(H)) − a

b

)=

V0(H)b

cov(R(H), R(H)).

Įstatę kairiąją šios lygties pusę į (5.7) lygybę, gauname

ER(H) − r = −V0(H)b

cov(R(H), R(H)). (5.9)

Gautoji lygybė galioja ir H = H :

ER(H) − r = −V0(H)b

cov(R(H), R(H)) = −V0(H)b

σ2

H. (5.10)

Akivaizdu, kad (5.8) išplaukia iš (5.9) ir (5.10).

Kaip jau buvo minėta, (5.8) lygtis primena pagrindinę CAPM teorijos išvadą – vadinamąją

“tikėtina grąža – beta” lygtį:

ER(H) − r = βH (ERM − r), (5.11)

čia RM yra rinkos portfelio M grąža, o koeficientas

βH =cov(R(H), RM )

σ2M

(5.12)

charakterizuoja portfelio H “jautrumą rinkos portfelio svyravimams”, arba “sisteminę portfelio H

riziką”. CAPM teorijoje parodoma, kad rinkos portfeliu gali būti bet koks pakankamai platus ir

pasvertas pagal kapitalizaciją rinkos indeksas, pvz., Standard and Poor’s (S&P) indeksas. CAPM

lygtis (5.11) duoda atsakymą į klausimą, kokia turi būti investuotojo portfelio rizikos premija, kai

žinoma rinkos portfelio rizikos premija ir sisteminės rizikos koeficientas βH (vadinamasis portfelio β

koeficientas). Žinant teorinį sąryšį (5.11) tarp šių dydžių, galima praktiškai jo galiojimą patikrinti

(visi dydžiai, įeinantys į (5.11) formulę, gali būti pakankamai tiksliai rasti iš praeityje stebėtų

H, M, r grąžų) ir nuspręsti, ar šiuo metu portfelio H kaina yra “teisinga” (t.y., ar portfelis yra

pervertintas (verta parduoti), ar neįvertintas (verta pirkti)).

CAPM teorija remiasi idealios pusiausvyrinės rinkos prielaidomis. Laikoma, kad rinkoje galima

neribotai skolintis ir skolinti už nerizikingas palūkanas r, visi rinkos dalyviai naudojasi ta pačia


informacija, formuoja savo portfelius tuo pačiu metu ir tam pačiam investavimo periodui (vieno

periodo modelis), nemoka mokesčių ir neturi transakcinių išlaidų, be to, sudarydami portfelius

vadovaujasi tuo pačiu “pelno – rizikos” kriterijumi, teigiančiu, kad jei du portfeliai H1 ir H2

turi tą pati tikėtiną pelningumą ER(H1) = ER(H2) = µ ir pirmojo portfelio tikėtina rizika

yra mažesnė (σH1< σH2

), tai investuotojas pasirenka pirmąjį portfelį. Dar prieš CAPM teorijos

atsiradimą, Nobelio premijos laureatas H. Markowitz 1951 m. parodė, kad iš paskutinio reikalavimo

seka netikėta išvada – būtent tai, kad visi invesuotojai turi investuoti į vieną ir tą patį rizikingą

portfelį M , priklausantį rizikingų portfelių efektyvumo frontui. Efektyvumo frontas yra kreivė

σEF : µ → σEF(µ) σ − µ plokštumoje, kurioje portfelį H atitinka taškas (σH , µH). Kreivė σEF

atitinka portfelius su minimalia rizika:

σEF(µ) = inf

σH : H = (0, H1, . . . , Hd) − rizikingas portfelis, ER(H) = µH = µ

.

Markowitz’o teorijoje M = (σM , µM ) yra vadinamasis tangentinis portfelis, t.y. taškas, kuriame

pustiesė L, išeinanti iš nerizikingo portfelio F su koordinatemis (0, r), liečia kreivę σEF (žr. 8

paveikslą).

F

µM

σM σ

µ M ′

CAL linija

Mefektyvus frontas

σM ′

µM ′

8 pav. Tangentinis portfelis M = (σM , µM ) ir CAL linija.

Pustiesė L (vadinamoji CAL linija = Capital Allocation Line) sudaryta iš visų galimų portfelių

(rizikingų ir nerizikingų) su minimalia dispersija:

(σ, µ) ∈ L ⇔ σ = inf

σH : H = (H0, H1, . . . , Hd) − portfelis, ER(H) = µ

. (5.13)

Kadangi CAL linija eina per taškus F ir M , tai ji nesikeičia, jei portfelį M pakeistume bet kokia

portfelių F ir M tiesine kombinacija M ′ = aF + bM, b 6= 0. Iš tikrųjų, pažymėję V M ′0 = a + bV M

0

portfelio M ′ kainą momentu t = 0, iš (5.1) formulės gauname lygybę:

RM ′ = a′r + b′RM , (5.14)

čia

a′ =a

a + bV M0

, b′ =bV M

0

a + bV M0

43

tenkina a′ + b′ = 1. Todėl M ′ koordinatės σ − µ plokštumoje yra (σM ′ , µM ′) = (b′σM , a′r + b′µM ).

Be to,ERM ′ − r

σM ′=

ERM − r

σM, (5.15)

t.y. M ′ = (σM ′ , ERM ′) ∈ L (žr. 8 paveikslą). Iš sąryšių (5.14)–(5.15) lengvai išplaukia, kad

CAPM lygtis (5.11) nesikeičia, pakeitus M į bet kokią tiesinę kombinaciją M ′ = aF + bM, b 6= 0,

ir atitinkamai pakeitus βH pagal formulę (5.12). Kita vertus, CAPM teorija identifikuoja M

vientinteliu būdu kaip rinkos portfelį, kas yra labai svarbu praktiniams šios teorijos taikymams.

Parodysime, kad 5.3 teiginyje figūruojančios strategijos H, replikuojančios ieškinius a + bD,

irgi minimizuoja portfelio riziką fiksuotam vidutiniam pelningumui µ, bei maksimizuoja portfelio

vidutinį pelningumą, esant fiksuotai rizikai.

5.4 teiginys Tarkime, P ∗ ∈ Q 6= ∅, D (5.4) – pasiekiamas ieškinys, a, b – bet kokie skaičiai, b 6= 0,

H – ieškinį a + bD replikuojanti strategija, H – bet kokia strategija. Tada:

(i) jei ER(H) = ER(H) 6= r, tai σH

≤ σH ;

(ii) jei σH

= σH ir ER(H) > r, tai ER(H) ≥ ER(H).

Įrodymas. (i) Iš teiginio sąlygos ir (5.8) lygties, suprastinę abiejose pusėse rizikos premijas, gauna-

me

cov(R(H), R(H)) = σ2

H.

Pasinaudoję elementariomis vidurkio savybėmis, turime

σ2H − σ2

H= E

((R(H) − ER(H))2 −

(R(H) − ER(H)

)2)

= E(

(R(H) − ER(H)) −(

R(H) − ER(H)))2

+ 2cov(R(H), R(H)) − 2E(

R(H) − ER(H))2

︸︷︷︸=0

≥ 0,

t.y. σ2

H≤ σ2

H .

(ii) Iš (5.8) lygybės gauname

cov(R(H), R(H)) = σ2

H

ER(H) − r

ER(H) − r.

Todėl iš lygybės σH

= σH išplaukia, kad

0 ≤ E(

(R(H) − ER(H)) −(

R(H) − ER(H)))2

= σ2

H− 2cov(R(H), R(H)) + σ2

H

= 2σ2

H

(1 − ER(H) − r

ER(H) − r

)

= 2σ2

H

ER(H) − ER(H)

ER(H) − r,


kitaip tariant, ER(H) ≥ ER(H).

Apibendrinant šio skyrelio rezultatus, galima teigti, kad iš 5.3 teiginio lygties (5.8) išplaukia

pagrindinė CAPM teorijos lygtis “tikėtina grąža – beta” (5.11). Todėl santykis

cov(R(H), R(H))σ2

H

,

figūruojantis (5.8), irgi vadinamas portfelio beta koeficientu. Faktiškai, (5.8) turi platesnę prasmę

nei CAPM lygtis. CAPM teorija siejasi su optimalaus portfelio paieška maksimizuojant kvadratinę

naudingumo funkciją (faktiškai, ši paieška susiveda į “pelno–rizikos” kriterijų (5.13). (5.8) lygtį

galima susieti su portfelio optimizavimo uždaviniu, kai naudingumo funkcija yra nebūtinai kvad-

ratinė. Plačiau apie portfelio optimizavimo uždavinį galima paskaityti Pliska knygoje [1], 2.1–2.3

skyriuose. Kita vertus, CAPM teorija leidžia identifikuoti strategiją H lygtyje (5.8) kaip rinkos

portfelį, kas yra labai svarbu praktiniams šios teorijos taikymams.

5.1 pavyzdys (3.1, 3.4, 4.1 pavyzdžių tęsinys) Tegul P (ω1) = p ∈ (0, 1). Tada bet kokiai

strategijai H = (H0, H1) turime

R(H)(ω1) =(1/9)H0 + (5/3)H1

H0 + 5H1, R(H)(ω2) =

(1/9)H0 − (5/9)H1

H0 + 5H1

ir

ER(H) = p(1/9)H0 + (5/3)H1

H0 + 5H1+ (1 − p)

(1/9)H0 − (5/9)H1

H0 + 5H1

=(1/9)H0 + H1(20p − 5)/9

H0 + 5H1.

Kadangi P ∗(ω1) = P ∗(ω2) = 1/2 yra vienintelis rizikai neutralus matas (žr. 3.4 pavyzdį), tai

kainų tankis

D(ω1) =12p

, D(ω2) =1

2(1 − p).

Akivaizdu, kad ED = 1. Paskaičiuojame

cov(R(H), D) = ER(H)D − ER(H)ED

= p(1/9)H0 + (5/3)H1

H0 + 5H1

12p

+ (1 − p)(1/9)H0 − (5/9)H1

H0 + 5H1

12(1 − p)

− ER(H)

= (1/9) − ER(H) = r − ER(H),

t.y. galioja lygybė (5.7).

Žemiau, H = (H0, H1) = (1, 3). Tada

R(H)(ω1) =19

+ 5

16= 23/72, R(H)(ω2) =

19

− 159

16= −7/72

ir

ER(H) = p(23/72) − (1 − p)(7/72) = (30p − 7)/72.

45

Patikrinkime lygybę (5.1). Primename, kad r = 1/9 ir portfelio H kaina lygi

V0(H) = H0 + 5H1 = 16.

Kadangi A1 grąža

R1(ω1) =203

− 5

5= 1/3, R1(ω2) =

409

− 5

5= −1/9,

tai lygybė (5.1) suvedama į tapatybes

23/72 =116

(1/9) +(3)(5)

16(1/3) (ω = ω1),

−7/72 =116

(1/9) +(3)(5)

16(−1/9) (ω = ω2),

kurios, aišku, yra teisingos.

Raskime strategiją H = (H0, H1), replikuojančią ieškinį

a + bD(ω) =

a + b

2p, jei ω = ω1;

a + b2(1−p)

, jei ω = ω2.

Iš lygybės V1(H) = a + bD(ω) gauname 2 lygtis

V1(H)(ω1) =109

H0 +203

H1 = a +b

2p,

V1(H)(ω2) =109

H0 +409

H1 = a +b

2(1 − p),

kurias išsprendę, randame

H0 =910

(a +

b(5p − 2)2p(1 − p)

), H1 =

920

· b(1 − 2p)2p(1 − p)

.

Todėl

V0(H) = H0 + H1S10 =

910

(a +

b(5p − 2)2p(1 − p)

)+

4520

· b(1 − 2p)2p(1 − p)

=910

(a +

b

4p(1 − p)

).

Toliau apskaičiuojame grąžas:

R(H)(ω1) =4ap(1 − p) + b(11 − 20p)

9(4ap(1 − p) + b), R(H)(ω2) =

4ap(1 − p) + b(20p − 9)9(4ap(1 − p) + b)

.

grąžos vidurkį:

ER(H) = pR(H)(ω1) + (1 − p)R(H)(ω2) =4ap(1 − p) + b(p(11 − 20p) + (1 − p)(20p − 9))

9(4ap(1 − p) + b)

ir dispersiją:

σ2

H= pR2(H)(ω1) + (1 − p)R2(H)(ω2) −

(ER(H)

)2

=400b2(1 − 2p)2p(1 − p)

81(4ap(1 − p) + b)2.

6 skyrius

Kelių periodų finansų rinkos modelis

Pagrindinės sąvokos: suderintosios, numatomosios ir finansavimosi strategijos, sigma algebros ir

scenarijų aibės skaidiniai, arbitražo strategijos.

Kelių (daugelio) periodų finansų rinkos modelis yra plačiai taikomas finansų industrijos prakti-

koje. Jis yra daug realistiškesnis nei vieno periodo modelis. Kelių periodų finansų rinkos modelį

sudaro žemiau išvardintos sudedamosios dalys:

• Laiko momentai t = 0, 1, . . . , T , kuriais vyksta prekyba (galima pirkti ar parduoti VP);

• Baigtinė būsenų arba scenarijų aibė Ω = ω1, . . . , ωm;

• Tikimybinis matas P , apibrėžtas aibėje Ω ir tenkinantis sąlygą P (ω) > 0 kiekvienam ω ∈ Ω;

• Filtracija F = Ft : t = 0, 1, . . . , T . Čia Ft yra aibės Ω poaibių σ-algebra (“informacija iki

momento t); pradiniu momentu t = 0 ji yra triviali F0 = Ω, ∅, o laikui bėgant gali tik

didėti:

Ft ⊂ Ft+1 (t = 0, 1, . . . , T − 1),

didžiausia σ-algebra FT = F sudaryta iš visų galimų aibės Ω poaibių;

• Nerizikingos investicijos (banko sąskaitos) kainų procesas S0t = (1 + r)t (t = 0, 1, . . . , T ).

Čia r = (S0t − S0

t−1)/St−1 ≥ 0 – nerizikingų palūkanų norma. Šiame konspekte r yra

neatsitiktinė ir laikui bėgant nekinta;

• Rizikingų aktyvų kainų procesai Si = Sit, t = 0, 1, . . . , T , i = 1, . . . , d. Kitaip tariant,

Sit ≥ 0 yra i-ojo aktyvo Ai vienos akcijos kaina momentu t. Bet kuriam i = 1, . . . , d, kaina

Sit yra Ft-matus atsitiktinis dydis (žymėsime Si

t ∼ Ft).

Paskutinioji sąlyga reiškia, kad VP kainos momentu t priklauso tik nuo informacijos, turimos laiko

momentais 0, 1, . . . , t. Jos prasmę iliustruoja toks pavyzdys.

47

48 6 skyrius. Kelių periodų finansų rinkos modelis

+ + + ω1

+ + – ω2

+ – + ω3

+ – – ω4

– + + ω5

– + – ω6

– – + ω7

– – + ω8

+ + + ω1

+ + – ω2

+ – + ω3

+ – – ω4

– + + ω5

– + – ω6

– – + ω7

– – + ω8

+ + + ω1

+ + – ω2

+ – + ω3

+ – – ω4

– + + ω5

– + – ω6

– – + ω7

– – + ω8

+ + + ω1

+ + – ω2

+ – + ω3

+ – – ω4

– + + ω5

– + – ω6

– – + ω7

– – + ω8

F0 F1 F2 F3

9 pav. Aibės Ω padalijimai ir jų generuotos σ-algebros Ft, t = 0, 1, 2, 3.

6.1 pavyzdys Panagrinėkime T = 3 periodų rinkos modelį, kai kiekvienu laiko momentu

galimi tik 2 scenarijai: “kilimas” (+) arba “kritimas” (−). Tada kiekvienas ω ∈ Ω atitinka

tam tikrą “kilimų–kritimų” istoriją:

ω =(ω(1), ω(2), ω(3)

), ω(t) = ± (t = 1, 2, 3).

Aišku, kad visų galimų būsenų aibė Ω šiame pavyzdyje yra sudaryta iš m = 23 = 8 elementų.

Šiuos elementus galima sunumeruoti ω1, . . . , ω8 taip, kaip parodyta 5.1 paveiksle. Sigma-

algebros Ft, t = 0, 1, 2, 3 atitinka aibės Ω padalijimus: F0 atitinka trivialų padalijimą, F1 –

padalijimą į 2 aibes:

Ω =

ω =(ω(1), ω(2), ω(3)

): ω(1) = +

⋃ω =

(ω(1), ω(2), ω(3)

): ω(1) = −

,

F2 – padalijimą į 4 aibes:

Ω =

ω : ω(1) = +, ω(2) = +⋃

ω : ω(1) = +, ω(2) = −

⋃ω : ω(1) = −, ω(2) = +

⋃ω : ω(1) = −, ω(2) = −

,

pagaliau, F3 = F atitinka patį smulkiausią aibės Ω padalijimą į 8 savo elementus (žr. 9 pa-

veikslą).

Matome, kad aibės Ω trivialus padalijimas (pirmasis stulpelis) atitinka “istoriją” momentu t = 0,

kai apie ω nieko nežinome, padalijimas į 2 dalis (antrasis stulpelis) atitinka “istoriją”, kai yra

žinoma tik pirmoji ω koordinatė ω(1), padalijimas į 4 dalis (trečiasis stulpelis) – “istoriją”, kai

yra žinomos pirmoji ir antroji ω koordinatės ω(1), ω(2), pagaliau, padalijimas į visus elementus

(paskutinysis stulpelis) – “istoriją”, kai yra žinomos visos trys ω koordinatės ω(1), ω(2), ω(3). Sąlyga

Si0 ∼ F0 reiškia, kad Si

0(ω) nepriklauso nuo ω ∈ Ω (yra neatsitiktinis dydis). Sąlyga Si1 ∼

F1 reiškia, kad Si1(ω) priklauso tik nuo pirmosios koordinatės ω(1) ir tuo pačiu yra pastovus

49

ω8−

ω7+

−

ω6−

ω5+

+

−

ω4−

ω3+

−

ω2−

ω1+

+

+

10 pav. Informacinis medis

abiejose padalijimo aibėse, pavaizduotose 9 paveikslo antrajame stulpelyje. Panašiai, Si2 ∼ F2

reiškia, kad Si2(ω) priklauso tik nuo pirmųjų dviejų ω koordinačių ir yra pastovus padalijimo

aibėse, pavaizduotose 9 paveikslo trečiajame stulpelyje.

Kitas populiarus grafinis būdas iliustruoti padalijimus ir “istoriją” yra vadinamasis informacinis

medis, pavaizduotas 10 paveiksle.

6.2 pavyzdys (6.1 pavyzdžio tęsinys). Tegul

X(ω) =

6, jei ω = ω1, ω2, ω3, ω4;

8, jei ω = ω5, ω6, ω7, ω8;Y (ω) =

1, jei ω = ω1, ω3, ω5, ω7;

0, jei ω = ω2, ω4, ω6, ω8.

Tada X ∼ F1 (X yra matus F1 atžvilgiu), o Y 6∼ F1 (Y nėra matus F1 atžvilgiu).

6.1 apibrėžimas Atsitiktinė seka ht, t = 0, 1, . . . , T vadinama suderinta su filtracija F, arba

tiesiog suderintąja, jei ht ∼ Ft su visais t = 0, 1, . . . , T .

6.2 apibrėžimas Atsitiktinė seka ht, t = 1, . . . , T vadinama F-numatoma arba tiesiog numa-

tomąja, jei ht ∼ Ft−1 su visais t = 1, . . . , T .

6.3 apibrėžimas (Investavimo) strategija arba portfeliu vadinsime (d+1)-matį atsitiktinį procesa

H =

Ht = (H0t , H1

t , . . . , Hdt ), t = 1, . . . , T

.

Čia Hit yra VP Ai akcijų kiekis portfelyje tarp laiko momentų t−1 ir t, ir gali įgyti bet kokias realias

reikšmes. Reikalausime, kad kiekvienam i = 0, 1, . . . , d, atsitiktinė seka Hi = Hit , t = 1, . . . , T

būtų numatomoji, t.y.

Hit ∼ Ft−1, t = 1, . . . , T. (6.1)


Atkreipkime dėmesį, kad Ht = (H0t , H1

t , . . . , Hdt ) yra portfelis, kurį investuotojas turi laikotarpiu

tarp t−1 ir t laiko momentų. Todėl, sudarant šį portfelį, investuotojas gali naudotis tik informacija

(apie kainas ir pan.) iki momento t − 1 imtinai. Matematiškai šis reikalavimas reiškia portfelio

proceso numatomumą, arba (6.1). Momentu t tampa žinomos kainos Sit (i = 0, 1, . . . , d) ir portfelis

Ht gali būti performuotas į naują portfelį Ht+1, kurį investuotojas naudos tarp t ir t + 1 laiko

momentų, ir t.t. Portfelio Ht performavimas į Ht+1 reiškia, kad turimi VP kiekiai Hit , i = 0, 1, . . . , d

keičiami naujais Hit+1, i = 0, 1, . . . , d, perkant arba parduodant VP.

6.4 apibrėžimas Portfelio H verte momentu t vadinsime sumą

Vt(H) =

∑di=0 Hi

tSit ≡ 〈Ht, St〉, jei t = 1, 2, . . . , T ;

∑di=0 Hi

1Si0 ≡ 〈H1, S0〉, jei t = 0.

Diskontuota portfelio H verte momentu t vadinsime dydį

Vt(H) =Vt(H)

(1 + r)t=

〈Ht, St〉, t = 1, . . . , T ;

〈H1, S0〉, jei t = 0.

čia St = (S0t , S1

t , . . . , Sdt ) – diskontuotas kainų procesas:

S0t = 1, Si

t = Sit/(1 + r)t (i = 1, . . . , d).

6.5 apibrėžimas Strategija H vadinsime savifinansuojančiąja (self-financing), jei su visais t =

1, . . . , T −1 portfelio vertė prieš prekybą momentu t yra lygi portfelio vertei po prekybos momentu

t, kitaip tariant, jei 〈Ht, St〉 = 〈Ht+1, St〉, arba

d∑

i=0

Hit Si

t =d∑

i=0

Hit+1Si

t . (6.2)

6.1 pastaba Lengva matyti, kad sąlyga (6.2) ekvivalenti tokiai sąlygai: su visais t = 1, . . . , T − 1,

Vt+1(H) − Vt(H) =d∑

i=i

Hit+1(Si

t+1 − Sit) = 〈Ht+1, St+1 − St〉, (6.3)

reiškiančiai, kad portelio verčių pokytis Vt+1(H) − Vt(H), atsirandantis dėl prekybos momentu

t, gaunamas išimtinai dėl kainų pokyčio St+1 − St: investuotojas momentu t neinvestuoja naujų

lėšų ir neišima lėšų iš apyvartos, tik pakeičia vienus VP kitais VP taip, kad bendra portfelio vertė

nepasikeičia.

6.3 pavyzdys Tegul T = 3, d = 1, r = 0, 1, o būsenų aibė Ω su m = 8 turi tą pačią strukturą

kaip 10 paveiksle. 11 paveiksle pavaizduotas kainų medis, kurio mazguose pažymėtos rizikingo

VP kainos S1t (ω), t = 0, 1, 2, 3.

51

15

10

50

−

10+

−

1510

−

20+

+

−

20

1510

−

20+

−

2520

−

30+

+

+

11 pav. 6.3 pavyzdžio kainų medis

Tegul strategija investavimo periodui 0 → 1 yra H1 = (10, 5). Tada portfelio vertė momentu

t = 0 yra lygi

V0(H1) = (10)(1) + (5)(15) = 85,

o momentu t = 1 –

V1(H1)(ω) =

(10)(1, 1) + (5)(20) = 111, jei ω(1) = +;

(10)(1, 1) + (5)(10) = 61, jei ω(1) = −.

Momentu t = 1 turimą portfelį H1 = (10, 5) investuotojas gali performuoti į naują portfelį

H2 = (H02(ω), H1

2 (ω)) investavimo periodui 1 → 2. Aišku, kad tai galima atlikti įvairiai.

Sakykime, kad akcijos kilimo atveju investuotojas padidina A1 akcijų kiekį iki 6, o kritimo

atveju sumažina iki 4. Kitaip tariant,

H12 (ω) =

6, jei ω(1) = +;

4, jei ω(1) = −.

Jei jis naujame portfelyje nerizikingų akcijų skaičiaus H01 = 10 nepakeistų, tai gautoji strate-

gija laikotarpiui 1 → 2 nebūtų savifinansuojančioji. Tam, kad taip neatsitiktų, pirmuoju (A1

akcijos kilimo) atveju reikia dalį turimų A0 parduoti, o antruoju (A1 akcijos kritimo) atveju

– papildomai A0 nupirkti. Lengva matyti, kad savifinansavimo sąlyga momentu t = 1 bus

išpildyta, jei

V1(H1)(ω) = 111 = H02 (ω)(1, 1) + (6)(20) = V1(H2)(ω), (ω(1) = +),

V1(H1)(ω) = 61 = H02 (ω)(1, 1) + (4)(10) = V1(H2)(ω), (ω(1) = −).

Iš čia randame, kad

H02 (ω) =

(111 − 120)/(1, 1) = − 90

11, jei ω(1) = +;

(61 − 40)/(1, 1) = 21011

, jei ω(1) = −.


Gautoji strategija periodui 1 → 2 atrodo taip:

H2(ω) = (H02 (ω), H1

2 (ω)) =

(− 90

11, 6)

, jei ω(1) = +;(

21011

, 4)

, jei ω(1) = −.

Panašiai, galima sukonstruoti savifinansuojančiąją strategiją H3 periodui 2 → 3.

Įrodysime keletą paprastų faktų apie savifinansuojančiąsias strategijas.

6.1 teiginys Šie teiginiai yra ekvivalentūs:

(a) H – savifinansuojančioji strategija;

(b) su visais t = 1, . . . , T Vt(H) = V0(H) +∑t

u=1〈Hu, ∆Su〉;

(c) su visais t = 1, . . . , T Vt(H) = V0(H) +∑t

u=1〈Hu, ∆Su〉.

Čia ∆Su = Su − Su−1, ∆Su = Su − Su−1 (u = 1, . . . , T ).

Įrodymas. (a) ⇒ (b). Iš (6.3) lygybių su t = 1, 2, . . . gauname

V1(H) − V0(H) = 〈H1, ∆S1〉,

V2(H) − V1(H) = 〈H2, ∆S2〉,

. . .

Vt(H) − Vt−1(H) = 〈Ht, ∆St〉.

Sudėję šias lygybes, gauname (b).

(b) ⇒ (a). Iš (b) gauname, kad su visais t = 1, . . . , T

Vt(H) = V0(H) +t∑

u=1

〈Hu, ∆Su〉 = Vt−1(H) + 〈Ht, ∆St〉,

kitaip tariant, H yra savifinansuojančioji strategija.

(a) ⇔ (c). Lygybė (6.2) ekvivalenti tokiai:

〈Ht, St〉 = 〈Ht+1, St〉.

Todėl

Vt+1(H) − Vt(H) = 〈Ht+1, St+1〉 − 〈Ht, St〉

= 〈Ht+1, St+1 − St〉 = 〈Ht+1, ∆St+1〉

t.y. analogiška sąlyga (6.3) galioja diskontuotoms vertėms. Likusi įrodymo dalis yra visai analo-

giška ekvivalentumo (a) ⇔ (b) įrodymui.

Savifinansavimosi sąlyga (6.2) yra papildomas reikalavimas strategijai, kuris bus išpildytas, jei

bet kokiems H1t , . . . , Hd

t atitinkamai parinksime H0t , panašiai, kaip buvo daryta 6.2 pavyzdyje.

53

6.2 teiginys Bet kuriai numatomai sekai (H1t , . . . , Hd

t ), t = 1, . . . , T ir bet kokiam skaičiui V0

egzistuoja vienintelė savifinansuojančioji strategija H = Ht, t = 1, . . . , T , tokia, kad Ht =

(H0t , H1

t , . . . , Hdt ) ir pradinė vertė V0(H) = V0.

Įrodymas. Apibrėžkime H0t lygybe

H0t = V0 +

t∑

s=1

(H1

s ∆S1s + · · · + Hd

s ∆Sds

)−(

H1t S1

t + · · · + Hdt Sd

t

),

t = 1, . . . , T . Taip apibrėžtas procesas yra numatomas, kadangi

H0t = V0 +

t−1∑

s=1

(H1

s ∆S1s + · · · + Hd

s ∆Sds

)

+ H1t (S1

t − S1t−1) + · · · + Hd

t (Sdt − Sd

t−1) −(

H1t S1

t + · · · + Hdt Sd

t

)

= V0 +t−1∑

s=1

(H1

s ∆S1s + · · · + Hd

s ∆Sds

)

︸︷︷︸∼Ft−1

−(

H1t S1

t−1 + · · · + Hdt Sd

t−1

)

︸︷︷︸∼Ft−1

∼ Ft−1.

Kita vertus, kadangi S0t = 1, ∆S0

t = 0 ir kiekvienai savifinansuojančiajai strategijai galioja lygybė

(žr. 6.1(c) teiginį):

Vt(H) = H0t + H1

t S1t + · · · + Hd

t Sdt

= V0(H) +t∑

s=1

(H1

s ∆S1s + · · · + Hd

s ∆Sds

),

tai, išsprendę iš šios lygties H0t , gauname, kad Ht = (H0

t , H1t , . . . , Hd

t ) yra vienintelė savifinansuo-

jančioji strategija, tenkinanti teiginio sąlygas.

6.6 apibrėžimas Strategija H = Ht, t = 1, . . . , T vadinama arbitražo strategija (arba arbitražo

galimybe), jei patenkintos keturios žemiau išvardintos sąlygos:

(a) V0(H) = 0;

(b) VT (H)(ω) ≥ 0 visiems ω ∈ Ω;

(c) P (VT (H) > 0) > 0;

(d) H yra savifinansuojančioji strategija.

Pastebėsime, kad atveju T = 1 šis apibrėžimas tiksliai sutampa su 3.10 apibrėžimu vieno periodo

rinkos modelyje (sąlyga (d) turi prasmę, tik kai T ≥ 2). Taip pat pastebėkime, kad sąlygose (b)

ir (c) VT (H) galima pakeisti diskontuota verte VT (H) = VT (H)/(1 + r)T – nuo tokio pakeitimo

nelygybės nesikeičia. Taip pat kaip ir vieno periodo rinkoje, arbitražo strategijos egzistavimas

(arbitražo galimybė) nesuderinama su rinkos pusiausvyra. Sekančiame skyriuje aiškinsimės, ko-

kias sąlygas turi tenkinti kelių periodų finansų rinkos modelis, kad rinka būtų nearbitražinė, t.y.

neegzistuotų arbitražo galimybė.


5

4

3, ω4

−

6, ω3

+

−

8

6, ω2

−

9, ω1

+

+

t = 0 t = 1 t = 2

12 pav. Medžio viršūnėse pavaizduotos S1t kainos (žr. 6.4 pvz.)

6.4 pavyzdys Tegul T = 2, d = 1 ir būsenų aibė Ω su m = 4 turi struktūrą, pavaizduotą

12 paveiksle. Šio paveikslo mazguose pažymėtos rizikingo VP kainos S1t (ω), t = 0, 1, 2.

Jei r = 0, tai šiame pavyzdyje arbitražo galimybės nėra. Iš tiesų, tokiu atveju investuota į A0

vertė laikui bėgant nesikeis, o investuota į A1 vertė gali tiek padidėti, tiek sumažėti. Kitaip

tariant, jei investuotojas užima bet kokią rizikingo aktyvo poziciją, tai jis gali ir pralošti, ir

išlošti.

Kita vertus, tegul r ≥ 12, 5% > 0. Panagrinėkime atvejį, kai H01 = H1

1 = 0 (t.y. pradiniu

momentu t = 0 nieko neinvestuojama nei į A0, nei į A1), ir lygiai taip pat nieko nedaroma,

kai t = 1 ir S11 = 4. Kitaip tariant, H0

2 (ω) = H12 (ω) = 0 jei ω(1) = − arba ω = ω3, ω4. Tačiau,

jei S11 = 8, investuotojas trumpai parduoda vieną rizikingą akciją ir gautą sumą 8 nerizikingai

investuoja už palūkanas r. Ši strategija formaliai užrašoma taip:

H02 (ω) =

81 + r

, H12 (ω) = −1 (ω = ω1, ω2).

Atitinkamo portfelio vertė momentu t = 2 yra lygi

V2(H)(ω) =

(1 + r)2H02 (ω) + (9)H1

2 (ω) = 8(1 + r) − 9, jei ω = ω1;

(1 + r)2H02 (ω) + (6)H1

2 (ω) = 8(1 + r) − 6, jei ω = ω2;

0, jei ω = ω3, ω4.

Gautoji strategija yra arbitražinė, jei 1 + r ≥ 9/8 = 1, 125.

šis pavyzdys neturėtų stebinti skaitytojo. Lengva pastebėti, kad ir vieno periodo rinkos mode-

lyje arbitražas visada egzistuos, jei maksimali diskontuota bent vieno aktyvo kaina investicinio

periodo gale bus mažesnė už aktyvo kainą pradiniu momentu t = 0. Aišku, kad taip visada

atsitiks, jei diskonto norma r bus pakankamai didelė.

7 skyrius

Martingalai ir nearbitražinė rinka

7.1 Martingalai

Panašiai kaip vieno periodo atveju, kelių periodų rinka yra nearbitražinė tada ir tada, jei egzis-

tuoja rizikai neutralus matas, tačiau tokio mato apibrėžimas yra šiek tiek sudėtingesnis ir naudoja

martingalo sąvoką. Martingalai yra labai svarbi atsitiktinių procesų klasė, tenkinanti tam tikrą

centravimo sąlygą. Martingalo sąvokos supratimui reikia žinoti, kas yra atsitiktinio dydžio X są-

lyginis vidurkis E[X |G] σ-algebros G atžvilgiu. Kai būsenų aibė Ω yra baigtinė, sąlyginis vidurkis

E[X |G] yra išreiškiamas per elementarias sąlygines tikimybes, ir minėtoji sąvoka nereikalauja pa-

pildomų žinių. Sąlyginio vidurkio apibrėžimą ir pagrindines savybes galima rasti daugelyje knygų

ir vadovelių (tarp jų ir Leipaus knygelėje [5]).

Žemiau tarsime, kad atsitiktinių būsenų aibė Ω yra baigtinė, joje apibrėžtas tikimybinis matas

P ir filtracija F = Ft, t = 0, 1, . . . , T tenkina 6 skyrelio pradžioje suformuluotus reikalavimus.

Taip pat reikia prisiminti 6.1 ir 6.2 apibrėžimus – kas yra suderintoji ir numatomoji seka arba

procesas.

7.1 apibrėžimas Suderintoji seka Mt, t = 0, 1, . . . , T vadinama

(a) martingalu, jei su visais t = 1, . . . , T

E[Mt|Ft−1] = Mt−1; (7.1)

(b) submartingalu, jei su visais t = 1, . . . , T

E[Mt|Ft−1] ≥ Mt−1;

(c) supermartingalu, jei su visais t = 1, . . . , T

E[Mt|Ft−1] ≤ Mt−1.

55

56 7 skyrius. Martingalai ir nearbitražinė rinka

15

10

5

0, ω81/2

10, ω71/21/2

15

10, ω6

1/2

20, ω51/2

1/21/2

20

15

10, ω4

1/2

20, ω31/21/2

25

20, ω2

1/2

30, ω11/2

1/2

1/2

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

13 pav. S1t kainos pavaizduotos medžio viršūnėse, o ant briaunų – perėjimo tikimybės. (žr. 7.1

pvz.)

7.1 pavyzdys (6.1 pavyzdžio tęsinys). Tegul Ω = ω1, . . . , ω8 – ta pati kaip 6.1 ir 6.2

pavyzdžiuose ir P (ω) = 1/8 su visais ω ∈ Ω. Tegul

Mt = S1t , t = 0, 1, 3, 4, (7.2)

kaip parodyta 13 paveiksle. Judėdami iš kairės į dešinę, šiame paveiksle matome, kaip laikui

bėgant keičiasi Mt, o skaičiai ant grafo briaunų yra perėjimo tikimybės, kurios šiuo atveju

yra visos vienodos ir lygios 1/2. Lengva matyti, kad Mt yra martingalas: ties kiekvienu

išsišakojimu galioja lygybė (7.1): Mt reikšmė yra aritmetinis vidurkis 2 artimiausių reikšmių

į dešinę nuo išsišakojimo mazgo. Lengva matyti, kad jei nors viena perėjimo tikimybė 13

paveiksle skirtųsi nuo 1/2, tai procesas Mt (7.2) nebebūtų martingalas.

7.2 pavyzdys Šiame pavyzdyje viskas tas pats, kaip ir 7.1 pavyzdyje, išskyrus tai, kad anks-

tesniame pavyzdyje buvusios perėjimo tikimybės 1/2 dabar pakeistos į tikimybes 0 < pi, qi <

1, pi + qi = 1 (i = 1, . . . , 7) (žr. 14 paveikslą). Pastebėkime, kad šios tikimybės vienareikš-

miškai nusako tikimybes P (ω), pvz. P (ω1) = p1p2p4, P (ω4) = p1q2q5, ir t.t. Panagrinėkime

tris situacijas:

(a) pi ≥ 1/2 su visais i = 1, . . . , 7 (kitaip tariant, kainos didėjimo tikimybė visada nemažesnė

7.1. MARTINGALAI 57

15

10

5

0, ω8

q7

10, ω7p7q3

15

10, ω6

q6

20, ω5p6

p3q1

20

15

10, ω4

q5

20, ω3p5q2

25

20, ω2

q4

30, ω1p4

p2

p1

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

14 pav. S1t kainos pavaizduotos medžio viršūnėse, o ant briaunų – perėjimo tikimybės pi, qi,

i = 1, . . . , 7. (žr. 7.2 pvz.)

už kainos mažėjimo tikimybę). Tada procesas Mt (7.2) yra submartingalas.

(b) pi ≤ 1/2 su visais i = 1, . . . , 7 (kitaip tariant, kainos didėjimo tikimybė visada nedidesnė

už mažėjimo tikimybę). Tada procesas Mt (7.2) yra supermartingalas.

(c) (nei (a), nei (b)): egzistuoja 1 ≤ i 6= j ≤ 7 tokie, kad pi > qi, pj < qj . Tada procesas Mt

(7.2) nėra nei submartingalas, nei supermartingalas.

Daugiamačio proceso atveju, martingalo, supermartingalo, submartingalo, suderintosios sekos,

numatomosios sekos sąvokos natūraliai suprantamos pakomponenčiui.

7.1 teiginys Tarkime, Mt, t = 0, 1, . . . , T yra martingalas ir ht, t = 0, 1, . . . , T – numatomoji

seka. Tada seka Xt, t = 0, 1, . . . , T , apibrėžta lygybe

Xt =

h0M0, jei t = 0;

h0M0 +∑t

s=1 hs∆Ms, jei t = 1, . . . , T .

yra martingalas.

7.1 pastaba Procesas Xt vadinamas martingaline transformacija. Jei ht ≡ 1 ∀t = 0, 1, . . . , T ,

tai Xt = Mt. Primename, kad ∆Mt = Mt − Mt−1.


Įrodymas. Akivaizdu, kad teiginyje apibrėžtas procesas Xt yra suderintas. Be to, kadangi

ht+1 ∼ Ft, iš sąlyginio vidurkio savybių gauname, kad

E [Xt+1 − Xt|Ft] = E [ht+1(Mt+1 − Mt)|Ft]

= ht+1E [Mt+1 − Mt|Ft] = 0,

arba E [Xt+1|Ft] = Xt.

7.2 teiginys Seka Mt, t = 0, 1, . . . , T yra martingalas tada ir tik tada, kai su bet kuria

numatomąja seka ht, t = 1, . . . , T

E

[T∑

s=1

hs∆Ms

]= 0. (7.3)

Įrodymas. Tegul Mt, t = 0, 1, . . . , T yra martingalas. Tada (7.3) išplaukia iš 7.1 teiginio, pasi-

naudojus tuo faktu, kad EXT = EX0 kiekvienam martingalui Xt, arba tiesiogiai pasinaudojus

sąlyginio vidurkio savybėmis, kaip buvo daryta 7.1 teiginio įrodyme.

Atvirkščiai, tegul (7.3) lygybė yra teisinga kiekvienai numatomąjai sekai ht. Pasirinkime bet

kokius t = 1, . . . , T ir atsitiktinį dydį h ∼ Ft−1 ir apibrėžkime seką hs, s = 1, . . . , T lygybe

hs =

h, jei s = t;

0, kitais atvejais.

Tada hs – numatomoji seka. Be to,

0 = E

[T∑

s=1

hs∆Ms

]= E[h(Mt − Mt−1)],

kitaip tariant, E[hMt] = E[hMt−1]. Kadangi Mt−1 ∼ Ft−1 ir gautoji lygybė galioja bet kokiam

h ∼ Ft−1, tai iš sąlyginio vidurkio savybių išplaukia, kad

E[Mt|Ft−1] = Mt−1, t = 1, . . . , T,

t.y. seka Mt yra martingalas.

7.2 Rizikai neutralūs matai ir nearbitražinė rinka

Grįžkime prie T periodų finansų rinkos modelio, apibrėžto 6 skyriaus pradžioje. Priminsime, kad šį

modelį sudaro baigtinė būsenų aibė Ω, tikimybinis matas P , tenkinantis sąlygą P (ω) > 0 (∀ω ∈ Ω),

filtracija F ir kainų procesas St = (S0t , S1

t , . . . , Sdt ), t = 0, 1, . . . , T , suderintas su šia filtracija.

7.2 apibrėžimas Rizikai neutraliu matu T periodų modelyje vadinsime bet kokį tikimybinį matą

P ∗ aibėje Ω, tenkinantį sąlygas (a) ir (b):

7.2. RIZIKAI NEUTRALŪS MATAI IR NEARBITRAŽINĖ RINKA 59

(a) diskontuotas kainų procesas St = (S0t , S1

t , . . . , Sdt ), t = 0, 1, . . . , T yra martingalas

P ∗ atžvilgiu;

(b) P ∗(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω).

7.2 pastaba Vieno periodo T = 1 rinkos atveju 7.2 apibrėžimas sutampa su 3.11 apibrėžimu. Iš

tikrųjų, sąlyga (a) šiuo atveju reiškia, kad E∗[Si1|F0] = Si

0 (i = 0, 1, . . . , d) (žr. 7.1 apibrėžimą).

Ši sąlyga sutampa su 3.11 apibrėžimo (a) sąlyga, nes F0 yra triviali, o Si1 − Si

0 = ∆Si.

7.3 pastaba Matas P ∗ 7.2 apibrėžime dar vadinamas ekvivalenčiuoju martingaliniu matu. Žodis

“martingalinis” čia siejamas su (a) sąlyga, o “ekvivalentusis” – su (b) sąlyga. Priminsime, kad

du tikimybiniai matai P ir Q vadinami ekvivalenčiais, jei bet kokiai mačiai aibei A ⊂ Ω, P (A) =

0 ⇔ Q(A) = 0. Kadangi mūsų atveju aibė Ω yra baigtinė ir P (ω) > 0 (∀ω ∈ Ω), tai (b) sąlyga ir

reiškia, kad matai P ∗ ir P yra ekvivalentūs.

7.4 pastaba 7.2 apibrėžimo (a) sąlygą galima pakeisti tokia jai ekvivalenčia sąlyga:

(a’) Kiekvienai savifinansuojančiai strategijai H = Ht, t = 1, . . . , T , diskontuotų verčių seka

Vt(H), t = 0, 1, . . . , T yra martingalas mato P ∗ atžvilgiu.

Iš tikrųjų, (a) sąlyga seka iš (a’) sąlygos, trivialiai paėmus Ht = (0, . . . , 0︸︷︷︸i

, 1, 0, . . . , 0), t = 1, 2, . . . , T ,

i = 1, . . . , d. Sąlyga (a’) seka iš (a) pasinaudojus 6.1(c) ir 7.1 teiginiais.

Pagrindinis šio skyrelio (o galbūt, ir viso kurso) rezultatas yra 7.1 teorema, apibendrinanti 3.2

teoremą vieno periodo rinkos atveju.

7.1 teorema T periodų rinka yra nearbitražinė tada ir tik tada, kai egzistuoja rizikai neutralus

matas P ∗.

Įrodymas. Pakankamumas. Tegul rizikai neutralus matas P ∗ egzistuoja. Tegul H = Ht, t =

1, . . . , T – bet kokia savifinansuojančioji strategija, tenkinanti sąlyga V0(H) = 0. Jos diskontuota

vertė momentu T lygi (žr. 6.1 teiginį)

VT (H) =T∑

t=1

〈Ht, ∆St〉.

Kadangi procesas St, t = 0, 1, . . . , T yra martingalas mato P ∗ atžvilgiu, iš 7.2 teiginio išplaukia,

kad

E∗VT (H) = E∗[

T∑

t=1

〈Ht, ∆St〉]

= 0.

Kita vertus, jei H arbitražinė strategija, tai

E∗VT (H) =∑

ω∈Ω

VT (H)(ω)P ∗(ω) > 0


nes VT (H)(ω) ≥ 0, P ∗(ω) > 0 ∀ω ∈ Ω ir VT (H)(ω) > 0 bent vienam ω ∈ Ω. Gautas prieštara-

vimas įrodo, kad prielaida apie arbitražinės strategijos egzistavimą yra neteisinga, t.y. rinka yra

nearbitražinė.

Būtinumas. Tegul rinka nearbitražinė, parodysime, kad rizikai neutralus matas P ∗ egzistuoja.

Įrodymas panašus į 3.2 teoremos būtinumo įrodymą. Nagrinėjame visų atsitiktinių dydžių X :

Ω → R aibę, izomorfišką erdvei Rm, žr. (3.13), ir šios erdvės iškilą, aprėžtą ir uždarą poaibį B

(3.15):

B =

X : Ω → R : X(ω) ≥ 0,

∑

ω∈Ω

X(ω) = 1

.

Tegul L ⊂ Rm – tiesinis poerdvis, kurį sudaro savifinansuojančių strategijų H su V0(H) = 0

diskontuotos vertės momentu T :

L =

X : Ω → R : X(ω) = VT (H)(ω) =

T∑

t=1

d∑

i=1

Hit ∆Si

t(ω),

H = H1, . . . , HT − savifinansuojančioji strategija, V0(H) = 0

. (7.4)

(Atkreipkime dėmesį, kad L apibrėžime pasinaudojome diskontuotos vertės išraiška iš 6.1(c) tei-

ginio.) Lygiai taip pat kaip ir 3.2 teoremos įrodyme, prielaida apie arbitražo negalimumą yra

ekvivalenti lygybei

B ∩ L = ∅. (7.5)

Tolesnis įrodymas analogiškas 3.2 teoremos įrodymui: pasinaudojus 3.3 teorema, iš B, L apibrėžimo

ir (7.5) išplaukia, kad egzistuoja toks tiesinis funkcionalas λ : Rm → R, kuriam galioja (3.17) ir

(3.18) (su naujai apibrėžtu L (7.4)). Apibrėžę tikimybinį matą P ∗ lygybe (3.19), įsitikiname, kad

jis tenkina 7.2 apibrėžimo (b) sąlygą, o lygybė (3.20) mūsų nagrinėjamu atveju virsta lygybe

E∗[

T∑

t=1

d∑

i=1

Hit∆Si

t

]= E∗

[T∑

t=1

〈Ht, ∆St〉]

= 0,

kuri yra ekvivalentiška teiginiui, kad diskontuotų kainų procesas St, t = 0, 1, . . . , T yra martin-

galas mato P ∗ atžvilgiu (žr. 7.2 teiginį). Tuo pačiu, parodėme, kad rizikai neutralus matas P ∗

egzistuoja.

7.3 Finansinių ieškinių vertinimas. Pilnoji rinka

Panašiai kaip ir 3 skyriuje, finansiniu ieškiniu (contingent claim), arba tiesiog ieškiniu, T periodų

modelyje vadinsime bet kokį atsitiktinį dydį X = X(ω). (Pagal atsitiktinio dydžio apibrėžimą,

jis turi būti matus σ-algebros FT = F atžvilgiu.) Paprastai, X(ω) suprantamas kaip kažkokio

sandorio išmoka (pelnas) momentu T būsenoje ω. Kartais toks pelnas gali būti nuostolis, todėl

7.3. FINANSINIŲ IEŠKINIŲ VERTINIMAS. PILNOJI RINKA 61

apskritai X(ω) gali įgyti ir neigiamas reikšmes tam tikroms ω. Kai kurie autoriai apsiriboja

neneigiamomis išmokoms ir finansiniais ieškiniais vadina atsitiktinius dydžius X(ω) ≥ 0. Šiame

kurse manysime, kad finansinis ieškinys X gali įgyti bet kokias realias reikšmes.

7.3 apibrėžimas Ieškinys X vadinamas pasiekiamu (attainable), jei egzistuoja savifinansuojančio-

ji strategija H = H1, . . . , HT , tokia, kad X(ω) = VT (H)(ω) (∀ω ∈ Ω). Tokią strategiją H toliau

vadinsime ieškinį X replikuojančia arba apdraudžiančiąja (hedžingo) strategija (angl. replicating

or hedging strategy).

7.4 apibrėžimas Tegul P ∗ – rizikai neutralus matas. Pasiekiamo ieškinio X teisingąja verte V Xt

momentu t = 0, 1, . . . , T vadinsime dydį

V Xt = (1 + r)tE∗[X |Ft] =

E∗[X |Ft](1 + r)T −t

. (7.6)

7.3 teiginys Pasiekiamo ieškinio teisingoji vertė V Xt (7.6) nearbitražinėje rinkoje nepriklauso nuo

rizikai neutralaus mato P ∗ pasirinkimo.

Įrodymas. Tegul P ∗1 , P ∗

2 – du rizikai neutralūs matai, V X1t , V X

2t – juos atitinkančios teisingosios

vertės (7.6). Tegul H – ieškinį X replikuojanti strategija. Kadangi Vt(H), t = 0, 1, . . . , T yra

martingalas abieju matų P ∗1 ir P ∗

2 atžvilgiu, tai

V X1t = (1 + r)tE∗

1

[VT (H)

∣∣∣Ft

]= (1 + r)tVt(H) = (1 + r)tE∗

2

[VT (H)

∣∣∣Ft

]= V X

2t .

Kitaip tariant, V Xt nepriklauso nuo P ∗ pasirinkimo, jei tokių matų P ∗ yra ne vienas.

7.5 apibrėžimas T periodų finansų rinką vadinsime pilnąja (complete), jei kiekvienas ieškinys

yra pasiekiamas.

Aukščiau pateikti apibrėžimai yra visai analogiški atitinkamiems apibrėžimams vieno periodo

modelio atveju. Žemiau suformuluota teorema yra 4.2 teoremos apibendrinimas T periodų rinkai.

7.2 teorema Nearbitražinė rinka yra pilnoji tada ir tik tada, jei rizikai neutralus matas P ∗ yra

vienintelis.

Įrodymas. Tegul rinka pilnoji, P ∗1 , P ∗

2 – du skirtingi rizikai neutralūs matai. Parodysime, kad tokia

prielaida veda į prieštarą.

Iš tikrųjų, kadangi kiekvienas ieškinys X yra pasiekiamas, iš 7.3 teiginio išplaukia, kad teisingoji

vertė V X0 nepriklauso nuo P ∗

i , i = 1, 2, kitaip tariant,

E∗1 X = V X

0 = E∗2 X, (7.7)

ir ši lygybė galioja bet kokiam atsitiktiniam dydžiui X . Kita vertus, kadangi P ∗1 6= P ∗

2 , tai

egzistuoja ω′ ∈ Ω toks, kad P ∗1 (ω′) 6= P ∗

2 (ω′). Apibrėžkime atsitiktinį dydį X ′ lygybe

X ′(ω) =

(1 + r)T , jei ω = ω′;

0, kitais atvejais.


Visai kaip 4.2 teoremos įrodyme patikriname, kad tai prieštarauja (7.7):

E∗1 X ′ = E∗

1

X ′

(1 + r)T= P ∗

1 (ω′) 6= P ∗2 (ω′) = E∗

1

X ′

(1 + r)T= E∗

2 X ′,

ir todėl P ∗1 = P ∗

2 .

Atvirkščiai, tegul rizikai neutralus matas P ∗ yra vienintelis, bet rinka yra nepilnoji, t.y. egzis-

tuoja nepasiekiamas ieškinys X . Apibrėšime visų ieškinių X : Ω → R aibės (izomorfiškos erdvei

Rm) poaibį:

L′ =

X =

X

(1 + r)T: X − pasiekimas ieškinys

. (7.8)

Pasinaudoję pasiekiamo ieškinio apibrėžimu ir 6.1(c) teiginiu, charakterizuojančiu diskontuotų

portfelių vertes, aibę L′ galime užrašyti taip:

L′ =

VT (H) : VT (H) = V0(H) +

T∑

t=1

d∑

i=1

Hit ∆Si

t(ω),

H = H1, . . . , HT − savifinansuojančioji strategija

. (7.9)

Pastebėsime, kad L′ yra tiesinis erdvės Rm poerdvis, nes savifinansuojančios strategijos sudaro

tiesinę aibę. Be to, diskontuotas ieškinys, tapatingai lygus 1, priklauso poerdviui L′, nes jis ati-

tinka strategiją, investuojančią momentu t = 0 tik į A0 ir nieko neinvestuojančią į likusius VP, ir

nekeičiančią portfelio likusiais laiko momentais t = 1, . . . , T −1 (formaliai tokia strategija užrašoma

H1 = · · · = HT = (1, 0, . . . , 0)). Pagaliau, poerdviui L′ priklauso sumos pavidalo

T∑

t=1

d∑

i=1

Hit∆Si

t(ω) ∈ L′, Ht = (H1t , . . . , Hd

t ) − bet kokia numatomoji seka (7.10)

kadangi kiekviena tokia suma yra portfelio vertė VT (H) savifinansuojančiai strategijai Ht =

(H0t , H1

t , . . . , Hdt ), t = 1, . . . , T su pradine verte V0(H) = 0, žr. 6.2 teiginį.

Mūsų padaryta prielaida, kad rinka yra nepilnoji, reiškia, kad L′ 6= Rm ir egzistuoja ieškinys

X su X 6∈ L′. Kadangi L′ yra poerdvis, tai egzistuoja X ⊥ L′, kur ortogonalumas suprantamas

kovariacijos prasme:

X ⊥ L′ ⇔ E∗XY = 0 (∀Y ∈ L′).

Apibrėžkime matą P ∗∗ lygybe

P ∗∗(ω) =

(1 +

X(ω)2‖X‖∞

)P ∗(ω), ω ∈ Ω,

čia ‖X‖∞ = max|X(ω)| : ω ∈ Ω. Kadangi X(ω) ≥ −‖X‖∞, tai P ∗∗(ω) > 0 (∀ω ∈ Ω). Toliau,

∑

ω∈Ω

P ∗∗(ω) =∑

ω∈Ω

P ∗(ω) +E∗X

2‖X‖∞= 1,

nes E∗X = E∗X · 1 yra elementų X ir 1 skaliarinė sandauga, X ⊥ L′ ir 1 ∈ L′ (žr. pastabą

aukščiau), t.y. E∗X = 0. Todėl P ∗∗ yra tikimybinis matas, tenkinantis 7.2 apibrėžimo (b) sąlyga.

Be to, P ∗∗ 6= P ∗ nes X nėra tapatingai lygus nuliui.

7.3. FINANSINIŲ IEŠKINIŲ VERTINIMAS. PILNOJI RINKA 63

Patikrinkime, kad P ∗∗ tenkina 7.2 apibrėžimo (a) sąlygą, ir tuo pačiu P ∗∗ yra rizikai neutralus

matas. Iš tikrųjų, kadangi X ⊥ ∑Nt=1

∑di=1 Hi∆Si

t ∈ L′ (žr. aukščiau), tai

d∑

i=1

E∗∗[

T∑

t=1

Hi∆Sit

]=

d∑

i=1

E∗[

T∑

t=1

Hi∆Sit

]+

12‖X‖∞

d∑

i=1

E∗[

X

T∑

t=1

Hi∆Sit

].

Šios lygybės dešinėje pusėje esantys vidurkiai yra abu lygūs 0: pirmasis vidurkis – dėka rizikai

neutralaus mato apibrėžimo, antrasis – dėl aukščiau minėto ortogonalumo. Todėl šios lygybės kai-

rioji pusė irgi yra lygi nuliui (lygybė nuliui galioja kiekvienai numatomajai sekai (H1t , . . . , Hd

t ), t =

1, . . . , T . Iš čia ir 7.2 teiginio išplaukia, kad diskontuota seka (S1t , . . . , Sd

t ), t = 0, 1, . . . , T yra mar-

tingalas mato P ∗∗ atžvilgiu, kitaip tariant, matas P ∗∗ tenkina 7.2 apibrėžimo (a) sąlygą. Gavome,

kad P ∗∗ yra rizikai neutralus matas, nesutampantis su P ∗, ir todėl mūsų padaryta prielaida apie

P ∗ vienatį ir rinkos nepilnumą yra neteisinga. Teorema 7.2 įrodyta.

Apibendrinant šį skyrelį, galima pasakyti, kad ieškinio teisingosios vertės radimas atsiremia į

rizikai neutralaus mato P ∗ ir ieškinį replikuojančios strategijos radimą. Aišku, kad matą P ∗ rasti

gali būti nelengva. Kartais šį matą galima rasti per keletą žingsnių, kiekviename žingsnyje uždavinį

suvedant į vieno periodo modelio atvejį.

7.3 pavyzdys (6.4 pavyzdžio tęsinys) Informacinis kainų medis parodytas 12 ir 15 paveiks-

luose. 6.4 pavyzdyje buvo tiesiogiai parodyta, kad šiame uždavinyje arbitražas neegzistuoja,

jei 0 ≤ r < 1/8. Raskime rizikai neutralų kainų matą. Tikriname 7.2 apibrėžimo (a) sąlygą

E∗[S1t |Ft−1] = S1

t−1 (7.11)

pirmam informacinio medžio išsišakojimui (t.y. momentu t = 1). Kadangi F0 yra triviali, tai

(7.11) t = 1 sutampa su

E∗[S11 ] = S1

0 = S10 = 5.

Pažymėkime

p∗

1 = P ∗(S11 = 8) = P ∗(ω1 ∪ ω2),

q∗

1 = P ∗(S11 = 4) = P ∗(ω3 ∪ ω4),

p∗

1 + q∗

1 = 1. Tikimybę p1 randame iš aukščiau užrašytos lygties:

81 + r

p∗

1 +4

1 + r(1 − p∗

1) = 5, arba p∗

1 =1 + 5r

4.

Toliau, žiūrime viršutinį išsišakojimą t = 2, S11 = 8. Pažymėkime

p∗

2 = P ∗[S12 = 9|S1

1 = 8, S10 = 5] =

P ∗(ω1)P ∗(ω1 ∪ ω2)

,

q∗

2 = P ∗[S12 = 6|S1

1 = 8, S10 = 5] =

P ∗(ω2)P ∗(ω1 ∪ ω2)

,

p∗

2 + q∗

2 = 1. (7.11) sąlyga šiam išsišakojimui užrašoma taip:

9(1 + r)2

p∗

2 +6

(1 + r)2(1 − p∗

2) =8

1 + r, arba p∗

2 =2 + 8r

3.


5

4

3, ω4

q∗3

6, ω3

p∗3

q∗1

8

6, ω2

q∗2

9, ω1

p∗2

p∗1

t = 0 t = 1 t = 2

15 pav. S1t kainos pavaizduotos medžio viršūnėse, o ant briaunų – perėjimo tikimybės p∗

i , q∗i ,

i = 1, 2, 3. (žr. 7.3 pvz.)

Panašiai nagrinėjame apatinį išsišakojimą t = 2, S11 = 4. Pažymėkime

p∗

3 = P ∗[S12 = 6|S1

1 = 4, S10 = 5] =

P ∗(ω3)P ∗(ω3 ∪ ω4)

,

q∗

3 = P ∗[S12 = 3|S1

1 = 4, S10 = 5] =

P ∗(ω4)P ∗(ω3 ∪ ω4)

,

p∗

3 + q∗

4 = 1. (7.11) sąlyga šiam išsišakojimui užrašoma taip:

6(1 + r)2

p∗

3 +3

(1 + r)2(1 − p∗

3) =4

1 + r, arba p∗

3 =1 + 4r

3.

Tam, kad skaičiai p∗

i , i = 1, 2, 3 būtų tikimybės, nelygios 0 ir 1, turi galioti 0 ≤ r < 1/8. Jei

teisinga ši sąlyga, modelyje egzistuoja vienintelis rizikai neutralus matas P ∗. Jis randamas

sudauginus mūsų rastas tikimybes ant informacinio medžio atkarpų (žr. 15 paveikslą):

P ∗(ω1) = p∗

1p∗

2 =(

1 + 5r

4

)(2 + 8r

3

),

P ∗(ω2) = p∗

1q∗

2 =(

1 + 5r

4

)(1 − 2 + 8r

3

),

P ∗(ω3) = q∗

1p∗

3 =(

1 − 1 + 5r

4

)(1 + 4r

3

),

P ∗(ω1) = q∗

1q∗

3 =(

1 − 1 + 5r

4

)(1 − 1 + 4r

3

).

Panagrinėkime call opcioną su vykdymo kaina K = 5:

X = (S12 − 5)+.

šio opciono išmokos lygios

X(ω1) = 4, X(ω2) = 1, X(ω3) = 1, X(ω4) = 0.

žemiau šiame pavyzdyje tarsime, kad r = 0. Tada matas P ∗ = (1/6, 1/12, 1/4, 1/2) egzistuoja

ir yra vienintelis. Todėl rinka yra pilnoji ir X yra pasiekiamas. Jo teisingąsias vertes V X0 ir

7.4. PUT–CALL PARITETO LYGYBĖ 65

V X1 randame iš (7.6) formulės:

V X0 = (4)

16

+ (1)112

+ (1)14

+ (0)12

= 1.

Momentu t = 1 reikia skaičiuoti sąlyginius vidurkius

V X1 = E∗[X|S1

1 = 8] = (4)p∗

2 + (1)q∗

2 = (4)23

+ (1)13

= 3 (ω = ω1, ω2),

V X1 = E∗[X|S1

1 = 4] = (1)p∗

3 + (0)q∗

3 = (1)13

+ (0)23

=13

(ω = ω3, ω4).

Rasime strategiją, replikuojančią ieškinį X. Tuo tikslu, reikia išspręsti lygčių sistemas. Joms

užrašyti pasinaudojame aukščiau rastomis vertėmis V Xt , t = 0, 1 bei V X

2 = X. Momentu t = 2

ieškomoji lygčių sistema atrodo taip:

4 = V X2 (ω1) = V2(H)(ω1) = H0

2 (ω1)(1) + H12 (ω1)(9),

1 = V X2 (ω2) = V2(H)(ω2) = H0

2 (ω2)(1) + H12 (ω2)(6),

1 = V X2 (ω3) = V2(H)(ω3) = H0

2 (ω3)(1) + H12 (ω3)(6),

0 = V X2 (ω4) = V2(H)(ω4) = H0

2 (ω4)(1) + H12 (ω4)(3).

Kadangi H yra numatomoji strategija, ji turi tenkinti papildomas sąlygas

H02 (ω1) = H0

2 (ω2), H12 (ω1) = H1

2 (ω2),

H02 (ω3) = H0

2 (ω4), H12 (ω3) = H1

2 (ω4).

Išsprendę 8 lygtis su 8 nežinomaisiais, randame opcioną replikuojančiąją strategiją H inves-

tavimo periodui 1 → 2:

H02 (ω) = −5, H1

2 (ω) = 1 (ω = ω1, ω2),

H02 (ω) = −1, H1

2 (ω) = 1/3 (ω = ω3, ω4).

Panašiai randame opcioną replikuojančiąją strategiją H investavimo periodui 0 → 1:

3 = V X1 (ω) = V1(H)(ω) = H0

1 (ω)(1) + H11 (ω)(8) (ω = ω1, ω2),

13

= V X1 (ω) = V1(H)(ω) = H0

1 (ω)(1) + H11 (ω)(4) (ω = ω3, ω4),

H01 (ω1) = H0

1 (ω2) = H01 (ω3) = H0

1 (ω4),

H11 (ω1) = H1

1 (ω4) = H11 (ω3) = H1

1 (ω4).

Iš šių lygčių randame (neatsitiktinę) strategiją periodui 0 → 1:

H01 = −7/3, H1

1 = 2/3.

7.4 Put–call pariteto lygybė

Tegul

X = (S1T − K)+, Y = (K − S1

T )+


europietiškųjų call ir put opcionų su ta pačia vykdymo kaina K išmokos. 2 skyriuje (2.6) gauta

pariteto lygybė, siejanti šių opcionų vertes momentu t = 0. Panašią lygybę galima lengvai gauti iš

šiame skyriuje įrodyto rizikai neutralaus finansinių ieškinių vertinimo principo (7.6), tariant kad

matas P ∗ egzistuoja ir opcionai X, Y yra pasiekiami. Tuo tikslu, pažymėkime

ct = V Xt , pt = V Y

t

atitinkamas opcionų vertes momentu t = 0, 1, . . . , T . Iš (7.6) formulės randame

ct − pt = (1 + r)−(T −t) (E∗[X |Ft] − E∗[Y |Ft])

= (1 + r)−(T −t)E∗ [(S1T − K)+ − (K − S1

T )+∣∣Ft

]

= (1 + r)−(T −t)E∗ [S1T − K

∣∣Ft

]

= (1 + r)tE∗[S1

T

∣∣Ft

]− (1 + r)−(T −t)K

= (1 + r)tS1t − (1 + r)−(T −t)K

= S1t − (1 + r)−(T −t)K.

Momentu t = 0 gautoji lygybė atrodo taip:

c0 + K(1 + r)−T = p0 + S10 . (7.12)

Aišku, kad (7.12) skiriasi nuo (2.6) tik diskontavimo išraiška (vietoje tolydžiųjų palūkanų (2.6)

formulėje yra diskreti palūkanų norma).


7.1. Tegul rinka su T = 2, d = 1, r = 0 ta pati, kaip ir 7.3 pavyzdyje. Raskite teisingąją kainą

V X0 ir replikuojančiąją strategiją:

(1) Azijietiškojo opciono su išmoka

X =

(S1

0 + S11 + S1

2

3− 5

)+

.

(2) Look-back opciono su išmoka

X = max

(S1t − 7)+ : t = 0, 1, 2

.

7.2. Raskite rizikai neutralius matus, kai rinka su T = 3, d = 1 ir r ≥ 0 duota 14 paveiksle

(tikimybės pi = p∗i , qi = q∗

i atitinka rizikai neutralaus mato sąlygines tikimybes panašiai

kaip 7.3 pavyzdyje).

8 skyrius

Binominis (CRR) modelis

8.1 Modelio aprašymas ir rizikai neutralaus mato charakte-

rizacija

Binominis modelis yra labai svarbus ir praktikoje plačiai naudojamas. Šį modelį pasiūlė Cox, Ross,

Rubinstein 1979 m. (žr. [2]), todėl jis dar vadinamas CRR modeliu. Binominiu jis vadinamas todėl,

kad VP diskontuota kaina rizikai neutralaus mato atžvilgiu aprašoma atsitiktiniu klaidžiojimu

su binominėmis tikimybėmis. Binominis modelis atitinka T periodų finansų rinką su dviem VP

(nerizikingu ir rizikingu), kai rizikingo VP kaina “juda tik dviem kryptimis”:

S1t = S1

t−1ρt, ρt =

a+,

a−,

čia 0 < a− < a+ – bet kokie skaičiai. Reikšmė ρt = S1t /S1

t−1 = a+ atitinka akcijos kainos “kilimą”

laikotarpiu t − 1 → t, reikšmė ρt = S1t /S1

t−1 = a− – akcijos kainos “kritimą” tuo pačiu laikotarpiu.

Žinant S10 ir ρ1, . . . , ρt, galima rasti akcijos kainą momentu t:

S1t = S1

0ρ1ρ2 · · · ρt. (8.1)

16 paveiksle pavaizduotas binominio modelio su T = 5 informacinis medis ir kainos proceso S1t

reikšmės.

Formaliai, binominis modelis gali būti aprašytas taip. Tarkime,

Ω = a−, a+T

– aibė visų sekų ω = (x1, . . . , xT ); čia kiekvienas xt ∈ a−, a+ įgyja dvi reikšmes: a− arba a+.

(Aišku, Ω galima apibrėžti ir kaip aibę −, +T visų sekų, sudarytų tik iš − ir +.) Kiekvieną

būseną ω galima vaizduotis kaip tam tikrą kelią binominiame medyje, prasidedantį momentu t =

0 ir pasibaigiantį momentu t = T (žr. 16 paveikslą). Akivaizdu, kad seka ω = (x1, . . . , xT )

vienareikšmiškai atitinka seką (S11 , . . . , S1

T ). Sigma-algebra Ft yra generuota aibės Ω padalijimo į

67

68 8 skyrius. Binominis (CRR) modelis

S10

S10 a−

S10 a2

−

S10 a3

−

S10 a4

−

S10 a5

−

−

S10 a+a4

−

+−

S10 a+a3

−

S10 a+a4

−

−

S10 a2

+a3−

+

+−

S10 a+a2

−

S10 a+a3

−

−

S10 a2

+a2−

S10 a2

+a3−

−

S10 a3

+a2−

+

+

−+

S10 a−

S10 a+a2

−

−

S10 a2

+a−

+

+−

S10 a+

S10 a+a−

−

S10 a2

+

S10 a2

+a−

S10 a2

+a2−

−

S10 a3

+a−

+−

S10 a3

+

S10 a3

+a−

S10 a3

+a2−

−

S10 a4

+a−

+−

S10 a4

+

S10 a4

+a−

−

S10 a5

+

+

+

−

+

+

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 t = 5

16 pav. Binominio modelio informacinis medis. Jo viršūnėse – kainos proceso S1t reikšmės.

8.1. MODELIO APRAŠYMAS IR RIZIKAI NEUTRALAUS MATO CHARAKTERIZACIJA69

poaibius, atitinkančius kelio “istorijas” x1, . . . , xt iki momento t; pvz., F1 atitinka Ω padalijimą į

2 aibes:

Ω = ω = (x1, . . . , xT ) : x1 = a+ ∪ ω = (x1, . . . , xT ) : x1 = a−.

Tegul P – kažkoks matas, apibrėžtas aibėje Ω:

P (ω) = P (ρ1 = x1, . . . , ρT = xT ) (ω = (x1, . . . , xT ) ∈ Ω).

Mūsų tikslas – išsiaiškinti, kada aukščiau aprašytoji rinka yra nearbitražinė ir pilnoji. Iš karto

pastebėsime, kad diskontuota kaina šiame modelyje užrašoma taip:

S1t =

S1t

(1 + r)t=

S1t−1ρt

(1 + r)t= S1

t−1

ρt

1 + r. (8.2)

Kadangi S1t−1 ∼ Ft−1, tai bet kokiam tikimybiniam matui P teisinga lygybė

E[S1

t

∣∣∣Ft−1

]= S1

t−1

E[ρt

∣∣Ft−1

]

1 + r. (8.3)

8.1 teiginys Jei rinka yra nearbitražinė, tai

a− < 1 + r < a+. (8.4)

Įrodymas. Teiginio sąlyga ekvivalenti rizikai neutralaus mato P ∗ egzistavimui (žr. 7.1 teoremą).

Kitaip tariant, matas P ∗ turi tenkinti lygybę:

E∗[S1

t

∣∣∣Ft−1

]= S1

t−1 (t = 1, . . . , T ). (8.5)

Iš (8.3) seka, kad ši lygybė yra ekvivalenti lygybei

E∗ [ρt

∣∣Ft−1

]= 1 + r (t = 1, . . . , T ). (8.6)

Atskiru atveju, kai t = 0, turi galioti

E∗ρ1 = 1 + r. (8.7)

Kadangi ρ1 įgyja tik 2 reikšmes a− ir a+, tai akivaizdu, kad

a− ≤ 1 + r ≤ a+.

Jei 1 + r = a+, tai P ∗(ρ1 = a+) = 1, P ∗(ρ1 = a−) = 0 ir matas P ∗ netenkina 7.2 apibrėžimo (b)

sąlygos. Todėl 1 + r < a+. Panašiai įsitikiname, kad a− < 1 + r.

8.1 pastaba Jei 1 + r 6∈ (a−, a+), lengva sukonstruoti arbitražinę strategiją. Tegul 1 + r ≤ a−.

Apibrėžkime H = Ht, t = 1, . . . , T , Ht = (H0t , H1

t ) lygybėmis

H0t = −S1

0 , H1t = 1 (t = 1, . . . , T ).


Kitaip tariant, momentu t = 0 skolinamės sumą S10 iš banko už nerizikingas palūkanas ir už

pasiskolintus pinigus perkame 1 akciją A1; likusiais laiko momentais portfelio nekeičiame. Lengva

matyti, kad

V0(H) = (−S10)(1) + S1

0 = 0, VT (H) = (−S10)(1 + r)T + S1

T

Bet S1T = S1

0ρ1 · · · ρT = S10aY

+aT −Y− , čia

Y = # t = 1, . . . , T : ρt = a+

– skaičius laiko momentų, kai akcijos kaina kilo. Todėl

VT (H) = S10

(aY

+aT −Y− − (1 + r)T

).

Kadangi 1 + r ≤ a− < a+, tai skliausteliuose esantis reiškinys yra griežtai teigiamas, kai Y > 0, ir

neneigiamas, kai Y = 0. Aišku, kad P (Y > 0) > 0, nes P (ω) > 0 kiekvienam ω ∈ Ω. Todėl H –

arbitražo strategija.

Žemiau laikysime, kad (8.4) sąlyga yra patenkinta. Apibrėžkime tikimybę

p∗ =a+ − 1 − r

a+ − a−∈ (0, 1). (8.8)

8.1 teorema nusako nearbitražinės binominės rinkos kriterijų.

8.1 teorema Tarkime, P ∗ yra kažkoks tikimybinis matas aibėje Ω. Diskontuotas kainų procesas

S1t , t = 0, 1, . . . , T yra martingalas P ∗ atžvilgiu tada ir tik tada, kai ρt, t = 1, . . . , T, yra

nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę atsitiktiniai dydžiai tenkinantys

P ∗(ρ1 = a−) = p∗ = 1 − P ∗(ρ1 = a+). (8.9)

Įrodymas. Tarkime, ρt, t = 1, . . . , T mato P ∗ atžvilgiu yra nepriklausomi ir vienodai pasi-

skirstę atsitiktiniai dydžiai, tenkinantys (8.9) salygą. Tada E∗[ρt|Ft−1] = E∗ρt yra neatsitiktinis

(nepriklauso nuo “praeities” Ft−1). Todėl

E∗[ρt|Ft−1] = E∗ρt = E∗ρ1 = a−p∗ + a+(1 − p∗) = 1 + r.

Kitaip tariant, yra patenkintos (8.6) ir (8.5) lygybės ir S1t , t = 0, 1, . . . , T yra martingalas P ∗

atžvilgiu.

Atvirkščiai, tegul S1t , t = 0, 1, . . . , T yra martingalas P ∗ atžvilgiu ir galioja (8.6) lygybė.

Išreiškę šioje lygybėje sąlyginį vidurkį E∗[ρt|Ft−1] per sąlygines tikimybes P ∗[ρt = a−|Ft−1] ir

P ∗[ρt = a+|Ft−1], gauname lygčių sistemą:

a+P ∗[ρt = a+|Ft−1] + a−P ∗[ρt = a−|Ft−1] = 1 + r,

P ∗[ρt = a+|Ft−1] + P ∗[ρt = a−|Ft−1] = 1.

8.2. EUROPIETIŠKŲJŲ OPCIONŲ VERTĖS SKAIČIAVIMAS CRR MODELYJE 71

Išsprendę šią sistemą, gauname

P ∗[ρt = a−|Ft−1] = p∗, P ∗[ρt = a+|Ft−1] = 1 − p∗, (8.10)

čia p∗ yra duotas (8.8) formule. Iš čia, kai t = 1, gauname

P ∗(ρ1 = a−) = p∗, P ∗(ρt = a+) = 1 − p∗.

Iš (8.10), žinoma, seka, kad sąlyginės tikimybės yra neatsitiktinės (nes p∗ neatsitiktinė), tuo pačiu,

jos sutampa su besąlyginėmis, ir dydžiai ρt, t = 1, . . . , T, yra nepriklausomi. Šio samprotavimo

teisingumu galima ir tiesiogiai įsitikinti, naudojantis sąlyginės tikimybės apibrėžimu. Perrašykime

(8.9) taip:

P ∗(ρ1 = x1) =

p∗, jei x1 = a−;

1 − p∗, jei x1 = a+.

Dabar, pasinaudoję (8.10) su t = 2 ir tikimybių sandaugos formule, gauname

P ∗(ρ1 = x1, ρ2 = x2) = P ∗(ρ1 = x1)P ∗[ρ2 = x2|ρ1 = x1]

= P ∗(ρ1 = x1)P ∗(ρ2 = x2),

čia

P ∗(ρ2 = x2) =

p∗, jei x2 = a−;

1 − p∗, jei x2 = a+.

Panašiai tęsdami, galime įsitikinti, kad

P ∗(ρ1 = x1, . . . , ρT = xT ) = P ∗(ρ1 = x1) · · · P ∗(ρT = xT )

bet kokiems xt ∈ a−, a+. Vadinasi, ρ1, . . . , ρT – nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, pasiskirstę

pagal tas patį tikimybinį dėsnį (8.9).

8.2 pastaba Iš aukščiau įrodytos 8.1 teoremos seka, kad binominė rinka yra pilnoji. Iš tikrųjų,

matas P ∗ šioje teoremoje yra apibrėžtas vieninteliu būdu, ir todėl rinkos pilnumas išplaukia iš 7.2

teoremos.

8.2 Europietiškųjų opcionų vertės skaičiavimas CRR mode-

lyje

Pagrindinis binominio modelio privalumas yra tai, kad rizikai neutralus matas P ∗ yra labai pa-

prastas, faktiškai, P ∗ atitinka nepriklausomų dydžių seką. Todėl sąlyginių ir besąlyginių vidurkių,

reikalingų ieškinio teisingosios vertės skaičiavimui, radimas labai palengvėja ir supaprastėja. Kai


kuriais atvejais gaunamos gana paprastos tokių verčių išraiškos, kurias galima nesunkiai skaičiuoti

bei rasti jų ribas, kai periodų skaičius neaprėžtai didėja.

Panagrinėkime call opcioną su vykdymo kaina K. Šio opciono išmoka momentu T yra lygi

X = (S1T − K)+.

Tegul ct = V Xt – opciono teisingoji vertė momentu t = 0, 1, . . . , T . Pagal teisingosios vertės

apibrėžimą (žr. 7.4 apibrėžimą) ir remdamiesi S1T išraiška CRR modelyje (žr. (8.1)), gauname

ct = (1 + r)−(T −t)E∗ [(S1T − K)+

∣∣Ft

]

= (1 + r)−(T −t)E∗ [(S1t ρt+1 · · · ρT − K)+

∣∣Ft

].

Šioje išraiškoje S1t ∼ Ft yra nusakomas istorija Ft, o ρt+1, . . . , ρT nepriklauso nuo Ft ir turi tą

patį skirstinį kaip 8.1 teoremoje. Todėl skaičiuojant šį sąlyginį vidurkį, galima S1t = x užfiksuoti

ir suskaičiuoti besąlyginį vidurkį pagal tuos pačius dydžius. Gauname, kad

ct = c(t, S1t ),

čia funkcija c(t, x), x ∈ R, t = 0, 1, . . . , T yra lygi

c(t, x) = (1 + r)−(T −t)E∗ (xρt+1 · · · ρT − K)+. (8.11)

Pažymėkime

Y = # j = t + 1, . . . , T : ρj = a−

– akcijos kainos kritimų skaičių laiko momentais t + 1, . . . , T . Aišku, kad Y įgyja reikšmes

0, 1, . . . , T − t ir turi binominį skirstinį su parametru p∗:

P ∗(Y = j) =(T − t)!

j!(T − t − j)!(p∗)j(1 − p∗)T −t−j =

(T − t

j

)(p∗)j(1 − p∗)T −t−j . (8.12)

Kadangi ρt+1 · · · ρT = aY−aT −t−Y

+ , gauname

c(t, x) = (1 + r)−(T −t)T −t∑

j=0

(xaj

−aT −t−j+ − K

)+(

T − t

j

)(p∗)j(1 − p∗)T −t−j

=T −t∑

j=0

(xaj

−aT −t−j+ − K

)+(

T − t

j

)( p∗

1 + r

)j(1 − p∗

1 + r

)T −t−j

. (8.13)

Pažymėkime j0(t, x) – didžiausią sveiką skaičių tarp j = 0, 1, . . . , T − t, kuriems teisinga nelygybė

xaj−aT −t−j

+ ≥ K.

Ji ekvivalenti nelygybei(a+

a−

)j

≤ xaT −t+

K

8.2. EUROPIETIŠKŲJŲ OPCIONŲ VERTĖS SKAIČIAVIMAS CRR MODELYJE 73

arba

j log(a+/a−) ≤ log(xaT −t+ /K).

Todėl

j0(t, x) =

[log(xaT −t

+ /K)

log(a+/a−)

]; (8.14)

čia [a] – skaičiaus a sveikoji dalis, log – bet kokio pagrindo (pvz., natūrinis ar dešimtainis) logarit-

mas. Pažymėkime

p = p∗ a−1 + r

=a−(a+ − 1 − r)

(1 + r)(a+ − a−)∈ (0, 1), (8.15)

Ψ(k, T, p) =k∑

j=0

(T

j

)pj(1 − p)T −j (k = 0, 1, . . . , T, p ∈ (0, 1)). (8.16)

Pastebėjus, kad

1 − p =(1 − p∗)a+

1 + r,

(8.13) lygybę galima perrašyti taip:

c(t, x) =j0(t,x)∑

j=0

(xaj

−aT −t−j+ − K

)(T − t

j

)( p∗

1 + r

)j(1 − p∗

1 + r

)T −t−j

= x

j0(t,x)∑

j=0

(T − t

j

)pj(1 − p)T −t−j − K(1 + r)−(T −t)

j0(t,x)∑

j=0

(T − t

j

)(p∗)j(1 − p∗)T −t−j .

Galutinai gauname, kad

c(t, x) = xΨ (j0(t, x), T − t, p) − K(1 + r)−(T −t)Ψ (j0(t, x), T − t, p∗) . (8.17)

Put opciono X = (K − S1T )+ binominėje rinkoje kainą p(t, x) momentu t = 0, 1, . . . , T , kai S1

t = x,

galima rasti visai analogiškai, bet paprasčiau yra pasinaudoti (8.17) ir put–call pariteto lygybe

(7.12):

p(t, x) = c(t, x) − x + K(1 + r)−(T −t)

= xΨ (j0(t, x), T − t, p) − K(1 + r)−(T −t)Ψ (j0(t, x), T − t, p∗) − x + K(1 + r)−(T −t)

= K(1 + r)−(T −t)(1 − Ψ) (j0(t, x), T − t, p∗) − x(1 − Ψ) (j0(t, x), T − t, p) , (8.18)

čia

(1 − Ψ)(k, T, p) = 1 − Ψ(k, T, p) =T∑

j=k+1

(T

j

)pj(1 − p)t−j

yra binominio skirstinio su parametru p uodegos tikimybė. Mūsų skaičiavimus įformina žemiau

suformuluotas teiginys.

8.2 teiginys Tarkime, rinka aprašyta CRR modeliu. Tuomet europietiškųjų call ir put opcionų

su vykdymo kaina K teisingosios vertės momentu t = 0, 1, . . . , T yra atitinkamai lygios

ct = c(t, S1t ) ir pt = p(t, S1

t ),


čia funkcijos c(t, x) ir p(t, x) yra duotos (8.17) ir (8.18) lygybėmis.

8.3 Hedžingo (replikuojančios) strategijos konstravimas CRR

modelyje

Tegul X = (S1T −K)+ – call opcionas binominėje rinkoje. Sukonstruosime tokią strategiją Ht, t =

1, . . . , T , kad visiems t = 0, 1, . . . , T galiotų lygybė:

Vt(H) = V Xt = (1 + r)−(T −t)E∗[X |Ft].

Kadangi V Xt = c(t, S1

t ), tai Ht = (H0t , H1

t ) turi tenkinti lygtį:

H0t (1 + r)t + H1

t S1t = c(t, S1

t ).

Prisiminkime, kad replikuojanti strategija yra numatomoji, t.y. turi būti išreiškiama per kainas

iki momento t − 1 imtinai. Kadangi S1t = S1

t−1ρt ir ρt įgyja 2 reikšmes, gauname lygčių sistemą:

H0t (1 + r)t + H1

t a+S1t−1 = c(t, a+S1

t−1),

H0t (1 + r)t + H1

t a−S1t−1 = c(t, a−S1

t−1).

Išprendę šią sistemą, randame

H0t =

a+c(t, a−S1t−1) − a−c(t, a+S1

t−1)(1 + r)t(a+ − a−)

,

H1t =

c(t, a+S1t−1) − c(t, a−S1

t−1)

S1t−1(a+ − a−)

.

Atskiru atveju, kai T = t = 1, c(1, S11) = X = (S1

1 − K)+, hedžingo strategija yra lygi

H01 =

a+(a−S10 − K)+ − a−(a+S1

0 − K)+

(1 + r)(a+ − a−),

H11 =

(a+S10 − K)+ − (a−S1

0 − K)+

S10(a+ − a−)

.

Nesunku patikrinti, kad 4.2 pavyzdyje apskaičiuota hedžingo strategija H = (−3, 3/4) gali būti

gauta iš šių lygybių.

8.1 pavyzdys Panagrinėkime 2 periodų binominę rinką, kurioje pradinė kaina S10 = 20 per

kiekvieną periodą gali didėti arba mažėti 10%, t.y. a+ = 1, 1, a− = 0, 9. Tegul r = 0, 03045.

Apskaičiuokime opciono

X = (S12 − 21)+

8.3. HEDŽINGO (REPLIKUOJANČIOS) STRATEGIJOS KONSTRAVIMAS CRR MODELYJE75

20

(1, 2823)

18

(0)

16, 2

(0)

19, 8

(0)

22

(2, 0257)

19, 8

(0)

24, 2

(3, 2)

17 pav. 8.1 pavyzdžio binominis medis. Jo viršūnėse – kainos proceso S1t reikšmės, o skliauste-

liuose po jomis – opciono vertės ct.

tikrąją vertę c0. Skaičiuojame tikimybes [skaičiavimuose skaičiai yra suapvalinti]:

p∗ =1, 1 − 1, 03045

1, 1 − 0, 9=

0, 069550, 2

= 0, 3477, p =0, 9

1, 03045(0, 348) = 0, 303945

Turime

Ψ(k, 2, p) =

(1 − p)2, jei k = 0;

(1 − p)2 + 2p(1 − p), jei k = 1;

1, jei k = 2,

j0(0, 20) =

[log(((20)a2

+)/(21))log(a+/a−)

]=

[log((20/21)(1, 1)2)

log(1, 1/0, 9)

]= [0, 7067] = 0.

Iš (8.17) formulės gauname

c0 = (20)Ψ(0, 2, 0, 303945) − (21)(1, 03045)−2Ψ(0, 2, 0, 3477)

= (20)(1 − 0, 303945)2 − (21)(0, 9418)(1 − 0, 3477)2

= 1, 2823.

Kitas būdas opciono vertei skaičiuoti yra nesinaudoti galutine formule (8.17), bet tiesiai nau-

dotis fundamentaliuoju rizikai neutraliu ieškinių vertinimo principu (žr. 7.4 apibrėžimą):

V Xt−1 = (1 + r)−1E∗

[V X

t

∣∣Ft−1

]. (8.19)

Mūsų opciono atveju, (8.19) virsta lygybe

ct−1 = (1 + r)−1E∗

[ct

∣∣Ft−1

]. (8.20)

Jos pagalba, vertės ct−1 randamos apskaičiuojant prieš tai rastų verčių ct sąlyginius vidur-

kius kiekviename medžio mazge, pradedant iš dešinės. Šias vertes patogu rašyti po kaina

skliausteliuose (žr. 17 paveikslą).


Vertės momentu t = 2 dešiniajame stulpelyje randamos iš apibrėžimo c2 = X = (S12 − 21)+.

Toliau, pagal (8.20) formulę, skaičiuojame vertę c1 vidurinio stulpelio viršutiniame mazge:

c1 = (1 + r)−1E∗[X|F1] = 1, 03045−1 ((3, 2)(1 − 0, 3477) + (0)(0, 3477))

= (0, 970446)(3, 2)(0, 6523) = 2, 0257.

Aišku, kad apatiniame mazge gausime 0:

c1 = 1, 03045−1 ((0)(1 − 0, 3477) + (0)(0, 3477)) = 0.

Pagaliau, taikydami (8.20) kairiajam mazgui, gauname

c0 = (1 + r)−1E∗[c1|F0] = 1, 03045−1 ((2, 0257)(1 − 0, 3477) + (0)(0, 3477))

= (0, 970446)(2, 0257)(0, 6523) = 1, 2823.

8.2 pavyzdys (8.1 pavyzdžio tęsinys). Apskaičiuokime look-back opciono su išmoka

XLB = max

(S1t − 21)+ : t = 0, 1, 2

vertes cLBt . Vertės cLB

2 = XLB momentu t = 2 pažymėtos 18 paveikslo dešinio stulpelio skliaus-

teliuose. Toliau, panašiai kaip 8.1 pavyzdyje, skaičiuojame reikšmę cLB1 vidurinio stulpelio

viršutiniame mazge (kai S11 = 22):

cLB1 = (1 + r)−1E∗[cLB

2 |F1] = 1, 03045−1 ((3, 2)(1 − 0, 3477) + (1)(0, 3477)) = 2, 3631

ir apatiniame mazge (kai S11 = 18):

cLB1 = 1, 03045−1 ((0)(1 − 0, 3477) + (0)(0, 3477)) = 0.

Kairiajam mazgui gauname

cLB0 = (1 + r)−1)E∗[cLB

1 |F0]

= 1, 03045−1 ((2, 3631)(1 − 0, 3477) + (0)(0, 3477)) = 1, 4959.

Akivaizdu, kad jei abiejų opcionų vykdymo kainos sutampa, tai look-back opcionas visada

vertas nemažiau, kaip europietiškasis.

8.4 Ribinis perėjimas T → ∞. Black–Scholes formulės

Iki šiol mes nekreipėme dėmesio, kokį kalendorinį laiko tarpą atitinka kiekvienas diskretaus mo-

delio periodas. Tarkime, nagrinėjamas prekybos laikotarpis yra τ metų, čia τ > 0 – bet koks

(nebūtinai sveikas) skaičius. (Pvz., τ = 0, 25 atitinka 3 mėnesius.) Kadangi realiai prekyba

vyksta tolydžiai arba beveik tolydžiai, mus dominantį laiko tarpą galima suskaidyti į T vienodų

8.4. RIBINIS PERĖJIMAS T → ∞. BLACK–SCHOLES FORMULĖS 77

20

(1, 4959)

18

(0)

16, 2

(0)

19, 8

(1S11

=22)

22

(2, 3631)

19, 8

(1S11

=22)

24, 2

(3, 2)

18 pav. 8.2 pavyzdžio binominis medis. Jo viršūnėse – kainos proceso S1t reikšmės, o skliauste-

liuose po jomis – opciono vertės cLBt .

investavimo periodų ir aproksimuoti binominiu modeliu. Pasirodo, kad didėjant T , europietiškųjų

opcionų teisingosios vertės artėja į tam tikras ribas (vadinamąsias Black–Scholes formules [1])1).

Praktikoje, aproksimacija dažnai yra pakankamai tiksli, kai T didesnis nei 30. Įvairūs skaičiavimo

paketai leidžia lengvai suskaičiuoti opcionų kainas binominiams modeliams, turintiems iki T = 500

ir daugiau žingsnių.

Paminėtas faktas yra labai svarbus finansų rinkos teorijai ir praktikai. Visų pirma, jis leidžia

atsikratyti daugelio nerealistinių suvaržymų ir prielaidų, su kuriais skaitytojas susidūrė ankstes-

niuose skyriuose, o ypač mūsų nagrinėtuose pavyzdžiuose ir uždaviniuose. Jau kai T = 30, galimų

binominio modelio rizikingo VP kainos scenarijų skaičius yra 230, t.y. daugiau kaip milijardas,

ir tokiomis “scenarijų trajektorimis” galima aprašyti praktiškai bet kokią kainos evoliuciją. Dis-

krečiuose modeliuose labai svarbu žinoti visas galimas kainų trajektorijas, nes nuo to priklauso

arbitražo egzistavimas arba neegzistavimas. CRR modelyje visų trajektorijų aibė charakterizuo-

jama 2 parametrais a+ ir a−. Riboje T → ∞, parametrai a± yra susiejami su VP istoriniu ir

implikuotu kintamumais (historic and implied volatilities) σ > 0, kuriuos galima vertinti iš rinkos

kainų ir istorinių duomenų (VP grąžų iki momento t = 0). Kitaip tariant, abstraktus finansų

rinkos modelis įgauna realų pagrindą.

Nagrinėsime T periodų modelį, kai prekyba vyksta momentais kτ/T :

0, τ/T, 2τ/T, . . . , (T − 1)τ/T, T τ/T = τ.

Vieno periodo nerizikingų palūkanų normą žymėsime rT . Be to, laikysime, kad rinkoje egzistuoja

tolydžių palūkanų norma r. Aišku, kad jei T > 1, tai rT < r. Palūkanų normos rT ir r yra susietos

sąryšiu:

limT →∞

(1 + rT )T = erτ . (8.21)

1Black–Scholes modelis yra dalis tolydaus laiko finansų rinkos teorijos, kuri remiasi tolydaus laiko atsitiktinių

procesų teorija (žr. Įvadą)


Pvz.,

rT = erτ/T − 1

tenkina (8.21) sąryšį (šiuo atveju, galioja tiksli lygybė (1 + rT )T = erτ ). Lengva matyti, kad

(8.21) sąryšį tenkina ir rT = rτ/T pasirinkimas.

Tegul rizikingos akcijos kainos pokyčiai per vieną periodą yra lygūs

a+T = (1 + rT )eσ

√τ/T , a−

T = (1 + rT )e−σ√

τ/T , (8.22)

čia σ > 0 – aukščiau minėtas parametras, charakterizuojantis a+T ir a−

T santykį (VP kainos kinta-

mumą):a+

T

a−T

= e2σ√

τ/T .

Pažymėkime

c(T )0 =

E∗T (S1

T − K)+

(1 + rT )T, p

(T )0 =

E∗T (K − S1

T )+

(1 + rT )T

europietiskųjų call ir put opcionų vertes pradiniu momentu t = 0 binominiame T periodų modelyje

su parametrais rT ir a±T (8.22), bei vykdymo kaina K.

8.2 teorema

limT →∞

c(T )0 = xΦ(d1) − Ke−rτ Φ(d2), (8.23)

limT →∞

p(T )0 = Ke−rτ Φ(−d2) − xΦ(−d1), (8.24)

čia x = S10 – VP kaina momentu t = 0, Φ(y) = (2π)−1/2

∫ y

−∞ e−u2/2du – standartinio normaliojo

dydžio pasiskirstymo funkcija,

d1 =log(x/K) + rτ + 1

2 σ2τ

σ√

τ,

d2 = d1 − σ√

τ .

Įrodymas. Pasinaudoję opciono vertės p(T )0 išraiška (8.13), (8.11), gauname

p(T )0 = (1 + rT )−T E∗(K − xρ1 · · · ρT )+ (8.25)

= (1 + rT )−TT∑

j=0

(K − x(a−

T )j(a+T )T −j

)+(

T

j

)(p∗

T )j(1 − p∗T )T −j

= E∗(

K(1 + rT )−T − x(1 + rT )−T (a−T )YT (a+

T )T −YT

)+

, (8.26)

čia

p∗T =

a+T − 1 − rT

a+T − a−

T

=eσ

√τ/T − 1

eσ√

τ/T − e−σ√

τ/T, (8.27)


žr. (8.8), (8.22), o Y = YT ∈ Bin(T, p∗T ) – akcijos kainos kritimų intervale [0, T ] skaičius, įgyjantis

reikšmes 0, 1, . . . , T su tikimybėmis (8.12):

P ∗(YT = j) =T !

j!(T − j)!(p∗

T )j(1 − p∗T )T −j . (8.28)

Pasinaudoję (8.22), galime perrašyti:

(1 + rT )−T (a−T )YT (a+

T )T −YT = exp

−2σ

√τ

(YT − 1

2 T√T

)

= exp

−2σ

√τ

(YT − E∗YT√

T+

E∗YT − 12 T√

T

). (8.29)

žemiau patikrinsime, kad, kai T → ∞,

E∗YT − 12 T√

T→ σ

√τ

4, (8.30)

YT − E∗YT√T

⇒ Z/2, (8.31)

čia Z ∼ N(0, 1) – standartinis normalusis dydis, ⇒ reiškia silpnąjį skirstinių konvergavimą.

Kitaip tariant, jei g ir gT , T ≥ 1, – tolydžios ir aprėžtos funkcijos ir

supu∈R

|gT (u) − g(u)| → 0 (T → ∞), (8.32)

tai

limT →∞

E∗gT

(2(YT − E∗YT )√

T

)= lim

T →∞E∗g

(2(YT − E∗YT )√

T

)=

1√2π

∫ ∞

−∞g(u)e−u2/2du. (8.33)

Mūsų atveju, funkcijos gT ir g yra atitinkamai lygios

gT (u) =(

K(1 + rT )−T − xe−σ√

τu−σ√

τ2E∗YT −T√

T

)+

,

g(u) =(

Ke−rτ − xe−σ√

τu− σ2τ2

)+

,

o sąryšis (8.33) lengvai išplaukia iš (8.21) ir (8.30). Iš tiesų, jei

aT := K(1 + rT )−T → a := Ke−rτ ,

bT := exp

−σ

√τ

2E∗YT − T√T

→ b := e−σ2τ/2,

h(u) := xe−σ√

τu,

kai T → ∞, tai, pažymėję

AT,1 := u ∈ R : h(u) ≤ aT /bT , h(u) ≤ a/b,

AT,2 := u ∈ R : h(u) > aT /bT , h(u) ≤ a/b,

AT,3 := u ∈ R : h(u) ≤ aT /bT , h(u) > a/b,

AT,4 := u ∈ R : h(u) > aT /bT , h(u) > a/b


(kai kurios iš šių aibių gali būti tuščios, bet tai žinoti nebūtina), gausime

supu∈R

|gT (u) − g(u)| = maxi=1,2,3,4

supu∈AT,i

|gT (u) − g(u)|

≤ max

|aT − a| +

a

b|bT − b|, |aT − a| +

aT

bT|bT − b|

→ 0,

kai T → ∞, t.y. teisinga (8.32). Pasinaudoję (8.26)–(8.30) ir (8.33), gauname

limT →∞

p(T )0 =

1√2π

∫ ∞

−∞

(Ke−rτ − xe−σ

√τu− σ2τ

2

)+

e−u2/2du

=1√2π

∫ ∞

−∞

(Ke−rτ − xeσ

√τu− σ2τ

2

)+

e−u2/2du.

Lygtis Ke−rτ − xeσ√

τu− σ2τ2 = 0 turi vienintelį sprendinį u = −d2. Todėl

limT →∞

p(T )0 =

1√2π

∫ −d2

−∞

(Ke−rτ − xeσ

√τu− σ2τ

2

)+

e−u2/2du

= Ke−rτΦ(−d2) − x√2π

∫ −d2

−∞e− 1

2(u−σ

√τ)2

du

= Ke−rτΦ(−d2) − xΦ(−d1).

Patikrinkime (8.30) ir (8.31) sąryšius. Gerai žinoma, kad binominio dydžio vidurkis ir dispersija

yra atitinkamai lygūs

E∗YT = T p∗T , E∗(YT − EYT )2 = T p∗

T (1 − p∗T ).

Pasinaudoję eksponentės skleidiniu:

eσ√

τ/T = 1 +σ

√τ√

T+

σ2τ

2T+ o(T −1),

randame

E∗YT − 12 T√

T=

√T

(p∗

T − 12

)

=

√T(

eσ√

τ/T − 1 − 12

(eσ

√τ/T − e−σ

√τ/T))

eσ√

τ/T − e−σ√

τ/T

=

√T(

1 + σ√

τ√T

+ σ2τ2T + o(T −1) − 1 − 1

2

(2σ

√τ√

T+ o(T −1)

))

2σ√

τ√T

+ o(T −1)

=

√T(

σ2τ2T + o(T −1)

)

2σ√

τ√T

+ o(T −1)

=σ

√τ

4+ o(1).

Taigi, (8.30) sąryšis yra teisingas. (8.31) sąryšis išplaukia iš klasikinės tikimybių teorijos centrinės

ribinės teoremos. Mūsų narginėjamu atveju ji teigia, kad normuotas binominis skirstinys artėja į


normalujį skirstinį. Priminsime šios teoremos formulavimą. Tegul YT ∼ Bin(T, pT ) yra binominis

atsitiktinis dydis, įgyjantis reikšmes 0, 1, . . . , T , su parametru pT ∈ (0, 1). Tegul egzistuoja riba

limT →∞

pT = p ∈ (0, 1).

Tada T −1EYT = pT → p, T −1E(YT − EYT )2 = pT (1 − pT ) → p(1 − p) ir

YT − EYT√T p(1 − p)

⇒ Z ∼ N(0, 1). (8.34)

Mūsų atveju, p∗T → p = 1/2 ir todėl (8.31) išplaukia iš (8.34).

Call opciono ribinės vertės (8.23) įrodymas formaliai yra visai analogiškas (8.24) įrodymui, tačiau

yra vienas skirtumas – atitinkamos funkcijos gT ir g call opciono atveju nėra aprėžtos, ir todėl

ribinis perėjimas po integralo ženklu yra šiek tiek sudėtingesnis. Todėl call atveju paprasčiau yra

pasinaudoti put–call pariteto lygybe:

c(T )0 = p

(T )0 + S1

0 − K(1 + rT )−T

(žr. (7.12)), iš kurios išplaukia

limT →∞

c(T )0 = lim

T →∞p

(T )0 + x − K lim

T →∞(1 + rT )−T

= Ke−rτ Φ(−d2) − xΦ(−d1) + x − Ke−rτ

= xΦ(d1) − Ke−rτΦ(d2).

8.2 teorema įrodyta.

8.3 pavyzdys Opciono, kurio terminas sueina po 6 mėnesių, vykdymo kaina yra 40$. Šiuo

metu akcijos kaina lygi 42$, metinė palūkanų norma lygi 10% ir kintamumas σ = 0, 2. Kitaip

tariant,

K = 40, x = 42, τ = 0, 5, r = 0, 1, σ = 0, 2.

Randame

d1 =log(42/40) + (0, 1 + (0, 2)2/2)(0, 5)

(0, 2)√

0, 5= 0, 77,

d2 = 0, 77 − (0, 2)√

0, 5 = 0, 628,

Ke−rτ = 40e−0,05 = 38, 05.

Todėl europietiškųjų call ir put opcionų vertės, apskaičiuotos pagal Black–Scholes formules,

yra atitinkamai lygios

c0 = 42Φ(0, 77) − (38, 05)Φ(0, 628) = (42)(0, 78) − (38, 05)(0, 735) = 4, 76$,

ir

p0 = (38, 05)Φ(−0, 628) − (42)Φ(−0, 77) = 0, 81$

(normaliojio skirstinio tikimybės randamos iš lentelių).


Taigi, call pirkėjas neturės nuostolių iš šio sandorio, jei akcijos kaina po 6 mėnesių pakils

nemažiau kaip 2,76$, lyginant su dabartine jos kaina. Panašiai, put pirkėjas išvengs nuostolių,

jei akcijos kaina per tą laiką nukris nemažiau kaip 2,81$. Be to, reikia turėti galvoje, kad

mūsų pelno/nuostolių skaičiavimas neatsižvelgia į laiko piniginę vertę.

8.4 pavyzdys Tarkime, kad reikia apskaičiuoti europietiškojo put opciono su S10 = K =

100, τ = 44 dienos, σ = 0, 35 ir r = 4% metine palūkanų norma vertę, naudojantis T = 3

periodų binominiu medžiu. Turime, kad

1 + r3 = e(0,04)(44/365)(1/3) = 1, 0016,

ir

a−

3 = (1 + r3)e−σ√

τ/3 = (1, 0016)e−(0,35)√

(44/365)(1/3) = 0, 9337,

a+3 = (1 + r3)eσ

√τ/3 = (1, 0016)e(0,35)

√(44/365)(1/3) = 1, 0744,

p∗

3 =a+

3 − 1 − r3

a+3 − a−

3

= 0, 5174.

Sudarome atitinkamą kainų medį (žr. 19 paveikslą). Jo viršūnėse pavaizduota akcijos kaina,

o žemiau jos – opciono vertė, kuri apskaičiuojama rekurentiškai, pradedant nuo paskutinio

(dešiniojo) stulpelio. Šis stulpelis (atitinkantis T = 3) gaunamas apskaičiavus S13 ir (100 −

S13)+. Likę stulpeliai gaunami iš formulės

p(3)t =

E∗[p(3)t+1|Ft]

1 + r3(t = 0, 1, 2).

Rekurentiškai skaičiuodami, gauname

0 =(0)(1 − p∗

3) + (0)p∗

3

1, 0016,

3, 27 =(0)(1 − p∗

3) + (6, 33)p∗

3

1, 0016,

12, 66 =(6, 33)(1 − p∗

3) + (18, 6)p∗

3

1, 0016,

1, 69 =(0)(1 − p∗

3) + (3, 27)p∗

3

1, 0016,

8, 12 =(3, 27)(1 − p∗

3) + (12, 66)p∗

3

1, 0016,

5, 01 =(1, 69)(1 − p∗

3) + (8, 12)p∗

3

1, 0016,

čia p∗

3 = 0, 5174.

„Tikroji” (ribinė) šio opciono vertė, paskaičiuota iš Black–Scholes formulės (8.24), yra 4,60.

Didindami žingsnių skaičių T , gauname tikslesnes opciono vertes: p(10)0 = 4, 48, p

(20)0 = 4, 54,

ir t.t.

8.5. ISTORINIS IR IMPLIKUOTAS KINTAMUMAI 83

100

(5, 01)

93, 37

(8, 12)

87, 18

(12, 66)

81, 4

(18, 6)

93, 67

(6, 33)

100, 32

(3, 27)

93, 67

(6, 33)

107, 79

(0)

107, 44

(1, 69)

100, 32

(3, 27)

115, 44

(0)

107, 79

(0)

124, 03

(0)

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

19 pav. 8.4 pavyzdžio binominis medis. Jo viršūnėse – kainos proceso S1t reikšmės, skliausteliuose

po jomis – europietiškojo put opciono kainos pt.

8.5 Istorinis ir implikuotas kintamumai

Vienintelis parametras Black–Scholes formulėse, kuris tiesiogiai neįeina į kontrakto sąlygas, yra2

σ. Šis parametras vadinamas kintamumu (volatility) ir yra VP kainos pokyčių (grąžų) kintamumo

arba sklaidos charakteristika. Dažniausiai akcijų kintamumo reikšmės būna tarp 15% ir 60% (0,15

ir 0,6).

Black–Scholes formulėse yra sandauga σ√

τ , kurią galima interpretuoti kaip VP santykinio kai-

nos pokyčio (S1τ − S1

0)/S10 tarp laiko momentų t = 0 ir t = τ standartinį nuokrypį. Tarkime,

σ = 0, 3 yra metinis akcijos kintamumas. Tada savaitinių akcijos kainos pokyčių standartinis

nuokrypis apytikriai yra lygus

(0, 3)

√152

= 0, 0416.

Pvz., jei akcija kainuoja 50$, tai savaitinių akcijos kainos pokyčių standartinis nuokrypis yra

maždaug (50$) × (0, 0416) = 2, 08$.

Natūralus klausimas – kaip sužinoti ar išmatuoti šį parametrą. Egzistuoja du būdai įvertinti

σ. Abu jie yra apytikriai ir duoda šiek tiek skirtingus atsakymus. Pirmasis būdas (vadinamasis

istorinis kintamumas (historic volatility)) yra ne kas kita, kaip įprastinis dispersijos arba standar-

tinio nuokrypio įvertis. Parenkami n + 1 VP kainos stebinių S1t(0), S1

t(1), . . . , S1t(n), išdėstytų lygiais

intervalais t(i) − t(i − 1) = ∆t (pvz., kas dieną arba kas savaitę). Tada suskaičiuojami kainos

2σ taip pat naudojamas, skaičiuojant opciono vertę binominio medžio pagalba.


logaritmo pokyčiai (logaritmines grąžos)

ui = log S1t(i) − log S1

t(i−1) (i = 1, . . . , n)

ir randamas šių duomenų standartinio nuokrypio įvertis

s =

√√√√ 1n − 1

n∑

i=1

(ui − u)2,

čia u = n−1∑n

i=1 ui. Gautas įvertis s vertina kainos pokyčių ∆t ilgio intervaluose standartinį

nuokrypį. Metinio kintamumo σ įvertis σ gaunamas padalinus iš√

∆t:

σ =s√∆t

.

Stebinių skaičiaus n parinkimas nėra lengvas klausimas. Didinant n, didėja įverčio σ tikslumas.

Kita vertus, tai reiškia, kad naudojami senesni stebiniai, kurie gali būti neaktualūs būsimo σ

prognozei, nes σ kinta laikui bėgant. Praktikoje taikoma “nykščio taisyklė" rekomenduoja parinkti

n, lygų skaičiui dienų, kuriam prognuozuojamas σ. Pvz., jei mus dominančio opciono terminas yra

0,5 metų, tai σ įverčiui gauti naudojama dienos pabaigos akcijos kaina per pastarąsias 180 dienų.

Kitas būdas vertinti kintamumui yra pasinaudoti opciono rinkos kaina, o σ gauti iš Black–

Scholes formulių kaip atitinkamą parametro reikšmę, prie kurios teorinė kaina sutampa su rinkos

kaina. Taip rasta σ reikšmė vadinama implikuotu kintamumu (implied volatility). Kitaip tariant,

implikuotas kintamumas yra toks kintamumas, kurį implikuoja opcionų rinkos kainos.

Šiai procedūrai iliustruoti tarkime, kad call opciono su parametrais K = 20, S10 = x = 21, r =

0, 1, τ = 0, 25 rinkos kaina šiuo metu yra 1,875. Tada implikuotas kintamumas yra tokia σ reikšmė,

kuriai apskaičiuota pagal (8.23) formulę vertė lygi 1,875:

xΦ(d1) − Ke−rτΦ(d2) = 1, 875.

Visi į šią formulę įeinantys dydžiai, išskyrus σ, yra žinomi, ir todėl ją galima skaitiškai išspręsti σ

atžvilgiu norimu tikslumu. Mūsų atveju, apskaičiuotoji σ reikšmė lygi 0,235.

Implikuotas kintamumas atspindi rinkos dalyvių nuomonę apie konkrečios akcijos kintamumą.

Kadangi tai pačiai akcijai sudaromi įvairūs opcionai, implikuotą kintamumą, apskaičiuotą aktyviai

prekiaujamam opcionui, galima naudoti nustatant neaktyviai prekiaujamo opciono kainą.

9 skyrius

Amerikietiškieji opcionai

9.1 Amerikietiškojo opciono vertė

Nagrinėsime T periodų finansų rinkos modelį, apibrėžtą 6 skyriuje, su vienu rizikingu VP (d =

1). Laikysime, kad ši rinka yra nearbitražinė, pilnoji ir egzistuoja vienintelis rizikai neutralus

matas P ∗. Primename, kad europietiškojo opciono išmoka realizuojama termino T gale. Kadangi

amerikietiškąjį opcioną galima vykdyti bet kuriuo metu iki termino T pabaigos, jo išmoka yra

atsitiktinis procesas:

Zt, t = 0, 1, . . . , T, (9.1)

čia Zt yra opciono išmoka, jei jis vykdomas momentu t. Amerikietiškojo put opciono atveju turime

Zt = (K − S1t )+, amerikietiškojo call atveju – Zt = (S1

t − K)+. Toliau tarsime, kad procesas

Zt, t = 0, 1, . . . , T yra suderintas.

Pažymėkime Ut amerikietiškojo opciono su išmokų procesu Zt teisingąją vertę momentu t (t =

0, 1, . . . , T ). Taip pat apibrėžkime diskontuotas vertes:

Zt =Zt

(1 + r)t, Ut =

Ut

(1 + r)t.

9.1 teiginys

ZT = UT . (9.2)

Kiekvienam t = 0, 1, . . . , T − 1

Ut = max

Zt, E∗[Ut+1|Ft]

. (9.3)

Paskutinysis sąryšis ekvivalentus tokiam:

Ut = max

Zt,

E∗[Ut+1|Ft]1 + r

. (9.4)

Įrodymas. (9.2) lygybė yra akivaizdi – opciono, kuris vykdomas tuoj pat jį nupirkus, kaina UT turi

sutapti su opciono išmoka ZT .

85

86 9 skyrius. Amerikietiškieji opcionai

Tegul t = T − 1. Tada yra dvi galimybės: arba opcionas vykdomas momentu T − 1, arba

jis nevykdomas ir sprendimas (vykdyti arba nevykdyti opcioną) atidedamas į paskutinį momentą

T . Pirmuoju atveju opciono savininkas gauna išmoką ZT −1, antruoju atveju tokio opciono vertė

momentu T − 1 yra lygi (1 + r)−1E∗[ZT |FT −1] = (1 + r)T −1E∗[ZT |FT −1]. Todėl

UT −1 = max

ZT −1, (1 + r)T −1E∗[UT |FT −1]

,

nes priešingu atveju lengva patikrinti, kad rinkoje egzistuoja arbitražo galimybė. Paskutinioji

lygybė sutampa su (9.4) kai t = T − 1. Panašiai samprotaudami, galime patikrinti, kad (9.4) yra

teisinga laiko momentams t = T − 2, T − 3, . . . , 0.

9.1 pavyzdys (8.4 pavyzdžio tęsinys). Apskaičiuokime amerikietiškojo opciono vertes 8.4

pavyzdyje (opciono vykdymo kaina K = 100 ta pati). 20 paveiksle pavaizduotas kainų medis

sutampa su 19 paveikslo kainų medžiu, tačiau medžio viršūnėse, žemiau akcijos kainos, dabar

skliausteliuose pažymėtos amerikietiškojo opciono vertės atitinkamais momentais. Kaip ir

19 paveiksle, paskutinis stulpelis (t = 3) gaunamas apskaičiavus S13 ir (100 − S1

3)+. Kiti

stulpeliai rekurentiškai randami iš formulės

Ut = max

(K − S1

t )+,E∗[Ut+1|Ft]

1 + r

.

Taigi,

0 = max

(100 − 115, 44)+,

(0)(1 − p∗

3) + (0)p∗

3

1, 0016

,

3, 27 = max

(100 − 100, 32)+,

(0)(1 − p∗

3) + (6, 33)p∗

3

1, 0016

,

12, 82 = max

(100 − 87, 18)+,

(6, 33)(1 − p∗

3) + (18, 6)p∗

3

1, 0016

,

1, 69 = max

(100 − 107, 44)+,

(0)(1 − p∗

3) + (3, 27)p∗

3

1, 0016

,

8, 2 = max

(100 − 93, 37)+,

(3, 27)(1 − p∗

3) + (12, 82)p∗

3

1, 0016

,

5, 05 = max

(100 − 100)+,

(1, 69)(1 − p∗

3) + (8, 2)p∗

3

1, 0016

,

čia p∗

3 = 0, 5174 – tas pats kaip ir 8.4 pavyzdyje.

Žemiau mums bus reikalingas 9.2 teiginys.

9.2 teiginys Diskontuotų verčių procesas Ut, t = 0, 1, . . . , T yra supermartingalas mato P ∗

atžvilgiu. Be to, Ut yra mažiausias supermartingalas, mažoruojantis diskontuotą išmokų procesą

Zt. Kitaip tariant, jei Xt yra bet koks supermartingalas, tenkinantis

Xt ≥ Zt su visais t = 0, 1, . . . , T, (9.5)

9.1. AMERIKIETIŠKOJO OPCIONO VERTĖ 87

100

(5, 05)

93, 37

(8, 20)

87, 18

(12, 82)

81, 4

(18, 6)

93, 67

(6, 33)

100, 32

(3, 27)

93, 67

(6, 33)

107, 79

(0)

107, 44

(1, 69)

100, 32

(3, 27)

115, 44

(0)

107, 79

(0)

124, 03

(0)

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

20 pav. 9.1 pavyzdžio binominis medis. Jo viršūnėse – kainos proceso S1t reikšmės, skliausteliuose

po jomis – amerikietiškojo put opciono kainos pt.

tai

Ut ≤ Xt su visais t = 0, 1, . . . , T. (9.6)

Įrodymas. Iš (9.4) lygybės akivaizdu, kad

Ut ≥ E∗[Ut+1|Ft], t = 0, 1, . . . , T − 1,

t.y. Ut yra supermartingalas.

Tarkime, Xt – supermartingalas, tenkinantis (9.5). Įrodysime (9.6) taikydami indukciją pagal

t. Kai t = T , tai XT ≥ ZT = UT (žr. (9.2)) ir todėl (9.6) galioja. Tarkime, kad (9.6) galioja

kažkokiam 1 < t ≤ T , parodysime, kad tada (9.6) galios ir laiko momentui t − 1. Iš sekos Xtsupermartingalo savybės ir indukcinės prielaidos išplaukia, kad

Xt−1 ≥ E∗[Xt|Ft−1] ≥ E∗[Ut|Ft−1].

Kita vertus, Xt−1 ≥ Zt−1 (žr. (9.5)). Todėl

Xt−1 ≥ max

Zt−1, E∗[Ut|Ft−1]

= Ut−1,

paskutinioji lygybė seka iš 9.1 teiginio. 9.2 teiginys įrodytas.


9.2 Amerikietiškojo opciono optimalusis vykdymo momen-

tas. Stabdymo momentai. Snell’o apvalkalas

Šiame skyrelyje nagrinėsime natūralų klausimą – kaip nustatyti optimalų amerikietiškojo opcio-

no vykdymo momentą. Tuo tikslu, reikės įvesti papildomas sąvokas. Dauguma šiame skyrelyje

teiginių ir apibrėžimų yra bendro pobūdžio ir tiesiogiai nesusiję su finansų rinkos ypatumais (ar-

bitražo nebuvimu, rizikai neutralaus mato egzistavimu ir pan.) Todėl šie teiginiai formuluojami

abstraktaus mato P atžvilgiu.

Kita vertus, žemiau apibrėžtos stabdymo momento ir sustabdyto proceso sąvokos natūraliai

siejasi su amerikietiškojo opciono vykdymo momentu: tokiu momentu pirkėjas priima sprendimą

vykdyti opcioną ir “sustabdo (baigia) žaidimą”.

9.1 apibrėžimas Stabdymo momentu vadinamas atsitiktinis dydis ν = ν(ω), įgyjantis reikšmes

0, 1, . . . , T ir toks, kad

ω ∈ Ω : ν(ω) = t ∈ Ft su visais t = 0, 1, . . . , T. (9.7)

9.1 pastaba (9.7) sąlyga yra ekvivalenti tokiai:

ω ∈ Ω : ν(ω) ≤ t ∈ Ft su visais t = 0, 1, . . . , T. (9.8)

Intuityviai, (9.7) ir (9.8) sąlygos reiškia, kad “sprendimas apie stabdymą” momentu t priimamas,

naudojantis tik “informacija” iki momento t imtinai. Amerikietiškojo opciono atveju, sprendimas

apie jo vykdymą momentu t priimamas naudojantis informacija apie VP kainas iki momento t ir

momentu t.

9.2 pavyzdys Atsitiktinis momentas

ν(ω) = t = 0, 1, . . . , T : S1u(ω) < S1

t (ω) (∀s < t), S1v(ω) ≤ S1

t (ω) (∀v > t),

kitaip tariant, mažiausias iš laiko momentų kuriuose diskontuota kaina S1t pasiekia savo mak-

simumą, apskritai nėra stabdymo momentas. Iš tiesų, norint nusakyti būsenas ω, kurioms,

pvz., galioja ν(ω) = 2, reikia žinoti kainas S1t (ω) visais laiko momentais t = 0, 1, . . . , T . Stab-

dymo momento pavyzdžiu gali būti pirmasis momentas, kai kaina viršija tam tikrą reikšmę,

pvz.,

ν(ω) =

mint = 0, 1, . . . , T : S1

t > K, jei toks t egzistuoja;

T, kitais atvejais.

Tegul Xt = Xt, t = 0, 1, . . . , T yra suderintas procesas, ν – stabdymo momentas. Apibrė-

šime sustabdytą procesą:

Xνt (ω) = Xt∧ν(ω)(ω) (t = 0, 1, . . . , T ), (9.9)

9.2. AMERIKIETIŠKOJO OPCIONO OPTIMALUSIS VYKDYMO MOMENTAS 89

čia a ∧ b = min(a, b). Kitaip tariant,

Xνt =

Xt, jei t ≤ ν;

Xν , jei t > ν.

9.3 teiginys

(i) Sustabdytas procesas Xνt yra suderintas.

(ii) Jei Xt yra numatomas, tai Xνt irgi yra numatomas.

(iii) Jei Xt yra martingalas (supermartingalas), tai Xνt irgi yra martingalas (supermartinga-

las).

Įrodymas. (i) Tegul a ∈ R, t = 0, 1, . . . , T – bet kokie. Nagrinėkime įvykį

ω : Xνt (ω) = a

=T⋃

s=0

ω : Xt∧ν(ω)(ω) = a, ν(ω) = s

=T⋃

s=0

ω : Xt∧s(ω) = a, ν(ω) = s

=( t−1⋃

s=0

ω : Xs(ω) = a ∩ ω : ν(ω) = s)⋃(

ω : Xt(ω) = a ∩ ω : ν(ω) ≥ t)

.(9.10)

Čia

ω : Xs(ω) = a ∈ Fs ⊂ Ft−1 (s ≤ t − 1), (9.11)

ω : ν(ω) = s ∈ Fs ⊂ Ft−1 (s ≤ t − 1), (9.12)

ω : Xt(ω) = a ∈ Ft, (9.13)

ω : ν(ω) ≥ t = Ω∖( t−1⋃

s=0

ω : ν(ω) = s)

∈ Ft−1 (9.14)

ir todėl įvykis ω : Xνt (ω) = a ∈ Ft. Tai ir reiškia, kad procesas Xν

t yra suderintas su filtracija

Ft.

(ii) Iš sąlygos seka, kad įvykis ω : Xt(ω) = a ∈ Ft−1. Likusieji įvykiai (9.10) dėstinyje irgi

priklauso šiai σ-algebrai (žr. (9.11), (9.12), (9.14)). Todėl ω : Xνt (ω) = a ∈ Ft−1; kitaip tariant,

procesas Xνt yra numatomas.

(iii) Užtenka patikrinti supermartingalo savybę: su visais t = 1, . . . , T

E[∆Xνt |Ft−1] ≤ 0


(primename, kad ∆Xt = Xt − Xt−1 yra skirtumas). Turime

∆Xνt = Xν

t − Xνt−1

= Xt∧ν − X(t−1)∧ν

= (Xt − Xt−1)1ν≥t

= ∆Xt1ν≥t,

čia 1A žymi aibės A indikatorių. Kadangi aibė ω : ν(ω) ≥ t ∈ Ft−1 (žr. (9.14)), tai, pasinaudoję

sąlyginio vidurkio savybe ir Xt supermartingalo savybe, turime

E[∆Xνt |Ft−1] = E[∆Xt1ν≥t|Ft−1] = 1ν≥tE[∆Xt|Ft−1] ≤ 0.

9.2 teiginys įrodytas.

9.2 apibrėžimas Suderinto proceso Zt Snell’o apvalkalu (Snell envelope) vadinamas procesas

Ut:

Ut =

ZT , jei t = T ;

max Zt, E[Ut+1|Ft] , jei t = 0, 1, . . . , T − 1.(9.15)

9.4 teiginys Tarkime, Ut yra suderinto proceso Zt Snell’o apvalkalas. Tada

(i) Ut yra supermartingalas.

(ii) ν∗ = mint = 0, 1, . . . , T : Ut = Zt yra stabdymo momentas.

(iii) Sustabdytas procesas Uν∗t yra martingalas.

Įrodymas. (i) akivaizdžiai seka iš Ut ≥ E[Ut+1|Ft] (t = 0, 1, . . . , T − 1) (žr. (9.15)).

(ii) Kiekvienam t = 0, 1, . . . , T galime parašyti

ν∗ = t = U0 > Z0︸︷︷︸∈F0

∩ · · · ∩ Ut−1 > Zt−1︸︷︷︸∈Ft−1

∩ Ut = Zt︸︷︷︸∈Ft

,

ir todėl aibė ω : ν∗(ω) = t ∈ Ft. Taigi, ν∗ – stabdymo momentas.

(iii) Reikia parodyti, kad su visais t = 1, . . . , T

E[∆Uν∗

t |Ft−1] = 0. (9.16)

Panašiai kaip 9.2 teiginio įrodyme, galime parašyti

∆Uν∗

t = (Ut − Ut−1)1ν∗≥t = Ut1ν∗≥t − Ut−11ν∗≥t

Kadangi ν∗ yra stabdymo momentas, tai ν∗ ≥ t ∈ Ft−1 (žr. (9.14)) ir iš sąlyginio vidurkio

savybių turime, kad

E[Ut−11ν∗≥t|Ft−1] = Ut−11ν∗≥t,

E[Ut1ν∗≥t|Ft−1] = 1ν∗≥tE[Ut|Ft−1]

9.2. AMERIKIETIŠKOJO OPCIONO OPTIMALUSIS VYKDYMO MOMENTAS 91

Todėl (9.16) lygybė seka iš

1ν∗≥tE[Ut|Ft−1] = 1ν∗≥tUt−1. (9.17)

Iš tiesų, jei ν∗ ≥ t, tai reiškia, kad Ut−1 > Zt−1 ir todėl

Ut−1 = max Zt−1, E[Ut|Ft−1] = E[Ut|Ft−1].

Todėl (9.17) ir (9.16) lygybės yra teisingos. 9.4 teiginys įrodytas.

9.5 teiginys Tegul Ut, Zt, ν∗ – tie patys, kaip ir 9.4 teiginyje. Tada

U0 = EZν∗ = supν

EZν , (9.18)

čia supremumas imamas pagal visus stabdymo momentus ν.

Įrodymas. Tikriname pirmąją lygybę:

U0 = Uν∗

0 (tai galioja visiems sustadytiems procesams)

= EUν∗

T (nes Uν∗t yra martingalas – žr. 9.4 teiginį )

= EUν∗ (nes Uν∗

T = Uν∗)

= EZν∗ (nes Uν∗

T = Zν∗ iš ν∗ apibrėžimo).

Antroji lygybė seka iš pirmosios ir tokios nelygybės: U0 ≥ EZν su kiekvienu stabdymo momentu

ν. Tikriname šią nelygybę. Panašiai kaip aukščiau, rašome

U0 = Uν0 (tai galioja visiems sustadytiems procesams)

≥ EUνT (nes Uν

t yra supermartingalas – žr. 9.4(i) ir 9.3(iii) teiginius)

= EUν (nes UνT = Uν)

≥ EZν (nes Uνt ≥ Zt su visais t (žr. (9.15)).

9.5 teiginys įrodytas.

Grįžkime prie amerikietiškojo opciono vykdymo momento. Pastebėkime, kad tokio opciono dis-

kontuota vertė Ut yra diskontuoto išmokų proceso Zt Snell’o apvalkalas (mato P ∗ atžvilgiu).

Iš tiesų, jei

Zt = Zt = Zt/(1 + r)t, Ut = Ut = Ut/(1 + r)t,

tai (9.15) lygybė sutampa su (9.2)–(9.4) lygybėmis. Apibrėžkime stabdymo momentą:

ν∗ = mint = 0, 1, . . . , T : Ut = Zt

= mint = 0, 1, . . . , T : Ut = Zt. (9.19)


Iš 9.5 teiginio išplaukia svarbi išvada

9.1 išvada Amerikietiškojo opciono vertė sutampa su diskontuotos išmokos Zν∗ stabdymo

momentu ν∗ (9.19) vidurkiu mato P ∗ atžvilgiu:

U0 = E∗Zν∗ = E∗ Zν∗

(1 + r)ν∗ . (9.20)

Stabdymo momentas ν∗ (opciono vykdymo momentas) yra optimalus ta prasme, kad bet kuriam

stabdymo momentui ν galioja nelygybė:

U0 = E∗Zν∗ ≥ E∗Zν .

9.2 pastaba Apskritai, ν∗ (9.19) nėra vienintelis stabdymo momentas, kuriam galioja (9.20),

tačiau galima parodyti, kad jis yra pats mažiausias tarp visų tokių stabdymo momentų.

9.3 pavyzdys (9.1 pavyzdžio tęsinys). Amerikietiškojo opciono su K = 100, T = 3 vertės

ir kainų medis pavaizduoti 20 paveiksle. Raskime šio opciono optimalųjį vykdymo momentą

ν∗. Naudodamiesi (9.19) apibrėžimu, randame

ν∗ =

2, jei S1

2 = 115, 44 arba S12 = 87, 18;

3, jei S12 = 100, 32.

21 paveiksle pažymėtos šio opciono vertės Ut ir išmokos Zt. Taip pat žvaigždute pažymėtos

momento ν∗(ω) reikšmės kainų medyje.

9.3 Amerikietiškojo opciono hedžingas. Doob’o dėstinys

9.3 apibrėžimas Amerikietiškojo opciono hedžingo strategija vadinsime tokią savifinansuojančią

strategiją H = H1, . . . , HT , kad

V0(H) = U0 (9.21)

ir

Vt(H)(ω) ≥ Ut(ω) su visais t = 1, . . . , T ; ω ∈ Ω, (9.22)

čia (primename) Ut – amerikietiškojo opciono vertė momentu t.

Kaip ir kitų išvestinių VP atveju, amerikietiškųjų opcionų hedžingo strategijos radimas yra vie-

nas svarbiausių uždavinių. Žemiau parodysime, kaip galima rasti amerikietiškojo opciono hedžingo

strategiją binominės rinkos atveju, nors jos skaičiavimas yra šiek tiek sudėtingesnis, lyginant su

europietiškuoju opcionu.

9.3. AMERIKIETIŠKOJO OPCIONO HEDŽINGAS. DOOB’O DĖSTINYS 93

0

(5, 05)

6, 33

(8, 20)

12, 82 ∗

(12, 82)

18, 6

(18, 6)

6, 33 ∗

(6, 33)

0

(3, 27)

6, 33 ∗

(6, 33)

0 ∗(0)

0

(1, 69)

0

(3, 27)

0 ∗

(0)

0 ∗

(0)

0

(0)

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3

21 pav. 9.3 pavyzdžio binominis medis. Jo viršūnėse – amerikietiškojo opciono išmokos Zt,

skliausteliuose po jomis – opciono vertės Ut. Žvaigždutėmis medyje pažymėtas stabdymo momentas

ν∗(ω).

Mums bus reikalingas vadinamasis Doob’o dėstinys (angl. Doob decomposition) – fundamentalus

martingalų teorijos rezultatas, plačiai naudojamas šios teorijos taikymuose. Diskretaus laiko atveju

Doob’o dėstinys gaunamas labai paprastai (žr. žemiau).

9.1 teorema Bet kuris supermartingalas Xt, t = 0, 1, . . . , T vieninteliu būdu gali būti užrašytas

kaip skirtumas martingalo ir nemažėjančio numatomo proceso:

Xt = Mt − At (9.23)

čia Mt – martingalas, o At – nemažėjantis (t.y., At ≤ At+1; t = 0, 1, . . . , T − 1) numatomas

procesas su A0 = 0.

Įrodymas. Apibrėžkime procesus Mt ir At lygybėmis:

Mt = M0 +t−1∑

s=0

(Xs+1 − E[Xs+1|Fs]) M0 = X0,

At =t−1∑

s=0

(Xs − E[Xs+1|Fs]), A0 = 0.

Iš supermartingalo ir martingalo apibrėžimų akivaizdu, kad taip apibrėžtos sekos Mt ir Attenkina teoremos sąlygas.

Teoremos įrodymui lieka patikrinti (9.23) dėstinio vienatį. Tarkime,

Xt = M ′t − A′

t, (9.24)


yra kitas analogiškas dėstinys, čia M ′t – martingalas, A′

t – nemažėjantis numatomas procesas

su A′0 = 0. Iš (9.23) ir (9.24) išplaukia, kad

A′t+1 − A′

t = (M ′t+1 − M ′

t) + (At+1 − At) − (Mt+1 − Mt).

Apskaičiavę abiejų šios lygybės pusių sąlyginius vidurkius Ft atžvilgiu, gauname

A′t+1 − A′

t = At+1 − At, t = 0, 1, . . . , T − 1.

Kadangi A0 = A′0 = 0, tai su visais t = 1, . . . , T gauname A′

t = At ir M ′t = Mt.

9.6 teiginys Amerikietiškojo opciono hedžingo strategija yra strategija H , replikuojanti pasiekia-

mą ieškinį (1 + r)T MT :

Vt(H) = (1 + r)tE∗[MT |Ft] = (1 + r)tMt, (9.25)

čia

Mt − At = Ut (9.26)

yra opciono diskontuotų verčių proceso Doob’o dėstinys.

Įrodymas. Kadangi mūsų binominė rinka yra pilnoji, tai tokia strategija H egzistuoja. Teiginiui

įrodyti reikia patikrinti, kad H tenkina hedžingo strategijos savybes (9.21) ir (9.22). Pasinaudoję

(9.25), (9.26) ir martingalo savybe, gauname

V0(H) = M0 = U0 + A0 = U0,

t.y. (9.21) yra teisinga. (9.22) įrodoma panašiai:

Vt(H) = (1 + r)t(Ut + At) ≥ (1 + r)tUt = Ut,

kadangi nelygybė At ≥ 0 akivaizdžiai išplaukia iš proceso At savybių.

9.2 pastaba Skaitytojui gali kilti natūralus klausimas – kokia prasmė išvis pirkti amerikietiškąjį

opcioną, jei hedžingo strategija momentu t = 0 kainuoja lygiai tiek pat (žr. (9.21)), o vėlesniais

laiko momentais jos vertė visada nemažesnė nei opciono vertė (žr. (9.22)) ir netgi nuo tam tikro

momento bus griežtai didesnė nei opciono vertė? (Iš tiesų, Vt(H) = Ut + (1 + r)tAt > Ut, jei

At > 0, žr. (9.25), (9.26).)

Ši tariama prieštara išsprendžiama labai paprastai – pasirodo, opciono vykdymo momentu ν∗

9.3. AMERIKIETIŠKOJO OPCIONO HEDŽINGAS. DOOB’O DĖSTINYS 95

procesas Aν∗ = 0, ir todėl Vν∗ (H) = Uν∗ . Šį faktą galima lengvai patikrinti:

U0 = E∗Zν∗ (žr. (9.20))

= E∗Uν∗ (žr. (9.19))

= E∗Mν∗ − E∗Aν∗ (žr. (9.26))

= E∗Mν∗

T − E∗Aν∗ (žr. (9.9) apibrėžimą)

= Mν∗

0 − E∗Aν∗ (žr. 9.3(iii) teiginį)

= M0 − E∗Aν∗ (žr. (9.9) apibrėžimą)

= U0 − E∗Aν∗ , (žr. (9.26))

t.y. E∗Aν∗ = 0. Todėl Aν∗ = 0 (nes At ≥ 0).

9.3 pavyzdys (9.1 ir 9.2 pavyzdžių tęsinys). Norint šiame pavyzdyje rasti hedžingo strategiją,

reikia 1) rasti M3 (arba A3) ir 2) rasti ieškinį X = (1 + r)3M3 replikuojančią strategiją H .

Žemiau spręsime tik 1) uždavinį, nes 2) uždavinys sprendžiamas įprastiniu būdu (žr. 6 skyrių).

Primename, kad šiame pavyzdyje p∗ = 0, 5174; 1−p∗ = 0, 4826, 1+r = 1, 0016. Skaičiuojame:

U2 − E∗[U3|F2]

=1

(1 + r)2

(0 − (0)(1 − p∗) + (0)p∗

1 + r

)= 0, jei S1

2 = 115, 44,

=1

(1 + r)2

(3, 27 − (0)(1 − p∗) + (6, 33)p∗

1 + r

)= 0, jei S1

2 = 100, 32,

=1

(1 + r)2

(12, 82 − (6, 33)(1 − p∗) + (18, 6)p∗

1 + r

)= 0, 16155, jei S1

2 = 87, 18.

Panašiai,

U1 − E∗[U2|F1]

=1

(1 + r)

(1, 69 − (0)(1 − p∗) + (3, 27)p∗

1 + r

)= 0, jei S1

1 = 107, 44,

=1

(1 + r)

(8, 2 − (3, 27)(1 − p∗) + (12, 82)p∗

1 + r

)= 0, jei S1

1 = 93, 37,

ir

U0 − E∗[U1|F0] = 5, 05 − (1, 69)(1 − p∗) + (8, 2)p∗

1 + r= 0.

Todėl

A3 =(U0 − E∗[U1|F0]

)+(U1 − E∗[U2|F1]

)+(U2 − E∗[U3|F2]

)

=

0, jei S12 = 115, 44,

0, jei S12 = 100, 32,

0, 1615, jei S12 = 87, 18.


Pagaliau, randame ieškinį X = (1 + r)3(U3 + A3) = U3 + (1 + r)3A3, kurį turi replikuoti

hedžingo strategija H :

V3(H) = X =

0, jei S12 = 115, 44,

0, jei S12 = 100, 32 ir S2

3 = 107, 79,

6, 33, jei S12 = 100, 32 ir S1

3 = 93, 67,

6, 5, jei S12 = 87, 18 ir S1

3 = 93, 67,

18, 76, jei S12 = 87, 18 ir S1

3 = 81, 4.

Pastebėsime, kad mūsų rastas ieškinys X priklauso nuo VP kainos laiko momentais t = 2 ir

t = 3. Šis faktas yra natūralus, turint galvoje, kad amerikietiškasis opcionas priklauso nuo

visos kainų "istorijos" iki momento T .

Literatūra

[1] Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political

Economy 3 (1973), 637–654.

[2] Cox J.C., Ross S.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. Journal of Financial

Economics 7 (1979), 229–263.

[3] Hull J. Options, Futures and Other Derivative Securities, 6th edition, Pearson Prentice Hall,

2006.

[4] Lamberton D., Lapeyre B. Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, London,

Chapman and Hall, 1996.

[5] Leipus R. Finansų rinkos. Diskretaus laiko stochastiniai modeliai. Vilniaus universiteto lei-

dykla, 1999.

[6] Merton R.C. The theory of rational option pricing. Bell Journal of Economics and Manage-

ment Science 4 (1973), 141–183.

[7] Pliska S.R. Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models. Oxford, Blackwell

Publishers, 1997.

97

atnaujintas d. surgailio paskaitų konspektas

Documents