APLICACIONES DE MODELO DE DIFUSIN DE UNA ENFERMEDAD EN ECUACIONES DIFERENCIAL

ORDINARIAS

Liseth Tatiana Amashta Daniel alberto Bermudez Tellez Jos Francisco Gonzlez cuello Kelly Dayana Mendoza villazon

Laura Ochoa Daz Fundacin Universitaria del rea Andina, Valledupar - Colombia

Resumen Las ecuaciones diferenciales han venido desempeando un papel crucial en

diferentes mbitos de las matemticas e ingeniera, as como en el estudio

de las ciencias tales como, la economa, mediana, psicologa, investigacin

de operaciones entre otros. Se han desarrollan modelos matemticos para

ayudar a comprender la fenomenologa o el origen de ciertos problemas

fsicos, biolgicos, sociales, etc. Estos modelos a menudo dan lugar a una

ecuacin que contiene ciertas derivadas de una funcin incgnita o funcin

desconocida. A una ecuacin de este tipo se le denomina ecuacin

diferencial.

Palabras clave: epidemiologa, modelos de transmisin de enfermedades.

Abstract

The differential equations have been playing a crucial role in various areas of

mathematics and engineering, as well as in the study of the sciences such as

economics, medicine, psychology, operations research and others.

Mathematicians have been developed to help understand the phenomenology

or the origin of certain physical, biological, social and other problems models.

These models often lead to an equation derived contains certain unknown or

unknown. In an equation of this type is called a differential equation.

Keywords: epidemiology, diseases transmission models.

INTRODUCCIN

En las ramas de la ciencia se tiene un puente entre la notacin, muy

simplificada, que utiliza la matemtica en el estudio de las ecuaciones

diferenciales y la que aparece, de forma natural, al estudiar algunos

problemas de Ingeniera. La teora de ecuaciones diferenciales es de gran

importancia en el anlisis de modelos matemticos de las Ciencias Aplicadas

y la Tecnologa. Con muchas observaciones a las ecuaciones diferenciales

ordinarias de primer orden se dan algunas aplicaciones a la

epidemiologia y a otras ciencias experimentales.

Un problema importante de la biologa y de la medicina trata de la ocurrencia,

propagacin y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una

enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que

estudia este problema se llama epidemiologa K, y si un porcentaje grande no

comn de una poblacin adquiere la enfermedad, decimos que hay

una epidemia.

Los problemas que contemplan la propagacin de una enfermedad pueden ser

algo complicados; para ello presentar un modelo matemtico sencillo para la

propagacin de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una

poblacin grande pero finita1.

El primero en determinar la propagacin de las enfermedades infecciosas

mediante un modelo matemtico fue DAlembert, en el siglo XVIII, adems all

se dice que el primer artculo conocido que incluye un modelo matemtico

1 Alberto, Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, Venezuela

explicito para una enfermedad infecciosa lo pblico Daniel Bernoulli (1700-

1782) en 1760, el trabajo sus modelos a travs de ecuaciones diferenciales

ordinarias y adems, que a Bernoulli le sigui el famoso epidemilogo y

malariologo Ronald Ross, quien explico el ciclo completo de la malaria

humana, con la inclusin del mosquito como vector y el parasito Plasmodium.2

Debido a la cantidad de enfermedades infecciosas que hemos presentado

hasta la actualidad, por ello, el uso de sistemas cuantitativos basados en

modelos matemticos para asimilar la dinmica de transmisin y control de las

enfermedades infecciosas tales como los modelos SI, SIR, y SIS que nos

enfocaremos en este artculo.

Los modelos a estudiar sern modelos determinsticos a base de sistemas

dinmicos, estos modelos estn ajustados en los estados por los que pueden

pasar los individuos, manipulando a los individuos de manera conjunta en lugar

de hacerlo de forma individual.

El modelo SI es el modelo ms simple, que consta de dos variables

dependientes y es un modelo contino, quiere decir que pasa del estado

susceptible al estado de infectados y viceversa, consiste en un sistema de dos

ecuaciones diferenciales:

Las variables dependientes son el nmero de personas susceptibles (S) y el

nmero de personas infectadas (I), La constante (a) es una medida de la

2 Mayrelly Valera, Dinmica de un Modelo Epidemiolgico SIRS, Barquisimeto, Junio de 2013

rapidez de transmisin de la enfermedad de una persona infectada a la

poblacin susceptible. La constante (b) representa la razn con la que sana la

poblacin infectada, es decir, sale de la poblacin infectada (y con ello se

supone que queda inmune).

2. MARCO TERICO

Existen dos tipos de modelos matemticos: determinsticos y estocsticos. En

un modelo determinstico se pueden controlar los factores que intervienen en

el estudio del proceso o fenmeno y por tanto se pueden predecir con exactitud

sus resultados. En un modelo estocstico no es posible controlar los factores

que intervienen en el estudio del fenmeno y en consecuencia no produce

simples resultados nicos. Cada uno de los resultados posibles se genera con

una funcin de probabilidad que le adjudica una probabilidad a cada uno de

stos, por ejemplo un modelo para predecir el tamao de una epidemia en una

poblacin de N individuos. Para el caso determinstico se proporciona un valor

nico, C, mientras que el modelo estocstico permite la posibilidad de obtener

desde cero hasta N individuos y se adjudica una cierta probabilidad a cada uno

de estos sucesos. La diferencia es ms grande de lo que parece, ya que en

un modelo matemtico determinstico en el contexto epidemiolgico; un solo

sujeto causa una epidemia generalizada, mientras que bajo un modelo

estocstico existe la posibilidad de que la epidemia se extinga.3

Dentro de los modelos determinsticos fundamentados en estados hay una

gran diversidad de posibles modelos a utilizar. El acrnimo de un modelo

solicita revelar los otros estados por los que van los individuos. Por ejemplo,

un modelo SIR establece que los individuos pueden pasar de ser susceptibles,

a infecciosos y de ah a resistentes. Si el modelo fuese cclico, el acrnimo

terminara en la misma letra que haya empezado como es en el caso del

3 Osval Antonio Montesinos-Lpez, Carlos Moiss Hernndez-Surez, Facultad de Telemtica, Universidad de Colima. Colima, Mxico

modelo SIRS demuestra que los individuos pueden cambiar de estados de

susceptible a infectado, recuperado y nuevamente a susceptible. El modelo a

utilizar depender de los agentes infecciosos por los que se transmita la

enfermedad a modelizar, ya que varan de una enfermedad a otra. Por

ejemplo, las enfermedades cuyos agentes infecciosos son virus, provocan que

aquellos individuos que se recuperan de la enfermedad pasen a un estado de

resistencia en el que no pueden volver a ser infectados.

Los estados presentes en los modelos de difusin de una enfermedad tanto

como son el modelo SI, SIS, SIES, SIRS, SIERS son:

Los individuos Susceptibles (S) o individuos sanos pero sensibles a la

enfermedad.

Los individuos Expuestos (E) son individuos sanos que estn en

contacto con los agentes trasmisores de la enfermedad pero no la

padecen.

Los individuos Infectados (I) o individuos que poseen la enfermedad y

son capaces de transmitirla.

Los individuos Recuperados (R) o individuos que padecieron la

enfermedad y se recuperaron adquiriendo una inmunidad temporal o de

por vida.

El trnsito de un individuo por las distintas categoras lo podemos ver en el

siguiente esquema:

S E I R S.

El modelo SIS se puede demostrar en ecuacin diferencial como 2

expresiones, como se ilustra a continuacin:

El nmero de personas susceptibles (S) y el nmero de personas infectadas

(I). En este modelo, bajo su versin estocstica, cada individuo infeccioso tiene

contacto con otro, escogido al azar, a una tasa (contactos por unidad de

tiempo). El trmino I(t), que describe el ritmo al que los individuos se

recuperan de la enfermedad o se convierten en susceptibles, por lo que se

aplica en ambas ecuaciones. En el modelo SIS estocstico la tasa de contacto

es tambin (contactos por unidad de tiempo). De nueva cuenta, la variable

aleatoria tiempo transcurrido entre la infeccin del individuo k-1 y el individuos

k, para k=1, 2,3,, tiene una distribucin exponencial con parmetro . Del

mismo modo, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre la recuperacin (el

individuo se vuelve otra vez susceptible) del individuo k-1 y el individuo k,

para k=1, 2,3,, tiene una distribucin exponencial con parmetro . Ambas,

y , son constantes que no cambian con el tiempo. Por lo tanto, la variable

aleatoria X (t), que alude al nmero de susceptibles e infectados al tiempo t,

es un proceso Poisson homogneo (ley de los sucesos raros) y

tambin N=S(t)+I(t), de manera que los estados del proceso al tiempo t se

identifican por X(t)={S(t),I(t)}, es decir, el nmero de susceptibles e infectados

al tiempo t. Aqu, cuando hay I infectados y S susceptibles, las probabilidades de transicin son:

De igual manera, o () es una cantidad que tiende a cero cuando tambin lo

hace . La solucin al modelo SIS en ambas versiones tambin muestra que

se debera esperar una trayectoria en forma de S en la cifra de infectados. No

obstante, la trayectoria SIS difiere de la SI en que el nmero de personas

infectadas al mismo tiempo nunca alcanza el total de la poblacin (lo que no

excluye la posibilidad de que cada uno de los individuos pueda infectarse en

algn otro momento). Por el contrario, el proceso alcanza un equilibrio cuando

exactamente el mismo nmero de individuos infecciosos se convierte en

susceptible o viceversa.

El ltimo modelo descrito es el SIR, que en su forma ms simple puede

formularse como un conjunto de ecuaciones diferenciales, tal y como se

muestra a continuacin:

Por ltimo, en el modelo SIR estocstico cada individuo infeccioso tiene

tambin contacto con otro, escogido al azar, a una tasa (contactos por unidad

de tiempo). A diferencia del modelo SIS, un individuo infectado se recupera y

en lugar de susceptible se vuelve inmune a una tasa . De nueva cuenta, la

variable aleatoria tiempo transcurrido entre la infeccin del individuo K-1 y el

individuo k, para k=1, 2,3,, muestra una distribucin exponencial con

parmetro . Del mismo modo, la variable aleatoria tiempo transcurrido entre

la recuperacin (el sujeto se vuelve inmune) de los individuos k-1 y k, para k=1,

2,3,, tiene una distribucin exponencial con parmetro . Ambas, y , son

constantes que no cambian con el tiempo. Por consiguiente, la variable

aleatoria X(t), que denota el nmero de susceptibles e infectados al tiempo t,

es un proceso Poisson homogneo (ley de los sucesos raros) y aqu

N=S(t)+I(t)+R(t); en consecuencia, los estados del proceso al tiempo t pueden

identificarse con X(t)={S(t),I(t)}, esto es, el nmero de susceptibles e infectados

al tiempo t. Aqu, las probabilidades de transicin son:

Tambin en este caso o(d) es una cantidad que tiende a cero cuando d

tambin lo hace. El modelo SIR describe el proceso en las tres distintas etapas.

La solucin al modelo SIR muestra asimismo una trayectoria en forma de S en

las primeras fases de la epidemia. Este modelo difiere tanto del

modelo SI como del SIS porque muestra una propensin a acabar en cero

infectados a largo plazo.

Para un poner un ejemplo de un problema epidemiolgico nos restringimos a

los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en

los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene

acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de

estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados,

y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son

capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado.

Deseamos obtener una frmula para el nmero de estudiantes infectados en

cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un nmero especificado de

estudiantes infectados4.

4 Alberto, Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, Venezuela

Formulacin Matemtica:

Supnganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu

estudiantes no infectados. Entonces si N es l nmero total de estudiantes,

asumido constante, tenemos el modelo SI5

N = Ni + Nu

La tasa de cambio en l nmero de estudiantes infectados est dada entonces

por la derivada dNi / dt. Esta derivada debera depender de alguna manera de

Ni y as de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.

Asumiendo que dNi / dt, como una aproximacin, es una funcin cuadrtica de

N, tenemos entonces que:

dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni

Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaramos que la tasa de cambio

de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes

infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estn infectados.

Entonces de la ltima formulacin hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N

= 0 A2 = -A1/N

As que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni).

Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No

estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos

deducir que:

Ni = N _ 1 + (N/No - 1)e

5 Alberto, Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, Venezuela

3. CONCLUSIN

El empleo de ecuaciones matemticas para enfermedades infecciosas es de

gran ayuda para la medicina, para establecer las polticas de vacunacin

utilizando los diversos modelos de ecuaciones diferenciales.

Desafortunadamente en muchos casos estos modelos matemticos no son de

gran exactitud ya que en muchos casos no se cuenta con datos confiable para

realizar cuantificaciones de los parmetros requeridos, para tomar medida lo

cual da lugar a un gran margen de error, de esta manera cabe mencionar que

los resultados de estos modelos deben tomarse con muchos cuidado y asi

poder tener el efecto de las medidas de control aun antes de iniciar una

epidemia.

Existen diversos modelos epidemiolgicos sencillo que no requieren ser un

experto en la materia, solo hay que hacer buen uso de ellos. Tambin existen

modelos muy complejos que a menudo son incomprensibles para el profano

en la materia. Por lo tanto, para hacer un uso adecuado de ellos se necesitan

mayores herramientas matemticas y computacionales.

Por otro lado, vale la pena mencionar que no existe una metodologa

sistemtica para la modelacin y pruebas de hiptesis de enfermedades

infecciosas para profesionales de la salud. Por ello es importante que los

profesionales de la salud tengan conocimiento de la existencia de estos

modelos y fortalezcan su colaboracin con modeladores de enfermedades,

para disear en forma conjunta medidas eficaces de control y erradicacin de

enfermedades infecciosas. Por ltimo, es prudente mencionar que dado que

el actual es un mundo cada vez ms interconectado e interdependiente, las

amenazas de brotes de epidemias son muy altas, por lo que es sumamente

importante fortalecer un sistema de vigilancia epidemiolgica para prevenir y

combatir la aparicin de enfermedades infecciosas capaces de alterar la salud

y la economa.

REFERENCIA

1. Nagle,R.k, -Saff, EB, Snidder, A,D. ecuaciones diferenciales y problemas con

valores de la frontera, Ed. Addision-Wesley-Pearson Education (2001).

2. http://bvs.insp.mx/rsp/articulos/articulo.php?id=001978

3. http://www.mat.ucm.es/~ivorra/papers/Diego-Epidemiologia.pdf

4. http://bibcyt.ucla.edu.ve/Edocs_bciucla/Repositorio/TGMQA372V352013.pdf

5. http://html.rincondelvago.com/aplicaciones-de-las-ecuaciones-diferenciales-

de-primer-y-segundo-orden.html

AbstractKeywords: epidemiology, diseases transmission models.