Captulo 1: Conjuntos 1.1 Estudando os conjuntos ................................................................................................................... 03 1.2 Relao de pertinncia ..................................................................................................................... 03 1.3 Relao de incluso ......................................................................................................................... 03 1.4 Conjunto vazio .................................................................................................................................. 04 1.5 Conjunto unitrio ............................................................................................................................. 04 1.6 Conjunto das partes ......................................................................................................................... 04 1.7 Nmero de elementos do conjunto das partes ................................................................................ 04 1.8 Igualdade dos conjuntos .................................................................................................................. 05 1.9 Operaes com conjuntos ................................................................................................................ 05 1.10 Conjuntos numricos ...................................................................................................................... 07 1.11 Intervalos reais ............................................................................................................................... 11 1.12 Exerccio comentado ...................................................................................................................... 13 1.13 Fixao ........................................................................................................................................... 15 1.14 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 20 1.15 Sesso Leitura ............................................................................................................................... 21 1.16 Referncias .................................................................................................................................... 23 Captulo 2: Funes 2.1 Noo intuitiva24 2.2 A noo de funo atravs de conjuntos ......................................................................................... 25 2.3 Domnio, Imagem e Contradomnio ................................................................................................. 26 2.4 Estudo do domnio de uma funo .................................................................................................. 27 2.5 Funo Sobrejetora, funo injetora e funo bijetora .................................................................... 28 2.6 Funo par e funo mpar .............................................................................................................. 29 2.7 Funo crescente e funo decrescente ......................................................................................... 30 2.8 Funo composta ............................................................................................................................. 30 2.9 Funo inversa ................................................................................................................................. 31 2.10 Exerccio comentado ...................................................................................................................... 32 2.11 Fixao ........................................................................................................................................... 32 2.12 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 43 2.13 Sesso Leitura ............................................................................................................................... 46 2.14 Referncias .................................................................................................................................... 47

Captulo 3: Funo do 1 Grau ou Funo Afim 3.1 Estudando funo afim ..................................................................................................................... 48 3.2 Funo polinomial de 1 grau ........................................................................................................... 48 3.3 Funo constante ............................................................................................................................. 49 3.4 Raiz da funo ................................................................................................................................. 49 3.5 Estudo da variao do sinal de y = ax + b ....................................................................................... 50 3.6 Inequaes do 1 grau ..................................................................................................................... 51 3.7 Exerccio comentado ........................................................................................................................ 53 3.8 Fixao ............................................................................................................................................. 54 3.9 Pintou no Enem ................................................................................................................................ 62 3.10 Sesso leitura ................................................................................................................................. 64 3.11 Referncias .................................................................................................................................... 67

Captulo 4: Funo do 2 Grau 4.1 Estudando a funo quadrtica........................................................................................................ 68 4.2 Definio ........................................................................................................................................... 68 4.3 Grfico da funo ............................................................................................................................. 69 4.4 Raiz da funo ................................................................................................................................. 69 4.5 Vrtice da funo ............................................................................................................................. 70 4.6 Sinal da funo ................................................................................................................................. 71 4.7 Mtodo para construo da parbola .............................................................................................. 71 4.8 Inequao do 2 grau ....................................................................................................................... 71 4.9 Exerccio comentado ........................................................................................................................ 72 4.10 Fixao ........................................................................................................................................... 72 4.11 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 80 4.12 Sesso leitura ................................................................................................................................. 81 4.13 Referncias .................................................................................................................................... 83

Captulo 5: Funo Exponencial 5.1 Estudando Funo Exponencial....................................................................................................... 84 5.2 Potncias e suas propriedades ........................................................................................................ 84 5.3 Equaes exponenciais ................................................................................................................... 85 5.4 Funo exponencial ......................................................................................................................... 85 5.5 Grfico da funo exponencial ......................................................................................................... 86 5.6 Principais propriedades da funo exponencial............................................................................... 86 5.7 O nmero e (nmero de Euler) ........................................................................................................ 87 5.8 Exerccio comentado ........................................................................................................................ 87 5.9 Fixao ............................................................................................................................................. 88 5.10 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 93 5.11 Sesso Leitura ............................................................................................................................... 94 5.12 Referncias .................................................................................................................................... 95

Captulo 6: Funo Logartmica 6.1 Estudando Logaritmo ....................................................................................................................... 96 6.2 Definio de Logaritmos ................................................................................................................... 96 6.3 Propriedades .................................................................................................................................... 96 6.4 Logaritmo decimal ............................................................................................................................ 98 6.5 Funo logartmica ........................................................................................................................... 98 6.6 Grfico de uma funo logartmica .................................................................................................. 98 6.7 Exerccio comentado ........................................................................................................................ 99 6.8 Fixao ........................................................................................................................................... 100 6.9 Pintou no ENEM ............................................................................................................................. 105 6.10 Sesso Leitura ............................................................................................................................. 106 6.11 Referncias .................................................................................................................................. 107

3

1) CONJUNTOS

1.1) Estudando os Conjuntos Ao obter colees de elementos classificados a partir de certa caracterstica, estamos formando conjuntos. Os animais vertebrados, por exemplo, podem ser divididos em cinco classes: peixes, rpteis, anfbios, mamferos e aves. Cada uma dessas classes de animais forma um conjunto. Na matemtica, a ideia de conjunto fundamental e est presente em diversos outros conceitos. Admitiremos que um conjunto seja uma coleo de objetos chamados elementos e que cada elemento um dos componentes do conjunto. Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos uma letra maiscula do nosso alfabeto, e os elementos por letras minsculas. Para representao de um conjunto, utilizaremos uma das trs formas seguintes: - Listagem dos elementos: Nesta representao, todos os elementos do conjunto so apresentados numa lista, envolvidos por um par de chaves e separados por ponto e vrgula ou por vrgula. Ex: Conjunto dos algarismos pares. A={0; 2; 4; 6; 8} - Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, no for conveniente escrever todos os elementos que formam o conjunto, o descreveremos por uma propriedade possuda por todos os seus elementos. Ex: A={ x I x um algarismo par menor que 9 } L-se: O conjunto A formado pelos elementos x, tal que x um algarismo par menor que 9. - Diagrama de Euler Venn: Representamos o conjunto por um recinto plano limitado por uma curva fechada. Ex:

1.2) Relao de Pertinncia A relao de pertinncia indica se um determinado elemento pertence ou no a um determinado conjunto. Simbologia: Considerando A={0; 2; 4; 6; 8} , Assim:

SIMBOLOGIA TRADUO

2A O elemento 2 pertence ao conjunto A. 3A O elemento 3 no pertence ao conjunto A.

Quando fazemos uso da relao de pertinncia, estamos, necessariamente, relacionando um elemento a um conjunto, nesta ordem.

elemento conjunto

Ou

elemento conjunto Observao: Um elemento pertence a um conjunto se ele visvel ou listado no conjunto. 1.3) Relao de Incluso A relao de incluso indica se um determinado conjunto est contido ou no em um outro conjunto.

4

Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, ento o primeiro conjunto est contido no segundo. Basta um nico elemento do primeiro conjunto no pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto no esteja contido no segundo. Simbologia:

SIMBOLOGIA TRADUO

AB O conjunto A est contido no conjunto B. DE O conjunto D no est contido no conjunto E. B A O conjunto B contm o conjunto A. E D O conjunto E no contm o conjunto D.

Quando fazemos uso da relao de incluso estamos, necessariamente, relacionando um conjunto a outro conjunto.

conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto

Se um conjunto A est contido no conjunto B, dizemos que A um subconjunto de B. 1.4) Conjunto Vazio O Conjunto vazio o conjunto que no possui elementos. Para representarmos o conjunto vazio

usaremos os smbolos: { } ou .

Ateno: Quando os smbolos { } ou , aparecerem listados ou visveis, dentro de um conjunto, o conjunto vazio dever ser tratado como elemento desse conjunto especificado.

Ex. : Seja o conjunto A={ ; 1; 2; 3}, correto afirmar para o conjunto A listado, que A , pois um elemento do conjunto A. Tambm sempre ser verdade que:

i) A para qualquer que seja o conjunto A. ii) AA para qualquer que seja o conjunto A. 1.5) Conjunto Unitrio o conjunto que possui apenas um elemento. 1.6) Conjunto das Partes O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto A. Assim o conjunto das partes o conjunto dos subconjuntos. Ateno: Lembre-se que dentre os subconjuntos de um dado conjunto, esto o conjunto vazio e o prprio conjunto. Ex.: Seja X = {a, e, i} , encontre P( A ). 1.7) Numero de elementos do conjunto das partes Para indicarmos o nmero de elementos de um conjunto A, usaremos a notao n(A). E o nmero de elementos do conjunto das partes ser indicado por n[P(A)]. Da :

)(2)]([ AnAPn

5

Assim, um conjunto com 4 elementos, ter 42 elementos o seu conjunto das partes, ou seja, o

conjunto A ter no total 16 subconjuntos. 1.8) Igualdade de Conjuntos Dois ou mais conjuntos so iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, sero considerados uma nica vez. Da, podemos afirmar que verdadeira a igualdade dada por: A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c}

Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fica definida como: ABeBABA 1.9) Operaes com conjuntos a) Unio de Conjuntos: A unio de dois conjuntos A e B, o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Indicaremos a unio pelo smbolo . Matematicamente:

}|{ BxouaxxBA

No diagrama abaixo BA , a regio hachurada:

b) Interseo de conjuntos: A interseo de dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Indicaremos a interseo pelo smbolo . Matematicamente:

}|{ BxeaxxBA Nos diagramas abaixo BA , regio hachurada:

Quando a interseo de dois conjuntos o conjunto vazio, eles so chamados de conjuntos disjuntos. c) Diferena de conjuntos:

6

A diferena entre dois conjuntos A e B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e no pertencem a B. Matematicamente:

}|{ BxeaxxBA Nos diagramas abaixo BA , a regio hachurada:

d) Diferena Simtrica : A diferena simtrica entre os conjuntos A e B, o conjunto dos elementos que pertencem a A e no pertencem a B ou, os elementos que pertencem a B e no pertencem a A. Indicaremos a

diferena simtrica entre A e b por: BA . Da:

)()(}|{ ABBAABxouBAxxBA

No diagrama abaixo BA , regio hachurada:

e) Nmero de elementos da unio de conjuntos: O nmero de elementos da unio de :

- dois conjuntos A e B ser: )()()()( BAnBnAnBAn

- trs conjuntos A, B e C ser:

)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn

Deduo:

zyBn

yBAn

yxAn

Seja

)(

)(

)(

pelo diagrama temos q zyxBAn )( , fazendo as substituies de

x, y e z teremos a frmula, para o nmero de elementos da unio dos dois conjuntos.

7

1.10) Conjuntos Numricos

Os conjuntos numricos foram surgindo, medida que foi se tornando necessrio apresentar resultados para algumas operaes matemticas. Com a necessidade de contar quantidades, surgiu o conjunto dos nmeros naturais.

a) Conjunto dos nmeros naturais (N): o conjunto N = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}. Um subconjunto importante de N o N*: N* = {1; 2; 3; 4; 5; ...} ou N* = N - { 0 }. Em N sempre possvel efetuar a adio e a multiplicao, ou seja, a soma e o produto de dois nmeros naturais resultam sempre em um nmero natural. J a diviso ou subtrao entre dois nmeros naturais nem sempre um nmero natural; a subtrao 2 -3, por exemplo, no possvel em N. Da a necessidade de ampliar o conjunto N introduzindo os nmeros negativos. Deus criou os nmeros naturais. O resto obra dos homens. Leopold Kronecker b) Conjunto dos nmeros inteiros (Z): Ou conjunto dos nmeros relativos, o conjunto Z = { ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...} , Podemos destacar os seguintes subconjuntos de Z:

- N, pois NZ. - Z* = Z { 0 } ou Z* = { ...; -3; -2; -1; 1; 2; 3; ...}

Geometricamente temos:

Observe que h uma simetria em relao ao zero. O oposto ou simtrico de 3 3, oposto ou simtrico de 3 o 3, valendo 3 + ( - 3) = -3 + 3 = 0. Quando os nmeros tm o mesmo sinal basta conserv-lo e adicionar os nmeros; quando os sinais so contrrios subtramos o menor do maior, e o sinal que prevalece o deste ltimo. bom lembrar tambm que o sinal mais (+) antes de um parntese no vai alterar o sinal do nmero que est entre parnteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parntese for o de (). Se no houver nenhum sinal antes do parntese estar implcito que o sinal ser o de mais (+). Para as operaes de multiplicao e diviso que viro logo a seguir vale a seguinte regra: Nmeros de mesmo sinal do sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrrios conduzem sempre resultados negativos. No conjunto Z, sempre possvel efetuar a adio, a multiplicao e a subtrao, ou seja, a soma, o produto e a diferena de dois nmeros inteiros resultam sempre um nmero inteiro. E todas as propriedades das operaes em N continuam vlidas em Z. J da diviso de dois nmeros inteiros nem sempre resulta um nmero inteiro: (-8) : (+2) = -4 possvel em Z. (-7) : (+2) = ? no possvel em Z. Da a necessidade de ampliar o conjunto Z.

8

c) Conjuntos dos nmeros racionais(Q): Ao acrescentarmos as fraes no aparentes positivas e negativas ao conjunto Z, obtemos o conjunto dos nmeros racionais Q. Assim, por exemplo, so nmeros racionais:

,...2,3

5,1,

4

3,

2

1,0,

4

1,

2

1,1,

2

3,2

Observe que todo nmero racional pode ser escrito na forma b

a, com aZ, bZ*. Assim,

escreveremos:

Q =

*, ZbeZacomb

a

Perceba que a restrio *Zb , nos obriga a termos 0b , pois b

a, a diviso de a por b, s tem

significado com 0b . A designao racional, surgiu porque b

a pode ser vista como uma razo

entre os inteiro a e b. A letra Q, que representa o conjunto dos nmeros racionais, a primeira letra da palavra quociente. Os nmeros racionais podem ser encontrados de trs maneiras:

- Nmero inteiro: Se b = 1, temos Zaa

b

a

1, o que implica que Z subconjunto de Q. Assim:

QZN

- Nmero decimal exato: Dado um nmero racional b

a, a representao decimal desse nmero

obtida dividindo-se a por b. Se esse resultado possui uma quantidade finita de casas decimais aps a vrgula, este resultado um nmero decimal exato. Exemplos:

247,01000

247;8,0

5

4;625,0

8

5;25,0

4

1

- Nmero decimal peridico ou dzima peridica: o resultado da diviso b

a, que possui uma

quantidade infinita e peridica de casas decimais aps a vrgula. Este resultado chamado de

dzima peridica, e a frao b

a que gera a dzima, a frao geratriz. Exemplos: 8

51,2...515151,233

83;781,0...1787878,0

990

177;6,0...666,0

3

2

No conjunto Q, as quatro operaes fundamentais so possveis e valem todas as

propriedades que valem para os inteiros. Certamente devemos nos lembrar de que a diviso por zero impossvel!

Geometricamente temos:

9

Entre dois nmeros inteiros nem sempre existe outro nmero inteiro. Entre dois racionais sempre

existe outro racional. Por exemplo, entre os racionais 5,02

1 e 75,0

4

3 podemos encontrar

infinitos racionais; entre eles 625,08

5 . Mas isso no significa que os racionais preenchem

toda a reta. Os nmeros racionais so insuficientes para medir todos os segmentos de reta. Por exemplo a medida da hipotenusa, de um tringulo retngulo, de catetos medindo uma unidade, um nmero no racional. Embora as quatro operaes fundamentais (adio, subtrao, multiplicao e diviso por um nmero diferente de zero) sejam sempre definidas em Q, uma

equao como 22 x no pode ser resolvida em Q, pois no existe racional b

a tal que

2

2

b

a. Surge ento a necessidade de outro tipo de nmero, o nmero no racional ou

irracional.

d) Conjunto dos nmeros irracionais(I): So os nmeros que no podem ser escrito na forma fracionria, com numerador inteiro e denominador inteiro ( diferente de zero). So as decimais infinitas e no peridicas. Exemplos:

...4142135,12 ; ...7320508,13 ; ...1415926535,3 Representao de alguns irracionais na reta:

e) Conjunto dos nmeros reais(R): Da unio do conjunto dos nmeros racionais com o conjunto dos nmeros irracionais obtemos o conjunto dos nmeros reais R. Simbolicamente:

irracionalxouracionalxxQRxouQxQRQR |// Os nmeros racionais no eram suficientes para esgotar os pontos da reta. Por exemplo, os

pontos da reta correspondente aos nmeros 3 , 2 , , , e no eram preenchidos com os nmeros racionais. Agora, os nmeros reais esgotam todos os pontos da reta, ou seja, a cada

10

ponto da reta corresponde um nico nmero real e, reciprocamente, a cada nmero real corresponde um nico ponto da reta. Por isso dizemos que existe uma correspondncia biunvoca entre os nmeros reais e os pontos da reta. Temos assim a reta real, que construda desta forma: numa reta, escolhemos uma origem (e associamos a ela o zero), um sentido de percurso e uma unidade de escala. O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numricos vistos at aqui:

RQZN

RRQ /

RRQQ /

RQQ /

QRRQ /

Assim com os nmeros reais toda equao do tipo ax 2 com Na , pode ser resolvida e todos os segmentos de reta podem ser medidos. Existem outros nmeros alm dos reais, a raiz de ndice par e radicando negativo impossvel em R, pois, por exemplo, no existe nmero real que, elevado ao quadrado, d um

nmero negativo. Assim, 4 no um nmero real; um nmero complexo ou imaginrio. Podemos usar as seguintes notaes para alguns subconjuntos de R:

R real positivo ou nulo *

R real positivo

R real negativo ou nulo *

R real negativo O mesmo pode ser feito com Z e Q. e) Relao de ordem em R: Sejam dois nmeros reais quaisquer a e b,entre a e b poder ocorrer uma, e somente uma, das relaes: a = b ou a > b ou a < b. A desigualdade representada por a < b significa que o nmero real a menor que o nmero real b.Geometricamente se a < b, ento a est situado esquerda de b na reta real.

11

A desigualdade representada por a > b significa que o nmero real a maior que o nmero real b. Geometricamente , se a > b, ento a est situado direita de b na reta real.

Tambm usaremos a notao:

ba baouba (a menor que b ou a igual a b)

ba baouba (a maior que b ou a igual a b)

cba

cb

bacbeba

Ser muito til percebermos que se tivermos xR, e escrevermos:

x > 0 x positivo x < 0 x negativo

0x x no positivo

0x x no negativo Algumas propriedades importantes das desigualdades: As simbologias , chamaremos de sentido da desigualdade.Vejamos algumas propriedades muito teis: 1)Podemos adicionar membro a membro, desigualdades de mesmo sentido: -2 2 3) Podemos multiplicar ou dividir ambos os membros de uma desigualdade por um real diferente de zero, mas com o seguinte cuidado: -Se o nmero for positivo, conservamos o sinal da desigualdade; -Se o nmero for negativo invertemos o sinal da desigualdade. Observe: -3 < 2 multiplicando por 5 toda a desigualdade -15 < 10. Mas se multiplicarmos por -5, 15 > -10. 1.11) Intervalos Reais

Certos subconjuntos de R, determinados por desigualdades, tem grande importncia na Matemtica; so os intervalos reais.

Representao na reta real

Sentena matemtica

Notaes simblicas

Intervalo aberto:

{xR | a < x < b}

]a,b[

(a,b)

12

Intervalo fechado:

{xR | bxa } [a,b]

[a,b]

Intervalo semi-aberto direita:

{xR | bxa } [a,b[

[a,b)

Intervalo semi-aberto esquerda:

{xR | bxa } ]a,b]

(a,b]

Intervalos infinitos:

Representao na reta real

Sentena matemtica

Notaes simblicas

{xR | ax }

]a, [

( a, )

{xR | ax } [a, [

[a, )

{xR | ax }

] ,a[

( ,a)

{xR | ax } ] ,a]

( ,a]

Considera-se como intervalo ] , [ = R. Observaes:

1) A bolinha fechada ( ) indica que o extremo do intervalo pertence a ele. A bolinha aberta ( ) indica que o extremo do intervalo no pertence a ele. 2) e , simbolizam apenas a ausncia de extremidades pela esquerda ou pela direita no intervalo, sendo sempre abertos. Portanto e no so nmeros reais! 3)Como definimos, intervalos so subconjuntos dos nmeros reais. Assim os seguintes exemplos no so intervalos:

S={xZ | -5< x < 2}; L= {xN | x >3 }; T = {xZ | 13 x }

a) Operaes com intervalos Estudamos em tpicos anteriores que algumas operaes podem ser realizadas com conjuntos. Como os intervalos reais so subconjuntos de R, tambm podemos realizar operaes com intervalos. Exemplo:

13

Dados os conjuntos A = { x R | 23 x } e B = { x R | 80 x }, para efetuar as

operaes representamos cada conjunto em retas reais paralelas. Vamos exemplificar as operaes de unio e interseo, mas as operaes de diferena (A B ou B A) e de complementar tambm podem ser efetuadas desta maneira.

BA

BA

1.12) Exerccio comentado 1) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus ces, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenas. Soluo: Sabemos que o total de ces 100%. Com o auxlio do Diagrama de Venn obtemos: (80% x) + (x) + (60% x)= 100% 140% - 2x + x = 100% 40% = x Resposta: 40% dos animais foram vacinados contra as duas doenas.

14

2) Sabe-se que numa escola de esportes 47 alunos fazem futebol, 23 fazem natao e 36 fazem atletismo. Ainda sabe-se que 10 alunos esto matriculados nas 3 modalidades, 12 fazem natao e futebol, 10 fazem natao e atletismo, e 15 fazem futebol e atletismo. a) Qual o total de alunos matriculados nesta escola de esportes? b) Quantos alunos fazem futebol e atletismo? c) Quantos alunos fazem somente futebol e atletismo? Soluo: Primeiramente vamos preencher o Diagrama de Venn partindo da interseo mais restrita at a menos restrita. Ou seja, vamos preencher o campo de interseo das 3 modalidades, depois de duas modalidades (par a par) e depois preencher o campo dos alunos que s fazem 1 modalidade.

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Observando a evoluo no preenchimento do diagrama ( de 1 at 4) devemos ressaltar que, por exemplo, das 37 pessoas que faziam futebol: 20 no faziam outros esportes, 10 faziam os 3 esportes, 12 faziam natao tambm, 15 faziam atletismo tambm, 2 faziam somente futebol e natao e 5 faziam somente futebol e atletismo. Com o Diagrama explicitado podemos responder s perguntas iniciais. a) Basta somar todos os campos do diagrama. O diagrama montado nos permite somar as partes

sem somar duas ou trs vezes as mesmas pessoas. Total= 69

b) Observando o diagrama 4 percebemos que a quantidade de alunos que fazem futebol e atletismo : 15

c) A quantidade de alunos que fazem futebol e atletismo, somente, : 5 1.13) Fixao

1) (CESGRANRIO) Ordenando os nmeros racionais 24

13p ,

3

2q e

6

5r , obtemos:

A) p < r < q B) p < q < r C) r < p < q D) q < r < p E) r < q < p

2) (Unirio) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fbrica, obteve os seguintes dados: - 28% dos funcionrios so mulheres; - 1/6 dos homens so menores de idade; - 85% dos funcionrios so maiores de idade. Qual a porcentagem dos menores de idade que so mulheres? A) 30% B) 28% C) 25% D) 23% E) 20%

3) (UFJF) Na figura abaixo esto representados geometricamente os nmeros reais 0, x, y e 1. Aposio do nmero real x.y :

A) esquerda do zero B) entre zero e x C) entre x e y D) entre y e 1 E) direita de 1

4) (UFG) A afirmao "Todo jovem que gosta de matemtica adora esportes e festas" pode ser representada segundo o diagrama: M = { jovens que gostam de matemtica }; E = { jovens que adoram esportes }; F = { jovens que adoram festas }

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5) (CESESP) Numa universidade so lidos apenas dois jornais X e Y, 80% dos alunos lem o jornal X e 60 % lem o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno leitor de pelo menos um dos dois jornais, assinale a alternativa que corresponde ao percentual de alunos que leem ambos. A) 80% B) 14% C) 40% D) 60% E) 48%

6)Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que AX ={0, 1, 5, 6} e BX ={0,4,6}. Se BA ={2, 3}, o conjunto BA igual a:

A) {1, 4, 5} B){0, 2, 3, 5} C){1, 2, 3, 4} D){1, 2, 3, 4, 5} E){0, 2, 4, 5, 6} 7) (PUC-SP) Dentre os inscritos em um concurso pblico, 60% so homens e 40% so mulheres. J tm emprego 80% dos homens e 30 % das mulheres. Qual a porcentagem dos candidatos que j tem emprego? A) 60% B) 40% C) 30% D) 24% E) 12% 8) (PUCMG) Em uma empresa, 60% dos funcionrios lem a revista A, 80% lem a revista B, e todo funcionrio leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionrios que lem as duas revistas : A) 20 % B) 40 % C) 60 % D) 75 % E) 140 %

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9) (UFRN) Uma pesquisa de opinio, realizada num bairro de Natal, apresentou o resultado seguinte: 65% dos entrevistados frequentavam a praia de Ponta Negra, 55% frequentavam a praia do Meio e 15% no iam praia.De acordo com essa pesquisa, o percentual dos entrevistados que freqentavam ambas as praias era de: A) 20% B) 35% C) 40% D) 25% 10) (USP) Depois de n dias de frias, um estudante observa que: A Choveu 7 vezes, de manh ou tarde; B Quando chove de manh no chove tarde; C Houve 5 tardes sem chuva; D - Houve 6 manhs sem chuva. Ento n igual a: A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E)12 11) Suponha que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam culos e 8 usam relgio. O nmero de estudantes que usam, ao mesmo tempo, culos e relgio ? A) exatamente 6. B) exatamente 2. C) no mnimo 6. D) no mximo 5. E) no mnimo 4. 12) (PUC) A regio assinalada no diagrama representa:

A) CBA )(

B) )()( CBBA

C) )()( CBCA

D) )()( BCBA

E) )()( CBCA

13) (PUCCAMP) Numa escola de msica, 65% das pessoas matriculadas estudam teclado e as restantes estudam violo. Sabe-se que 60% das pessoas matriculadas so do sexo masculino e que as do sexo feminino que estudam violo so apenas 5% do total. Nessas condies,

18

escolhendo-se uma matrcula ao acaso qual a probabilidade de ser a de uma pessoa do sexo masculino e estudante de teclado? A) 2/5 B) 3/10 C) D) 1/5 E) 1/10

14) (UFRN) Se A, B e C so conjuntos tais que )( BAC ={6, 7} e )( BAC ={4, 5}, ento,

C igual a: A) {4,5} B) {6, 7} C) {4, 5, 6} D) {5, 6, 7} E) {4, 5, 6, 7} 15) (U.Uberaba) No diagrama, a parte hachurada representa:

A) GFE )(

B) )( GE

C) )( FEG

D) )()( GFFE

E) GFE )(

16) (UFSM) Numa prova de vestibular, ao qual concorreram 20000 candidatos, uma questo apresentava as afirmativas A, B e C, e cada candidato devia classific-las em verdadeira (V) ou falsa (F). Ao analisar os resultados da prova, observou-se que 10200 candidatos assinalaram V na afirmativa A; 6100, na afirmativa B; 7720, na afirmativa C. Observou-se ainda que 3600 candidatos assinalaram V nas afirmativas A e B; 1200, nas afirmativas B e C; 500, nas afirmativas A e C; 200, nas afirmativas A, B e C. Quantos candidatos consideraram falsas as trs afirmativas? A) 360 B) 490 C) 720 D) 810 E) 1080 17) (Unirio) Tendo sido feito o levantamento estatstico dos resultados do CENSO POPULACIONAL em uma cidade, descobriu-se, sobre a populao, que: I - 44% tm idade superior a 30 anos; II - 68% so homens; III - 37% so homens com mais de 30 anos; IV - 25% so homens solteiros; V - 4% so homens solteiros com mais de 30 anos; VI - 45% so indivduos solteiros;

19

VII - 6% so indivduos solteiros com mais de 30 anos. Com base nos dados anteriores, pode-se afirmar que a porcentagem da populao desta cidade que representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos de: A) 6% B) 7% C) 8% D) 9% E) 10% 18) (UERJ) Trs candidatos, A, B e C, concorrem a um mesmo cargo pblico de uma determinada comunidade. A tabela a seguir resume o resultado de um levantamento sobre a inteno de voto dos eleitores dessa

comunidade. Pode-se concluir, pelos dados da tabela, que a percentagem de eleitores consultados que no votariam no candidato B : A) 66,0% B) 70,0% C) 94,5% D) 97,2% 19) (UERJ) Em um posto de sade foram atendidas, em determinado dia, 160 pessoas com a mesma doena, apresentando, pelo menos, os sintomas diarria, febre ou dor no corpo, isoladamente ou no. A partir dos dados registrados nas fichas de atendimento dessas pessoas, foi elaborada a tabela abaixo:

Na tabela, X corresponde ao nmero de pessoas que apresentaram, ao mesmo tempo, os trs sintomas. Pode-se concluir que X igual a: A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 20) Uma indstria lanou um novo modelo de carro que no teve a repercusso esperada. Os tcnicos identificaram 3 possveis problemas: design pouco inovador (D), acabamento pouco luxuoso (A) e o preo mais elevado em relao aos modelos similares do mercado (P). Feita a pesquisa, obtiveram o resultado:

20

Problemas Nmero de votos

D 34

A 66

P 63

D e A 17

D e P 22

A e P 50

D,A e P 10

Sem problemas 16

Qual concluso verdadeira: A) Como a quantidade de pessoas que no encontraram problemas maior do que a daquelas que encontraram os

3 problemas, a maioria dos entrevistados gostou do modelo. B) Mais da metade dos pesquisados achou o preo elevado. C) Foram entrevistadas mais de 250 pessoas. D) Necessariamente, quem encontrou problema em A tambm encontrou problema em D.

GABARITO

1. B 2.E 3. B 4.C 5.C 6.D 7.A

8.B 9.B 10.D 11.B 12.C 13.D 14.C

15.E 16.E 17.B 18.B 19.A 20.B

1.14) Pintou no ENEM 1) (Enem/2003) Os acidentes de trnsito, no Brasil, em sua maior parte so causados por erro do motorista. Em boa parte deles, o motivo o fato de dirigir aps o consumo de bebida alcolica. A ingesto de uma lata de cerveja provoca uma concentrao de aproximadamente 0,3 g/L de lcool no sangue. A tabela abaixo mostra os efeitos sobre o corpo humano provocado por bebidas alcolicas em funo de nveis de concentrao de lcool no sangue:

(Revista Pesquisa FAPESP n o 57, setembro 2000) Uma pessoa que tenha tomado trs latas de cerveja provavelmente apresenta A) queda de ateno, de sensibilidade e das reaes motoras.

21

B) aparente normalidade, mas com alteraes clnicas. C) confuso mental e falta de coordenao motora. D) disfuno digestiva e desequilbrio ao andar. E) estupor e risco de parada respiratria. Soluo: A ingesto de 1 lata de cerveja provoca uma concentrao de lcool de 0,3 g/L. Logo, a ingesto de 3 latinhas de cerveja provocaro uma concentrao de lcool de 0,9 g/L de sangue. Analisando a tabela, conclui-se que a pessoa ter perda da sensibilidade, das reaes motoras, queda de ateno, dentre outros sintomas. Sendo assim, a resposta a alternativa A. 2)(Enem) Um fabricante de cosmticos decide produzir trs diferentes catlogos de seus produtos, visando a pblicos distintos. Como alguns produtos estaro presentes em mais de um catlogo e ocupam uma pgina inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impresso. Os catlogos C1, C2 e C3 tero, respectivamente, 50, 45 e 40 pginas.Comparando os projetos de cada catlogo, ele verifica que C1e C2 tero 10 pginas em comum; C1 e C3 tero 6 pginas em comum; C2 e C3 tero 5 pginas em comum, das quais 4 tambm estaro em C1. Efetuando os clculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos trs catlogos, necessitar de um total de originais de impresso igual a:

A) 135. B) 126. C) 118. D) 114. E) 110. Resposta: C

1.15) Sesso Leitura

O homem que colocou o infinito no bolso O alemo Georg Cantor, no incio do sculo, desafiou o senso comum ao descobrir nmeros que a imaginao matemtica ainda no alcanava.

Desde que o homem aprendeu a pensar, poucos conceitos perturbaram tanto o seu esprito quanto o infinito. Um exemplo simples so os nmeros inteiros: 1, 2, 3, 4, 5... e assim por diante. A sequencia nunca termina e no se pode imaginar um nmero que seja maior que todos os outros era o que se pensava at o final do sculo XIX. O fato, porm, que h nmeros ainda maiores, como se alm de um infinito houvesse outros. Esse paradoxo abalou o pensamento matemtico e surpreendeu seu prprio autor, o matemtico Georg Cantor (1845-1918). Filho de dinamarqueses, nascido na Rssia e radicado na Alemanha, sua ptria por adoo, Cantor era bastante conservador, dizem os historiadores. [...] quando foi atacado por sua descoberta, defendeu-se dizendo sinceramente que fizera tudo para evit-lo. Apenas, no vejo como fugir dela, acrescentou. E estava certo. Seu mtodo, claro como gua, consistiu em comparar a lista dos nmeros inteiros com as de outros nmeros. Por exemplo, como os existentes entre 0 e 1, tais como 0,014828910... ou........... 0,999999273... E a comparao era feita como quem vistoria uma sala de cinema: se no h cadeiras vazias e ningum est de p, certo que o nmero de cadeiras igual ao de pessoas. Caso contrrio, ser maior o nmero do que sobrar, cadeiras ou pessoas. Com essa ideia em mente, Cantor emparelhou os nmeros inteiros com os nmeros menores que 1 e constatou: depois de esgotar a lista dos inteiros, ainda havia menores que 1 a emparelhar. Concluiu que o nmero desses

22

ltimos apenas entre 0 e 1 era maior que o infinito nmero dos inteiros. Nem havia nome para tal quantidade, e coube a Cantor batiz-la. Chamou de lefe-zero ao conjunto de todos os inteiros o 20 menor dos infinitos. Vinha depois o lefe-zero mais 1, e por a adiante, numa inimaginvel hierarquia de infinitos. O mundo ficou pasmo, mas, como quase sempre acontece, grande parte do problema era simples falta de costume com uma ideia nova.

O notvel avano dos fractais Fonte: Wikipdia

E, depois de assimilados, os mtodos cantorianos se mostraram perfeitamente prticos e muito teis. Apenas a ttulo de ilustrao, eles serviram de base recente teoria dos fractais, que representa um notvel avano no conceito de dimenso. Uma casa tem dimenso 3 porque tem altura, largura e comprimento, e uma folha tem dimenso 2 porque s tem largura e comprimento. Mas h objetos difceis de classificar como os alvolos pulmonares. Por serem ramificados como uma rvore, se diz que sua dimenso fracionria alguma coisa entre uma rea e um volume e denotada por algum nmero entre 2 e 3. Isso, por si s, mostra que Cantor ajudou a ampliar os clculos que a Matemtica capaz de fazer. Ainda mais importante que esse lado prtico, porm, foi uma mudana de fundo na maneira de ver os nmeros. Curiosamente, o melhor caminho para entender a viso moderna relembrar como os nmeros eram usados na Pr-histria e ainda hoje so usados por pastores nmades que aprenderam a contar com seus ancestrais. Como no sabem dizer quantos animais tm, os pastores colocam pedrinhas numa sacola, uma para cada vaca que sai do curral. Assim, sabem que tm tantos animais quantas pedras h na sacola. Ou seja, quase se pode dizer que a sacola de pedras o nmero e que esses povos carregam seus nmeros no bolso, em lugar de decor-los.

Colocar pedras abstratas numa sacola infinita

Esse tosco sistema serve apenas para manter o gado sob controle. Mas mais ou menos isso o que a Matemtica moderna entende por nmero: uma espcie de comparao entre dois conjuntos o conjunto de pedras e o de vacas, ou de qualquer outra coisa. fcil perceber que, para contar os infinitos nmeros entre 0 e 1, Cantor repetiu o procedimento daqueles pastores: a diferena bsica que, como pedras, ele usou os nmeros inteiros. Sua sacola era infinita e suas pedras, abstratas, mas seu objetivo, desde o incio, era compreender os nmeros comuns. Ou, pelo menos, uma categoria rebelde de nmeros comuns. O exemplo clssico, conhecido desde a Antiguidade, a raiz de 2. primeira vista, um nmero trivial, para todos os efeitos igual a 1,41. O problema que 1,41 ao quadrado d 1,9881 e no 2, como deveria acontecer se fosse a raiz procurada. A resposta exata, na verdade, nunca poderia ser escrita, e o mesmo vale para a maior parte dos nmeros entre 0 e 1 . Pelo simples motivo de que raiz de 2 tem infinitos algarismos. Existem frmulas para se calcularem quantos algarismos se queiram. Por exemplo, com dez casas decimais, o nmero seria 1,4142135623. Mesmo assim, seu quadrado 1,9999999997. Ainda no alcana o alvo, como se raiz de 2 fosse uma construo eternamente inacabada.

23

Esse fato perturbou profundamente os gregos antigos, que conheciam bem as fraes, e muitas delas com infinitos algarismos, como 0,66666666... A diferena que esse nmero pode ser abreviado na forma de uma razo: ele vale exatamente 2/3. No entanto, no h razo capaz de simbolizar a raiz de 2 e outros nmeros. Da porque foram chamados irracionais, no sculo V A.C. (hoje, fraes, inteiros e irracionais so todos englobados num s conjunto, o dos nmeros reais). No por acaso, por volta daquela poca, o infinito comeou a revelar suas arapucas aos filsofos e matemticos.

[...] http://super.abril.com.br/cotidiano/georg-cantor-alefe-zero-homem-colocou-infinito-bolso-440970.shtml http://www.thefamouspeople.com/profiles/georg-cantor-519.php Questes:

a) Qual a principal ideia do texto? b) possvel determinar o menor elemento do conjunto dos nmeros inteiros? c) De acordo com Cantor, possvel estabelecer um ordenamento entre os infinitos? Justifique. d) O intervalo [0,1] est contido em qual conjunto numrico: N, Z, Q , I ou R? e) Cite dois nmeros racionais que, de acordo com o texto, poderiam corresponder quantidade de dimenses

dos alvolos pulmonares.

Referncias:

MELLO,J. L.P. Matemtica: Construo e significado. Volume nico. 1. Ed. So Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemtica: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. So Paulo: FTD, 2010 PAIVA, Manoel. Matemtica. Volume nico. 1 Ed. So Paulo: Moderna, 2005.

24

2) AS FUNES

2.1) Noo intuitiva

Com frequncia em matemtica encontramos relaes entre duas grandezas variveis. Observe o exemplo abaixo:

Seja um quadrado cujo lado mede l . Designando por 4P l a medida do permetro desse quadrado, podemos estabelecer entre P e l a seguinte relao:

4P l

Notamos ento , que a medida P do permetro depende da medida l do lado do quadrado, o que pode ser verificado pela seguinte tabela:

Medida do Lado ( l ) Medida do Permetro ( P ) 0,5 2

1 4

1,2 4,8

2 8

3 12

4,5 18

Pela tabela observamos que:

A medida l do lado do quadrado uma grandeza varivel A medida P do permetro do quadrado uma grandeza varivel

Todos os valores de l est associado a um valor de P

A cada valor de l est associado um nico valor de P Sendo assim, dizemos ento:

A medida P do permetro do quadrado est dada em funo de l

A relao 4P l chama-se lei de associao ou frmula matemtica desta funo Na lei de associao temos que l a varivel independente e P a varivel dependente. Podemos abordar de outra forma utilizando este outro exemplo: Uma estamparia cobra uma taxa fixa, referente ao trabalho de desenvolvimento da estampa padro, mais um valor por pea de roupa estampada. Para estampar camisetas de certa encomenda, o oramento calculado estabelecia uma taxa fixa de R$30,00 mais R$2,50 por camiseta. Observe o quadro:

25

Quantidade de camisetas

1 2 10 20 50 ... x

Valor cobrado (R$)

30 + 2,50 32,50

30 + 2.2,50 35

30+10.2,50 55

30+20.2,50 80

30+50.2,50 155

... 30+x.2,50

A relao entre a quantidade de camisetas e o valor cobrado descrita por uma funo, cuja frmula dada por: Valor cobrado V=30+2,50x quantidade de camisetas Taxa fixa valor cobrado por camiseta Nesse caso, o valor cobrado est em funo da quantidade de camisetas. Assim, dizemos que o valor cobrado (v) a varivel dependente e a quantidade de camisetas (x), a varivel independente da funo. 2.2) A Noo de Funo atravs de Conjuntos Vamos agora, estudar funo, usando a teoria dos conjuntos, pois as colunas vistas na tabela do item anterior representam conjuntos numricos. Veja o exemplo:

Dados os conjuntos 0,5,10A e 0,5,10,15,20,25B , seja a relao de A em B expressa pela frmula 5y x , com ,x A y B .

DEFINIO: Sendo A e B dois conjuntos no vazios e uma relao f de A em B, essa relao f uma funo de A em B quando a cada elemento x do conjunto A est associado um e somente um elemento y de B. Pode-se escrever:

:f A B (l-se: f uma funo de A em B).

Observao: Podemos usar a seguinte notao para a lei de associao que define uma funo:

5y x ou ( ) 5f x x

A lei da funo pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e ( )f x significam o mesmo na linguagem

matemtica.

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EXEMPLO: Observe os diagramas abaixo, que representam relaes de A em R, assinale com F aquelas que so funes e com R as que no so funes.

2.3) Domnio, Imagem e Contra Domnio de uma Funo

Sejam os conjuntos 0,1,2A e 0,1,2,3,4,5B ; vamos considerar a funo :f A B definida por 1y x ou ( ) 1f x x

Observando o diagrama da funo, vamos definir:

O conjunto A denominado domnio da funo, que indicamos por D . No exemplo acima 0,1,2D . O domnio da funo tambm chamado campo de definio ou campo de existncia da funo.

O conjunto 1,2,3 , que um subconjunto de B, denominado o conjunto imagem da funo e indicamos

por Im 1,2,3

O conjunto B, tal que Im B , denominado contradomnio da funo.

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No exemplo acima: 1 a imagem de 0 pela funo; (0) 1f

2 a imagem de 1 pela funo; (1) 2f

3 a imagem de 2 pela funo; (2) 3f

EXEMPLO

Dados os conjuntos { 2, 1,0,1}A e { 3, 2, 1,0,1,2,3,4}B , determine:

a) o conjunto imagem da funo :f A B definida por 2( )f x x

b) o conjunto imagem da funo :f A B definida por ( ) 2 2f x x

c) o conjunto imagem da funo :f A B definida por 2( ) 1f x x

2.4) Estudo do Domnio de uma Funo Quando definimos uma funo, o domnio D, que o conjunto de todos os valores possveis da varivel x, pode ser dado explcita ou implicitamente. Assim:

Se dado apenas ( ) 2 5f x x , sem explicitar o domnio D, est implcito que x pode ser qualquer

nmero real, ou seja D R . Se dado ( ) 2 5f x x , com 1 10x , est implcito que o domnio da funo dada

{ ,1 10}D x R x .

Se dado apenas 2 3

( )2

xf x

x

, sem explicitar o domnio, est implcito que x pode ser qualquer nmero

real diferente de 2, pois o denominador no pode ser zero, com isso, { , 2}D x R x .

Se dado apenas ( ) 2f x x , sem explicitar o domnio D, est implcito que 2 0 2x x . Assim

{ ; 2}D x R x

Logo, quando o domnio de uma funo no est explcito, devemos considerar para este domnio todos os valores reais em x que tornam possveis em R as operaes indicadas na frmula matemtica que define a funo. Veja o Exemplo:

Determinar o domnio da funo 1

( ) 42

f x xx

Exemplos:

Determinar o domnio das seguintes funes definidas por:

a) ( )5

xf x

x

b)

2( )

2

xf x

x

c)

2( )

4

xf x

x

d) ( )

2 1

xf x

x

e) 2

1( )

9 20f x

x x

f)

1( )

3

xf x

x x

g)

3

1 2( )

4

x xf x

x x

h) 2

1 1( )

1 9

xf x

x x

i)

2 1( )

xf x

x

j) ( ) 2f x x

28

2.5) Funo Sobrejetora, Funo Injetora, Funo Bijetora Vamos considerar os seguintes exemplos:

a) { 2, 1,0,1}A , {0,1,4}B e :f A B definida por 2y x

Funo Sobrejetora: Dizemos que uma funo sobrejetora se, e somente se, a imagem for igual ao contradomnio. Em outras palavras, no pode sobrar elementos de B..

f sobrejetora ( ) ( )Im f fCD

b) { 1,0,1,2}A , {0,1,2,3,4,5}B e :f A B definida por 1y x

Funo Injetora: A funo injetora se elementos distintos do domnio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos no podem ter a mesma imagem. Portanto, no pode ter nenhum elemento do conjunto B que receba duas flechas.

f injetora 1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x A x x f x f x

c) {0,2,3}, {1,5,7}A B e :f A B definida por 2 1y x

Funo Sobrejetora: Voc observa que no existe um elemento de B que no seja imagem de um elemento de A (f sobrejetora); cada elemento de B imagem de um nico elemento de A (f injetora). Neste caso, quando a funo f, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora, dizemos que f uma funo bijetora.

f bijetora f sobrejetora e f injetora

29

Resumo das funes injetora, sobrejetora e bijetora:

EXEMPLO: Marque V ou F nas sentenas abaixo:

a) A funo :f R R definida por 2y x injetora

b) A funo :f R R definida por 1y x bijetora

c) A funo :{0,1,2,3}f R definida por 1y x no sobrejetora

d) A funo :{0,1,2,3}f N definida por 1y x injetora

e) A funo :f R R definida por 2( ) 1f x x bijetora

f) A funo :f N R definida por y x bijetora.

2.6) Funo Par e Funo mpar

Seja a funo :f R R definida por 2( )f x x

Veja que:

( 1) 1 (1); ( 2) 4 (2); ( 2) 2 ( 2)f f f f f f

Qualquer que seja x D ocorre ( ) ( )f x f x ; neste caso, dizemos que a funo f par. Os valores simtricos devem possuir mesma imagem.

Agora seja a funo :f R R definida por ( ) 2f x x

30

Veja que:

1 1(1) 2, ( 1) 2; (2) 4, ( 2) 4; 1, 1

2 2f f f f f f

Para todo x D ocorre ( ) ( )f x f x , neste caso dizemos que f uma funo mpar. Valores simtricos possuem imagens simtricas. EXEMPLO: Classifique as funes como pares ou mpares.

a) ( ) 3f x x b) 2( ) 1f x x c) 3( )f x x

d) 4 1y x e) 47y x f) 1

( )f xx

2.7) Funo Crescente e Funo Decrescente

Uma funo ( )y f x crescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x pertencentes ao

conjunto A, com 1 2x x , tivermos 1 2( ) ( )f x f x .

Uma funo ( )y f x decrescente num conjunto A se, e somente se, para quaisquer 1x e 2x pertencentes ao

conjunto A, com 1 2x x , tivermos 1 2( ) ( )f x f x .

2.8) Funo Composta

Dados os conjuntos {0,1,2}, {0,1,2,3,4}, {0,1,4,9,16}A B C e as funes : ; ( ) 2f A B f x x e 2: ; ( )f B C f x x

Ento:

{(0,0);(1,2);(2,4)}f e {(0,0);(1,1);(2,4);(3,9);(4,16)}g

Observamos que:

31

A cada x A associa-se um nico y B tal que 2y x ;

A cada y B associa-se um nico z C tal que 2z y ;

A cada x A associa-se um nico z C tal que 2 2 2(2 ) 4z y x x .

Ento podemos afirmar que vai existir uma funo h de A em C definida por 2( ) 4h x x que indicamos por g f

ou ( ( ))g f x (l-se g composta com f)

Logo: ( ) ( )( ) ( ( )) {(0,0),(1,4),(2,16)}h x g f x g f x ou 2( ) 4h x x

A funo ( )h x chama-se composta de g com f.

EXEMPLOS

1) Sendo 2( ) 2f x x e ( ) 3g x x , calcular ( ( ))g f x e ( ( ))f g x

2) Dadas as funes 2( ) 5 6; ( ) 1f x x x g x x , pede-se:

a) Calcular ( ( ))f g x

b) Achar x de modo que ( ( )) 0f g x

3) Dados ( ) 3 1; ( ( )) 6 8f x x f g x x calcular ( )g x .

2.9) Funo Inversa

Dados {1,2,3,4}A e {2,4,6,8}B , consideremos as funes:

:f A B definida por 2y x

:g B A definida por 2

xy

Observe que:

A funo g pode ser obtida invertendo-se a ordem dos elementos de cada um dos pares ordenados que

pertencem a funo f

( ) ( )Imf gD e ( ) ( )Im f gD

As funes f e g so bijetoras.

32

A funo g chamada funo inversa da funo f

Indica-se funo inversa por 1f

Observao importante:

A funo ( )y f x define uma correspondncia de x para y, isto , dado o valor de x podemos obter o valor de y

que lhe corresponde atravs da funo f.

A funo inversa de f, que indicada por 1f , define uma correspondncia contrria, isto , de y para x, e

indicamos 1( )x f y

As funes que possuem inversa so chamadas funes inversveis. Ento podemos definir:

Da uma funo bijetora :f A B , chama-se funo inversa de f a funo 1 :f B A tal que 1( , ) ( , )a b f b a f

Processo Algbrico para o clculo da Funo Inversa

a) Achar a expresso que representa a inversa da funo 2y x

b) Determinar a funo inversa da funo 5

( )2 3

xf x

x

, com

3

2x .

2.10) Exerccio comentado

As funes f e g associam, a cada nmero natural, o resto da diviso do nmero por 3 e por 6, respectivamente. Sendo assim, para todo nmero natural x, g(f(x)) igual a:

a) f(x)

b) g(x)

c) 2f(x)

d) 2g(x)

e) f(x) + g(x)

Resoluo A funo f associa a cada x o resto de sua diviso por 3. Dessa forma, f s assume os valores 0, 1 ou 2. A funo g associa a cada x o resto de sua diviso por 6. Assim g(f(x)) o resto da diviso de 0, 1 ou 2 por 6, logo, os nicos valores possveis para g(f(x)) so:

f(x) = 0 => g(f(x)) = g(0) = 0

f(x) = 1 => g(f(x)) = g(1) = 1 => g(f(x)) = f(x)

f(2) = 2 => g(f(x)) = g(2) = 2

Resposta: letra A 2.11)Fixao

33

1) (ENEM 2014) Para comemorar o aniversrio de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela formada por trs partes de mesma altura: duas so troncos de cone iguais e a outra um cilindro. A figura a vista frontal dessa escultura.

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte gua, para dentro dela, com vazo constante.

O grfico que expressa a altura (h) da gua na escultura em funo do tempo (t) decorrido :

2) (UFCE) O domnio da funo :

a) {x R / x > 7} b) {x R / x 2} c) {x R / 2 x < 7} d) {x R / x 2 ou x 7} e) {x R / x 7}

34

3) (UFPB) Em uma indstria de autopeas, o custo de produo de peas de R$ 12,00 fixos mais um custo varivel de R$ 0,70 por unidade produzida. Se em um ms foram produzidas x peas, ento a lei que representa o custo total dessas x peas :

a) f(x) = 0,70 12x

b) f(x) = 12 0,70x

c) f(x) = 12 + 0,70x

d) f(x) = 0,70 + 12x e) f(x) = 12 0,70x

4) (FEFISA-SP) O grfico mostra como o dinheiro gasto (y) por uma empresa de cosmticos na produo de perfume varia com a quantidade de perfume produzida (x).

Assim, podemos afirmar que:

a) quando a empresa no produz no gasta.

b) para produzir trs litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00.

c) para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00.

d) se a empresa gastar R$ 170,00, ento ela produzir cinco litros de perfume.

e) para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gasta menos do que fabricar o quinto litro. 5) Uma frmula para verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou no de dieta m/a2 = I, na qual m a massa da pessoa, em quilogramas e a a sua altura, em metros. Se I estiver entre 20 e 50, a pessoa no precisa de dieta. Empregada a frmula, uma mulher com 51,2 kg obteve I = 20. Qual a sua altura?

a) 1,60 m d) 1,52 m

b) 1,58 m e) 1,50 m c) 1,55 m

6) (Uel) Um economista, estudando a relao entre o preo da carne bovina (que aumenta na entressafra) e as vendas de carne de frango, encontrou uma funo cujo grfico esboado a seguir

De acordo com esse grfico, verdade que a) v diretamente proporcional a p. b) v inversamente proporcional a p. c) se p cresce, ento v tambm cresce. d) v sempre maior que p.

35

e) o preo da carne de frango inferior ao da carne bovina.

7) (Ufpe) No grfico a seguir, temos o nvel da gua armazenada em uma barragem, ao longo de trs anos.

O nvel de 40m foi atingido quantas vezes neste perodo?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8) (Unesp) O grfico indica o resultado de uma pesquisa sobre o nmero de acidentes ocorridos com 42 motoristas de txi em uma determinada cidade, no perodo de um ano.

Com base nos dados apresentados no grfico, e considerando que quaisquer dois motoristas no esto envolvidos num mesmo acidente, pode-se afirmar que: a) cinco motoristas sofreram pelo menos quatro acidentes. b) 30% dos motoristas sofreram exatamente dois acidentes. c) a mdia de acidentes por motorista foi igual a trs. d) o nmero total de acidentes ocorridos foi igual a 72. e) trinta motoristas sofreram no mximo dois acidentes.

9) (UFMG) Suponha que o nmero )(xf de funcionrios necessrios para distribuir, em um dia, contas de luz entre

x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela funo x

xxf

150

300)( . Se o nmero de

funcionrios necessrios para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que a receberam : a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50

10) UFTM-MG

36

Um termmetro descalibrado indica 10 C quando a temperatura real 13 C. Quando indica 20 C, a temperatura real de 21 C. Porm, mesmo estando descalibrado, a relao entre a temperatura real e a temperatura indicada linear. Assim sendo, a nica temperatura em que a leitura do termmetro descalibrado corresponder temperatura real :

a) 22 C d) 25 C b) 23 C e) 26 C c) 24 C

11)(Ibmec-SP)Um dos tanques de uma plataforma petrolfera tem a forma de um cubo de aresta 10 m. Considere que inicialmente o tanque est vazio. Num certo instante, aberta uma vlvula que verte petrleo para o tanque, taxa de 4 m3 por hora, at este ficar cheio. Qual a funo que fornece a altura (H), em metros, do petrleo no tanque, t horas aps a abertura da vlvula?

a) H(t) = t/25, 0 t 250 b) H(t) = t/50, 0 t 1.000 c) H(t) = 25t, 0 t 250 d) H(t) = 50t, 0 t 1.000 e) H(t) = 4t

3, 0 t 10

12) (Unesp)O grfico, publicado na "Folha de S. Paulo" de 16.08.2001, mostra os gastos (em bilhes de reais) do governo federal com os juros da dvida pblica.

Obs.: 2001 - estimativa at dezembro. Pela anlise do grfico, pode-se afirmar que: a) em 1998, o gasto foi de R$ 102,2 bilhes. b) o menor gasto foi em 1996. c) em 1997, houve reduo de 20% nos gastos, em relao a 1996. d) a mdia dos gastos nos anos de 1999 e 2000 foi de R$79,8 bilhes. e)os gastos decresceram de 1997 a 1999. 13) (Puccamp) O grfico a seguir apresenta os investimentos anuais em transportes, em bilhes de dlares, feitos pelo governo de um certo pas, nos anos indicados.

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De acordo com esse grfico, verdade que o investimento do governo desse pas, em transportes, a) vem crescendo na dcada de 90. b) diminui, por ano, uma mdia de 1 bilho de dlares. c) em 1991 e 1992 totalizou 3,8 bilhes de dlares. d) em 1994 foi o dobro do que foi investido em 1990. e) em 1994 foi menor que a dcima parte do que foi investido em 1990 14) (UFRN) O banho de Mafalda. Na hora do banho, Mafalda abriu a torneira da banheira de sua casa e ficou observando o nvel da gua subir. Deixou-a encher parcialmente para no desperdiar gua. Fechou a torneira, entrou, lavou-se e saiu sem esvaziar a banheira. O grfico a seguir que mais se aproxima da representao do nvel (N) da gua na banheira em funo do tempo (t) :

15)(UFMT) O grfico abaixo apresenta os prejuzos econmicos em consequncia de catstrofes naturais, em funo da capacidade de reconstruo da economia afetada (representada por um ndice).

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(Scientific American Brasil. Edio Especial, n. 19, p.25.) A partir das informaes contidas no grfico, assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas. ( ) Os prejuzos devidos s catstrofes naturais so diretamente proporcionais capacidade de reconstruo da economia afetada. ( ) Economias com alta capacidade de reconstruo esto livres dos prejuzos econmicos em consequncia de catstrofes naturais. ( ) Economias com capacidade de reconstruo inferior a 2 so mais vulnerveis a prejuzos econmicos causados por catstrofes naturais. Assinale a sequencia correta. A) V, F, F B) V, F, V C) F, V, F D) F, V, V E) F, F, V 16)(UFMG) Observe o grfico, em que o segmento AB paralelo ao eixo das abscissas. Esse grfico representa a relao entre a ingesto de certo composto, em mg/dia, e sua absoro pelo organismo, tambm em mg/dia.

A nica afirmativa FALSA relativa ao grfico : a) Para ingestes de at 20 mg/dia, a absoro proporcional quantidade ingerida. b) A razo entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida constante. c) Para ingestes acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingesto, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. d) A absoro resultante da ingesto de mais de 20 mg/dia igual absoro resultante da ingesto de 20mg/dia. 17)(OBMEC) Uma formiguinha parte do centro de um crculo e percorre uma s vez, com velocidade constante, trajeto ilustrado na figura:

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Qual dos grficos a seguir representa a distncia d da formiguinha ao centro do crculo em funo do tempo t ?

18)(UFMS)Para custear seus estudos, um estudante oferece servios de digitao de textos. O preo a ser pago pela digitao de um texto inclui uma parcela fixa e outra parcela que depende do nmero de pginas digitadas. Se a parcela fixa for de R$ 4,00 e cada pgina digitada custar R$ 1,60, ento a quantidade de pginas digitadas de um texto, cujo servio de digitao custou R$ 39,20, ser igual a:

a) 29 d) 20

b) 24 e) 22 c) 25

19) (PUCCamp-SP)

Numa certa cidade, as agncias de correio cobram R$ 0,30 na postagem de cartas at 20 g, exclusive; R$ 0,50 se o peso variar de 20 g a 50 g e R$ 1,00 se o peso for maior que 50 g. O grfico da funo que ao peso x da carta, em gramas, associa o preo P da postagem, em centavos, da carta :

40

20) Qual das relaes de R em R, cujo os grficos aparecem a seguir, so funes?

41

21) (UFRS) O grfico seguinte representa a evoluo do volume de gua de um reservatrio, durante certo dia.

A vazo de gua do reservatrio, em litros/hora, nos perodos das 6h s 15h e das 15h s 24h , nesta ordem, em valor absoluto, aproximadamente: a) 3 e 8 b) 5 e 2 c) 7 e 1 d) 7 e 2 e) 9 e 1 22) (UEL-PR) Uma papelaria faz cpias xerogrficas e cobra de acordo com a seguinte tabela de preos:

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Segundo essa tabela, uma pessoa ao fotocopiar, por exemplo, 28 cpias, pagar R$ 0,08 a cpia. Se y for o preo total e x a quantidade de cpias, a funo preo pode ser representada pelo grfico:

23) (UFRN) O triatlo olmpico uma modalidade de competio que envolve trs etapas. Na primeira etapa, os com-petidores enfrentam 1,5 km de natao em mar aberto; na segunda etapa, eles percorrem 40 km de corrida ciclstica; e, na terceira etapa, participam de uma meia maratona de 10 km.

O grfico que melhor representa, aproximadamente, a distncia percorrida, em quilmetros, por um atleta que completa a prova durante as duas horas de competio :

43

24) (UERJ) O balano de clcio a diferena entre a quantidade de clcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doena caracterizada pela diminuio da absoro de clcio pelo organismo. A baixa concentrao de on clcio (Ca) no sangue estimula as glndulas paratireoides a produzirem hormnio paratireoide (HP). Nesta situao, o hormnio pode promover a remoo de clcio dos ossos, aumentar sua absoro pelo intestino e reduzir sua excreo pelos rins. (Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular da Clula(. Porto Alegre: Artes Mdicas, 1997.) Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da massa ssea ocorra de forma linear conforme mostra o grfico abaixo.

(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres tm, respectivamente, 90% e 70% da massa ssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa ssea que as mulheres j perderam aos 76 anos, em relao massa aos 30 anos, igual a: a) 14 b) 18 c) 22 d) 26

GABARITO

2.12)Pintou no ENEM

1) (ENEM) O quadro apresenta a produo de algodo de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O grfico que melhor representa a rea plantada (AP) no perodo considerado :

1.D 2.A 3.C 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D 9.B

10.D 11.A 12.D 13.E 14.A 15.D 16. B 17.B 18.E

19.A 20.A,D,E 21.E 22.C 23.C 24.D

44

Resposta: a 2) (ENEM) A suspeita de que haveria uma relao causal entre tabagismo e cncer de pulmo foi levantada pela primeira vez a partir de observaes clnicas. Para testar essa possvel associao, foram conduzidos inmeros estudos epidemiolgicos. Dentre esses, houve o estudo do nmero de casos de cncer em relao ao nmero de cigarros consumidos por dia, cujos resultados so mostrados no grfico a seguir.

De acordo com as informaes do grfico, A) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas inversamente proporcionais. B) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas que no se relacionam. C) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas diretamente proporcionais. D) uma pessoa no fumante certamente nunca ser diagnosticada com cncer de pulmo. E) o consumo dirio de cigarros e o nmero de casos de cncer de pulmo so grandezas que esto relacionadas, mas sem proporcionalidade. Resposta: e 3) (ENEM) Uma escola lanou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos no perecveis para doar a uma comunidade carente da regio. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas dirias, arrecadando 12kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes at o trmino da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de: A) 920kg. B) 800kg.

45

C) 720kg. D) 600kg. E) 570kg Resposta: a 4)(ENEM) Jos Antnio viajaro em seus carros com as respectivas famlias para a cidade de Serra Branca. Com a inteno de seguir viagem juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde chegaro, de modo independente, ente meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como no querem ficar muito tempo esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial esperar pelo outro, no mximo, meio hora; aps esse tempo, seguir viagem sozinho.

Chamando de x o horrio de chegada de Jos e de y o horrio de chegada de Antnio, e representando os pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a regio OPQR a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y): Na regio indicada, o conjunto de pontos que representa o evento "Jos e Antnio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horrio" corresponde: a) diagonal OQ b) diagonal PR c) ao lado PQ d) ao lado QR e) ao lado OR Resposta: a 5)(ENEM) Para convencer a populao local da ineficincia da Companhia Telefnica Vilatel na expanso da oferta de linhas, um poltico publicou no jornal local o grfico I, abaixo representado. A Companhia Vilatel respondeu publicando dias depois o grfico II, onde pretende justificar um grande aumento na oferta de linhas. O fato que, no perodo considerado, foram instaladas, efetivamente, 200 novas linhas telefnicas.

46

Analisando os grficos, pode-se concluir que a) o grfico II representa um crescimento real maior do que o do grfico I. b) o grfico I apresenta o crescimento real, sendo o II incorreto. c) o grfico II apresenta o crescimento real, sendo o I incorreto. d) a aparente diferena de crescimento nos dois grficos decorre da escolha das diferentes escalas. e) os dois grficos so incomparveis, pois usam escalas diferentes. Resposta: d

2.13)Sesso Leitura

Como se descobriu o lugar mais fundo do mar?

Ningum precisou descer at o fundo da fossa das Marianas, no oceano Pacfico. A profundidade foi descoberta a

partir da superfcie da gua com um navio ingls de

pesquisa, o HMS Challenger II, em 1951. Comandados pelo

suo Jacques Piccard, os cientistas da embarcao usaram

um aparelho para emitir um sinal sonoro do casco do barco

at o fundo do oceano. O sinal bateu e voltou na forma de

eco, e os pesquisadores cronometraram quanto tempo durou

essa viagem. Como eles j sabiam a qual velocidade o som

viaja na gua, eles usaram uma frmula simples da fsica

para calcular a profundidade mxima: 10 900 metros. Em

homenagem ao navio comandado pelo cientista suo, o

ponto mais baixo foi batizado de Challenger Deep ("o poo

Challenger"). A medida, no entanto, foi alterada na segunda

expedio de Piccard ao local, em 1960. Usando um

47

equipamento mais moderno, o submarino Trieste, Piccard desceu bem perto do fundo da fossa e determinou uma

nova profundidade: 11 034 metros. A tal diferena de 134 metros pode ter ocorrido devido movimentao das

placas tectnicas: a regio das Marianas tem muitos terremotos submarinos, e algum deles pode ter alterado o jeito

do assoalho ocenico.

Msica submarina Sinal sonoro serviu de base para o clculo dos cientistas

1. Para medir o ponto mais profundo do oceano, os cientistas usaram um aparelho para enviar um sinal sonoro em

direo ao fundo do mar. Na gua, o som se propaga a uma velocidade de 1 500 metros por segundo.

2. O sinal sonoro segue at o fundo rochoso e volta. Como o fundo de pedra, ele devolve um eco bem forte, que

viaja no sentido oposto, rumo embarcao que est na superfcie. Um sensor detecta a chegada do sinal e o

tempo que ele demorou para retornar.

3. Sabendo quanto durou a viagem e a velocidade do som na gua, os cientistas aplicaram a frmula:

distncia= velocidade X tempo para determinar a profundidade. Nesse clculo, eles tomaram o cuidado de dividir

o tempo da viagem por dois, pois queriam saber apenas a distncia de ida (metade, portanto) da viagem. http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-se-descobriu-o-lugar-mais-fundo-do-mar Questes: a) Qual a ideia principal do texto? b) Durante quantos anos a medida oficial da maior profundidade martima foi de 10900m? c) Na primeira medio, em 1951, aproximadamente quantos segundos aps a misso o sinal sonoro retornou

superfcie da gua? d) Se o mesmo mtodo fosse utilizado em 1960, qual

seria o tempo estimado que o sinal sonoro levaria para chegar at o fundo do mar?

e) Voc acredita que a profundidade de 11034m da fossa das Marianas se alterou desde 1960? Justifique

2.14)Referncias MELLO,J. L.P. Matemtica: Construo e significado. Volume nico. 1. Ed. So Paulo: Moderna, 2005. SOUZA, Joamir. Matemtica: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. So Paulo: FTD, 2010. PAIVA,Manoel. Matemtica. Volume nico. 1 Ed. So Paulo: Moderna, 2005.

48

3) Funo do 1 Grau ou Funo Afim

3.1) Estudando a Funo Afim

Um casal resolve utilizar uma viagem ao litoral. Para isso, separa os valores referentes ao combustvel e ao pedgio, o que representa R$75,00. A hospedagem, com diria completa (caf da manh, almoo e jantar), sai por R$130,00 o casal. Quanto custar a viagem?

Nessa situao,temos o gasto fixo correspondente ao combustvel e ao pedgio, que independente da quantidade de dias que o casal ficar hospedado. E temos um valor varivel, correspondente ao nmero de dirias. Assim,o gasto do casal ser composto dessas duas parcelas: Valor gasto = (valor do combustvel + valor do pedgio) + valor referente s dirias gasto fixo O valor a ser pago se, por exemplo, o casal se hospedar apenas um final de semana calculado da seguinte maneira: 75+ 2.130 = 75 + 260 = 335 Portanto, o casal gastar R$335,00 em um final de semana. Percebemos que o valor g(x) gasto na viagem funo da quantidade x de dias hospedados. Assim: g(x) = 75 + 130.x Essa sentena um exemplo de uma lei de formao de uma funo afim.

3.2) Funo Polinomial do 1 Grau

Chama-se funo polinomial do 1 grau, ou funo afim, a qualquer funo f de IR em IR dada por

uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais dados e a 0. Na funo f(x) = ax + b, o nmero a chamado de coeficiente angular e o nmero b chamado de coeficiente linear. Veja alguns exemplos de funes polinomiais do 1 grau: f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Uma funo possui pontos considerados essenciais para a composio correta de seu grfico, e um desses pontos dado pelo coeficiente linear da reta representado na funo pela letra b, que indica por qual ponto numrico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y). Na funo a seguir, observe o valor numrico do coeficiente linear e o grfico representativo da funo:

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3.3) Funo Constante

toda funo da forma f(x) = ax+b, onde a = 0, ento f(x) = b.

Exemplo: f(x) = 2

O grfico da funo f(x) = 2 uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y no ponto (0, 2).

3.4) Raiz da funo

As funes do tipo y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b assumem valores reais e a 0 so consideradas funes do 1 grau. Esse modelo de funo possui como representao geomtrica a figura de uma RETA, sendo a posio dessa reta dependente do valor do coeficiente a.

Calcular o valor da raiz da funo determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y = 0, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representao grfica a seguir:

50

Para encontrar o valor da raiz da funo, basta fazer y = 0 e isolando o valor de x (raiz da funo). Veja: y = ax + b y = 0 ax + b = 0 ax = b x = b/a Portanto, para calcularmos a raiz de uma funo do 1 grau, basta utilizar a expresso x = b/a.

3.5) Estudo da variao do sinal de y = ax + b

Estudar o sinal de uma funo y = f(x) determinar os valor de x para os quais y positivo, os valores de x para os quais y zero e os valores de x para os quais y negativo. Consideremos uma funo afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. J vimos que essa funo se anula pra raiz x = - b/a. H dois casos possveis:

1) a > 0 (a funo crescente)

y > 0 ax + b > 0 x > - b/a

y < 0 ax + b < 0 x < - b/a

Concluso: y positivo para valores de x maiores que a raiz; y negativo para valores de x menores que a raiz.

2) a < 0 (a funo decrescente)

y > 0 ax + b > 0 x < - b/a

y < 0 ax + b < 0 x > - b/a Concluso: y positivo para valores de x menores que a raiz; y negativo para valores de x maiores que a raiz.

51

3.6) Inequaes do 1 Grau

A equao caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequao caracterizada pelos sinais de maior

(>), menor ( 0 -2x + 7 = 0 x = 7/2

a. Inequaes Produto Resolver uma inequao produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condio estabelecida pela inequao. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma funo. Observe a resoluo da seguinte equao produto: (2x + 6)( 3x + 12) > 0. Vamos estabelecer as seguintes funes: y1 = 2x + 6 e y2 = 3x + 12. Determinando a raiz da funo (y = 0) e a posio da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).

Verificando o sinal da inequao produto (2x + 6)( 3x + 12) > 0. Observe que a inequao produto exige a seguinte condio: os possveis valores devem ser maiores que zero, isto , positivo.

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Atravs do esquema que demonstra os sinais da inequao produto y1 x y2, podemos chegar seguinte concluso quanto aos valores de x: x R / 3 < x < 4. b) Inequaes Quociente Na resoluo da inequao quociente utilizamos os mesmos recursos da inequao produto, o que difere que, ao calcularmos a funo do denominador, precisamos adotar valores maiores ou menores que zero e nunca igual a zero. Observe a resoluo da seguinte inequao quociente:

Resolver as funes y1 = x + 1 e y2 = 2x 1, determinando a raiz da funo (y = 0) e a posio da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).

Com base no jogo de sinal conclumos que x assume os seguintes valores na inequao quociente: x R / 1 x < 1/2.

53

3.7) Exerccio comentado (UERJ) Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracan 90.000 torcedores. Trs portes foram abertos s 12 horas e at as 15 horas entrou um nmero constante de pessoas por minuto. A partir desse horrio, abriram-se mais 3 portes e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o nmero de pessoas dentro do estdio em funo do horrio de entrada esto contidos no grfico abaixo:

Quando o nmero de torcedores atingiu 45.000, o relgio estava marcando 15 horas e:

(A) 20 min

(B) 30 min

(C) 40 min

(D) 50 min

Soluo: Antes das 15 horas temos uma funo do primeiro grau que cresce com menor rapidez. A partir das 15 horas o grfico uma funo do primeiro grau que cresce com maior rapidez.

Para x = 15, y = 30.000. Para x = 17, y = 90.000. Como y = ax + b, temos o sistema:

30000 = 15a + b

90000 = 17a + b

Usando o mtodo da adio, segue:

60.000 = 2a

a = 30.000

Substituindo na primeira:

30.000 = 15(30.000) + b

b = - 420.000

Ento a funo y = 30.000x 420.000.

Quando y = 450.000, temos:

54

45.000 = 30.000x 420.000

45.000 + 420.000 = 30.000x

x = 465.000 / 30.000 = 15,5 horas = 15 horas + 0,5 horas

x = 15 horas e 30 minutos (alternativa B).

3.8) Fixao

1) (ENEM 2014) O grfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na regio metropolitana de So Paulo. A taxa de desemprego total a somas das taxas de desemprego aberto e oculto.

Suponha que a taxa de desemprego oculto do ms de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011. Disponvel em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).

Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de:

A) 1,1

B) 3,5

C) 4,5

D) 6,8

E) 7,9

2)(ENEM 2014) No Brasil h vrias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefnicos. O valor mensal de cada plano est em funo do tempo mensal das chamadas, conforme o grfico.

55

Essa pessoa pretende gastar R$ 30,00 por ms com telefone. Dos planos telefnicos apresentados, qual o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa?

3) (Uel 2006) O gerente de uma agncia de turismo promove passeios de bote para descer cachoeiras. Ele percebeu que quando o preo pedido para esse passeio era R$ 25,00, o nmero mdio de passageiros por semana era de 500. Quando o preo era reduzido para R$ 20,00, o nmero mdio de fregueses por semana sofria um acrscimo de 100 passageiros. Considerando que essa demanda seja linear, se o preo for reduzido para R$ 18,00, o nmero mdio de passageiros esperado por semana ser: a) 360 b) 540 c) 640 d) 700 e) 1360

4) (Faap 97) Medies realizadas mostram que a temperatura no interior da terra aumenta,

aproximadamente, 3C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a

temperatura de 25C. Nessas condies, podemos afirmar que:

1. A temperatura a 1.500m de profundidade :

a) 70C b) 45C c) 42C d) 60C e) 67C

2. Encontrando-se uma fonte de gua mineral a 46C, a profundidade dela ser igual a:

a) 700 m b) 600 m c) 800 m d) 900 m e) 500 m

5) (Fuvest) A funo que representa o valor a ser pago aps um desconto de 3% sobre o valor x de uma

mercadoria :

a) f(x) = x 3 b) f(x) = 0,97x c) f(x) = 1,3x d) f(x) = -3x e) f(x) = 1,03x

56

6) (UERJ) Joo mediu o comprimento do seu sof com o auxilio de uma rgua:

Colocando 12 vezes a rgua na direo do comprimento, sobraram 15 cm de rgua; por outro lado,

estendendo 11 vezes, faltaram 5 centmetros para atingir o comprimento total. O comprimento do sof,

em centmetros, equivale a:

a) 240 b) 235 c)225 d)220

7) (Fuvest-SP) Um estacionamento cobra R$6,00 pela primeira hora de uso, R$3,00 por hora adicional e

tem uma despesa diria de R$320,00. Considere-se um dia em que sejam cobrados, no total, 80 horas

de estacionamento. O nmero mnimo de usurios necessrio para que o estacionamento obtenha lucro

nesse dia :

a) 25 b) 26 c)27 d)28 e)29

8) (FGV-SP) O maior nmero inteiro que satisfaz a inequao :

a) Um mltiplo de 2.

b) Um mltiplo de 5.

c) Um nmero primo.

d) Divisvel por 3.

e) Divisvel por 7.

9) (UFMG) Observe o grfico, em que o segmento AB paralelo ao eixo das abscissas.

Esse grfico representa a relao entre a ingesto de certo composto, em mg/dia, e sua absoro pelo organismo, tambm em mg/dia. A nica afirmativa FALSA relativa ao grfico : a) Para ingestes de at 20 mg/dia, a absoro proporcional quantidade ingerida. b) A razo entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida constante. c) Para ingestes acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingesto, menor a porcentagem absorvida do composto ingerido. d) A absoro resultante da ingesto de mais de 20 mg/dia igual absoro resultante da ingesto de 20mg/dia. 10) (UFMG) Em 2000, a porcentagem de indivduos brancos na populao dos Estados Unidos era de 70% e outras etnias - latinos, negros, asiticos e outros - constituam os 30% restantes. Projees do rgo do Governo norte-americano encarregado do censo indicam que, em 2020, a porcentagem de brancos dever ser de 62%. FONTE: "Newsweek International", 29 abr. 2004.

Admite-se que essas porcentagens variam linearmente com o tempo.

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Com base nessas informaes, CORRETO afirmar que os brancos sero minoria na populao norte-

americana a partir de

a) 2050. b) 2060. c) 2070. d) 2040.

11) Ao usar lupas (ou lentes de aumento) podemos ver detalhes de objetos pequenos. Por exemplo, utilizamos algumas lupas para enxergar melhor uma formiga. O interessante que o comprimento virtual (ou aparente) da formiga aumenta numa proporo peculiar, de acordo com os dados da tabela:

Aumento da lente 10 x 25 x 50 x

Comprimento virtual 12 mm 30 mm 60 mm

Se o aumento da lente for de 70 x, qual ser o comprimento virtual da formiga?

12) Willian Thompson (1824-1907), tambm conhecido como Lorde Kelvin, verificou ao estudar os gases que, quando se mantm a presso constante, todos eles (na faixa em que podemos consider-los ideais) se dilatam nu