apostila de mat finac

Matemática Financeira e

Fluxo de Caixa

Profª Drª. Maria Lucia Pozzatti Flôres

2 Profª. Drª. M. Lucia Pozzatti Flôres

Programa

1. Conceitos fundamentais de matemática financeira: valor do dinheiro no tempo,

juros simples e compostos.

2. Juros simples – gestão financeira de curto prazo

3. Juros compostos – gestão financeira de médio ou longo prazo

4. Séries uniformes de valores monetários

5.Equivalência de fluxos de caixa

6 Fluxos de Caixa não homogenêos – métodos de análise e tomada de decisão de

investimento


1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Se algum amigo lhe pedisse R$1.000,00 emprestados para lhe pagar de volta

o mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta atraente?

Intuitivamente podemos dizer: Dinheiro tem custo associado ao tempo.

Portanto, existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, estudado pela

Matemática Financeira.

1.1 Matemática Financeira

A Matemática Financeira estuda as diversas aplicações da Matemática no

dia-a-dia do mercado de negócios.

Ela estuda como funciona a capitalização simples e composta; os

empréstimos com pagamentos unitários ou parcelados; os métodos de amortização

de empréstimos; os métodos de análise de investimentos.

As questões de Matemática Financeira envolvem basicamente o cálculo de

juros simples para aplicações a curto ou curtíssimo prazo e o cálculo de juros

compostos para aplicações á longo prazo.

1.2 Operações financeira

As operações financeiras são operações feitas em dinheiro com a finalidade

de fazê-lo evoluir ao longo do tempo. Podem ser ativas ou passivas.

As operações financeiras ativas são as aplicações ou investimentos que

visam rendimento. Exemplo: letra de câmbio; caderneta de poupança. Também

pode-se investir, com a finalidade de renda, como exemplo a compra de imóveis.

As operações financeiras passivas são as que visam à captação de recursos

como empréstimos ou descontos de títulos.

1.3 Conceitos básicos

a)CAPITAL: qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data,

para ser aplicado numa operação financeira. Também chamado de valor presente ou

valor atual. Notação: PV (ou C).

b)JUROS: É o valor adicional, recebido ou pago, em relação a um valor inicial

aplicado ou tomado emprestado, durante determinado período de tempo.


Notação: j j= PV . i . n , em que: i= taxa de juros; n=período de tempo.

De modo geral o juro cobrado numa transação financeira embute três

componentes:

- o pagamento pelo uso do capital;

- o risco da operação;

- a perda do poder aquisitivo do capital em decorrência da inflação.

c)TAXA DE JUROS: é a unidade de medida de juros e expressa a razão entre os

juros e o capital em um determinado período de tempo. A taxa é expressa sob duas

formas:

-TAXA UNITÁRIA: é a remuneração de cada unidade do capital no período

considerado. Notação: i (interest) i =

Exemplo: 0,12 ao ano.

-TAXA CENTESIMAL: é a remuneração para cada cem unidades do capital no

tempo considerado. Seu valor é acompanhado de %. Notação: r (rate) r =

100

Exemplo: 12% ao ano

Obs: Nos cálculos algébricos são utilizadas as taxas unitárias.

Exemplo:

O capital de R$510,00 ficou aplicado durante 6 meses e rendeu R$30,00 de juros. A

que taxa esteve aplicado?

i = 30 /510 = 0,0588 => r = 5,88% ao semestre

d)MONTANTE: é a soma do capital mais o juro num determinado período. Também

chamado de valor futuro (VF) e valor nominal (N). Notação: FV (ou M).

FV = PV + j

Daí podemos calcular o juro como: j = FV - PV

Como j

iPv

, então: FV PV

iPV


Portanto: i =

- 1

Exemplo: Um capital de R$150,00 esteve aplicado durante um trimestre e rendeu

R$19,00 de juros. a)Qual o montante? a)A que taxa esteve aplicado?

a)FV=150+19=169

b) i=19/150=0,1267=12,67% ao trimestre.

e)REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO: a capitalização é o processo de adição dos juros

ao capital e regime de capitalização é a forma como esta adição é processada.

Existem dois regimes de capitalização: simples e composta.

O regime de capitalização simples consiste em somar os juros ao capital de

uma única vez, no final do prazo contratado. Nada impede que os juros sejam

calculados periodicamente, mas seu cálculo é feito sempre sobre o capital inicial e o

montante será a soma do capital com várias parcelas de juros, o que equivale a uma

única capitalização. Os juros simples são lineares e seu montante tem o

comportamento de uma progressão aritmética. No mercado financeiro, só é utilizado

em operações de curto ou curtíssimo prazo.

No regime de capitalização composta é contratado o período de

capitalização. Se o prazo total em que é feito o investimento tiver vários desses

períodos, no final de cada período os juros serão capitalizados e o montante assim

constituído passará a render juros durante o período seguinte. Os juros compostos

são exponenciais e o montante comporta-se como uma progressão geométrica. No

mercado financeiro é utilizado em operações à longo prazo.

Exemplo: um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 10% ao ano, segundo os

dois regimes:


JUROS SIMPLES

JUROS SIMPLES

JUROS COMPOSTOS

JUROS COMPOSTOS

ANO JUROS MONTANTE JUROS MONTANTE

Início do 1º ano

- 1.000,00 - 1.000,00

Fim do 1º ano 100,00 1.100,00 100,00 1.100,00

Fim do 2º ano 100,00 1.200,00 110,00 1.210,00

Fim do 3º ano 100,00 1.300,00 121,00 1.331,00

Fim do 4º ano 100,00 1.400,00 133,10 1.464,10

Fim do 5º ano 100,00 1.500,00 146,41 1.610,51

Nas operações com apenas um período de capitalização é indiferente um ou

outro regime. As diferenças surgem a partir do segundo período de capitalização.

f)FLUXO DE CAIXA: é uma ferramenta utilizada na compreensão e resolução dos

problemas em Matemática Financeira, que consiste na representação gráfica da

movimentação de recursos ao longo do tempo (entrada e saídas de caixa).

Destacamos:

-A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso em dias, semanas,

meses, anos, etc.

-O ponto 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim o 0 representa a

data inicial da operação. O ponto n representa o número de períodos passados.

-As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Têm sempre sinal

positivo e são representadas por setas apontadas para cima.

-As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Têm sempre sinal negativo e

são representadas por setas para baixo.

O diagrama de fluxo de caixa pode ser construído sob a ótica do devedor ou

do credor, o que não alterará os resultados obtidos. É necessário, contudo, manter

coerência em relação ao sinal de todas as entradas e saídas de caixa.

Exemplos

Operação de empréstimo:

Período de capitalização

0 PV n

Valor Futuro (FV) = VP + J


Operação de Aplicação:

Valor Futuro (FV) = PV + J

0 n

PV Período de capitalização

Operações com parcelamento (PMT):

PV i i FV

0 1 2 3 4 5 n 0 1 2 3 4 5 n

PMT PMT


Exercícios

1- Desenhe os seguintes diagramas de fluxo de caixa:

a)Uma aplicação no valor de R$500,00 que será resgatado em três parcelas

iguais, mensais, no valor de R$200,00.

b)

Ano fluxo

0 (500,00)

1 250,00

2 200,00

3 150,00

4 100,00

c) a empresa XY pensa em abrir uma nova instalação industrial com

investimento inicial igual a R$300.000,00. Os gastos anuais associados aos

cinco anos de vida do negócio são estimados em R$80.000,00, e as receitas,

em R$200.000,00.


Numa empresa - Fluxo de Caixa é o conjunto de ingressos e desembolsos de

numerário ao longo de um período orçamentário. Representa de forma dinâmica a

situação financeira de uma empresa, considerando todas as fontes de recursos e

todas as aplicações efetuadas.

Objetivos do fluxo de caixa:

a) Facilitar análise e cálculo na seleção das linhas de crédito a obter;

b) Detectar antecipadamente as carências de recursos;

c) Planejar desembolsos evitando acúmulo de compromissos vultosos em época de

pouco encaixe;

d) Quantificar os recursos próprios disponíveis para investimentos;

e) Intercambiar os diversos departamentos com área financeira;

f) Usar eficientemente/eficazmente recursos disponíveis;

g) Financiar necessidades sazonais ou cíclicas da empresa;

h) Prover recursos para expansões (planta, operacional, etc.).

i) Manter determinado nível de caixa em função do capital de giro;

j) Auxiliar na análise dos valores a receber e estoques, para verificar sua

conveniência;

k) Aplicar os excedentes de caixa

l) Programar convenientemente empréstimos ou financiamentos

m) Projetar plano efetivo de resgate de débitos

n) Integrar os controles financeiros da empresa.

Modelo de relatório para fluxo de caixa


Modelo de relatório online


2. JUROS SIMPLES

Esse regime consiste em somar os juros ao capital de uma única vez, no final

do prazo contratado.

A função de cálculo de juros simples tem comportamento linear, como mostra

a figura abaixo. No mercado financeiro, é utilizado em operações de curto ou

curtíssimo prazo.

J

0 1 2 3 4 n

A taxa de juros e o prazo de aplicação devem se referir à mesma unidade de

tempo. Se isto não ocorrer é necessário efetuar as devidas transformações,

previamente ao cálculo.

2.1 Fórmulas básicas

CAPITAL, JUROS E MONTANTE

Seja PV um capital aplicado a uma taxa periódica i de juros simples. A cada

período de cálculo dos juros estes serão dados por: iPVJ 1

Assim, se a aplicação durar n períodos, os juros totais serão dados por: . .j PV i n

Como o montante é a soma do capital aos juros, temos: JPVFV

Então: niPVFV 1

Exercícios:

1-Quais os juros de um capital de R$185,00 ; aplicado a 2,5% a .m. durante 12

meses?

PV

PV

PV

PV


2-Um investidor aplicou R$2.500,00 em Letras de Câmbio que lhe proporcionarão

um rendimento de 3% a . m., durante três meses. De quanto será o resgate no final

desse prazo?

2.2 Considerações sobre a taxa de juros

TAXAS PROPORCIONAIS:

Duas taxas são proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas

em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem.

Se dois capitais forem aplicados pelo mesmo prazo de tempo com taxas

proporcionais i1 e i2, respectivamente , e se n1 e n2 são números respectivos de

períodos que perfazem esse prazo de tempo para cada uma dessas aplicações tem-

se : 1 1 2 2. .i n i n

Ou seja:

ia = is . 2 = it . 4 = im . 12 = id . 360

Exemplo: as taxas 3% am e 18% as são proporcionais, pois 18/3=6 e 1 mês x 6=6

meses ou um semestre.

TAXAS EQUIVALENTES: são aquelas que, aplicadas a capitais iguais, produzem

juros iguais (e montante iguais) em tempos iguais.

No regime de juros simples, as taxas proporcionais são equivalentes.

Chamando de PV cada um desses capitais e de n1 e n2 os números de períodos

correspondentes aos referidos nas taxas i1 e i2; os juros obtidos no final do prazo de

aplicação serão: 1 1 1. .j PV i n e 2 2 2. .j PV i n

Como as taxas são proporcionais, tem-se 1 1 2 2. .i n i n => 1 2i i . Logo as taxas são

equivalentes.

TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA:

A taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se taxa nominal.

Essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva que é a taxa de rendimento que a


operação financeira proporciona realmente. Isto acontece em razão de existirem

obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou

oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também

fazem a taxa nominal diferir da efetiva, por exemplo, juros cobrados

antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas.

Esses artifícios são muito usados para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros

parecerem maiores ou menores conforme a conveniência.

Exercícios:

1-Dada a taxa de 6,3%at, determinar as taxas proporcionais:

a)mensal b)semestral c)bimestral d)anual.

2-Um capitalista depositou R$200.000,00 num banco, a prazo fixo, por dois meses, à

taxa de 3,1 % a .m. Sabendo que, sobre os juros, incide uma taxa de 8,5% de IR,

determinar:

a)o valor dos juros;

b)o imposto de renda retido;

c)o valor líquido do resgate;

d)a taxa efetiva mensal de rendimento.


2.3 Considerações sobre a contagem do tempo:

JUROS COMERCIAIS E JUROS EXATOS:

Nas operações de curto prazo, ou seja, em que o capital é investido por

poucos dias, a taxa costuma ser prefixada para o período e expressa como mensal

ou anual e, para se calcularem os juros, é necessário determinar antes a taxa diária

equivalente. Existem duas sistemáticas para se calcular a taxa diária a partir da taxa

anual:

Juros comerciais: 360

i

Juros exatos: 365

i

Obs: Por convenção usam-se sempre os juros comerciais.

TEMPO EXATO E TEMPO APROXIMADO:

Quando se quer calcular os juros de um capital aplicado e se conhecem as

datas de aplicação e resgate, o tempo decorrido entre essas datas também pode

ser contatado de duas maneiras:

Tempo exato: quando se considera o número exato de dias contados no calendário.

Tempo aproximado: quando se considera qualquer mês como tendo 30 dias.

Obs: 1-Por convenção, sempre que são dadas duas datas, calcula-se o tempo exato

e, nos demais casos, o tempo aproximado.

2-Chama-se regra dos bancos a convenção de se calcularem os juros

comerciais para o tempo exato entre duas datas.

Exercícios:

1-Calcular os juros comerciais e os juros exatos produzidos por um capital de

R$500,00 aplicado à taxa de 12,4%a . a . , durante 25 dias.


2-Calcular os juros de R$1.000,00, aplicados a12%a . a . , de 15/06 a 15/09 do

mesmo ano, considerando:

a)juros comerciais e tempo exato;

b)juros comerciais e tempo aproximado;

c)juros exatos e tempo exato;

d)juros exatos e tempo aproximado.

2.4 Descontos

Alguns títulos podem sofrer a operação de desconto, que consiste em o

portador resgatar o título antes do vencimento, recebendo por ele um valor menor

que aquele que receberia se aguardasse a data de seu vencimento (operações de

curto prazo).

O valor recebido pelo portador é o valor atual (A) do título e representa a

diferença entre o valor nominal e o desconto feito: dNA

Existem duas sistemáticas para se calcular o desconto de um título usando

capitalização simples: a do desconto comercial e a do desconto racional.

DESCONTO COMERCIAL (desconto bancário ou desconto por fora). Calculado pela

fórmula: niNdc

Uma vez descontado comercialmente, pode-se determinar o valor atual Ac do título

pela diferença: niNNdNA cc

niNAc 1

DESCONTO RACIONAL (desconto real ou desconto por dentro). Calculado pela

fórmula: niAd rr


Na prática Ar só é conhecido após o cálculo do desconto, portanto ele é calculado

pela fórmula: ni

niNd r

1

Uma vez descontado racionalmente o título, pode-se determinar seu valor

atual Ar pela diferença: ni

niNniNN

ni

niNNdNA rr

11

ni

NAr

1

Exercícios:

1-O portador de uma nota promissória de R$6.000,00, necessitando de dinheiro,

procurou uma agência bancária, 60 dias antes do vencimento do título, a fim de

resgatá-lo. O banco fez o desconto comercial com taxa de 8%a . m.

a)Calcule o valor do desconto feito pelo banco.

b)Determine a quantia recebida pelo portador do título.

2-O emitente de uma nota promissória de R$2.560,00, para daqui a três meses,

propôs-se a pagá-la imediatamente se seu portador concordasse em calcular seu

valor atual através de um desconto racional, à taxa de 8%a .m.. O credor concordou.

Quanto o devedor deverá pagar?


3 JUROS COMPOSTOS

No regime de capitalização composta apenas no fim do primeiro período os

juros são calculados sobre o capital inicialmente aplicado; nos períodos a partir do

segundo, os juros incidem sobre o montante constituído no período anterior.

Os juros compostos são exponenciais. No mercado financeiro é utilizado em

operações a longo prazo.

O gráfico a seguir mostra uma comparação entre os montantes obtidos a

juros simples ( sFV ) e a juros compostos ( cFV ), dado um mesmo capital e uma

mesma taxa.

n

c iPVFV 1 FV

niPVFVs 1

n

3.1 Fórmulas Básicas

CAPITAL, JUROS e MONTANTE

Se um capital PV foi aplicado a uma taxa i dada para certo período, então o

montantes ao final do n período é dado por: (1 )nFV PV i

Os juros são calculados pela diferença : j=FV-PV , portanto: j=PV(1+i)n – PV

Ou ainda: 11 n

iPVJ

Exercícios:

1-Qual o montante produzido por um capital de R$2.500,00 que ficou aplicado

durante um ano e dois meses à taxa de 7,5%a .m. de juros compostos?

PV


2-Qual é o capital que, aplicado a 8,2%a .m., durante seis meses, rende juros

compostos de R$7.557,35?

3.2 Considerações sobre a taxa de juros

TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES:

Duas taxas são proporcionais, quando há uma proporção entre as grandezas; e

duas taxas são equivalentes quando aplicados capitais iguais, produzem juros iguais

em períodos iguais. 1 1 2 2. .i n i n

No entanto, no regime de juros compostos, as taxas proporcionais não são

equivalentes e fazem capitais iguais, em tempos iguais, produzirem montantes

diferentes.

Por exemplo: Três investidores A, B e C, tinham, cada um, R$1.000,00 para aplicar.

A aplicou a 24% a .a ., B aplicou a 12%a .s. e C aplicou a 2%a .m . Quais os

montantes de cada um desses três investidores depois de decorrido um ano?

FVA=1.000(1+0,24)1=1.240,00

FVB=1.000(1+0,12)²=1.254,40

FVC=1.000(1+0,02)12=1.268,24

As taxas equivalentes são calculadas por:

21

21 11nn

ii que é a relação que deve haver entre duas taxas para que

sejam equivalentes no regime de juros compostos, ou ainda:

2 4 12 360

(1 + ia ) = ( 1 + is ) = ( 1 + it ) = ( 1 + im ) = ( 1 + id ) Em que: ia = taxa de juros anual

is = taxa de juros semestral it = taxa de juros trimestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diária


TAXAS NOMINAIS E TAXAS EFETIVAS:

No regime de juros compostos também as taxas, impostos e comissões fazem

as taxas nominais e efetivas diferirem, assim como os juros antecipados e os

artifícios nos cálculos dos juros.

No sistema de juros compostos é comum falar em taxa de 9%as capitalizada

mensalmente.

As taxas efetivas que estão implícitas nas taxas nominais anuais, são obtidas

em função do número de capitalização da taxa nominal, como mostra a tabela

abaixo:

Período de capitalização Número de período de

capitalização no ano

Taxa efetiva implícita

Diária 360 Id=

Mensal 12 Im=

Trimestral 4 It=

Semestral 2 Is=

Exercícios:

1-Qual a taxa bimestral equivalente a 15%a .t.?

2-Uma pessoa tomou um empréstimo de R$1.000,00 para pagar após três meses

com juros de 18%aa capitalizados mensalmente. Na data da liberação do

empréstimo pagou uma taxa de serviço de 1,5% sobre o valor do empréstimo. Qual

a taxa efetiva anual?


3.3 Descontos

No sistema de capitalização composta também podem ser definidos dois tipos

de descontos: comercial e racional. Na prática, os descontos compostos tem pouca

aplicação. O racional é utilizado para equivalência de capitais com juros compostos

e o comercial é utilizado em uma técnica de depreciação.

DESCONTO COMERCIAL:

É calculado sobre o valor nominal do título: n

cc iNNANd 1

n

c iNd 11

O valor atual é dado pela formula: n

c iNA 1

DESCONTO RACIONAL:

É calculado sobre o valor atual do título: nrr

i

NNANd

1

nri

Nd1

11 E o valor atual é calculado por:

nri

NA

1

Exercícios:

1-Uma duplicata no valor de R$8.000,00 foi descontada 4 meses antes do

vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3% am. Calcule o

valor liquido da operação e o desconto sofrido no valor do título.

2-A Cia XY possui uma nota promissória em suas contas a receber, com vencimento

programado para 90 dias e valor nominal igual a R$34.00,00. Se a empresa

descontar por dentro (racional) esse título a uma taxa de juros compostos igual a 5%

ao mês, qual será o valor líquido a receber?


4 SÉRIES UNIFORMES DE VALORES MONETÁRIOS

As séries financeiras (conhecidas por rendas, anuidades, seqüências de

capitais ou cash flow) são sucessões de pagamentos destinados a constituir um

capital (montante) ou pagar uma dívida. Vamos estudar as séries constantes e

periódicas. Em relação ao pagamento da 1ª parcela elas podem ser:

-Séries imediatas (postecipadas): têm o primeiro pagamento efetuado no fim do 1º

período. Exemplo: o empréstimo que o devedor paga em parcelas periódicas, com a

1ª vencendo no fim do 1º período; o aluguel pago no fim de cada mês.

-Séries antecipadas: caracterizam-se por terem o primeiro pagamento efetuado no

início do 1º período. Exemplo: compra em prestações, quando a 1ª é paga no ato.

-Séries diferidas: caracterizam-se por um prazo de carência a partir do qual

começam a ser feitos os pagamentos. Exemplo: financiamentos que tem prazo de

carência antes do início de uma série de pagamentos.

4.1 Valor presente de uma série

SÉRIE IMEDIATA

Suponha-se uma série imediata, de n termos PMT.

PV i

0 1 2 3 4 5 n

PMT

O valor presente (capital) será calculado pela fórmula: 1 (1 )

.[ ]ni

PV PMTi

SÉRIE ANTECIPADA

Suponha-se uma série antecipada de n termos PMT, da qual se quer calcular

o valor presente PV com uma taxa i dada para o período da série.

Observe que a diferença essencial entre uma série imediata e uma série

antecipada é que na série imediata o valor presente está na data focal


imediatamente anterior à do 1º pagamento e na série antecipada o valor presente

está na mesma data focal do 1º pagamento.

Se o que se quer é um valor presente na data do 1º pagamento, basta que se

capitalize um período de juros naquele valor presente. Portanto, para as séries

antecipadas, tem-se:

1 (1 ).[ ].(1 )

niPV PMT i

i

SÉRIE DIFERIDA

Suponha-se uma série de n termos PMT, diferida de m período, da qual se

quer calcular o valor presente PV com taxa i dada para o período de série.

As séries diferidas têm seu valor presente calculado numa data focal situada

m períodos antes da data focal em que foi calculado o valor da série imediata.

Portanto, a fórmula para calcular o capital será :

1 (1 ).[ ].(1 )

nmi

PV PMT ii

Exercícios:

1-Um terreno foi comprado com uma entrada de R$3.000,00 e 12 prestações

mensais imediatas de R$631,00. Qual o preço a vista do terreno se a taxa do

mercado imobiliário é 3,8% a.m.?

2-Comprei uma calculadora para pagar em 3 pagamentos de R$55,00 cada um,

sendo o 1º no ato da compra e os demais em 30 e 60 dias respectivamente. Qual o

preço a vista da calculadora se a taxa cobrada pela loja que vendeu é 6,5% a.m.?


3-Um empréstimo de R$5.000,00 deve ser pago com juros de 4,5% a.m. em seis

parcelas mensais iguais, vencendo a 1ª a 120 dias do empréstimo. De quanto serão

as parcelas?

4.2 Valor futuro de uma série

SÉRIE IMEDIATA

Suponha-se uma série imediata, de n termos PMT.

i FV

0 1 2 3 4 5 n-1 n

PMT

O montante é calculado pela fórmula: (1 ) 1

.[ ]ni

FV PMTi

SÉRIE ANTECIPADA

Suponha-se uma série antecipada de n termos PMT, da qual se quer calcular

o valor futuro FV com uma taxa i dada para o período da série.

O valor futuro de uma série imediata está no foco do último pagamento,

enquanto o valor futuro de uma renda antecipada está no foco imediatamente

posterior ao desse pagamento.

Portanto, utilizando a fórmula vista anterior, o valor futuro será calculado

numa data que coincide com a do último pagamento e para calculá-lo no foco

seguinte é necessário que se capitalize um período de juros obtido inicialmente,

portanto: (1 ) 1

.[ ].(1 )ni

FV PMT ii

SÉRIE DIFERIDA


Seja a série de n termos PMT, diferida de m períodos, da qual se quer

calcular o valor futuro FV com a taxa i dada para o período da série.

Os m períodos de diferimento não influem na posição de FV, isto é, em

ambos os casos, FV situa-se da data focal correspondente ao último pagamento.

Portanto, para calcular o montante usamos a mesma fórmula da série imediata:

(1 ) 1.[ ]

niFV PMT

i

Exercícios:

1- Determinar o valor de 6 depósitos mensais, iguais e sucessivos, capazes de

produzir um montante de R$5.000,00 no final do 6º mês, imediatamente após

a realização do 6º depósito, sabendo-se que esses depósitos são

remunerados com uma taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente.

2-José quer acumular R$20.000,00 em 10 prestações. Sabendo que o banco

que ele vai efetuar essa operação financeira trabalha com um taxa de 12% ao

ano qual o valor dessa prestação.


5 EQUIVALÊNCIA DE FLUXOS DE CAIXAS:

Dois ou mais capitais são equivalentes, em certa data, com uma taxa dada,

se seus valores calculados nessa data, com essa taxa, forem iguais. Portanto, fluxos

de caixa equivalentes são aqueles que apresentam valores presentes (PV ou

valores atuais (A)) iguais, quando descontados a uma mesma taxa de juros.

A equivalência desses fluxos de caixa deixa de existir caso a taxa de juros

utilizada para o cálculo do PV seja alterada. Quando isso ocorre, os valores

presentes também são alterados, e o conceito de equivalência perde o sentido.

Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada

taxa de juros, então, seus valores futuros (FV) após n períodos, obtidos com essa

mesma taxa de juros, são necessariamente iguais. Dessa forma a equivalência de

fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no ponto zero da escala

do tempo. Ela pode ser verificada no final de qualquer período n, desde que o

período escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa.

Assim:

Observa-se , no diagrama acima, que A1 e A2 são os valores presentes dos

capitais cujos valores futuros são N1 e N2 na data em que são disponíveis. Se N1 e

N2 são capitais equivalente, tem-se : A1 = A2.

E a equação de equivalência com desconto comercial composto será dado

por: 1 2

1 2(1 ) (1 )n n

N i N i

Enquanto que com desconto racional composto, será : 1 2

1 2

(1 ) (1 )n n

N N

i i

Suponha os capitais A1 e A2 disponíveis, respectivamente, n1 e n2 períodos

antes da data focal n em que são equivalentes com taxa i e sejam N1 e N2 seus

N1

N2

A1

A2


valores nessa data. Se A1 e A2 são equivalentes, então: N1 = N2 e o diagrama de

equivalência é:

A equação de equivalência com desconto comercial composto é: 1 2

1 2

(1 ) (1 )n n

A A

i i

E com desconto racional composto: 1 2

1 2(1 ) (1 )n n

A i A i

Exercícios:

1-Um título no valor de R$5.000,00 para 30 dias foi trocado por outro, deR$8.000,00

para 90 dias. Qual a taxa de desconto comercial composto que foi utilizado para

que esses títulos fossem considerados equivalentes?

2-Uma pessoa tomou um empréstimo de R$3.000,00 há quatro meses e deve pagá-

lo daqui a dois meses com juros compostos, à taxa de 8%am. Calcular o pagamento

final que deve ser feito na data prevista.

N1

N2

A1

A2


5.1 Planos equivalentes de financiamento

A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a

tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de forma que

varia de acordo com contrato estabelecido entre as partes interessadas. As formas

de pagamentos de empréstimos são chamadas sistemas de amortização. Esse

sistema obedece aos princípios de equivalência de capitais, sendo, a cada período,

os juros calculados sobre o saldo devedor naquele período .

No exemplo: em um financiamento cujo capital é de R$1.000,00 a taxa de

juros de 8% ao ano no prazo de 4 anos. Vamos desenvolver e analisar quatro

planos equivalentes para amortizar

PAGAMENTO NO FINAL

O devedor paga, ao final do prazo, o montante da dívida : (1 )nFV PV i .

A tabela abaixo mostra os cálculos dos valores desse financiamento no final dos 4

anos da operação:

Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

Total Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 0,00 0,00 0,00 1.080,00

2 1.080,00 86,40 1.166,40 0,00 0,00 0,00 1.166,40

3 1. 166,40 93,31 1.259,71 0,00 0,00 0,00 1259,71

4 1.259,71 100,78 1.360,49 1.360,49 360,49 1.000,00 1.360,49

Soma dos pagamentos 1.360,49 360,49 1.000,00

O financiamento de R$1.000,00 é liquidado com um único pagamento de

R$1.360,49, realizado no final do 4º ano, sendo R$1.000,00 de amortização do

principal e R$360,49 de juros acumulados ao longo dos 4 anos.

Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado,

tais como operações de capital de giro e de desconto de títulos e aplicações em

títulos de renda.

PAGAMENTOS PERIÓDICOS DE JUROS


O financiamento é liquidado da seguinte forma:

-no final de cada ano, são pagos os juros do respectivo ano;

-no final do prazo do financiamento, além dos juros anuais, é efetuado o pagamento

integral do capital.

No exemplo, a tabela abaixo mostra os cálculos dos valores desse

financiamento no final dos 4 anos da operação:

Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

Total Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00

2 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00

3 1.000,00 80,00 1.080,00 80,00 80,00 0,00 1.000,00

4 1.000,00 80,00 1.080,00 1.080,00 80,00 1.000,00 1.000,00


O financiamento de R$1.000,00 é liquidado com quatro pagamentos anuais

de R$80,00, correspondentes aos juros do ano, e mais um pagamento de

R$1.000,00 no final do 4º ano, para amortizar integralmente o principal do

financiamento.

Essa modalidade de pagamento se aplica a diversas operações do mercado,

tais como operações de leasing e aplicações em títulos de renda periódica 9anul,

mensal,...).

PRESTAÇÕES IGUAIS – MODELO PRICE

Por esse sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais

imediatas, calculada através da fórmula: 1 (1 )

.[ ]ni

PV PMTi

Em cada parcela está incluído uma amortização parcial do empréstimo e os

juros sobre o saldo devedor.

O financiamento é liquidado pelo pagamento de n prestações iguais (PMT),

sendo n o prazo da operação. As prestações de cada ano são subdivididas em duas

parcelas:

-juros do ano, calculados sobre o saldo devedor no início do respectivo ano;


-amortização do principal, obtida pela diferença entre o valor da prestação e o

valor dos juros do ano.



Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

PMT Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 301,92 80,00 221,92 778,08

2 778,08 62,25 840,33 301,92 62,25 239,67 538,40

3 538,40 43,07 581,48 301,92 43,07 258,85 279,56

4 279,56 22,36 301,92 301,92 22,36 279,56 0,00


Essa modalidade de pagamento é conhecida como Modelo Price ou Tabela

Price, e é utilizada em operações de financiamento imobiliário e de crédito direto ao

consumidor.

Para elaborar a tabela, os valores são colocados linha por linha e são

calculados da seguinte forma:

1 (1 ).[ ]

niPV PMT

i

Daí temos PMT=

Ainda:

1 .j PV i 1 1A PMT j 1 1SD PV A

2 1.j SD i 2 2A PMT j 2 1 2SD SD A

e, assim, calculamos linha por linha até chegarmos em 0nSD .

SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES-SAC

Nesse sistema o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem,

cada uma, uma parcela constante de amortização e os juros sobre o saldo devedor.

Como n amortizações iguais devem saldar a dívida PV, para calcular cada uma

basta dividir o total do empréstimo PV pelo número n de parcelas: PV

An

.


O financiamento é liquidado mediante o pagamento de n prestações linearmente

decrescentes. Cada prestação é subdividida em duas parcelas:

-amortização do principal, obtida por PV

An

-juros do ano, calculados sobre o saldo no início do respectivo ano.



Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

PMT Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0 1.000,00

1 1.000,00 80,00 1.080,00 330,00 80,00 250,00 750,00

2 750,00 60,00 810,00 310,00 60,00 250,00 500,00

3 500,00 40,00 540,00 290,00 40,00 250,00 250,00

4 250,00 20,00 270,00 270,00 20,00 250,00 0,00


Essa modalidade de pagamento é utilizada em operações de financiamento

imobiliário e nos financiamentos de longo prazo de um modo geral.

Para elaborar a tabela, os valores são colocados linha por linha e são

calculados da seguinte forma:

-calculo da amortização através da fórmula PV

An

Ainda:

1 .j PV i 1 1P A j 1SD PV A

2 1.j SD i 2 2P A j 2 1SD SD A e, assim sucessivamente.

Exercícios:

1-Um empréstimo de R$2.000,00 deve ser pago em três meses, com juros de 8%

am. Descreva como será o pagamento em cada caso e faça um demonstrativo:

a) pagamento no final

b) pagamento periódico de juros

c) prestações iguais (Price)

d) amortizações constantes.


a)

Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

PMT Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0

1

2

3

Soma dos pagamentos

b)

Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

PMT Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0

1

2

3

Soma dos pagamentos


c)

Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

PMT Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0

1

2

3

Soma dos pagamentos

d)

Anos Saldo no

inicio do

ano

Juros

do ano

Saldo no

final do ano,

antes do

pagamento

PMT Juros Amortiza

ção

Saldo no

final do

ano, após o

pagamento

0

1

2

3

Soma dos pagamentos


6 FLUXOS DE CAIXA NÃO HOMOGÊNEOS

Fluxos de caixa não homogêneos são aqueles cujos valores de suas parcelas

são distintos entre si e que não apresentam nenhuma lei de formação que permita

uma simplificação do cálculo das funções financeiras.

Aqui vamos estudar os conceitos de valor presente líquido e da taxa interna

de retorno de um fluxo de caixa, indispensáveis para a análise e tomada de decisão

de investimento em geral.

A análise de investimento compreende as alternativas entre dois ou mais

investimentos para a escolha do melhor, e, ainda, a análise de um único

investimento com a finalidade de se julgar de seu interesse ou não. Na análise de

investimento só serão levados em conta os fatores quantificáveis, isto é, que

puderem ser expressos em unidades de capital. Quando apenas um investimento é

analisado, costuma-se fazer uma comparação entre a sua taxa de renda e uma taxa

ideal (taxa mínima de atratividade). É comum adotar como taxa de atratividade a

taxa de mercado.

6.1 Método do valor presente líquido (VPL ou NPV)

Consiste em calcular o VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL ou NPV) do fluxo

de caixa do investimento que está sendo analisado, usando a taxa de atratividade

do investidor.

O valor presente líquido (VPL) de um fluxo de caixa é igual ao valor presente

de suas parcelas futuras (que são descontadas com uma determinada taxa de

desconto), somado algebricamente com a grandeza colocada no ponto zero.

Se VPL = 0, então isso significa que a taxa i de renda do investimento

coincide com a taxa ia de atratividade que foi utilizada(i=ia).

Se VPL > 0, então isso significa que a taxa de renda que o investimento

proporciona ultrapassa a taxa de atratividade ia (i>ia). Neste caso, o investimento

analisado interessa ao investidor.

Se VPL < 0, então isso significa que a taxa de renda que o investimento

proporciona é menor que a taxa de atratividade(i<ia). Neste caso, o investimento

analisado não interessa ao investidor.

Obs:


1-Quando vários investimentos estão sendo analisados, o investimento mais

interessante é aquele que apresenta o maior VPL.

2- Se o problema é comparar custos de empréstimos, serviços ou equipamentos, a

melhor alternativa é aquela que apresenta o menor VPL.

Exemplo: determinar o valor presente do fluxo de caixa indicado no diagrama a

seguir, com a taxa de juros de 8% ao ano, no regime de juros compostos:

PV

0 1 2 3 4 anos

3.000,00

1.000,00

Esse fluxo pode ser decomposto em outros dois fluxos:

PV1

0 1 2 3 4 anos

1.000,00

Assim, usando a fórmula 1 (1 )

.[ ]ni

PV PMTi

Calculamos o PV1= 1.000,00 [

] => PV1=2.577,10

PV2

0 1 2 3 4 anos

3.000,00


Assim, usando a fórmula FV2= PV (1+i)n => PV2=

Calculamos o PV2=

=> PV2=2.205,09

O valor presente procurado será PV= PV1 + PV2 = 2.577,10 + 2.205,09 = 4.782,19

Análise sob a ótica do financiador: o investidor que aceitar uma remuneração de 8%

ao ano sobre seu capital concorda em fazer um investimento de R$4.782,19 para

receber 3 parcelas de R$1.000,00 ao final dos próximos 3 anos e mais uma parcela

de R$3.000,00 ao final do 4º ano.

Análise sob a ótica do financiado: o tomador de um empréstimos de R$4.782,19

para ser pago em 3 parcelas anuais de R$1.000,00 e mais uma parcela de

R$3.000,00 no final do 4º ano, concorda em remunerar o capital do financiador com

a taxa de juros de 8% ao ano, que é o custo efetivo do financiamento.

6.2 Método da taxa interna de retorno (TIR ou IRR)

Consiste em calcular a taxa que anula o valor presente líquido do fluxo de

caixa do investimento que está sendo analisado. Essa taxa é chamada taxa interna

de retorno do investimento e é indicada por TIR ou IRR.

O investimento será ATRATIVO se taxa interna de retorno é MAIOR ou

IGUAL à taxa de atratividade ia.

Se vários INVESTIMENTOS são comparados, o melhor é o que tem a MAIOR

taxa interna de retorno.

Se forem EMPRÉSTIMOS que estão sendo analisados, o melhor é o que tem

a MENOR taxa interna de retorno.

EXERCÍCIOS:

1-Numa época em que a taxa de mercado é 2,31%am , qual é o melhor retorno para

uma aplicação de R$ 5.000,00:

-receber 5.500,00 no fim de seis meses;

-receber duas parcelas trimestrais de R$2.300,00;


-receber três parcelas bimestrais de R$2.500,00

-receber seis parcelas mensais de R$1.500,00


2-Um investidor tem duas alternativas para uma aplicação de capital durante um

ano. A primeira requer um capital inicial de R$1.000,00 e tem retornos mensais de

R$180,00 e a segunda requer um capital inicial de R$1.500,00 e tem retornos

trimestrais de R$850,00. Qual a melhor aplicação numa época em que a taxa de

mercado é de 3,1%am?


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFIAS

BÁSICAS:

-FLÔRES, Maria Lucia Pozzatti. Caderno Universitário – Matemática Financeira.

Canoas: ed.Ulbra, 2005.

-BRUNI, Adriano Leal, FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira: com HP-12C e

Excel. 2.ed. São Paulo: Atlas:2003. 490p.

-PUCCINI, Abelardo de Lima e PUCCINI, Adriana. Matemática financeira: ojetiva e

aplicada. São Paulo: Saraiva, 2006. 180p.

COMPLEMENTARES:

-LAPPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira : usando Excel 5 e 7. São Paulo:

Lapponi Treinamento e Editora Ltda., 1996. 302p.

-SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel 5.0 .São Paulo:

Atlas,1998. 169p.

-TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Makron Books, 1998. 134p.

-KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira aplicada a análise de

investimentos. São Paulo: Atlas,1994. 515p.

apostila de mat finac

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