Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA2 Ttulo: Mdulo 02 Matemtica Bsica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA Organizadora: Gabriela da Silva Morais Reviso: Rony Ribeiro de Sousa Thalita Geralda da Silva Borges Design de Pgina: Ricardo Pereira da Costa Agradecimento:Aos autoresresponsveispelasobras queforam utilizadas neste material didtico e citadas nas referncias. ____________________________________________________________________ Coordenao Pedaggica: Eunice Maria Santiago Karla Biage Ribeiro Tania Garcia Lopes Superviso Pedaggica:Sandra Lcia da Silva ____________________________________________________________________ Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPARua VP 04D Quadra 8A Mdulo 3 a 6 Distrito Agroindustrial de Anpolis DAIAAnpolis-GO Tel: (62) 3328-2476 www.cepeduc.com Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 3 SUMRIO 1.ARITMTICA ................................................................................................................................ 4 1.1CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N) ..................................................................... 4 1.2CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z) ....................................................................... 5 1.3CONJUNTO DE NMEROS RACIONAIS (Q) .................................................................... 11 1.4NMEROS DECIMAIS ......................................................................................................... 11 2.LGEBRA .................................................................................................................................... 18 2.1EXPRESSES ALGBRICAS .............................................................................................. 18 2.2 OPERAES COM EXPRESSES ALGBRICAS........................................................... 18 3.PRODUTOS NOTVEIS ............................................................................................................. 19 4.FATORAO ............................................................................................................................... 20 5. RAZO .......................................................................................................................................... 21 6.PROPORO ............................................................................................................................... 21 7.REGRA DE TRS ........................................................................................................................ 23 7.1REGRA DE TRS SIMPLES ................................................................................................. 23 7.2REGRA DE TRS COMPOSTA ............................................................................................ 25 7.3PORCENTAGEM ................................................................................................................... 28 8.PROBABILIDADE ...................................................................................................................... 30 9.ANLISE COMBINATRIA ...................................................................................................... 32 REFERNCIAS ................................................................................................................................ 41

Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA4 1.ARITMTICA 1.1 CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N) O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra maiscula N e estes nmeros so construdos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Observequeasucessodosnmerosnaturaiscomeapelozeroecadanmeroseguinte obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior.Embora o zero no seja um nmero natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos decontagensnaturais,iremosconsider-locomoumnmeronaturalumavezqueeletemas mesmaspropriedadesalgbricasqueosnmerosnaturais.Naverdade,ozerofoicriadopelos hindus na montagem do sistema posicional de numerao para suprir a deficincia de algo nulo. IN= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...} IN* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...} Seconsiderarmosasucessodosnmerosnaturais,veremosque:ozeroomenordos nmeros naturais e todo nmero natural tem um sucessivo ou sucessor. Ex.: 1 o sucessivo de 0 2 o sucessivo de 1 Sendo assim, como consequncia de que todo nmero natural tem um sucessivo, no existe umltimonmeronatural.Dizemos,ento,quetantooconjuntoINcomooconjuntoIN*so infinitos. Todo nmero natural com exceo do zero tem um antecessor. Ex.: 0 o antecessor de 1 1 o antecessor de 2 Doisoumaisnmerosqueseseguemnasucessodosnmerosnaturaissodenominados consecutivos. Ex.: 21 e 22 so nmeros naturais consecutivos 76, 77 e 78 so nmeros naturais consecutivos Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 5 1.2 CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z) Definimosoconjuntodosnmerosinteiroscomoareuniodoconjuntodosnmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Exemplos de subconjuntos do conjunto Z a)Conjunto dos nmeros inteiros, excludo o nmero zero: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} b) Conjunto dos nmeros inteiros no negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} c)Conjunto dos nmeros inteiros no positivos: Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0} Observao: No existe padronizao para estas notaes. Reta Numerada UmaformaderepresentargeometricamenteoconjuntoZconstruirumaretanumerada, consideraronmero0comoaorigemeonmero1emalgumlugar,tomaraunidadedemedida como a distncia entre 0 e 1 e por os nmeros inteiros da seguinte maneira: Aoobservararetanumeradanotamosqueaordemqueosnmerosinteirosobedecem crescentedaesquerdaparaadireita,razopelaqualindicamoscomumasetaparaadireita.Esta considerao adotada por conveno, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, no haveria qualquer problema. Baseando-seaindanaretanumerada,podemosafirmarquetodososnmerosinteiros possuem um e somente um antecessor e tambm um e somente um sucessor. Ordem e Simetria no Conjunto Z Osucessordeumnmerointeiroonmeroqueestimediatamentesuadireitanareta (em Z) e o antecessor de um nmero inteiro o nmero que est imediatamente sua esquerda na reta (em Z). Exemplos: a)3 sucessor de 2 b) 2 antecessor de 3 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA6 c)-5 antecessor de -4 d) -4 sucessor de -5 e)0 antecessor de 1 f)1 sucessor de 0 g) -1 sucessor de -2 h) -2 antecessor de -1 Todo nmero inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simtrico ou oposto -z e ele caracterizado pelo fatogeomtrico que tantoz como -zesto mesma distncia da origem do conjunto Z que 0. Exemplos: a)O oposto de ganhar perder, logo o oposto de +3 -3. b)O oposto de perder ganhar, logo o oposto de -5 +5. Mdulo de um Nmero Inteiro OmduloouvalorabsolutodeumnmeroInteirodefinidocomosendoomaiorvalor (mximo)entreumnmeroeseuelementoopostoepodeserdenotadopelousodeduasbarras verticais | |. Exemplos: a)|0| = 0 b) |8| = 8 c)|-6| = 6 Observao: Do ponto de vista geomtrico, o mdulo de um nmero inteiro corresponde distncia deste nmero at a origem (zero) na reta numrica inteira. Soma (adio) de Nmeros Inteiros Paramelhorentendimentodestaoperao,associaremosaosnmerosinteirospositivosa ideia de ganhar e aos nmeros inteiros negativos a ideia de perder. ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7(+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7(-3) + (-4) = (-7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3(+8) + (-5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3(-8) + (+5) = (-3) Ateno:Osinal(+)antesdonmeropositivopodeserdispensado,masosinal(-)antesdo nmero negativo nunca pode ser dispensado. Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 7 Exemplos: a)-3 + 3 = 0 b) +6 + 3 = 9 c)+5 - 1 = 4 Multiplicao (produto) de Nmeros Inteiros A multiplicao funciona como uma forma simplificada de uma adio quando os nmeros sorepetidos.Poderamosanalisartalsituaocomoofatodeestarmosganhandorepetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetio pode ser indicada por um x, isto : 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o nmero 1 pelo nmero 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o nmero 2 pelo nmero -2, obteremos: (-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60 Observamosqueamultiplicaoumcasoparticulardaadioondeosvaloresso repetidos.Na multiplicao, o produto dos nmeros a e b pode ser indicado por: axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Pararealizaramultiplicaodenmerosinteiros,devemosobedecerseguinteregrade sinais: (+1) (+1) = (+1) (+1) (-1) = (-1) (-1) (+1) = (-1) (-1) (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que: Sinais dos nmerosResultado do produto Iguaispositivo Diferentesnegativo Potenciao de Nmeros Inteiros Apotnciaandonmerointeiroa,definidacomoumprodutodenfatoresiguais.O nmero a denominado a base e o nmero n o expoente. an = a a a a ... a -> Onde a multiplicado por a n vezes Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA8 Exemplos: a)25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 b) (-2) = (-2) x (-2) x (-2) = -8 c)(-5) = (-5) x (-5) = 25 d) (+5) = (+5) x (+5) = 25 Com os exemplos acima, podemos observar que a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente par, um nmero positivo e a potncia de todo nmero inteiro elevado a um expoente mpar, um nmero que conserva o seu sinal. Observao: Quando o expoente n=2, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente n=3, a potncia a pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras so provenientes do fato que rea do quadrado pode ser obtida por A=a onde a a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a onde a a medida do lado do cubo. Exerccios 1 1.Mariapossui3tias.NoaniversriodeMaria,elarecebeu2presentesdecadatia.Quantos presentes Maria ganhou no total? 2.Joo tinha 20 bolinhas de gude e queria distribu-las entre ele e 3 amigos de modo que cada um ficassecomumnmeropardebolinhasenenhumdelesficassecomomesmonmeroqueo outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino? 3.Quando possvel, complete o espao entre parnteses com nmeros naturais. 5 ( ) = 20 ( ) 3 = 18 4 ( ) = 10 ( ) 2 =8 3 ( ) =4 ( ) 3 =4 4.Qual a sentena falsa? a)7 x 28 = 7 x 20 + 7 x 8b) 83 58 = 83 50 8 c)618: 3 = 6 : 3 +18 : 3d) 842 : 2 = 800 : 2 + 42 : 2 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 9 5.Somando-se os resultados de 4 872: 24 e 1 177: 11 obtm-se: a)382 b) 310c)204 d) 38 6.Joo tem R$ 512,00 e Maria tem R$ 607,00. Nessa situao, verdade que: a)Juntos, eles tm R$ 1 107,00. b) Faltam R$ 90,00 a Joo para ter o mesmo que Maria. c)Maria tem o dobro que Joo. d) Maria tem R$ 95,00 a mais que Joo. 7.Somei um nmero de dois algarismos com um de trs algarismos. Obtive a maior soma possvel. Qual essa soma? a)1 098b) 1 090 c)1 089d) 1 080 8.UmvideocassetecomeouagravarumprogramadeTVs17h35min.edesligous18h23 min. porque a fita havia terminado. Quantos minutos do programa foram gravados? a)56 min. b) 52 min. c)48 min. d) 43 min. 9.Quantascaixas,de48quiloscadauma,podemsertransportadasdeumasveznumelevador que suporta apenas 600 quilos? a)10 b) 11 c)12d) 13 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA10 10.Umagrficaproduziu34928exemplaresdecertolivroeosoperriosforamfazendopacotes de 12 livros. Quando no foi mais possvel fazer esses pacotes, quantos livros sobraram? a)2 b) 4 c)6 d) 8 11.Se 6 garrafas de vinho custam 70 reais, qual deve ser, em reais, o preo de 9 garrafas? a)105b) 110 c)115 d) mais que 120 12.Omeninoeseuco,juntos,tm58quilos.Seomeninotem26quilosamaisqueoco, quantos quilos tm o co? a)10 b) 16c)18 d) 42 13.Parairapdeescolaataescola,Mariagastaotriplodotempoquegastariasefossede bicicletae, imediatamente, voltou para aescola.Tudo isso demorou 72minutos. Quantos minutos ela demorou na volta para a escola? a)18b) 36 c)54 d) 72 14.No ponto de nibus passa um nibus para Caixa Prego de 15 em 15 minutos e um nibus para To Longe de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos s 8h 30 min., a que horas vo passar juntos de novo? a)8h 55min. b) 9h 15min. c)9h 30min. d) 9h 45min. Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 11 1.3 CONJUNTO DE NMEROS RACIONAIS (Q) So aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b so inteiros quaisquer, com b diferente de 0. Q={x/x=a/bcomaebpertencentesaZ com b diferente de 0 } Assim como exemplo podemos citar o 1/2 , 1 , 2,5 ,...-Nmeros decimais exatos so racionaisPois0,1 = 1/102,3 = 23/10 ... -Nmeros decimais peridicos so racionais.0,1111... = 1/9 1.4 NMEROS DECIMAIS Leituradosnmerosdecimais:Paralernmerosdecimaisnecessrioprimeiramente, observar a localizao da vrgula que separa a parte inteira da parte decimal. Um nmero decimal pode ser colocado na forma genrica: CentenasDezenasUnidades , DcimosCentsimosMilsimos Por exemplo, o nmero 130,824, pode ser escrito na forma: 1 Centena3 dezenas0 unidades , 8 dcimos2 centsimos4 milsimos Exemplos: 0,6Seis dcimos 0,37Trinta e sete centsimos 0,189Cento e oitenta e nove milsimos 3,7Trs inteiros e sete dcimos 13,45Treze inteiros e quarenta e cinco centsimos 130,824Cento e trinta inteiros e oitocentos e vinte e quatro milsimos Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA12 1.4.1Transformando Fraes Decimais em Nmeros Decimais Podemosescreverafraodecimal1/10como:0,1.Estafraolida"umdcimo". Notamos que a vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: Parte inteiraParte fracionria 0,1 Outra situao nos mostra que a frao decimal 231/100 pode ser escrita como 2,31, que se ldaseguintemaneira:"doisinteirosetrintaeumcentsimos".Novamenteobservamosquea vrgula separa a parte inteira da parte fracionria: Parte inteiraParte fracionria 2,31 Emgeral,transforma-seumafraodecimalemumnmerodecimalfazendocomqueo numeradordafraotenhaomesmonmerodecasasdecimaisqueonmerodezerosdo denominador. Na verdade, realiza-se a diviso do numerador pelo denominador. Por exemplo: a)130/100= 1,30 b) 987/1000 = 0,987 c)5/1000 = 0,005 1.4.2Transformando Nmeros Decimais em Fraes Decimais Tambmpossveltransformarumnmerodecimalemumafraodecimal.Paraisto, toma-secomonumeradoronmerodecimalsemavrgulaecomodenominadoraunidade(1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero dado. Como exemplo, temos: a)0,5 = 5/10 b) 0,05 = 5/100 c)2,41 = 241/100 d) 7,345 = 7345/1000 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 13 1.4.3Propriedades dos Nmeros Decimais Zeros aps o ltimo algarismo significativo: Um nmero decimal no se altera quando se acrescentaouseretiraumoumaiszerosdireitadoltimoalgarismononulodesuaparte decimal. Por exemplo: a)0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 b) 1,0002 = 1,00020 = 1,000200 c)3,1415926535 = 3,141592653500000000 Multiplicaoporumapotnciade10:Paramultiplicarumnmerodecimalpor10,por 100,por1000,bastadeslocaravrgulaparaadireitauma,duas,outrscasasdecimais.Por exemplo: a)7,4 x 10 = 74 b) 7,4 x 100= 740 c)7,4 x 1000 = 7400 Diviso por uma potncia de 10: Para dividir um nmero decimal por 10, 100, 1000, etc., basta deslocar a vrgula para a esquerda uma, duas, trs, ... casas decimais. Por exemplo: a)247,5 10 = 24,75 b) 247,5 100 = 2,475 c)247,5 1000 = 0,2475 1.4.4Operaes com Nmeros Decimais 1.4.4.1 Adio e Subtrao: Para efetuar a adio ou a subtrao de nmeros decimais temos que seguir alguns passos: I.Igualaraquantidadedecasasdecimaisdosnmerosdecimaisaseremsomadosousubtrados acrescentando zeros direita de suas partes decimais. Por exemplo: a)2,4 + 1,723 = 2,400 + 1,723 b) 2,4 - 1,723 = 2,400 - 1,723 II.Escreverosnumeraisobservandoascolunasdaparteinteira(unidades,dezenas,centenas,etc), de forma que: -O algarismo das unidades de um nmero dever estar embaixo do algarismo das unidades do outro nmero; Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA14 -Oalgarismodasdezenasdeumnmerodeverestarembaixodoalgarismodasdezenasdo outro nmero; -O algarismo das centenas dever estar em baixo do algarismo das centenas do outro nmero, etc); -A vrgula dever estar debaixo da outra vrgula; -Apartedecimal(dcimos,centsimos,milsimos,etc)deformaquedcimossobdcimos, centsimos sob centsimos, milsimos sob milsimos, etc. Dois exemplos: 2,400 2,400 + 1,723 - 1,723 1.4.4.2Multiplicaodenmerosdecimais:Podemosmultiplicardoisnmerosdecimais transformandocadaumdosnmerosdecimaisemfraesdecimaiserealizaramultiplicaode numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo: 2,253,5 = 225 100 35 10 = 22535 10010 = 7875 1000 = 7,875 Podemos tambm multiplicar os nmeros decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas s do multiplicador. Por exemplo: 2,252 casas decimaismultiplicando x3,51 casa decimalmultiplicador 1125 +675 7875 7,8753 casas decimaisProduto 1.4.4.3 Diviso de nmeros decimais: Comovistoanteriormente,semultiplicarmostantoodividendocomoodivisordeuma diviso por 10, 100 ou 1000, o quociente no se alterar.Utilizando essas informaes poderemos efetuardivisesentrenmerosdecimaiscomosefossemdivisesdenmerosinteiros.Por exemplo: 3,60,4=? Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 15 Aqui, dividendo e divisor tmapenas umacasa decimal, logo multiplicamos ambos por 10 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero nmeros inteiros. Na prtica, dizemos que "cortamos" a vrgula. 3,60,4 = 3,6 0,4 = 3610 410 = 36 4 = 9 Um outro exemplo: 0,357= 0,35 7 = 0,35100 7100 = 35 700 = 357 7007 = 5 100 = 0,05 Nestecaso,odividendotemduascasasdecimaiseodivisoruminteiro,logo multiplicamos ambos por 100 para que o quociente no se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor sero inteiros. Divisocomodividendomenordoqueodivisor:Vamosconsideraradivisode35 (dividendo)por700(divisor).Transforma-seodividendo,multiplicando-sepor10,100,...,para obter 350 dcimos, 3500 centsimos, ... at que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a diviso se torne possvel. Neste caso, h a necessidade de multiplicar por 100. Assimadivisode35por700sertransformadanumadivisode3500por700.Como acrescentamosdoiszerosaodividendo,iniciamosoquocientecomdoiszeros,colocando-seuma vrgula aps o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente ficar dividido por 100. dividendo3500700divisor resto00,05quociente Realiza-se a diviso de 3500 por 700 para obter 5, concluindo que 0,35/7 = 35/700 = 0,05. Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA16 Divisodenmerosnaturaiscomquocientedecimal:Adivisode10por16no fornecer um inteiro no quociente. Como 10 < 16, o quociente da diviso no ser um inteiro, assim paradividironmero10por16,montamosumatabelasemelhantedivisodedoisnmeros inteiros. 1016 ? 1.Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficar dividido por 10. Isto justifica a presena do algarismo 0 seguido de uma vrgula no quociente. 10016 0, 2.Realizamos a diviso de 100 por 16. O resultado ser 6 e o resto ser 4. 10016 -960,6 4 3.Oresto4correspondea4dcimos=40centsimos,razopelaqualcolocamosumzero(0) direita do nmero 4. 10016 -960,6 40 4.Dividimos 40 por 16 para obter o quociente 2 e o novo resto ser 8. 10016 -960,62 40-328 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 17 5.O resto 8 corresponde a 8 centsimos = 80 milsimos, razo pela qual inserimos um 0 direita do nmero 8. Dividimos 80 por 16 para obter o quociente 5 e o resto igual a 0. 10016 -960,62540-3280-800 Adiviso10/16iguala0,625.Oquocienteumnmerodecimalexato,emboranosejaum inteiro. Exerccios 2 1. Calcule: a) 7,6 + 2,95 = b) 6,41 3,84 = c) 0,63 + 12,8 + 0,7 = d) 0,6 0,169 = e) 6,25 x 10 = f) 3,129 x 100 = g) 4,5 x 1,6 = h) 0,36 x 0,25 = i) 29,5 : 10 = j) 6,4 : 100 = l) 6,25 : 5 = m) 6,93 : 0,3 = n) 1 0,25 / 0,5 = o) 3 / 0,9 + 0,6 = p) 5 3,5 / 1 + 0,2 = Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA18 2.LGEBRA 2.1 EXPRESSES ALGBRICAS So indicaes de operaes envolvendo letras e nmeros. Exemplos: a)5ax 4b b) ax + bx + c c)7ab Observao:NoexemploC,ondenoapareceindicaodesomaoudediferena,temosum monmio em que 7 o coeficiente numrico e ab a parte literal. 2.2 OPERAES COM EXPRESSES ALGBRICAS a) Soma algbrica Somente possvel somar ou subtrair termos semelhantes (monmios que possuem a mesma parte literal). Para somar ou subtrair termos semelhantes repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. Exemplo: 3xy 4xy + 7xy + 5xy = 8xy + 3xy b) Multiplicao Multiplica-secadatermodoprimeirofatorportodosostermosdosegundofatore reproduzem-se os termos semelhantes. Exemplo:(3ay) * (2ay) = 6ay c)Diviso 1Caso:Divisodemonmios:Divide-seocoeficientenumricododividendopelo1 coeficientedodivisor,eaparteliteraldodividendopeladodivisor,observando-seasregraspara diviso de potncias de mesma base. 2Caso:Divisodepolinmiopormonmio:Divide-secadatermododividendopelo monmio divisor. Exemplo: (42abx4) : (7ax) = 6abx Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 19 3.PRODUTOS NOTVEIS Hcertosprodutosdepolinmios,que,porsuaimportncia,devemserconhecidosdesde logo. Vejamos alguns deles: a) Quadrado da soma de dois termos:(a + b) = a + 2ab + b O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exemplo: (2 + x) = 2 + 2 * 2x + x = 4 + 4x + x b) Quadrado da diferena de dois termos: (a - b) = a - 2ab + b Oquadradodadiferenadedoistermosigualaoquadradodoprimeiromenosduasvezeso produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exemplo: (x 3) = x - 2 * x * (- 3) + (- 3) = x - 6x + 9 c)Produto da soma de dois termos por sua diferena: (a + b) * (a b) = a2 b2 Oprodutodasomadedoistermosporsuadiferenaigualaoquadradodoprimeiromenoso quadrado do segundo. Exemplo: (1 -3 ) * (1 +3 ) = 1 - ( 3 ) = 1 3 = - 2 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA20 4.FATORAO Fatorar um polinmio escrev-lo sob a forma de um produto indicado. Fatorcomumdostermosdeumpolinmioomonmiocujocoeficientenumricoo mximodivisorcomumdoscoeficientesdostermosdopolinmioecujaparteliteralformada pelas letras comuns com os menores expoentes. Apresentandoumfatorcomum,opolinmiopodeserescritocomooprodutodedois fatores: o 1 o fator comum e o 2 obtido dividindo-se o polinmio original pelo fator comum. Exemplos: a)Fatorando o polinmio 4ax + 8ax + 2axtem-se: ( ) a 4ax 2x2ax 2axx a 2 2ax x a 8 2ax ax 42axx a 2 x a 8 ax 4 + + =|.|

\|+ + = + +b)Fatorar: 5xy + x4y + 2x. O fator comum x. Assim:5xy + x4y + 2x = x (5y + xy + 2) Exerccios 3 1.Efetuar: 2.Fatorar: a)15a - 10ab = b) 3ax 6bx + 12x Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 21 5.RAZO Sejadoisnmerosgenricosaeb.Arazoentreaebrepresentadapor ba,a/boua:b, sendo b = a. 6.PROPORO Proporo a igualdade de duas razes. Seja a proporo:dcba=oud : c b : a =ou. d : c :: b : aSeus elementos se denominam: Propriedadefundamental:Emtodaproporooprodutodosmeiosigualaoprodutodos extremos. Considerando as propores: dcba= ento c * b d * a =6834= ento 8 * 3 6 * 4 =532x= ento 3 * 2 x * 5 = A principal aplicao desta propriedade a determinao de um elemento desconhecido na proporo. Exemplificando: Determine x na proporo: 5204x=ento20 * 4 x * 5 =ou16 x = Grandezas Diretamente ou Inversamente Proporcionais Duas grandezas x e y so denominadas: Diretamente proporcionais: quando a razo entre x e y constante. kyx=ouky x =a - primeiro termo b - segundo termo c - terceiro termo d - quarto termo a e b - extremos b e c - meios a e c - antecedentes b e d - consequentes Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA22 Inversamente proporcionais: quando o produto delas constante. k y * x =ou ykx =Sendo k denominada constante de proporcionalidade. Exemplos: a)Seja um carro que se desloca com velocidade constante em trajetria retilnea. A tabela mostra o deslocamento do carro em funo do tempo. Tempo (s)Deslocamento (m) 120 240 360 480 5100 10200 Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se que a razo tx constante. 20102005100480360240120tx= = = = = = =Assimxetsograndezasdiretamenteproporcionaiseaconstantedeproporcionalidadevale20 (que a velocidade do carro). b) Umgsmantidotemperaturaconstanteemumrecipientedevolumevarivel.Quandose alteraovolumedogsasuapressotambmsemodifica.Registraram-seemumatabelaos valores correspondentes da presso (P) e volume (V). PressoVolume 2020 4010 805 1004 2002 4001 A pergunta : tempo e deslocamento so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? P e V so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 23 Note que PV constante. 400 1 . 400 2 . 200 4 . 100 5 . 80 10 . 40 20 . 20 PV = = = = = = = Assim: P e V so grandezas inversamente proporcionais com constante de proporcionalidade igual a 400. 7.REGRA DE TRS 7.1 REGRA DE TRS SIMPLES Utilizamosregradetrssimplesnasoluodeproblemasqueenvolvemgrandezas proporcionais. Exemplos: a) Um automvel se desloca com velocidade constante percorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto para percorrer 100 km? Soluo As grandezas envolvidas so diretamente proporcionais. Teremos ento uma regra de trs simples e direta. Dispomos os dados do problema colocando frente a frente aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do valor procurado: 40 km ...............1 h 100 km ................x Sendo a regra de trs simples e direta, tem-se: x110040=(as grandezas so dispostas na mesma ordem de correspondncia). Aplicando a propriedade fundamental das propores, vem: horas 2,5 x 100 * 1 x * 40 == b) Doislitrosdegsexercemumapressode0,4atm.Cincolitrosdomesmogs,mesma temperatura, exercero que presso? Soluo Asgrandezassoinversamenteproporcionais.Assimsendo,teremosumaregradetrssimplese inversa. Dispondo os dados do problema: 2 litros ............... 0,4 atm 5 litros ............... xCurso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA24 Sendo a regra de trs inversa, as grandezas so dispostas de forma que na proporo os termos do 2 membro ficam invertidos. 4 , 0x52= ou atm 0,16 x x * 5 4 , 0 * 2 == Exerccios 4 Resolva: a)Umabombaeleva272litrosdeguaem16minutos.Quantoslitroselevarem1horae20 minutos? b) Dozeoperrioslevaram25diasparaexecutarumadeterminadaobra.Quantosdiaslevaro10 operrios para executar a mesma obra? c)Num livro de 200 pginas h 30 linhas em cada pgina. Se houvesse 25 linhas em cada pgina, quantas pginas teriam o livro? d) Metade de uma obra foi feita por 10 operrios em 13 dias. Quanto tempo levaro para terminar essa obra com 3 operrios a mais? e)Com uma certa quantidade de cobre, fabricam-se 1600 metros de fio com seo de 12 mm. Se a seo for de 8 mm, quantos metros de fio podero ser obtidos? f)Um quintal pode ser ladrilhado com 500 ladrilhos de 225 cm2 de rea cada um. Quantas lajotas de 900 cm2, cada uma, so necessrias para recobrir o mesmo quintal? g) Um galpo pode ser construdo em 48 dias por 7 pedreiros que trabalham num certo ritmo. Como eledeveserconstrudoemduassemanas,nomesmoritmodetrabalho,quantospedreiros devero ser contratados? h) Uma mquina tem duas rodas dentadas que se engrenam. A maior tem 30 dentes e a menor, 18 dentes. Quantas voltas d a menor enquanto a maior d 150 voltas? i)Um Boeing vai do Rio de Janeiro a Recife em 2 horas e 40 minutos, num vo sem escalas. Numa dasviagens,ocorreuumpequenodefeitoemseusmotoreseelefezaviagemem3horase20 minutos,aumavelocidadede540km/h.Qualavelocidademdiacomqueelefazessa viagem em condies normais? j)Para asfaltar 345 km de estrada, uma equipe de 15 pessoas levaria 8 dias. Se forem contratados outras 9 pessoas que trabalhem no mesmo ritmo das pessoas da equipe que j existe, em quantos dias a nova equipe asfaltar o mesmo trecho de estrada? k) Paraasfaltar345kmdeestrada,umaequipede15pessoaslevaria8dias.Qualonmerode pessoas que devem ser contratadas para que a mesma obra fique completa em 5 dias, desde que todos trabalhadores tenham o mesmo ritmo de trabalho. Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 25 l)Lisa e Rute aproveitaram uma liquidao. Lisa comprou 18 camisetas e pagou o equivalente a 14 camisetas.Rutetambmcomproucamisetasnamesmaliquidaoepagouoequivalentea49 camisetas. Quantas camisetas Rute comprou? 7.2 REGRA DE TRS COMPOSTA Aregradetrscompostautilizadaemproblemascommaisdeduasgrandezas,diretaou inversamente proporcionais.

Exemplos: a)Em8horas,20caminhesdescarregam160m3deareia.Em5horas,quantoscaminhessero necessrios para descarregar 125m3? Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de espcies diferentes que se correspondem: HorasCaminhesVolume 820160 5x125 Identificaodostiposderelao:Inicialmentecolocamosumasetaparabaixonacolunaque contm o x (2 coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x. Observe que: Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente proporcional (seta para cima na 1 coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas. Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA26 Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, sero necessrios 25 caminhes. b) Numa fbrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos sero montados por 4 homens em 16 dias? Soluo: montando a tabela: HomensCarrinhosDias 8205 4x16 Observe que: Aumentandoonmerodehomens,aproduodecarrinhosaumenta.Portantoarelao diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Aumentandoonmerodedias,aproduodecarrinhosaumenta.Portantoarelaotambm diretamente proporcional (no precisamos inverter a razo). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes. Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, sero montados 32 carrinhos. c) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro? Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 27 Inicialmentecolocamosumasetaparabaixonacolunaquecontmox.Depoiscolocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incgnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: Montando a proporo e resolvendo a equao temos: Logo, para completar o muro sero necessrios 12 dias. Exerccios 5 a)4trabalhadorescolhem200caixasiguaisdelaranja,em5dias,trabalhandonumcertoritmo. Quantas caixas de laranjas, iguais a essas, sero colhidas em 3 dias, por 6 trabalhadores, no mesmo ritmo de colheita? b) Umaviagementreduascidadesfoifeitadecarro,em4dias,aumavelocidadede75km/h, viajando-se 9 horas por dia. Viajando a 90 km/h, durante 5 horas por dia, em quantos dias iramos de uma cidade outra? c)3torneirasiguaisenchemumtanquede5000ldecapacidade,em10horas.Fechandoumadas torneiras, em quanto tempo as outras despejaro 3000l nesse tanque? d) Em 50 dias, uma escola usou 6000 folhas de papel para imprimir provas do tipo A e do Tipo B, para 1200 alunos. A escola tem 1150 alunos, no momento. Quantas folhas sero usadas, durante 20 dias, para imprimir dois tipos de provas semelhantes s anteriores? e)Umcriadorusava2400kgderaoparaalimentar120cesdurante45dias.Paraeconomizar gastos com o canil, ele vendeu alguns ces e passou a usar 1200 kg de rao para 3 meses. Quantos ces ele vendeu? (Use 1 ms = 30 dias.) Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA28 7.3 PORCENTAGEM Porcentagempodeserdefinidacomoacentsimapartedeumagrandeza,ouoclculo baseado em 100 unidades.vistocomfrequnciaaspessoasouoprpriomercadousarexpressesdeacrscimoou reduo nos preos de produtos ou servios. Exemplos: a) O Leite teve um aumento de 25%. Quer dizerque decada R$ 100,00 teve um acrscimo de R$ 25,00. b) O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma cala jeans. Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00.

c)Dosfuncionriosquetrabalhamnaempresa,75%sodedicados.Significaquedecada100 funcionrios, 75 so dedicados ao trabalho ou a empresa. Calculando Porcentagens Paracalcularaporcentagemprimeiramentesecalculaaporcentagempor100. Feitoissos multiplicaroresultadopelovalordoqualsequersaberaporcentagem: Acompanhe este clculo:25% de 20025 : 100 = 0,250,25 x 200 = 50 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAO. Se, por exemplo, h um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenasmultiplicandoessevalorpor1,10,queofatordemultiplicao.Seoacrscimoforde 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 29 Acrscimo ou LucroFator de Multiplicao 10%1,10 15%1,15 20%1,20 47%1,47 67%1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao =1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicao 10%0,90 25%0,75 34%0,66 60%0,40 90%0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Exerccios 6 1.Calcule: a.15% de 120 b.20% de 150 c.35% de 100 d.40% de 240 e.30% 250 Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA30 8.PROBABILIDADE A histria da teoria das probabilidades teve incio com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse o motivo da grande existncia de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoriadaprobabilidadepermitequesecalculeachancedeocorrnciadeumnmeroemum experimento aleatrio. ExperimentoAleatrioaqueleexperimentoquequandorepetidoemiguaiscondies, podem fornecer resultados diferentes, so resultados explicados ao acaso, ou seja,o resultado no pode ser previsto. Exemplos: 1.O sorteio de uma loteria de nmeros;2.O lanamento de uma moeda;3.A escolha de um nmero de 1 a 50. EspaoAmostraloconjuntodetodososresultadospossveisdeumexperimento aleatrio. A letra que representa o espao amostral S. Exemplo:Nolanamentodeumdado,osresultadospossveisso:1,2,3,4,5,6.Portanto,o Espao Amostral : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Conceito de Probabilidade Seemumfenmenoaleatrioaspossibilidadessoigualmenteprovveis,entoa probabilidade de ocorrer um evento A : Exemplo1:Nolanamentodeumdado,umnmeroparpodeocorrerde3maneirasdiferentes dentre6igualmenteprovveis,portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% Figura 1: Lanamento de dados. Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA 31 Exemplo 2:Corinthians dispara nas probabilidades: 48% de chances de ser campeo ComojtradionesseBrasileiro,oSambafootapresenta,aofimdecadarodada,aschancesdecada time no Brasileiro 2011. E as probabilidades aps a 28 rodada apontam, faltando 10 jogos, o Corinthians o grande favorito a levar o ttulo.* Nmeros de acordo com o Departamento de Matemtica da UFMG Corinthians dispara na briga pelo ttulo OCorinthiansquasedobrousuaschancesdettuloaovenceroAtltico-GOeverosseusmaiores concorrentes,VascoeBotafogo,perderempontosnarodada.Com48%dechances,o Timoquemmais chegoupertodos50%,desdequeoSambafootcomeouaacompanharosnmeros.Timidamente,o Flamengovemvoltandobrigaejtem6%,empatadocomoSoPaulo.Nadamalparaquemnotinha nem1%enemaparecianatabelaalgumasrodadasatrs.Quemvoltouaparecerentreospostulanteso Internacional, aps a vitria sobre o Vasco, com 1%. 48%22%13%

6%6%4% 1%Figura 2: Probabilidade de Conquista do Ttulo de Campeo Brasileiro de 2011. (Fonte:http://www.sambafoot.com/pt/noticias/24613_corinthians_dispara_nas_probabilidades__48__de_chances_de_ser_campeao.html. Adaptado). Curso Tcnico em Qumica Centro de Educao Profissional de Anpolis CEPA32 9.ANLISE COMBINATRIA AnliseCombinatriaumconjuntodeprocedimentosquepossibilitaaconstruode gruposdiferentesformadosporumnmerofinitodeelementosdeumconjuntosobcertas circunstncias. Namaiorpartedasvezes,tomaremosconjuntos Zcommelementoseosgruposformados com elementos de Z tero p elementos, isto , p ser a taxa do agrupamento, com p